Cортировка слиянием с использованием O(1) дополнительной памяти

2012-06-09T14:03:33Z

91.203.168.184: /* Алгоритм */

На вход алгоритм получает массив, который состоит из двух отсортированных частей. Нам необходимо за <tex>O(1)</tex> дополнительной памяти и <tex>O(n)</tex> времени получить отсортированный массив.

== Алгоритм ==
У нас есть массив, который состоит из двух отсортированных частей:

[[Файл:Merge_O(1)_1.png|525px]]

Разобьем наш массив на <tex>cnt</tex> подряд идущих блоков длиной <tex>len = \lfloor \sqrt{n} \rfloor </tex>. Остаток трогать не будем.

[[Файл:Merge_O(1)_2.png|525px]]

Найдем блок, содержащий конец первой отсортированной части. Поменяем его с последним блоком. В дальнейшем будем использовать его как буфер обмена.

[[Файл:Merge_O(1)_3.png|525px]]

Отсортируем блоки по возрастанию по первому элементу (если первые элементы равны, тогда по последнему). Для этого подойдет любая квадратичная или более быстрая сортировка, которая требует <tex> O (1) </tex> дополнительной памяти. Для линейной асимптотики надо использовать алгоритм, линейный по числу обменов, т.е. подходит [[Сортировка выбором|сортировка выбором]]. Следует заметить, что, после сортировки этих блоков, элементы, которые стоят левее заданного и больше его, находились в противоположной части отсортированного массива, также они находятся в пределах одной группы, поэтому количество инверсий для каждого элемента не больше <tex>\sqrt{n}</tex>.

Так как блоков <tex> \sqrt{n} </tex>, то количество операций на этом шаге <tex> O(n) </tex>.

[[Файл:Merge_O(1)_4.png|525px]]

Пользуясь буфером обмена, последовательно сольем пары соседних блоков (процесс слияния блоков описан ниже) <tex>([0, ~ len - 1]</tex> и <tex>[len, ~ 2 ~ len - 1],</tex> потом <tex>[len, ~ 2 ~ len - 1]</tex> и <tex>[2 ~ len, ~ 3 ~ len - 1],</tex> и т.д.<tex>)</tex>. Так как после предыдущего шага количество инверсий для каждого элемента не больше <tex>\sqrt{n}</tex>, то ему надо сдвинуться влево не больше, чем на <tex>\sqrt{n}</tex> элементов, поэтому в результате мы получим, что первые <tex>len \cdot (cnt - 1)</tex> элементов исходного массива отсортированы.

Количество блоков <tex> \sqrt{n} </tex> и каждое слияние работает за <tex> О O(\sqrt{n}) </tex> , поэтому количество операций на этом шаге <tex> O(n) </tex>.

[[Файл:Merge_O(1)_5.png|525px]]

<tex>S</tex> {{---}} размер остатка вместе с буфером. Используя квадратичную или более быструю сортировку, которая требует <tex> O(1) </tex> дополнительной памяти, отсортируем подмассив длиной <tex> 2S </tex>, который находится в конце.

Так как <tex>S < 2 \sqrt{n}</tex>, то сортировка пройдет за <tex>O(n)</tex>.

[[Файл:Merge_O(1)_6.png|525px]]

Теперь на последних <tex> S </tex> местах будут находиться <tex> S </tex> максимальных элементов. Оставшаяся часть представляет собой массив, содержащий две отсортированные части, причем размер второй равен <tex> S </tex>. По аналогии с тем что делали раньше, только в обратную сторону, отсортируем оставшуюся часть, разделив ее на блоки длиной <tex>S</tex>, используя последние <tex>S</tex> как буфер обмена. Не забудем после отсортировать буфер обмена.

[[Файл:Merge_O(1)_7.png|525px]]

В результате мы получили отсортированный исходный массив.

== Использование буфера обмена ==
Попытаемся слить первый и второй блок. Поменяем местами первый блок с буфером обмена. И, как в обычном слиянии, пользуясь двумя указателями, сливаем второй блок и только что измененный буфер. Результат начинаем записывать с начала первого блока. Чтобы не потерять данные, вместо записи используем обмен элементов. Так как блоки имеют одинаковую длину и между указателем на второй блок и указателем на запись расстояние равно длине блока, то слияние произойдет корректно.

[[Файл:Merge_O(1)_buffer.png|355px]]

== Ссылки и литература ==
*[http://habrahabr.ru/post/138146/ Сортировка слиянием без использования дополнительной памяти]
*[http://e-maxx.ru/bookz/files/knuth_3.djvu Д.Е.Кнут - Искусство программирования (том 3) упр 18 к разделу 5.2.4]
*[http://pastebin.com/hN2SnEfP Реализация алгоритма на JAVA]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Сортировки]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Cортировка слиянием с использованием O(1) дополнительной памяти