Панциклический граф

2017-12-18T17:17:35Z

217.66.159.65: разбил докво

== Основные определения ==
{{Определение
|definition='''Панциклический граф''' (англ. ''pancyclic graph'') {{---}} граф, в котором есть циклы всех длин от <tex> 3 </tex> до <tex> n </tex>.
}}

{{Определение
|definition='''<tex> r </tex>-панциклический граф''' (англ. ''<tex> r </tex>-pancyclic graph'') {{---}} граф содержит все циклы от <tex> r </tex> до <tex> n </tex>.
}}

== Основная теорема ==
{{Теорема
|about=J. A. Bondy
|statement=
Пусть <tex>G(V, E) </tex> {{---}} гамильтонов граф, <tex>|V| = n, |E| \geqslant \genfrac{}{}{}{0}{n^2}{4} </tex>.
Тогда верно одно из двух утверждений:
#<tex> G </tex> {{---}} панциклический граф
#<tex> G </tex> = <tex>K_{\genfrac{}{}{}{}{n}{2}, \genfrac{}{}{}{}{n}{2}}</tex>
|proof=

[[Файл:Circle 1.jpg|200px|left|thumb| Синим цветом выделен гамильтонов цикл. Дуги, окрашенный в зеленый цвет, образуют цикл длины l]] [[Файл:Circle 2.jpg|200px|right|thumb| Синим цветом выделен гамильтонов цикл. Дуги, окрашенный в зеленый цвет, образуют цикл длины l]]

Обозначим как <tex> C=v_1 v_2 v_3 \ldots v_n </tex> гамильтонов цикл в графе <tex> G </tex>. Для простоты расположим <tex> C </tex> на окружности. Также подразумевается, что все индексы при вершинах берутся по модулю, то есть <tex> v_j = v_{((j - 1)\bmod n) + 1} </tex>.

Пусть в графе нет цикла длины <tex> l </tex>, <tex> 3 \leqslant l \leqslant n-1 </tex> (по условию в графе существует гамильтонов цикл, длина которого равна <tex> n </tex>). Рассмотрим две соседние вершины <tex> v_j v_{j+1} </tex> и вместе с ними рассмотрим следующие пары:

Для <tex>k</tex> таких, что <tex> v_k </tex> лежит на дуге <tex> (v_{j + l - 1}, v_{j + l}, v_{j -1}) </tex> рассмотрим пары (<tex>v_j, v_k</tex>) и (<tex>v_{j+1}, v_{k-l+3}</tex>) (см. рисунок слева)

Для <tex>k</tex> таких, что <tex> v_k </tex> лежит на дуге <tex> (v_{j + 2}, v_{j + 3}, v_{j + l - 2}) </tex> рассмотрим пары (<tex>v_j, v_k</tex>) и (<tex>v_{j+1}, v_{k-l+1}</tex>) (см. рисунок справа)

При добавлении таких пар ребер в графе появляется цикл длины <tex> l </tex> (выделены зеленым цветом на рисунках слева и справа). Действительно:
*Рассмотрим первый случай, когда <tex> v_k </tex> лежит на дуге <tex> (v_{j + l - 1}, v_{j + l}, v_{j -1}) </tex> и существую ребра (<tex>v_j, v_k</tex>) и (<tex>v_{j+1}, v_{k-l+3}</tex>). Длина цикла равна <tex> len((v_{k - l + 3}, v_{k - l + 4}, v_{k})) + 3 = k - (k - l + 3) + 3 = l - 3 + 3 = l </tex>.
*Рассмотрим второй случай, когда <tex> v_k </tex> лежит на дуге <tex> (v_{j + 2}, v_{j + 3}, v_{j + l - 2}) </tex> и существуют ребра (<tex>v_j, v_k</tex>) и (<tex>v_{j+1}, v_{k-l+1}</tex>). Тогда длина цикла равна <tex> len((v_{k}, v_{k - 1}, v_{k - l + 1})) - 1 + 2 = k - (k - l + 1) - 1 + 2 = l - 1 - 1 + 2 = l </tex>.
Значит в <tex> G </tex> может входить максимум одно ребро из таких пар. Тогда можно утверждать, что <tex> deg(v_j) + deg(v_{j + 1}) \leqslant n </tex>.

Докажем методом от противного, что <tex> n </tex> {{---}} четно.
*Пусть <tex> n </tex> является нечетным, тогда из рассуждений выше существует вершина <tex> v_x </tex>, для которое верно, что <tex> deg(v_x) \leqslant \genfrac{}{}{}{0}{n-1}{2} </tex>.
**Пусть это не так, тогда <tex> \forall i, 1 \leqslant i \leqslant n : deg(v_i) \geqslant \genfrac{}{}{}{0}{n-1}{2} + 1 = \genfrac{}{}{}{0}{n+1}{2} </tex>, значит <tex> \forall j, 1 \leqslant j \leqslant n : deg(v_j) + deg(v_{j+1}) \geqslant \genfrac{}{}{}{0}{n+1}{2} + \genfrac{}{}{}{0}{n+1}{2} = n + 1 </tex>, то есть мы получили противоречие с тем, что <tex> deg(v_j) + deg(v_{j + 1}) \leqslant n </tex>.
*Без потери общности пусть <tex> v_x = v_n </tex>. Рассмотрим <tex> 2|E| = \sum\limits_{i=1}^n deg(v_i) = \sum\limits_{i=1}^{\genfrac{}{}{}{}{n - 1}{2}} (deg(v_{2i-1}) + deg(v_{2i})) + deg(v_n) \leqslant \genfrac{}{}{}{0}{n(n-1)}{2} + </tex> <tex> \genfrac{}{}{}{0}{n-1}{2} < \genfrac{}{}{}{0}{n^2}{2} </tex>, то есть <tex> |E| < \genfrac{}{}{}{0}{n^2}{4} </tex>, но по условию <tex> |E| \geqslant \genfrac{}{}{}{0}{n^2}{4} </tex> {{---}} получили противоречие.
Таким образом <tex> n </tex> является четным. Тогда верно, что <tex> 2|E| \leqslant \sum\limits_{i=1}^n deg(v_i) = \sum\limits_{i=1}^{\genfrac{}{}{}{}{n}{2}} (deg(v_{2i-1}) + deg(v_{2i})) \leqslant \genfrac{}{}{}{0}{n^2}{2} </tex>, а так как по условию <tex> |E| \geqslant \genfrac{}{}{}{0}{n^2}{4} </tex>, то <tex> |E| = \genfrac{}{}{}{0}{n^2}{4} </tex>. Данное равенство достигается, если верно, что:

[[Файл:Circle 3.jpg|800px|right|thumb|Слева направо изображены случаи 1-3. Красным выделены ребра, которые не могут быть в рассматриваемом графе, если в нем присутствуют ребра, выделенные зеленым]]

*<tex> v_k </tex> лежит на дуге <tex> (v_{j + l - 1}, v_{j + l}, v_{j - 1}) </tex>: <tex> (v_j, v_k) \in E </tex> и <tex>(v_{j+1}, v_{k-l+3}) \notin E </tex>

*<tex> v_k </tex> лежит на дуге <tex> (v_{j + 2}, v_{j + 3}, v_{j + l - 2}) </tex>: <tex>(v_j, v_k) \in E </tex> и <tex>(v_{j+1}, v_{k-l+1}) \notin E </tex>

Пусть <tex> G </tex> не <tex>K_{\genfrac{}{}{}{}{n}{2}, \genfrac{}{}{}{}{n}{2}}</tex>, тогда существует такое четное число <tex> k </tex>, что в графе <tex> G </tex> существует ребро <tex> (v_j, v_{j+k}) </tex>, то есть существует цикл нечетной длины. Докажем, что в таком случае существует ребро <tex> (v_j, v_{j+2}) \in E </tex>. Пусть это не так и минимальное четное <tex> k </tex>, что <tex> \exists (v_j, v_{j+k}) \in E </tex> больше двух, то есть <tex> k \geqslant 4 </tex>. Тогда существует три случая:

# <tex> 4 \leqslant k \leqslant n - l </tex> <tex> (v_j, v_{j+k}) \in E \Rightarrow (v_{j+1}, v_{j+k+l-3}) \notin E \Rightarrow (v_{j+2}, v_{j+k}) \in E </tex> <tex> \exists l = k-2 : (v_i, v_{i+l}) \in E </tex> {{---}} противоречие с минимальностью <tex> k </tex>
# <tex> n - l + 2 \leqslant k \leqslant 2n - 2l </tex> <tex> (v_j, v_{j+k}) \in E \Rightarrow (v_{j-1}, v_{j+k+l-1}) \notin E \Rightarrow (v_{j-2}, v_{j+k+2l-4}) \in E </tex> однако <tex> 2n - k - 2l + 2 \leqslant k - 2 </tex> {{---}} противоречие с минимальностью <tex> k </tex>
# <tex> 2n - 2l + 2 \leqslant k \leqslant n - 2 </tex> <tex> (v_j, v_{j+k}) \in E \Rightarrow (v_{j-1}, v_{j+k+l-1}) \notin E \Rightarrow (v_{j-2}, v_{j+k+2l-2}) \in E </tex> однако <tex> k + 2l - 2n \leqslant k - 2 </tex> {{---}} снова проиворечие с минимальностью выбранного k

Таким образом, в <tex> G </tex> существует ребро <tex> (v_j, v_{j+2}) </tex>, но тогда <tex> (v_j, v_{j+l}) \notin E </tex>, а следовательно <tex> (v_{j+1}, v_{j+3}) \in E </tex>. Если продолжить по всему графу, то получим, что <tex> \forall j : (v_j, v_{j+2}) \in E </tex> и, как следствие, <tex> G </tex> {{---}} панциклический.

}}

=== Следствие ===
{{Утверждение
|id = statement
|statement = Пусть <tex>G(V, E), |V| = n , |E| = m, \forall (u, v) \notin E : deg(u) + deg(v) \geqslant n </tex>
Тогда верно одно из двух утверждений:
#<tex> G </tex> {{---}} панциклический граф
#<tex> G </tex> = <tex>K_{\genfrac{}{}{}{}{n}{2}, \genfrac{}{}{}{}{n}{2}}</tex>
|proof=По [[Теорема Оре|теореме Оре]] <tex> G </tex> {{---}} гамильтонов граф. Покажем, что <tex> m \geqslant \genfrac{}{}{}{0}{n^2}{4} </tex>. Пусть <tex> k </tex> {{---}} минимальная степень вершины в графе.
# <tex> k \geqslant \genfrac{}{}{}{}{n}{2} </tex>, тогда <tex> 2m = \sum\limits_{i=1}^n deg(v_i) >= \sum\limits_{i=1}^n k = k n \geqslant \genfrac{}{}{}{0}{n^2}{2} </tex>
# <tex> k < \genfrac{}{}{}{}{n}{2} </tex>. Пусть существует <tex> x </tex> вершин, так что их степени равны <tex> k </tex>, тогда они все должны быть связаны, так как иначе мы получим противоречие с утверждением теоремы <tex> \forall (u, v) \notin E : deg(u) + deg(v) \geqslant n </tex>. Понятно, что <tex> x \leqslant k + 1 </tex>, но так как граф является гамильтоновым, то он связен, а значит <tex> x < k + 1 </tex>. Несложно заметить, что если из всех <tex> x </tex> вершин степени <tex> k </tex> провести оставшиеся ребра в одну вершину, у которой степень больше, то в графе остенется как минимум <tex> n - k - 1 </tex> вершин, степени которых как минимум <tex> n - k </tex>, поскольку должно выполняться неравенство из теоермы. Тогда можно оценить количество ребер. <tex> m \geqslant \genfrac{}{}{}{0}{1}{2}((n-k-1)(n-k)+k^2+(k+1)) = \genfrac{}{}{}{0}{1}{2}(n^2 - n(2k + 1) + 2k^2 + 2k + 1) \geqslant \genfrac{}{}{}{0}{n^2+1}{4} </tex>

Таким образом <tex> m \geqslant \genfrac{}{}{}{0}{n^2}{4} </tex> и согласно теореме граф либо панциклический, либо <tex>K_{\genfrac{}{}{}{}{n}{2}, \genfrac{}{}{}{}{n}{2}}</tex>.
}}

==См. также==
* [[Теорема Оре|Теорема Оре]]
* [[Гамильтоновы графы|Гамильтоновы графы]]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Обходы графов]]

== Источники информации ==
* [https://ac.els-cdn.com/0095895671900165/1-s2.0-0095895671900165-main.pdf?_tid=6388217a-d131-11e7-9e9c-00000aab0f02&acdnat=1511539751_317a50813ff61926478abcae5f032887 J.A. Bondy {{---}} Pancyclic Graphs I*]
* [https://logic.pdmi.ras.ru/~dvk/graphs_dk.pdf Д.В. Карпов {{---}} Теория графов.]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Панциклический граф