Предел монотонных функций

2021-10-18T13:39:12Z

93.175.0.210: /* Простая, но важная теорема */

[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
== Монотонные функции ==
{{Определение
|definition=
<tex> y = f(x), x \in \mathbb R </tex>.
Если <tex>\ \forall x_1 < x_2\ \ f(x_1) < f(x_2) </tex>, то <tex>f(x)</tex> '''возрастает''', пишут <tex>f(x)\!\!\uparrow</tex>.

Если <tex>\ \forall x_1 < x_2\ \ f(x_1) > f(x_2) </tex>, то <tex>f(x)</tex> '''убывает''', пишут <tex>f(x)\!\!\downarrow</tex>.

Класс функций <tex>f(x)\!\!\downarrow</tex> и <tex>f(x)\!\!\uparrow</tex> {{---}} класс '''монотонных''' функций.
}}

== Односторонние пределы ==

{{Определение
|definition=
<tex> A = \lim\limits_{x \to a+0} f(x) = f(a+0)</tex> {{---}} '''правосторонний''' предел, если <tex>\forall \varepsilon > 0 \ \ \exists \delta: \ \ 0 < x - a < \delta \Rightarrow | f(x) - A| < \varepsilon </tex>.

<tex> A = \lim\limits_{x \to a-0} f(x) = f(a-0)</tex> {{---}} '''левосторонний''' предел, если <tex>\forall \varepsilon > 0 \ \ \exists \delta: \ \ 0 < a - x < \delta \Rightarrow | f(x) - A| < \varepsilon </tex>.

Если <tex>\ f(a-0) = f(a+0) = A </tex>, то <tex>A = \lim\limits_{x \to a} f(x)</tex>.
}}

== Классификация точек разрыва ==
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> a </tex> {{---}} точка разрыва функции <tex> f(x) </tex>. Тогда:
# Если <tex> \exists A = \lim\limits_{x \to a} f(x)</tex>, то <tex> a </tex> {{---}} точка '''устранимого''' разрыва, и, как правило, функцию доопределяют: <tex> f(a) = A</tex>.
# Если <tex> \exists f(a-0), f(a+0)</tex> и <tex> f(a-0) \ne f(a+0) </tex>, то в точке <tex> a </tex> {{---}} разрыв '''первого рода'''.
# Иначе в точке <tex> a </tex> {{---}} разрыв '''второго рода'''.
}}

== Простая, но важная теорема ==

{{Теорема
|statement =
Пусть функция <tex> f </tex> {{---}} монотонна и ограничена в проколотой окрестности точки <tex> x_0 </tex>. Тогда в этой точке у функции существует односторонний предел.

|proof =
Рассмотрим левосторонний предел и будем считать, что функция возрастает.

Так как <tex> f </tex> {{---}} ограничена, то <tex> M = \sup\limits_{x < x_0} f(x) < +\infty </tex>.

Докажем, что <tex> M = \lim\limits_{x \to x_0 - 0} f(x) </tex>, используя свойства <tex> \sup </tex>.

<tex>\forall \varepsilon > 0 \ \ \exists x_1 < x_0 : M - \varepsilon < f(x1)</tex>

Тогда так как <tex>f(x)\!\!\uparrow \forall x \in (x_1; x_0) \ \ f(x_1) \le f(x)</tex>, тогда для таких <tex> x \ \ M - \varepsilon < f(x) \le M \le M + \varepsilon </tex>.

В качестве <tex> \delta </tex> можно брать <tex> \delta = x_0 - x_1 </tex>, тогда предел существует по определению.
}}

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Предел монотонных функций