Лемма Римана-Лебега

2012-05-17T23:47:32Z

83.149.2.122: Новая страница: «{{В разработке}} {{Утверждение |author= Лемма Римана-Лебега |statement= Пусть <tex>f \in L_1</tex>, тогда <tex>a...»

{{В разработке}}

{{Утверждение
|author= Лемма Римана-Лебега
|statement= Пусть <tex>f \in L_1</tex>, тогда <tex>a_n \to 0</tex>, <tex>b_n \to 0</tex>, при <tex>n \to \infty</tex>
|proof= <tex>|a_n(f)| = \frac{1}{\pi}|\int\limits_{Q}f(x)\cos{nx}dx|</tex>. Обозначим <tex>T_{n-1}(f)_1</tex> {{---}} полином наилучшего приближения функции <tex>f</tex>, степени, не большей <tex>n-1</tex> в <tex>L_1</tex>. Так как это сумма вида <tex>\frac{c_0}{2}+\sum\limits_{k=1}^{m-1}(c_k\cos{kx}+d_k\sin{kx})</tex>, то по свойству тригонометрических функций выполняется: <tex>\int\limits_{Q}T_{n-1}(f,x)\cos{nx}dx = 0</tex>,
<tex>\int\limits_{Q}f(x)\cos{nx}dx = \int\limits_{Q}(f(x)-T_{n-1}(f,x)_1)\cos{nx}dx + \int\limits_{Q}T_{n-1}(f,x)_1\cos{nx}dx = \int\limits_{Q}(f(x)-T_{n-1}(f,x)_1)\cos{nx}dx</tex>.
Тогда <tex>|a_n(f)| \le \frac{1}{\pi}\int\limits_{Q}|f(x)-T_{n-1}(f)_1| = \frac{1}{\pi}||f-T_{n-1}(f)_1|| = \frac{1}{\pi}E_{n-1}(f)_1</tex>, то есть <tex>|a_n(f)|\le \frac{1}{\pi}E_{n-1}(f)_1</tex>. По обобщенной теореме Вейерштрасса <tex>E_{n-1}(f)_1 \to 0</tex>, следовательно <tex>a_n(f) \to 0</tex>. Для <tex>b_n</tex> доказывается аналогично.
}}

Математический анализ 2 курс

2012-05-17T23:44:32Z

83.149.2.122:

[[Категория:Математический анализ 2 курс]]
<i>matan {{---}} убивать (исп.)</i>


[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8 Множество Витали]

=== Глава X Мера и интеграл Лебега ===
#[[Полукольца и алгебры]] Вопрос 1 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D1%83%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%86%D0%B0_%D0%B8_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D1%8B&printable=yes печать]
#[[Мера на полукольце множеств]] Вопрос 2 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%9C%D0%B5%D1%80%D0%B0_%D0%BD%D0%B0_%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D1%83%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%86%D0%B5_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2&printable=yes печать]
#[[Внешняя мера]] Вопрос 3 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%92%D0%BD%D0%B5%D1%88%D0%BD%D1%8F%D1%8F_%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%B0&printable=yes печать]
#[[Мера, порожденная внешней мерой]] Вопрос 4 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%9C%D0%B5%D1%80%D0%B0,_%D0%BF%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%B6%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D1%88%D0%BD%D0%B5%D0%B9_%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%BE%D0%B9&printable=yes печать]
#[[Процесс Каратеодори]] Вопросы 5, 6, 7 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%BE%D1%86%D0%B5%D1%81%D1%81_%D0%9A%D0%B0%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BE%D0%B4%D0%BE%D1%80%D0%B8&printable=yes печать]
#[[Объём n-мерного прямоугольника]] Вопросы 8, 9 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%9E%D0%B1%D1%8A%D1%91%D0%BC_n-%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BF%D1%80%D1%8F%D0%BC%D0%BE%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0&printable=yes печать]
#[[Мера Лебега в R^n]] Вопросы 10, 11, 12 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%9C%D0%B5%D1%80%D0%B0_%D0%9B%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D0%B3%D0%B0_%D0%B2_R%5En&printable=yes печать]

=== Глава XI Измеримые функции===
#[[Определение измеримой функции]] Вопросы 13, 14 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%9E%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B8%D0%B7%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D0%B9_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8&printable=yes печать]
#[[Предельный переход в классе измеримых функций]] Вопросы 15, 16 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%85%D0%BE%D0%B4_%D0%B2_%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B5_%D0%B8%D0%B7%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%BC%D1%8B%D1%85_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B9&printable=yes печать]
#[[Сходимость по мере]] Вопросы 17, 18 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%A1%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C_%D0%BF%D0%BE_%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%B5&printable=yes печать]
#[[Классические теоремы теории измеримых функций]] Вопросы 18(?), 19, 20, 21 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%9A%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D1%8B_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B8_%D0%B8%D0%B7%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%BC%D1%8B%D1%85_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B9&printable=yes печать]

=== Глава XII Интеграл Лебега ===
#[[Определение интеграла Лебега | Определение интеграла Лебега от ограниченных функций по множествам конечной меры]] Вопросы 22, 23 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%9E%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%B0_%D0%9B%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D0%B3%D0%B0&printable=yes печать]
#[[Некоторые элементарные свойства интеграла Лебега]] Вопросы 24, 26 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%9D%D0%B5%D0%BA%D0%BE%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%8B%D0%B5_%D1%8D%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%81%D0%B2%D0%BE%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%B0_%D0%9B%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D0%B3%D0%B0&printable=yes печать]
#[[Предельный переход под знаком интеграла Лебега]] Вопрос 27 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%85%D0%BE%D0%B4_%D0%BF%D0%BE%D0%B4_%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BC_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%B0_%D0%9B%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D0%B3%D0%B0&printable=yes печать]
#[[Неотрицательные суммируемые функции]] Вопросы 28, 29 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%9D%D0%B5%D0%BE%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%81%D1%83%D0%BC%D0%BC%D0%B8%D1%80%D1%83%D0%B5%D0%BC%D1%8B%D0%B5_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8&printable=yes печать]
#[[Суммируемые функции произвольного знака]] Вопросы 28(?), 25, 30, 31 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%A1%D1%83%D0%BC%D0%BC%D0%B8%D1%80%D1%83%D0%B5%D0%BC%D1%8B%D0%B5_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D0%BA%D0%B0&printable=yes печать]
#[[Классические теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега]] Вопросы 32, 33, 34 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%9A%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D1%8B_%D0%BE_%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%BC_%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%B5_%D0%BF%D0%BE%D0%B4_%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BC_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%B0_%D0%9B%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D0%B3%D0%B0&printable=yes печать]
#[[Пространство L_p(E)]] Вопросы 35, 36, 37 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_L_p(E)&printable=yes печать]
#[[Мера подграфика]] Вопросы 38, 39 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%9C%D0%B5%D1%80%D0%B0_%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B8%D0%BA%D0%B0&printable=yes печать]
#[[Теорема Фубини]] Вопросы 40, 41 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%A4%D1%83%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D0%B8&printable=yes печать]
#[[Точки Лебега суммируемой функции]] Нафиг не нужно

=== Глава XIII Ряды Фурье ===
# [[Определение ряда Фурье]]
# [[Интеграл Дирихле]]
# [[Интеграл Фейера]]
# [[Наилучшее приближение в линейных нормированных пространствах]]
# [[Теорема Фейера]]
# [[Лемма Римана-Лебега]]
=== Экзамен ===
[[Вопросы к экзамену по математическому анализу за 3 семестр]]

[[Теоретический минимум по математическому анализу за 3 семестр]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Лемма Римана-Лебега

Математический анализ 2 курс