Метрические пространства

2013-01-05T11:07:13Z

94.25.229.92: ну это же очевидно

{{В разработке}}

{{Определение
|id=defms
|definition=
Для некоторого множества <tex>X</tex>, отображение <tex> \rho : X \times X \rightarrow \mathbb{R^+} </tex> {{---}} называется '''метрикой''' на <tex>X</tex>, если выполняются аксиомы
# <tex> \rho (x, y) \ge 0 ;\ \rho (x, y) = 0 \iff x = y </tex>
# <tex> \rho (x, y) = \rho (y, x) </tex>
# <tex> \rho (x, y) \le \rho (x, z) + \rho (z, y) </tex> {{---}} неравенство треугольника

Пару <tex>(X, \rho)</tex> называют '''метрическим пространством'''.
}}

{{Определение
|id=defmsconv
|definition=
Последовательность <tex>x_n</tex> '''сходится''' к <tex>x</tex> в МП <tex>(X, \rho)</tex> (записывают <tex> x = \lim\limits_{n \to \infty} x_n</tex>), если <tex> \rho(x_n, x) \xrightarrow[n \to \infty]{} 0</tex>
}}

Некоторые примеры метрических пространств:

* <tex>X = \mathbb{R}, \rho(x, y) = | x - y |</tex>

* <tex>X = \mathbb{R}^n, \rho(\overline x, \overline y) = \sqrt{\sum\limits_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}</tex>

* <tex>X = \mathbb{R}^{\infty}</tex>. Превращение в МП должно быть связано с желаемой операцией предельного перехода. В случае конечномерного пространства сходимость совпадает с покоординатной сходимостью, хотим того же самого для бесконечномерного. Введем метрику: <tex>\rho(\overline x, \overline y) = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} {1 \over 2^n}{|x_n - y_n| \over 1 + |x_n - y_n|}</tex> (стандартный способ превратить в метрическое пространство счетное произведение метрических пространств, коим и является <tex>R^{\infty}</tex>). Проверим, что эта метрика удовлетворяет аксиомам:
** этот ряд всегда сходящийся, так как мажорируется убывающей геометрической прогрессией <tex>\sum\limits_{n=1}^{\infty} {1 \over 2^n} = 1</tex>, соответственно, расстояние ограничено единицей.
** первая аксиома: неотрицательность очевидна, равенство метрики нулю в обе стороны очевидно
** вторая аксиома: еще очевиднее
** третья аксиома легко вытекает из следующего утверждения:
{{Утверждение
|statement=<tex> {|x - z| \over 1 + |x - z|} \le {|x - y| \over 1 + |x - y|} + {|y - z| \over 1 + |y - z|}</tex>
|proof=
Рассмотрим <tex>f(t) = {t \over 1 + t}</tex>.
* <tex> f(t) </tex> возрастает при <tex> t \in (-1, \infty) </tex>, поэтому, если <tex> -1 < t_1 < t_2 </tex>, <tex> f(t_1) < f(t_2) </tex>.
* <tex>f</tex> выпукла вверх на том же промежутке
Так как <tex> |x - z| \le |x - y| + |y - z| </tex> по свойствам <tex> | \cdot | </tex> и <tex>f</tex> возрастает, то <tex> f(|x - z|) \le f(|x - y| + |y - z|)</tex>. Из свойств [[Модуль_непрерывности_функции | модуля непрерывности]] имеем <tex>f(t_1 + t_2) \le f(t_1) + f(t_2)</tex>, тогда <tex>f(|x - y| + |y - z|) \le f(|x - y|) + f(|y - z|) </tex>, то есть получили <tex>f(|x - z|) \le f(|x - y|) + f(|y - z|)</tex>.
}}

{{Утверждение
|statement=Сходимость в метрике <tex> \mathbb{R}^{\infty} </tex> эквивалентна покоординатной.
|proof=
Пусть <tex> x^{(n)} = (x^{(n)}_1, \dots, x^{(n)}_k, \dots), x = (x_1, \dots, x_k, \dots) </tex>. Покажем, что <tex> x^{(n)} \to x \iff \forall k: x^{(n)}_k \to x_k </tex>.

В прямую сторону: <tex> f(|x^{(n)}_k - x_k|) \le 2^k \rho(x^{(n)}, x) </tex>. Пусть <tex> \rho(x^{(n)}, x) < {\varepsilon \over 2^k} </tex>. Тогда <tex> f(|x^{(n)}_k - x_k|) \le \varepsilon </tex>. Так как <tex> t = {1 \over 1 - f(t)} - 1 </tex>, то <tex> t \to 0 </tex>, когда <tex> f(t) \to 0 </tex>, а значит, покоординатная сходимость выполняется.

В обратную сторону: подберем такое <tex> k_0 </tex>, чтобы <tex> {\sum\limits_{k = k_0 + 1}^{\infty} {1 \over 2^k}} < \varepsilon </tex>. Возьмем <tex> n_0 </tex> таким, чтобы <tex> \forall k \le k_0, n > n_0: |x^{(n)}_k - x_k| < \varepsilon </tex>. Тогда <tex> \rho(x^{(n)}, x) < \sum\limits_{k = 1}^{k_0} {\varepsilon \over 2^k} + \varepsilon < 2 \varepsilon </tex>. Устремляя <tex> \varepsilon </tex> к нулю, получаем необходимое.
}}

* В любом пространстве <tex>X</tex> можно ввести дискретную метрику: <tex>\rho(x, y) = \begin{cases} 0; & x = y \\ 1; & x \ne y \end{cases}</tex>. Заметим, что в дискретной метрике сходятся только стационарные последовательности.
* <tex>X = \mathbb{R}^{\mathbb{I}}</tex>, то есть множество всех функций из <tex>[0; 1]</tex> в <tex>\mathbb{R}</tex>. Это пространство не метризуется, то есть не существует метрики, в которой сходимость эквивалентна поточечной <ref>Кому интересно: метрическое пространство удовлетворяет первой аксиоме счетности, а она не может выполняться в <tex>X = \mathbb{I}^{\mathbb{I}}</tex>, которое понятно как сводится к <tex>X = \mathbb{R}^{\mathbb{I}}</tex>: [http://math.stackexchange.com/questions/65472/why-is-0-10-1-not-first-countable ''Why is <tex>[0,1]^{[0,1]}</tex> not first countable?'']</ref>.

Центральную роль в изучении МП играют шары:
{{Определение
|id=defob
|definition=
'''Открытым шаром''' в МП <tex>(X, \rho)</tex> с радиусом <tex>r</tex> и центром в <tex>a</tex> называют множество <tex>V_r(a) = \{ x \mid \rho(x, a) < r \} </tex>. В определении '''замкнутого шара''' знак <tex><</tex> заменяется на <tex>\le</tex>.
}}

На базе этих множеств можно МП превратить в ТП.

{{Определение
|id=defts
|definition=
Для некоторого множества <tex>X</tex>, класс множеств <tex>\tau</tex> называется '''топологией''', если:
# <tex> X, \emptyset \in \tau</tex>
# Любое объединение (возможно, несчетное) <tex>\bigcup\limits_{\alpha} G_{\alpha}</tex> из <tex>\tau</tex> принадлежит <tex>\tau</tex>
# Любое конечное пересечение <tex>\bigcap\limits_{i=1}^{n} G_i</tex> из <tex>\tau</tex> принадлежит <tex>\tau</tex>
Пару <tex>(X, \tau)</tex> называют '''топологическим пространством'''. Множества, принадлежащие <tex>\tau</tex>, называются '''открытыми'''. '''Замкнутыми''' называются множества-дополнения к множествам из <tex>\tau</tex>.
}}

{{Определение
|id=defint
|definition=
Рассмотрим множество <tex>A \subset X</tex>.

'''Внутренностью (interior)''' множества <tex>A</tex> называется множество <tex>\mathrm{Int} A = \bigcup\limits_{G \subset A} G</tex>, где <tex> G </tex> — открытые множества.

'''Замыкание (closure)''' множества <tex>A</tex> называется множество <tex>\mathrm{Cl} A = \bigcap\limits_{A \subset F } F</tex>, где <tex> F </tex> — замкнутые множества.

'''Границей (boundary, frontier)''' множества <tex>A</tex> называется множество <tex>\mathrm{Fr} A = \mathrm{Cl} A \setminus \mathrm{Int} A</tex>.
}}

{{Определение
|id=deftslimit
|definition=
Точка <tex>x</tex> называется '''пределом последовательности <tex>x_n</tex> в топологическом пространстве''' <tex>(X, \tau)</tex>, если <tex>\forall G \ni x\ \exists N\ \forall n > N: x_n \in G</tex>, то есть любое открытое множество, содержащее предел, также содержит все точки последовательности кроме конечного числа.
}}

{{Определение
|id=defnbh
|definition=
Множество <tex>U</tex> называет '''окрестностью''' в ТП, если существует открытое <tex>G</tex>: <tex>x \in G \subset U</tex>.
}}

{{Определение
|id=defcont
|definition=
Отображение <tex>f: (X, \tau_1) \to (Y, \tau_2)</tex> называют непрерывным в точке <tex>x \in X</tex>, если для любой окрестности <tex>U_{f(x)}</tex> существует окрестность <tex>U_x</tex>: <tex>f(U_x) \subset U_{f(x)}</tex>.
}}

Характеристика непрерывных отображений ТП: <tex>f</tex> непрерывно, если для любого <tex>G' \in \tau_2: f^{-1}(G') \in \tau_1</tex>, то есть прообраз любого открытого множества также открыт.<ref>В конспекте только в прямую сторону, но вообще, вроде, это критерий. Док-во есть в Колмогорове, элементы теории функции и функана, 6 издание, страница 107.</ref>

Для любого МП <tex>(X, \rho)</tex> можно ввести '''метрическую топологию''': выделим в семейство открытых множеств <tex>\tau</tex> множества, являющимися объединениями любого (возможно, несчетного) числа открытых шаров. Покажем, что это семейство удовлетворяет аксиомам ТП:
# Очевидно, <tex>X = \bigcup\limits_{x \in X}\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}U_i(x)</tex>.
# Очевидно.
# Докажем для пересечения двух множеств, дальше по индукции:
#: <tex>G_1 \bigcap G_2 = (\bigcup\limits_{\alpha} V') \bigcap (\bigcup\limits_{\beta} V'') = \bigcup\limits_{\alpha, \beta} (V' \bigcap V'')</tex>. (То, что так можно сделать, доказывается включением в обе стороны)
#: Рассмотрим <tex>V' \bigcap V''</tex>: <tex>\forall x \in V' \bigcap V'' \exists V(x) \subset V' \bigcap V''</tex> (раньше когда-то доказывали), тогда <tex>V' \bigcap V'' = \bigcup\limits_{x \in V' \cap V''} V(x)</tex>

В данном случае открытые множества были получены объединением открытых шаров — множеств более узкого класса. Это один из общих приемов превращения произвольного пространства в топологическое, открытые шары здесь — база топологии.

{{Определение
|id=deftbase
|definition=
'''Базой топологии''' называют некоторый набор открытых множеств <tex>\sigma</tex>, такой, что <tex> \forall G \in \tau:\ G = \bigcup\limits_{V \in \sigma} V </tex>, то есть, любое непустое открытое множество можно представить в виде объединения множеств из <tex>\sigma</tex>.
}}

{{Утверждение
|id=propcl
|statement=
<tex>\mathrm{Cl} A = \{ x \mid \rho(x, A) = 0 \}</tex>, где <tex>\rho(x, A) = \inf\limits_{a \in A} \rho(x, y)</tex>.
|proof=
Пусть <tex>f(x) = \rho(x, A)</tex>. Сначала убедимся в том, что <tex>f(x)</tex> равномерно непрерывна:

<tex>\forall a \in A, x_1, x_2 \in X: \rho(x_1, a) \le \rho(x_1, x_2) + \rho(x_2, a)</tex>

<tex>\rho(x_1, A) \le \rho(x_1, a), \forall \varepsilon > 0\ \exists a_\varepsilon \in A: \rho(x_2, a_\varepsilon) < \rho(x_2, A) + \varepsilon</tex>

Значит, <tex>\rho(x_1, A) < \rho(x_1, x_2) + \rho(x_2, A) + \varepsilon</tex>.

Аналогично, <tex>\rho(x_2, A) < \rho(x_1, x_2) + \rho(x_1, A) + \varepsilon</tex>.

Отсюда, <tex>|\rho(x_1, A) - \rho(x_2, A)| < \rho(x_1, x_2) + \varepsilon</tex>, устремляя <tex>\varepsilon</tex> к нулю, получаем равномерную непрерывность <tex>f</tex>.

Обозначим <tex>B = \{ x \mid \rho(x, A) = 0 \}</tex>. Понятно, что если некоторая последовательность <tex>x_n \in B</tex> сходится к <tex>x</tex>, то <tex>\rho(x_n, A) = 0</tex>, и <tex>\rho(x, A) = 0</tex>, то есть, по определению <tex>B</tex>, <tex>x \in B</tex>. Значит, <tex>B = \mathrm{Cl} B</tex>, <tex>B</tex> замкнуто.

Если <tex>a \in A</tex>, то <tex>\rho(a, A) = 0</tex> и <tex>a \in B</tex>. Значит, <tex>\mathrm{Cl} A \subset B</tex>.

Теперь покажем, что для произвольного замкнутого <tex>F, A \subset F</tex>, выполняется <tex>B \subset F</tex>.

Допустим, это неверно, и <tex>\exists b \in B: b \notin F</tex>, тогда <tex>x \in X \setminus F = G = \bigcup\limits_{\alpha} V_{r_\alpha}(x_\alpha)</tex>.

Значит, <tex> x \in V_r(b) \subset X \setminus F</tex>.

<tex>b \in B, \rho(b, A) = 0</tex>, следовательно, есть последовательность <tex>a_n \in A: \rho(b, a_n) \to 0</tex>.

Начиная с некоторого <tex>N</tex>, <tex>\rho(b, a_n) < r</tex>, и <tex>a_n \in V_r(b)</tex>, <tex>A \cap V_r(b)</tex> непусто.

Но <tex>A \subset F \Rightarrow A \cap G = \varnothing</tex> {{---}} противоречие, <tex>B \subset F</tex>.
}}
Замечание: заметим, что в общем случае в топологических пространствах замыкания не определяются через предел последовательности, в этом смысле метрические пространства удобны.

Метрические пространства удовлетворяют свойству нормальности:

{{Утверждение
|id=msnorm
|about=
нормальность МП
|statement=
Любое МП - нормальное, то есть любые два непересекающихся замкнутых подмножества имеют непересекающиеся окрестности.
|proof=
(скопировано из первого курса, в Колмогорове на странице 112 есть доказательство поприятнее и поинтуитивнее)

<tex> f(x) = \frac {\rho(x, F_1)} {\rho(x, F_1) + \rho(x, F_2)} </tex>. Т.к. <tex> F_1 \cap F_2 = \varnothing </tex> и <tex> F_1, F_2 </tex> - замкнуты, то знаменатель не равен 0. Следовательно, <tex> f(x) </tex> корректна и непрерывна в силу непрерывности <tex> \rho </tex>. При этом: <tex> x \in F_1 \Rightarrow f(x) = 0; x \in F_2: f(x) = 1 </tex>. Рассмотрим на R пару интервалов: <tex> (- \infty; \frac 1 3) </tex> и <tex> (\frac 1 2, + \infty) </tex>. Т.к. <tex> f(x) </tex> неперывна, то прообраз открытого множества - открытое множество (это другое определение непрерывного отображения, оно почти эквивалентно тому, которое было дано ранее).
: <tex> G_1 = f^{-1} ( - \infty; \frac 1 3); G_2 = f^{-1}(\frac 1 2, + \infty) </tex>
: <tex> F_1 \in G_1; F_2 \in G_2; G_1 \cap G_2 = \varnothing </tex>, ч.т.д.
}}

Следствие: так как одноточечные подмножества в МП являются замкнутыми, МП удовлетворяют аксиоме отделимости Хаусдорфа: любые две различные точки можно отделить открытыми шарами.

{{Определение
|id=defmscompl
|definition=
МП <tex>(X, \rho)</tex> называется '''полным''', если в нем любая сходящаяся в себе последовательность сходится.
}}

{{Утверждение
|about=
принцип вложенных шаров
|statement=
Пусть <tex>(X, \rho)</tex> — полное. <tex>\overline V_n</tex> — замкнутые шары. <tex>\overline V_{n + 1} \subset \overline V_n</tex>, <tex>r_n \to 0</tex>. Тогда <tex>\bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \overline V_n \ne \emptyset</tex>, и является точкой.
|proof=
Пусть <tex>a_n</tex> — центр соответствующего шара, тогда из вложенности <tex>\forall m > n: \rho(a_n, a_m) < r_n</tex>, то есть последовательность центров сходится в себе, так как <tex>r_n \to 0</tex>. Тогда по полноте последовательность центров сходится к <tex>a</tex>, множество <tex>\{a\}</tex> и есть искомое перечечение.
{{TODO|t=где в доказательстве используется замкнутость шаров?}}
{{TODO|t=показать, что кроме этой точки, в пересечение больше ничего не входит}}
: Ну это понятно, пусть есть две разные точки <tex>x, y</tex>, тогда <tex>\rho(x, y) > 0</tex>, возьмем шар в пересечении радиусом меньше <tex>\rho(x, y) \over 2</tex> (такой есть по стремлению радиусов к <tex>0</tex>), ну и в нем может лежать либо <tex>x</tex>, либо <tex>y</tex>.
}}

{{Определение
|id=defdense
|definition=
<tex>A</tex> '''всюду плотно''' в <tex>(X, \rho)</tex>, если <tex>\mathrm{Cl} A = X</tex>
: Например, <tex>\mathbb{Q}</tex> всюду плотно в <tex>\mathbb{R}</tex>, так как <tex>\mathrm{Cl} \mathbb{Q} = \mathbb{R}</tex>.

Если всюду плотное множество счетно, то пространство называют '''сепарабельным'''.

<tex>A</tex> '''нигде не плотно''' в <tex>(X, \rho)</tex>, если <tex>\mathrm{Int} \mathrm{Cl} A = \emptyset</tex>. В смысле метрических пространств это значит, что в любом шаре есть шар, не содержащий точек <tex>A</tex>.
: Например, <tex>\mathbb{Z}</tex> нигде не плотно в <tex>\mathbb{R}</tex>.
}}

{{Определение
|id=defbaire
|definition=
Подмножество <tex>A</tex> топологического пространства <tex>X</tex> имеет '''I категорию по Бэру в пространстве <tex>X</tex>''' если оно является не более чем счетным объединением нигде не плотных в <tex>X</tex> множеств. В противном случае оно имеет '''II категорию по Бэру'''.
}}

{{Теорема
|id=thbaire
|author=Бэр
|statement=
Полное МП является множеством II категории в себе.
|proof=
Пусть <tex>X</tex> — полное и является множеством I категории, то есть представимо как <tex>\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} M_n</tex>, где <tex>M_n</tex> — нигде не плотно в <tex>X</tex>. Возьмем замкнутый шар <tex>\overline V_0</tex>, например, радиуса 1. Так как <tex>M_1</tex> нигде не плотно в <tex>X</tex>, оно также нигде не плотно в <tex>\overline V_0</tex>, а, значит, существует замкнутый шар <tex>\overline V_1</tex> радиуса меньше <tex>1 \over 2</tex>, содержащийся в <tex>\overline V_0</tex> и не пересекающийся с <tex>M_1</tex> (<tex>M_1 \cap \overline V_1 = \emptyset</tex>). Аналогично, <tex>M_2</tex> нигде не плотно в <tex>\overline V_1</tex>, и так далее действуя таким образом, построим систему вложенных замкнутых шаров (<tex>\overline V_{n+1} \subset \overline V_n</tex>) со стремящимся к нулю радиусом. В силу теоремы о вложенных шарах пересечение этих шаров должно содержать какую-то точку <tex>x</tex>, но эта точка не может лежать ни в одном из множеств <tex>M_n</tex> по построению, то есть, получили противоречие, и <tex>X</tex> не является множеством первой категории.
}}

{{Утверждение
|about=следствие из т. Бэра
|statement=
Полное МП без изолированных точек несчетно.
|proof=
Пусть <tex>(X, \rho)</tex> — МП без изолированных точек (то есть в любой окрестности любой точки найдутся точки, отличные от нее). Пусть <tex>X</tex> — счетно, то есть можно занумеровать его элементы как <tex>\{ x_1 \dots x_n \dots \}</tex> и представить <tex>X</tex> как <tex>\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} \{ x_n \}</tex>. Но одноточечные множества нигде не плотны в <tex>X</tex>, тогда оно является множеством I категории, что противоречит теореме Бэра. Следовательно, <tex>X</tex> должно быть несчетно.
}}

Это следствие объясняет природу несчетности вещественной оси.

{{Определение
|id=defmscompact
|definition=
Замкнутое <tex>K \subset X</tex> называют '''компактом''', если из любой последовательности точек в <tex>K</tex> можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
}}

{{Определение
|id=defmstb
|definition=
<tex>A \subset X</tex> называют '''вполне ограниченным''', если для него при любом <tex>\varepsilon</tex> существует конечная <tex>\varepsilon</tex>-сеть, то есть <tex>\forall \varepsilon > 0 \exists x_1, x_2 \dots x_n: A \subset \bigcup\limits_{i=1}^n V_{\varepsilon}(x_i)</tex>.
}}

{{Теорема
|id=thhausdorf
|author=Хаусдорф
|statement=
В полном метрическом пространстве множество является компактом тогда и только тогда, когда оно замкнуто и вполне ограничено.
|proof=
[[Теорема_Хаусдорфа_об_ε-сетях]]
}}

{{Утверждение
|statement=
Пример: <tex>R^{\infty}</tex> — полное.
|proof=
{{TODO|t=упражнение}}
}}

{{Утверждение
|about=
компактность прямоугольника в R^infty
|statement=
<tex>\Pi = [a_1, b_1] \times \dots \times [a_n, b_n] \dots</tex> — компакт в <tex>R^{\infty}</tex>.
|proof=
<tex>\rho(\overline x, \overline y) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} {1 \over 2^n} {|x_n - y_n| \over 1 + |x_n - y_n|}</tex>, где <tex>{|x_n - y_n| \over 1 + |x_n - y_n|} \le 1</tex>, также <tex>\forall \varepsilon > 0 \exists n_0: \sum\limits_{n = n_0 + 1}^{\infty} {1 \over 2^n} < \varepsilon</tex>. Таким образом, для каждого <tex>\varepsilon</tex> можно выбрать номер координаты <tex>n_0</tex>, такой что все координаты с большими <tex>n_0</tex> номерами суммарно влияют на метрику не больше, чем на <tex>\varepsilon</tex>.

Расмотрим <tex>\Pi_{n_0} = [a_1, b_1] \times \dots \times [a_n, b_n] \subset R^{n_0}</tex> — для него можно составить конечную <tex>\varepsilon</tex>-сеть <tex>A</tex> (понятно что по каждой координате это сделать легко, а дальше возьмем декартово произведение). Сделаем сеть <tex>A'</tex> для <tex>\Pi</tex> следующим образом: к каждой <tex>n_0</tex>-мерной точке из <tex>A</tex> допишем произвольные координаты <tex>x_{n_0 + 1}, x_{n_0 + 2} \dots</tex>.
* По выбору <tex>\varepsilon</tex>: <tex>\forall x' \in \Pi\ \exists x \in \Pi_{n_0}: \rho (x', x) < \varepsilon</tex>.
* По определению <tex>\varepsilon</tex>-сети для <tex>A</tex>: <tex>\forall \varepsilon > 0\ \forall x \in \Pi_{n_0} \exists a \in A: \rho(x, a) < \varepsilon</tex>.
* По построению <tex>A'</tex> и выбору <tex>\varepsilon</tex>, <tex>\forall a \in A\ \exists a' \in A': \rho(a, a') < \varepsilon</tex>.

Таким образом, <tex>\forall \varepsilon > 0\ \forall x' \in \Pi\ \exists a' \in A': \rho(x', a') \le \rho(x', x) + \rho(x, a) + \rho(a, a') \le 3 \varepsilon</tex>, то есть построили конечную <tex>3\varepsilon</tex>-сеть.
}}

А еще зачем-то можно рассмотреть для пространства с мерой на сигма-алгебре <tex> (X, \mathcal A, \mu) </tex> пространство измеримых на <tex> E \in \mathcal A </tex> вещественнозначных функций. Если ввести на нем метрику <tex>\rho(f, g) = \int\limits_E {|f - g| \over 1 + |f - g|} d \mu</tex>, то сходимость последовательности функций в ней будет равносильна сходимости по мере.

== Примечания ==
<references></references>

== Ссылки ==
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Topological_space Topological space]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Interior_(topology) Interior (topology)]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Closure_(topology) Closure (topology)]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Dense_(topology) Dense (topology)]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Nowhere_dense_set Nowhere dense set]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Compact_space Compact space]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Totally_bounded_space Totally bounded space]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Base_(topology) Base (topology)

[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Метрические пространства