Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Список заданий по ДМ 2к 2017 осень

2017-11-20T08:21:29Z

84.42.11.173:

<wikitex>
# Постройте граф с $n$ вершинами и $m$ ребрами. Здесь и далее "постройте граф с $n$ вершинами, ..." означает, что вы должны рассказать способ для любого $n$ построить искомый граф, либо рассказать, для каких $n$ такой граф существует и указать способ его построить, а для остальных $n$ доказать, что такого графа не существует. Аналогично следует поступить с другими параметрами, указанными в условии задачи.
# Обозначим как $N(u)$ множество соседей вершины $u$. Постройте граф с $n$ вершинами, в котором множества $N(u)$ совпадают для всех вершин $u$.
# Обозначим как $N[u]$ множество, содержащее вершину $u$, а также соседей вершины $u$. Постройте граф с $n$ вершинами, в котором множества $N[u]$ совпадают для всех вершин $u$.
# Постройте граф с $n$ вершинами, где каждая вершина имеет степень $d$.
# Докажите, что любой граф, содержащий хотя бы две вершины, имеет две вершины одинаковой степени.
# Обозначим как $\delta(G)$ минимальную степень вершины в графе, как $\Delta(G)$ - максимальную степень вершины в графе. Постройте граф с $n$ вершинами, в котором $\delta(G) + \Delta(G) > n$.
# Постройте двудольный граф с $n$ вершинами, в котором $\delta(G) + \Delta(G) > n$.
# Пусть для двудольного графа выполнено условие: для любой пары не соединенных ребром вершин есть вершина, связанная с обеими этими вершинами. Как устроен такой граф?
# Докажите, что для любого графа $G$ можно записать в каждой вершине $u$ такое число $d(u)$, что числа $d(u)$ и $d(v)$ имеют общий делитель, отличный от 1, тогда и только тогда, когда в графе $G$ есть ребро $uv$.
# Граф называется кубическим, если степень всех вершин равна 3. Три вершины графа образуют треугольник, если они попарно соединены ребром. Постройте кубический граф с $n$ вершинами, не содержащий треугольников.
# Граф называется самодополнительным, если он изоморфен своему дополнению. Приведите примеры самодополнительных графов с 4 и 5 вершинами. Докажите, что если граф является самодополнительным, то он содержит либо $4n$ либо $4n+1$ вершину для некоторого целого положительного $n$.
# Докажите, что для любого целого положительного $n$ существует самодополнительный граф, содержащий $4n$ вершин, а также самодополнительный граф, содержащий $4n+1$ вершину.
# Граф $G$ с $n$ вершинами называется графом пересечений, если можно найти такие множества $U_i$, $i$ от 1 до $n$, что вершины $i$ и $j$ связаны ребром тогда и только тогда, когда $U_i \cap U_j \ne \varnothing$. Докажите, что любой граф является графом пересечений.
# Числом пересечения графа $\omega(G)$ называется минимальная возможная мощность множества $S$, что граф $G$ является графом пересечений для множеств $U_i \subset S$. Опишите графы с $\omega(G) = 1$.
# Приведите пример графа с $\omega(G) = 2$.
# Приведите пример графа с $n$ вершинами, для которого $\omega(G) > n$.
# Докажите, что для любого графа с $n$ вершинами, где $n \ge 4$, выполнено $\omega(G) \le n^2/4$.
# Обозначим как $C_n$ цикл из $n$ вершин. Найдите $\omega(C_n)$.
# Найдите асимптотическое поведение $\omega(\overline{C_n})$.
# Колесом $C_n + K_1$ называется граф, состоящий из цикла, содержащего $n$ вершин, и еще одной вершины $u$, причем все вершины цикла соединены с $u$. Найдите $\omega(C_n + K_1)$.
# Докажите, что каждый циклический путь нечетной длины содержит простой цикл.
# Докажите или опровергните, что объединение двух любых простых путей из вершины $u$ в вершину $v$ содержит цикл.
# Докажите, что граф связен тогда и только тогда когда для любого разбиения его множества вершин $V$ на два непустых непересекающихся множества $X$ и $Y$ существует ребро, соединяющее эти множества.
# Докажите, что в связном графе любые два самых длинных простых пути имеют общую вершину.
# Докажите или опровергните, что в связном графе все самые длинные простые пути имеют общую вершину.
# Обозначим как $\delta(G)$ минимальную степень вершины в графе. Докажите, что если в графе с $n$ вершинами $\delta(G) > (n - 1) / 2$, то он связен.
# Докажите, что либо граф $G$, либо его дополнение $\overline{G}$ связен.
# Будем говорить, что $G$ связан короткими путями, если между любыми двумя вершинами в $G$ есть путь длины не более 3. Докажите, что либо $G$, либо $\overline G$ связан короткими путями.
# Найдите максимальное число ребер в графе с $n$ вершинами, не содержащем четных простых циклов.
# Докажите, что граф с $n$ вершинами и $n + 4$ ребрами содержит два простых цикла, не имеющих общих ребер.
# Доказать или опровергнуть, что если ребро $uv$ - мост, то $u$ и $v$ - точки сочленения.
# Доказать или опровергнуть, что если $u$ и $v$ - точки сочленения, то $uv$ - мост.
# Какое максимальное число точек сочленения может быть в графе с $n$ вершинами?
# Рассмотрим отношение на рёбрах - $R$. $ab R cd$, если 1) $ab$ и $cd$ имеют общую вершину; 2) $ab$ и $cd$ лежат на цикле. Доказать, что вершинная двусвязность - это $R^*$.
# Доказать, что ребро $uv$ - мост тогда и только тогда, когда $uv$ вершинно двусвязно только с самим собой.
# Каждое дерево является двудольным графом. А какие деревья являются полными двудольными графами?
# Доказать, что следующие четыре утверждения для связного графа $G$ эквивалентны: (1) любое ребро является мостом (2) $G$ является деревом (3) любой блок $G$ является $K_2$ (4) любое непустое пересечение связных подграфов $G$ связно.
# Доказать, что следующие четыре утверждения для связного графа $G$ эквивалентны: (1) $G$ содержит ровно один простой цикл (2) число вершин и ребер $G$ совпадает (3) $G$ можно превратить в дерево удалением ровно одного ребра (4) множество ребер $G$, которые не являются мостами, образуют один простой цикл.
# Обозначим как $\lambda(G)$ минимальное число ребер, которое нужно удалить в графе, чтобы он потерял связность, $\kappa(G)$ - минимальное число вершин, которое нужно удалить в графе, чтобы он потерял связность (для полного графа полагаем $\kappa(G)=n-1$). Докажите, что $\kappa(G) \le \lambda(G) \le \delta(G)$.
# Докажите. что для любых $1 \le \kappa(G) \le \lambda(G) \le \delta(G)$ существует граф $G$ с такими параметрами.
# Докажите, что не существует графов с $\kappa(G) = 3$ и 7 ребрами.
# Докажите, что любой кубический граф, который содержит точку сочленения, содержит также мост.
# Пусть $G$ - полный двудольный граф, за исключением $K_{2,2}$. Докажите $\lambda(G)=\delta(G)$, почем единственный способ удалить $\lambda(G)$ ребер, чтобы граф потерял связность - удалить все ребра, инцидентные одной из вершин.
# Докажите, что если в связном графе любой блок эйлеров, то и весь граф эйлеров.
# Граф называется произвольно вычерчиваемым из вершины $u$, если следующая процедура всегда приводит к эйлеровому циклу: начиная с вершины $u$, переходим каждый раз по любому исходящему из текущей вершины ребру, по которому ранее не проходили. Докажите, что эйлеров граф является произвольно вычерчиваемым из $u$, если любой его простой цикл содержит $u$.
# Докажите, что если граф $G$ является произвольно вычерчиваемым из $u$, то $u$ имеет максимальную степень в $G$.
# Докажите, что если граф $G$ является произвольно вычерчиваемым из $u$, то либо $u$ - единственная точка сочленения в $G$, либо в $G$ нет точек сочленения.
# Доказать или опровегнуть, что если $G$ содержит порожденный тета-подграф (две вершины, соединенные тремя путями), то $G$ не гамильтонов.
# Обозначим как $G^3$ граф, в котором две вершины соединены, если они соединены в $G$ путем длины не более 3. Докажите, что если $G$ связен, то $G^3$ гамильтонов.
# Граф называется произвольно гамильтоновым, если следующая процедура всегда приводит к гамильтонову циклу: начиная с произвольной вершины $u$, переходим каждый раз по любому исходящему из текущей вершины ребру, другой конец которого мы ранее не посещали, либо обратно в вершину $u$, если непосещенных соседей нет. Опишите все произвольно гамильтоновы графы.
# Теорема "Антихватала". Докажите, что если не выполнено условие теоремы Хватала, то найдется граф с такой степенной последовательностью, не содержащий гамильтонова цикла.
# Докажите, что если сумма степеней любых двух несмежных вершин графа $G$ не меньше $n+1$, то любые две различные вершины $G$ можно соединить гамильтоновым путем.
# Докажите, что для любого $k$ существует негамильтонов граф с $\kappa(G)=k$.
# Обозначим как $G^2$ граф, в котором две вершины соединены, если они соединены в $G$ путем длины не более 2. Докажите, что если $G$ вершинно двусвязен, то $G^2$ гамильтонов.
# Докажите теорему Гуйя-Ури: если в ориентированном графе у любой вершины как входящая, так и исходящая степень хотя бы $n/2$, то он гамильтонов.
# Докажите усиленную версию теоремы Редеи-Камеона: в любом сильно связном турнире с $n$ вершинами есть простой цикл любой длины от $3$ до $n$.
# Докажите, что различные деревья имеют различные коды Прюфера.
# Докажите, что наименьшее число вершин в кубическом графе, в котором есть мост, равно 10.
# Докажите, что если $v$ {{---}} точка сочленения в $G$, то $v$ не точка сочленения в $\overline G$.
# Опишите все деревья с диаметром 2.
# Опишите все деревья с диаметром 3.
# Реберным графом для графа $G$ называется граф $G_E$, множество вершин которого совпадает с множеством ребер исходного графа, два ребра $e$ и $f$ соединены ребром в реберном графе, если у них есть общая инцидентная вершина. Докажите или опровергните, что если $G$ является эйлеровым, то реберный граф является гамильтоновым.
# Докажите или опровергните, что если $G_E$ является гамильтоновым, то граф $G$ является эйлеровым.
# В каком случае ребра реберного графа можно разбить на полные подграфы таким образом, чтобы каждая вершина принадлежала в точности двум из подграфов?
# Выразите число треугольников в реберном графе $G_E$ через число треугольников графа $G$ и набор его степеней.
# В каком случае связный граф $G$ имеет регулярный реберный граф?
# Постройте граф $G$ с $n \ge 4$ вершинами, для которого граф $G_E$ не эйлеров, а граф $G_E^2$ эйлеров.
# Докажите, что если $G$ содержит $n \ge 5$ вершин, то если $G_E^2$ эйлеров, то и $G_E^3$ эйлеров.
# Постройте минимальный по числу вершин реберный граф, в котором нет гамильтонова цикла.
# Докажите, что $G_E$ гамильтонов тогда и только тогда, когда граф $G$ содержит циклический реберно простой путь, содержащий хотя бы одну вершину, инцидентную каждому ребру графа $G$.
# Докажите, что число помеченных неподвешенных деревьев есть $n^{n-2}$, используя теорему Кирхгофа.
# Сколько остовных деревьев у полного двудольного графа $K_{n,m}$?
# Докажите или опровергните, что если в связном графе любой максимальный по включению простой путь (путь, к которому нельзя добавить ребро в начало или в конец) является диаметром, то такой граф является деревом.
# Опишите дерево с кодом Прюфера $(i, i,\ldots , i)$.
# Опишите деревья, в коде Прюфера которых нет одинаковых чисел.
# Зафиксируем дерево $T$. Рассмотрим функцию от вершины $x$: $d(x) = \sum_v dist(x, v)$, где $dist(x, v)$ - расстояние между вершинами $x$ и $v$ в ребрах. Пусть $y$ и $z$ - различные соседи вершины $x$. Докажите, что $2d(x) < d(y) + d(z)$.
# Центром дерева называется вершина $x$, для которой $max_v(dist(x, v))$ минимален. Докажите, что у дерева 1 или 2 центра, и любой центр дерева лежит на его любом диаметре.
# Барицентром дерева называется вершина $x$, для которой $\sum_v(dist(x, v))$ минимальная. Докажите, что у дерева 1 или 2 барицентра.
# Докажите, что для любого $k$ существует дерево, для которого расстояние между центром и барицентром не меньше $k$.
# Докажите, что если в связном графе есть реберно простой цикл длины $k$, то у графа есть не менее $k$ остовных деревьев.
# Приведите пример графа с двумя непересекающимися остовными деревьями.
# Какое максимальное количество попарно непересекающихся остовных деревьев может быть в графе с $n$ вершинами?
# Пусть связный граф $G$ имеет диаметр $d$. Докажите или опровергните, что у $G$ есть остовное дерево с диаметром $d$.
# Рассмотрим множество остовных деревьев связного графа $G$. Построим граф $S_G$, вершинами которого являются остовные деревья $G$, а две вершины $T_1$ и $T_2$ соединены ребром, если дерево $T_2$ можно получить из $T_1$ удалением одного ребра и добавлением другого. Докажите, что $S_G$ является связным.
# Докажите, что две вершины $T_1$ и $T_2$ в $S_G$ соединены ребром тогда и только тогда, когда их объединение содержит ровно один простой цикл.
# Пусть связный граф $G$ содержит $n$ вершин, докажите, что диаметр $S_G$ не превышает $n - 1$.
# Приведите пример связного графа $G$, содержащего $n$ вершин, для которого граф $S_G$ имеет диаметр $n - 1$.
# Докажите, что для любого $1 \le k \le n - 1$ существует связный граф $G$, содержащий $n$ вершин, такой что диаметр $S_G$ равен $n - k$.
# Графы $G_1$, содержащий $n_1$ вершин и $m_1$ ребер, и $G_2$, содержащий $n_2$ вершин и $m_2$ ребер, гомеоморфны. Докажите, что $n_1+m_2 = n_2+m_1$.
# Докажите, что планарный эйлеров граф содержит эйлеров цикл, не имеющий самопересечений.
# Пусть планарный граф $G$ без петель и параллельных ребер содержит $n$ вершин. Какое максимальное число ребер он может содержать?
# Приведите пример духсвязного планарного графа, который не является гамильтоновым.
# Докажите, что планарный четырехсвязный граф гамильтонов.
# Пусть $G$ - планарный граф, в котором каждый треугольник ограничивает область, не содержащую ребер, причем добавление любого ребра нарушает это свойство. Докажите, что $G$ гамильтонов.
# Докажите или опровергните, что циклы вокруг конечных граней образуют базис циклического пространства планарного графа.
# Докажите, что любой трехсвязный планарный граф имеет остов, у которого наибольшая степень равна 3.
# Докажите, что все колеса самодвойственны.
# Найдите максимальное $k$, что граф $K_k$ можно уложить на торе.
# Найдите максимальное $k$, что граф $K_k$ можно уложить на сфере с двумя ручками.
# Докажите, что для любого $m$ существует $k$, такое что граф с $K_k$ нельзя уложить на сфере с $m$ ручками.
# Посчитать хроматический многочлен цикла $C_n$
# Посчитать хроматический многочлен колеса $C_n + K_1$.
# Посчитать хроматический многочлен полного двудольного графа $K_{n,m}$.
# Докажите, что хроматический многочлен дерева равен $t(t-1)^{n - 1}$.
# Докажите, что если хроматический многочлен графа равен $t(t-1)^{n - 1}$, то граф является деревом.
# Приведите пример двух графов, которые не являются деревьями, не являются изоморфными и имеют одинаковые хроматические многочлены.
# Докажите, что если длина максимального простого нечетного цикла в $G$ есть $k$, то $\chi(G)\le k + 1$.
# Если степени вершин графа $G$ равны $d_1 \ge d_2 \ge \ldots \ge d_n$, то $\chi(G)\le \max\min\{i, d_i+1\}$.
# Докажите или опровергните, что если граф $G$ с $n$ вершинами содержит гамильтонов цикл, причем ему принадлежат не все ребра графа, то (а) $\chi(G) \le 1 + n/2$ (б) $\chi(G) \ge 1 + n/2$ .
# Хроматическое число конъюнкции $G_1\wedge G_2$ графов $G_1$ и $G_2$ двух графов не превосходит хроматических чисел этих графов.
# Докажите, что $K_{n+1}$ является единственным регулярным графом степени $n$, который имеет хроматическое число $n+1$.
# Рассмотрим связный граф $G$, не являющийся простым циклом нечетной длины, все простые циклы которого нечетный. Обозначим как $\chi'(G)$ минимальное число цветов, в которое можно раскрасить ребра граф $G$, чтобы ни в какую вершину не входило ребер одного цвета. Докажите, что $\chi'(G)=\Delta(G)$.
# Доказать формулу Зыкова для хроматического многочлена графа $G$: $P_G(x)=\sum\limits_{i=1}^n pt(G,i)x^{\underline{i}}$, где $pt(G,i)$ — число способов разбить вершины $G$ на $i$ независимых множеств.
# Доказать формулу Уитни: пусть $G$ - обыкновенный $(n, m)$ - граф. Тогда коэффициент при $x^i$, где $1\le i\le n$ в хроматическом многочлене $P_G(x)$ равен $\sum \limits_{j=0}^{m}{(-1)^jN(i, j)}$, где $N(i, j)$ - число остовных подграфов графа $G$, имеющих $i$ компонент связности и $j$ рёбер.
# Вершинным покрытием называется множество вершин, такое что у каждого ребра хотя один конец лежит в этом множестве. Докажите, что $A$ является вершинным покрытием тогда и только тогда, когда $V\setminus A$ является независимым множеством.
# Доказать или опровернгнуть: любое вершинное покрытие содержит как подмножество минимальное по мощности вершинное покрытие.
# Доказать или опровергнуть: если в $G$ содержится реберно простой замкнутый путь, содержащий вершинное покрытие, то его реберный граф $E_G$ гамильтонов.
# Докажите, что $\alpha(G) \ge \frac{n}{1+\Delta(G)}$.
# Докажите, что $\alpha(G) \ge \sum (1 + \deg u)^{-1}$.
# Как может поменяться $\alpha(G)$ при удалении ребра? Удалении вершины? Добавлении ребра?
# Верно ли, что для двудольного графа значение $\alpha(G)$ равно размеру максимальной доли?
# Докажите, что $G$ двудольный тогда и только тогда, когда для любого $H$ - подграфа $G$ выполнено $\alpha(H) \ge |VH|/2$ ($VH$ - множество вершин графа $H$).
# Докажите, что если в дереве расстояние между двумя любыми листьями четно, то в нем существует единственное максимальное по числу вершин независимое множество. Верно ли обратное?
# Зафиксируем $n$ и $k$. Рассмотрим граф, удовлетворяющpий следующим условиям: (1) граф $G$ содержит $n$ вершин; (2) $\alpha(G) \le k$. Среди таких графов рассмотрим граф с минимальным числом ребер. Этот граф называется граф Турана. Докажите, что в графе Турана любые две смежные вершины имеют равную степень.
# Степень любых двух несмежных вершин в графе Турана отличается не более чем на $1$.
# Оцените, сколько ребер в графе Турана.
# Граф называется $\alpha$-критическим, если удаление любого ребра увеличивает $\alpha(G)$. Приведите пример $\alpha$-критического и не $\alpha$-критического графа.
# Докажите, что в любом дереве, кроме $K_2$ существует минимальное по числу вершин вершинное покрытие, включающее все вершины, соседние с листьями.
# Доминирующим множеством в графе называется множество вершин, такое что каждая вершина либо входит в это множество, либо имеет соседа в этом множестве. Докажите, что независимое множество вершин является максимальным по включению если и только если оно является доминирующим.
# Обозначим размер минимального доминирующего множества в графе как $\gamma(G)$. Как связаны $\alpha(G)$ и $\gamma(G)$?
# Докажите, что если в графе $G$ нет изолированных вершин, и $A$ - минимальное по включению доминирующее множество в $G$, то существует $B$, не имеющее общих вершин с $A$, также являющееся минимальным по включению доминирующим множеством в $G$.
# Обозначим размер минимального по мощности покрывающего множества в графе как $\beta(G)$. Как связаны $\gamma(G)$ и $\beta(G)$?
# $k$-факторизацией графа называется разбиение множество ребер графа на его $k$-факторы. Докажите, что $K_4$ имеет единственную 1-факторизацию.
# Найдите число $1$-факторизаций графа $K_6$.
# Найдите число $1$-факторизаций графа $K_{3,3}$.
# Найдите число $1$-факторов графа $K_{2n}$.
# Докажите, что граф $K_{6n-2}$ имеет 3-факторизацию.
# Докажите, что граф $K_{4n+1}$ имеет 4-факторизацию.
# Докажите, что граф $K_9$ представим в виде объединения 4 гамильтоновых циклов.
# Пусть $G$ - связный кубический граф, в котором не более двух мостов. Тогда в $G$ существует совершенное паросочетание.
# Приведите пример связного кубического графа, содержащего три моста, в котором нет совершенного паросочетания.
# Пусть $G$ - регулярный граф степени $k$ с четным числом вершин, причем $\lambda(G) \ge k-1$. Пусть $G'$ получен из $G$ удалением не более чем $k - 1$ ребер. Тогда $G'$ содержит совершенное паросочетание. Указание: используйте теорему Татта.
# Пусть $G$ - регулярный граф степени $k$ с четным числом вершин, причем $\lambda(G) \ge k-1$. Тогда для любого ребра $uv$ существует совершенное паросочетание, содержащее $uv$.
# Докажите, что если $G$ - регулярный граф четной степени, то у него есть 2-фактор.
# Пусть $r<k$ и хотя бы одно из них нечетно. Докажите, что существует $G$ - регулярный граф степени $k$, у которого нет $r$-фактора.
# Докажите, что у фактор-критического графа единственное множества Татта - пустое.
# Множество $S\subset V$, для которого $odd(G\setminus S)-|S|=def(G)$, называется барьером. $A(G)$ является барьером графа. Приведите пример графа, в котором $A(G)$ не является максимальным по включению барьером.
# Приведите пример графа, в котором $A(G)$ не является минимальным по включению барьером.
# Докажите, что пересечение двух максимальных по включению барьеров также является барьером.
# Пусть $x\in A(G)\cup C(G)$, $G'=G\setminus x$, $B'$ - барьер графа $G'$. Докажите, что $B=B'\cup x$ - барьер графа $G$. Следствие: любая вершина из $A(G) \cup C(G)$ входит в барьер графа $G$.
# Пусть $B$ - барьер графа $G$, тогда $B\cap D(G)$ пусто и все нечетные компоненты связности графа $G\setminus B$ являются подмножествами $D(G)$.
# Пусть $B$ - барьер графа $G$, причем $x \in B$. Тогда $B' = B \setminus x$ - барьер графа $G' = G \setminus x$.
# Докажите, что пересечение всех максимальных по включению барьеров $G$ равно $A(G)$.
# Лапой называется индуцированный подграф $K_{1, 3}$ - вершина (центр лапы) и три её соседа, не связанные между собой. Докажите, что если $B$ - минимальный по включению барьер $G$, то каждая вершина $B$ - центр лапы в $G$.
# Докажите, что если $G$ содержит четное число вершин и не содержит лапы, то он содержит совершенное паросочетание (Теорема Сумнера-Лас Вергнаса).
</wikitex>

Список заданий по ДМ 2017 осень

2017-11-19T11:50:31Z

84.42.11.173:

<wikitex>
= Дискретная математика, 1 семестр =

Задания, помеченные 🤔 - задания повышенной сложности. Задания, помеченные 😱 - задания очень высокой сложности. ✋ помечены задания, где мы передаем привет курсу "Алгоритмы и структуры данных", 👻 - задания только для групп M3132-M3135.

# Пусть $R$ и $S$ - рефлексивные отношения на $A$. Будет ли рефлексивным их а) объединение? б) пересечение? В этом и следующих заданиях, если ответ отрицательный, при демонстрации контрпримера удобно использовать представление отношения в виде ориентированного графа.
# Пусть $R$ и $S$ - симметричные отношения на $A$. Будет ли симметричным их а) объединение? б) пересечение?
# Пусть $R$ и $S$ - транзитивные отношения на $A$. Будет ли транзитивным их а) объединение? б) пересечение?
# Пусть $R$ и $S$ - антисимметричные отношения на $A$. Будет ли антисимметричным их а) объединение? б) пересечение?
# Определим $R^{-1}$ следующим образом: если $xRy$, то $yR^{-1}x$. Выполнено ли соотношение $RR^{-1} = I$, где $I$ - отношение равенства? Выполнен ли закон сложения степенией $R^iR^j=R^{i+j}$, если $i$ и $j$ разного знака?
# Пусть $R$ обладает свойством $X$. Будет ли обладать свойством $X$ отношение $R^{-1}$? Следует проанализировать $X$ - рефлексивность, антирефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность
# Пусть $R$ и $S$ - транзитивные отношения на $A$. Будет ли транзитивным их композиция?
# Пусть $R$ и $S$ - антисимметричные отношения на A. Будет ли антисимметричным их композиция?
# Постройте пример рефлексивного, симметричного, но не транзитивного отношения
# Постройте пример рефлексивного, антисимметричного, но не транзитивного отношения
# Является ли отношение $R$, такое что $(a, b) R (c, d)$, если $ad = bc$ на ${\mathbb Z}^+ \times {\mathbb N}$ отношением эквивалентности?
# Может ли отношение частичного порядка быть отношением эквивалентности? Если да, то в каких случаях?
# Можно ли в определении отношения эквивалентности убрать требование рефлексивности отношения, потому что оно следует из симметричности и транзитивности?
# 🤔✋ Транзитивный остов. Задано антисимметричное транзитивное отношение $R$ на $X$. Предолжите полиномиальный алгоритм построения отношения $S$, такого что $S^+=R$, причем в $S$ содержится минимальное число пар элементов.
# 🤔 В предыдущем задании требование транзитивности опустить нельзя. Задано антисимметричное отношение $R$ на $X$. Докажите, что если существует полиномиальный алгоритм построения отношения $S$, такого что $S \subset R$ и $S^+=R^+$, причем в $S$ содержится минимальное число пар элементов, то можно проверить, есть ли в графе гамильтонов цикл (цикл, проходящий по каждой вершине графа ровно один раз) за полиномиальное время.
# СКНФ. Будем называть формулу для функции совершенной конъюнктивной нормальной формой, если ее эта формула является конъюнкцией клозов, каждый из которых представляет дизъюнкцию переменных и их отрицаний, причем каждая переменная встречается в каждом клозе ровно один раз. Докажите, что любую функцию, кроме тождественной 1, можно представить в виде СКНФ.
# Выразите в явном виде "и", "или" и "не" через стрелку Пирса
# Выразите в явном виде "и", "или" и "не" через штрих Шеффера
# Можно ли "и", "или" и "не" выразить через функции из множества $\{x\oplus y, x = y\}$?
# Можно ли "и", "или" и "не" выразить через функции из множества $\{x\to y, \neg x\}$?
# Можно ли "и", "или" и "не" выразить через функции из множества $\{{\mathbf 0}, \langle xyz\rangle, \neg x\}$ ?
# Можно ли выразить "и" через "или"?
# Выразите медиану 5 через медиану 3
# 🤔 Выразите медиану $2n+1$ через медиану 3
# Булева функция называется пороговой, если $f(x_1, x_2, \ldots, x_n) = 1$ тогда и только тогда, когда $a_1x_1+a_2x_2+\ldots+a_nx_n \ge b$, где $a_i$ и $b$ - вещественные числа. Докажите, что "и", "или", "не" - пороговые функции.
# Приведите пример непороговой функции
# 🤔 Рассмотрим булеву функцию $f$. Обозначим как $N(f)$ число наборов аргументов, на которых $f$ равна 1. Например, $N(\vee) = 3$. Обозначим как $\Sigma(f)$ сумму всех наборов аргументов, на которых $f$ равна 1 как векторов. Например, $\Sigma(\vee) = (2, 2)$. Докажите, что если для пороговой функции $f$ и функции $g$ выполнено $N(f) = N(g)$ и $\Sigma(f) = \Sigma(g)$, то $f = g$
# 🤔✋ Говорят, что формула имеет вид 2-КНФ, если она имеет вид $(t_{11}\vee t_{12})\wedge(t_{21}\vee t_{22})\wedge\ldots$, где $t_{ij}$ представляет собой либо переменную, либо ее отрицание (в каждом дизъюнкте ровно два терма). Предложите полиномиальный алгоритм проверки, что формула, заданная в 2-КНФ имеет набор значений переменных, на которых она имеет значение 1.
# 🤔✋ КНФ называется КНФ Хорна, если в каждом дизъюнкте не более одной переменной находится без отрицания. Пример: $x\wedge(x \vee \neg y \vee \neg z) \wedge (\neg x \vee \neg t)$. Предложите полиномиальный алгоритм проверки, что формула, заданная в форме КНФ Хорна имеет набор аргументов, на котором она равна 1.
# [только гр. 32-35 👻] Постройте двойственную функцию для каждой функции от 2 аргументов.
# 👻 Сколько существует самодвойственных функций от $n$ аргуметов?
# Будем говорить, что функция существенно зависит от переменной $x_i$, если существует два набора аргументов, различающихся только значением $x_i$, на которых функция принимает различные значения. Сколько существует булевых функций от $n$ аргументов, существенно зависящих от всех аргументов? Достаточно привести рекуррентную формулу.
# Приведите пример функции, существенно зависящей хотя бы от 3 аргументов, которая лежит во всех 5 классах Поста.
# Приведите пример функции, существенно зависящей хотя бы от 3 аргументов, которая не лежит ни в одном классе Поста.
# Булева функция $f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ называется форсируемой, если существует такое назначение $x_i=const$ , что для любых значений других переменных значение функции является константой. Например, $x_1 \wedge x_2$ является форсируемой, поскольку при $x_1 = 0$ значение функции равно 0 для любого значения $x_2$. Для каждой функции от двух переменных определите, является ли она форсируемой.
# Булева функция называется симметричной, если ее значение не меняется при любой перестановке ее переменных. Сколько существует симметричных функций от $n$ переменных?
# 🤔 Докажите, что любую функцию от $n$ переменных можно представить с использованием стрелки Пирса формулой, длиной не больше чем $2^n\cdot poly(n)$, где $poly(n)$ - полином, общий для всех функций
# Докажите, что любую монотонную функцию можно выразить через "и", "или", 0 и 1.
# 🤔 Докажите, что любую монотонную самодвойственую функцию можно выразить через медиану
# Докажите, что если булеву функцию $f$ можно задать в форме Крома (в виде 2-КНФ), то выполнено следствие: $f(x_1, ..., x_n) = f(y_1, ..., y_n) = f(z_1, ..., z_n) = 1$ $\Rightarrow f(\langle x_1, y_1, z_1\rangle, ..., \langle x_n, y_n, z_n \rangle) = 1$
# 😱 Докажите, что если выполнено следствие: $f(x_1, ..., x_n) = f(y_1, ..., y_n) = f(z_1, ..., z_n) = 1$ $\Rightarrow f(\langle x_1, y_1, z_1\rangle, ..., \langle x_n, y_n, z_n \rangle) = 1$, то булеву функцию $f$ можно задать в форме Крома.
# Докажите, что если булеву функцию $f$ можно задать в форме Хорна, то выполнено следствие: $f(x_1, ..., x_n) = f(y_1, ..., y_n) = 1 \Rightarrow f(x_1\wedge y_1, ..., x_n \wedge y_n) = 1$
# 😱 Докажите, что если выполнено следствие: $f(x_1, ..., x_n) = f(y_1, ..., y_n) = 1 \Rightarrow f(x_1\wedge y_1, ..., x_n \wedge y_n) = 1$, то булеву функцию $f$ можно задать в форме Хорна
# Докажите, что $x_0\oplus x_1\oplus\ldots\oplus x_{2m} = \langle \neg x_0,s_1,s_2,\ldots,s_{2m}\rangle$, где $s_j=\langle x_0,x_j,x_{j+1},\ldots,x_{j+m-1},\neg x_{j+m},\neg x_{j+m+1},\ldots,\neg x_{j+2m-1}\rangle$, для удобства $x_{2m+k}$ обозначет то же, что и $x_k$ для $k \ge 1$.
# Докажите, что биномиальный коэффициент $C_n^k$ нечетен тогда и только тогда, когда в двоичной записи $k$ единицы стоят только на тех позициях, где в двоичной записи $n$ также находятся единицы (иначе говоря, двоичная запись $k$ доминируется двоичной записью $n$ как двоичным вектором).
# Докажите "метод треугольника" построения полинома Жегалкина по таблице истинности.
# Постройте схему из функциональных элементов для операции медиана трех над базисом $\{ \vee, \wedge, \neg\}$. Постарайтесь использовать минимальное число элементов.
# Постройте схему из функциональных элементов для операции $x \oplus y \oplus z$ над базисом $\{ \vee, \wedge, \neg\}$. Постарайтесь использовать минимальное число элементов.
# Предложите способ построить схему для функции $x_1 \oplus ... \oplus x_n$ над базисом $\{ \vee, \wedge, \neg\}$ с линейным числом элементов и глубиной $O(\log n)$.
# Докажите, что для функции "большинство из $2n+1$" существует схема из функциональных элементов глубины $O(\log n)$
# Докажите, что любую булеву функцию от $n$ аргументов можно представить схемой из функциональных элементов, содержащей $O(2^n)$ элементов.
# Докажите, что не существует схем константной глубины для функций $x_1 \vee ... \vee x_n$, $x_1 \wedge ... \wedge x_n$, $x_1 \oplus ... \oplus x_n$.
# Мультиплексором называется схема, которая имеет $2^n+n$ входов и один выход. Обозначим входы как $x_0, x_1, \ldots, x_{2^n-1}, y_0, y_1, \ldots, y_{n-1}$. На выход подается то же, что подается на вход $x_i$, где $i$ - двоичное число, которое кодируется входами $y_0, \ldots, y_{n-1}$. Постройте схему линейного (от суммарного количества входов и выходов) размера для мультиплексора.
# Дешифратором называется схема, которая имеет $n+1$ входов и $2^n$ выходов. Обозначим входы как $y_0, y_1, \ldots, y_{n-1}, x$, а выходы как $z_0, z_1, \ldots, z_{2^n-1}$. На все выходы подается 0, а на выход $z_i$ то же, что подается на вход $x$, где $i$ - двоичное число, которое кодируется входами $y_0, \ldots, y_{n-1}$. Постройте схему линейного (от суммарного количества входов и выходов) размера для
# Игра "два шага вперед, один назад". Задана булева функция от $n$ аргументов $f(x_1, \ldots, x_n)$. Играют два игрока: 0 и 1. Игроки делают ходы по очереди. Для хода используется вспомогательное значение $m$, исходно равное 0, кроме того исходно все значения переменных не определены. Ход заключается в следующем. Игрок либо увеличивает $m$ на 2, либо уменьшает на 1. После этого действия значение $m$ должно удовлетворять неравенству $1 \le m \le n$. Затем, если значение $x_m$ не определено, то игрок присваивает переменной $x_m$ значение на свое усмотрение. Если же значение $x_m$ определено, то оно меняется на противоположное. Игра заканчивается, когда все значения определены. Если значение функции $f$ на получившемся наборе переменных равно 1, то выигрывает 1, иначе выигрывает 0. Проанализируйте описанную игру для значений $n$ от 2 до 9 на функции $f(x_1, \ldots, x_n)$, равной 1, если строка $x_1x_2\ldots x_n$ лексикографически строго меньше строки $x_nx_{n-1}\ldots x_1$.
# Проанализируйте игру "два шага вперед, один назад" для значений $n$ от 2 до 9 на функции $f(x_1, \ldots, x_n)=x_1\oplus x_2\oplus \ldots\oplus x_n$.
# Проанализируйте игру "два шага вперед, один назад" для значений $n$ от 2 до 9 на функции $f(x_1, \ldots, x_n)$, равной 1, если строка $x_1x_2\ldots x_n$ не содержит двух единиц подряд.
# Проанализируйте игру "два шага вперед, один назад" для значений $n$ от 2 до 9 на функции $f(x_1, \ldots, x_n)$, равной 1, если строка $x_1x_2\ldots x_n$ представляет собой (возможно дополненную ведущими нулями) двоичную запись простого числа.дешифратора.
# Докажите, что не существует схемы константной глубины для сложения.
# На одном <strike>китайском</strike> заводе в матричном умножителе случайно использовали элементы "или" вместо "и". Можно ли из получившихся значений получить произведение исходных чисел (доступа к входам нет, есть только доступ к $n\times n$ выходам матричного псевдоумножителя).
# Контактной схемой называется ориентированный ациклический граф, на каждом ребре которого написана переменная или ее отрицание (ребра в контактных схемах называют ''контактами'', а вершины - ''полюсами''). Зафиксируем некоторые значения переменным. Тогда ''замкнутыми'' называются ребра, на которых записана 1, ребра, на которых записан 0, называются ''разомкнутыми''. Зафиксируем две вершины $u$ и $v$. Тогда контактная схема вычисляет некоторую функцию $f$ между вершинами $u$ и $v$, равную 1 на тех наборах переменных, на которых между $u$ и $v$ есть путь по замкнутым ребрам. Постройте контактные схемы для функций "и", "или" и "не".
# Постройте контактную схему для функции "xor".
# Постройте контактную схему для функции медиана трех.
# Докажите, что любую булеву функцию можно представить контактной схемой.
# Постройте контактную схему "xor от $n$ переменных", содержащую $O(n)$ ребер.
# Постройте контактную схему "большинство из $2n+1$ переменных", содержащую $O(n)$ ребер.
# Постройте контактную схему, в которой для каждого из $2^n$ наборов дизъюнкций переменных и их отрицаний есть пара вершин, между которыми реализуется эта дизъюнкция, используя $O(2^n)$ ребер.
# Докажите, что любую булеву функцию можно представить контактной схемой, содержащей $O(2^n)$ ребер.
# 👻 По числам $l_1, l_2, \ldots, l_n$, удовлетворяющим неравенству $\sum\limits_{i=1}^n 2^{-l_i} \le 1$, постройте префиксный код с таким набором длин кодовых слов.
# Как выглядит дерево Хаффмана для частот символов $1, 2, ..., 2^{n-1}$ (степени двойки) ?
# Как выглядит дерево Хаффмана для частот символов $1, 1, 2, 3, ..., F_{n-1}$ (числа Фибоначчи)?
# Докажите, что если размер алфавита - степень двойки и частоты никаких двух символов не отличаются в 2 или более раз, то код Хаффмана не лучше кода постоянной длины
# Модифицируйте алгоритм Хаффмана, чтобы строить $k$-ичные префиксные коды
# Укажите, как построить дерево Хаффмана за линейное время, если символы уже отсортированы по частоте
# Предложите алгоритм построения оптимального кода среди префиксных кодов с длиной кодового слова не более L бит
# Предложите способ хранения информации об оптимальном префиксном коде для n-символьного алфавита, использующий не более $2n - 1 + n \lceil\log_2(n)\rceil$ бит ($\lceil x\rceil$ - округление $x$ вверх)
# Можно ли разработать алгоритм, который сжимает любой файл не короче заданной величины $N$ хотя бы на 1 бит?
# Приведите пример однозначно декодируемого кода оптимальной длины, который не является ни префиксным, ни развернутым префиксным
# Для каких префиксных кодов существует строка, для которой он является кодом Хаффмана? Предложите алгоритм построения такой строки.
# Пусть заданы пары $(u_i, v_i)$. Предложите полиномиальный алгоритм проверки, что существует код Хаффмана для некоторой строки, в котором $i$-е кодовое слово содержит $u_i$ нулей и $v_i$ единиц.
# Докажите, что если в коде Хаффмана для некоторой строки $i$-е кодовое слово содержит $u_i$ нулей и $v_i$ единиц, то для многочлена от двух переменных $f(x, y) = \sum_{i=1}^n x^{u_i}y^{v_i}$ выполнено $f(x, y) - 1 = (x + y - 1) g(x, y)$ для некоторого многочлена $g(x, y)$.
# При арифметическом кодировании можно учитывать, что с учетом уже потраченных символов соотношения символов становятся другими и отрезок надо делить в другой пропорции. Всегда ли кодирование с таким уточнением лучше классического арифметического кодирования?
# При арифметическом кодировании трудным моментом является деление отрезка в пропорциях, не являющихся степенями двойки. Рассмотрим модификацию арифметического кодирования, когда соотношения между символами приближаются дробями со знаменателями - степенями двойки. Что можно сказать про получившийся алгоритм?
# Проанализируйте время работы алгоритма арифиметического кодирования
# Докажите, что для любого $c > 1$ существует распределение частот $p_1, p_2, .., p_n$, что арифметическое кодирование в $c$ раз лучше Хаффмана
# Докажите, что при оптимальном кодирование с помощью LZ77 не выгодно делать повтор блока, который можно увеличить вправо
# Верно ли утверждение из предыдущего задания при кодировании с помощью L78?
# Разработайте алгоритм оптимального кодирования текста с помощью LZ77, если на символ уходит $c$ бит, а на блок повтора $d$ бит
# Предложите семейство строк $S_1, S_2, \ldots, S_n, \ldots$, где $S_i$ имеет длину $i$, таких, что при их кодировании с помощью LZW длина строки увеличивается. Начальный алфавит $\{0, 1\}$.
# Предложите алгоритм декодирования кода Барроуза-Уиллера.
# Предложите алгоритм декодирования кода Барроуза-Уиллера за $O(n)$.
# Предложите реализацию преобразования Move to Front за $O(n \log n)$.
# Предложите реализацию преобразования Move to Front за $O(n)$.
# Докажите, что $n$-битный код, исправляющий одну ошибку содержит не более, чем $2^n/(n+1)$ кодовое слово.
# Обобщите оценку из предыдущего задания на код, исправляющий $k$ ошибок.
# Разработайте оптимальный код исправляющий одну ошибку при пересылке 2 битов
# Разработайте оптимальный код исправляющий одну ошибку при пересылке 3 битов
# Разработайте оптимальный код исправляющий одну ошибку при пересылке 4 битов
# Разработайте код, исправляющий две ошибки, использующий асимптотически не более $2n$ бит для кодирования $2^n$ символьного алфавита (для $n > n_0$)
# Докажите, что в зеркальном коде Грея $g_i = i \oplus \lfloor i / 2\rfloor$
# Докажите, что в зеркальном коде Грея при переходе от $g_i$ к $g_{i+1}$ меняется тот же бит, который меняется с 0 на 1 при переходе от $i$ к $i+1$
# Разработайте код Грея для k-ичных векторов
# При каких $a_1, a_2, ..., a_n$ существует обход гиперпараллелепипеда $a_1 \times a_2 \times ... \times a_n$, который переходит каждый раз в соседнюю ячейку и бывает в каждой ячейке ровно один раз?
# При каких $a_1, a_2, ..., a_n$ существует обход гиперпараллелепипеда $a_1 \times a_2 \times ... \times a_n$, который переходит каждый раз в соседнюю ячейку и бывает в каждой ячейке ровно один раз, а в конце возвращается в исходную ячейку?
# Код "антигрея" - постройте двоичный код, в котором соседние слова отличаются хотя бы в половине бит
# Троичный код "антигрея" - постройте троичный код, в котором соседние слова отличаются во всех позициях
# При каких $n$ и $k$ существует двоичный $n$-битный код, в котором соседние кодовые слова отличаются ровно в $k$ позициях?
# Докажите, что для достаточно больших $n$ существует код Грея, который отличается от любого, полученного из зеркального перестановкой столбцов, отражением и циклическим сдвигом строк
# 🤔 Код Грея назвается монотонным, если нет таких слов $g_i$ и $g_j$, что $i < j$, а $g_i$ содержит на 2 или больше единиц больше, чем $g_j$. Докажите, что существует монотонный код Грея
# Факториальная система счисления. Рассмотрим систему счисления, где бесконечно много цифр, в $i$-м разряде (нумерация разрядов с 1 от младшего к старшему) разрешается использовать цифры от 0 до $i$, вес $i$-го разряда $i!$. Докажите, что у каждого положительного числа ровно одно представление в факториальной системе счисления (с точностью до ведущих нулей). Предложите алгоритм перевода числа в факториальную систему счисления.
# Как связана факториальная система счисления и нумерация перестановок?
# Фибоначчиева система счисления. Рассмотрим систему счисления, где есть две цифры, 0 и 1. Пусть нумерация разрядов ведется с 1 от младшего к старшему, вес $i$-го разряда $F_i$, где $F_i$ - $i$-е число Фибоначчи ($F_0 = 1$, $F_1 = 1$, нулевой разряд не используется). При этом запрещается исползовать две единицы в соседних разрядах. Сколько представлений в Фибоначчиевой системе счисления у положительного числа $x$? Предложите алгоритм перевода числа в фибоначчиеву систему счисления.
# Свяжите фибоначчиеву систему счисления с нумерацией каких-либо комбинаторных объектов.
# Выведите рекуррентную формулу для числа комбинаторных объектов: вектор длины $2n$, в котором каждое число от $1$ до $n$ встречается ровно два раза.
# Коды Грея для перестановок. Предложите способ перечисления перестановок, в котором соседние перестановки отличаются обменом двух соседних элементов (элементарной транспозицией).
# Коды Грея для сочетаний. Предложите способ перечисления сочетаний, в котором соседние сочетания отличаются заменой одного элемента.
# Коды Грея для размещений. Предложите способ перечисления размещений, в котором соседние размещения отличаются заменой одного элемента в одной позиции.
# Докажите, что $C_r^mC_m^k=C_r^kC_{r-k}^{m-k}$.
# Докажите, что $\sum_{k=0}^n C_{m+k}^k=C_{m+n+1}^n$.
# Докажите, что $\sum_{k=0}^n C_r^kC_s^{n-k}=C_{r+s}^n$.
# Для решения этой и следующих задач вам понадобится понятие чисел Каталана. Числом Каталана $C_n$ называется количество правильных скобочных последовательностей с $n$ открывающимися скобками. Докажите, что $C_n = \sum_{i=0}^{n-1}C_iC_{n-i-1}$.
# Докажите, что число Каталана $C_n = \frac{1}{n+1}C_{2n}^n$.
# Докажите, что число различных триангуляций правильного $n$-угольника равно числу Каталана. В этом и нескольких следующих заданиях номер соответствующего числа Каталана может отличаться от $n$, требуется также установить соответствие между размером задачи и номерами чисел Каталана.
# Докажите, что число двоичных деревьев с $n$ вершинами равно числу Каталана.
# Докажите, что число подвешенных деревьев с порядком на детях с $n$ вершинами равно числу Каталана.
# Будем называть последоватедовательность ''сортируемой стеком'', если ее можно отсортировать, используя в произвольном порядке следующие операции: (а) взять первый элемент входной последовательности и положить в стек (б) взять верхний элемент стека и отправить в конец выходной последовательности. Докажите, что число перестановок $n$ элементов, сортируемых стеком, равно число Каталана.
# Докажите, что число перестановок $n$ элементов, в которых нет возрастающей последовательности длины 3, равно числу Каталана.
# Докажите, что число способов расставить числа от 1 до $2n$ в прямоугольник $2 \times n$, чтобы числа в каждой строке и каждом столбце возрастали, равно числу Каталана.
# Матрица Ханкеля - матрица $n \times n$, такая что $a[i][j] = C_{i+j-2}$. Докажите, что определитель матрицы Ханкеля равен 1.
# В этом и последующих заданиях необходимо подробно изложить алгоритм вычисления числа комбинаторных объектов с таким префиксом, чтобы можно было получить объект по номеру и номер по объекту. Получение объекта по номеру и номера по объекту для правильных скобочных последовательностей с одним типом скобок.
# Получение объекта по номеру и номера по объекту для правильных скобочных последовательностей с двумя типами скобок.
# Укажите способ подсчитать число разбиений заданного $n$-элементного множества на $k$ упорядоченных непустых подмножеств
# Подъемом в перестановке называется пара соседних элементов, таких что $a_{i-1} < a_i$. Выведите рекуррентную формулу для числа перестановок $n$ элементов с $k$ подъемами
# Неподвижной точкой в перестановке называется элемент $a_i = i$. Выведите рекуррентную формулу для числа перестановок $n$ элементов с $k$ неподвижными точками
# Чему равно число перестановок с заданным циклическим классом?
# Степенью перестановки $\pi$ называется минимальное $k$, такое что $\pi^k=i$, где $i$ - тождественная перестановка. Как связана степень перестановки с ее циклическим классом?
# Предложите алгоритм поиска перестановки из $n$ элементов с максимальной степенью за $O(n^3)$.
# Рассмотрим коды Грея для перестановок и коды Грея для их таблиц инверсий. Есть ли между ними связь?
# Докажите, что минимальное число невозрастающих подпоследовательностей, на которые можно разбить заданную последовательность, равно длине ее наибольшей возрастающей подпоследовательности
# Докажите, что произведение длины наибольшей возрастающей подпоследовательности и наибольшей убывающей подпоследовательности перестановки не меньше $n$
# Выведите рекуррентную формулу для числа разбиений числа $n$ на нечетные слагаемые
# Выведите рекуррентную формулу для числа разбиений числа $n$ на нечетное число слагаемых
# Выведите рекуррентную формулу для числа разбиений числа $n$ на различные слагаемые
# Предложите алгоритм подсчета количества разбиений числа $n$ на слагаемые за $O(n\sqrt{n})$.
= ЭТО НЕ КОНЕЦ, ЭТО ЕЩЕ ТОЛЬКО НАЧАЛО =

Список заданий по ДМ 2к 2017 осень

2017-11-12T21:26:19Z

84.42.11.173:

<wikitex>
# Постройте граф с $n$ вершинами и $m$ ребрами. Здесь и далее "постройте граф с $n$ вершинами, ..." означает, что вы должны рассказать способ для любого $n$ построить искомый граф, либо рассказать, для каких $n$ такой граф существует и указать способ его построить, а для остальных $n$ доказать, что такого графа не существует. Аналогично следует поступить с другими параметрами, указанными в условии задачи.
# Обозначим как $N(u)$ множество соседей вершины $u$. Постройте граф с $n$ вершинами, в котором множества $N(u)$ совпадают для всех вершин $u$.
# Обозначим как $N[u]$ множество, содержащее вершину $u$, а также соседей вершины $u$. Постройте граф с $n$ вершинами, в котором множества $N[u]$ совпадают для всех вершин $u$.
# Постройте граф с $n$ вершинами, где каждая вершина имеет степень $d$.
# Докажите, что любой граф, содержащий хотя бы две вершины, имеет две вершины одинаковой степени.
# Обозначим как $\delta(G)$ минимальную степень вершины в графе, как $\Delta(G)$ - максимальную степень вершины в графе. Постройте граф с $n$ вершинами, в котором $\delta(G) + \Delta(G) > n$.
# Постройте двудольный граф с $n$ вершинами, в котором $\delta(G) + \Delta(G) > n$.
# Пусть для двудольного графа выполнено условие: для любой пары не соединенных ребром вершин есть вершина, связанная с обеими этими вершинами. Как устроен такой граф?
# Докажите, что для любого графа $G$ можно записать в каждой вершине $u$ такое число $d(u)$, что числа $d(u)$ и $d(v)$ имеют общий делитель, отличный от 1, тогда и только тогда, когда в графе $G$ есть ребро $uv$.
# Граф называется кубическим, если степень всех вершин равна 3. Три вершины графа образуют треугольник, если они попарно соединены ребром. Постройте кубический граф с $n$ вершинами, не содержащий треугольников.
# Граф называется самодополнительным, если он изоморфен своему дополнению. Приведите примеры самодополнительных графов с 4 и 5 вершинами. Докажите, что если граф является самодополнительным, то он содержит либо $4n$ либо $4n+1$ вершину для некоторого целого положительного $n$.
# Докажите, что для любого целого положительного $n$ существует самодополнительный граф, содержащий $4n$ вершин, а также самодополнительный граф, содержащий $4n+1$ вершину.
# Граф $G$ с $n$ вершинами называется графом пересечений, если можно найти такие множества $U_i$, $i$ от 1 до $n$, что вершины $i$ и $j$ связаны ребром тогда и только тогда, когда $U_i \cap U_j \ne \varnothing$. Докажите, что любой граф является графом пересечений.
# Числом пересечения графа $\omega(G)$ называется минимальная возможная мощность множества $S$, что граф $G$ является графом пересечений для множеств $U_i \subset S$. Опишите графы с $\omega(G) = 1$.
# Приведите пример графа с $\omega(G) = 2$.
# Приведите пример графа с $n$ вершинами, для которого $\omega(G) > n$.
# Докажите, что для любого графа с $n$ вершинами, где $n \ge 4$, выполнено $\omega(G) \le n^2/4$.
# Обозначим как $C_n$ цикл из $n$ вершин. Найдите $\omega(C_n)$.
# Найдите асимптотическое поведение $\omega(\overline{C_n})$.
# Колесом $C_n + K_1$ называется граф, состоящий из цикла, содержащего $n$ вершин, и еще одной вершины $u$, причем все вершины цикла соединены с $u$. Найдите $\omega(C_n + K_1)$.
# Докажите, что каждый циклический путь нечетной длины содержит простой цикл.
# Докажите или опровергните, что объединение двух любых простых путей из вершины $u$ в вершину $v$ содержит цикл.
# Докажите, что граф связен тогда и только тогда когда для любого разбиения его множества вершин $V$ на два непустых непересекающихся множества $X$ и $Y$ существует ребро, соединяющее эти множества.
# Докажите, что в связном графе любые два самых длинных простых пути имеют общую вершину.
# Докажите или опровергните, что в связном графе все самые длинные простые пути имеют общую вершину.
# Обозначим как $\delta(G)$ минимальную степень вершины в графе. Докажите, что если в графе с $n$ вершинами $\delta(G) > (n - 1) / 2$, то он связен.
# Докажите, что либо граф $G$, либо его дополнение $\overline{G}$ связен.
# Будем говорить, что $G$ связан короткими путями, если между любыми двумя вершинами в $G$ есть путь длины не более 3. Докажите, что либо $G$, либо $\overline G$ связан короткими путями.
# Найдите максимальное число ребер в графе с $n$ вершинами, не содержащем четных простых циклов.
# Докажите, что граф с $n$ вершинами и $n + 4$ ребрами содержит два простых цикла, не имеющих общих ребер.
# Доказать или опровергнуть, что если ребро $uv$ - мост, то $u$ и $v$ - точки сочленения.
# Доказать или опровергнуть, что если $u$ и $v$ - точки сочленения, то $uv$ - мост.
# Какое максимальное число точек сочленения может быть в графе с $n$ вершинами?
# Рассмотрим отношение на рёбрах - $R$. $ab R cd$, если 1) $ab$ и $cd$ имеют общую вершину; 2) $ab$ и $cd$ лежат на цикле. Доказать, что вершинная двусвязность - это $R^*$.
# Доказать, что ребро $uv$ - мост тогда и только тогда, когда $uv$ вершинно двусвязно только с самим собой.
# Каждое дерево является двудольным графом. А какие деревья являются полными двудольными графами?
# Доказать, что следующие четыре утверждения для связного графа $G$ эквивалентны: (1) любое ребро является мостом (2) $G$ является деревом (3) любой блок $G$ является $K_2$ (4) любое непустое пересечение связных подграфов $G$ связно.
# Доказать, что следующие четыре утверждения для связного графа $G$ эквивалентны: (1) $G$ содержит ровно один простой цикл (2) число вершин и ребер $G$ совпадает (3) $G$ можно превратить в дерево удалением ровно одного ребра (4) множество ребер $G$, которые не являются мостами, образуют один простой цикл.
# Обозначим как $\lambda(G)$ минимальное число ребер, которое нужно удалить в графе, чтобы он потерял связность, $\kappa(G)$ - минимальное число вершин, которое нужно удалить в графе, чтобы он потерял связность (для полного графа полагаем $\kappa(G)=n-1$). Докажите, что $\kappa(G) \le \lambda(G) \le \delta(G)$.
# Докажите. что для любых $1 \le \kappa(G) \le \lambda(G) \le \delta(G)$ существует граф $G$ с такими параметрами.
# Докажите, что не существует графов с $\kappa(G) = 3$ и 7 ребрами.
# Докажите, что любой кубический граф, который содержит точку сочленения, содержит также мост.
# Пусть $G$ - полный двудольный граф, за исключением $K_{2,2}$. Докажите $\lambda(G)=\delta(G)$, почем единственный способ удалить $\lambda(G)$ ребер, чтобы граф потерял связность - удалить все ребра, инцидентные одной из вершин.
# Докажите, что если в связном графе любой блок эйлеров, то и весь граф эйлеров.
# Граф называется произвольно вычерчиваемым из вершины $u$, если следующая процедура всегда приводит к эйлеровому циклу: начиная с вершины $u$, переходим каждый раз по любому исходящему из текущей вершины ребру, по которому ранее не проходили. Докажите, что эйлеров граф является произвольно вычерчиваемым из $u$, если любой его простой цикл содержит $u$.
# Докажите, что если граф $G$ является произвольно вычерчиваемым из $u$, то $u$ имеет максимальную степень в $G$.
# Докажите, что если граф $G$ является произвольно вычерчиваемым из $u$, то либо $u$ - единственная точка сочленения в $G$, либо в $G$ нет точек сочленения.
# Доказать или опровегнуть, что если $G$ содержит порожденный тета-подграф (две вершины, соединенные тремя путями), то $G$ не гамильтонов.
# Обозначим как $G^3$ граф, в котором две вершины соединены, если они соединены в $G$ путем длины не более 3. Докажите, что если $G$ связен, то $G^3$ гамильтонов.
# Граф называется произвольно гамильтоновым, если следующая процедура всегда приводит к гамильтонову циклу: начиная с произвольной вершины $u$, переходим каждый раз по любому исходящему из текущей вершины ребру, другой конец которого мы ранее не посещали, либо обратно в вершину $u$, если непосещенных соседей нет. Опишите все произвольно гамильтоновы графы.
# Теорема "Антихватала". Докажите, что если не выполнено условие теоремы Хватала, то найдется граф с такой степенной последовательностью, не содержащий гамильтонова цикла.
# Докажите, что если сумма степеней любых двух несмежных вершин графа $G$ не меньше $n+1$, то любые две различные вершины $G$ можно соединить гамильтоновым путем.
# Докажите, что для любого $k$ существует негамильтонов граф с $\kappa(G)=k$.
# Обозначим как $G^2$ граф, в котором две вершины соединены, если они соединены в $G$ путем длины не более 2. Докажите, что если $G$ вершинно двусвязен, то $G^2$ гамильтонов.
# Докажите теорему Гуйя-Ури: если в ориентированном графе у любой вершины как входящая, так и исходящая степень хотя бы $n/2$, то он гамильтонов.
# Докажите усиленную версию теоремы Редеи-Камеона: в любом сильно связном турнире с $n$ вершинами есть простой цикл любой длины от $3$ до $n$.
# Докажите, что различные деревья имеют различные коды Прюфера.
# Докажите, что наименьшее число вершин в кубическом графе, в котором есть мост, равно 10.
# Докажите, что если $v$ {{---}} точка сочленения в $G$, то $v$ не точка сочленения в $\overline G$.
# Опишите все деревья с диаметром 2.
# Опишите все деревья с диаметром 3.
# Реберным графом для графа $G$ называется граф $G_E$, множество вершин которого совпадает с множеством ребер исходного графа, два ребра $e$ и $f$ соединены ребром в реберном графе, если у них есть общая инцидентная вершина. Докажите или опровергните, что если $G$ является эйлеровым, то реберный граф является гамильтоновым.
# Докажите или опровергните, что если $G_E$ является гамильтоновым, то граф $G$ является эйлеровым.
# В каком случае ребра реберного графа можно разбить на полные подграфы таким образом, чтобы каждая вершина принадлежала в точности двум из подграфов?
# Выразите число треугольников в реберном графе $G_E$ через число треугольников графа $G$ и набор его степеней.
# В каком случае связный граф $G$ имеет регулярный реберный граф?
# Постройте граф $G$ с $n \ge 4$ вершинами, для которого граф $G_E$ не эйлеров, а граф $G_E^2$ эйлеров.
# Докажите, что если $G$ содержит $n \ge 5$ вершин, то если $G_E^2$ эйлеров, то и $G_E^3$ эйлеров.
# Постройте минимальный по числу вершин реберный граф, в котором нет гамильтонова цикла.
# Докажите, что $G_E$ гамильтонов тогда и только тогда, когда граф $G$ содержит циклический реберно простой путь, содержащий хотя бы одну вершину, инцидентную каждому ребру графа $G$.
# Докажите, что число помеченных неподвешенных деревьев есть $n^{n-2}$, используя теорему Кирхгофа.
# Сколько остовных деревьев у полного двудольного графа $K_{n,m}$?
# Докажите или опровергните, что если в связном графе любой максимальный по включению простой путь (путь, к которому нельзя добавить ребро в начало или в конец) является диаметром, то такой граф является деревом.
# Опишите дерево с кодом Прюфера $(i, i,\ldots , i)$.
# Опишите деревья, в коде Прюфера которых нет одинаковых чисел.
# Зафиксируем дерево $T$. Рассмотрим функцию от вершины $x$: $d(x) = \sum_v dist(x, v)$, где $dist(x, v)$ - расстояние между вершинами $x$ и $v$ в ребрах. Пусть $y$ и $z$ - различные соседи вершины $x$. Докажите, что $2d(x) < d(y) + d(z)$.
# Центром дерева называется вершина $x$, для которой $max_v(dist(x, v))$ минимален. Докажите, что у дерева 1 или 2 центра, и любой центр дерева лежит на его любом диаметре.
# Барицентром дерева называется вершина $x$, для которой $\sum_v(dist(x, v))$ минимальная. Докажите, что у дерева 1 или 2 барицентра.
# Докажите, что для любого $k$ существует дерево, для которого расстояние между центром и барицентром не меньше $k$.
# Докажите, что если в связном графе есть реберно простой цикл длины $k$, то у графа есть не менее $k$ остовных деревьев.
# Приведите пример графа с двумя непересекающимися остовными деревьями.
# Какое максимальное количество попарно непересекающихся остовных деревьев может быть в графе с $n$ вершинами?
# Пусть связный граф $G$ имеет диаметр $d$. Докажите или опровергните, что у $G$ есть остовное дерево с диаметром $d$.
# Рассмотрим множество остовных деревьев связного графа $G$. Построим граф $S_G$, вершинами которого являются остовные деревья $G$, а две вершины $T_1$ и $T_2$ соединены ребром, если дерево $T_2$ можно получить из $T_1$ удалением одного ребра и добавлением другого. Докажите, что $S_G$ является связным.
# Докажите, что две вершины $T_1$ и $T_2$ в $S_G$ соединены ребром тогда и только тогда, когда их объединение содержит ровно один простой цикл.
# Пусть связный граф $G$ содержит $n$ вершин, докажите, что диаметр $S_G$ не превышает $n - 1$.
# Приведите пример связного графа $G$, содержащего $n$ вершин, для которого граф $S_G$ имеет диаметр $n - 1$.
# Докажите, что для любого $1 \le k \le n - 1$ существует связный граф $G$, содержащий $n$ вершин, такой что диаметр $S_G$ равен $n - k$.
# Графы $G_1$, содержащий $n_1$ вершин и $m_1$ ребер, и $G_2$, содержащий $n_2$ вершин и $m_2$ ребер, гомеоморфны. Докажите, что $n_1+m_2 = n_2+m_1$.
# Докажите, что планарный эйлеров граф содержит эйлеров цикл, не имеющий самопересечений.
# Пусть планарный граф $G$ без петель и параллельных ребер содержит $n$ вершин. Какое максимальное число ребер он может содержать?
# Приведите пример духсвязного планарного графа, который не является гамильтоновым.
# Докажите, что планарный четырехсвязный граф гамильтонов.
# Пусть $G$ - планарный граф, в котором каждый треугольник ограничивает область, не содержащую ребер, причем добавление любого ребра нарушает это свойство. Докажите, что $G$ гамильтонов.
# Докажите или опровергните, что циклы вокруг конечных граней образуют базис циклического пространства планарного графа.
# Докажите, что любой трехсвязный планарный граф имеет остов, у которого наибольшая степень равна 3.
# Докажите, что все колеса самодвойственны.
# Найдите максимальное $k$, что граф $K_k$ можно уложить на торе.
# Найдите максимальное $k$, что граф $K_k$ можно уложить на сфере с двумя ручками.
# Докажите, что для любого $m$ существует $k$, такое что граф с $K_k$ нельзя уложить на сфере с $m$ ручками.
# Посчитать хроматический многочлен цикла $C_n$
# Посчитать хроматический многочлен колеса $C_n + K_1$.
# Посчитать хроматический многочлен полного двудольного графа $K_{n,m}$.
# Докажите, что хроматический многочлен дерева равен $t(t-1)^{n - 1}$.
# Докажите, что если хроматический многочлен графа равен $t(t-1)^{n - 1}$, то граф является деревом.
# Приведите пример двух графов, которые не являются деревьями, не являются изоморфными и имеют одинаковые хроматические многочлены.
# Докажите, что если длина максимального простого нечетного цикла в $G$ есть $k$, то $\chi(G)\le k + 1$.
# Если степени вершин графа $G$ равны $d_1 \ge d_2 \ge \ldots \ge d_n$, то $\chi(G)\le \max\min\{i, d_i+1\}$.
# Докажите или опровергните, что если граф $G$ с $n$ вершинами содержит гамильтонов цикл, причем ему принадлежат не все ребра графа, то (а) $\chi(G) \le 1 + n/2$ (б) $\chi(G) \ge 1 + n/2$ .
# Хроматическое число конъюнкции $G_1\wedge G_2$ графов $G_1$ и $G_2$ двух графов не превосходит хроматических чисел этих графов.
# Докажите, что $K_{n+1}$ является единственным регулярным графом степени $n$, который имеет хроматическое число $n+1$.
# Рассмотрим связный граф $G$, не являющийся простым циклом нечетной длины, все простые циклы которого нечетный. Обозначим как $\chi'(G)$ минимальное число цветов, в которое можно раскрасить ребра граф $G$, чтобы ни в какую вершину не входило ребер одного цвета. Докажите, что $\chi'(G)=\Delta(G)$.
# Доказать формулу Зыкова для хроматического многочлена графа $G$: $P_G(x)=\sum\limits_{i=1}^n pt(G,i)x^{\underline{i}}$, где $pt(G,i)$ — число способов разбить вершины $G$ на $i$ независимых множеств.
# Доказать формулу Уитни: пусть $G$ - обыкновенный $(n, m)$ - граф. Тогда коэффициент при $x^i$, где $1\le i\le n$ в хроматическом многочлене $P_G(x)$ равен $\sum \limits_{j=0}^{m}{(-1)^jN(i, j)}$, где $N(i, j)$ - число остовных подграфов графа $G$, имеющих $i$ компонент связности и $j$ рёбер.
# Вершинным покрытием называется множество вершин, такое что у каждого ребра хотя один конец лежит в этом множестве. Докажите, что $A$ является вершинным покрытием тогда и только тогда, когда $V\setminus A$ является независимым множеством.
# Доказать или опровернгнуть: любое вершинное покрытие содержит как подмножество минимальное по мощности вершинное покрытие.
# Доказать или опровергнуть: если в $G$ содержится реберно простой замкнутый путь, содержащий вершинное покрытие, то его реберный граф $E_G$ гамильтонов.
# Докажите, что $\alpha(G) \ge \frac{n}{1+\Delta(G)}$.
# Докажите, что $\alpha(G) \ge \sum (1 + \deg u)^{-1}$.
# Как может поменяться $\alpha(G)$ при удалении ребра? Удалении вершины? Добавлении ребра?
# Верно ли, что для двудольного графа значение $\alpha(G)$ равно размеру максимальной доли?
# Докажите, что $G$ двудольный тогда и только тогда, когда для любого $H$ - подграфа $G$ выполнено $\alpha(H) \ge |VH|/2$ ($VH$ - множество вершин графа $H$).
# Докажите, что если в дереве расстояние между двумя любыми листьями четно, то в нем существует единственное максимальное по числу вершин независимое множество. Верно ли обратное?
# Зафиксируем $n$ и $k$. Рассмотрим граф, удовлетворяющpий следующим условиям: (1) граф $G$ содержит $n$ вершин; (2) $\alpha(G) \le k$. Среди таких графов рассмотрим граф с минимальным числом ребер. Этот граф называется граф Турана. Докажите, что в графе Турана любые две смежные вершины имеют равную степень.
# Степень любых двух несмежных вершин в графе Турана отличается не более чем на $1$.
# Оцените, сколько ребер в графе Турана.
# Граф называется $\alpha$-критическим, если удаление любого ребра увеличивает $\alpha(G)$. Приведите пример $\alpha$-критического и не $\alpha$-критического графа.
# Докажите, что в любом дереве, кроме $K_2$ существует минимальное по числу вершин вершинное покрытие, включающее все вершины, соседние с листьями.
# Доминирующим множеством в графе называется множество вершин, такое что каждая вершина либо входит в это множество, либо имеет соседа в этом множестве. Докажите, что независимое множество вершин является максимальным по включению если и только если оно является доминирующим.
# Обозначим размер минимального доминирующего множества в графе как $\gamma(G)$. Как связаны $\alpha(G)$ и $\gamma(G)$?
# Докажите, что если в графе $G$ нет изолированных вершин, и $A$ - минимальное по включению доминирующее множество в $G$, то существует $B$, не имеющее общих вершин с $A$, также являющееся минимальным по включению доминирующим множеством в $G$.
# Обозначим размер минимального по мощности покрывающего множества в графе как $\beta(G)$. Как связаны $\gamma(G)$ и $\beta(G)$?
# $k$-факторизацией графа называется разбиение множество ребер графа на его $k$-факторы. Докажите, что $K_4$ имеет единственную 1-факторизацию.
# Найдите число $1$-факторизаций графа $K_6$.
# Найдите число $1$-факторизаций графа $K_{3,3}$.
# Найдите число $1$-факторизаций графа $K_{2n}$.
# Докажите, что граф $K_{6n-2}$ имеет 3-факторизацию.
# Докажите, что граф $K_{4n+1}$ имеет 4-факторизацию.
# Докажите, что граф $K_9$ представим в виде объединения 4 гамильтоновых циклов.
# Пусть $G$ - связный кубический граф, в котором не более двух мостов. Тогда в $G$ существует совершенное паросочетание.
# Приведите пример связного кубического графа, содержащего три моста, в котором нет совершенного паросочетания.
# Пусть $G$ - регулярный граф степени $k$ с четным числом вершин, причем $\lambda(G) \ge k-1$. Пусть $G'$ получен из $G$ удалением не более чем $k - 1$ ребер. Тогда $G'$ содержит совершенное паросочетание. Указание: используйте теорему Татта.
# Пусть $G$ - регулярный граф степени $k$ с четным числом вершин, причем $\lambda(G) \ge k-1$. Тогда для любого ребра $uv$ существует совершенное паросочетание, содержащее $uv$.
# Докажите, что если $G$ - регулярный граф четной степени, то у него есть 2-фактор.
# Пусть $r<k$ и хотя бы одно из них нечетно. Докажите, что существует $G$ - регулярный граф степени $k$, у которого нет $r$-фактора.
# Докажите, что у фактор-критического графа единственное множества Татта - пустое.
</wikitex>

Список заданий по ДМ 2017 осень

2017-11-12T21:06:37Z

84.42.11.173:

<wikitex>
= Дискретная математика, 1 семестр =

Задания, помеченные 🤔 - задания повышенной сложности. Задания, помеченные 😱 - задания очень высокой сложности. ✋ помечены задания, где мы передаем привет курсу "Алгоритмы и структуры данных", 👻 - задания только для групп M3132-M3135.

# Пусть $R$ и $S$ - рефлексивные отношения на $A$. Будет ли рефлексивным их а) объединение? б) пересечение? В этом и следующих заданиях, если ответ отрицательный, при демонстрации контрпримера удобно использовать представление отношения в виде ориентированного графа.
# Пусть $R$ и $S$ - симметричные отношения на $A$. Будет ли симметричным их а) объединение? б) пересечение?
# Пусть $R$ и $S$ - транзитивные отношения на $A$. Будет ли транзитивным их а) объединение? б) пересечение?
# Пусть $R$ и $S$ - антисимметричные отношения на $A$. Будет ли антисимметричным их а) объединение? б) пересечение?
# Определим $R^{-1}$ следующим образом: если $xRy$, то $yR^{-1}x$. Выполнено ли соотношение $RR^{-1} = I$, где $I$ - отношение равенства? Выполнен ли закон сложения степенией $R^iR^j=R^{i+j}$, если $i$ и $j$ разного знака?
# Пусть $R$ обладает свойством $X$. Будет ли обладать свойством $X$ отношение $R^{-1}$? Следует проанализировать $X$ - рефлексивность, антирефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность
# Пусть $R$ и $S$ - транзитивные отношения на $A$. Будет ли транзитивным их композиция?
# Пусть $R$ и $S$ - антисимметричные отношения на A. Будет ли антисимметричным их композиция?
# Постройте пример рефлексивного, симметричного, но не транзитивного отношения
# Постройте пример рефлексивного, антисимметричного, но не транзитивного отношения
# Является ли отношение $R$, такое что $(a, b) R (c, d)$, если $ad = bc$ на ${\mathbb Z}^+ \times {\mathbb N}$ отношением эквивалентности?
# Может ли отношение частичного порядка быть отношением эквивалентности? Если да, то в каких случаях?
# Можно ли в определении отношения эквивалентности убрать требование рефлексивности отношения, потому что оно следует из симметричности и транзитивности?
# 🤔✋ Транзитивный остов. Задано антисимметричное транзитивное отношение $R$ на $X$. Предолжите полиномиальный алгоритм построения отношения $S$, такого что $S^+=R$, причем в $S$ содержится минимальное число пар элементов.
# 🤔 В предыдущем задании требование транзитивности опустить нельзя. Задано антисимметричное отношение $R$ на $X$. Докажите, что если существует полиномиальный алгоритм построения отношения $S$, такого что $S \subset R$ и $S^+=R^+$, причем в $S$ содержится минимальное число пар элементов, то можно проверить, есть ли в графе гамильтонов цикл (цикл, проходящий по каждой вершине графа ровно один раз) за полиномиальное время.
# СКНФ. Будем называть формулу для функции совершенной конъюнктивной нормальной формой, если ее эта формула является конъюнкцией клозов, каждый из которых представляет дизъюнкцию переменных и их отрицаний, причем каждая переменная встречается в каждом клозе ровно один раз. Докажите, что любую функцию, кроме тождественной 1, можно представить в виде СКНФ.
# Выразите в явном виде "и", "или" и "не" через стрелку Пирса
# Выразите в явном виде "и", "или" и "не" через штрих Шеффера
# Можно ли "и", "или" и "не" выразить через функции из множества $\{x\oplus y, x = y\}$?
# Можно ли "и", "или" и "не" выразить через функции из множества $\{x\to y, \neg x\}$?
# Можно ли "и", "или" и "не" выразить через функции из множества $\{{\mathbf 0}, \langle xyz\rangle, \neg x\}$ ?
# Можно ли выразить "и" через "или"?
# Выразите медиану 5 через медиану 3
# 🤔 Выразите медиану $2n+1$ через медиану 3
# Булева функция называется пороговой, если $f(x_1, x_2, \ldots, x_n) = 1$ тогда и только тогда, когда $a_1x_1+a_2x_2+\ldots+a_nx_n \ge b$, где $a_i$ и $b$ - вещественные числа. Докажите, что "и", "или", "не" - пороговые функции.
# Приведите пример непороговой функции
# 🤔 Рассмотрим булеву функцию $f$. Обозначим как $N(f)$ число наборов аргументов, на которых $f$ равна 1. Например, $N(\vee) = 3$. Обозначим как $\Sigma(f)$ сумму всех наборов аргументов, на которых $f$ равна 1 как векторов. Например, $\Sigma(\vee) = (2, 2)$. Докажите, что если для пороговой функции $f$ и функции $g$ выполнено $N(f) = N(g)$ и $\Sigma(f) = \Sigma(g)$, то $f = g$
# 🤔✋ Говорят, что формула имеет вид 2-КНФ, если она имеет вид $(t_{11}\vee t_{12})\wedge(t_{21}\vee t_{22})\wedge\ldots$, где $t_{ij}$ представляет собой либо переменную, либо ее отрицание (в каждом дизъюнкте ровно два терма). Предложите полиномиальный алгоритм проверки, что формула, заданная в 2-КНФ имеет набор значений переменных, на которых она имеет значение 1.
# 🤔✋ КНФ называется КНФ Хорна, если в каждом дизъюнкте не более одной переменной находится без отрицания. Пример: $x\wedge(x \vee \neg y \vee \neg z) \wedge (\neg x \vee \neg t)$. Предложите полиномиальный алгоритм проверки, что формула, заданная в форме КНФ Хорна имеет набор аргументов, на котором она равна 1.
# [только гр. 32-35 👻] Постройте двойственную функцию для каждой функции от 2 аргументов.
# 👻 Сколько существует самодвойственных функций от $n$ аргуметов?
# Будем говорить, что функция существенно зависит от переменной $x_i$, если существует два набора аргументов, различающихся только значением $x_i$, на которых функция принимает различные значения. Сколько существует булевых функций от $n$ аргументов, существенно зависящих от всех аргументов? Достаточно привести рекуррентную формулу.
# Приведите пример функции, существенно зависящей хотя бы от 3 аргументов, которая лежит во всех 5 классах Поста.
# Приведите пример функции, существенно зависящей хотя бы от 3 аргументов, которая не лежит ни в одном классе Поста.
# Булева функция $f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ называется форсируемой, если существует такое назначение $x_i=const$ , что для любых значений других переменных значение функции является константой. Например, $x_1 \wedge x_2$ является форсируемой, поскольку при $x_1 = 0$ значение функции равно 0 для любого значения $x_2$. Для каждой функции от двух переменных определите, является ли она форсируемой.
# Булева функция называется симметричной, если ее значение не меняется при любой перестановке ее переменных. Сколько существует симметричных функций от $n$ переменных?
# 🤔 Докажите, что любую функцию от $n$ переменных можно представить с использованием стрелки Пирса формулой, длиной не больше чем $2^n\cdot poly(n)$, где $poly(n)$ - полином, общий для всех функций
# Докажите, что любую монотонную функцию можно выразить через "и", "или", 0 и 1.
# 🤔 Докажите, что любую монотонную самодвойственую функцию можно выразить через медиану
# Докажите, что если булеву функцию $f$ можно задать в форме Крома (в виде 2-КНФ), то выполнено следствие: $f(x_1, ..., x_n) = f(y_1, ..., y_n) = f(z_1, ..., z_n) = 1$ $\Rightarrow f(\langle x_1, y_1, z_1\rangle, ..., \langle x_n, y_n, z_n \rangle) = 1$
# 😱 Докажите, что если выполнено следствие: $f(x_1, ..., x_n) = f(y_1, ..., y_n) = f(z_1, ..., z_n) = 1$ $\Rightarrow f(\langle x_1, y_1, z_1\rangle, ..., \langle x_n, y_n, z_n \rangle) = 1$, то булеву функцию $f$ можно задать в форме Крома.
# Докажите, что если булеву функцию $f$ можно задать в форме Хорна, то выполнено следствие: $f(x_1, ..., x_n) = f(y_1, ..., y_n) = 1 \Rightarrow f(x_1\wedge y_1, ..., x_n \wedge y_n) = 1$
# 😱 Докажите, что если выполнено следствие: $f(x_1, ..., x_n) = f(y_1, ..., y_n) = 1 \Rightarrow f(x_1\wedge y_1, ..., x_n \wedge y_n) = 1$, то булеву функцию $f$ можно задать в форме Хорна
# Докажите, что $x_0\oplus x_1\oplus\ldots\oplus x_{2m} = \langle \neg x_0,s_1,s_2,\ldots,s_{2m}\rangle$, где $s_j=\langle x_0,x_j,x_{j+1},\ldots,x_{j+m-1},\neg x_{j+m},\neg x_{j+m+1},\ldots,\neg x_{j+2m-1}\rangle$, для удобства $x_{2m+k}$ обозначет то же, что и $x_k$ для $k \ge 1$.
# Докажите, что биномиальный коэффициент $C_n^k$ нечетен тогда и только тогда, когда в двоичной записи $k$ единицы стоят только на тех позициях, где в двоичной записи $n$ также находятся единицы (иначе говоря, двоичная запись $k$ доминируется двоичной записью $n$ как двоичным вектором).
# Докажите "метод треугольника" построения полинома Жегалкина по таблице истинности.
# Постройте схему из функциональных элементов для операции медиана трех над базисом $\{ \vee, \wedge, \neg\}$. Постарайтесь использовать минимальное число элементов.
# Постройте схему из функциональных элементов для операции $x \oplus y \oplus z$ над базисом $\{ \vee, \wedge, \neg\}$. Постарайтесь использовать минимальное число элементов.
# Предложите способ построить схему для функции $x_1 \oplus ... \oplus x_n$ над базисом $\{ \vee, \wedge, \neg\}$ с линейным числом элементов и глубиной $O(\log n)$.
# Докажите, что для функции "большинство из $2n+1$" существует схема из функциональных элементов глубины $O(\log n)$
# Докажите, что любую булеву функцию от $n$ аргументов можно представить схемой из функциональных элементов, содержащей $O(2^n)$ элементов.
# Докажите, что не существует схем константной глубины для функций $x_1 \vee ... \vee x_n$, $x_1 \wedge ... \wedge x_n$, $x_1 \oplus ... \oplus x_n$.
# Мультиплексором называется схема, которая имеет $2^n+n$ входов и один выход. Обозначим входы как $x_0, x_1, \ldots, x_{2^n-1}, y_0, y_1, \ldots, y_{n-1}$. На выход подается то же, что подается на вход $x_i$, где $i$ - двоичное число, которое кодируется входами $y_0, \ldots, y_{n-1}$. Постройте схему линейного (от суммарного количества входов и выходов) размера для мультиплексора.
# Дешифратором называется схема, которая имеет $n+1$ входов и $2^n$ выходов. Обозначим входы как $y_0, y_1, \ldots, y_{n-1}, x$, а выходы как $z_0, z_1, \ldots, z_{2^n-1}$. На все выходы подается 0, а на выход $z_i$ то же, что подается на вход $x$, где $i$ - двоичное число, которое кодируется входами $y_0, \ldots, y_{n-1}$. Постройте схему линейного (от суммарного количества входов и выходов) размера для
# Игра "два шага вперед, один назад". Задана булева функция от $n$ аргументов $f(x_1, \ldots, x_n)$. Играют два игрока: 0 и 1. Игроки делают ходы по очереди. Для хода используется вспомогательное значение $m$, исходно равное 0, кроме того исходно все значения переменных не определены. Ход заключается в следующем. Игрок либо увеличивает $m$ на 2, либо уменьшает на 1. После этого действия значение $m$ должно удовлетворять неравенству $1 \le m \le n$. Затем, если значение $x_m$ не определено, то игрок присваивает переменной $x_m$ значение на свое усмотрение. Если же значение $x_m$ определено, то оно меняется на противоположное. Игра заканчивается, когда все значения определены. Если значение функции $f$ на получившемся наборе переменных равно 1, то выигрывает 1, иначе выигрывает 0. Проанализируйте описанную игру для значений $n$ от 2 до 9 на функции $f(x_1, \ldots, x_n)$, равной 1, если строка $x_1x_2\ldots x_n$ лексикографически строго меньше строки $x_nx_{n-1}\ldots x_1$.
# Проанализируйте игру "два шага вперед, один назад" для значений $n$ от 2 до 9 на функции $f(x_1, \ldots, x_n)=x_1\oplus x_2\oplus \ldots\oplus x_n$.
# Проанализируйте игру "два шага вперед, один назад" для значений $n$ от 2 до 9 на функции $f(x_1, \ldots, x_n)$, равной 1, если строка $x_1x_2\ldots x_n$ не содержит двух единиц подряд.
# Проанализируйте игру "два шага вперед, один назад" для значений $n$ от 2 до 9 на функции $f(x_1, \ldots, x_n)$, равной 1, если строка $x_1x_2\ldots x_n$ представляет собой (возможно дополненную ведущими нулями) двоичную запись простого числа.дешифратора.
# Докажите, что не существует схемы константной глубины для сложения.
# На одном <strike>китайском</strike> заводе в матричном умножителе случайно использовали элементы "или" вместо "и". Можно ли из получившихся значений получить произведение исходных чисел (доступа к входам нет, есть только доступ к $n\times n$ выходам матричного псевдоумножителя).
# Контактной схемой называется ориентированный ациклический граф, на каждом ребре которого написана переменная или ее отрицание (ребра в контактных схемах называют ''контактами'', а вершины - ''полюсами''). Зафиксируем некоторые значения переменным. Тогда ''замкнутыми'' называются ребра, на которых записана 1, ребра, на которых записан 0, называются ''разомкнутыми''. Зафиксируем две вершины $u$ и $v$. Тогда контактная схема вычисляет некоторую функцию $f$ между вершинами $u$ и $v$, равную 1 на тех наборах переменных, на которых между $u$ и $v$ есть путь по замкнутым ребрам. Постройте контактные схемы для функций "и", "или" и "не".
# Постройте контактную схему для функции "xor".
# Постройте контактную схему для функции медиана трех.
# Докажите, что любую булеву функцию можно представить контактной схемой.
# Постройте контактную схему "xor от $n$ переменных", содержащую $O(n)$ ребер.
# Постройте контактную схему "большинство из $2n+1$ переменных", содержащую $O(n)$ ребер.
# Постройте контактную схему, в которой для каждого из $2^n$ наборов дизъюнкций переменных и их отрицаний есть пара вершин, между которыми реализуется эта дизъюнкция, используя $O(2^n)$ ребер.
# Докажите, что любую булеву функцию можно представить контактной схемой, содержащей $O(2^n)$ ребер.
# 👻 По числам $l_1, l_2, \ldots, l_n$, удовлетворяющим неравенству $\sum\limits_{i=1}^n 2^{-l_i} \le 1$, постройте префиксный код с таким набором длин кодовых слов.
# Как выглядит дерево Хаффмана для частот символов $1, 2, ..., 2^{n-1}$ (степени двойки) ?
# Как выглядит дерево Хаффмана для частот символов $1, 1, 2, 3, ..., F_{n-1}$ (числа Фибоначчи)?
# Докажите, что если размер алфавита - степень двойки и частоты никаких двух символов не отличаются в 2 или более раз, то код Хаффмана не лучше кода постоянной длины
# Модифицируйте алгоритм Хаффмана, чтобы строить $k$-ичные префиксные коды
# Укажите, как построить дерево Хаффмана за линейное время, если символы уже отсортированы по частоте
# Предложите алгоритм построения оптимального кода среди префиксных кодов с длиной кодового слова не более L бит
# Предложите способ хранения информации об оптимальном префиксном коде для n-символьного алфавита, использующий не более $2n - 1 + n \lceil\log_2(n)\rceil$ бит ($\lceil x\rceil$ - округление $x$ вверх)
# Можно ли разработать алгоритм, который сжимает любой файл не короче заданной величины $N$ хотя бы на 1 бит?
# Приведите пример однозначно декодируемого кода оптимальной длины, который не является ни префиксным, ни развернутым префиксным
# Для каких префиксных кодов существует строка, для которой он является кодом Хаффмана? Предложите алгоритм построения такой строки.
# Пусть заданы пары $(u_i, v_i)$. Предложите полиномиальный алгоритм проверки, что существует код Хаффмана для некоторой строки, в котором $i$-е кодовое слово содержит $u_i$ нулей и $v_i$ единиц.
# Докажите, что если в коде Хаффмана для некоторой строки $i$-е кодовое слово содержит $u_i$ нулей и $v_i$ единиц, то для многочлена от двух переменных $f(x, y) = \sum_{i=1}^n x^{u_i}y^{v_i}$ выполнено $f(x, y) - 1 = (x + y - 1) g(x, y)$ для некоторого многочлена $g(x, y)$.
# При арифметическом кодировании можно учитывать, что с учетом уже потраченных символов соотношения символов становятся другими и отрезок надо делить в другой пропорции. Всегда ли кодирование с таким уточнением лучше классического арифметического кодирования?
# При арифметическом кодировании трудным моментом является деление отрезка в пропорциях, не являющихся степенями двойки. Рассмотрим модификацию арифметического кодирования, когда соотношения между символами приближаются дробями со знаменателями - степенями двойки. Что можно сказать про получившийся алгоритм?
# Проанализируйте время работы алгоритма арифиметического кодирования
# Докажите, что для любого $c > 1$ существует распределение частот $p_1, p_2, .., p_n$, что арифметическое кодирование в $c$ раз лучше Хаффмана
# Докажите, что при оптимальном кодирование с помощью LZ77 не выгодно делать повтор блока, который можно увеличить вправо
# Верно ли утверждение из предыдущего задания при кодировании с помощью L78?
# Разработайте алгоритм оптимального кодирования текста с помощью LZ77, если на символ уходит $c$ бит, а на блок повтора $d$ бит
# Предложите семейство строк $S_1, S_2, \ldots, S_n, \ldots$, где $S_i$ имеет длину $i$, таких, что при их кодировании с помощью LZW длина строки увеличивается. Начальный алфавит $\{0, 1\}$.
# Предложите алгоритм декодирования кода Барроуза-Уиллера.
# Предложите алгоритм декодирования кода Барроуза-Уиллера за $O(n)$.
# Предложите реализацию преобразования Move to Front за $O(n \log n)$.
# Предложите реализацию преобразования Move to Front за $O(n)$.
# Докажите, что $n$-битный код, исправляющий одну ошибку содержит не более, чем $2^n/(n+1)$ кодовое слово.
# Обобщите оценку из предыдущего задания на код, исправляющий $k$ ошибок.
# Разработайте оптимальный код исправляющий одну ошибку при пересылке 2 битов
# Разработайте оптимальный код исправляющий одну ошибку при пересылке 3 битов
# Разработайте оптимальный код исправляющий одну ошибку при пересылке 4 битов
# Разработайте код, исправляющий две ошибки, использующий асимптотически не более $2n$ бит для кодирования $2^n$ символьного алфавита (для $n > n_0$)
# Докажите, что в зеркальном коде Грея $g_i = i \oplus \lfloor i / 2\rfloor$
# Докажите, что в зеркальном коде Грея при переходе от $g_i$ к $g_{i+1}$ меняется тот же бит, который меняется с 0 на 1 при переходе от $i$ к $i+1$
# Разработайте код Грея для k-ичных векторов
# При каких $a_1, a_2, ..., a_n$ существует обход гиперпараллелепипеда $a_1 \times a_2 \times ... \times a_n$, который переходит каждый раз в соседнюю ячейку и бывает в каждой ячейке ровно один раз?
# При каких $a_1, a_2, ..., a_n$ существует обход гиперпараллелепипеда $a_1 \times a_2 \times ... \times a_n$, который переходит каждый раз в соседнюю ячейку и бывает в каждой ячейке ровно один раз, а в конце возвращается в исходную ячейку?
# Код "антигрея" - постройте двоичный код, в котором соседние слова отличаются хотя бы в половине бит
# Троичный код "антигрея" - постройте троичный код, в котором соседние слова отличаются во всех позициях
# При каких $n$ и $k$ существует двоичный $n$-битный код, в котором соседние кодовые слова отличаются ровно в $k$ позициях?
# Докажите, что для достаточно больших $n$ существует код Грея, который отличается от любого, полученного из зеркального перестановкой столбцов, отражением и циклическим сдвигом строк
# 🤔 Код Грея назвается монотонным, если нет таких слов $g_i$ и $g_j$, что $i < j$, а $g_i$ содержит на 2 или больше единиц больше, чем $g_j$. Докажите, что существует монотонный код Грея
# Факториальная система счисления. Рассмотрим систему счисления, где бесконечно много цифр, в $i$-м разряде (нумерация разрядов с 1 от младшего к старшему) разрешается использовать цифры от 0 до $i$, вес $i$-го разряда $i!$. Докажите, что у каждого положительного числа ровно одно представление в факториальной системе счисления (с точностью до ведущих нулей). Предложите алгоритм перевода числа в факториальную систему счисления.
# Как связана факториальная система счисления и нумерация перестановок?
# Фибоначчиева система счисления. Рассмотрим систему счисления, где есть две цифры, 0 и 1. Пусть нумерация разрядов ведется с 1 от младшего к старшему, вес $i$-го разряда $F_i$, где $F_i$ - $i$-е число Фибоначчи ($F_0 = 1$, $F_1 = 1$, нулевой разряд не используется). При этом запрещается исползовать две единицы в соседних разрядах. Сколько представлений в Фибоначчиевой системе счисления у положительного числа $x$? Предложите алгоритм перевода числа в фибоначчиеву систему счисления.
# Свяжите фибоначчиеву систему счисления с нумерацией каких-либо комбинаторных объектов.
# Выведите рекуррентную формулу для числа комбинаторных объектов: вектор длины $2n$, в котором каждое число от $1$ до $n$ встречается ровно два раза.
# Коды Грея для перестановок. Предложите способ перечисления перестановок, в котором соседние перестановки отличаются обменом двух соседних элементов (элементарной транспозицией).
# Коды Грея для сочетаний. Предложите способ перечисления сочетаний, в котором соседние сочетания отличаются заменой одного элемента.
# Коды Грея для размещений. Предложите способ перечисления размещений, в котором соседние размещения отличаются заменой одного элемента в одной позиции.
# Докажите, что $C_r^mC_m^k=C_r^kC_{r-k}^{m-k}$.
# Докажите, что $\sum_{k=0}^n C_{m+k}^k=C_{m+n+1}^n$.
# Докажите, что $\sum_{k=0}^n C_r^kC_s^{n-k}=C_{r+s}^n$.
# Для решения этой и следующих задач вам понадобится понятие чисел Каталана. Числом Каталана $C_n$ называется количество правильных скобочных последовательностей с $n$ открывающимися скобками. Докажите, что $C_n = \sum_{i=0}^{n-1}C_iC_{n-i-1}$.
# Докажите, что число Каталана $C_n = \frac{1}{n+1}C_{2n}^n$.
# Докажите, что число различных триангуляций правильного $n$-угольника равно числу Каталана. В этом и нескольких следующих заданиях номер соответствующего числа Каталана может отличаться от $n$, требуется также установить соответствие между размером задачи и номерами чисел Каталана.
# Докажите, что число двоичных деревьев с $n$ вершинами равно числу Каталана.
# Докажите, что число подвешенных деревьев с порядком на детях с $n$ вершинами равно числу Каталана.
# Будем называть последоватедовательность ''сортируемой стеком'', если ее можно отсортировать, используя в произвольном порядке следующие операции: (а) взять первый элемент входной последовательности и положить в стек (б) взять верхний элемент стека и отправить в конец выходной последовательности. Докажите, что число перестановок $n$ элементов, сортируемых стеком, равно число Каталана.
# Докажите, что число перестановок $n$ элементов, в которых нет возрастающей последовательности длины 3, равно числу Каталана.
# Докажите, что число способов расставить числа от 1 до $2n$ в прямоугольник $2 \times n$, чтобы числа в каждой строке и каждом столбце возрастали, равно числу Каталана.
# Матрица Ханкеля - матрица $n \times n$, такая что $a[i][j] = C_{i+j-2}$. Докажите, что определитель матрицы Ханкеля равен 1.
# В этом и последующих заданиях необходимо подробно изложить алгоритм вычисления числа комбинаторных объектов с таким префиксом, чтобы можно было получить объект по номеру и номер по объекту. Получение объекта по номеру и номера по объекту для правильных скобочных последовательностей с одним типом скобок.
# Получение объекта по номеру и номера по объекту для правильных скобочных последовательностей с двумя типами скобок.
= ЭТО НЕ КОНЕЦ, ЭТО ЕЩЕ ТОЛЬКО НАЧАЛО =

Список заданий по ДМ 2017 осень

2017-11-12T20:54:48Z

84.42.11.173:

<wikitex>
= Дискретная математика, 1 семестр =

Задания, помеченные 🤔 - задания повышенной сложности. Задания, помеченные 😱 - задания очень высокой сложности. ✋ помечены задания, где мы передаем привет курсу "Алгоритмы и структуры данных", 👻 - задания только для групп M3132-M3135.

# Пусть $R$ и $S$ - рефлексивные отношения на $A$. Будет ли рефлексивным их а) объединение? б) пересечение? В этом и следующих заданиях, если ответ отрицательный, при демонстрации контрпримера удобно использовать представление отношения в виде ориентированного графа.
# Пусть $R$ и $S$ - симметричные отношения на $A$. Будет ли симметричным их а) объединение? б) пересечение?
# Пусть $R$ и $S$ - транзитивные отношения на $A$. Будет ли транзитивным их а) объединение? б) пересечение?
# Пусть $R$ и $S$ - антисимметричные отношения на $A$. Будет ли антисимметричным их а) объединение? б) пересечение?
# Определим $R^{-1}$ следующим образом: если $xRy$, то $yR^{-1}x$. Выполнено ли соотношение $RR^{-1} = I$, где $I$ - отношение равенства? Выполнен ли закон сложения степенией $R^iR^j=R^{i+j}$, если $i$ и $j$ разного знака?
# Пусть $R$ обладает свойством $X$. Будет ли обладать свойством $X$ отношение $R^{-1}$? Следует проанализировать $X$ - рефлексивность, антирефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность
# Пусть $R$ и $S$ - транзитивные отношения на $A$. Будет ли транзитивным их композиция?
# Пусть $R$ и $S$ - антисимметричные отношения на A. Будет ли антисимметричным их композиция?
# Постройте пример рефлексивного, симметричного, но не транзитивного отношения
# Постройте пример рефлексивного, антисимметричного, но не транзитивного отношения
# Является ли отношение $R$, такое что $(a, b) R (c, d)$, если $ad = bc$ на ${\mathbb Z}^+ \times {\mathbb N}$ отношением эквивалентности?
# Может ли отношение частичного порядка быть отношением эквивалентности? Если да, то в каких случаях?
# Можно ли в определении отношения эквивалентности убрать требование рефлексивности отношения, потому что оно следует из симметричности и транзитивности?
# 🤔✋ Транзитивный остов. Задано антисимметричное транзитивное отношение $R$ на $X$. Предолжите полиномиальный алгоритм построения отношения $S$, такого что $S^+=R$, причем в $S$ содержится минимальное число пар элементов.
# 🤔 В предыдущем задании требование транзитивности опустить нельзя. Задано антисимметричное отношение $R$ на $X$. Докажите, что если существует полиномиальный алгоритм построения отношения $S$, такого что $S \subset R$ и $S^+=R^+$, причем в $S$ содержится минимальное число пар элементов, то можно проверить, есть ли в графе гамильтонов цикл (цикл, проходящий по каждой вершине графа ровно один раз) за полиномиальное время.
# СКНФ. Будем называть формулу для функции совершенной конъюнктивной нормальной формой, если ее эта формула является конъюнкцией клозов, каждый из которых представляет дизъюнкцию переменных и их отрицаний, причем каждая переменная встречается в каждом клозе ровно один раз. Докажите, что любую функцию, кроме тождественной 1, можно представить в виде СКНФ.
# Выразите в явном виде "и", "или" и "не" через стрелку Пирса
# Выразите в явном виде "и", "или" и "не" через штрих Шеффера
# Можно ли "и", "или" и "не" выразить через функции из множества $\{x\oplus y, x = y\}$?
# Можно ли "и", "или" и "не" выразить через функции из множества $\{x\to y, \neg x\}$?
# Можно ли "и", "или" и "не" выразить через функции из множества $\{{\mathbf 0}, \langle xyz\rangle, \neg x\}$ ?
# Можно ли выразить "и" через "или"?
# Выразите медиану 5 через медиану 3
# 🤔 Выразите медиану $2n+1$ через медиану 3
# Булева функция называется пороговой, если $f(x_1, x_2, \ldots, x_n) = 1$ тогда и только тогда, когда $a_1x_1+a_2x_2+\ldots+a_nx_n \ge b$, где $a_i$ и $b$ - вещественные числа. Докажите, что "и", "или", "не" - пороговые функции.
# Приведите пример непороговой функции
# 🤔 Рассмотрим булеву функцию $f$. Обозначим как $N(f)$ число наборов аргументов, на которых $f$ равна 1. Например, $N(\vee) = 3$. Обозначим как $\Sigma(f)$ сумму всех наборов аргументов, на которых $f$ равна 1 как векторов. Например, $\Sigma(\vee) = (2, 2)$. Докажите, что если для пороговой функции $f$ и функции $g$ выполнено $N(f) = N(g)$ и $\Sigma(f) = \Sigma(g)$, то $f = g$
# 🤔✋ Говорят, что формула имеет вид 2-КНФ, если она имеет вид $(t_{11}\vee t_{12})\wedge(t_{21}\vee t_{22})\wedge\ldots$, где $t_{ij}$ представляет собой либо переменную, либо ее отрицание (в каждом дизъюнкте ровно два терма). Предложите полиномиальный алгоритм проверки, что формула, заданная в 2-КНФ имеет набор значений переменных, на которых она имеет значение 1.
# 🤔✋ КНФ называется КНФ Хорна, если в каждом дизъюнкте не более одной переменной находится без отрицания. Пример: $x\wedge(x \vee \neg y \vee \neg z) \wedge (\neg x \vee \neg t)$. Предложите полиномиальный алгоритм проверки, что формула, заданная в форме КНФ Хорна имеет набор аргументов, на котором она равна 1.
# [только гр. 32-35 👻] Постройте двойственную функцию для каждой функции от 2 аргументов.
# 👻 Сколько существует самодвойственных функций от $n$ аргуметов?
# Будем говорить, что функция существенно зависит от переменной $x_i$, если существует два набора аргументов, различающихся только значением $x_i$, на которых функция принимает различные значения. Сколько существует булевых функций от $n$ аргументов, существенно зависящих от всех аргументов? Достаточно привести рекуррентную формулу.
# Приведите пример функции, существенно зависящей хотя бы от 3 аргументов, которая лежит во всех 5 классах Поста.
# Приведите пример функции, существенно зависящей хотя бы от 3 аргументов, которая не лежит ни в одном классе Поста.
# Булева функция $f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ называется форсируемой, если существует такое назначение $x_i=const$ , что для любых значений других переменных значение функции является константой. Например, $x_1 \wedge x_2$ является форсируемой, поскольку при $x_1 = 0$ значение функции равно 0 для любого значения $x_2$. Для каждой функции от двух переменных определите, является ли она форсируемой.
# Булева функция называется симметричной, если ее значение не меняется при любой перестановке ее переменных. Сколько существует симметричных функций от $n$ переменных?
# 🤔 Докажите, что любую функцию от $n$ переменных можно представить с использованием стрелки Пирса формулой, длиной не больше чем $2^n\cdot poly(n)$, где $poly(n)$ - полином, общий для всех функций
# Докажите, что любую монотонную функцию можно выразить через "и", "или", 0 и 1.
# 🤔 Докажите, что любую монотонную самодвойственую функцию можно выразить через медиану
# Докажите, что если булеву функцию $f$ можно задать в форме Крома (в виде 2-КНФ), то выполнено следствие: $f(x_1, ..., x_n) = f(y_1, ..., y_n) = f(z_1, ..., z_n) = 1$ $\Rightarrow f(\langle x_1, y_1, z_1\rangle, ..., \langle x_n, y_n, z_n \rangle) = 1$
# 😱 Докажите, что если выполнено следствие: $f(x_1, ..., x_n) = f(y_1, ..., y_n) = f(z_1, ..., z_n) = 1$ $\Rightarrow f(\langle x_1, y_1, z_1\rangle, ..., \langle x_n, y_n, z_n \rangle) = 1$, то булеву функцию $f$ можно задать в форме Крома.
# Докажите, что если булеву функцию $f$ можно задать в форме Хорна, то выполнено следствие: $f(x_1, ..., x_n) = f(y_1, ..., y_n) = 1 \Rightarrow f(x_1\wedge y_1, ..., x_n \wedge y_n) = 1$
# 😱 Докажите, что если выполнено следствие: $f(x_1, ..., x_n) = f(y_1, ..., y_n) = 1 \Rightarrow f(x_1\wedge y_1, ..., x_n \wedge y_n) = 1$, то булеву функцию $f$ можно задать в форме Хорна
# Докажите, что $x_0\oplus x_1\oplus\ldots\oplus x_{2m} = \langle \neg x_0,s_1,s_2,\ldots,s_{2m}\rangle$, где $s_j=\langle x_0,x_j,x_{j+1},\ldots,x_{j+m-1},\neg x_{j+m},\neg x_{j+m+1},\ldots,\neg x_{j+2m-1}\rangle$, для удобства $x_{2m+k}$ обозначет то же, что и $x_k$ для $k \ge 1$.
# Докажите, что биномиальный коэффициент $C_n^k$ нечетен тогда и только тогда, когда в двоичной записи $k$ единицы стоят только на тех позициях, где в двоичной записи $n$ также находятся единицы (иначе говоря, двоичная запись $k$ доминируется двоичной записью $n$ как двоичным вектором).
# Докажите "метод треугольника" построения полинома Жегалкина по таблице истинности.
# Постройте схему из функциональных элементов для операции медиана трех над базисом $\{ \vee, \wedge, \neg\}$. Постарайтесь использовать минимальное число элементов.
# Постройте схему из функциональных элементов для операции $x \oplus y \oplus z$ над базисом $\{ \vee, \wedge, \neg\}$. Постарайтесь использовать минимальное число элементов.
# Предложите способ построить схему для функции $x_1 \oplus ... \oplus x_n$ над базисом $\{ \vee, \wedge, \neg\}$ с линейным числом элементов и глубиной $O(\log n)$.
# Докажите, что для функции "большинство из $2n+1$" существует схема из функциональных элементов глубины $O(\log n)$
# Докажите, что любую булеву функцию от $n$ аргументов можно представить схемой из функциональных элементов, содержащей $O(2^n)$ элементов.
# Докажите, что не существует схем константной глубины для функций $x_1 \vee ... \vee x_n$, $x_1 \wedge ... \wedge x_n$, $x_1 \oplus ... \oplus x_n$.
# Мультиплексором называется схема, которая имеет $2^n+n$ входов и один выход. Обозначим входы как $x_0, x_1, \ldots, x_{2^n-1}, y_0, y_1, \ldots, y_{n-1}$. На выход подается то же, что подается на вход $x_i$, где $i$ - двоичное число, которое кодируется входами $y_0, \ldots, y_{n-1}$. Постройте схему линейного (от суммарного количества входов и выходов) размера для мультиплексора.
# Дешифратором называется схема, которая имеет $n+1$ входов и $2^n$ выходов. Обозначим входы как $y_0, y_1, \ldots, y_{n-1}, x$, а выходы как $z_0, z_1, \ldots, z_{2^n-1}$. На все выходы подается 0, а на выход $z_i$ то же, что подается на вход $x$, где $i$ - двоичное число, которое кодируется входами $y_0, \ldots, y_{n-1}$. Постройте схему линейного (от суммарного количества входов и выходов) размера для
# Игра "два шага вперед, один назад". Задана булева функция от $n$ аргументов $f(x_1, \ldots, x_n)$. Играют два игрока: 0 и 1. Игроки делают ходы по очереди. Для хода используется вспомогательное значение $m$, исходно равное 0, кроме того исходно все значения переменных не определены. Ход заключается в следующем. Игрок либо увеличивает $m$ на 2, либо уменьшает на 1. После этого действия значение $m$ должно удовлетворять неравенству $1 \le m \le n$. Затем, если значение $x_m$ не определено, то игрок присваивает переменной $x_m$ значение на свое усмотрение. Если же значение $x_m$ определено, то оно меняется на противоположное. Игра заканчивается, когда все значения определены. Если значение функции $f$ на получившемся наборе переменных равно 1, то выигрывает 1, иначе выигрывает 0. Проанализируйте описанную игру для значений $n$ от 2 до 9 на функции $f(x_1, \ldots, x_n)$, равной 1, если строка $x_1x_2\ldots x_n$ лексикографически строго меньше строки $x_nx_{n-1}\ldots x_1$.
# Проанализируйте игру "два шага вперед, один назад" для значений $n$ от 2 до 9 на функции $f(x_1, \ldots, x_n)=x_1\oplus x_2\oplus \ldots\oplus x_n$.
# Проанализируйте игру "два шага вперед, один назад" для значений $n$ от 2 до 9 на функции $f(x_1, \ldots, x_n)$, равной 1, если строка $x_1x_2\ldots x_n$ не содержит двух единиц подряд.
# Проанализируйте игру "два шага вперед, один назад" для значений $n$ от 2 до 9 на функции $f(x_1, \ldots, x_n)$, равной 1, если строка $x_1x_2\ldots x_n$ представляет собой (возможно дополненную ведущими нулями) двоичную запись простого числа.дешифратора.
# Докажите, что не существует схемы константной глубины для сложения.
# На одном <strike>китайском</strike> заводе в матричном умножителе случайно использовали элементы "или" вместо "и". Можно ли из получившихся значений получить произведение исходных чисел (доступа к входам нет, есть только доступ к $n\times n$ выходам матричного псевдоумножителя).
# Контактной схемой называется ориентированный ациклический граф, на каждом ребре которого написана переменная или ее отрицание (ребра в контактных схемах называют ''контактами'', а вершины - ''полюсами''). Зафиксируем некоторые значения переменным. Тогда ''замкнутыми'' называются ребра, на которых записана 1, ребра, на которых записан 0, называются ''разомкнутыми''. Зафиксируем две вершины $u$ и $v$. Тогда контактная схема вычисляет некоторую функцию $f$ между вершинами $u$ и $v$, равную 1 на тех наборах переменных, на которых между $u$ и $v$ есть путь по замкнутым ребрам. Постройте контактные схемы для функций "и", "или" и "не".
# Постройте контактную схему для функции "xor".
# Постройте контактную схему для функции медиана трех.
# Докажите, что любую булеву функцию можно представить контактной схемой.
# Постройте контактную схему "xor от $n$ переменных", содержащую $O(n)$ ребер.
# Постройте контактную схему "большинство из $2n+1$ переменных", содержащую $O(n)$ ребер.
# Постройте контактную схему, в которой для каждого из $2^n$ наборов дизъюнкций переменных и их отрицаний есть пара вершин, между которыми реализуется эта дизъюнкция, используя $O(2^n)$ ребер.
# Докажите, что любую булеву функцию можно представить контактной схемой, содержащей $O(2^n)$ ребер.
# 👻 По числам $l_1, l_2, \ldots, l_n$, удовлетворяющим неравенству $\sum\limits_{i=1}^n 2^{-l_i} \le 1$, постройте префиксный код с таким набором длин кодовых слов.
# Как выглядит дерево Хаффмана для частот символов $1, 2, ..., 2^{n-1}$ (степени двойки) ?
# Как выглядит дерево Хаффмана для частот символов $1, 1, 2, 3, ..., F_{n-1}$ (числа Фибоначчи)?
# Докажите, что если размер алфавита - степень двойки и частоты никаких двух символов не отличаются в 2 или более раз, то код Хаффмана не лучше кода постоянной длины
# Модифицируйте алгоритм Хаффмана, чтобы строить $k$-ичные префиксные коды
# Укажите, как построить дерево Хаффмана за линейное время, если символы уже отсортированы по частоте
# Предложите алгоритм построения оптимального кода среди префиксных кодов с длиной кодового слова не более L бит
# Предложите способ хранения информации об оптимальном префиксном коде для n-символьного алфавита, использующий не более $2n - 1 + n \lceil\log_2(n)\rceil$ бит ($\lceil x\rceil$ - округление $x$ вверх)
# Можно ли разработать алгоритм, который сжимает любой файл не короче заданной величины $N$ хотя бы на 1 бит?
# Приведите пример однозначно декодируемого кода оптимальной длины, который не является ни префиксным, ни развернутым префиксным
# Для каких префиксных кодов существует строка, для которой он является кодом Хаффмана? Предложите алгоритм построения такой строки.
# Пусть заданы пары $(u_i, v_i)$. Предложите полиномиальный алгоритм проверки, что существует код Хаффмана для некоторой строки, в котором $i$-е кодовое слово содержит $u_i$ нулей и $v_i$ единиц.
# Докажите, что если в коде Хаффмана для некоторой строки $i$-е кодовое слово содержит $u_i$ нулей и $v_i$ единиц, то для многочлена от двух переменных $f(x, y) = \sum_{i=1}^n x^{u_i}y^{v_i}$ выполнено $f(x, y) - 1 = (x + y - 1) g(x, y)$ для некоторого многочлена $g(x, y)$.
# При арифметическом кодировании можно учитывать, что с учетом уже потраченных символов соотношения символов становятся другими и отрезок надо делить в другой пропорции. Всегда ли кодирование с таким уточнением лучше классического арифметического кодирования?
# При арифметическом кодировании трудным моментом является деление отрезка в пропорциях, не являющихся степенями двойки. Рассмотрим модификацию арифметического кодирования, когда соотношения между символами приближаются дробями со знаменателями - степенями двойки. Что можно сказать про получившийся алгоритм?
# Проанализируйте время работы алгоритма арифиметического кодирования
# Докажите, что для любого $c > 1$ существует распределение частот $p_1, p_2, .., p_n$, что арифметическое кодирование в $c$ раз лучше Хаффмана
# Докажите, что при оптимальном кодирование с помощью LZ77 не выгодно делать повтор блока, который можно увеличить вправо
# Верно ли утверждение из предыдущего задания при кодировании с помощью L78?
# Разработайте алгоритм оптимального кодирования текста с помощью LZ77, если на символ уходит $c$ бит, а на блок повтора $d$ бит
# Предложите семейство строк $S_1, S_2, \ldots, S_n, \ldots$, где $S_i$ имеет длину $i$, таких, что при их кодировании с помощью LZW длина строки увеличивается. Начальный алфавит $\{0, 1\}$.
# Предложите алгоритм декодирования кода Барроуза-Уиллера.
# Предложите алгоритм декодирования кода Барроуза-Уиллера за $O(n)$.
# Предложите реализацию преобразования Move to Front за $O(n \log n)$.
# Предложите реализацию преобразования Move to Front за $O(n)$.
# Докажите, что $n$-битный код, исправляющий одну ошибку содержит не более, чем $2^n/(n+1)$ кодовое слово.
# Обобщите оценку из предыдущего задания на код, исправляющий $k$ ошибок.
# Разработайте оптимальный код исправляющий одну ошибку при пересылке 2 битов
# Разработайте оптимальный код исправляющий одну ошибку при пересылке 3 битов
# Разработайте оптимальный код исправляющий одну ошибку при пересылке 4 битов
# Разработайте код, исправляющий две ошибки, использующий асимптотически не более $2n$ бит для кодирования $2^n$ символьного алфавита (для $n > n_0$)
# Докажите, что в зеркальном коде Грея $g_i = i \oplus \lfloor i / 2\rfloor$
# Докажите, что в зеркальном коде Грея при переходе от $g_i$ к $g_{i+1}$ меняется тот же бит, который меняется с 0 на 1 при переходе от $i$ к $i+1$
# Разработайте код Грея для k-ичных векторов
# При каких $a_1, a_2, ..., a_n$ существует обход гиперпараллелепипеда $a_1 \times a_2 \times ... \times a_n$, который переходит каждый раз в соседнюю ячейку и бывает в каждой ячейке ровно один раз?
# При каких $a_1, a_2, ..., a_n$ существует обход гиперпараллелепипеда $a_1 \times a_2 \times ... \times a_n$, который переходит каждый раз в соседнюю ячейку и бывает в каждой ячейке ровно один раз, а в конце возвращается в исходную ячейку?
# Код "антигрея" - постройте двоичный код, в котором соседние слова отличаются хотя бы в половине бит
# Троичный код "антигрея" - постройте троичный код, в котором соседние слова отличаются во всех позициях
# При каких $n$ и $k$ существует двоичный $n$-битный код, в котором соседние кодовые слова отличаются ровно в $k$ позициях?
# Докажите, что для достаточно больших $n$ существует код Грея, который отличается от любого, полученного из зеркального перестановкой столбцов, отражением и циклическим сдвигом строк
# 🤔 Код Грея назвается монотонным, если нет таких слов $g_i$ и $g_j$, что $i < j$, а $g_i$ содержит на 2 или больше единиц больше, чем $g_j$. Докажите, что существует монотонный код Грея
# Факториальная система счисления. Рассмотрим систему счисления, где бесконечно много цифр, в $i$-м разряде (нумерация разрядов с 1 от младшего к старшему) разрешается использовать цифры от 0 до $i$, вес $i$-го разряда $i!$. Докажите, что у каждого положительного числа ровно одно представление в факториальной системе счисления (с точностью до ведущих нулей). Предложите алгоритм перевода числа в факториальную систему счисления.
# Как связана факториальная система счисления и нумерация перестановок?
# Фибоначчиева система счисления. Рассмотрим систему счисления, где есть две цифры, 0 и 1. Пусть нумерация разрядов ведется с 1 от младшего к старшему, вес $i$-го разряда $F_i$, где $F_i$ - $i$-е число Фибоначчи ($F_0 = 1$, $F_1 = 1$, нулевой разряд не используется). При этом запрещается исползовать две единицы в соседних разрядах. Сколько представлений в Фибоначчиевой системе счисления у положительного числа $x$? Предложите алгоритм перевода числа в фибоначчиеву систему счисления.
# Свяжите фибоначчиеву систему счисления с нумерацией каких-либо комбинаторных объектов.
# Выведите рекуррентную формулу для числа комбинаторных объектов: вектор длины $2n$, в котором каждое число от $1$ до $n$ встречается ровно два раза.
# Коды Грея для перестановок. Предложите способ перечисления перестановок, в котором соседние перестановки отличаются обменом двух соседних элементов (элементарной транспозицией).
# Коды Грея для сочетаний. Предложите способ перечисления сочетаний, в котором соседние сочетания отличаются заменой одного элемента.
# Коды Грея для размещений. Предложите способ перечисления размещений, в котором соседние размещения отличаются заменой одного элемента в одной позиции.
# Для решения этой и следующих задач вам понадобится понятие чисел Каталана. Числом Каталана $C_n$ называется количество правильных скобочных последовательностей с $n$ открывающимися скобками. Докажите, что $C_n = \sum_{i=0}^{n-1}C_iC_{n-i-1}$.
# Докажите, что число Каталана $C_n = \frac{1}{n+1}C_{2n}^n$.
# Докажите, что число различных триангуляций правильного $n$-угольника равно числу Каталана. В этом и нескольких следующих заданиях номер соответствующего числа Каталана может отличаться от $n$, требуется также установить соответствие между размером задачи и номерами чисел Каталана.
# Докажите, что число двоичных деревьев с $n$ вершинами равно числу Каталана.
# Докажите, что число подвешенных деревьев с порядком на детях с $n$ вершинами равно числу Каталана.
# Будем называть последоватедовательность ''сортируемой стеком'', если ее можно отсортировать, используя в произвольном порядке следующие операции: (а) взять первый элемент входной последовательности и положить в стек (б) взять верхний элемент стека и отправить в конец выходной последовательности. Докажите, что число перестановок $n$ элементов, сортируемых стеком, равно число Каталана.
# Докажите, что число перестановок $n$ элементов, в которых нет возрастающей последовательности длины 3, равно числу Каталана.
# Докажите, что число способов расставить числа от 1 до $2n$ в прямоугольник $2 \times n$, чтобы числа в каждой строке и каждом столбце возрастали, равно числу Каталана.
# Матрица Ханкеля - матрица $n \times n$, такая что $a[i][j] = C_{i+j-2}$. Докажите, что определитель матрицы Ханкеля равен 1.
# В этом и последующих заданиях необходимо подробно изложить алгоритм вычисления числа комбинаторных объектов с таким префиксом, чтобы можно было получить объект по номеру и номер по объекту. Получение объекта по номеру и номера по объекту для правильных скобочных последовательностей с одним типом скобок.
# Получение объекта по номеру и номера по объекту для правильных скобочных последовательностей с двумя типами скобок.
= ЭТО НЕ КОНЕЦ, ЭТО ЕЩЕ ТОЛЬКО НАЧАЛО =