Сортировка вставками

2020-02-09T14:43:33Z

77.232.147.80: исправлена опечатка "на на" -> "на"

'''Сортировка вставками''' (англ. ''Insertion sort'') — квадратичный алгоритм [[Сортировка|сортировки]].

==Алгоритм==
Задача заключается в следующем: есть часть массива, которая уже отсортирована, и требуется вставить остальные элементы массива в отсортированную часть, сохранив при этом упорядоченность. Для этого на каждом шаге алгоритма мы выбираем один из элементов входных данных и вставляем его на нужную позицию в уже отсортированной части массива, до тех пор пока весь набор входных данных не будет отсортирован. Метод выбора очередного элемента из исходного массива произволен, однако обычно (и с целью получения устойчивого алгоритма сортировки), элементы вставляются по порядку их появления во входном массиве.

Так как в процессе работы алгоритма могут меняться местами только соседние элементы, каждый обмен уменьшает число [[Таблица инверсий|инверсий]] на единицу. Следовательно, количество обменов равно количеству инверсий в исходном массиве вне зависимости от реализации сортировки. Максимальное количество инверсий содержится в массиве, элементы которого отсортированы по невозрастанию. Число инверсий в таком массиве <tex>\displaystyle \frac {n(n - 1)} {2}</tex>.

Алгоритм работает за <tex>O(n + k)</tex>, где <tex>k</tex> — число обменов элементов входного массива, равное числу инверсий. В среднем и в худшем случае — за <tex>O(n^2)</tex>. Минимальные оценки встречаются в случае уже упорядоченной исходной последовательности элементов, наихудшие — когда они расположены в обратном порядке.

==Псевдокод==
'''function''' insertionSort(a):
'''for''' i = 1 '''to''' n - 1
j = i - 1
'''while''' j <tex> \geqslant </tex> 0 '''and''' a[j] > a[j + 1]
swap(a[j], a[j + 1])
j--

==Пример работы==
Пример работы алгоритма для массива <tex>[ 5, 2, 4, 3, 1 ]</tex>

{| style="background-color:#CCC;margin:0.5px"
!style="background-color:#EEE"| До
!style="background-color:#EEE"| После
!style="background-color:#EEE"| Описание шага
|-
|colspan=3|''Первый проход (проталкиваем второй элемент — '''''2''''')''
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| '''5 2''' 4 3 1
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| '''2 5''' 4 3 1
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Алгоритм сравнивает второй элемент с первым и меняет их местами.
|-
|colspan=3|''Второй проход (проталкиваем третий элемент — '''''4''''')''
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 2 '''5 4''' 3 1
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 2 '''4 5''' 3 1
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Сравнивает третий со вторым и меняет местами
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| '''2 4''' 5 3 1
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| '''2 4''' 5 3 1
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Второй и первый отсортированы, swap не требуется
|-
|colspan=3|''Третий проход (проталкиваем четвертый — '''''3''''')''
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 2 4 '''5 3''' 1
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 2 4 '''3 5''' 1
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Меняет четвертый и третий местами
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 2 '''4 3''' 5 1
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 2 '''3 4''' 5 1
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Меняет третий и второй местами
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| '''2 3''' 4 5 1
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| '''2 3''' 4 5 1
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Второй и первый отсортированы, swap не требуется

|-
|colspan=3|''Четвертый проход (проталкиваем пятый элемент — '''''1''''')''
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 2 3 4 '''5 1'''
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 2 3 4 '''1 5'''
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Меняет пятый и четвертый местами
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 2 3 '''4 1''' 5
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 2 3 '''1 4''' 5
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Меняет четвертый и третий местами
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 2 '''3 1''' 4 5
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 2 '''1 3''' 4 5
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Меняет третий и второй местами
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| '''2 1''' 3 4 5
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| '''1 2''' 3 4 5
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Меняет второй и первый местами. Массив отсортирован.
|}
== Оптимизации ==
=== Бинарные вставки ===
Теперь вместо линейного поиска позиции мы будем использовать [[Целочисленный двоичный поиск | бинарный поиск]], следовательно количество сравнений изменится с <tex>O(N^2)</tex> до <tex> O(N\log N) </tex>. Количество сравнений заметно уменьшилось, но для того, чтобы поставить элемент на своё место, всё ещё необходимо переместить большое количество элементов. В итоге время выполнения алгоритма в асимптотически не уменьшилось. Бинарные вставки выгодно использовать только в случае когда сравнение занимает много времени по сравнению со сдвигом. Например когда мы используем массив длинных чисел.
'''function''' insertionSort(a):
'''for''' i = 1 '''to''' n - 1
j = i - 1
k = binSearch(a, a[i], 0, j)
'''for''' m = j '''downto''' k
swap(a[m], a[m+1])

=== Двухпутевые вставки ===
Суть этого метода в том, что вместо отсортированной части массива мы используем область вывода. Первый элемент помещается в середину области вывода, а место для последующих элементов освобождается путём сдвига элементов влево или вправо туда, куда выгоднее.
Пример для набора элементов <tex>[ 5, 7, 3, 4, 6 ]</tex>
{| style="background-color:#CCC;margin:0.5px"
!style="background-color:#EEE"| До
!style="background-color:#EEE"| После
!style="background-color:#EEE"| Описание шага
|-
|colspan=3|''Первый проход (проталкиваем первый элемент — '''''5''''')''
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"|
|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| '''5'''
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Так как в поле вывода нет элементов, то мы просто добавляем элемент туда.
|-
|colspan=3|''Второй проход (проталкиваем второй элемент — '''''7''''')''
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| 5
|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| 5 '''7'''
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| С помощью Бинарного поиска находим позицию и, так как позиция крайняя, то сдвигать ничего не приходится.
|-
|colspan=3|''Третий проход (проталкиваем третий — '''''3''''')''
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| 5 7
|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| '''3''' 5 7
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| С помощью Бинарного поиска находим позицию и, так как позиция крайняя, то сдвигать ничего не приходится.
|-
|colspan=3|''Четвертый проход (проталкиваем четвертый элемент — '''''4''''')''
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| 3 5 7
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 3 '''4''' 5 7
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| С помощью Бинарного поиска находим позицию. Расстояние до левого края зоны вывода меньше, чем до правого, значит сдвигаем левую часть.
|-
|colspan=3|''Четвертый проход (проталкиваем пятый элемент — '''''6''''')''
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 3 4 5 7
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 3 4 5 '''6''' 7
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Расстояние до правого края меньше чем до левого, следовательно двигаем правую часть.
|}
Как можно заметить структура поля вывода имеет сходство с [[Персистентный дек| деком]], а именно мы выбираем край к которому ближе наш элемент, затем добавляем с этой стороны наш элемент и двигаем его. Как мы видим в этом примере понадобилось сдвинуть всего <tex>3</tex> элемента. Благодаря тому что для вставки <tex>j</tex>-ого элемента потребуется <tex>j/2</tex> сдвигов в худшем случае вместо <tex>j</tex>, то и итоговое число необходимых операций в худшем случае составит <tex>N^2 / 4 + N \log N</tex>.

== См. также ==
* [[Сортировка пузырьком]]
* [[Сортировка выбором]]
* [[Сортировка кучей]]
* [[Сортировка слиянием]]
* [[Быстрая сортировка]]
* [[Сортировка подсчетом]]
* [[Сортировка Шелла]]
== Источники информации==
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%BE%D1%80%D1%82%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%BA%D0%B0_%D0%B2%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%B2%D0%BA%D0%B0%D0%BC%D0%B8 Сортировка вставками]
* Н. Вирт '''Алгоритмы и структуры данных''' {{---}} Невский Диалект, 2008. {{---}} 352 с. {{---}} ISBN 978-5-7940-0065-8
* [http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/sorts/quadratic-2010 Визуализатор квадратичных алгоритмов]
* [http://rain.ifmo.ru/cat/data/theory/school/ses-VectSort-03/pres.pdf Презентация «Сортировка вектора - 3. Insertion Sort»]
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Сортировки]]
[[Категория: Квадратичные сортировки]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Сортировка вставками