Level Ancestor problem

2022-07-28T10:58:18Z

94.25.229.149: /* Псевдокод */

'''Задача о уровне предка''' — (англ. "Level Ancestor problem") является задачей о превращении данного подвешенного дерева <tex>T</tex> в структуру данных, которая сможет определить предка любого узла на заданном расстоянии от этого узла.

{{Задача
|definition = Дано подвешенное дерево <tex>T</tex> c <tex>n</tex> вершинами. Поступают запросы вида <tex>LA(v, k)</tex>, для каждого из которых необходимо
найти предка вершины <tex>v</tex>, который находится на расстоянии <tex>k</tex> от корня дерева <tex>T</tex>.
}}
== Использование Heavy-light декомпозиции ==
[[Файл:LevelAncestor.png|200px|thumb|right]]
Этот алгоритм базируется на различных способах [[Heavy-light декомпозиция | декомпозиции дерева]] (выберем heavy-light декомпозицию), из свойств этого разбиения следует,
что подняться на любую высоту из вершины <tex>v</tex> мы можем за время <tex>O(\log n)</tex>.
Данное разбиение можно строить за <tex>O(n)</tex>, что дает нам алгоритм за <tex>\langle O(n), O(\log n) \rangle</tex>.

В данном примере поступает запрос LA(v, 2), на который алгоритм должен дать ответ h.

== Алгоритм лестниц ==
=== Longest path decomposition <ref>[https://www.mi.fu-berlin.de/en/inf/groups/abi/teaching/lectures/lectures_past/WS0910/V____Discrete_Mathematics_for_Bioinformatics__P1/material/scripts/treedecomposition1.pdf Longest path decomposition]</ref>===
Это декомпозиция дерева, которая разбивает его на множество вершинно-непересекающихся путей, идущих из каждой вершины в ее ребенка с самым глубоким поддеревом.
Сделаем ее следующим образом: обойдем дерево с помощью обхода в глубину, пусть мы стоим в вершине
<tex>v</tex>, обойдем всех ее детей, добавив <tex>v</tex> в путь, идущий в самое глубокое поддерево,
т.е. в котором находится вершина с самой большой глубиной.
Для каждой вершины сохраним номер пути в который она входит.

=== Ladder decomposition ===
Это улучшение Longest-path декомпозиции, позволяющее, как мы потом докажем, подниматься на любую высоту за <tex>O(1)</tex>. Выполним его следующим образом: увеличим каждый путь в два раза вверх, для каждого нового пути сохраним все входящие в него вершины,
а для каждой вершины сохраним ее номер в пути, в который она входит. Построение обычной longest-path декомпозиции займет у
нас <tex>O(n)</tex> времени (обход в глубину), удлинение каждого пути не ухудшит асимптотику.

После этого посчитаем двоичные подъемы для каждой вершины за <tex>O(\log n)</tex>, получим итоговую оценку <tex>O(n \log n)</tex> на предподсчет.

=== Псевдокод ===

Пусть после этого нам пришел запрос LA(v, k).

*<tex>p[i] [v]</tex> — <tex>i</tex>-тый двоичный подъем в предка вершины <tex>v</tex>
*<tex>way[v]</tex> — путь, проходящий через данную вершину
*<tex>num[v]</tex> — номер данной вершины на пути
*<tex>ladder[p][i]</tex> — возвращает <tex>i</tex>-тую вершину на пути <tex>p</tex>

'''function''' LA('''int''' v,'''int''' k):
'''int''' n = h(v) ''// получаем глубину вершины <tex>v</tex>''
n = n - k; ''// на столько необходимо подняться до ответа''
i = <tex>\lfloor \log_2 n \rfloor</tex>
v = p[i][v] ''// делаем максимально большой прыжок вверх''
i = n - <tex>2^i</tex> ''// на столько осталось еще подняться''
'''return''' ladder[way[v]][num[v] - i] ''// так как теперь <tex>v</tex> и ответ находятся на одном пути''

=== Доказательство корректности ===
Рассмотрим путь, на котором лежит вершина <tex>v</tex> до удвоения. Он длины хотя бы <tex>2^i</tex>, так как мы точно знаем, что существует вершина потомок <tex>v</tex>, расстояние до которого ровно <tex>2^i</tex> (это вершина, из которой мы только что пришли). Значит, после удвоения этот путь стал длины хотя бы <tex>2^{i + 1}</tex>, причем хотя бы <tex>2^i</tex> вершин в нем — предки <tex>v</tex>. Это означает, что вершина, которую мы ищем, находится на этом пути (иначе бы мы могли до этого прыгнуть еще на <tex>2^i</tex> вверх). Так как мы знаем позицию <tex>v</tex> в этом пути, то нужную вершину мы можем найти за <tex>O(1)</tex>.

Таким образом, наш алгоритм работает за <tex>\langle O(n\log n), O(1)\rangle </tex> времени и за <tex>O(n\log n)</tex> памяти. Методом четырех русских данный метод можно улучшить до <tex>\langle O(n), O(1)\rangle </tex> с помощью оптимизации предподсчета.

== The Macro-Micro-Tree Algorithm ==
В данном разделе мы докажем, что предподсчет предыдущего алгоритма можно улучшить до <tex>O(n)</tex>.
Для начала рассмотрим алгоритм <tex>\langle O(L\log n + n), O(1)\rangle </tex>, где <tex>L</tex> это количество листьев.
*С помощью обхода в глубину запомним по одному листу в поддереве для каждой вершины
*Воспользуемся алгоритмом лестниц, но будем выполнять предподсчет только для листьев.
Рассмотрим как можно улучшить данный алгоритм:
*Зададим некую функцию <tex>S(n) = \dfrac{1}{4} \log_2 n</tex>
*Посчитаем размер поддерева для каждой вершины с помощью обхода в глубину, после чего удалим все вершины размер поддерева которых меньше чем <tex>S(n)</tex>.
*Забудем на время про удаленные поддеревья, для оставшегося дерева наш алгоритм работает за <tex>\langle O(\dfrac{n}{S(n)} \log n + n), O(1)\rangle </tex>. Получаем алгоритм <tex>\langle O(n), O(1) \rangle </tex>. Для удаленных поддеревьев же выполним полный предподсчет: таких деревьев не более чем <tex>2^{2S(n)}</tex>, что дает асимптотику предподсчета <tex>O(\sqrt{n} \log^2{n}) = o(n) = O(n)</tex>.

В итоге полученный алгоритм действительно работает за <tex>\langle O(n), O(1)\rangle </tex> времени и за <tex>O(n)</tex> памяти.

== Сравнение с другими реализациями ==
Используя DFS посчитаем глубину каждой вершины дерева (это можно сделать за <tex>O(n)</tex>), после чего можем из вершины <tex>v</tex> подняться до необходимой глубины вершины <tex>k</tex>,
что так же в худшем случае работает за <tex>O(n)</tex>.
Получили алгоритм за <tex>\langle O(n), O(n) \rangle</tex> времени и <tex>O(n)</tex> памяти, где время ответа на
запрос можно улучшить до <tex>O(\log n)</tex> c помощью [[Метод двоичного подъёма | предподсчета двоичных подъемов]] ,
но тогда и время предподсчета в наивной реализации (посчитать подъемы для всех вершин) ухудшится до <tex>\langle O(n \log n),
O(\log n)\rangle </tex> времени и <tex>O(n \log n)</tex> памяти. Также альтернативой данным двум алгоритмам является полный предподсчет всех возможных запросов, что соответственно дает нам асимптотику <tex>\langle O(n^2), O(1)\rangle </tex>времени и <tex>O(n^2)</tex> памяти.

Сравнение различных асимптотик из данной статьи:
{| class="wikitable" style="clear:right;" cellpadding="10"
|+
|-align="center"
!
| Предподсчет
| Ответ на запрос
| Память
|-align="center"
!Обычный подъем до нужного уровня
|<tex>O(n)</tex>||<tex>O(n)</tex>||<tex>O(n)</tex>
|-align="center"
!Полный предподсчет
|<tex>O(n^2)</tex>||<tex>O(1)</tex>||<tex>O(n^2)</tex>
|-align="center"
!Двоичные подъемы
|<tex>O(n \log n)</tex>||<tex>O(\log n)</tex>||<tex>O(n \log n)</tex>
|-align="center"
!Декомпозиция
|<tex>O(n)</tex>||<tex>O(\log n)</tex>||<tex>O(n)</tex>
|-align="center"
!Алгоритм лестниц
|<tex>O(n \log n)</tex>||<tex>O(1)</tex>||<tex>O(n \log n)</tex>
|-align="center"
!Macro-Micro-Tree Algorithm
|<tex>O(n)</tex>||<tex>O(1)</tex>||<tex>O(n)</tex>
|}
== См. также ==
*[[Метод двоичного подъёма]]
*[[Heavy-light декомпозиция]]
== Примечания ==
<references/>
== Источники информации ==
*[https://www.cadmo.ethz.ch/education/lectures/HS18/SAADS/reports/5.pdf Level Ancestor problem simplified Cai Qi]
*[https://en.wikipedia.org/wiki/Level_ancestor_problem Wikipedia: LA]
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Level Ancestor problem