Centroid decomposition

2022-03-19T14:13:09Z

46.232.216.122: Исправлена ошибка в реализации

Центроидная декомпозиция (англ. ''centroid decomposition'') {{---}} это структура данных, позволяющая отвечать на запросы на дереве. Чаще всего это запросы, связанные с нахождением функции на вершинах, связанных неравенством на расстояние между ними в дереве. Также иногда применяется для запросов на путях в дереве.

== Введение ==
Рассмотрим <math>2</math> задачи на обычном массиве (в дальнейшем мы будем их обобщать на случай дерева):

Задача <math>1</math>:
{{Задача
|definition = Есть массив <tex>a</tex> положительных целых чисел из <tex>n</tex> элементов. Также дано число <tex>W \geqslant 0</tex> и число <tex>l</tex>. Требуется найти количество пар <tex>(i, j)</tex> индексов массива, таких что <tex>|j - i| \leqslant l </tex> и <tex>\sum\limits_{k=i}^{j} a_k \leqslant W</tex>.
}}
Задача <math>2</math>:
{{Задача
|definition = Есть прямая дорога, на которой расположены <tex>n</tex> городов. В некоторых городах есть госпитали, которые могут принимать больных. Поступают запросы вида:
* дан город <tex>v</tex>, в котором находится больной и требуется найти такой город <tex>u</tex>, который может принимать больных и <tex>|u - v|</tex> минимально возможное.
* дан город <tex>v</tex> и сказано, что больше он не будет принимать больных
* дан город <tex>v</tex> и сказано, что теперь он может принимать больных
}}
Для начала решим обе задачи.
Первая задача решается методом [[Сортировка_слиянием|«разделяй и властвуй»]] {{---}} давайте разделим массив <tex>a[0 \dots n-1]</tex> на 2 массива <tex>a[0\dots\dfrac{n}{2} - 1]</tex> и <tex>a[\dfrac{n}{2} \dots n-1]</tex> и рекурсивно решим задачу для каждого из них. Осталось научиться находить количество искомых пар <tex>(i, j)</tex>, таких что <tex>i < \dfrac{n}{2},\text{ }j \geqslant \dfrac{n}{2}</tex>. Для этого воспользуемся другой известной техникой {{---}} методом двух указателей. Посчитаем массив префиксных сумм для правой половины <tex>pref[i] = \sum\limits_{j=\frac{n}{2}}^{i} a_j</tex> и суффиксных <tex>(suf[i] = \sum\limits_{j=i}^{\frac{n}{2} + 1} a_j)</tex> {{---}} для левой. Заведем два указателя <tex>(p_1</tex> и <tex>p_2)</tex>. Изначально установим <tex>p_1 = \dfrac{n}{2} - l + 1,\text{ }p_2 = \dfrac{n}{2}</tex>. Пока <tex>p_2 - 1> \dfrac{n}{2}</tex> и

<tex>pref[p_2] + suf[p_1] > W </tex> будем уменьшать <math>p_2</math> на <math>1</math>. Если после этого <math>pref[p_2] + suf[p_1] \leqslant W</math>, то к ответу прибавим <math>(p_2 - \dfrac{n}{2} + 1) \cdot (\dfrac{n}{2} - p_1)</math>, после чего увеличим <math>p_1</math> на <math>1</math>. Так будем делать, пока <math>p_1 < \dfrac{n}{2}</math>. В конце сложим текущий ответ и ответы для половин массива {{---}} получим ответ на задачу. Время работы такого алгоритма: <tex>T(n) = 2 \cdot T(n / 2) + O(n) = O(n*log(n))</tex>

Вторая задача имеет запросы на изменение и поэтому надо применить динамическую версию «разделяй и властвуй» {{---}} [[Дерево_отрезков._Построение|дерево отрезков]]. Построим дерево отрезков,
поддерживающее 2 вида запросов: присвоение в точке и минимум на отрезке. Изначально сделаем так, чтобы дереву отрезков соответствовал массив <math>b</math>, такой что <tex>b_i = 0</tex>, если в <math>i</math>-м городе принимает госпиталь и <tex>b_i = 1</tex> иначе. Когда в каком-то городе открывается/закрывается госпиталь {{---}} делаем запрос на изменение в дереве отрезков. Когда требуется узнать ближайший госпиталь к <math>i</math>-му городу, можно воспользоваться одной из следующих идей:
* <tex>(O(n \cdot log^2(n))</tex> Бинарным поиском ищем ближайший слева и ближайший справа к <math>i</math>-му городу госпиталь (такой город <math>j</math>, что <tex>\min\limits_{k=i..j}b_k= 1)</tex>. Для этого внутри бинарного поиска каждый раз делаем запрос на поиск минимума в дереве отрезков.
* <tex>(O(n \cdot \log(n))</tex> Будем одним спуском/подъемом по дереву определять, куда нам нужно идти (в левое или правое поддерево), тем самым делая одновременно и бинарный поиск, и спуск/подъем по дереву.

== Статическая центроидная декомпозиция ==
Перейдем к обобщению поставленных задач на случай дерева.
{{Задача
|definition = Есть взвешенное дерево <tex>t</tex> из <tex>n</tex> вершин, в каждой вершине которого написаны положительные целые числа. Также по-прежнему даны числа <tex>W \geqslant 0</tex> и <tex>l</tex>. Требуется найти количество пар <tex>(i, j)</tex> вершин дерева, таких что расстояние между ними не превосходит <math>l</math> по числу ребер и не превосходит <math>W</math> по сумме весов<ref>[http://neerc.ifmo.ru/school/camp-2016/problems/20160324a1.pdf Сайт с задачами Санкт-Петербургских сборов к РОИ 2016]</ref>.
}}

Для решения новой задачи применим ту же идею, что и была до этого {{---}} «разделяй и властвуй». Для этого нам потребуется следующий объект:

{{Определение
|id=191213
|definition =
'''Центроидом дерева''' (англ. ''centroid'') называется такая вершина <math>v</math> дерева <math>t</math>, после удаления которой дерево разбивается на несколько <math>(k)</math> поддеревьев <tex>t_1, t_2,\dots, t_k</tex>, таких что для каждого <math>i</math>: <tex>|t_i| \leqslant \dfrac{n}{2}</tex>, то есть размер каждого поддерева не превосходит половины размера исходного дерева.
}}
Итак, в случае дерева идея «разделяй и властвуй» из предыдущего пункта будет формулироваться так: [[#l1|найдем центроид]]. Предположим, что мы сумели найти центроид за <math>O(n)</math>, где <math>n</math> {{---}} размер дерева. Тогда, как и в упрощенной версии задачи {{---}} рекурсивно найдем ответ для всех поддеревьев <tex>t_1, t_2,\dots, t_k</tex>, после чего попытаемся найти недостающие пары вершин, находящиеся в разных поддеревьях и удовлетворяющих вопросу задачи. Для этого будем отвечать на следующие запросы: пусть мы сейчас считаем все пары, где первая из вершин находится в поддереве <math>t_i</math> и мы в некоторой структуре данных <math>S</math> храним все вершины остальных деревьев (каждую вершину задаем парой <math>(depth(v), length(v))</math> {{---}} глубина вершины и длина пути до нее из корня поддерева), расстояние до которых от корня их поддерева не превышает <math>min(l, n)</math>. Тогда просто пройдемся по всем вершинам <math>u</math> поддерева <math>t_i</math> и прибавим к ответу число вершин в структуре <math>S</math>, таких, что <tex>depth(u) \leqslant l - depth(v)</tex> и <tex>length(u) \leqslant l - length(v)</tex>. Это двумерные запросы, на которые можно отвечать за <math>O(log^2(n)</math> с помощью [[Многомерное_дерево_отрезков|2d-дерева отрезков]], либо за <math>O(\log(n))</math> с помощью [[Перечисление_точек_в_произвольном_прямоугольнике_за_n_*_log_%5E(d_-_1)_n_(range_tree)|техники поиска точек в d-мерном пространстве]]. Также читателю предлагается придумать и более эффективные и простые способы решить эту подзадачу.

Оценим итоговое время работы алгоритма: <tex>T(n) = k \cdot T(n / k) + O(n \cdot \log(n))</tex>. Решая это рекуррентное соотношение, получим <math>O(n \cdot \log(n))</math>.

Теперь докажем лемму о существовании центроида и опишем алгоритм его эффективного поиска.

=== Лемма о существовании центроида и алгоритм его нахождения. ===
{{Лемма|id=l1
|statement=
В любом дереве <math>t</math> существует центроид.
|proof=
Рассмотрим корень дерева <math>(r)</math>. Положим изначально <math>v = r</math>. Изначально <math>|subtree(v)| = n</math>. Среди всех детей <math>v</math> выберем вершину <math>u</math> с максимальным размером поддерева. Если <math>v</math> {{---}} не центроид, то положим <math>v = u</math> и продолжим выбор нового <math>u</math>, иначе {{---}} остановимся. Докажем, что мы в какой-то момент остановимся. Пусть в произвольный момент времени <math>v</math> {{---}} не центроид и размер её наддерева меньше <math>\dfrac{n}{2}</math>, значит максимальное поддерево имеет размер больше чем <math>\dfrac{n}{2}</math>, то есть <math>|subtree(u)| > \dfrac{n}{2}</math>, а значит размер "наддерева" вершины <math>u</math> равен <tex>n - |subtree(u)| < \dfrac{n}{2}</tex>. При этом теперь размер любого поддерева, на которое распадется дерево t при удалении вершины <math>u</math> не превосходит <math>|subtree(u)| - 1</math>, так как наддерево имеет размер меньше, чем поддерево <math>u</math>, а любое поддерево вершины <math>u</math> имеет хотя бы на <math>1</math> вершину меньше (сама вершина <math>u)</math>. По индукции получаем, что в любой момент времени размер наддерева вершины <math>v</math> меньше <math>\dfrac{n}{2}</math>, значит мы будем спускаться только вниз по дереву <math>t</math>, и при переходе к вершине <math>u</math> {{---}} сыну <math>v</math> размер максимального поддерева уменьшится как минимум на <math>1</math>. Значит не более чем за <math>n</math> шагов наши действия прекратятся и мы окажемся в центроиде дерева <math>t</math>.
Итак, мы конструктивно доказали существование центроида и привели линейный относительно размера дерева алгоритм его нахождения.
}}

=== Реализация ===

Поиск центроида в дереве:

'''int''' <tex>\mathtt{findCentroid}</tex>('''int[]''' children[n], '''int''' v, '''int[]''' sz, '''int''' tree_size)
max_subtree = -1
'''for''' u : children(v)
'''if''' sz[u] > tree_size / 2 '''and''' sz[u] > sz[max_subtree] // считаем sz[-1] = 0 
max_subtree = u
'''if''' max_subtree == -1
return v
'''else'''
'''return''' <tex>\mathtt{findCentroid}</tex>(children, max_subtree, sz, tree_size)

Шаблон решения произвольной задачи на статическую центроидную декомпозицию:

<tex>\mathtt{solve}</tex>('''int[]''' children[n], '''int''' v, '''int[]''' sz)
c = <tex>\mathtt{findCentroid}</tex>(children, max_subtree, sz, sz[v]) // находим c {{---}} центроид поддерева вершины v 
ch = children[c]
<tex>\mathtt{deleteEdges}</tex>(c, children) // удаляем все ребра между вершиной с и детьми, чтобы мы не смогли из детей попасть в с.
Это полезно делать, если решение подзадачи для поддерева предполагает проход <math>dfs</math> 
'''for''' c2 : ch[c]
<tex>\mathtt{solve}</tex>(children, c2, sz)
<tex>\mathtt{mergeSolution}</tex>(children, c2) // решаем для текущего поддерева 

== Динамическая центроидная декомпозиция (дерево центроидной декомпозиции) ==
Теперь вернемся ко второй задаче введения. Для ее решения мы пользовались динамичекой версией «разделяй и властвуй» {{---}} деревом отрезков. В предыдущем пункте мы определили статический аналог «разделяй и властвуй» для дерева. Теперь обобщим этот метод для динамических задач.
{{Определение
|definition=
'''Деревом центроидов''' (или центроидной декомпозицией, англ. ''centroid decomposition tree'') дерева <math>t</math> называют дерево <math>T(t)</math>, построенное на вершинах дерева <math>t</math> следующим образом:
* Пусть вершина <math>c</math> {{---}} центроид дерева <math>t</math>. Объявим его корнем нового дерева <math>T</math>.
* Пусть при удалении вершины <math>c</math> из дерева <math>t</math> оно распалось на поддеревья <tex>t_1, t_2,\dots, t_k</tex>, тогда детьми вершины c объявим <tex>T(t_1), T(t_2),\dots, T(t_k)</tex>.
}}
=== Свойства центроидной декомпозиции ===
{{Лемма
|statement=
'''Свойства центроидной декомпозиции''':
# Глубина дерева центроидов не превосходит <tex>\\log(n)</tex>.
# Каждая вершина <math>v</math> дерева <math>t</math> является центроидом одного из поддеревьев дерева <math>t</math>
# Каждая вершина дерева <math>t</math> принадлежит <math>O(\log(n))</math> поддеревьям дерева <math>T</math> (еще говорят, что вершина принадлежит <math>O(\log(n))</math> центроидам дерева <math>t</math>, или что эти центроиды содержат вершину)
# Для любых вершин <tex>u, v \in T (u \neq v)</tex> верно ровно одно из следующих трех утверждений:
#*<tex>T(v) \subset T(u)</tex>
#* <tex>T(u) \subset T(v)</tex>
#* <tex>T(u) \cap T(v) = \emptyset </tex>
# Простой путь между любой парой вершин <math>u, v</math> в дереве <math>t</math> содержит центроид <tex>c \in T(t)</tex>, такой что <tex>u, v \in T(c)</tex>.
|proof=
# Действительно, так как размер поддерева <math>s</math> каждой вершины <math>c</math> дереве <math>T</math> не превосходит <tex>\dfrac{|subtree(c)|}{2}</tex>, то при спуске в каждую следующую вершину на пути к любому листу в дереве <math>T</math> размер поддерева вершины, в которой мы сейчас находимся, уменьшается как минимум на <math>2</math>. Значит длина всего пути до листа не превосходит <math>\log(n)</math>.
# Второе свойство очевидно из построения дерева <math>T</math>, так как если вершина принадлежит дереву центроидов <math>T</math>, то она является центроидом, а из построения <math>T</math> мы знаем, что каждая вершина исходного дерева принадлежит и дереву <math>T</math>.
# Третье свойство {{---}} прямое следствие первых двух, так как вершина принадлежит любому центроиду <math>c</math> т.и т.т., когда <math>c</math> {{---}} отец вершины <math>v</math> в дереве центроидов. Так как вершина <math>v</math> точно принадлежит дереву <math>T</math> (свойство <math>2</math>), то она лежит на каком-то пути в дереве <math>T</math>, причем все ее родители (центроиды) ее содержат. А по свойству <math>1</math> длина любого вертикального (и даже простого) пути есть <math>O(\log(n))</math>.
# Четвертое свойство очевидно из того, что <math>T</math> {{---}} дерево. Так как <math>T(u)</math> и <math>T(v)</math> {{---}} поддеревья различных вершин дерева <math>T</math>, то либо они не пересекаются, либо <math>u</math> {{---}} предок <math>v</math>, и значит <tex>T(v) \subset T(u)</tex>, либо <math>v</math> {{---}} предок <math>u</math>, и значит <tex>T(u) \subset T(v)</tex>.
# Для доказательства последнего свойства в качестве вершины <math>c</math> выберем <math>lca(u, v)</math> в дереве центроидов <math>T</math>. Покажем, что так выбранная вершина <math>c</math> удовлетворяет заявленным свойствам. То, что <tex>u, v \in T(c)</tex> {{---}} очевидно по определению <math>lca</math>, так как каждый предок любой вершины в дереве центроидов содержит эту вершину. Теперь докажем, что <math>c</math> лежит на пути между парой вершин <math>u, v</math>. Так как <math>c = lca(u, v)</math> в <math>T</math>, то из <math>c</math> нет ребра в такого сына, который содержит одновременно <math>u</math> и <math>v</math> в своем поддереве (в дереве <math>T)</math>, значит после удаления <math>c</math> дерево <math>t</math> разделится на несколько поддеревьев, таких что вершины <math>u</math> и <math>v</math> окажутся в разных компонентах связности. А значит найдется такое ребро <math>(c, x)</math>, которое принадлежало пути из <math>u</math> в <math>v</math>, но после удаления <math>c</math> удалилось. Это доказывает то, что вершина <math>c</math> лежала на пути из <math>u</math> в <math>v</math>.
}}

С помощью описанных свойств дерева <math>T</math> мы можем решить задачу <math>2</math> для дерева:

=== Пример решения задачи с помощью центроидной декомпозиции ===
{{Задача
|definition = Есть дерево <math>t</math> из <math>n</math> вершин. В каждый момент времени любая вершина дерева может быть либо помечена, либо нет. Изначально помечена только вершина номер <math>0</math>. Дан список из <math>m</math> запросов:
* Вершину <math>v</math> пометили.
* С вершины <math>v</math> сняли пометку.
* Найти номер ближайшей к <math>v</math> помеченной вершины<ref>[http://neerc.ifmo.ru/school/camp-2016/problems/20160324a1.pdf Сайт с задачами Санкт-Петербургских сборов к РОИ 2016]</ref>.
}}

==== Решение ====

Построим центроидную декомпозицию <math>T</math> дерева <math>t</math>. Изначально посчитаем для каждого центроида, содержащего вершину <math>0</math> посчитаем расстояние до вершины <math>0</math>. Для этого воспользуемся [[Метод_двоичного_подъема|методом двоичных подъемов для поиска lca пары вершин в дереве]], а также тем фактом, что если глубина <math>h(v)</math> вершины <math>v</math> в дереве определена как расстояние от корня до вершины <math>v</math>, то длина пути между парой вершин <math>(u, v)</math> есть <tex>len(u, v) = h(u) + h(v) - 2 \cdot h(lca(u, v))</tex>. Если изначально предпосчитать проходом [[Обход_в_глубину,_цвета_вершин| <math>dfs</math>]] величины <math>h(v)</math> за <math>O(n)</math>, то ответ на запрос <math>len(u, v)</math> можно делать за время <math>O(\log(n))</math> с <tex>O(n \cdot \log(n)) </tex>доп. памятью. Также можно воспользоваться техникой [[Сведение_задачи_LCA_к_задаче_RMQ|сведения задачи LCA к RMQ]] и решить с <math>O(n)</math> дополнительной памятью и <math>O(1)</math> времени на запрос. Теперь научимся отвечать на запросы. Из последнего свойства центроидной декомпозиции видно, что если <math>u</math> {{---}} искомая ближайшая помеченная вершина к <math>v</math>, то путь между ними содержит центроид <math>c</math>, такой что <tex>u, v \in T(c)</tex>, причем <math>c</math> {{---}} предок одновременно вершин <math>u, v</math> в дереве<math>T</math>. Поэтому заведем [[Красно-черное_дерево|двоичное дерево поиска]] для каждого центроида <math>c \in T</math>. В этой структуре для каждой вершины <math>c</math> будем хранить пары <math>(len(c, u), u)</math> для всех помеченных вершин <math>u</math> в поддереве центроидов <math>T(c)</math>. Когда приходит запрос пометить вершину <math>v</math> {{---}} добавим в структуру данных для всех предков <math>p_c</math> вершины <math>v</math> в дереве <math>T</math> пары <math>(len(p_c, v), v)</math>. Мы совершим <math>O(\log(n))</math> добавлений, затратив <math>O(\log(n))</math> действий на каждое. Запрос снятия пометки с вершины обрабатывается аналогичными удалениями. Запрос поиска ближайшей к <math>v</math> помеченной вершины {{---}} это запрос поиска вершины <math>u</math>, такой что величина <math>len(c, u) + len(c, v)</math> минимальна, где <math>c</math> {{---}} предок <math>v</math> в дереве центроидов (по пятому свойству, нас интересуют именно такие <math>c)</math>. Этот запрос занимает так же <tex>O(log^2(n))</tex> времени.

Итак, мы научились решать задачу с <math>O(n)</math> дополнительной памятью и временной сложностью <math>O(log^2(n))</math> на запрос любого типа с предварительным предпосчетом за <math>O(n)</math>.

== Варианты хранения центроидной декомпозиции ==
Для хранения дерева центроидов <math>T</math> есть <math>2</math> подхода, имеющих свои преимущества и недостатки:
* Для каждой вершины <math>v</math> исходного дерева запомним величину <math>p_v</math> {{---}} номер предка вершины <math>v</math> в дереве <math>T</math>.

Этот подход наиболее экономный по памяти <math>(O(n))</math>, но уступает в скорости и функциональности.

* Для каждой вершины <math>v</math> исходного дерева будем хранить весь массив предков <math>p[v]</math> в дереве центроидов.

Этот подход уступает в количестве необходимой дополнительной памяти <tex>(O(n \cdot \log(n))</tex> суммарно), но имеет ряд преимуществ:

#При проходе по массиву предков фиксированной вершины будет выигрыш в скорости работы, так как весь массив будет лежать непрерывным блоком данных и следовательно будет закэширован
# На массиве предков можно строить различные структуры данных (такие как, например, дерево отрезков) для быстрого (в случае с деревом отрезков <math>O(log(\log(n)))</math> на запрос) поиска предка с необходимыми свойствами. Так, например, в описанной выше задаче про помеченные вершины наибольшего общего предка можно искать методом двоичных подъемов за <math>O(\log(\log(n))</math> на запрос, так как размер массива предков есть <math>O(\log(n))</math> (по свойству <math>1</math> центроидной декомпозиции). Используя эту оптимизацию можно получить время <math>O(\log(n)) + O(\log(\log(n)) = O(\log(n))</math> на запрос нахождения ближайшей помеченной вершины. Чтобы добиться улучшенной асимптотики для запросов изменения можно хранить дерево отрезков на каждом из путей <math>p[v]</math>, в каждой вершине которого хранить двоичное дерево поиска и поддерживать отложенные операции. Тогда ответ на эти запросы будет занимать <math>O(\log(n) \cdot \log(\log(n))</math> времени.

==См. также==

*[[:Дерево_отрезков._Построение|Дерево отрезков]]
*[[:Heavy-light_декомпозиция|Heavy-light декомпозиция]]
*[[:Метод_двоичного_подъема| Метод двоичного подъема]]

== Примечания ==
<references/>

==Источники информации==
* [https://threads-iiith.quora.com/Centroid-Decomposition-of-a-Tree Quora {{---}} Centroid Decomposition of a Tree]
* [http://acm.math.spbu.ru/~sk1/mm/lections/zksh2016-centroid/conspect.pdf ЗКШ {{---}} Конспект лекции про центроидную декомпозицию]
* [https://neerc.ifmo.ru/school/archive/2014-2015/ru-olymp-roi-2015-analysis.pdf Разбор задач РОИ 2015]

[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Centroid decomposition