Лексикографический порядок

2019-06-16T19:17:26Z

93.185.28.177:

{{Определение
|definition=Пусть даны две последовательности <tex> ~A = a_1 a_2 \dots a_n </tex> и <tex> ~B = b_1 b_2 \dots b_m </tex>
Тогда последовательность <tex> ~A </tex> '''лексикографически меньше''' (англ. ''lexicographically less'') последовательности <tex> ~B </tex>, если выполняется одно из двух условий:
*<tex> n < m </tex> и при этом <tex> a_i = b_i </tex> для всех <tex>i \in [1 .. n] </tex>,
* <tex> \exists k\leqslant \min(n, m): a_k < b_k </tex> и при этом <tex> \forall j : j < k ~a_j = b_j </tex>.
}}

Приведем псевдокод сравнения последовательностей из элементов множества '''Т''':
'''function''' compare(A, B : '''list <T>'''): '''Ord''' // Возвращает "LT", если A < B, "GT", если A > B, или "EQ", если последовательности равны
'''for''' i = 1 '''to''' min(len(A), len(B))
'''if''' A[i] < B[i] // i-й элемент А меньше i-го элемента B, но префиксы длины i - 1 равны
'''return''' LT
'''if''' A[i] > B[i] // i-й элемент А больше i-го элемента B, но префиксы длины i - 1 равны
'''return''' GT
'''if''' len(A) < len(B) // А {{---}} префикс В, но не равна ей
'''return''' LT
'''if''' len(A) > len(B) // В {{---}} префикс А, но не равна ей
'''return''' GT
'''return''' EQ // Длины последовательностей и все элементы равны
{{Определение
|definition=Последовательности записаны в '''лексикографическом порядке''' (англ. ''lexicographical order''), если для любых <tex> i<j </tex> выполняется неравенство <tex> S_i<S_j </tex>, где <tex> S_i </tex> и <tex> S_j </tex> последовательности с номерами <tex> i </tex> и <tex> j </tex>.
}}
Например, слово "сон" лексикографически меньше слова "сонный", так как оно является его префиксом. Слово "низ" лексикографически меньше слова "нос", поскольку первые символы совпадают, а второй символ первого слова меньше, чем второй символ второго.

== Примеры ==
* Перестановки ('''светло-фиолетовым выделен''' общий префикс, '''темно-фиолетовым''' первый отличный элемент, так как <tex>4 < 6</tex>, то первая перестановка лексикографически меньше)
{| cellpadding="4" style="margin-left: left; margin-right: left;"
| [[Файл:Compareperm.png]]
|}
* Сочетания (так как <tex>4 < 6</tex>, то первое сочетание лексикографически меньше)
{| cellpadding="4" style="margin-left: left; margin-right: left;"
| [[Файл:Comparechoose.png]]
|}
* [[комбинаторные объекты|Разбиение на слагаемые]] (так как <tex>4 < 9</tex>, то первое разбиение на слагаемые лексикографически меньше)
{| cellpadding="4" style="margin-left: left; margin-right: left;"
| [[Файл:Compare part.png]]
|}

* Последовательность чисел в любой системе счисления, записанных в фиксированной разрядной сетке (<tex>000</tex>, <tex>001</tex>, <tex>002</tex>, <tex>003</tex>, <tex>004</tex>, <tex>005</tex>, <tex>\dots</tex>, <tex>999</tex>).
* Порядок слов в словаре. Предполагается, что буквы можно сравнивать, сравнивая их номера в алфавите. Тогда лексикографический порядок {{---}} это, например, <tex>AAA</tex>, <tex>AAB</tex>, <tex>AAC</tex>, <tex>AAD</tex>, <tex>\dots</tex>, <tex>ZZZ</tex>.
* Эти слова тоже записаны в лексикографическом порядке: <tex>airport</tex>, <tex>duck</tex>, <tex>horse</tex>, <tex>house</tex>, <tex>sleep</tex>.

== См. также ==
* [[Генерация комбинаторных объектов в лексикографическом порядке]]
* [[Получение предыдущего объекта]]
* [[Получение следующего объекта]]
== Источники информации==
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Lexicographical_order Wikipedia {{---}} Lexicographical order]
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BA%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BE%D0%BA Википедия {{---}} Лексикографический порядок ]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]

[[Категория: Комбинаторика ]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Лексикографический порядок