Монотонный код Грея

2016-12-19T18:39:49Z

217.66.157.35: /* Псевдокод */

{{Определение
|definition =
'''Монотонный код Грея''' (англ. ''Monotonic Gray Code'') {{---}} способ построения кода Грея, при котором <tex>\forall i < j</tex> <tex>\nexists g_i, g_j</tex>, что <tex>g_i</tex> содержит на <tex>2</tex> или больше единиц, чем <tex>g_j</tex>.
}}
Монотонный код Грея преимущественно используется в теории связанных сетей, например для минимизации ожидания линейным массивом процессоров.<ref>[http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0097316595900918 C. D Savage and P. Winkler (1995). "Monotone Gray codes and the middle levels problem"page 7]</ref>

== Алгоритм построения ==

Для начала определим такое понятие, как ''вес'' двоичного кода, им будет являтся количество <tex>1</tex> в данном двоичном коде. Очевидно, что нельзя построить [[:Коды_Грея|код Грея]] в котором бы вес всегда возрастал.
Неплохим решением этой проблемы будет обход всех кодов со смежными с данным весами.

Мы можем формализовать модель монотонных кодов Грея рассматривая разбиение гиперкуба <tex>Q_n = (V_n, E_n)</tex>, вершины в котором являются двоичными кодами, на уровни с одинаковым весом вершин.

<tex>
V_n(i) = \{ v \mid v \text{ has weight } i \}
</tex>

для <tex>0 \leqslant i \leqslant n</tex>. Для всех уровней выполняется соотношение <tex>|V_n(i)| = C_n^i</tex>.

Пусть <tex>Q_n(i)</tex> подграф <tex>Q_n</tex>, который является объединением двух смежных уровней, т. е. <tex>V_n(i) \cup V_n(i+1)</tex>, и пусть <tex>E_n(i)</tex> множество граней <tex>Q_n(i)</tex>.
Тогда монотонным кодом Грея будет являтся [[:Гамильтоновы_графы#.D0.9E.D1.81.D0.BD.D0.BE.D0.B2.D0.BD.D1.8B.D0.B5_.D0.BE.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D1.8F|Гамильтонов путь]] в <tex>Q_n</tex>, при котором любое множество вершин <tex>\delta_1 , \delta_2</tex> такие, что <tex>\forall i, j : i \leqslant j</tex>, то <tex>\delta_1 \in E_n(i)</tex> идет перед <tex>\delta_2 \in E_n(j)</tex>.

Ниже на катринке Гамильтонов путь в гиперкубе <tex>Q_4</tex> для <tex>n = 4</tex>, построенный по алгоритму Саважа-Винклера (англ. ''Savage-Winkler'').<ref>[http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0097316595900918 C. D Savage and P. Winkler (1995). "Monotone Gray codes and the middle levels problem"page 14]</ref>

[[Файл:Monotonic_Gray_Code_Graph.png|center|4-ичный монотонный код Грея]]

Элегантная идея построения <tex>n</tex>-ичного монотонного кода Грея состоит в том, чтобы рекурсивно строить подпути <tex>P_{n,j}</tex> длинны <tex>2C_n^j</tex> включающих вершины <tex>E_n(j)</tex>.

Определим <tex>P_{1,0} = (0, 1)</tex> и <tex>P_{n,j} = \emptyset</tex>, когда <tex>j < 0</tex> или <tex>j \geqslant n</tex> и
<tex>
P_{n+1,j} = 1P^{\pi_n}_{n,j-1}, 0P_{n,j}
</tex>. То есть <tex>P_{n+1, j}</tex> это объединение множеств <tex>P^{\pi_n}_{n,j-1}</tex> с приписанной в начале <tex>1</tex> и <tex>P_{n,j}</tex> с приписанным в начале <tex>0</tex>.

Здесь <tex>\pi_n</tex> это определенная перестановка элементов множества к которому она применена, а <tex>P^{\pi}</tex> это путь <tex>P</tex> к котрому была применена пересатновка <tex>\pi</tex>.
Существует два варианта построить монотонный код грея по путям <tex>P_{n, j}</tex>.

Назовем их <tex>G_n^{(1)}</tex> и <tex>G_n^{(2)}</tex>. Будем строить их таким образом:
<tex>
G_n^{(1)} = P_{n,0} P_{n,1}^R P_{n,2} P_{n,3}^R \ldots \text{, } G_n^{(2)} = P_{n,0}^R P_{n,1} P_{n,2}^R P_{n,3} \ldots
</tex>

Выбор перестановки <tex>\pi_n</tex> обусловлен тем, чтобы получившиеся коды соответсвовали требованиям кода Грея и поэтому эта перестановка равна <tex>\pi_n = E^{-1}(\pi_{n-1}^2)</tex>.

Чтобы лучше разобратся в том, как сторится этот код и работает перестановка <tex>\pi</tex> следует рассмотреть таблицу ниже.

<center>

{|class="wikitable" align="center" style="color: blue; background-color:#ffffcc;" cellpadding="10"
|+ Подпути алгоритма Саважа-Винклера
|-
! scope="col" style="width:3em;"| <math>P_{n,j}</math>
! scope="col" | <tex>j = 0</tex>
! scope="col" | <tex>j = 1</tex>
! scope="col" | <tex>j = 2</tex>
! scope="col" | <tex>j = 3</tex>
|-
! scope="row" | <tex>n = 1</tex>
| <tex>0, 1</tex> || || ||
|-
! scope="row" | <tex>n = 2</tex>
| <tex>00, 01</tex> || <tex>10, 11</tex> || ||
|-
! scope="row" | <tex>n = 3</tex>
| <tex>000, 001</tex> || <tex>100, 110, 010, 011</tex> || <tex>101, 111</tex> ||
|-
! scope="row" | <tex>n = 4</tex>
| <tex>0000, 0001</tex> || <tex>1000, 1100, 0100, 0110, 0010, 0011</tex> || <tex>1010, 1011, 1001, 1101, 0101, 0111</tex> || <tex>1110, 1111</tex>
|}

</center>

Монотонный код Грея может быть эффективно сгенерирован по этому алгоритму за время <tex>O(n)</tex>. Легче всего написать этот алгоритм используя генератор.

=== Псевдокод ===
Перед тем как писать псевдокод необходимо объяснить что такое <code>'''yield'''</code> и что понимать под выражениями типа <code>(0,)</code> или <code>(1,)</code>.

<code>'''yield'''</code> {{---}} аналог <code>'''return'''</code> только для функций-генераторов. То есть генераторы это тоже итерируемые объекты, но прочитать их можно лишь один раз. Это связано с тем, что они не хранят значения в памяти, а генерируют их на лету.

С конструкциями типа <code>(0,)</code> или <code>(1,)</code> все проще. Используя ее совместно с <code>'''yield'''</code> мы можем в изменять наш генерируемый объект. Например, <code>'''yield''' (0,)</code> допишет к генерируемому объекту (в нашем случае кортежу (англ. ''tuple'')) <tex>0</tex> в начало.
{| border="0"
|align="left" colspan="4"|
Вспомогательная функция для генерации перестановки, циклически сдвигает битовый вектор направо <tex>n</tex> раз.
Принимает и возвращает кортеж. Кортеж аналог списка, но в кортеже нельзя менять элементы, можно только добавлять.
<code>[i:]</code> {{---}} возвращает подсписок, начиная с индекса <tex>i</tex> (аналогично <code>[:i]</code>), а отрицательный знак позволяет индексироваться с конца (полагая, что -1 — последний элемент списка).
<code>
'''function''' rotateRight(x: '''int[n]'''): '''int[n]'''
'''return''' x[-n:] + x[:-n]
</code>
Рекурсивная генерация <tex>n</tex>-ой перестановки.
Возвращает перестановку в виде кортежа.
Если <tex>n</tex> становится меньше <tex>2</tex> дописывает в начало кортежа <tex>0</tex> и возвращает его.
<code>
'''function''' pi('''int''' n): '''int[n]'''
'''if''' n <= 1
'''return''' (0,)
x = pi(n - 1) + (n - 1,)
'''return''' rotateRight('''tuple'''(x[k] '''for''' k '''in''' x), 1)
</code>
Рекурсивная генерация пути <tex>P_{n, j}</tex>.
Принимает <tex>n, j</tex>, а так же дополнительный параметр определяющий надо-ли переворачивать кортеж.
<code>
'''function''' p('''int''' n, '''int''' j, '''bool''' reverse = ''false''): '''list<int[n]>'''
'''if''' n == 1 and j == 0
'''if''' '''not''' reverse
'''yield''' (0,)
'''yield''' (1,)
'''else'''
'''yield''' (1,)
'''yield''' (0,)
'''else if''' j >= 0 '''and''' j < n
perm = pi(n - 1)
'''if''' '''not''' reverse
'''for''' x '''in''' p(n - 1, j - 1)
'''yield''' (1,) + '''tuple'''(x[k] '''for''' k '''in''' perm)
'''for''' x '''in''' p(n - 1, j)
'''yield''' (0,) + x
'''else'''
'''for''' x '''in''' p(n - 1, j, reverse=''true'')
'''yield''' (0,) + x
'''for''' x '''in''' p(n - 1, j - 1, reverse=''true'')
'''yield''' (1,) + '''tuple'''(x[k] '''for''' k '''in''' perm)
</code>
Генерация монотонного кода Грея при помощи уже написанного генератора <tex>p</tex>.
<code>
'''function''' monotonic('''int''' n): '''list<int[n]>'''
'''for''' i '''in''' range(n)
'''for''' x '''in''' (p(n, i) '''if''' i % 2 == 0 '''else''' p(n, i, reverse=True))
'''yield''' x
</code>
|}

===Визуализация работы алгоритма===
Для <tex>n = 5</tex>

[[Файл:Monotonic_Gray_Code_Ex1.png|center|Визуализация работы алгоритма для 5-ичного кода]]

Для <tex>n = 6</tex>

[[Файл:Monotonic_Gray_Code_Ex2.png|center|Визуализация работы алгоритма для 6-ичного кода]]

==См. Также==

*[[:Коды_Грея|Коды Грея]]

*[[:Коды_антигрея|Коды антигрея]]

==Примечания==

<references />

== Источники информации ==

* [http://en.wikipedia.org/wiki/Gray_code Wikipedia {{---}} Gray code]

* [http://ru.wikipedia.org/wiki/код_Грея Википедия {{---}} Код Грея]

* [http://www.jucs.org/jucs_13_11/the_gray_code/jucs_13_11_1573_1597_doran.pdf Robert W. Doran The Gray Code, Journal of Universal Computer Science, vol. 13, no. 11 (2007).]

*[http://sciyoshi.com/2010/12/gray-codes Alternative Combinatorial Gray Codes]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Комбинаторика]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Монотонный код Грея