Сортировка кучей

2019-10-28T11:34:52Z

95.58.179.186: /* Реализация */

'''Сортировка кучей''', '''пирамидальная сортировка''' (англ. ''Heapsort'') {{---}} алгоритм сортировки, использующий структуру данных [[Двоичная куча|двоичная куча]]. Это неустойчивый алгоритм сортировки с временем работы <tex>O(n\log{n})</tex> , где <tex>n</tex> {{---}} количество элементов для сортировки, и использующий <tex>O(1)</tex> дополнительной памяти.

== Алгоритм ==
Необходимо отсортировать массив <tex>A</tex>, размером <tex>n</tex>. Построим на базе этого массива за <tex>O(n)</tex> кучу для максимума. Так как максимальный элемент находится в корне, то если поменять его местами с <tex>A[n - 1]</tex>, он встанет на своё место. Далее вызовем процедуру <tex> \mathrm{siftDown(0)} </tex>, предварительно уменьшив <tex> \mathrm{heapSize} </tex> на <tex>1</tex>. Она за <tex>O(\log{n})</tex> просеет <tex>A[0]</tex> на нужное место и сформирует новую кучу (так как мы уменьшили её размер, то куча располагается с <tex>A[0]</tex> по <tex>A[n - 2]</tex>, а элемент <tex>A[n-1]</tex> находится на своём месте). Повторим эту процедуру для новой кучи, только корень будет менять местами не с <tex>A[n - 1]</tex>, а с <tex>A[n-2]</tex>. Делая аналогичные действия, пока <tex> \mathrm{heapSize} </tex> не станет равен <tex>1</tex>, мы будем ставить наибольшее из оставшихся чисел в конец не отсортированной части. Очевидно, что таким образом, мы получим отсортированный массив.

== Реализация ==
*<tex>\mathrm{A}</tex> {{---}} массив, который необходимо отсортировать
*<tex>\mathrm{n}</tex> {{---}} количество элементов в нём
*<tex> \mathrm{buildHeap(A)} </tex> {{---}} процедура, которая строит из передаваемого массива кучу для максимума в этом же массиве
*<tex> \mathrm{siftDown(A, i, len)} </tex> {{---}} процедура, которая просеивает вниз элемент <tex> \mathrm{A[i]} </tex> в куче из <tex> \mathrm{len} </tex> элементов, находящихся в начале массива <tex> \mathrm{A} </tex>
'''fun''' heapSort(A : '''list <T>'''):
buildHeap(A)
heapSize = A.size
'''for''' i = 0 '''to''' n - 1
swap(A[0], A[n - 1 - i])
heapSize--
siftDown(A, 0, heapSize)

== Сложность ==
Операция <tex> \mathrm{siftDown} </tex> работает за <tex>O(\log{n})</tex>. Всего цикл выполняется <tex>(n - 1)</tex> раз. Таким образом сложность сортировки кучей является <tex>O(n\log{n})</tex>.

Достоинства:
* худшее время работы {{---}} <tex>O(n\log{n})</tex>,
* требует <tex>O(1)</tex> дополнительной памяти.
Недостатки:
* неустойчивая,
* на почти отсортированных данных работает столь же долго, как и на хаотических данных.

== Пример ==

{|align="right"
|-valign="top"
|[[Файл:heap1.png|155px|thumb|Строим кучу]]
|[[Файл:heap2.png|155px|thumb|Первый проход]]
|[[Файл:heap3.png|155px|thumb|Строим новую кучу]]
|-
|[[Файл:heap4.png|155px|thumb|Второй проход]]
|[[Файл:heap5.png|155px|thumb|Третий проход]]
|[[Файл:heap6.png|155px|thumb|Четвёртый проход]]
|}

Пусть дана последовательность из <tex>5</tex> элементов <tex>3, 2, 4, 1, 5</tex>.

{| style="background-color:#CCC;margin:0.5px"
!style="background-color:#EEE"| Массив
!style="background-color:#EEE"| Описание шага
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 5 3 4 1 2
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Строим кучу из исходного массива
|-
|colspan=3|''Первый проход''
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| '''2''' 3 4 1 '''5'''
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Меняем местами первый и последний элементы
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| '''4''' 3 2 1 5
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Строим кучу из первых четырёх элементов
|-
|colspan=3|''Второй проход''
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| '''1''' 3 2 '''4''' 5
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Меняем местами первый и четвёртый элементы
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| '''3''' 1 2 4 5
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Строим кучу из первых трёх элементов
|-
|colspan=3|''Третий проход''
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| '''2''' 1 '''3''' 4 5
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Меняем местами первый и третий элементы
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| '''2''' 1 3 4 5
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Строим кучу из двух элементов
|-
|colspan=3|''Четвёртый проход''
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| '''1''' '''2''' 3 4 5
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Меняем местами первый и второй элементы
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 1 2 3 4 5
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Массив отсортирован
|}

= JSort =
'''JSort''' является модификацией сортировки кучей, которую придумал Джейсон Моррисон (''Jason Morrison'').
Алгоритм частично упорядочивает массив, строя на нём два раза кучу: один раз передвигая меньшие элементы влево, второй раз передвигая большие элементы вправо. Затем к массиву применяется
[[Сортировка вставками|сортировка вставками]], которая при почти отсортированных данных работает за <tex>O(n)</tex>.

Достоинства:
*В отличие от сортировки кучей, на почти отсортированных массивах работает быстрее, чем на случайных.
*В силу использования сортировки вставками, которая просматривает элементы последовательно, использование кэша гораздо эффективнее.
Недостатки:
*На длинных массивах, возникают плохо отсортированные последовательности в середине массива, что приводит к ухудшению работы сортировки вставками.

=== Алгоритм ===
Построим кучу для минимума на этом массиве.
Тогда наименьший элемент окажется на первой позиции, а левая часть массива окажется почти отсортированной, так как ей будут соответствовать верхние узлы кучи.
Теперь построим на этом же массиве кучу так, чтобы немного упорядочить правую часть массива. Эта куча должна быть кучей для максимума и быть "зеркальной" к массиву, то есть чтобы её корень соответствовал последнему элементу массива.
К получившемуся массиву применим сортировку вставками.

=== Сложность ===

Построение кучи занимает <tex>O(n)</tex>. Почти упорядоченный массив сортировка вставками может отсортировать <tex> O(n)</tex>, но в худшем случае за <tex>O(n^2)</tex>.

Таким образом, наихудшая оценка Jsort {{---}} <tex>O(n^2)</tex>.

=== Пример ===
Рассмотрим, массив <tex> A </tex> = <tex> [1, 2, 8, 15, 17, 20, 31, 32, 30, 2, 3, 5, 10, 11, 24 ] </tex>

Построим на этом массиве кучу для минимума:
{| cellpadding="3" style="margin-left: left; margin-right: left;"
| [[Файл:HeapW.png|400px]]
|}
Массив выглядит следующим образом:
{| cellpadding="3" style="margin-left: left; margin-right: left;"
| [[Файл:HeapM.png|400px]]
|}
Заметим, что начало почти упорядочено, что хорошо скажется на использовании сортировки вставками.

Построим теперь зеркальную кучу для максимума на этом же массиве.
{| cellpadding="3" style="margin-left: left; margin-right: left;"
| [[Файл:HeapWU.png|400px]]
|}
Массив будет выглядеть следующим образом:
{| cellpadding="3" style="margin-left: left; margin-right: left;"
| [[Файл:HeapMU.png|400px]]
|}
Теперь и конец массива выглядит упорядоченным, применим сортировку вставками и получим отсортированный массив.

== См. также ==
* [[Сортировка слиянием]]
* [[Быстрая сортировка]]
* [[Теорема о нижней оценке для сортировки сравнениями]]

== Источники информации ==
* Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р., Штайн К. Алгоритмы: построение и анализ, 2-е издание. Издательский дом "Вильямс", 2005. ISBN 5-8459-0857-4
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Heapsort Wikipedia {{---}} Heapsort]
*[http://en.wikipedia.org/wiki/JSort Wikipedia {{---}} JSort]
*[http://habrahabr.ru/post/221095/ Хабрахабр {{---}} Описание сортировки кучей и JSort]
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/Пирамидальная_сортировка Википедия {{---}} Пирамидальная сортировка]
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Сортировки]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Сортировка кучей