Обход в глубину, цвета вершин

2018-06-19T18:45:38Z

46.242.14.123: /* Реализация */

'''Обход в глубину''' (поиск в глубину, англ. ''Depth-First Search'', ''DFS'') — один из основных методов обхода [[Основные определения теории графов|графа]], часто используемый для [[Использование обхода в глубину для проверки связности|проверки связности]], поиска [[Использование обхода в глубину для поиска цикла в ориентированном графе|цикла]] и [[Использование обхода в глубину для поиска компонент сильной связности|компонент сильной связности]] и для [[Использование обхода в глубину для топологической сортировки|топологической сортировки]].

== Алгоритм ==

=== Общая идея ===
Общая идея алгоритма состоит в следующем: для каждой ''не пройденной'' [[Основные определения теории графов|вершины]] необходимо найти все ''не пройденные'' [[Основные определения теории графов|смежные вершины]] и повторить поиск для них.

=== Пошаговое представление ===
#Выбираем любую вершину из еще ''не пройденных'', обозначим ее как <tex>u</tex>.
#Запускаем процедуру <tex>\mathrm{dfs(u)}</tex>
#*Помечаем вершину <tex>u</tex> как ''пройденную''
#*Для каждой ''не пройденной'' смежной с <tex>u</tex> вершиной (назовем ее <tex>v</tex>) запускаем <tex>\mathrm{dfs(v)}</tex>
#Повторяем шаги 1 и 2, пока все вершины не окажутся ''пройденными''.

=== Реализация ===
В массиве <tex>\mathrm{visited[]}</tex> хранится информация о ''пройденных'' и ''не пройденных'' вершинах.

'''function''' doDfs(G[n]: '''Graph'''): // функция принимает граф G с количеством вершин n и выполняет обход в глубину во всем графе 
visited = array[n, ''false''] // создаём массив посещённых вершины длины n, заполненный ''false'' изначально

'''function''' dfs(u: '''int'''):
visited[u] = ''true''
'''for''' v: (u, v) '''in''' G
'''if''' '''not''' visited[v]
dfs(v)

'''for''' i = 1 '''to''' n
'''if''' '''not''' visited[i]
dfs(i)

=== Время работы ===
Оценим время работы обхода в глубину. Процедура <tex>\mathrm{dfs}</tex> вызывается от каждой вершины не более одного раза, а внутри процедуры рассматриваются все такие [[Основные определения теории графов|ребра]] <tex>\{e\ |\ \mathrm{begin(e)} = u\}</tex>. Всего таких ребер для всех вершин в графе <tex>O(E)</tex>, следовательно, время работы алгоритма оценивается как <tex>O(V+E)</tex>.

== Цвета вершин ==
Зачастую, простой информации "были/не были в вершине" не хватает для конкретных целей.

Поэтому в процессе алгоритма вершинам задают некоторые цвета:

*если вершина ''белая'', значит, мы в ней еще не были, вершина ''не пройдена'';
*''серая'' — вершина ''проходится'' в текущей процедуре <tex>\mathrm{dfs}</tex>;
*''черная'' — вершина ''пройдена'', все итерации <tex>\mathrm{dfs}</tex> от нее завершены.

Такие "метки" в основном используются при [[Использование обхода в глубину для поиска цикла в ориентированном графе|поиске цикла]].

=== Реализация ===
Отличие реализации с цветами от предыдущей лишь в массиве <tex>\mathrm{visited[]}</tex>, который мы назовем теперь <tex>\mathrm{color[]}</tex>. В нем будет хранится информация о цветах вершин.

'''function''' doDfs(G[n]: '''Graph'''): // функция принимает граф G с количеством вершин n и выполняет обход в глубину во всем графе 
color = array[n, ''white'']

'''function''' dfs(u: '''int'''):
color[u] = ''gray''
'''for''' v: (u, v) '''in''' G
'''if''' color[v] == ''white''
dfs(v)
color[u] = ''black''

'''for''' i = 1 '''to''' n
'''if''' color[i] == ''white''
dfs(i)

=== Пример ===
Рассмотрим, как будут изменяться цвета вершин при обходе в глубину данного графа.

{| style="background-color:#CCC;margin:0.5px;width:600px"
!style="background-color:#EEE"| Описание шага
!style="background-color:#EEE"| Состояние графа
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| В функции <tex>\mathrm{doDfs}</tex> присваиваем всем вершинам в массиве <tex>\mathrm{color[]}</tex> белый цвет. Затем проверяем, что первая вершина окрашена в белый цвет. Заходим в нее и раскрашиваем ее в серый цвет.
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| [[Файл:dfs1.png‎|150px|]]
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Пробуем пойти в вершину с номером 2. Проверяем, что она белая, и переходим в нее. Окрашиваем ее в серый цвет.
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| [[Файл:dfs2.png‎|150px|]]
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Пробуем пойти в вершину с номером 3. Проверяем, что она белая, и переходим в нее. Окрашиваем ее в серый цвет.
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| [[Файл:dfs3.png‎|150px|]]
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Проверяем, что из вершины с номером 3 не исходит ни одного ребра. Помечаем ее в черный цвет и возвращаемся в вершину с номером 2.
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| [[Файл:dfs4.png‎|150px|]]
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Пробуем пойти в вершину с номером 4. Проверяем, что она белая, и переходим в нее. Окрашиваем ее в серый цвет.
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| [[Файл:dfs5_6_7.png‎|150px|]]
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Пробуем пойти в вершину с номером 3. Видим, что она черного цвета, и остаемся на месте.
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| [[Файл:dfs5_6_7.png‎|150px|]]
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Пробуем пойти в вершину с номером 1. Видим, что она серого цвета, и остаемся на месте.
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| [[Файл:dfs5_6_7.png‎|150px|]]
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Из вершины с номером 4 больше нет исходящих ребер. Помечаем ее в черный цвет и возвращаемся в вершину с номером 2.
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| [[Файл:dfs8.png‎|150px|]]
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Из вершины с номером 2 больше нет исходящих ребер. Помечаем ее в черный цвет и возвращаемся в вершину с номером 1.
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| [[Файл:dfs9.png‎|150px|]]
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Из вершины с номером 1 больше нет исходящих ребер. Помечаем ее в черный цвет и выходим в программу <tex>\mathrm{doDfs}</tex>. В ней проверяем, что все вершины окрашены в черный цвет. Выходим из функции <tex>\mathrm{doDfs}</tex>. Алгоритм завершен.
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| [[Файл:dfs10.png‎|150px|]]
|}

== Дерево обхода в глубину ==
[[Image: Colors.png|thumb|240px|Типы ребер, определяемые деревом обхода: 
1) ребра дерева 
2) обратные ребра 
3) прямые ребра 
4) перекрестные ребра]]

Рассмотрим подграф предшествования обхода в глубину <tex>G_p = (V, E_p)</tex>, где <tex>E_p = \{(p[u], u) : u \in V,\ p[u] \neq NIL\}</tex>, где в свою очередь <tex>p[u]</tex> — вершина, от которой был вызван <tex>\mathrm{dfs(u)}\ </tex> (для вершин, от которых <tex>\mathrm{dfs}</tex> был вызван нерекурсивно это значение соответственно равно <tex>NIL</tex>). Подграф предшествования поиска в глубину образует ''лес обхода в глубину'', который состоит из нескольких ''деревьев обхода в глубину''. С помощью полученного леса можно классифицировать ребра графа <tex>G</tex>:
* ''Ребрами дерева'' назовем те ребра из <tex>G</tex>, которые вошли в <tex>G_p</tex>.
* Ребра <tex>(u, v)</tex>, соединяющие вершину <tex>u</tex> с её предком <tex>v</tex> в дереве обхода в глубину назовем ''обратными ребрами'' (для неориентированного графа предок должен быть ''не родителем'', так как иначе ребро будет являться ребром дерева).
* Ребра <tex>(u, v)</tex>, не являющиеся ребрами дерева и соединяющие вершину <tex>u</tex> с её потомком <tex>v</tex> в дереве обхода в глубину назовем ''прямыми ребрами'' (в неориентированном графе нет разницы между прямыми и обратными ребрами, поэтому все такие ребра считаются обратными).
* Все остальные ребра назовем ''перекрестными ребрами'' — такие ребра могут соединять вершины одного и того же дерева обхода в глубину, когда ни одна из вершин не является предком другой, или соединять вершины в разных деревьях.
Алгоритм <tex>\mathrm{dfs}</tex> можно модифицировать так, что он будет классифицировать встречающиеся при работе ребра. Ключевая идея состоит в том, что каждое ребро <tex>(u, v)</tex> можно классифицировать при помощи цвета вершины <tex>v</tex> при первом его исследовании, а именно:
* Белый цвет вершины <tex>v</tex> по определению <tex>\mathrm{dfs}</tex> говорит о том, что это ''ребро дерева''.
* Серый цвет в силу того, что серые вершины всегда образуют нисходящий путь в каком-либо из деревьев <tex>\mathrm{dfs}</tex> и встреченная вершина <tex>v</tex> лежит на нем выше вершины <tex>u</tex>, определяет ''обратное ребро'' (для неориентированного графа необходимо проверить условие <tex>v \neq p[u]</tex>).
* Черный цвет, соответственно, указывает на ''прямое'' или ''перекрестное ребро''.

== См. также ==
* [[Обход в ширину]]

== Источники информации ==
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/Поиск_в_глубину Википедия {{---}} Поиск в глубину]
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Depth-first_search Wikipedia {{---}} Depth-first search]
*[http://www.e-maxx.ru/algo/dfs Обход в глубину. Реализации.]
* Томас Кормен, Чарльз Лейзерсон, Рональд Ривест, Клиффорд Штайн. Алгоритмы: построение и анализ, второе издание. Пер. с англ. — Издательский дом "Вильямс", 2007. — 1296 с. — Глава 22. Элементарные алгоритмы для работы с графами.

[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Обход в глубину]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Обход в глубину, цвета вершин