Алгоритм Касаи и др.

2012-04-16T17:47:28Z

94.25.193.57:

'''Алгоритм Касаи''' (Аримуры-Арикавы-Касаи-Ли-Парка) {{---}} алгоритм, позволяющий за линейное время вычислить
значения наибольших общих префиксов для соседних циклических сдвигов строки, отсортированных в лексикографическом
порядке (largest common prefix, далее <tex>LCP</tex>).

==Обозначения==
Задана строка <tex>A</tex>. Тогда <tex>A_{i}</tex> {{---}} суфикс строки <tex>A</tex>, начинающийся в <tex>i</tex>-ом символе. Пусть задан суфиксный массив <tex>Pos</tex>. Для вычисления <tex>LCP</tex> будем использовать промежуточный массив <tex>Rank</tex>. Массив <tex>Rank</tex> определен как обратный к массиву <tex>Pos</tex>. Он может быть получен немедленно, если задан массив <tex>Pos</tex>. Если <tex>Pos[k] = i</tex>, то <tex>Rank[i] = k</tex>.

<tex>Height[i]</tex> {{---}} длина наибольшего общего префикса <tex>i</tex> и <tex>i-1</tex> строк в суффиксном массиве (<tex>Pos[i]</tex> и <tex>Pos[i-1]</tex> соответственно).

==Некоторые свойства <tex>LCP</tex>==
===Факт №1===
<tex>LCP</tex> между двумя суфиксами {{---}} это минимум <tex>LCP</tex> всех пар смежных суфиксов между ними в суфиксном массиве <tex>Pos</tex>. То есть <tex>LCP(A_{Pos[x]}, A_{Pos[z]}) = min_{x < y \le z}(LCP(A_{Pos[y - 1]},A_{Pos[y]})</tex>.
Отсюда следует, что <tex>LCP</tex> пары соседних суфиксов в массиве <tex>Pos</tex> больше или равно <tex>LCP</tex> пары суфиксов, окружающих их.

{{Утверждение
|statement=<tex>LCP(A_{Pos[y - 1]}, A_{Pos[y]}) \le LCP(A_{Pos[x]},A_{Pos[z]}), x < y \le z</tex>
}}

===Факт №2===
Если значение <tex>LCP</tex> между парой соседних суфиксов, смежных в массиве <tex>Pos</tex> больше <tex>1</tex>, то лексикографический порядок суффиксов сохранится, если удалить первый символ каждого суффикса.<br>
{{Утверждение
|statement=
Если <tex>LCP(A_{Pos[x-1]} , A_{Pos[x]} ) > 1</tex>, тогда <tex>Rank[Pos[x - 1] + 1] < Rank[Pos[x] + 1]</tex>
}}
===Факт №3===
В этом же случае, значение <tex>LCP</tex> между <tex>A_{Pos[x-1]+1}</tex> и <tex>A_{Pos[x]+1}</tex> на один меньше значения <tex>LCP</tex> между <tex>A_{Pos[x-1]}</tex> и <tex>A_{Pos[x]}</tex>.<br>
{{Утверждение
|statement=Если <tex>LCP(A_{Pos[x-1]} , A_{Pos[x]} ) > 1</tex>, тогда <tex>LCP(A_{Pos[x-1]+1} , A_{Pos[x]+1}) = LCP(A_{Pos[x-1]} , A_{Pos[x]} ) - 1</tex>
}}

Теперь рассмотрим следующую задачу: расчитать <tex>LCP</tex> между суфиксом <tex>A_{i}</tex> и его смежным суфиксом в массиве <tex>Pos</tex>, при условии, что значение <tex>LCP</tex> между <tex>A_{i-1}</tex> и его смежным суфиксом известны. Для удобства записи пусть <tex>p=Rank[i - 1]</tex> и <tex>q = Rank[i]</tex>. Так же пусть <tex>j - 1 = Pos[p-1]</tex> и <tex>k = Pos[q - 1]</tex>. Проще говоря, мы хотим посчитать <tex>Height[q]</tex>, когда задано <tex>Height[p]</tex>

{{Лемма|statement=
Если <tex>LCP(A_{j-1}, A_{i-1}) > 1</tex>, тогда <tex>LCP(A_k,A_i) \le LCP(A_j,A_i)</tex>
|proof=
Так как <tex>LCP(A_{j−1},A_{i−1}) > 1</tex>, имеем <tex>Rank[j] < Rank[i]</tex> из факта №2. Так как <tex>Rank[j] \le Rank[k] = Rank[i] - 1</tex>, имеем <tex>LCP(A_{k} , A_{i}) \ge LCP(A_{j} , A_{i})</tex> из факта №1
}}

{{Теорема|statement=
Если <tex>Height[p] = lcp(A_{j-1}, A_{i-1}) > 1</tex>, то <tex>Height[q] = lcp(A_{k}, A_{i}) \ge Height[p] - 1</tex>
|proof=
<tex>LCP(A_{k}, A_{i}) \ge LCP(A_{j} , A_{i})</tex>(из Леммы) = <tex>LCP(A_{j-1}, A_{i−1}) - 1</tex> (из факта №3).
}}

==Описание алгоритма==
Таким образом, начиная проверять <tex>lcp</tex> для текущего суффикса не с первого символа, а с указанного, можно за линейное время построить <tex>lcp</tex>.
Покажем, что построение <tex>lcp</tex> таким образом действительно требует <tex>O(N)</tex> времени. Действительно, на каждой итерации текущее значение <tex>lcp</tex> может быть не более
чем на единицу меньше предыдущего. Таким образом, значения <tex>lcp</tex> в сумме могут увеличиться не более, чем на <tex>2N</tex> (с точностью до константы). Следовательно, алгоритм построит <tex>lcp</tex> за <tex>O(N)</tex>.

==Источники==
1. [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC_%D0%9A%D0%B0%D1%81%D0%B0%D0%B8 Алгоритм Касаи].<br/>
2. [http://citeseer.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.118.8221 T.Kasai, G.Lee, H.Arimura, S.Arikawa, K.Park - Linear-Time Longest-Common-Prefix Computation in Suffix Arrays and Its Application].

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Алгоритм Касаи и др.