Алгоритм Прима

2014-11-01T16:48:44Z

5.45.192.105: /* Пример */

'''Алгоритм Прима''' (англ. ''Prim's algorithm'') — алгоритм поиска [[Лемма о безопасном ребре#Минимальное остовное дерево|минимального остовного дерева]] (англ. ''minimum spanning tree, MST'') во взвешенном [[Основные определения теории графов#Неориентированные графы | неориентированном связном графе]].

== Идея ==
Данный алгоритм очень похож на [[алгоритм Дейкстры]]. Будем последовательно строить поддерево <tex>F</tex> ответа в графе <tex>G</tex>, поддерживая [[Дискретная_математика,_алгоритмы_и_структуры_данных#.D0.9F.D1.80.D0.B8.D0.BE.D1.80.D0.B8.D1.82.D0.B5.D1.82.D0.BD.D1.8B.D0.B5_.D0.BE.D1.87.D0.B5.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B8 | приоритетную очередь]] <tex>Q</tex> из вершин <tex>G \setminus F</tex>, в которой ключом для вершины <tex>v</tex> является <tex>\min\limits_{u \in V(F), uv \in E(G)}w(uv)</tex> — вес минимального ребра из вершин <tex>F</tex> в вершины <tex>G \setminus F</tex>. Также для каждой вершины в очереди будем хранить <tex>p(v)</tex> — вершину <tex>u</tex>, на которой достигается минимум в определении ключа. Дерево <tex>F</tex> поддерживается неявно, и его ребра — это пары <tex>\left(v,p(v)\right)</tex>, где <tex>v \in G \setminus \{r\} \setminus Q</tex>, а <tex>r</tex> — корень <tex>F</tex>. Изначально <tex>F</tex> пусто и значения ключей у всех вершин равны <tex>+\infty</tex>. Выберём произвольную вершину <tex>r</tex> и присвоим её ключу значение <tex>0</tex>. На каждом шаге будем извлекать минимальную вершину <tex>v</tex> из приоритетной очереди и релаксировать все ребра <tex>vu</tex>, такие что <tex>u \in Q</tex>, выполняя при этом операцию <tex>\text{decreaseKey}</tex> над очередью и обновление <tex>p(v)</tex>. Ребро <tex>\left(v,p(v)\right)</tex> при этом добавляется к ответу.

== Реализация ==
// <tex>G</tex> {{---}} исходный граф
// <tex>w</tex> {{---}} весовая функция
'''function''' <tex>\mathtt{primFindMST}():</tex>
'''for''' <tex>v \in V(G)</tex>
<tex>\mathtt{key}[v]\ =\ \infty</tex>
<tex>\mathtt{p}[v]\ =</tex> ''null''
<tex>r\ =</tex> произвольная вершина графа <tex>G</tex>
<tex>\mathtt{key}[r]\ =\ \mathtt{0}</tex>
<tex>Q.\mathtt{push}(V(G))</tex>
'''while not''' <tex>Q.\mathtt{isEmpty()}</tex>
<tex>v\ =\ Q.\mathtt{extractMin}()</tex>
'''for''' <tex>vu \in E(G)</tex>
'''if''' <tex>u \in Q</tex> '''and''' <tex>\mathtt{key}[u] > w(v, u)</tex>
<tex>\mathtt{p}[u]\ =\ v</tex>
<tex>\mathtt{key}[u]\ =\ w(v, u)</tex>
<tex>Q.\mathtt{decreaseKey}(u, \mathtt{key}[u])</tex>

Ребра дерева восстанавливаются из его неявного вида после выполнения алгоритма. 
Чтобы упростить операцию <tex>\mathrm{decreaseKey}</tex> можно написать кучу на основе [[АВЛ-дерево | сбалансированного бинарного дерева поиска]]. Тогда просто удалим вершину и добавим ее обратно уже с новым ключом. Асимптотика таких преобразований <tex>O(\log n)</tex>. Если же делать с [[Двоичная_куча | бинарной кучей]], то вместо операции <tex>\mathrm{decreaseKey}</tex>, будем всегда просто добавлять вершину с новым ключом, если из кучи достали вершину с ключом, значение которого больше чем у нее уже стоит, просто игнорировать. Вершин в куче будет не больше <tex>n^2</tex>, следовательно, операция <tex>\mathrm{extractMin}</tex> будет выполняться за <tex>O(\log n^2)</tex>, что равно <tex>O(\log n)</tex>. Максимальное количество вершин, которое мы сможем достать, равняется количеству ребер, то есть <tex>m</tex>, поэтому общая асимптотика составит <tex>O(m \log n)</tex>, что хорошо только на разреженных графах.

==Пример==
Рассмотрим работу алгоритма на примере графа.
Пусть произвольно выбранная вершина — это вершина a.
{| cellpadding = "20" class = "wikitable"
! Изображение !! Множество вершин !! Описание
|-
|[[Файл:Mst_prima_1.png|200px]]
|
{| width="100%" style = "text-align: center"
| '''a''' || '''b''' || '''c''' || '''d''' || '''e'''
|-
| <tex> 0 </tex> || <tex>\infty</tex> || <tex>\infty</tex> || <tex>\infty</tex> || <tex>\infty</tex>
|}
|style="padding-left: 1em" | Извлечём из множества вершину '''a''', так как её приоритет минимален. Рассмотрим смежные с ней вершины '''b''', '''c''', и '''e'''. Обновим их приоритеты, как веса соответствующих рёбер '''ab''', '''ac''' и '''ae''', которые будут добавлены в ответ.
|-
|[[Файл:Mst_prima_2.png|200px]]
|
{| width="100%" style = "text-align: center"
| a || '''b''' || '''c''' || '''d''' || '''e'''
|-
| <tex> 0 </tex> || <tex> 3 </tex> || <tex> 4 </tex> || <tex>\infty</tex> || <tex> 1 </tex>
|}
|style="padding-left: 1em" |Теперь минимальный приоритет у вершины '''е'''. Извлечём её и рассмотрим смежные с ней вершины '''a''', '''c''', и '''d'''. Изменим приоритет только у вершины '''d''', так как приоритеты вершин '''a''' и '''с''' меньше, чем веса у соответствующих рёбер '''ea''' и '''ec''', и установим приоритет вершины '''d''' равный весу ребра '''ed''', которое будет добавлено в ответ.
|-
|[[Файл:Mst_prima_3.png|200px]]
|
{| width="100%" style = "text-align: center"
| a || '''b''' || '''c''' || '''d''' || e
|-
| <tex> 0 </tex> || <tex> 3 </tex> || <tex> 4 </tex> || <tex> 7 </tex> || <tex> 1 </tex>
|}
|style="padding-left: 1em" |После извлечения вершины '''b''' ничего не изменится, так как приоритеты вершин '''a''' и '''с''' меньше, чем веса у соответствующих рёбер '''ba''' и '''bc'''. Однако, после извлечения следующей вершины {{---}} '''c''', будет обновлён приоритет у вершины '''d''' на более низкий (равный весу ребра '''cd''') и в ответе ребро '''ed''' будет заменено на '''cd'''.
|-
|[[Файл:Mst_prima_4.png|200px]]
|
{| width="100%" style = "text-align: center"
| a || b || c || '''d''' || e
|-
| <tex> 0 </tex> || <tex> 3 </tex> || <tex> 4 </tex> || <tex> 2 </tex> || <tex> 1 </tex>
|}
|style="padding-left: 1em" |Далее будет рассмотрена следующая вершина {{---}} '''d''', но ничего не изменится, так как приоритеты вершин '''e''' и '''с''' меньше, чем веса у соответствующих рёбер '''de''' и '''dc'''. После этого алгоритм завершит работу, так как в заданном множестве не останется вершин, которые не были бы рассмотрены
|}

== Корректность ==
По поддерживаемым инвариантам после извлечения вершины <tex>v\ (v \neq r)</tex> из <tex>Q</tex> ребро <tex>\left(v,p(v)\right)</tex> является ребром минимального веса, пересекающим разрез <tex>\left(F,Q\right)</tex>. Значит, по [[Лемма о безопасном ребре|лемме о безопасном ребре]], оно безопасно. Алгоритм построения ''MST'', добавляющий безопасные ребра, причём делающий это ровно <tex>|V|-1</tex> раз, корректен.

== Оценка производительности ==
Производительность алгоритма Прима зависит от выбранной реализации приоритетной очереди, как и в алгоритме Дейкстры. Извлечение минимума выполняется <tex>V</tex> раз, релаксация — <tex>O(E)</tex> раз.

{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" style="text-align:center" width=30%
!style="background:#f2f2f2"|Структура данных для приоритетной очереди
!style="background:#f2f2f2"|Асимптотика времени работы
|-
|style="background:#f9f9f9"|Наивная реализация
|style="background:#f9f9f9"|<tex>O(V^2+E)</tex>
|-
|style="background:#f9f9f9"|[[Двоичная куча]]
|style="background:#f9f9f9"|<tex>O(E\log{V})</tex>
|-
|style="background:#f9f9f9"|[[Фибоначчиевы кучи|Фибоначчиева куча]]
|style="background:#f9f9f9"|<tex>O(V\log{V}+E)</tex>
|}

==См. также==
* [[Алгоритм Краскала]]
* [[Алгоритм Борувки]]

== Источники информации ==
*Томас Х. Кормен, Чарльз И. Лейзерсон, Рональд Л. Ривест, Клиффорд Штайн — Алгоритмы: построение и анализ, 2-е издание. Пер. с англ. — М.:Издательский дом "Вильямс", 2010. — с.653 — 656.— ISBN 978-5-8459-0857-5 (рус.)
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC_%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%BC%D0%B0 Википедия — Алгоритм Прима]
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Prim%27s_algorithm Wikipedia — Prim's algorithm]
*[http://e-maxx.ru/algo/mst_prim MAXimal :: algo :: Минимальное остовное дерево. Алгоритм Прима]

[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Остовные деревья ]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Алгоритм Прима