2020-01-21T10:24:53Z

AnnaRodionova: /* Сравнение гребневой и лассо регрессий */

{{Определение
|definition=
'''Регуляризация''' (англ. ''regularization'') в статистике, машинном обучении, теории обратных задач — метод добавления некоторых дополнительных ограничений к условию с целью решить неккоректно поставленную задачу или предотвратить переобучение. Чаще всего эта информация имеет вид штрафа за сложность модели.
}}

==Мотивация==
Как говорилось ранее, регуляризация полезна для борьбы с [[Переобучение | переобучением]]. Если вы выбрали сложную модель, и при этом у вас недостаточно данных, то легко можно получить итоговую модель, которая хорошо описывает обучающую выборку, но не обобщается на тестовую.

===На примере [[Линейная регрессия | линейной регрессии]]===

В качестве наглядного примера рассмотрим линейные регрессионные модели.
Восстановить зависимость для нескольких точек можно пытаться полиномами разной степени $M$.

{|align="center"
|-valign="top"
|[[Файл:Normal_bias_reg.png|200px|thumb|Рис. 1. Норма. M = 2]]
|[[Файл:High_variance_reg.png|200px|thumb|Рис. 2. Переобучение. M = 4]]
|}

На Рис 1. представлена зависимость, которая хорошо подходит для описания данных, а на Рис. 2 {{---}} модель, слишком сильно заточенная под обучающую выборку.

Однин из способов бороться с негативным эффектом излишнего подстраивания под данные {{---}} использование регуляризации, т. е. добавление некоторого штрафа за большие значения коэффициентов у линейной модели. Тем самым запрещаются слишком "резкие" изгибы и предотвращается переобучение.

===На примере [[Логистическая регрессия | логистической регрессии]]===

Необходимость регуляризации можно увидеть и на другом примере {{---}} при использовании логистической регресии. Представьте, что ваша обучающая выборка была линейно разделима. В таком случае в процессе оптимизации значения весов модели уйдут в бесконечность, и вместо сигмойды получится "ступенька", представленная на Рис. 3.

{|align="center"
|-valign="top"
|[[Файл:Sigmoid_infinity_weights.png|300px|thumb|Рис 3. Сигмойда {{---}} "ступенька"]]
|}

Это плохо, ибо произошло затачивание под обучающую выборку. Как и в предыдущем примере, побороться с этим можно путем добавлением регуляризатора, не дающего весам принимать слишком большие значения.

==Основные виды регуляризации==
Переобучение в большинстве случаев проявляется в том, что итоговые модели имеют слишком большие значения параметров. Соответственно, необходимо добавить в целевую функцию штраф за это. Наиболее часто используемые виды регуляризации {{---}} <tex>L_{1}</tex> и <tex >L_{2}</tex>, а также их линейная комбинация {{---}} эластичная сеть.

В представленных ниже формулах для эмпирического риска <tex>Q</tex>: <tex>\mathcal{L}</tex> является функцией потерь, а <tex>\beta</tex> {{---}} вектором параметров элемента <tex>g(x, \beta)</tex> [[Модель алгоритма и ее выбор | модели алгоритмов]].

===<tex>L_{2}</tex>-регуляризация===
{{Определение
|definition=
<tex>L_{2}</tex>-регуляризация, или регуляризация Тихонова (англ. ''ridge regularization'' или ''Tikhonov regularization''):
:<tex>Q(\beta, X^l)=\sum\limits_{i=1}^l\mathcal{L}(y_{i}, g(x_{i}, \beta))+\lambda \sum\limits_{j=1}^n{\beta_{j}}^{2}</tex>.
}}
Минимизация регуляризованного cоответствующим образом эмпирического риска приводит к выбору такого вектора параметров <tex>\beta</tex>, которое не слишком сильно отклоняется от нуля. В линейных классификаторах это позволяет избежать проблем мультиколлинеарности и переобучения.

===<tex>L_{1}</tex>-регуляризация===
{{Определение
|definition=
<tex>L_{1}</tex>-регуляризация(англ. ''lasso regularization''), или регуляризация через манхэттенское расстояние:
:<tex>Q(\beta, X^l)=\sum\limits_{i=1}^l\mathcal{L}(y_{i}, g(x_{i}, \beta))+\lambda \sum\limits_{j=1}^n{|\beta_{j}|}</tex>.
}}
Данный вид регуляризации также позволяет ограничить значения вектора <tex>\beta</tex>. Однако, к тому же он обладает интересным и полезным на практике свойством {{---}} обнуляет значения некоторых параметров, что в случае с линейными моделями приводит к отбору признаков.

Запишем задачу настройки вектора параметров <tex>\beta</tex>:
:<tex>Q(\beta) = \sum\limits_{i=1}^l\mathcal{L}_{i}(\beta) + \lambda \sum\limits_{j=1}^n{|\beta_{j}|}</tex>,
где <tex>\mathcal{L}_{i}(\beta) = \mathcal{L}(y_{i}, g(x_{i}, \beta))</tex> {{---}} некоторая ограниченная гладкая функция потерь. Сделаем замену переменных, чтобы функционал стал гладким. Каждой переменной <tex>\beta_{j}</tex> поставим в соответствие две новые неотрицательные переменные:
:<tex>\begin{cases} u_{j}=\frac{1}{2}(|\beta_{j}| + \beta_{j}) \\ v_{j}=\frac{1}{2}(|\beta_{j}| - \beta_{j}) \end{cases} </tex>
Тогда:
:<tex>\begin{cases} \beta_{j} = u_{j} - v_{j} \\ |\beta_{j}| = u_{j} + v_{j} \end{cases}</tex>
В новых переменных функционал становится гладким, но добавляются ограничения-неравенства:
:<tex>\begin{cases} Q(u, v) = \sum\limits_{i=1}^l\mathcal{L}_{i}(u - v) + \lambda \sum\limits_{j=1}^n(u_{j} + v_{j}) \rightarrow min_{u,v} \\ u_{j} \geq 0, v_{j} \geq 0, \: j=1,...,n\end{cases} </tex>
Для любого <tex>j</tex> хотя бы одно из ограничений <tex>u_{j} \geq 􏰧0</tex> и <tex>v_{j} 􏰧\geq 0</tex> обращается в равенство, иначе второе слагаемое в <tex>Q(u, v)</tex> можно было бы уменьшить, не изменив первое. Если гиперпараметр <tex>\lambda</tex> устремить к <tex>\infty</tex>, в какой-то момент все <tex>2n</tex> ограничений обратятся в равенство. Постепенное увеличение гиперпараметра <tex>\lambda</tex> приводит к увеличению числа таких <tex>j</tex>, для которых <tex>u_{j} = v_{j} = 0</tex>, откуда следует, что <tex>\beta_{j} = 0</tex>. Как говорилось ранее, в линейных моделях это означает, что значения <tex>j</tex>-го признака игнорируются, и его можно исключить из модели.

===Эластичная сеть===
{{Определение
|definition=
Эластичная сеть (англ. ''elastic net regularization''):
:<tex>Q(\beta, X^l)=\sum\limits_{I=1}^l\mathcal{L}(y_{i}, g(x_{i}, \beta))+\lambda_{1} \sum\limits_{j=1}^n{|\beta_{j}|}+\lambda_{2} \sum\limits_{j}{\beta_{j}}^{2}</tex>.
}}
Приведенная регуляризация использует как <tex>L_{1}</tex>, так и <tex>L_{2}</tex> регуляризации, учитывая эффективность обоих методов. Ее полезной особенностью является то, что она создает условия для группового эффекта при высокой корреляции переменных, а не обнуляет некоторые из них, как в случае с <tex>L_{1}</tex>-регуляризацией.

==Вероятностная интерпретация регуляризации==
===Эквивалентная вероятностная задача===
Перед нами стоит задача {{---}} минимизировать эмпирический риск:
:<tex>Q(\beta, X^l)=\sum\limits _{i=1}^l\mathcal{L}(y_{i}, g(x_{i}, \beta)) \rightarrow min_{\beta}</tex>
[[Байесовская классификация | Вероятностная модель данных]] дает возможность по-другому взглянуть на задачу. Пусть <tex>X \times Y</tex> {{---}} является вероятностным пространством. Тогда вместо <tex>g(x_{i}, \beta)</tex> задана совместная плотность распределение объектов и классов <tex>p(x, y|\beta)</tex>.

Для настройки вектора параметров $\beta$ воспользуемся ''принципом максимума правдоподобия'':
:<tex>p(X^l|\beta)=\prod\limits_{i=1}^lp(x_{i},y_{i}|\beta) \rightarrow max_{\beta}</tex>
Удобнее рассматривать логарифм правдоподобия:
:<tex>L(\beta, X^l)=\ln p(X^l|\beta)=\sum\limits_{i=1}^l \ln p(x_{i}, y_{i}|\beta) \rightarrow max_{\beta}</tex>
Можно заключить, что задачи в исходном и вероятностном представлении эквивалентны, если положить:
:<tex>-\ln p(x_{i}, y_{i}|\beta)=\mathcal{L}(y_{i}, g(x_{i}, \beta))</tex>

===Принцип максимума совместного правдоподобия данных и модели===
Допустим, что наряду с параметрической моделью плотности распределения <tex>p(x, y|\beta)</tex> имеется еще и ''априорное распределение в пространстве параметров модели'' <tex>p(\beta)</tex>. Чтобы ослабить априорные ограничения, вместо фиксированной функции <tex>p(\beta)</tex> вводится ''параметрическое семейство априорных распределений'' <tex>p(\beta; \gamma)</tex>, где <tex>\gamma</tex> {{---}} гиперпараметр.

Принцип максимума правдоподобия теперь будет записываться по-другому, так как не только появление выборки <tex>X^l</tex>, но и появление модели <tex>\beta</tex> также является случайным. Их совместное появление описывается, согласно формуле условной вероятности, плотностью распределения:
:<tex>p(X^l, \beta; \gamma)=p(X^l|\beta)p(\beta;\gamma)</tex>

Таким образом, приходим к ''принципу максимума совместного правдоподобия данных и модели'':
:<tex>L_{\gamma}(\beta, X^l)=\ln p(X^l, \beta;\gamma)=\sum\limits_{i=1}^l \ln p(x_{i}, y_{i}|\beta) + \ln p(\beta; \gamma) \rightarrow max_{\beta}</tex>

Функционал <tex>L_{\gamma}</tex> распадается на два слагаемых: логарифм правдоподобия и ''регуляризатор'', не зависящий от данных. Второе слагаемое ограничивает вектор параметров модели, не позволяя ему быть каким угодно.

В итоге мы получили, что с байесовской точки зрения многие методы регуляризации соответствуют добавлению некоторых априорных распределений на параметры модели.
При этом можно определить распределения, которые соответствуют представленным ранее <tex>L_{1}</tex> и <tex>L_{2}</tex> регуляризаторам.

===Нормальный регуляризатор===
Пусть вектор <tex>\beta</tex> имеет ''нормальное распределение''<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/Нормальное_распределение Нормальное распределение]</ref>, все его компоненты независимы и имеют равные дисперсии:
:<tex>\beta \sim N(0, \sigma^2)</tex>
Логарифмируя, получаем ''квадратичный регуляризатор'':
:<tex>\ln p(\beta; \sigma) = \ln (\frac{1}{(2 \pi \sigma)^{n/2}} \exp(- \frac{\| \beta \| ^ 2}{2 \sigma})) = - \frac{1}{2 \sigma}\| \beta \| ^ 2 + const(\beta),</tex>
где <tex>const(\beta)</tex> {{---}} слагаемое, не зависящее от <tex>\beta</tex>, которым можно пренебречь, поскольку оно не влияет на решение оптимизационной задачи. В итоге имеем <tex>L_{2}</tex>-регуляризатор.

===Лапласовский регуляризатор===
Пусть вектор <tex>\beta</tex> имеет ''распределение Лапласа''<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/Распределение_Лапласа Распределение Лапласа]</ref>, все его компоненты независимы и имеют равные дисперсии:
:<tex>\beta \sim Laplace(0, C)</tex>
Тогда:
:<tex>\ln p(\beta; C) = \ln (\frac{1}{(2C)^n} \exp(- \frac{\| \beta \|_{1}}{C})) = - \frac{1}{C}\| \beta \|_{1} + const(\beta), \| \beta \|_{1} = \sum\limits_{j}|\beta_{j}|</tex>
Распределение Лапласа имеет более острый пик и более тяжёлые «хвосты», по сравнению с нормальным распределением. Его дисперсия равна <tex>2C^2</tex>.

Аналогично случаю с нормальным регуляризатором, <tex>const(\beta)</tex> можно опустить и, таким образом, получаем <tex>L_{1}</tex> -регуляризатор.

==Регуляризация в линейной регрессии==
В [[Линейная регрессия | линейной регрессии]] моделируется линейная зависимость между зависимой и независимой переменной. Таким образом, модель алгоритмов для нее состоит из функций вида:
:$g(x, \beta) = \sum\limits_{j}^n \beta_{j} f_{j}(x)$
В итоге оптимизируемый функционал эмпирического риска выглядит следующим образом:
:$Q(a) = \|F\beta - y\|^2$,
где $F = (f_(x_{i}))_{l \times n}$ {{---}} матрица объекты-признаки, $y = (y_{i})_{l \times 1}$ {{---}} целевой вектор, $\beta = (\beta_{j})_{n \times 1}$ {{---}} вектор параметров.
Приравняв нулю производную $Q(\beta)$ по параметру $\beta$, получаем:
:$\beta^* = (F^TF)^{-1}F^Ty$
В итоге, используя [[Сингулярное разложение | сингулярное разложение]] для представления $F$ и проведя МНК-аппроксимизацию целевого вектора $y$, имеем выражение для нормы вектора $\beta$:
:$\|\beta^*\|^2 = \sum\limits_{j=1}^n \frac{1}{\lambda_{j}}(v_{j}^Ty)^2$

К сожалению, могут возникнуть проблемы мультиколлинеарности и переобучения в случае, если ковариационная матрица $\sum = F^T F$ плохо обусловлена. Одним из способов борьбы с этими проблемами, как говорилось ранее, является регуляризация.

В статье о [[Виды регрессии | видах регрессии]] представлены модификации линейной регресиии с различными регуляризаторами ($L_{1}$ и $L_{2}$) и их отличие. Описание в данном разделе будет похожим, однако здесь будет рассмотрен эффект от добавления регуляризаторов немного подробнее.

===Гребневая регрессия===
К функционалу $Q$ добавляется $L_{2}$-регуляризатор.

Итоговый минимизируемый функционал с поправкой:
:<tex>Q_{\lambda}(\beta) = ||F \beta - y||^2 + \tau ||\beta||^2</tex>
Итоговое выражение для параметра $\beta$:
:<tex>\beta_{\tau}^* = (F^TF + \tau I_{n})^{-1}F^Ty</tex>

Таким образом, перед обращением матрицы к ней добавляется "гребень" {{---}} диагональная матрица $\tau I_{n}$. При этом все её собственные значения увеличиваются на $\tau$, а собственные векторы не изменяются. В результате матрица становится хорошо обусловленной, оставаясь в то же время «похожей» на исходную.

Оценим эффект, который оказывает добавление гребня. Выразим регуляризованное МНК-решение через сингулярное разложение:
:$\beta_{t}^* = (UD^2U^T + \tau I_{n})^{-1}UDV^{T}y=U(D^2+\tau I_{n})^{-1}DV^Ty=\sum\limits_{j=1}^n \frac{\sqrt{\lambda_{j}}}{\lambda_{j} + \tau}u_{j}(v_{j}^Ty)$
Теперь найдём регуляризованную МНК-аппроксимацию целевого вектора y:
:$F \beta_{\tau}^* = VDU^T \beta_{\tau}^* = V diag(\frac{\lambda_{j}}{\lambda_{j} + \tau})V^Ty = \sum\limits_{j=1}^n \frac{\lambda_{j}}{\lambda_{j} + \tau}v_{j}(v_{j}^Ty)$
Как можно видеть, проекции на собственные векторы сокращаются, умножаясь $\frac{\lambda_{j}}{\lambda_{j} + \tau} \in (0, 1)$.

В сравнении с нерегуляризованным случаем, уменьшается и норма вектора $\beta$:
:$\|\beta_{\tau}^*\|^2 = \| D^2(D^2 + \tau I_{n})^{-1}D^{-1}V^{T}y)\|^2 = \sum\limits_{j=1}^n \frac{1}{\lambda_{j} + \tau}(v_{j}^Ty)^2 < \sum\limits_{j=1}^n \frac{1}{\lambda_{j}}(v_{j}^Ty)^2 = \|\beta^*\|^2$

Поэтому данный метод называют также ''сжатие'' или ''сокращение весов''.

Из формул видно, что по мере увеличения параметра $\tau$ вектор коэффициентов $\beta_{\tau}^*$ становится всё более устойчивым и жёстко определённым. Фактически, происходит понижение ''эффективной размерности решения'' — это второй смысл термина ''сжатие''. Роль размерности играет след проекционной матрицы.

В нерегуляризованном случае:
:$n_{effective} = tr\:F(F^TF)^{-1}F^T = tr\:(F^TF)^{-1}F^TF = tr\:I_{n} = n$

В случае с гребнем:
:$n_{effective} = tr\:F(F^TF + \tau I_{n})^{-1}F^T = tr\:diag(\frac{\lambda_{j}}{\lambda_{j} + \tau}) = \sum\limits_{j=1}^n \frac{1}{\lambda_{j}} < n$

===Лассо регрессия===

К функционалу $Q$ добавляется $L_{1}$-регуляризатор.

Итоговый минимизируемый функционал с поправкой:
:<tex>Q_{\tau}(\beta) = ||F \beta - y||^2 + \tau ||\beta||</tex>

Запишем систему для этой регрессии в виде минимизации неизменного функционала $Q$ при неравенстве-ограничении:
:$\begin{cases} Q(\beta) = \| F\beta - y \|^2 \rightarrow min_{\beta} \\ \sum\limits_{j=1}^n|\beta_{j}| \leq \chi \\ \end{cases}$

Так как используется $L_{1}$-регуляризатор, коэффициенты $\beta_{j}$ постепенно обнуляются с уменьшением $\chi$. Происходит отбор признаков, поэтому параметр $\chi$ называют еще ''селективностью''. Параметр $\chi$ "зажимает" вектор коэффициентов $\beta$, отсюда и название метода {{---}} лассо (англ. ''LASSO, least absolute shrinkage and selection operator'').

===Сравнение гребневой и лассо регрессий===
Основное различие лассо и гребневой регрессий заключается в том, что первая может приводить к обращению некоторых независимых переменных в ноль (используется $L_{1}$-регуляризатор), тогда как вторая уменьшает их до значений, близких к нулю (используется $L_{2}$-регуляризатор).

Продублируем наглядный пример из статьи о [[Вариации регрессии | вариациях регрессии]]. Рассмотрим для простоты двумерное пространство независимых переменных. В случае лассо регрессии органичение на коэффициенты представляет собой ромб (<tex>|\beta_1| + |\beta_2| \leq t</tex>), в случае гребневой регрессии {{---}} круг (<tex>\beta_1^2 + \beta_2^2 \leq t^2</tex>). Необходимо минимизировать функцию ошибки, но при этом соблюсти ограничения на коэффициенты. С геометрической точки зрения задача состоит в том, чтобы найти точку касания линии, отражающей функцию ошибки с фигурой, отражающей ограничения на <tex>\beta</tex>. Из Рис. 3 интуитивно понятно, что в случае лассо регрессии эта точка с большой вероятностью будет находиться на углах ромба, то есть лежать на оси, тогда как в случае гребневой регрессии такое происходит очень редко. Если точка пересечения лежит на оси, один из коэффициентов будет равен нулю, а значит, значение соответствующей независимой переменной не будет учитываться.

{|align="center"
|-valign="top"
|[[Файл: Ridge_and_Lasso_Regression.png|400px|thumb|Рис.3. Сравнение гребневой и лассо регрессий, пример для двумерного пространства независимых переменных. Бирюзовые области изображают ограничения на коэффициенты <tex>\beta</tex>, эллипсы {{---}} некоторые значения функции наименьшей квадратичной ошибки.]]
|}

Также полезно будет рассмотреть простую модельную задачу. Пусть $l = n$ и матрица объекты-признаки является единичной $F = I$. Тогда МНК-решение дает вектор коэффициентов $\beta$:
:$\beta^* = argmin(\sum\limits_{i=1}^l(\beta_{i} - y_{i})^2)$
:$\beta_{j}^* = y_{j}$
В случае с гребневой регрессией:
:$\beta_{j}^* = \frac{y_{j}}{1 + \lambda}$
В случае с лассо регрессией:
:$\beta_{j}^* = \begin{cases} y_{j} - \lambda / 2, y_{j} > \lambda / 2 \\ y_{j} + \lambda / 2, y_{j} < -\lambda / 2 \\ 0, |y_{j}| \leq \lambda / 2 \end{cases}$
В итоге на Рис. 4 на графиках с зависимостями $\beta_{j}^*$ от $y_{j}$ можно увидеть описанные ранее особенности данных регуляризованных линейных регрессий.

{|align="center"
|-valign="top"
|[[Файл: regularization_comparing.png|400px|thumb|Рис.4. Сравнение гребневой и лассо регрессий, пример для простой модельной задачи.]]
|}

==Регуляризация в алгоритмах==
===Градиентный спуск===
Алгоритм [[Стохастический градиентный спуск | градиентного спуска]] используют для нахождения аппроксимирующей зависимости, определяя вектор весов <tex>w \in R^n</tex>, при котором достигается минимум эмпирического риска:
:<tex>Q(w, X^l)=\sum\limits_{i=1}^l\mathcal{L}(y_{i}, \langle w, x_{i} \rangle) \rightarrow min_{w}</tex>

В этом методевыбирается некоторое начальное приближение для вектора весов <tex>w</tex>, затем запускается итерационный процесс, на каждом шаге которого вектор w изменяется в направлении наиболее быстрого убывания функционала Q {{---}} противоположно вектору градиента
<tex>Q'(w)=(\frac{\partial Q^(w)}{\partial w_{j}})_{j=1}^n</tex>:
:<tex>w := w - \eta Q'(w)</tex>,
где <tex>\eta > 0</tex> {{---}} величина шага в направлении антиградиента.

Регуляризация {{---}} одна из эвристик улучшения градиентных методов обучения. Основным способом уменьшить переобучение является квадратичная регуляризация, называемая также ''сокращением весов''. Чтобы ограничить рост абсолютных значений весов, к минимизируемому функционалу <tex>Q(w)</tex> добавляется штрафное слагаемое:
:<tex>Q_{\tau}(w) = Q(w) + \frac{\tau}{2}\|w\|^2</tex>
Это приводит к появлению аддитивной поправки в градиенте:
:<tex>Q′τ (w) = Q′(w) + \tau</tex>
В результате правило обновления весов принимает вид:
:<tex>w := w(1 - \eta \tau) - \eta Q'(w)</tex>
Таким образом, вся модификация сводится к появлению неотрицательного множителя <tex>(1 − \eta \tau)</tex>, приводящего к постоянному уменьшению весов.

Регуляризация предовтращает паралич, повышает устойчивость весов в случае мультиколлинеарности, повышает обобщающую способность алгоритма и снижает риск переобучения. Однако есть и недостатки {{---}} параметр <tex>\tau</tex> необходимо выбирать с помощью [[Кросс-валидация | кросс-валидации]], что связано с большими вычислительными затратами.

===Метод опорных векторов===
[[Метод опорных векторов (SVM) | Метод опорных векторов (SVM)]] используется для задач классификации и регрессии. В нем строится гиперплоскость, разделяющая объекты выборки оптимальным образом.

К сожалению, зачастую выборка является линейно неразделимой. В таком случае приходится "ослаблять ограничения", позволяя некоторым объектам попадать на территорию другого класса. Для каждого объекта от отступа отнимается некоторая положительная величина $\xi_i$, но требуется, чтобы введенные поправки были минимальны. В итоге постановка задачи ''SVM с мягким отступом'' (англ. ''soft-margin SVM'') выглядит следующим образом:
$\begin{cases}
\frac{1}{2} \lVert w \rVert^2 + C \sum\limits_{i=1}^l \xi_i \to \min\limits_{w, b, \xi} \\
M_i(w, b) \geq 1 - \xi_i, \quad i = 1, \ldots, l \\
\xi_i \geq 0, \quad i = 1, \ldots, l \\
\end{cases}$

Как показано в соответствующем данному алгоритму разделе, эквивалентной задачей безусловной минимизации является:
$Q(w, b) = \frac{1}{2C} \lVert w \rVert^2 + \sum\limits_{i=1}^l \left(1 - M_i(w, b)\right)_+ \to \min\limits_{w, b}$

В силу неравенства $[M_{i} < 0] \leq (1 - M_{i})_{+}$, функционал $Q(w, b)$ можно рассматривать как верхнюю оценку эмпирического риска, к которому добавлен регуляризатор $\frac{1}{2C} \|w\|^2$.

С введением регуляризатора устраняется проблема мультиколлинеарности, повышается устойчивость алгоритма, улучшается его обобщающая способность.

В результате получаем, что принцип оптимальной разделяющей гиперплоскости или максимизации ширины разделяющей полосы в случае неразделимой выборки тесно связан с $L_{2}$-регуляризацией, которая возникает естественным образом из постановки задачи.

Также существуют разновидности SVM с другими регуляризаторами.
* Метод релевантных векторов (англ. ''RVM, Relevance vector Machine''):
:$\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^l(\ln w_{i} + \frac{\lambda_{i}^2}{w_{i}})$
* Метод опорных векторов с лассо (англ. ''LASSO SVM''):
:$\mu \sum\limits_{i=1}^n|w_{i}|$
* Метод опорных признаков (англ. ''Support feature machine''):
:$\sum\limits_{i=1}^nR_{\mu}(w_{i}), \begin{cases} 2 \mu |w_{i}|, |w_{i}|<\mu \\ \mu^2 + w_{i}^2, |w_{i}| \geq \mu \end{cases}$

==Другие использования регуляризации==
===Логистическая регрессия===
Как было показано в мотивационном примере, для [[Логистическая регрессия | логистической регрессии]] полезно использовать регуляризацию.

Для настройки вектора коэффициентов $\beta$ по обучающей выборке $X^l$ максимизируют логарифм правдоподобия:
:$L(\beta, X^l) = log_{2}\prod\limits_{i=1}^lp(x_{i}, y_{i}) \rightarrow max_{\beta}$
:$L(\beta, X^l) = \sum\limits_{i=1}^{l}log_{2}\sigma(\langle \beta, x_{i} \rangle y_{i}) + const(\beta) \rightarrow max_{\beta}$

$L_{2}$-регуляризация:
:$L(\beta, X^l) = \sum\limits_{i=1}^{l}log_{2}\sigma(\langle \beta, x_{i} \rangle y_{i}) - \lambda \| \beta \|^2 + const(\beta) \rightarrow max_{\beta}$

$L_{1}$-регуляризация:
:$L(\beta, X^l) = \sum\limits_{i=1}^{l}log_{2}\sigma(\langle \beta, x_{i} \rangle y_{i}) - \lambda \|\beta \|_{1} + const(\beta) \rightarrow max_{\beta}$

Аналогично можно использовать и другие регуляризаторы.

===Нейронные сети===
Регуляризация также используется и в [[Нейронные сети, перцептрон | нейронных сетях]] для борьбы со слишком большими весами сети и переобучением. Однако, в этом случае зануление коэффициентов при использовании $L_{1}$-регуляризатора не несет в себе смысл "отбора признаков", как в случае с линейными моделями. Регуляризация не снижает число параметров и не упрощает структуру сети.

Для нейронной сети помимо добавления "штрафного" слагаемого к эмпирическому риску используют и другой метод регуляризации {{---}} прореживание сети (англ. ''dropout''), в ходе которого упрощают сеть, руководствуясь правилом {{---}} если функция ошибки не изменяется, то сеть можно упрощать и дальше. Подробнее об этом можно почитать в статье, рассказывающей о [[Практики реализации нейронных сетей | практике реализации нейронных сетей]].

==См. также==
* [[Переобучение]]
* [[Модель алгоритма и её выбор]]
* [[Байесовская классификация]]
* [[Вариации регрессии]]
* [[Линейная регрессия]]
* [[Логистическая регрессия]]
* [[Стохастический градиентный спуск]]
* [[Метод опорных векторов (SVM)]]
* [[Нейронные сети, перцептрон]]
* [[Практики реализации нейронных сетей]]

== Примечания ==
<references/>

==Источники информации==
* [http://www.machinelearning.ru/wiki/images/6/6d/Voron-ML-1.pdf Воронцов К.В. {{---}} Математические методы обучения по прецедентам]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/Регуляризация_(математика) Википедия {{---}} Регуляризация (математика)]
* [https://www.coursera.org/lecture/supervised-learning/rieghuliarizatsiia-sR94Q coursea.org {{---}} Регуляризация]
* [http://www.machinelearning.ru/wiki/images/7/7e/VetrovSem11_LARS.pdf machinelearning.ru {{---}} L1-регуляризация линейной регрессии]
* [https://medium.com/nuances-of-programming/5-видов-регрессии-и-их-свойства-f1bb867aebcb medium.com {{---}} 5 видов регрессии и их свойства]
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Elastic_net_regularization Wikipedia {{---}} Elastic net regularization]
* [http://bjlkeng.github.io/posts/probabilistic-interpretation-of-regularization/ Keng B. {{---}} A Probabilistic Interpretation of Regularization]

Регуляризация

2020-01-21T10:19:53Z

AnnaRodionova: /* Сравнение гребниевой и лассо регрессий */

{{Определение
|definition=
'''Регуляризация''' (англ. ''regularization'') в статистике, машинном обучении, теории обратных задач — метод добавления некоторых дополнительных ограничений к условию с целью решить неккоректно поставленную задачу или предотвратить переобучение. Чаще всего эта информация имеет вид штрафа за сложность модели.
}}

==Мотивация==
Как говорилось ранее, регуляризация полезна для борьбы с [[Переобучение | переобучением]]. Если вы выбрали сложную модель, и при этом у вас недостаточно данных, то легко можно получить итоговую модель, которая хорошо описывает обучающую выборку, но не обобщается на тестовую.

===На примере [[Линейная регрессия | линейной регрессии]]===

В качестве наглядного примера рассмотрим линейные регрессионные модели.
Восстановить зависимость для нескольких точек можно пытаться полиномами разной степени $M$.

{|align="center"
|-valign="top"
|[[Файл:Normal_bias_reg.png|200px|thumb|Рис. 1. Норма. M = 2]]
|[[Файл:High_variance_reg.png|200px|thumb|Рис. 2. Переобучение. M = 4]]
|}

На Рис 1. представлена зависимость, которая хорошо подходит для описания данных, а на Рис. 2 {{---}} модель, слишком сильно заточенная под обучающую выборку.

Однин из способов бороться с негативным эффектом излишнего подстраивания под данные {{---}} использование регуляризации, т. е. добавление некоторого штрафа за большие значения коэффициентов у линейной модели. Тем самым запрещаются слишком "резкие" изгибы и предотвращается переобучение.

===На примере [[Логистическая регрессия | логистической регрессии]]===

Необходимость регуляризации можно увидеть и на другом примере {{---}} при использовании логистической регресии. Представьте, что ваша обучающая выборка была линейно разделима. В таком случае в процессе оптимизации значения весов модели уйдут в бесконечность, и вместо сигмойды получится "ступенька", представленная на Рис. 3.

{|align="center"
|-valign="top"
|[[Файл:Sigmoid_infinity_weights.png|300px|thumb|Рис 3. Сигмойда {{---}} "ступенька"]]
|}

Это плохо, ибо произошло затачивание под обучающую выборку. Как и в предыдущем примере, побороться с этим можно путем добавлением регуляризатора, не дающего весам принимать слишком большие значения.

==Основные виды регуляризации==
Переобучение в большинстве случаев проявляется в том, что итоговые модели имеют слишком большие значения параметров. Соответственно, необходимо добавить в целевую функцию штраф за это. Наиболее часто используемые виды регуляризации {{---}} <tex>L_{1}</tex> и <tex >L_{2}</tex>, а также их линейная комбинация {{---}} эластичная сеть.

В представленных ниже формулах для эмпирического риска <tex>Q</tex>: <tex>\mathcal{L}</tex> является функцией потерь, а <tex>\beta</tex> {{---}} вектором параметров элемента <tex>g(x, \beta)</tex> [[Модель алгоритма и ее выбор | модели алгоритмов]].

===<tex>L_{2}</tex>-регуляризация===
{{Определение
|definition=
<tex>L_{2}</tex>-регуляризация, или регуляризация Тихонова (англ. ''ridge regularization'' или ''Tikhonov regularization''):
:<tex>Q(\beta, X^l)=\sum\limits_{i=1}^l\mathcal{L}(y_{i}, g(x_{i}, \beta))+\lambda \sum\limits_{j=1}^n{\beta_{j}}^{2}</tex>.
}}
Минимизация регуляризованного cоответствующим образом эмпирического риска приводит к выбору такого вектора параметров <tex>\beta</tex>, которое не слишком сильно отклоняется от нуля. В линейных классификаторах это позволяет избежать проблем мультиколлинеарности и переобучения.

===<tex>L_{1}</tex>-регуляризация===
{{Определение
|definition=
<tex>L_{1}</tex>-регуляризация(англ. ''lasso regularization''), или регуляризация через манхэттенское расстояние:
:<tex>Q(\beta, X^l)=\sum\limits_{i=1}^l\mathcal{L}(y_{i}, g(x_{i}, \beta))+\lambda \sum\limits_{j=1}^n{|\beta_{j}|}</tex>.
}}
Данный вид регуляризации также позволяет ограничить значения вектора <tex>\beta</tex>. Однако, к тому же он обладает интересным и полезным на практике свойством {{---}} обнуляет значения некоторых параметров, что в случае с линейными моделями приводит к отбору признаков.

Запишем задачу настройки вектора параметров <tex>\beta</tex>:
:<tex>Q(\beta) = \sum\limits_{i=1}^l\mathcal{L}_{i}(\beta) + \lambda \sum\limits_{j=1}^n{|\beta_{j}|}</tex>,
где <tex>\mathcal{L}_{i}(\beta) = \mathcal{L}(y_{i}, g(x_{i}, \beta))</tex> {{---}} некоторая ограниченная гладкая функция потерь. Сделаем замену переменных, чтобы функционал стал гладким. Каждой переменной <tex>\beta_{j}</tex> поставим в соответствие две новые неотрицательные переменные:
:<tex>\begin{cases} u_{j}=\frac{1}{2}(|\beta_{j}| + \beta_{j}) \\ v_{j}=\frac{1}{2}(|\beta_{j}| - \beta_{j}) \end{cases} </tex>
Тогда:
:<tex>\begin{cases} \beta_{j} = u_{j} - v_{j} \\ |\beta_{j}| = u_{j} + v_{j} \end{cases}</tex>
В новых переменных функционал становится гладким, но добавляются ограничения-неравенства:
:<tex>\begin{cases} Q(u, v) = \sum\limits_{i=1}^l\mathcal{L}_{i}(u - v) + \lambda \sum\limits_{j=1}^n(u_{j} + v_{j}) \rightarrow min_{u,v} \\ u_{j} \geq 0, v_{j} \geq 0, \: j=1,...,n\end{cases} </tex>
Для любого <tex>j</tex> хотя бы одно из ограничений <tex>u_{j} \geq 􏰧0</tex> и <tex>v_{j} 􏰧\geq 0</tex> обращается в равенство, иначе второе слагаемое в <tex>Q(u, v)</tex> можно было бы уменьшить, не изменив первое. Если гиперпараметр <tex>\lambda</tex> устремить к <tex>\infty</tex>, в какой-то момент все <tex>2n</tex> ограничений обратятся в равенство. Постепенное увеличение гиперпараметра <tex>\lambda</tex> приводит к увеличению числа таких <tex>j</tex>, для которых <tex>u_{j} = v_{j} = 0</tex>, откуда следует, что <tex>\beta_{j} = 0</tex>. Как говорилось ранее, в линейных моделях это означает, что значения <tex>j</tex>-го признака игнорируются, и его можно исключить из модели.

===Эластичная сеть===
{{Определение
|definition=
Эластичная сеть (англ. ''elastic net regularization''):
:<tex>Q(\beta, X^l)=\sum\limits_{I=1}^l\mathcal{L}(y_{i}, g(x_{i}, \beta))+\lambda_{1} \sum\limits_{j=1}^n{|\beta_{j}|}+\lambda_{2} \sum\limits_{j}{\beta_{j}}^{2}</tex>.
}}
Приведенная регуляризация использует как <tex>L_{1}</tex>, так и <tex>L_{2}</tex> регуляризации, учитывая эффективность обоих методов. Ее полезной особенностью является то, что она создает условия для группового эффекта при высокой корреляции переменных, а не обнуляет некоторые из них, как в случае с <tex>L_{1}</tex>-регуляризацией.

==Вероятностная интерпретация регуляризации==
===Эквивалентная вероятностная задача===
Перед нами стоит задача {{---}} минимизировать эмпирический риск:
:<tex>Q(\beta, X^l)=\sum\limits _{i=1}^l\mathcal{L}(y_{i}, g(x_{i}, \beta)) \rightarrow min_{\beta}</tex>
[[Байесовская классификация | Вероятностная модель данных]] дает возможность по-другому взглянуть на задачу. Пусть <tex>X \times Y</tex> {{---}} является вероятностным пространством. Тогда вместо <tex>g(x_{i}, \beta)</tex> задана совместная плотность распределение объектов и классов <tex>p(x, y|\beta)</tex>.

Для настройки вектора параметров $\beta$ воспользуемся ''принципом максимума правдоподобия'':
:<tex>p(X^l|\beta)=\prod\limits_{i=1}^lp(x_{i},y_{i}|\beta) \rightarrow max_{\beta}</tex>
Удобнее рассматривать логарифм правдоподобия:
:<tex>L(\beta, X^l)=\ln p(X^l|\beta)=\sum\limits_{i=1}^l \ln p(x_{i}, y_{i}|\beta) \rightarrow max_{\beta}</tex>
Можно заключить, что задачи в исходном и вероятностном представлении эквивалентны, если положить:
:<tex>-\ln p(x_{i}, y_{i}|\beta)=\mathcal{L}(y_{i}, g(x_{i}, \beta))</tex>

===Принцип максимума совместного правдоподобия данных и модели===
Допустим, что наряду с параметрической моделью плотности распределения <tex>p(x, y|\beta)</tex> имеется еще и ''априорное распределение в пространстве параметров модели'' <tex>p(\beta)</tex>. Чтобы ослабить априорные ограничения, вместо фиксированной функции <tex>p(\beta)</tex> вводится ''параметрическое семейство априорных распределений'' <tex>p(\beta; \gamma)</tex>, где <tex>\gamma</tex> {{---}} гиперпараметр.

Принцип максимума правдоподобия теперь будет записываться по-другому, так как не только появление выборки <tex>X^l</tex>, но и появление модели <tex>\beta</tex> также является случайным. Их совместное появление описывается, согласно формуле условной вероятности, плотностью распределения:
:<tex>p(X^l, \beta; \gamma)=p(X^l|\beta)p(\beta;\gamma)</tex>

Таким образом, приходим к ''принципу максимума совместного правдоподобия данных и модели'':
:<tex>L_{\gamma}(\beta, X^l)=\ln p(X^l, \beta;\gamma)=\sum\limits_{i=1}^l \ln p(x_{i}, y_{i}|\beta) + \ln p(\beta; \gamma) \rightarrow max_{\beta}</tex>

Функционал <tex>L_{\gamma}</tex> распадается на два слагаемых: логарифм правдоподобия и ''регуляризатор'', не зависящий от данных. Второе слагаемое ограничивает вектор параметров модели, не позволяя ему быть каким угодно.

В итоге мы получили, что с байесовской точки зрения многие методы регуляризации соответствуют добавлению некоторых априорных распределений на параметры модели.
При этом можно определить распределения, которые соответствуют представленным ранее <tex>L_{1}</tex> и <tex>L_{2}</tex> регуляризаторам.

===Нормальный регуляризатор===
Пусть вектор <tex>\beta</tex> имеет ''нормальное распределение''<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/Нормальное_распределение Нормальное распределение]</ref>, все его компоненты независимы и имеют равные дисперсии:
:<tex>\beta \sim N(0, \sigma^2)</tex>
Логарифмируя, получаем ''квадратичный регуляризатор'':
:<tex>\ln p(\beta; \sigma) = \ln (\frac{1}{(2 \pi \sigma)^{n/2}} \exp(- \frac{\| \beta \| ^ 2}{2 \sigma})) = - \frac{1}{2 \sigma}\| \beta \| ^ 2 + const(\beta),</tex>
где <tex>const(\beta)</tex> {{---}} слагаемое, не зависящее от <tex>\beta</tex>, которым можно пренебречь, поскольку оно не влияет на решение оптимизационной задачи. В итоге имеем <tex>L_{2}</tex>-регуляризатор.

===Лапласовский регуляризатор===
Пусть вектор <tex>\beta</tex> имеет ''распределение Лапласа''<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/Распределение_Лапласа Распределение Лапласа]</ref>, все его компоненты независимы и имеют равные дисперсии:
:<tex>\beta \sim Laplace(0, C)</tex>
Тогда:
:<tex>\ln p(\beta; C) = \ln (\frac{1}{(2C)^n} \exp(- \frac{\| \beta \|_{1}}{C})) = - \frac{1}{C}\| \beta \|_{1} + const(\beta), \| \beta \|_{1} = \sum\limits_{j}|\beta_{j}|</tex>
Распределение Лапласа имеет более острый пик и более тяжёлые «хвосты», по сравнению с нормальным распределением. Его дисперсия равна <tex>2C^2</tex>.

Аналогично случаю с нормальным регуляризатором, <tex>const(\beta)</tex> можно опустить и, таким образом, получаем <tex>L_{1}</tex> -регуляризатор.

==Регуляризация в линейной регрессии==
В [[Линейная регрессия | линейной регрессии]] моделируется линейная зависимость между зависимой и независимой переменной. Таким образом, модель алгоритмов для нее состоит из функций вида:
:$g(x, \beta) = \sum\limits_{j}^n \beta_{j} f_{j}(x)$
В итоге оптимизируемый функционал эмпирического риска выглядит следующим образом:
:$Q(a) = \|F\beta - y\|^2$,
где $F = (f_(x_{i}))_{l \times n}$ {{---}} матрица объекты-признаки, $y = (y_{i})_{l \times 1}$ {{---}} целевой вектор, $\beta = (\beta_{j})_{n \times 1}$ {{---}} вектор параметров.
Приравняв нулю производную $Q(\beta)$ по параметру $\beta$, получаем:
:$\beta^* = (F^TF)^{-1}F^Ty$
В итоге, используя [[Сингулярное разложение | сингулярное разложение]] для представления $F$ и проведя МНК-аппроксимизацию целевого вектора $y$, имеем выражение для нормы вектора $\beta$:
:$\|\beta^*\|^2 = \sum\limits_{j=1}^n \frac{1}{\lambda_{j}}(v_{j}^Ty)^2$

К сожалению, могут возникнуть проблемы мультиколлинеарности и переобучения в случае, если ковариационная матрица $\sum = F^T F$ плохо обусловлена. Одним из способов борьбы с этими проблемами, как говорилось ранее, является регуляризация.

В статье о [[Виды регрессии | видах регрессии]] представлены модификации линейной регресиии с различными регуляризаторами ($L_{1}$ и $L_{2}$) и их отличие. Описание в данном разделе будет похожим, однако здесь будет рассмотрен эффект от добавления регуляризаторов немного подробнее.

===Гребневая регрессия===
К функционалу $Q$ добавляется $L_{2}$-регуляризатор.

Итоговый минимизируемый функционал с поправкой:
:<tex>Q_{\lambda}(\beta) = ||F \beta - y||^2 + \tau ||\beta||^2</tex>
Итоговое выражение для параметра $\beta$:
:<tex>\beta_{\tau}^* = (F^TF + \tau I_{n})^{-1}F^Ty</tex>

Таким образом, перед обращением матрицы к ней добавляется "гребень" {{---}} диагональная матрица $\tau I_{n}$. При этом все её собственные значения увеличиваются на $\tau$, а собственные векторы не изменяются. В результате матрица становится хорошо обусловленной, оставаясь в то же время «похожей» на исходную.

Оценим эффект, который оказывает добавление гребня. Выразим регуляризованное МНК-решение через сингулярное разложение:
:$\beta_{t}^* = (UD^2U^T + \tau I_{n})^{-1}UDV^{T}y=U(D^2+\tau I_{n})^{-1}DV^Ty=\sum\limits_{j=1}^n \frac{\sqrt{\lambda_{j}}}{\lambda_{j} + \tau}u_{j}(v_{j}^Ty)$
Теперь найдём регуляризованную МНК-аппроксимацию целевого вектора y:
:$F \beta_{\tau}^* = VDU^T \beta_{\tau}^* = V diag(\frac{\lambda_{j}}{\lambda_{j} + \tau})V^Ty = \sum\limits_{j=1}^n \frac{\lambda_{j}}{\lambda_{j} + \tau}v_{j}(v_{j}^Ty)$
Как можно видеть, проекции на собственные векторы сокращаются, умножаясь $\frac{\lambda_{j}}{\lambda_{j} + \tau} \in (0, 1)$.

В сравнении с нерегуляризованным случаем, уменьшается и норма вектора $\beta$:
:$\|\beta_{\tau}^*\|^2 = \| D^2(D^2 + \tau I_{n})^{-1}D^{-1}V^{T}y)\|^2 = \sum\limits_{j=1}^n \frac{1}{\lambda_{j} + \tau}(v_{j}^Ty)^2 < \sum\limits_{j=1}^n \frac{1}{\lambda_{j}}(v_{j}^Ty)^2 = \|\beta^*\|^2$

Поэтому данный метод называют также ''сжатие'' или ''сокращение весов''.

Из формул видно, что по мере увеличения параметра $\tau$ вектор коэффициентов $\beta_{\tau}^*$ становится всё более устойчивым и жёстко определённым. Фактически, происходит понижение ''эффективной размерности решения'' — это второй смысл термина ''сжатие''. Роль размерности играет след проекционной матрицы.

В нерегуляризованном случае:
:$n_{effective} = tr\:F(F^TF)^{-1}F^T = tr\:(F^TF)^{-1}F^TF = tr\:I_{n} = n$

В случае с гребнем:
:$n_{effective} = tr\:F(F^TF + \tau I_{n})^{-1}F^T = tr\:diag(\frac{\lambda_{j}}{\lambda_{j} + \tau}) = \sum\limits_{j=1}^n \frac{1}{\lambda_{j}} < n$

===Лассо регрессия===

К функционалу $Q$ добавляется $L_{1}$-регуляризатор.

Итоговый минимизируемый функционал с поправкой:
:<tex>Q_{\tau}(\beta) = ||F \beta - y||^2 + \tau ||\beta||</tex>

Запишем систему для этой регрессии в виде минимизации неизменного функционала $Q$ при неравенстве-ограничении:
:$\begin{cases} Q(\beta) = \| F\beta - y \|^2 \rightarrow min_{\beta} \\ \sum\limits_{j=1}^n|\beta_{j}| \leq \chi \\ \end{cases}$

Так как используется $L_{1}$-регуляризатор, коэффициенты $\beta_{j}$ постепенно обнуляются с уменьшением $\chi$. Происходит отбор признаков, поэтому параметр $\chi$ называют еще ''селективностью''. Параметр $\chi$ "зажимает" вектор коэффициентов $\beta$, отсюда и название метода {{---}} лассо (англ. ''LASSO, least absolute shrinkage and selection operator'').

===Сравнение гребневой и лассо регрессий===
Основное различие лассо и гребневой регрессий заключается в том, что первая может приводить к обращению некоторых независимых переменных в ноль (используется $L_{1}$-регуляризатор), тогда как вторая уменьшает их до значений, близких к нулю (используется $L_{2}$-регуляризатор).

Продублируем наглядный пример из статьи о [[Вариации регрессии | вариациях регрессии]]. Рассмотрим для простоты двумерное пространство независимых переменных. В случае лассо регрессии органичение на коэффициенты представляет собой ромб (<tex>|\beta_1| + |\beta_2| \leq t</tex>), в случае гребневой регрессии {{---}} круг (<tex>\beta_1^2 + \beta_2^2 \leq t^2</tex>). Необходимо минимизировать функцию ошибки, но при этом соблюсти ограничения на коэффициенты. С геометрической точки зрения задача состоит в том, чтобы найти точку касания линии, отражающей функцию ошибки с фигурой, отражающей ограничения на <tex>\beta</tex>. Из Рис. 3 интуитивно понятно, что в случае лассо регрессии эта точка с большой вероятностью будет находиться на углах ромба, то есть лежать на оси, тогда как в случае гребневой регрессии такое происходит очень редко. Если точка пересечения лежит на оси, один из коэффициентов будет равен нулю, а значит, значение соответствующей независимой переменной не будет учитываться.

{|align="center"
|-valign="top"
|[[Файл: Ridge_and_Lasso_Regression.png|400px|thumb|Рис.3. Сравнение гребневой и лассо регрессий, пример для двумерного пространства независимых переменных. Бирюзовые области изображают ограничения на коэффициенты <tex>\beta</tex>, эллипсы {{---}} некоторые значения функции наименьшей квадратичной ошибки.]]
|}

Также полезно будет рассмотреть простую модельную задачу. Пусть $l = n$ и матрица объекты-признаки является единичной $F = I$. Тогда МНК-решение дает вектор коэффициентов $\beta$:
:$\beta^* = argmin(\sum\limits_{i=1}^l(\beta_{i} - y_{i})^2)$
:$\beta_{j}^* = y_{j}$
В случае с гребниевой регрессией:
:$\beta_{j}^* = \frac{y_{j}}{1 + \lambda}$
В случае с лассо регрессией:
:$\beta_{j}^* = \begin{cases} y_{j} - \lambda / 2, y_{j} > \lambda / 2 \\ y_{j} + \lambda / 2, y_{j} < -\lambda / 2 \\ 0, |y_{j}| \leq \lambda / 2 \end{cases}$
В итоге на Рис. 4 на графиках с зависимостями $\beta_{j}^*$ от $y_{j}$ можно увидеть описанные ранее особенности данных регуляризованных линейных регрессий.

{|align="center"
|-valign="top"
|[[Файл: regularization_comparing.png|400px|thumb|Рис.4. Сравнение гребневой и лассо регрессий, пример для простой модельной задачи.]]
|}

==Регуляризация в алгоритмах==
===Градиентный спуск===
Алгоритм [[Стохастический градиентный спуск | градиентного спуска]] используют для нахождения аппроксимирующей зависимости, определяя вектор весов <tex>w \in R^n</tex>, при котором достигается минимум эмпирического риска:
:<tex>Q(w, X^l)=\sum\limits_{i=1}^l\mathcal{L}(y_{i}, \langle w, x_{i} \rangle) \rightarrow min_{w}</tex>

В этом методевыбирается некоторое начальное приближение для вектора весов <tex>w</tex>, затем запускается итерационный процесс, на каждом шаге которого вектор w изменяется в направлении наиболее быстрого убывания функционала Q {{---}} противоположно вектору градиента
<tex>Q'(w)=(\frac{\partial Q^(w)}{\partial w_{j}})_{j=1}^n</tex>:
:<tex>w := w - \eta Q'(w)</tex>,
где <tex>\eta > 0</tex> {{---}} величина шага в направлении антиградиента.

Регуляризация {{---}} одна из эвристик улучшения градиентных методов обучения. Основным способом уменьшить переобучение является квадратичная регуляризация, называемая также ''сокращением весов''. Чтобы ограничить рост абсолютных значений весов, к минимизируемому функционалу <tex>Q(w)</tex> добавляется штрафное слагаемое:
:<tex>Q_{\tau}(w) = Q(w) + \frac{\tau}{2}\|w\|^2</tex>
Это приводит к появлению аддитивной поправки в градиенте:
:<tex>Q′τ (w) = Q′(w) + \tau</tex>
В результате правило обновления весов принимает вид:
:<tex>w := w(1 - \eta \tau) - \eta Q'(w)</tex>
Таким образом, вся модификация сводится к появлению неотрицательного множителя <tex>(1 − \eta \tau)</tex>, приводящего к постоянному уменьшению весов.

Регуляризация предовтращает паралич, повышает устойчивость весов в случае мультиколлинеарности, повышает обобщающую способность алгоритма и снижает риск переобучения. Однако есть и недостатки {{---}} параметр <tex>\tau</tex> необходимо выбирать с помощью [[Кросс-валидация | кросс-валидации]], что связано с большими вычислительными затратами.

===Метод опорных векторов===
[[Метод опорных векторов (SVM) | Метод опорных векторов (SVM)]] используется для задач классификации и регрессии. В нем строится гиперплоскость, разделяющая объекты выборки оптимальным образом.

К сожалению, зачастую выборка является линейно неразделимой. В таком случае приходится "ослаблять ограничения", позволяя некоторым объектам попадать на территорию другого класса. Для каждого объекта от отступа отнимается некоторая положительная величина $\xi_i$, но требуется, чтобы введенные поправки были минимальны. В итоге постановка задачи ''SVM с мягким отступом'' (англ. ''soft-margin SVM'') выглядит следующим образом:
$\begin{cases}
\frac{1}{2} \lVert w \rVert^2 + C \sum\limits_{i=1}^l \xi_i \to \min\limits_{w, b, \xi} \\
M_i(w, b) \geq 1 - \xi_i, \quad i = 1, \ldots, l \\
\xi_i \geq 0, \quad i = 1, \ldots, l \\
\end{cases}$

Как показано в соответствующем данному алгоритму разделе, эквивалентной задачей безусловной минимизации является:
$Q(w, b) = \frac{1}{2C} \lVert w \rVert^2 + \sum\limits_{i=1}^l \left(1 - M_i(w, b)\right)_+ \to \min\limits_{w, b}$

В силу неравенства $[M_{i} < 0] \leq (1 - M_{i})_{+}$, функционал $Q(w, b)$ можно рассматривать как верхнюю оценку эмпирического риска, к которому добавлен регуляризатор $\frac{1}{2C} \|w\|^2$.

С введением регуляризатора устраняется проблема мультиколлинеарности, повышается устойчивость алгоритма, улучшается его обобщающая способность.

В результате получаем, что принцип оптимальной разделяющей гиперплоскости или максимизации ширины разделяющей полосы в случае неразделимой выборки тесно связан с $L_{2}$-регуляризацией, которая возникает естественным образом из постановки задачи.

Также существуют разновидности SVM с другими регуляризаторами.
* Метод релевантных векторов (англ. ''RVM, Relevance vector Machine''):
:$\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^l(\ln w_{i} + \frac{\lambda_{i}^2}{w_{i}})$
* Метод опорных векторов с лассо (англ. ''LASSO SVM''):
:$\mu \sum\limits_{i=1}^n|w_{i}|$
* Метод опорных признаков (англ. ''Support feature machine''):
:$\sum\limits_{i=1}^nR_{\mu}(w_{i}), \begin{cases} 2 \mu |w_{i}|, |w_{i}|<\mu \\ \mu^2 + w_{i}^2, |w_{i}| \geq \mu \end{cases}$

==Другие использования регуляризации==
===Логистическая регрессия===
Как было показано в мотивационном примере, для [[Логистическая регрессия | логистической регрессии]] полезно использовать регуляризацию.

Для настройки вектора коэффициентов $\beta$ по обучающей выборке $X^l$ максимизируют логарифм правдоподобия:
:$L(\beta, X^l) = log_{2}\prod\limits_{i=1}^lp(x_{i}, y_{i}) \rightarrow max_{\beta}$
:$L(\beta, X^l) = \sum\limits_{i=1}^{l}log_{2}\sigma(\langle \beta, x_{i} \rangle y_{i}) + const(\beta) \rightarrow max_{\beta}$

$L_{2}$-регуляризация:
:$L(\beta, X^l) = \sum\limits_{i=1}^{l}log_{2}\sigma(\langle \beta, x_{i} \rangle y_{i}) - \lambda \| \beta \|^2 + const(\beta) \rightarrow max_{\beta}$

$L_{1}$-регуляризация:
:$L(\beta, X^l) = \sum\limits_{i=1}^{l}log_{2}\sigma(\langle \beta, x_{i} \rangle y_{i}) - \lambda \|\beta \|_{1} + const(\beta) \rightarrow max_{\beta}$

Аналогично можно использовать и другие регуляризаторы.

===Нейронные сети===
Регуляризация также используется и в [[Нейронные сети, перцептрон | нейронных сетях]] для борьбы со слишком большими весами сети и переобучением. Однако, в этом случае зануление коэффициентов при использовании $L_{1}$-регуляризатора не несет в себе смысл "отбора признаков", как в случае с линейными моделями. Регуляризация не снижает число параметров и не упрощает структуру сети.

Для нейронной сети помимо добавления "штрафного" слагаемого к эмпирическому риску используют и другой метод регуляризации {{---}} прореживание сети (англ. ''dropout''), в ходе которого упрощают сеть, руководствуясь правилом {{---}} если функция ошибки не изменяется, то сеть можно упрощать и дальше. Подробнее об этом можно почитать в статье, рассказывающей о [[Практики реализации нейронных сетей | практике реализации нейронных сетей]].

==См. также==
* [[Переобучение]]
* [[Модель алгоритма и её выбор]]
* [[Байесовская классификация]]
* [[Вариации регрессии]]
* [[Линейная регрессия]]
* [[Логистическая регрессия]]
* [[Стохастический градиентный спуск]]
* [[Метод опорных векторов (SVM)]]
* [[Нейронные сети, перцептрон]]
* [[Практики реализации нейронных сетей]]

== Примечания ==
<references/>

==Источники информации==
* [http://www.machinelearning.ru/wiki/images/6/6d/Voron-ML-1.pdf Воронцов К.В. {{---}} Математические методы обучения по прецедентам]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/Регуляризация_(математика) Википедия {{---}} Регуляризация (математика)]
* [https://www.coursera.org/lecture/supervised-learning/rieghuliarizatsiia-sR94Q coursea.org {{---}} Регуляризация]
* [http://www.machinelearning.ru/wiki/images/7/7e/VetrovSem11_LARS.pdf machinelearning.ru {{---}} L1-регуляризация линейной регрессии]
* [https://medium.com/nuances-of-programming/5-видов-регрессии-и-их-свойства-f1bb867aebcb medium.com {{---}} 5 видов регрессии и их свойства]
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Elastic_net_regularization Wikipedia {{---}} Elastic net regularization]
* [http://bjlkeng.github.io/posts/probabilistic-interpretation-of-regularization/ Keng B. {{---}} A Probabilistic Interpretation of Regularization]