Busy beaver

2016-01-16T14:57:51Z

5.18.230.54:

'''Поиск усердных бобров''' (англ. ''busy beaver'') {{---}} известная задача в теории вычислимости. Под усердным бобром в теории вычислимости понимают [[Машина Тьюринга | машину Тьюринга]] с заданным числом состояний конечного автомата, которая будучи запущенной на пустой ленте, записывает на нее максимальное количество ненулевых символов и останавливается.

В данном конспекте будет рассмотрена функция, которая используется в этой задаче для подсчета числа шагов для завершения программы при определенном числе состояний.
{{Определение
|definition =
<b><tex>BB(n)</tex></b> {{---}} функция от натурального аргумента <tex>n</tex>, равная максимальному числу шагов, которое может совершить программа длиной <tex>n</tex> символов и затем остановиться.
}}
----
{{Утверждение
|statement=
Функция <tex>BB(n)</tex> не убывает.
|proof=

В данной задаче существует функция <tex>\Sigma(n)</tex>, которая в зависимости от числа состояний <tex>n</tex> возвращает максимальное число единиц, которое может быть записано на ленту машиной-чемпионом. Именно машина-чемпион является усердным бобром. Из смысла задачи следует, что функция <tex>\Sigma(n)</tex> не убывает. <br>Теперь покажем, что <tex>\forall n \ BB(n) > \Sigma(n).</tex> Для того, чтобы поместить одну единицу на ленту, требуется совершить хотя бы 1 шаг. Из этого следует, что <tex>BB(n)</tex> растет быстрее, чем <tex>\Sigma(n)</tex>. Следовательно, <tex>BB(n)</tex> не убывает.
}}
----
{{Утверждение
|statement=
<tex>BB(n)</tex> растет быстрее любой всюду определенной неубывающей [[Вычислимые функции|вычислимой функции]] <tex>f(n) : N \rightarrow N </tex>, то есть для всех <tex>n</tex> кроме конечного числа выполнено <tex>BB(n) > f(n).</tex>
|proof=
Докажем, что для любой вычислимой функции <tex>f(n)</tex> функция <tex>BB(n)</tex> будет превышать ее значение (за исключением конечного множества значений числа <tex>n</tex>). <br>
Пусть <tex>f(n)</tex> представлена своим кодом. Для каждого <tex>n</tex> определим программы вида:
<tex>p_n()</tex>:
k = десятичная запись числа n
m = f(k)
'''for''' i = 1 '''to''' m + 1
шаг программы

Каждая такая программа делает как минимум <tex>f(n) + 1</tex> шагов.
Так как мы рассматриваем <tex>n</tex> в десятичной записи, то длина <tex>p_n</tex> будет равна <tex> \lg n + const </tex>, где <tex>const</tex> {{---}} длина кода без десятичной записи <tex>n</tex>. Пусть <tex>n_0</tex> {{---}} решение уравнения <tex>\lg n + const = n</tex>. Тогда для всех натуральных <tex> n > \left \lceil n_0 \right \rceil </tex> будет выполнено неравенство: <tex> n > len(p_n) \Rightarrow BB(n) \geqslant BB(len(p_n)) > m = f(n) </tex>. Для того, чтобы увидеть, что переход корректный, рассмотрим программу длины <tex>n</tex>, совершающую максимальное число шагов. Существует программа длины <tex>n + 1</tex>, которая делает столько же шагов: надо просто в предыдущую добавить один незначащий символ. Например, пробельный. Значит, существует программа длины на один больше, которая делает не меньше шагов. Следовательно, <tex>BB</tex> не убывает. Значит, переход является корректным и наше утверждение доказано.
}}
----
'''Вывод:''' доказав предыдущее утверждение, мы проверили, что максимальное число шагов, которое может совершить программа и при этом остановиться, на самом деле растет с большей скоростью, чем любая вычислимая функция. Отсюда следует, что <tex>BB(n)</tex> невычислима.

== См. также ==
* [[Вычислимые функции]]
* [[Машина Тьюринга]]

==Источники информации==
* ''Хопкрофт Д., Мотвани Р., Ульман Д.'' — '''Введение в теорию автоматов, языков и вычислений''', 2-е изд. : Пер. с англ. — Москва, Издательский дом «Вильямс», 2002. — 528 с. : ISBN 5-8459-0261-4 (рус.)
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Busy_beaver#The_busy_beaver_function Английская Википедия {{---}} Busy beaver]
* [http://is.ifmo.ru/works/_bobri.pdf Федотов П.В., Царев Ф.Н., Шалыто А.А. {{---}} Задача поиска усердных бобров и ее решения]

[[Категория: Теория формальных языков]]
[[Категория: Теория вычислимости]]
[[Категория: Разрешимые и перечислимые языки]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Busy beaver