Алгоритм Ахо-Корасик

2019-09-12T13:07:07Z

91.185.54.128: /* Поиск шаблонов с масками */

{{Задача
|definition = Дан набор строк в алфавите размера <tex>k</tex> суммарной длины <tex>m</tex>. Необходимо найти для каждой строки все ее вхождения в текст.
}}

==Алгоритм==
=== Шаг 1. Построение бора ===
Строим [[Бор|бор]] из строк. 
Построение выполняется за время <tex>O(m)</tex>, где <tex>m</tex> {{---}} суммарная длина строк.

====Пример построенного бора====
Бор для набора строк <tex> \{ \textbf{he},\ \textbf{she},\ \textbf{his},\ \textbf{hers}\} </tex>: 
[[Файл:Бор.jpg‎]]

=== Шаг 2. Преобразование бора ===
Обозначим за <tex>[u]</tex> слово, приводящее в вершину <tex>u</tex> в боре. 
Узлы бора можно понимать как состояния [[Детерминированные_конечные_автоматы | автомата]], а корень как начальное состояние. 
Узлы бора, в которых заканчиваются строки, становятся терминальными. 
Для переходов по автомату заведём в узлах несколько функций: 
*<tex>\mathrm{parent}(u)</tex> {{---}} возвращает родителя вершины <tex>u</tex>; 
*<tex>\pi(u) = \delta(\pi(\mathrm{parent}(u)), c)</tex> {{---}} '''суффиксная ссылка''', и существует переход из <tex>\mathrm{parent}(u)</tex> в <tex>u</tex> по символу <tex>c</tex>; 
*<tex>\delta(u, c) =
\begin{cases}
v, &\text{if $v$ is son by symbol $c$ in trie;}\\
root, &\text{if $u$ is root and $u$ has no child by symbol $c$ in trie}\\
\delta(\pi(u), c), &\text{else.}
\end{cases}</tex> {{---}} функция перехода.
Мы можем понимать рёбра бора как переходы в автомате по соответствующей букве. Однако одними только рёбрами бора нельзя ограничиваться. Если мы пытаемся выполнить переход по какой-либо букве, а соответствующего ребра в боре нет, то мы тем не менее должны перейти в какое-то состояние. Для этого нам и нужны суффиксные ссылки.
 Суффиксная ссылка <tex>\pi(u) = v</tex>, если <tex>[v]</tex> {{---}} максимальный суффикс <tex>[u]</tex>, <tex>[v]\neq[u]</tex>.
Функции перехода и суффиксные ссылки можно найти либо алгоритмом [[Обход в глубину, цвета вершин | обхода в глубину]] с ленивыми вычислениями, либо с помощью алгоритма [[Обход в ширину | обхода в ширину]].

Из определений выше можно заметить два следующих факта:
* функция перехода определена через суффиксную ссылку, а суффиксная ссылка {{---}} через функию переходов;
* для построения суффиксных ссылок небходимо знать информацию только выше по бору от текущей вершины до корня.
Это позволяет реализовать функции поиска переходов по символу и суффиксных ссылок ленивым образом при помощи взаимной рекурсии.

==== Пример автомата Ахо-Корасик ====
[[Файл:axo.jpg]] 
Пунктиром обозначены суффиксные ссылки. Из вершин, для которых они не показаны, суффиксные ссылки идут в корень.

Суффиксная ссылка для каждой вершины <tex>u</tex> — это вершина, в которой оканчивается наидлиннейший собственный суффикс строки, соответствующей вершине <tex>u</tex>. Единственный особый случай — корень бора: для удобства суффиксную ссылку из него проведём в себя же. Например, для вершины <tex>5</tex> с соответствующей ей строкой <tex>"she"</tex> максимальным подходящим суффиксом является строка <tex>"he"</tex>. Видим, что такая строка заканчивается в вершине <tex>2</tex>. Следовательно суффиксной ссылкой вершины для <tex>5</tex> является вершина <tex>2</tex> .

===Шаг 3. Построение сжатых суффиксных ссылок ===
При построении автомата может возникнуть такая ситуация, что ветвление есть не на каждом символе. Тогда можно маленький бамбук заменить одним ребром. Для этого и используются сжатые суффиксные ссылки.

<tex>up(u) =
\begin{cases}
\pi(u), &\text{if $\pi(u)$ is terminal;}\\
\varnothing,&\text{if $\pi(u)$ is root;}\\
up(\pi(u)), &\text{else.}
\end{cases}</tex>

где <tex>up</tex> {{---}} сжатая суффиксная ссылка, т.е. ближайшее допускающее состояние (терминал) перехода по суффиксным ссылкам. Аналогично обычным суффиксным ссылкам сжатые суффиксные ссылки могут быть найдены при помощи ленивой рекурсии.

== Использование автомата ==
Теперь нужно сказать немного слов о том, как мы будем использовать наш автомат. По очереди просматриваем символы текста. Для очередного символа <tex>c</tex> переходим из текущего состояния <tex>u</tex> в состояние, которое вернёт функция <tex>\delta(u, c)</tex>. Оказавшись в новом состоянии, отмечаем по сжатым суффиксным ссылкам строки, которые нам встретились и их позицию (если требуется). Если новое состояние является терминалом, то соответствующие ему строки тоже отмечаем. 

== Пример реализации ==
Ниже представлена реализация некоторых функций (используется ленивая рекурсия). 
<tex>k</tex> {{---}} размер алфавита.

'''Структура вершины:'''
'''struct''' Node:
'''Node''' son[k] // массив сыновей
'''Node''' go[k] // массив переходов (запоминаем переходы в ленивой рекурсии), используемый для вычисления суффиксных ссылок
'''Node''' parent // вершина родитель
'''Node''' suffLink // суффиксная ссылка (вычисляем в ленивой рекурсии)
'''Node''' up // сжатая суффиксная ссылка
'''char''' charToParent // символ, ведущий к родителю
'''bool''' isLeaf // флаг, является ли вершина терминалом
'''vector<int>''' leafPatternNumber // номера строк, за которые отвечает терминал

'''Функция для вычисления суффиксной ссылки:'''
'''Node''' getSuffLink('''Node''' v):
'''if''' v.suffLink == ''null'' // если суффиксная ссылка ещё не вычислена
'''if''' v == root '''or''' v.parent == root
v.suffLink = root
'''else'''
v.suffLink = getLink(getSuffLink(v.parent), v.charToParent)
'''return''' v.suffLink

'''Функция для вычисления перехода:'''
'''Node''' getLink('''Node''' v, '''char''' c):
'''if''' v.go[c] == ''null'' // если переход по символу c ещё не вычислен
'''if''' v.son[c]
v.go[c] = v.son[c]
'''else''' '''if''' v == root
v.go[c] = root
'''else'''
v.go[c] = getLink(getSuffLink(v), c)
'''return''' v.go[c]

'''Функция для вычисления сжатой суффиксной ссылки:'''
'''Node''' getUp('''Node''' v):
'''if''' v.up == ''null'' // если сжатая суффиксная ссылка ещё не вычислена
'''if''' getSuffLink(v).isLeaf
v.up = getSuffLink(v)
'''else''' '''if''' getSuffLink(v) == root
v.up = root
'''else'''
v.up = getUp(getSuffLink(v))
'''return''' v.up

'''Функция для добавления строки в бор:'''
'''fun''' addString('''string''' s, '''int''' patternNumber):
'''Node''' cur = root
'''for''' i = 0 '''to''' s.length - 1
'''char''' c = s[i]
'''if''' cur.son[c] == 0
cur.son[c] = Node
/* здесь также нужно обнулить указатели на переходы и сыновей */
cur.son[c].suffLink = 0
cur.son[c].up = 0
cur.son[c].parent = cur
cur.son[c].charToParent = c
cur.son[c].isLeaf = ''false''
cur = cur.son[c]
cur.isLeaf = ''true''
cur.leafPatternNumber.pushBack(patternNumber)
'''Функция для процессинга текста (поиск, встречается строка или нет):'''
'''fun''' processText('''string''' t):
'''Node''' cur = root
'''for''' i = 0 '''to''' t.length - 1
'''char''' c = t[i] - 'a'
cur = getLink(cur, c)
/* В этом месте кода должен выполняться переход по '''сжатой''' суффиксной ссылке getUp(cur). Для вершины,
обнаруженной по ней тоже ставим, что она найдена, затем повторяем для её сжатой суффиксной ссылки
и так до корня. */
Кроме этих функций требуется инициализация, но она имеет отношение только к кодированию, поэтому здесь приведена не будет.

== Оптимизации ==
Существует несколько оптимизаций данного алгоритма, направленных на случаи, когда нас интересует только первое вхождение образца в текст:

# '''Сброс сжатых суффиксных ссылок для посещённых вершин.'''
#: Существенно ускорить работу алгоритма могут пометки о посещённости узла, то есть если узел посещён, то не переходить по сжатым суффиксным ссылкам. Вместо хранения пометок можно просто сбрасывать сжатую суффиксную ссылку.
# '''Сброс пометки терминальной вершины.'''
#: В изначальном множестве образцов могут быть дублирующиеся строки. Мы можем хотеть из различать, если с одинаковыми строками связана разная мета-информация. Тогда при попадании в терминальную вершину можно осуществлять сброс пометки этой терминальной вершины, что сэкономит время на обновлении информации о вхождении образцов в текст. Тривиальным примером, в котором возникает ситуация долгой обработки, служит огромное множество образцов из одинаковых символов и текст только из этих символов.

== Поиск шаблонов с масками ==

{{Задача
|definition = Пусть <tex>\varphi</tex> {{---}} маска, обозначающая любой одиночный символ. Необходимо найти для каждого заданного шаблона с масками все его вхождения в текст. 
}}
Например, шаблон <tex>ab\varphi\varphi c\varphi</tex>, который содержит в себе три маски, встречается на позициях <tex>2</tex> и <tex>7</tex> строки <tex>xabvccababcax</tex>.

=== Алгоритм поиска ===

Для того чтобы найти все вхождения в текст заданного шаблона с масками <tex>Q</tex>, необходимо обнаружить вхождения в текст всех его безмасочных кусков. 
Пусть <tex>\{Q_1, \dots, Q_k \}</tex> {{---}} набор подстрок
<tex>Q</tex>, разделенных масками, и пусть <tex>\{ l_1, \dots, l_k \}</tex> {{---}} их стартовые позиции в <tex>Q</tex>. Например, шаблон <tex>ab\varphi\varphi c\varphi</tex> содержит две подстроки без масок <tex>ab</tex> и <tex>c</tex> и их стартовые позиции соответственно <tex>1</tex> и <tex>5</tex>. Для алгоритма понадобится массив <tex>C</tex>. <tex>C[i]</tex> {{---}} количество встретившихся в тексте безмасочных подстрок шаблона, который начинается в тексте на позиции <tex>i</tex>. Тогда появление подстроки <tex>Q_i</tex> в тексте на позиции <tex>j</tex> будет означать возможное появление шаблона на позиции <tex>j - l_i + 1</tex>. 
# Используя алгоритм Ахо-Корасик, находим безмасочные подстроки шаблона <tex>Q</tex>: когда находим <tex>Q_i</tex> в тексте <tex>T</tex> на позиции <tex>j</tex>, увеличиваем на единицу <tex>C[j - l_i + 1]</tex>. 
# Каждое <tex>i</tex>, для которого <tex>C[i] = k</tex>, является стартовой позицией появления шаблона <tex>Q</tex> в тексте. 
Рассмотрим подстроку текста <tex>T[i \dots i+n-1]</tex>. Равенство <tex>C[i] = k</tex> будет означать, что подстроки текста <tex> T[i + l_1 \dots i + l_1 + |Q_1| - 1], T[i + l_2 \dots i + l_2 + |Q_2| - 1]</tex> и так далее будут равны соответственно безмасочным подстрокам шаблона <tex>\{Q_1, \dots , Q_k \}</tex>. Остальная часть шаблона является масками, поэтому шаблон входит в текст на позиции <tex>i</tex>. 
Поиск подстрок заданного шаблона с помощью алгоритма Ахо-Корасик выполняется за время <tex>O(m+n+a)</tex>, где <tex>n</tex> {{---}} суммарная длина подстрок, то есть длина шаблона, <tex>m</tex> {{---}} длина текста, <tex>a</tex> {{---}} количество появлений подстрок шаблона. Далее просто надо пробежаться по массиву <tex>C</tex> и просмотреть значения ячеек за время <tex>O (m)</tex>.

==См. также==
* [[Алгоритм Бойера-Мура]]
* [[Алгоритм Кнута-Морриса-Пратта]]

== Источники информации ==
*[http://e-maxx.ru/algo/aho_corasick MAXimal :: algo :: Алгоритм Ахо-Корасик]
*[http://aho-corasick.narod.ru Сопоставление множеств и алгоритм Ахо-Корасик]
*[http://codeforces.com/blog/entry/14854?locale=ru Codeforces :: Алгоритм Ахо-Корасик]
*[https://habrahabr.ru/post/198682/ Habr :: Алгоритм Ахо-Корасик]
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC_%D0%90%D1%85%D0%BE_%E2%80%94_%D0%9A%D0%BE%D1%80%D0%B0%D1%81%D0%B8%D0%BA Wiki :: Алгоритм Ахо-Корасик]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Поиск подстроки в строке]]
[[Категория: Точный поиск]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Алгоритм Ахо-Корасик