Декартово дерево по неявному ключу

2012-06-07T17:39:11Z

80.79.247.164:

==Основная идея==
Возьмем структуру данных [[Саморасширяющийся массив|вектор]]. В её стандартной реализации мы умеем добавлять элемент в конец вектора, узнавать значение элемента, стоящего на определенной позиции, изменять элемент по номеру и удалять последний элемент. Предположим, что нам необходима структура данных с вышеуказанными свойствами, а также с операциями: добавить элемент в любое место (с соответствующим изменением нумерации элементов) и удалить любой элемент (также с соответствующим изменением нумерации). Такая структура существует и называется ''декартово дерево по неявному ключу''.
[[Файл:Tree_1.png|right|250px|thumb|Пример описанного дерева с демонстрацией определения ключа <tex>X</tex>]]
Как известно, [[декартово дерево]] {{---}} это структура данных, объединяющая в себе бинарное дерево поиска и бинарную кучу. При реализации же декартова дерева по неявному ключу модифицируем эту структуру. А именно, оставим в нем только приоритет <tex>Y</tex>, а вместо ключа <tex>X</tex> будем использовать следующую величину: '''количество элементов в нашей структуре, находящихся левее нашего элемента'''. Иначе говоря, будем считать ключом порядковый номер нашего элемента в дереве, уменьшенный на единицу.

Заметим, что при этом сохранится структура [[Дерево_поиска,_наивная_реализация|двоичного дерева поиска]] по этому ключу (то есть модифицированное декартово дерево так и останется декартовым деревом). Однако, с этим подходом появляется проблема: операции добавления и удаления элемента могут поменять нумерацию, и при наивной реализации на изменение всех ключей потребуется <tex>O(n)</tex> времени, где <tex>n</tex> {{---}} количество элементов в дереве.

Решается эта проблема довольно просто. Основная идея заключается в том, что такой ключ <tex>X</tex> сам по себе нигде не хранится. Вместо него будем хранить вспомогательную величину <tex>C</tex>: '''количество вершин в поддереве нашей вершины''' (в поддерево включается и сама вершина). Обратим внимание, что все операции с обычным декартовым деревом делались сверху. Также заметим, что если по пути до некой вершины просуммировать все такие величины в левых поддеревьях, в которые мы не пошли, увеличенные на единицу, то придя в саму вершину и добавив к этой величине количество элементов в её левом поддереве, мы получим как раз ее ключ <tex>X</tex>.

==Операции, поддерживающие структуру декартова дерева==
Структура обычного декартова дерева поддерживается с помощью двух операций: <tex>split</tex> {{---}} разбиение одного декартова дерева на два таких, что в одном ключ <tex>X</tex> меньше, чем заданное значение, а в другом {{---}} больше, и <tex>merge</tex> {{---}} слияние двух деревьев, в одном из которых все ключи <tex>X</tex> меньше, чем во втором. С учетом отличий декартова дерева по неявному ключу от обычного, операции теперь будут описываться так: <tex>split(root, t)</tex> {{---}} разбиение дерева на два так, что в левом окажется ровно <tex>t</tex> вершин, и <tex>merge(root1, root2)</tex> {{---}} слияние двух любых деревьев, соответственно.

===Split===
Пусть процедура <tex>split</tex> запущена в корне дерева с требованием отрезать от дерева <tex>t</tex> вершин. Также известно, что в левом поддереве вершины находится <tex>l</tex> вершин, а в правом <tex>r</tex>. Рассмотрим все возможные случаи:
* <tex>l = t</tex>. В этом случае процедура <tex>split</tex> должна просто пометить, что у корня больше нет левого сына, и вернуть его бывшего левого сына в качестве левой части ответа, а сам корень {{---}} в качестве правой.
* Случай (<tex>t = l + 1</tex>) рассматривается аналогично предыдущему.
* <tex>t < l</tex>. В этом случае нужно рекурсивно запустить процедуру <tex>split</tex> от левого сына с тем же параметром <tex>t</tex>, и левая часть сына станет левой частью ответа нашей процедуры, а правая часть сына станет левым сыном корня, после чего корень станет правой частью ответа.
* Случай <tex>t > l + 1</tex> рассматривается аналогично предыдущему, с той лишь разницей, что от правого сына отрезается <tex>t - l - 1</tex> вершин.

===Merge===
Посмотрим любую из [[Декартово дерево#Операция merge|реализаций]] процедуры <tex>merge</tex>. Заметим, что в ней программа ни разу не обращается к ключу <tex>X</tex>. Поэтому реализация процедуры <tex>merge</tex> для декартова дерева по неявному ключу вообще не будет отличаться от реализации той же процедуры в обычном декартовом дереве.

===Поддержание корректности значений C===
Единственное действие, обеспечивающее корректность этих значений заключается в том, что после любого действия с детьми вершины нужно записать в ее поле <tex>C</tex> сумму этих значений в ее новых детях, увеличенную на единицу.

==Применение описанного дерева==
Таким образом, описана структура, от которой можно отрезать слева кусок произвольной длины и слить два любых куска в один в нужном порядке. Теперь мы имеем возможность:
* вставить элемент в любое место (отрежем нужное количество элементов слева, сольем левое дерево с деревом из одного добавленного элемента и результат {{---}} с правым деревом);
* переставить любой кусок массива куда угодно (сделаем нужные разрезы и слияния в правильном порядке);
* совершать групповые операции с элементами. Вспомним реализацию таких операций в дереве отрезков и поймем, что ничего не помешает нам сделать то же самое с описанным деревом. В групповые операции включается, естественно, и взятие функции от отрезка.
* сделав на одном исходном массиве два дерева из элементов разной четности, можно решить задачу про смену мест четных и нечетных на отрезке.

==Ссылки==
* [http://habrahabr.ru/post/102364/ Habrahabr - Декартово дерево по неявному ключу]
* [http://e-maxx.ru/algo/treap#7 E-maxx - Неявные декартовы деревья]

[[Категория: Деревья поиска]]
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Декартово дерево по неявному ключу