Теорема о рекурсии

2017-12-01T19:22:58Z

87.117.189.44: /* Теорема о рекурсии */

==Теорема о рекурсии==

Рассмотрим произвольную вычислимую функцию от двух аргументов — <tex>V(x, y)</tex>. Теорема о рекурсии утверждает, что всегда можно найти эквивалентную ей <tex>p(y) = V(p, y)</tex>, которая будет использовать саму себя для вычисления значения. Сформулируем теорему более формально.
{{Теорема
|id=th1
|author=Клини
|about=о рекурсии / ''Kleene's recursion theorem''
|statement= Пусть <tex>V(n, x)</tex> {{---}} [[Вычислимые функции|вычислимая функция]]. Тогда найдётся такая вычислимая <tex>p</tex>, что <tex>\forall y:</tex> <tex>p(y) = V(p, y)</tex>.
|proof=
Приведем конструктивное доказательство теоремы.

Введем новые обозначения для псевдокода. Внутри блока '''program''' располагаются функции, среди которых есть функция <tex>\mathrm{main}</tex>:
'''program int''' p('''int''' x):
...

'''int''' main():
...

...
Тогда вызов <tex>\mathrm{p(x)}</tex> — вызов функции <tex>\mathrm{main}</tex> от соответствующего аргумента.

Все входные данные далее можно интерпретировать как строки, поэтому все типы аргументов и возвращаемых значений будут иметь тип '''string'''. Пусть есть вычислимая <tex>V(x,y)</tex>. Будем поэтапно строить функцию <tex>p(y)</tex>. Предположим, что у нас в распоряжении есть функция <tex>\mathrm{getSrc()}</tex>, которая вернет код <tex>p(y)</tex>. Тогда саму <tex>p(y)</tex> можно переписать так:
'''program string''' p('''string''' y):
'''string''' V('''string''' x, '''string''' y):
...

'''string''' main():
'''return''' V(getSrc(), y)

'''string''' getSrc():
...
Теперь нужно определить функцию <tex>\mathrm{getSrc()}</tex>. Предположим, что внутри <tex>p(y)</tex> мы можем определить функцию <tex>\mathrm{getOtherSrc()}</tex>, состоящую из одного оператора <tex>\mathrm{return}</tex>, которая вернет весь предшествующий ей код. Тогда <tex>p(y)</tex> перепишется так.

'''program string''' p('''string''' y):
'''string''' V('''string''' x, '''string''' y):
...

'''string''' main():
'''return''' V(getSrc(), y)

'''string''' getSrc():
'''string''' src = getOtherSrc()
'''return''' ```$src // символ $ перед названием переменной используется для подстановки значения этой переменной в строку
<nowiki>|</nowiki>string getOtherSrc(): // многострочные строки заключаются в ``` и используют <nowiki>|</nowiki> в качестве разделителя
<nowiki>|</nowiki> return $src```

'''string''' getOtherSrc():
...

Теперь <tex>\mathrm{getOtherSrc()}</tex> определяется очевидным образом, и мы получаем '''итоговую версию''' функции <tex>p(y)</tex>:
<code>
'''program string''' p('''string''' y):
'''string''' V('''string''' x, '''string''' y):
...

'''string''' main():
'''return''' V(getSrc(), y)

'''string''' getSrc():
'''string''' src = getOtherSrc()
'''return''' ```$src
<nowiki>|</nowiki>string getOtherSrc():
<nowiki>|</nowiki> return $src```

'''string''' getOtherSrc():
'''return''' ```function p(int y):
<nowiki>|</nowiki> int V(string x, int y):
<nowiki>|</nowiki> ...
<nowiki>|</nowiki>
<nowiki>|</nowiki> int main():
<nowiki>|</nowiki> return V(getSrc(), y)
<nowiki>|</nowiki>
<nowiki>|</nowiki> string getSrc():
<nowiki>|</nowiki> string src = getOtherSrc()
<nowiki>|</nowiki> return \```$src
<nowiki>|</nowiki> <nowiki>|</nowiki>string getOtherSrc():
<nowiki>|</nowiki> <nowiki>|</nowiki> return \$src\```
</code>
}}

Иначе говоря, если рассмотреть <tex>V(x, y)</tex>, как программу, использующую <tex>x</tex> в качестве исходного кода и выполняющую действие над <tex>y</tex>, то теорема о рекурсии показывает, что мы можем написать эквивалентную ей программу <tex>p(y) = V(p, y)</tex>, которая будет использовать собственный исходный код.

Приведем так же альтернативую формулировку теоремы и альтернативное (неконструктивное) доказательство.

==Теорема о неподвижной точке==
Введем на множестве натуральных чисел следующее отношение: <tex>x \equiv y \Leftrightarrow U_x = U_y</tex> и докажем вспомогательную лемму.
{{Определение
|definition = Функция <tex>g</tex> называется '''<tex>\equiv</tex> {{---}} продолжением (<tex>\equiv</tex> {{---}} continuation)''' функции <tex>f</tex>, если для всех таких <tex>x</tex>, что <tex>f(x)</tex> определено, <tex>g(x) \equiv f(x)</tex>.
}}
{{Лемма
|statement= Для всякой вычислимой функции <tex>f</tex> существует вычислимая и всюду определенная функция <tex>g</tex>, являющаяся ее <tex>\equiv</tex> {{---}} продолжением.
|proof= Рассмотрим вычислимую функцию от двух аргументов <tex> V(n, x) = U(f(n), x)</tex>. Так как <tex>V</tex> — вычислимая, то существует вычислимая и всюду определенная функция <tex>s(n)</tex> такая, что: <tex>V(n, x) = U(s(n), x)</tex>.

Покажем, что <tex>s(n)</tex> будет являться <tex>\equiv</tex> {{---}} продолжением функции <tex>f(n)</tex>. Если <tex>f(n)</tex> определено, то <tex>s(n)</tex> вернет другой номер той же вычислимой функции. Если же <tex>f(n)</tex> не определено, то <tex>s(n)</tex> вернет номер нигде не определенной функции.
Таким образом, мы нашли <tex>\equiv</tex> {{---}} продолжение для произвольно взятой вычислимой функции <tex>f</tex>.
}}
{{Теорема
|id=th2
|author=Роджерс
|about=о неподвижной точке / ''Rogers' fixed-point theorem''
|statement= Пусть <tex>U</tex> {{---}} [[Диагональный_метод|универсальная функция]] для класса вычислимых функций одного аргумента, <tex>h</tex> {{---}} всюду определённая [[Вычислимые_функции|вычислимая функция]] одного аргумента. Тогда найдется такое <tex>n</tex>, что <tex>U_n=U_{h(n)}</tex>, то есть <tex>n</tex> и <tex>h(n)</tex> — номера одной функции.
|proof=
Будем доказывать теорему от противного: предположим, что существует всюду определенная вычислимая функция <tex>h</tex>, такая, что <tex>U_n \neq U_{h(n)}</tex> для любого <tex>n</tex>. В терминах введенного нами отношения, это значит, что <tex>h</tex> не имеет <tex>\equiv</tex> {{---}} неподвижных точек.

Рассмотрим некоторую вычислимую функцию, от которой никакая вычислимая функция не может отличаться всюду. Такой будет, например <tex>f(x) = U(x, x)</tex> (действительно, если предположить, что существует вычислимая функция <tex>g(n)</tex>, всюду отличная от <tex>f(n) = U(n, n)</tex>, то нарушается определение универсальной функции.)

Согласно доказанной нами лемме, существует вычислимая и всюду определенная функция <tex>g(x)</tex>, являющаяся <tex>\equiv</tex> {{---}} продолжением функции <tex>f(x)</tex>. Давайте зададим функцию <tex>t(x)</tex> следующим образом: <tex>t(x) = h(g(x))</tex>, где <tex>h(x)</tex> — искомая всюду определенная, вычислимая функция, не имеющая <tex>\equiv</tex> {{---}} неподвижных точек. Тогда <tex>t(x)</tex> всюду отличается от <tex>f(x)</tex> (в силу того, что <tex>h(x)</tex> не имеет неподвижных точек.) Получили противоречие, из чего следует, что такой функции <tex>h</tex> не существует.
}}

{{Утверждение
|id=идентификатор (необязательно), пример: proposalF.
|statement = <tex> \exists n : W_n = \{n\} </tex>, где <tex> W_n </tex> {{---}} множество слов, допускаемых программой с номером <tex> n </tex>.
|proof=
По [[Теорема о рекурсии | теореме о рекурсии]], программа может знать свой исходный код. Значит, в неё можно написать функцию <tex> \mathrm{getSrc()} </tex>, которая вернёт строку {{---}} исходный код программы.
Напишем такую программу:
<code>
<tex>p(q){:}</tex>
'''if''' <tex>p. \mathrm{getSrc()}</tex> == <tex>q. \mathrm{getSrc()}</tex>
'''return''' 1
'''else'''
'''while''' ''true''
</code>
Программа <tex> p </tex> знает свой код, что то же самое, что и знает свой номер. Как видно из её кода, она допускает только одно число {{---}} свой номер.
}}

==Пример использования теоремы о рекурсии в доказательстве о неразрешимости языка==
Используя теорему о рекурсии, приведём простое доказательство неразрешимости языка <tex>L=\{p \mid p(\varepsilon)=\perp\}</tex>.
{{Лемма
|id=st2
|statement= Язык <tex>L=\{p \mid p(\varepsilon)=\perp\}</tex> неразрешим.
|proof=
Предположим обратное, тогда существует программа <tex>r</tex> разрещающая <tex>L</tex>.
Рассмотрим следущую программу:
<code>
<tex>p(x){:}</tex>
'''if''' <tex>r(\mathrm{getSrc()})</tex>
'''return''' 1
'''while''' ''true''
</code>
Пусть <tex>p(\epsilon)=\perp</tex>. Тогда условие <tex>r(p)</tex> выполняется и <tex>p(\epsilon)=1</tex>. Противоречие. Если <tex>p(\epsilon) \ne \perp</tex>, то <tex>r(p)</tex> не выполняется и <tex>p(\epsilon)=\perp</tex>. Противоречие.
}}

==См. также==
*[[Участник:Shersh/Теорема_о_рекурсии]]

==Источники информации==
* [[wikipedia:Kleene's_recursion_theorem | Wikipedia {{---}} Kleene's recursion theorem]]
* ''Верещагин Н. К., Шень А.'' '''Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 3. Вычислимые функции''' — М.: МЦНМО, 1999 - С. 176
* ''Kleene, Stephen'' '''On notation for ordinal numbers''' - The Journal of Symbolic Logic, 1938 - С. 150-155

[[Категория: Теория формальных языков]]
[[Категория: Теория вычислимости]]
[[Категория:Разрешимые и перечислимые языки]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Теорема о рекурсии