Нормальная подгруппа

2013-12-26T11:11:52Z

93.92.203.242: сына ты чо дибил

== Нормальные подгруппы ==
{{Определение
|definition=
[[Подгруппа|Подгруппа]] <tex>H</tex> группы <tex>G</tex> называется '''нормальной подгруппой''', если <tex>\forall x\in G,\,\forall h\in H : x\cdot h\cdot x^{-1}\in H</tex>.
}}

=== Свойства ===
{{Утверждение
|statement=Подгруппа <tex>H</tex> группы <tex>G</tex> нормальна тогда и только тогда, когда для любых <tex>x \in G</tex> выполнено <tex>xHx^{-1}=H</tex>.
|proof=<tex>xHx^{-1} \subset H</tex> по определению <tex>H</tex>. Подставив в предыдущее выражение <tex>x^{-1}</tex> вместо <tex>x</tex>, видим, что <tex>x^{-1}Hx \subset H</tex>. Следовательно, <tex>H = x(x^{-1}Hx)x^{-1} \subset xHx^{-1}</tex>.

Итого, <tex>xHx^{-1}=H</tex>. В другую сторону — прямо из определения.
}}
{{Утверждение
|statement=Любая подгруппа [[Абелева группа|абелевой группы]] {{---}} нормальна.
|proof=<tex>x n x^{-1} = x x^{-1} n = en = n</tex>.
}}

=== Примеры ===
* Подгруппа <tex>H =\{(1)</tex>, <tex>(2</tex> <tex>3)\}</tex> группы <tex>S_3</tex> [[Симметрическая группа|группы перестановок]] множества из трех элементов не является абелевой.

[[Категория: Теория групп]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Нормальная подгруппа