Поток минимальной стоимости

2018-12-14T16:07:01Z

94.25.229.243: Поправил определение, которое не значило ничего и путало обозначениями

==Задача о потоке минимальной стоимости==

{{Определение
|definition=Пусть дана сеть <tex>G(V,E)</tex>. <tex>S, T \in V</tex> {{---}} источник и сток. Ребра <tex>(u,v) \in E</tex> имееют пропускную способность <tex> c(u, v), </tex> поток <tex> f(u,v) </tex> и цену за единицу потока <tex>a(u, v) </tex>. Тогда '''общая стоимость потока''' из <tex>S</tex> в <tex>T</tex>:
:<tex>p(u,v) = \sum\limits_{u,v \in V, f(u,v)>0} a(u,v) \cdot f(u,v)</tex>
}}
===Свойства сети===
* Поток не может превысить пропускную способность.
:<tex>f(u,v) \leqslant c(u,v)</tex>
* Поток из <tex>u</tex> в <tex>v</tex> должен быть противоположным потоку из <tex>v</tex> в <tex>u</tex>.
:<tex>f(u, v)=-f(v, u)</tex>
* Сохранение потока. Для каждой вершины, сумма входящего и исходящего потоков равно <tex>0</tex>.
:<tex> \sum\limits_{w \in V} f(u,w) = 0</tex>

{{Задача
|definition = Дана сеть <tex>G(V,E)</tex>. <tex>S, T \in V</tex> {{---}} источник и сток. Ребра <tex>(u,v) \in E</tex> имееют пропускную способность <tex> c(u, v), </tex> поток <tex> f(u,v) </tex> {{---}}
и цену за единицу потока <tex> a(u, v) </tex>. Требуется найти максимальный поток, суммарная стоимость которого минимальна.
}}

== Алгоритмы решения ==
===Метод устранения отрицательных циклов в остаточной сети===
Воспользуемся [[Лемма об эквивалентности свойства потока быть минимальной стоимости и отсутствии отрицательных циклов в остаточной сети|леммой об эквивалентности свойства потока быть минимальной стоимости и отсутствии отрицательных циклов в остаточной сети]]. Получим следующий алгоритм:
====Алгоритм====
* '''Начало.'''
* '''Шаг 1'''. Требуется найти максимальный поток минимальной стоимости.
* '''Шаг 2'''. Для каждого ребра зададим поток равный <tex>0</tex>.
* '''Шаг 3'''. Построим остаточную сеть <tex>G_f</tex>.
* '''Шаг 4'''. При помощи [[Алгоритм Форда-Беллмана| алгоритма Форда-Беллмана]] найдем отрицательные циклы в остаточной сети. Если нет {{---}} перейдем к '''шагу 7'''.
* '''Шаг 5'''. Выберем один из отрицательных циклов.
* '''Шаг 6'''. Избавимся от отрицательного цикла, для этого пустим по нему максимально возможный поток. Перейдем к '''шагу 5'''.
* '''Шаг 7'''. Отрицательных циклов в остаточной сети нет, значит, максимальный поток минимальной стоимости найден.
* '''Конец.'''

====Асимптотика====
Алгоритм Форда-Беллмана работает за <tex>O(VE)</tex>. Нахождение максимального потока и улучшение цикла работает за <tex>O(E)</tex>. В итоге имеем <tex>O(V E^2)</tex>.

===Метод дополнения потока вдоль путей минимальной стоимости===
{{main|Поиск_потока_минимальной_стоимости_методом_дополнения_вдоль_путей_минимальной_стоимости}}

===Использование потенциалов Джонсона===
{{main|Использование_потенциалов_Джонсона_при_поиске_потока_минимальной_стоимости}}

== См. также ==
* [[Сведение задачи о назначениях к задаче о потоке минимальной стоимости|Сведение задачи о назначениях к задаче о потоке минимальной стоимости]]
* [[Венгерский алгоритм решения задачи о назначениях|Венгерский алгоритм решения задачи о назначениях]]

== Источники информации ==
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/Поток_минимальной_стоимости Википедия {{---}} Поток минимальной стоимости]
*[http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/graph-flow-match/min-cost-max-flow-2009 Визуализатор алгоритма нахождения максимального потока минимальной стоимости]
*[http://habrahabr.ru/blogs/algorithm/61884/ Хабрахабр {{---}} Максимальный поток минимальной стоимости]
* ''Кормен, Томас Х., Лейзерсон, Чарльз И., Ривест, Рональд Л., Штайн Клиффорд'' '''Алгоритмы: построение и анализ''', 2-е издание. Пер. с англ. {{---}} М.:Издательский дом "Вильямс", 2010. {{---}} 1296 с.: ил. {{---}} Парал. тит. англ. {{---}} ISBN 978-5-8459-0857-5 (рус.)

[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Задача о потоке минимальной стоимости]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Поток минимальной стоимости