Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Участница:Katyatitkova/Матан

2013-11-15T15:50:28Z

87.248.240.170: Отмена правки 33611 участника 87.248.240.170 (обсуждение)

== Определения ==
=== Упорядоченная пара ===
{{Определение
|definition=
'''Упорядоченная пара''' — двухэлементное семейство множеств, где множеством индексов является <tex dpi=130> \{ 1, 2 \} </tex>.
}}

=== Декартово произведение ===
{{Определение
|definition=
'''Декартовым''' или '''прямым произведением''' множеств <tex dpi=130> X </tex> и <tex dpi=130> Y </tex> называется множество всех упорядоченных пар, таких, что первый элемент пары принадлежит <tex dpi=130> X </tex>, а второй — <tex dpi=130> Y </tex>: 
<tex dpi=130> X \times Y = \{ (x, y): x \in X, y \in Y \} </tex>
}}

=== Операции над множествами ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> { \{ X_{\alpha} \} }_{ \alpha \in A } </tex> — семейство множеств. '''Объединением''' семейства <tex dpi=130> { \{ X_{\alpha} \} }_{ \alpha \in A } </tex> называется множество всех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств <tex dpi=130> X_{\alpha} </tex>: 
<tex dpi=130> \underset{\alpha \in A}{\bigcup} X_{\alpha} = \{ x: \exists \alpha \in A \ x \in X_{\alpha} \} </tex>
}}

{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> { \{ X_{\alpha} \} }_{ \alpha \in A } </tex> — семейство множеств. '''Пересечением''' семейства <tex dpi=130> { \{ X_{\alpha} \} }_{ \alpha \in A } </tex> называется множество всех элементов, которые принадлежат каждому из множеств <tex dpi=130> X_{\alpha} </tex>: 
<tex dpi=130> \underset{\alpha \in A}{\bigcap} X_{\alpha} = \{ x: \forall \alpha \in A \ x \in X_{\alpha} \} </tex>
}}

{{Определение
|definition=
'''Разностью''' множеств <tex dpi=130> X </tex> и <tex dpi=130> Y </tex> называется множество всех элементов, которые принадлежат <tex dpi=130> X </tex>, но не принадлежат <tex dpi=130> Y </tex>: 
<tex dpi=130> X \backslash Y = \{ x: x \in X, x \not\in Y \} </tex>
}}

{{Теорема
|author=Де Моргана
|about=законы
|statement=
Пусть <tex dpi=130> { \{ X_{\alpha} \} }_{ \alpha \in A } </tex> — семейство множеств, <tex dpi=130> Y </tex> — множество. Тогда 
# <tex dpi=130> Y \ \backslash \ \underset{\alpha \in A}{\bigcup} X_{\alpha} = \underset{\alpha \in A}{\bigcap} \left ( Y \ \backslash \ X_{\alpha} \right ) </tex> 
# <tex dpi=130> Y \ \backslash \ \underset{\alpha \in A}{\bigcap} X_{\alpha} = \underset{\alpha \in A}{\bigcup} \left ( Y \ \backslash \ X_{\alpha} \right ) </tex>
}}

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex dpi=130> { \{ X_{\alpha} \} }_{ \alpha \in A } </tex> — семейство множеств, <tex dpi=130> Y </tex> — множество. Тогда 
# <tex dpi=130> Y \cap \underset{\alpha \in A}{\bigcup} X_{\alpha} = \underset{\alpha \in A}{\bigcap} \left ( Y \cap X_{\alpha} \right ) </tex> 
# <tex dpi=130> Y \cup \underset{\alpha \in A}{\bigcap} X_{\alpha} = \underset{\alpha \in A}{\bigcup} \left ( Y \cup X_{\alpha} \right ) </tex>
}}

=== Пополненное множество вещественных чисел, операции и порядок в нем ===
{{Определение
|definition=
Множество <tex dpi=130> \overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{ - \infty, + \infty \} </tex> называется '''расширенной числовой прямой'''.
}}
* <tex dpi=130> - \infty < + \infty </tex>
* <tex dpi=130> + \infty \cdot \left ( + \infty \right ) = + \infty </tex>
* <tex dpi=130> + \infty \cdot \left ( - \infty \right ) = - \infty </tex>
* <tex dpi=130> - \infty \cdot \left ( - \infty \right ) = + \infty </tex>

Для <tex dpi=130> \forall x \in \mathbb{R} </tex>:

* <tex dpi=130> - \infty < x < + \infty </tex>
* <tex dpi=130> x + x = 2x </tex>
* <tex dpi=130> x + \infty = + \infty </tex>
* <tex dpi=130> x - \infty = - \infty </tex>
* <tex dpi=130> + \infty + \infty = + \infty </tex>
* <tex dpi=130> + \infty - \infty = \ :( </tex>
* <tex dpi=130> - \infty - \infty = - \infty </tex>

Для <tex dpi=130> \forall x > 0, x \in \mathbb{R} </tex>:

* <tex dpi=130> x \cdot x = x^2 </tex>
* <tex dpi=130> x \cdot \left ( + \infty \right ) = + \infty </tex>
* <tex dpi=130> x \cdot \left ( - \infty \right ) = - \infty </tex>

=== Подмножество в R, ограниченное сверху ===
{{Определение
|definition=
Множество <tex dpi=130> E \subset \mathbb{R} </tex> называется '''ограниченным сверху''', если существует такое число <tex dpi=130> M \in \mathbb{R} </tex>, что <tex dpi=130> x \leqslant M </tex> для всех <tex dpi=130> x \in E </tex>. Число <tex dpi=130> M </tex> называется '''верхней границей множества'''.
}}

{{Определение
|definition=
Множество <tex dpi=130> E \subset \mathbb{R} </tex> называется '''ограниченным снизу''', если существует такое число <tex dpi=130> m \in \mathbb{R} </tex>, что <tex dpi=130> x \geqslant m </tex> для всех <tex dpi=130> x \in E </tex>. Число <tex dpi=130> m </tex> называется '''нижней границей множества'''.
}}

{{Определение
|definition=
Множество <tex dpi=130> E \subset \mathbb{R} </tex> называется '''ограниченным''', если оно ограничено и сверху, и снизу.
}}

=== Максимальный элемент множества ===
{{Определение
|definition=
Число <tex dpi=130> M </tex> называется '''максимумом''' или '''наибольшим элементом''' множества <tex dpi=130> E \subset \mathbb{R} </tex>, если <tex dpi=130> M \in E </tex> и <tex dpi=130> x \leqslant M </tex> для всех <tex dpi=130> x \in E </tex>. Обозначается <tex dpi=130> \max E </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Число <tex dpi=130> m </tex> называется '''минимумом''' или '''наименьшим элементом''' множества <tex dpi=130> E \subset \mathbb{R} </tex>, если <tex dpi=130> m \in E </tex> и <tex dpi=130> x \geqslant m </tex> для всех <tex dpi=130> x \in E </tex>. Обозначается <tex dpi=130> \min E </tex>.
}}

=== Последовательность ===
{{Определение
|definition=
Отображение множества натуральных чисел <tex dpi=130> \mathbb{N} </tex> в множество <tex dpi=130> Y </tex> называется '''последовательностью''' в <tex dpi=130> Y </tex> Обозначается как <tex dpi=130> \{ x_n \} </tex>.
}}

=== Образ и прообраз множества при отображении ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> f: X \to Y, \ A \subset X </tex>. Множество <tex dpi=130> f(A) = \{ y \in Y: \exists x \in A \ f(x) = y \} </tex> называется '''образом''' множества <tex dpi=130> A </tex> при отображении <tex dpi=130> f </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> f: X \to Y, \ B \subset X </tex>. Множество <tex dpi=130> f^{-1}(B) = \{ x \in X: \ f(x) \in B \} </tex> называется '''прообразом''' множества <tex dpi=130> B </tex> при отображении <tex dpi=130> f </tex>.
}}

=== Инъекция, сюръекция, биекция ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> f: X \to Y </tex>. Если <tex dpi=130> f(X) = Y </tex>, то отображение <tex dpi=130> f </tex> называется '''сюръективным''', или '''сюръекцией''', или '''отображением "на"'''.
}}

Иными словами: <tex dpi=130> f(x) = y </tex> имеет хотя бы одно решение в <tex dpi=130> X </tex>.

{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> f: X \to Y </tex>. Если для любых различных элементов <tex dpi=130> X </tex> их образы различны, то отображение <tex dpi=130> f </tex> называется '''инъективным''', или '''инъекцией''', или '''обратимым''' отображением.
}}

Иными словами: <tex dpi=130> f(x) = y </tex> имеет не более одного решения в <tex dpi=130> X </tex>.

{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> f: X \to Y </tex>. Если отображение <tex dpi=130> f </tex> одновременно инъективно и суръективно, то оно называется '''биективным''', или '''биекцией''', или '''взаимно-однозначным''' отображением (соответствием).
}}

Иными словами: <tex dpi=130> f(x) = y </tex> имеет ровно одно решение в <tex dpi=130> X </tex>.

=== Целая часть числа ===
=== Законы де Моргана ===
=== Векторнозначаная функция ===
{{Определение
|definition=
'''Векторозначная функция (вектор-функция)''' — отображение <tex dpi=130> f </tex> из <tex dpi=130> X </tex> в <tex dpi=130> \mathbb{R} ^m </tex> или <tex dpi=130> \mathbb{C} ^m </tex>.
}}

=== Координатная функция ===
{{Определение
|definition=
Отображение <tex dpi=130> f_k </tex> из <tex dpi=130> X </tex> в <tex dpi=130> \mathbb{R} </tex> или <tex dpi=130> \mathbb{C} </tex>, которое каждому элементу <tex dpi=130> x </tex> сопоставляет число <tex dpi=130> f_k (x) </tex>, называют '''k-ой координатной функцией''' отображения <tex dpi=130> f \left ( k \in \left [ 1 \ : \ m \right ] \right ) </tex> и пишут <tex dpi=130> f = (f_1, ..., f_m) </tex>.
}}

=== График отображения ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> f: X \to Y </tex>. '''Графиком''' отображения <tex dpi=130> f </tex> называется множество 
<tex dpi=130> \Gamma_f = \{ \left ( x, y \right ) : x \in X, y = f(x) \} </tex>
}}

=== Композиция отображений ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> f: X \to Y </tex>, <tex dpi=130> g: Y_0 \ \to \ Z </tex>, <tex dpi=130> f(X) \subset Y_0 </tex>. Отображение <tex dpi=130> h: X \ \to \ Z </tex>, действующее по правилу 
<tex dpi=130> h(x) = g(f(x)), \ x \in X </tex> 
называется '''композицией''' или '''суперпозицией''' отображений <tex dpi=130> f </tex> и <tex dpi=130> g </tex>, а также '''сложным отображением''' и обозначается <tex dpi=130> f \circ g </tex>. При этом <tex dpi=130> g </tex> называется '''внешним''', а <tex dpi=130> f </tex> — '''внутренним отображением'''.
}}

=== Сужение и продолжение отображений ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> f: X \to Y </tex>, <tex dpi=130> X_0 \subset X </tex>. Отображение, которое каждому <tex dpi=130> x \in X_0 </tex> сопоставляет <tex dpi=130> f(x) </tex>, называется '''сужением''' отображения <tex dpi=130> f </tex> на множество <tex dpi=130> X_0 </tex> и обозначается <tex dpi=130> f | _{X_0} </tex>. Если отображение <tex dpi=130> g </tex> есть сужение отображения <tex dpi=130> f </tex>, то <tex dpi=130> f </tex> называется '''продолжением''', '''распространением''' или '''расширением''' <tex dpi=130> g </tex>.
}}

=== Предел последовательности (эпсилон-дельта определение) ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> \{ x_n \} _{n = 1} ^{\infty} </tex> — последовательность вещественных чисел. Число <tex dpi=130> a \in \mathbb{R} </tex> называют '''пределом последовательности''' <tex dpi=130> \{ x_n \} </tex> и пишут 
<tex dpi=130> \lim_{n \to \infty}x_n </tex> ,
если для любого положительного числа <tex dpi=130> \varepsilon </tex> существует такой положительный номер <tex dpi=130> N </tex>, что для всех номеров <tex dpi=130> n </tex>, больших <tex dpi=130> N </tex>, выполняется равенство <tex dpi=130> \left | x_n - a \right | < \varepsilon </tex>: 
<tex dpi=130> \forall \varepsilon > 0 \ \exists N \in \mathbb{N} \ \forall n \in \mathbb{N}: n > N \ \left | x_n - a \right | < \varepsilon </tex>
}}

{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> \left ( X, \rho \right ) </tex> — метрическое пространство, <tex dpi=130> \{ x_n \} _{n = 1} ^{\infty} </tex> — последовательность в <tex dpi=130> X </tex>. Точку <tex dpi=130> a \in X </tex> называют '''пределом последовательности''' <tex dpi=130> \{ x_n \} </tex> и пишут 
<tex dpi=130> \lim_{n \to \infty}x_n </tex>, 
если для любого положительного числа <tex dpi=130> \varepsilon </tex> существует такой номер <tex dpi=130> N </tex>, что для всех номеров <tex dpi=130> n </tex>, больших <tex dpi=130> N </tex>, выполняется равенство <tex dpi=130> \rho(x_n, a) < \varepsilon </tex>: 
<tex dpi=130> \forall \varepsilon > 0 \ \exists N \in \mathbb{N} \ \forall n \in \mathbb{N}: n > N \ \rho(x_n, a) < \varepsilon </tex>
}}

=== Предел последовательности (определение на языке окрестностей) ===
{{Определение
|definition=
Интервал <tex dpi=130> \left ( a - \varepsilon, a + \varepsilon \right ) </tex> называется <tex dpi=130> \varepsilon </tex>-'''окрестностью''' точки <tex dpi=130> a </tex> и обозначается <tex dpi=130> V_{\alpha} (\varepsilon) </tex> или <tex dpi=130> V_{\alpha} </tex>, если значение <tex dpi=130> \varepsilon </tex> несущественно.
}}

{{Определение
|definition=
Число <tex dpi=130> a </tex> называется '''пределом последовательности''' <tex dpi=130> \{ x_n \} </tex>, если для любой окрестности точки <tex dpi=130> a </tex> все члены последовательности, начиная с некоторого номера, принадлежат этой окрестности.
}}

=== Метрика, метрическое пространство, подпространство ===
{{Определение
|definition=
Функция <tex dpi=130> \rho: X \times X \to \mathbb{R}_{+} </tex> называется '''метрикой''' или '''расстоянием''' в множестве <tex dpi=130> X </tex>, если она удовлетворяет следующим условиям: 
# <tex dpi=130> \rho (x, y) = 0 \Longleftrightarrow x = y, \ x, y \in X </tex> 
# <tex dpi=130> \rho (x, y) = \rho (y, x), \ x, y \in X </tex> 
# <tex dpi=130> \rho (x, z) \leqslant \rho (x, y) + \rho (y, z), \ x, y, z \in X </tex> 
}}

{{Определение
|definition=
Пара <tex dpi=130> \left ( X, \rho \right ) </tex> — множество с метрикой в нём — называется '''метрическим пространством'''.
}}

{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> Y \subset X </tex>, <tex dpi=130> \rho </tex> — метрика в <tex dpi=130> X </tex>. Метрическое пространство <tex dpi=130> \left ( Y, \rho | _{Y \times Y} \right ) </tex> называется подпространством метрического пространства <tex dpi=130> \left ( X, \rho \right ) </tex>.
}}

=== Окрестность точки, проколотая окрестность, окрестности в R с чертой ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> \left ( X, \rho \right ) </tex> — метрическое пространство, <tex dpi=130> a \in X </tex>, <tex dpi=130> r > 0 </tex>. Множество 
<tex dpi=130> B(a, r) = \{ x \in X: \rho(x, a) < r \} </tex> 
называется '''открытым шаром''' радиуса <tex dpi=130> r </tex> с центром в точке <tex dpi=130> a </tex>, или '''окрестностью''' (<tex dpi=130> r </tex>-'''окрестностью''') точки <tex dpi=130> a </tex> и обозначается ещё <tex dpi=130> V_{a}(r) </tex> или <tex dpi=130> V_a </tex>, если значение <tex dpi=130> r </tex> несущественно. Множество 
<tex dpi=130> \bar{B}(a, r) = \{ x \in X: \rho(x, a) \leqslant r \} </tex> 
называется '''замкнутым шаром''', а множество 
<tex dpi=130> S(a, r) = \{ x \in X: \rho(x, a) = r \} </tex> 
— '''сферой''' радиуса <tex dpi=130> r </tex> с центром в точке <tex dpi=130> a </tex>.
}}

=== Векторное пространство ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> K </tex> — поле, <tex dpi=130> X </tex> — множество, и над элементами <tex dpi=130> X </tex> и <tex dpi=130> K </tex> определены две операции: сложение <tex dpi=130> X \times X \overset{+}{\to} X </tex> и умножение <tex dpi=130> K \times X \overset{\cdot}{\to} X </tex>, удовлетворяющие следующим условиям: 
# <tex dpi=130> (x + y) + z = x + (y + z), \ x, y, z \in X </tex> 
# <tex dpi=130> x + y = y + x, \ x, y \in X </tex> 
# <tex dpi=130> \exists \theta \in X \ \forall x \in X \ 0 \cdot x = \theta </tex> 
# <tex dpi=130> ( \lambda + \mu) x = \lambda x + \mu x, \ x \in X, \lambda, \mu \in K </tex> 
# <tex dpi=130> \lambda (x + y) = \lambda x + \lambda y, \ x, y \in X, \lambda \in K </tex> 
# <tex dpi=130> (\lambda \mu) \cdot x = \lambda \cdot (\mu x), \ \ x \in X, \lambda, \mu \in K </tex> 
# <tex dpi=130> 1 \cdot x = x, \ x \in X </tex> 
Тогда <tex dpi=130> X </tex> называется '''векторным пространством''' или '''линейным множеством''' над полем <tex dpi=130> K </tex>
}}

=== Норма ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> X </tex> — векторное пространство над <tex dpi=130> \mathbb{R} </tex> или <tex dpi=130> \mathbb{C} </tex>. '''Нормой''' в <tex dpi=130> X </tex> называется функция <tex dpi=130> p: X \to \mathbb{R}_{+} </tex>, удовлетворяющая следующим условиям: 
# Положительная определённость: <tex dpi=130> p(x) = 0 \Longleftrightarrow x = \theta </tex> 
# Положительная однородность: <tex dpi=130> p(\lambda x) = \left | \lambda \right | p(x) </tex> 
# Неравенство треугольника (полуаддитивность): <tex dpi=130> p(x + y) \leqslant p(x) + p(y) </tex>. 
Обозначается как <tex dpi=130> p(x) = \left \Vert x \right \Vert </tex>. Пара <tex dpi=130> \left ( X, \left \Vert \cdot \right \Vert \right ) </tex> называется '''нормированным пространством'''. Если функция <tex dpi=130> p: X \to \mathbb{R}_{+} </tex> удовлетворяет аксиомам 2 и 3, то <tex dpi=130> p </tex> называется '''полунормой'''.
}}

=== Скалярное произведение ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> X </tex> — векторное пространство над <tex dpi=130> \mathbb{R} </tex> или <tex dpi=130> \mathbb{C} </tex>. Функция <tex dpi=130> \varphi: X \times X \to \mathbb{R} </tex> (или <tex dpi=130> \mathbb{C} </tex> называется '''скалярным произведением''' в <tex dpi=130> X </tex> (обозначение: <tex dpi=130> \varphi (x, y) = \left ( x, y \right ) </tex>, если она удовлетворяет следующим свойствам: 
# Линейность по первому аргументу: для всех <tex dpi=130> x_1, x_2, y \in X </tex> и всех <tex dpi=130> \lambda, \mu \in \mathbb{R} </tex> (или <tex dpi=130> \mathbb{C} </tex>) <tex dpi=130> \left ( \lambda x_1 + \mu x_2, y \right ) = \lambda \cdot \left ( x_1, y \right ) + \mu \cdot \left ( x_2, y \right ) </tex> 
# Эрмитовская симметричность: <tex dpi=130> \left ( y, x \right ) = \bar{\left ( x, y \right )} </tex> (в вещественном случае черту можно опустить) 
# Положительная определённость: <tex dpi=130> \left ( x, x \right ) \geqslant 0; \ \left ( x, x \right ) = 0 \Longleftrightarrow x = \theta </tex>
}}

Свойства скалярного произведения:
# <tex dpi=130> \left ( x, y_1 + y_2 \right ) = \left ( x, y_1 \right ) + \left ( x, y_2 \right ) </tex>
# <tex dpi=130> \left ( x, \lambda y \right ) = \bar{\lambda} \left ( x, y \right ) </tex>
# <tex dpi=130> \left ( \theta, y \right ) = \left ( x, \theta \right ) = 0 </tex>

=== Последовательность, сходящаяся к бесконечности ===
{{Определение
|definition=
Последовательность, стремящаяся к бесконечности, называется '''бесконечно большой'''.
}}

=== Верхняя, нижняя границы; супремум, инфимум ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> E \subset \mathbb{R}, \ E \neq \varnothing </tex>, <tex dpi=130> E </tex> ограничено сверху. Наименьшая из верхних границ множества <tex dpi=130> E </tex> называется '''точной верхней границей''', или '''верхней гранью''', или '''супремумом''' множества <tex dpi=130> E </tex> и обозначается <tex dpi=130> \sup E </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> E \subset \mathbb{R}, \ E \neq \varnothing </tex>, <tex dpi=130> E </tex> ограничено снизу. Наибольшая из нижних границ множества <tex dpi=130> E </tex> называется '''точной нижней границей''', или '''нижней гранью''', или '''инфимумом''' множества <tex dpi=130> E </tex> и обозначается <tex dpi=130> \inf E </tex>.
}}

=== Функция ограниченная сверху, снизу ===
{{Определение
|definition=
Функция называется ограниченной (сверху, снизу) на множестве <tex dpi=130> D </tex>, если множество <tex dpi=130> f(D) </tex> ограничено (сверху, снизу).
}}

=== Строго и не строго монотонная функция ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> D \subset X \subset \mathbb{R} </tex>. Функция <tex dpi=130> f: X \to \mathbb{R} </tex> называется: 
'''возрастающей''' на множестве <tex dpi=130> D </tex>, если для любых <tex dpi=130> x_1, x_2 </tex> из <tex dpi=130> D </tex> таких, что <tex dpi=130> x_1 < x_2 </tex>, будет <tex dpi=130> f(x_1) \leqslant f(x_2) </tex>; 
'''строго возрастающей''' на множестве <tex dpi=130> D </tex>, если для любых <tex dpi=130> x_1, x_2 </tex> из <tex dpi=130> D </tex> таких, что <tex dpi=130> x_1 < x_2 </tex>, будет <tex dpi=130> f(x_1) < f(x_2) </tex>; 
'''убывающей''' на множестве <tex dpi=130> D </tex>, если для любых <tex dpi=130> x_1, x_2 </tex> из <tex dpi=130> D </tex> таких, что <tex dpi=130> x_1 < x_2 </tex>, будет <tex dpi=130> f(x_1) \leqslant f(x_2) </tex> 
'''строго убывающей''' на множестве <tex dpi=130> D </tex>, если для любых <tex dpi=130> x_1, x_2 </tex> из <tex dpi=130> D </tex> таких, что <tex dpi=130> x_1 < x_2 </tex>, будет <tex dpi=130> f(x_1) > f(x_2) </tex>.
}}

=== Внутренняя точка множества, открытое множество, внутренность ===
{{Определение
|definition=
Точка <tex dpi=130> a </tex> называется '''внутренней точкой''' множества <tex dpi=130> D </tex>, если существует окрестность точки <tex dpi=130> a </tex>, содержащаяся в <tex dpi=130> D </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Множество <tex dpi=130> D </tex> называется '''открытым''', если все его точки внутренние.
}}

{{Определение
|definition=
Множество всех внутренних точек множества <tex dpi=130> D </tex> называется '''внутренностью''' <tex dpi=130> D </tex> и обозначается <tex dpi=130> \overset{\circ}{D} </tex> или <tex dpi=130> Int D </tex>.
}}

=== Предельная точка множества ===
{{Определение
|definition=
Точка <tex dpi=130> a </tex> называется '''предельной точкой''' или '''точкой сгущения''' множества <tex dpi=130> D </tex>, если в любой окрестности точки <tex dpi=130> a </tex> найдётся точка множества <tex dpi=130> D </tex>, отличная от <tex dpi=130> a </tex>.
}}

=== Замкнутое множество, замыкание, граница ===
{{Определение
|definition=
Если точка <tex dpi=130> a </tex> принадлежит множеству <tex dpi=130> D </tex>, но не является его предельной точкой, то <tex dpi=130> a </tex> называется '''изолированной точкой''' множества <tex dpi=130> D </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Множество <tex dpi=130> D </tex> называется '''замкнутым''', если оно содержит все свои предельные точки.
}}

{{Определение
|definition=
Точка <tex dpi=130> a </tex> называется '''точкой прикосновения''' множества <tex dpi=130> D </tex>, если в любой окрестности точки <tex dpi=130> a </tex> найдётся точка множества <tex dpi=130> D </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Множество всех точек прикосновения множества <tex dpi=130> D </tex> называется '''замыканием''' <tex dpi=130> D </tex> и обозначается <tex dpi=130> \bar{D} </tex> или <tex dpi=130> Cl D </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Точка <tex dpi=130> a </tex> называется '''граничной точкой''' множества <tex dpi=130> D </tex>, если в любой окрестности <tex dpi=130> a </tex> найдётся как точка, принадлежащая <tex dpi=130> D </tex>, так и точка, не принадлежащая <tex dpi=130> D </tex>. Множество всех граничных точек множества <tex dpi=130> D </tex> называется '''границей''' <tex dpi=130> D </tex> и обозначается <tex dpi=130> Fr D </tex>.
}}

=== Верхний и нижний пределы ===
{{Определение
|definition=
Пусть последовательность <tex dpi=130> \{ x_n \} </tex> ограничена сверху. Величина <tex dpi=130> \overline{\underset{n \to \infty}{\lim}} = \underset{n \to \infty}{\lim} \underset{k \geqslant n}{\sup} x_k </tex> называется '''верхним пределом''' последовательности <tex dpi=130> \{ x_n \} </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Пусть последовательность <tex dpi=130> \{ x_n \} </tex> ограничена снизу. Величина <tex dpi=130> \underline{\underset{n \to \infty}{\lim}} = \underset{n \to \infty}{\lim} \underset{k \geqslant n}{\inf} x_k </tex> называется '''нижним пределом''' последовательности <tex dpi=130> \{ x_n \} </tex>.
}}

=== Частичный предел ===
{{Определение
|definition=
Точка <tex dpi=130> a </tex> называется '''частичным пределом''' последовательности <tex dpi=130> \{ x_n \} </tex>, если существует подпоследовательность <tex dpi=130> \{ x_{n_k} \} </tex>, стремящаяся к <tex dpi=130> a </tex>.
}}

=== Определения предела отображения (3 шт) ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> \left ( X, \rho_x \right ) </tex>, <tex dpi=130> \left ( Y, \rho_y \right ) </tex> — метрические пространства, <tex dpi=130> f: D \subset X \to Y </tex>, <tex dpi=130> a \in X </tex> — предельная точка <tex dpi=130> D </tex>, <tex dpi=130> A \in Y </tex>. Точку <tex dpi=130> A </tex> называют пределом отображения <tex dpi=130> f </tex> в точке <tex dpi=130> a </tex> и пишут <tex dpi=130> \underset{x \to a}{\lim} f(x) = F </tex>, если выполняется одно из следующих утверждений: 
* Определение на <tex dpi=130> \varepsilon </tex>-языке, или по Коши. 
Для любого положительного числа <tex dpi=130> \varepsilon </tex> существует такое положительное число <tex dpi=130> \delta </tex>, что для всех точек <tex dpi=130> x </tex> множества <tex dpi=130> D </tex>, отличных от <tex dpi=130> a </tex> и удовлетворяющих неравенству <tex dpi=130> \rho_X (x, a) < \delta </tex>, выполняется неравенство <tex dpi=130> \rho_Y (f(x), A) < \varepsilon </tex>: 
<tex dpi=130> \forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0 \ \forall x \in D \backslash \{ a \} : \ \rho_X (x, a) < \delta \ \rho_Y (f(x), A) < \varepsilon </tex>. 
* Определение на языке окрестностей. 
Для любой окрестности <tex dpi=130> V_A </tex> точки <tex dpi=130> A </tex> существует такая окрестность <tex dpi=130> V_a </tex> точки <tex dpi=130> a </tex>, что образ пересечения проколотой окрестности <tex dpi=130> V_a </tex> с множеством <tex dpi=130> D </tex> при отображении <tex dpi=130> f </tex> содержится в окрестности <tex dpi=130> V_A </tex>: 
<tex dpi=130> \forall V_A \ \exists V_a \ f(V_a \cap D) \subset V_A </tex>. 
* Определение на языке последовательностей, или по Гейне. 
Для любой последовательности <tex dpi=130> \{ x_n \} </tex> точек множества <tex dpi=130> D </tex>, отличных от <tex dpi=130> a </tex>, стремящейся к <tex dpi=130> a </tex>, последовательность <tex dpi=130> \{ f(x_{n}) \} </tex> стремится к <tex dpi=130> A </tex>: 
<tex dpi=130> \forall \{ x_n \} : \ x_n \in D \backslash \{ a \} , x_n \to a \ f(x_{n}) \to A </tex>.
}}

=== Предел по множеству ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> f: D \subset X \to Y, \ D_1 \subset D </tex>, <tex dpi=130> a </tex> — предельная точка <tex dpi=130> D_1 </tex>. Предел <tex dpi=130> \underset{x \to a}{\lim} f | _{D_1} (x) </tex> называется '''пределом''' отображения <tex dpi=130> f </tex> в точке <tex dpi=130> a </tex> '''по множеству''' <tex dpi=130> D_1 </tex>.
}}

=== Односторонние пределы ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> f: D \subset \mathbb{R} \to Y, \ a \in \mathbb{R} </tex>. 
# Если <tex dpi=130> a </tex> — предельная точка множества <tex dpi=130> D_1 = D \cap \left ( - \infty, a \right ) </tex>, то предел отображения <tex dpi=130> f </tex> в точке <tex dpi=130> a </tex> по множеству <tex dpi=130> D_1 </tex> называется '''левосторонним пределом''' отображения <tex dpi=130> f </tex> в точке <tex dpi=130> a </tex> и обозначается <tex dpi=130> \underset{x \to a-}{\lim} f(x) </tex> или <tex dpi=130> f(a-) </tex>. 
# Если <tex dpi=130> a </tex> — предельная точка множества <tex dpi=130> D_2 = D \cap \left ( a, + \infty \right ) </tex>, то предел отображения <tex dpi=130> f </tex> в точке <tex dpi=130> a </tex> по множеству <tex dpi=130> D_2 </tex> называется '''правосторонним пределом''' отображения <tex dpi=130> f </tex> в точке <tex dpi=130> a </tex> и обозначается <tex dpi=130> \underset{x \to a+}{\lim} f(x) </tex> или <tex dpi=130> f(a+) </tex>.
}}

=== Компактное множество ===
{{Определение
|definition=
Семейство множеств <tex dpi=130> \{ G_{\alpha} \} _{\alpha \in A} </tex> называется '''покрытием''' множества <tex dpi=130> K </tex>, если <tex dpi=130> K \subset \underset{\alpha \in A}{\bigcup} G_{\alpha} </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> \left ( X, \rho \right ) </tex> — метрическое пространство, <tex dpi=130> K \in X </tex>. Покрытие <tex dpi=130> \{ G_{\alpha} \} _{\alpha \in A} </tex> множества <tex dpi=130> K </tex> называется '''компактным''', если из любого открытого покрытия <tex dpi=130> K </tex> можно извлечь конечное подпокрытие
}}

=== Фундаментальная последовательность ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> \{ x_n \} _{n = 1} ^{\infty} </tex> — последовательность в метрическом пространстве <tex dpi=130> X </tex>. Говорят, что последовательность <tex dpi=130> \{ x_n \} </tex> '''сходится в себе''', если для любого положительного числа <tex dpi=130> \varepsilon </tex> существует такой номер <tex dpi=130> N </tex>, что для всех номеров <tex dpi=130> n </tex> и <tex dpi=130> l </tex>, больших <tex dpi=130> N </tex>, выполняется неравенство <tex dpi=130> \rho (x_n, x_l) < \varepsilon </tex>: 
<tex dpi=130> \forall \varepsilon > 0 \ \exists N \ \forall n, l > N \ \rho (x_n, x_l) < \varepsilon </tex> 
Сходящуюся в себе последовательность также называют '''последовательностью Коши''' или '''фундаментальной последовательностью'''.
}}

=== Полное метрическое пространство ===
{{Определение
|definition=
Пространство <tex dpi=130> \mathbb{R}^m </tex> полно <tex dpi=130> \Longleftrightarrow </tex> в <tex dpi=130> \mathbb{R}^m </tex> любая сходящаяся в себе последовательность сходится.
}}

=== Непрерывное отображение ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> \left ( X, \rho_X \right ) </tex> и <tex dpi=130> \left ( Y, \rho_Y \right ) </tex> — метрические пространства, <tex dpi=130> f: D \subset X \to Y, \ x_0 \in D </tex>. Отображение <tex dpi=130> f </tex> называется '''непрерывным''' в точке <tex dpi=130> x_0 </tex>, если выполняется одно из следующих утверждений: 
# Предел отображения <tex dpi=130> f </tex> в точке <tex dpi=130> x_0 </tex> существует и равен <tex dpi=130> f(x_0 ) </tex>. Это определение применимо, если <tex dpi=130> x_0 </tex> — предельная точка <tex dpi=130> D </tex>. 
# По Коши: для любого положительного числа <tex dpi=130> \varepsilon </tex> существует такое положительное число <tex dpi=130> \delta </tex>, что для всех точек <tex dpi=130> x </tex> множества <tex dpi=130> D </tex>, удовлетворяющих неравенству <tex dpi=130> \rho_X (x, x_0) < \delta </tex>, выполняется неравенство <tex dpi=130> \rho_Y (f(x), f(x_0)) < \varepsilon </tex>: <tex dpi=130> \forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0 \ \forall x \in D: \rho_X (x, x_0) < \delta \ \rho_Y (f(x), f(x_0)) < \varepsilon </tex>. 
# На языке окрестностей: для любой окрестности <tex dpi=130> V_{f(x_0)} </tex> точки <tex dpi=130> f(x_0) </tex> существует такая окрестность <tex dpi=130> V_{x_0} </tex> точки <tex dpi=130> x_0 </tex>, что образ пересечения окрестности <tex dpi=130> V_{x_0} </tex> с множеством <tex dpi=130> D </tex> содержится в окрестности <tex dpi=130> V_{f(x_0)} </tex>: <tex dpi=130> \forall V_{f(x_0)} \ \exists V_{x_0} \ f \left ( V_{x_0} \cap D \right ) \subset V_{f(x_0)} </tex>. 
# По Гейне: для любой последовательности <tex dpi=130> \left \{ x_n \right \} </tex> точек множества <tex dpi=130> D </tex>, стремящейся к <tex dpi=130> x_0 </tex>, последовательность <tex dpi=130> \left \{ f(x_n) \right \} </tex> стремится к <tex dpi=130> f(x_0) </tex>: <tex dpi=130> \forall \{ x_n \} : \ x_n \in D, x_n \to x_0 \ f(x_n) \to f(x_0) </tex>. 
# Бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение отображения: <tex dpi=130> \Delta y \underset{\Delta x \to \theta x}{\to} \theta_Y </tex>.
}}

=== Непрерывность слева ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> Y </tex> — метрическое пространство, <tex dpi=130> f: D \subset X \to Y, \ x_0 \in D </tex>. Если сужение отображения <tex dpi=130> f </tex> на множество <tex dpi=130> E_1 = D \cap \left ( - \infty, x_0 \right ] </tex> (<tex dpi=130> E_2 = D \cap \left [ x_0, + \infty \right ) )</tex> непрерывно в точке <tex dpi=130> x_0 </tex>, то говорят, что отображение <tex dpi=130> f </tex> '''непрерывно слева (справа)''' в точке <tex dpi=130> x_0 </tex>.
}}

=== Функция равномерно непрерывная на множестве ===
{{Определение
|definition=
Функция <tex dpi=130> f: D \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} </tex> называется '''равномерно непрерывной''' на множестве <tex dpi=130> D </tex>, если для любого положительного числа <tex dpi=130> \varepsilon </tex> существует такое положительное число <tex dpi=130> \delta </tex>, что для всех точек <tex dpi=130> \bar{x}, \bar{\bar{x}} </tex> множества <tex dpi=130> D </tex>, удовлетворяющих неравенству <tex dpi=130> \left | \bar{x} - \bar{\bar{x}} \right | < \delta </tex>, выполняется неравенство <tex dpi=130> \left | f(\bar{x}) - f(\bar{\bar{x}}) \right | < \varepsilon </tex>: 
<tex dpi=130> \forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0 \ \forall \bar{x}, \bar{\bar{x}} \in D: \left | \bar{x} - \bar{\bar{x}} \right | < \delta \ \left | f(\bar{x}) - f(\bar{\bar{x}}) \right | < \varepsilon </tex>.
}}

=== Степенная функция ===
<tex dpi=130> e_{\alpha} (x) = x^{\alpha} </tex>

=== Показательная функция ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> a > 0, x \in \mathbb{R} </tex>. Положим <tex dpi=130> a^x = \underset{r \to x}{\lim} a^r | _{\mathbb{Q}} </tex>. При <tex dpi=130> a > 0, \ a \neq 0 </tex> функция <tex dpi=130> a^x, \ x \in {\mathbb{R}} </tex> называется '''показательной функцией с основанием''' <tex> a </tex>.
}}

=== Логарифм ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> a > 0, a \neq 1 </tex>. Функция, обратная к показательной с основанием <tex dpi=130> a </tex>, называется '''логарифмом по основанию''' <tex dpi=130> a </tex>.
}}

=== О большое ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> X </tex> — метрическое пространство, <tex dpi=130> D \subset X, \ f, g: D \to \mathbb{R} \ (\mathbb{C}) </tex>, <tex dpi=130> x_0 </tex> — предельная точка <tex dpi=130> D </tex>. Если существует функция <tex dpi=130> \varphi: D \to \mathbb{R} \ (\mathbb{C}) </tex> и окрестность <tex dpi=130> V_{x_0} </tex> точки <tex dpi=130> x_0 </tex>, такие, что <tex dpi=130> f(x) = \varphi (x) g(x) </tex> для всех <tex dpi=130> x \in V_{x_0} \cap D </tex> и 
# <tex dpi=130> \varphi </tex> ограничена на <tex dpi=130> V_{x_0} \cap D </tex>, то говорят, что функция <tex dpi=130> f </tex> '''ограничена по сравнению с''' <tex dpi=130> g </tex> при <tex dpi=130> x \to x_0 </tex>, и пишут <tex dpi=130> f(x) = O(g(x)), \ x \to x_0 </tex>; 
# <tex dpi=130> \varphi (x) \to 0 </tex>, то говорят, что функция <tex dpi=130> f </tex> '''бесконечно малая по сравнению с''' <tex dpi=130> g </tex> при <tex dpi=130> x \to x_0 </tex>, и пишут <tex dpi=130> f(x) = o(g(x)), \ x \to x_0 </tex>; 
# <tex dpi=130> \varphi (x) \to 1 </tex>, то говорят, что функция <tex dpi=130> f </tex> '''эквивалентны''' или '''асимптотически равны''' при <tex dpi=130> x \to x_0 </tex>, и пишут <tex dpi=130> f(x) ~ g(x), \ x \to x_0 </tex>.
}}

=== О маленькое ===
=== Эквивалентные функции ===
=== Асимптотически равные функции ===
=== Асимптотическое разложение ===
=== Наклонная асимптота графика ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> \left \langle a, + \infty \right ) \subset D \subset \mathbb{R}, \ f: D \to \mathbb{R}, \ \alpha, \beta \in \mathbb{R} </tex>. Прямая <tex dpi=130> y = \alpha x + \beta </tex> называется '''наклонной асимптотой''' функции <tex dpi=130> f </tex> при <tex dpi=130> x \to + \infty </tex>, если 
<tex dpi=130> f(x) = \alpha x + \beta + o(1), \ x \to + \infty </tex>.
}}

=== Функция, дифференцируемая в точке ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> f: \left \langle a, b, \right \rangle \to \mathbb{R}, \ x_0 \in \left \langle a, b, \right \rangle </tex>. Если существует такое число <tex dpi=130> A \in \mathbb{R} </tex>, что <tex dpi=130> f(x) = f(x_0) + A(x - x_0) + o(x - x_0), \ x \to x_0 </tex>, то функция <tex dpi=130> f </tex> называется '''дифференцируемой''' в точке <tex dpi=130> x_0 </tex>. При этом число <tex dpi=130> A </tex> называется '''производной''' функции <tex dpi=130> f </tex> в точке <tex dpi=130> x_0 </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> f: \left \langle a, b, \right \rangle \to \mathbb{R}, \ x_0 \in \left \langle a, b, \right \rangle </tex>. Если существует предел <tex dpi=180> \underset{x \to x_0}{\lim} {{f(x) - f(x_0)} \over {x - x_0}} </tex>, равный числу <tex dpi=130> A \in \mathbb{R} </tex>, то функция <tex dpi=130> f </tex> называется '''дифференцируемой''' в точке <tex dpi=130> x_0 </tex>. При этом число <tex dpi=130> A </tex> называется '''производной''' функции <tex dpi=130> f </tex> в точке <tex dpi=130> x_0 </tex>.
}}

=== Производная ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> f: D \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} </tex>, <tex dpi=130> D_1 </tex> — множество дифференцируемости <tex dpi=130> f </tex> (множество всех точек <tex dpi=130> D </tex>, где функция дифференцируема). Функция <tex dpi=130> f': D_1 \to \mathbb{R} </tex>, которая каждому <tex dpi=130> x \in D_1 </tex> сопоставляет число <tex dpi=130> f'(x) </tex>, называется '''производной функцией''' функции <tex dpi=130> f </tex>.
}}

<tex dpi=180> f'(x_0) = \underset{x \to x_0}{\lim} {{f(x) - f(x_0)} \over {x - x_0}} </tex>

=== Левостороняя и правосторонняя производные ===
Правосторонняя: <tex dpi=180> f'_{+} (x_0) = \underset{x \to x_{0+}}{\lim} {{f(x) - f(x_0)} \over {x - x_0}} </tex>

Левосторонняя: <tex dpi=180> f'_{-} (x_0) = \underset{x \to x_{0-}}{\lim} {{f(x) - f(x_0)} \over {x - x_0}} </tex>

=== Производная n-го порядка ===
=== Многочлен Тейлора n-го порядка ===

== Теоремы ==
=== Аксиомы вещественных чисел ===
'''I. Аксиомы поля'''

В множестве <tex dpi=130> \mathbb{R} </tex> определены две операции, называемые сложением и умножением, действующие из <tex dpi=130> \mathbb{R} \times \mathbb{R} </tex> в <tex dpi=130> \mathbb{R} </tex> и удовлетворяющие следующим свойствам:

# Сочетательный закон (ассоциативность) сложения: <tex dpi=130> (x + y) + z = x + (y + z) </tex>
# Переместительный закон (коммутативность) сложения: <tex dpi=130> x + y = y + x </tex>
# Существует вещественное число нуль (<tex dpi=130> 0 </tex>, нейтральный элемент по сложению) такое, что <tex dpi=130> x + 0 = x </tex> для всех <tex dpi=130> x </tex>
# Для любого числа <tex dpi=130> x </tex> существует такое число <tex dpi=130> \tilde{x} </tex>, что <tex dpi=130> x + \tilde{x} = 0 </tex> (это число <tex dpi=130> \tilde{x} </tex> называется противоположным числу <tex dpi=130> x </tex> и обозначается <tex dpi=130> -x </tex>)
# Сочетательный закон (ассоциативность) умножения: <tex dpi=130> (xy)z = x(yz) </tex>
# Переместительный закон (коммутативность) умножения: <tex dpi=130> xy = yx </tex>
# Существует вещественное число единица (<tex dpi=130> 1 </tex>, нейтральный элемент по умножению), отличное от нуля, такое, что <tex dpi=130> x \cdot 1 = x </tex> для всех <tex dpi=130> x </tex>
# Для любого числа <tex dpi=130> x </tex> существует такое число <tex dpi=130> x' </tex>, что <tex dpi=130> x \cdot x' = 1 </tex> (это число <tex dpi=130> x' </tex> называется обратным числу <tex dpi=130> x </tex> и обозначается <tex dpi=130> x^{-1} </tex> или <tex dpi=130> {1 \over x}) </tex>
# Распределительный закон (дистрибутивность): <tex dpi=130> x(y + z) = xy + xz </tex>

'''II. Аксиомы порядка'''

Между элементами <tex dpi=130> \mathbb{R} </tex> определено отношение <tex dpi=130> \leqslant </tex> со следующими свойствами:

# Для любых <tex dpi=130> x, y </tex> верно <tex dpi=130> x \leqslant y </tex> или <tex dpi=130> y \leqslant x </tex>
# Транзитивность: если <tex dpi=130> x \leqslant y </tex> и <tex dpi=130> y \leqslant z </tex>, то <tex dpi=130> x \leqslant z </tex>
# Если <tex dpi=130> x \leqslant y </tex> и <tex dpi=130> y \leqslant x </tex>, то <tex dpi=130> x = y </tex>
# Если <tex dpi=130> x \leqslant y </tex>, то <tex dpi=130> x + z \leqslant y + z </tex> для любого <tex dpi=130> z </tex>
# Если <tex dpi=130> 0 \leqslant x </tex> и <tex dpi=130> 0 \leqslant y </tex>, то <tex dpi=130> 0 \leqslant xy </tex>

'''III. Аксиома Архимеда'''

{{Утверждение
|statement=
Каковы бы ни были положительные числа <tex dpi=130> x, y \in \mathbb{R} </tex>, существует натуральное число <tex dpi=130> n </tex> такое, что <tex dpi=130> nx > y </tex>
}}

'''IV. Аксиома Кантора о вложенных отрезках'''

{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex dpi=130> \{ \left [ a_n, b_n \right ] \} _{n = 1} ^{\infty} </tex> — последовательность вложенных отрезков, то есть 
<tex dpi=130> a_n \leqslant a_{n+1} < b_{n+1} \leqslant b_n </tex> для всех <tex dpi=130> n \in \mathbb{N} </tex>. 
Тогда существует точка, принадлежащая одновременно отрезкам <tex dpi=130> \left [ a_n, b_n \right ] </tex>, то есть 
<tex dpi=130> \overset{\infty}{\underset{n = 1}{\bigcap}} \left [ a_n, b_n \right ] \neq \varnothing </tex>
}}

=== Принцип математической индукции. Неравенство Бернулли ===
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex dpi=130> \{ \mathcal{P}_n \}_{n = 1} ^{\infty} </tex> — последовательность утверждений. Если <tex dpi=130> \mathcal{P}_1 </tex> верно и для любого <tex dpi=130> n \in \mathbb{N} </tex> из <tex dpi=130> \mathcal{P}_n </tex> следует <tex dpi=130> \mathcal{P}_{n + 1} </tex>, то <tex dpi=130> \mathcal{P}_n </tex> верно для всех <tex dpi=130> n \in \mathbb{N} </tex>.
}}

{{Теорема
|author=Бенулли
|about=неравенство
|statement=
light: <tex dpi=130> \forall x > -1, \forall n \in \mathbb{N} \left ( 1 + x \right ) ^n \geqslant 1 + nx </tex> 
hard: <tex dpi=130> \forall x > 0, \forall n \in \mathbb{N} \left ( 1 + x \right ) ^n \geqslant 1 + nx + {{n(n - 1)} \over 2}x^2 </tex>
}}

=== Аксиома Архимеда. Плотность множества рациональных чисел в R ===
{{Теорема
|about=плотность множества рациональных чисел
|statement=
Во всяком интервале есть рациональное число.
}}

=== Аксиома Кантора. Десятичная запись числа ===
=== Счетные множества. Счетность множества рациональных чисел ===
{{Определение
|definition=
Множества <tex dpi=130> A </tex> и <tex dpi=130> B </tex> называют '''эквивалентными''' или '''равномощными''' и пишут <tex dpi=130> A ~ B </tex>, если существует биекция <tex dpi=130> \phi: A \to B </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Множество называется '''счётным''', если оно эквивалентно множеству натуральных чисел.
}}

{{Теорема
|statement=
Всякое бесконечное множество содержит счётное подмножество.
}}

{{Теорема
|statement=
Всякое бесконечное подмножество счётного множества счётно.
}}

{{Определение
|definition=
Пустое, конечное или счётное множество называется '''не более чем счётным'''.
}}

{{Теорема
|statement=
Не более чем счётное объединение не более чем счётных множеств не более чем счётно.
}}

{{Теорема
|about=счётность множества рациональных чисел
|statement=
Множество рациональных чисел счётно.
}}

=== Несчетность отрезка ===
{{Теорема
|about=несчётность отрезка
|statement=
Отрезок <tex dpi=130> \left [ 0, 1 \right ] </tex> несчётен.
}}

{{Определение
|definition=
Если множество эквивалентно отрезку <tex dpi=130> \left [ 0, 1 \right ] </tex>, то говорят, что оно имеет '''мощность континуума'''.
}}

=== Несчетность множества бинарных последовательностей ===
=== Несчетность R^2 ===
=== Единственность предела и ограниченность сходящейся последовательности ===
{{Теорема
|about=единственность предела
|statement=
Последовательность в метрическом пространстве не может иметь более одного предела: если <tex dpi=130> x_n \to a </tex>, а <tex dpi=130> x_n \to b </tex>, то <tex dpi=130> a = b </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Подмножество <tex dpi=130> D </tex> метрического пространства <tex dpi=130> X </tex> называется '''ограниченным''', если оно содержится в некотором шаре: 
<tex dpi=130> \exists a \in X, R > 0 \ D \subset \bar{B}(a, R) </tex>.
}}

{{Теорема
|about=ограниченность сходящейся последовательности
|statement=
Сходящаяся последовательность ограничена.
}}

=== Теорема о сжатой последовательности ===
{{Теорема
|about=о сжатой последовательности
|statement=
Пусть <tex dpi=130> \{ x_n \} </tex>, <tex dpi=130> \{ y_n \} </tex> и <tex dpi=130> \{ z_n \} </tex> — вещественные последовательности, <tex dpi=130> x_n \leqslant y_n \leqslant z_n </tex> при всех <tex dpi=130> n \in \mathbb{N} </tex>, <tex dpi=130> a \in \mathbb{R} </tex>, <tex dpi=130> \lim x_n = \lim z_n = a </tex>. Тогда предел <tex dpi=130> \{ y_n \} </tex> существует и равен <tex dpi=130> a </tex>.
}}

=== Бесконечно малая последовательность ===
{{Определение
|definition=
Последовательность вещественных или комплексных чисел называется '''бесконечно малой''', если она стремится к нулю.
}}

{{Лемма
|statement=
Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную есть бесконечно малая: если <tex dpi=130> \{ x_n \} </tex> — бесконечно малая, а <tex dpi=130> \{ y_n \} </tex> — ограниченная, то <tex dpi=130> \{ x_{n} y_n \} </tex> — бесконечно малая.
}}

=== Теорема об арифметических свойствах предела ===
{{Теорема
|about=арифметические действия над сходящимися последовательностями в нормированном пространстве
|statement=
Пусть <tex dpi=130> \left ( X, \left \Vert \cdot \right \Vert \right ) </tex> — нормированное пространство, <tex dpi=130> \{ x_n \} </tex>, <tex dpi=130> \{ y_n \} </tex> — последовательности в <tex dpi=130> X </tex>, <tex dpi=130> \{ \lambda_n \} </tex> — числовая последовательность, <tex dpi=130> x_0, y_0 \in X, \ \lambda_0 \in \mathbb{R} </tex> (или <tex dpi=130> \mathbb{C} </tex>), <tex dpi=130> x_n \to x_0, \ y_n \to y_0, \ \lambda_n \to \lambda_0 </tex>. Тогда 
# <tex dpi=130> x_n + y_n \to x_0 + y_0 </tex> 
# <tex dpi=130> \lambda_n y_n \to \lambda_0 y_0 </tex> 
# <tex dpi=130> x_n - y_n \to x_0 - y_0 </tex> 
# <tex dpi=130> \left \Vert x_n \right \Vert \to \left \Vert x_0 \right \Vert </tex>
}}

{{Теорема
|about=арифметические действия над сходящимися числовыми последовательностями
|statement=
Пусть <tex dpi=130> \{ x_n \} </tex>, <tex dpi=130> \{ y_n \} </tex> — числовые последовательности, <tex dpi=130> x_0, y_0 \in \mathbb{R} </tex> (или <tex dpi=130> \mathbb{C} </tex>), <tex dpi=130> x_n \to x_0, \ y_n \to y_0 </tex>. Тогда 
# <tex dpi=130> x_n + y_n \to x_0 + y_0 </tex> 
# <tex dpi=130> x_n y_n \to x_0 y_0 </tex> 
# <tex dpi=130> x_n - y_n \to x_0 - y_0 </tex> 
# <tex dpi=130> \left | x_n \right | \to \left | x_0 \right | </tex> 
# Если, кроме того, <tex dpi=130> y_n \neq 0 </tex> при всех <tex dpi=130> n </tex> и <tex dpi=130> y_0 \neq 0 </tex>, то <tex dpi=180> {x_n \over y_n} \to {x_0 \over y_0} </tex>
}}

=== Неравенство Коши-Буняковского в линейном пространстве, норма, порожденная скалярным произведением ===
{{Теорема
|author=Коши-Буняковского-Шварца
|about=неравенство
|statement=
<tex dpi=130> \left | \left ( x, y, \right ) \right | ^2 \leqslant \left ( x, x \right ) \left ( y, y \right ) </tex>
}}

{{Теорема
|statement=
Функция <tex dpi=130> p(x) = sqrt{\left ( x, x \right )} </tex> — норма в <tex dpi=130> X </tex>.
}}

{{Теорема
|author=Коши-Буняковского
|about=неравенство
|statement=
<tex dvi=180> \left ( \underset{k = 1}{\overset{m}{\sum}} x_k y_k \right ) ^2 \leqslant \left ( \underset{k = 1}{\overset{m}{\sum}} {x_k}^2 \right ) \left ( \underset{k = 1}{\overset{m}{\sum}} {y_k}^2 \right ) </tex>
}}

=== Леммы о непрерывности скалярного произведения и покоординатной сходимости в R^n ===
{{Определение
|definition=
Говорят, что последовательность <tex dpi=130> \{ x^{(n)} \} </tex> точек в <tex dpi=130> \mathbb{R}^m </tex> '''сходится''' к пределу <tex dpi=130> x^{(0)} \in \mathbb{R}^m </tex> '''поокординатно''', если <tex dpi=130> x_j ^{(n)} \underset{n \to \infty}{\to} x_j ^{(0)} </tex> для всех <tex dpi=130> j \in [1 : m] </tex>.
}}

{{Лемма
|statement=
В <tex dpi=130> \mathbb{R}^m </tex> покоординатная сходимость и сходимость по евклидовой норме равносильны.
}}

=== Теорема об арифметических свойствах предела последовательности (в R с чертой). Неопределенности ===
{{Теорема
|about=арифметические действия с бесконечно большими
|statement=
Пусть <tex dpi=130> \{ x_n \} </tex>, <tex dpi=130> \{ y_n \} </tex> — числовые последовательности. 
# Если <tex dpi=130> x_n \to + \infty </tex>, <tex dpi=130> y_n </tex> ограничена снизу, то <tex dpi=130> x_n + y_n \to + \infty </tex>. 
# Если <tex dpi=130> x_n \to - \infty </tex>, <tex dpi=130> y_n </tex> ограничена сверху, то <tex dpi=130> x_n + y_n \to - \infty </tex>. 
# Если <tex dpi=130> x_n \to \infty </tex>, <tex dpi=130> y_n </tex> ограничена, то <tex dpi=130> x_n + y_n \to \infty </tex>. 
# Если <tex dpi=130> x_n \to \pm \infty </tex>, <tex dpi=130> y_n \geqslant b > 0 </tex> для всех <tex dpi=130> n </tex> (или <tex dpi=130> y_n \to b_1 > 0 </tex>), то <tex dpi=130> x_n y_n \to \pm \infty </tex>. 
# Если <tex dpi=130> x_n \to \pm \infty </tex>, <tex dpi=130> y_n \leqslant b < 0 </tex> для всех <tex dpi=130> n </tex> (или <tex dpi=130> y_n \to b_1 < 0 </tex>), то <tex dpi=130> x_n y_n \to \mp \infty </tex>. 
# Если <tex dpi=130> x_n \to \infty </tex>, <tex dpi=130> \left | y_n \right | \geqslant b > 0 </tex> для всех <tex dpi=130> n </tex> (или <tex dpi=130> y_n \to b_1 \neq 0 </tex>), то <tex dpi=130> x_n y_n \to \infty </tex>. 
# Если <tex dpi=130> x_n \to a \neq 0, \ y_n \to 0, \ y_n \neq 0 </tex> при всех <tex dpi=130> n </tex>, то <tex dvi=180> {{x_n} \over {y_n}} \to \infty </tex>. 
# Если <tex dpi=130> x_n \to a \in \mathbb{C}, \ y_n \to \infty </tex>, то <tex dvi=180> {{x_n} \over {y_n}} \to 0 </tex>. 
# Если <tex dpi=130> x_n \to \infty, \ y_n \to b \in \mathbb{C}, \ y_n \neq 0 </tex> при всех <tex dpi=130> n </tex>, то <tex dvi=180> {{x_n} \over {y_n}} \to \infty </tex>.
}}

Неопределённости:
* <tex dpi=130> x_n \to + \infty, \ y_n \to - \infty, \ x_n + y_n \to ? </tex>
* <tex dpi=130> x_n \to 0, \ y_n \to \infty, \ x_n y_n \to ? </tex>
* <tex dpi=130> x_n \to 0, \ y_n \to 0 </tex>, <tex dpi=180> {{x_n} \over {y_n}} \to ? </tex>
* <tex dpi=130> x_n \to \infty, \ y_n \to \infty </tex>, <tex dpi=180> {{x_n} \over {y_n}} \to ? </tex>

=== Теорема о стягивающихся отрезках ===
{{Определение
|definition=
Говорят, что <tex dpi=130> \{ \left [ a_n, b_n \right ] \} _{n = 1} ^ {\infty} </tex> — последовательность '''стягивающихся отрезков''', если <tex dpi=130> a_n \leqslant a_{n + 1} \leqslant b_{n + 1} \leqslant b_n <tex dpi=130> при всех <tex dpi=130> n </tex> и <tex dpi=130> b_n - a_n \to 0 </tex>.
}}

{{Теорема
|about=о стягивающихся отрезках
|statement=
Пусть <tex dpi=130> \{ \left [ a_n, b_n \right ] \} _{n = 1} ^ {\infty} </tex> — последовательность стягивающихся отрезков. Тогда пересечение всех отрезков <tex dpi=130> \left [ a_n, b_n \right ] </tex> состоит из одной точки, то есть 
<tex dpi=130> \exists c \in \mathbb{R}: \ \overset{n = 1}{\underset{\infty}{\bigcap}} \left [ a_n, b_n \right ] = \{ c \} </tex>, 
при этом <tex dpi=130> a_n \to c </tex> и <tex dpi=130> b_n \to c </tex>.
}}

=== Теорема о существовании супремума ===
{{Теорема
|about=о существовании супремума
|statement=
Всякое непустое ограниченное сверху (снизу) подмножество <tex dpi=130> \mathbb{R} </tex> имеет верхнюю (нижнюю) грань.
}}

=== Лемма о свойствах супремума ===
{{Утверждение
|statement=
Если <tex dpi=130> D \subset E \subset mathbb{R}, \ D \neq \varnothing </tex>, то <tex dpi=130> \sup D \leqslant \sup D <tex dpi=130>, а <tex dpi=130> \inf D \geqslant \inf E </tex>. 
Если <tex dpi=130> E, F \subset \mathbb{R}, t \in \mathbb{R}, \ E + F = \{ x + y: x \in E, y \in F \} </tex>, <tex dpi=130> \ -E = \{ -x: x \in E \}, \ tE = \{ tx: x \in E \} </tex>, то 
* <tex dpi=130> \sup (E + F) = \sup E + \sup F </tex> 
* <tex dpi=130> \sup (tE) = t \sup E </tex> 
* <tex dpi=130> \sup (-E) = - \inf E </tex> 
* <tex dpi=130> \inf (E + F) = \inf E + \inf F </tex> 
* <tex dpi=130> \inf (tE) = t \inf E </tex> 
* <tex dpi=130> \inf (-E) = - \sup E </tex>
}}

=== Теорема о пределе монотонной последовательности ===
{{Теорема
|about=о пределе монотонной последовательности
|statement=
Всякая возрастающая ограниченная сверху последовательность сходится. 
Всякая убывающая ограниченная снизу последовательность сходится. 
Всякая монотонная ограниченная последовательность сходится.
}}

=== Определение числа e, соответствующий замечательный предел ===
{{Определение
|definition=
Предел последовательности <tex dpi=130> \left \{ \left ( 1 + {1 \over n} \right ) ^n \right \} </tex> называют '''числом Непера''' или '''основанием натуральных логарифмов''' и обозначают буквой <tex dpi=130> e </tex>.
}}

=== Теорема о свойствах открытых множеств, внутренность множества ===
[искать в районе 50-ой страницы]

=== Теорема о связи открытых и замкнутых множеств, свойства замкнутых множеств ===
=== Описание замкнутых и открытых множеств в подпространстве ===
=== Свойства верхнего и нижнего пределов ===
{{Теорема
|about=о верхнем и нижнем пределе
|statement=
Пусть <tex dpi=130> \{ x_n \} </tex> — вещественная последовательность. Тогда справедливы следующие утверждения: 
# Верхний предел — наибольший, а нижний — наименьший из частичных пределов <tex dpi=130> \{ x_n \} </tex>. 
# Предел <tex dpi=130> \{ x_n \} </tex> в <tex dpi=130> \overline{\mathbb{R}} </tex> существует тогда и только тогда, когда верхний и нижний пределы равны, при этом предел последовательности равен их общему значению.
}}

=== Техническое описание верхнего предела ===
=== Теорема о существовании предела в терминах верхнего и нижнего пределов ===
=== Теорема о характеризации верхнего предела как частичного ===
=== Эквивалентность определений Гейне и Коши ===
{{Теорема
|statement=
Определения предела отображения по Коши и по Гейне равносильны.
}}

=== Единственность предела, локальная ограниченность отображения, имеющего предел, теорема о стабилизации знака ===
{{Теорема
|about=единственность предела
|statement=
Отображение в данной точке не может иметь более одного предела: если <tex dpi=130> X </tex> и <tex dpi=130> Y </tex> — метрические пространства, <tex dpi=130> f: D \subset X \to Y </tex>, <tex dpi=130> a </tex> — предельная точка <tex dpi=130> D </tex>, <tex dpi=130> A, B \in Y, \ f(x) \underset{x \to a}{\to} A, \ f(x) \underset{x \to a}{\to} B </tex>, то <tex dpi=130> A = B </tex>.
}}

{{Теорема
|about=локальная ограниченность отображения, имеющего предел
|statement=
Пусть <tex dpi=130> X </tex> и <tex dpi=130> Y </tex> — метрические пространства, <tex dpi=130> f: D \subset X \to Y </tex>, <tex dpi=130> a </tex> — предельная точка <tex dpi=130> D </tex>, <tex dpi=130> A \in Y, \ f(x) \underset{x \to a}{\to} A </tex>. Тогда существует такая окрестность <tex dpi=130> V_a </tex> точки <tex dpi=130> a </tex>, что <tex dpi=130> f </tex> ограничено в <tex dpi=130> V_a \cap D </tex> (то есть <tex dpi=130> f(V_a \cap D </tex> содержится в некотором шаре пространства <tex dpi=130> Y </tex>.
}}

=== Арифметические свойства пределов ===
[уже было для последовательностей, то же самое]

=== Теорема о сжатой функции. Предельный переход в неравенстве ===
{{Теорема
|about=предельный переход в неравенстве для функици
|statement=
Пусть <tex dpi=130> X </tex> — метрическое пространство, <tex dpi=130> f, g: D \subset X \to \mathbb{R} </tex>, <tex dpi=130> a </tex> — предельная точка <tex dpi=130> D </tex>, <tex dpi=130> f(x) \leqslant g(x) </tex> для всех <tex dpi=130> x \in D \backslash {a}, \ A, B \in \overline{\mathbb{R}} </tex>, <tex dpi=130> f(x) \underset{x \to a}{\to} A, g(x) \underset{x \to a}{\to} B </tex>. Тогда <tex dpi=130> A \leqslant B </tex>.
}}

{{Теорема
|about=о сжатой функции
|statement=
Пусть <tex dpi=130> X </tex> — метрическое пространство, <tex dpi=130> f, g, h: D \subset X \to \mathbb{R} </tex>, <tex dpi=130> a </tex> — предельная точка <tex dpi=130> D </tex>, <tex dpi=130> f(x) \leqslant g(x) \leqslant h(x) </tex> для всех <tex dpi=130> x \in D \backslash {a}, \ A \in \overline{\mathbb{R}} </tex>, <tex dpi=130> f(x) \underset{x \to a}{\to} A, h(x) \underset{x \to a}{\to} A </tex>. Тогда и <tex dpi=130> g(x) \underset{x \to a}{\to} A </tex> </tex>.
}}

=== Теорема о пределе монотонной функции ===
{{Теорема
|about=о пределе монотонной функции
|statement=
Пусть <tex dpi=130> f: D \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \ a \in \left ( - \infty, + \infty \right ) , \ D_1 = D \cap \left ( - \infty, a \right ) </tex>, <tex dpi=130> a </tex> — предельная точка <tex dpi=130> D_1 </tex>. 
# Если <tex dpi=130> f </tex> возрастает и ограничена сверху на <tex dpi=130> D_1 </tex>, то существует конечный предел <tex dpi=130> f(a-) </tex>. 
# Если <tex dpi=130> f </tex> убывает и ограничена снизу на <tex dpi=130> D_1 </tex>, то существует конечный предел <tex dpi=130> f(a+) </tex>.
}}

=== Теорема о компактности в пространстве и в подпространстве ===
{{Теорема
|about=компактность в пространстве и подпространстве
|statement=
Пусть <tex dpi=130> \left ( R, \rho \right ) </tex> — метрическое пространство, <tex dpi=130> Y </tex> — подпространство <tex dpi=130> X </tex>, <tex dpi=130> K \subset Y </tex>. Тогда свойства компактности <tex dpi=130> K </tex> в <tex dpi=130> X </tex> и <tex dpi=130> Y </tex> равносильны.
}}

=== Простейшие свойства компактных множеств ===
{{Теорема
|about=свойства компактов
|statement=
Пусть <tex dpi=130> \left ( R, \rho \right ) </tex> — метрическое пространство, <tex dpi=130> K \subset X </tex>. 
# Если <tex dpi=130> K </tex> компактно, то <tex dpi=130> K </tex> замкнуто и ограничено. 
# Если <tex dpi=130> X </tex> компактно, а <tex dpi=130> K </tex> замкнуто, то <tex dpi=130> K </tex> компактно.
}}

=== Компактность замкнутого куба в R^m ===
{{Теорема
|about=компактность замкнутого куба в R^m
|statement=
Замкнутый куб в <tex dpi=130> \mathbb{R} ^m </tex> компактен.
}}

=== Теорема о характеристике компактов в R^m ===
{{Теорема
|about=характеристика компактов в R^m
|statement=
Пусть <tex dpi=130> K \subset \mathbb{R}^m </tex>. Тогда следующие утверждения равносильны: 
# <tex dpi=130> K </tex> замкнуто и ограничено. 
# <tex dpi=130> K </tex> компактно. 
# Из всякой последовательности точек <tex dpi=130> K </tex> можн извлечь подпоследовательность, имеющую предел, принадлежащий <tex dpi=130> K </tex>.
}}

=== Принцип выбора Больцано—Вейерштрасса ===
{{Теорема
|author=Больцано-Вейерштрасса
|about=принцип выбора
|statement=
Из всякой ограниченной последовательности в <tex dpi=130> \mathbb{R}^m </tex> можно извлечь сходящуюся подпоследовательность.
}}

=== Сходимость в себе и её свойства ===
{{Лемма
|about=свойства сходимости в себе
|statement=
Сходящаяся в себе последовательность ограничена. 
Если у сходящейся в себе последовательности есть сходящаяся подпоследовательность, то сама последовательность сходится.
}}

{{Теорема
|statement=
Во всяком метрическом пространстве любая сходящаяся последовательность сходится в себе. 
В <tex dpi=130> \mathbb{R}^m </tex> любая сходящаяся в себе последовательность сходится.
}}

=== Критерий Коши для отображений ===
{{Теорема
|author=Больцано-Коши
|about=критерий для отображений
|statement=
Пусть <tex dpi=130> X </tex> и <tex dpi=130> Y </tex> — метрические пространства, <tex dpi=130> Y </tex> полно, <tex dpi=130> f: D \subset X \to Y </tex>, <tex dpi=130> a </tex> — предельная точка <tex dpi=130> D </tex>. Тогда существование в точке <tex dpi=130> a </tex> предела <tex dpi=130> f </tex>, принадлежащего <tex dpi=130> Y </tex>, равносильно следующему утверждению: 
Для любого положительного числа <tex dpi=130> \varepsilon </tex> существует такая окрестность <tex dpi=130> V_a </tex> точки <tex dpi=130> a </tex>, что для любых двух точек <tex dpi=130> \bar{x} </tex> и <tex dpi=130> \bar{\bar{x}} </tex> множества <tex dpi=130> D </tex>, принадлежащих проколотой окрестности <tex dpi=130> V_a </tex>, выполняется неравенство <tex dpi=130> \rho_Y \left ( f(\bar{x}), f(\bar{\bar{x}} \right ) < \varepsilon </tex>: 
<tex dpi=130> \forall \varepsilon > 0 \ \exists V_a \forall \bar{x}, \bar{\bar{x}} \in V_a \cap D \ \rho_Y \left ( f(\bar{x}), f(\bar{\bar{x}} \right ) < \varepsilon </tex>
}}

=== Свойства непрерывных отображений: арифметические, стабилизация знака, композиция ===
{{Теорема
|about=арифметические действия над непрерывными отображениями
|statement=
Пусть <tex dpi=130> X </tex> — метрическое пространство, <tex dpi=130> Y </tex> — нормированное пространство, <tex dpi=130> D \subset X, \ x_0 \in D </tex>, отображения <tex dpi=130> f, g: D \to Y, \ \lambda: D \to \mathbb{R} \ \left ( \mathbb{C} \right ) </tex> непрерывны в точке <tex dpi=130> x_0 </tex>. Тогда отображения <tex dpi=130> f + g, \ f - g, \ \lambda f, \ \left \Vert f \right \Vert </tex> непрерывны в точке <tex dpi=130> x_0 </tex>.
}}

{{Теорема
|about=о стабилизации знака
|statement=
Если функция <tex dpi=130> g: D \to \mathbb{R} </tex> непрерывна в точке <tex dpi=130> x_0 </tex>, причём <tex dpi=130> g(x_0 ) \neq 0 </tex>, то существует такая окрестность <tex dpi=130> V_{x_0} </tex>, что <tex dpi=130> sign \ g(x) = sign \ g(x_0 ) </tex> для всех <tex dpi=130> x \in V_{x_0} \cap D </tex>.
}}

{{Теорема
|about=непрерывность композиции
|statement=
Пусть <tex dpi=130> X, Y, Z </tex> — метрические пространства, <tex dpi=130> F: D \subset X \to Y, \ g: E \subset Y \to Z, \ f(D) \in E </tex>, <tex dpi=130> f </tex> непрерывно в точке <tex dpi=130> x_0 \in D </tex>, <tex dpi=130> g </tex> непрерывно в точке <tex dpi=130> f(x_0) </tex>. Тогда <tex dpi=130> g \circ f </tex> непрерывно в точке <tex dpi=130> x_0 </tex>.
}}

=== Теорема о топологическом определении непрерывности ===
=== Теорема Вейерштрасса о непрерывном образе компакта. Следствия ===
{{Теорема
|author=Вейерштрасс
|about=о непрерывных отображениях
|statement=
Пусть <tex dpi=130> X </tex> и <tex dpi=130> Y </tex> — метрические пространства, <tex dpi=130> X </tex> компактно, <tex dpi=130> f \in G(X \to Y) </tex>. Тогда <tex dpi=130> f(X) </tex> компактно.
}}

Или: непрерывный образ компакта — компакт.

Следствия:
# Непрерывный образ компакта замкнут и ограничен
# Функция, непрерывная на отрезке, ограничена
# Непрерывная на компакте функция принимает наибольшее и наименьшее значение
# Функция, непрерывная на отрезке, принимает наибольшее и наименьшее значение

=== Теорема Кантора ===
{{Теорема
|author=Кантор
|statement=
Непрерывное на компакте отображение равномерно непрерывно.
}}

=== Лемма о связности отрезка. Теорема Больцано—Коши о промежуточном значении ===
{{Теорема
|author=Больцано-Коши
|about=о промежуточном значении
|statement=
Пусть функция <tex dpi=130> f </tex> непрерывна на <tex dpi=130> \left [ a, b \right ] </tex>. Тогда для любого числа <tex dpi=130> C </tex>, лежащего между <tex dpi=130> f(a) </tex> и <tex dpi=130> f(b) </tex>, найдётся такое <tex dpi=130> c \in \left [ a, b \right ] </tex>, что <tex dpi=130> f(c) = C </tex>.
}}

=== Теорема о сохранении промежутка ===
{{Теорема
|about=о сохранении промежутка
|statement=
Множество значений непрерывной на промежутке функции есть промежуток.
}}

=== Теорема о непрерывности монотонной функции. Следствие о множестве точек разрыва ===
{{Теорема
|about=о непрерывности монотонной функции
|statement=
Пусть <tex dpi=130> f: \left \langle a, b \right \rangle \to \mathbb{R} </tex>, <tex dpi=130> f </tex> монотонна. Тогда справедливы следующие утверждения: 
# <tex dpi=130> f </tex> не может иметь разрывов второго рода. 
# Непрерывность <tex dpi=130> f </tex> равносильна тому, что её множество значений — промежуток.
}}

=== Теорема о существовании и непрерывности обратной функции ===
{{Теорема
|about=о существовании и непрерывности обратной функции
|statement=
Пусть <tex dpi=130> f \in C \left ( \left \langle a, b \right \rangle \to \mathbb{R} \right ) </tex>, <tex dpi=130> f </tex> строго монотонна, <tex dpi=130> m = \underset{x \in \left \langle a, b \right \rangle}{\inf} f(x), \ M = \underset{x \in \left \langle a, b \right \rangle}{\sup} f(x) </tex>. Тогда справедливы следующие утверждения: 
# <tex dpi=130> f </tex> обратима, <tex dpi=130> f^{-1}: \left \langle m, M \right \rangle \to \left \langle a, b \right \rangle </tex> — биекция. 
# <tex dpi=130> f^{-1} </tex> строго монотонна одноимённо с <tex dpi=130> f </tex>. 
# <tex dpi=130> f^{-1} </tex> непрерывна.
}}

=== Две леммы к определению показательной функции ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex dpi=130> a > 0, \ \{ r_n \} </tex> — последовательность рациональных чисел, <tex dpi=130> r_n \to 0 </tex>. Тогда <tex dpi=130> a^{r_n} \to 1 </tex>.
}}

{{Лемма
|statement=
Пусть <tex dpi=130> a > 0, \ x \in \mathbb{R}, \ \{ r_n \} </tex> — последовательность рациональных чисел, <tex dpi=130> r_n \to x </tex>. Тогда существует конечный предел последовательности <tex dpi=130> \left \{ a^{r_n} \right \} </tex>.
}}

=== Свойства показательной функции: монотонность, экспонента суммы, непрерывность ===
{{Теорема
|statement=
Показательная функция строго возрастает на <tex dpi=130> \mathbb{R} </tex> при <tex dpi=130> a > 1 </tex> и строго убывает при <tex dpi=130> 0 < a < 1 </tex>. 
<tex dpi=130> a^{x + y} = a^x a^y </tex> 
Показательная функция непрерывна на <tex dpi=130> \mathbb{R} </tex>.
}}

=== Свойства показательной функции: композиция экспонент, обратимость. Логарифм. Его свойства. ===
{{Теорема
|statement=
<tex dpi=130> (a^x)^y = a^{xy} </tex> 
<tex dpi=130> (ab)^x = a^x b^x </tex> 
<tex dpi=130> показательная функция — биекция между <tex dpi=130> \mathbb{R} </tex> и <tex dpi=130> \left ( 0, + \infty \right ) </tex>
}}

{{Теорема
|statement=
<tex dpi=130> \log_a (x, y) = \log_a x + \log_a y \ (x, y > 0) </tex> 
<tex dpi=130> \log_a x^{\alpha} = \alpha \log_a x </tex> 
<tex dpi=180> \log_a x = {{\log_b x} \over {\log_b a}} </tex>
}}

=== Непрерывность тригонометрических функций и обратных к ним ===
{{Теорема
|statement=
<tex dpi=130> \sin, \ \cos, \ \tan, \ \cot </tex> и обратные к ним непрерывны на <tex dpi=130> \mathbb{R} </tex>.
}}

=== Замечательные пределы с участием синуса, логарифма, степенной и показательной функции ===
{{Теорема
|statement=
<tex dpi=130> \underset{x \to 0}{\lim} {{\sin x} \over {x}} = 1 </tex> 
<tex dpi=130> \underset{x \to \infty}{\lim} \left ( 1 + {{1} \over {x}} \right ) ^x = e </tex> 
<tex dpi=130> \underset{x \to 0}{\lim} {{\log_a (1 + x)} \over {x}} = {{1} \over {\ln a}}, \ a > 0, a \neq 1 </tex> 
<tex dpi=130> \underset{x \to 0}{\lim} {{(1 + x)^{\alpha} - 1} \over {x}} = \alpha, \ \alpha \in \mathbb{R} </tex> 
<tex dpi=130> \underset{x \to 0}{\lim} {{a^x - 1} \over {x}} = \ln a, \ a > 0 </tex>
}}

=== Теорема о замене на эквивалентную при вычислении пределов. Таблица эквивалентных ===
{{Теорема
|about=замена на эквивалентную при вычислении пределов
|statement=
Пусть <tex dpi=130> X </tex> — метрическое пространство, <tex dpi=130> f, \tilde{f}, g, \tilde{g}: D \subset X \to \mathbb{R} \ (\mathbb{C}) </tex>, <tex dpi=130> x_0 </tex> — предельная точка <tex dpi=130> D </tex>, <tex dpi=130> f(x) ~ \tilde{f}(x), g(x) ~ \tilde{g}(x), \ x \to x_0 </tex>. Тогда справедливы следующие утверждения:
# <tex dpi=130> \underset{x \to x_0}{\lim} f(x)g(x) = \underset{x \to x_0}{\lim} \tilde{f}(x) \tilde{g}(x) </tex> 
# Если <tex dpi=130> x_0 </tex> — предельная точка области определения <tex dpi=180> {{f} \over {g}} </tex>, то <tex dpi=180> \underset{x \to x_0}{\lim} {{f(x)} \over {g(x)}} = \underset{x \to x_0}{\lim} {{\tilde{f}(x)} \over {\tilde{g}(x)}} </tex>
}}

=== Теорема единственности асимптотического разложения ===
{{Теорема
|about=о единственности асимптотического разложения
|statement=
Пусть <tex dpi=130> X </tex> — метрическое пространство, <tex dpi=130> D \subset X </tex>, <tex dpi=130> x_0 </tex> — предельная точка <tex dpi=130> D </tex>, <tex dpi=130> n \in \mathbb{Z}_{+}, f, g_k: D \to \mathbb{R} \ (\mathbb{C}), k \in \left [ 0 : n \right ] </tex>, при всех <tex dpi=130> k \in \left [ 0: n - 1 \right ] \ g_{k + 1} (x) = o(g_k (x)), \ x \to x_0 </tex>, и для любой окрестности <tex dpi=130> V_{x_0} </tex> существует точка <tex dpi=130> t \in V_{x_0} \cap D </tex>, в которой <tex dpi=130> g_n (t) \neq 0 </tex>. Тогда, если асимптотическое разложение функции <tex dpi=130> f </tex> по системе <tex dpi=130> \{ g_k \} </tex> существует, то оно единственно: из равенств 
<tex dpi=130> f(x) = \underset{k=0}{\overset{n}{\sum}} c_k g_k (x) + o(g_n (x)), \ x \to x_0 </tex> 
<tex dpi=130> f(x) = \underset{k=0}{\overset{n}{\sum}} d_k g_k (x) + o(g_n (x)), \ x \to x_0 </tex> 
следует, что <tex dpi=130> c_k = d_k </tex> при всех <tex dpi=130> k \in \left [ 0 : n \right ] </tex>
}}

=== Равносильность двух определений производной. Правила дифференцирования. ===
{{Теорема
|statement=
Два определения производной равносильны.
}}

Правила: производные суммы-разности; произведения; частного; композиции <tex dpi=130> (g \circ f)' (x) = g'(f(x)) \cdot f'(x) </tex>; обратной функции <tex dpi=180> (f^{-1})'(f(x)) = {1 \over {f'(x)}} </tex>

=== Дифференцирование композиции и обратной функции ===
=== Теорема Ферма (с леммой) ===
=== Теорема Ролля ===
=== Теоремы Лагранжа и Коши. Следствия об оценке приращения и о пределе производной ===
=== Теорема Дарбу. Следствия ===
=== Формула Тейлора с остатком в форме Пеано ===
=== Формула Тейлора с остатком в форме Лагранжа ===

Участница:Katyatitkova/Матан

2013-11-15T15:47:11Z

87.248.240.170: Отмена правки 33612 участника 87.248.240.170 (обсуждение)

== Определения ==
=== Упорядоченная пара ===
{{Определение
|definition=
'''Упорядоченная пара''' — двухэлементное семейство множеств, где множеством индексов является <tex dpi=130> \{ 1, 2 \} </tex>.
}}

=== Декартово произведение ===
{{Определение
|definition=
'''Декартовым''' или '''прямым произведением''' множеств <tex dpi=130> X </tex> и <tex dpi=130> Y </tex> называется множество всех упорядоченных пар, таких, что первый элемент пары принадлежит <tex dpi=130> X </tex>, а второй — <tex dpi=130> Y </tex>: 
<tex dpi=130> X \times Y = \{ (x, y): x \in X, y \in Y \} </tex>
}}

=== Операции над множествами ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> { \{ X_{\alpha} \} }_{ \alpha \in A } </tex> — семейство множеств. '''Объединением''' семейства <tex dpi=130> { \{ X_{\alpha} \} }_{ \alpha \in A } </tex> называется множество всех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств <tex dpi=130> X_{\alpha} </tex>: 
<tex dpi=130> \underset{\alpha \in A}{\bigcup} X_{\alpha} = \{ x: \exists \alpha \in A \ x \in X_{\alpha} \} </tex>
}}

{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> { \{ X_{\alpha} \} }_{ \alpha \in A } </tex> — семейство множеств. '''Пересечением''' семейства <tex dpi=130> { \{ X_{\alpha} \} }_{ \alpha \in A } </tex> называется множество всех элементов, которые принадлежат каждому из множеств <tex dpi=130> X_{\alpha} </tex>: 
<tex dpi=130> \underset{\alpha \in A}{\bigcap} X_{\alpha} = \{ x: \forall \alpha \in A \ x \in X_{\alpha} \} </tex>
}}

{{Определение
|definition=
'''Разностью''' множеств <tex dpi=130> X </tex> и <tex dpi=130> Y </tex> называется множество всех элементов, которые принадлежат <tex dpi=130> X </tex>, но не принадлежат <tex dpi=130> Y </tex>: 
<tex dpi=130> X \backslash Y = \{ x: x \in X, x \not\in Y \} </tex>
}}

{{Теорема
|author=Де Моргана
|about=законы
|statement=
Пусть <tex dpi=130> { \{ X_{\alpha} \} }_{ \alpha \in A } </tex> — семейство множеств, <tex dpi=130> Y </tex> — множество. Тогда 
# <tex dpi=130> Y \ \backslash \ \underset{\alpha \in A}{\bigcup} X_{\alpha} = \underset{\alpha \in A}{\bigcap} \left ( Y \ \backslash \ X_{\alpha} \right ) </tex> 
# <tex dpi=130> Y \ \backslash \ \underset{\alpha \in A}{\bigcap} X_{\alpha} = \underset{\alpha \in A}{\bigcup} \left ( Y \ \backslash \ X_{\alpha} \right ) </tex>
}}

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex dpi=130> { \{ X_{\alpha} \} }_{ \alpha \in A } </tex> — семейство множеств, <tex dpi=130> Y </tex> — множество. Тогда 
# <tex dpi=130> Y \cap \underset{\alpha \in A}{\bigcup} X_{\alpha} = \underset{\alpha \in A}{\bigcap} \left ( Y \cap X_{\alpha} \right ) </tex> 
# <tex dpi=130> Y \cup \underset{\alpha \in A}{\bigcap} X_{\alpha} = \underset{\alpha \in A}{\bigcup} \left ( Y \cup X_{\alpha} \right ) </tex>
}}

=== Пополненное множество вещественных чисел, операции и порядок в нем ===
{{Определение
|definition=
Множество <tex dpi=130> \overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{ - \infty, + \infty \} </tex> называется '''расширенной числовой прямой'''.
}}
* <tex dpi=130> - \infty < + \infty </tex>
* <tex dpi=130> + \infty \cdot \left ( + \infty \right ) = + \infty </tex>
* <tex dpi=130> + \infty \cdot \left ( - \infty \right ) = - \infty </tex>
* <tex dpi=130> - \infty \cdot \left ( - \infty \right ) = + \infty </tex>

Для <tex dpi=130> \forall x \in \mathbb{R} </tex>:

* <tex dpi=130> - \infty < x < + \infty </tex>
* <tex dpi=130> x + x = 2x </tex>
* <tex dpi=130> x + \infty = + \infty </tex>
* <tex dpi=130> x - \infty = - \infty </tex>
* <tex dpi=130> + \infty + \infty = + \infty </tex>
* <tex dpi=130> + \infty - \infty = \ :( </tex>
* <tex dpi=130> - \infty - \infty = - \infty </tex>

Для <tex dpi=130> \forall x > 0, x \in \mathbb{R} </tex>:

* <tex dpi=130> x \cdot x = x^2 </tex>
* <tex dpi=130> x \cdot \left ( + \infty \right ) = + \infty </tex>
* <tex dpi=130> x \cdot \left ( - \infty \right ) = - \infty </tex>

=== Подмножество в R, ограниченное сверху ===
{{Определение
|definition=
Множество <tex dpi=130> E \subset \mathbb{R} </tex> называется '''ограниченным сверху''', если существует такое число <tex dpi=130> M \in \mathbb{R} </tex>, что <tex dpi=130> x \leqslant M </tex> для всех <tex dpi=130> x \in E </tex>. Число <tex dpi=130> M </tex> называется '''верхней границей множества'''.
}}

{{Определение
|definition=
Множество <tex dpi=130> E \subset \mathbb{R} </tex> называется '''ограниченным снизу''', если существует такое число <tex dpi=130> m \in \mathbb{R} </tex>, что <tex dpi=130> x \geqslant m </tex> для всех <tex dpi=130> x \in E </tex>. Число <tex dpi=130> m </tex> называется '''нижней границей множества'''.
}}

{{Определение
|definition=
Множество <tex dpi=130> E \subset \mathbb{R} </tex> называется '''ограниченным''', если оно ограничено и сверху, и снизу.
}}

=== Максимальный элемент множества ===
{{Определение
|definition=
Число <tex dpi=130> M </tex> называется '''максимумом''' или '''наибольшим элементом''' множества <tex dpi=130> E \subset \mathbb{R} </tex>, если <tex dpi=130> M \in E </tex> и <tex dpi=130> x \leqslant M </tex> для всех <tex dpi=130> x \in E </tex>. Обозначается <tex dpi=130> \max E </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Число <tex dpi=130> m </tex> называется '''минимумом''' или '''наименьшим элементом''' множества <tex dpi=130> E \subset \mathbb{R} </tex>, если <tex dpi=130> m \in E </tex> и <tex dpi=130> x \geqslant m </tex> для всех <tex dpi=130> x \in E </tex>. Обозначается <tex dpi=130> \min E </tex>.
}}

=== Последовательность ===
{{Определение
|definition=
Отображение множества натуральных чисел <tex dpi=130> \mathbb{N} </tex> в множество <tex dpi=130> Y </tex> называется '''последовательностью''' в <tex dpi=130> Y </tex> Обозначается как <tex dpi=130> \{ x_n \} </tex>.
}}

=== Образ и прообраз множества при отображении ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> f: X \to Y, \ A \subset X </tex>. Множество <tex dpi=130> f(A) = \{ y \in Y: \exists x \in A \ f(x) = y \} </tex> называется '''образом''' множества <tex dpi=130> A </tex> при отображении <tex dpi=130> f </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> f: X \to Y, \ B \subset X </tex>. Множество <tex dpi=130> f^{-1}(B) = \{ x \in X: \ f(x) \in B \} </tex> называется '''прообразом''' множества <tex dpi=130> B </tex> при отображении <tex dpi=130> f </tex>.
}}

=== Инъекция, сюръекция, биекция ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> f: X \to Y </tex>. Если <tex dpi=130> f(X) = Y </tex>, то отображение <tex dpi=130> f </tex> называется '''сюръективным''', или '''сюръекцией''', или '''отображением "на"'''.
}}

Иными словами: <tex dpi=130> f(x) = y </tex> имеет хотя бы одно решение в <tex dpi=130> X </tex>.

{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> f: X \to Y </tex>. Если для любых различных элементов <tex dpi=130> X </tex> их образы различны, то отображение <tex dpi=130> f </tex> называется '''инъективным''', или '''инъекцией''', или '''обратимым''' отображением.
}}

Иными словами: <tex dpi=130> f(x) = y </tex> имеет не более одного решения в <tex dpi=130> X </tex>.

{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> f: X \to Y </tex>. Если отображение <tex dpi=130> f </tex> одновременно инъективно и суръективно, то оно называется '''биективным''', или '''биекцией''', или '''взаимно-однозначным''' отображением (соответствием).
}}

Иными словами: <tex dpi=130> f(x) = y </tex> имеет ровно одно решение в <tex dpi=130> X </tex>.

=== Целая часть числа ===
=== Законы де Моргана ===
=== Векторнозначаная функция ===
{{Определение
|definition=
'''Векторозначная функция (вектор-функция)''' — отображение <tex dpi=130> f </tex> из <tex dpi=130> X </tex> в <tex dpi=130> \mathbb{R} ^m </tex> или <tex dpi=130> \mathbb{C} ^m </tex>.
}}

=== Координатная функция ===
{{Определение
|definition=
Отображение <tex dpi=130> f_k </tex> из <tex dpi=130> X </tex> в <tex dpi=130> \mathbb{R} </tex> или <tex dpi=130> \mathbb{C} </tex>, которое каждому элементу <tex dpi=130> x </tex> сопоставляет число <tex dpi=130> f_k (x) </tex>, называют '''k-ой координатной функцией''' отображения <tex dpi=130> f \left ( k \in \left [ 1 \ : \ m \right ] \right ) </tex> и пишут <tex dpi=130> f = (f_1, ..., f_m) </tex>.
}}

=== График отображения ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> f: X \to Y </tex>. '''Графиком''' отображения <tex dpi=130> f </tex> называется множество 
<tex dpi=130> \Gamma_f = \{ \left ( x, y \right ) : x \in X, y = f(x) \} </tex>
}}

=== Композиция отображений ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> f: X \to Y </tex>, <tex dpi=130> g: Y_0 \ \to \ Z </tex>, <tex dpi=130> f(X) \subset Y_0 </tex>. Отображение <tex dpi=130> h: X \ \to \ Z </tex>, действующее по правилу 
<tex dpi=130> h(x) = g(f(x)), \ x \in X </tex> 
называется '''композицией''' или '''суперпозицией''' отображений <tex dpi=130> f </tex> и <tex dpi=130> g </tex>, а также '''сложным отображением''' и обозначается <tex dpi=130> f \circ g </tex>. При этом <tex dpi=130> g </tex> называется '''внешним''', а <tex dpi=130> f </tex> — '''внутренним отображением'''.
}}

=== Сужение и продолжение отображений ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> f: X \to Y </tex>, <tex dpi=130> X_0 \subset X </tex>. Отображение, которое каждому <tex dpi=130> x \in X_0 </tex> сопоставляет <tex dpi=130> f(x) </tex>, называется '''сужением''' отображения <tex dpi=130> f </tex> на множество <tex dpi=130> X_0 </tex> и обозначается <tex dpi=130> f | _{X_0} </tex>. Если отображение <tex dpi=130> g </tex> есть сужение отображения <tex dpi=130> f </tex>, то <tex dpi=130> f </tex> называется '''продолжением''', '''распространением''' или '''расширением''' <tex dpi=130> g </tex>.
}}

=== Предел последовательности (эпсилон-дельта определение) ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> \{ x_n \} _{n = 1} ^{\infty} </tex> — последовательность вещественных чисел. Число <tex dpi=130> a \in \mathbb{R} </tex> называют '''пределом последовательности''' <tex dpi=130> \{ x_n \} </tex> и пишут 
<tex dpi=130> \lim_{n \to \infty}x_n </tex> ,
если для любого положительного числа <tex dpi=130> \varepsilon </tex> существует такой положительный номер <tex dpi=130> N </tex>, что для всех номеров <tex dpi=130> n </tex>, больших <tex dpi=130> N </tex>, выполняется равенство <tex dpi=130> \left | x_n - a \right | < \varepsilon </tex>: 
<tex dpi=130> \forall \varepsilon > 0 \ \exists N \in \mathbb{N} \ \forall n \in \mathbb{N}: n > N \ \left | x_n - a \right | < \varepsilon </tex>
}}

{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> \left ( X, \rho \right ) </tex> — метрическое пространство, <tex dpi=130> \{ x_n \} _{n = 1} ^{\infty} </tex> — последовательность в <tex dpi=130> X </tex>. Точку <tex dpi=130> a \in X </tex> называют '''пределом последовательности''' <tex dpi=130> \{ x_n \} </tex> и пишут 
<tex dpi=130> \lim_{n \to \infty}x_n </tex>, 
если для любого положительного числа <tex dpi=130> \varepsilon </tex> существует такой номер <tex dpi=130> N </tex>, что для всех номеров <tex dpi=130> n </tex>, больших <tex dpi=130> N </tex>, выполняется равенство <tex dpi=130> \rho(x_n, a) < \varepsilon </tex>: 
<tex dpi=130> \forall \varepsilon > 0 \ \exists N \in \mathbb{N} \ \forall n \in \mathbb{N}: n > N \ \rho(x_n, a) < \varepsilon </tex>
}}

=== Предел последовательности (определение на языке окрестностей) ===
{{Определение
|definition=
Интервал <tex dpi=130> \left ( a - \varepsilon, a + \varepsilon \right ) </tex> называется <tex dpi=130> \varepsilon </tex>-'''окрестностью''' точки <tex dpi=130> a </tex> и обозначается <tex dpi=130> V_{\alpha} (\varepsilon) </tex> или <tex dpi=130> V_{\alpha} </tex>, если значение <tex dpi=130> \varepsilon </tex> несущественно.
}}

{{Определение
|definition=
Число <tex dpi=130> a </tex> называется '''пределом последовательности''' <tex dpi=130> \{ x_n \} </tex>, если для любой окрестности точки <tex dpi=130> a </tex> все члены последовательности, начиная с некоторого номера, принадлежат этой окрестности.
}}

=== Метрика, метрическое пространство, подпространство ===
{{Определение
|definition=
Функция <tex dpi=130> \rho: X \times X \to \mathbb{R}_{+} </tex> называется '''метрикой''' или '''расстоянием''' в множестве <tex dpi=130> X </tex>, если она удовлетворяет следующим условиям: 
# <tex dpi=130> \rho (x, y) = 0 \Longleftrightarrow x = y, \ x, y \in X </tex> 
# <tex dpi=130> \rho (x, y) = \rho (y, x), \ x, y \in X </tex> 
# <tex dpi=130> \rho (x, z) \leqslant \rho (x, y) + \rho (y, z), \ x, y, z \in X </tex> 
}}

{{Определение
|definition=
Пара <tex dpi=130> \left ( X, \rho \right ) </tex> — множество с метрикой в нём — называется '''метрическим пространством'''.
}}

{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> Y \subset X </tex>, <tex dpi=130> \rho </tex> — метрика в <tex dpi=130> X </tex>. Метрическое пространство <tex dpi=130> \left ( Y, \rho | _{Y \times Y} \right ) </tex> называется подпространством метрического пространства <tex dpi=130> \left ( X, \rho \right ) </tex>.
}}

=== Окрестность точки, проколотая окрестность, окрестности в R с чертой ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> \left ( X, \rho \right ) </tex> — метрическое пространство, <tex dpi=130> a \in X </tex>, <tex dpi=130> r > 0 </tex>. Множество 
<tex dpi=130> B(a, r) = \{ x \in X: \rho(x, a) < r \} </tex> 
называется '''открытым шаром''' радиуса <tex dpi=130> r </tex> с центром в точке <tex dpi=130> a </tex>, или '''окрестностью''' (<tex dpi=130> r </tex>-'''окрестностью''') точки <tex dpi=130> a </tex> и обозначается ещё <tex dpi=130> V_{a}(r) </tex> или <tex dpi=130> V_a </tex>, если значение <tex dpi=130> r </tex> несущественно. Множество 
<tex dpi=130> \bar{B}(a, r) = \{ x \in X: \rho(x, a) \leqslant r \} </tex> 
называется '''замкнутым шаром''', а множество 
<tex dpi=130> S(a, r) = \{ x \in X: \rho(x, a) = r \} </tex> 
— '''сферой''' радиуса <tex dpi=130> r </tex> с центром в точке <tex dpi=130> a </tex>.
}}

=== Векторное пространство ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> K </tex> — поле, <tex dpi=130> X </tex> — множество, и над элементами <tex dpi=130> X </tex> и <tex dpi=130> K </tex> определены две операции: сложение <tex dpi=130> X \times X \overset{+}{\to} X </tex> и умножение <tex dpi=130> K \times X \overset{\cdot}{\to} X </tex>, удовлетворяющие следующим условиям: 
# <tex dpi=130> (x + y) + z = x + (y + z), \ x, y, z \in X </tex> 
# <tex dpi=130> x + y = y + x, \ x, y \in X </tex> 
# <tex dpi=130> \exists \theta \in X \ \forall x \in X \ 0 \cdot x = \theta </tex> 
# <tex dpi=130> ( \lambda + \mu) x = \lambda x + \mu x, \ x \in X, \lambda, \mu \in K </tex> 
# <tex dpi=130> \lambda (x + y) = \lambda x + \lambda y, \ x, y \in X, \lambda \in K </tex> 
# <tex dpi=130> (\lambda \mu) \cdot x = \lambda \cdot (\mu x), \ \ x \in X, \lambda, \mu \in K </tex> 
# <tex dpi=130> 1 \cdot x = x, \ x \in X </tex> 
Тогда <tex dpi=130> X </tex> называется '''векторным пространством''' или '''линейным множеством''' над полем <tex dpi=130> K </tex>
}}

=== Норма ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> X </tex> — векторное пространство над <tex dpi=130> \mathbb{R} </tex> или <tex dpi=130> \mathbb{C} </tex>. '''Нормой''' в <tex dpi=130> X </tex> называется функция <tex dpi=130> p: X \to \mathbb{R}_{+} </tex>, удовлетворяющая следующим условиям: 
# Положительная определённость: <tex dpi=130> p(x) = 0 \Longleftrightarrow x = \theta </tex> 
# Положительная однородность: <tex dpi=130> p(\lambda x) = \left | \lambda \right | p(x) </tex> 
# Неравенство треугольника (полуаддитивность): <tex dpi=130> p(x + y) \leqslant p(x) + p(y) </tex>. 
Обозначается как <tex dpi=130> p(x) = \left \Vert x \right \Vert </tex>. Пара <tex dpi=130> \left ( X, \left \Vert \cdot \right \Vert \right ) </tex> называется '''нормированным пространством'''. Если функция <tex dpi=130> p: X \to \mathbb{R}_{+} </tex> удовлетворяет аксиомам 2 и 3, то <tex dpi=130> p </tex> называется '''полунормой'''.
}}

=== Скалярное произведение ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> X </tex> — векторное пространство над <tex dpi=130> \mathbb{R} </tex> или <tex dpi=130> \mathbb{C} </tex>. Функция <tex dpi=130> \varphi: X \times X \to \mathbb{R} </tex> (или <tex dpi=130> \mathbb{C} </tex> называется '''скалярным произведением''' в <tex dpi=130> X </tex> (обозначение: <tex dpi=130> \varphi (x, y) = \left ( x, y \right ) </tex>, если она удовлетворяет следующим свойствам: 
# Линейность по первому аргументу: для всех <tex dpi=130> x_1, x_2, y \in X </tex> и всех <tex dpi=130> \lambda, \mu \in \mathbb{R} </tex> (или <tex dpi=130> \mathbb{C} </tex>) <tex dpi=130> \left ( \lambda x_1 + \mu x_2, y \right ) = \lambda \cdot \left ( x_1, y \right ) + \mu \cdot \left ( x_2, y \right ) </tex> 
# Эрмитовская симметричность: <tex dpi=130> \left ( y, x \right ) = \bar{\left ( x, y \right )} </tex> (в вещественном случае черту можно опустить) 
# Положительная определённость: <tex dpi=130> \left ( x, x \right ) \geqslant 0; \ \left ( x, x \right ) = 0 \Longleftrightarrow x = \theta </tex>
}}

Свойства скалярного произведения:
# <tex dpi=130> \left ( x, y_1 + y_2 \right ) = \left ( x, y_1 \right ) + \left ( x, y_2 \right ) </tex>
# <tex dpi=130> \left ( x, \lambda y \right ) = \bar{\lambda} \left ( x, y \right ) </tex>
# <tex dpi=130> \left ( \theta, y \right ) = \left ( x, \theta \right ) = 0 </tex>

=== Последовательность, сходящаяся к бесконечности ===
{{Определение
|definition=
Последовательность, стремящаяся к бесконечности, называется '''бесконечно большой'''.
}}

=== Верхняя, нижняя границы; супремум, инфимум ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> E \subset \mathbb{R}, \ E \neq \varnothing </tex>, <tex dpi=130> E </tex> ограничено сверху. Наименьшая из верхних границ множества <tex dpi=130> E </tex> называется '''точной верхней границей''', или '''верхней гранью''', или '''супремумом''' множества <tex dpi=130> E </tex> и обозначается <tex dpi=130> \sup E </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> E \subset \mathbb{R}, \ E \neq \varnothing </tex>, <tex dpi=130> E </tex> ограничено снизу. Наибольшая из нижних границ множества <tex dpi=130> E </tex> называется '''точной нижней границей''', или '''нижней гранью''', или '''инфимумом''' множества <tex dpi=130> E </tex> и обозначается <tex dpi=130> \inf E </tex>.
}}

=== Функция ограниченная сверху, снизу ===
{{Определение
|definition=
Функция называется ограниченной (сверху, снизу) на множестве <tex dpi=130> D </tex>, если множество <tex dpi=130> f(D) </tex> ограничено (сверху, снизу).
}}

=== Строго и не строго монотонная функция ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> D \subset X \subset \mathbb{R} </tex>. Функция <tex dpi=130> f: X \to \mathbb{R} </tex> называется: 
'''возрастающей''' на множестве <tex dpi=130> D </tex>, если для любых <tex dpi=130> x_1, x_2 </tex> из <tex dpi=130> D </tex> таких, что <tex dpi=130> x_1 < x_2 </tex>, будет <tex dpi=130> f(x_1) \leqslant f(x_2) </tex>; 
'''строго возрастающей''' на множестве <tex dpi=130> D </tex>, если для любых <tex dpi=130> x_1, x_2 </tex> из <tex dpi=130> D </tex> таких, что <tex dpi=130> x_1 < x_2 </tex>, будет <tex dpi=130> f(x_1) < f(x_2) </tex>; 
'''убывающей''' на множестве <tex dpi=130> D </tex>, если для любых <tex dpi=130> x_1, x_2 </tex> из <tex dpi=130> D </tex> таких, что <tex dpi=130> x_1 < x_2 </tex>, будет <tex dpi=130> f(x_1) \leqslant f(x_2) </tex> 
'''строго убывающей''' на множестве <tex dpi=130> D </tex>, если для любых <tex dpi=130> x_1, x_2 </tex> из <tex dpi=130> D </tex> таких, что <tex dpi=130> x_1 < x_2 </tex>, будет <tex dpi=130> f(x_1) > f(x_2) </tex>.
}}

=== Внутренняя точка множества, открытое множество, внутренность ===
{{Определение
|definition=
Точка <tex dpi=130> a </tex> называется '''внутренней точкой''' множества <tex dpi=130> D </tex>, если существует окрестность точки <tex dpi=130> a </tex>, содержащаяся в <tex dpi=130> D </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Множество <tex dpi=130> D </tex> называется '''открытым''', если все его точки внутренние.
}}

{{Определение
|definition=
Множество всех внутренних точек множества <tex dpi=130> D </tex> называется '''внутренностью''' <tex dpi=130> D </tex> и обозначается <tex dpi=130> \overset{\circ}{D} </tex> или <tex dpi=130> Int D </tex>.
}}

=== Предельная точка множества ===
{{Определение
|definition=
Точка <tex dpi=130> a </tex> называется '''предельной точкой''' или '''точкой сгущения''' множества <tex dpi=130> D </tex>, если в любой окрестности точки <tex dpi=130> a </tex> найдётся точка множества <tex dpi=130> D </tex>, отличная от <tex dpi=130> a </tex>.
}}

=== Замкнутое множество, замыкание, граница ===
{{Определение
|definition=
Если точка <tex dpi=130> a </tex> принадлежит множеству <tex dpi=130> D </tex>, но не является его предельной точкой, то <tex dpi=130> a </tex> называется '''изолированной точкой''' множества <tex dpi=130> D </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Множество <tex dpi=130> D </tex> называется '''замкнутым''', если оно содержит все свои предельные точки.
}}

{{Определение
|definition=
Точка <tex dpi=130> a </tex> называется '''точкой прикосновения''' множества <tex dpi=130> D </tex>, если в любой окрестности точки <tex dpi=130> a </tex> найдётся точка множества <tex dpi=130> D </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Множество всех точек прикосновения множества <tex dpi=130> D </tex> называется '''замыканием''' <tex dpi=130> D </tex> и обозначается <tex dpi=130> \bar{D} </tex> или <tex dpi=130> Cl D </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Точка <tex dpi=130> a </tex> называется '''граничной точкой''' множества <tex dpi=130> D </tex>, если в любой окрестности <tex dpi=130> a </tex> найдётся как точка, принадлежащая <tex dpi=130> D </tex>, так и точка, не принадлежащая <tex dpi=130> D </tex>. Множество всех граничных точек множества <tex dpi=130> D </tex> называется '''границей''' <tex dpi=130> D </tex> и обозначается <tex dpi=130> Fr D </tex>.
}}

=== Верхний и нижний пределы ===
{{Определение
|definition=
Пусть последовательность <tex dpi=130> \{ x_n \} </tex> ограничена сверху. Величина <tex dpi=130> \overline{\underset{n \to \infty}{\lim}} = \underset{n \to \infty}{\lim} \underset{k \geqslant n}{\sup} x_k </tex> называется '''верхним пределом''' последовательности <tex dpi=130> \{ x_n \} </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Пусть последовательность <tex dpi=130> \{ x_n \} </tex> ограничена снизу. Величина <tex dpi=130> \underline{\underset{n \to \infty}{\lim}} = \underset{n \to \infty}{\lim} \underset{k \geqslant n}{\inf} x_k </tex> называется '''нижним пределом''' последовательности <tex dpi=130> \{ x_n \} </tex>.
}}

=== Частичный предел ===
{{Определение
|definition=
Точка <tex dpi=130> a </tex> называется '''частичным пределом''' последовательности <tex dpi=130> \{ x_n \} </tex>, если существует подпоследовательность <tex dpi=130> \{ x_{n_k} \} </tex>, стремящаяся к <tex dpi=130> a </tex>.
}}

=== Определения предела отображения (3 шт) ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> \left ( X, \rho_x \right ) </tex>, <tex dpi=130> \left ( Y, \rho_y \right ) </tex> — метрические пространства, <tex dpi=130> f: D \subset X \to Y </tex>, <tex dpi=130> a \in X </tex> — предельная точка <tex dpi=130> D </tex>, <tex dpi=130> A \in Y </tex>. Точку <tex dpi=130> A </tex> называют пределом отображения <tex dpi=130> f </tex> в точке <tex dpi=130> a </tex> и пишут <tex dpi=130> \underset{x \to a}{\lim} f(x) = F </tex>, если выполняется одно из следующих утверждений: 
* Определение на <tex dpi=130> \varepsilon </tex>-языке, или по Коши. 
Для любого положительного числа <tex dpi=130> \varepsilon </tex> существует такое положительное число <tex dpi=130> \delta </tex>, что для всех точек <tex dpi=130> x </tex> множества <tex dpi=130> D </tex>, отличных от <tex dpi=130> a </tex> и удовлетворяющих неравенству <tex dpi=130> \rho_X (x, a) < \delta </tex>, выполняется неравенство <tex dpi=130> \rho_Y (f(x), A) < \varepsilon </tex>: 
<tex dpi=130> \forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0 \ \forall x \in D \backslash \{ a \} : \ \rho_X (x, a) < \delta \ \rho_Y (f(x), A) < \varepsilon </tex>. 
* Определение на языке окрестностей. 
Для любой окрестности <tex dpi=130> V_A </tex> точки <tex dpi=130> A </tex> существует такая окрестность <tex dpi=130> V_a </tex> точки <tex dpi=130> a </tex>, что образ пересечения проколотой окрестности <tex dpi=130> V_a </tex> с множеством <tex dpi=130> D </tex> при отображении <tex dpi=130> f </tex> содержится в окрестности <tex dpi=130> V_A </tex>: 
<tex dpi=130> \forall V_A \ \exists V_a \ f(V_a \cap D) \subset V_A </tex>. 
* Определение на языке последовательностей, или по Гейне. 
Для любой последовательности <tex dpi=130> \{ x_n \} </tex> точек множества <tex dpi=130> D </tex>, отличных от <tex dpi=130> a </tex>, стремящейся к <tex dpi=130> a </tex>, последовательность <tex dpi=130> \{ f(x_{n}) \} </tex> стремится к <tex dpi=130> A </tex>: 
<tex dpi=130> \forall \{ x_n \} : \ x_n \in D \backslash \{ a \} , x_n \to a \ f(x_{n}) \to A </tex>.
}}

=== Предел по множеству ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> f: D \subset X \to Y, \ D_1 \subset D </tex>, <tex dpi=130> a </tex> — предельная точка <tex dpi=130> D_1 </tex>. Предел <tex dpi=130> \underset{x \to a}{\lim} f | _{D_1} (x) </tex> называется '''пределом''' отображения <tex dpi=130> f </tex> в точке <tex dpi=130> a </tex> '''по множеству''' <tex dpi=130> D_1 </tex>.
}}

=== Односторонние пределы ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> f: D \subset \mathbb{R} \to Y, \ a \in \mathbb{R} </tex>. 
# Если <tex dpi=130> a </tex> — предельная точка множества <tex dpi=130> D_1 = D \cap \left ( - \infty, a \right ) </tex>, то предел отображения <tex dpi=130> f </tex> в точке <tex dpi=130> a </tex> по множеству <tex dpi=130> D_1 </tex> называется '''левосторонним пределом''' отображения <tex dpi=130> f </tex> в точке <tex dpi=130> a </tex> и обозначается <tex dpi=130> \underset{x \to a-}{\lim} f(x) </tex> или <tex dpi=130> f(a-) </tex>. 
# Если <tex dpi=130> a </tex> — предельная точка множества <tex dpi=130> D_2 = D \cap \left ( a, + \infty \right ) </tex>, то предел отображения <tex dpi=130> f </tex> в точке <tex dpi=130> a </tex> по множеству <tex dpi=130> D_2 </tex> называется '''правосторонним пределом''' отображения <tex dpi=130> f </tex> в точке <tex dpi=130> a </tex> и обозначается <tex dpi=130> \underset{x \to a+}{\lim} f(x) </tex> или <tex dpi=130> f(a+) </tex>.
}}

=== Компактное множество ===
{{Определение
|definition=
Семейство множеств <tex dpi=130> \{ G_{\alpha} \} _{\alpha \in A} </tex> называется '''покрытием''' множества <tex dpi=130> K </tex>, если <tex dpi=130> K \subset \underset{\alpha \in A}{\bigcup} G_{\alpha} </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> \left ( X, \rho \right ) </tex> — метрическое пространство, <tex dpi=130> K \in X </tex>. Покрытие <tex dpi=130> \{ G_{\alpha} \} _{\alpha \in A} </tex> множества <tex dpi=130> K </tex> называется '''компактным''', если из любого открытого покрытия <tex dpi=130> K </tex> можно извлечь конечное подпокрытие
}}

=== Фундаментальная последовательность ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> \{ x_n \} _{n = 1} ^{\infty} </tex> — последовательность в метрическом пространстве <tex dpi=130> X </tex>. Говорят, что последовательность <tex dpi=130> \{ x_n \} </tex> '''сходится в себе''', если для любого положительного числа <tex dpi=130> \varepsilon </tex> существует такой номер <tex dpi=130> N </tex>, что для всех номеров <tex dpi=130> n </tex> и <tex dpi=130> l </tex>, больших <tex dpi=130> N </tex>, выполняется неравенство <tex dpi=130> \rho (x_n, x_l) < \varepsilon </tex>: 
<tex dpi=130> \forall \varepsilon > 0 \ \exists N \ \forall n, l > N \ \rho (x_n, x_l) < \varepsilon </tex> 
Сходящуюся в себе последовательность также называют '''последовательностью Коши''' или '''фундаментальной последовательностью'''.
}}

=== Полное метрическое пространство ===
{{Определение
|definition=
Пространство <tex dpi=130> \mathbb{R}^m </tex> полно <tex dpi=130> \Longleftrightarrow </tex> в <tex dpi=130> \mathbb{R}^m </tex> любая сходящаяся в себе последовательность сходится.
}}

=== Непрерывное отображение ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> \left ( X, \rho_X \right ) </tex> и <tex dpi=130> \left ( Y, \rho_Y \right ) </tex> — метрические пространства, <tex dpi=130> f: D \subset X \to Y, \ x_0 \in D </tex>. Отображение <tex dpi=130> f </tex> называется '''непрерывным''' в точке <tex dpi=130> x_0 </tex>, если выполняется одно из следующих утверждений: 
# Предел отображения <tex dpi=130> f </tex> в точке <tex dpi=130> x_0 </tex> существует и равен <tex dpi=130> f(x_0 ) </tex>. Это определение применимо, если <tex dpi=130> x_0 </tex> — предельная точка <tex dpi=130> D </tex>. 
# По Коши: для любого положительного числа <tex dpi=130> \varepsilon </tex> существует такое положительное число <tex dpi=130> \delta </tex>, что для всех точек <tex dpi=130> x </tex> множества <tex dpi=130> D </tex>, удовлетворяющих неравенству <tex dpi=130> \rho_X (x, x_0) < \delta </tex>, выполняется неравенство <tex dpi=130> \rho_Y (f(x), f(x_0)) < \varepsilon </tex>: <tex dpi=130> \forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0 \ \forall x \in D: \rho_X (x, x_0) < \delta \ \rho_Y (f(x), f(x_0)) < \varepsilon </tex>. 
# На языке окрестностей: для любой окрестности <tex dpi=130> V_{f(x_0)} </tex> точки <tex dpi=130> f(x_0) </tex> существует такая окрестность <tex dpi=130> V_{x_0} </tex> точки <tex dpi=130> x_0 </tex>, что образ пересечения окрестности <tex dpi=130> V_{x_0} </tex> с множеством <tex dpi=130> D </tex> содержится в окрестности <tex dpi=130> V_{f(x_0)} </tex>: <tex dpi=130> \forall V_{f(x_0)} \ \exists V_{x_0} \ f \left ( V_{x_0} \cap D \right ) \subset V_{f(x_0)} </tex>. 
# По Гейне: для любой последовательности <tex dpi=130> \left \{ x_n \right \} </tex> точек множества <tex dpi=130> D </tex>, стремящейся к <tex dpi=130> x_0 </tex>, последовательность <tex dpi=130> \left \{ f(x_n) \right \} </tex> стремится к <tex dpi=130> f(x_0) </tex>: <tex dpi=130> \forall \{ x_n \} : \ x_n \in D, x_n \to x_0 \ f(x_n) \to f(x_0) </tex>. 
# Бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение отображения: <tex dpi=130> \Delta y \underset{\Delta x \to \theta x}{\to} \theta_Y </tex>.
}}

=== Непрерывность слева ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> Y </tex> — метрическое пространство, <tex dpi=130> f: D \subset X \to Y, \ x_0 \in D </tex>. Если сужение отображения <tex dpi=130> f </tex> на множество <tex dpi=130> E_1 = D \cap \left ( - \infty, x_0 \right ] </tex> (<tex dpi=130> E_2 = D \cap \left [ x_0, + \infty \right ) )</tex> непрерывно в точке <tex dpi=130> x_0 </tex>, то говорят, что отображение <tex dpi=130> f </tex> '''непрерывно слева (справа)''' в точке <tex dpi=130> x_0 </tex>.
}}

=== Функция равномерно непрерывная на множестве ===
{{Определение
|definition=
Функция <tex dpi=130> f: D \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} </tex> называется '''равномерно непрерывной''' на множестве <tex dpi=130> D </tex>, если для любого положительного числа <tex dpi=130> \varepsilon </tex> существует такое положительное число <tex dpi=130> \delta </tex>, что для всех точек <tex dpi=130> \bar{x}, \bar{\bar{x}} </tex> множества <tex dpi=130> D </tex>, удовлетворяющих неравенству <tex dpi=130> \left | \bar{x} - \bar{\bar{x}} \right | < \delta </tex>, выполняется неравенство <tex dpi=130> \left | f(\bar{x}) - f(\bar{\bar{x}}) \right | < \varepsilon </tex>: 
<tex dpi=130> \forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0 \ \forall \bar{x}, \bar{\bar{x}} \in D: \left | \bar{x} - \bar{\bar{x}} \right | < \delta \ \left | f(\bar{x}) - f(\bar{\bar{x}}) \right | < \varepsilon </tex>.
}}

=== Степенная функция ===
<tex dpi=130> e_{\alpha} (x) = x^{\alpha} </tex>

=== Показательная функция ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> a > 0, x \in \mathbb{R} </tex>. Положим <tex dpi=130> a^x = \underset{r \to x}{\lim} a^r | _{\mathbb{Q}} </tex>. При <tex dpi=130> a > 0, \ a \neq 0 </tex> функция <tex dpi=130> a^x, \ x \in {\mathbb{R}} </tex> называется '''показательной функцией с основанием''' <tex> a </tex>.
}}

=== Логарифм ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> a > 0, a \neq 1 </tex>. Функция, обратная к показательной с основанием <tex dpi=130> a </tex>, называется '''логарифмом по основанию''' <tex dpi=130> a </tex>.
}}

=== О большое ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> X </tex> — метрическое пространство, <tex dpi=130> D \subset X, \ f, g: D \to \mathbb{R} \ (\mathbb{C}) </tex>, <tex dpi=130> x_0 </tex> — предельная точка <tex dpi=130> D </tex>. Если существует функция <tex dpi=130> \varphi: D \to \mathbb{R} \ (\mathbb{C}) </tex> и окрестность <tex dpi=130> V_{x_0} </tex> точки <tex dpi=130> x_0 </tex>, такие, что <tex dpi=130> f(x) = \varphi (x) g(x) </tex> для всех <tex dpi=130> x \in V_{x_0} \cap D </tex> и 
# <tex dpi=130> \varphi </tex> ограничена на <tex dpi=130> V_{x_0} \cap D </tex>, то говорят, что функция <tex dpi=130> f </tex> '''ограничена по сравнению с''' <tex dpi=130> g </tex> при <tex dpi=130> x \to x_0 </tex>, и пишут <tex dpi=130> f(x) = O(g(x)), \ x \to x_0 </tex>; 
# <tex dpi=130> \varphi (x) \to 0 </tex>, то говорят, что функция <tex dpi=130> f </tex> '''бесконечно малая по сравнению с''' <tex dpi=130> g </tex> при <tex dpi=130> x \to x_0 </tex>, и пишут <tex dpi=130> f(x) = o(g(x)), \ x \to x_0 </tex>; 
# <tex dpi=130> \varphi (x) \to 1 </tex>, то говорят, что функция <tex dpi=130> f </tex> '''эквивалентны''' или '''асимптотически равны''' при <tex dpi=130> x \to x_0 </tex>, и пишут <tex dpi=130> f(x) ~ g(x), \ x \to x_0 </tex>.
}}

=== О маленькое ===
=== Эквивалентные функции ===
=== Асимптотически равные функции ===
=== Асимптотическое разложение ===
=== Наклонная асимптота графика ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> \left \langle a, + \infty \right ) \subset D \subset \mathbb{R}, \ f: D \to \mathbb{R}, \ \alpha, \beta \in \mathbb{R} </tex>. Прямая <tex dpi=130> y = \alpha x + \beta </tex> называется '''наклонной асимптотой''' функции <tex dpi=130> f </tex> при <tex dpi=130> x \to + \infty </tex>, если 
<tex dpi=130> f(x) = \alpha x + \beta + o(1), \ x \to + \infty </tex>.
}}

=== Функция, дифференцируемая в точке ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> f: \left \langle a, b, \right \rangle \to \mathbb{R}, \ x_0 \in \left \langle a, b, \right \rangle </tex>. Если существует такое число <tex dpi=130> A \in \mathbb{R} </tex>, что <tex dpi=130> f(x) = f(x_0) + A(x - x_0) + o(x - x_0), \ x \to x_0 </tex>, то функция <tex dpi=130> f </tex> называется '''дифференцируемой''' в точке <tex dpi=130> x_0 </tex>. При этом число <tex dpi=130> A </tex> называется '''производной''' функции <tex dpi=130> f </tex> в точке <tex dpi=130> x_0 </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> f: \left \langle a, b, \right \rangle \to \mathbb{R}, \ x_0 \in \left \langle a, b, \right \rangle </tex>. Если существует предел <tex dpi=180> \underset{x \to x_0}{\lim} {{f(x) - f(x_0)} \over {x - x_0}} </tex>, равный числу <tex dpi=130> A \in \mathbb{R} </tex>, то функция <tex dpi=130> f </tex> называется '''дифференцируемой''' в точке <tex dpi=130> x_0 </tex>. При этом число <tex dpi=130> A </tex> называется '''производной''' функции <tex dpi=130> f </tex> в точке <tex dpi=130> x_0 </tex>.
}}

=== Производная ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> f: D \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} </tex>, <tex dpi=130> D_1 </tex> — множество дифференцируемости <tex dpi=130> f </tex> (множество всех точек <tex dpi=130> D </tex>, где функция дифференцируема). Функция <tex dpi=130> f': D_1 \to \mathbb{R} </tex>, которая каждому <tex dpi=130> x \in D_1 </tex> сопоставляет число <tex dpi=130> f'(x) </tex>, называется '''производной функцией''' функции <tex dpi=130> f </tex>.
}}

<tex dpi=180> f'(x_0) = \underset{x \to x_0}{\lim} {{f(x) - f(x_0)} \over {x - x_0}} </tex>

=== Левостороняя и правосторонняя производные ===
Правосторонняя: <tex dpi=180> f'_{+} (x_0) = \underset{x \to x_{0+}}{\lim} {{f(x) - f(x_0)} \over {x - x_0}} </tex>

Левосторонняя: <tex dpi=180> f'_{-} (x_0) = \underset{x \to x_{0-}}{\lim} {{f(x) - f(x_0)} \over {x - x_0}} </tex>

=== Производная n-го порядка ===
=== Многочлен Тейлора n-го порядка ===

== Теоремы ==
=== Аксиомы вещественных чисел ===
'''I. Аксиомы поля'''

В множестве <tex dpi=130> \mathbb{R} </tex> определены две операции, называемые сложением и умножением, действующие из <tex dpi=130> \mathbb{R} \times \mathbb{R} </tex> в <tex dpi=130> \mathbb{R} </tex> и удовлетворяющие следующим свойствам:

# Сочетательный закон (ассоциативность) сложения: <tex dpi=130> (x + y) + z = x + (y + z) </tex>
# Переместительный закон (коммутативность) сложения: <tex dpi=130> x + y = y + x </tex>
# Существует вещественное число нуль (<tex dpi=130> 0 </tex>, нейтральный элемент по сложению) такое, что <tex dpi=130> x + 0 = x </tex> для всех <tex dpi=130> x </tex>
# Для любого числа <tex dpi=130> x </tex> существует такое число <tex dpi=130> \tilde{x} </tex>, что <tex dpi=130> x + \tilde{x} = 0 </tex> (это число <tex dpi=130> \tilde{x} </tex> называется противоположным числу <tex dpi=130> x </tex> и обозначается <tex dpi=130> -x </tex>)
# Сочетательный закон (ассоциативность) умножения: <tex dpi=130> (xy)z = x(yz) </tex>
# Переместительный закон (коммутативность) умножения: <tex dpi=130> xy = yx </tex>
# Существует вещественное число единица (<tex dpi=130> 1 </tex>, нейтральный элемент по умножению), отличное от нуля, такое, что <tex dpi=130> x \cdot 1 = x </tex> для всех <tex dpi=130> x </tex>
# Для любого числа <tex dpi=130> x </tex> существует такое число <tex dpi=130> x' </tex>, что <tex dpi=130> x \cdot x' = 1 </tex> (это число <tex dpi=130> x' </tex> называется обратным числу <tex dpi=130> x </tex> и обозначается <tex dpi=130> x^{-1} </tex> или <tex dpi=130> {1 \over x}) </tex>
# Распределительный закон (дистрибутивность): <tex dpi=130> x(y + z) = xy + xz </tex>

'''II. Аксиомы порядка'''

Между элементами <tex dpi=130> \mathbb{R} </tex> определено отношение <tex dpi=130> \leqslant </tex> со следующими свойствами:

# Для любых <tex dpi=130> x, y </tex> верно <tex dpi=130> x \leqslant y </tex> или <tex dpi=130> y \leqslant x </tex>
# Транзитивность: если <tex dpi=130> x \leqslant y </tex> и <tex dpi=130> y \leqslant z </tex>, то <tex dpi=130> x \leqslant z </tex>
# Если <tex dpi=130> x \leqslant y </tex> и <tex dpi=130> y \leqslant x </tex>, то <tex dpi=130> x = y </tex>
# Если <tex dpi=130> x \leqslant y </tex>, то <tex dpi=130> x + z \leqslant y + z </tex> для любого <tex dpi=130> z </tex>
# Если <tex dpi=130> 0 \leqslant x </tex> и <tex dpi=130> 0 \leqslant y </tex>, то <tex dpi=130> 0 \leqslant xy </tex>

'''III. Аксиома Архимеда'''

{{Утверждение
|statement=
Каковы бы ни были положительные числа <tex dpi=130> x, y \in \mathbb{R} </tex>, существует натуральное число <tex dpi=130> n </tex> такое, что <tex dpi=130> nx > y </tex>
}}

'''IV. Аксиома Кантора о вложенных отрезках'''

{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex dpi=130> \{ \left [ a_n, b_n \right ] \} _{n = 1} ^{\infty} </tex> — последовательность вложенных отрезков, то есть 
<tex dpi=130> a_n \leqslant a_{n+1} < b_{n+1} \leqslant b_n </tex> для всех <tex dpi=130> n \in \mathbb{N} </tex>. 
Тогда существует точка, принадлежащая одновременно отрезкам <tex dpi=130> \left [ a_n, b_n \right ] </tex>, то есть 
<tex dpi=130> \overset{\infty}{\underset{n = 1}{\bigcap}} \left [ a_n, b_n \right ] \neq \varnothing </tex>
}}

=== Принцип математической индукции. Неравенство Бернулли ===
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex dpi=130> \{ \mathcal{P}_n \}_{n = 1} ^{\infty} </tex> — последовательность утверждений. Если <tex dpi=130> \mathcal{P}_1 </tex> верно и для любого <tex dpi=130> n \in \mathbb{N} </tex> из <tex dpi=130> \mathcal{P}_n </tex> следует <tex dpi=130> \mathcal{P}_{n + 1} </tex>, то <tex dpi=130> \mathcal{P}_n </tex> верно для всех <tex dpi=130> n \in \mathbb{N} </tex>.
}}

{{Теорема
|author=Бенулли
|about=неравенство
|statement=
light: <tex dpi=130> \forall x > -1, \forall n \in \mathbb{N} \left ( 1 + x \right ) ^n \geqslant 1 + nx </tex> 
hard: <tex dpi=130> \forall x > 0, \forall n \in \mathbb{N} \left ( 1 + x \right ) ^n \geqslant 1 + nx + {{n(n - 1)} \over 2}x^2 </tex>
}}

=== Аксиома Архимеда. Плотность множества рациональных чисел в R ===
{{Теорема
|about=плотность множества рациональных чисел
|statement=
Во всяком интервале есть рациональное число.
}}

=== Аксиома Кантора. Десятичная запись числа ===
=== Счетные множества. Счетность множества рациональных чисел ===
{{Определение
|definition=
Множества <tex dpi=130> A </tex> и <tex dpi=130> B </tex> называют '''эквивалентными''' или '''равномощными''' и пишут <tex dpi=130> A ~ B </tex>, если существует биекция <tex dpi=130> \phi: A \to B </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Множество называется '''счётным''', если оно эквивалентно множеству натуральных чисел.
}}

{{Теорема
|statement=
Всякое бесконечное множество содержит счётное подмножество.
}}

{{Теорема
|statement=
Всякое бесконечное подмножество счётного множества счётно.
}}

{{Определение
|definition=
Пустое, конечное или счётное множество называется '''не более чем счётным'''.
}}

{{Теорема
|statement=
Не более чем счётное объединение не более чем счётных множеств не более чем счётно.
}}

{{Теорема
|about=счётность множества рациональных чисел
|statement=
Множество рациональных чисел счётно.
}}

=== Несчетность отрезка ===
{{Теорема
|about=несчётность отрезка
|statement=
Отрезок <tex dpi=130> \left [ 0, 1 \right ] </tex> несчётен.
}}

{{Определение
|definition=
Если множество эквивалентно отрезку <tex dpi=130> \left [ 0, 1 \right ] </tex>, то говорят, что оно имеет '''мощность континуума'''.
}}

=== Несчетность множества бинарных последовательностей ===
=== Несчетность R^2 ===
=== Единственность предела и ограниченность сходящейся последовательности ===
{{Теорема
|about=единственность предела
|statement=
Последовательность в метрическом пространстве не может иметь более одного предела: если <tex dpi=130> x_n \to a </tex>, а <tex dpi=130> x_n \to b </tex>, то <tex dpi=130> a = b </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Подмножество <tex dpi=130> D </tex> метрического пространства <tex dpi=130> X </tex> называется '''ограниченным''', если оно содержится в некотором шаре: 
<tex dpi=130> \exists a \in X, R > 0 \ D \subset \bar{B}(a, R) </tex>.
}}

{{Теорема
|about=ограниченность сходящейся последовательности
|statement=
Сходящаяся последовательность ограничена.
}}

=== Теорема о сжатой последовательности ===
{{Теорема
|about=о сжатой последовательности
|statement=
Пусть <tex dpi=130> \{ x_n \} </tex>, <tex dpi=130> \{ y_n \} </tex> и <tex dpi=130> \{ z_n \} </tex> — вещественные последовательности, <tex dpi=130> x_n \leqslant y_n \leqslant z_n </tex> при всех <tex dpi=130> n \in \mathbb{N} </tex>, <tex dpi=130> a \in \mathbb{R} </tex>, <tex dpi=130> \lim x_n = \lim z_n = a </tex>. Тогда предел <tex dpi=130> \{ y_n \} </tex> существует и равен <tex dpi=130> a </tex>.
}}

=== Бесконечно малая последовательность ===
{{Определение
|definition=
Последовательность вещественных или комплексных чисел называется '''бесконечно малой''', если она стремится к нулю.
}}

{{Лемма
|statement=
Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную есть бесконечно малая: если <tex dpi=130> \{ x_n \} </tex> — бесконечно малая, а <tex dpi=130> \{ y_n \} </tex> — ограниченная, то <tex dpi=130> \{ x_{n} y_n \} </tex> — бесконечно малая.
}}

=== Теорема об арифметических свойствах предела ===
{{Теорема
|about=арифметические действия над сходящимися последовательностями в нормированном пространстве
|statement=
Пусть <tex dpi=130> \left ( X, \left \Vert \cdot \right \Vert \right ) </tex> — нормированное пространство, <tex dpi=130> \{ x_n \} </tex>, <tex dpi=130> \{ y_n \} </tex> — последовательности в <tex dpi=130> X </tex>, <tex dpi=130> \{ \lambda_n \} </tex> — числовая последовательность, <tex dpi=130> x_0, y_0 \in X, \ \lambda_0 \in \mathbb{R} </tex> (или <tex dpi=130> \mathbb{C} </tex>), <tex dpi=130> x_n \to x_0, \ y_n \to y_0, \ \lambda_n \to \lambda_0 </tex>. Тогда 
# <tex dpi=130> x_n + y_n \to x_0 + y_0 </tex> 
# <tex dpi=130> \lambda_n y_n \to \lambda_0 y_0 </tex> 
# <tex dpi=130> x_n - y_n \to x_0 - y_0 </tex> 
# <tex dpi=130> \left \Vert x_n \right \Vert \to \left \Vert x_0 \right \Vert </tex>
}}

{{Теорема
|about=арифметические действия над сходящимися числовыми последовательностями
|statement=
Пусть <tex dpi=130> \{ x_n \} </tex>, <tex dpi=130> \{ y_n \} </tex> — числовые последовательности, <tex dpi=130> x_0, y_0 \in \mathbb{R} </tex> (или <tex dpi=130> \mathbb{C} </tex>), <tex dpi=130> x_n \to x_0, \ y_n \to y_0 </tex>. Тогда 
# <tex dpi=130> x_n + y_n \to x_0 + y_0 </tex> 
# <tex dpi=130> x_n y_n \to x_0 y_0 </tex> 
# <tex dpi=130> x_n - y_n \to x_0 - y_0 </tex> 
# <tex dpi=130> \left | x_n \right | \to \left | x_0 \right | </tex> 
# Если, кроме того, <tex dpi=130> y_n \neq 0 </tex> при всех <tex dpi=130> n </tex> и <tex dpi=130> y_0 \neq 0 </tex>, то <tex dpi=180> {x_n \over y_n} \to {x_0 \over y_0} </tex>
}}

=== Неравенство Коши-Буняковского в линейном пространстве, норма, порожденная скалярным произведением ===
{{Теорема
|author=Коши-Буняковского-Шварца
|about=неравенство
|statement=
<tex dpi=130> \left | \left ( x, y, \right ) \right | ^2 \leqslant \left ( x, x \right ) \left ( y, y \right ) </tex>
}}

{{Теорема
|statement=
Функция <tex dpi=130> p(x) = sqrt{\left ( x, x \right )} </tex> — норма в <tex dpi=130> X </tex>.
}}

{{Теорема
|author=Коши-Буняковского
|about=неравенство
|statement=
<tex dvi=180> \left ( \underset{k = 1}{\overset{m}{\sum}} x_k y_k \right ) ^2 \leqslant \left ( \underset{k = 1}{\overset{m}{\sum}} {x_k}^2 \right ) \left ( \underset{k = 1}{\overset{m}{\sum}} {y_k}^2 \right ) </tex>
}}

=== Леммы о непрерывности скалярного произведения и покоординатной сходимости в R^n ===
{{Определение
|definition=
Говорят, что последовательность <tex dpi=130> \{ x^{(n)} \} </tex> точек в <tex dpi=130> \mathbb{R}^m </tex> '''сходится''' к пределу <tex dpi=130> x^{(0)} \in \mathbb{R}^m </tex> '''поокординатно''', если <tex dpi=130> x_j ^{(n)} \underset{n \to \infty}{\to} x_j ^{(0)} </tex> для всех <tex dpi=130> j \in [1 : m] </tex>.
}}

{{Лемма
|statement=
В <tex dpi=130> \mathbb{R}^m </tex> покоординатная сходимость и сходимость по евклидовой норме равносильны.
}}

=== Теорема об арифметических свойствах предела последовательности (в R с чертой). Неопределенности ===
{{Теорема
|about=арифметические действия с бесконечно большими
|statement=
Пусть <tex dpi=130> \{ x_n \} </tex>, <tex dpi=130> \{ y_n \} </tex> — числовые последовательности. 
# Если <tex dpi=130> x_n \to + \infty </tex>, <tex dpi=130> y_n </tex> ограничена снизу, то <tex dpi=130> x_n + y_n \to + \infty </tex>. 
# Если <tex dpi=130> x_n \to - \infty </tex>, <tex dpi=130> y_n </tex> ограничена сверху, то <tex dpi=130> x_n + y_n \to - \infty </tex>. 
# Если <tex dpi=130> x_n \to \infty </tex>, <tex dpi=130> y_n </tex> ограничена, то <tex dpi=130> x_n + y_n \to \infty </tex>. 
# Если <tex dpi=130> x_n \to \pm \infty </tex>, <tex dpi=130> y_n \geqslant b > 0 </tex> для всех <tex dpi=130> n </tex> (или <tex dpi=130> y_n \to b_1 > 0 </tex>), то <tex dpi=130> x_n y_n \to \pm \infty </tex>. 
# Если <tex dpi=130> x_n \to \pm \infty </tex>, <tex dpi=130> y_n \leqslant b < 0 </tex> для всех <tex dpi=130> n </tex> (или <tex dpi=130> y_n \to b_1 < 0 </tex>), то <tex dpi=130> x_n y_n \to \mp \infty </tex>. 
# Если <tex dpi=130> x_n \to \infty </tex>, <tex dpi=130> \left | y_n \right | \geqslant b > 0 </tex> для всех <tex dpi=130> n </tex> (или <tex dpi=130> y_n \to b_1 \neq 0 </tex>), то <tex dpi=130> x_n y_n \to \infty </tex>. 
# Если <tex dpi=130> x_n \to a \neq 0, \ y_n \to 0, \ y_n \neq 0 </tex> при всех <tex dpi=130> n </tex>, то <tex dvi=180> {{x_n} \over {y_n}} \to \infty </tex>. 
# Если <tex dpi=130> x_n \to a \in \mathbb{C}, \ y_n \to \infty </tex>, то <tex dvi=180> {{x_n} \over {y_n}} \to 0 </tex>. 
# Если <tex dpi=130> x_n \to \infty, \ y_n \to b \in \mathbb{C}, \ y_n \neq 0 </tex> при всех <tex dpi=130> n </tex>, то <tex dvi=180> {{x_n} \over {y_n}} \to \infty </tex>.
}}

Неопределённости:
* <tex dpi=130> x_n \to + \infty, \ y_n \to - \infty, \ x_n + y_n \to ? </tex>
* <tex dpi=130> x_n \to 0, \ y_n \to \infty, \ x_n y_n \to ? </tex>
* <tex dpi=130> x_n \to 0, \ y_n \to 0 </tex>, <tex dpi=180> {{x_n} \over {y_n}} \to ? </tex>
* <tex dpi=130> x_n \to \infty, \ y_n \to \infty </tex>, <tex dpi=180> {{x_n} \over {y_n}} \to ? </tex>

=== Теорема о стягивающихся отрезках ===
{{Определение
|definition=
Говорят, что <tex dpi=130> \{ \left [ a_n, b_n \right ] \} _{n = 1} ^ {\infty} </tex> — последовательность '''стягивающихся отрезков''', если <tex dpi=130> a_n \leqslant a_{n + 1} \leqslant b_{n + 1} \leqslant b_n <tex dpi=130> при всех <tex dpi=130> n </tex> и <tex dpi=130> b_n - a_n \to 0 </tex>.
}}

{{Теорема
|about=о стягивающихся отрезках
|statement=
Пусть <tex dpi=130> \{ \left [ a_n, b_n \right ] \} _{n = 1} ^ {\infty} </tex> — последовательность стягивающихся отрезков. Тогда пересечение всех отрезков <tex dpi=130> \left [ a_n, b_n \right ] </tex> состоит из одной точки, то есть 
<tex dpi=130> \exists c \in \mathbb{R}: \ \overset{n = 1}{\underset{\infty}{\bigcap}} \left [ a_n, b_n \right ] = \{ c \} </tex>, 
при этом <tex dpi=130> a_n \to c </tex> и <tex dpi=130> b_n \to c </tex>.
}}

=== Теорема о существовании супремума ===
{{Теорема
|about=о существовании супремума
|statement=
Всякое непустое ограниченное сверху (снизу) подмножество <tex dpi=130> \mathbb{R} </tex> имеет верхнюю (нижнюю) грань.
}}

=== Лемма о свойствах супремума ===
{{Утверждение
|statement=
Если <tex dpi=130> D \subset E \subset mathbb{R}, \ D \neq \varnothing </tex>, то <tex dpi=130> \sup D \leqslant \sup D <tex dpi=130>, а <tex dpi=130> \inf D \geqslant \inf E </tex>. 
Если <tex dpi=130> E, F \subset \mathbb{R}, t \in \mathbb{R}, \ E + F = \{ x + y: x \in E, y \in F \} </tex>, <tex dpi=130> \ -E = \{ -x: x \in E \}, \ tE = \{ tx: x \in E \} </tex>, то 
* <tex dpi=130> \sup (E + F) = \sup E + \sup F </tex> 
* <tex dpi=130> \sup (tE) = t \sup E </tex> 
* <tex dpi=130> \sup (-E) = - \inf E </tex> 
* <tex dpi=130> \inf (E + F) = \inf E + \inf F </tex> 
* <tex dpi=130> \inf (tE) = t \inf E </tex> 
* <tex dpi=130> \inf (-E) = - \sup E </tex>
}}

=== Теорема о пределе монотонной последовательности ===
{{Теорема
|about=о пределе монотонной последовательности
|statement=
Всякая возрастающая ограниченная сверху последовательность сходится. 
Всякая убывающая ограниченная снизу последовательность сходится. 
Всякая монотонная ограниченная последовательность сходится.
}}

=== Определение числа e, соответствующий замечательный предел ===
{{Определение
|definition=
Предел последовательности <tex dpi=130> \left \{ \left ( 1 + {1 \over n} \right ) ^n \right \} </tex> называют '''числом Непера''' или '''основанием натуральных логарифмов''' и обозначают буквой <tex dpi=130> e </tex>.
}}

=== Теорема о свойствах открытых множеств, внутренность множества ===

== Теорема о свойствах открытых множеств ==
1. Объединение любого семейства открытых множеств открыто.
2. Пересечение конечного семейства открытых множеств открыто.

== Внутренность множества ==
Множество всех внутренних точек множества <math>D</math> называется внутренностью <math>D</math>.
Внутренность <math>D</math> есть:
1) объединение всех открытых подмножеств <math>D</math>.
2) максимальное по включению открытое подмножество <math>D</math>.

=== Теорема о связи открытых и замкнутых множеств, свойства замкнутых множеств ===
=== Описание замкнутых и открытых множеств в подпространстве ===
=== Свойства верхнего и нижнего пределов ===
{{Теорема
|about=о верхнем и нижнем пределе
|statement=
Пусть <tex dpi=130> \{ x_n \} </tex> — вещественная последовательность. Тогда справедливы следующие утверждения: 
# Верхний предел — наибольший, а нижний — наименьший из частичных пределов <tex dpi=130> \{ x_n \} </tex>. 
# Предел <tex dpi=130> \{ x_n \} </tex> в <tex dpi=130> \overline{\mathbb{R}} </tex> существует тогда и только тогда, когда верхний и нижний пределы равны, при этом предел последовательности равен их общему значению.
}}

=== Техническое описание верхнего предела ===
=== Теорема о существовании предела в терминах верхнего и нижнего пределов ===
=== Теорема о характеризации верхнего предела как частичного ===
=== Эквивалентность определений Гейне и Коши ===
{{Теорема
|statement=
Определения предела отображения по Коши и по Гейне равносильны.
}}

=== Единственность предела, локальная ограниченность отображения, имеющего предел, теорема о стабилизации знака ===
{{Теорема
|about=единственность предела
|statement=
Отображение в данной точке не может иметь более одного предела: если <tex dpi=130> X </tex> и <tex dpi=130> Y </tex> — метрические пространства, <tex dpi=130> f: D \subset X \to Y </tex>, <tex dpi=130> a </tex> — предельная точка <tex dpi=130> D </tex>, <tex dpi=130> A, B \in Y, \ f(x) \underset{x \to a}{\to} A, \ f(x) \underset{x \to a}{\to} B </tex>, то <tex dpi=130> A = B </tex>.
}}

{{Теорема
|about=локальная ограниченность отображения, имеющего предел
|statement=
Пусть <tex dpi=130> X </tex> и <tex dpi=130> Y </tex> — метрические пространства, <tex dpi=130> f: D \subset X \to Y </tex>, <tex dpi=130> a </tex> — предельная точка <tex dpi=130> D </tex>, <tex dpi=130> A \in Y, \ f(x) \underset{x \to a}{\to} A </tex>. Тогда существует такая окрестность <tex dpi=130> V_a </tex> точки <tex dpi=130> a </tex>, что <tex dpi=130> f </tex> ограничено в <tex dpi=130> V_a \cap D </tex> (то есть <tex dpi=130> f(V_a \cap D </tex> содержится в некотором шаре пространства <tex dpi=130> Y </tex>.
}}

=== Арифметические свойства пределов ===
[уже было для последовательностей, то же самое]

=== Теорема о сжатой функции. Предельный переход в неравенстве ===
{{Теорема
|about=предельный переход в неравенстве для функици
|statement=
Пусть <tex dpi=130> X </tex> — метрическое пространство, <tex dpi=130> f, g: D \subset X \to \mathbb{R} </tex>, <tex dpi=130> a </tex> — предельная точка <tex dpi=130> D </tex>, <tex dpi=130> f(x) \leqslant g(x) </tex> для всех <tex dpi=130> x \in D \backslash {a}, \ A, B \in \overline{\mathbb{R}} </tex>, <tex dpi=130> f(x) \underset{x \to a}{\to} A, g(x) \underset{x \to a}{\to} B </tex>. Тогда <tex dpi=130> A \leqslant B </tex>.
}}

{{Теорема
|about=о сжатой функции
|statement=
Пусть <tex dpi=130> X </tex> — метрическое пространство, <tex dpi=130> f, g, h: D \subset X \to \mathbb{R} </tex>, <tex dpi=130> a </tex> — предельная точка <tex dpi=130> D </tex>, <tex dpi=130> f(x) \leqslant g(x) \leqslant h(x) </tex> для всех <tex dpi=130> x \in D \backslash {a}, \ A \in \overline{\mathbb{R}} </tex>, <tex dpi=130> f(x) \underset{x \to a}{\to} A, h(x) \underset{x \to a}{\to} A </tex>. Тогда и <tex dpi=130> g(x) \underset{x \to a}{\to} A </tex> </tex>.
}}

=== Теорема о пределе монотонной функции ===
{{Теорема
|about=о пределе монотонной функции
|statement=
Пусть <tex dpi=130> f: D \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \ a \in \left ( - \infty, + \infty \right ) , \ D_1 = D \cap \left ( - \infty, a \right ) </tex>, <tex dpi=130> a </tex> — предельная точка <tex dpi=130> D_1 </tex>. 
# Если <tex dpi=130> f </tex> возрастает и ограничена сверху на <tex dpi=130> D_1 </tex>, то существует конечный предел <tex dpi=130> f(a-) </tex>. 
# Если <tex dpi=130> f </tex> убывает и ограничена снизу на <tex dpi=130> D_1 </tex>, то существует конечный предел <tex dpi=130> f(a+) </tex>.
}}

=== Теорема о компактности в пространстве и в подпространстве ===
{{Теорема
|about=компактность в пространстве и подпространстве
|statement=
Пусть <tex dpi=130> \left ( R, \rho \right ) </tex> — метрическое пространство, <tex dpi=130> Y </tex> — подпространство <tex dpi=130> X </tex>, <tex dpi=130> K \subset Y </tex>. Тогда свойства компактности <tex dpi=130> K </tex> в <tex dpi=130> X </tex> и <tex dpi=130> Y </tex> равносильны.
}}

=== Простейшие свойства компактных множеств ===
{{Теорема
|about=свойства компактов
|statement=
Пусть <tex dpi=130> \left ( R, \rho \right ) </tex> — метрическое пространство, <tex dpi=130> K \subset X </tex>. 
# Если <tex dpi=130> K </tex> компактно, то <tex dpi=130> K </tex> замкнуто и ограничено. 
# Если <tex dpi=130> X </tex> компактно, а <tex dpi=130> K </tex> замкнуто, то <tex dpi=130> K </tex> компактно.
}}

=== Компактность замкнутого куба в R^m ===
{{Теорема
|about=компактность замкнутого куба в R^m
|statement=
Замкнутый куб в <tex dpi=130> \mathbb{R} ^m </tex> компактен.
}}

=== Теорема о характеристике компактов в R^m ===
{{Теорема
|about=характеристика компактов в R^m
|statement=
Пусть <tex dpi=130> K \subset \mathbb{R}^m </tex>. Тогда следующие утверждения равносильны: 
# <tex dpi=130> K </tex> замкнуто и ограничено. 
# <tex dpi=130> K </tex> компактно. 
# Из всякой последовательности точек <tex dpi=130> K </tex> можн извлечь подпоследовательность, имеющую предел, принадлежащий <tex dpi=130> K </tex>.
}}

=== Принцип выбора Больцано—Вейерштрасса ===
{{Теорема
|author=Больцано-Вейерштрасса
|about=принцип выбора
|statement=
Из всякой ограниченной последовательности в <tex dpi=130> \mathbb{R}^m </tex> можно извлечь сходящуюся подпоследовательность.
}}

=== Сходимость в себе и её свойства ===
{{Лемма
|about=свойства сходимости в себе
|statement=
Сходящаяся в себе последовательность ограничена. 
Если у сходящейся в себе последовательности есть сходящаяся подпоследовательность, то сама последовательность сходится.
}}

{{Теорема
|statement=
Во всяком метрическом пространстве любая сходящаяся последовательность сходится в себе. 
В <tex dpi=130> \mathbb{R}^m </tex> любая сходящаяся в себе последовательность сходится.
}}

=== Критерий Коши для отображений ===
{{Теорема
|author=Больцано-Коши
|about=критерий для отображений
|statement=
Пусть <tex dpi=130> X </tex> и <tex dpi=130> Y </tex> — метрические пространства, <tex dpi=130> Y </tex> полно, <tex dpi=130> f: D \subset X \to Y </tex>, <tex dpi=130> a </tex> — предельная точка <tex dpi=130> D </tex>. Тогда существование в точке <tex dpi=130> a </tex> предела <tex dpi=130> f </tex>, принадлежащего <tex dpi=130> Y </tex>, равносильно следующему утверждению: 
Для любого положительного числа <tex dpi=130> \varepsilon </tex> существует такая окрестность <tex dpi=130> V_a </tex> точки <tex dpi=130> a </tex>, что для любых двух точек <tex dpi=130> \bar{x} </tex> и <tex dpi=130> \bar{\bar{x}} </tex> множества <tex dpi=130> D </tex>, принадлежащих проколотой окрестности <tex dpi=130> V_a </tex>, выполняется неравенство <tex dpi=130> \rho_Y \left ( f(\bar{x}), f(\bar{\bar{x}} \right ) < \varepsilon </tex>: 
<tex dpi=130> \forall \varepsilon > 0 \ \exists V_a \forall \bar{x}, \bar{\bar{x}} \in V_a \cap D \ \rho_Y \left ( f(\bar{x}), f(\bar{\bar{x}} \right ) < \varepsilon </tex>
}}

=== Свойства непрерывных отображений: арифметические, стабилизация знака, композиция ===
{{Теорема
|about=арифметические действия над непрерывными отображениями
|statement=
Пусть <tex dpi=130> X </tex> — метрическое пространство, <tex dpi=130> Y </tex> — нормированное пространство, <tex dpi=130> D \subset X, \ x_0 \in D </tex>, отображения <tex dpi=130> f, g: D \to Y, \ \lambda: D \to \mathbb{R} \ \left ( \mathbb{C} \right ) </tex> непрерывны в точке <tex dpi=130> x_0 </tex>. Тогда отображения <tex dpi=130> f + g, \ f - g, \ \lambda f, \ \left \Vert f \right \Vert </tex> непрерывны в точке <tex dpi=130> x_0 </tex>.
}}

{{Теорема
|about=о стабилизации знака
|statement=
Если функция <tex dpi=130> g: D \to \mathbb{R} </tex> непрерывна в точке <tex dpi=130> x_0 </tex>, причём <tex dpi=130> g(x_0 ) \neq 0 </tex>, то существует такая окрестность <tex dpi=130> V_{x_0} </tex>, что <tex dpi=130> sign \ g(x) = sign \ g(x_0 ) </tex> для всех <tex dpi=130> x \in V_{x_0} \cap D </tex>.
}}

{{Теорема
|about=непрерывность композиции
|statement=
Пусть <tex dpi=130> X, Y, Z </tex> — метрические пространства, <tex dpi=130> F: D \subset X \to Y, \ g: E \subset Y \to Z, \ f(D) \in E </tex>, <tex dpi=130> f </tex> непрерывно в точке <tex dpi=130> x_0 \in D </tex>, <tex dpi=130> g </tex> непрерывно в точке <tex dpi=130> f(x_0) </tex>. Тогда <tex dpi=130> g \circ f </tex> непрерывно в точке <tex dpi=130> x_0 </tex>.
}}

=== Теорема о топологическом определении непрерывности ===
=== Теорема Вейерштрасса о непрерывном образе компакта. Следствия ===
{{Теорема
|author=Вейерштрасс
|about=о непрерывных отображениях
|statement=
Пусть <tex dpi=130> X </tex> и <tex dpi=130> Y </tex> — метрические пространства, <tex dpi=130> X </tex> компактно, <tex dpi=130> f \in G(X \to Y) </tex>. Тогда <tex dpi=130> f(X) </tex> компактно.
}}

Или: непрерывный образ компакта — компакт.

Следствия:
# Непрерывный образ компакта замкнут и ограничен
# Функция, непрерывная на отрезке, ограничена
# Непрерывная на компакте функция принимает наибольшее и наименьшее значение
# Функция, непрерывная на отрезке, принимает наибольшее и наименьшее значение

=== Теорема Кантора ===
{{Теорема
|author=Кантор
|statement=
Непрерывное на компакте отображение равномерно непрерывно.
}}

=== Лемма о связности отрезка. Теорема Больцано—Коши о промежуточном значении ===
{{Теорема
|author=Больцано-Коши
|about=о промежуточном значении
|statement=
Пусть функция <tex dpi=130> f </tex> непрерывна на <tex dpi=130> \left [ a, b \right ] </tex>. Тогда для любого числа <tex dpi=130> C </tex>, лежащего между <tex dpi=130> f(a) </tex> и <tex dpi=130> f(b) </tex>, найдётся такое <tex dpi=130> c \in \left [ a, b \right ] </tex>, что <tex dpi=130> f(c) = C </tex>.
}}

=== Теорема о сохранении промежутка ===
{{Теорема
|about=о сохранении промежутка
|statement=
Множество значений непрерывной на промежутке функции есть промежуток.
}}

=== Теорема о непрерывности монотонной функции. Следствие о множестве точек разрыва ===
{{Теорема
|about=о непрерывности монотонной функции
|statement=
Пусть <tex dpi=130> f: \left \langle a, b \right \rangle \to \mathbb{R} </tex>, <tex dpi=130> f </tex> монотонна. Тогда справедливы следующие утверждения: 
# <tex dpi=130> f </tex> не может иметь разрывов второго рода. 
# Непрерывность <tex dpi=130> f </tex> равносильна тому, что её множество значений — промежуток.
}}

=== Теорема о существовании и непрерывности обратной функции ===
{{Теорема
|about=о существовании и непрерывности обратной функции
|statement=
Пусть <tex dpi=130> f \in C \left ( \left \langle a, b \right \rangle \to \mathbb{R} \right ) </tex>, <tex dpi=130> f </tex> строго монотонна, <tex dpi=130> m = \underset{x \in \left \langle a, b \right \rangle}{\inf} f(x), \ M = \underset{x \in \left \langle a, b \right \rangle}{\sup} f(x) </tex>. Тогда справедливы следующие утверждения: 
# <tex dpi=130> f </tex> обратима, <tex dpi=130> f^{-1}: \left \langle m, M \right \rangle \to \left \langle a, b \right \rangle </tex> — биекция. 
# <tex dpi=130> f^{-1} </tex> строго монотонна одноимённо с <tex dpi=130> f </tex>. 
# <tex dpi=130> f^{-1} </tex> непрерывна.
}}

=== Две леммы к определению показательной функции ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex dpi=130> a > 0, \ \{ r_n \} </tex> — последовательность рациональных чисел, <tex dpi=130> r_n \to 0 </tex>. Тогда <tex dpi=130> a^{r_n} \to 1 </tex>.
}}

{{Лемма
|statement=
Пусть <tex dpi=130> a > 0, \ x \in \mathbb{R}, \ \{ r_n \} </tex> — последовательность рациональных чисел, <tex dpi=130> r_n \to x </tex>. Тогда существует конечный предел последовательности <tex dpi=130> \left \{ a^{r_n} \right \} </tex>.
}}

=== Свойства показательной функции: монотонность, экспонента суммы, непрерывность ===
{{Теорема
|statement=
Показательная функция строго возрастает на <tex dpi=130> \mathbb{R} </tex> при <tex dpi=130> a > 1 </tex> и строго убывает при <tex dpi=130> 0 < a < 1 </tex>. 
<tex dpi=130> a^{x + y} = a^x a^y </tex> 
Показательная функция непрерывна на <tex dpi=130> \mathbb{R} </tex>.
}}

=== Свойства показательной функции: композиция экспонент, обратимость. Логарифм. Его свойства. ===
{{Теорема
|statement=
<tex dpi=130> (a^x)^y = a^{xy} </tex> 
<tex dpi=130> (ab)^x = a^x b^x </tex> 
<tex dpi=130> показательная функция — биекция между <tex dpi=130> \mathbb{R} </tex> и <tex dpi=130> \left ( 0, + \infty \right ) </tex>
}}

{{Теорема
|statement=
<tex dpi=130> \log_a (x, y) = \log_a x + \log_a y \ (x, y > 0) </tex> 
<tex dpi=130> \log_a x^{\alpha} = \alpha \log_a x </tex> 
<tex dpi=180> \log_a x = {{\log_b x} \over {\log_b a}} </tex>
}}

=== Непрерывность тригонометрических функций и обратных к ним ===
{{Теорема
|statement=
<tex dpi=130> \sin, \ \cos, \ \tan, \ \cot </tex> и обратные к ним непрерывны на <tex dpi=130> \mathbb{R} </tex>.
}}

=== Замечательные пределы с участием синуса, логарифма, степенной и показательной функции ===
{{Теорема
|statement=
<tex dpi=130> \underset{x \to 0}{\lim} {{\sin x} \over {x}} = 1 </tex> 
<tex dpi=130> \underset{x \to \infty}{\lim} \left ( 1 + {{1} \over {x}} \right ) ^x = e </tex> 
<tex dpi=130> \underset{x \to 0}{\lim} {{\log_a (1 + x)} \over {x}} = {{1} \over {\ln a}}, \ a > 0, a \neq 1 </tex> 
<tex dpi=130> \underset{x \to 0}{\lim} {{(1 + x)^{\alpha} - 1} \over {x}} = \alpha, \ \alpha \in \mathbb{R} </tex> 
<tex dpi=130> \underset{x \to 0}{\lim} {{a^x - 1} \over {x}} = \ln a, \ a > 0 </tex>
}}

=== Теорема о замене на эквивалентную при вычислении пределов. Таблица эквивалентных ===
{{Теорема
|about=замена на эквивалентную при вычислении пределов
|statement=
Пусть <tex dpi=130> X </tex> — метрическое пространство, <tex dpi=130> f, \tilde{f}, g, \tilde{g}: D \subset X \to \mathbb{R} \ (\mathbb{C}) </tex>, <tex dpi=130> x_0 </tex> — предельная точка <tex dpi=130> D </tex>, <tex dpi=130> f(x) ~ \tilde{f}(x), g(x) ~ \tilde{g}(x), \ x \to x_0 </tex>. Тогда справедливы следующие утверждения:
# <tex dpi=130> \underset{x \to x_0}{\lim} f(x)g(x) = \underset{x \to x_0}{\lim} \tilde{f}(x) \tilde{g}(x) </tex> 
# Если <tex dpi=130> x_0 </tex> — предельная точка области определения <tex dpi=180> {{f} \over {g}} </tex>, то <tex dpi=180> \underset{x \to x_0}{\lim} {{f(x)} \over {g(x)}} = \underset{x \to x_0}{\lim} {{\tilde{f}(x)} \over {\tilde{g}(x)}} </tex>
}}

=== Теорема единственности асимптотического разложения ===
{{Теорема
|about=о единственности асимптотического разложения
|statement=
Пусть <tex dpi=130> X </tex> — метрическое пространство, <tex dpi=130> D \subset X </tex>, <tex dpi=130> x_0 </tex> — предельная точка <tex dpi=130> D </tex>, <tex dpi=130> n \in \mathbb{Z}_{+}, f, g_k: D \to \mathbb{R} \ (\mathbb{C}), k \in \left [ 0 : n \right ] </tex>, при всех <tex dpi=130> k \in \left [ 0: n - 1 \right ] \ g_{k + 1} (x) = o(g_k (x)), \ x \to x_0 </tex>, и для любой окрестности <tex dpi=130> V_{x_0} </tex> существует точка <tex dpi=130> t \in V_{x_0} \cap D </tex>, в которой <tex dpi=130> g_n (t) \neq 0 </tex>. Тогда, если асимптотическое разложение функции <tex dpi=130> f </tex> по системе <tex dpi=130> \{ g_k \} </tex> существует, то оно единственно: из равенств 
<tex dpi=130> f(x) = \underset{k=0}{\overset{n}{\sum}} c_k g_k (x) + o(g_n (x)), \ x \to x_0 </tex> 
<tex dpi=130> f(x) = \underset{k=0}{\overset{n}{\sum}} d_k g_k (x) + o(g_n (x)), \ x \to x_0 </tex> 
следует, что <tex dpi=130> c_k = d_k </tex> при всех <tex dpi=130> k \in \left [ 0 : n \right ] </tex>
}}

=== Равносильность двух определений производной. Правила дифференцирования. ===
{{Теорема
|statement=
Два определения производной равносильны.
}}

Правила: производные суммы-разности; произведения; частного; композиции <tex dpi=130> (g \circ f)' (x) = g'(f(x)) \cdot f'(x) </tex>; обратной функции <tex dpi=180> (f^{-1})'(f(x)) = {1 \over {f'(x)}} </tex>

=== Дифференцирование композиции и обратной функции ===
=== Теорема Ферма (с леммой) ===
=== Теорема Ролля ===
=== Теоремы Лагранжа и Коши. Следствия об оценке приращения и о пределе производной ===
=== Теорема Дарбу. Следствия ===
=== Формула Тейлора с остатком в форме Пеано ===
=== Формула Тейлора с остатком в форме Лагранжа ===

Участница:Katyatitkova/Матан

2013-11-15T15:45:43Z

87.248.240.170: /* Теорема о свойствах открытых множеств, внутренность множества */

== Определения ==
=== Упорядоченная пара ===
{{Определение
|definition=
'''Упорядоченная пара''' — двухэлементное семейство множеств, где множеством индексов является <tex dpi=130> \{ 1, 2 \} </tex>.
}}

=== Декартово произведение ===
{{Определение
|definition=
'''Декартовым''' или '''прямым произведением''' множеств <tex dpi=130> X </tex> и <tex dpi=130> Y </tex> называется множество всех упорядоченных пар, таких, что первый элемент пары принадлежит <tex dpi=130> X </tex>, а второй — <tex dpi=130> Y </tex>: 
<tex dpi=130> X \times Y = \{ (x, y): x \in X, y \in Y \} </tex>
}}

=== Операции над множествами ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> { \{ X_{\alpha} \} }_{ \alpha \in A } </tex> — семейство множеств. '''Объединением''' семейства <tex dpi=130> { \{ X_{\alpha} \} }_{ \alpha \in A } </tex> называется множество всех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств <tex dpi=130> X_{\alpha} </tex>: 
<tex dpi=130> \underset{\alpha \in A}{\bigcup} X_{\alpha} = \{ x: \exists \alpha \in A \ x \in X_{\alpha} \} </tex>
}}

{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> { \{ X_{\alpha} \} }_{ \alpha \in A } </tex> — семейство множеств. '''Пересечением''' семейства <tex dpi=130> { \{ X_{\alpha} \} }_{ \alpha \in A } </tex> называется множество всех элементов, которые принадлежат каждому из множеств <tex dpi=130> X_{\alpha} </tex>: 
<tex dpi=130> \underset{\alpha \in A}{\bigcap} X_{\alpha} = \{ x: \forall \alpha \in A \ x \in X_{\alpha} \} </tex>
}}

{{Определение
|definition=
'''Разностью''' множеств <tex dpi=130> X </tex> и <tex dpi=130> Y </tex> называется множество всех элементов, которые принадлежат <tex dpi=130> X </tex>, но не принадлежат <tex dpi=130> Y </tex>: 
<tex dpi=130> X \backslash Y = \{ x: x \in X, x \not\in Y \} </tex>
}}

{{Теорема
|author=Де Моргана
|about=законы
|statement=
Пусть <tex dpi=130> { \{ X_{\alpha} \} }_{ \alpha \in A } </tex> — семейство множеств, <tex dpi=130> Y </tex> — множество. Тогда 
# <tex dpi=130> Y \ \backslash \ \underset{\alpha \in A}{\bigcup} X_{\alpha} = \underset{\alpha \in A}{\bigcap} \left ( Y \ \backslash \ X_{\alpha} \right ) </tex> 
# <tex dpi=130> Y \ \backslash \ \underset{\alpha \in A}{\bigcap} X_{\alpha} = \underset{\alpha \in A}{\bigcup} \left ( Y \ \backslash \ X_{\alpha} \right ) </tex>
}}

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex dpi=130> { \{ X_{\alpha} \} }_{ \alpha \in A } </tex> — семейство множеств, <tex dpi=130> Y </tex> — множество. Тогда 
# <tex dpi=130> Y \cap \underset{\alpha \in A}{\bigcup} X_{\alpha} = \underset{\alpha \in A}{\bigcap} \left ( Y \cap X_{\alpha} \right ) </tex> 
# <tex dpi=130> Y \cup \underset{\alpha \in A}{\bigcap} X_{\alpha} = \underset{\alpha \in A}{\bigcup} \left ( Y \cup X_{\alpha} \right ) </tex>
}}

=== Пополненное множество вещественных чисел, операции и порядок в нем ===
{{Определение
|definition=
Множество <tex dpi=130> \overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{ - \infty, + \infty \} </tex> называется '''расширенной числовой прямой'''.
}}
* <tex dpi=130> - \infty < + \infty </tex>
* <tex dpi=130> + \infty \cdot \left ( + \infty \right ) = + \infty </tex>
* <tex dpi=130> + \infty \cdot \left ( - \infty \right ) = - \infty </tex>
* <tex dpi=130> - \infty \cdot \left ( - \infty \right ) = + \infty </tex>

Для <tex dpi=130> \forall x \in \mathbb{R} </tex>:

* <tex dpi=130> - \infty < x < + \infty </tex>
* <tex dpi=130> x + x = 2x </tex>
* <tex dpi=130> x + \infty = + \infty </tex>
* <tex dpi=130> x - \infty = - \infty </tex>
* <tex dpi=130> + \infty + \infty = + \infty </tex>
* <tex dpi=130> + \infty - \infty = \ :( </tex>
* <tex dpi=130> - \infty - \infty = - \infty </tex>

Для <tex dpi=130> \forall x > 0, x \in \mathbb{R} </tex>:

* <tex dpi=130> x \cdot x = x^2 </tex>
* <tex dpi=130> x \cdot \left ( + \infty \right ) = + \infty </tex>
* <tex dpi=130> x \cdot \left ( - \infty \right ) = - \infty </tex>

=== Подмножество в R, ограниченное сверху ===
{{Определение
|definition=
Множество <tex dpi=130> E \subset \mathbb{R} </tex> называется '''ограниченным сверху''', если существует такое число <tex dpi=130> M \in \mathbb{R} </tex>, что <tex dpi=130> x \leqslant M </tex> для всех <tex dpi=130> x \in E </tex>. Число <tex dpi=130> M </tex> называется '''верхней границей множества'''.
}}

{{Определение
|definition=
Множество <tex dpi=130> E \subset \mathbb{R} </tex> называется '''ограниченным снизу''', если существует такое число <tex dpi=130> m \in \mathbb{R} </tex>, что <tex dpi=130> x \geqslant m </tex> для всех <tex dpi=130> x \in E </tex>. Число <tex dpi=130> m </tex> называется '''нижней границей множества'''.
}}

{{Определение
|definition=
Множество <tex dpi=130> E \subset \mathbb{R} </tex> называется '''ограниченным''', если оно ограничено и сверху, и снизу.
}}

=== Максимальный элемент множества ===
{{Определение
|definition=
Число <tex dpi=130> M </tex> называется '''максимумом''' или '''наибольшим элементом''' множества <tex dpi=130> E \subset \mathbb{R} </tex>, если <tex dpi=130> M \in E </tex> и <tex dpi=130> x \leqslant M </tex> для всех <tex dpi=130> x \in E </tex>. Обозначается <tex dpi=130> \max E </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Число <tex dpi=130> m </tex> называется '''минимумом''' или '''наименьшим элементом''' множества <tex dpi=130> E \subset \mathbb{R} </tex>, если <tex dpi=130> m \in E </tex> и <tex dpi=130> x \geqslant m </tex> для всех <tex dpi=130> x \in E </tex>. Обозначается <tex dpi=130> \min E </tex>.
}}

=== Последовательность ===
{{Определение
|definition=
Отображение множества натуральных чисел <tex dpi=130> \mathbb{N} </tex> в множество <tex dpi=130> Y </tex> называется '''последовательностью''' в <tex dpi=130> Y </tex> Обозначается как <tex dpi=130> \{ x_n \} </tex>.
}}

=== Образ и прообраз множества при отображении ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> f: X \to Y, \ A \subset X </tex>. Множество <tex dpi=130> f(A) = \{ y \in Y: \exists x \in A \ f(x) = y \} </tex> называется '''образом''' множества <tex dpi=130> A </tex> при отображении <tex dpi=130> f </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> f: X \to Y, \ B \subset X </tex>. Множество <tex dpi=130> f^{-1}(B) = \{ x \in X: \ f(x) \in B \} </tex> называется '''прообразом''' множества <tex dpi=130> B </tex> при отображении <tex dpi=130> f </tex>.
}}

=== Инъекция, сюръекция, биекция ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> f: X \to Y </tex>. Если <tex dpi=130> f(X) = Y </tex>, то отображение <tex dpi=130> f </tex> называется '''сюръективным''', или '''сюръекцией''', или '''отображением "на"'''.
}}

Иными словами: <tex dpi=130> f(x) = y </tex> имеет хотя бы одно решение в <tex dpi=130> X </tex>.

{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> f: X \to Y </tex>. Если для любых различных элементов <tex dpi=130> X </tex> их образы различны, то отображение <tex dpi=130> f </tex> называется '''инъективным''', или '''инъекцией''', или '''обратимым''' отображением.
}}

Иными словами: <tex dpi=130> f(x) = y </tex> имеет не более одного решения в <tex dpi=130> X </tex>.

{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> f: X \to Y </tex>. Если отображение <tex dpi=130> f </tex> одновременно инъективно и суръективно, то оно называется '''биективным''', или '''биекцией''', или '''взаимно-однозначным''' отображением (соответствием).
}}

Иными словами: <tex dpi=130> f(x) = y </tex> имеет ровно одно решение в <tex dpi=130> X </tex>.

=== Целая часть числа ===
=== Законы де Моргана ===
=== Векторнозначаная функция ===
{{Определение
|definition=
'''Векторозначная функция (вектор-функция)''' — отображение <tex dpi=130> f </tex> из <tex dpi=130> X </tex> в <tex dpi=130> \mathbb{R} ^m </tex> или <tex dpi=130> \mathbb{C} ^m </tex>.
}}

=== Координатная функция ===
{{Определение
|definition=
Отображение <tex dpi=130> f_k </tex> из <tex dpi=130> X </tex> в <tex dpi=130> \mathbb{R} </tex> или <tex dpi=130> \mathbb{C} </tex>, которое каждому элементу <tex dpi=130> x </tex> сопоставляет число <tex dpi=130> f_k (x) </tex>, называют '''k-ой координатной функцией''' отображения <tex dpi=130> f \left ( k \in \left [ 1 \ : \ m \right ] \right ) </tex> и пишут <tex dpi=130> f = (f_1, ..., f_m) </tex>.
}}

=== График отображения ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> f: X \to Y </tex>. '''Графиком''' отображения <tex dpi=130> f </tex> называется множество 
<tex dpi=130> \Gamma_f = \{ \left ( x, y \right ) : x \in X, y = f(x) \} </tex>
}}

=== Композиция отображений ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> f: X \to Y </tex>, <tex dpi=130> g: Y_0 \ \to \ Z </tex>, <tex dpi=130> f(X) \subset Y_0 </tex>. Отображение <tex dpi=130> h: X \ \to \ Z </tex>, действующее по правилу 
<tex dpi=130> h(x) = g(f(x)), \ x \in X </tex> 
называется '''композицией''' или '''суперпозицией''' отображений <tex dpi=130> f </tex> и <tex dpi=130> g </tex>, а также '''сложным отображением''' и обозначается <tex dpi=130> f \circ g </tex>. При этом <tex dpi=130> g </tex> называется '''внешним''', а <tex dpi=130> f </tex> — '''внутренним отображением'''.
}}

=== Сужение и продолжение отображений ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> f: X \to Y </tex>, <tex dpi=130> X_0 \subset X </tex>. Отображение, которое каждому <tex dpi=130> x \in X_0 </tex> сопоставляет <tex dpi=130> f(x) </tex>, называется '''сужением''' отображения <tex dpi=130> f </tex> на множество <tex dpi=130> X_0 </tex> и обозначается <tex dpi=130> f | _{X_0} </tex>. Если отображение <tex dpi=130> g </tex> есть сужение отображения <tex dpi=130> f </tex>, то <tex dpi=130> f </tex> называется '''продолжением''', '''распространением''' или '''расширением''' <tex dpi=130> g </tex>.
}}

=== Предел последовательности (эпсилон-дельта определение) ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> \{ x_n \} _{n = 1} ^{\infty} </tex> — последовательность вещественных чисел. Число <tex dpi=130> a \in \mathbb{R} </tex> называют '''пределом последовательности''' <tex dpi=130> \{ x_n \} </tex> и пишут 
<tex dpi=130> \lim_{n \to \infty}x_n </tex> ,
если для любого положительного числа <tex dpi=130> \varepsilon </tex> существует такой положительный номер <tex dpi=130> N </tex>, что для всех номеров <tex dpi=130> n </tex>, больших <tex dpi=130> N </tex>, выполняется равенство <tex dpi=130> \left | x_n - a \right | < \varepsilon </tex>: 
<tex dpi=130> \forall \varepsilon > 0 \ \exists N \in \mathbb{N} \ \forall n \in \mathbb{N}: n > N \ \left | x_n - a \right | < \varepsilon </tex>
}}

{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> \left ( X, \rho \right ) </tex> — метрическое пространство, <tex dpi=130> \{ x_n \} _{n = 1} ^{\infty} </tex> — последовательность в <tex dpi=130> X </tex>. Точку <tex dpi=130> a \in X </tex> называют '''пределом последовательности''' <tex dpi=130> \{ x_n \} </tex> и пишут 
<tex dpi=130> \lim_{n \to \infty}x_n </tex>, 
если для любого положительного числа <tex dpi=130> \varepsilon </tex> существует такой номер <tex dpi=130> N </tex>, что для всех номеров <tex dpi=130> n </tex>, больших <tex dpi=130> N </tex>, выполняется равенство <tex dpi=130> \rho(x_n, a) < \varepsilon </tex>: 
<tex dpi=130> \forall \varepsilon > 0 \ \exists N \in \mathbb{N} \ \forall n \in \mathbb{N}: n > N \ \rho(x_n, a) < \varepsilon </tex>
}}

=== Предел последовательности (определение на языке окрестностей) ===
{{Определение
|definition=
Интервал <tex dpi=130> \left ( a - \varepsilon, a + \varepsilon \right ) </tex> называется <tex dpi=130> \varepsilon </tex>-'''окрестностью''' точки <tex dpi=130> a </tex> и обозначается <tex dpi=130> V_{\alpha} (\varepsilon) </tex> или <tex dpi=130> V_{\alpha} </tex>, если значение <tex dpi=130> \varepsilon </tex> несущественно.
}}

{{Определение
|definition=
Число <tex dpi=130> a </tex> называется '''пределом последовательности''' <tex dpi=130> \{ x_n \} </tex>, если для любой окрестности точки <tex dpi=130> a </tex> все члены последовательности, начиная с некоторого номера, принадлежат этой окрестности.
}}

=== Метрика, метрическое пространство, подпространство ===
{{Определение
|definition=
Функция <tex dpi=130> \rho: X \times X \to \mathbb{R}_{+} </tex> называется '''метрикой''' или '''расстоянием''' в множестве <tex dpi=130> X </tex>, если она удовлетворяет следующим условиям: 
# <tex dpi=130> \rho (x, y) = 0 \Longleftrightarrow x = y, \ x, y \in X </tex> 
# <tex dpi=130> \rho (x, y) = \rho (y, x), \ x, y \in X </tex> 
# <tex dpi=130> \rho (x, z) \leqslant \rho (x, y) + \rho (y, z), \ x, y, z \in X </tex> 
}}

{{Определение
|definition=
Пара <tex dpi=130> \left ( X, \rho \right ) </tex> — множество с метрикой в нём — называется '''метрическим пространством'''.
}}

{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> Y \subset X </tex>, <tex dpi=130> \rho </tex> — метрика в <tex dpi=130> X </tex>. Метрическое пространство <tex dpi=130> \left ( Y, \rho | _{Y \times Y} \right ) </tex> называется подпространством метрического пространства <tex dpi=130> \left ( X, \rho \right ) </tex>.
}}

=== Окрестность точки, проколотая окрестность, окрестности в R с чертой ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> \left ( X, \rho \right ) </tex> — метрическое пространство, <tex dpi=130> a \in X </tex>, <tex dpi=130> r > 0 </tex>. Множество 
<tex dpi=130> B(a, r) = \{ x \in X: \rho(x, a) < r \} </tex> 
называется '''открытым шаром''' радиуса <tex dpi=130> r </tex> с центром в точке <tex dpi=130> a </tex>, или '''окрестностью''' (<tex dpi=130> r </tex>-'''окрестностью''') точки <tex dpi=130> a </tex> и обозначается ещё <tex dpi=130> V_{a}(r) </tex> или <tex dpi=130> V_a </tex>, если значение <tex dpi=130> r </tex> несущественно. Множество 
<tex dpi=130> \bar{B}(a, r) = \{ x \in X: \rho(x, a) \leqslant r \} </tex> 
называется '''замкнутым шаром''', а множество 
<tex dpi=130> S(a, r) = \{ x \in X: \rho(x, a) = r \} </tex> 
— '''сферой''' радиуса <tex dpi=130> r </tex> с центром в точке <tex dpi=130> a </tex>.
}}

=== Векторное пространство ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> K </tex> — поле, <tex dpi=130> X </tex> — множество, и над элементами <tex dpi=130> X </tex> и <tex dpi=130> K </tex> определены две операции: сложение <tex dpi=130> X \times X \overset{+}{\to} X </tex> и умножение <tex dpi=130> K \times X \overset{\cdot}{\to} X </tex>, удовлетворяющие следующим условиям: 
# <tex dpi=130> (x + y) + z = x + (y + z), \ x, y, z \in X </tex> 
# <tex dpi=130> x + y = y + x, \ x, y \in X </tex> 
# <tex dpi=130> \exists \theta \in X \ \forall x \in X \ 0 \cdot x = \theta </tex> 
# <tex dpi=130> ( \lambda + \mu) x = \lambda x + \mu x, \ x \in X, \lambda, \mu \in K </tex> 
# <tex dpi=130> \lambda (x + y) = \lambda x + \lambda y, \ x, y \in X, \lambda \in K </tex> 
# <tex dpi=130> (\lambda \mu) \cdot x = \lambda \cdot (\mu x), \ \ x \in X, \lambda, \mu \in K </tex> 
# <tex dpi=130> 1 \cdot x = x, \ x \in X </tex> 
Тогда <tex dpi=130> X </tex> называется '''векторным пространством''' или '''линейным множеством''' над полем <tex dpi=130> K </tex>
}}

=== Норма ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> X </tex> — векторное пространство над <tex dpi=130> \mathbb{R} </tex> или <tex dpi=130> \mathbb{C} </tex>. '''Нормой''' в <tex dpi=130> X </tex> называется функция <tex dpi=130> p: X \to \mathbb{R}_{+} </tex>, удовлетворяющая следующим условиям: 
# Положительная определённость: <tex dpi=130> p(x) = 0 \Longleftrightarrow x = \theta </tex> 
# Положительная однородность: <tex dpi=130> p(\lambda x) = \left | \lambda \right | p(x) </tex> 
# Неравенство треугольника (полуаддитивность): <tex dpi=130> p(x + y) \leqslant p(x) + p(y) </tex>. 
Обозначается как <tex dpi=130> p(x) = \left \Vert x \right \Vert </tex>. Пара <tex dpi=130> \left ( X, \left \Vert \cdot \right \Vert \right ) </tex> называется '''нормированным пространством'''. Если функция <tex dpi=130> p: X \to \mathbb{R}_{+} </tex> удовлетворяет аксиомам 2 и 3, то <tex dpi=130> p </tex> называется '''полунормой'''.
}}

=== Скалярное произведение ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> X </tex> — векторное пространство над <tex dpi=130> \mathbb{R} </tex> или <tex dpi=130> \mathbb{C} </tex>. Функция <tex dpi=130> \varphi: X \times X \to \mathbb{R} </tex> (или <tex dpi=130> \mathbb{C} </tex> называется '''скалярным произведением''' в <tex dpi=130> X </tex> (обозначение: <tex dpi=130> \varphi (x, y) = \left ( x, y \right ) </tex>, если она удовлетворяет следующим свойствам: 
# Линейность по первому аргументу: для всех <tex dpi=130> x_1, x_2, y \in X </tex> и всех <tex dpi=130> \lambda, \mu \in \mathbb{R} </tex> (или <tex dpi=130> \mathbb{C} </tex>) <tex dpi=130> \left ( \lambda x_1 + \mu x_2, y \right ) = \lambda \cdot \left ( x_1, y \right ) + \mu \cdot \left ( x_2, y \right ) </tex> 
# Эрмитовская симметричность: <tex dpi=130> \left ( y, x \right ) = \bar{\left ( x, y \right )} </tex> (в вещественном случае черту можно опустить) 
# Положительная определённость: <tex dpi=130> \left ( x, x \right ) \geqslant 0; \ \left ( x, x \right ) = 0 \Longleftrightarrow x = \theta </tex>
}}

Свойства скалярного произведения:
# <tex dpi=130> \left ( x, y_1 + y_2 \right ) = \left ( x, y_1 \right ) + \left ( x, y_2 \right ) </tex>
# <tex dpi=130> \left ( x, \lambda y \right ) = \bar{\lambda} \left ( x, y \right ) </tex>
# <tex dpi=130> \left ( \theta, y \right ) = \left ( x, \theta \right ) = 0 </tex>

=== Последовательность, сходящаяся к бесконечности ===
{{Определение
|definition=
Последовательность, стремящаяся к бесконечности, называется '''бесконечно большой'''.
}}

=== Верхняя, нижняя границы; супремум, инфимум ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> E \subset \mathbb{R}, \ E \neq \varnothing </tex>, <tex dpi=130> E </tex> ограничено сверху. Наименьшая из верхних границ множества <tex dpi=130> E </tex> называется '''точной верхней границей''', или '''верхней гранью''', или '''супремумом''' множества <tex dpi=130> E </tex> и обозначается <tex dpi=130> \sup E </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> E \subset \mathbb{R}, \ E \neq \varnothing </tex>, <tex dpi=130> E </tex> ограничено снизу. Наибольшая из нижних границ множества <tex dpi=130> E </tex> называется '''точной нижней границей''', или '''нижней гранью''', или '''инфимумом''' множества <tex dpi=130> E </tex> и обозначается <tex dpi=130> \inf E </tex>.
}}

=== Функция ограниченная сверху, снизу ===
{{Определение
|definition=
Функция называется ограниченной (сверху, снизу) на множестве <tex dpi=130> D </tex>, если множество <tex dpi=130> f(D) </tex> ограничено (сверху, снизу).
}}

=== Строго и не строго монотонная функция ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> D \subset X \subset \mathbb{R} </tex>. Функция <tex dpi=130> f: X \to \mathbb{R} </tex> называется: 
'''возрастающей''' на множестве <tex dpi=130> D </tex>, если для любых <tex dpi=130> x_1, x_2 </tex> из <tex dpi=130> D </tex> таких, что <tex dpi=130> x_1 < x_2 </tex>, будет <tex dpi=130> f(x_1) \leqslant f(x_2) </tex>; 
'''строго возрастающей''' на множестве <tex dpi=130> D </tex>, если для любых <tex dpi=130> x_1, x_2 </tex> из <tex dpi=130> D </tex> таких, что <tex dpi=130> x_1 < x_2 </tex>, будет <tex dpi=130> f(x_1) < f(x_2) </tex>; 
'''убывающей''' на множестве <tex dpi=130> D </tex>, если для любых <tex dpi=130> x_1, x_2 </tex> из <tex dpi=130> D </tex> таких, что <tex dpi=130> x_1 < x_2 </tex>, будет <tex dpi=130> f(x_1) \leqslant f(x_2) </tex> 
'''строго убывающей''' на множестве <tex dpi=130> D </tex>, если для любых <tex dpi=130> x_1, x_2 </tex> из <tex dpi=130> D </tex> таких, что <tex dpi=130> x_1 < x_2 </tex>, будет <tex dpi=130> f(x_1) > f(x_2) </tex>.
}}

=== Внутренняя точка множества, открытое множество, внутренность ===
{{Определение
|definition=
Точка <tex dpi=130> a </tex> называется '''внутренней точкой''' множества <tex dpi=130> D </tex>, если существует окрестность точки <tex dpi=130> a </tex>, содержащаяся в <tex dpi=130> D </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Множество <tex dpi=130> D </tex> называется '''открытым''', если все его точки внутренние.
}}

{{Определение
|definition=
Множество всех внутренних точек множества <tex dpi=130> D </tex> называется '''внутренностью''' <tex dpi=130> D </tex> и обозначается <tex dpi=130> \overset{\circ}{D} </tex> или <tex dpi=130> Int D </tex>.
}}

=== Предельная точка множества ===
{{Определение
|definition=
Точка <tex dpi=130> a </tex> называется '''предельной точкой''' или '''точкой сгущения''' множества <tex dpi=130> D </tex>, если в любой окрестности точки <tex dpi=130> a </tex> найдётся точка множества <tex dpi=130> D </tex>, отличная от <tex dpi=130> a </tex>.
}}

=== Замкнутое множество, замыкание, граница ===
{{Определение
|definition=
Если точка <tex dpi=130> a </tex> принадлежит множеству <tex dpi=130> D </tex>, но не является его предельной точкой, то <tex dpi=130> a </tex> называется '''изолированной точкой''' множества <tex dpi=130> D </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Множество <tex dpi=130> D </tex> называется '''замкнутым''', если оно содержит все свои предельные точки.
}}

{{Определение
|definition=
Точка <tex dpi=130> a </tex> называется '''точкой прикосновения''' множества <tex dpi=130> D </tex>, если в любой окрестности точки <tex dpi=130> a </tex> найдётся точка множества <tex dpi=130> D </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Множество всех точек прикосновения множества <tex dpi=130> D </tex> называется '''замыканием''' <tex dpi=130> D </tex> и обозначается <tex dpi=130> \bar{D} </tex> или <tex dpi=130> Cl D </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Точка <tex dpi=130> a </tex> называется '''граничной точкой''' множества <tex dpi=130> D </tex>, если в любой окрестности <tex dpi=130> a </tex> найдётся как точка, принадлежащая <tex dpi=130> D </tex>, так и точка, не принадлежащая <tex dpi=130> D </tex>. Множество всех граничных точек множества <tex dpi=130> D </tex> называется '''границей''' <tex dpi=130> D </tex> и обозначается <tex dpi=130> Fr D </tex>.
}}

=== Верхний и нижний пределы ===
{{Определение
|definition=
Пусть последовательность <tex dpi=130> \{ x_n \} </tex> ограничена сверху. Величина <tex dpi=130> \overline{\underset{n \to \infty}{\lim}} = \underset{n \to \infty}{\lim} \underset{k \geqslant n}{\sup} x_k </tex> называется '''верхним пределом''' последовательности <tex dpi=130> \{ x_n \} </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Пусть последовательность <tex dpi=130> \{ x_n \} </tex> ограничена снизу. Величина <tex dpi=130> \underline{\underset{n \to \infty}{\lim}} = \underset{n \to \infty}{\lim} \underset{k \geqslant n}{\inf} x_k </tex> называется '''нижним пределом''' последовательности <tex dpi=130> \{ x_n \} </tex>.
}}

=== Частичный предел ===
{{Определение
|definition=
Точка <tex dpi=130> a </tex> называется '''частичным пределом''' последовательности <tex dpi=130> \{ x_n \} </tex>, если существует подпоследовательность <tex dpi=130> \{ x_{n_k} \} </tex>, стремящаяся к <tex dpi=130> a </tex>.
}}

=== Определения предела отображения (3 шт) ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> \left ( X, \rho_x \right ) </tex>, <tex dpi=130> \left ( Y, \rho_y \right ) </tex> — метрические пространства, <tex dpi=130> f: D \subset X \to Y </tex>, <tex dpi=130> a \in X </tex> — предельная точка <tex dpi=130> D </tex>, <tex dpi=130> A \in Y </tex>. Точку <tex dpi=130> A </tex> называют пределом отображения <tex dpi=130> f </tex> в точке <tex dpi=130> a </tex> и пишут <tex dpi=130> \underset{x \to a}{\lim} f(x) = F </tex>, если выполняется одно из следующих утверждений: 
* Определение на <tex dpi=130> \varepsilon </tex>-языке, или по Коши. 
Для любого положительного числа <tex dpi=130> \varepsilon </tex> существует такое положительное число <tex dpi=130> \delta </tex>, что для всех точек <tex dpi=130> x </tex> множества <tex dpi=130> D </tex>, отличных от <tex dpi=130> a </tex> и удовлетворяющих неравенству <tex dpi=130> \rho_X (x, a) < \delta </tex>, выполняется неравенство <tex dpi=130> \rho_Y (f(x), A) < \varepsilon </tex>: 
<tex dpi=130> \forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0 \ \forall x \in D \backslash \{ a \} : \ \rho_X (x, a) < \delta \ \rho_Y (f(x), A) < \varepsilon </tex>. 
* Определение на языке окрестностей. 
Для любой окрестности <tex dpi=130> V_A </tex> точки <tex dpi=130> A </tex> существует такая окрестность <tex dpi=130> V_a </tex> точки <tex dpi=130> a </tex>, что образ пересечения проколотой окрестности <tex dpi=130> V_a </tex> с множеством <tex dpi=130> D </tex> при отображении <tex dpi=130> f </tex> содержится в окрестности <tex dpi=130> V_A </tex>: 
<tex dpi=130> \forall V_A \ \exists V_a \ f(V_a \cap D) \subset V_A </tex>. 
* Определение на языке последовательностей, или по Гейне. 
Для любой последовательности <tex dpi=130> \{ x_n \} </tex> точек множества <tex dpi=130> D </tex>, отличных от <tex dpi=130> a </tex>, стремящейся к <tex dpi=130> a </tex>, последовательность <tex dpi=130> \{ f(x_{n}) \} </tex> стремится к <tex dpi=130> A </tex>: 
<tex dpi=130> \forall \{ x_n \} : \ x_n \in D \backslash \{ a \} , x_n \to a \ f(x_{n}) \to A </tex>.
}}

=== Предел по множеству ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> f: D \subset X \to Y, \ D_1 \subset D </tex>, <tex dpi=130> a </tex> — предельная точка <tex dpi=130> D_1 </tex>. Предел <tex dpi=130> \underset{x \to a}{\lim} f | _{D_1} (x) </tex> называется '''пределом''' отображения <tex dpi=130> f </tex> в точке <tex dpi=130> a </tex> '''по множеству''' <tex dpi=130> D_1 </tex>.
}}

=== Односторонние пределы ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> f: D \subset \mathbb{R} \to Y, \ a \in \mathbb{R} </tex>. 
# Если <tex dpi=130> a </tex> — предельная точка множества <tex dpi=130> D_1 = D \cap \left ( - \infty, a \right ) </tex>, то предел отображения <tex dpi=130> f </tex> в точке <tex dpi=130> a </tex> по множеству <tex dpi=130> D_1 </tex> называется '''левосторонним пределом''' отображения <tex dpi=130> f </tex> в точке <tex dpi=130> a </tex> и обозначается <tex dpi=130> \underset{x \to a-}{\lim} f(x) </tex> или <tex dpi=130> f(a-) </tex>. 
# Если <tex dpi=130> a </tex> — предельная точка множества <tex dpi=130> D_2 = D \cap \left ( a, + \infty \right ) </tex>, то предел отображения <tex dpi=130> f </tex> в точке <tex dpi=130> a </tex> по множеству <tex dpi=130> D_2 </tex> называется '''правосторонним пределом''' отображения <tex dpi=130> f </tex> в точке <tex dpi=130> a </tex> и обозначается <tex dpi=130> \underset{x \to a+}{\lim} f(x) </tex> или <tex dpi=130> f(a+) </tex>.
}}

=== Компактное множество ===
{{Определение
|definition=
Семейство множеств <tex dpi=130> \{ G_{\alpha} \} _{\alpha \in A} </tex> называется '''покрытием''' множества <tex dpi=130> K </tex>, если <tex dpi=130> K \subset \underset{\alpha \in A}{\bigcup} G_{\alpha} </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> \left ( X, \rho \right ) </tex> — метрическое пространство, <tex dpi=130> K \in X </tex>. Покрытие <tex dpi=130> \{ G_{\alpha} \} _{\alpha \in A} </tex> множества <tex dpi=130> K </tex> называется '''компактным''', если из любого открытого покрытия <tex dpi=130> K </tex> можно извлечь конечное подпокрытие
}}

=== Фундаментальная последовательность ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> \{ x_n \} _{n = 1} ^{\infty} </tex> — последовательность в метрическом пространстве <tex dpi=130> X </tex>. Говорят, что последовательность <tex dpi=130> \{ x_n \} </tex> '''сходится в себе''', если для любого положительного числа <tex dpi=130> \varepsilon </tex> существует такой номер <tex dpi=130> N </tex>, что для всех номеров <tex dpi=130> n </tex> и <tex dpi=130> l </tex>, больших <tex dpi=130> N </tex>, выполняется неравенство <tex dpi=130> \rho (x_n, x_l) < \varepsilon </tex>: 
<tex dpi=130> \forall \varepsilon > 0 \ \exists N \ \forall n, l > N \ \rho (x_n, x_l) < \varepsilon </tex> 
Сходящуюся в себе последовательность также называют '''последовательностью Коши''' или '''фундаментальной последовательностью'''.
}}

=== Полное метрическое пространство ===
{{Определение
|definition=
Пространство <tex dpi=130> \mathbb{R}^m </tex> полно <tex dpi=130> \Longleftrightarrow </tex> в <tex dpi=130> \mathbb{R}^m </tex> любая сходящаяся в себе последовательность сходится.
}}

=== Непрерывное отображение ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> \left ( X, \rho_X \right ) </tex> и <tex dpi=130> \left ( Y, \rho_Y \right ) </tex> — метрические пространства, <tex dpi=130> f: D \subset X \to Y, \ x_0 \in D </tex>. Отображение <tex dpi=130> f </tex> называется '''непрерывным''' в точке <tex dpi=130> x_0 </tex>, если выполняется одно из следующих утверждений: 
# Предел отображения <tex dpi=130> f </tex> в точке <tex dpi=130> x_0 </tex> существует и равен <tex dpi=130> f(x_0 ) </tex>. Это определение применимо, если <tex dpi=130> x_0 </tex> — предельная точка <tex dpi=130> D </tex>. 
# По Коши: для любого положительного числа <tex dpi=130> \varepsilon </tex> существует такое положительное число <tex dpi=130> \delta </tex>, что для всех точек <tex dpi=130> x </tex> множества <tex dpi=130> D </tex>, удовлетворяющих неравенству <tex dpi=130> \rho_X (x, x_0) < \delta </tex>, выполняется неравенство <tex dpi=130> \rho_Y (f(x), f(x_0)) < \varepsilon </tex>: <tex dpi=130> \forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0 \ \forall x \in D: \rho_X (x, x_0) < \delta \ \rho_Y (f(x), f(x_0)) < \varepsilon </tex>. 
# На языке окрестностей: для любой окрестности <tex dpi=130> V_{f(x_0)} </tex> точки <tex dpi=130> f(x_0) </tex> существует такая окрестность <tex dpi=130> V_{x_0} </tex> точки <tex dpi=130> x_0 </tex>, что образ пересечения окрестности <tex dpi=130> V_{x_0} </tex> с множеством <tex dpi=130> D </tex> содержится в окрестности <tex dpi=130> V_{f(x_0)} </tex>: <tex dpi=130> \forall V_{f(x_0)} \ \exists V_{x_0} \ f \left ( V_{x_0} \cap D \right ) \subset V_{f(x_0)} </tex>. 
# По Гейне: для любой последовательности <tex dpi=130> \left \{ x_n \right \} </tex> точек множества <tex dpi=130> D </tex>, стремящейся к <tex dpi=130> x_0 </tex>, последовательность <tex dpi=130> \left \{ f(x_n) \right \} </tex> стремится к <tex dpi=130> f(x_0) </tex>: <tex dpi=130> \forall \{ x_n \} : \ x_n \in D, x_n \to x_0 \ f(x_n) \to f(x_0) </tex>. 
# Бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение отображения: <tex dpi=130> \Delta y \underset{\Delta x \to \theta x}{\to} \theta_Y </tex>.
}}

=== Непрерывность слева ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> Y </tex> — метрическое пространство, <tex dpi=130> f: D \subset X \to Y, \ x_0 \in D </tex>. Если сужение отображения <tex dpi=130> f </tex> на множество <tex dpi=130> E_1 = D \cap \left ( - \infty, x_0 \right ] </tex> (<tex dpi=130> E_2 = D \cap \left [ x_0, + \infty \right ) )</tex> непрерывно в точке <tex dpi=130> x_0 </tex>, то говорят, что отображение <tex dpi=130> f </tex> '''непрерывно слева (справа)''' в точке <tex dpi=130> x_0 </tex>.
}}

=== Функция равномерно непрерывная на множестве ===
{{Определение
|definition=
Функция <tex dpi=130> f: D \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} </tex> называется '''равномерно непрерывной''' на множестве <tex dpi=130> D </tex>, если для любого положительного числа <tex dpi=130> \varepsilon </tex> существует такое положительное число <tex dpi=130> \delta </tex>, что для всех точек <tex dpi=130> \bar{x}, \bar{\bar{x}} </tex> множества <tex dpi=130> D </tex>, удовлетворяющих неравенству <tex dpi=130> \left | \bar{x} - \bar{\bar{x}} \right | < \delta </tex>, выполняется неравенство <tex dpi=130> \left | f(\bar{x}) - f(\bar{\bar{x}}) \right | < \varepsilon </tex>: 
<tex dpi=130> \forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0 \ \forall \bar{x}, \bar{\bar{x}} \in D: \left | \bar{x} - \bar{\bar{x}} \right | < \delta \ \left | f(\bar{x}) - f(\bar{\bar{x}}) \right | < \varepsilon </tex>.
}}

=== Степенная функция ===
<tex dpi=130> e_{\alpha} (x) = x^{\alpha} </tex>

=== Показательная функция ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> a > 0, x \in \mathbb{R} </tex>. Положим <tex dpi=130> a^x = \underset{r \to x}{\lim} a^r | _{\mathbb{Q}} </tex>. При <tex dpi=130> a > 0, \ a \neq 0 </tex> функция <tex dpi=130> a^x, \ x \in {\mathbb{R}} </tex> называется '''показательной функцией с основанием''' <tex> a </tex>.
}}

=== Логарифм ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> a > 0, a \neq 1 </tex>. Функция, обратная к показательной с основанием <tex dpi=130> a </tex>, называется '''логарифмом по основанию''' <tex dpi=130> a </tex>.
}}

=== О большое ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> X </tex> — метрическое пространство, <tex dpi=130> D \subset X, \ f, g: D \to \mathbb{R} \ (\mathbb{C}) </tex>, <tex dpi=130> x_0 </tex> — предельная точка <tex dpi=130> D </tex>. Если существует функция <tex dpi=130> \varphi: D \to \mathbb{R} \ (\mathbb{C}) </tex> и окрестность <tex dpi=130> V_{x_0} </tex> точки <tex dpi=130> x_0 </tex>, такие, что <tex dpi=130> f(x) = \varphi (x) g(x) </tex> для всех <tex dpi=130> x \in V_{x_0} \cap D </tex> и 
# <tex dpi=130> \varphi </tex> ограничена на <tex dpi=130> V_{x_0} \cap D </tex>, то говорят, что функция <tex dpi=130> f </tex> '''ограничена по сравнению с''' <tex dpi=130> g </tex> при <tex dpi=130> x \to x_0 </tex>, и пишут <tex dpi=130> f(x) = O(g(x)), \ x \to x_0 </tex>; 
# <tex dpi=130> \varphi (x) \to 0 </tex>, то говорят, что функция <tex dpi=130> f </tex> '''бесконечно малая по сравнению с''' <tex dpi=130> g </tex> при <tex dpi=130> x \to x_0 </tex>, и пишут <tex dpi=130> f(x) = o(g(x)), \ x \to x_0 </tex>; 
# <tex dpi=130> \varphi (x) \to 1 </tex>, то говорят, что функция <tex dpi=130> f </tex> '''эквивалентны''' или '''асимптотически равны''' при <tex dpi=130> x \to x_0 </tex>, и пишут <tex dpi=130> f(x) ~ g(x), \ x \to x_0 </tex>.
}}

=== О маленькое ===
=== Эквивалентные функции ===
=== Асимптотически равные функции ===
=== Асимптотическое разложение ===
=== Наклонная асимптота графика ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> \left \langle a, + \infty \right ) \subset D \subset \mathbb{R}, \ f: D \to \mathbb{R}, \ \alpha, \beta \in \mathbb{R} </tex>. Прямая <tex dpi=130> y = \alpha x + \beta </tex> называется '''наклонной асимптотой''' функции <tex dpi=130> f </tex> при <tex dpi=130> x \to + \infty </tex>, если 
<tex dpi=130> f(x) = \alpha x + \beta + o(1), \ x \to + \infty </tex>.
}}

=== Функция, дифференцируемая в точке ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> f: \left \langle a, b, \right \rangle \to \mathbb{R}, \ x_0 \in \left \langle a, b, \right \rangle </tex>. Если существует такое число <tex dpi=130> A \in \mathbb{R} </tex>, что <tex dpi=130> f(x) = f(x_0) + A(x - x_0) + o(x - x_0), \ x \to x_0 </tex>, то функция <tex dpi=130> f </tex> называется '''дифференцируемой''' в точке <tex dpi=130> x_0 </tex>. При этом число <tex dpi=130> A </tex> называется '''производной''' функции <tex dpi=130> f </tex> в точке <tex dpi=130> x_0 </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> f: \left \langle a, b, \right \rangle \to \mathbb{R}, \ x_0 \in \left \langle a, b, \right \rangle </tex>. Если существует предел <tex dpi=180> \underset{x \to x_0}{\lim} {{f(x) - f(x_0)} \over {x - x_0}} </tex>, равный числу <tex dpi=130> A \in \mathbb{R} </tex>, то функция <tex dpi=130> f </tex> называется '''дифференцируемой''' в точке <tex dpi=130> x_0 </tex>. При этом число <tex dpi=130> A </tex> называется '''производной''' функции <tex dpi=130> f </tex> в точке <tex dpi=130> x_0 </tex>.
}}

=== Производная ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> f: D \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} </tex>, <tex dpi=130> D_1 </tex> — множество дифференцируемости <tex dpi=130> f </tex> (множество всех точек <tex dpi=130> D </tex>, где функция дифференцируема). Функция <tex dpi=130> f': D_1 \to \mathbb{R} </tex>, которая каждому <tex dpi=130> x \in D_1 </tex> сопоставляет число <tex dpi=130> f'(x) </tex>, называется '''производной функцией''' функции <tex dpi=130> f </tex>.
}}

<tex dpi=180> f'(x_0) = \underset{x \to x_0}{\lim} {{f(x) - f(x_0)} \over {x - x_0}} </tex>

=== Левостороняя и правосторонняя производные ===
Правосторонняя: <tex dpi=180> f'_{+} (x_0) = \underset{x \to x_{0+}}{\lim} {{f(x) - f(x_0)} \over {x - x_0}} </tex>

Левосторонняя: <tex dpi=180> f'_{-} (x_0) = \underset{x \to x_{0-}}{\lim} {{f(x) - f(x_0)} \over {x - x_0}} </tex>

=== Производная n-го порядка ===
=== Многочлен Тейлора n-го порядка ===

== Теоремы ==
=== Аксиомы вещественных чисел ===
'''I. Аксиомы поля'''

В множестве <tex dpi=130> \mathbb{R} </tex> определены две операции, называемые сложением и умножением, действующие из <tex dpi=130> \mathbb{R} \times \mathbb{R} </tex> в <tex dpi=130> \mathbb{R} </tex> и удовлетворяющие следующим свойствам:

# Сочетательный закон (ассоциативность) сложения: <tex dpi=130> (x + y) + z = x + (y + z) </tex>
# Переместительный закон (коммутативность) сложения: <tex dpi=130> x + y = y + x </tex>
# Существует вещественное число нуль (<tex dpi=130> 0 </tex>, нейтральный элемент по сложению) такое, что <tex dpi=130> x + 0 = x </tex> для всех <tex dpi=130> x </tex>
# Для любого числа <tex dpi=130> x </tex> существует такое число <tex dpi=130> \tilde{x} </tex>, что <tex dpi=130> x + \tilde{x} = 0 </tex> (это число <tex dpi=130> \tilde{x} </tex> называется противоположным числу <tex dpi=130> x </tex> и обозначается <tex dpi=130> -x </tex>)
# Сочетательный закон (ассоциативность) умножения: <tex dpi=130> (xy)z = x(yz) </tex>
# Переместительный закон (коммутативность) умножения: <tex dpi=130> xy = yx </tex>
# Существует вещественное число единица (<tex dpi=130> 1 </tex>, нейтральный элемент по умножению), отличное от нуля, такое, что <tex dpi=130> x \cdot 1 = x </tex> для всех <tex dpi=130> x </tex>
# Для любого числа <tex dpi=130> x </tex> существует такое число <tex dpi=130> x' </tex>, что <tex dpi=130> x \cdot x' = 1 </tex> (это число <tex dpi=130> x' </tex> называется обратным числу <tex dpi=130> x </tex> и обозначается <tex dpi=130> x^{-1} </tex> или <tex dpi=130> {1 \over x}) </tex>
# Распределительный закон (дистрибутивность): <tex dpi=130> x(y + z) = xy + xz </tex>

'''II. Аксиомы порядка'''

Между элементами <tex dpi=130> \mathbb{R} </tex> определено отношение <tex dpi=130> \leqslant </tex> со следующими свойствами:

# Для любых <tex dpi=130> x, y </tex> верно <tex dpi=130> x \leqslant y </tex> или <tex dpi=130> y \leqslant x </tex>
# Транзитивность: если <tex dpi=130> x \leqslant y </tex> и <tex dpi=130> y \leqslant z </tex>, то <tex dpi=130> x \leqslant z </tex>
# Если <tex dpi=130> x \leqslant y </tex> и <tex dpi=130> y \leqslant x </tex>, то <tex dpi=130> x = y </tex>
# Если <tex dpi=130> x \leqslant y </tex>, то <tex dpi=130> x + z \leqslant y + z </tex> для любого <tex dpi=130> z </tex>
# Если <tex dpi=130> 0 \leqslant x </tex> и <tex dpi=130> 0 \leqslant y </tex>, то <tex dpi=130> 0 \leqslant xy </tex>

'''III. Аксиома Архимеда'''

{{Утверждение
|statement=
Каковы бы ни были положительные числа <tex dpi=130> x, y \in \mathbb{R} </tex>, существует натуральное число <tex dpi=130> n </tex> такое, что <tex dpi=130> nx > y </tex>
}}

'''IV. Аксиома Кантора о вложенных отрезках'''

{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex dpi=130> \{ \left [ a_n, b_n \right ] \} _{n = 1} ^{\infty} </tex> — последовательность вложенных отрезков, то есть 
<tex dpi=130> a_n \leqslant a_{n+1} < b_{n+1} \leqslant b_n </tex> для всех <tex dpi=130> n \in \mathbb{N} </tex>. 
Тогда существует точка, принадлежащая одновременно отрезкам <tex dpi=130> \left [ a_n, b_n \right ] </tex>, то есть 
<tex dpi=130> \overset{\infty}{\underset{n = 1}{\bigcap}} \left [ a_n, b_n \right ] \neq \varnothing </tex>
}}

=== Принцип математической индукции. Неравенство Бернулли ===
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex dpi=130> \{ \mathcal{P}_n \}_{n = 1} ^{\infty} </tex> — последовательность утверждений. Если <tex dpi=130> \mathcal{P}_1 </tex> верно и для любого <tex dpi=130> n \in \mathbb{N} </tex> из <tex dpi=130> \mathcal{P}_n </tex> следует <tex dpi=130> \mathcal{P}_{n + 1} </tex>, то <tex dpi=130> \mathcal{P}_n </tex> верно для всех <tex dpi=130> n \in \mathbb{N} </tex>.
}}

{{Теорема
|author=Бенулли
|about=неравенство
|statement=
light: <tex dpi=130> \forall x > -1, \forall n \in \mathbb{N} \left ( 1 + x \right ) ^n \geqslant 1 + nx </tex> 
hard: <tex dpi=130> \forall x > 0, \forall n \in \mathbb{N} \left ( 1 + x \right ) ^n \geqslant 1 + nx + {{n(n - 1)} \over 2}x^2 </tex>
}}

=== Аксиома Архимеда. Плотность множества рациональных чисел в R ===
{{Теорема
|about=плотность множества рациональных чисел
|statement=
Во всяком интервале есть рациональное число.
}}

=== Аксиома Кантора. Десятичная запись числа ===
=== Счетные множества. Счетность множества рациональных чисел ===
{{Определение
|definition=
Множества <tex dpi=130> A </tex> и <tex dpi=130> B </tex> называют '''эквивалентными''' или '''равномощными''' и пишут <tex dpi=130> A ~ B </tex>, если существует биекция <tex dpi=130> \phi: A \to B </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Множество называется '''счётным''', если оно эквивалентно множеству натуральных чисел.
}}

{{Теорема
|statement=
Всякое бесконечное множество содержит счётное подмножество.
}}

{{Теорема
|statement=
Всякое бесконечное подмножество счётного множества счётно.
}}

{{Определение
|definition=
Пустое, конечное или счётное множество называется '''не более чем счётным'''.
}}

{{Теорема
|statement=
Не более чем счётное объединение не более чем счётных множеств не более чем счётно.
}}

{{Теорема
|about=счётность множества рациональных чисел
|statement=
Множество рациональных чисел счётно.
}}

=== Несчетность отрезка ===
{{Теорема
|about=несчётность отрезка
|statement=
Отрезок <tex dpi=130> \left [ 0, 1 \right ] </tex> несчётен.
}}

{{Определение
|definition=
Если множество эквивалентно отрезку <tex dpi=130> \left [ 0, 1 \right ] </tex>, то говорят, что оно имеет '''мощность континуума'''.
}}

=== Несчетность множества бинарных последовательностей ===
=== Несчетность R^2 ===
=== Единственность предела и ограниченность сходящейся последовательности ===
{{Теорема
|about=единственность предела
|statement=
Последовательность в метрическом пространстве не может иметь более одного предела: если <tex dpi=130> x_n \to a </tex>, а <tex dpi=130> x_n \to b </tex>, то <tex dpi=130> a = b </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Подмножество <tex dpi=130> D </tex> метрического пространства <tex dpi=130> X </tex> называется '''ограниченным''', если оно содержится в некотором шаре: 
<tex dpi=130> \exists a \in X, R > 0 \ D \subset \bar{B}(a, R) </tex>.
}}

{{Теорема
|about=ограниченность сходящейся последовательности
|statement=
Сходящаяся последовательность ограничена.
}}

=== Теорема о сжатой последовательности ===
{{Теорема
|about=о сжатой последовательности
|statement=
Пусть <tex dpi=130> \{ x_n \} </tex>, <tex dpi=130> \{ y_n \} </tex> и <tex dpi=130> \{ z_n \} </tex> — вещественные последовательности, <tex dpi=130> x_n \leqslant y_n \leqslant z_n </tex> при всех <tex dpi=130> n \in \mathbb{N} </tex>, <tex dpi=130> a \in \mathbb{R} </tex>, <tex dpi=130> \lim x_n = \lim z_n = a </tex>. Тогда предел <tex dpi=130> \{ y_n \} </tex> существует и равен <tex dpi=130> a </tex>.
}}

=== Бесконечно малая последовательность ===
{{Определение
|definition=
Последовательность вещественных или комплексных чисел называется '''бесконечно малой''', если она стремится к нулю.
}}

{{Лемма
|statement=
Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную есть бесконечно малая: если <tex dpi=130> \{ x_n \} </tex> — бесконечно малая, а <tex dpi=130> \{ y_n \} </tex> — ограниченная, то <tex dpi=130> \{ x_{n} y_n \} </tex> — бесконечно малая.
}}

=== Теорема об арифметических свойствах предела ===
{{Теорема
|about=арифметические действия над сходящимися последовательностями в нормированном пространстве
|statement=
Пусть <tex dpi=130> \left ( X, \left \Vert \cdot \right \Vert \right ) </tex> — нормированное пространство, <tex dpi=130> \{ x_n \} </tex>, <tex dpi=130> \{ y_n \} </tex> — последовательности в <tex dpi=130> X </tex>, <tex dpi=130> \{ \lambda_n \} </tex> — числовая последовательность, <tex dpi=130> x_0, y_0 \in X, \ \lambda_0 \in \mathbb{R} </tex> (или <tex dpi=130> \mathbb{C} </tex>), <tex dpi=130> x_n \to x_0, \ y_n \to y_0, \ \lambda_n \to \lambda_0 </tex>. Тогда 
# <tex dpi=130> x_n + y_n \to x_0 + y_0 </tex> 
# <tex dpi=130> \lambda_n y_n \to \lambda_0 y_0 </tex> 
# <tex dpi=130> x_n - y_n \to x_0 - y_0 </tex> 
# <tex dpi=130> \left \Vert x_n \right \Vert \to \left \Vert x_0 \right \Vert </tex>
}}

{{Теорема
|about=арифметические действия над сходящимися числовыми последовательностями
|statement=
Пусть <tex dpi=130> \{ x_n \} </tex>, <tex dpi=130> \{ y_n \} </tex> — числовые последовательности, <tex dpi=130> x_0, y_0 \in \mathbb{R} </tex> (или <tex dpi=130> \mathbb{C} </tex>), <tex dpi=130> x_n \to x_0, \ y_n \to y_0 </tex>. Тогда 
# <tex dpi=130> x_n + y_n \to x_0 + y_0 </tex> 
# <tex dpi=130> x_n y_n \to x_0 y_0 </tex> 
# <tex dpi=130> x_n - y_n \to x_0 - y_0 </tex> 
# <tex dpi=130> \left | x_n \right | \to \left | x_0 \right | </tex> 
# Если, кроме того, <tex dpi=130> y_n \neq 0 </tex> при всех <tex dpi=130> n </tex> и <tex dpi=130> y_0 \neq 0 </tex>, то <tex dpi=180> {x_n \over y_n} \to {x_0 \over y_0} </tex>
}}

=== Неравенство Коши-Буняковского в линейном пространстве, норма, порожденная скалярным произведением ===
{{Теорема
|author=Коши-Буняковского-Шварца
|about=неравенство
|statement=
<tex dpi=130> \left | \left ( x, y, \right ) \right | ^2 \leqslant \left ( x, x \right ) \left ( y, y \right ) </tex>
}}

{{Теорема
|statement=
Функция <tex dpi=130> p(x) = sqrt{\left ( x, x \right )} </tex> — норма в <tex dpi=130> X </tex>.
}}

{{Теорема
|author=Коши-Буняковского
|about=неравенство
|statement=
<tex dvi=180> \left ( \underset{k = 1}{\overset{m}{\sum}} x_k y_k \right ) ^2 \leqslant \left ( \underset{k = 1}{\overset{m}{\sum}} {x_k}^2 \right ) \left ( \underset{k = 1}{\overset{m}{\sum}} {y_k}^2 \right ) </tex>
}}

=== Леммы о непрерывности скалярного произведения и покоординатной сходимости в R^n ===
{{Определение
|definition=
Говорят, что последовательность <tex dpi=130> \{ x^{(n)} \} </tex> точек в <tex dpi=130> \mathbb{R}^m </tex> '''сходится''' к пределу <tex dpi=130> x^{(0)} \in \mathbb{R}^m </tex> '''поокординатно''', если <tex dpi=130> x_j ^{(n)} \underset{n \to \infty}{\to} x_j ^{(0)} </tex> для всех <tex dpi=130> j \in [1 : m] </tex>.
}}

{{Лемма
|statement=
В <tex dpi=130> \mathbb{R}^m </tex> покоординатная сходимость и сходимость по евклидовой норме равносильны.
}}

=== Теорема об арифметических свойствах предела последовательности (в R с чертой). Неопределенности ===
{{Теорема
|about=арифметические действия с бесконечно большими
|statement=
Пусть <tex dpi=130> \{ x_n \} </tex>, <tex dpi=130> \{ y_n \} </tex> — числовые последовательности. 
# Если <tex dpi=130> x_n \to + \infty </tex>, <tex dpi=130> y_n </tex> ограничена снизу, то <tex dpi=130> x_n + y_n \to + \infty </tex>. 
# Если <tex dpi=130> x_n \to - \infty </tex>, <tex dpi=130> y_n </tex> ограничена сверху, то <tex dpi=130> x_n + y_n \to - \infty </tex>. 
# Если <tex dpi=130> x_n \to \infty </tex>, <tex dpi=130> y_n </tex> ограничена, то <tex dpi=130> x_n + y_n \to \infty </tex>. 
# Если <tex dpi=130> x_n \to \pm \infty </tex>, <tex dpi=130> y_n \geqslant b > 0 </tex> для всех <tex dpi=130> n </tex> (или <tex dpi=130> y_n \to b_1 > 0 </tex>), то <tex dpi=130> x_n y_n \to \pm \infty </tex>. 
# Если <tex dpi=130> x_n \to \pm \infty </tex>, <tex dpi=130> y_n \leqslant b < 0 </tex> для всех <tex dpi=130> n </tex> (или <tex dpi=130> y_n \to b_1 < 0 </tex>), то <tex dpi=130> x_n y_n \to \mp \infty </tex>. 
# Если <tex dpi=130> x_n \to \infty </tex>, <tex dpi=130> \left | y_n \right | \geqslant b > 0 </tex> для всех <tex dpi=130> n </tex> (или <tex dpi=130> y_n \to b_1 \neq 0 </tex>), то <tex dpi=130> x_n y_n \to \infty </tex>. 
# Если <tex dpi=130> x_n \to a \neq 0, \ y_n \to 0, \ y_n \neq 0 </tex> при всех <tex dpi=130> n </tex>, то <tex dvi=180> {{x_n} \over {y_n}} \to \infty </tex>. 
# Если <tex dpi=130> x_n \to a \in \mathbb{C}, \ y_n \to \infty </tex>, то <tex dvi=180> {{x_n} \over {y_n}} \to 0 </tex>. 
# Если <tex dpi=130> x_n \to \infty, \ y_n \to b \in \mathbb{C}, \ y_n \neq 0 </tex> при всех <tex dpi=130> n </tex>, то <tex dvi=180> {{x_n} \over {y_n}} \to \infty </tex>.
}}

Неопределённости:
* <tex dpi=130> x_n \to + \infty, \ y_n \to - \infty, \ x_n + y_n \to ? </tex>
* <tex dpi=130> x_n \to 0, \ y_n \to \infty, \ x_n y_n \to ? </tex>
* <tex dpi=130> x_n \to 0, \ y_n \to 0 </tex>, <tex dpi=180> {{x_n} \over {y_n}} \to ? </tex>
* <tex dpi=130> x_n \to \infty, \ y_n \to \infty </tex>, <tex dpi=180> {{x_n} \over {y_n}} \to ? </tex>

=== Теорема о стягивающихся отрезках ===
{{Определение
|definition=
Говорят, что <tex dpi=130> \{ \left [ a_n, b_n \right ] \} _{n = 1} ^ {\infty} </tex> — последовательность '''стягивающихся отрезков''', если <tex dpi=130> a_n \leqslant a_{n + 1} \leqslant b_{n + 1} \leqslant b_n <tex dpi=130> при всех <tex dpi=130> n </tex> и <tex dpi=130> b_n - a_n \to 0 </tex>.
}}

{{Теорема
|about=о стягивающихся отрезках
|statement=
Пусть <tex dpi=130> \{ \left [ a_n, b_n \right ] \} _{n = 1} ^ {\infty} </tex> — последовательность стягивающихся отрезков. Тогда пересечение всех отрезков <tex dpi=130> \left [ a_n, b_n \right ] </tex> состоит из одной точки, то есть 
<tex dpi=130> \exists c \in \mathbb{R}: \ \overset{n = 1}{\underset{\infty}{\bigcap}} \left [ a_n, b_n \right ] = \{ c \} </tex>, 
при этом <tex dpi=130> a_n \to c </tex> и <tex dpi=130> b_n \to c </tex>.
}}

=== Теорема о существовании супремума ===
{{Теорема
|about=о существовании супремума
|statement=
Всякое непустое ограниченное сверху (снизу) подмножество <tex dpi=130> \mathbb{R} </tex> имеет верхнюю (нижнюю) грань.
}}

=== Лемма о свойствах супремума ===
{{Утверждение
|statement=
Если <tex dpi=130> D \subset E \subset mathbb{R}, \ D \neq \varnothing </tex>, то <tex dpi=130> \sup D \leqslant \sup D <tex dpi=130>, а <tex dpi=130> \inf D \geqslant \inf E </tex>. 
Если <tex dpi=130> E, F \subset \mathbb{R}, t \in \mathbb{R}, \ E + F = \{ x + y: x \in E, y \in F \} </tex>, <tex dpi=130> \ -E = \{ -x: x \in E \}, \ tE = \{ tx: x \in E \} </tex>, то 
* <tex dpi=130> \sup (E + F) = \sup E + \sup F </tex> 
* <tex dpi=130> \sup (tE) = t \sup E </tex> 
* <tex dpi=130> \sup (-E) = - \inf E </tex> 
* <tex dpi=130> \inf (E + F) = \inf E + \inf F </tex> 
* <tex dpi=130> \inf (tE) = t \inf E </tex> 
* <tex dpi=130> \inf (-E) = - \sup E </tex>
}}

=== Теорема о пределе монотонной последовательности ===
{{Теорема
|about=о пределе монотонной последовательности
|statement=
Всякая возрастающая ограниченная сверху последовательность сходится. 
Всякая убывающая ограниченная снизу последовательность сходится. 
Всякая монотонная ограниченная последовательность сходится.
}}

=== Определение числа e, соответствующий замечательный предел ===
{{Определение
|definition=
Предел последовательности <tex dpi=130> \left \{ \left ( 1 + {1 \over n} \right ) ^n \right \} </tex> называют '''числом Непера''' или '''основанием натуральных логарифмов''' и обозначают буквой <tex dpi=130> e </tex>.
}}

=== Теорема о свойствах открытых множеств, внутренность множества ===

== Теорема о свойствах открытых множеств ==
1. Объединение любого семейства открытых множеств открыто. == ==
2. Пересечение конечного семейства открытых множеств открыто.

== Внутренность множества ==
Множество всех внутренних точек множества <math>D</math> называется внутренностью <math>D</math>.
Внутренность <math>D</math> есть: == ==
1) объединение всех открытых подмножеств <math>D</math>. == ==
2) максимальное по включению открытое подмножество <math>D</math>.

== Теорема о свойствах открытых множеств ==
1. Объединение любого семейства открытых множеств открыто.
2. Пересечение конечного семейства открытых множеств открыто.

== Внутренность множества ==
Множество всех внутренних точек множества <math>D</math> называется внутренностью <math>D</math>.
Внутренность <math>D</math> есть:
1) объединение всех открытых подмножеств <math>D</math>.
2) максимальное по включению открытое подмножество <math>D</math>.

=== Теорема о связи открытых и замкнутых множеств, свойства замкнутых множеств ===
=== Описание замкнутых и открытых множеств в подпространстве ===
=== Свойства верхнего и нижнего пределов ===
{{Теорема
|about=о верхнем и нижнем пределе
|statement=
Пусть <tex dpi=130> \{ x_n \} </tex> — вещественная последовательность. Тогда справедливы следующие утверждения: 
# Верхний предел — наибольший, а нижний — наименьший из частичных пределов <tex dpi=130> \{ x_n \} </tex>. 
# Предел <tex dpi=130> \{ x_n \} </tex> в <tex dpi=130> \overline{\mathbb{R}} </tex> существует тогда и только тогда, когда верхний и нижний пределы равны, при этом предел последовательности равен их общему значению.
}}

=== Техническое описание верхнего предела ===
=== Теорема о существовании предела в терминах верхнего и нижнего пределов ===
=== Теорема о характеризации верхнего предела как частичного ===
=== Эквивалентность определений Гейне и Коши ===
{{Теорема
|statement=
Определения предела отображения по Коши и по Гейне равносильны.
}}

=== Единственность предела, локальная ограниченность отображения, имеющего предел, теорема о стабилизации знака ===
{{Теорема
|about=единственность предела
|statement=
Отображение в данной точке не может иметь более одного предела: если <tex dpi=130> X </tex> и <tex dpi=130> Y </tex> — метрические пространства, <tex dpi=130> f: D \subset X \to Y </tex>, <tex dpi=130> a </tex> — предельная точка <tex dpi=130> D </tex>, <tex dpi=130> A, B \in Y, \ f(x) \underset{x \to a}{\to} A, \ f(x) \underset{x \to a}{\to} B </tex>, то <tex dpi=130> A = B </tex>.
}}

{{Теорема
|about=локальная ограниченность отображения, имеющего предел
|statement=
Пусть <tex dpi=130> X </tex> и <tex dpi=130> Y </tex> — метрические пространства, <tex dpi=130> f: D \subset X \to Y </tex>, <tex dpi=130> a </tex> — предельная точка <tex dpi=130> D </tex>, <tex dpi=130> A \in Y, \ f(x) \underset{x \to a}{\to} A </tex>. Тогда существует такая окрестность <tex dpi=130> V_a </tex> точки <tex dpi=130> a </tex>, что <tex dpi=130> f </tex> ограничено в <tex dpi=130> V_a \cap D </tex> (то есть <tex dpi=130> f(V_a \cap D </tex> содержится в некотором шаре пространства <tex dpi=130> Y </tex>.
}}

=== Арифметические свойства пределов ===
[уже было для последовательностей, то же самое]

=== Теорема о сжатой функции. Предельный переход в неравенстве ===
{{Теорема
|about=предельный переход в неравенстве для функици
|statement=
Пусть <tex dpi=130> X </tex> — метрическое пространство, <tex dpi=130> f, g: D \subset X \to \mathbb{R} </tex>, <tex dpi=130> a </tex> — предельная точка <tex dpi=130> D </tex>, <tex dpi=130> f(x) \leqslant g(x) </tex> для всех <tex dpi=130> x \in D \backslash {a}, \ A, B \in \overline{\mathbb{R}} </tex>, <tex dpi=130> f(x) \underset{x \to a}{\to} A, g(x) \underset{x \to a}{\to} B </tex>. Тогда <tex dpi=130> A \leqslant B </tex>.
}}

{{Теорема
|about=о сжатой функции
|statement=
Пусть <tex dpi=130> X </tex> — метрическое пространство, <tex dpi=130> f, g, h: D \subset X \to \mathbb{R} </tex>, <tex dpi=130> a </tex> — предельная точка <tex dpi=130> D </tex>, <tex dpi=130> f(x) \leqslant g(x) \leqslant h(x) </tex> для всех <tex dpi=130> x \in D \backslash {a}, \ A \in \overline{\mathbb{R}} </tex>, <tex dpi=130> f(x) \underset{x \to a}{\to} A, h(x) \underset{x \to a}{\to} A </tex>. Тогда и <tex dpi=130> g(x) \underset{x \to a}{\to} A </tex> </tex>.
}}

=== Теорема о пределе монотонной функции ===
{{Теорема
|about=о пределе монотонной функции
|statement=
Пусть <tex dpi=130> f: D \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \ a \in \left ( - \infty, + \infty \right ) , \ D_1 = D \cap \left ( - \infty, a \right ) </tex>, <tex dpi=130> a </tex> — предельная точка <tex dpi=130> D_1 </tex>. 
# Если <tex dpi=130> f </tex> возрастает и ограничена сверху на <tex dpi=130> D_1 </tex>, то существует конечный предел <tex dpi=130> f(a-) </tex>. 
# Если <tex dpi=130> f </tex> убывает и ограничена снизу на <tex dpi=130> D_1 </tex>, то существует конечный предел <tex dpi=130> f(a+) </tex>.
}}

=== Теорема о компактности в пространстве и в подпространстве ===
{{Теорема
|about=компактность в пространстве и подпространстве
|statement=
Пусть <tex dpi=130> \left ( R, \rho \right ) </tex> — метрическое пространство, <tex dpi=130> Y </tex> — подпространство <tex dpi=130> X </tex>, <tex dpi=130> K \subset Y </tex>. Тогда свойства компактности <tex dpi=130> K </tex> в <tex dpi=130> X </tex> и <tex dpi=130> Y </tex> равносильны.
}}

=== Простейшие свойства компактных множеств ===
{{Теорема
|about=свойства компактов
|statement=
Пусть <tex dpi=130> \left ( R, \rho \right ) </tex> — метрическое пространство, <tex dpi=130> K \subset X </tex>. 
# Если <tex dpi=130> K </tex> компактно, то <tex dpi=130> K </tex> замкнуто и ограничено. 
# Если <tex dpi=130> X </tex> компактно, а <tex dpi=130> K </tex> замкнуто, то <tex dpi=130> K </tex> компактно.
}}

=== Компактность замкнутого куба в R^m ===
{{Теорема
|about=компактность замкнутого куба в R^m
|statement=
Замкнутый куб в <tex dpi=130> \mathbb{R} ^m </tex> компактен.
}}

=== Теорема о характеристике компактов в R^m ===
{{Теорема
|about=характеристика компактов в R^m
|statement=
Пусть <tex dpi=130> K \subset \mathbb{R}^m </tex>. Тогда следующие утверждения равносильны: 
# <tex dpi=130> K </tex> замкнуто и ограничено. 
# <tex dpi=130> K </tex> компактно. 
# Из всякой последовательности точек <tex dpi=130> K </tex> можн извлечь подпоследовательность, имеющую предел, принадлежащий <tex dpi=130> K </tex>.
}}

=== Принцип выбора Больцано—Вейерштрасса ===
{{Теорема
|author=Больцано-Вейерштрасса
|about=принцип выбора
|statement=
Из всякой ограниченной последовательности в <tex dpi=130> \mathbb{R}^m </tex> можно извлечь сходящуюся подпоследовательность.
}}

=== Сходимость в себе и её свойства ===
{{Лемма
|about=свойства сходимости в себе
|statement=
Сходящаяся в себе последовательность ограничена. 
Если у сходящейся в себе последовательности есть сходящаяся подпоследовательность, то сама последовательность сходится.
}}

{{Теорема
|statement=
Во всяком метрическом пространстве любая сходящаяся последовательность сходится в себе. 
В <tex dpi=130> \mathbb{R}^m </tex> любая сходящаяся в себе последовательность сходится.
}}

=== Критерий Коши для отображений ===
{{Теорема
|author=Больцано-Коши
|about=критерий для отображений
|statement=
Пусть <tex dpi=130> X </tex> и <tex dpi=130> Y </tex> — метрические пространства, <tex dpi=130> Y </tex> полно, <tex dpi=130> f: D \subset X \to Y </tex>, <tex dpi=130> a </tex> — предельная точка <tex dpi=130> D </tex>. Тогда существование в точке <tex dpi=130> a </tex> предела <tex dpi=130> f </tex>, принадлежащего <tex dpi=130> Y </tex>, равносильно следующему утверждению: 
Для любого положительного числа <tex dpi=130> \varepsilon </tex> существует такая окрестность <tex dpi=130> V_a </tex> точки <tex dpi=130> a </tex>, что для любых двух точек <tex dpi=130> \bar{x} </tex> и <tex dpi=130> \bar{\bar{x}} </tex> множества <tex dpi=130> D </tex>, принадлежащих проколотой окрестности <tex dpi=130> V_a </tex>, выполняется неравенство <tex dpi=130> \rho_Y \left ( f(\bar{x}), f(\bar{\bar{x}} \right ) < \varepsilon </tex>: 
<tex dpi=130> \forall \varepsilon > 0 \ \exists V_a \forall \bar{x}, \bar{\bar{x}} \in V_a \cap D \ \rho_Y \left ( f(\bar{x}), f(\bar{\bar{x}} \right ) < \varepsilon </tex>
}}

=== Свойства непрерывных отображений: арифметические, стабилизация знака, композиция ===
{{Теорема
|about=арифметические действия над непрерывными отображениями
|statement=
Пусть <tex dpi=130> X </tex> — метрическое пространство, <tex dpi=130> Y </tex> — нормированное пространство, <tex dpi=130> D \subset X, \ x_0 \in D </tex>, отображения <tex dpi=130> f, g: D \to Y, \ \lambda: D \to \mathbb{R} \ \left ( \mathbb{C} \right ) </tex> непрерывны в точке <tex dpi=130> x_0 </tex>. Тогда отображения <tex dpi=130> f + g, \ f - g, \ \lambda f, \ \left \Vert f \right \Vert </tex> непрерывны в точке <tex dpi=130> x_0 </tex>.
}}

{{Теорема
|about=о стабилизации знака
|statement=
Если функция <tex dpi=130> g: D \to \mathbb{R} </tex> непрерывна в точке <tex dpi=130> x_0 </tex>, причём <tex dpi=130> g(x_0 ) \neq 0 </tex>, то существует такая окрестность <tex dpi=130> V_{x_0} </tex>, что <tex dpi=130> sign \ g(x) = sign \ g(x_0 ) </tex> для всех <tex dpi=130> x \in V_{x_0} \cap D </tex>.
}}

{{Теорема
|about=непрерывность композиции
|statement=
Пусть <tex dpi=130> X, Y, Z </tex> — метрические пространства, <tex dpi=130> F: D \subset X \to Y, \ g: E \subset Y \to Z, \ f(D) \in E </tex>, <tex dpi=130> f </tex> непрерывно в точке <tex dpi=130> x_0 \in D </tex>, <tex dpi=130> g </tex> непрерывно в точке <tex dpi=130> f(x_0) </tex>. Тогда <tex dpi=130> g \circ f </tex> непрерывно в точке <tex dpi=130> x_0 </tex>.
}}

=== Теорема о топологическом определении непрерывности ===
=== Теорема Вейерштрасса о непрерывном образе компакта. Следствия ===
{{Теорема
|author=Вейерштрасс
|about=о непрерывных отображениях
|statement=
Пусть <tex dpi=130> X </tex> и <tex dpi=130> Y </tex> — метрические пространства, <tex dpi=130> X </tex> компактно, <tex dpi=130> f \in G(X \to Y) </tex>. Тогда <tex dpi=130> f(X) </tex> компактно.
}}

Или: непрерывный образ компакта — компакт.

Следствия:
# Непрерывный образ компакта замкнут и ограничен
# Функция, непрерывная на отрезке, ограничена
# Непрерывная на компакте функция принимает наибольшее и наименьшее значение
# Функция, непрерывная на отрезке, принимает наибольшее и наименьшее значение

=== Теорема Кантора ===
{{Теорема
|author=Кантор
|statement=
Непрерывное на компакте отображение равномерно непрерывно.
}}

=== Лемма о связности отрезка. Теорема Больцано—Коши о промежуточном значении ===
{{Теорема
|author=Больцано-Коши
|about=о промежуточном значении
|statement=
Пусть функция <tex dpi=130> f </tex> непрерывна на <tex dpi=130> \left [ a, b \right ] </tex>. Тогда для любого числа <tex dpi=130> C </tex>, лежащего между <tex dpi=130> f(a) </tex> и <tex dpi=130> f(b) </tex>, найдётся такое <tex dpi=130> c \in \left [ a, b \right ] </tex>, что <tex dpi=130> f(c) = C </tex>.
}}

=== Теорема о сохранении промежутка ===
{{Теорема
|about=о сохранении промежутка
|statement=
Множество значений непрерывной на промежутке функции есть промежуток.
}}

=== Теорема о непрерывности монотонной функции. Следствие о множестве точек разрыва ===
{{Теорема
|about=о непрерывности монотонной функции
|statement=
Пусть <tex dpi=130> f: \left \langle a, b \right \rangle \to \mathbb{R} </tex>, <tex dpi=130> f </tex> монотонна. Тогда справедливы следующие утверждения: 
# <tex dpi=130> f </tex> не может иметь разрывов второго рода. 
# Непрерывность <tex dpi=130> f </tex> равносильна тому, что её множество значений — промежуток.
}}

=== Теорема о существовании и непрерывности обратной функции ===
{{Теорема
|about=о существовании и непрерывности обратной функции
|statement=
Пусть <tex dpi=130> f \in C \left ( \left \langle a, b \right \rangle \to \mathbb{R} \right ) </tex>, <tex dpi=130> f </tex> строго монотонна, <tex dpi=130> m = \underset{x \in \left \langle a, b \right \rangle}{\inf} f(x), \ M = \underset{x \in \left \langle a, b \right \rangle}{\sup} f(x) </tex>. Тогда справедливы следующие утверждения: 
# <tex dpi=130> f </tex> обратима, <tex dpi=130> f^{-1}: \left \langle m, M \right \rangle \to \left \langle a, b \right \rangle </tex> — биекция. 
# <tex dpi=130> f^{-1} </tex> строго монотонна одноимённо с <tex dpi=130> f </tex>. 
# <tex dpi=130> f^{-1} </tex> непрерывна.
}}

=== Две леммы к определению показательной функции ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex dpi=130> a > 0, \ \{ r_n \} </tex> — последовательность рациональных чисел, <tex dpi=130> r_n \to 0 </tex>. Тогда <tex dpi=130> a^{r_n} \to 1 </tex>.
}}

{{Лемма
|statement=
Пусть <tex dpi=130> a > 0, \ x \in \mathbb{R}, \ \{ r_n \} </tex> — последовательность рациональных чисел, <tex dpi=130> r_n \to x </tex>. Тогда существует конечный предел последовательности <tex dpi=130> \left \{ a^{r_n} \right \} </tex>.
}}

=== Свойства показательной функции: монотонность, экспонента суммы, непрерывность ===
{{Теорема
|statement=
Показательная функция строго возрастает на <tex dpi=130> \mathbb{R} </tex> при <tex dpi=130> a > 1 </tex> и строго убывает при <tex dpi=130> 0 < a < 1 </tex>. 
<tex dpi=130> a^{x + y} = a^x a^y </tex> 
Показательная функция непрерывна на <tex dpi=130> \mathbb{R} </tex>.
}}

=== Свойства показательной функции: композиция экспонент, обратимость. Логарифм. Его свойства. ===
{{Теорема
|statement=
<tex dpi=130> (a^x)^y = a^{xy} </tex> 
<tex dpi=130> (ab)^x = a^x b^x </tex> 
<tex dpi=130> показательная функция — биекция между <tex dpi=130> \mathbb{R} </tex> и <tex dpi=130> \left ( 0, + \infty \right ) </tex>
}}

{{Теорема
|statement=
<tex dpi=130> \log_a (x, y) = \log_a x + \log_a y \ (x, y > 0) </tex> 
<tex dpi=130> \log_a x^{\alpha} = \alpha \log_a x </tex> 
<tex dpi=180> \log_a x = {{\log_b x} \over {\log_b a}} </tex>
}}

=== Непрерывность тригонометрических функций и обратных к ним ===
{{Теорема
|statement=
<tex dpi=130> \sin, \ \cos, \ \tan, \ \cot </tex> и обратные к ним непрерывны на <tex dpi=130> \mathbb{R} </tex>.
}}

=== Замечательные пределы с участием синуса, логарифма, степенной и показательной функции ===
{{Теорема
|statement=
<tex dpi=130> \underset{x \to 0}{\lim} {{\sin x} \over {x}} = 1 </tex> 
<tex dpi=130> \underset{x \to \infty}{\lim} \left ( 1 + {{1} \over {x}} \right ) ^x = e </tex> 
<tex dpi=130> \underset{x \to 0}{\lim} {{\log_a (1 + x)} \over {x}} = {{1} \over {\ln a}}, \ a > 0, a \neq 1 </tex> 
<tex dpi=130> \underset{x \to 0}{\lim} {{(1 + x)^{\alpha} - 1} \over {x}} = \alpha, \ \alpha \in \mathbb{R} </tex> 
<tex dpi=130> \underset{x \to 0}{\lim} {{a^x - 1} \over {x}} = \ln a, \ a > 0 </tex>
}}

=== Теорема о замене на эквивалентную при вычислении пределов. Таблица эквивалентных ===
{{Теорема
|about=замена на эквивалентную при вычислении пределов
|statement=
Пусть <tex dpi=130> X </tex> — метрическое пространство, <tex dpi=130> f, \tilde{f}, g, \tilde{g}: D \subset X \to \mathbb{R} \ (\mathbb{C}) </tex>, <tex dpi=130> x_0 </tex> — предельная точка <tex dpi=130> D </tex>, <tex dpi=130> f(x) ~ \tilde{f}(x), g(x) ~ \tilde{g}(x), \ x \to x_0 </tex>. Тогда справедливы следующие утверждения:
# <tex dpi=130> \underset{x \to x_0}{\lim} f(x)g(x) = \underset{x \to x_0}{\lim} \tilde{f}(x) \tilde{g}(x) </tex> 
# Если <tex dpi=130> x_0 </tex> — предельная точка области определения <tex dpi=180> {{f} \over {g}} </tex>, то <tex dpi=180> \underset{x \to x_0}{\lim} {{f(x)} \over {g(x)}} = \underset{x \to x_0}{\lim} {{\tilde{f}(x)} \over {\tilde{g}(x)}} </tex>
}}

=== Теорема единственности асимптотического разложения ===
{{Теорема
|about=о единственности асимптотического разложения
|statement=
Пусть <tex dpi=130> X </tex> — метрическое пространство, <tex dpi=130> D \subset X </tex>, <tex dpi=130> x_0 </tex> — предельная точка <tex dpi=130> D </tex>, <tex dpi=130> n \in \mathbb{Z}_{+}, f, g_k: D \to \mathbb{R} \ (\mathbb{C}), k \in \left [ 0 : n \right ] </tex>, при всех <tex dpi=130> k \in \left [ 0: n - 1 \right ] \ g_{k + 1} (x) = o(g_k (x)), \ x \to x_0 </tex>, и для любой окрестности <tex dpi=130> V_{x_0} </tex> существует точка <tex dpi=130> t \in V_{x_0} \cap D </tex>, в которой <tex dpi=130> g_n (t) \neq 0 </tex>. Тогда, если асимптотическое разложение функции <tex dpi=130> f </tex> по системе <tex dpi=130> \{ g_k \} </tex> существует, то оно единственно: из равенств 
<tex dpi=130> f(x) = \underset{k=0}{\overset{n}{\sum}} c_k g_k (x) + o(g_n (x)), \ x \to x_0 </tex> 
<tex dpi=130> f(x) = \underset{k=0}{\overset{n}{\sum}} d_k g_k (x) + o(g_n (x)), \ x \to x_0 </tex> 
следует, что <tex dpi=130> c_k = d_k </tex> при всех <tex dpi=130> k \in \left [ 0 : n \right ] </tex>
}}

=== Равносильность двух определений производной. Правила дифференцирования. ===
{{Теорема
|statement=
Два определения производной равносильны.
}}

Правила: производные суммы-разности; произведения; частного; композиции <tex dpi=130> (g \circ f)' (x) = g'(f(x)) \cdot f'(x) </tex>; обратной функции <tex dpi=180> (f^{-1})'(f(x)) = {1 \over {f'(x)}} </tex>

=== Дифференцирование композиции и обратной функции ===
=== Теорема Ферма (с леммой) ===
=== Теорема Ролля ===
=== Теоремы Лагранжа и Коши. Следствия об оценке приращения и о пределе производной ===
=== Теорема Дарбу. Следствия ===
=== Формула Тейлора с остатком в форме Пеано ===
=== Формула Тейлора с остатком в форме Лагранжа ===

Участница:Katyatitkova/Матан

2013-11-15T15:43:13Z

87.248.240.170: /* Теорема о свойствах открытых множеств, внутренность множества */

== Определения ==
=== Упорядоченная пара ===
{{Определение
|definition=
'''Упорядоченная пара''' — двухэлементное семейство множеств, где множеством индексов является <tex dpi=130> \{ 1, 2 \} </tex>.
}}

=== Декартово произведение ===
{{Определение
|definition=
'''Декартовым''' или '''прямым произведением''' множеств <tex dpi=130> X </tex> и <tex dpi=130> Y </tex> называется множество всех упорядоченных пар, таких, что первый элемент пары принадлежит <tex dpi=130> X </tex>, а второй — <tex dpi=130> Y </tex>: 
<tex dpi=130> X \times Y = \{ (x, y): x \in X, y \in Y \} </tex>
}}

=== Операции над множествами ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> { \{ X_{\alpha} \} }_{ \alpha \in A } </tex> — семейство множеств. '''Объединением''' семейства <tex dpi=130> { \{ X_{\alpha} \} }_{ \alpha \in A } </tex> называется множество всех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств <tex dpi=130> X_{\alpha} </tex>: 
<tex dpi=130> \underset{\alpha \in A}{\bigcup} X_{\alpha} = \{ x: \exists \alpha \in A \ x \in X_{\alpha} \} </tex>
}}

{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> { \{ X_{\alpha} \} }_{ \alpha \in A } </tex> — семейство множеств. '''Пересечением''' семейства <tex dpi=130> { \{ X_{\alpha} \} }_{ \alpha \in A } </tex> называется множество всех элементов, которые принадлежат каждому из множеств <tex dpi=130> X_{\alpha} </tex>: 
<tex dpi=130> \underset{\alpha \in A}{\bigcap} X_{\alpha} = \{ x: \forall \alpha \in A \ x \in X_{\alpha} \} </tex>
}}

{{Определение
|definition=
'''Разностью''' множеств <tex dpi=130> X </tex> и <tex dpi=130> Y </tex> называется множество всех элементов, которые принадлежат <tex dpi=130> X </tex>, но не принадлежат <tex dpi=130> Y </tex>: 
<tex dpi=130> X \backslash Y = \{ x: x \in X, x \not\in Y \} </tex>
}}

{{Теорема
|author=Де Моргана
|about=законы
|statement=
Пусть <tex dpi=130> { \{ X_{\alpha} \} }_{ \alpha \in A } </tex> — семейство множеств, <tex dpi=130> Y </tex> — множество. Тогда 
# <tex dpi=130> Y \ \backslash \ \underset{\alpha \in A}{\bigcup} X_{\alpha} = \underset{\alpha \in A}{\bigcap} \left ( Y \ \backslash \ X_{\alpha} \right ) </tex> 
# <tex dpi=130> Y \ \backslash \ \underset{\alpha \in A}{\bigcap} X_{\alpha} = \underset{\alpha \in A}{\bigcup} \left ( Y \ \backslash \ X_{\alpha} \right ) </tex>
}}

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex dpi=130> { \{ X_{\alpha} \} }_{ \alpha \in A } </tex> — семейство множеств, <tex dpi=130> Y </tex> — множество. Тогда 
# <tex dpi=130> Y \cap \underset{\alpha \in A}{\bigcup} X_{\alpha} = \underset{\alpha \in A}{\bigcap} \left ( Y \cap X_{\alpha} \right ) </tex> 
# <tex dpi=130> Y \cup \underset{\alpha \in A}{\bigcap} X_{\alpha} = \underset{\alpha \in A}{\bigcup} \left ( Y \cup X_{\alpha} \right ) </tex>
}}

=== Пополненное множество вещественных чисел, операции и порядок в нем ===
{{Определение
|definition=
Множество <tex dpi=130> \overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{ - \infty, + \infty \} </tex> называется '''расширенной числовой прямой'''.
}}
* <tex dpi=130> - \infty < + \infty </tex>
* <tex dpi=130> + \infty \cdot \left ( + \infty \right ) = + \infty </tex>
* <tex dpi=130> + \infty \cdot \left ( - \infty \right ) = - \infty </tex>
* <tex dpi=130> - \infty \cdot \left ( - \infty \right ) = + \infty </tex>

Для <tex dpi=130> \forall x \in \mathbb{R} </tex>:

* <tex dpi=130> - \infty < x < + \infty </tex>
* <tex dpi=130> x + x = 2x </tex>
* <tex dpi=130> x + \infty = + \infty </tex>
* <tex dpi=130> x - \infty = - \infty </tex>
* <tex dpi=130> + \infty + \infty = + \infty </tex>
* <tex dpi=130> + \infty - \infty = \ :( </tex>
* <tex dpi=130> - \infty - \infty = - \infty </tex>

Для <tex dpi=130> \forall x > 0, x \in \mathbb{R} </tex>:

* <tex dpi=130> x \cdot x = x^2 </tex>
* <tex dpi=130> x \cdot \left ( + \infty \right ) = + \infty </tex>
* <tex dpi=130> x \cdot \left ( - \infty \right ) = - \infty </tex>

=== Подмножество в R, ограниченное сверху ===
{{Определение
|definition=
Множество <tex dpi=130> E \subset \mathbb{R} </tex> называется '''ограниченным сверху''', если существует такое число <tex dpi=130> M \in \mathbb{R} </tex>, что <tex dpi=130> x \leqslant M </tex> для всех <tex dpi=130> x \in E </tex>. Число <tex dpi=130> M </tex> называется '''верхней границей множества'''.
}}

{{Определение
|definition=
Множество <tex dpi=130> E \subset \mathbb{R} </tex> называется '''ограниченным снизу''', если существует такое число <tex dpi=130> m \in \mathbb{R} </tex>, что <tex dpi=130> x \geqslant m </tex> для всех <tex dpi=130> x \in E </tex>. Число <tex dpi=130> m </tex> называется '''нижней границей множества'''.
}}

{{Определение
|definition=
Множество <tex dpi=130> E \subset \mathbb{R} </tex> называется '''ограниченным''', если оно ограничено и сверху, и снизу.
}}

=== Максимальный элемент множества ===
{{Определение
|definition=
Число <tex dpi=130> M </tex> называется '''максимумом''' или '''наибольшим элементом''' множества <tex dpi=130> E \subset \mathbb{R} </tex>, если <tex dpi=130> M \in E </tex> и <tex dpi=130> x \leqslant M </tex> для всех <tex dpi=130> x \in E </tex>. Обозначается <tex dpi=130> \max E </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Число <tex dpi=130> m </tex> называется '''минимумом''' или '''наименьшим элементом''' множества <tex dpi=130> E \subset \mathbb{R} </tex>, если <tex dpi=130> m \in E </tex> и <tex dpi=130> x \geqslant m </tex> для всех <tex dpi=130> x \in E </tex>. Обозначается <tex dpi=130> \min E </tex>.
}}

=== Последовательность ===
{{Определение
|definition=
Отображение множества натуральных чисел <tex dpi=130> \mathbb{N} </tex> в множество <tex dpi=130> Y </tex> называется '''последовательностью''' в <tex dpi=130> Y </tex> Обозначается как <tex dpi=130> \{ x_n \} </tex>.
}}

=== Образ и прообраз множества при отображении ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> f: X \to Y, \ A \subset X </tex>. Множество <tex dpi=130> f(A) = \{ y \in Y: \exists x \in A \ f(x) = y \} </tex> называется '''образом''' множества <tex dpi=130> A </tex> при отображении <tex dpi=130> f </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> f: X \to Y, \ B \subset X </tex>. Множество <tex dpi=130> f^{-1}(B) = \{ x \in X: \ f(x) \in B \} </tex> называется '''прообразом''' множества <tex dpi=130> B </tex> при отображении <tex dpi=130> f </tex>.
}}

=== Инъекция, сюръекция, биекция ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> f: X \to Y </tex>. Если <tex dpi=130> f(X) = Y </tex>, то отображение <tex dpi=130> f </tex> называется '''сюръективным''', или '''сюръекцией''', или '''отображением "на"'''.
}}

Иными словами: <tex dpi=130> f(x) = y </tex> имеет хотя бы одно решение в <tex dpi=130> X </tex>.

{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> f: X \to Y </tex>. Если для любых различных элементов <tex dpi=130> X </tex> их образы различны, то отображение <tex dpi=130> f </tex> называется '''инъективным''', или '''инъекцией''', или '''обратимым''' отображением.
}}

Иными словами: <tex dpi=130> f(x) = y </tex> имеет не более одного решения в <tex dpi=130> X </tex>.

{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> f: X \to Y </tex>. Если отображение <tex dpi=130> f </tex> одновременно инъективно и суръективно, то оно называется '''биективным''', или '''биекцией''', или '''взаимно-однозначным''' отображением (соответствием).
}}

Иными словами: <tex dpi=130> f(x) = y </tex> имеет ровно одно решение в <tex dpi=130> X </tex>.

=== Целая часть числа ===
=== Законы де Моргана ===
=== Векторнозначаная функция ===
{{Определение
|definition=
'''Векторозначная функция (вектор-функция)''' — отображение <tex dpi=130> f </tex> из <tex dpi=130> X </tex> в <tex dpi=130> \mathbb{R} ^m </tex> или <tex dpi=130> \mathbb{C} ^m </tex>.
}}

=== Координатная функция ===
{{Определение
|definition=
Отображение <tex dpi=130> f_k </tex> из <tex dpi=130> X </tex> в <tex dpi=130> \mathbb{R} </tex> или <tex dpi=130> \mathbb{C} </tex>, которое каждому элементу <tex dpi=130> x </tex> сопоставляет число <tex dpi=130> f_k (x) </tex>, называют '''k-ой координатной функцией''' отображения <tex dpi=130> f \left ( k \in \left [ 1 \ : \ m \right ] \right ) </tex> и пишут <tex dpi=130> f = (f_1, ..., f_m) </tex>.
}}

=== График отображения ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> f: X \to Y </tex>. '''Графиком''' отображения <tex dpi=130> f </tex> называется множество 
<tex dpi=130> \Gamma_f = \{ \left ( x, y \right ) : x \in X, y = f(x) \} </tex>
}}

=== Композиция отображений ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> f: X \to Y </tex>, <tex dpi=130> g: Y_0 \ \to \ Z </tex>, <tex dpi=130> f(X) \subset Y_0 </tex>. Отображение <tex dpi=130> h: X \ \to \ Z </tex>, действующее по правилу 
<tex dpi=130> h(x) = g(f(x)), \ x \in X </tex> 
называется '''композицией''' или '''суперпозицией''' отображений <tex dpi=130> f </tex> и <tex dpi=130> g </tex>, а также '''сложным отображением''' и обозначается <tex dpi=130> f \circ g </tex>. При этом <tex dpi=130> g </tex> называется '''внешним''', а <tex dpi=130> f </tex> — '''внутренним отображением'''.
}}

=== Сужение и продолжение отображений ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> f: X \to Y </tex>, <tex dpi=130> X_0 \subset X </tex>. Отображение, которое каждому <tex dpi=130> x \in X_0 </tex> сопоставляет <tex dpi=130> f(x) </tex>, называется '''сужением''' отображения <tex dpi=130> f </tex> на множество <tex dpi=130> X_0 </tex> и обозначается <tex dpi=130> f | _{X_0} </tex>. Если отображение <tex dpi=130> g </tex> есть сужение отображения <tex dpi=130> f </tex>, то <tex dpi=130> f </tex> называется '''продолжением''', '''распространением''' или '''расширением''' <tex dpi=130> g </tex>.
}}

=== Предел последовательности (эпсилон-дельта определение) ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> \{ x_n \} _{n = 1} ^{\infty} </tex> — последовательность вещественных чисел. Число <tex dpi=130> a \in \mathbb{R} </tex> называют '''пределом последовательности''' <tex dpi=130> \{ x_n \} </tex> и пишут 
<tex dpi=130> \lim_{n \to \infty}x_n </tex> ,
если для любого положительного числа <tex dpi=130> \varepsilon </tex> существует такой положительный номер <tex dpi=130> N </tex>, что для всех номеров <tex dpi=130> n </tex>, больших <tex dpi=130> N </tex>, выполняется равенство <tex dpi=130> \left | x_n - a \right | < \varepsilon </tex>: 
<tex dpi=130> \forall \varepsilon > 0 \ \exists N \in \mathbb{N} \ \forall n \in \mathbb{N}: n > N \ \left | x_n - a \right | < \varepsilon </tex>
}}

{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> \left ( X, \rho \right ) </tex> — метрическое пространство, <tex dpi=130> \{ x_n \} _{n = 1} ^{\infty} </tex> — последовательность в <tex dpi=130> X </tex>. Точку <tex dpi=130> a \in X </tex> называют '''пределом последовательности''' <tex dpi=130> \{ x_n \} </tex> и пишут 
<tex dpi=130> \lim_{n \to \infty}x_n </tex>, 
если для любого положительного числа <tex dpi=130> \varepsilon </tex> существует такой номер <tex dpi=130> N </tex>, что для всех номеров <tex dpi=130> n </tex>, больших <tex dpi=130> N </tex>, выполняется равенство <tex dpi=130> \rho(x_n, a) < \varepsilon </tex>: 
<tex dpi=130> \forall \varepsilon > 0 \ \exists N \in \mathbb{N} \ \forall n \in \mathbb{N}: n > N \ \rho(x_n, a) < \varepsilon </tex>
}}

=== Предел последовательности (определение на языке окрестностей) ===
{{Определение
|definition=
Интервал <tex dpi=130> \left ( a - \varepsilon, a + \varepsilon \right ) </tex> называется <tex dpi=130> \varepsilon </tex>-'''окрестностью''' точки <tex dpi=130> a </tex> и обозначается <tex dpi=130> V_{\alpha} (\varepsilon) </tex> или <tex dpi=130> V_{\alpha} </tex>, если значение <tex dpi=130> \varepsilon </tex> несущественно.
}}

{{Определение
|definition=
Число <tex dpi=130> a </tex> называется '''пределом последовательности''' <tex dpi=130> \{ x_n \} </tex>, если для любой окрестности точки <tex dpi=130> a </tex> все члены последовательности, начиная с некоторого номера, принадлежат этой окрестности.
}}

=== Метрика, метрическое пространство, подпространство ===
{{Определение
|definition=
Функция <tex dpi=130> \rho: X \times X \to \mathbb{R}_{+} </tex> называется '''метрикой''' или '''расстоянием''' в множестве <tex dpi=130> X </tex>, если она удовлетворяет следующим условиям: 
# <tex dpi=130> \rho (x, y) = 0 \Longleftrightarrow x = y, \ x, y \in X </tex> 
# <tex dpi=130> \rho (x, y) = \rho (y, x), \ x, y \in X </tex> 
# <tex dpi=130> \rho (x, z) \leqslant \rho (x, y) + \rho (y, z), \ x, y, z \in X </tex> 
}}

{{Определение
|definition=
Пара <tex dpi=130> \left ( X, \rho \right ) </tex> — множество с метрикой в нём — называется '''метрическим пространством'''.
}}

{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> Y \subset X </tex>, <tex dpi=130> \rho </tex> — метрика в <tex dpi=130> X </tex>. Метрическое пространство <tex dpi=130> \left ( Y, \rho | _{Y \times Y} \right ) </tex> называется подпространством метрического пространства <tex dpi=130> \left ( X, \rho \right ) </tex>.
}}

=== Окрестность точки, проколотая окрестность, окрестности в R с чертой ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> \left ( X, \rho \right ) </tex> — метрическое пространство, <tex dpi=130> a \in X </tex>, <tex dpi=130> r > 0 </tex>. Множество 
<tex dpi=130> B(a, r) = \{ x \in X: \rho(x, a) < r \} </tex> 
называется '''открытым шаром''' радиуса <tex dpi=130> r </tex> с центром в точке <tex dpi=130> a </tex>, или '''окрестностью''' (<tex dpi=130> r </tex>-'''окрестностью''') точки <tex dpi=130> a </tex> и обозначается ещё <tex dpi=130> V_{a}(r) </tex> или <tex dpi=130> V_a </tex>, если значение <tex dpi=130> r </tex> несущественно. Множество 
<tex dpi=130> \bar{B}(a, r) = \{ x \in X: \rho(x, a) \leqslant r \} </tex> 
называется '''замкнутым шаром''', а множество 
<tex dpi=130> S(a, r) = \{ x \in X: \rho(x, a) = r \} </tex> 
— '''сферой''' радиуса <tex dpi=130> r </tex> с центром в точке <tex dpi=130> a </tex>.
}}

=== Векторное пространство ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> K </tex> — поле, <tex dpi=130> X </tex> — множество, и над элементами <tex dpi=130> X </tex> и <tex dpi=130> K </tex> определены две операции: сложение <tex dpi=130> X \times X \overset{+}{\to} X </tex> и умножение <tex dpi=130> K \times X \overset{\cdot}{\to} X </tex>, удовлетворяющие следующим условиям: 
# <tex dpi=130> (x + y) + z = x + (y + z), \ x, y, z \in X </tex> 
# <tex dpi=130> x + y = y + x, \ x, y \in X </tex> 
# <tex dpi=130> \exists \theta \in X \ \forall x \in X \ 0 \cdot x = \theta </tex> 
# <tex dpi=130> ( \lambda + \mu) x = \lambda x + \mu x, \ x \in X, \lambda, \mu \in K </tex> 
# <tex dpi=130> \lambda (x + y) = \lambda x + \lambda y, \ x, y \in X, \lambda \in K </tex> 
# <tex dpi=130> (\lambda \mu) \cdot x = \lambda \cdot (\mu x), \ \ x \in X, \lambda, \mu \in K </tex> 
# <tex dpi=130> 1 \cdot x = x, \ x \in X </tex> 
Тогда <tex dpi=130> X </tex> называется '''векторным пространством''' или '''линейным множеством''' над полем <tex dpi=130> K </tex>
}}

=== Норма ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> X </tex> — векторное пространство над <tex dpi=130> \mathbb{R} </tex> или <tex dpi=130> \mathbb{C} </tex>. '''Нормой''' в <tex dpi=130> X </tex> называется функция <tex dpi=130> p: X \to \mathbb{R}_{+} </tex>, удовлетворяющая следующим условиям: 
# Положительная определённость: <tex dpi=130> p(x) = 0 \Longleftrightarrow x = \theta </tex> 
# Положительная однородность: <tex dpi=130> p(\lambda x) = \left | \lambda \right | p(x) </tex> 
# Неравенство треугольника (полуаддитивность): <tex dpi=130> p(x + y) \leqslant p(x) + p(y) </tex>. 
Обозначается как <tex dpi=130> p(x) = \left \Vert x \right \Vert </tex>. Пара <tex dpi=130> \left ( X, \left \Vert \cdot \right \Vert \right ) </tex> называется '''нормированным пространством'''. Если функция <tex dpi=130> p: X \to \mathbb{R}_{+} </tex> удовлетворяет аксиомам 2 и 3, то <tex dpi=130> p </tex> называется '''полунормой'''.
}}

=== Скалярное произведение ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> X </tex> — векторное пространство над <tex dpi=130> \mathbb{R} </tex> или <tex dpi=130> \mathbb{C} </tex>. Функция <tex dpi=130> \varphi: X \times X \to \mathbb{R} </tex> (или <tex dpi=130> \mathbb{C} </tex> называется '''скалярным произведением''' в <tex dpi=130> X </tex> (обозначение: <tex dpi=130> \varphi (x, y) = \left ( x, y \right ) </tex>, если она удовлетворяет следующим свойствам: 
# Линейность по первому аргументу: для всех <tex dpi=130> x_1, x_2, y \in X </tex> и всех <tex dpi=130> \lambda, \mu \in \mathbb{R} </tex> (или <tex dpi=130> \mathbb{C} </tex>) <tex dpi=130> \left ( \lambda x_1 + \mu x_2, y \right ) = \lambda \cdot \left ( x_1, y \right ) + \mu \cdot \left ( x_2, y \right ) </tex> 
# Эрмитовская симметричность: <tex dpi=130> \left ( y, x \right ) = \bar{\left ( x, y \right )} </tex> (в вещественном случае черту можно опустить) 
# Положительная определённость: <tex dpi=130> \left ( x, x \right ) \geqslant 0; \ \left ( x, x \right ) = 0 \Longleftrightarrow x = \theta </tex>
}}

Свойства скалярного произведения:
# <tex dpi=130> \left ( x, y_1 + y_2 \right ) = \left ( x, y_1 \right ) + \left ( x, y_2 \right ) </tex>
# <tex dpi=130> \left ( x, \lambda y \right ) = \bar{\lambda} \left ( x, y \right ) </tex>
# <tex dpi=130> \left ( \theta, y \right ) = \left ( x, \theta \right ) = 0 </tex>

=== Последовательность, сходящаяся к бесконечности ===
{{Определение
|definition=
Последовательность, стремящаяся к бесконечности, называется '''бесконечно большой'''.
}}

=== Верхняя, нижняя границы; супремум, инфимум ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> E \subset \mathbb{R}, \ E \neq \varnothing </tex>, <tex dpi=130> E </tex> ограничено сверху. Наименьшая из верхних границ множества <tex dpi=130> E </tex> называется '''точной верхней границей''', или '''верхней гранью''', или '''супремумом''' множества <tex dpi=130> E </tex> и обозначается <tex dpi=130> \sup E </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> E \subset \mathbb{R}, \ E \neq \varnothing </tex>, <tex dpi=130> E </tex> ограничено снизу. Наибольшая из нижних границ множества <tex dpi=130> E </tex> называется '''точной нижней границей''', или '''нижней гранью''', или '''инфимумом''' множества <tex dpi=130> E </tex> и обозначается <tex dpi=130> \inf E </tex>.
}}

=== Функция ограниченная сверху, снизу ===
{{Определение
|definition=
Функция называется ограниченной (сверху, снизу) на множестве <tex dpi=130> D </tex>, если множество <tex dpi=130> f(D) </tex> ограничено (сверху, снизу).
}}

=== Строго и не строго монотонная функция ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> D \subset X \subset \mathbb{R} </tex>. Функция <tex dpi=130> f: X \to \mathbb{R} </tex> называется: 
'''возрастающей''' на множестве <tex dpi=130> D </tex>, если для любых <tex dpi=130> x_1, x_2 </tex> из <tex dpi=130> D </tex> таких, что <tex dpi=130> x_1 < x_2 </tex>, будет <tex dpi=130> f(x_1) \leqslant f(x_2) </tex>; 
'''строго возрастающей''' на множестве <tex dpi=130> D </tex>, если для любых <tex dpi=130> x_1, x_2 </tex> из <tex dpi=130> D </tex> таких, что <tex dpi=130> x_1 < x_2 </tex>, будет <tex dpi=130> f(x_1) < f(x_2) </tex>; 
'''убывающей''' на множестве <tex dpi=130> D </tex>, если для любых <tex dpi=130> x_1, x_2 </tex> из <tex dpi=130> D </tex> таких, что <tex dpi=130> x_1 < x_2 </tex>, будет <tex dpi=130> f(x_1) \leqslant f(x_2) </tex> 
'''строго убывающей''' на множестве <tex dpi=130> D </tex>, если для любых <tex dpi=130> x_1, x_2 </tex> из <tex dpi=130> D </tex> таких, что <tex dpi=130> x_1 < x_2 </tex>, будет <tex dpi=130> f(x_1) > f(x_2) </tex>.
}}

=== Внутренняя точка множества, открытое множество, внутренность ===
{{Определение
|definition=
Точка <tex dpi=130> a </tex> называется '''внутренней точкой''' множества <tex dpi=130> D </tex>, если существует окрестность точки <tex dpi=130> a </tex>, содержащаяся в <tex dpi=130> D </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Множество <tex dpi=130> D </tex> называется '''открытым''', если все его точки внутренние.
}}

{{Определение
|definition=
Множество всех внутренних точек множества <tex dpi=130> D </tex> называется '''внутренностью''' <tex dpi=130> D </tex> и обозначается <tex dpi=130> \overset{\circ}{D} </tex> или <tex dpi=130> Int D </tex>.
}}

=== Предельная точка множества ===
{{Определение
|definition=
Точка <tex dpi=130> a </tex> называется '''предельной точкой''' или '''точкой сгущения''' множества <tex dpi=130> D </tex>, если в любой окрестности точки <tex dpi=130> a </tex> найдётся точка множества <tex dpi=130> D </tex>, отличная от <tex dpi=130> a </tex>.
}}

=== Замкнутое множество, замыкание, граница ===
{{Определение
|definition=
Если точка <tex dpi=130> a </tex> принадлежит множеству <tex dpi=130> D </tex>, но не является его предельной точкой, то <tex dpi=130> a </tex> называется '''изолированной точкой''' множества <tex dpi=130> D </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Множество <tex dpi=130> D </tex> называется '''замкнутым''', если оно содержит все свои предельные точки.
}}

{{Определение
|definition=
Точка <tex dpi=130> a </tex> называется '''точкой прикосновения''' множества <tex dpi=130> D </tex>, если в любой окрестности точки <tex dpi=130> a </tex> найдётся точка множества <tex dpi=130> D </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Множество всех точек прикосновения множества <tex dpi=130> D </tex> называется '''замыканием''' <tex dpi=130> D </tex> и обозначается <tex dpi=130> \bar{D} </tex> или <tex dpi=130> Cl D </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Точка <tex dpi=130> a </tex> называется '''граничной точкой''' множества <tex dpi=130> D </tex>, если в любой окрестности <tex dpi=130> a </tex> найдётся как точка, принадлежащая <tex dpi=130> D </tex>, так и точка, не принадлежащая <tex dpi=130> D </tex>. Множество всех граничных точек множества <tex dpi=130> D </tex> называется '''границей''' <tex dpi=130> D </tex> и обозначается <tex dpi=130> Fr D </tex>.
}}

=== Верхний и нижний пределы ===
{{Определение
|definition=
Пусть последовательность <tex dpi=130> \{ x_n \} </tex> ограничена сверху. Величина <tex dpi=130> \overline{\underset{n \to \infty}{\lim}} = \underset{n \to \infty}{\lim} \underset{k \geqslant n}{\sup} x_k </tex> называется '''верхним пределом''' последовательности <tex dpi=130> \{ x_n \} </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Пусть последовательность <tex dpi=130> \{ x_n \} </tex> ограничена снизу. Величина <tex dpi=130> \underline{\underset{n \to \infty}{\lim}} = \underset{n \to \infty}{\lim} \underset{k \geqslant n}{\inf} x_k </tex> называется '''нижним пределом''' последовательности <tex dpi=130> \{ x_n \} </tex>.
}}

=== Частичный предел ===
{{Определение
|definition=
Точка <tex dpi=130> a </tex> называется '''частичным пределом''' последовательности <tex dpi=130> \{ x_n \} </tex>, если существует подпоследовательность <tex dpi=130> \{ x_{n_k} \} </tex>, стремящаяся к <tex dpi=130> a </tex>.
}}

=== Определения предела отображения (3 шт) ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> \left ( X, \rho_x \right ) </tex>, <tex dpi=130> \left ( Y, \rho_y \right ) </tex> — метрические пространства, <tex dpi=130> f: D \subset X \to Y </tex>, <tex dpi=130> a \in X </tex> — предельная точка <tex dpi=130> D </tex>, <tex dpi=130> A \in Y </tex>. Точку <tex dpi=130> A </tex> называют пределом отображения <tex dpi=130> f </tex> в точке <tex dpi=130> a </tex> и пишут <tex dpi=130> \underset{x \to a}{\lim} f(x) = F </tex>, если выполняется одно из следующих утверждений: 
* Определение на <tex dpi=130> \varepsilon </tex>-языке, или по Коши. 
Для любого положительного числа <tex dpi=130> \varepsilon </tex> существует такое положительное число <tex dpi=130> \delta </tex>, что для всех точек <tex dpi=130> x </tex> множества <tex dpi=130> D </tex>, отличных от <tex dpi=130> a </tex> и удовлетворяющих неравенству <tex dpi=130> \rho_X (x, a) < \delta </tex>, выполняется неравенство <tex dpi=130> \rho_Y (f(x), A) < \varepsilon </tex>: 
<tex dpi=130> \forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0 \ \forall x \in D \backslash \{ a \} : \ \rho_X (x, a) < \delta \ \rho_Y (f(x), A) < \varepsilon </tex>. 
* Определение на языке окрестностей. 
Для любой окрестности <tex dpi=130> V_A </tex> точки <tex dpi=130> A </tex> существует такая окрестность <tex dpi=130> V_a </tex> точки <tex dpi=130> a </tex>, что образ пересечения проколотой окрестности <tex dpi=130> V_a </tex> с множеством <tex dpi=130> D </tex> при отображении <tex dpi=130> f </tex> содержится в окрестности <tex dpi=130> V_A </tex>: 
<tex dpi=130> \forall V_A \ \exists V_a \ f(V_a \cap D) \subset V_A </tex>. 
* Определение на языке последовательностей, или по Гейне. 
Для любой последовательности <tex dpi=130> \{ x_n \} </tex> точек множества <tex dpi=130> D </tex>, отличных от <tex dpi=130> a </tex>, стремящейся к <tex dpi=130> a </tex>, последовательность <tex dpi=130> \{ f(x_{n}) \} </tex> стремится к <tex dpi=130> A </tex>: 
<tex dpi=130> \forall \{ x_n \} : \ x_n \in D \backslash \{ a \} , x_n \to a \ f(x_{n}) \to A </tex>.
}}

=== Предел по множеству ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> f: D \subset X \to Y, \ D_1 \subset D </tex>, <tex dpi=130> a </tex> — предельная точка <tex dpi=130> D_1 </tex>. Предел <tex dpi=130> \underset{x \to a}{\lim} f | _{D_1} (x) </tex> называется '''пределом''' отображения <tex dpi=130> f </tex> в точке <tex dpi=130> a </tex> '''по множеству''' <tex dpi=130> D_1 </tex>.
}}

=== Односторонние пределы ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> f: D \subset \mathbb{R} \to Y, \ a \in \mathbb{R} </tex>. 
# Если <tex dpi=130> a </tex> — предельная точка множества <tex dpi=130> D_1 = D \cap \left ( - \infty, a \right ) </tex>, то предел отображения <tex dpi=130> f </tex> в точке <tex dpi=130> a </tex> по множеству <tex dpi=130> D_1 </tex> называется '''левосторонним пределом''' отображения <tex dpi=130> f </tex> в точке <tex dpi=130> a </tex> и обозначается <tex dpi=130> \underset{x \to a-}{\lim} f(x) </tex> или <tex dpi=130> f(a-) </tex>. 
# Если <tex dpi=130> a </tex> — предельная точка множества <tex dpi=130> D_2 = D \cap \left ( a, + \infty \right ) </tex>, то предел отображения <tex dpi=130> f </tex> в точке <tex dpi=130> a </tex> по множеству <tex dpi=130> D_2 </tex> называется '''правосторонним пределом''' отображения <tex dpi=130> f </tex> в точке <tex dpi=130> a </tex> и обозначается <tex dpi=130> \underset{x \to a+}{\lim} f(x) </tex> или <tex dpi=130> f(a+) </tex>.
}}

=== Компактное множество ===
{{Определение
|definition=
Семейство множеств <tex dpi=130> \{ G_{\alpha} \} _{\alpha \in A} </tex> называется '''покрытием''' множества <tex dpi=130> K </tex>, если <tex dpi=130> K \subset \underset{\alpha \in A}{\bigcup} G_{\alpha} </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> \left ( X, \rho \right ) </tex> — метрическое пространство, <tex dpi=130> K \in X </tex>. Покрытие <tex dpi=130> \{ G_{\alpha} \} _{\alpha \in A} </tex> множества <tex dpi=130> K </tex> называется '''компактным''', если из любого открытого покрытия <tex dpi=130> K </tex> можно извлечь конечное подпокрытие
}}

=== Фундаментальная последовательность ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> \{ x_n \} _{n = 1} ^{\infty} </tex> — последовательность в метрическом пространстве <tex dpi=130> X </tex>. Говорят, что последовательность <tex dpi=130> \{ x_n \} </tex> '''сходится в себе''', если для любого положительного числа <tex dpi=130> \varepsilon </tex> существует такой номер <tex dpi=130> N </tex>, что для всех номеров <tex dpi=130> n </tex> и <tex dpi=130> l </tex>, больших <tex dpi=130> N </tex>, выполняется неравенство <tex dpi=130> \rho (x_n, x_l) < \varepsilon </tex>: 
<tex dpi=130> \forall \varepsilon > 0 \ \exists N \ \forall n, l > N \ \rho (x_n, x_l) < \varepsilon </tex> 
Сходящуюся в себе последовательность также называют '''последовательностью Коши''' или '''фундаментальной последовательностью'''.
}}

=== Полное метрическое пространство ===
{{Определение
|definition=
Пространство <tex dpi=130> \mathbb{R}^m </tex> полно <tex dpi=130> \Longleftrightarrow </tex> в <tex dpi=130> \mathbb{R}^m </tex> любая сходящаяся в себе последовательность сходится.
}}

=== Непрерывное отображение ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> \left ( X, \rho_X \right ) </tex> и <tex dpi=130> \left ( Y, \rho_Y \right ) </tex> — метрические пространства, <tex dpi=130> f: D \subset X \to Y, \ x_0 \in D </tex>. Отображение <tex dpi=130> f </tex> называется '''непрерывным''' в точке <tex dpi=130> x_0 </tex>, если выполняется одно из следующих утверждений: 
# Предел отображения <tex dpi=130> f </tex> в точке <tex dpi=130> x_0 </tex> существует и равен <tex dpi=130> f(x_0 ) </tex>. Это определение применимо, если <tex dpi=130> x_0 </tex> — предельная точка <tex dpi=130> D </tex>. 
# По Коши: для любого положительного числа <tex dpi=130> \varepsilon </tex> существует такое положительное число <tex dpi=130> \delta </tex>, что для всех точек <tex dpi=130> x </tex> множества <tex dpi=130> D </tex>, удовлетворяющих неравенству <tex dpi=130> \rho_X (x, x_0) < \delta </tex>, выполняется неравенство <tex dpi=130> \rho_Y (f(x), f(x_0)) < \varepsilon </tex>: <tex dpi=130> \forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0 \ \forall x \in D: \rho_X (x, x_0) < \delta \ \rho_Y (f(x), f(x_0)) < \varepsilon </tex>. 
# На языке окрестностей: для любой окрестности <tex dpi=130> V_{f(x_0)} </tex> точки <tex dpi=130> f(x_0) </tex> существует такая окрестность <tex dpi=130> V_{x_0} </tex> точки <tex dpi=130> x_0 </tex>, что образ пересечения окрестности <tex dpi=130> V_{x_0} </tex> с множеством <tex dpi=130> D </tex> содержится в окрестности <tex dpi=130> V_{f(x_0)} </tex>: <tex dpi=130> \forall V_{f(x_0)} \ \exists V_{x_0} \ f \left ( V_{x_0} \cap D \right ) \subset V_{f(x_0)} </tex>. 
# По Гейне: для любой последовательности <tex dpi=130> \left \{ x_n \right \} </tex> точек множества <tex dpi=130> D </tex>, стремящейся к <tex dpi=130> x_0 </tex>, последовательность <tex dpi=130> \left \{ f(x_n) \right \} </tex> стремится к <tex dpi=130> f(x_0) </tex>: <tex dpi=130> \forall \{ x_n \} : \ x_n \in D, x_n \to x_0 \ f(x_n) \to f(x_0) </tex>. 
# Бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение отображения: <tex dpi=130> \Delta y \underset{\Delta x \to \theta x}{\to} \theta_Y </tex>.
}}

=== Непрерывность слева ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> Y </tex> — метрическое пространство, <tex dpi=130> f: D \subset X \to Y, \ x_0 \in D </tex>. Если сужение отображения <tex dpi=130> f </tex> на множество <tex dpi=130> E_1 = D \cap \left ( - \infty, x_0 \right ] </tex> (<tex dpi=130> E_2 = D \cap \left [ x_0, + \infty \right ) )</tex> непрерывно в точке <tex dpi=130> x_0 </tex>, то говорят, что отображение <tex dpi=130> f </tex> '''непрерывно слева (справа)''' в точке <tex dpi=130> x_0 </tex>.
}}

=== Функция равномерно непрерывная на множестве ===
{{Определение
|definition=
Функция <tex dpi=130> f: D \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} </tex> называется '''равномерно непрерывной''' на множестве <tex dpi=130> D </tex>, если для любого положительного числа <tex dpi=130> \varepsilon </tex> существует такое положительное число <tex dpi=130> \delta </tex>, что для всех точек <tex dpi=130> \bar{x}, \bar{\bar{x}} </tex> множества <tex dpi=130> D </tex>, удовлетворяющих неравенству <tex dpi=130> \left | \bar{x} - \bar{\bar{x}} \right | < \delta </tex>, выполняется неравенство <tex dpi=130> \left | f(\bar{x}) - f(\bar{\bar{x}}) \right | < \varepsilon </tex>: 
<tex dpi=130> \forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0 \ \forall \bar{x}, \bar{\bar{x}} \in D: \left | \bar{x} - \bar{\bar{x}} \right | < \delta \ \left | f(\bar{x}) - f(\bar{\bar{x}}) \right | < \varepsilon </tex>.
}}

=== Степенная функция ===
<tex dpi=130> e_{\alpha} (x) = x^{\alpha} </tex>

=== Показательная функция ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> a > 0, x \in \mathbb{R} </tex>. Положим <tex dpi=130> a^x = \underset{r \to x}{\lim} a^r | _{\mathbb{Q}} </tex>. При <tex dpi=130> a > 0, \ a \neq 0 </tex> функция <tex dpi=130> a^x, \ x \in {\mathbb{R}} </tex> называется '''показательной функцией с основанием''' <tex> a </tex>.
}}

=== Логарифм ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> a > 0, a \neq 1 </tex>. Функция, обратная к показательной с основанием <tex dpi=130> a </tex>, называется '''логарифмом по основанию''' <tex dpi=130> a </tex>.
}}

=== О большое ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> X </tex> — метрическое пространство, <tex dpi=130> D \subset X, \ f, g: D \to \mathbb{R} \ (\mathbb{C}) </tex>, <tex dpi=130> x_0 </tex> — предельная точка <tex dpi=130> D </tex>. Если существует функция <tex dpi=130> \varphi: D \to \mathbb{R} \ (\mathbb{C}) </tex> и окрестность <tex dpi=130> V_{x_0} </tex> точки <tex dpi=130> x_0 </tex>, такие, что <tex dpi=130> f(x) = \varphi (x) g(x) </tex> для всех <tex dpi=130> x \in V_{x_0} \cap D </tex> и 
# <tex dpi=130> \varphi </tex> ограничена на <tex dpi=130> V_{x_0} \cap D </tex>, то говорят, что функция <tex dpi=130> f </tex> '''ограничена по сравнению с''' <tex dpi=130> g </tex> при <tex dpi=130> x \to x_0 </tex>, и пишут <tex dpi=130> f(x) = O(g(x)), \ x \to x_0 </tex>; 
# <tex dpi=130> \varphi (x) \to 0 </tex>, то говорят, что функция <tex dpi=130> f </tex> '''бесконечно малая по сравнению с''' <tex dpi=130> g </tex> при <tex dpi=130> x \to x_0 </tex>, и пишут <tex dpi=130> f(x) = o(g(x)), \ x \to x_0 </tex>; 
# <tex dpi=130> \varphi (x) \to 1 </tex>, то говорят, что функция <tex dpi=130> f </tex> '''эквивалентны''' или '''асимптотически равны''' при <tex dpi=130> x \to x_0 </tex>, и пишут <tex dpi=130> f(x) ~ g(x), \ x \to x_0 </tex>.
}}

=== О маленькое ===
=== Эквивалентные функции ===
=== Асимптотически равные функции ===
=== Асимптотическое разложение ===
=== Наклонная асимптота графика ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> \left \langle a, + \infty \right ) \subset D \subset \mathbb{R}, \ f: D \to \mathbb{R}, \ \alpha, \beta \in \mathbb{R} </tex>. Прямая <tex dpi=130> y = \alpha x + \beta </tex> называется '''наклонной асимптотой''' функции <tex dpi=130> f </tex> при <tex dpi=130> x \to + \infty </tex>, если 
<tex dpi=130> f(x) = \alpha x + \beta + o(1), \ x \to + \infty </tex>.
}}

=== Функция, дифференцируемая в точке ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> f: \left \langle a, b, \right \rangle \to \mathbb{R}, \ x_0 \in \left \langle a, b, \right \rangle </tex>. Если существует такое число <tex dpi=130> A \in \mathbb{R} </tex>, что <tex dpi=130> f(x) = f(x_0) + A(x - x_0) + o(x - x_0), \ x \to x_0 </tex>, то функция <tex dpi=130> f </tex> называется '''дифференцируемой''' в точке <tex dpi=130> x_0 </tex>. При этом число <tex dpi=130> A </tex> называется '''производной''' функции <tex dpi=130> f </tex> в точке <tex dpi=130> x_0 </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> f: \left \langle a, b, \right \rangle \to \mathbb{R}, \ x_0 \in \left \langle a, b, \right \rangle </tex>. Если существует предел <tex dpi=180> \underset{x \to x_0}{\lim} {{f(x) - f(x_0)} \over {x - x_0}} </tex>, равный числу <tex dpi=130> A \in \mathbb{R} </tex>, то функция <tex dpi=130> f </tex> называется '''дифференцируемой''' в точке <tex dpi=130> x_0 </tex>. При этом число <tex dpi=130> A </tex> называется '''производной''' функции <tex dpi=130> f </tex> в точке <tex dpi=130> x_0 </tex>.
}}

=== Производная ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> f: D \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} </tex>, <tex dpi=130> D_1 </tex> — множество дифференцируемости <tex dpi=130> f </tex> (множество всех точек <tex dpi=130> D </tex>, где функция дифференцируема). Функция <tex dpi=130> f': D_1 \to \mathbb{R} </tex>, которая каждому <tex dpi=130> x \in D_1 </tex> сопоставляет число <tex dpi=130> f'(x) </tex>, называется '''производной функцией''' функции <tex dpi=130> f </tex>.
}}

<tex dpi=180> f'(x_0) = \underset{x \to x_0}{\lim} {{f(x) - f(x_0)} \over {x - x_0}} </tex>

=== Левостороняя и правосторонняя производные ===
Правосторонняя: <tex dpi=180> f'_{+} (x_0) = \underset{x \to x_{0+}}{\lim} {{f(x) - f(x_0)} \over {x - x_0}} </tex>

Левосторонняя: <tex dpi=180> f'_{-} (x_0) = \underset{x \to x_{0-}}{\lim} {{f(x) - f(x_0)} \over {x - x_0}} </tex>

=== Производная n-го порядка ===
=== Многочлен Тейлора n-го порядка ===

== Теоремы ==
=== Аксиомы вещественных чисел ===
'''I. Аксиомы поля'''

В множестве <tex dpi=130> \mathbb{R} </tex> определены две операции, называемые сложением и умножением, действующие из <tex dpi=130> \mathbb{R} \times \mathbb{R} </tex> в <tex dpi=130> \mathbb{R} </tex> и удовлетворяющие следующим свойствам:

# Сочетательный закон (ассоциативность) сложения: <tex dpi=130> (x + y) + z = x + (y + z) </tex>
# Переместительный закон (коммутативность) сложения: <tex dpi=130> x + y = y + x </tex>
# Существует вещественное число нуль (<tex dpi=130> 0 </tex>, нейтральный элемент по сложению) такое, что <tex dpi=130> x + 0 = x </tex> для всех <tex dpi=130> x </tex>
# Для любого числа <tex dpi=130> x </tex> существует такое число <tex dpi=130> \tilde{x} </tex>, что <tex dpi=130> x + \tilde{x} = 0 </tex> (это число <tex dpi=130> \tilde{x} </tex> называется противоположным числу <tex dpi=130> x </tex> и обозначается <tex dpi=130> -x </tex>)
# Сочетательный закон (ассоциативность) умножения: <tex dpi=130> (xy)z = x(yz) </tex>
# Переместительный закон (коммутативность) умножения: <tex dpi=130> xy = yx </tex>
# Существует вещественное число единица (<tex dpi=130> 1 </tex>, нейтральный элемент по умножению), отличное от нуля, такое, что <tex dpi=130> x \cdot 1 = x </tex> для всех <tex dpi=130> x </tex>
# Для любого числа <tex dpi=130> x </tex> существует такое число <tex dpi=130> x' </tex>, что <tex dpi=130> x \cdot x' = 1 </tex> (это число <tex dpi=130> x' </tex> называется обратным числу <tex dpi=130> x </tex> и обозначается <tex dpi=130> x^{-1} </tex> или <tex dpi=130> {1 \over x}) </tex>
# Распределительный закон (дистрибутивность): <tex dpi=130> x(y + z) = xy + xz </tex>

'''II. Аксиомы порядка'''

Между элементами <tex dpi=130> \mathbb{R} </tex> определено отношение <tex dpi=130> \leqslant </tex> со следующими свойствами:

# Для любых <tex dpi=130> x, y </tex> верно <tex dpi=130> x \leqslant y </tex> или <tex dpi=130> y \leqslant x </tex>
# Транзитивность: если <tex dpi=130> x \leqslant y </tex> и <tex dpi=130> y \leqslant z </tex>, то <tex dpi=130> x \leqslant z </tex>
# Если <tex dpi=130> x \leqslant y </tex> и <tex dpi=130> y \leqslant x </tex>, то <tex dpi=130> x = y </tex>
# Если <tex dpi=130> x \leqslant y </tex>, то <tex dpi=130> x + z \leqslant y + z </tex> для любого <tex dpi=130> z </tex>
# Если <tex dpi=130> 0 \leqslant x </tex> и <tex dpi=130> 0 \leqslant y </tex>, то <tex dpi=130> 0 \leqslant xy </tex>

'''III. Аксиома Архимеда'''

{{Утверждение
|statement=
Каковы бы ни были положительные числа <tex dpi=130> x, y \in \mathbb{R} </tex>, существует натуральное число <tex dpi=130> n </tex> такое, что <tex dpi=130> nx > y </tex>
}}

'''IV. Аксиома Кантора о вложенных отрезках'''

{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex dpi=130> \{ \left [ a_n, b_n \right ] \} _{n = 1} ^{\infty} </tex> — последовательность вложенных отрезков, то есть 
<tex dpi=130> a_n \leqslant a_{n+1} < b_{n+1} \leqslant b_n </tex> для всех <tex dpi=130> n \in \mathbb{N} </tex>. 
Тогда существует точка, принадлежащая одновременно отрезкам <tex dpi=130> \left [ a_n, b_n \right ] </tex>, то есть 
<tex dpi=130> \overset{\infty}{\underset{n = 1}{\bigcap}} \left [ a_n, b_n \right ] \neq \varnothing </tex>
}}

=== Принцип математической индукции. Неравенство Бернулли ===
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex dpi=130> \{ \mathcal{P}_n \}_{n = 1} ^{\infty} </tex> — последовательность утверждений. Если <tex dpi=130> \mathcal{P}_1 </tex> верно и для любого <tex dpi=130> n \in \mathbb{N} </tex> из <tex dpi=130> \mathcal{P}_n </tex> следует <tex dpi=130> \mathcal{P}_{n + 1} </tex>, то <tex dpi=130> \mathcal{P}_n </tex> верно для всех <tex dpi=130> n \in \mathbb{N} </tex>.
}}

{{Теорема
|author=Бенулли
|about=неравенство
|statement=
light: <tex dpi=130> \forall x > -1, \forall n \in \mathbb{N} \left ( 1 + x \right ) ^n \geqslant 1 + nx </tex> 
hard: <tex dpi=130> \forall x > 0, \forall n \in \mathbb{N} \left ( 1 + x \right ) ^n \geqslant 1 + nx + {{n(n - 1)} \over 2}x^2 </tex>
}}

=== Аксиома Архимеда. Плотность множества рациональных чисел в R ===
{{Теорема
|about=плотность множества рациональных чисел
|statement=
Во всяком интервале есть рациональное число.
}}

=== Аксиома Кантора. Десятичная запись числа ===
=== Счетные множества. Счетность множества рациональных чисел ===
{{Определение
|definition=
Множества <tex dpi=130> A </tex> и <tex dpi=130> B </tex> называют '''эквивалентными''' или '''равномощными''' и пишут <tex dpi=130> A ~ B </tex>, если существует биекция <tex dpi=130> \phi: A \to B </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Множество называется '''счётным''', если оно эквивалентно множеству натуральных чисел.
}}

{{Теорема
|statement=
Всякое бесконечное множество содержит счётное подмножество.
}}

{{Теорема
|statement=
Всякое бесконечное подмножество счётного множества счётно.
}}

{{Определение
|definition=
Пустое, конечное или счётное множество называется '''не более чем счётным'''.
}}

{{Теорема
|statement=
Не более чем счётное объединение не более чем счётных множеств не более чем счётно.
}}

{{Теорема
|about=счётность множества рациональных чисел
|statement=
Множество рациональных чисел счётно.
}}

=== Несчетность отрезка ===
{{Теорема
|about=несчётность отрезка
|statement=
Отрезок <tex dpi=130> \left [ 0, 1 \right ] </tex> несчётен.
}}

{{Определение
|definition=
Если множество эквивалентно отрезку <tex dpi=130> \left [ 0, 1 \right ] </tex>, то говорят, что оно имеет '''мощность континуума'''.
}}

=== Несчетность множества бинарных последовательностей ===
=== Несчетность R^2 ===
=== Единственность предела и ограниченность сходящейся последовательности ===
{{Теорема
|about=единственность предела
|statement=
Последовательность в метрическом пространстве не может иметь более одного предела: если <tex dpi=130> x_n \to a </tex>, а <tex dpi=130> x_n \to b </tex>, то <tex dpi=130> a = b </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Подмножество <tex dpi=130> D </tex> метрического пространства <tex dpi=130> X </tex> называется '''ограниченным''', если оно содержится в некотором шаре: 
<tex dpi=130> \exists a \in X, R > 0 \ D \subset \bar{B}(a, R) </tex>.
}}

{{Теорема
|about=ограниченность сходящейся последовательности
|statement=
Сходящаяся последовательность ограничена.
}}

=== Теорема о сжатой последовательности ===
{{Теорема
|about=о сжатой последовательности
|statement=
Пусть <tex dpi=130> \{ x_n \} </tex>, <tex dpi=130> \{ y_n \} </tex> и <tex dpi=130> \{ z_n \} </tex> — вещественные последовательности, <tex dpi=130> x_n \leqslant y_n \leqslant z_n </tex> при всех <tex dpi=130> n \in \mathbb{N} </tex>, <tex dpi=130> a \in \mathbb{R} </tex>, <tex dpi=130> \lim x_n = \lim z_n = a </tex>. Тогда предел <tex dpi=130> \{ y_n \} </tex> существует и равен <tex dpi=130> a </tex>.
}}

=== Бесконечно малая последовательность ===
{{Определение
|definition=
Последовательность вещественных или комплексных чисел называется '''бесконечно малой''', если она стремится к нулю.
}}

{{Лемма
|statement=
Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную есть бесконечно малая: если <tex dpi=130> \{ x_n \} </tex> — бесконечно малая, а <tex dpi=130> \{ y_n \} </tex> — ограниченная, то <tex dpi=130> \{ x_{n} y_n \} </tex> — бесконечно малая.
}}

=== Теорема об арифметических свойствах предела ===
{{Теорема
|about=арифметические действия над сходящимися последовательностями в нормированном пространстве
|statement=
Пусть <tex dpi=130> \left ( X, \left \Vert \cdot \right \Vert \right ) </tex> — нормированное пространство, <tex dpi=130> \{ x_n \} </tex>, <tex dpi=130> \{ y_n \} </tex> — последовательности в <tex dpi=130> X </tex>, <tex dpi=130> \{ \lambda_n \} </tex> — числовая последовательность, <tex dpi=130> x_0, y_0 \in X, \ \lambda_0 \in \mathbb{R} </tex> (или <tex dpi=130> \mathbb{C} </tex>), <tex dpi=130> x_n \to x_0, \ y_n \to y_0, \ \lambda_n \to \lambda_0 </tex>. Тогда 
# <tex dpi=130> x_n + y_n \to x_0 + y_0 </tex> 
# <tex dpi=130> \lambda_n y_n \to \lambda_0 y_0 </tex> 
# <tex dpi=130> x_n - y_n \to x_0 - y_0 </tex> 
# <tex dpi=130> \left \Vert x_n \right \Vert \to \left \Vert x_0 \right \Vert </tex>
}}

{{Теорема
|about=арифметические действия над сходящимися числовыми последовательностями
|statement=
Пусть <tex dpi=130> \{ x_n \} </tex>, <tex dpi=130> \{ y_n \} </tex> — числовые последовательности, <tex dpi=130> x_0, y_0 \in \mathbb{R} </tex> (или <tex dpi=130> \mathbb{C} </tex>), <tex dpi=130> x_n \to x_0, \ y_n \to y_0 </tex>. Тогда 
# <tex dpi=130> x_n + y_n \to x_0 + y_0 </tex> 
# <tex dpi=130> x_n y_n \to x_0 y_0 </tex> 
# <tex dpi=130> x_n - y_n \to x_0 - y_0 </tex> 
# <tex dpi=130> \left | x_n \right | \to \left | x_0 \right | </tex> 
# Если, кроме того, <tex dpi=130> y_n \neq 0 </tex> при всех <tex dpi=130> n </tex> и <tex dpi=130> y_0 \neq 0 </tex>, то <tex dpi=180> {x_n \over y_n} \to {x_0 \over y_0} </tex>
}}

=== Неравенство Коши-Буняковского в линейном пространстве, норма, порожденная скалярным произведением ===
{{Теорема
|author=Коши-Буняковского-Шварца
|about=неравенство
|statement=
<tex dpi=130> \left | \left ( x, y, \right ) \right | ^2 \leqslant \left ( x, x \right ) \left ( y, y \right ) </tex>
}}

{{Теорема
|statement=
Функция <tex dpi=130> p(x) = sqrt{\left ( x, x \right )} </tex> — норма в <tex dpi=130> X </tex>.
}}

{{Теорема
|author=Коши-Буняковского
|about=неравенство
|statement=
<tex dvi=180> \left ( \underset{k = 1}{\overset{m}{\sum}} x_k y_k \right ) ^2 \leqslant \left ( \underset{k = 1}{\overset{m}{\sum}} {x_k}^2 \right ) \left ( \underset{k = 1}{\overset{m}{\sum}} {y_k}^2 \right ) </tex>
}}

=== Леммы о непрерывности скалярного произведения и покоординатной сходимости в R^n ===
{{Определение
|definition=
Говорят, что последовательность <tex dpi=130> \{ x^{(n)} \} </tex> точек в <tex dpi=130> \mathbb{R}^m </tex> '''сходится''' к пределу <tex dpi=130> x^{(0)} \in \mathbb{R}^m </tex> '''поокординатно''', если <tex dpi=130> x_j ^{(n)} \underset{n \to \infty}{\to} x_j ^{(0)} </tex> для всех <tex dpi=130> j \in [1 : m] </tex>.
}}

{{Лемма
|statement=
В <tex dpi=130> \mathbb{R}^m </tex> покоординатная сходимость и сходимость по евклидовой норме равносильны.
}}

=== Теорема об арифметических свойствах предела последовательности (в R с чертой). Неопределенности ===
{{Теорема
|about=арифметические действия с бесконечно большими
|statement=
Пусть <tex dpi=130> \{ x_n \} </tex>, <tex dpi=130> \{ y_n \} </tex> — числовые последовательности. 
# Если <tex dpi=130> x_n \to + \infty </tex>, <tex dpi=130> y_n </tex> ограничена снизу, то <tex dpi=130> x_n + y_n \to + \infty </tex>. 
# Если <tex dpi=130> x_n \to - \infty </tex>, <tex dpi=130> y_n </tex> ограничена сверху, то <tex dpi=130> x_n + y_n \to - \infty </tex>. 
# Если <tex dpi=130> x_n \to \infty </tex>, <tex dpi=130> y_n </tex> ограничена, то <tex dpi=130> x_n + y_n \to \infty </tex>. 
# Если <tex dpi=130> x_n \to \pm \infty </tex>, <tex dpi=130> y_n \geqslant b > 0 </tex> для всех <tex dpi=130> n </tex> (или <tex dpi=130> y_n \to b_1 > 0 </tex>), то <tex dpi=130> x_n y_n \to \pm \infty </tex>. 
# Если <tex dpi=130> x_n \to \pm \infty </tex>, <tex dpi=130> y_n \leqslant b < 0 </tex> для всех <tex dpi=130> n </tex> (или <tex dpi=130> y_n \to b_1 < 0 </tex>), то <tex dpi=130> x_n y_n \to \mp \infty </tex>. 
# Если <tex dpi=130> x_n \to \infty </tex>, <tex dpi=130> \left | y_n \right | \geqslant b > 0 </tex> для всех <tex dpi=130> n </tex> (или <tex dpi=130> y_n \to b_1 \neq 0 </tex>), то <tex dpi=130> x_n y_n \to \infty </tex>. 
# Если <tex dpi=130> x_n \to a \neq 0, \ y_n \to 0, \ y_n \neq 0 </tex> при всех <tex dpi=130> n </tex>, то <tex dvi=180> {{x_n} \over {y_n}} \to \infty </tex>. 
# Если <tex dpi=130> x_n \to a \in \mathbb{C}, \ y_n \to \infty </tex>, то <tex dvi=180> {{x_n} \over {y_n}} \to 0 </tex>. 
# Если <tex dpi=130> x_n \to \infty, \ y_n \to b \in \mathbb{C}, \ y_n \neq 0 </tex> при всех <tex dpi=130> n </tex>, то <tex dvi=180> {{x_n} \over {y_n}} \to \infty </tex>.
}}

Неопределённости:
* <tex dpi=130> x_n \to + \infty, \ y_n \to - \infty, \ x_n + y_n \to ? </tex>
* <tex dpi=130> x_n \to 0, \ y_n \to \infty, \ x_n y_n \to ? </tex>
* <tex dpi=130> x_n \to 0, \ y_n \to 0 </tex>, <tex dpi=180> {{x_n} \over {y_n}} \to ? </tex>
* <tex dpi=130> x_n \to \infty, \ y_n \to \infty </tex>, <tex dpi=180> {{x_n} \over {y_n}} \to ? </tex>

=== Теорема о стягивающихся отрезках ===
{{Определение
|definition=
Говорят, что <tex dpi=130> \{ \left [ a_n, b_n \right ] \} _{n = 1} ^ {\infty} </tex> — последовательность '''стягивающихся отрезков''', если <tex dpi=130> a_n \leqslant a_{n + 1} \leqslant b_{n + 1} \leqslant b_n <tex dpi=130> при всех <tex dpi=130> n </tex> и <tex dpi=130> b_n - a_n \to 0 </tex>.
}}

{{Теорема
|about=о стягивающихся отрезках
|statement=
Пусть <tex dpi=130> \{ \left [ a_n, b_n \right ] \} _{n = 1} ^ {\infty} </tex> — последовательность стягивающихся отрезков. Тогда пересечение всех отрезков <tex dpi=130> \left [ a_n, b_n \right ] </tex> состоит из одной точки, то есть 
<tex dpi=130> \exists c \in \mathbb{R}: \ \overset{n = 1}{\underset{\infty}{\bigcap}} \left [ a_n, b_n \right ] = \{ c \} </tex>, 
при этом <tex dpi=130> a_n \to c </tex> и <tex dpi=130> b_n \to c </tex>.
}}

=== Теорема о существовании супремума ===
{{Теорема
|about=о существовании супремума
|statement=
Всякое непустое ограниченное сверху (снизу) подмножество <tex dpi=130> \mathbb{R} </tex> имеет верхнюю (нижнюю) грань.
}}

=== Лемма о свойствах супремума ===
{{Утверждение
|statement=
Если <tex dpi=130> D \subset E \subset mathbb{R}, \ D \neq \varnothing </tex>, то <tex dpi=130> \sup D \leqslant \sup D <tex dpi=130>, а <tex dpi=130> \inf D \geqslant \inf E </tex>. 
Если <tex dpi=130> E, F \subset \mathbb{R}, t \in \mathbb{R}, \ E + F = \{ x + y: x \in E, y \in F \} </tex>, <tex dpi=130> \ -E = \{ -x: x \in E \}, \ tE = \{ tx: x \in E \} </tex>, то 
* <tex dpi=130> \sup (E + F) = \sup E + \sup F </tex> 
* <tex dpi=130> \sup (tE) = t \sup E </tex> 
* <tex dpi=130> \sup (-E) = - \inf E </tex> 
* <tex dpi=130> \inf (E + F) = \inf E + \inf F </tex> 
* <tex dpi=130> \inf (tE) = t \inf E </tex> 
* <tex dpi=130> \inf (-E) = - \sup E </tex>
}}

=== Теорема о пределе монотонной последовательности ===
{{Теорема
|about=о пределе монотонной последовательности
|statement=
Всякая возрастающая ограниченная сверху последовательность сходится. 
Всякая убывающая ограниченная снизу последовательность сходится. 
Всякая монотонная ограниченная последовательность сходится.
}}

=== Определение числа e, соответствующий замечательный предел ===
{{Определение
|definition=
Предел последовательности <tex dpi=130> \left \{ \left ( 1 + {1 \over n} \right ) ^n \right \} </tex> называют '''числом Непера''' или '''основанием натуральных логарифмов''' и обозначают буквой <tex dpi=130> e </tex>.
}}

=== Теорема о свойствах открытых множеств, внутренность множества ===

== Теорема о свойствах открытых множеств ==
1. Объединение любого семейства открытых множеств открыто.
2. Пересечение конечного семейства открытых множеств открыто.

== Внутренность множества ==
Множество всех внутренних точек множества <math>D</math> называется внутренностью <math>D</math>.
Внутренность <math>D</math> есть:
1) объединение всех открытых подмножеств <math>D</math>.
2) максимальное по включению открытое подмножество <math>D</math>.

=== Теорема о связи открытых и замкнутых множеств, свойства замкнутых множеств ===
=== Описание замкнутых и открытых множеств в подпространстве ===
=== Свойства верхнего и нижнего пределов ===
{{Теорема
|about=о верхнем и нижнем пределе
|statement=
Пусть <tex dpi=130> \{ x_n \} </tex> — вещественная последовательность. Тогда справедливы следующие утверждения: 
# Верхний предел — наибольший, а нижний — наименьший из частичных пределов <tex dpi=130> \{ x_n \} </tex>. 
# Предел <tex dpi=130> \{ x_n \} </tex> в <tex dpi=130> \overline{\mathbb{R}} </tex> существует тогда и только тогда, когда верхний и нижний пределы равны, при этом предел последовательности равен их общему значению.
}}

=== Техническое описание верхнего предела ===
=== Теорема о существовании предела в терминах верхнего и нижнего пределов ===
=== Теорема о характеризации верхнего предела как частичного ===
=== Эквивалентность определений Гейне и Коши ===
{{Теорема
|statement=
Определения предела отображения по Коши и по Гейне равносильны.
}}

=== Единственность предела, локальная ограниченность отображения, имеющего предел, теорема о стабилизации знака ===
{{Теорема
|about=единственность предела
|statement=
Отображение в данной точке не может иметь более одного предела: если <tex dpi=130> X </tex> и <tex dpi=130> Y </tex> — метрические пространства, <tex dpi=130> f: D \subset X \to Y </tex>, <tex dpi=130> a </tex> — предельная точка <tex dpi=130> D </tex>, <tex dpi=130> A, B \in Y, \ f(x) \underset{x \to a}{\to} A, \ f(x) \underset{x \to a}{\to} B </tex>, то <tex dpi=130> A = B </tex>.
}}

{{Теорема
|about=локальная ограниченность отображения, имеющего предел
|statement=
Пусть <tex dpi=130> X </tex> и <tex dpi=130> Y </tex> — метрические пространства, <tex dpi=130> f: D \subset X \to Y </tex>, <tex dpi=130> a </tex> — предельная точка <tex dpi=130> D </tex>, <tex dpi=130> A \in Y, \ f(x) \underset{x \to a}{\to} A </tex>. Тогда существует такая окрестность <tex dpi=130> V_a </tex> точки <tex dpi=130> a </tex>, что <tex dpi=130> f </tex> ограничено в <tex dpi=130> V_a \cap D </tex> (то есть <tex dpi=130> f(V_a \cap D </tex> содержится в некотором шаре пространства <tex dpi=130> Y </tex>.
}}

=== Арифметические свойства пределов ===
[уже было для последовательностей, то же самое]

=== Теорема о сжатой функции. Предельный переход в неравенстве ===
{{Теорема
|about=предельный переход в неравенстве для функици
|statement=
Пусть <tex dpi=130> X </tex> — метрическое пространство, <tex dpi=130> f, g: D \subset X \to \mathbb{R} </tex>, <tex dpi=130> a </tex> — предельная точка <tex dpi=130> D </tex>, <tex dpi=130> f(x) \leqslant g(x) </tex> для всех <tex dpi=130> x \in D \backslash {a}, \ A, B \in \overline{\mathbb{R}} </tex>, <tex dpi=130> f(x) \underset{x \to a}{\to} A, g(x) \underset{x \to a}{\to} B </tex>. Тогда <tex dpi=130> A \leqslant B </tex>.
}}

{{Теорема
|about=о сжатой функции
|statement=
Пусть <tex dpi=130> X </tex> — метрическое пространство, <tex dpi=130> f, g, h: D \subset X \to \mathbb{R} </tex>, <tex dpi=130> a </tex> — предельная точка <tex dpi=130> D </tex>, <tex dpi=130> f(x) \leqslant g(x) \leqslant h(x) </tex> для всех <tex dpi=130> x \in D \backslash {a}, \ A \in \overline{\mathbb{R}} </tex>, <tex dpi=130> f(x) \underset{x \to a}{\to} A, h(x) \underset{x \to a}{\to} A </tex>. Тогда и <tex dpi=130> g(x) \underset{x \to a}{\to} A </tex> </tex>.
}}

=== Теорема о пределе монотонной функции ===
{{Теорема
|about=о пределе монотонной функции
|statement=
Пусть <tex dpi=130> f: D \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \ a \in \left ( - \infty, + \infty \right ) , \ D_1 = D \cap \left ( - \infty, a \right ) </tex>, <tex dpi=130> a </tex> — предельная точка <tex dpi=130> D_1 </tex>. 
# Если <tex dpi=130> f </tex> возрастает и ограничена сверху на <tex dpi=130> D_1 </tex>, то существует конечный предел <tex dpi=130> f(a-) </tex>. 
# Если <tex dpi=130> f </tex> убывает и ограничена снизу на <tex dpi=130> D_1 </tex>, то существует конечный предел <tex dpi=130> f(a+) </tex>.
}}

=== Теорема о компактности в пространстве и в подпространстве ===
{{Теорема
|about=компактность в пространстве и подпространстве
|statement=
Пусть <tex dpi=130> \left ( R, \rho \right ) </tex> — метрическое пространство, <tex dpi=130> Y </tex> — подпространство <tex dpi=130> X </tex>, <tex dpi=130> K \subset Y </tex>. Тогда свойства компактности <tex dpi=130> K </tex> в <tex dpi=130> X </tex> и <tex dpi=130> Y </tex> равносильны.
}}

=== Простейшие свойства компактных множеств ===
{{Теорема
|about=свойства компактов
|statement=
Пусть <tex dpi=130> \left ( R, \rho \right ) </tex> — метрическое пространство, <tex dpi=130> K \subset X </tex>. 
# Если <tex dpi=130> K </tex> компактно, то <tex dpi=130> K </tex> замкнуто и ограничено. 
# Если <tex dpi=130> X </tex> компактно, а <tex dpi=130> K </tex> замкнуто, то <tex dpi=130> K </tex> компактно.
}}

=== Компактность замкнутого куба в R^m ===
{{Теорема
|about=компактность замкнутого куба в R^m
|statement=
Замкнутый куб в <tex dpi=130> \mathbb{R} ^m </tex> компактен.
}}

=== Теорема о характеристике компактов в R^m ===
{{Теорема
|about=характеристика компактов в R^m
|statement=
Пусть <tex dpi=130> K \subset \mathbb{R}^m </tex>. Тогда следующие утверждения равносильны: 
# <tex dpi=130> K </tex> замкнуто и ограничено. 
# <tex dpi=130> K </tex> компактно. 
# Из всякой последовательности точек <tex dpi=130> K </tex> можн извлечь подпоследовательность, имеющую предел, принадлежащий <tex dpi=130> K </tex>.
}}

=== Принцип выбора Больцано—Вейерштрасса ===
{{Теорема
|author=Больцано-Вейерштрасса
|about=принцип выбора
|statement=
Из всякой ограниченной последовательности в <tex dpi=130> \mathbb{R}^m </tex> можно извлечь сходящуюся подпоследовательность.
}}

=== Сходимость в себе и её свойства ===
{{Лемма
|about=свойства сходимости в себе
|statement=
Сходящаяся в себе последовательность ограничена. 
Если у сходящейся в себе последовательности есть сходящаяся подпоследовательность, то сама последовательность сходится.
}}

{{Теорема
|statement=
Во всяком метрическом пространстве любая сходящаяся последовательность сходится в себе. 
В <tex dpi=130> \mathbb{R}^m </tex> любая сходящаяся в себе последовательность сходится.
}}

=== Критерий Коши для отображений ===
{{Теорема
|author=Больцано-Коши
|about=критерий для отображений
|statement=
Пусть <tex dpi=130> X </tex> и <tex dpi=130> Y </tex> — метрические пространства, <tex dpi=130> Y </tex> полно, <tex dpi=130> f: D \subset X \to Y </tex>, <tex dpi=130> a </tex> — предельная точка <tex dpi=130> D </tex>. Тогда существование в точке <tex dpi=130> a </tex> предела <tex dpi=130> f </tex>, принадлежащего <tex dpi=130> Y </tex>, равносильно следующему утверждению: 
Для любого положительного числа <tex dpi=130> \varepsilon </tex> существует такая окрестность <tex dpi=130> V_a </tex> точки <tex dpi=130> a </tex>, что для любых двух точек <tex dpi=130> \bar{x} </tex> и <tex dpi=130> \bar{\bar{x}} </tex> множества <tex dpi=130> D </tex>, принадлежащих проколотой окрестности <tex dpi=130> V_a </tex>, выполняется неравенство <tex dpi=130> \rho_Y \left ( f(\bar{x}), f(\bar{\bar{x}} \right ) < \varepsilon </tex>: 
<tex dpi=130> \forall \varepsilon > 0 \ \exists V_a \forall \bar{x}, \bar{\bar{x}} \in V_a \cap D \ \rho_Y \left ( f(\bar{x}), f(\bar{\bar{x}} \right ) < \varepsilon </tex>
}}

=== Свойства непрерывных отображений: арифметические, стабилизация знака, композиция ===
{{Теорема
|about=арифметические действия над непрерывными отображениями
|statement=
Пусть <tex dpi=130> X </tex> — метрическое пространство, <tex dpi=130> Y </tex> — нормированное пространство, <tex dpi=130> D \subset X, \ x_0 \in D </tex>, отображения <tex dpi=130> f, g: D \to Y, \ \lambda: D \to \mathbb{R} \ \left ( \mathbb{C} \right ) </tex> непрерывны в точке <tex dpi=130> x_0 </tex>. Тогда отображения <tex dpi=130> f + g, \ f - g, \ \lambda f, \ \left \Vert f \right \Vert </tex> непрерывны в точке <tex dpi=130> x_0 </tex>.
}}

{{Теорема
|about=о стабилизации знака
|statement=
Если функция <tex dpi=130> g: D \to \mathbb{R} </tex> непрерывна в точке <tex dpi=130> x_0 </tex>, причём <tex dpi=130> g(x_0 ) \neq 0 </tex>, то существует такая окрестность <tex dpi=130> V_{x_0} </tex>, что <tex dpi=130> sign \ g(x) = sign \ g(x_0 ) </tex> для всех <tex dpi=130> x \in V_{x_0} \cap D </tex>.
}}

{{Теорема
|about=непрерывность композиции
|statement=
Пусть <tex dpi=130> X, Y, Z </tex> — метрические пространства, <tex dpi=130> F: D \subset X \to Y, \ g: E \subset Y \to Z, \ f(D) \in E </tex>, <tex dpi=130> f </tex> непрерывно в точке <tex dpi=130> x_0 \in D </tex>, <tex dpi=130> g </tex> непрерывно в точке <tex dpi=130> f(x_0) </tex>. Тогда <tex dpi=130> g \circ f </tex> непрерывно в точке <tex dpi=130> x_0 </tex>.
}}

=== Теорема о топологическом определении непрерывности ===
=== Теорема Вейерштрасса о непрерывном образе компакта. Следствия ===
{{Теорема
|author=Вейерштрасс
|about=о непрерывных отображениях
|statement=
Пусть <tex dpi=130> X </tex> и <tex dpi=130> Y </tex> — метрические пространства, <tex dpi=130> X </tex> компактно, <tex dpi=130> f \in G(X \to Y) </tex>. Тогда <tex dpi=130> f(X) </tex> компактно.
}}

Или: непрерывный образ компакта — компакт.

Следствия:
# Непрерывный образ компакта замкнут и ограничен
# Функция, непрерывная на отрезке, ограничена
# Непрерывная на компакте функция принимает наибольшее и наименьшее значение
# Функция, непрерывная на отрезке, принимает наибольшее и наименьшее значение

=== Теорема Кантора ===
{{Теорема
|author=Кантор
|statement=
Непрерывное на компакте отображение равномерно непрерывно.
}}

=== Лемма о связности отрезка. Теорема Больцано—Коши о промежуточном значении ===
{{Теорема
|author=Больцано-Коши
|about=о промежуточном значении
|statement=
Пусть функция <tex dpi=130> f </tex> непрерывна на <tex dpi=130> \left [ a, b \right ] </tex>. Тогда для любого числа <tex dpi=130> C </tex>, лежащего между <tex dpi=130> f(a) </tex> и <tex dpi=130> f(b) </tex>, найдётся такое <tex dpi=130> c \in \left [ a, b \right ] </tex>, что <tex dpi=130> f(c) = C </tex>.
}}

=== Теорема о сохранении промежутка ===
{{Теорема
|about=о сохранении промежутка
|statement=
Множество значений непрерывной на промежутке функции есть промежуток.
}}

=== Теорема о непрерывности монотонной функции. Следствие о множестве точек разрыва ===
{{Теорема
|about=о непрерывности монотонной функции
|statement=
Пусть <tex dpi=130> f: \left \langle a, b \right \rangle \to \mathbb{R} </tex>, <tex dpi=130> f </tex> монотонна. Тогда справедливы следующие утверждения: 
# <tex dpi=130> f </tex> не может иметь разрывов второго рода. 
# Непрерывность <tex dpi=130> f </tex> равносильна тому, что её множество значений — промежуток.
}}

=== Теорема о существовании и непрерывности обратной функции ===
{{Теорема
|about=о существовании и непрерывности обратной функции
|statement=
Пусть <tex dpi=130> f \in C \left ( \left \langle a, b \right \rangle \to \mathbb{R} \right ) </tex>, <tex dpi=130> f </tex> строго монотонна, <tex dpi=130> m = \underset{x \in \left \langle a, b \right \rangle}{\inf} f(x), \ M = \underset{x \in \left \langle a, b \right \rangle}{\sup} f(x) </tex>. Тогда справедливы следующие утверждения: 
# <tex dpi=130> f </tex> обратима, <tex dpi=130> f^{-1}: \left \langle m, M \right \rangle \to \left \langle a, b \right \rangle </tex> — биекция. 
# <tex dpi=130> f^{-1} </tex> строго монотонна одноимённо с <tex dpi=130> f </tex>. 
# <tex dpi=130> f^{-1} </tex> непрерывна.
}}

=== Две леммы к определению показательной функции ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex dpi=130> a > 0, \ \{ r_n \} </tex> — последовательность рациональных чисел, <tex dpi=130> r_n \to 0 </tex>. Тогда <tex dpi=130> a^{r_n} \to 1 </tex>.
}}

{{Лемма
|statement=
Пусть <tex dpi=130> a > 0, \ x \in \mathbb{R}, \ \{ r_n \} </tex> — последовательность рациональных чисел, <tex dpi=130> r_n \to x </tex>. Тогда существует конечный предел последовательности <tex dpi=130> \left \{ a^{r_n} \right \} </tex>.
}}

=== Свойства показательной функции: монотонность, экспонента суммы, непрерывность ===
{{Теорема
|statement=
Показательная функция строго возрастает на <tex dpi=130> \mathbb{R} </tex> при <tex dpi=130> a > 1 </tex> и строго убывает при <tex dpi=130> 0 < a < 1 </tex>. 
<tex dpi=130> a^{x + y} = a^x a^y </tex> 
Показательная функция непрерывна на <tex dpi=130> \mathbb{R} </tex>.
}}

=== Свойства показательной функции: композиция экспонент, обратимость. Логарифм. Его свойства. ===
{{Теорема
|statement=
<tex dpi=130> (a^x)^y = a^{xy} </tex> 
<tex dpi=130> (ab)^x = a^x b^x </tex> 
<tex dpi=130> показательная функция — биекция между <tex dpi=130> \mathbb{R} </tex> и <tex dpi=130> \left ( 0, + \infty \right ) </tex>
}}

{{Теорема
|statement=
<tex dpi=130> \log_a (x, y) = \log_a x + \log_a y \ (x, y > 0) </tex> 
<tex dpi=130> \log_a x^{\alpha} = \alpha \log_a x </tex> 
<tex dpi=180> \log_a x = {{\log_b x} \over {\log_b a}} </tex>
}}

=== Непрерывность тригонометрических функций и обратных к ним ===
{{Теорема
|statement=
<tex dpi=130> \sin, \ \cos, \ \tan, \ \cot </tex> и обратные к ним непрерывны на <tex dpi=130> \mathbb{R} </tex>.
}}

=== Замечательные пределы с участием синуса, логарифма, степенной и показательной функции ===
{{Теорема
|statement=
<tex dpi=130> \underset{x \to 0}{\lim} {{\sin x} \over {x}} = 1 </tex> 
<tex dpi=130> \underset{x \to \infty}{\lim} \left ( 1 + {{1} \over {x}} \right ) ^x = e </tex> 
<tex dpi=130> \underset{x \to 0}{\lim} {{\log_a (1 + x)} \over {x}} = {{1} \over {\ln a}}, \ a > 0, a \neq 1 </tex> 
<tex dpi=130> \underset{x \to 0}{\lim} {{(1 + x)^{\alpha} - 1} \over {x}} = \alpha, \ \alpha \in \mathbb{R} </tex> 
<tex dpi=130> \underset{x \to 0}{\lim} {{a^x - 1} \over {x}} = \ln a, \ a > 0 </tex>
}}

=== Теорема о замене на эквивалентную при вычислении пределов. Таблица эквивалентных ===
{{Теорема
|about=замена на эквивалентную при вычислении пределов
|statement=
Пусть <tex dpi=130> X </tex> — метрическое пространство, <tex dpi=130> f, \tilde{f}, g, \tilde{g}: D \subset X \to \mathbb{R} \ (\mathbb{C}) </tex>, <tex dpi=130> x_0 </tex> — предельная точка <tex dpi=130> D </tex>, <tex dpi=130> f(x) ~ \tilde{f}(x), g(x) ~ \tilde{g}(x), \ x \to x_0 </tex>. Тогда справедливы следующие утверждения:
# <tex dpi=130> \underset{x \to x_0}{\lim} f(x)g(x) = \underset{x \to x_0}{\lim} \tilde{f}(x) \tilde{g}(x) </tex> 
# Если <tex dpi=130> x_0 </tex> — предельная точка области определения <tex dpi=180> {{f} \over {g}} </tex>, то <tex dpi=180> \underset{x \to x_0}{\lim} {{f(x)} \over {g(x)}} = \underset{x \to x_0}{\lim} {{\tilde{f}(x)} \over {\tilde{g}(x)}} </tex>
}}

=== Теорема единственности асимптотического разложения ===
{{Теорема
|about=о единственности асимптотического разложения
|statement=
Пусть <tex dpi=130> X </tex> — метрическое пространство, <tex dpi=130> D \subset X </tex>, <tex dpi=130> x_0 </tex> — предельная точка <tex dpi=130> D </tex>, <tex dpi=130> n \in \mathbb{Z}_{+}, f, g_k: D \to \mathbb{R} \ (\mathbb{C}), k \in \left [ 0 : n \right ] </tex>, при всех <tex dpi=130> k \in \left [ 0: n - 1 \right ] \ g_{k + 1} (x) = o(g_k (x)), \ x \to x_0 </tex>, и для любой окрестности <tex dpi=130> V_{x_0} </tex> существует точка <tex dpi=130> t \in V_{x_0} \cap D </tex>, в которой <tex dpi=130> g_n (t) \neq 0 </tex>. Тогда, если асимптотическое разложение функции <tex dpi=130> f </tex> по системе <tex dpi=130> \{ g_k \} </tex> существует, то оно единственно: из равенств 
<tex dpi=130> f(x) = \underset{k=0}{\overset{n}{\sum}} c_k g_k (x) + o(g_n (x)), \ x \to x_0 </tex> 
<tex dpi=130> f(x) = \underset{k=0}{\overset{n}{\sum}} d_k g_k (x) + o(g_n (x)), \ x \to x_0 </tex> 
следует, что <tex dpi=130> c_k = d_k </tex> при всех <tex dpi=130> k \in \left [ 0 : n \right ] </tex>
}}

=== Равносильность двух определений производной. Правила дифференцирования. ===
{{Теорема
|statement=
Два определения производной равносильны.
}}

Правила: производные суммы-разности; произведения; частного; композиции <tex dpi=130> (g \circ f)' (x) = g'(f(x)) \cdot f'(x) </tex>; обратной функции <tex dpi=180> (f^{-1})'(f(x)) = {1 \over {f'(x)}} </tex>

=== Дифференцирование композиции и обратной функции ===
=== Теорема Ферма (с леммой) ===
=== Теорема Ролля ===
=== Теоремы Лагранжа и Коши. Следствия об оценке приращения и о пределе производной ===
=== Теорема Дарбу. Следствия ===
=== Формула Тейлора с остатком в форме Пеано ===
=== Формула Тейлора с остатком в форме Лагранжа ===