http://neerc.ifmo.ru/wiki/api.php?action=feedcontributions&feedformat=atom&user=94.25.229.66&*
Викиконспекты - Вклад участника [ru]
2026-05-04T03:34:40Z
Вклад участника
MediaWiki 1.30.0
http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%B2&diff=32233
Пространство линейных операторов
2013-06-14T06:38:44Z
<p>94.25.229.66: </p>
<hr />
<div>Рассмотрим <tex>X \times Y = \{</tex> все Л.О. <tex>\mathcal{A} \colon X \to Y\}</tex> <br><br />
<br />
{{Определение<br />
|definition= Пусть <tex>\mathcal{A}, \mathcal{B} \colon X \to Y;\quad \mathcal{A}, \mathcal{B} \in X \times Y</tex> <br><br />
<br />
Отображение <tex>\mathcal{C}</tex> называется суммой <tex>\mathcal{A}</tex> и <tex>\mathcal{B}\ (\mathcal{C} = \mathcal{A} + \mathcal{B})</tex>, если <tex>\forall x \in X \colon \mathcal{C}x = \mathcal{A}x + \mathcal{B}x</tex><br />
}}<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition= Пусть <tex>\mathcal{A} \colon X \to Y;\quad \mathcal{A} \in X \times Y</tex> <br><br />
<br />
Отображение <tex>\mathcal{D}</tex> называется произведением <tex>\mathcal{A}</tex> на число <tex>\lambda\ (\mathcal{D} = \mathcal{A} \cdot \lambda)</tex>,\ если <tex>\forall x \in X \colon \mathcal{D}x = \lambda \mathcal{A}x</tex><br />
}}<br />
<br />
<br />
{{Лемма<br />
|statement=<tex>\mathcal{C}</tex> и <tex>\mathcal{D}</tex> {{---}} суть(являются) линейные операторы<br />
|proof = Покажем, что:<br />
# <tex>\mathcal{C}(x_1 + x_2) = \mathcal{C}x_1 + \mathcal{C}x_2</tex><br />
# <tex>\mathcal{C}(\lambda x) = \lambda \mathcal{C}x</tex><br />
<br />
Аналогично, покажем то же самое для <tex>\mathcal{D}</tex><br />
}}<br />
<br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement = <tex>X \times Y</tex> {{---}} линейное пространство над полем <tex>F</tex><br />
|proof= Проверим все 8 аксиом. Все они будут выполняться.<br />
}}<br />
<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition= <tex>X \times Y</tex> называется прямым произведением пространств <tex>X</tex> и <tex>Y</tex><br />
}}<br />
<br />
{{Лемма<br />
|statement= Пусть <tex>\mathcal{A} \leftrightarrow A</tex>, <tex>\mathcal{B} \leftrightarrow B</tex>, <tex>\mathcal{C} \leftrightarrow C</tex>, <tex>\mathcal{D} \leftrightarrow D</tex><br />
<tex> \mathcal{C} = \mathcal{A} + \mathcal{C}</tex>,<br />
<tex> \mathcal{D} = \lambda \mathcal{A}</tex><br />
<br />
Тогда: <tex>C = A + B;\quad D = \lambda A</tex><br />
}}<br />
<br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement = Пусть <tex>F_n^m = \{</tex> все матрицы <tex>A_{[m \times n]} = \begin{Vmatrix} \alpha^i_k \end{Vmatrix},\ \alpha^i_k \in F \}</tex><br><br />
<tex>X \times Y</tex> изоморфно <tex>F_n^m</tex><br />
|proof= <br />
}}<br />
<br />
<br />
<br />
== Ссылки ==<br />
* [[Линейный оператор]]<br />
<br />
== Источники ==<br />
* Анин конспект<br />
<br />
[[Категория: Алгебра и геометрия 1 курс]]</div>
94.25.229.66