Топологические векторные пространства

2013-02-18T09:13:32Z

94.25.228.75:

{{В разработке}}

Рассмотрим множество <tex> f: [0, 1] \to \mathbb{R} </tex>. Множество таких функций образуют линейное пространство. Если определять предел в поточечном смысле, операции сложения и умножения на число в этом пространстве непрерывны. Мотивация введения топологических векторных пространств — обобщение этой ситуации на абстрактный случай.

{{Определение
|definition=
'''Топологическое векторное пространство''' — линейное пространство, наделенной такой топологией, что операции сложения векторов и умножения на скаляр в ней непрерывны в этой топологии, то есть:
* непрерывность умножения на скаляр: <tex> \alpha x \to \alpha_0 x_0 </tex>, если <tex> \alpha \to \alpha_0 </tex>, <tex> x \to x_0 </tex>. Означает, что для любой окрестности <tex> U(\alpha_0 x_0) </tex> существует <tex> \varepsilon > 0 </tex> и существует <tex> U(x_0): |\alpha - \alpha_0| < \varepsilon, x \in U(x_0) \implies \alpha x \in U(\alpha_0 x_0) </tex>
* непрерывность сложения векторов: <tex> x + y \to x_0 + y_0 </tex>, если <tex> x \to x_0 </tex>, <tex> y \to y_0 </tex>. Означает, что для любой окрестности <tex> U(x_0 + y_0) </tex> существуют окрестности <tex> U(x_0), U(y_0): \forall x \in U(x_0) \forall y \in U(y_0) \implies x + y \in U(x_0 + y_0) </tex>.
}}

В ситуации <tex> f: [0, 1] \to \mathbb{R} </tex>, когда предел определен поточечно, если <tex> \forall 0 \le t_1 < \dots < t_n \le 1, \forall \varepsilon_1 \dots \varepsilon_n > 0 </tex> рассмотреть <tex> U_{t_1 \dots t_n} (\varepsilon_1 \dots \varepsilon _n) = \{ f \mid \forall j: |f(t_j)| < \varepsilon_j \} </tex>, объявить их окрестностями нулевой функции — в такой базе окрестности нуля функции будут непрерывны и предел будет поточечным.

Как охарактеризовать векторную топологию? Пусть <tex> X </tex> — линейное пространство, <tex> A, B \subset X </tex>, тогда определим
* <tex>A + B = \{ a + b \mid a \in A, b \in B\}</tex>
*<tex>\alpha A = \{ \alpha a \mid a \in A \}</tex>

Заметим, что <tex> 2 A \subset A + A </tex>, но обратное не верно. Например, в <tex>X = \mathbb{R}</tex>, <tex> A = \{1, 3\}</tex>: <tex>2A=\{2,6\}</tex>, но <tex>A+A=\{2,4,6\}</tex>.

{{Определение
|definition=
<tex> A </tex> '''закругленное/уравновешенное''', если <tex> \forall \lambda: |\lambda| < 1: \lambda A \subset A </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
<tex> A </tex> '''поглощает''' <tex> B </tex>, если <tex> \exists \lambda_0 > 0: \forall \lambda: |\lambda| > \lambda_0: B \subset \lambda A </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
<tex> A </tex> '''радиальное/поглощающее''', если оно поглощает любую конечную систему точек. Для проверки радиальности достаточно проверить поглощение каждой конкретной точки.
}}

{{Определение
|definition=
<tex> A </tex> '''выпуклое''', если <tex> \forall x, y \in A \forall 0 \le \alpha \le 1: \alpha x + (1 - \alpha) y \in A </tex>, то есть множество содержит отрезок, соединяющий любые два его элемента.
}}

{{Определение
|definition=
<tex> A </tex> '''ограничено''', если <tex> \forall U(0)\ \exists \lambda > 0: A \subset \lambda U(0) </tex> (то есть, его поглощает любая окрестность нуля).
}}

Существует стандартная конструкция, которая позволяет уравновесить любое множество.
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex>A \subset X</tex> и <tex>\varepsilon > 0</tex>, и <tex>A_{\varepsilon} = \bigcup\limits_{|\lambda| \leq \varepsilon} \lambda A</tex> Тогда <tex>A_\varepsilon</tex> — уравновешенное.
|proof=
Пусть <tex>|\mu| < 1</tex>, проверим, что <tex>\mu A_{\varepsilon} \subset A_{\varepsilon}</tex>:

<tex>x \in \mu A_{\varepsilon}</tex>. <tex>x = \mu y</tex>. <tex>y \in A_{\varepsilon}</tex>. <tex>y \in \lambda A</tex>. <tex>|\lambda| \le \varepsilon</tex>

<tex>y = \lambda z, z \in A</tex>. Тогда <tex>x = (\mu \lambda) z</tex>, но <tex>|\mu \lambda| = |\mu||\lambda| \leq |\lambda| \leq \varepsilon</tex>

Тогда <tex>x \in (\mu \lambda) A, |\mu \lambda| \leq \varepsilon</tex> и <tex>x \in A_{\varepsilon}</tex>, что и требовалось доказать.
}}

== Теорема о характеристике векторной топологии ==

{{Теорема
|about=характеристика векторной топологии
|statement=
<tex> \tau </tex> — векторная топология на <tex> X </tex> тогда и только тогда, когда:
# <tex> \tau </tex> инвариантна относительно сдвигов: <tex> \tau + x_0 = \tau </tex>
# существует база из радиальных уравновешенных окрестностей нуля
# <tex> \forall U(0) \exists U_1(0): U_1(0) + U_1(0) \subset U(0) </tex>
|proof=
В прямую сторону:

# Рассмотрим отображение <tex> f, f(x + x_0) = x</tex>, то есть, сдвиг на <tex> x_0 </tex>. Это отображение взаимно однозначно и непрерывно (так как оно может быть определено через непрерывную по определению ТВП операцию сложения, <tex>f(x) = x - x_0 </tex>). Прообраз открытого множества при непрерывном отображении открыт, то есть, если <tex> G \in \tau </tex> (открыто), то <tex> f^{-1}(G) = G + x_0 </tex> также открыто. Получили, что векторная топология инвариантна относительно сдвигов.
# Установим, что можно создать базу окрестностей нуля, составляющую из радиально-уравновешенных множеств. <tex> \lambda x \to 0, x \to 0, \lambda \to 0 </tex>, то есть <tex> \forall U(0) \exists \delta > 0, W(0): |\lambda| \le \delta </tex> <tex> x \in W(0) \implies \lambda x \in U(0) \iff \lambda W(0) \subset U(0) \implies \bigcup\limits_{|\lambda| \le \delta} \lambda W(0) \subset U(0) </tex>, где <tex> \lambda W(0) </tex> — уравновешено и окрестность 0.
#: Для радиальности: <tex> \forall x_0 \in X, \lambda \to 0, \lambda x_0 \to 0 x_0 = 0 \implies \forall U(0) \exists \delta > 0: |\lambda| \le \delta, \lambda x_0 \in U(0) </tex>. <tex> x_0 \in {1 \over \lambda} U(0), |\lambda| \le \delta, \left| {1 \over \lambda} \right| \ge {1 \over \delta} </tex>, то есть <tex> U(0) </tex> поглощает <tex> x_0 </tex>.
# <tex> x + y \to 0, x, y \to 0 \quad \forall U(0) \exists U_1(0) \implies U_1(0) + U_1(0) \subset U(0) </tex>.

В обратную сторону, то есть если соблюдаются эти три свойства, в этой топологии линейные операции непрерывны:

Непрерывность сложения:
*: Вспомогательный факт: если <tex> x \to x_0 </tex>, то <tex> x - x_0 \to 0 </tex>, то есть <tex> x </tex> представимо как <tex> x = x_0 + y, y \to 0 </tex>.
*: Если <tex> x \to x_0, y \to y_0 </tex>. <tex> x = x_0 + u, y = y_0 + v, u \to 0, v \to 0 </tex>. <tex> x + y = (x_0 + y_0) + (u + v) </tex>, где по свойствам предела <tex> (u + v) \to 0 </tex>, что и требуется.

Непрерывность умножения: пусть <tex> \lambda \to \lambda_0, x \to x_0 </tex>, покажем что <tex> \lambda x \to \lambda_0 x_0 </tex>.
Пусть <tex> \lambda = \lambda_0 + \alpha, \alpha \to 0 </tex>, <tex> x = x_0 + u, u \to 0 </tex>.
Тогда <tex> \lambda x = (\lambda_0 + \alpha) (x_0 + u) = \lambda_0 x_0 + (\lambda_0 u + \alpha x_0 + \alpha u) </tex>.
Покажем, что вторая скобка стремится к нулю.

1) <tex>\alpha x_0</tex> из радиальной окрестности нуля, значит стремится к нулю.

2) <tex>\alpha \to 0 \implies |\alpha| \le 1</tex>, по условию теоремы <tex> \exists U(0)</tex> — уравновешенное <tex> \implies \alpha U(0) \subset U(0) \implies \alpha u \to 0 </tex>.

3) по условию теоремы <tex>\forall U(0) \exists U_1 (0) : U_1(0)+U_1(0) \subset U(0) \implies 2U_1(0) \subset U(0)</tex>.
Раз <tex>U_1(0)</tex> — окрестность 0 <tex> \implies \exists 2U_2(0) \subset U_1(0) ... \implies 2^n U_n(0) \subset ... \subset 2 U_1 (0) \subset U(0)</tex>
<tex> \implies \exists n_1 : | {\lambda_0 \over 2^{n_1}} | < 1 \implies </tex> если <tex>u \in U_{n_1}(0), 2^{n_1} U_{n_1}(0) \subset U \implies 2^{n_1} u \in U(0) \implies {\lambda_0 \over 2^{n_1}} 2^{n_1} u \in U(0) \implies \lambda_0 u \in U \implies \lambda_0 u \to 0</tex>.

Получили, что скобка стремится к нулю, значит умножение непрерывно.
}}

Любое НП является частным случаем ТВП. Обратное в общем случае неверно, в связи с чем возникает вопрос о том, в каком случае ТВП можно нормировать. Ответ на него дает понятие функционала Минковского.

{{Определение
|definition=
Пусть <tex> X </tex> — линейное пространство, <tex> \mu </tex> — радиальное подмножество, тогда '''функционал Минковского''' <tex> p_{\mu} </tex> определяется как <tex> p_{\mu}(x) = \inf \{ \lambda > 0 \mid x \in \lambda \mu\} </tex>.
}}

Заметим, что если <tex> M, N </tex> — радиальны и <tex> M \subset N </tex>, то <tex> p_N(x) \le p_M(x) </tex>.

Пример:
* <tex> X </tex> — НП, <tex> V_1 = \{ x \mid \|x\| < 1\}, p_{V_1}(x) = \|x\| </tex>, сдедовательно, норма — частный случай функционала Минковского.

{{Утверждение
|statement=
Если <tex> M </tex> — уравновешенное радиальное выпуклое множество, <tex> p_M(X) </tex> — полунорма на <tex> X </tex>.
|proof=
<tex> p_M(x + y) \le p_M(x) + p_M(y) </tex>

<tex> \forall \varepsilon > 0 \exists \lambda_1, \lambda_2: p_M(x) < \lambda_1 < p_M(x) + \varepsilon </tex>, <tex> p_M(y) < \lambda_2 < p_M(y) + \varepsilon </tex>, <tex> x \in \lambda_1 M, y \in \lambda_2 M \implies {x \over \lambda_1}, {y \over \lambda_2} \in M </tex>. Рассмотрим <tex> \alpha = {\lambda_1 \over \lambda_1 + \lambda_2}, \beta = {\lambda_2 \over \lambda_1 + \lambda_2} </tex>, заметим, что <tex> \alpha + \beta = 1 </tex>, из выпуклости получим, что <tex> \alpha {x \over \lambda_1} + \beta {y \over \lambda_2} \in M \implies {x + y \over \lambda_1 + \lambda_2} \in M \implies x + y \in (\lambda_1 + \lambda_2) M </tex>, то есть <tex> p_M(x + y) < \lambda_1 + \lambda_2 < p_M(x) + p_M(y) + 2 \varepsilon </tex>, сделав предельный переход, получим <tex> p_M(x + y) \le p_M(x) + p_M(y) </tex>.

Однородность:

<tex>p_M (\lambda x) = \inf \{r > 0: \lambda x \in r M \} = \inf \{r > 0: x \in \frac{r}{|\lambda|} M \} </tex> <tex>= \inf \{ | \lambda | \frac{r}{ | \lambda | } > 0: x \in \frac{r}{|\lambda|} M \} = |\lambda| p_M(x)</tex>
}}

{{Определение
|definition=Топологическое пространство <tex>X</tex> называется '''Хаусдорфовым''', если <tex>\forall x, y \in X : x \ne y : \exists U(x) \cap U(y) = \varnothing</tex>
}}

{{Теорема
|author=Колмогоров
|statement=
Хаусдорфово ТВП нормируемо тогда и только тогда, когда у нуля есть ограниченная выпуклая окрестность.
|proof=
В прямую сторону: если ТВП нормируемо, то <tex> V_r = \{ x : \| x \| \le 1 \} </tex>

{{TODO|t= На всякий случай — доказательство вроде есть в Люстернике-Соболеве, стр 94, правда оно несколько другое вроде}}

В обратную: пусть <tex> V </tex> — ограниченная выпуклая окрестность нуля. <tex> W </tex> — радиальная уравновешенная) окрестность 0: <tex> W \subset V </tex>, <tex> \mathrm{Cov} W </tex> — выпуклая оболочка множества <tex> W </tex>, <tex> V </tex> — выпуклая, <tex> \mathrm{Cov} W \subset V </tex>, <tex> \mathrm{Cov} W </tex> — радиальное уравновешенное множество, так как <tex> W </tex> — такое же. Из ограниченности <tex> V </tex> следует ограниченность <tex> \mathrm{Cov} W </tex>, то есть, мы построили <tex> V^* = \mathrm{Cov} W </tex> — радиальную уравновешенную выпуклую окрестность <tex> 0 </tex>.

<tex> V^* \to p_{V^*} </tex> — функционал Минковского — полунорма. <tex> V^* </tex> ограничено, тогда <tex> \{ {1 \over n} V^* \} </tex> — база окрестностей 0. Так как пространство Хаусдорфово, то <tex> \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} {1 \over n} V^* = \{0\} \implies p_{V^*}(x) = 0 \implies x = 0 </tex>, то есть <tex> p_{V^*} </tex> — норма, а <tex> \{ {1 \over n} V^*\} </tex> — база окрестностей нуля, нормируемых функционалом Минковского.
}}

[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Топологические векторные пространства