Теорема Понтрягина-Куратовского

2019-05-20T06:20:12Z

85.89.127.36: Если граф планарен то НЕОБХОДИМО чтобы он не содержал К5, К3,3. И чтобы граф был планарен ДОСТАТОЧНО чтобы он не содержал К5, К3,3. Или я не прав?

Теорему доказал в 1927 году известный советский математик Лев Семенович Понтрягин, но не опубликовал.
Независимо от Понтрягина в 1930 году доказательста нашел и впервые напечатал польский математик Казимир Куратовский.
Первые доказательства теоремы Понтрягина-Куратовского были очень сложными. Сравнительно простое доказательство нашел в 1997 г. петербургский школьник Юрий Макарычев. 
 

__TOC__

{{Теорема
|statement =
Граф [[Укладка_графа_на_плоскости| планарен]] тогда и только тогда, когда он не содержит подграфов, [[Укладка графа на плоскости #def_hmp| гомеоморфных]] <tex> K_{5} </tex> или <tex> K_{3, 3} </tex> .
|proof =
Заметим, что из планарности графа следует планарность гомеоморфного графа и наоборот. В самом деле, пусть <tex> G_1 </tex> {{---}} плоский граф.
Если добавить на нужных ребрах вершины степени <tex> 2 </tex> и удалить некотрые вершины степени <tex> 2 </tex> в <tex> G_1 </tex>, получим укладку гомеоморфного графа <tex> G_2 </tex>. Таким образом, доказательство необходимости следует из [[Непланарность_K5_и_K3,3| непланарности <tex>K_5</tex> и <tex>K_{3, 3}</tex>]].

Докажем достаточность. От противного: пусть существует непланарный граф, который не содержит подграфов, гомеоморфных <tex> K_{5} </tex> или <tex> K_{3, 3} </tex>. Пусть <tex> G </tex> {{---}} такой граф с наименьшим возможным числом рёбер, не содержащий изолированных вершин.
=== G связен ===
Если <tex> G </tex> не [[Отношение_связности,_компоненты_связности|связен]], то в силу минимальности <tex> G </tex> его компоненты связности планарны и, следовательно, сам граф <tex> G </tex> планарен.
=== G {{---}} обыкновенный граф ===
В самом деле, пусть в графе <tex> G </tex> есть петля или кратное ребро <tex> e </tex>. Тогда в силу минимальности <tex> G </tex> граф <tex> G - e </tex> планарен. Добавляя ребро <tex> e </tex> к графу <tex> G - e </tex> получим, что граф <tex> G </tex> планарен.
=== G {{---}} [[Отношение_вершинной_двусвязности|блок]] ===
Пусть, от противного, в графе есть [[Точка_сочленения,_эквивалентные_определения|точка сочленения]] <tex> v </tex>. Через <tex> G_1 </tex> обозначим подграф графа <tex> G </tex>, порождённый вершинами одной из компонент связности графа <tex> G - v</tex> и вершинной <tex> v </tex>, а через
<tex> G_2 </tex> подграф графа <tex> G </tex>, порождённый вершинами остальных компонент связности графа <tex> G - v </tex> и вершиной <tex> v </tex>.

В силу минимальности <tex> G </tex>, <tex> G_1 </tex> и <tex> G_2 </tex> {{---}} планарны.

[[Файл:New.nb.pic.1.png|400px|рис. 1]]

Возьмём укладку графа <tex> G_1 </tex> на плоскости такую, что вершина <tex> v </tex> лежит на границе внешней грани. Ее можно получить, взяв любую укладку <tex> G_1 </tex> на плоскости, по ней построив укладку на шаре, используя обратную стереографическую проекцию<ref> [http://en.wikipedia.org/wiki/Stereographic_projection Wikipedia {{---}} Stereographic projection] </ref>, потом повернуть сферу так, чтоб <tex> v </tex> оказалась на внешней грани стереографической проекции повернутого шара.

Затем во внешней грани графа <tex> G_1 </tex> возьмём укладку графа <tex> G_2 </tex> такую, что вершина <tex> v </tex> будет представлена на плоскости в двух экземплярах.

[[Файл:nb.pic.2.png|400px|рис. 2]]

Соединим два экземпляра вершины <tex> v </tex> пучком жордановых линий, не допуская лишних пересечений с укладками графов <tex> G_1 </tex> и <tex> G_2 </tex>, состоящим из такого количества линий, какова степень вершины <tex> v </tex> в графе <tex> G_2 </tex>. Далее отбросим вхождение вершины <tex> v </tex> в граф <tex> G_2 </tex>, заменяя инцидентные ей рёбра на жордановы линии, полученные из линий указанного пучка и рёбер.

[[Файл:nb.pic.3.png|400px|рис. 3]]

Таким образом мы получили укладку графа <tex> G </tex> на плоскости, что невозможно.
=== В G нет мостов ===
Граф <tex> G </tex> не равен <tex> K_2 </tex> и в нем нет точек сочленения, следовательно в <tex> G </tex> нет [[Мост,_эквивалентные_определения|мостов]].
=== В G' существует цикл, содержащий вершины a и b ===
Пусть <tex> e = ab </tex> {{---}} произвольное ребро графа <tex> G </tex>, <tex> G' = G - e </tex>.
# граф <tex> G' </tex> планарен в силу минимальности графа <tex> G </tex>.
# граф <tex> G' </tex> связен в силу отсутствия в графе <tex> G </tex> мостов.

Пусть <tex> a </tex> и <tex> b </tex> лежат в одном блоке <tex> B </tex> графа <tex> G' </tex>.
# Если <tex>|VB| \geqslant 3</tex>, то существует цикл графа G', содержащий вершины <tex> a </tex> и <tex> b </tex>.
# Если <tex> |VB| = 2 </tex>, то в <tex> B </tex> имеется ребро <tex> e' = ab </tex>, но тогда в <tex> G </tex> имеются кратные рёбра <tex> e </tex> и <tex> e' </tex>, что невозможно.
#Если вершины <tex> a </tex> и <tex> b </tex> лежат в разных блоках графа <tex> G' </tex>, что существует точка сочленения <tex> v </tex>, принадлежащая любой простой <tex> (a, b) </tex> {{---}} цепи графа <tex> G' </tex>. Через <tex> G'_1 </tex> обозначим подграф графа <tex> G' </tex>, порождённый вершиной <tex> v </tex> и вершинами компоненты связности графа <tex> G' - v </tex>, содержащей <tex> a </tex>, а через <tex> G'_2 </tex> {{---}} подграф графа <tex> G' </tex>, порождённый вершиной <tex> v </tex> и вершинами остальных компонент связности графа <tEx> G' - v </tex> (в этом множестве лежит вершина <tex> b </tex>). Пусть <tex> G''_1 = G'_1 + e_1 </tex>, где <tex> e_1 = vb </tex> {{---}} новое ребро.

[[Файл:nb.pic.4.png|400px|рис. 4]]

Заметим, что в графе <tex> G''_1 </tex> рёбер меньше, чем в графе <tex> G </tex>. Действительно, вместо ребра <tex> e </tex> в <tex> G''_1 </tex> есть ребро <tex> e_1 </tex> и часть рёбер из графа <tex> G </tex> осталась в графе <tex> G''_2 </tex>. Аналогично, в графе <tex> G''_2 </tex> рёбер меньше, чем в графе <tex> G </tex>. 
Теперь в силу минимальности графа <tex> G </tex> графы <tex> G''_1 </tex> и <tex> G''_2 </tex> планарны. Возьмем укладку графа <tex> G''_1 </tex> на плоскости такую, что ребро <tex> e_1 = av </tex> лежит на границе внешней грани(ее существование доказывается аналогично существованию такой укладки для вершины графа). Во внешней грани графа <tex> G''_1 </tex> возьмем укладку графа <tex> G''_2 </tex> такую, что ребро <tex> e_2 = vb </tex> лежит па границе внешней грани.

[[Файл:nb.pic.5.png|400px|рис. 5]]

Отметим, что опять вершина <tex> v </tex> представлена на плоскости в двух экземплярах. Очевидно, добавление ребра <tex> e = ab </tex> не меняет планарности графа <tex> G''_1 U G''_2</tex>. Склеим оба вхождения вершины <tex> v </tex> точно так же, как это мы сделали в предыдущем пункте доказательства.

[[Файл:nb.pic.6.png|400px|рис. 6]]

Сотрем затем ранее добавленные ребра <tex> e_1 </tex> и <tex> e_2 </tex>. В результате мы получим укладку графа <tex> G </tex> на плоскости, что невозможно. Утверждение доказано.

===Вспомогательные определения и утверждение об одновременно разделяющейся внутренней части===
Среди всех укладок графа <tex>G'</tex> на плоскости и среди всех циклов <tex>C</tex>, содержащих <tex>a</tex> и <tex>b</tex>, зафиксируем такую укладку и такой цикл, что внутри области, ограниченной циклом <tex>C</tex>, лежит максимальное возможное число граней графа <tex>G'</tex>. Зафиксируем один из обходов по циклу <tex>C</tex> (на рисунках будем рассматривать обход по часовой стрелке по циклу <tex>C</tex>). Для вершин <tex>u</tex> и <tex>v</tex> цикла <tex>C</tex> через <tex>C[u,v]</tex> будем обозначать простую <tex>(u,v)</tex> {{---}} цепь, идущую по циклу <tex>C</tex> от <tex>u</tex> до <tex>v</tex> в направлении обхода цикла. Конечно, <tex>C[u,v] \ne C[v,u]</tex>. Положим <tex>C(u,v) = C[u,v] \setminus</tex> {<tex>u,v</tex>}, т.е. <tex>C(u,v)</tex> получено из <tex>C[u,v]</tex> отбрасыванием вершин <tex>u</tex> и <tex>v</tex>.
{{Определение
|definition =
Внешним графом (англ. ''Outside graph'') (относительно цикла <tex>C</tex>) будем называть подграф графа <tex>G'</tex>, порождённый всеми вершинами графа <tex>G'</tex>, лежащими снаружи от цикла <tex>C</tex>.
}}
{{Определение
|definition =
Внешними компонентами (англ. ''Outside components'') будем называть компоненты связности внешнего графа.
}}
В силу связности графа <tex>G'</tex> для любой внешней компоненты должны существовать рёбра в <tex>G'</tex>, соединяющие её с вершинами цикла <tex>C</tex>.
{{Определение
|definition =
Внешними частями (англ. ''Outside parts'') будем называть внешние компоненты вместе со всеми рёбрами, соединяющими компоненту с вершинами цикла <tex>C</tex>, и инцидентными им вершинами , либо рёбра графа <tex>G'</tex>, лежащие снаружи от цикла <tex>C</tex> и соединяющие две вершины из <tex>C</tex>, вместе с инцидентными такому ребру вершинами.
}}
[[Файл:nb.pic.7.png|440px|рис. 7]]
{{Определение
|definition =
Внутренним графом (англ. ''Inside graph'') (относительно цикла <tex>C</tex>) будем называть подграф графа <tex>G'</tex>, порождённый всеми вершинами графа <tex>G'</tex>, лежащими внутри цикла <tex>C</tex>.
}}
{{Определение
|definition =
Внутренними компонентами (англ. ''Inside components'') будем называть компоненты связности внутреннего графа.
}}
В силу связности графа <tex>G'</tex> для любой внутренней компоненты должны существовать рёбра в <tex>G'</tex>, соединяющие её с вершинами цикла <tex>C</tex>.
{{Определение
|definition =
Внутренними частями (англ. ''Inside parts'') будем называть внутренние компоненты вместе со всеми рёбрами, соединяющими компоненту с вершинами цикла <tex>C</tex>, и инцидентными им вершинами, либо рёбра графа <tex>G'</tex>, лежащие внутри цикла <tex>C</tex> и соединяющие две вершины из <tex>C</tex>, вместе с инцидентными такому ребру вершинами
}}
Будем говорить, что внешняя (внутренняя) часть ''встречает цикл'' <tex>C</tex> в своих точках прикрепления к циклу <tex>C</tex>.
{{Лемма
|about=1
|statement =
Любая внешняя часть встречает цикл <tex>C</tex> точно в двух точках, одна из которых лежит в <tex>C(a,b)</tex>, а другая {{---}} в <tex>C(b,a)</tex>.
|proof =
Если внешняя часть встречает цикл <tex>C</tex> точно в одной точке <tex>v</tex>, то <tex>v</tex> является точкой сочленения графа <tex>G</tex>, что невозможно.

[[Файл:nb.pic.8.png|420px|рис. 8]]

Таким образом, внешняя часть встречает цикл <tex>C</tex> не менее чем в двух точках. Если внешняя часть встречает цикл <tex>C</tex> в двух точках из <tex>C[a,b]</tex> (случай <tex>C[b,a]</tex> рассматривается аналогично), то в <tex>G'</tex> имеется цикл, содержащий внутри себя больше граней, чем цикл <tex>C</tex>, и проходящий через <tex>a</tex> и <tex>b</tex>, что невозможно.

[[Файл:nb.pic.9.png|420px|рис. 9]]

Итого, внешняя часть встречает цикл <tex>C</tex> хотя бы в двух точках, никакие две из которых не лежат в <tex>C[a,b]</tex> и <tex>C[b,a]</tex>. То есть ровно одна лежит в <tex>C(a,b)</tex> и ровно одна {{---}} в <tex>C(b,a)</tex>.
}}
{{Определение
|definition =
Ввиду леммы 1 будем говорить, что любая внешняя часть является <tex>(a,b)</tex> {{---}} разделяющей частью (англ. ''separating part''), поскольку она встречает и <tex>C(a,b)</tex>, и <tex>C(b,a)</tex>.
}}
Аналогично можно ввести понятие <tex>(a,b)</tex> {{---}} разделяющей внутренней части. Заметим, что внутрення часть может встречать цикл <tex>C</tex>, вообще говоря, более чем в двух точках, но не менее чем в двух точках.
{{Лемма
|about=2
|statement =
Существует хотя бы одна <tex>(a,b)</tex> {{---}} разделяющая внутренняя часть.
|proof =
Пусть, от противного, таких частей нет. Тогда, выходя из <tex>a</tex> внутри области, ограниченной <tex>C</tex>, и двигаясь вблизи от <tex>C</tex> по направлению обхода <tex>C</tex> и вблизи от встречающихся внутренних частей, можно уложить ребро <tex>e = ab</tex> внутри цикла <tex>C</tex>, т.е. <tex>G</tex> {{---}} планарный граф, что невозможно.

[[Файл:nb.pic.10.png|280px|рис. 10]]

}}
{{Лемма
|about=3
|statement =
Существует внешняя часть, встречающая <tex>C(a,b)</tex> в точке <tex>c</tex> и <tex>C(b,a)</tex> {{---}} в точке <tex>d</tex>, для которой найдётся внутренняя часть, являющаяся одновременно <tex>(a,b)</tex> {{---}} разделяющей и <tex>(c,d)</tex> {{---}} разделяющей. 

[[Файл:nb.pic.11.png|240px|рис. 11]]

|proof =
Пусть, от противного, лемма 3 неверна. Упорядочим <tex>(a,b)</tex> {{---}} разделяющие внутренние части в порядке их прикрепления к циклу <tex>C</tex> при движении по циклу от <tex>a</tex> до <tex>b</tex> и обозначим их соответственно через <tex>In_{1},In_{2},\dots</tex> Пусть <tex>u_{1}</tex> и <tex>u_{2}</tex> {{---}} первая и последняя вершины из <tex>C(a,b)</tex>, в которых <tex>In_{1}</tex> встречает цикл <tex>C</tex>, а <tex>v_{1}</tex> и <tex>v_{2}</tex> {{---}} первая и последняя вершины из <tex>C(b,a)</tex>, в которых <tex>In_{1}</tex> встречает цикл <tex>C</tex> (возможно, вообще говоря, <tex>u_{1} = u_{2}</tex> или <tex>v_{1} = v_{2}</tex>). Поскольку лемма 3 неверна, для любой внешней части обе её вершины, в которых она встречает <tex>C</tex>, лежат либо на <tex>C[v_{2},u_{1}]</tex>, либо на <tex>C[u_{2},v_{1}]</tex>. Тогда снаружи цикла <tex>C</tex> можно провести жорданову кривую <tex>P</tex>, не пересекая рёбер графа <tex>G'</tex>, соединяющую <tex>v_{2}</tex> с <tex>u_{1}</tex>.

[[Файл:nb.pic.12.png|310px|рис. 12]]

Поскольку на участках <tex>C(u_{1},u_{2})</tex> и <tex>C(v_{1},v_{2})</tex> нет точек прикрепления внешних частей, используя жорданову кривую <tex>P</tex>, внутреннюю часть <tex>In_{1}</tex> можно перебросить ("вывернуть" наружу от цикла <tex>C</tex>) во внешнюю область цикла <tex>C</tex>, т.е. уложить её снаружи от цикла <tex>C</tex> и сделать её внешней частью.
Аналогично все остальные <tex>(a,b)</tex> {{---}} разделяющие внутренние части можно перебросить во внешнюю область от цикла <tex>C</tex>. После этого точно так же, как в доказательстве леммы 2, ребро <tex>e = ab</tex> можно уложить внутри цикла <tex>C</tex>, так как не останется <tex>(a,b)</tex> {{---}} разделяющих внутренних частей. Следовательно, мы получим укладку графа <tex>G</tex>, что невозможно.
}}

== Разбор случаев взаимного положения вершин ''a, b, c, d, u1, u2, v1, v2'' ==
* Пусть пара вершин <tex>\ v_1 </tex> и <tex>\ v_2 </tex> является <tex>(a, b)</tex> {{---}} разделяющей. 
*: Тогда, в частности, <tex>v_2 \ne a</tex> и <tex> v_1 \ne b</tex>.
*: В этом случае граф <tex>G</tex> содержит подграф, гомеоморфный <tex>\ K_{3,3} </tex> (отметим, что в <tex> In </tex> существует простая <tex>(v_1, v_2)</tex> {{---}} цепь).

;: [[Файл:Case_1.png|270px|рис. 7.1]]

* Пусть пара вершин <tex>v_1</tex> и <tex>v_2</tex> не является <tex>(a, b)</tex> {{---}} разделяющей. 
*: Тогда <tex>v_1, v_2</tex> лежат на <tex>C[a, b]</tex> или на <tex>C[b, a]</tex>.
*: Без ограничения общности будет считать, что <tex>v_1</tex> и <tex>v_2</tex> лежат на <tex>C[a, b]</tex>. 
*: 
*# Пусть <tex>v_1</tex> и <tex>v_2</tex> лежат на <tex>C(a, b)</tex>, т.е. <tex>v_1 \ne b</tex> и <tex>v_2 \ne a</tex>. 
*## Пусть <tex>u_2</tex> лежит на <tex>C(d, a)</tex>. 
*##: Тогда в графе <tex>G</tex> имеется подграф, гомеоморфный <tex>K_{3,3}</tex>.
*##: [[Файл:Сase_2.1.1.png|200px|рис. 7.3]]
*## Пусть <tex>u_2 = d</tex>. 
*##:Тогда во внешней части <tex>In</tex> имеется вершина <tex>w</tex> и три простые цепи от <tex>w</tex> соответственно до <tex>d, v_1, v_2</tex>, которые в качестве общей точки имеют только точку <tex>w</tex>.
*##:В этом случае в графе <tex>G</tex> имеется подграф, гомеоморфный <tex>K_{3,3}</tex>. 
*##:[[Файл:Сase_2.1.2.png|200px|рис. 7.4]]
*## Пусть <tex>u_2</tex> лежит на <tex>C(b, d)</tex>. 
*##:Тогда в графе <tex>G</tex> есть подграф, гомеоморфный <tex>K_{3,3}</tex>. 
*##:[[Файл:Сase_2.1.3.png|200px|рис. 7.5]]
*#: 
*#:Теперь рассмотрим случаи (2 и 3), когда хотя бы одна из вершин <tex>v_1</tex> и <tex>v_2</tex> не лежит на <tex>С(a, b)</tex>.
*#:Без ограничения общности будем считать, что это вершина <tex>v_1</tex>, т.е <tex>v_1 = b</tex>(поскольку <tex>v_1</tex> лежит на <tex>C[a, b]</tex>). 
*#: 
*# Пусть <tex>v_2 \ne a</tex>. 
*##: Пусть <tex>u_2</tex> лежит на <tex>C(d, a)</tex>. 
*##: Тогда в графе <tex>G</tex> есть пограф, гомеоморфный <tex>K_{3,3}</tex>. 
*##:[[Файл:Сase_2.2.1.png|200px|рис. 7.6]]
*## Пусть <tex>u_2 = d</tex>. 
*##:Тогда в графе <tex>G</tex> имеется подграф, гомеоморфный <tex>K_{3,3}</tex>. 
*##:[[Файл:Сase_2.2.2.png|220px|рис. 7.7]]
*## Пусть <tex>u_2</tex> лежит на <tex>C(b, d)</tex>. 
*##:Тогда в графе <tex>G</tex> имеется подграф, гомеоморфный <tex>K_{3,3}</tex>. 
*##:[[Файл:Сase_2.2.3.png|200px|рис. 7.8]]
*#: 
*#: 
*# Пусть <tex>v_2 = a</tex>. 
*#:[[Файл:Сase_2.3(a).png|200px|рис. 7.9]]
*#:Рассмотрим теперь пару вершин <tex>u_1</tex> и <tex>u_2</tex>.
*#:Будем считать, что <tex>u_1 = c</tex> и <tex>u_2 = d</tex>, поскольку все другие случаи расположения вершин <tex>u_1</tex> и <tex>u_2</tex> так же, как были рассмотрены все случаи расположения <tex>v_1</tex> и <tex>v_2</tex>.
*#:Пусть <tex>P_1</tex> и <tex>P_2</tex> {{---}} соответственно кратчайшие простые <tex>(a, b)</tex> {{---}} цепь и <tex>(c, d)</tex>-цепь по внутренней части <tex>In</tex>.
*#:[[Файл:Сase_2.3(b).png|200px|рис. 7.10]]
*#:Заметим, что <tex>P_1</tex> и <tex>P_2</tex> имеют общую точку. 
*#: 
*## Пусть цепи <tex>P_1</tex> и <tex>P_2</tex> имеют более одной общей точки. 
*##: Тогда в графе <tex>G</tex> есть подграф, гомеоморфный <tex>K_{3,3}</tex>. 
*##: [[Файл:Сase_2.3.1.png|200px|рис. 7.11]]
*## Пусть цепи <tex>P_1</tex> и <tex>P_2</tex> имеют точно одну общую точку <tex>w</tex>. 
*##: Тогда в графе <tex>G</tex> есть подграф, гомеоморфный <tex>K_5</tex>. 
*##: [[Файл:Сase_2.3.2.png|200px|рис. 7.12]]

Таким образом, доказано, что в графе <tex>G</tex> имеется подграф, гомеоморфный <tex>K_{3,3}</tex> или <tex>K_5</tex>, что противоречит нашему первому предположению. 
}}

== См. также ==
* [[Двойственный граф планарного графа]]
* [[Теорема Фари]]

== Примечания ==
<references />

==Источники информации==
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/Планарный_граф Википедия {{---}} Планарный граф]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Kuratowski's_theorem Wikipedia {{---}} Kuratowski's theorem]
* [http://acm.math.spbu.ru/~sk1/download/books/TheoremKuratowski.pdf "Вокруг критерия Куратовского планарности графов" (стр. 118)]
* Асанов М., Баранский В., Расин В. {{---}} Дискретная математика {{---}} Графы, матроиды, алгоритмы

[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Укладки графов ]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Теорема Понтрягина-Куратовского