Уравнение Пелля

2020-09-30T18:24:59Z

94.25.170.61: /* Другое доказательство существования решения */

{{Определение
|definition=
Уравнение вида <tex>x^2-dy^2=1</tex>, где <tex>d\in\mathbb{N}</tex> не является квадратом, называется '''уравнением Пелля'''.
Как правило, стоит задача поиска всех целых корней этого уравнения при данном <tex>d</tex>.
}}

У этого уравнения есть тривиальное решение <tex>x=1, y=0</tex>.
{{Теорема
|statement=
Любое решение уравнения Пелля {{---}} подходящая дробь для <tex>\sqrt{d}</tex>.
|proof=
Рассматриваем <tex>x,y>0</tex>, остальные корни получатся из симметрии. Так как <tex>\sqrt{d}\geqslant 1</tex>, то <tex>x>y>0</tex>.
<tex>x+\sqrt{d}y>2y</tex>. Следовательно <tex>1=x^2-dy^2=(x-\sqrt{d}y)(x+\sqrt{d}y)>(x-\sqrt{d}y)2y</tex>. Разделим обе части на <tex>2y^2</tex> получим :
<tex>\frac{x}{y}-\sqrt{d} < \frac{1}{2y^2}</tex>. Значит по [[Цепные дроби как приближение к числу#contFracCrit|теореме о приближении]] <tex>\frac{x}{y}</tex> является подходящей дробью для <tex>\sqrt{d}</tex>.
}}

== Существование решения уравнения Пелля ==
{{Теорема
|statement=
Уравнение Пелля имеет нетривиальное решение. Доказательство через цепные дроби.
|proof=
Разложим <tex>\sqrt{d}</tex> в цепную дробь. <tex> \sqrt{d}=a_0+\frac{1}{a_1+\cdots+\frac{1}{a_0+\sqrt{d}}}</tex>. Значит <tex>\sqrt{d}=\frac{P_{n-1}(a_0+\sqrt{d})+P_{n-2}}{Q_{n-1}(a_0+\sqrt{d})+Q_{n-2}}</tex>, отсюда <tex>P_{n-1}a_0+P_{n-1}\sqrt{d}+P_{n-2}=Q_{n-1}d+(Q_{n-1}a_0+Q_{n-2})\sqrt{d}</tex>. Отсюда получаем систему
<tex>\begin{cases}
P_{n-2}=Q_{n-1}d-P_{n-1}a_0 \\
Q_{n-2}=P_{n-1}-Q_{n-1}a_0 \\
\end{cases}</tex>

Умножаем первое на <tex>Q_{n-1}</tex> и вычитаем второе, умноженное на <tex>P_{n-1}</tex>. Получаем <tex>(-1)^{n+1}=P_{n-2}Q_{n-1}-Q_{n-2}P_{n-1}=Q_{n-1}^2d-P_{n-1}Q_{n-1}a_0-P_{n-1}^2+Q_{n-1}P_{n-1}a_0=Q_{n-1}^2d-P_{n-1}^2</tex>. Если <tex>n</tex> нечётное, то мы нашли решение. Пусть <tex>n</tex> чётное. Тогда <tex>x^2-dy^2=-1\Rightarrow (x-\sqrt{d}y)(x+\sqrt{d}y)=-1</tex>. <tex>(x-\sqrt{d}y)^2=x^2+dy^2-2xy\sqrt{d}</tex> в тоже время <tex>(x-\sqrt{d})^2=\frac{1}{(x+\sqrt{d}y)^2}=\frac{1}{(x^2+dy^2)+2xy\sqrt{d}}</tex>. В итоге получаем <tex>1=(x^2+dy^2-2xy\sqrt{d})(x^2+dy^2+2xy\sqrt{d})=(x^2+dy^2)^2-(2xy)^2d</tex>.
}}

== Другое доказательство существования решения ==
{{Лемма
|statement=
Для любого вещественного числа <tex> \epsilon</tex> и натурального <tex>N</tex> существует такое целое число <tex> a </tex> и натуральное число <tex> b </tex>, что <tex>b\leqslant N</tex> и <tex> ~|b\epsilon - a|\leqslant \frac{1}{N+1}</tex>
|proof=
Рассмотрим числа 0 и 1, а также дробные части чисел <tex>\epsilon, 2\epsilon, \cdots, N\epsilon</tex>. Если все расстояния между этими <tex>N+2</tex> числами было больше <tex>\frac{1}{N+1}</tex>, то приходим к противоречию. Значит какое-то из расстояний не превосходит <tex>\frac{1}{N+1}</tex>.

Если <tex>~|{b2\epsilon} - {b1\epsilon}|\leqslant \frac{1}{N+1}</tex>, где <tex>1\leqslant b1 < b2 \leqslant N</tex>, то <tex>~|(b2\epsilon-[b2\epsilon]) - (b1\epsilon-[b1\epsilon])| \leqslant \frac{1}{N+1}</tex>. Так что берём <tex>b = b2-b1</tex> и <tex>a = [b2\epsilon]-[b1\epsilon] </tex>. Два других случая очевидны.
}}

{{Теорема
|statement=
Уравнение Пелля имеет нетривиальное решение.
|proof=
Положим <tex>\epsilon=\sqrt{d}</tex>. Для любого натурального <tex>n>1</tex> в силу леммы существуют такие натуральные числа <tex>a_n</tex> и <tex>b_n</tex>, что <tex>b_n < n</tex> и <tex>~|a_n-b_n\sqrt{d}|<\frac{1}{n}</tex>. Далее : <tex>~|a_n^2-db_n^2|=~|a_n-b_n\sqrt{d}|\cdot~|a_n+b_n\sqrt{d}|\leqslant\frac{1}{n}~|a_n-b_n\sqrt{d}+2b_n\sqrt{d}|\leqslant 1+2\sqrt{d}</tex>. Поэтому <tex>a_n^2-db_n^2</tex> принимает конечное число значений. Но <tex>n</tex> принимает бесконечное число значений. Поэтому существует такое число <tex>c</tex>, что для него есть бесконечно много пар <tex>(a_n, b_n)</tex>, таких что <tex>a_n^2-db_n^2=c</tex>.

Рассмотрим остатки от деления на <tex>~|c|</tex> чисел <tex> a_n, b_n</tex>. Количество остатков конечно, а пар бесконечно, поэтому существуют две различные пары <tex> (a_1, b_1),(a_2,b_2)</tex> такие, что <tex>a_1^2-db_1^2=c=a_2^2-db_2^2</tex> и <tex> a_1\equiv a_2(mod~|c|)</tex>, <tex>b_1\equiv b_2(mod~|c|)</tex>.

<tex>\frac{a_2+b_2\sqrt{d}}{a_1+b_1\sqrt{d}}=\frac{(a_1-b_1\sqrt{d})(a_2+b_2\sqrt{d})}{a_1^2-db_1^2}=\frac{(a_1a_2-db_1b_2)+(a_1b_2-a_2b_1)\sqrt{d}}{c}</tex>.

<tex>\frac{a_2-b_2\sqrt{d}}{a_1-b_1\sqrt{d}}=\frac{(a_1+b_1\sqrt{d})(a_2-b_2\sqrt{d})}{a_1^2-db_1^2}=\frac{(a_1a_2-db_1b_2)-(a_1b_2-a_2b_1)\sqrt{d}}{c}</tex>.

Поскольку <tex>a_1a_2-db_1b_2\equiv a_1^2-b_1^2d\equiv c\equiv 0(mod~|c|)</tex> и <tex>a_1b_2-a_2b_1\equiv a_1b_1-a_1b_1 \equiv 0(mod~|c|)</tex>, то числа <tex> x = \frac{a_1a_2-b_1b_2d}{c}</tex> и <tex>y = \frac{a_1b_2-a_2b_1}{c}</tex> целые. <tex>x^2-dy^2=(x-y\sqrt{d})(x+y\sqrt{d}) = \frac{a_2-b_2\sqrt{d}}{a_1-b_1\sqrt{d}}\frac{a_2+b_2\sqrt{d}}{a_1+b_1\sqrt{d}} = \frac{a_2^2-db_2^2}{a_1^2-db_1^2}=\frac{c}{c}=1</tex>. Поэтому <tex>(x, y) </tex> - искомое нетривиальное решение уравнения Пелля.
}}

[[Категория:Теория чисел]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Уравнение Пелля