Теорема Холла

2016-05-31T00:38:10Z

91.193.174.8: /* Определения */

==Определения==

Пусть <tex>G(V,E)</tex> {{---}} [[Основные_определения_теории_графов#Двудольный_граф |двудольный граф]].<ref name="Generalizing"/> <tex>L</tex> {{---}} множество вершин левой доли. <tex>R</tex> {{---}} множество вершин правой доли.
{{Определение
|id=def1.
|nеat=1
|definition='''Полным (совершенным)''' паросочетанием ''(англ. perfect matching)'' называется паросочетание, в которое входят все вершины.
}}
{{Определение
|id=def2.
|nеat=1
|definition=Пусть <tex>X \subset V </tex>. '''Множeство соседей''' <tex>X</tex> ''(англ. neighborhood)'' определим формулой: <tex>N(X)= \{ y \in V \mid (x,y) \in E , x \in X\}</tex>
}}

==Теорема==
{{Теорема
|id=th1.
|author=Холл <ref name="Marriage"/>
|statement=Полное паросочетание существует тогда и только тогда, когда для любого <tex>A \subset L </tex> выполнено <tex>|A| \leqslant |N(A)|</tex>.
|proof=
<tex>\Rightarrow</tex> 
Очевидно, что если существует полное паросочетание, то для любого <tex>A \subset L </tex> выполнено <tex>|A| \leqslant |N(A)|</tex>. У любого подмножества вершин есть по крайней мере столько же ''соседей'' (''соседи по паросочетанию'').

<tex>\Leftarrow</tex> 
В обратную сторону докажем по индукции (будем добавлять в изначально пустое паросочетание <tex>P</tex> по одному ребру и доказывать, что мы можем это сделать, если <tex>P</tex> не полное). Таким образом, в конце получим что <tex>P</tex> — полное паросочетание.

'''''База индукции'''''

Вершина из <tex>L</tex> соединена хотя бы с одной вершиной из <tex>R</tex>. Следовательно база верна.

'''''Индукционный переход'''''

Пусть после <tex>k<n</tex> шагов построено паросочетание <tex>P</tex>. Докажем, что в <tex>P</tex> можно добавить вершину <tex>x</tex> из <tex>L</tex>, не насыщенную паросочетанием <tex>P</tex>. Рассмотрим множество вершин <tex>H</tex> — все вершины, достижимые из <tex>x</tex>, если можно ходить из <tex>R</tex> в <tex>L</tex> только по ребрам из <tex>P</tex>, а из <tex>L</tex> в <tex>R</tex> по любым ребрам из <tex>G</tex>. Тогда в <tex>H</tex> найдется вершина <tex>y</tex> из <tex>R</tex>, не насыщенная паросочетанием <tex>P</tex>, иначе, если рассмотреть вершины <tex>H_L</tex> (вершины из <tex>H</tex> принадлежащие <tex>L</tex>), то для них не будет выполнено условие: <tex>|H_L| > |N(H_L)|</tex>. Тогда существует путь из <tex>x</tex> в <tex>y</tex>, который будет удлиняющим для паросочетания <tex>P</tex> (т.к из <tex>R</tex> в <tex>L</tex> мы проходили по ребрам паросочетания <tex>P</tex>). Увеличив паросочетание <tex>P</tex> вдоль этого пути, получаем искомое паросочетание. Следовательно предположение индукции верно.

}}

==Пояснения к доказательству==
[[Файл:aba.gif|600px|thumb|right|Пример]]

Пусть было построено паросочетание размером <tex>3</tex> (синие ребра).

Добавляем вершину с номером <tex>4</tex>.

Во множество <tex>H</tex> вошли вершины с номерами <tex>1</tex>, <tex>3</tex>, <tex>4</tex>, <tex>5</tex>, <tex>7</tex>, <tex>8</tex>.

Ненасыщенная вершина из правой доли всегда найдется (в примере вершина с номером <tex>8</tex>), т.к иначе получаем противоречие:
# В <tex>H_R</tex> входят только насыщенные вершины.
# <tex>N(H_L) = H_R</tex>
# В <tex>H_L</tex> по крайней мере <tex>H_R+1</tex> вершин (''соседи'' по паросочетанию для каждой вершины из <tex>H_R</tex> и ещё одна вершина, которую пытаемся добавить).
Цепь <tex>{4, 7, 3, 8}</tex> является удлиняющей для текущего паросочетания.

Увеличив текущее парасочетание вдоль этой цепи, мы насытим вершину с номером <tex>4</tex>.

==Примечания==
<references>
<ref name="Generalizing">Также теорема обобщается на граф, имеющий произвольное множество долей.</ref>
<ref name="Marriage">Иногда теорему называют теоремой о свадьбах.</ref>
</references>

==Источники информации==
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%A5%D0%BE%D0%BB%D0%BB%D0%B0 Википедия {{---}} Теорема Холла]
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Hall%27s_marriage_theorem Wikipedia {{---}} Hall's marriage theorem]

[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Задача о паросочетании ]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Теорема Холла