Математический анализ 2 курс

2013-01-18T08:54:39Z

80.70.236.75: по испански "убивать" — matar, а окончание an — это 3е лицо, множественное число

[[Категория:Математический анализ 2 курс]]
matan {{---}} убивают (исп.)


[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8 Множество Витали]
==Конспекты лекций Н. Ю. Додонова==
=== Глава X Мера и интеграл Лебега ===
#[[Полукольца и алгебры]] Вопрос 1 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D1%83%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%86%D0%B0_%D0%B8_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D1%8B&printable=yes печать]
#[[Мера на полукольце множеств]] Вопрос 2 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%9C%D0%B5%D1%80%D0%B0_%D0%BD%D0%B0_%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D1%83%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%86%D0%B5_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2&printable=yes печать]
#[[Внешняя мера]] Вопрос 3 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%92%D0%BD%D0%B5%D1%88%D0%BD%D1%8F%D1%8F_%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%B0&printable=yes печать]
#[[Мера, порожденная внешней мерой]] Вопрос 4 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%9C%D0%B5%D1%80%D0%B0,_%D0%BF%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%B6%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D1%88%D0%BD%D0%B5%D0%B9_%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%BE%D0%B9&printable=yes печать]
#[[Процесс Каратеодори]] Вопросы 5, 6, 7 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%BE%D1%86%D0%B5%D1%81%D1%81_%D0%9A%D0%B0%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BE%D0%B4%D0%BE%D1%80%D0%B8&printable=yes печать]
#[[Объём n-мерного прямоугольника]] Вопросы 8, 9 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%9E%D0%B1%D1%8A%D1%91%D0%BC_n-%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BF%D1%80%D1%8F%D0%BC%D0%BE%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0&printable=yes печать]
#[[Мера Лебега в R^n]] Вопросы 10, 11, 12 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%9C%D0%B5%D1%80%D0%B0_%D0%9B%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D0%B3%D0%B0_%D0%B2_R%5En&printable=yes печать]

=== Глава XI Измеримые функции===
#[[Определение измеримой функции]] Вопросы 13, 14 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%9E%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B8%D0%B7%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D0%B9_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8&printable=yes печать]
#[[Предельный переход в классе измеримых функций]] Вопросы 15, 16 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%85%D0%BE%D0%B4_%D0%B2_%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B5_%D0%B8%D0%B7%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%BC%D1%8B%D1%85_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B9&printable=yes печать]
#[[Сходимость по мере]] Вопросы 17, 18 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%A1%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C_%D0%BF%D0%BE_%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%B5&printable=yes печать]
#[[Классические теоремы теории измеримых функций]] Вопросы 18(?), 19, 20, 21 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%9A%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D1%8B_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B8_%D0%B8%D0%B7%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%BC%D1%8B%D1%85_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B9&printable=yes печать]

=== Глава XII Интеграл Лебега ===
#[[Определение интеграла Лебега | Определение интеграла Лебега от ограниченных функций по множествам конечной меры]] Вопросы 22, 23 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%9E%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%B0_%D0%9B%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D0%B3%D0%B0&printable=yes печать]
#[[Некоторые элементарные свойства интеграла Лебега]] Вопросы 24, 26 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%9D%D0%B5%D0%BA%D0%BE%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%8B%D0%B5_%D1%8D%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%81%D0%B2%D0%BE%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%B0_%D0%9B%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D0%B3%D0%B0&printable=yes печать]
#[[Предельный переход под знаком интеграла Лебега]] Вопрос 27 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%85%D0%BE%D0%B4_%D0%BF%D0%BE%D0%B4_%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BC_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%B0_%D0%9B%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D0%B3%D0%B0&printable=yes печать]
#[[Неотрицательные суммируемые функции]] Вопросы 28, 29 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%9D%D0%B5%D0%BE%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%81%D1%83%D0%BC%D0%BC%D0%B8%D1%80%D1%83%D0%B5%D0%BC%D1%8B%D0%B5_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8&printable=yes печать]
#[[Суммируемые функции произвольного знака]] Вопросы 28(?), 25, 30, 31 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%A1%D1%83%D0%BC%D0%BC%D0%B8%D1%80%D1%83%D0%B5%D0%BC%D1%8B%D0%B5_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D0%BA%D0%B0&printable=yes печать]
#[[Классические теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега]] Вопросы 32, 33, 34 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%9A%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D1%8B_%D0%BE_%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%BC_%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%B5_%D0%BF%D0%BE%D0%B4_%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BC_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%B0_%D0%9B%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D0%B3%D0%B0&printable=yes печать]
#[[Пространство L_p(E)]] Вопросы 35, 36, 37 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_L_p(E)&printable=yes печать]
#[[Мера подграфика]] Вопросы 38, 39 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%9C%D0%B5%D1%80%D0%B0_%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B8%D0%BA%D0%B0&printable=yes печать]
#[[Теорема Фубини]] Вопросы 40, 41 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%A4%D1%83%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D0%B8&printable=yes печать]
#[[Точки Лебега суммируемой функции]] Нафиг не нужно

=== Глава XIII Ряды Фурье ===
# [[Определение ряда Фурье]] Вопрос 1
# [[Интеграл Дирихле]] Вопрос 2
# [[Интеграл Фейера]] Вопрос 2
# [[Теорема Фейера]] Вопросы 6, 7, 8, 9, 12
# [[Наилучшее приближение в линейных нормированных пространствах]] Вопросы 3, 10, 11
# [[Лемма Римана-Лебега]] Вопрос 13, 31,
# [[Сходимость ряда Фурье в индивидуальной точке]] Вопросы 14, 15
# [[Функции ограниченной вариации]] Вопросы 16, 17
# [[Интеграл Римана-Стилтьеса]] Вопросы 18, 19, 20, 21, 22, 23
# [[Теорема Жордана]] Вопросы 24, 25, 43
# [[О почленном интегрировании ряда Фурье]] Вопрос 32,
# [[L_2-теория рядов Фурье]] Вопросы 26, 27, 28
# [[Теорема Лузина-Данжуа]] Вопросы 29, 30,
# [[Теорема Джексона]] Вопросы 33, 34, 35, 36, 37, 38
# [[Об интеграле Фурье]] Вопросы 42, 44, 45
# [[Явление Гиббса]] Вопрос 41
# [[Неравенство Бернштейна]] Вопрос 39
# [[Об обратных теоремах теории приближения функций]] Вопрос 40

=== Экзамен ===
* [[Вопросы к экзамену по математическому анализу за 4 семестр]]
* [[Теоретический минимум по математическому анализу за 4 семестр]]
* [[Вопросы к экзамену по математическому анализу за 3 семестр]]
* [[Теоретический минимум по математическому анализу за 3 семестр]]

Теорема о (((p-1)/2)!)^2=-1(mod p)

2012-05-27T11:49:29Z

80.70.236.75: /* Теорема о ((\frac{p-1}{2})!)^2\equiv -1 (mod ~p) при p=4\cdot k+1 */

{{В разработке}}
==Теорема о <tex>((\frac{p-1}{2})!)^2\equiv -1 (mod ~p)</tex> при <tex>p=4\cdot k+1</tex>==
Рассмотрим сравнение <tex>\left(\cfrac{a}{p}\right)=a^{\frac{p-1}{2}}(mod ~p)</tex>. Если <tex>a=-1</tex>, то сравнение примет вид <tex>\left(\cfrac{-1}{p}\right)=(-1)^{\frac{p-1}{2}}(mod~p)</tex>. То есть <tex>a=-1</tex> будет квадратичным вычетом, если <tex>(-1)^{\frac{p-1}{2}}=1</tex>. Любое нечетное целое число имеет вид <tex>4\cdot k+1</tex>, или <tex>4\cdot k+3</tex>. Рассмотрим <tex>p=4\cdot k+1</tex>, тогда <tex>(-1)^{2\cdot k}=1</tex>, это равенство выполняется при любом <tex>k</tex>. Теперь рассмотрим <tex>p=4 \cdot k+3</tex>, получим <tex>(-1)^{2\cdot k+1}=1</tex>, это равенство не выполняется при любом <tex>k</tex>. Следовательно, <tex>a=-1</tex> будет квадратичным вычетом по модулю всех простых чисел, задаваемых формулой <tex>p=4 \cdot k+1</tex>.
{{Теорема
|id=th2
|statement=
<tex>((\frac{p-1}{2})!)^2\equiv -1 (mod ~p)</tex> при <tex>p=4\cdot k+1</tex>
|proof=
Так как <tex>(p-1)!=-1(mod ~p)</tex>, то подставив в это сравнение <tex>p=4\cdot k+1</tex>, получим <tex>(4 \cdot k)!=-1(mod~p)</tex>. Рассмотрим <tex>((\frac{p-1}{2})!)^2</tex>, подставим <tex>p = 4 \cdot k+1</tex>, получим <tex>((2 \cdot k)!)^2</tex>. Рассмотрим сравнение <tex>(4 \cdot k)!=-1(mod~p)</tex>:
 
<tex>1\cdot 2\cdot \dots \cdot (2\cdot k)\cdot (2 \cdot k+1)\cdot \dots \cdot (4 \cdot k)\equiv -1 (mod~p)</tex>
 
<tex>1\cdot 2\cdot \dots \cdot (2\cdot k)\cdot (-2 \cdot k)\cdot \dots \cdot (-1)\equiv -1 (mod~p)</tex>
 
Так как число отрицательных членов четно, все минусы сократятся, получим:
 
<tex>1\cdot 2\cdot \dots \cdot (2\cdot k)\cdot (2 \cdot k)\cdot \dots \cdot (1)\equiv -1 (mod~p)</tex>
 
<tex>(2\cdot k)!\cdot(2\cdot k)!\equiv -1 (mod ~p)</tex>
 
<tex>((2\cdot k)!)^2\equiv -1 (mod~p)</tex>
 
А так как <tex>((2\cdot k)!)^2=((\frac{p-1}{2})!)^2(mod~p)</tex>, то <tex>((\frac{p-1}{2})!)^2=-1(mod~p)</tex>, при <tex>p=4\cdot k+1</tex>.

}}

[[Категория: Теория чисел]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Математический анализ 2 курс

Теорема о (((p-1)/2)!)^2=-1(mod p)