Неотделимые множества

2014-09-16T20:56:19Z

91.122.103.104:

{{Лемма
|author=1
|statement=
Существует вычислимая функция, не имеющая всюду определенного вычислимого продолжения.
|proof=
Рассмотрим функцию <tex>f(n) = U(n, n) + 1</tex>, где <tex>U(n, n)</tex> {{---}} [[Диагональный метод|универсальная функция]].

Предположим, у нее существует всюду определенное продолжение <tex>g(n)</tex>. Это значит, что <tex>f(n) \neq \bot \Rightarrow g(n) = f(n)</tex> и <tex>\forall n: g(n) \neq \bot </tex>.

По определению универсальной функции <tex>g(n) = U(i, n)</tex> для некоторого <tex>i</tex>. Тогда <tex>g(i) = U(i, i)</tex>. Поскольку <tex>g(n)</tex> всюду определена, то <tex>U(i, i) \neq \bot</tex>. Значит, определено значение <tex>f(i)</tex> и <tex>g(i) = f(i) = U(i, i) + 1</tex>. Получили противоречие.

Таким образом, построенная функция <tex>f(n)</tex> не имеет всюду определенного вычислимого продолжения.
}}

{{Лемма
|author=2
|statement=
Существует вычислимая функция, значения которой принадлежат множеству <tex>\{0, 1, \bot\}</tex>, не имеющая всюду определенного вычислимого продолжения.
|proof=
Рассмотрим функцию
<tex>f(n) = \begin{cases}
0 & U(n, n) \neq 0 \text{, }U(n, n) \neq \bot \\
1 & U(n, n) = 0 \\
\bot & U(n, n) = \bot
\end{cases}</tex>

Предположим, у нее существует всюду определенное продолжение <tex>g(n)</tex>.

<tex>g(n) = U(i, n)</tex> для некоторого <tex>i</tex>.

<tex>g(i) = U(i, i)</tex>. Поскольку <tex>g(n)</tex> всюду определена, то <tex>U(i, i) \neq \bot</tex> и определено значение <tex>f(i)</tex>. Но по построению функции <tex>f(n)</tex> видим, что <tex>f(i) \neq U(i, i)</tex>. Получили противоречие.
}}

{{Теорема
|statement=
Существуют такие непересекающиеся перечислимые множества <tex>X'</tex> и <tex>Y'</tex>, что не существует таких разрешимых множеств <tex>X</tex> и <tex>Y</tex>, что <tex>X' \subset X</tex>, <tex>Y' \subset Y</tex>, <tex>X \cap Y = \O</tex>, <tex>X \cup Y = \mathbb{N}</tex>. Такие множества <tex>X'</tex> и <tex>Y'</tex> называют '''неотделимыми'''.
|proof=
Рассмотрим множества <tex>X' = \{n \mid f(n) = 0\}</tex> и <tex>Y' = \{n \mid f(n) = 1\}</tex>, где <tex>f(n)</tex> - функция из леммы 2.

Пусть существуют <tex>X</tex> и <tex>Y</tex>, удовлетворяющие указанным свойствам. Тогда вычислима характеристическая функция множества <tex>Y</tex>, то есть функция <tex>g(n) = \begin{cases}
1 & n \in Y \\
0 & n \notin Y (n \in X)
\end{cases}</tex>

Заметим, что <tex>g(n)</tex> всюду определена и является продолжением <tex>f(n)</tex>, что противоречит лемме 2.
}}

== Литература ==

*Верещагин, Шень. Вычислимые функции.

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Неотделимые множества