Задача о числе путей в ациклическом графе

2019-01-07T17:53:14Z

94.180.143.174: Была ошибка, из-за которой рекурсия не могла кончиться

{{Задача
|definition = Задан [[Основные определения теории графов|ациклический граф]] <tex>G</tex> и две вершины <tex>s</tex> и <tex>t</tex>. Необходимо посчитать количество путей из вершины <tex>s</tex> в вершину <tex>t</tex> по рёбрам графа <tex>G</tex>.
}}
</noinclude>
<includeonly>{{#if: {{{neat|}}}|
<div style="background-color: #fcfcfc; float:left;">
<div style="background-color: #ddd;">'''Задача:'''</div>
<div style="border:1px dashed #2f6fab; padding: 8px; font-style: italic;">{{{definition}}}</div>
</div>|
<table border="0" width="100%">
<tr><td style="background-color: #ddd">'''Задача:'''</td></tr>
<tr><td style="border:1px dashed #2f6fab; padding: 8px; background-color: #fcfcfc; font-style: italic;">{{{definition}}}</td></tr>
</table>}}
</includeonly>

== Решение задачи ==

=== Перебор всех возможных путей ===

Небольшая модификация алгоритма [[Обход в глубину, цвета вершин|обхода в глубину]]. Запустим обход в глубину от вершины <tex>s</tex>. При каждом посещении вершины <tex>v</tex> проверим, не является ли она искомой вершиной <tex>t</tex>. Если это так, то ответ увеличивается на единицу и обход прекращается. В противном случае производится запуск обхода в глубину для всех вершин, в которые есть ребро из <tex>v</tex>, причем он производится независимо от того, были эти вершины посещены ранее, или нет.

Функция <tex>\mathrm{countPaths(g, s, t)}</tex> принимает граф <tex>g</tex> в виде списка смежности, начальную вершину <tex>s</tex> и конечную вершину <tex>t</tex>.

'''countPaths'''(g, v, t)
'''if''' v == t
'''return''' 1
'''else'''
s = 0
'''for''' to '''in''' g[v]
s += '''count'''(g, to, t)
'''return''' s

Время работы данного алгоритма в худшем случае <tex>O(Ans)</tex>, где <tex>Ans</tex> — число путей в графе из <tex>s</tex> в <tex>t</tex>. Например, на следующем графе данный алгоритм будет иметь время работы <tex>O(2^{n/2})</tex>. Если же использовать метод динамического программирования, речь о котором пойдет ниже, то асимптотику можно улучшить до <tex>O(n)</tex>.

[[Файл:Dp-countpaths-example.png‎|600px| Пример графа, на котором алгоритм имеет время работы <tex>O(2^{n/2})</tex>]]

=== Метод динамического программирования ===

Пусть <tex>P(v)</tex> — число путей от вершины <tex> s </tex> до вершины <tex> v </tex>.
Тогда <tex>P(v)</tex> зависит только от вершин, ребра из которых входят в <tex>v</tex>. Тогда <tex>P(v) = \sum\limits_{c}P(c)</tex> таких <tex>c</tex>, что есть ребро из <tex>c</tex> в <tex>v</tex>. Мы свели нашу задачу к меньшим подзадачам, причем мы также знаем, что <tex>P(s) = 1</tex>. Это позволяет решить задачу методом динамического программирования.

=== Псевдокод ===

Пусть <tex>s</tex> — стартовая вершина, а <tex>t</tex> — конечная, для нее и посчитаем ответ. Будем поддерживать массив <tex>d</tex>, где <tex>d[v]</tex> — число путей из вершины <tex> s </tex> до вершины <tex>v</tex> и массив <tex>w</tex>, где <tex>w[v] = true</tex>, если ответ для вершины <tex>v</tex> уже посчитан, и <tex>w[v] = false</tex> в противном случае. Изначально <tex>w[i] = false</tex> для всех вершин <tex>i</tex>, кроме <tex>s</tex>, а <tex>d[s] = 1</tex>. Функция <tex>\mathrm{count(v)}</tex> будет возвращать ответ для вершины <tex>v</tex>. Удобнее всего это реализовать в виде рекурсивной функции с запоминанием. В этом случае значения массива <tex>d</tex> будут вычисляться по мере необходимости и не будут считаться лишний раз:

<tex> count(v) = \left \{
\begin{array}{ll}
d[v], & w[v]=true \\
\sum\limits_{c|cv \in E}count(c), & w[v]=false
\end{array}
\right.
</tex>

'''count'''(g, v)
'''if''' w[v]
return d[v]
'''else'''
sum = 0
w[v] = ''true''
'''for''' c '''in''' g[v]
sum += '''count'''(g, c)
d[v] = sum
'''return''' sum

'''countPaths'''(g, s, t)
d[s] = 1
w[s] = ''true''
answer = '''count'''(t)
'''return''' answer

Значение функции <tex>\mathrm{count(v)}</tex> считается для каждой вершины один раз, а внутри нее рассматриваются все такие ребра <tex>\{e\ |\ end(e) = v\}</tex>. Всего таких ребер для всех вершин в графе <tex>O(E)</tex>, следовательно, время работы алгоритма в худшем случае оценивается как <tex>O(V+E)</tex>, где <tex>V</tex> — число вершин графа, <tex>E</tex> — число ребер.

== Пример работы ==

Рассмотрим пример работы алгоритма на следующем графе:

[[Файл: count-path-graph-example.png|thumb|300px ]]

Изначально массивы <tex>d</tex> и <tex>w</tex> инициализированы следующим образом:
{| class="wikitable" cellpadding="4" border="1" style="border-collapse: collapse;"
|-
| '''вершина''' || S || 1 || 2 || 3 || 4 || T
|-
| '''w''' || true || false || false || false || false || false
|-
| '''d''' || 1 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0
|}
Сначала функция <tex>\mathrm{count}</tex> будет вызвана от вершины <tex>T</tex>. Ответ для нее еще не посчитан (<tex>w[T] = false</tex>), следовательно <tex>\mathrm{count}</tex> будет вызвана от вершин <tex>3</tex> и <tex>4</tex>. Для вершины <tex>3</tex> ответ также не посчитан (<tex>w[3] = false</tex>), следовательно <tex>\mathrm{count}</tex> будет вызвана уже для вершин <tex>2</tex> и <tex>S</tex>. А вот для них ответ мы уже можем узнать: для <tex>2</tex> он равен <tex>d[S]</tex>, так как это <tex>S</tex> — единственная вершина, ребро из которой входит в нее. Непосредственно для <tex>S</tex> ответ нам также известен. На текущий момент таблица будет выглядеть следующим образом:

{| class="wikitable" cellpadding="4" border="1" style="border-collapse: collapse;"
|-
| '''вершина''' || S || 1 || 2 || 3 || 4 || T
|-
| '''w''' || true || false || '''true''' || false || false || false
|-
| '''d''' || 1 || 0 || '''1''' || 0 || 0 || 0
|}

Теперь мы знаем значения для вершин <tex>2</tex> и <tex>S</tex>, что позволяет вычислить <tex>d[3] = d[2] + d[S] = 2</tex>. Также обновим значения в массиве <tex>w</tex>: <tex>w[3] = true</tex>.

{| class="wikitable" cellpadding="4" border="1" style="border-collapse: collapse;"
|-
| '''вершина''' || S || 1 || 2 || 3 || 4 || T
|-
| '''w''' || true || false || true || '''true''' || false || false
|-
| '''d''' || 1 || 0 || 1 || '''2''' || 0 || 0
|}

В самом начале для вычисления <tex>d[T]</tex> нам требовались значения <tex>d[3]</tex> и <tex>d[4]</tex>. Теперь нам известно значение <tex>d[3]</tex>, поэтому проследим за тем, как будет вычисляться <tex>d[4]</tex>. <tex>\mathrm{d[4] = count(3) + count(2) + count(1)}</tex>, но <tex>w[3] = true, w[2] = true</tex>, следовательно значения <tex>d[3]</tex> и <tex>d[2]</tex> мы уже знаем, и нам необходимо вызвать <tex>\mathrm{count(1)}</tex>. Ответ для этой вершины равен <tex>d[S]</tex>, так как это единственная вершина, ребро из которой входит в <tex>1</tex>. Обновим соответствующие значения массивов <tex>d</tex> и <tex>w</tex>:

{| class="wikitable" cellpadding="4" border="1" style="border-collapse: collapse;"
|-
| '''вершина''' || S || 1 || 2 || 3 || 4 || T
|-
| '''w''' || true || '''true''' || true || true || false || false
|-
| '''d''' || 1 || '''1''' || 1 || 2 || 0 || 0
|}

Теперь нам известны все три значения, требующиеся для вычисления ответа для вершины <tex>4</tex>. <tex>d[4] = d[3] + d[2] + d[1] = 2 + 1 + 1 = 4</tex>:

{| class="wikitable" cellpadding="4" border="1" style="border-collapse: collapse;"
|-
| '''вершина''' || S || 1 || 2 || 3 || 4 || T
|-
| '''w''' || true || true || true || true || '''true''' || false
|-
| '''d''' || 1 || 1 || 1 || 2 || '''4''' || 0
|}

Наконец, вычислим <tex>d[T] = d[3] + d[4] = 2 + 4 = 6</tex> и обновим таблицы <tex>d</tex> и <tex>w</tex>:

{| class="wikitable" cellpadding="4" border="1" style="border-collapse: collapse;"
|-
| '''вершина''' || S || 1 || 2 || 3 || 4 || T
|-
| '''w''' || true || true || true || true || true || '''true'''
|-
| '''d''' || 1 || 1 || 1 || 2 || 4 || '''6'''
|}

Этот алгоритм позволяет вычислить количество путей от какой-либо вершины <tex>S</tex> не только до <tex>T</tex>, но и для любой вершины, лежащей на любом из путей от <tex>S</tex> до <tex>T</tex>. Для этого достаточно взять значение в соответствующей ячейке <tex>d</tex>.

== См. также ==
* [[Динамическое программирование]]
* [[Кратчайший путь в ациклическом графе]]
* [[Задача о расстановке знаков в выражении]]
* [[Задача о порядке перемножения матриц]]

==Источники информации==
* Акулич И.Л. Глава 4. Задачи динамического программирования // Математическое программирование в примерах и задачах. — М.: Высшая школа, 1986. — 319 с. — ISBN 5-06-002663-9..

[[Категория:Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория:Динамическое программирование]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Задача о числе путей в ациклическом графе