Случайные графы

2022-02-28T11:41:21Z

94.50.108.141: ошибка в доказательстве (не меньше, а больше)

{{Определение
|neat = 1
|definition= '''Модель Эрдёша-Реньи''' (англ. ''Erdős–Rényi model'') {{---}} модель генерации случайных графов, в которой все графы с фиксированным набором вершин и фиксированным набором рёбер одинаково вероятны. Существует два тесно связанных варианта модели: ''биномиальная'' и ''равномерная''.
}}
{{Определение
|neat = 1
|definition= '''Биномиальная модель случайного графа''' (англ. ''binomial random graph model'') <tex>G(n, p)</tex> {{---}} модель, в которой каждое ребро входит в случайный граф независимо от остальных ребер с вероятностью <tex>p</tex>. <tex>G(n, p) = (\Omega_n, F_n, P_{n, p})</tex> {{---}} [[ Вероятностное пространство, элементарный исход, событие | вероятностное пространство ]]. <tex>|\Omega_n| = 2^{C^2_n}</tex>, <tex>P_{n, p}(G) = p^m(1 - p)^{C^2_n - m}</tex>, где <tex>m</tex> {{---}} число ребер в графе.
}}
{{Определение
|neat = 1
|definition= '''Равномерная модель случайного графа''' (англ. ''uniform random graph model'') <tex>G(n, m)</tex> {{---}} модель, в которой все графы с <tex>m</tex> ребрами равновероятны. <tex>G(n, m) = (\Omega_n, F_n, P_{n, m})</tex> {{---}} вероятностное пространство. <tex>|\Omega_n| = m</tex>, <tex>P_{n, m}(G) = \dfrac{1}{C^m_n}</tex>.
}}
{{Определение
|definition= Свойство <tex>A</tex> '''асимптотически почти наверное истинно''', если <tex>\lim\limits_{n \rightarrow \infty} p(n) = 1</tex>, где <tex>p(n)</tex> {{---}} вероятность графа <tex>G(n, p)</tex> обладать этим свойством.
}}
{{Определение
|definition= Свойство <tex>A</tex> '''асимптотически почти наверное ложно''', если <tex>\lim\limits_{n \rightarrow \infty} p(n) = 0</tex>, где <tex>p(n)</tex> {{---}} вероятность графа <tex>G(n, p)</tex> обладать этим свойством.
}}

== Существование треугольников в случайном графе ==
{{Теорема
|statement=Если <tex>p(n) = o(\dfrac{1}{n})</tex>, то <tex>G(n, p)</tex> асимптотически почти наверное (далее а.п.н) не содержит треугольников.
|proof=
Пусть <tex>T</tex> {{---}} число треугольников в графе, <tex>T_{i,j,k}</tex> {{---}} индикаторная случайная величина, равная <tex>1</tex>, если вершины <tex>i</tex>, <tex>j</tex> и <tex>k</tex> образуют треугольник.

Воспользуемся [[Неравенство Маркова| неравенством Маркова]]:

<tex>P(T > 0) = P(T \geqslant 1) \leqslant E[T] = \sum\limits_{i, j, k}T_{i, j, k}p^3 = C^3_np^3 \sim \dfrac{n^3p^3}{6} \rightarrow 0</tex>, при <tex>n \rightarrow \infty</tex>.
}}

{{Теорема
|statement=Если <tex>p(n) = \omega(\dfrac{1}{n})</tex>, то <tex>G(n, p)</tex> а.п.н содержит треугольник.

|proof=
Пусть <tex>T</tex> {{---}} число треугольников в графе, <tex>T_{i,j,k}</tex> {{---}} индикаторная случайная величина, равная <tex>1</tex>, если вершины <tex>i</tex>, <tex>j</tex> и <tex>k</tex> образуют треугольник.

Воспользуемся [[Неравенство Маркова#thCheb| неравенством Чебышева]]:

<tex>P(T = 0) = P(T \leqslant 0) = P(E[T] - T \geqslant E[T]) \leqslant P(|E[T] - T| \geqslant E[T]) \leqslant \dfrac{D[T]}{(E[T])^2}</tex>.

Найдем <tex>E[T^2]</tex>:

<tex>E[T^2] = E[(\sum\limits_{i, j, k}T_{i, j, k})^2]= E[\sum\limits_{i, j, k}T_{i, j, k}^2] + E[\sum\limits_{i, j, k, a, b, c}T_{i, j, k}T_{a, b, c}] =</tex>

<tex>= E[T] + (C^3_nC^3_{n - 3} + C^3_nC^2_{n - 3})p^6 + 3C^3_n(n - 3)p^5 \sim \dfrac{n^3p^3}{6} + (\dfrac{n^6}{36} + \dfrac{n^5}{4})p^6 + \dfrac{n^4}{2}p^5 \sim \dfrac{n^3p^3}{6} + \dfrac{n^6p^6}{36} + \dfrac{n^4p^5}{2} \sim \dfrac{n^3p^3}{6} + \dfrac{n^6p^6}{36}</tex>

<tex>D[T] = E[T^2] - (E[T])^2 \sim \dfrac{n^3p^3}{6} + \dfrac{n^6p^6}{36} - \dfrac{n^6p^6}{36} = \dfrac{n^3p^3}{6}</tex>

<tex>P(T = 0) \leqslant \dfrac{\dfrac{n^3p^3}{6}}{\dfrac{n^6p^6}{36}} = \dfrac{6}{p^3n^3} \rightarrow 0</tex>, при <tex>n \rightarrow \infty</tex>
}}

== Связность графа ==

{{Лемма
|id=lemma1
|statement=Если <tex>c \geqslant 3</tex>, <tex>n \geqslant 100</tex>, <tex>p = \dfrac{c\ln n}{n}</tex>. Тогда <tex>P(G - связен) \rightarrow 1</tex>.
|proof=
Пусть <tex>X</tex> {{---}} индикаторная величина, равная нулю, если <tex>G</tex> связен, и <tex>k</tex>, если <tex>G</tex> содержит <tex>k</tex> компонент связности.

<tex>X_i</tex> {{---}} число компонент связности размера <tex>i</tex>.

<tex>X_{a_1,a_2, \dots , a_i} = 1</tex>, если <tex>a_1,a_2, \dots , a_i</tex> {{---}} компонента связности.

<tex>X_i = \sum\limits_{a_1,a_2, \dots , a_i} X_{a_1,a_2, \dots , a_i}</tex>

<tex>E[X_i] = \sum\limits_{a_1,a_2, \dots , a_i} E[X_{a_1,a_2, \dots , a_i}] = C_n^iEX_{1, 2, \dots, i} = C_n^i P(1, 2, \dots, i - комп.связности) \leqslant C_n^i (1 - p)^{i(n - i)}</tex>.

<tex>E[X] \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} E[X_i] \leqslant \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} C_n^i(1 - p)^{i(n - i)}</tex>

Последняя сумма симметрична (слагаемые при <tex>i = k</tex> и <tex>i = n - k</tex> равны), кроме того слагаемое при <tex>i = 1</tex> {{---}} наибольшее (для доказательства достаточно рассмотреть отношения слагаемых при <tex>i \leqslant \dfrac{n}{8}</tex> и <tex>\dfrac{n}{8} < i \leqslant \dfrac{n}{2}</tex>).

Оценим сверху первое слагаемое <tex>n(1 - p)^{n - 1}</tex>:

<tex>n(1 - p)^{n - 1} \leqslant ne^{-p(n - 1)} \leqslant ne^{\frac{-3 (n - 1) \ln n}{n}}</tex>

<tex>n \geqslant 100</tex>, поэтому <tex>\dfrac{n - 1}{n} > 0.9</tex>.

<tex>ne^{\frac{-3 (n - 1) \ln n}{n}} < e^{-2.7\ln n} = \dfrac{1}{n^{2.7}}</tex>

<tex>\sum\limits_{i = 1}^{n - 1} C_n^i(1 - p)^{i(n - i)} \leqslant \sum\limits_{i = 1}^{n - 1}\dfrac{1}{n^{2.7}} < \dfrac{n}{n^{2.7}} \rightarrow 0</tex>, при <tex>n \rightarrow \infty</tex>

}}

{{Лемма
|id=lemma2
|statement=Если <tex>c \geqslant 3</tex>, <tex>n \geqslant 100</tex>, <tex>p = \dfrac{c\ln n}{n}</tex>. Тогда <tex>P(G - связен) > 1 - \dfrac{1}{n}</tex>.
}}

{{Теорема
|statement=<tex>p = \dfrac{c\ln n}{n}</tex>, тогда при <tex>c < 1</tex> граф а.п.н связен, при <tex>c > 1</tex> граф а.п.н не связен.
}}

== Распределение степеней вершин ==
{{Определение
|id=def_degree_dist
|definition='''Распределение степеней вершин случайного графа''' - это функция <tex>P(x)</tex>, определённая на <tex>\mathbb{R}</tex> как <tex>P(\xi=x)</tex>, то есть выражающая вероятность того, что вершина <tex>\xi</tex> имеет степень <tex>x</tex>. Другими словами, распределение степеней <tex>P(k)</tex> графа определяется как доля узлов, имеющих степень <tex>k</tex>.
}}
{{Пример
|id=example_1
|example=Если есть в общей сложности <tex>n</tex> узлов в графе и из них <tex>n_k</tex> имеют степень <tex>k</tex>, то <tex>P(k) = \frac{n_k}{n}</tex>. Другими словами, <tex>P(k)</tex> равно вероятности того, что отдельно взятая вершина имеет степень <tex>k</tex>.
}}

{{Утверждение
|statement=Дан случайный граф <tex>G(n, p)</tex> в биноминальной модели. Тогда для него распределение степеней вершин
<p>
<tex>
\begin{equation*}
P(k) = {n-1 \choose k} p^k(1-p)^{n-1-k}
\end{equation*}
</tex>
</p>
|proof=Действительно, если вероятность появления ребра <tex>p</tex>, то вероятность появления ровно <tex>k</tex> рёбер у вершины равна <tex>p^k(1-p)^{n-1-k}</tex>([[схема Бернулли]]). Таких наборов рёбер у одной вершины всего <tex>{n-1 \choose k}</tex>, откуда получаем искомое распределение.
}}

== Распределение максимальной степени вершин ==
{{Определение
|id=def_max_degree_dist
|definition='''Распределение максимальной степени вершин случайного графа''' - это функция <tex>Q(x)</tex>, определённая на <tex>\mathbb{R}</tex> как <tex>P(\xi=x)</tex>, то есть выражающая вероятность того, что максимальная степень вершины <tex>\xi</tex> равна <tex>x</tex>.
}}
{{Утверждение
|statement=<tex>Q(k) = P(k) \cdot (1 - \sum_{x=k+1}^{n} P(x))</tex>
|proof=Будем выводить формулу для <tex>Q(k)</tex> через распределение степеней вершин <tex>P(k)</tex>.

Максимальная степень вершины равна <tex>k</tex> тогда и только тогда, когда не существует вершины степенью больше <tex>k</tex>. Таким образом, нужно посчитать вероятность события <tex>A: \exists v\in G: \; deg(v) = k \;\&\; !\exists v\in G: \; deg(v) > x</tex>.

<tex>P(\exists v: \; deg(v) = k) = P(k)</tex>

<tex>P(k)</tex> - вероятность того, что вершина имеет степень <tex>k</tex>. Тогда вероятность того, что имеет одну из степеней <tex>1...k</tex> - <tex>\sum_{x=1}^{k}P(x)</tex>. Нам нужно обратное событие, при наступлении которого вершина имеет степень больше <tex>k</tex>. Его вероятность равна <tex>1 - \sum_{x=1}^{k} P(x)</tex>.

<tex>P(!\exists v: \; deg(v) > k) = 1 - \sum_{x=1}^{k} P(x)</tex>

События независимы, поэтому получаем: <tex>Q(k) = P(k) \cdot (1 - \sum_{x=1}^{k} P(x))</tex>
}}

== Теоремы о связи вероятности и матожидания ==
{{Теорема
|id=th1
|statement= Пусть <tex>N_z</tex> {{---}} число объектов в графе <tex>G(n, p)</tex>. <tex>A = \{G | N_z(G) > 0 \}</tex> {{---}} свойство. Тогда, если <tex>E[N_z] \rightarrow 0</tex>, при <tex>n \rightarrow \infty</tex>, то <tex>A</tex> а.п.н ложно.
|proof=
Воспользуемся [[Неравенство Маркова | неравенством Маркова]]:

<tex>P(N_z > 0) = P(N_z \geqslant 1) \leqslant E[N_z] \rightarrow 0</tex>, при <tex>n \rightarrow \infty</tex>.
}}

{{Теорема
|id=th2
|statement= Пусть <tex>N_z</tex> {{---}} число объектов в графе <tex>G(n, p)</tex>. <tex>A = \{G | N_z(G) > 0 \}</tex> {{---}} свойство. Тогда, если <tex>E[N_z] \rightarrow \infty</tex>, при <tex>n \rightarrow \infty</tex>, и <tex>E[N_z^2] \leqslant (E[N_z])^2(1 + o(1))</tex> то <tex>A</tex> а.п.н истинно.
|proof=
Воспользуемся [[Неравенство Маркова#thCheb | неравенством Чебышева]]:

<tex>P(N_z = 0) = P(N_z \leqslant 0) = P(E[N_z] - N_z \geqslant E[N_z]) \leqslant P(|E[N_z] - N_z| \geqslant E[N_z]) \leqslant \dfrac{D[N_z]}{(E[N_z])^2} \rightarrow 0</tex>, при <tex>n \rightarrow \infty</tex>.
}}

== Графы, имеющие диаметр два ==
{{Определение
|definition=<tex>A</tex> {{---}} некоторое свойство случайного графа. <tex>p</tex> называется '''пороговой функцией''' (англ. ''threshold function''), если граф <tex>G(n, cp)</tex> при <tex>c < 1</tex> а.п.н не имеет такого свойства, а при <tex>c > 1</tex> а.п.н имеет.
}}
{{Теорема
|statement=Пусть рассматривается свойство графа иметь диаметр два. Тогда <tex>p = \sqrt{2} \sqrt{\dfrac{\ln n}{n}}</tex> {{---}} пороговая функция.
|proof=
Назовем вершины <tex>u</tex> и <tex>v</tex> плохой парой, если кратчайшее расстояние между <tex>u</tex> и <tex>v</tex> больше двух. <tex>B_{i, j}</tex> {{---}} индикаторная величина, равная <tex>1</tex>, если <tex>i</tex> и <tex>j</tex> являются плохой парой.
<tex>N_z = \sum\limits_{i, j} B_{i,j}</tex>
<tex>P(B_{i, j}) = (1 - p)(1 - p^2)^{n - 2}</tex>

Сначала докажем, что при <tex>c > sqrt{2}</tex>, граф а.п.н не имеет диаметр, равный двум. Для этого оценим матожидание <tex>N_z</tex>.
<tex>EN_z = C_n^2(1 - p)(1 - p^2)^{n - 2} \approx \dfrac{n^2}{2}(1 - c\sqrt{\dfrac{\ln n}{n}})(1 - \dfrac{c^2\ln n}{n})^{n - 2} \leqslant \dfrac{n^2}{2}e^{-c^2\ln n} = \dfrac{n^{2 - c^2}}{2}</tex>

При <tex>c > \sqrt{2}</tex> последнее выражение стремится к <tex>0</tex>, по [[#th1 | вышедоказанному ]] граф а.п.н. не имеет диаметр, равный двум.

Рассмотрим <tex>c < \sqrt{2}</tex>:

<tex>EN_z^2 = E(\sum B_{i, j})^2 = E\sum B_{i,j}^2 + E\sum B_{i,j}B_{k,l} = EN_z + \sum EB_{i,j}B_{k,l}</tex>

Рассмотрим сумму <tex>\sum EB_{i,j}B_{k,l}</tex>:

Если <tex>i</tex>, <tex>j</tex>, <tex>k</tex> и <tex>k</tex> различны, то <tex>EB_{i,j}B_{k,l} \leqslant (1 - p^2)^{2(n - 4)} \leqslant n^{-2c^2}(1 + o(1))</tex>.

<tex>\sum EB_{i,j}B_{k,l} \leqslant n^{4 - 2c^2}(1 + o(1))</tex>

<tex>EB_{i,j}B_{i,l} = (1 - p + p(1 - p)^2)^{n - 3} \approx (1 - 2p^2)^{n - 3} = (1 - 2c^2\dfrac{\ln n}{n})^{n - 3} \approx e^{-2c^2 \ln n} = n^{-2c^2}</tex>

<tex>\sum EB_{i,j}B_{i,l} \leqslant n^{3 - 2c}</tex>

В итоге: <tex>EN_z^2 \leqslant n^{2 - c^2} + n^{4 - 2c^2} + n^{3 - 2c^2}</tex>. Из этого следует, что <tex>EN_z \leqslant (EN_z)^2(1 + o(1))</tex>, а значит граф а.п.н имеет диаметр, равный двум при <tex>c > \sqrt{2}</tex>.
}}

== См. также ==
* [[Дискретная случайная величина]]
* [[Дисперсия случайной величины]]
* [[Математическое ожидание случайной величины]]

== Источники информации ==
* [https://www.coursera.org/learn/sluchajnye-graphy/ Coursera {{---}} Онлайн-курс]
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Chernoff_bound Wikipedia {{---}} Random graphs]
* Avrim Blum, John Hopcroft, and Ravindran Kannan. «Foundations of Data Science» {{---}} «Cambridge University Press», 2013 г. {{---}} 245-260 стр. {{---}} ISBN 978-1108485067

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]][[Категория: Теория графов]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Случайные графы