Список заданий по ДМ 2016 осень

2016-11-15T14:38:51Z

78.25.123.252:

<wikitex>
= Дискретная математика, 1 семестр =

# Пусть $R$ и $S$ - рефлексивные отношения на $A$. Будет ли рефлексивным их а) объединение? б) пересечение? В этом и следующих заданиях, если ответ отрицательный, при демонстрации контрпримера удобно использовать представление отношения в виде ориентированного графа.
# Пусть $R$ и $S$ - симметричные отношения на $A$. Будет ли симметричным их а) объединение? б) пересечение?
# Пусть $R$ и $S$ - транзитивные отношения на $A$. Будет ли транзитивным их а) объединение? б) пересечение?
# Пусть $R$ и $S$ - антисимметричные отношения на $A$. Будет ли антисимметричным их а) объединение? б) пересечение?
# Определим $R^{-1}$ следующим образом: если $xRy$, то $yR^{-1}x$. Выполнено ли соотношение $RR^{-1} = I$, где $I$ - отношение равенства? Выполнен ли закон сложения степенией $R^iR^j=R^{i+j}$, если $i$ и $j$ разного знака?
# Пусть $R$ обладает свойством $X$. Будет ли обладать свойством $X$ отношение $R^{-1}$? Следует проанализировать $X$ - рефлексивность, антирефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность
# Пусть $R$ и $S$ - транзитивные отношения на $A$. Будет ли транзитивным их композиция?
# Пусть $R$ и $S$ - антисимметричные отношения на A. Будет ли антисимметричным их композиция?
# Постройте пример рефлексивного, симметричного, но не транзитивного отношения
# Постройте пример рефлексивного, антисимметричного, но не транзитивного отношения
# Является ли отношение $R$, такое что $(a, b) R (c, d)$, если $ad = bc$ на ${\mathbb Z}^+ \times {\mathbb N}$ отношением эквивалентности?
# Может ли отношение частичного порядка быть отношением эквивалентности? Если да, то в каких случаях?
# Можно ли в определении отношения эквивалентности убрать требование рефлексивности отношения, потому что оно следует из симметричности и транзитивности?
# Выразите в явном виде "и", "или" и "не" через стрелку Пирса
# Выразите в явном виде "и", "или" и "не" через штрих Шеффера
# Можно ли "и", "или" и "не" выразить через функции из множества $\{x\oplus y, x = y\}$?
# Можно ли "и", "или" и "не" выразить через функции из множества $\{x\to y, \neg x\}$?
# Можно ли "и", "или" и "не" выразить через функции из множества $\{{\mathbf 0}, \langle xyz\rangle, \neg x\}$ ?
# Можно ли "и", "или" и "не" выразить через функции из множества $\{x \to y, \langle xyz\rangle, \neg x\}$ ?
# Можно ли выразить "и" через "или"?
# Выразите медиану 5 через медиану 3
# Выразите медиану $2n+1$ через медиану 3
# Булева функция называется пороговой, если $f(x_1, x_2, \ldots, x_n) = 1$ тогда и только тогда, когда $a_1x_1+a_2x_2+\ldots+a_nx_n \ge b$, где $a_i$ и $b$ - вещественные числа. Докажите, что "и" и "или" - пороговые функции.
# Приведите пример непороговой функции
# Рассмотрим булеву функцию $f$. Обозначим как $N(f)$ число наборов аргументов, на которых $f$ равна 1. Например, $N(\vee) = 3$. Обозначим как $\Sigma(f)$ сумму всех наборов аргументов, на которых $f$ равна 1 как векторов. Например, $\Sigma(\vee) = (2, 2)$. Докажите, что если для пороговой функции $f$ и функции $g$ выполнено $N(f) = N(g)$ и $\Sigma(f) = \Sigma(g)$, то $f = g$
# Постройте двойственную функцию для каждой функции от 2 аргументов.
# Сколько существует самодвойственных функций от $n$ аргуметов?
# Будем говорить, что функция существенно зависит от переменной $x_i$, если существует два набора аргументов, различающихся только значением $x_i$, на которых функция принимает различные значения. Сколько существует булевых функций от $n$ аргументов, существенно зависящих от всех аргументов? Достаточно привести рекуррентную формулу.
# Приведите пример функции, существенно зависящей хотя бы от 3 аргументов, которая лежит во всех 5 классах Поста.
# Приведите пример функции, существенно зависящей хотя бы от 3 аргументов, которая не лежит ни в одном классе Поста.
# Докажите, что любую функцию от $n$ переменных можно представить с использованием стрелки Пирса формулой, длиной не больше чем $2^n\cdot poly(n)$, где $poly(n)$ - полином, общий для всех функций
# Докажите, что любую монотонную функцию можно выразить через "и", "или", 0 и 1.
# Докажите, что любую монотонную самодвойственую функцию можно выразить через медиану
# Говорят, что формула имеет вид 2-КНФ, если она имеет вид $(t_{11}\vee t_{12})\wedge(t_{21}\vee t_{22})\wedge\ldots$, где $t_{ij}$ представляет собой либо переменную, либо ее отрицание (в каждом дизъюнкте ровно два терма). Предложите полиномиальный алгоритм проверки, что формула, заданная в 2-КНФ имеет набор значений переменных, на которых она имеет значение 1.
# КНФ называется КНФ Хорна, если в каждом дизъюнкте не более одной переменной находится без отрицания. Пример: $x\wedge(x \vee \neg y \vee \neg z) \wedge (\neg x \vee \neg t)$. Предложите полиномиальный алгоритм проверки, что формула, заданная в форме КНФ Хорна имеет набор аргументов, на котором она равна 1.
# Докажите, что если булеву функцию $f$ можно задать в форме Крома (в виде 2-КНФ), то выполнено следствие: $f(x_1, ..., x_n) = f(y_1, ..., y_n) = f(z_1, ..., z_n) = 1$ $\Rightarrow f(\langle x_1, y_1, z_1\rangle, ..., \langle x_n, y_n, z_n \rangle) = 1$
# Докажите, что если выполнено следствие: $f(x_1, ..., x_n) = f(y_1, ..., y_n) = f(z_1, ..., z_n) = 1$ $\Rightarrow f(\langle x_1, y_1, z_1\rangle, ..., \langle x_n, y_n, z_n \rangle) = 1$, то булеву функцию $f$ можно задать в форме Крома.
# Докажите, что если булеву функцию $f$ можно задать в форме Хорна, то выполнено следствие: $f(x_1, ..., x_n) = f(y_1, ..., y_n) = 1 \Rightarrow f(x_1\wedge y_1, ..., x_n \wedge y_n) = 1$
# Докажите, что если выполнено следствие: $f(x_1, ..., x_n) = f(y_1, ..., y_n) = 1 \Rightarrow f(x_1\wedge y_1, ..., x_n \wedge y_n) = 1$, то булеву функцию $f$ можно задать в форме Хорна
# Докажите, что $x_0\oplus x_1\oplus\ldots\oplus x_{2m} = \langle \neg x_0,s_1,s_2,\ldots,s_{2m}\rangle$, где $s_j=\langle x_0,x_j,x_{j+1},\ldots,x_{j+m-1},\neg x_{j+m},\neg x_{j+m+1},\ldots,\neg x_{j+2m-1}\rangle$, для удобства $x_{2m+k}$ обозначет то же, что и $x_k$ для $k \ge 1$.
# Докажите, что биномиальный коэффициент $C_n^k$ нечетен тогда и только тогда, когда в двоичной записи $k$ единицы стоят только на тех позициях, где в двоичной записи $n$ также находятся единицы (иначе говоря, двоичная запись $k$ доминируется двоичной записью $n$ как двоичным вектором).
# Докажите "метод треугольника" построения полинома Жегалкина по таблице истинности.
# Булева функция $f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ называется форсируемой, если существует такое назначение $x_i=const$ , что для любых значений других переменных значение функции является константой. Например, $x_1 \wedge x_2$ является форсируемой, поскольку при $x_1 = 0$ значение функции равно 0 для любого значения $x_2$. Для каждой функции от двух переменных определите, является ли она форсируемой.
# Булева функция называется симметричной, если ее значение не меняется при любой перестановке ее переменных. Сколько существует симметричных функций от $n$ переменных?
# Игра "два шага вперед, один назад". Задана булева функция от $n$ аргументов $f(x_1, \ldots, x_n)$. Играют два игрока: 0 и 1. Игроки делают ходы по очереди. Для хода используется вспомогательное значение $m$, исходно равное 0, кроме того исходно все значения переменных не определены. Ход заключается в следующем. Игрок либо увеличивает $m$ на 2, либо уменьшает на 1. После этого действия значение $m$ должно удовлетворять неравенству $1 \le m \le n$. Затем, если значение $x_m$ не определено, то игрок присваивает переменной $x_m$ значение на свое усмотрение. Если же значение $x_m$ определено, то оно меняется на противоположное. Игра заканчивается, когда все значения определены. Если значение функции $f$ на получившемся наборе переменных равно 1, то выигрывает 1, иначе выигрывает 0. Проанализируйте описанную игру для значений $n$ от 2 до 9 на функции $f(x_1, \ldots, x_n)$, равной 1, если строка $x_1x_2\ldots x_n$ лексикографически строго меньше строки $x_nx_{n-1}\ldots x_1$.
# Проанализируйте игру "два шага вперед, один назад" для значений $n$ от 2 до 9 на функции $f(x_1, \ldots, x_n)=x_1\oplus x_2\oplus \ldots\oplus x_n$.
# Проанализируйте игру "два шага вперед, один назад" для значений $n$ от 2 до 9 на функции $f(x_1, \ldots, x_n)$, равной 1, если строка $x_1x_2\ldots x_n$ не содержит двух единиц подряд.
# Проанализируйте игру "два шага вперед, один назад" для значений $n$ от 2 до 9 на функции $f(x_1, \ldots, x_n)$, равной 1, если строка $x_1x_2\ldots x_n$ представляет собой (возможно дополненную ведущими нулями) двоичную запись простого числа.
# Постройте схему из функциональных элементов для операции медиана трех над базисом $\{ \vee, \wedge, \neg\}$. Постарайтесь использовать минимальное число элементов.
# Постройте схему из функциональных элементов для операции $x \oplus y \oplus z$ над базисом $\{ \vee, \wedge, \neg\}$. Постарайтесь использовать минимальное число элементов.
# Предложите способ построить схему для функции $x_1 \oplus ... \oplus x_n$ над базисом $\{ \vee, \wedge, \neg\}$ с линейным числом элементов и глубиной $O(\log n)$.
# Докажите, что для функции "большинство из $2n+1$" существует схема из функциональных элементов глубины $O(\log n)$
# Докажите, что не существует схемы константной глубины для сложения.
# Докажите, что любую булеву функцию от $n$ аргументов можно представить схемой из функциональных элементов, содержащей $O(2^n)$ элементов.
# Докажите, что не существует схем константной глубины для функций $x_1 \vee ... \vee x_n$, $x_1 \wedge ... \wedge x_n$, $x_1 \oplus ... \oplus x_n$.
# Мультиплексором называется схема, которая имеет $2^n+n$ входов и один выход. Обозначим входы как $x_0, x_1, \ldots, x_{2^n-1}, y_0, y_1, \ldots, y_{n-1}$. На выход подается то же, что подается на вход $x_i$, где $i$ - двоичное число, которое кодируется входами $y_0, \ldots, y_{n-1}$. Постройте схему линейного (от суммарного количества входов и выходов) размера для мультиплексора.
# Дешифратором называется схема, которая имеет $n+1$ входов и $2^n$ выходов. Обозначим входы как $y_0, y_1, \ldots, y_{n-1}, x$, а выходы как $z_0, z_1, \ldots, z_{2^n-1}$. На все выходы подается 0, а на выход $z_i$ то же, что подается на вход $x$, где $i$ - двоичное число, которое кодируется входами $y_0, \ldots, y_{n-1}$. Постройте схему линейного (от суммарного количества входов и выходов) размера для дешифратора.
# На одном китайском заводе в матричном умножителе случайно использовали элементы "или" вместо "и". Можно ли из получившихся значений получить произведение исходных чисел (доступа к входам нет, есть только доступ к $n\times n$ выходам матричного псевдоумножителя).
# <strike> Докажите, что любую булеву функцию от $n$ аргументов можно представить схемой из функциональных элементов, содержащей $O(2^n)$ элементов. </strike>
# Контактной схемой называется ориентированный ациклический граф, на каждом ребре которого написана переменная или ее отрицание (ребра в контактных схемах называют ''контактами'', а вершины - ''полюсами''). Зафиксируем некоторые значения переменным. Тогда ''замкнутыми'' называются ребра, на которых записана 1, ребра, на которых записан 0, называются ''разомкнутыми''. Зафиксируем две вершины $u$ и $v$. Тогда контактная схема вычисляет некоторую функцию $f$ между вершинами $u$ и $v$, равную 1 на тех наборах переменных, на которых между $u$ и $v$ есть путь по замкнутым ребрам. Постройте контактные схемы для функций "и", "или" и "не".
# Постройте контактную схему для функции "xor".
# Постройте контактную схему для функции медиана трех.
# Докажите, что любую булеву функцию можно представить контактной схемой.
# Постройте контактную схему "xor от $n$ переменных", содержащую $O(n)$ ребер.
# Постройте контактную схему "большинство из $2n+1$ переменных", содержащую $O(n)$ ребер.
# Постройте контактную схему, в которой для каждого из $2^n$ наборов конъюнкций переменных и их отрицаний есть пара вершин, между которыми реализуется эта конъюнкция, используя $O(2^n)$ ребер.
# Докажите, что любую булеву функцию можно представить контактной схемой, содержащей $O(2^n)$ ребер.
# Как выглядит дерево Хаффмана для частот символов $1, 2, ..., 2^{n-1}$ (степени двойки) ?
# Как выглядит дерево Хаффмана для частот символов $1, 1, 2, 3, ..., F_{n-1}$ (числа Фибоначчи)?
# Докажите, что если размер алфавита - степень двойки и частоты никаких двух символов не отличаются в 2 или более раз, то код Хаффмана не лучше кода постоянной длины
# Модифицируйте алгоритм Хаффмана, чтобы строить $k$-ичные префиксные коды
# Укажите, как построить дерево Хаффмана за линейное время, если символы уже отсортированы по частоте
# Предложите алгоритм построения оптимального кода среди префиксных кодов с длиной кодового слова не более L бит
# Предложите способ хранения информации об оптимальном префиксном коде для n-символьного алфавита, использующий не более $2n - 1 + n \lceil\log_2(n)\rceil$ бит ($\lceil x\rceil$ - округление $x$ вверх)
# Можно ли разработать алгоритм, который сжимает любой файл не короче заданной величины $N$ хотя бы на 1 бит?
# Приведите пример однозначно декодируемого кода оптимальной длины, который не является ни префиксным, ни развернутым префиксным
# Для каких префиксных кодов существует строка, для которой он является кодом Хаффмана? Предложите алгоритм построения такой строки.
# Пусть заданы пары $(u_i, v_i)$. Предложите алгоритм проверки, что существует код Хаффмана для некоторой строки, в котором $i$-е кодовое слово содержит $u_i$ нулей и $v_i$ единиц.
# Докажите, что если в коде Хаффмана для некоторой строки $i$-е кодовое слово содержит $u_i$ нулей и $v_i$ единиц, то для многочлена от двух переменных $f(x, y) = \sum_{i=1}^n x^{u_i}y^{v_i}$ выполнено $f(x, y) - 1 = (x + y - 1) g(x, y)$ для некоторого многочлена $g(x, y)$.
# Докажите, что при оптимальном кодирование с помощью LZ77 не выгодно делать повтор блока, который можно увеличить вправо
# Верно ли утверждение из предыдущего задания при кодировании с помощью L78?
# Разработайте алгоритм оптимального кодирования текста с помощью LZ77, если на символ уходит $c$ бит, а на блок повтора $d$ бит
# Предложите семейство строк $S_1, S_2, \ldots, S_n, \ldots$, где $S_i$ имеет длину $i$, таких, что при их кодировании с помощью LZW длина строки увеличивается. Начальный алфавит $\{0, 1\}$.
# Проанализируйте время работы алгоритма арифиметического кодирования
# Докажите, что для любого $c > 1$ существует распределение частот $p_1, p_2, .., p_n$, что арифметическое кодирование в $c$ раз лучше Хаффмана
# При арифметическом кодировании можно учитывать, что с учетом уже потраченных символов соотношения символов становятся другими и отрезок надо делить в другой пропорции. Всегда ли кодирование с таким уточнением лучше классического арифметического кодирования?
# При арифметическом кодировании трудным моментом является деление отрезка в пропорциях, не являющихся степенями двойки. Рассмотрим модификацию арифметического кодирования, когда соотношения между символами приближаются дробями со знаменателями - степенями двойки. Что можно сказать про получившийся алгоритм?
# Разработайте оптимальный код исправляющий одну ошибку при пересылке 2 битов
# Разработайте оптимальный код исправляющий одну ошибку при пересылке 3 битов
# Разработайте код, исправляющий две ошибки, использующий асимптотически не более $2n$ бит для кодирования $2^n$ символьного алфавита (для $n > n_0$)
# Докажите, что в зеркальном коде Грея $g_i = i \oplus \lfloor i / 2\rfloor$
# Докажите, что в зеркальном коде Грея при переходе от $g_i$ к $g_{i+1}$ меняется тот же бит, который меняется с 0 на 1 при переходе от $i$ к $i+1$
# Разработайте код Грея для k-ичных векторов
# При каких $a_1, a_2, ..., a_n$ существует обход гиперпараллелепипеда $a_1 \times a_2 \times ... \times a_n$, который переходит каждый раз в соседнюю ячейку и бывает в каждой ячейке ровно один раз?
# При каких $a_1, a_2, ..., a_n$ существует обход гиперпараллелепипеда $a_1 \times a_2 \times ... \times a_n$, который переходит каждый раз в соседнюю ячейку и бывает в каждой ячейке ровно один раз, а в конце возвращается в исходную ячейку?
# Код "антигрея" - постройте двоичный код, в котором соседние слова отличаются хотя бы в половине бит
# Троичный код "антигрея" - постройте троичный код, в котором соседние слова отличаются во всех позициях
# При каких $n$ и $k$ существует двоичный $n$-битный код, в котором соседние кодовые слова отличаются ровно в $k$ позициях?
# Докажите, что для достаточно больших $n$ существует код Грея, который отличается от любого, полученного из зеркального перестановкой столбцов, отражением и циклическим сдвигом строк
# Код Грея назвается монотонным, если нет таких слов $g_i$ и $g_j$, что $i < j$, а $g_i$ содержит на 2 или больше единиц больше, чем $g_j$. Докажите, что существует монотонный код Грея
# В этом и последующих заданиях необходимо подробно изложить алгоритм вычисления числа комбинаторных объектов с таким префиксом, чтобы можно было получить объект по номеру. Получение объекта по номеру для перестановок.
# Получение объекта по номеру для сочетаний.
# Получение объекта по номеру для размещений.
# Факториальная система счисления. Рассмотрим систему счисления, где бесконечно много цифр, в $i$-м разряде (нумерация разрядов с 1 от младшего к старшему) разрешается использовать цифры от 0 до $i$, вес $i$-го разряда $i!$. Докажите, что у каждого положительного числа ровно одно представление в факториальной системе счисления (с точностью до ведущих нулей). Предложите алгоритм перевода числа в факториальную систему счисления.
# Как связана факториальная система счисления и нумерация перестановок?
# Фибоначчиева система счисления. Рассмотрим систему счисления, где есть две цифры, 0 и 1. Пусть нумерация разрядов ведется с 0 от младшего к старшему, вес $i$-го разряда $F_i$, где $F_i$ - $i$-е число Фибоначчи ($F_0 = 1$, $F_1 = 1$). При этом запрещается исползовать две единицы в соседних разрядах, а также запрещается использовать 1 в разряде 1. Сколько представлений в Фибоначчиевой системе счисления у положительного числа $x$? Предложите алгоритм перевода числа в фибоначчиеву систему счисления.
# Свяжите фибоначчиеву систему счисления с нумерацией каких-либо комбинаторных объектов.
# Коды Грея для перестановок. Предложите способ перечисления перестановок, в котором соседние перестановки отличаются обменом двух соседних элементов (элементарной транспозицией).
# Коды Грея для сочетаний. Предложите способ перечисления сочетаний, в котором соседние сочетания отличаются заменой одного элемента.
# Коды Грея для размещений. Предложите способ перечисления сочетаний, в котором соседние размещения отличаются заменой одного элемента в одной позиции.
</wikitex>

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Список заданий по ДМ 2016 осень