Теорема Райса-Шапиро

2020-06-09T11:54:12Z

84.39.244.23:

{{Определение
|definition=
'''Образцом''' (англ. ''pattern'') называется конечное множество слов, объединённое [[Свойства_перечислимых_языков._Теорема_Успенского-Райса|свойством]].
}}

{{Определение
|definition=
'''Язык <tex>L</tex> удовлетворяет свойству <tex>A</tex>''', если <tex>L \in A</tex> ( этот язык содержится в <tex>A</tex>).
}}

{{Определение
|definition=
'''Язык <tex>L</tex> удовлетворяет образцу <tex>X</tex>''', если <tex>L</tex> содержит все элементы <tex>X</tex>.
}}
{{Определение
|definition=
'''Язык <tex>L</tex> удовлетворяет множеству образцов <tex>\Gamma</tex>''', если <tex>L</tex> удовлетворяет хотя бы одному образцу <tex>X \in \Gamma</tex>.
}}

{{Лемма
|statement=
Пусть <tex>A</tex> — перечислимое свойство языков, <tex>G \in A</tex>. Тогда верно следствие: <tex>G \subset H \Rightarrow H \in A</tex>.
|proof=
Строим доказательство от противного. Пусть <tex>G \in A</tex>, <tex>G \subset H</tex>, <tex>H \notin A</tex>, <tex>K</tex> — перечислимое неразрешимое множество. Построим следующую вычислимую функцию:
<tex>f(x, y) = \begin{cases}
x \in H & y \in K\\
x \in G & y \notin K
\end{cases}</tex>

Вычисляется эта функция следующим образом: параллельно запускаем проверки <tex>x \in G</tex> и <tex>y \in K</tex>. Если <tex>x \in G</tex>, то <tex>x \in H</tex>, следовательно, функция возвращает единицу вне зависимости от <tex>y</tex>. Если <tex>y \in K</tex>, то запускаем проверку <tex>x \in H</tex>.

Разрешим множество <tex>K</tex>с помощью этой функции. Для проверяемого элемента <tex>y</tex> подготовим программу <tex>g</tex>:

<tex>g(x):</tex>
'''if''' <tex>x \in H</tex>
'''return''' <tex>y \in K</tex>
'''if''' <tex>x \in G</tex>
'''return''' <tex>y \notin K</tex>

После этого запустим параллельно проверки <tex>y \in K</tex> и <tex>L(g) \in A</tex>. Если <tex>y \in K</tex>, то первая проверка завершится. Иначе функция <tex>g</tex> задаёт язык <tex>G</tex>, который обладает свойством <tex>A</tex>, следовательно, вторая проверка завершится, сигнализируя о том, что <tex>y \notin K</tex>. Но <tex>K</tex> не является разрешимым множеством, получено противоречие.
}}

{{Лемма
|statement=
Пусть <tex>A</tex> — перечислимое свойство, <tex>G \in A</tex>. Тогда существует конечное множество <tex>H \in A</tex>, которое является подмножеством <tex>G</tex>.
|proof=
Строим доказательство от противного. Пусть <tex>G \in A</tex>, и любое конечное подмножество <tex>G</tex> не удовлетворяет свойству <tex>A</tex>, <tex>K</tex> — перечислимое неразрешимое множество. Определим следующую функцию:
* <tex>f(x, y) = false</tex>, если за <tex>x</tex> шагов перечисления <tex>K</tex> появилось слово <tex>y</tex>.
* <tex>f(x, y) = x \in G</tex> иначе.
Заметим, что если <tex>y \in K</tex>, то <tex>f(x, y)</tex> распознаёт некоторое конечное подмножество <tex>G</tex> и всё множество <tex>G</tex> иначе. Эта функция тривиальным образом разрешима, построим с её помощью разрешитель <tex>K</tex>. Аналогично доказательству первой леммы, подготовим программу <tex>g</tex>:

g(x):
'''return''' f(x, y)

После этого параллельно запустим проверки <tex>y \in K</tex> и <tex>L(g) \in A</tex>. Аналогично, данная процедура разрешает множество <tex>K</tex>. Но <tex>K</tex> не является разрешимым, получено противоречие.
}}

'''Теорема Райса-Шапиро''' позволяет дать простое описание перечислимым свойствам языков. Заметим, что вычислимо работать с произвольными языками возможности нет, поэтому далее неявно подразумевается, что все рассматриваемые языки являются [[Перечислимые языки|перечислимыми]].

Заметим, что образцы являются конструктивными объектами, следовательно, можно говорить о разрешимых и перечислимых множествах образцов.

{{Теорема
|about=
Райса-Шапиро
|statement=
Свойство языков <tex>A</tex> перечислимо <tex>\iff \exists\Gamma : L \in A \iff L \subseteq \Gamma.</tex>
}}

<tex>\Leftarrow</tex>

: Доказательство в одну сторону тривиально: пусть <tex>\Gamma</tex> — перечислимое множество образцов. Будем обозначать за <tex>\Gamma_i</tex> образец с номером <tex>i</tex>, а за <tex>\Gamma_{ij}</tex> — элемент с номером <tex>j</tex> образца с номером <tex>i</tex>. Далее приведён код полуразрешителя <tex>A</tex>, который принимает на вход код полуразрешителя <tex>L</tex> и возвращает значение <tex>L \in A</tex>.

A(L):
'''for''' t = 1 '''to''' <tex>\infty</tex>
'''for''' i = 1 '''to''' t
ok <tex>=</tex> ''true''
'''for''' j = 1 '''to''' <tex>|\Gamma_i|</tex>
'''if''' <tex>\lnot L|_t (\Gamma_{ij})</tex>
ok <tex>=</tex> ''false''
'''if''' ok
'''return''' ''true''

<tex>\Rightarrow</tex>
:Для доказательства в другую сторону будем использовать две леммы, приведённые выше. Полуразрешитель для множества образцов, удовлетворяющих <tex>\Gamma</tex> строится следующим образом: для каждого образца <tex>\gamma</tex> строится текст программы
f<tex>{}_\gamma</tex>(x):
'''return''' x <tex>{} \in \gamma</tex>
:Текст программы передаётся полуразрешителю <tex>A</tex>.

:Докажем, что данное построение корректно. Обозначим множество образцов, принимаемое построенным выше полурарешителем <tex>\Gamma</tex>. Пусть существует <tex>\gamma \in \Gamma</tex> такой, что <tex>L</tex> удовлетворяет <tex>\gamma</tex>. По определению <tex>\Gamma</tex>, язык <tex>\gamma</tex> удовлетворяет свойству <tex>A</tex>. Язык <tex>L</tex> удовлетворяет свойству <tex>A</tex> по первой лемме как надмножество <tex>\gamma</tex>.

:Пусть <tex>L \in A</tex>. Тогда по второй лемме найдётся образец <tex>\gamma</tex>, который является подмножеством <tex>L</tex> и удовлетворяет свойству <tex>A</tex>. Следовательно, этот образец лежит в множестве <tex>\Gamma</tex> и язык <tex>A</tex> удовлетворяет множеству образцов <tex>\Gamma</tex>, что и требовалось доказать.

== См. также==

* [[m-сводимость]]
* [[Примеры_неразрешимых_задач:_проблема_соответствий_Поста | Проблема соответствий Поста]]
* [[Неразрешимость исчисления предикатов первого порядка]]

== Источники информации ==
* ''Верещагин Н. К., Шень A.'' Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 3. Вычислимые функции. {{---}} М.: МЦНМО, 1999. С. 134. ISBN 5-900916-36-7
* ''Хопкрофт Д., Мотвани Р., Ульман Д.'' Введение в теорию автоматов, языков и вычислений, 2-е изд. : Пер. с англ. {{---}} М.: Издательский дом «Вильямс», 2008. {{---}} С. 528 {{---}} ISBN 978-5-8459-1347-0 (рус.)

[[Категория: Теория формальных языков]]
[[Категория: Теория вычислимости]]
[[Категория: Примеры неразрешимых задач]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Теорема Райса-Шапиро