Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Лемма Римана-Лебега

2012-05-18T12:41:41Z

83.149.3.41:

{{В разработке}}
{{Лемма
|author= Риман-Лебег
|statement= Пусть <tex>f \in L_1</tex>, тогда <tex>a_n \to 0</tex>, <tex>b_n \to 0</tex>, при <tex>n \to \infty</tex>
|proof= <tex>|a_n(f)| = \frac{1}{\pi}|\int\limits_{Q}f(x)\cos{nx}dx|</tex>. Обозначим <tex>T_{n-1}(f)_1</tex> {{---}} полином наилучшего приближения функции <tex>f</tex>, степени, не большей <tex>n-1</tex> в <tex>L_1</tex>. Так как это сумма вида <tex>\frac{c_0}{2}+\sum\limits_{k=1}^{m-1}(c_k\cos{kx}+d_k\sin{kx})</tex>, то по свойству тригонометрических функций выполняется:
<tex>\int\limits_{Q}T_{n-1}(f,x)\cos{nx}dx = 0</tex>

<tex>\int\limits_{Q}f(x)\cos{nx}dx = \int\limits_{Q}(f(x)-T_{n-1}(f,x)_1)\cos{nx}dx + \int\limits_{Q}T_{n-1}(f,x)_1\cos{nx}dx = \int\limits_{Q}(f(x)-T_{n-1}(f,x)_1)\cos{nx}dx</tex>.
Тогда <tex>|a_n(f)| \le \frac{1}{\pi}\int\limits_{Q}|f(x)-T_{n-1}(f)_1| = \frac{1}{\pi}||f-T_{n-1}(f)_1|| = \frac{1}{\pi}E_{n-1}(f)_1</tex>, то есть <tex>|a_n(f)|\le \frac{1}{\pi}E_{n-1}(f)_1</tex>. По обобщенной теореме Вейерштрасса <tex>E_{n-1}(f)_1 \to 0</tex>, следовательно <tex>a_n(f) \to 0</tex>. Для <tex>b_n</tex> доказывается аналогично.
}}
Следует иметь ввиду, что <tex>\int\limits_{Q}|f(x)||\cos{nx}|</tex> не стремится к 0, поэтому грубая оценка, что <tex>|a_n(f)| \le \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q}|f(x)||\cos{nx}|dx</tex> ни к чему не ведет. То, что лемма Римана-Лебега была написана для <tex>2\pi</tex>-периодичных функций не имеет принципиального значения, так как на самом деле справедлив общий факт.

{{Лемма
|author= Риман-Лебег
|statement= Пусть <tex>\int\limits_{\mathbb{R}}f < +\infty</tex>, то есть <tex>f</tex> {{---}} суммируема на всей оси, тогда <tex>\int\limits_{\mathbb{R}}f(x)\cos(px) \to 0</tex> при <tex>p \to \infty</tex>
|proof= Обе леммы равносильны. Первая получается из второй, если подставить <tex>f =0</tex> вне отрезка <tex>Q</tex>. В обратную сторону: {{TODO}}
}}
В частности из леммы Римана-Лебега получается важный результат, называемый '''принципом локализации Римана рядов Фурье'''.
{{Теорема
|author= Риман
|statement= Пусть <tex>f,g \in L_1</tex>, <tex>0 < \delta < \pi</tex>, <tex>x \in \mathbb{R}</tex>. Пусть в <tex>\delta</tex>-окрестности точки <tex>x</tex> выполняется <tex>f = g</tex>, тогда <tex>\lim\limits_{n \to \infty}(S_n(f,x)-S_n(g,x))=0</tex>
|proof= {{TODO}}
}}

Лемма Римана-Лебега

2012-05-18T12:09:14Z

83.149.3.41: