NP-полнота задачи о раскраске графа

2021-03-26T05:24:13Z

Artushak: категория

== Формулировка задачи==
Даны граф <tex> G = \langle V, E \rangle </tex> и число <tex> k </tex>. Необходимо проверить, правда ли, что можно раскрасить вершины графа в <tex> k </tex> цветов так, чтобы любые две вершины, соединённые ребром, имели разные цвета.

== Утверждение ==
Сформулированная выше задача [[NP-полнота|NP-полна]].

== Доказательство ==
=== Доказательство принадлежности задачи классу NP ===
Сертификатом для решения данной задачи будет последовательность <tex> \{c_i\}_ {i=1}^{n}</tex>, где <tex> n = |V| </tex>, а <tex> c_i </tex> обозначает цвет <tex>i</tex>-ой вершины. Проверку корректности такого сертификата легко осуществить за полиномиальное время, например, перебором всех пар вершин и проверкой того, что в случае, когда они соединены ребром, они имеют разные цвета, лежащие на отрезке <tex> [1, k] </tex>. С другой стороны, очевидно, что если задача имеет решение, то такой сертификат существует.
=== Доказательство принадлежности задачи классу NPH ===
[[Файл:3cnfsat.png|thumb|350px|Граф, построенный по формуле <tex refresh dpi=100> (x_1 \lor \lnot x_2 \lor \lnot x_3) \land (\lnot x_1 \lor x_2 \lor \lnot x_3) \land (\lnot x_1 \lor \lnot x_2 \lor x_3)</tex>]]
Сведем задачу [[3CNFSAT]] к данной.<br/>
Пусть дана формула <tex> \varphi = (a_1 \lor b_1 \lor c_1) \land (a_2 \lor b_2 \lor c_2) \land ... \land (a_m \lor b_m \lor c_m) </tex>, где <tex>a_i</tex>, <tex>b_i</tex> и <tex>c_i</tex> — переменные или их отрицания (возможно, с повторениями). Сами переменные будем обозначать <tex> \{x_i\}_{i=1}^n </tex>.<br/> Заметим следующие тривиальные факты, которые будут использованы при построении графа:
# Ровно одно выражение из <tex> \{x_i, \lnot {x_i}\} </tex> истинно;
# <tex> \varphi \in 3CNFSAT </tex> тогда и только тогда, когда существует набор, обращающий каждую скобку в истину.
Построим множества V и E будущего графа следующим образом:
* <tex> V = \{c_i\}_{i=0}^n </tex>;
* <tex> E = \{\langle c_i, c_j \rangle \}_{i,j=0, i \ne j}^n </tex>.
Будем интерпретировать <tex> c_i </tex> как цвет (соотвественно, вершина <tex> c_i </tex> всегда покрашена в цвет <tex> c_i </tex>), причем <tex>c_0</tex> — цвет, обозначающий истину, а все остальные цвета означают ложь).
* Для всех <tex> i \in \{1 .. n\} </tex> добавим в V вершины <tex> v_i, \tilde{v_i} </tex>, отвечающие <tex> x_i </tex> и <tex> \lnot {x_i} </tex> соответственно, и соединим каждую такую пару ребром;
* Каждую вершину из <tex> \{v_i, \tilde{v_i}\} </tex> соединим рёбрами со всеми <tex> c_j </tex>, кроме <tex> c_0 </tex> и <tex> c_i </tex>.
Этим мы обеспечили выполнение первого условия из приведённых выше, так как теперь ровно одна вершина из <tex> \{v_i, \tilde{v_i}\} </tex> окрашена в цвет <tex> c_0 </tex>, а другая — в цвет <tex> c_i </tex>. <br/>
Осталось сделать так, чтобы возможность сделать истинной каждую скобку соответствовала необходимости покрасить хотя бы одну из вершин, соответствующих переменным в ней, в цвет <tex> c_0 </tex>.
* Для этого для каждой скобки вида <tex> ([\lnot]x_i \lor [\lnot] x_j \lor [\lnot] x_k)_l </tex> добавим вершину <tex> d_l </tex>, соединив её с соответствующими <tex> v_i (\tilde{v_i}), v_j(\tilde{v_j}), v_k(\tilde{v_k}) </tex>, а также со всеми <tex> c_i </tex>, кроме <tex> c_i, c_j, c_k </tex>. Тем самым, <tex> d_l </tex> «не даёт» покрасить все три вершины, отвечающие термам в скобке, в «ложный» цвет (напомним, что все цвета, кроме <tex> c_0 </tex>, мы условились называть «ложными»).<br/>
==== Доказательство корректности сведения ====
Покажем теперь, что такой граф будет <tex>(n+1)</tex>-раскрашиваемым тогда и только тогда, когда исходная формула принадлежит <tex> 3CNFSAT </tex>.
# <tex> \Rightarrow </tex>. Из построения ясно, что можно покрасить вершины полученного графа, соответствующие истинным термам набора, обращающего формулу в истину, в цвет <tex>c_0</tex>, а вершины, соответствующие ложным термам, — в соответствующие "ложные" цвета.
# <tex> \Leftarrow </tex>. Построим по раскраске графа набор переменных <tex> \{x_i\}_{i=1}^n </tex>, в котором <tex> x_i </tex> истинно тогда и только тогда, когда <tex> v_i </tex> покрашена в цвет <tex> c_0 </tex>. Этот набор непротиворечив (мы не попытались одну и ту же переменную сделать и истинной, и ложной одновременно). Он также обращает формулу в истинную, так как по постронию в каждой скобке есть хотя бы один истинный терм.

[[Категория:NP]]
[[Категория:Раскраски графов]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

NP-полнота задачи о раскраске графа