Сортировка подсчётом

2018-06-15T12:19:17Z

5.18.215.129: /* Псевдокод */ C[j] изменил на C[number]

'''Сортировка подсчётом''' (англ. ''counting sort'') {{---}} алгоритм сортировки целых чисел в диапазоне от <tex>0</tex> до некоторой константы <tex>k</tex> или сложных объектов, работающий за линейное время.
== Сортировка целых чисел ==
Это простейший вариант алгоритма.
=== Описание ===
Исходная последовательность чисел длины <tex>n</tex>, а в конце отсортированная, хранится в массиве <tex>A</tex>. Также используется вспомогательный массив <tex>C</tex> с индексами от <tex>0</tex> до <tex>\mathrm k - 1</tex>, изначально заполняемый нулями.

* Последовательно пройдём по массиву <tex>A</tex> и запишем в <tex>C[i]</tex> количество чисел, равных <tex>i</tex>.

* Теперь достаточно пройти по массиву <tex>C</tex> и для каждого <tex>number \in \{0, ..., \mathrm k - 1\}</tex> в массив <tex>A</tex> последовательно записать число <tex>number\</tex> <tex> C[number]</tex> раз.

=== Псевдокод ===
<code>
'''function''' simpleCountingSort(A: '''int[n]'''):
'''for''' number = 0 '''to''' k - 1
C[number] = 0
'''for''' i = 0 '''to''' n - 1
C[A[i]] = C[A[i]] + 1;
pos = 0;
'''for''' number = 0 '''to''' k - 1
'''for''' i = 0 '''to''' C[number] - 1
A[pos] = number;
pos = pos + 1;
</code>

== Сортировка сложных объектов ==
Сортировка целых чисел за линейное время это хорошо, но недостаточно. Иногда бывает очень желательно применить быстрый алгоритм [[#Сортировка целых чисел|сортировки подсчетом]] для упорядочивания набора каких-либо "сложных" данных. Под "сложными объектами" здесь подразумеваются структуры, содержащие в себе несколько полей. Одно из них мы выделим и назовем ключом, сортировка будет идти именно по нему (предполагается, что значения, принимаемые ключом {{---}} целые числа в диапазоне от <tex>0</tex> до <tex>\mathrm k-1</tex>).

Мы не сможем использовать здесь в точности тот же алгоритм, что и для сортировки подсчетом обычных целых чисел, потому что в наборе могут быть различные структуры, имеющие одинаковые ключи. Существует два способа справиться с этой проблемой {{---}} использовать списки для хранения структур в отсортированном массиве или заранее посчитать количество структур с одинаковыми ключами для каждого значения ключа.

=== Описание ===
Исходная последовательность из <tex>n</tex> структур хранится в массиве <tex>A</tex>, а отсортированная {{---}} в массиве <tex>B</tex> того же размера. Кроме того, используется вспомогательный массив <tex>P</tex> с индексами от <tex>0</tex> до <tex>\mathrm k-1</tex>.

Идея алгоритма состоит в предварительном подсчете количества элементов с различными ключами в исходном массиве и разделении результирующего массива на части соответствующей длины (будем называть их блоками). Затем при повторном проходе исходного массива каждый его элемент копируется в специально отведенный его ключу блок, в первую свободную ячейку. Это осуществляется с помощью массива индексов <tex>P</tex>, в котором хранятся индексы начала блоков для различных ключей. <tex>P[key]</tex> {{---}} индекс в результирующем массиве, соответствующий первому элементу блока для ключа <tex>key</tex>.

* Пройдем по исходному массиву <tex>A</tex> и запишем в <tex>P[i]</tex> количество структур, ключ которых равен <tex>i</tex>.
[[Файл:Building_P.png]]

* Мысленно разобьем массив <tex>B</tex> на <tex>k</tex> блоков, длина каждого из которых равна соответственно <tex>P[0]</tex>, <tex>P[1]</tex>, ..., <tex>P[k]</tex>.
[[Файл:Splitting_B_w_colors.png]]

* Теперь массив <tex>P</tex> нам больше не нужен. Превратим его в массив, хранящий в <tex>P[i]</tex> сумму элементов от <tex>0</tex> до <tex>i-1</tex> старого массива <tex>P</tex>.
[[Файл:P_after_adding.png]]

* Теперь "сдвинем" массив <tex>P</tex> на элемент вперед: в новом массиве <tex>P[0] = 0</tex>, а для <tex>i > 0</tex> <tex>P[i] = P_{old}[i-1]</tex>, где <tex>P_{old}</tex> {{---}} старый массив <tex>P</tex>. <br> Это можно сделать за один проход по массиву <tex>P</tex>, причем одновременно с предыдущим шагом. <br> После этого действия в массиве <tex>P</tex> будут хранится индексы массива <tex>B</tex>. <tex>P[key]</tex> указывает на начало блока в <tex>B</tex>, соответствующего ключу <tex>key</tex>.
[[Файл:P_as_array_of_pointers.png]]

* Произведем саму сортировку. Еще раз пройдем по исходному массиву <tex>A</tex> и для всех <tex>i \in [0, n-1]</tex> будем помещать структуру <tex>A[i]</tex> в массив <tex>B</tex> на место <tex>P[A[i].key]</tex>, а затем увеличивать <tex>P[A[i].key]</tex> на <tex>1</tex>. Здесь <tex>A[i].key</tex> {{---}} это ключ структуры, находящейся в массиве <tex>A</tex> на <tex>i</tex>-том месте.
[[Файл:Sorting_A.png]]

Таким образом после завершения алгоритма в <tex>B</tex> будет содержаться исходная последовательность в отсортированном виде (так как блоки расположены по возрастанию соответствующих ключей).

Стоит также отметить, что эта сортировка является устойчивой, так как два элемента с одинаковыми ключами будут добавлены в том же порядке, в каком просматривались в исходном массиве <tex>A</tex>. Благодаря этому свойству существует [[цифровая сортировка]].

=== Псевдокод ===
Здесь <tex>A</tex> и <tex>B</tex> {{---}} массивы структур размера <tex>n</tex>, с индексами от <tex>0</tex> до <tex>n-1</tex>.
<tex>P</tex> {{---}} целочисленный массив размера <tex>k</tex>, с индексами от <tex>0</tex> до <tex>k-1</tex>, где <tex>k</tex> {{---}} количество различных ключей.
<code>
'''function''' complexCountingSort(A: '''int[n]''', B: '''int[n]'''):
'''for''' i = 0 '''to''' k - 1
P[i] = 0;
'''for''' i = 0 '''to''' length[A] - 1
P[A[i].key] = P[A[i].key] + 1;
carry = 0;
'''for''' i = 0 '''to''' k - 1
temporary = P[i];
P[i] = carry;
carry = carry + temporary;
'''for''' i = 0 '''to''' length[A] - 1
B[P[A[i].key]] = A[i];
P[A[i].key] = P[A[i].key] + 1;
</code>
Здесь шаги 3 и 4 из описания объединены в один цикл.
Обратите внимание, что в последнем цикле инструкцией
B[P[A[i].key]] = A[i];
копируется структура <tex>A[i]</tex> целиком, а не только её ключ.

== Анализ ==
В первом алгоритме первые два цикла работают за <tex>\Theta(k)</tex> и <tex>\Theta(n)</tex>, соответственно; двойной цикл за <tex>\Theta(n + k)</tex>. Алгоритм имеет линейную временную трудоёмкость <tex>\Theta(n + k)</tex>. Используемая дополнительная память равна <tex>\Theta(k)</tex>.

Второй алгоритм состоит из двух проходов по массиву <tex>A</tex> размера <tex>n</tex> и одного прохода по массиву <tex>P</tex> размера <tex>k</tex>.
Его трудоемкость, таким образом, равна <tex>\Theta(n + k)</tex>. На практике сортировку подсчетом имеет смысл применять, если <tex>k = O(n)</tex>, поэтому можно считать время работы алгоритма равным <tex>\Theta(n)</tex>. <br>
Как и в обычной сортировке подсчетом, требуется <tex>\Theta(n + k)</tex> дополнительной памяти {{---}} на хранение массива <tex>B</tex> размера <tex>n</tex> и массива <tex>P</tex> размера <tex>k</tex>.

Алгоритм работает за линейное время, но является псевдополиномиальным.

== Поиск диапазона ключей ==
Если диапазон значений не известен заранее, то его можно найти с помощью линейного поиска минимума и максимума в исходном массиве, что не повлияет на асимптотику алгоритма. <br>
Нужно учитывать, что минимум может быть отрицательным, в то время как в массиве <tex>P</tex> индексы от <tex>0</tex> до <tex>k-1</tex>. Поэтому при работе с массивом <tex>P</tex> из исходного <tex>A[i]</tex> необходимо вычитать минимум, а при обратной записи в <tex>B[i]</tex> прибавлять его.

== Источники информации ==
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/Сортировка_подсчётом Сортировка подсчетом {{---}} Википедия]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Counting_sort Counting sort {{---}} Wikipedia]
* Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р. Алгоритмы: построение и анализ. — 2-е изд. — М.: Издательский дом «Вильямс», 2007. — С. 224{{---}}226.

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Сортировки]]
[[Категория: Другие сортировки]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Сортировка подсчётом