Теорема Махэни

2012-04-14T12:33:50Z

94.25.193.125:

{{Определение
|definition=
<tex>LSAT=\{\langle\phi,y\rangle | \exists x: x<_{lex}y, \phi(x) = 1\}</tex>.
}}

{{Лемма
|about=1
|statement=<tex>LSAT \in NPC</tex>.
|proof=
#Очевидно, что <tex>LSAT \in NP</tex>.
#Сведём <tex>SAT</tex> к <tex>LSAT</tex>. Для этого рассмотрим отображение <tex>\phi \mapsto \langle \phi, 1^m\rangle</tex>, где <tex>m</tex> — количество различных аргументов в формуле <tex>\phi</tex>. Ясно, что данное преобразование можно сделать за полиномиальное время. Теперь докажем, что сведение верное.
#*Если <tex>\phi \in SAT</tex>, то формула <tex>\phi</tex> удовлетворима, а значит <tex>\exists x: x <_{lex} 1^m, \phi(x)=1</tex>. Следовательно, <tex>\langle \phi, 1^m\rangle \in LSAT</tex>.
#*Если <tex>\langle \phi, 1^m\rangle \in LSAT</tex>, то <tex>\exists x: x <_{lex} 1^m, \phi(x)=1</tex>. Значит формула <tex>\phi</tex> удовлетворима, и <tex>\phi \in SAT</tex>.
:Таким образом, <tex>SAT \le LSAT</tex>. Но <tex>SAT \in NPC</tex>, а значит <tex>\forall L \in NP \; L \le SAT</tex>. Тогда в силу транзитивности <tex>\forall L \in NP \; L \le LSAT</tex>, то есть <tex>LSAT \in NPH</tex>.
Итого мы доказали, что <tex>LSAT \in NPH</tex> и <tex>LSAT \in NP</tex>. Тогда по определению <tex>LSAT \in NPC</tex>.
}}

{{Лемма
|about=2
|statement=<tex>\langle\phi,y\rangle \in LSAT, y<_{lex}z</tex>. Тогда <tex>\langle\phi,z\rangle \in LSAT</tex>.
|proof=<tex>\langle\phi,y\rangle \in LSAT</tex>. Тогда <tex>\exists x: x<_{lex}y, \phi(x) = 1</tex>. Так как <tex>y<_{lex}z</tex>, то <tex>\exists x: x<_{lex}z, \phi(x) = 1</tex>, следовательно <tex>\langle\phi,z\rangle \in LSAT</tex>.
}}

{{Теорема
|author=Махэни
|statement=
<tex>NPC \cap SPARSE \ne \varnothing \Rightarrow P=NP</tex>.
|proof=Пусть <tex>S \in NPC \cap SPARSE</tex>.

Так как <tex>S\in NPC</tex>, и <tex>LSAT \in NP</tex>, то существует полиномиальная функция сведения <tex>f:LSAT \mapsto S</tex> такая, что <tex>\langle \phi, y \rangle \in LSAT \iff f(\langle \phi, y \rangle) \in S</tex>.

Так как функция <tex>f</tex> работает полиномиальное время, и <tex>|\phi|=|y|</tex>, то <tex>f(\langle\phi,y\rangle) \le q(|\phi|)</tex>, где <tex>q</tex> — полином.
<tex>S\in SPARSE</tex>. Следовательно <tex>\forall n |S \cap \Sigma^n|\le p(n)</tex>, где <tex>p</tex> — некоторый полином.

Тогда <tex>|\{x\in S\, |\, |x| \le q(|\phi|)\}| \le \sum\limits_{i=1}^{q(|\phi|)} p(i) = r(|\phi|)</tex>, где <tex>r</tex> — также полином.

Опишем алгоритм для нахождения лексиграфически минимальной строки <tex>x</tex>, удовлетворяющей формулу <tex>\phi</tex>.

Пусть <tex>n=|\phi|</tex>. Разобьём множество бинарных строк длины <tex>n</tex> на <tex>r+1</tex> подотрезок так, чтобы каждый подотрезок содержал не более <tex>\frac{2^n}{r+1}</tex> строк. Обозначим концы полученных подотрезков <tex>w_0,...,w_{r+1}</tex>. Пусть теперь <tex>z_i=f(\langle\phi,w_i\rangle)</tex>.

Из леммы 2 мы знаем, что, начиная с некоторого <tex>i</tex>, все пары <tex>\langle\phi, w_i\rangle \in LSAT</tex>. Тогда по сведению <tex>z_j \in S</tex> для всех <tex>j\ge i</tex>.

Рассмотрим два случая:

# <tex>\exists i \ne j \, z_i=z_j</tex>. Строки <tex>z_i</tex> и <tex>z_j</tex> либо обе лежат в <tex>S</tex>, либо обе не лежат в <tex>S</tex>. Тогда по вышеуказанной причине <tex>x\notin [w_i, w_j]</tex>. Значит мы можем исключить этот отрезок из рассматриваемого множества. Таким образом, мы удаляем не менее <tex>\frac 1{r+1}</tex> часть множества подстановок.
# <tex>z_i \ne z_j \, \forall i \ne j</tex>. Как было показано выше, если <tex>w_0</tex> или <tex>w_1</tex> лежат в <tex>S</tex>, то все последующие <tex>w_i</tex> тоже лежат в <tex>S</tex>, но тогда <tex>S</tex> содержит не менее <tex>r+1</tex> строку длины не более, чем <tex>q(|\phi|)</tex>, что противоречит условию <tex>|\{x\in S\, |\, |x| \le q(|\phi|)\}| \le r(|\phi|)</tex>. Следовательно <tex>x\notin[w_0,w_1]</tex>, то есть его можно убрать из рассмотрения.

В обоих случаях мы сузили область поиска как минимум на <tex>\frac 1{r+1}</tex> её размера. Будем повторять эту процедуру до тех пор, пока не останется не более <tex>r+1</tex> строки, которые мы можем проверить за полиномиальное время. Если какая-то из них удовлетворила формулу <tex>\phi</tex>, то <tex>x=min(w_i), w_i</tex> удовлетворяет <tex>\phi</tex>. Иначе, <tex>x</tex> не существует.

Оценим время работы нашего алгоритма. После <tex>k</tex> итераций у нас останется не более <tex>2^n(1-\frac1{r+1})^k</tex> строк. Оценим <tex>k</tex>.

<tex>2^n(1-\frac1{r+1})^k \simeq 1</tex>. Отсюда <tex>k=O(rn)</tex>. Таким образом, мы можем разрешить язык <tex>LSAT</tex> за полиномиальное время, найдя лексиграфически минимальную строку, удовлетворяющую формулу, и сравнив её с нашим аргументом. Так как <tex>LSAT\in NPC</tex>, то мы можем решить любую задачу из <tex>NP</tex> за полиномиальное время, а значит <tex>P=NP</tex>.

}}

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Теорема Махэни