Метод четырёх русских для умножения матриц

2019-10-08T15:07:53Z

83.239.81.22:

{{Задача
|definition = Дано две квадратных матрицы <tex>A_{[n \times n]}</tex> и <tex>B_{[n \times n]}</tex>,
состоящие из нулей и единиц. Нужно найти их произведение. При этом, все операции выполняются по модулю <tex>2</tex>.
}}
</noinclude>
<includeonly>{{#if: {{{neat|}}}|
<div style="background-color: #fcfcfc; float:left;">
<div style="background-color: #ddd;">'''Задача:'''</div>
<div style="border:1px dashed #2f6fab; padding: 8px; font-style: italic;">{{{definition}}}</div>
</div>|
<table border="0" width="100%">
<tr><td style="background-color: #ddd">'''Задача:'''</td></tr>
<tr><td style="border:1px dashed #2f6fab; padding: 8px; background-color: #fcfcfc; font-style: italic;">{{{definition}}}</td></tr>
</table>}}
</includeonly>
== Простое решение ==

Если мы будем считать произведение матриц <tex>C = A \cdot B</tex> по определению <tex dpi=130>\left(c_{i, j} = \sum\limits_{k = 1}^n a_{i,k}b_{k,j}\right)</tex>, то сложность работы алгоритма составит <tex>O(n^3)</tex> {{---}} каждый из <tex>n^2</tex> элементов результирующей матрицы <tex>C</tex> вычисляется за время, пропорциональное <tex>n</tex>.

Сейчас будет показано, как немного уменьшить это время.

== Сжатие матриц ==

Для выполнения сжатия матриц выполним следующий предподсчёт : для всех возможных пар двоичных векторов длины <tex>k</tex> подсчитаем и запомним их скалярное произведение по модулю <tex>2</tex>.

Возьмём первую матрицу. разделим каждую её строку на куски размера <tex>k</tex>. Для каждого куска определим номер двоичного вектора, который соответствует числам, находящимся на этом куске. Если кусок получился неравным по длине <tex>k</tex>(последний кусок строки), то будем считать, что в конце в нём идут не влияющие на умножение нули. Получим матрицу <tex dpi=140>A'_{n \times \lceil\frac{n}{k} \rceil}</tex>.

Аналогично поступим с матрицей <tex>B</tex>, вместо строк деля столбцы. Получим матрицу <tex dpi=140>B'_{\lceil\frac nk\rceil\times n}</tex>.

Теперь, если вместо произведения матриц <tex>A</tex> и <tex>B</tex> считать произведение новых матриц <tex>A'</tex> и <tex>B'</tex>, воспользовавшись посчитанными скалярными произведениями, то каждый элемент матрицы <tex>C</tex> будет получаться уже за время, пропорциональное <tex>\lceil \dfrac{n}{k} \rceil</tex> вместо <tex>n</tex>, и время произведения матриц сократится с <tex>O(n^3)</tex> до <tex>O(n^2 \cdot\dfrac nk) = O(\dfrac{n^3}{k}) </tex>.

== Оценка сложности алгоритма и выбор k ==
[[Файл:exampleFourRussiansAlgoFinalPicture.png|500px|right]]

Оценим асимптотику данного алгоритма.

* Предподсчёт скалярных произведений работает за <tex>O(2^{2k}k)</tex>.
* Создание матриц <tex>A'</tex> и <tex>B'</tex> {{---}} <tex>O(n^2)</tex>.
* Перемножение полученных матриц {{---}} <tex>O(\dfrac{n^3}{k})</tex>.

Итого: <tex>O(2^{2k}k) + O(\dfrac{n^3}{k})</tex>.
Выбрав <tex>k = \log n </tex>, получаем требуемую асимптотику <tex>O(n^2 \log n) + O(\dfrac{n^3}{\log n}) = O(\dfrac{n^3}{\log n})</tex>

== Пример работы алгоритма ==

Рассмотрим работу алгоритма на примере перемножения двух матриц <tex> A </tex> и <tex> B </tex>, где

<tex> A = </tex>
<tex>
\left(\begin{array}{cccc}
0 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)
</tex>
, <tex> B = </tex>
<tex>
\left(\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1
\end{array}\right)
</tex>

<tex> k = \log_2 n = \log_2 4 = 2</tex>, то предподсчитаем все скалярные произведения:

Для удобства каждому битовому вектору будет соответствовать двоичное число с ведущими нулями, т.е. в данном случае имеем числа <tex> 00 </tex>, <tex> 01 </tex>, <tex> 10 </tex>, <tex> 11 </tex>. Ниже приведена таблица, в которой записаны все искомые произведения:

<tex>
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
& \textbf{00} & \textbf{01} & \textbf{10} & \textbf{11} \\
\hline
\textbf{00} & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\hline
\textbf{01} & 0 & 1 & 0 & 1 \\
\hline
\textbf{10} & 0 & 0 & 1 & 1 \\
\hline
\textbf{11} & 0 & 1 & 1 & 0\\
\hline
\end{array}
</tex>

Согласно соглашению относительно битовых векторов и двоичных чисел получим новые матрицы <tex> A' </tex> и <tex> B' </tex>:

<tex> A' = </tex>
<tex>
\left(\begin{array}{cccc}
01 & 11 \\
01 & 00 \\
11 & 01 \\
10 & 01
\end{array}\right)
</tex>
,
<tex> B' = </tex>
<tex>
\left(\begin{array}{cccc}
10 & 00 & 01 & 11 \\
10 & 01 & 10 & 01
\end{array}\right)
</tex>

Перемножим эти матрицы по модулю два с использованием нашего предпосчета:

<tex> C = A' \times B' = </tex>
<tex>
\left(\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 0
\end{array}\right)
</tex>

Матрица <tex> C </tex> {{---}} искомая.

== Источники информации ==
* ''Gregory V. Bard'' — ''Accelerating Cryptanalysis with the Method of Four Russians''. July 22, 2006. Страница 5

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Динамическое программирование]]
[[Категория: Способы оптимизации методов динамического программирования]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Метод четырёх русских для умножения матриц