Турниры

2017-01-08T19:13:01Z

92.100.136.98: /* Транзитивность */

{{Определение
|definition = '''Турнир''' (англ. ''Tournament'') — [[ориентированный граф]], между любой парой различных вершин которого есть ровно одно ориентированное ребро.
}}
Турниром из <tex>n</tex> вершин можно изобразить исход игры между <tex>n</tex> людьми, где каждый играет с каждым. Тогда ребро будет ориентировано от выигравшего человека к проигравшему.

[[Файл:Tournament_1_3.png|415px|thumb|left|Турниры из трех вершин]]

<br clear="all">
==Свойства турниров==
===Оценка количества турниров в графе===
Если в турнире опустить ориентацию ребер, то мы получим полный граф. А так как существует два варианта ориентации каждого ребра, то количество турниров в графе из <tex>n</tex> вершин равно <tex dpi=150>2^{\frac{n\cdot(n-1)}{2}}</tex>.
===Транзитивность===

[[Файл:Tournament_transitive.png|300px|thumb|right|Транзитивный турнир с 8 вершинами]]
Турнир, в котором <tex>(a, b)\land(b, c) \Rightarrow (a, c)</tex>, называется транзитивным. В транзитивном турнире вершины могут быть полностью упорядочены в порядке достижимости.
{{Теорема
|id=theorem1
|statement=
Пусть <tex>T=\langle V, E\rangle</tex> — турнир, <tex>| V| = n</tex>. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
#<tex>T</tex> транзитивен;
#<tex>T</tex> не содержит циклов длины <tex>3</tex>;
#<tex>T</tex> ациклический;
# множества, составленные из <tex>\deg^{-}</tex> или <tex>\deg^{+}</tex> для каждой вершины <tex>T</tex>, есть <tex>\{ 0, 1, 2,..., n - 1\} </tex>;
#<tex>T</tex> содержит ровно один гамильтонов путь.
|proof=
<tex>1 \Rightarrow 2:</tex> Пусть существует цикл длины <tex>3: (u, v), (v, w), (w, u). </tex> Однако по транзитивности должно существовать ребро <tex>(u, w)</tex>, т.е. между <tex>u, w</tex> есть <tex>2</tex> противоположно направленных ребра, что невозможно по определению турнира.

<tex>2 \Rightarrow 3:</tex> Пусть в графе содержится цикл длины <tex>k \neq 3</tex>. Это не может быть цикл длины <tex>2</tex> (противоречит определению турнира). Обозначим его вершины в порядке обхода <tex>v_1, v_2, \ldots, v_k, k \geqslant 4</tex>. Заметим, что т.к. нет циклов длины <tex>3</tex>, выполнена транзитивность (в противном случае существовали бы ребра <tex>(u, v), (v, w), (w, u)</tex>). Докажем по индукции, что существует ребро <tex>(v_1, v_{k - 1}).</tex>

'''База индукции''' <tex>k = 3</tex>: <tex>(v_1, v_2) , (v_2, v_3) \in E \Rightarrow (v_1, v_3) \in E </tex> (по транзитивности).

'''Переход индукции''' Пусть доказано для всех <tex>i < k - 1</tex>, что <tex>(v_1, v_i) \in E</tex>, также известно, что <tex>(v_i, v_{i+1}) \in E</tex>, тогда по транзитивности <tex>(v_1, v_{i+1}) \in E</tex>.

Таким образом, в транзитивном турнире содержится цикл длины <tex>3</tex> — противоречие (см. предыдущий пункт).

<tex>3 \Rightarrow 4: </tex> Обозначим множество значений степеней исхода как <tex>Deg^{+}(T)</tex>. Докажем индукцией по <tex>n</tex>.

'''База индукции''' <tex>n = 1</tex>: верно, т.к. есть одна вершина степени <tex>0</tex>

'''Переход индукции''' Пусть доказано для <tex>n - 1</tex>. В ациклическом графе существует сток <tex>t, deg^{+}t = 0</tex>. Рассмотрим граф <tex>T-t</tex>. <tex>Deg^{+}(T - t) = \{0, 1, \ldots, n - 2\}</tex> . Т.к. из каждой <tex>v \in V \setminus \{t\}</tex> ведет одно ребро в <tex>t</tex>, <tex> Deg^{+}(T)=\{deg^{+}t\} \cup \{x + 1 \mid x \in Deg^{+}(T -t)\} = \{0, 1, \ldots, n - 1\}</tex>. Для степеней захода можно доказать аналогично, рассмотрев исток вместо стока.

<tex>4 \Rightarrow 5: </tex> По [[Теорема Редеи-Камиона|теореме Редеи-Камиона]], в любом турнире есть гамильтонов путь, докажем единственность индукцией по <tex>n</tex>.

'''База индукции''' <tex>n = 1</tex>: верно, путь из одной вершины.

'''Переход индукции''' Рассмотрим вершину <tex>s: deg^{-}(s) = 0</tex>. Она будет первой в гамильтоновом пути. Рассмотрим граф <tex>T - s</tex>, в нем существует единственный гамильтонов путь (по предположению), значит и в <tex>T</tex> он будет единственным.

<tex>5 \Rightarrow 1: </tex> Пусть <tex>P=\{v_1, v_2, \ldots, v_n\}</tex> — единственный гамильтонов путь. Пусть найдется <tex>m</tex> — наименьший индекс такой, что в вершину <tex>v_m</tex> идет ребро из вершины с большим индексом, а <tex>v_k</tex> — вершина с наибольшим индексом, из которой ребро ведет в <tex>v_m</tex>. Возможно несколько случаев:
# <tex> m \neq 1, k \neq n: </tex> Из <tex>v_{m -1}</tex> ведет ребро в <tex>v_{m+1}</tex> (по минимальности <tex>m</tex>), а из <tex>v_m</tex> ведет ребро в <tex>v_{k +1}</tex> (по максимальности <tex>k</tex>). Тогда будет существовать еще один гамильтонов путь <tex>P_1 = \{v_1, \ldots, v_{m-1}, v_{m+1}, \ldots, v_{k}, v_m, v_{k+1}, \ldots, v_n\}</tex>.
# <tex> m \neq 1, k = n: </tex> <tex>P_1 = \{v_1, \ldots, v_{m-1}, v_{m+1}, \ldots, v_{n}, v_m\}</tex>.
# <tex> m = 1, k \neq n:</tex> <tex>P_1 = \{v_2, \ldots, v_{k}, v_1, v_{k+1}\}</tex>
#<tex> m = 1, k = n:</tex> <tex>P_1 = \{v_2, \ldots, v_n, v_1\}</tex>
'''Замечание''' Может достигаться равенство <tex>m + 1 = n</tex>, в этом случае нужно исключить из пути <tex>2</tex> последовательных вхождения <tex>v_n</tex>.
Во всех случаях получаем противоречие с единственностью гамильтонова пути, значит не существует такого <tex>m</tex>, т.е <tex>(v_i, v_j) \in E \Leftrightarrow i < j</tex>. Значит <tex>\forall i, j, k: 1 \leqslant i, j, k \leqslant n, (v_i, v_j) \in E \land (v_j, v_k) \in E \Rightarrow i < j \land j < k \Rightarrow (v_i, v_k) \in E </tex>.
}}

===Теория Рамсея===
Транзитивные турниры играют существенную роль в [[Теория_Рамсея | теории Рамсея]], изучающей условия, при которых в произвольно формируемых математических объектах обязан появиться некоторый порядок. В частности, любой турнир с <tex>n</tex> вершинами содержит транзитивный подтурнир с <tex>1+\lfloor\log_2 n\rfloor</tex> вершинами. Для его построения выберем любую вершину <tex>v</tex> как часть этого подтурнира и построим подтурнир рекурсивно на множестве либо входящих соседей вершины <tex>v</tex>, либо на множестве исходящих соседей, в зависимости от того, какое множество больше.
<br clear="all">

===Конденсация===
{{Утверждение
|statement = Конденсация любого турнира является транзитивным турниром.
|proof = Рассмотрим <tex>2</tex> компоненты сильной связности <tex>U, V</tex>, найдутся <tex>u \in U, v \in V: (u, v) \in E</tex>, либо <tex>(v, u) \in E </tex>, значит в конденсации есть либо ребро <tex>(U,V)</tex>, либо <tex>(V,U)</tex>. Т.к. мы рассмотрели произвольную пару вершин конденсации турнира, она является турниром. Конденсация любого орграфа ациклична, а по доказанной [[#theorem1|теореме]], это означает, что она транзитивна.
}}
Таким образом, даже если турнир не является транзитивным, сильно связанные компоненты турнира могут быть [[Отношение порядка|вполне упорядочены]]. В самом деле, по [[#theorem1|теореме]], в турнире существует гамильтонов путь, значит вершины могут быть упорядочены по своим позициям в этом пути.

===Сильно связные турниры===
{{Определение|definition = Турнир называется [[Отношение связности, компоненты связности#sc_def |сильно связным]], если из любой вершины существуют пути до всех других.}}
{{Определение
|definition = Турнир называется [[Гамильтоновы графы | гамильтоновым]], если он содержит гамильтонов цикл.
}}

[[Файл:Tournament_2.png|380px|thumb|right|Негамильтонов турнир]]

Не все турниры гамильтоновы. Определение не исключает существование вершины с <tex>\deg^{-}</tex> или <tex>\deg^{+}</tex> равной нулю — в первую нельзя войти, а из второй — выйти. Однако отсутствие таких вершин не означает, что турнир гамильтонов (пример — на рисунке справа).

[[Теорема Редеи-Камиона]] устанавливает два следующих факта:
# Все турниры полугамильтоновы.
# Турнир гамильтонов тогда и только тогда, когда он сильно связен.
<br clear="all">

==См. также==
* [[Гамильтоновы графы]]
* [[Теорема Редеи-Камиона]]
* [http://epubs.siam.org/doi/abs/10.1137/0403002 Поиск гамильтонова цикла за <tex>O(n\cdot log(n))</tex>]

==Источники информации==
* Асанов М. О., Баранский В. А., Расин В. В. '''Дискретная математика: графы, матроиды, алгоритмы''' — НИЦ РХД, 2001. — ISBN 5-93972-076-5
* [[wikipedia:Tournament_(graph_theory) | Wikipedia {{---}} Турнир]]
* [http://www-math.ucdenver.edu/~wcherowi/courses/m4408/gtln12.html]

[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Обходы графов]]
[[Категория: Гамильтоновы графы]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Турниры