Динамическое программирование по профилю

2021-04-12T06:28:37Z

95.72.63.243: /* нам понадобиться O(a^nm) времени -> нам понадобится O(a^nm) времени */

{{Определение
|definition='''Динамическое программирование по профилю''' (англ. ''dynamic programming with profile'') {{---}} способ оптимизации перебора количества вариантов с помощью [[Динамическое программирование|динамического программирования]], когда одно из измерений небольшое.
}}
{{Определение
|definition='''Профиль''' (англ. ''profile'') {{---}} один из столбцов (строк), удовлетворяющий условию задачи. Обычно используется в качестве состояния динамики.
}}

== Общие принципы ==
Обычно дана таблица и надо посчитать количество замощений этой таблицы некоторыми фигурами (замощение шахматной доски доминошками). Можно перебрать все варианты и выбрать из них удовлетворяющие условию. Но можно воспользоваться методом динамического программирования по профилю и сократить время по одной размерности до линейной. Затем пусть у нас есть правило по которому надо заполнить и для него нам надо <tex>k</tex> предыдущих линий. Тогда можно перебрать все замощения длиной <tex>k\times n</tex>. В итоге нужно заполнить данную таблицу этими замощениями. Получается, что если перебирать все варианты нам понадобится <tex>O(a^{nm})</tex> времени, а если перебирать только состояния и переходить по ним нам потребуется <tex>O(a^{kn}m)</tex> времени (где <tex>a</tex> {{---}} количество способов замощения одной клетки).

== '''Задача о замощении домино''' ==
==='''Условие'''===
Найти количество способов замостить таблицу <tex>n\times m</tex> с помощью доминошек размерами <tex>1\times 2,2\times 1</tex>.

==='''Решение'''===

[[Файл:Домино.png|270px|thumb|right|Переходы (1-правильный переход, 2,3-неправильные)]]

Для удобства можно хранить профили в виде двоичных масок.
В качестве состояния динамики будем использовать профили размерами <tex>n</tex>. В этом профиле <tex>1</tex> будет означать, что домино лежит горизонтально и заканчивается на этом столбце, иначе <tex>0</tex>. Таких профилей будет <tex>2^n</tex>.
Теперь проверим из какого профиля в какой можно перейти.

Из профиля <tex>i</tex> в профиль <tex>j</tex> можно перейти если выполняются условия:

* Можно положить горизонтальные домино. То есть там где в <tex>j</tex> профиле стоит <tex>1</tex>, в <tex>i</tex> профиле должен стоять <tex>0</tex>.

* Можно доложить в оставшиеся клетки вертикальные домино. То есть оставшиеся <tex>0</tex> в <tex>i</tex> профиле должны образовывать четные подстроки.

Пусть <tex>d[i][j] = 1</tex> если из профиля <tex>i</tex> можно перейти в <tex>j</tex>-ый, иначе <tex>0</tex>.

Пусть так же <tex>a[k][i]</tex> {{---}} количество способов замощения первых <tex>k-1</tex> столбцов и заканчивавшийся на <tex>i</tex>-ом профиле.
Тогда <tex>a[k][i]=\displaystyle \sum_{j=0}^{2^n -1} a[k-1][j]\cdot d[j][i]</tex>

Ответом будет <tex> \sum a[m][i]</tex>, где <tex>i</tex> {{---}} профиль, который может быть последним (т.е. все группы из <tex>0</tex> имеют четные размеры).

==='''Реализация'''===
// n, m {{---}} размер таблицы 
'''for''' <tex>\mathtt{i} = \mathtt{0}..(\mathtt{1} << \ \mathtt{n}) - \mathtt{1}</tex>
'''for''' <tex>\mathtt{j} = \mathtt{0}..(\mathtt{1} << \ \mathtt{n}) - \mathtt{1}</tex>
'''if''' можно перейти из <tex>\mathtt{i}</tex> в <tex>\mathtt{j}</tex> профиль
<tex>\mathtt{d}[\mathtt{i}][\mathtt{j}] = \mathtt{1}</tex>
'''else'''
<tex>\mathtt{d}[\mathtt{i}][\mathtt{j}] = \mathtt{0}</tex>
<tex>\mathtt{a}[\mathtt{0}][\mathtt{0}] = \mathtt{1}</tex> // Так как мы можем начать только с профиля где все клетки 0 
'''for''' <tex>k = \mathtt{1}..\mathtt{m} - \mathtt{1} </tex>
'''for''' <tex>\mathtt{i} = \mathtt{0}..(\mathtt{1} << \ \mathtt{n}) - \mathtt{1}</tex>
'''for''' <tex>\mathtt{j} = \mathtt{0}..(\mathtt{1} << \ \mathtt{n}) - \mathtt{1}</tex>
<tex>\mathtt{a}[\mathtt{k}][\mathtt{i}] = \mathtt{a}[\mathtt{k}][\mathtt{i}] + \mathtt{a}[\mathtt{k} - \mathtt{1}][\mathtt{j}] \cdot \mathtt{d}[\mathtt{j}][\mathtt{i}]</tex>
<tex>\mathtt{ans} = \mathtt{0}</tex>
'''for''' <tex>\mathtt{i} = \mathtt{0}..(\mathtt{1} \lt \lt \ \mathtt{n}) - \mathtt{1}</tex>
'''if''' можно закончить <tex>\mathtt{i}</tex> профилем
<tex>\mathtt{ans} = \mathtt{ans} + \mathtt{a}[\mathtt{m} - \mathtt{1}][\mathtt{i}]</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{ans}</tex>

''' Оценка сложности: '''
подсчет <tex>d - 2^{2n}</tex> , и подсчет <tex>a - 2^{2n}m</tex> в итоге <tex>O(2^{2n}m)</tex>.

''' Оценка памяти: '''
<tex>O(2^{2n} + 2^{2n}m)</tex>, так же можно заметить что в массиве <tex>a</tex> для <tex>k</tex> состояния нам нужно только <tex>k - 1</tex> состояние, при такой реализации нужно будет <tex>O(2^{2n})</tex>. Еще можно не считать массив <tex>d</tex>, а просто каждый раз перепроверять можем ли мы перейти в это состояние в итоге потребуется <tex>O(2^{n + 1})</tex> памяти, но нам потребуется больше времени <tex>2^{2n}mf(i,j)</tex>, где <tex>f(i,j)</tex> время проверки возможности перехода из <tex>i</tex> в <tex>j</tex> равно <tex>n</tex> и тогда время получается <tex>O(2^{2n}mn)</tex>.

== '''Задача о симпатичных узорах''' ==
==='''Условие'''===
Дана таблица <tex>n\times m</tex>, каждая клетка которой может быть окрашена в один из двух
цветов: белый или черный. Симпатичным узором называется такая раскраска, при
которой не существует квадрата <tex>2\times 2</tex>, в котором все клетки одного цвета. Требуется найти количество симпатичных узоров для соответствующей таблицы.

[[Файл:Симпатичне узоры.png|240px|thumb|right|]]

==='''Решение'''===
Для удобства можно хранить профиля в виде двоичных масок.
В качестве состояния динамики будем использовать профили размера <tex>n</tex>. В этом профиле <tex>1</tex> будет означать что клетка закрашена в черный цвет, и <tex>0</tex> если в белый.
Из профиля <tex>i</tex> в <tex>j</tex>-ый можно перейти если выполнено условие:
* если поставить <tex>i</tex> и <tex>j</tex> профиль рядом, то не должно быть квадратов <tex>2\times 2</tex> одного цвета

Пусть <tex>d[i][j] = 1</tex> если из профиля <tex>i</tex> можно перейти в <tex>j</tex>-ый, иначе <tex>0</tex>.

Пусть так же <tex>a[k][i]</tex> {{---}} количество способов раскрашивания первые <tex>k-1</tex> столбцов и заканчивавшийся на <tex>i</tex>-ом профиле.
Тогда <tex>a[k][i]=\displaystyle \sum_{j=0}^{2^n -1} a[k-1][j]\cdot d[j][i]</tex>

Ответом будет <tex> \displaystyle \sum_{i=0}^{2^n -1} a[m][i]</tex>

==='''Реализация'''===
// n, m {{---}} размер таблицы 
'''for''' <tex>\mathtt{i} = \mathtt{0}..(\mathtt{1} << \ \mathtt{n}) - \mathtt{1}</tex>
'''for''' <tex>\mathtt{j} = \mathtt{0}..(\mathtt{1} << \ \mathtt{n}) - \mathtt{1}</tex>
'''if''' можно перейти из <tex>\mathtt{i}</tex> в <tex>\mathtt{j}</tex> профиль
<tex>\mathtt{d}[\mathtt{i}][\mathtt{j}]\ =\ \mathtt{1}</tex>
'''else'''
<tex>\mathtt{d}[\mathtt{i}][\mathtt{j}]\ =\ \mathtt{0}</tex>
'''for''' <tex>\mathtt{i} = \mathtt{0}..(\mathtt{1} << \ \mathtt{n}) - \mathtt{1}</tex>
<tex>\mathtt{a}[0][\mathtt{i}]\ = \mathtt{1}</tex> // Так как мы можем начать c любого профиля
'''for''' <tex>\mathtt{k} = \mathtt{1}.. \mathtt{m} - \mathtt{1} </tex>
'''for''' <tex>\mathtt{i} = \mathtt{0}..(\mathtt{1} << \ \mathtt{n}) - \mathtt{1}</tex>
'''for''' <tex>\mathtt{j} = \mathtt{0}..(\mathtt{1} << \ \mathtt{n}) - \mathtt{1}</tex>
<tex>\mathtt{a}[\mathtt{k}][\mathtt{i}] = \mathtt{a}[\mathtt{k}][\mathtt{i}] + \mathtt{a}[\mathtt{k} - 1][\mathtt{j}] \cdot \mathtt{d}[\mathtt{j}][\mathtt{i}]</tex>
<tex>\mathtt{ans} = \mathtt{0}</tex>
'''for''' <tex>\mathtt{i} = \mathtt{0}..(\mathtt{1} << \ \mathtt{n}) - \mathtt{1}</tex>
<tex>\mathtt{ans} = \mathtt{ans} + \mathtt{a}[\mathtt{m} - \mathtt{1}][\mathtt{i}]</tex> // Так как мы можем закончить любым профилем 
'''return''' <tex>\mathtt{ans}</tex>

''' Оценка сложности: '''
подсчет <tex>d - 2^{2n}</tex> , и подсчет <tex>a - 2^{2n}m</tex> в итоге <tex>O(2^{2n}m)</tex>.

''' Оценка памяти: '''
<tex>O(2^{2n}+2^{2n}m)</tex>, так же можно заметить что в массиве <tex>a</tex> для <tex>k</tex> состояния нам нужно только <tex>k-1</tex> состояние, при такой реализации нужно будет <tex>O(2^{2n})</tex>. Еще можно не считать массив <tex>d</tex>, а просто каждый раз перепроверять можем ли мы перейти в это состояние в итоге потребуется <tex>O(2^{n + 1})</tex> памяти, но нам потребуется больше времени <tex>2^{2n}mf(i,j)</tex>, где <tex>f(i,j)</tex> время проверки возможности перехода из <tex>i</tex> в <tex>j</tex> равно <tex>n</tex> и тогда время получается <tex>O(2^{2n}mn)</tex>.

== Динамика по изломанному профилю ==

{{Определение
|definition='''Изломанный профиль''' (англ. ''broken profile'') {{---}} обобщение прямого профиля на случай, когда обработанным является не целое число столбцов, а некоторое количество столбцов и несколько первых клеток следующего столбца.
}}

Это очень сильная оптимизация динамики по профилю. Идея в том, чтобы добиться как можно меньшего числа переходов (от одного профиля к другому).

=== Пример ===
Еще раз используем в качестве примера задачу о замощении. Базовая линия теперь будет ломаной: при прохождении через <tex>i</tex>-ю вертикаль сверху вниз, она переходит на предыдущую вертикаль и спускается до низу. Теперь профиль — это не только маска, но ещё и место излома.
[[Файл:img34.gif|300px|thumb|right|]]
Профилем будет пара <tex>(p, i)</tex>, в <tex>p</tex> будет информация о <tex>n + 1</tex> маленьком квадратике слева от базовой линии, имеющем с ней общие точки; <tex>i</tex> обозначает номер горизонтали, на которой произошел излом. Квадратики профиля будут нумероваться сверху вниз, так что угловой будет иметь номер <tex>i + 1</tex>. Горизонтали будем нумеровать с нуля, так что <tex>i</tex> пробегает значения от <tex>0</tex> до <tex>n - 1</tex>.

Пусть <tex>d[pr_1][pr_2] = 1</tex> если из профиля <tex>pr_1</tex> = <tex>(p_1, i_1)</tex> можно перейти в <tex>pr_2 = (p_2, i_2)</tex>, иначе <tex>0</tex>.

* Eсли <tex>i < n - 1</tex>, то <tex>i_1 + 1 = i_2</tex>, иначе <tex>i_2 = 0 </tex>;

* Mожно так положить доминошку, накрывающую квадратик с номером <tex>i + 1</tex>, что после этого в <tex>p_2</tex> будет храниться в точности информация о соответствующих квадратиках.
Проще говоря, доминошку можно класть только двумя способами {{---}} как показано на рисунках (на квадратик с номером <tex>i + 1</tex> можно положить не более одной вертикальной и горизонтальной доминошки). То, что потом получается после сдвига вниз излома, и будет новым профилем. Заметим, что если клетка <tex>i + 1</tex> занята, то доминошку уже не надо класть, и <tex>(p, i)</tex> логично отождествить с <tex>(p, i + 1)</tex>. Условно пишется {{---}} "<tex>i + 1</tex>", однако, нужно всегда иметь в виду возможность <tex>i = n - 1</tex>.

Легко заметить, что количество профилей увеличилось в <tex>2n</tex> раз (добавилось число от <tex>1</tex> до <tex>n</tex> и еще один бит). Но зато количество переходов резко сократилось с <tex>2^n</tex> до <tex>2</tex>.

//Для профиля (p, i) выводятся все переходы из него (нумерация горизонталей начинается с нуля и i = 0..n - 1)
// Функция bit(x,i), возвращающая единицу или ноль или i-й бит в двоичной записи числа x
'''print_all_links'''(<tex>\mathtt{p}</tex>, <tex>\mathtt{i}</tex>):
'''if''' <tex>\mathtt{bit}(\mathtt{p, \mathtt{i} + \mathtt{1}}) == \mathtt{0}</tex>
'''if''' <tex>\mathtt{i} == \mathtt{n} - \mathtt{1}</tex>
'''println'''<tex>((\mathtt{p} - (\mathtt{2} << \ \mathtt{i})) << \ \mathtt{1}</tex>, " ", <tex>\mathtt{0})</tex>
'''else'''
'''println'''<tex>(\mathtt{p} - (\mathtt{2} << \ \mathtt{i})</tex>, " ", <tex>\mathtt{i} + \mathtt{1})</tex>
'''else'''
'''if''' <tex>\mathtt{bit}(\mathtt{p}, \mathtt{i}) == \mathtt{0}</tex>
'''if''' <tex>\mathtt{i} == \mathtt{n} - \mathtt{1} </tex>
'''println'''<tex>((\mathtt{p} << \ \mathtt{1})</tex>, " ", <tex>\mathtt{0})</tex>
'''else'''
'''println'''<tex>(\mathtt{p} + (\mathtt{1} << \ \mathtt{n})</tex>, " ", <tex>(\mathtt{i} + \mathtt{1}) % \mathtt{n})</tex>
'''if''' <tex>\mathtt{i} < \mathtt{n} - \mathtt{1}</tex> && <tex>\mathtt{bit}(\mathtt{p, \mathtt{i} + \mathtt{2}}) == \mathtt{0}</tex>
'''println'''<tex>(\mathtt{p} + (\mathtt{4} << \ \mathtt{i})</tex>, " ", <tex>\mathtt{i} + \mathtt{1})</tex>
[[Файл:ok.jpg|640px|thumb|left|Возможные переходы]]

При такой реализации существует немало профилей только с одним переходом (например, у которых <tex>(i + 1)</tex>-й бит равен единице).
Отождествим все профили с один переходом с теми, кто их них получается. Это будет выглядеть так: пусть <tex>pr_2</tex> (и только он) получается из <tex>pr_1</tex>, который, в свою очередь, получается из <tex>pr_0</tex>. Тогда имеются такие соотношения: <tex>d[pr_0, pr_1] = 1</tex>, <tex>d[pr_1, pr_2] = 1</tex>. Отождествить <tex>pr_1</tex> и <tex>pr_2</tex> {{---}} это, по сути, заменить эти два соотношение на одно, то есть теперь <tex>d[pr_0, pr_1] = 0</tex> и <tex>d[pr_1, pr_2] = 0</tex>, но <tex>d[pr_0, pr_2] = 1</tex>, и так далее.

Таким образом, возможно сокращение профилей не менее чем вдвое. Хотя можно совершить дальнейшие оптимизации.

В итоге асимптотика составляет <tex>O(2^nnm)</tex>. Это доказывает, что данный метод значительно лучше простого способа подсчёта динамики.

== См. также ==
*[[Динамическое программирование]]

== Источники информации ==
*[http://informatics.mccme.ru/moodle/file.php/9/dyn_prof.pdf Динамическое программирование по профилю]
*[http://informatics.mccme.ru/mod/book/view.php?id=290&chapterid=78 Динамическое программирование по изломанному профилю]
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Динамическое программирование]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Динамическое программирование по профилю