Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Теорема Гринберга

2016-01-28T19:49:37Z

Da1s111: /* Базовые определения */

== Базовые определения ==
{{Определение
|definition=
'''Подграф''' (англ. ''subgraph'') исходного графа {{---}} граф, содержащий некое подмножество вершин данного графа и некое подмножество инцидентных им рёбер. По отношению к подграфу исходный граф называется суперграфом.
}}

{{Определение
|definition=
'''Порождённый подграф''' (англ. ''induced subgraph'') — подграф, порождённый множеством рёбер исходного графа. Содержит не обязательно все вершины графа, но эти вершины соединены такими же ребрами, как в графе.
}}

Пусть множество вершин графа <tex> G </tex> разбито на взаимно дополнительные подмножества <tex> X </tex> и <tex> Y </tex>. Через <tex> J(X, Y) </tex> обозначим множество всех ребер графа <tex> G </tex>, у каждого из которых один конец лежит в <tex> X </tex>, а другой {{---}} в <tex> Y </tex>.
{{Определение
|definition=
Если граф <tex> G </tex> и порожденные подграфы <tex> G[X] </tex> и <tex> G[Y] </tex> связны, то множество <tex> J(X, Y) </tex> называется '''бондом''' графа <tex> G </tex>. Подграфы <tex> G[X] </tex> и <tex> G[Y] </tex> называются '''торцевыми графами''' этого бонда. Из приведенного определения следует, что бонд <tex> J(X, Y) </tex> должен быть непустым множеством. Если граф <tex> G </tex> несвязен, то его '''бонд''' определим как бонд какой-либо его компоненты. Заметим, что всякий перешеек графа образует однореберный бонд. Торцевые графы перешейка являются торцевыми графами соответствующего бонда.
}}

{{Определение
|definition=
'''Гамильтоновым бондом''' (англ. ''hamiltonian bond'') называется бонд графа <tex> G </tex>, торцевыми графами которого являются деревья.
}}

== Теорема Гринберга ==
{{Теорема
|about=Гринберг
|statement=
Пусть связный граф <tex> G </tex> имеет гамильтонов бонд <tex> H </tex> с торцевыми графами <tex> X </tex> и <tex> Y </tex>. Пусть <tex> f_n^{X} </tex> и <tex> f_n^{Y} </tex> {{---}} число вершин в графов <tex> X </tex> и <tex> Y </tex> соответственно, имеющих в <tex> G </tex> степень <tex> n ~ (n = 1, ~ 2, ~ 3, ~ \ldots) </tex>. Тогда:
<center> <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} (n - 2) (f_n^{X} - f_n^{Y}) = 0 ~~~ \bf{(1)} </tex>. </center>
|proof=
Так как торцевые графы являются деревьями, то:
<center> <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} f_n^{X} = |V(X)| = |E(X)| + 1 ~~~ \textbf{(2)} </tex>. </center>
Ясно также, что:
<center> <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} n f_n^{X} = |E(H)| + 2|E(X)| ~~~ \textbf{(3)} </tex>. </center>
Поэтому:
<center> <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} (n - 2) f_n^{X} = |E(H)| - 2 ~~~ \textbf{(4)} </tex>. </center>
Аналогичную формулу получаем для графа <tex> Y </tex>. Вычитая ее из '''(4)''', приходим к '''(1)'''.
}}

== Использование теоремы ==
Теорему Гринберга можно иногда использовать для доказательства отсутствия гамильтонова бонда в графе. Пусть, например, все вершины связного графа <tex> G </tex>, кроме одной, имеют степени, сравнимые с 2 по модулю 3. Тогда левая часть формулы '''(1)''' не делится на 3 и, следовательно, гамильтонова бонда в графе <tex> G </tex> не существует. Рисунок '''1''' иллюстрирует этот простой пример.
[[Файл: Гамильтонов_бонд.png|300px|thumb|center|Рис. 1]]

== См. также ==
* [[Гамильтоновы графы]]

== Источники информации ==
* У. Татт. Теория графов. М.: "Мир", 1988. с. 304. ISBN 5-03-001001-7

[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория:Обходы графов]]
[[Категория:Гамильтоновы графы]]

Теорема Гринберга

2016-01-28T19:48:37Z

Da1s111:

== Базовые определения ==
{{Определение
|definition=
'''Подграф''' (англ. ''subgraph'') исходного графа {{---}} граф, содержащий некое подмножество вершин данного графа и некое подмножество инцидентных им рёбер. По отношению к подграфу исходный граф называется суперграфом.
}}

{{Определение
|definition=
'''Порождённый подграф''' (англ. ''induced subgraph'') — подграф, порождённый множеством рёбер исходного графа. Содержит не обязательно все вершины графа, но эти вершины соединены такими же ребрами, как в графе.
}}

Пусть множество вершин графа <tex> G </tex> разбито на взаимно дополнительные подмножества <tex> X </tex> и <tex> Y </tex>. Через <tex> J(X, Y) </tex> обозначим множество всех ребер графа <tex> G </tex>, у каждого из которых один конец лежит в <tex> X </tex>, а другой {{---}} в <tex> Y </tex>.
{{Определение
|definition=
Если граф <tex> G </tex> и порожденные подграфы <tex> G[X] </tex> и <tex> G[Y] </tex> связны, то множество <tex> J(X, Y) </tex> называется '''бондом''' графа <tex> G </tex>. Подграфы <tex> G[X] </tex> и <tex> G[Y] </tex> называются '''торцевыми графами''' этого бонда. Из приведенного определения следует, что бонд <tex> J(X, Y) </tex> должен быть непустым множеством. Если граф <tex> G </tex> несвязен, то его '''бонд''' определим как бонд какой-либо его компоненты. Заметим, что всякий перешеек графа образует однореберный бонд. Торцевые графы перешейка являются торцевыми графами соответствующего бонда.
}}

{{Определение
|definition=
'''Гамильтоновым бондом''' (англ. ''hamiltonian bond'') называется бонд графа <tex> G </tex>, торцевыми графами которого являются деревья, т.е. бонд, состоящий из <tex> p_1(G) + 1 </tex> ребер.
}}

== Теорема Гринберга ==
{{Теорема
|about=Гринберг
|statement=
Пусть связный граф <tex> G </tex> имеет гамильтонов бонд <tex> H </tex> с торцевыми графами <tex> X </tex> и <tex> Y </tex>. Пусть <tex> f_n^{X} </tex> и <tex> f_n^{Y} </tex> {{---}} число вершин в графов <tex> X </tex> и <tex> Y </tex> соответственно, имеющих в <tex> G </tex> степень <tex> n ~ (n = 1, ~ 2, ~ 3, ~ \ldots) </tex>. Тогда:
<center> <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} (n - 2) (f_n^{X} - f_n^{Y}) = 0 ~~~ \bf{(1)} </tex>. </center>
|proof=
Так как торцевые графы являются деревьями, то:
<center> <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} f_n^{X} = |V(X)| = |E(X)| + 1 ~~~ \textbf{(2)} </tex>. </center>
Ясно также, что:
<center> <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} n f_n^{X} = |E(H)| + 2|E(X)| ~~~ \textbf{(3)} </tex>. </center>
Поэтому:
<center> <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} (n - 2) f_n^{X} = |E(H)| - 2 ~~~ \textbf{(4)} </tex>. </center>
Аналогичную формулу получаем для графа <tex> Y </tex>. Вычитая ее из '''(4)''', приходим к '''(1)'''.
}}

== Использование теоремы ==
Теорему Гринберга можно иногда использовать для доказательства отсутствия гамильтонова бонда в графе. Пусть, например, все вершины связного графа <tex> G </tex>, кроме одной, имеют степени, сравнимые с 2 по модулю 3. Тогда левая часть формулы '''(1)''' не делится на 3 и, следовательно, гамильтонова бонда в графе <tex> G </tex> не существует. Рисунок '''1''' иллюстрирует этот простой пример.
[[Файл: Гамильтонов_бонд.png|300px|thumb|center|Рис. 1]]

== См. также ==
* [[Гамильтоновы графы]]

== Источники информации ==
* У. Татт. Теория графов. М.: "Мир", 1988. с. 304. ISBN 5-03-001001-7

[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория:Обходы графов]]
[[Категория:Гамильтоновы графы]]

Теорема Гринберга

2016-01-28T19:47:32Z

Da1s111: /* Теорема Гринберга */

{{Определение
|definition=
'''Подграф''' (англ. ''subgraph'') исходного графа {{---}} граф, содержащий некое подмножество вершин данного графа и некое подмножество инцидентных им рёбер. По отношению к подграфу исходный граф называется суперграфом.
}}

{{Определение
|definition=
'''Порождённый подграф''' (англ. ''induced subgraph'') — подграф, порождённый множеством рёбер исходного графа. Содержит не обязательно все вершины графа, но эти вершины соединены такими же ребрами, как в графе.
}}

Пусть множество вершин графа <tex> G </tex> разбито на взаимно дополнительные подмножества <tex> X </tex> и <tex> Y </tex>. Через <tex> J(X, Y) </tex> обозначим множество всех ребер графа <tex> G </tex>, у каждого из которых один конец лежит в <tex> X </tex>, а другой {{---}} в <tex> Y </tex>.
{{Определение
|definition=
Если граф <tex> G </tex> и порожденные подграфы <tex> G[X] </tex> и <tex> G[Y] </tex> связны, то множество <tex> J(X, Y) </tex> называется '''бондом''' графа <tex> G </tex>. Подграфы <tex> G[X] </tex> и <tex> G[Y] </tex> называются '''торцевыми графами''' этого бонда. Из приведенного определения следует, что бонд <tex> J(X, Y) </tex> должен быть непустым множеством. Если граф <tex> G </tex> несвязен, то его '''бонд''' определим как бонд какой-либо его компоненты. Заметим, что всякий перешеек графа образует однореберный бонд. Торцевые графы перешейка являются торцевыми графами соответствующего бонда.
}}

{{Определение
|definition=
'''Гамильтоновым бондом''' (англ. ''hamiltonian bond'') называется бонд графа <tex> G </tex>, торцевыми графами которого являются деревья, т.е. бонд, состоящий из <tex> p_1(G) + 1 </tex> ребер.
}}

== Теорема Гринберга ==
{{Теорема
|about=Гринберг
|statement=
Пусть связный граф <tex> G </tex> имеет гамильтонов бонд <tex> H </tex> с торцевыми графами <tex> X </tex> и <tex> Y </tex>. Пусть <tex> f_n^{X} </tex> и <tex> f_n^{Y} </tex> {{---}} число вершин в графов <tex> X </tex> и <tex> Y </tex> соответственно, имеющих в <tex> G </tex> степень <tex> n ~ (n = 1, ~ 2, ~ 3, ~ \ldots) </tex>. Тогда:
<center> <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} (n - 2) (f_n^{X} - f_n^{Y}) = 0 ~~~ \bf{(1)} </tex>. </center>
|proof=
Так как торцевые графы являются деревьями, то:
<center> <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} f_n^{X} = |V(X)| = |E(X)| + 1 ~~~ \textbf{(2)} </tex>. </center>
Ясно также, что:
<center> <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} n f_n^{X} = |E(H)| + 2|E(X)| ~~~ \textbf{(3)} </tex>. </center>
Поэтому:
<center> <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} (n - 2) f_n^{X} = |E(H)| - 2 ~~~ \textbf{(4)} </tex>. </center>
Аналогичную формулу получаем для графа <tex> Y </tex>. Вычитая ее из '''(4)''', приходим к '''(1)'''.
}}

== Использование теоремы ==
Теорему Гринберга можно иногда использовать для доказательства отсутствия гамильтонова бонда в графе. Пусть, например, все вершины связного графа <tex> G </tex>, кроме одной, имеют степени, сравнимые с 2 по модулю 3. Тогда левая часть формулы '''(1)''' не делится на 3 и, следовательно, гамильтонова бонда в графе <tex> G </tex> не существует. Рисунок '''1''' иллюстрирует этот простой пример.
[[Файл: Гамильтонов_бонд.png|300px|thumb|center|Рис. 1]]

== См. также ==
* [[Гамильтоновы графы]]

== Источники информации ==
* У. Татт. Теория графов. М.: "Мир", 1988. с. 304. ISBN 5-03-001001-7

[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория:Обходы графов]]
[[Категория:Гамильтоновы графы]]

Теорема Гринберга

2016-01-28T19:28:14Z

Da1s111: /* Базовые определения и теоремы */

{{Определение
|definition=
'''Подграф''' (англ. ''subgraph'') исходного графа {{---}} граф, содержащий некое подмножество вершин данного графа и некое подмножество инцидентных им рёбер. По отношению к подграфу исходный граф называется суперграфом.
}}

{{Определение
|definition=
'''Порождённый подграф''' (англ. ''induced subgraph'') — подграф, порождённый множеством рёбер исходного графа. Содержит не обязательно все вершины графа, но эти вершины соединены такими же ребрами, как в графе.
}}

Пусть множество вершин графа <tex> G </tex> разбито на взаимно дополнительные подмножества <tex> X </tex> и <tex> Y </tex>. Через <tex> J(X, Y) </tex> обозначим множество всех ребер графа <tex> G </tex>, у каждого из которых один конец лежит в <tex> X </tex>, а другой {{---}} в <tex> Y </tex>.
{{Определение
|definition=
Если граф <tex> G </tex> и порожденные подграфы <tex> G[X] </tex> и <tex> G[Y] </tex> связны, то множество <tex> J(X, Y) </tex> называется '''бондом''' графа <tex> G </tex>. Подграфы <tex> G[X] </tex> и <tex> G[Y] </tex> называются '''торцевыми графами''' этого бонда. Из приведенного определения следует, что бонд <tex> J(X, Y) </tex> должен быть непустым множеством. Если граф <tex> G </tex> несвязен, то его '''бонд''' определим как бонд какой-либо его компоненты. Заметим, что всякий перешеек графа образует однореберный бонд. Торцевые графы перешейка являются торцевыми графами соответствующего бонда.
}}

{{Определение
|definition=
'''Гамильтоновым бондом''' (англ. ''hamiltonian bond'') называется бонд графа <tex> G </tex>, торцевыми графами которого являются деревья, т.е. бонд, состоящий из <tex> p_1(G) + 1 </tex> ребер.
}}

== Теорема Гринберга ==
{{Теорема
|about=Гринберг
|statement=
Пусть связный граф <tex> G </tex> имеет гамильтонов бонд <tex> H </tex> с торцевыми графами <tex> X </tex> и <tex> Y </tex>. Пусть <tex> f_n^{X} </tex> и <tex> f_n^{Y} </tex> {{---}} число вершин в графов <tex> X </tex> и <tex> Y </tex> соответственно, имеющих в <tex> G </tex> степень <tex> n ~ (n = 1, ~ 2, ~ 3, ~ \ldots) </tex>. Тогда:
<center> <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} (n - 2) (f_n^{X} - f_n^{Y}) = 0 ~~~ \bf{(1)} </tex>. </center>
|proof=
Используя теорему '''2''', находим, что:
<center> <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} f_n^{X} = |E(X)| + 1 ~~~ \textbf{(2)} </tex>. </center>
Ясно также, что:
<center> <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} n f_n^{X} = |E(H)| + 2|E(X)| ~~~ \textbf{(3)} </tex>. </center>
Поэтому:
<center> <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} (n - 2) f_n^{X} = |E(H)| - 2 ~~~ \textbf{(4)} </tex>. </center>
Аналогичную формулу получаем для графа <tex> Y </tex>. Вычитая ее из '''(4)''', приходим к '''(1)'''.
}}

== Использование теоремы ==
Теорему Гринберга можно иногда использовать для доказательства отсутствия гамильтонова бонда в графе. Пусть, например, все вершины связного графа <tex> G </tex>, кроме одной, имеют степени, сравнимые с 2 по модулю 3. Тогда левая часть формулы '''(1)''' не делится на 3 и, следовательно, гамильтонова бонда в графе <tex> G </tex> не существует. Рисунок '''1''' иллюстрирует этот простой пример.
[[Файл: Гамильтонов_бонд.png|300px|thumb|center|Рис. 1]]

== См. также ==
* [[Гамильтоновы графы]]

== Источники информации ==
* У. Татт. Теория графов. М.: "Мир", 1988. с. 304. ISBN 5-03-001001-7

[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория:Обходы графов]]
[[Категория:Гамильтоновы графы]]

Теорема Гринберга

2016-01-28T19:10:52Z

Da1s111: /* Базовые определения и теоремы */

== Базовые определения и теоремы ==
{{Определение
|definition=
'''Цикломатическое число''' (англ. ''cyclomatic number'') графа <tex> G </tex> обозначается через <tex> p_1(G) </tex> и определяется с помощью следующего ''соотношения'':
<center> <tex> p_1(G) = |E(G)| - |V(G)| + p_0(G) ~~~ \textbf{(1)} </tex> </center>
Это число называют также '''числом Бетти''' (англ. ''Betti number'') размерности 1.
}}

{{Теорема
|about=1
|statement=
Цикломатическое число графа <tex> G </tex> неотрицательно. Оно равно нулю тогда и только тогда, когда <tex> G </tex> {{---}} лес.
|proof=
Предположим сначала, что в <tex> G </tex> нет ребер. Тогда <tex> p_1(G) = 0 </tex>. Очевидно, что "безреберный" граф является лесом.
Далее предположим, что граф <tex> G </tex> есть лес и в нем содержится хотя бы одно ребро. Удаляем из <tex> G </tex> ребра до тех пор, пока не получим безреберного графа <tex> H </tex>. При удалении каждого ребра цикломатическое число не меняется. Следовательно, <tex> p_1(G) = p_1(H) = 0 </tex>.
Наконец, рассмотрим случай, когда граф <tex> G </tex> не является лесом. Тогда в <tex> G </tex> содержится ребро <tex> A </tex>, не являющееся перешейком. Удаляя его из <tex> G </tex>, мы уменьшим цикломатическое число на 1. Если результирующий граф не будет лесом, то процесс удаления ребра повторяем. После нескольких таких шагов (обозначим их число через <tex> n </tex>) мы получим лес <tex> F </tex>. Очевидно, что <tex> n </tex> {{---}} положительное число, и мы имеем <tex> p_1(G) = n + p_1(F) = n > 0 </tex>.
}}

{{Теорема
|about=2
|statement=
Если <tex> T </tex> {{---}} дерево, то <tex> |V(T)| = |E(T)| + 1 </tex>
|proof=
Имеем <tex> p_0(T) = 1 </tex>. По теореме '''1''': <tex> p_1(T) = 0 </tex>. Остается применить соотношение '''1'''
}}

{{Определение
|definition=
'''Подграф''' (англ. ''subgraph'') исходного графа {{---}} граф, содержащий некое подмножество вершин данного графа и некое подмножество инцидентных им рёбер. По отношению к подграфу исходный граф называется суперграфом.
}}

{{Определение
|definition=
'''Порождённый подграф''' (англ. ''induced subgraph'') — подграф, порождённый множеством рёбер исходного графа. Содержит не обязательно все вершины графа, но эти вершины соединены такими же ребрами, как в графе.
}}

{{Определение
|definition=
Пусть множество вершин графа <tex> G </tex> разбито на взаимно дополнительные подмножества <tex> X </tex> и <tex> Y </tex>. Через <tex> J(X, Y) </tex> обозначим множество всех ребер графа <tex> G </tex>, у каждого из которых один конец лежит в <tex> X </tex>, а другой {{---}} в <tex> Y </tex>. <br>
Если граф <tex> G </tex> и порожденные подграфы <tex> G[X] </tex> и <tex> G[Y] </tex> связны, то множество <tex> J(X, Y) </tex> называется '''бондом''' графа <tex> G </tex>. Подграфы <tex> G[X] </tex> и <tex> G[Y] </tex> называются '''торцевыми графами''' этого бонда. Из приведенного определения следует, что бонд <tex> J(X, Y) </tex> должен быть непустым множеством. Если граф <tex> G </tex> несвязен, то его '''бонд''' определим как бонд какой-либо его компоненты. Заметим, что всякий перешеек графа образует однореберный бонд. Торцевые графы перешейка являются торцевыми графами соответствующего бонда.
}}

{{Определение
|definition=
'''Гамильтоновым бондом''' (англ. ''hamiltonian bond'') называется бонд графа <tex> G </tex>, торцевыми графами которого являются деревья, т.е. бонд, состоящий из <tex> p_1(G) + 1 </tex> ребер.
}}

== Теорема Гринберга ==
{{Теорема
|about=Гринберг
|statement=
Пусть связный граф <tex> G </tex> имеет гамильтонов бонд <tex> H </tex> с торцевыми графами <tex> X </tex> и <tex> Y </tex>. Пусть <tex> f_n^{X} </tex> и <tex> f_n^{Y} </tex> {{---}} число вершин в графов <tex> X </tex> и <tex> Y </tex> соответственно, имеющих в <tex> G </tex> степень <tex> n ~ (n = 1, ~ 2, ~ 3, ~ \ldots) </tex>. Тогда:
<center> <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} (n - 2) (f_n^{X} - f_n^{Y}) = 0 ~~~ \bf{(1)} </tex>. </center>
|proof=
Используя теорему '''2''', находим, что:
<center> <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} f_n^{X} = |E(X)| + 1 ~~~ \textbf{(2)} </tex>. </center>
Ясно также, что:
<center> <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} n f_n^{X} = |E(H)| + 2|E(X)| ~~~ \textbf{(3)} </tex>. </center>
Поэтому:
<center> <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} (n - 2) f_n^{X} = |E(H)| - 2 ~~~ \textbf{(4)} </tex>. </center>
Аналогичную формулу получаем для графа <tex> Y </tex>. Вычитая ее из '''(4)''', приходим к '''(1)'''.
}}

== Использование теоремы ==
Теорему Гринберга можно иногда использовать для доказательства отсутствия гамильтонова бонда в графе. Пусть, например, все вершины связного графа <tex> G </tex>, кроме одной, имеют степени, сравнимые с 2 по модулю 3. Тогда левая часть формулы '''(1)''' не делится на 3 и, следовательно, гамильтонова бонда в графе <tex> G </tex> не существует. Рисунок '''1''' иллюстрирует этот простой пример.
[[Файл: Гамильтонов_бонд.png|300px|thumb|center|Рис. 1]]

== См. также ==
* [[Гамильтоновы графы]]

== Источники информации ==
* У. Татт. Теория графов. М.: "Мир", 1988. с. 304. ISBN 5-03-001001-7

[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория:Обходы графов]]
[[Категория:Гамильтоновы графы]]

Теорема Гринберга

2016-01-28T19:04:03Z

Da1s111: /* Использование теоремы */

== Базовые определения и теоремы ==
{{Определение
|definition=
'''Цикломатическое число''' (англ. ''cyclomatic number'') графа <tex> G </tex> обозначается через <tex> p_1(G) </tex> и определяется с помощью следующего ''соотношения'':
<center> <tex> p_1(G) = |E(G)| - |V(G)| + p_0(G) ~~~ \textbf{(1)} </tex> </center>
Это число называют также '''числом Бетти''' (англ. ''Betti number'') размерности 1.
}}

{{Теорема
|about=1
|statement=
Цикломатическое число графа <tex> G </tex> неотрицательно. Оно равно нулю тогда и только тогда, когда <tex> G </tex> {{---}} лес.
|proof=
Предположим сначала, что в <tex> G </tex> нет ребер. Тогда <tex> p_1(G) = 0 </tex>. Очевидно, что "безреберный" граф является лесом.
Далее предположим, что граф <tex> G </tex> есть лес и в нем содержится хотя бы одно ребро. Удаляем из <tex> G </tex> ребра до тех пор, пока не получим безреберного графа <tex> H </tex>. При удалении каждого ребра цикломатическое число не меняется. Следовательно, <tex> p_1(G) = p_1(H) = 0 </tex>.
Наконец, рассмотрим случай, когда граф <tex> G </tex> не является лесом. Тогда в <tex> G </tex> содержится ребро <tex> A </tex>, не являющееся перешейком. Удаляя его из <tex> G </tex>, мы уменьшим цикломатическое число на 1. Если результирующий граф не будет лесом, то процесс удаления ребра повторяем. После нескольких таких шагов (обозначим их число через <tex> n </tex>) мы получим лес <tex> F </tex>. Очевидно, что <tex> n </tex> {{---}} положительное число, и мы имеем <tex> p_1(G) = n + p_1(F) = n > 0 </tex>.
}}

{{Теорема
|about=2
|statement=
Если <tex> T </tex> {{---}} дерево, то <tex> |V(T)| = |E(T)| + 1 </tex>
|proof=
Имеем <tex> p_0(T) = 1 </tex>. По теореме '''1''': <tex> p_1(T) = 0 </tex>. Остается применить соотношение '''1'''
}}

{{Определение
|definition=
'''Подграф''' (англ. ''subgraph'') исходного графа {{---}} граф, содержащий некое подмножество вершин данного графа и некое подмножество инцидентных им рёбер. По отношению к подграфу исходный граф называется суперграфом.
}}

{{Определение
|definition=
'''Порождённый подграф''' (англ. ''induced subgraph'') — подграф, порождённый множеством рёбер исходного графа. Содержит не обязательно все вершины графа, но эти вершины соединены такими же ребрами, как в графе.
}}

{{Определение
|definition=
Если граф <tex> G </tex> и порожденные подграфы <tex> G[X] </tex> и <tex> G[Y] </tex> связны, то множество <tex> J(X, Y) </tex> называется '''бондом''' графа <tex> G </tex>. Подграфы <tex> G[X] </tex> и <tex> G[Y] </tex> называются '''торцевыми графами''' этого бонда. Из приведенного определения следует, что бонд <tex> J(X, Y) </tex> должен быть непустым множеством. Если граф <tex> G </tex> несвязен, то его '''бонд''' определим как бонд какой-либо его компоненты. Заметим, что всякий перешеек графа образует однореберный бонд. Торцевые графы перешейка являются торцевыми графами соответствующего бонда.
}}

{{Определение
|definition=
'''Гамильтоновым бондом''' (англ. ''hamiltonian bond'') называется бонд графа <tex> G </tex>, торцевыми графами которого являются деревья, т.е. бонд, состоящий из <tex> p_1(G) + 1 </tex> ребер.
}}

== Теорема Гринберга ==
{{Теорема
|about=Гринберг
|statement=
Пусть связный граф <tex> G </tex> имеет гамильтонов бонд <tex> H </tex> с торцевыми графами <tex> X </tex> и <tex> Y </tex>. Пусть <tex> f_n^{X} </tex> и <tex> f_n^{Y} </tex> {{---}} число вершин в графов <tex> X </tex> и <tex> Y </tex> соответственно, имеющих в <tex> G </tex> степень <tex> n ~ (n = 1, ~ 2, ~ 3, ~ \ldots) </tex>. Тогда:
<center> <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} (n - 2) (f_n^{X} - f_n^{Y}) = 0 ~~~ \bf{(1)} </tex>. </center>
|proof=
Используя теорему '''2''', находим, что:
<center> <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} f_n^{X} = |E(X)| + 1 ~~~ \textbf{(2)} </tex>. </center>
Ясно также, что:
<center> <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} n f_n^{X} = |E(H)| + 2|E(X)| ~~~ \textbf{(3)} </tex>. </center>
Поэтому:
<center> <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} (n - 2) f_n^{X} = |E(H)| - 2 ~~~ \textbf{(4)} </tex>. </center>
Аналогичную формулу получаем для графа <tex> Y </tex>. Вычитая ее из '''(4)''', приходим к '''(1)'''.
}}

== Использование теоремы ==
Теорему Гринберга можно иногда использовать для доказательства отсутствия гамильтонова бонда в графе. Пусть, например, все вершины связного графа <tex> G </tex>, кроме одной, имеют степени, сравнимые с 2 по модулю 3. Тогда левая часть формулы '''(1)''' не делится на 3 и, следовательно, гамильтонова бонда в графе <tex> G </tex> не существует. Рисунок '''1''' иллюстрирует этот простой пример.
[[Файл: Гамильтонов_бонд.png|300px|thumb|center|Рис. 1]]

== См. также ==
* [[Гамильтоновы графы]]

== Источники информации ==
* У. Татт. Теория графов. М.: "Мир", 1988. с. 304. ISBN 5-03-001001-7

[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория:Обходы графов]]
[[Категория:Гамильтоновы графы]]

Теорема Гринберга

2016-01-28T19:03:40Z

Da1s111: /* Теорема Гринберга */

== Базовые определения и теоремы ==
{{Определение
|definition=
'''Цикломатическое число''' (англ. ''cyclomatic number'') графа <tex> G </tex> обозначается через <tex> p_1(G) </tex> и определяется с помощью следующего ''соотношения'':
<center> <tex> p_1(G) = |E(G)| - |V(G)| + p_0(G) ~~~ \textbf{(1)} </tex> </center>
Это число называют также '''числом Бетти''' (англ. ''Betti number'') размерности 1.
}}

{{Теорема
|about=1
|statement=
Цикломатическое число графа <tex> G </tex> неотрицательно. Оно равно нулю тогда и только тогда, когда <tex> G </tex> {{---}} лес.
|proof=
Предположим сначала, что в <tex> G </tex> нет ребер. Тогда <tex> p_1(G) = 0 </tex>. Очевидно, что "безреберный" граф является лесом.
Далее предположим, что граф <tex> G </tex> есть лес и в нем содержится хотя бы одно ребро. Удаляем из <tex> G </tex> ребра до тех пор, пока не получим безреберного графа <tex> H </tex>. При удалении каждого ребра цикломатическое число не меняется. Следовательно, <tex> p_1(G) = p_1(H) = 0 </tex>.
Наконец, рассмотрим случай, когда граф <tex> G </tex> не является лесом. Тогда в <tex> G </tex> содержится ребро <tex> A </tex>, не являющееся перешейком. Удаляя его из <tex> G </tex>, мы уменьшим цикломатическое число на 1. Если результирующий граф не будет лесом, то процесс удаления ребра повторяем. После нескольких таких шагов (обозначим их число через <tex> n </tex>) мы получим лес <tex> F </tex>. Очевидно, что <tex> n </tex> {{---}} положительное число, и мы имеем <tex> p_1(G) = n + p_1(F) = n > 0 </tex>.
}}

{{Теорема
|about=2
|statement=
Если <tex> T </tex> {{---}} дерево, то <tex> |V(T)| = |E(T)| + 1 </tex>
|proof=
Имеем <tex> p_0(T) = 1 </tex>. По теореме '''1''': <tex> p_1(T) = 0 </tex>. Остается применить соотношение '''1'''
}}

{{Определение
|definition=
'''Подграф''' (англ. ''subgraph'') исходного графа {{---}} граф, содержащий некое подмножество вершин данного графа и некое подмножество инцидентных им рёбер. По отношению к подграфу исходный граф называется суперграфом.
}}

{{Определение
|definition=
'''Порождённый подграф''' (англ. ''induced subgraph'') — подграф, порождённый множеством рёбер исходного графа. Содержит не обязательно все вершины графа, но эти вершины соединены такими же ребрами, как в графе.
}}

{{Определение
|definition=
Если граф <tex> G </tex> и порожденные подграфы <tex> G[X] </tex> и <tex> G[Y] </tex> связны, то множество <tex> J(X, Y) </tex> называется '''бондом''' графа <tex> G </tex>. Подграфы <tex> G[X] </tex> и <tex> G[Y] </tex> называются '''торцевыми графами''' этого бонда. Из приведенного определения следует, что бонд <tex> J(X, Y) </tex> должен быть непустым множеством. Если граф <tex> G </tex> несвязен, то его '''бонд''' определим как бонд какой-либо его компоненты. Заметим, что всякий перешеек графа образует однореберный бонд. Торцевые графы перешейка являются торцевыми графами соответствующего бонда.
}}

{{Определение
|definition=
'''Гамильтоновым бондом''' (англ. ''hamiltonian bond'') называется бонд графа <tex> G </tex>, торцевыми графами которого являются деревья, т.е. бонд, состоящий из <tex> p_1(G) + 1 </tex> ребер.
}}

== Теорема Гринберга ==
{{Теорема
|about=Гринберг
|statement=
Пусть связный граф <tex> G </tex> имеет гамильтонов бонд <tex> H </tex> с торцевыми графами <tex> X </tex> и <tex> Y </tex>. Пусть <tex> f_n^{X} </tex> и <tex> f_n^{Y} </tex> {{---}} число вершин в графов <tex> X </tex> и <tex> Y </tex> соответственно, имеющих в <tex> G </tex> степень <tex> n ~ (n = 1, ~ 2, ~ 3, ~ \ldots) </tex>. Тогда:
<center> <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} (n - 2) (f_n^{X} - f_n^{Y}) = 0 ~~~ \bf{(1)} </tex>. </center>
|proof=
Используя теорему '''2''', находим, что:
<center> <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} f_n^{X} = |E(X)| + 1 ~~~ \textbf{(2)} </tex>. </center>
Ясно также, что:
<center> <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} n f_n^{X} = |E(H)| + 2|E(X)| ~~~ \textbf{(3)} </tex>. </center>
Поэтому:
<center> <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} (n - 2) f_n^{X} = |E(H)| - 2 ~~~ \textbf{(4)} </tex>. </center>
Аналогичную формулу получаем для графа <tex> Y </tex>. Вычитая ее из '''(4)''', приходим к '''(1)'''.
}}

== Использование теоремы ==
Теорему Гринберга можно иногда использовать для доказательства отсутствия гамильтонова бонда в графе. Пусть, например, все вершины связного графа <tex> G </tex>, кроме одной, имеют валентности, сравнимые с 2 по модулю 3. Тогда левая часть формулы '''(1)''' не делится на 3 и, следовательно, гамильтонова бонда в графе <tex> G </tex> не существует. Рисунок '''1''' иллюстрирует этот простой пример.
[[Файл: Гамильтонов_бонд.png|300px|thumb|center|Рис. 1]]

== См. также ==
* [[Гамильтоновы графы]]

== Источники информации ==
* У. Татт. Теория графов. М.: "Мир", 1988. с. 304. ISBN 5-03-001001-7

[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория:Обходы графов]]
[[Категория:Гамильтоновы графы]]

Теорема Гринберга

2016-01-28T19:01:14Z

Da1s111: /* Базовые определения и теоремы */

== Базовые определения и теоремы ==
{{Определение
|definition=
'''Цикломатическое число''' (англ. ''cyclomatic number'') графа <tex> G </tex> обозначается через <tex> p_1(G) </tex> и определяется с помощью следующего ''соотношения'':
<center> <tex> p_1(G) = |E(G)| - |V(G)| + p_0(G) ~~~ \textbf{(1)} </tex> </center>
Это число называют также '''числом Бетти''' (англ. ''Betti number'') размерности 1.
}}

{{Теорема
|about=1
|statement=
Цикломатическое число графа <tex> G </tex> неотрицательно. Оно равно нулю тогда и только тогда, когда <tex> G </tex> {{---}} лес.
|proof=
Предположим сначала, что в <tex> G </tex> нет ребер. Тогда <tex> p_1(G) = 0 </tex>. Очевидно, что "безреберный" граф является лесом.
Далее предположим, что граф <tex> G </tex> есть лес и в нем содержится хотя бы одно ребро. Удаляем из <tex> G </tex> ребра до тех пор, пока не получим безреберного графа <tex> H </tex>. При удалении каждого ребра цикломатическое число не меняется. Следовательно, <tex> p_1(G) = p_1(H) = 0 </tex>.
Наконец, рассмотрим случай, когда граф <tex> G </tex> не является лесом. Тогда в <tex> G </tex> содержится ребро <tex> A </tex>, не являющееся перешейком. Удаляя его из <tex> G </tex>, мы уменьшим цикломатическое число на 1. Если результирующий граф не будет лесом, то процесс удаления ребра повторяем. После нескольких таких шагов (обозначим их число через <tex> n </tex>) мы получим лес <tex> F </tex>. Очевидно, что <tex> n </tex> {{---}} положительное число, и мы имеем <tex> p_1(G) = n + p_1(F) = n > 0 </tex>.
}}

{{Теорема
|about=2
|statement=
Если <tex> T </tex> {{---}} дерево, то <tex> |V(T)| = |E(T)| + 1 </tex>
|proof=
Имеем <tex> p_0(T) = 1 </tex>. По теореме '''1''': <tex> p_1(T) = 0 </tex>. Остается применить соотношение '''1'''
}}

{{Определение
|definition=
'''Подграф''' (англ. ''subgraph'') исходного графа {{---}} граф, содержащий некое подмножество вершин данного графа и некое подмножество инцидентных им рёбер. По отношению к подграфу исходный граф называется суперграфом.
}}

{{Определение
|definition=
'''Порождённый подграф''' (англ. ''induced subgraph'') — подграф, порождённый множеством рёбер исходного графа. Содержит не обязательно все вершины графа, но эти вершины соединены такими же ребрами, как в графе.
}}

{{Определение
|definition=
Если граф <tex> G </tex> и порожденные подграфы <tex> G[X] </tex> и <tex> G[Y] </tex> связны, то множество <tex> J(X, Y) </tex> называется '''бондом''' графа <tex> G </tex>. Подграфы <tex> G[X] </tex> и <tex> G[Y] </tex> называются '''торцевыми графами''' этого бонда. Из приведенного определения следует, что бонд <tex> J(X, Y) </tex> должен быть непустым множеством. Если граф <tex> G </tex> несвязен, то его '''бонд''' определим как бонд какой-либо его компоненты. Заметим, что всякий перешеек графа образует однореберный бонд. Торцевые графы перешейка являются торцевыми графами соответствующего бонда.
}}

{{Определение
|definition=
'''Гамильтоновым бондом''' (англ. ''hamiltonian bond'') называется бонд графа <tex> G </tex>, торцевыми графами которого являются деревья, т.е. бонд, состоящий из <tex> p_1(G) + 1 </tex> ребер.
}}

== Теорема Гринберга ==
{{Теорема
|about=Гринберг
|statement=
Пусть связный граф <tex> G </tex> имеет гамильтонов бонд <tex> H </tex> с торцевыми графами <tex> X </tex> и <tex> Y </tex>. Пусть <tex> f_n^{X} </tex> и <tex> f_n^{Y} </tex> {{---}} число и вершин в графов <tex> X </tex> и <tex> Y </tex> соответственно, имеющих в <tex> G </tex> валентность <tex> n ~ (n = 1, ~ 2, ~ 3, ~ \ldots) </tex>. Тогда:
<center> <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} (n - 2) (f_n^{X} - f_n^{Y}) = 0 ~~~ \bf{(1)} </tex>. </center>
|proof=
Используя теорему '''1.37''', находим, что:
<center> <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} f_n^{X} = |E(X)| + 1 ~~~ \textbf{(2)} </tex>. </center>
Ясно также, что:
<center> <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} n f_n^{X} = |E(H)| + 2|E(X)| ~~~ \textbf{(3)} </tex>. </center>
Поэтому:
<center> <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} (n - 2) f_n^{X} = |E(H)| - 2 ~~~ \textbf{(4)} </tex>. </center>
Аналогичную формулу получаем для графа <tex> Y </tex>. Вычитая ее из '''(4)''', приходим к '''(1)'''.
}}

== Использование теоремы ==
Теорему Гринберга можно иногда использовать для доказательства отсутствия гамильтонова бонда в графе. Пусть, например, все вершины связного графа <tex> G </tex>, кроме одной, имеют валентности, сравнимые с 2 по модулю 3. Тогда левая часть формулы '''(1)''' не делится на 3 и, следовательно, гамильтонова бонда в графе <tex> G </tex> не существует. Рисунок '''1''' иллюстрирует этот простой пример.
[[Файл: Гамильтонов_бонд.png|300px|thumb|center|Рис. 1]]

== См. также ==
* [[Гамильтоновы графы]]

== Источники информации ==
* У. Татт. Теория графов. М.: "Мир", 1988. с. 304. ISBN 5-03-001001-7

[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория:Обходы графов]]
[[Категория:Гамильтоновы графы]]

Теорема Гринберга

2016-01-28T18:07:36Z

Da1s111: /* Теорема Гринберга */

== Базовые определения и теоремы ==
{{Определение
|definition=
'''Цикломатическое число''' графа <tex> G </tex> обозначается через <tex> p_1(G) </tex> и определяется с помощью следующего соотношения:
<center> <tex> p_1(G) = |E(G)| - |V(G)| + p_0(G) </tex>. '''(1.6.1)'''</center>
Это число называют также '''числом Бетти''' размерности 1.
}}

{{Теорема
|about=1.35
|statement=
Цикломатическое число графа <tex> G </tex> неотрицательно. Оно равно нулю тогда и только тогда, когда <tex> G </tex> {{---}} лес.
|proof=
Предположим сначала, что в <tex> G </tex> нет ребер. Тогда <tex> p_1(G) = 0 </tex> (в силу соотношения '''1.6.1''' и теоремы '''1.20'''). Очевидно, что "безреберный" граф является лесом.
Далее предположим, что граф <tex> G </tex> есть лес и в нем содержится хотя бы одно ребро. Удаляем из <tex> G </tex> ребра до тех пор, пока не получим безреберного графа <tex> H </tex>. При удалении каждого ребра цикломатическое число не меняется (см. теоремы '''1.32''' и '''1.34'''). Следовательно, <tex> p_1(G) = p_1(H) = 0 </tex>.
Наконец, рассмотрим случай, когда граф <tex> G </tex> не является лесом. Тогда в <tex> G </tex> содержится ребро <tex> A </tex>, не являющееся перешейком. Удаляя его из <tex> G </tex>, мы уменьшим цикломатическое число на 1 (см. теорему '''1.34'''). Если результирующий граф не будет лесом, то процесс удаления ребра повторяем. После нескольких таких шагов (обозначим их число через <tex> n </tex>) мы получим лес <tex> F </tex>. Очевидно, что <tex> n </tex> {{---}} положительное число, и мы имеем <tex> p_1(G) = n + p_1(F) = n > 0 </tex>.
}}

{{Теорема
|about=1.37
|statement=
Если <tex> T </tex> {{---}} дерево, то <tex> |V(T)| = |E(T)| + 1 </tex>
|proof=
Имеем <tex> p_0(T) = 1 </tex>. По теореме '''1.35''': <tex> p_1(T) = 0 </tex>. Остается применить соотношение '''1.6.1'''
}}

{{Определение
|definition=
Если граф <tex> G </tex> и порожденные подграфы <tex> G[X] </tex> и <tex> G[Y] </tex> связны, то множество <tex> J(X, Y) </tex> называется '''бондом''' графа <tex> G </tex>. Подграфы <tex> G[X] </tex> и <tex> G[Y] </tex> называются '''торцевыми графами''' этого бонда. Из приведенного определения следует, что бонд <tex> J(X, Y) </tex> должен быть непустым множеством. Если граф <tex> G </tex> несвязен, то его '''бонд''' определим как бонд какой-либо его компоненты. Заметим, что всякий перешеек графа образует однореберный бонд. Торцевые графы перешейка являются торцевыми графами соответствующего бонда.
}}

{{Определение
|definition=
'''Гамильтоновым бондом''' называется бонд графа <tex> G </tex>, торцевыми графами которого являются деревья, т.е. бонд, состоящий из <tex> p_1(G) + 1 </tex> ребер.
}}

== Теорема Гринберга ==
{{Теорема
|about=Гринберг
|statement=
Пусть связный граф <tex> G </tex> имеет гамильтонов бонд <tex> H </tex> с торцевыми графами <tex> X </tex> и <tex> Y </tex>. Пусть <tex> f_n^{X} </tex> и <tex> f_n^{Y} </tex> {{---}} число и вершин в графов <tex> X </tex> и <tex> Y </tex> соответственно, имеющих в <tex> G </tex> валентность <tex> n ~ (n = 1, ~ 2, ~ 3, ~ \ldots) </tex>. Тогда:
<center> <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} (n - 2) (f_n^{X} - f_n^{Y}) = 0 ~~~ \bf{(1)} </tex>. </center>
|proof=
Используя теорему '''1.37''', находим, что:
<center> <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} f_n^{X} = |E(X)| + 1 ~~~ \textbf{(2)} </tex>. </center>
Ясно также, что:
<center> <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} n f_n^{X} = |E(H)| + 2|E(X)| ~~~ \textbf{(3)} </tex>. </center>
Поэтому:
<center> <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} (n - 2) f_n^{X} = |E(H)| - 2 ~~~ \textbf{(4)} </tex>. </center>
Аналогичную формулу получаем для графа <tex> Y </tex>. Вычитая ее из '''(4)''', приходим к '''(1)'''.
}}

== Использование теоремы ==
Теорему Гринберга можно иногда использовать для доказательства отсутствия гамильтонова бонда в графе. Пусть, например, все вершины связного графа <tex> G </tex>, кроме одной, имеют валентности, сравнимые с 2 по модулю 3. Тогда левая часть формулы '''(1)''' не делится на 3 и, следовательно, гамильтонова бонда в графе <tex> G </tex> не существует. Рисунок '''1''' иллюстрирует этот простой пример.
[[Файл: Гамильтонов_бонд.png|300px|thumb|center|Рис. 1]]

== См. также ==
* [[Гамильтоновы графы]]

== Источники информации ==
* У. Татт. Теория графов. М.: "Мир", 1988. с. 304. ISBN 5-03-001001-7

[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория:Обходы графов]]
[[Категория:Гамильтоновы графы]]

Теорема Гринберга

2016-01-28T18:01:53Z

Da1s111: /* См. также */

== Базовые определения и теоремы ==
{{Определение
|definition=
'''Цикломатическое число''' графа <tex> G </tex> обозначается через <tex> p_1(G) </tex> и определяется с помощью следующего соотношения:
<center> <tex> p_1(G) = |E(G)| - |V(G)| + p_0(G) </tex>. '''(1.6.1)'''</center>
Это число называют также '''числом Бетти''' размерности 1.
}}

{{Теорема
|about=1.35
|statement=
Цикломатическое число графа <tex> G </tex> неотрицательно. Оно равно нулю тогда и только тогда, когда <tex> G </tex> {{---}} лес.
|proof=
Предположим сначала, что в <tex> G </tex> нет ребер. Тогда <tex> p_1(G) = 0 </tex> (в силу соотношения '''1.6.1''' и теоремы '''1.20'''). Очевидно, что "безреберный" граф является лесом.
Далее предположим, что граф <tex> G </tex> есть лес и в нем содержится хотя бы одно ребро. Удаляем из <tex> G </tex> ребра до тех пор, пока не получим безреберного графа <tex> H </tex>. При удалении каждого ребра цикломатическое число не меняется (см. теоремы '''1.32''' и '''1.34'''). Следовательно, <tex> p_1(G) = p_1(H) = 0 </tex>.
Наконец, рассмотрим случай, когда граф <tex> G </tex> не является лесом. Тогда в <tex> G </tex> содержится ребро <tex> A </tex>, не являющееся перешейком. Удаляя его из <tex> G </tex>, мы уменьшим цикломатическое число на 1 (см. теорему '''1.34'''). Если результирующий граф не будет лесом, то процесс удаления ребра повторяем. После нескольких таких шагов (обозначим их число через <tex> n </tex>) мы получим лес <tex> F </tex>. Очевидно, что <tex> n </tex> {{---}} положительное число, и мы имеем <tex> p_1(G) = n + p_1(F) = n > 0 </tex>.
}}

{{Теорема
|about=1.37
|statement=
Если <tex> T </tex> {{---}} дерево, то <tex> |V(T)| = |E(T)| + 1 </tex>
|proof=
Имеем <tex> p_0(T) = 1 </tex>. По теореме '''1.35''': <tex> p_1(T) = 0 </tex>. Остается применить соотношение '''1.6.1'''
}}

{{Определение
|definition=
Если граф <tex> G </tex> и порожденные подграфы <tex> G[X] </tex> и <tex> G[Y] </tex> связны, то множество <tex> J(X, Y) </tex> называется '''бондом''' графа <tex> G </tex>. Подграфы <tex> G[X] </tex> и <tex> G[Y] </tex> называются '''торцевыми графами''' этого бонда. Из приведенного определения следует, что бонд <tex> J(X, Y) </tex> должен быть непустым множеством. Если граф <tex> G </tex> несвязен, то его '''бонд''' определим как бонд какой-либо его компоненты. Заметим, что всякий перешеек графа образует однореберный бонд. Торцевые графы перешейка являются торцевыми графами соответствующего бонда.
}}

{{Определение
|definition=
'''Гамильтоновым бондом''' называется бонд графа <tex> G </tex>, торцевыми графами которого являются деревья, т.е. бонд, состоящий из <tex> p_1(G) + 1 </tex> ребер.
}}

== Теорема Гринберга ==
{{Теорема
|about=Гринберг
|statement=
Пусть связный граф <tex> G </tex> имеет гамильтонов бонд <tex> H </tex> с торцевыми графами <tex> X </tex> и <tex> Y </tex>. Пусть <tex> f_n^{X} </tex> и <tex> f_n^{Y} </tex> {{---}} число и вершин в графов <tex> X </tex> и <tex> Y </tex> соответственно, имеющих в <tex> G </tex> валентность <tex> n ~ (n = 1, ~ 2, ~ 3, ~ \ldots) </tex>. Тогда:
<center> <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} (n - 2) (f_n^{X} - f_n^{Y}) = 0 </tex>. '''(1)''' </center>
|proof=
Используя теорему '''1.37''', находим, что:
<center> <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} f_n^{X} = |E(X)| + 1 </tex>. '''(2)''' </center>
Ясно также, что:
<center> <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} n f_n^{X} = |E(H)| + 2|E(X)| </tex>. '''(3)''' </center>
Поэтому:
<center> <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} (n - 2) f_n^{X} = |E(H)| - 2 </tex>. '''(4)''' </center>
Аналогичную формулу получаем для графа <tex> Y </tex>. Вычитая ее из '''(4)''', приходим к '''(1)'''.
}}

== Использование теоремы ==
Теорему Гринберга можно иногда использовать для доказательства отсутствия гамильтонова бонда в графе. Пусть, например, все вершины связного графа <tex> G </tex>, кроме одной, имеют валентности, сравнимые с 2 по модулю 3. Тогда левая часть формулы '''(1)''' не делится на 3 и, следовательно, гамильтонова бонда в графе <tex> G </tex> не существует. Рисунок '''1''' иллюстрирует этот простой пример.
[[Файл: Гамильтонов_бонд.png|300px|thumb|center|Рис. 1]]

== См. также ==
* [[Гамильтоновы графы]]

== Источники информации ==
* У. Татт. Теория графов. М.: "Мир", 1988. с. 304. ISBN 5-03-001001-7

[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория:Обходы графов]]
[[Категория:Гамильтоновы графы]]

Теорема Гринберга

2016-01-28T17:48:02Z

Da1s111: /* Теорема Гринберга */

== Базовые определения и теоремы ==
{{Определение
|definition=
'''Цикломатическое число''' графа <tex> G </tex> обозначается через <tex> p_1(G) </tex> и определяется с помощью следующего соотношения:
<center> <tex> p_1(G) = |E(G)| - |V(G)| + p_0(G) </tex>. '''(1.6.1)'''</center>
Это число называют также '''числом Бетти''' размерности 1.
}}

{{Теорема
|about=1.35
|statement=
Цикломатическое число графа <tex> G </tex> неотрицательно. Оно равно нулю тогда и только тогда, когда <tex> G </tex> {{---}} лес.
|proof=
Предположим сначала, что в <tex> G </tex> нет ребер. Тогда <tex> p_1(G) = 0 </tex> (в силу соотношения '''1.6.1''' и теоремы '''1.20'''). Очевидно, что "безреберный" граф является лесом.
Далее предположим, что граф <tex> G </tex> есть лес и в нем содержится хотя бы одно ребро. Удаляем из <tex> G </tex> ребра до тех пор, пока не получим безреберного графа <tex> H </tex>. При удалении каждого ребра цикломатическое число не меняется (см. теоремы '''1.32''' и '''1.34'''). Следовательно, <tex> p_1(G) = p_1(H) = 0 </tex>.
Наконец, рассмотрим случай, когда граф <tex> G </tex> не является лесом. Тогда в <tex> G </tex> содержится ребро <tex> A </tex>, не являющееся перешейком. Удаляя его из <tex> G </tex>, мы уменьшим цикломатическое число на 1 (см. теорему '''1.34'''). Если результирующий граф не будет лесом, то процесс удаления ребра повторяем. После нескольких таких шагов (обозначим их число через <tex> n </tex>) мы получим лес <tex> F </tex>. Очевидно, что <tex> n </tex> {{---}} положительное число, и мы имеем <tex> p_1(G) = n + p_1(F) = n > 0 </tex>.
}}

{{Теорема
|about=1.37
|statement=
Если <tex> T </tex> {{---}} дерево, то <tex> |V(T)| = |E(T)| + 1 </tex>
|proof=
Имеем <tex> p_0(T) = 1 </tex>. По теореме '''1.35''': <tex> p_1(T) = 0 </tex>. Остается применить соотношение '''1.6.1'''
}}

{{Определение
|definition=
Если граф <tex> G </tex> и порожденные подграфы <tex> G[X] </tex> и <tex> G[Y] </tex> связны, то множество <tex> J(X, Y) </tex> называется '''бондом''' графа <tex> G </tex>. Подграфы <tex> G[X] </tex> и <tex> G[Y] </tex> называются '''торцевыми графами''' этого бонда. Из приведенного определения следует, что бонд <tex> J(X, Y) </tex> должен быть непустым множеством. Если граф <tex> G </tex> несвязен, то его '''бонд''' определим как бонд какой-либо его компоненты. Заметим, что всякий перешеек графа образует однореберный бонд. Торцевые графы перешейка являются торцевыми графами соответствующего бонда.
}}

{{Определение
|definition=
'''Гамильтоновым бондом''' называется бонд графа <tex> G </tex>, торцевыми графами которого являются деревья, т.е. бонд, состоящий из <tex> p_1(G) + 1 </tex> ребер.
}}

== Теорема Гринберга ==
{{Теорема
|about=Гринберг
|statement=
Пусть связный граф <tex> G </tex> имеет гамильтонов бонд <tex> H </tex> с торцевыми графами <tex> X </tex> и <tex> Y </tex>. Пусть <tex> f_n^{X} </tex> и <tex> f_n^{Y} </tex> {{---}} число и вершин в графов <tex> X </tex> и <tex> Y </tex> соответственно, имеющих в <tex> G </tex> валентность <tex> n ~ (n = 1, ~ 2, ~ 3, ~ \ldots) </tex>. Тогда:
<center> <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} (n - 2) (f_n^{X} - f_n^{Y}) = 0 </tex>. '''(1)''' </center>
|proof=
Используя теорему '''1.37''', находим, что:
<center> <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} f_n^{X} = |E(X)| + 1 </tex>. '''(2)''' </center>
Ясно также, что:
<center> <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} n f_n^{X} = |E(H)| + 2|E(X)| </tex>. '''(3)''' </center>
Поэтому:
<center> <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} (n - 2) f_n^{X} = |E(H)| - 2 </tex>. '''(4)''' </center>
Аналогичную формулу получаем для графа <tex> Y </tex>. Вычитая ее из '''(4)''', приходим к '''(1)'''.
}}

== Использование теоремы ==
Теорему Гринберга можно иногда использовать для доказательства отсутствия гамильтонова бонда в графе. Пусть, например, все вершины связного графа <tex> G </tex>, кроме одной, имеют валентности, сравнимые с 2 по модулю 3. Тогда левая часть формулы '''(1)''' не делится на 3 и, следовательно, гамильтонова бонда в графе <tex> G </tex> не существует. Рисунок '''1''' иллюстрирует этот простой пример.
[[Файл: Гамильтонов_бонд.png|300px|thumb|center|Рис. 1]]

== См. также ==
[[Гамильтоновы графы]]

== Источники информации ==
* У. Татт. Теория графов. М.: "Мир", 1988. с. 304. ISBN 5-03-001001-7

[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория:Обходы графов]]
[[Категория:Гамильтоновы графы]]

Теорема Гринберга

2016-01-28T17:46:05Z

Da1s111:

== Базовые определения и теоремы ==
{{Определение
|definition=
'''Цикломатическое число''' графа <tex> G </tex> обозначается через <tex> p_1(G) </tex> и определяется с помощью следующего соотношения:
<center> <tex> p_1(G) = |E(G)| - |V(G)| + p_0(G) </tex>. '''(1.6.1)'''</center>
Это число называют также '''числом Бетти''' размерности 1.
}}

{{Теорема
|about=1.35
|statement=
Цикломатическое число графа <tex> G </tex> неотрицательно. Оно равно нулю тогда и только тогда, когда <tex> G </tex> {{---}} лес.
|proof=
Предположим сначала, что в <tex> G </tex> нет ребер. Тогда <tex> p_1(G) = 0 </tex> (в силу соотношения '''1.6.1''' и теоремы '''1.20'''). Очевидно, что "безреберный" граф является лесом.
Далее предположим, что граф <tex> G </tex> есть лес и в нем содержится хотя бы одно ребро. Удаляем из <tex> G </tex> ребра до тех пор, пока не получим безреберного графа <tex> H </tex>. При удалении каждого ребра цикломатическое число не меняется (см. теоремы '''1.32''' и '''1.34'''). Следовательно, <tex> p_1(G) = p_1(H) = 0 </tex>.
Наконец, рассмотрим случай, когда граф <tex> G </tex> не является лесом. Тогда в <tex> G </tex> содержится ребро <tex> A </tex>, не являющееся перешейком. Удаляя его из <tex> G </tex>, мы уменьшим цикломатическое число на 1 (см. теорему '''1.34'''). Если результирующий граф не будет лесом, то процесс удаления ребра повторяем. После нескольких таких шагов (обозначим их число через <tex> n </tex>) мы получим лес <tex> F </tex>. Очевидно, что <tex> n </tex> {{---}} положительное число, и мы имеем <tex> p_1(G) = n + p_1(F) = n > 0 </tex>.
}}

{{Теорема
|about=1.37
|statement=
Если <tex> T </tex> {{---}} дерево, то <tex> |V(T)| = |E(T)| + 1 </tex>
|proof=
Имеем <tex> p_0(T) = 1 </tex>. По теореме '''1.35''': <tex> p_1(T) = 0 </tex>. Остается применить соотношение '''1.6.1'''
}}

{{Определение
|definition=
Если граф <tex> G </tex> и порожденные подграфы <tex> G[X] </tex> и <tex> G[Y] </tex> связны, то множество <tex> J(X, Y) </tex> называется '''бондом''' графа <tex> G </tex>. Подграфы <tex> G[X] </tex> и <tex> G[Y] </tex> называются '''торцевыми графами''' этого бонда. Из приведенного определения следует, что бонд <tex> J(X, Y) </tex> должен быть непустым множеством. Если граф <tex> G </tex> несвязен, то его '''бонд''' определим как бонд какой-либо его компоненты. Заметим, что всякий перешеек графа образует однореберный бонд. Торцевые графы перешейка являются торцевыми графами соответствующего бонда.
}}

{{Определение
|definition=
'''Гамильтоновым бондом''' называется бонд графа <tex> G </tex>, торцевыми графами которого являются деревья, т.е. бонд, состоящий из <tex> p_1(G) + 1 </tex> ребер.
}}

== Теорема Гринберга ==
{{Теорема
|about=Гринберг
|statement=
Пусть связный граф <tex> G </tex> имеет гамильтонов бонд <tex> H </tex> с торцевыми графами <tex> X </tex> и <tex> Y </tex>. Пусть <tex> f_n^{X} </tex> и <tex> f_n^{Y} </tex> {{---}} числои вершин в графов <tex> X </tex> и <tex> Y </tex> соответственно, имеющих в <tex> G </tex> валентность <tex> n ~ (n = 1, ~ 2, ~ 3, ~ \ldots) </tex>. Тогда:
<center> <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} (n - 2) (f_n^{X} - f_n^{Y}) = 0 </tex>. '''(1)''' </center>
|proof=
Используя теорему '''1.37''', находим, что:
<center> <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} f_n^{X} = |E(X)| + 1 </tex>. '''(2)''' </center>
Ясно также, что:
<center> <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} n f_n^{X} = |E(H)| + 2|E(X)| </tex>. '''(3)''' </center>
Поэтому:
<center> <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} (n - 2) f_n^{X} = |E(H)| - 2 </tex>. '''(4)''' </center>
Аналогичную формулу получаем для графа <tex> Y </tex>. Вычитая ее из '''(4)''', приходим к '''(1)'''.
}}

== Использование теоремы ==
Теорему Гринберга можно иногда использовать для доказательства отсутствия гамильтонова бонда в графе. Пусть, например, все вершины связного графа <tex> G </tex>, кроме одной, имеют валентности, сравнимые с 2 по модулю 3. Тогда левая часть формулы '''(1)''' не делится на 3 и, следовательно, гамильтонова бонда в графе <tex> G </tex> не существует. Рисунок '''1''' иллюстрирует этот простой пример.
[[Файл: Гамильтонов_бонд.png|300px|thumb|center|Рис. 1]]

== См. также ==
[[Гамильтоновы графы]]

== Источники информации ==
* У. Татт. Теория графов. М.: "Мир", 1988. с. 304. ISBN 5-03-001001-7

[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория:Обходы графов]]
[[Категория:Гамильтоновы графы]]

Файл:Гамильтонов бонд.png

2016-01-28T17:40:06Z

Da1s111: Пример док-ва отсутствия гамильтонова бонда в графе.

Пример док-ва отсутствия гамильтонова бонда в графе.

Теорема Гринберга

2016-01-28T17:29:20Z

Da1s111:

== Базовые определения и теоремы ==
{{Определение
|definition=
'''Цикломатическое число''' графа <tex> G </tex> обозначается через <tex> p_1(G) </tex> и определяется с помощью следующего соотношения:
<center> <tex> p_1(G) = |E(G)| - |V(G)| + p_0(G) </tex>. '''(1.6.1)'''</center>
Это число называют также числом Бетти размерности 1.
}}

{{Теорема
|about=1.35
|statement=
Цикломатическое число графа <tex> G </tex> неотрицательно. Оно равно нулю тогда и только тогда, когда <tex> G </tex> {{---}} лес.
|proof=
Предположим сначала, что в <tex> G </tex> нет ребер. Тогда <tex> p_1(G) = 0 </tex> (в силу соотношения '''1.6.1''' и теоремы '''1.20'''). Очевидно, что "безреберный" граф является лесом.
Далее предположим, что граф <tex> G </tex> есть лес и в нем содержится хотя бы одно ребро. Удаляем из <tex> G </tex> рбра до тех пор, пока не получим безреберного графа <tex> H </tex>. При удалении каждого ребра цикломатическое число не меняется (см. теоремы '''1.32''' и '''1.34'''). Следовательно, <tex> p_1(G) = p_1(H) = 0 </tex>.
Наконец, рассмотрим случай, когда граф <tex> G </tex> не является лесом. Тогда в <tex> G </tex> содержится ребро <tex> A </tex>, не являющееся перешейком. Удаляя его из <tex> G </tex>, мы уменьшим цикломатическое число на 1 (см. теорему '''1.34'''). Если результирующий граф не будет лесом, то процесс удаления ребра повторяем. После нескольких таких шагов (обозначим их число через <tex> n </tex>) мы получим лес <tex> F </tex>. Очевидно, что <tex> n </tex> {{---}} положительное число, и мы имеем <tex> p_1(G) = n + p_1(F) = n > 0 </tex>.
}}

{{Теорема
|about=1.37
|statement=
Если <tex> T </tex> {{---}} дерево, то <tex> |V(T)| = |E(T)| + 1 </tex>
|proof=
Имеем <tex> p_0(T) = 1 </tex>. По теореме '''1.35''': <tex> p_1(T) = 0 </tex>. Остается применить соотношение '''1.6.1'''
}}

{{Определение
|definition=
Если граф <tex> G </tex> и порожденные подграфы <tex> G[X] </tex> и <tex> G[Y] </tex> связны, то множество <tex> J(X, Y) </tex> называется '''бондом''' графа <tex> G </tex>. Подграфы <tex> G[X] </tex> и <tex> G[Y] </tex> называются '''торцевыми графами''' этого бонда. Из приведенного определения следует, что бонд <tex> J(X, Y) </tex> должен быть непустым множеством. Если граф <tex> G </tex> несвязен, то его '''бонд''' определим как бонд какой-либо его компоненты. Заметим, что всякий перешеек графа образует однореберный бонд. Торцевые графы перешейка являются торцевыми графами соответствующего бонда.
}}

{{Определение
|definition=
'''Гамильтоновым бондом''' называется бонд графа <tex> G </tex>, торцевыми графами которого являются деревья, т.е. бонд, состоящий из <tex> p_1(G) + 1 </tex> ребер.
}}

== Теорема Гринберга ==
{{Теорема
|about=Гринберг
|statement=
Пусть связный граф <tex> G </tex> имеет гамильтонов бонд <tex> H </tex> с торцевыми графами <tex> X </tex> и <tex> Y </tex>. Пусть <tex> f_n^{X} </tex> и <tex> f_n^{Y} </tex> {{---}} числои вершин в графов <tex> X </tex> и <tex> Y </tex> соответственно, имеющих в <tex> G </tex> валентность <tex> n ~ (n = 1, ~ 2, ~ 3, ~ \ldots) </tex>. Тогда:
<center> <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} (n - 2) (f_n^{X} - f_n^{Y}) = 0 </tex>. '''(1)''' </center>
|proof=
Используя теорему '''1.37''', находим, что:
<center> <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} f_n^{X} = |E(X)| + 1 </tex>. '''(2)''' </center>
Ясно также, что:
<center> <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} n f_n^{X} = |E(H)| + 2|E(X)| </tex>. '''(3)''' </center>
Поэтому:
<center> <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} (n - 2) f_n^{X} = |E(H)| - 2 </tex>. '''(4)''' </center>
Аналогичную формулу получаем для графа <tex> Y </tex>. Вычитая ее из '''(4)''', приходим к '''(1)'''.
}}

== См. также ==
[[Гамильтоновы графы]]

== Источники информации ==
* У. Татт. Теория графов. М.: "Мир", 1988. с. 304. ISBN 5-03-001001-7

[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория:Обходы графов]]
[[Категория:Гамильтоновы графы]]

Венгерский алгоритм решения задачи о назначениях

2016-01-27T19:17:41Z

Da1s111: /* Время работы */

'''''Венгерский алгоритм''''' (англ. ''Hungarian algorithm'') — алгоритм, решающий задачу о назначениях за полиномиальное время. Оригинальная версия была придумана и разработана Х. Куном в 1955 году и имела асимптотику <tex> O(n^4) </tex>, но позже Эдмонс и Карп (а также, независимо от них, Томидзава) показали, что можно улучшить ее до <tex> O(n^3) </tex>.
{{Задача
|definition = Пусть дан [[Основные определения теории графов|взвешенный полный двудольный граф]] c целыми весами ребер <tex> K_{n, n} </tex>, нужно найти в нем [[Паросочетания: основные определения, теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях|полное паросочетание минимального веса]]. Вес паросочетания определяется как сумма весов его ребер. Далее будем обозначать левую и правую доли графа за <tex> X </tex> и <tex> Y </tex> соответственно, вес ребра <tex> xy </tex> — как <tex> c(xy) </tex>.
}}

== Вспомогательные леммы ==

{{Лемма
|statement=
Если веса всех ребер графа, инцидентных какой-либо вершине, изменить (увеличить или уменьшить) на одно и то же число, то в новом графе оптимальное паросочетание будет состоять из тех же ребер, что и в старом.
|proof=
Полное паросочетание для каждой вершины содержит ровно одно ребро, инцидентное этой вершине. Указанная операция изменит на одно и то же число вес любого паросочетания. Значит, ребро, которое принадлежало оптимальному паросочетанию в старом графе, в новом графе тоже будет ему принадлежать.
}}

Далее будем рассматривать только графы с неотрицательной весовой функцией, так как, согласно этой лемме, задачу о назначениях на остальных графах можно свести к задаче о назначениях на них.

{{Лемма
|statement=
Выделим в множествах <tex>X</tex> и <tex>Y</tex> подмножества <tex>X', Y'</tex>. Пусть <tex>d = \min \{c(xy) \mid x \in X \setminus X', y \in Y'\}</tex>. Прибавим <tex> d </tex> ко всем весам ребер, инцидентных вершинам из <tex>X'</tex>. Затем отнимем <tex> d </tex> от всех весов ребер, инцидентных вершинам из <tex>Y'</tex> (далее для краткости эта операция обозначается как <tex> X' \uparrow\downarrow Y' </tex>). Тогда:
# Веса всех ребер графа останутся неотрицательными.
# Веса ребер вида <tex>xy</tex>, где <tex>x \in X', y \in Y'</tex> или <tex>x \in X \backslash X', y \in Y \backslash Y'</tex>, не изменятся.
|proof=
Рассмотрим матрицу весов графа. Не умаляя общности, можно сказать, что множества <tex> X' </tex> и <tex> Y' </tex> состоят из первых элементов множеств <tex> X </tex> и <tex> Y </tex> соответственно (мы упорядочиваем множества по номерам вершин). Тогда вся матрица делится на 4 блока:

<table border = '1' bordercolor = 'black' rules = 'all' cellpadding = '5'>
<tr>
<td> </td>
<td> <tex> Y' </tex> </td>
<td> <tex> Y \backslash Y' </tex> </td>
</tr>
<tr>
<td> <tex> X' </tex> </td>
<td> <tex> A + d - d </tex> </td>
<td> <tex> C + d </tex> </td>
</tr>
<tr>
<td> <tex> X \backslash X' </tex> </td>
<td> <tex> B - d </tex> </td>
<td> <tex> D </tex> </td>
</tr>
</table>

Веса группы <tex> A </tex> будут сначала увеличены, а потом уменьшены на <tex> d </tex>, поэтому они не изменятся, веса группы <tex> D </tex> вообще изменяться не будут. Все веса группы <tex> B </tex> будут уменьшены на <tex> d </tex>, но <tex> d </tex> — минимум среди этих весов, поэтому они останутся неотрицательными.

}}

{{Лемма
|statement=
Если веса всех ребер графа неотрицательны и некоторое полное паросочетание состоит из ребер нулевого веса, то оно является оптимальным.
|proof=
Действительно, паросочетание с какими-то другими весами ребер имеет больший вес и оптимальным не является.
}}

== Общий метод ==

Доказанные ранее утверждения позволяют придумать схему алгоритма, решающего задачу о назначениях: нужно найти полное паросочетание из ребер нулевого веса в графе, полученном из исходного преобразованиями, описанными в первых двух леммах.

Алгоритм, решающий задачу, работает с графом, как с матрицей весов.

* Вычитаем из каждой строки значение ее минимального элемента. Теперь в каждой строке есть хотя бы один нулевой элемент.
* Вычитаем из каждого столбца значение его минимального элемента. Теперь в каждом столбце есть хотя бы один нулевой элемент.
* Ищем в текущем графе полное паросочетание из ребер нулевого веса:
** Если оно найдено, то желаемый результат достигнут, алгоритм закончен.
** В противном случае, покроем нули матрицы весов минимальным количеством строк и столбцов (это не что иное, как [[Связь максимального паросочетания и минимального вершинного покрытия в двудольных графах|нахождение минимального вершинного покрытия в двудольном графе]]). Пусть <tex> X_c </tex> и <tex> Y_c </tex> — множества вершин минимального вершинного покрытия из левой и правой долей (то есть, строк и столбцов) соответственно, тогда применим преобразование <tex> X_c \uparrow\downarrow (Y \setminus Y_c) </tex>. Для этого преобразования <tex> d </tex> будет минимумом по всем ребрам между <tex> X \setminus X_c </tex> и <tex> Y \setminus Y_c </tex>, то есть, ребер нулевого веса здесь нет, поэтому, после его выполнения в матрице весов появится новый нуль. После этого перейдем к шагу 1.

== Анализ времени работы ==

[[Алгоритм Форда-Фалкерсона для поиска максимального паросочетания|Поиск максимального паросочетания]] или [[Связь максимального паросочетания и минимального вершинного покрытия в двудольных графах|минимального вершинного покрытия]] в двудольном графе совершается за <tex> O(n^3) </tex> операций. При каждом повторении шагов 1-4 в матрице весов появляется новый нуль. Этот нуль соответствует некоторому новому ребру между вершинами из множеств <tex> X \setminus X_c </tex> и <tex> Y \setminus Y_c </tex>. Всего в графе <tex> n^2 </tex> ребер, значит, всего будет совершено не более <tex> O(n^2) </tex> итераций внешнего цикла. Поэтому, верхняя оценка времени работы данного метода — <tex> O(n^5) </tex>. Более точная оценка довольно сложна и зависит от порядка чисел в матрице весов графа.

== Алгоритм за <tex> O(n^3) </tex> ==

=== Общая идея ===
Будем добавлять в рассмотрение строки матрицы одну за одной, а не рассматривать их все сразу.

=== Описание алгоритма ===
* Начало
* '''Шаг 0.''' Введем ''следующее понятие'':
: Назовём потенциалом два произвольных массива чисел <tex> u[1 \ldots n] </tex> и <tex> v[1 \ldots n] </tex> таких, что выполняется условие:
<center> <tex> u[i] + v[j] \leqslant a[i][j] ~ (i = 1 \ldots n)</tex>, где <tex> a </tex> {{---}} заданная матрица </center>
* '''Шаг 1.''' Добавляем в рассмотрение очередную строку матрицы <tex> a. </tex>
* '''Шаг 2.''' Пока нет увеличивающей цепи, начинающейся в этой строке, пересчитываем потенциал.
* '''Шаг 3.''' Как только появляется увеличивающая цепь, чередуем паросочетание вдоль неё (включая тем самым последнюю строку в паросочетание), и переходим к началу (к рассмотрению следующей строки).
* Конец

=== Ключевые идеи ===
* Для проверки наличия увеличивающей цепочки нет необходимости запускать обход Куна заново после каждого пересчёта потенциала. Вместо этого можно оформить [[Алгоритм Куна для поиска максимального паросочетания|обход Куна]] в итеративном виде: после каждого пересчёта потенциала мы просматриваем добавившиеся жёсткие рёбра и, если их левые концы были достижимыми, помечаем их правые концы также как достижимые и продолжаем обход из них.
* Развивая эту идею дальше, можно прийти к такому представлению алгоритма: это цикл, на каждом шаге которого сначала пересчитывается потенциал, затем находится столбец, ставший достижимым (а таковой всегда найдётся, поскольку после пересчёта потенциала всегда появляются новые достижимые вершины), и если этот столбец был ненасыщен, то найдена увеличивающая цепь, а если столбец был насыщен — то соответствующая ему в паросочетании строка также становится достижимой.
* Теперь алгоритм принимает вид: цикл добавления столбцов, на каждом из которых сначала пересчитывается потенциал, а затем какой-то новый столбец помечается как достижимый.
* Чтобы быстро пересчитывать потенциал (быстрее, чем наивный вариант за <tex> O(n^2) </tex>), надо поддерживать вспомогательные минимумы по каждому из столбцов <tex> j </tex>.

=== Реализация ===

<tex> \mathtt{a[1 \dots n][1 \dots m]} </tex> {{---}} прямоугольная входная матрица, где <tex> \mathtt{n \leqslant m} </tex>. Матрица хранится в 1-индексации.

<tex> \mathtt{u[0 \dots n], ~ v[0 \dots n]} </tex> {{---}} потенциал.

<tex> \mathtt{p[0 \dots m]} </tex> {{---}} массив паросочетания. Для каждого стобца <tex> \mathtt{i = 0 \dots m} </tex> он хранит номер соответствующей выбранной строки <tex> \mathtt{p[i]} </tex> (или <tex> \mathtt{0} </tex>, если ничего не выбрано). Полагаем, что <tex> \mathtt{p[0]} </tex> равно номеру рассматриваемой строки.

<tex> \mathtt{minv[1 \dots m]} </tex> {{---}} массив, хранящий для каждого столбца <tex> \mathtt{j} </tex> вспомогательные минимумы, необходимые для быстрого пересчета потенциала.

<tex> \mathtt{minv[j] = \min\limits_{i \in Z_1}(a[i][j] - u[i] - v[j])} </tex>, где <tex> \mathtt{Z_1} </tex> {{---}} множество вершин первой доли, которые были посещены обходом [[Алгоритм Куна для поиска максимального паросочетания|алгоритма Куна]] при попытке поиска увеличивающей цепи.

<tex> \mathtt{way[1 \dots m]} </tex> {{---}} массив, содержащий информацию о том, где эти минимумы достигаются, чтобы мы могли впоследствии восстановить [[Паросочетания: основные определения, теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях|увеличивающую цепочку]].

'''function''' hungarianAlgorithm(a):
'''for''' i = 1 '''to''' n <font color=darkgreen>// рассматриваем строки матрицы ''a'' </font>
p[0] = i <font color=darkgreen>// для удобства реализации </font>
j0 = 0 <font color=darkgreen>// свободный столбец </font>
заполняем массивы ''minv'' {{---}} <tex> \infty </tex>, ''used'' {{---}} ''false''
'''while''' ''true'' <font color=darkgreen>// ищем свободный столбец </font>
used[j0] = ''true'', i0 = p[j0] <font color=darkgreen>// помечаем посещенными столбец ''j0'' и строку ''i0'' </font>
пересчитываем массив ''minv'', находим в нем минимум ''<tex> \delta </tex>'' (изначально ''<tex> \infty </tex>'') и столбец ''j1'', в котором он достигнут
'''for''' j = 0 '''to''' m <font color=darkgreen>// производим пересчет потенциала ''u'' и ''v'', соответствующее изменение ''minv'' </font>
'''if''' used[j]
u[p[j]] += <tex> \delta </tex>
v[j] -= <tex> \delta </tex>
'''else'''
minv[j] -= <tex> \delta </tex>
если нашли свободный столбец {{---}} выходим из цикла
ищем увеличивающуюся цепочку, пользуясь массивом предков ''way''

=== Время работы ===
Оценим время работы алгоритма. Во внешнем цикле мы добавляем в рассмотрение строки матрицы одну за другой. Каждая строка обрабатывается за время <tex> O(n^2) </tex>, поскольку при этом могло происходить лишь <tex> O(n) </tex> пересчётов потенциала (каждый — за время <tex> O(n) </tex>), для чего за время <tex> O(n^2) </tex> поддерживается массив <tex> minv </tex>; [[Алгоритм Куна для поиска максимального паросочетания|алгоритм Куна]] суммарно отработает за время <tex> O(n^2) </tex> (поскольку он представлен в форме <tex> O(n) </tex> итераций, на каждой из которых посещается новый столбец).

Итоговая асимптотика составляет <tex> O(n^3) </tex>.

== См. также ==
* [[Алгоритм Куна для поиска максимального паросочетания]]
* [[Связь максимального паросочетания и минимального вершинного покрытия в двудольных графах]]

== Источники информации ==
* Асанов М., Баранский В., Расин В. — Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы — 2010, 368 стр.
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/Венгерский_алгоритм Венгерский алготитм в Википедии]
* [http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/graph-flow-match/hungarian-2002 Визуализатор алгоритма]
* [http://acm.mipt.ru/twiki/bin/view/Algorithms/HungarianAlgorithmCPP?sortcol=5&table=2&up=0 Реализация венгерского алгоритма на C++]
* [http://e-maxx.ru/algo/assignment_hungary Венгерский алгоритм решения задачи о назначениях]

[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Задача о потоке минимальной стоимости]]

Венгерский алгоритм решения задачи о назначениях

2016-01-27T19:10:14Z

Da1s111: /* Описание алгоритма */

'''''Венгерский алгоритм''''' (англ. ''Hungarian algorithm'') — алгоритм, решающий задачу о назначениях за полиномиальное время. Оригинальная версия была придумана и разработана Х. Куном в 1955 году и имела асимптотику <tex> O(n^4) </tex>, но позже Эдмонс и Карп (а также, независимо от них, Томидзава) показали, что можно улучшить ее до <tex> O(n^3) </tex>.
{{Задача
|definition = Пусть дан [[Основные определения теории графов|взвешенный полный двудольный граф]] c целыми весами ребер <tex> K_{n, n} </tex>, нужно найти в нем [[Паросочетания: основные определения, теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях|полное паросочетание минимального веса]]. Вес паросочетания определяется как сумма весов его ребер. Далее будем обозначать левую и правую доли графа за <tex> X </tex> и <tex> Y </tex> соответственно, вес ребра <tex> xy </tex> — как <tex> c(xy) </tex>.
}}

== Вспомогательные леммы ==

{{Лемма
|statement=
Если веса всех ребер графа, инцидентных какой-либо вершине, изменить (увеличить или уменьшить) на одно и то же число, то в новом графе оптимальное паросочетание будет состоять из тех же ребер, что и в старом.
|proof=
Полное паросочетание для каждой вершины содержит ровно одно ребро, инцидентное этой вершине. Указанная операция изменит на одно и то же число вес любого паросочетания. Значит, ребро, которое принадлежало оптимальному паросочетанию в старом графе, в новом графе тоже будет ему принадлежать.
}}

Далее будем рассматривать только графы с неотрицательной весовой функцией, так как, согласно этой лемме, задачу о назначениях на остальных графах можно свести к задаче о назначениях на них.

{{Лемма
|statement=
Выделим в множествах <tex>X</tex> и <tex>Y</tex> подмножества <tex>X', Y'</tex>. Пусть <tex>d = \min \{c(xy) \mid x \in X \setminus X', y \in Y'\}</tex>. Прибавим <tex> d </tex> ко всем весам ребер, инцидентных вершинам из <tex>X'</tex>. Затем отнимем <tex> d </tex> от всех весов ребер, инцидентных вершинам из <tex>Y'</tex> (далее для краткости эта операция обозначается как <tex> X' \uparrow\downarrow Y' </tex>). Тогда:
# Веса всех ребер графа останутся неотрицательными.
# Веса ребер вида <tex>xy</tex>, где <tex>x \in X', y \in Y'</tex> или <tex>x \in X \backslash X', y \in Y \backslash Y'</tex>, не изменятся.
|proof=
Рассмотрим матрицу весов графа. Не умаляя общности, можно сказать, что множества <tex> X' </tex> и <tex> Y' </tex> состоят из первых элементов множеств <tex> X </tex> и <tex> Y </tex> соответственно (мы упорядочиваем множества по номерам вершин). Тогда вся матрица делится на 4 блока:

<table border = '1' bordercolor = 'black' rules = 'all' cellpadding = '5'>
<tr>
<td> </td>
<td> <tex> Y' </tex> </td>
<td> <tex> Y \backslash Y' </tex> </td>
</tr>
<tr>
<td> <tex> X' </tex> </td>
<td> <tex> A + d - d </tex> </td>
<td> <tex> C + d </tex> </td>
</tr>
<tr>
<td> <tex> X \backslash X' </tex> </td>
<td> <tex> B - d </tex> </td>
<td> <tex> D </tex> </td>
</tr>
</table>

Веса группы <tex> A </tex> будут сначала увеличены, а потом уменьшены на <tex> d </tex>, поэтому они не изменятся, веса группы <tex> D </tex> вообще изменяться не будут. Все веса группы <tex> B </tex> будут уменьшены на <tex> d </tex>, но <tex> d </tex> — минимум среди этих весов, поэтому они останутся неотрицательными.

}}

{{Лемма
|statement=
Если веса всех ребер графа неотрицательны и некоторое полное паросочетание состоит из ребер нулевого веса, то оно является оптимальным.
|proof=
Действительно, паросочетание с какими-то другими весами ребер имеет больший вес и оптимальным не является.
}}

== Общий метод ==

Доказанные ранее утверждения позволяют придумать схему алгоритма, решающего задачу о назначениях: нужно найти полное паросочетание из ребер нулевого веса в графе, полученном из исходного преобразованиями, описанными в первых двух леммах.

Алгоритм, решающий задачу, работает с графом, как с матрицей весов.

* Вычитаем из каждой строки значение ее минимального элемента. Теперь в каждой строке есть хотя бы один нулевой элемент.
* Вычитаем из каждого столбца значение его минимального элемента. Теперь в каждом столбце есть хотя бы один нулевой элемент.
* Ищем в текущем графе полное паросочетание из ребер нулевого веса:
** Если оно найдено, то желаемый результат достигнут, алгоритм закончен.
** В противном случае, покроем нули матрицы весов минимальным количеством строк и столбцов (это не что иное, как [[Связь максимального паросочетания и минимального вершинного покрытия в двудольных графах|нахождение минимального вершинного покрытия в двудольном графе]]). Пусть <tex> X_c </tex> и <tex> Y_c </tex> — множества вершин минимального вершинного покрытия из левой и правой долей (то есть, строк и столбцов) соответственно, тогда применим преобразование <tex> X_c \uparrow\downarrow (Y \setminus Y_c) </tex>. Для этого преобразования <tex> d </tex> будет минимумом по всем ребрам между <tex> X \setminus X_c </tex> и <tex> Y \setminus Y_c </tex>, то есть, ребер нулевого веса здесь нет, поэтому, после его выполнения в матрице весов появится новый нуль. После этого перейдем к шагу 1.

== Анализ времени работы ==

[[Алгоритм Форда-Фалкерсона для поиска максимального паросочетания|Поиск максимального паросочетания]] или [[Связь максимального паросочетания и минимального вершинного покрытия в двудольных графах|минимального вершинного покрытия]] в двудольном графе совершается за <tex> O(n^3) </tex> операций. При каждом повторении шагов 1-4 в матрице весов появляется новый нуль. Этот нуль соответствует некоторому новому ребру между вершинами из множеств <tex> X \setminus X_c </tex> и <tex> Y \setminus Y_c </tex>. Всего в графе <tex> n^2 </tex> ребер, значит, всего будет совершено не более <tex> O(n^2) </tex> итераций внешнего цикла. Поэтому, верхняя оценка времени работы данного метода — <tex> O(n^5) </tex>. Более точная оценка довольно сложна и зависит от порядка чисел в матрице весов графа.

== Алгоритм за <tex> O(n^3) </tex> ==

=== Общая идея ===
Будем добавлять в рассмотрение строки матрицы одну за одной, а не рассматривать их все сразу.

=== Описание алгоритма ===
* Начало
* '''Шаг 0.''' Введем ''следующее понятие'':
: Назовём потенциалом два произвольных массива чисел <tex> u[1 \ldots n] </tex> и <tex> v[1 \ldots n] </tex> таких, что выполняется условие:
<center> <tex> u[i] + v[j] \leqslant a[i][j] ~ (i = 1 \ldots n)</tex>, где <tex> a </tex> {{---}} заданная матрица </center>
* '''Шаг 1.''' Добавляем в рассмотрение очередную строку матрицы <tex> a. </tex>
* '''Шаг 2.''' Пока нет увеличивающей цепи, начинающейся в этой строке, пересчитываем потенциал.
* '''Шаг 3.''' Как только появляется увеличивающая цепь, чередуем паросочетание вдоль неё (включая тем самым последнюю строку в паросочетание), и переходим к началу (к рассмотрению следующей строки).
* Конец

=== Ключевые идеи ===
* Для проверки наличия увеличивающей цепочки нет необходимости запускать обход Куна заново после каждого пересчёта потенциала. Вместо этого можно оформить [[Алгоритм Куна для поиска максимального паросочетания|обход Куна]] в итеративном виде: после каждого пересчёта потенциала мы просматриваем добавившиеся жёсткие рёбра и, если их левые концы были достижимыми, помечаем их правые концы также как достижимые и продолжаем обход из них.
* Развивая эту идею дальше, можно прийти к такому представлению алгоритма: это цикл, на каждом шаге которого сначала пересчитывается потенциал, затем находится столбец, ставший достижимым (а таковой всегда найдётся, поскольку после пересчёта потенциала всегда появляются новые достижимые вершины), и если этот столбец был ненасыщен, то найдена увеличивающая цепь, а если столбец был насыщен — то соответствующая ему в паросочетании строка также становится достижимой.
* Теперь алгоритм принимает вид: цикл добавления столбцов, на каждом из которых сначала пересчитывается потенциал, а затем какой-то новый столбец помечается как достижимый.
* Чтобы быстро пересчитывать потенциал (быстрее, чем наивный вариант за <tex> O(n^2) </tex>), надо поддерживать вспомогательные минимумы по каждому из столбцов <tex> j </tex>.

=== Реализация ===

<tex> \mathtt{a[1 \dots n][1 \dots m]} </tex> {{---}} прямоугольная входная матрица, где <tex> \mathtt{n \leqslant m} </tex>. Матрица хранится в 1-индексации.

<tex> \mathtt{u[0 \dots n], ~ v[0 \dots n]} </tex> {{---}} потенциал.

<tex> \mathtt{p[0 \dots m]} </tex> {{---}} массив паросочетания. Для каждого стобца <tex> \mathtt{i = 0 \dots m} </tex> он хранит номер соответствующей выбранной строки <tex> \mathtt{p[i]} </tex> (или <tex> \mathtt{0} </tex>, если ничего не выбрано). Полагаем, что <tex> \mathtt{p[0]} </tex> равно номеру рассматриваемой строки.

<tex> \mathtt{minv[1 \dots m]} </tex> {{---}} массив, хранящий для каждого столбца <tex> \mathtt{j} </tex> вспомогательные минимумы, необходимые для быстрого пересчета потенциала.

<tex> \mathtt{minv[j] = \min\limits_{i \in Z_1}(a[i][j] - u[i] - v[j])} </tex>, где <tex> \mathtt{Z_1} </tex> {{---}} множество вершин первой доли, которые были посещены обходом [[Алгоритм Куна для поиска максимального паросочетания|алгоритма Куна]] при попытке поиска увеличивающей цепи.

<tex> \mathtt{way[1 \dots m]} </tex> {{---}} массив, содержащий информацию о том, где эти минимумы достигаются, чтобы мы могли впоследствии восстановить [[Паросочетания: основные определения, теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях|увеличивающую цепочку]].

'''function''' hungarianAlgorithm(a):
'''for''' i = 1 '''to''' n <font color=darkgreen>// рассматриваем строки матрицы ''a'' </font>
p[0] = i <font color=darkgreen>// для удобства реализации </font>
j0 = 0 <font color=darkgreen>// свободный столбец </font>
заполняем массивы ''minv'' {{---}} <tex> \infty </tex>, ''used'' {{---}} ''false''
'''while''' ''true'' <font color=darkgreen>// ищем свободный столбец </font>
used[j0] = ''true'', i0 = p[j0] <font color=darkgreen>// помечаем посещенными столбец ''j0'' и строку ''i0'' </font>
пересчитываем массив ''minv'', находим в нем минимум ''<tex> \delta </tex>'' (изначально ''<tex> \infty </tex>'') и столбец ''j1'', в котором он достигнут
'''for''' j = 0 '''to''' m <font color=darkgreen>// производим пересчет потенциала ''u'' и ''v'', соответствующее изменение ''minv'' </font>
'''if''' used[j]
u[p[j]] += <tex> \delta </tex>
v[j] -= <tex> \delta </tex>
'''else'''
minv[j] -= <tex> \delta </tex>
если нашли свободный столбец {{---}} выходим из цикла
ищем увеличивающуюся цепочку, пользуясь массивом предков ''way''

=== Время работы ===
Оценим время работы алгоритма. Во внешнем цикле мы добавляем в рассмотрение строки матрицы одну за другой. Каждая строка обрабатывается за время <tex> O(n^2) </tex>, поскольку при этом могло происходить лишь <tex> O(n) </tex> пересчётов потенциала (каждый — за время <tex> O(n) </tex>), для чего за время <tex> O(n^2) </tex> поддерживается массив <tex> \mathtt{minv} </tex>; [[Алгоритм Куна для поиска максимального паросочетания|алгоритм Куна]] суммарно отработает за время <tex> O(n^2) </tex> (поскольку он представлен в форме <tex> O(n) </tex> итераций, на каждой из которых посещается новый столбец).

Итоговая асимптотика составляет <tex> O(n^3) </tex>.

== См. также ==
* [[Алгоритм Куна для поиска максимального паросочетания]]
* [[Связь максимального паросочетания и минимального вершинного покрытия в двудольных графах]]

== Источники информации ==
* Асанов М., Баранский В., Расин В. — Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы — 2010, 368 стр.
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/Венгерский_алгоритм Венгерский алготитм в Википедии]
* [http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/graph-flow-match/hungarian-2002 Визуализатор алгоритма]
* [http://acm.mipt.ru/twiki/bin/view/Algorithms/HungarianAlgorithmCPP?sortcol=5&table=2&up=0 Реализация венгерского алгоритма на C++]
* [http://e-maxx.ru/algo/assignment_hungary Венгерский алгоритм решения задачи о назначениях]

[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Задача о потоке минимальной стоимости]]

Венгерский алгоритм решения задачи о назначениях

2016-01-27T18:56:35Z

Da1s111: /* Описание алгоритма */

'''''Венгерский алгоритм''''' (англ. ''Hungarian algorithm'') — алгоритм, решающий задачу о назначениях за полиномиальное время. Оригинальная версия была придумана и разработана Х. Куном в 1955 году и имела асимптотику <tex> O(n^4) </tex>, но позже Эдмонс и Карп (а также, независимо от них, Томидзава) показали, что можно улучшить ее до <tex> O(n^3) </tex>.
{{Задача
|definition = Пусть дан [[Основные определения теории графов|взвешенный полный двудольный граф]] c целыми весами ребер <tex> K_{n, n} </tex>, нужно найти в нем [[Паросочетания: основные определения, теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях|полное паросочетание минимального веса]]. Вес паросочетания определяется как сумма весов его ребер. Далее будем обозначать левую и правую доли графа за <tex> X </tex> и <tex> Y </tex> соответственно, вес ребра <tex> xy </tex> — как <tex> c(xy) </tex>.
}}

== Вспомогательные леммы ==

{{Лемма
|statement=
Если веса всех ребер графа, инцидентных какой-либо вершине, изменить (увеличить или уменьшить) на одно и то же число, то в новом графе оптимальное паросочетание будет состоять из тех же ребер, что и в старом.
|proof=
Полное паросочетание для каждой вершины содержит ровно одно ребро, инцидентное этой вершине. Указанная операция изменит на одно и то же число вес любого паросочетания. Значит, ребро, которое принадлежало оптимальному паросочетанию в старом графе, в новом графе тоже будет ему принадлежать.
}}

Далее будем рассматривать только графы с неотрицательной весовой функцией, так как, согласно этой лемме, задачу о назначениях на остальных графах можно свести к задаче о назначениях на них.

{{Лемма
|statement=
Выделим в множествах <tex>X</tex> и <tex>Y</tex> подмножества <tex>X', Y'</tex>. Пусть <tex>d = \min \{c(xy) \mid x \in X \setminus X', y \in Y'\}</tex>. Прибавим <tex> d </tex> ко всем весам ребер, инцидентных вершинам из <tex>X'</tex>. Затем отнимем <tex> d </tex> от всех весов ребер, инцидентных вершинам из <tex>Y'</tex> (далее для краткости эта операция обозначается как <tex> X' \uparrow\downarrow Y' </tex>). Тогда:
# Веса всех ребер графа останутся неотрицательными.
# Веса ребер вида <tex>xy</tex>, где <tex>x \in X', y \in Y'</tex> или <tex>x \in X \backslash X', y \in Y \backslash Y'</tex>, не изменятся.
|proof=
Рассмотрим матрицу весов графа. Не умаляя общности, можно сказать, что множества <tex> X' </tex> и <tex> Y' </tex> состоят из первых элементов множеств <tex> X </tex> и <tex> Y </tex> соответственно (мы упорядочиваем множества по номерам вершин). Тогда вся матрица делится на 4 блока:

<table border = '1' bordercolor = 'black' rules = 'all' cellpadding = '5'>
<tr>
<td> </td>
<td> <tex> Y' </tex> </td>
<td> <tex> Y \backslash Y' </tex> </td>
</tr>
<tr>
<td> <tex> X' </tex> </td>
<td> <tex> A + d - d </tex> </td>
<td> <tex> C + d </tex> </td>
</tr>
<tr>
<td> <tex> X \backslash X' </tex> </td>
<td> <tex> B - d </tex> </td>
<td> <tex> D </tex> </td>
</tr>
</table>

Веса группы <tex> A </tex> будут сначала увеличены, а потом уменьшены на <tex> d </tex>, поэтому они не изменятся, веса группы <tex> D </tex> вообще изменяться не будут. Все веса группы <tex> B </tex> будут уменьшены на <tex> d </tex>, но <tex> d </tex> — минимум среди этих весов, поэтому они останутся неотрицательными.

}}

{{Лемма
|statement=
Если веса всех ребер графа неотрицательны и некоторое полное паросочетание состоит из ребер нулевого веса, то оно является оптимальным.
|proof=
Действительно, паросочетание с какими-то другими весами ребер имеет больший вес и оптимальным не является.
}}

== Общий метод ==

Доказанные ранее утверждения позволяют придумать схему алгоритма, решающего задачу о назначениях: нужно найти полное паросочетание из ребер нулевого веса в графе, полученном из исходного преобразованиями, описанными в первых двух леммах.

Алгоритм, решающий задачу, работает с графом, как с матрицей весов.

* Вычитаем из каждой строки значение ее минимального элемента. Теперь в каждой строке есть хотя бы один нулевой элемент.
* Вычитаем из каждого столбца значение его минимального элемента. Теперь в каждом столбце есть хотя бы один нулевой элемент.
* Ищем в текущем графе полное паросочетание из ребер нулевого веса:
** Если оно найдено, то желаемый результат достигнут, алгоритм закончен.
** В противном случае, покроем нули матрицы весов минимальным количеством строк и столбцов (это не что иное, как [[Связь максимального паросочетания и минимального вершинного покрытия в двудольных графах|нахождение минимального вершинного покрытия в двудольном графе]]). Пусть <tex> X_c </tex> и <tex> Y_c </tex> — множества вершин минимального вершинного покрытия из левой и правой долей (то есть, строк и столбцов) соответственно, тогда применим преобразование <tex> X_c \uparrow\downarrow (Y \setminus Y_c) </tex>. Для этого преобразования <tex> d </tex> будет минимумом по всем ребрам между <tex> X \setminus X_c </tex> и <tex> Y \setminus Y_c </tex>, то есть, ребер нулевого веса здесь нет, поэтому, после его выполнения в матрице весов появится новый нуль. После этого перейдем к шагу 1.

== Анализ времени работы ==

[[Алгоритм Форда-Фалкерсона для поиска максимального паросочетания|Поиск максимального паросочетания]] или [[Связь максимального паросочетания и минимального вершинного покрытия в двудольных графах|минимального вершинного покрытия]] в двудольном графе совершается за <tex> O(n^3) </tex> операций. При каждом повторении шагов 1-4 в матрице весов появляется новый нуль. Этот нуль соответствует некоторому новому ребру между вершинами из множеств <tex> X \setminus X_c </tex> и <tex> Y \setminus Y_c </tex>. Всего в графе <tex> n^2 </tex> ребер, значит, всего будет совершено не более <tex> O(n^2) </tex> итераций внешнего цикла. Поэтому, верхняя оценка времени работы данного метода — <tex> O(n^5) </tex>. Более точная оценка довольно сложна и зависит от порядка чисел в матрице весов графа.

== Алгоритм за <tex> O(n^3) </tex> ==

=== Общая идея ===
Будем добавлять в рассмотрение строки матрицы одну за одной, а не рассматривать их все сразу.

=== Описание алгоритма ===
* Начало
* '''Шаг 0.''' Введем ''следующее понятие'':
**Назовём потенциалом два произвольных массива чисел <tex> u[1 \ldots n] </tex> и <tex> v[1 \ldots n] </tex> таких, что выполняется условие: <tex> u[i] + v[j] \leqslant a[i][j] ~ (i = 1 \ldots n)</tex>, где <tex> a </tex> {{---}} заданная матрица
* '''Шаг 1.''' Добавляем в рассмотрение очередную строку матрицы <tex> a </tex>
* '''Шаг 2.''' Пока нет увеличивающей цепи, начинающейся в этой строке, пересчитываем потенциал.
* '''Шаг 3.''' Как только появляется увеличивающая цепь, чередуем паросочетание вдоль неё (включая тем самым последнюю строку в паросочетание), и переходим к началу (к рассмотрению следующей строки).
* Конец

=== Реализация ===

<tex> \mathtt{a[1 \dots n][1 \dots m]} </tex> {{---}} прямоугольная входная матрица, где <tex> \mathtt{n \leqslant m} </tex>. Матрица хранится в 1-индексации.

<tex> \mathtt{u[0 \dots n], ~ v[0 \dots n]} </tex> {{---}} потенциал.

<tex> \mathtt{p[0 \dots m]} </tex> {{---}} массив паросочетания. Для каждого стобца <tex> \mathtt{i = 0 \dots m} </tex> он хранит номер соответствующей выбранной строки <tex> \mathtt{p[i]} </tex> (или <tex> \mathtt{0} </tex>, если ничего не выбрано). Полагаем, что <tex> \mathtt{p[0]} </tex> равно номеру рассматриваемой строки.

<tex> \mathtt{minv[1 \dots m]} </tex> {{---}} массив, хранящий для каждого столбца <tex> \mathtt{j} </tex> вспомогательные минимумы, необходимые для быстрого пересчета потенциала.

<tex> \mathtt{minv[j] = \min\limits_{i \in Z_1}(a[i][j] - u[i] - v[j])} </tex>, где <tex> \mathtt{Z_1} </tex> {{---}} множество вершин первой доли, которые были посещены обходом [[Алгоритм Куна для поиска максимального паросочетания|алгоритма Куна]] при попытке поиска увеличивающей цепи.

<tex> \mathtt{way[1 \dots m]} </tex> {{---}} массив, содержащий информацию о том, где эти минимумы достигаются, чтобы мы могли впоследствии восстановить [[Паросочетания: основные определения, теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях|увеличивающую цепочку]].

'''function''' hungarianAlgorithm(a):
'''for''' i = 1 '''to''' n <font color=darkgreen>// рассматриваем строки матрицы ''a'' </font>
p[0] = i <font color=darkgreen>// для удобства реализации </font>
j0 = 0 <font color=darkgreen>// свободный столбец </font>
заполняем массивы ''minv'' {{---}} <tex> \infty </tex>, ''used'' {{---}} ''false''
'''while''' ''true'' <font color=darkgreen>// ищем свободный столбец </font>
used[j0] = ''true'', i0 = p[j0] <font color=darkgreen>// помечаем посещенными столбец ''j0'' и строку ''i0'' </font>
пересчитываем массив ''minv'', находим в нем минимум ''<tex> \delta </tex>'' (изначально ''<tex> \infty </tex>'') и столбец ''j1'', в котором он достигнут
'''for''' j = 0 '''to''' m <font color=darkgreen>// производим пересчет потенциала ''u'' и ''v'', соответствующее изменение ''minv'' </font>
'''if''' used[j]
u[p[j]] += <tex> \delta </tex>
v[j] -= <tex> \delta </tex>
'''else'''
minv[j] -= <tex> \delta </tex>
если нашли свободный столбец {{---}} выходим из цикла
ищем увеличивающуюся цепочку, пользуясь массивом предков ''way''

=== Время работы ===
Оценим время работы алгоритма. Во внешнем цикле мы добавляем в рассмотрение строки матрицы одну за другой. Каждая строка обрабатывается за время <tex> O(n^2) </tex>, поскольку при этом могло происходить лишь <tex> O(n) </tex> пересчётов потенциала (каждый — за время <tex> O(n) </tex>), для чего за время <tex> O(n^2) </tex> поддерживается массив <tex> \mathtt{minv} </tex>; [[Алгоритм Куна для поиска максимального паросочетания|алгоритм Куна]] суммарно отработает за время <tex> O(n^2) </tex> (поскольку он представлен в форме <tex> O(n) </tex> итераций, на каждой из которых посещается новый столбец).

Итоговая асимптотика составляет <tex> O(n^3) </tex>.

== См. также ==
* [[Алгоритм Куна для поиска максимального паросочетания]]
* [[Связь максимального паросочетания и минимального вершинного покрытия в двудольных графах]]

== Источники информации ==
* Асанов М., Баранский В., Расин В. — Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы — 2010, 368 стр.
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/Венгерский_алгоритм Венгерский алготитм в Википедии]
* [http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/graph-flow-match/hungarian-2002 Визуализатор алгоритма]
* [http://acm.mipt.ru/twiki/bin/view/Algorithms/HungarianAlgorithmCPP?sortcol=5&table=2&up=0 Реализация венгерского алгоритма на C++]
* [http://e-maxx.ru/algo/assignment_hungary Венгерский алгоритм решения задачи о назначениях]

[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Задача о потоке минимальной стоимости]]

Венгерский алгоритм решения задачи о назначениях

2016-01-27T18:51:44Z

Da1s111: /* Общий метод */

'''''Венгерский алгоритм''''' (англ. ''Hungarian algorithm'') — алгоритм, решающий задачу о назначениях за полиномиальное время. Оригинальная версия была придумана и разработана Х. Куном в 1955 году и имела асимптотику <tex> O(n^4) </tex>, но позже Эдмонс и Карп (а также, независимо от них, Томидзава) показали, что можно улучшить ее до <tex> O(n^3) </tex>.
{{Задача
|definition = Пусть дан [[Основные определения теории графов|взвешенный полный двудольный граф]] c целыми весами ребер <tex> K_{n, n} </tex>, нужно найти в нем [[Паросочетания: основные определения, теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях|полное паросочетание минимального веса]]. Вес паросочетания определяется как сумма весов его ребер. Далее будем обозначать левую и правую доли графа за <tex> X </tex> и <tex> Y </tex> соответственно, вес ребра <tex> xy </tex> — как <tex> c(xy) </tex>.
}}

== Вспомогательные леммы ==

{{Лемма
|statement=
Если веса всех ребер графа, инцидентных какой-либо вершине, изменить (увеличить или уменьшить) на одно и то же число, то в новом графе оптимальное паросочетание будет состоять из тех же ребер, что и в старом.
|proof=
Полное паросочетание для каждой вершины содержит ровно одно ребро, инцидентное этой вершине. Указанная операция изменит на одно и то же число вес любого паросочетания. Значит, ребро, которое принадлежало оптимальному паросочетанию в старом графе, в новом графе тоже будет ему принадлежать.
}}

Далее будем рассматривать только графы с неотрицательной весовой функцией, так как, согласно этой лемме, задачу о назначениях на остальных графах можно свести к задаче о назначениях на них.

{{Лемма
|statement=
Выделим в множествах <tex>X</tex> и <tex>Y</tex> подмножества <tex>X', Y'</tex>. Пусть <tex>d = \min \{c(xy) \mid x \in X \setminus X', y \in Y'\}</tex>. Прибавим <tex> d </tex> ко всем весам ребер, инцидентных вершинам из <tex>X'</tex>. Затем отнимем <tex> d </tex> от всех весов ребер, инцидентных вершинам из <tex>Y'</tex> (далее для краткости эта операция обозначается как <tex> X' \uparrow\downarrow Y' </tex>). Тогда:
# Веса всех ребер графа останутся неотрицательными.
# Веса ребер вида <tex>xy</tex>, где <tex>x \in X', y \in Y'</tex> или <tex>x \in X \backslash X', y \in Y \backslash Y'</tex>, не изменятся.
|proof=
Рассмотрим матрицу весов графа. Не умаляя общности, можно сказать, что множества <tex> X' </tex> и <tex> Y' </tex> состоят из первых элементов множеств <tex> X </tex> и <tex> Y </tex> соответственно (мы упорядочиваем множества по номерам вершин). Тогда вся матрица делится на 4 блока:

<table border = '1' bordercolor = 'black' rules = 'all' cellpadding = '5'>
<tr>
<td> </td>
<td> <tex> Y' </tex> </td>
<td> <tex> Y \backslash Y' </tex> </td>
</tr>
<tr>
<td> <tex> X' </tex> </td>
<td> <tex> A + d - d </tex> </td>
<td> <tex> C + d </tex> </td>
</tr>
<tr>
<td> <tex> X \backslash X' </tex> </td>
<td> <tex> B - d </tex> </td>
<td> <tex> D </tex> </td>
</tr>
</table>

Веса группы <tex> A </tex> будут сначала увеличены, а потом уменьшены на <tex> d </tex>, поэтому они не изменятся, веса группы <tex> D </tex> вообще изменяться не будут. Все веса группы <tex> B </tex> будут уменьшены на <tex> d </tex>, но <tex> d </tex> — минимум среди этих весов, поэтому они останутся неотрицательными.

}}

{{Лемма
|statement=
Если веса всех ребер графа неотрицательны и некоторое полное паросочетание состоит из ребер нулевого веса, то оно является оптимальным.
|proof=
Действительно, паросочетание с какими-то другими весами ребер имеет больший вес и оптимальным не является.
}}

== Общий метод ==

Доказанные ранее утверждения позволяют придумать схему алгоритма, решающего задачу о назначениях: нужно найти полное паросочетание из ребер нулевого веса в графе, полученном из исходного преобразованиями, описанными в первых двух леммах.

Алгоритм, решающий задачу, работает с графом, как с матрицей весов.

* Вычитаем из каждой строки значение ее минимального элемента. Теперь в каждой строке есть хотя бы один нулевой элемент.
* Вычитаем из каждого столбца значение его минимального элемента. Теперь в каждом столбце есть хотя бы один нулевой элемент.
* Ищем в текущем графе полное паросочетание из ребер нулевого веса:
** Если оно найдено, то желаемый результат достигнут, алгоритм закончен.
** В противном случае, покроем нули матрицы весов минимальным количеством строк и столбцов (это не что иное, как [[Связь максимального паросочетания и минимального вершинного покрытия в двудольных графах|нахождение минимального вершинного покрытия в двудольном графе]]). Пусть <tex> X_c </tex> и <tex> Y_c </tex> — множества вершин минимального вершинного покрытия из левой и правой долей (то есть, строк и столбцов) соответственно, тогда применим преобразование <tex> X_c \uparrow\downarrow (Y \setminus Y_c) </tex>. Для этого преобразования <tex> d </tex> будет минимумом по всем ребрам между <tex> X \setminus X_c </tex> и <tex> Y \setminus Y_c </tex>, то есть, ребер нулевого веса здесь нет, поэтому, после его выполнения в матрице весов появится новый нуль. После этого перейдем к шагу 1.

== Анализ времени работы ==

[[Алгоритм Форда-Фалкерсона для поиска максимального паросочетания|Поиск максимального паросочетания]] или [[Связь максимального паросочетания и минимального вершинного покрытия в двудольных графах|минимального вершинного покрытия]] в двудольном графе совершается за <tex> O(n^3) </tex> операций. При каждом повторении шагов 1-4 в матрице весов появляется новый нуль. Этот нуль соответствует некоторому новому ребру между вершинами из множеств <tex> X \setminus X_c </tex> и <tex> Y \setminus Y_c </tex>. Всего в графе <tex> n^2 </tex> ребер, значит, всего будет совершено не более <tex> O(n^2) </tex> итераций внешнего цикла. Поэтому, верхняя оценка времени работы данного метода — <tex> O(n^5) </tex>. Более точная оценка довольно сложна и зависит от порядка чисел в матрице весов графа.

== Алгоритм за <tex> O(n^3) </tex> ==

=== Общая идея ===
Будем добавлять в рассмотрение строки матрицы одну за одной, а не рассматривать их все сразу.

=== Описание алгоритма ===
* Начало
* '''Шаг 0.''' Введем ''следующее понятие'':
** Назовём потенциалом два произвольных массива чисел <tex> u[1 \ldots n] </tex> и <tex> v[1 \ldots n] </tex> таких, что выполняется условие:
<tex> u[i] + v[j] \leqslant a[i][j] ~ (i = 1 \ldots n)</tex>, где <tex> a </tex> {{---}} заданная матрица
* '''Шаг 1.''' Добавляем в рассмотрение очередную строку матрицы <tex> a </tex>
* '''Шаг 2.''' Пока нет увеличивающей цепи, начинающейся в этой строке, пересчитываем потенциал.
* '''Шаг 3.''' Как только появляется увеличивающая цепь, чередуем паросочетание вдоль неё (включая тем самым последнюю строку в паросочетание), и переходим к началу (к рассмотрению следующей строки).
* Конец

=== Реализация ===

<tex> \mathtt{a[1 \dots n][1 \dots m]} </tex> {{---}} прямоугольная входная матрица, где <tex> \mathtt{n \leqslant m} </tex>. Матрица хранится в 1-индексации.

<tex> \mathtt{u[0 \dots n], ~ v[0 \dots n]} </tex> {{---}} потенциал.

<tex> \mathtt{p[0 \dots m]} </tex> {{---}} массив паросочетания. Для каждого стобца <tex> \mathtt{i = 0 \dots m} </tex> он хранит номер соответствующей выбранной строки <tex> \mathtt{p[i]} </tex> (или <tex> \mathtt{0} </tex>, если ничего не выбрано). Полагаем, что <tex> \mathtt{p[0]} </tex> равно номеру рассматриваемой строки.

<tex> \mathtt{minv[1 \dots m]} </tex> {{---}} массив, хранящий для каждого столбца <tex> \mathtt{j} </tex> вспомогательные минимумы, необходимые для быстрого пересчета потенциала.

<tex> \mathtt{minv[j] = \min\limits_{i \in Z_1}(a[i][j] - u[i] - v[j])} </tex>, где <tex> \mathtt{Z_1} </tex> {{---}} множество вершин первой доли, которые были посещены обходом [[Алгоритм Куна для поиска максимального паросочетания|алгоритма Куна]] при попытке поиска увеличивающей цепи.

<tex> \mathtt{way[1 \dots m]} </tex> {{---}} массив, содержащий информацию о том, где эти минимумы достигаются, чтобы мы могли впоследствии восстановить [[Паросочетания: основные определения, теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях|увеличивающую цепочку]].

'''function''' hungarianAlgorithm(a):
'''for''' i = 1 '''to''' n <font color=darkgreen>// рассматриваем строки матрицы ''a'' </font>
p[0] = i <font color=darkgreen>// для удобства реализации </font>
j0 = 0 <font color=darkgreen>// свободный столбец </font>
заполняем массивы ''minv'' {{---}} <tex> \infty </tex>, ''used'' {{---}} ''false''
'''while''' ''true'' <font color=darkgreen>// ищем свободный столбец </font>
used[j0] = ''true'', i0 = p[j0] <font color=darkgreen>// помечаем посещенными столбец ''j0'' и строку ''i0'' </font>
пересчитываем массив ''minv'', находим в нем минимум ''<tex> \delta </tex>'' (изначально ''<tex> \infty </tex>'') и столбец ''j1'', в котором он достигнут
'''for''' j = 0 '''to''' m <font color=darkgreen>// производим пересчет потенциала ''u'' и ''v'', соответствующее изменение ''minv'' </font>
'''if''' used[j]
u[p[j]] += <tex> \delta </tex>
v[j] -= <tex> \delta </tex>
'''else'''
minv[j] -= <tex> \delta </tex>
если нашли свободный столбец {{---}} выходим из цикла
ищем увеличивающуюся цепочку, пользуясь массивом предков ''way''

=== Время работы ===
Оценим время работы алгоритма. Во внешнем цикле мы добавляем в рассмотрение строки матрицы одну за другой. Каждая строка обрабатывается за время <tex> O(n^2) </tex>, поскольку при этом могло происходить лишь <tex> O(n) </tex> пересчётов потенциала (каждый — за время <tex> O(n) </tex>), для чего за время <tex> O(n^2) </tex> поддерживается массив <tex> \mathtt{minv} </tex>; [[Алгоритм Куна для поиска максимального паросочетания|алгоритм Куна]] суммарно отработает за время <tex> O(n^2) </tex> (поскольку он представлен в форме <tex> O(n) </tex> итераций, на каждой из которых посещается новый столбец).

Итоговая асимптотика составляет <tex> O(n^3) </tex>.

== См. также ==
* [[Алгоритм Куна для поиска максимального паросочетания]]
* [[Связь максимального паросочетания и минимального вершинного покрытия в двудольных графах]]

== Источники информации ==
* Асанов М., Баранский В., Расин В. — Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы — 2010, 368 стр.
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/Венгерский_алгоритм Венгерский алготитм в Википедии]
* [http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/graph-flow-match/hungarian-2002 Визуализатор алгоритма]
* [http://acm.mipt.ru/twiki/bin/view/Algorithms/HungarianAlgorithmCPP?sortcol=5&table=2&up=0 Реализация венгерского алгоритма на C++]
* [http://e-maxx.ru/algo/assignment_hungary Венгерский алгоритм решения задачи о назначениях]

[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Задача о потоке минимальной стоимости]]

Венгерский алгоритм решения задачи о назначениях

2016-01-27T18:43:51Z

Da1s111: /* Реализация */

'''''Венгерский алгоритм''''' (англ. ''Hungarian algorithm'') — алгоритм, решающий задачу о назначениях за полиномиальное время. Оригинальная версия была придумана и разработана Х. Куном в 1955 году и имела асимптотику <tex> O(n^4) </tex>, но позже Эдмонс и Карп (а также, независимо от них, Томидзава) показали, что можно улучшить ее до <tex> O(n^3) </tex>.
{{Задача
|definition = Пусть дан [[Основные определения теории графов|взвешенный полный двудольный граф]] c целыми весами ребер <tex> K_{n, n} </tex>, нужно найти в нем [[Паросочетания: основные определения, теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях|полное паросочетание минимального веса]]. Вес паросочетания определяется как сумма весов его ребер. Далее будем обозначать левую и правую доли графа за <tex> X </tex> и <tex> Y </tex> соответственно, вес ребра <tex> xy </tex> — как <tex> c(xy) </tex>.
}}

== Вспомогательные леммы ==

{{Лемма
|statement=
Если веса всех ребер графа, инцидентных какой-либо вершине, изменить (увеличить или уменьшить) на одно и то же число, то в новом графе оптимальное паросочетание будет состоять из тех же ребер, что и в старом.
|proof=
Полное паросочетание для каждой вершины содержит ровно одно ребро, инцидентное этой вершине. Указанная операция изменит на одно и то же число вес любого паросочетания. Значит, ребро, которое принадлежало оптимальному паросочетанию в старом графе, в новом графе тоже будет ему принадлежать.
}}

Далее будем рассматривать только графы с неотрицательной весовой функцией, так как, согласно этой лемме, задачу о назначениях на остальных графах можно свести к задаче о назначениях на них.

{{Лемма
|statement=
Выделим в множествах <tex>X</tex> и <tex>Y</tex> подмножества <tex>X', Y'</tex>. Пусть <tex>d = \min \{c(xy) \mid x \in X \setminus X', y \in Y'\}</tex>. Прибавим <tex> d </tex> ко всем весам ребер, инцидентных вершинам из <tex>X'</tex>. Затем отнимем <tex> d </tex> от всех весов ребер, инцидентных вершинам из <tex>Y'</tex> (далее для краткости эта операция обозначается как <tex> X' \uparrow\downarrow Y' </tex>). Тогда:
# Веса всех ребер графа останутся неотрицательными.
# Веса ребер вида <tex>xy</tex>, где <tex>x \in X', y \in Y'</tex> или <tex>x \in X \backslash X', y \in Y \backslash Y'</tex>, не изменятся.
|proof=
Рассмотрим матрицу весов графа. Не умаляя общности, можно сказать, что множества <tex> X' </tex> и <tex> Y' </tex> состоят из первых элементов множеств <tex> X </tex> и <tex> Y </tex> соответственно (мы упорядочиваем множества по номерам вершин). Тогда вся матрица делится на 4 блока:

<table border = '1' bordercolor = 'black' rules = 'all' cellpadding = '5'>
<tr>
<td> </td>
<td> <tex> Y' </tex> </td>
<td> <tex> Y \backslash Y' </tex> </td>
</tr>
<tr>
<td> <tex> X' </tex> </td>
<td> <tex> A + d - d </tex> </td>
<td> <tex> C + d </tex> </td>
</tr>
<tr>
<td> <tex> X \backslash X' </tex> </td>
<td> <tex> B - d </tex> </td>
<td> <tex> D </tex> </td>
</tr>
</table>

Веса группы <tex> A </tex> будут сначала увеличены, а потом уменьшены на <tex> d </tex>, поэтому они не изменятся, веса группы <tex> D </tex> вообще изменяться не будут. Все веса группы <tex> B </tex> будут уменьшены на <tex> d </tex>, но <tex> d </tex> — минимум среди этих весов, поэтому они останутся неотрицательными.

}}

{{Лемма
|statement=
Если веса всех ребер графа неотрицательны и некоторое полное паросочетание состоит из ребер нулевого веса, то оно является оптимальным.
|proof=
Действительно, паросочетание с какими-то другими весами ребер имеет больший вес и оптимальным не является.
}}

== Общий метод ==

Доказанные ранее утверждения позволяют придумать схему алгоритма, решающего задачу о назначениях: нужно найти полное паросочетание из ребер нулевого веса в графе, полученном из исходного преобразованиями, описанными в первых двух леммах.

Алгоритм, решающий задачу, работает с графом, как с матрицей весов.

# Вычитаем из каждой строки значение ее минимального элемента. Теперь в каждой строке есть хотя бы один нулевой элемент.
# Вычитаем из каждого столбца значение его минимального элемента. Теперь в каждом столбце есть хотя бы один нулевой элемент.
# Ищем в текущем графе полное паросочетание из ребер нулевого веса:
#
#* Если оно найдено, то желаемый результат достигнут, алгоритм закончен.
#* В противном случае, покроем нули матрицы весов минимальным количеством строк и столбцов (это не что иное, как [[Связь максимального паросочетания и минимального вершинного покрытия в двудольных графах|нахождение минимального вершинного покрытия в двудольном графе]]). Пусть <tex> X_c </tex> и <tex> Y_c </tex> — множества вершин минимального вершинного покрытия из левой и правой долей (то есть, строк и столбцов) соответственно, тогда применим преобразование <tex> X_c \uparrow\downarrow (Y \setminus Y_c) </tex>. Для этого преобразования <tex> d </tex> будет минимумом по всем ребрам между <tex> X \setminus X_c </tex> и <tex> Y \setminus Y_c </tex>, то есть, ребер нулевого веса здесь нет, поэтому, после его выполнения в матрице весов появится новый нуль. После этого перейдем к шагу 1.

== Анализ времени работы ==

[[Алгоритм Форда-Фалкерсона для поиска максимального паросочетания|Поиск максимального паросочетания]] или [[Связь максимального паросочетания и минимального вершинного покрытия в двудольных графах|минимального вершинного покрытия]] в двудольном графе совершается за <tex> O(n^3) </tex> операций. При каждом повторении шагов 1-4 в матрице весов появляется новый нуль. Этот нуль соответствует некоторому новому ребру между вершинами из множеств <tex> X \setminus X_c </tex> и <tex> Y \setminus Y_c </tex>. Всего в графе <tex> n^2 </tex> ребер, значит, всего будет совершено не более <tex> O(n^2) </tex> итераций внешнего цикла. Поэтому, верхняя оценка времени работы данного метода — <tex> O(n^5) </tex>. Более точная оценка довольно сложна и зависит от порядка чисел в матрице весов графа.

== Алгоритм за <tex> O(n^3) </tex> ==

=== Общая идея ===
Будем добавлять в рассмотрение строки матрицы одну за одной, а не рассматривать их все сразу.

=== Описание алгоритма ===
* Начало
* '''Шаг 0.''' Введем ''следующее понятие'':
** Назовём потенциалом два произвольных массива чисел <tex> u[1 \ldots n] </tex> и <tex> v[1 \ldots n] </tex> таких, что выполняется условие:
<tex> u[i] + v[j] \leqslant a[i][j] ~ (i = 1 \ldots n)</tex>, где <tex> a </tex> {{---}} заданная матрица
* '''Шаг 1.''' Добавляем в рассмотрение очередную строку матрицы <tex> a </tex>
* '''Шаг 2.''' Пока нет увеличивающей цепи, начинающейся в этой строке, пересчитываем потенциал.
* '''Шаг 3.''' Как только появляется увеличивающая цепь, чередуем паросочетание вдоль неё (включая тем самым последнюю строку в паросочетание), и переходим к началу (к рассмотрению следующей строки).
* Конец

=== Реализация ===

<tex> \mathtt{a[1 \dots n][1 \dots m]} </tex> {{---}} прямоугольная входная матрица, где <tex> \mathtt{n \leqslant m} </tex>. Матрица хранится в 1-индексации.

<tex> \mathtt{u[0 \dots n], ~ v[0 \dots n]} </tex> {{---}} потенциал.

<tex> \mathtt{p[0 \dots m]} </tex> {{---}} массив паросочетания. Для каждого стобца <tex> \mathtt{i = 0 \dots m} </tex> он хранит номер соответствующей выбранной строки <tex> \mathtt{p[i]} </tex> (или <tex> \mathtt{0} </tex>, если ничего не выбрано). Полагаем, что <tex> \mathtt{p[0]} </tex> равно номеру рассматриваемой строки.

<tex> \mathtt{minv[1 \dots m]} </tex> {{---}} массив, хранящий для каждого столбца <tex> \mathtt{j} </tex> вспомогательные минимумы, необходимые для быстрого пересчета потенциала.

<tex> \mathtt{minv[j] = \min\limits_{i \in Z_1}(a[i][j] - u[i] - v[j])} </tex>, где <tex> \mathtt{Z_1} </tex> {{---}} множество вершин первой доли, которые были посещены обходом [[Алгоритм Куна для поиска максимального паросочетания|алгоритма Куна]] при попытке поиска увеличивающей цепи.

<tex> \mathtt{way[1 \dots m]} </tex> {{---}} массив, содержащий информацию о том, где эти минимумы достигаются, чтобы мы могли впоследствии восстановить [[Паросочетания: основные определения, теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях|увеличивающую цепочку]].

'''function''' hungarianAlgorithm(a):
'''for''' i = 1 '''to''' n <font color=darkgreen>// рассматриваем строки матрицы ''a'' </font>
p[0] = i <font color=darkgreen>// для удобства реализации </font>
j0 = 0 <font color=darkgreen>// свободный столбец </font>
заполняем массивы ''minv'' {{---}} <tex> \infty </tex>, ''used'' {{---}} ''false''
'''while''' ''true'' <font color=darkgreen>// ищем свободный столбец </font>
used[j0] = ''true'', i0 = p[j0] <font color=darkgreen>// помечаем посещенными столбец ''j0'' и строку ''i0'' </font>
пересчитываем массив ''minv'', находим в нем минимум ''<tex> \delta </tex>'' (изначально ''<tex> \infty </tex>'') и столбец ''j1'', в котором он достигнут
'''for''' j = 0 '''to''' m <font color=darkgreen>// производим пересчет потенциала ''u'' и ''v'', соответствующее изменение ''minv'' </font>
'''if''' used[j]
u[p[j]] += <tex> \delta </tex>
v[j] -= <tex> \delta </tex>
'''else'''
minv[j] -= <tex> \delta </tex>
если нашли свободный столбец {{---}} выходим из цикла
ищем увеличивающуюся цепочку, пользуясь массивом предков ''way''

=== Время работы ===
Оценим время работы алгоритма. Во внешнем цикле мы добавляем в рассмотрение строки матрицы одну за другой. Каждая строка обрабатывается за время <tex> O(n^2) </tex>, поскольку при этом могло происходить лишь <tex> O(n) </tex> пересчётов потенциала (каждый — за время <tex> O(n) </tex>), для чего за время <tex> O(n^2) </tex> поддерживается массив <tex> \mathtt{minv} </tex>; [[Алгоритм Куна для поиска максимального паросочетания|алгоритм Куна]] суммарно отработает за время <tex> O(n^2) </tex> (поскольку он представлен в форме <tex> O(n) </tex> итераций, на каждой из которых посещается новый столбец).

Итоговая асимптотика составляет <tex> O(n^3) </tex>.

== См. также ==
* [[Алгоритм Куна для поиска максимального паросочетания]]
* [[Связь максимального паросочетания и минимального вершинного покрытия в двудольных графах]]

== Источники информации ==
* Асанов М., Баранский В., Расин В. — Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы — 2010, 368 стр.
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/Венгерский_алгоритм Венгерский алготитм в Википедии]
* [http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/graph-flow-match/hungarian-2002 Визуализатор алгоритма]
* [http://acm.mipt.ru/twiki/bin/view/Algorithms/HungarianAlgorithmCPP?sortcol=5&table=2&up=0 Реализация венгерского алгоритма на C++]
* [http://e-maxx.ru/algo/assignment_hungary Венгерский алгоритм решения задачи о назначениях]

[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Задача о потоке минимальной стоимости]]

Венгерский алгоритм решения задачи о назначениях

2016-01-26T19:40:51Z

Da1s111: /* Реализация */

'''''Венгерский алгоритм''''' (англ. ''Hungarian algorithm'') — алгоритм, решающий задачу о назначениях за полиномиальное время. Оригинальная версия была придумана и разработана Х. Куном в 1955 году и имела асимптотику <tex> O(n^4) </tex>, но позже Эдмонс и Карп (а также, независимо от них, Томидзава) показали, что можно улучшить ее до <tex> O(n^3) </tex>.
{{Задача
|definition = Пусть дан [[Основные определения теории графов|взвешенный полный двудольный граф]] c целыми весами ребер <tex> K_{n, n} </tex>, нужно найти в нем [[Паросочетания: основные определения, теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях|полное паросочетание минимального веса]]. Вес паросочетания определяется как сумма весов его ребер. Далее будем обозначать левую и правую доли графа за <tex> X </tex> и <tex> Y </tex> соответственно, вес ребра <tex> xy </tex> — как <tex> c(xy) </tex>.
}}

== Вспомогательные леммы ==

{{Лемма
|statement=
Если веса всех ребер графа, инцидентных какой-либо вершине, изменить (увеличить или уменьшить) на одно и то же число, то в новом графе оптимальное паросочетание будет состоять из тех же ребер, что и в старом.
|proof=
Полное паросочетание для каждой вершины содержит ровно одно ребро, инцидентное этой вершине. Указанная операция изменит на одно и то же число вес любого паросочетания. Значит, ребро, которое принадлежало оптимальному паросочетанию в старом графе, в новом графе тоже будет ему принадлежать.
}}

Далее будем рассматривать только графы с неотрицательной весовой функцией, так как, согласно этой лемме, задачу о назначениях на остальных графах можно свести к задаче о назначениях на них.

{{Лемма
|statement=
Выделим в множествах <tex>X</tex> и <tex>Y</tex> подмножества <tex>X', Y'</tex>. Пусть <tex>d = \min \{c(xy) \mid x \in X \setminus X', y \in Y'\}</tex>. Прибавим <tex> d </tex> ко всем весам ребер, инцидентных вершинам из <tex>X'</tex>. Затем отнимем <tex> d </tex> от всех весов ребер, инцидентных вершинам из <tex>Y'</tex> (далее для краткости эта операция обозначается как <tex> X' \uparrow\downarrow Y' </tex>). Тогда:
# Веса всех ребер графа останутся неотрицательными.
# Веса ребер вида <tex>xy</tex>, где <tex>x \in X', y \in Y'</tex> или <tex>x \in X \backslash X', y \in Y \backslash Y'</tex>, не изменятся.
|proof=
Рассмотрим матрицу весов графа. Не умаляя общности, можно сказать, что множества <tex> X' </tex> и <tex> Y' </tex> состоят из первых элементов множеств <tex> X </tex> и <tex> Y </tex> соответственно (мы упорядочиваем множества по номерам вершин). Тогда вся матрица делится на 4 блока:

<table border = '1' bordercolor = 'black' rules = 'all' cellpadding = '5'>
<tr>
<td> </td>
<td> <tex> Y' </tex> </td>
<td> <tex> Y \backslash Y' </tex> </td>
</tr>
<tr>
<td> <tex> X' </tex> </td>
<td> <tex> A + d - d </tex> </td>
<td> <tex> C + d </tex> </td>
</tr>
<tr>
<td> <tex> X \backslash X' </tex> </td>
<td> <tex> B - d </tex> </td>
<td> <tex> D </tex> </td>
</tr>
</table>

Веса группы <tex> A </tex> будут сначала увеличены, а потом уменьшены на <tex> d </tex>, поэтому они не изменятся, веса группы <tex> D </tex> вообще изменяться не будут. Все веса группы <tex> B </tex> будут уменьшены на <tex> d </tex>, но <tex> d </tex> — минимум среди этих весов, поэтому они останутся неотрицательными.

}}

{{Лемма
|statement=
Если веса всех ребер графа неотрицательны и некоторое полное паросочетание состоит из ребер нулевого веса, то оно является оптимальным.
|proof=
Действительно, паросочетание с какими-то другими весами ребер имеет больший вес и оптимальным не является.
}}

== Общий метод ==

Доказанные ранее утверждения позволяют придумать схему алгоритма, решающего задачу о назначениях: нужно найти полное паросочетание из ребер нулевого веса в графе, полученном из исходного преобразованиями, описанными в первых двух леммах.

Алгоритм, решающий задачу, работает с графом, как с матрицей весов.

# Вычитаем из каждой строки значение ее минимального элемента. Теперь в каждой строке есть хотя бы один нулевой элемент.
# Вычитаем из каждого столбца значение его минимального элемента. Теперь в каждом столбце есть хотя бы один нулевой элемент.
# Ищем в текущем графе полное паросочетание из ребер нулевого веса:
#
#* Если оно найдено, то желаемый результат достигнут, алгоритм закончен.
#* В противном случае, покроем нули матрицы весов минимальным количеством строк и столбцов (это не что иное, как [[Связь максимального паросочетания и минимального вершинного покрытия в двудольных графах|нахождение минимального вершинного покрытия в двудольном графе]]). Пусть <tex> X_c </tex> и <tex> Y_c </tex> — множества вершин минимального вершинного покрытия из левой и правой долей (то есть, строк и столбцов) соответственно, тогда применим преобразование <tex> X_c \uparrow\downarrow (Y \setminus Y_c) </tex>. Для этого преобразования <tex> d </tex> будет минимумом по всем ребрам между <tex> X \setminus X_c </tex> и <tex> Y \setminus Y_c </tex>, то есть, ребер нулевого веса здесь нет, поэтому, после его выполнения в матрице весов появится новый нуль. После этого перейдем к шагу 1.

== Анализ времени работы ==

[[Алгоритм Форда-Фалкерсона для поиска максимального паросочетания|Поиск максимального паросочетания]] или [[Связь максимального паросочетания и минимального вершинного покрытия в двудольных графах|минимального вершинного покрытия]] в двудольном графе совершается за <tex> O(n^3) </tex> операций. При каждом повторении шагов 1-4 в матрице весов появляется новый нуль. Этот нуль соответствует некоторому новому ребру между вершинами из множеств <tex> X \setminus X_c </tex> и <tex> Y \setminus Y_c </tex>. Всего в графе <tex> n^2 </tex> ребер, значит, всего будет совершено не более <tex> O(n^2) </tex> итераций внешнего цикла. Поэтому, верхняя оценка времени работы данного метода — <tex> O(n^5) </tex>. Более точная оценка довольно сложна и зависит от порядка чисел в матрице весов графа.

== Алгоритм за <tex> O(n^3) </tex> ==

=== Общая идея ===
Будем добавлять в рассмотрение строки матрицы одну за одной, а не рассматривать их все сразу.

=== Описание алгоритма ===
* Начало
* '''Шаг 0.''' Введем ''следующее понятие'':
** Назовём потенциалом два произвольных массива чисел <tex> u[1 \ldots n] </tex> и <tex> v[1 \ldots n] </tex> таких, что выполняется условие:
<tex> u[i] + v[j] \leqslant a[i][j] ~ (i = 1 \ldots n)</tex>, где <tex> a </tex> {{---}} заданная матрица
* '''Шаг 1.''' Добавляем в рассмотрение очередную строку матрицы <tex> a </tex>
* '''Шаг 2.''' Пока нет увеличивающей цепи, начинающейся в этой строке, пересчитываем потенциал.
* '''Шаг 3.''' Как только появляется увеличивающая цепь, чередуем паросочетание вдоль неё (включая тем самым последнюю строку в паросочетание), и переходим к началу (к рассмотрению следующей строки).
* Конец

=== Реализация ===

<tex> \mathtt{a[1 \dots n][1 \dots m]} </tex> {{---}} прямоугольная входная матрица, где <tex> \mathtt{n \leqslant m} </tex>. Матрица хранится в 1-индексации.

<tex> \mathtt{u[0 \dots n], ~ v[0 \dots n]} </tex> {{---}} потенциал.

<tex> \mathtt{p[0 \dots m]} </tex> {{---}} массив паросочетания. Для каждого стобца <tex> \mathtt{i = 0 \dots m} </tex> он хранит номер соответствующей выбранной строки <tex> \mathtt{p[i]} </tex> (или <tex> \mathtt{0} </tex>, если ничего не выбрано). Полагаем, что <tex> \mathtt{p[0]} </tex> равно номеру рассматриваемой строки.

<tex> \mathtt{minv[1 \dots m]} </tex> {{---}} массив, хранящий для каждого столбца j вспомогательные минимумы, необходимые для быстрого пересчета потенциала.

<tex> \mathtt{minv[j] = \min\limits_{i \in Z_1}(a[i][j] - u[i] - v[j])} </tex>

<tex> \mathtt{way[1 \dots m]} </tex> {{---}} массив, содержащий информацию о том, где эти минимумы достигаются, чтобы мы могли впоследствии восстановить [[Паросочетания: основные определения, теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях|увеличивающую цепочку]].

'''function''' hungarianAlgorithm(a):
'''for''' i = 1 '''to''' n // рассматриваем строки матрицы ''a''
заполняем массивы ''minv'' {{---}} <tex> \infty </tex>, ''used'' {{---}} ''false''
'''while''' ''true'' // ищем свободный столбец
помечаем посещенными столбец ''j0'' и строку ''i0''
пересчитываем массив ''minv'', находим в нем минимум ''<tex> \delta </tex>'' и столбец ''j1'', в котором он достигнут
производим пересчет потенциала ''u'' и ''v'', соответствующее изменение ''minv''
если нашли свободный столбец {{---}} выходим из цикла
ищем увеличивающуюся цепочку, пользуясь массивом предков ''way''

=== Время работы ===
Оценим время работы алгоритма. Во внешнем цикле мы добавляем в рассмотрение строки матрицы одну за другой. Каждая строка обрабатывается за время <tex> O(n^2) </tex>, поскольку при этом могло происходить лишь <tex> O(n) </tex> пересчётов потенциала (каждый — за время <tex> O(n) </tex>), для чего за время <tex> O(n^2) </tex> поддерживается массив <tex> \mathtt{minv} </tex>; [[Алгоритм Куна для поиска максимального паросочетания|алгоритм Куна]] суммарно отработает за время <tex> O(n^2) </tex> (поскольку он представлен в форме <tex> O(n) </tex> итераций, на каждой из которых посещается новый столбец).

Итоговая асимптотика составляет <tex> O(n^3) </tex>.

== См. также ==
* [[Алгоритм Куна для поиска максимального паросочетания]]
* [[Связь максимального паросочетания и минимального вершинного покрытия в двудольных графах]]

== Источники информации ==
* Асанов М., Баранский В., Расин В. — Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы — 2010, 368 стр.
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/Венгерский_алгоритм Венгерский алготитм в Википедии]
* [http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/graph-flow-match/hungarian-2002 Визуализатор алгоритма]
* [http://acm.mipt.ru/twiki/bin/view/Algorithms/HungarianAlgorithmCPP?sortcol=5&table=2&up=0 Реализация венгерского алгоритма на C++]
* [http://e-maxx.ru/algo/assignment_hungary Венгерский алгоритм решения задачи о назначениях]

[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Задача о потоке минимальной стоимости]]

Венгерский алгоритм решения задачи о назначениях

2016-01-26T19:38:34Z

Da1s111: /* Время работы */

'''''Венгерский алгоритм''''' (англ. ''Hungarian algorithm'') — алгоритм, решающий задачу о назначениях за полиномиальное время. Оригинальная версия была придумана и разработана Х. Куном в 1955 году и имела асимптотику <tex> O(n^4) </tex>, но позже Эдмонс и Карп (а также, независимо от них, Томидзава) показали, что можно улучшить ее до <tex> O(n^3) </tex>.
{{Задача
|definition = Пусть дан [[Основные определения теории графов|взвешенный полный двудольный граф]] c целыми весами ребер <tex> K_{n, n} </tex>, нужно найти в нем [[Паросочетания: основные определения, теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях|полное паросочетание минимального веса]]. Вес паросочетания определяется как сумма весов его ребер. Далее будем обозначать левую и правую доли графа за <tex> X </tex> и <tex> Y </tex> соответственно, вес ребра <tex> xy </tex> — как <tex> c(xy) </tex>.
}}

== Вспомогательные леммы ==

{{Лемма
|statement=
Если веса всех ребер графа, инцидентных какой-либо вершине, изменить (увеличить или уменьшить) на одно и то же число, то в новом графе оптимальное паросочетание будет состоять из тех же ребер, что и в старом.
|proof=
Полное паросочетание для каждой вершины содержит ровно одно ребро, инцидентное этой вершине. Указанная операция изменит на одно и то же число вес любого паросочетания. Значит, ребро, которое принадлежало оптимальному паросочетанию в старом графе, в новом графе тоже будет ему принадлежать.
}}

Далее будем рассматривать только графы с неотрицательной весовой функцией, так как, согласно этой лемме, задачу о назначениях на остальных графах можно свести к задаче о назначениях на них.

{{Лемма
|statement=
Выделим в множествах <tex>X</tex> и <tex>Y</tex> подмножества <tex>X', Y'</tex>. Пусть <tex>d = \min \{c(xy) \mid x \in X \setminus X', y \in Y'\}</tex>. Прибавим <tex> d </tex> ко всем весам ребер, инцидентных вершинам из <tex>X'</tex>. Затем отнимем <tex> d </tex> от всех весов ребер, инцидентных вершинам из <tex>Y'</tex> (далее для краткости эта операция обозначается как <tex> X' \uparrow\downarrow Y' </tex>). Тогда:
# Веса всех ребер графа останутся неотрицательными.
# Веса ребер вида <tex>xy</tex>, где <tex>x \in X', y \in Y'</tex> или <tex>x \in X \backslash X', y \in Y \backslash Y'</tex>, не изменятся.
|proof=
Рассмотрим матрицу весов графа. Не умаляя общности, можно сказать, что множества <tex> X' </tex> и <tex> Y' </tex> состоят из первых элементов множеств <tex> X </tex> и <tex> Y </tex> соответственно (мы упорядочиваем множества по номерам вершин). Тогда вся матрица делится на 4 блока:

<table border = '1' bordercolor = 'black' rules = 'all' cellpadding = '5'>
<tr>
<td> </td>
<td> <tex> Y' </tex> </td>
<td> <tex> Y \backslash Y' </tex> </td>
</tr>
<tr>
<td> <tex> X' </tex> </td>
<td> <tex> A + d - d </tex> </td>
<td> <tex> C + d </tex> </td>
</tr>
<tr>
<td> <tex> X \backslash X' </tex> </td>
<td> <tex> B - d </tex> </td>
<td> <tex> D </tex> </td>
</tr>
</table>

Веса группы <tex> A </tex> будут сначала увеличены, а потом уменьшены на <tex> d </tex>, поэтому они не изменятся, веса группы <tex> D </tex> вообще изменяться не будут. Все веса группы <tex> B </tex> будут уменьшены на <tex> d </tex>, но <tex> d </tex> — минимум среди этих весов, поэтому они останутся неотрицательными.

}}

{{Лемма
|statement=
Если веса всех ребер графа неотрицательны и некоторое полное паросочетание состоит из ребер нулевого веса, то оно является оптимальным.
|proof=
Действительно, паросочетание с какими-то другими весами ребер имеет больший вес и оптимальным не является.
}}

== Общий метод ==

Доказанные ранее утверждения позволяют придумать схему алгоритма, решающего задачу о назначениях: нужно найти полное паросочетание из ребер нулевого веса в графе, полученном из исходного преобразованиями, описанными в первых двух леммах.

Алгоритм, решающий задачу, работает с графом, как с матрицей весов.

# Вычитаем из каждой строки значение ее минимального элемента. Теперь в каждой строке есть хотя бы один нулевой элемент.
# Вычитаем из каждого столбца значение его минимального элемента. Теперь в каждом столбце есть хотя бы один нулевой элемент.
# Ищем в текущем графе полное паросочетание из ребер нулевого веса:
#
#* Если оно найдено, то желаемый результат достигнут, алгоритм закончен.
#* В противном случае, покроем нули матрицы весов минимальным количеством строк и столбцов (это не что иное, как [[Связь максимального паросочетания и минимального вершинного покрытия в двудольных графах|нахождение минимального вершинного покрытия в двудольном графе]]). Пусть <tex> X_c </tex> и <tex> Y_c </tex> — множества вершин минимального вершинного покрытия из левой и правой долей (то есть, строк и столбцов) соответственно, тогда применим преобразование <tex> X_c \uparrow\downarrow (Y \setminus Y_c) </tex>. Для этого преобразования <tex> d </tex> будет минимумом по всем ребрам между <tex> X \setminus X_c </tex> и <tex> Y \setminus Y_c </tex>, то есть, ребер нулевого веса здесь нет, поэтому, после его выполнения в матрице весов появится новый нуль. После этого перейдем к шагу 1.

== Анализ времени работы ==

[[Алгоритм Форда-Фалкерсона для поиска максимального паросочетания|Поиск максимального паросочетания]] или [[Связь максимального паросочетания и минимального вершинного покрытия в двудольных графах|минимального вершинного покрытия]] в двудольном графе совершается за <tex> O(n^3) </tex> операций. При каждом повторении шагов 1-4 в матрице весов появляется новый нуль. Этот нуль соответствует некоторому новому ребру между вершинами из множеств <tex> X \setminus X_c </tex> и <tex> Y \setminus Y_c </tex>. Всего в графе <tex> n^2 </tex> ребер, значит, всего будет совершено не более <tex> O(n^2) </tex> итераций внешнего цикла. Поэтому, верхняя оценка времени работы данного метода — <tex> O(n^5) </tex>. Более точная оценка довольно сложна и зависит от порядка чисел в матрице весов графа.

== Алгоритм за <tex> O(n^3) </tex> ==

=== Общая идея ===
Будем добавлять в рассмотрение строки матрицы одну за одной, а не рассматривать их все сразу.

=== Описание алгоритма ===
* Начало
* '''Шаг 0.''' Введем ''следующее понятие'':
** Назовём потенциалом два произвольных массива чисел <tex> u[1 \ldots n] </tex> и <tex> v[1 \ldots n] </tex> таких, что выполняется условие:
<tex> u[i] + v[j] \leqslant a[i][j] ~ (i = 1 \ldots n)</tex>, где <tex> a </tex> {{---}} заданная матрица
* '''Шаг 1.''' Добавляем в рассмотрение очередную строку матрицы <tex> a </tex>
* '''Шаг 2.''' Пока нет увеличивающей цепи, начинающейся в этой строке, пересчитываем потенциал.
* '''Шаг 3.''' Как только появляется увеличивающая цепь, чередуем паросочетание вдоль неё (включая тем самым последнюю строку в паросочетание), и переходим к началу (к рассмотрению следующей строки).
* Конец

=== Реализация ===

<tex> \mathtt{a[1 \dots n][1 \dots m]} </tex> {{---}} прямоугольная входная матрица, где <tex> \mathtt{n \leqslant m} </tex>. Матрица хранится в 1-индексации.

<tex> \mathtt{u[0 \dots n], v[0 \dots n]} </tex> {{---}} потенциал.

<tex> \mathtt{p[0 \dots m]} </tex> {{---}} массив паросочетания. Для каждого стобца <tex> \mathtt{i = 0 \dots m} </tex> он хранит номер соответствующей выбранной строки <tex> \mathtt{p[i]} </tex> (или <tex> \mathtt{0} </tex>, если ничего не выбрано). Полагаем, что <tex> \mathtt{p[0]} </tex> равно номеру рассматриваемой строки.

<tex> \mathtt{minv[1 \dots m]} </tex> {{---}} массив, хранящий для каждого столбца j вспомогательные минимумы, необходимые для быстрого пересчета потенциала.

<tex> \mathtt{minv[j] = \min\limits_{i \in Z_1}(a[i][j] - u[i] - v[j])} </tex>

<tex> \mathtt{way[1 \dots m]} </tex> {{---}} массив, содержащий информацию о том, где эти минимумы достигаются, чтобы мы могли впоследствии восстановить [[Паросочетания: основные определения, теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях|увеличивающую цепочку]].

'''function''' hungarianAlgorithm(a):
'''for''' i = 1 '''to''' n // рассматриваем строки матрицы ''a''
заполняем массивы ''minv'' {{---}} <tex> \infty </tex>, ''used'' {{---}} ''false''
'''while''' ''true'' // ищем свободный столбец
помечаем посещенными столбец ''j0'' и строку ''i0''
пересчитываем массив ''minv'', находим в нем минимум ''<tex> \delta </tex>'' и столбец ''j1'', в котором он достигнут
производим пересчет потенциала ''u'' и ''v'', соответствующее изменение ''minv''
если нашли свободный столбец {{---}} выходим из цикла
ищем увеличивающуюся цепочку, пользуясь массивом предков ''way''

=== Время работы ===
Оценим время работы алгоритма. Во внешнем цикле мы добавляем в рассмотрение строки матрицы одну за другой. Каждая строка обрабатывается за время <tex> O(n^2) </tex>, поскольку при этом могло происходить лишь <tex> O(n) </tex> пересчётов потенциала (каждый — за время <tex> O(n) </tex>), для чего за время <tex> O(n^2) </tex> поддерживается массив <tex> \mathtt{minv} </tex>; [[Алгоритм Куна для поиска максимального паросочетания|алгоритм Куна]] суммарно отработает за время <tex> O(n^2) </tex> (поскольку он представлен в форме <tex> O(n) </tex> итераций, на каждой из которых посещается новый столбец).

Итоговая асимптотика составляет <tex> O(n^3) </tex>.

== См. также ==
* [[Алгоритм Куна для поиска максимального паросочетания]]
* [[Связь максимального паросочетания и минимального вершинного покрытия в двудольных графах]]

== Источники информации ==
* Асанов М., Баранский В., Расин В. — Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы — 2010, 368 стр.
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/Венгерский_алгоритм Венгерский алготитм в Википедии]
* [http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/graph-flow-match/hungarian-2002 Визуализатор алгоритма]
* [http://acm.mipt.ru/twiki/bin/view/Algorithms/HungarianAlgorithmCPP?sortcol=5&table=2&up=0 Реализация венгерского алгоритма на C++]
* [http://e-maxx.ru/algo/assignment_hungary Венгерский алгоритм решения задачи о назначениях]

[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Задача о потоке минимальной стоимости]]

Венгерский алгоритм решения задачи о назначениях

2016-01-26T19:37:54Z

Da1s111: /* Реализация */

'''''Венгерский алгоритм''''' (англ. ''Hungarian algorithm'') — алгоритм, решающий задачу о назначениях за полиномиальное время. Оригинальная версия была придумана и разработана Х. Куном в 1955 году и имела асимптотику <tex> O(n^4) </tex>, но позже Эдмонс и Карп (а также, независимо от них, Томидзава) показали, что можно улучшить ее до <tex> O(n^3) </tex>.
{{Задача
|definition = Пусть дан [[Основные определения теории графов|взвешенный полный двудольный граф]] c целыми весами ребер <tex> K_{n, n} </tex>, нужно найти в нем [[Паросочетания: основные определения, теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях|полное паросочетание минимального веса]]. Вес паросочетания определяется как сумма весов его ребер. Далее будем обозначать левую и правую доли графа за <tex> X </tex> и <tex> Y </tex> соответственно, вес ребра <tex> xy </tex> — как <tex> c(xy) </tex>.
}}

== Вспомогательные леммы ==

{{Лемма
|statement=
Если веса всех ребер графа, инцидентных какой-либо вершине, изменить (увеличить или уменьшить) на одно и то же число, то в новом графе оптимальное паросочетание будет состоять из тех же ребер, что и в старом.
|proof=
Полное паросочетание для каждой вершины содержит ровно одно ребро, инцидентное этой вершине. Указанная операция изменит на одно и то же число вес любого паросочетания. Значит, ребро, которое принадлежало оптимальному паросочетанию в старом графе, в новом графе тоже будет ему принадлежать.
}}

Далее будем рассматривать только графы с неотрицательной весовой функцией, так как, согласно этой лемме, задачу о назначениях на остальных графах можно свести к задаче о назначениях на них.

{{Лемма
|statement=
Выделим в множествах <tex>X</tex> и <tex>Y</tex> подмножества <tex>X', Y'</tex>. Пусть <tex>d = \min \{c(xy) \mid x \in X \setminus X', y \in Y'\}</tex>. Прибавим <tex> d </tex> ко всем весам ребер, инцидентных вершинам из <tex>X'</tex>. Затем отнимем <tex> d </tex> от всех весов ребер, инцидентных вершинам из <tex>Y'</tex> (далее для краткости эта операция обозначается как <tex> X' \uparrow\downarrow Y' </tex>). Тогда:
# Веса всех ребер графа останутся неотрицательными.
# Веса ребер вида <tex>xy</tex>, где <tex>x \in X', y \in Y'</tex> или <tex>x \in X \backslash X', y \in Y \backslash Y'</tex>, не изменятся.
|proof=
Рассмотрим матрицу весов графа. Не умаляя общности, можно сказать, что множества <tex> X' </tex> и <tex> Y' </tex> состоят из первых элементов множеств <tex> X </tex> и <tex> Y </tex> соответственно (мы упорядочиваем множества по номерам вершин). Тогда вся матрица делится на 4 блока:

<table border = '1' bordercolor = 'black' rules = 'all' cellpadding = '5'>
<tr>
<td> </td>
<td> <tex> Y' </tex> </td>
<td> <tex> Y \backslash Y' </tex> </td>
</tr>
<tr>
<td> <tex> X' </tex> </td>
<td> <tex> A + d - d </tex> </td>
<td> <tex> C + d </tex> </td>
</tr>
<tr>
<td> <tex> X \backslash X' </tex> </td>
<td> <tex> B - d </tex> </td>
<td> <tex> D </tex> </td>
</tr>
</table>

Веса группы <tex> A </tex> будут сначала увеличены, а потом уменьшены на <tex> d </tex>, поэтому они не изменятся, веса группы <tex> D </tex> вообще изменяться не будут. Все веса группы <tex> B </tex> будут уменьшены на <tex> d </tex>, но <tex> d </tex> — минимум среди этих весов, поэтому они останутся неотрицательными.

}}

{{Лемма
|statement=
Если веса всех ребер графа неотрицательны и некоторое полное паросочетание состоит из ребер нулевого веса, то оно является оптимальным.
|proof=
Действительно, паросочетание с какими-то другими весами ребер имеет больший вес и оптимальным не является.
}}

== Общий метод ==

Доказанные ранее утверждения позволяют придумать схему алгоритма, решающего задачу о назначениях: нужно найти полное паросочетание из ребер нулевого веса в графе, полученном из исходного преобразованиями, описанными в первых двух леммах.

Алгоритм, решающий задачу, работает с графом, как с матрицей весов.

# Вычитаем из каждой строки значение ее минимального элемента. Теперь в каждой строке есть хотя бы один нулевой элемент.
# Вычитаем из каждого столбца значение его минимального элемента. Теперь в каждом столбце есть хотя бы один нулевой элемент.
# Ищем в текущем графе полное паросочетание из ребер нулевого веса:
#
#* Если оно найдено, то желаемый результат достигнут, алгоритм закончен.
#* В противном случае, покроем нули матрицы весов минимальным количеством строк и столбцов (это не что иное, как [[Связь максимального паросочетания и минимального вершинного покрытия в двудольных графах|нахождение минимального вершинного покрытия в двудольном графе]]). Пусть <tex> X_c </tex> и <tex> Y_c </tex> — множества вершин минимального вершинного покрытия из левой и правой долей (то есть, строк и столбцов) соответственно, тогда применим преобразование <tex> X_c \uparrow\downarrow (Y \setminus Y_c) </tex>. Для этого преобразования <tex> d </tex> будет минимумом по всем ребрам между <tex> X \setminus X_c </tex> и <tex> Y \setminus Y_c </tex>, то есть, ребер нулевого веса здесь нет, поэтому, после его выполнения в матрице весов появится новый нуль. После этого перейдем к шагу 1.

== Анализ времени работы ==

[[Алгоритм Форда-Фалкерсона для поиска максимального паросочетания|Поиск максимального паросочетания]] или [[Связь максимального паросочетания и минимального вершинного покрытия в двудольных графах|минимального вершинного покрытия]] в двудольном графе совершается за <tex> O(n^3) </tex> операций. При каждом повторении шагов 1-4 в матрице весов появляется новый нуль. Этот нуль соответствует некоторому новому ребру между вершинами из множеств <tex> X \setminus X_c </tex> и <tex> Y \setminus Y_c </tex>. Всего в графе <tex> n^2 </tex> ребер, значит, всего будет совершено не более <tex> O(n^2) </tex> итераций внешнего цикла. Поэтому, верхняя оценка времени работы данного метода — <tex> O(n^5) </tex>. Более точная оценка довольно сложна и зависит от порядка чисел в матрице весов графа.

== Алгоритм за <tex> O(n^3) </tex> ==

=== Общая идея ===
Будем добавлять в рассмотрение строки матрицы одну за одной, а не рассматривать их все сразу.

=== Описание алгоритма ===
* Начало
* '''Шаг 0.''' Введем ''следующее понятие'':
** Назовём потенциалом два произвольных массива чисел <tex> u[1 \ldots n] </tex> и <tex> v[1 \ldots n] </tex> таких, что выполняется условие:
<tex> u[i] + v[j] \leqslant a[i][j] ~ (i = 1 \ldots n)</tex>, где <tex> a </tex> {{---}} заданная матрица
* '''Шаг 1.''' Добавляем в рассмотрение очередную строку матрицы <tex> a </tex>
* '''Шаг 2.''' Пока нет увеличивающей цепи, начинающейся в этой строке, пересчитываем потенциал.
* '''Шаг 3.''' Как только появляется увеличивающая цепь, чередуем паросочетание вдоль неё (включая тем самым последнюю строку в паросочетание), и переходим к началу (к рассмотрению следующей строки).
* Конец

=== Реализация ===

<tex> \mathtt{a[1 \dots n][1 \dots m]} </tex> {{---}} прямоугольная входная матрица, где <tex> \mathtt{n \leqslant m} </tex>. Матрица хранится в 1-индексации.

<tex> \mathtt{u[0 \dots n], v[0 \dots n]} </tex> {{---}} потенциал.

<tex> \mathtt{p[0 \dots m]} </tex> {{---}} массив паросочетания. Для каждого стобца <tex> \mathtt{i = 0 \dots m} </tex> он хранит номер соответствующей выбранной строки <tex> \mathtt{p[i]} </tex> (или <tex> \mathtt{0} </tex>, если ничего не выбрано). Полагаем, что <tex> \mathtt{p[0]} </tex> равно номеру рассматриваемой строки.

<tex> \mathtt{minv[1 \dots m]} </tex> {{---}} массив, хранящий для каждого столбца j вспомогательные минимумы, необходимые для быстрого пересчета потенциала.

<tex> \mathtt{minv[j] = \min\limits_{i \in Z_1}(a[i][j] - u[i] - v[j])} </tex>

<tex> \mathtt{way[1 \dots m]} </tex> {{---}} массив, содержащий информацию о том, где эти минимумы достигаются, чтобы мы могли впоследствии восстановить [[Паросочетания: основные определения, теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях|увеличивающую цепочку]].

'''function''' hungarianAlgorithm(a):
'''for''' i = 1 '''to''' n // рассматриваем строки матрицы ''a''
заполняем массивы ''minv'' {{---}} <tex> \infty </tex>, ''used'' {{---}} ''false''
'''while''' ''true'' // ищем свободный столбец
помечаем посещенными столбец ''j0'' и строку ''i0''
пересчитываем массив ''minv'', находим в нем минимум ''<tex> \delta </tex>'' и столбец ''j1'', в котором он достигнут
производим пересчет потенциала ''u'' и ''v'', соответствующее изменение ''minv''
если нашли свободный столбец {{---}} выходим из цикла
ищем увеличивающуюся цепочку, пользуясь массивом предков ''way''

=== Время работы ===
Оценим время работы алгоритма. Во внешнем цикле мы добавляем в рассмотрение строки матрицы одну за другой. Каждая строка обрабатывается за время <tex> O(n^2) </tex>, поскольку при этом могло происходить лишь <tex> O(n) </tex> пересчётов потенциала (каждый — за время <tex> O(n) </tex>), для чего за время <tex> O(n^2) </tex> поддерживается массив <tex> \mathtt{minv[]} </tex>; [[Алгоритм Куна для поиска максимального паросочетания|алгоритм Куна]] суммарно отработает за время <tex> O(n^2) </tex> (поскольку он представлен в форме <tex> O(n) </tex> итераций, на каждой из которых посещается новый столбец).

Итоговая асимптотика составляет <tex> O(n^3) </tex>.

== См. также ==
* [[Алгоритм Куна для поиска максимального паросочетания]]
* [[Связь максимального паросочетания и минимального вершинного покрытия в двудольных графах]]

== Источники информации ==
* Асанов М., Баранский В., Расин В. — Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы — 2010, 368 стр.
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/Венгерский_алгоритм Венгерский алготитм в Википедии]
* [http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/graph-flow-match/hungarian-2002 Визуализатор алгоритма]
* [http://acm.mipt.ru/twiki/bin/view/Algorithms/HungarianAlgorithmCPP?sortcol=5&table=2&up=0 Реализация венгерского алгоритма на C++]
* [http://e-maxx.ru/algo/assignment_hungary Венгерский алгоритм решения задачи о назначениях]

[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Задача о потоке минимальной стоимости]]

Венгерский алгоритм решения задачи о назначениях

2016-01-26T19:30:41Z

Da1s111: /* Время работы */

'''''Венгерский алгоритм''''' (англ. ''Hungarian algorithm'') — алгоритм, решающий задачу о назначениях за полиномиальное время. Оригинальная версия была придумана и разработана Х. Куном в 1955 году и имела асимптотику <tex> O(n^4) </tex>, но позже Эдмонс и Карп (а также, независимо от них, Томидзава) показали, что можно улучшить ее до <tex> O(n^3) </tex>.
{{Задача
|definition = Пусть дан [[Основные определения теории графов|взвешенный полный двудольный граф]] c целыми весами ребер <tex> K_{n, n} </tex>, нужно найти в нем [[Паросочетания: основные определения, теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях|полное паросочетание минимального веса]]. Вес паросочетания определяется как сумма весов его ребер. Далее будем обозначать левую и правую доли графа за <tex> X </tex> и <tex> Y </tex> соответственно, вес ребра <tex> xy </tex> — как <tex> c(xy) </tex>.
}}

== Вспомогательные леммы ==

{{Лемма
|statement=
Если веса всех ребер графа, инцидентных какой-либо вершине, изменить (увеличить или уменьшить) на одно и то же число, то в новом графе оптимальное паросочетание будет состоять из тех же ребер, что и в старом.
|proof=
Полное паросочетание для каждой вершины содержит ровно одно ребро, инцидентное этой вершине. Указанная операция изменит на одно и то же число вес любого паросочетания. Значит, ребро, которое принадлежало оптимальному паросочетанию в старом графе, в новом графе тоже будет ему принадлежать.
}}

Далее будем рассматривать только графы с неотрицательной весовой функцией, так как, согласно этой лемме, задачу о назначениях на остальных графах можно свести к задаче о назначениях на них.

{{Лемма
|statement=
Выделим в множествах <tex>X</tex> и <tex>Y</tex> подмножества <tex>X', Y'</tex>. Пусть <tex>d = \min \{c(xy) \mid x \in X \setminus X', y \in Y'\}</tex>. Прибавим <tex> d </tex> ко всем весам ребер, инцидентных вершинам из <tex>X'</tex>. Затем отнимем <tex> d </tex> от всех весов ребер, инцидентных вершинам из <tex>Y'</tex> (далее для краткости эта операция обозначается как <tex> X' \uparrow\downarrow Y' </tex>). Тогда:
# Веса всех ребер графа останутся неотрицательными.
# Веса ребер вида <tex>xy</tex>, где <tex>x \in X', y \in Y'</tex> или <tex>x \in X \backslash X', y \in Y \backslash Y'</tex>, не изменятся.
|proof=
Рассмотрим матрицу весов графа. Не умаляя общности, можно сказать, что множества <tex> X' </tex> и <tex> Y' </tex> состоят из первых элементов множеств <tex> X </tex> и <tex> Y </tex> соответственно (мы упорядочиваем множества по номерам вершин). Тогда вся матрица делится на 4 блока:

<table border = '1' bordercolor = 'black' rules = 'all' cellpadding = '5'>
<tr>
<td> </td>
<td> <tex> Y' </tex> </td>
<td> <tex> Y \backslash Y' </tex> </td>
</tr>
<tr>
<td> <tex> X' </tex> </td>
<td> <tex> A + d - d </tex> </td>
<td> <tex> C + d </tex> </td>
</tr>
<tr>
<td> <tex> X \backslash X' </tex> </td>
<td> <tex> B - d </tex> </td>
<td> <tex> D </tex> </td>
</tr>
</table>

Веса группы <tex> A </tex> будут сначала увеличены, а потом уменьшены на <tex> d </tex>, поэтому они не изменятся, веса группы <tex> D </tex> вообще изменяться не будут. Все веса группы <tex> B </tex> будут уменьшены на <tex> d </tex>, но <tex> d </tex> — минимум среди этих весов, поэтому они останутся неотрицательными.

}}

{{Лемма
|statement=
Если веса всех ребер графа неотрицательны и некоторое полное паросочетание состоит из ребер нулевого веса, то оно является оптимальным.
|proof=
Действительно, паросочетание с какими-то другими весами ребер имеет больший вес и оптимальным не является.
}}

== Общий метод ==

Доказанные ранее утверждения позволяют придумать схему алгоритма, решающего задачу о назначениях: нужно найти полное паросочетание из ребер нулевого веса в графе, полученном из исходного преобразованиями, описанными в первых двух леммах.

Алгоритм, решающий задачу, работает с графом, как с матрицей весов.

# Вычитаем из каждой строки значение ее минимального элемента. Теперь в каждой строке есть хотя бы один нулевой элемент.
# Вычитаем из каждого столбца значение его минимального элемента. Теперь в каждом столбце есть хотя бы один нулевой элемент.
# Ищем в текущем графе полное паросочетание из ребер нулевого веса:
#
#* Если оно найдено, то желаемый результат достигнут, алгоритм закончен.
#* В противном случае, покроем нули матрицы весов минимальным количеством строк и столбцов (это не что иное, как [[Связь максимального паросочетания и минимального вершинного покрытия в двудольных графах|нахождение минимального вершинного покрытия в двудольном графе]]). Пусть <tex> X_c </tex> и <tex> Y_c </tex> — множества вершин минимального вершинного покрытия из левой и правой долей (то есть, строк и столбцов) соответственно, тогда применим преобразование <tex> X_c \uparrow\downarrow (Y \setminus Y_c) </tex>. Для этого преобразования <tex> d </tex> будет минимумом по всем ребрам между <tex> X \setminus X_c </tex> и <tex> Y \setminus Y_c </tex>, то есть, ребер нулевого веса здесь нет, поэтому, после его выполнения в матрице весов появится новый нуль. После этого перейдем к шагу 1.

== Анализ времени работы ==

[[Алгоритм Форда-Фалкерсона для поиска максимального паросочетания|Поиск максимального паросочетания]] или [[Связь максимального паросочетания и минимального вершинного покрытия в двудольных графах|минимального вершинного покрытия]] в двудольном графе совершается за <tex> O(n^3) </tex> операций. При каждом повторении шагов 1-4 в матрице весов появляется новый нуль. Этот нуль соответствует некоторому новому ребру между вершинами из множеств <tex> X \setminus X_c </tex> и <tex> Y \setminus Y_c </tex>. Всего в графе <tex> n^2 </tex> ребер, значит, всего будет совершено не более <tex> O(n^2) </tex> итераций внешнего цикла. Поэтому, верхняя оценка времени работы данного метода — <tex> O(n^5) </tex>. Более точная оценка довольно сложна и зависит от порядка чисел в матрице весов графа.

== Алгоритм за <tex> O(n^3) </tex> ==

=== Общая идея ===
Будем добавлять в рассмотрение строки матрицы одну за одной, а не рассматривать их все сразу.

=== Описание алгоритма ===
* Начало
* '''Шаг 0.''' Введем ''следующее понятие'':
** Назовём потенциалом два произвольных массива чисел <tex> u[1 \ldots n] </tex> и <tex> v[1 \ldots n] </tex> таких, что выполняется условие:
<tex> u[i] + v[j] \leqslant a[i][j] ~ (i = 1 \ldots n)</tex>, где <tex> a </tex> {{---}} заданная матрица
* '''Шаг 1.''' Добавляем в рассмотрение очередную строку матрицы <tex> a </tex>
* '''Шаг 2.''' Пока нет увеличивающей цепи, начинающейся в этой строке, пересчитываем потенциал.
* '''Шаг 3.''' Как только появляется увеличивающая цепь, чередуем паросочетание вдоль неё (включая тем самым последнюю строку в паросочетание), и переходим к началу (к рассмотрению следующей строки).
* Конец

=== Реализация ===

<tex> \mathtt{a[1 \dots n][1 \dots m]} </tex> {{---}} прямоугольная входная матрица, где <tex> \mathtt{n \leqslant m} </tex>. Матрица хранится в 1-индексации.

<tex> \mathtt{u[0 \dots n], v[0 \dots n]} </tex> {{---}} массивы потенциалов.

<tex> \mathtt{p[0 \dots m]} </tex> {{---}} массив паросочетания. Для каждого стобца <tex> \mathtt{i = 0 \dots m} </tex> он хранит номер соответствующей выбранной строки <tex> \mathtt{p[i]} </tex> (или <tex> \mathtt{0} </tex>, если ничего не выбрано). Полагаем, что <tex> \mathtt{p[0]} </tex> равно номеру рассматриваемой строки.

<tex> \mathtt{minv[1 \dots m]} </tex> {{---}} массив, хранящий для каждого столбца j вспомогательные минимумы, необходимые для быстрого пересчета потенциала.

<tex> \mathtt{minv[j] = \min\limits_{i \in Z_1}(a[i][j] - u[i] - v[j])} </tex>

<tex> \mathtt{way[1 \dots m]} </tex> {{---}} массив, содержащий информацию о том, где эти минимумы достигаются, чтобы мы могли впоследствии восстановить [[Паросочетания: основные определения, теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях|увеличивающую цепочку]].

'''function''' hungarianAlgorithm(a):
'''for''' i = 1 '''to''' n // рассматриваем строки матрицы ''a''
заполняем массивы ''minv'' {{---}} <tex> \infty </tex>, ''used'' {{---}} ''false''
'''while''' ''true'' // ищем свободный столбец
помечаем посещенными столбец ''j0'' и строку ''i0''
пересчитываем массив ''minv'', находим в нем минимум ''<tex> \delta </tex>'' и столбец ''j1'', в котором он достигнут
производим пересчет потенциалов ''u'' и ''v'' и соответствующее изменение ''minv''
если нашли свободный столбец {{---}} выходим из цикла
ищем увеличивающуюся цепочку, пользуясь массивом предков ''way''

=== Время работы ===
Оценим время работы алгоритма. Во внешнем цикле мы добавляем в рассмотрение строки матрицы одну за другой. Каждая строка обрабатывается за время <tex> O(n^2) </tex>, поскольку при этом могло происходить лишь <tex> O(n) </tex> пересчётов потенциала (каждый — за время <tex> O(n) </tex>), для чего за время <tex> O(n^2) </tex> поддерживается массив <tex> \mathtt{minv[]} </tex>; [[Алгоритм Куна для поиска максимального паросочетания|алгоритм Куна]] суммарно отработает за время <tex> O(n^2) </tex> (поскольку он представлен в форме <tex> O(n) </tex> итераций, на каждой из которых посещается новый столбец).

Итоговая асимптотика составляет <tex> O(n^3) </tex>.

== См. также ==
* [[Алгоритм Куна для поиска максимального паросочетания]]
* [[Связь максимального паросочетания и минимального вершинного покрытия в двудольных графах]]

== Источники информации ==
* Асанов М., Баранский В., Расин В. — Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы — 2010, 368 стр.
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/Венгерский_алгоритм Венгерский алготитм в Википедии]
* [http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/graph-flow-match/hungarian-2002 Визуализатор алгоритма]
* [http://acm.mipt.ru/twiki/bin/view/Algorithms/HungarianAlgorithmCPP?sortcol=5&table=2&up=0 Реализация венгерского алгоритма на C++]
* [http://e-maxx.ru/algo/assignment_hungary Венгерский алгоритм решения задачи о назначениях]

[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Задача о потоке минимальной стоимости]]

Венгерский алгоритм решения задачи о назначениях

2016-01-26T19:30:00Z

Da1s111: /* Описание алгоритма */

'''''Венгерский алгоритм''''' (англ. ''Hungarian algorithm'') — алгоритм, решающий задачу о назначениях за полиномиальное время. Оригинальная версия была придумана и разработана Х. Куном в 1955 году и имела асимптотику <tex> O(n^4) </tex>, но позже Эдмонс и Карп (а также, независимо от них, Томидзава) показали, что можно улучшить ее до <tex> O(n^3) </tex>.
{{Задача
|definition = Пусть дан [[Основные определения теории графов|взвешенный полный двудольный граф]] c целыми весами ребер <tex> K_{n, n} </tex>, нужно найти в нем [[Паросочетания: основные определения, теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях|полное паросочетание минимального веса]]. Вес паросочетания определяется как сумма весов его ребер. Далее будем обозначать левую и правую доли графа за <tex> X </tex> и <tex> Y </tex> соответственно, вес ребра <tex> xy </tex> — как <tex> c(xy) </tex>.
}}

== Вспомогательные леммы ==

{{Лемма
|statement=
Если веса всех ребер графа, инцидентных какой-либо вершине, изменить (увеличить или уменьшить) на одно и то же число, то в новом графе оптимальное паросочетание будет состоять из тех же ребер, что и в старом.
|proof=
Полное паросочетание для каждой вершины содержит ровно одно ребро, инцидентное этой вершине. Указанная операция изменит на одно и то же число вес любого паросочетания. Значит, ребро, которое принадлежало оптимальному паросочетанию в старом графе, в новом графе тоже будет ему принадлежать.
}}

Далее будем рассматривать только графы с неотрицательной весовой функцией, так как, согласно этой лемме, задачу о назначениях на остальных графах можно свести к задаче о назначениях на них.

{{Лемма
|statement=
Выделим в множествах <tex>X</tex> и <tex>Y</tex> подмножества <tex>X', Y'</tex>. Пусть <tex>d = \min \{c(xy) \mid x \in X \setminus X', y \in Y'\}</tex>. Прибавим <tex> d </tex> ко всем весам ребер, инцидентных вершинам из <tex>X'</tex>. Затем отнимем <tex> d </tex> от всех весов ребер, инцидентных вершинам из <tex>Y'</tex> (далее для краткости эта операция обозначается как <tex> X' \uparrow\downarrow Y' </tex>). Тогда:
# Веса всех ребер графа останутся неотрицательными.
# Веса ребер вида <tex>xy</tex>, где <tex>x \in X', y \in Y'</tex> или <tex>x \in X \backslash X', y \in Y \backslash Y'</tex>, не изменятся.
|proof=
Рассмотрим матрицу весов графа. Не умаляя общности, можно сказать, что множества <tex> X' </tex> и <tex> Y' </tex> состоят из первых элементов множеств <tex> X </tex> и <tex> Y </tex> соответственно (мы упорядочиваем множества по номерам вершин). Тогда вся матрица делится на 4 блока:

<table border = '1' bordercolor = 'black' rules = 'all' cellpadding = '5'>
<tr>
<td> </td>
<td> <tex> Y' </tex> </td>
<td> <tex> Y \backslash Y' </tex> </td>
</tr>
<tr>
<td> <tex> X' </tex> </td>
<td> <tex> A + d - d </tex> </td>
<td> <tex> C + d </tex> </td>
</tr>
<tr>
<td> <tex> X \backslash X' </tex> </td>
<td> <tex> B - d </tex> </td>
<td> <tex> D </tex> </td>
</tr>
</table>

Веса группы <tex> A </tex> будут сначала увеличены, а потом уменьшены на <tex> d </tex>, поэтому они не изменятся, веса группы <tex> D </tex> вообще изменяться не будут. Все веса группы <tex> B </tex> будут уменьшены на <tex> d </tex>, но <tex> d </tex> — минимум среди этих весов, поэтому они останутся неотрицательными.

}}

{{Лемма
|statement=
Если веса всех ребер графа неотрицательны и некоторое полное паросочетание состоит из ребер нулевого веса, то оно является оптимальным.
|proof=
Действительно, паросочетание с какими-то другими весами ребер имеет больший вес и оптимальным не является.
}}

== Общий метод ==

Доказанные ранее утверждения позволяют придумать схему алгоритма, решающего задачу о назначениях: нужно найти полное паросочетание из ребер нулевого веса в графе, полученном из исходного преобразованиями, описанными в первых двух леммах.

Алгоритм, решающий задачу, работает с графом, как с матрицей весов.

# Вычитаем из каждой строки значение ее минимального элемента. Теперь в каждой строке есть хотя бы один нулевой элемент.
# Вычитаем из каждого столбца значение его минимального элемента. Теперь в каждом столбце есть хотя бы один нулевой элемент.
# Ищем в текущем графе полное паросочетание из ребер нулевого веса:
#
#* Если оно найдено, то желаемый результат достигнут, алгоритм закончен.
#* В противном случае, покроем нули матрицы весов минимальным количеством строк и столбцов (это не что иное, как [[Связь максимального паросочетания и минимального вершинного покрытия в двудольных графах|нахождение минимального вершинного покрытия в двудольном графе]]). Пусть <tex> X_c </tex> и <tex> Y_c </tex> — множества вершин минимального вершинного покрытия из левой и правой долей (то есть, строк и столбцов) соответственно, тогда применим преобразование <tex> X_c \uparrow\downarrow (Y \setminus Y_c) </tex>. Для этого преобразования <tex> d </tex> будет минимумом по всем ребрам между <tex> X \setminus X_c </tex> и <tex> Y \setminus Y_c </tex>, то есть, ребер нулевого веса здесь нет, поэтому, после его выполнения в матрице весов появится новый нуль. После этого перейдем к шагу 1.

== Анализ времени работы ==

[[Алгоритм Форда-Фалкерсона для поиска максимального паросочетания|Поиск максимального паросочетания]] или [[Связь максимального паросочетания и минимального вершинного покрытия в двудольных графах|минимального вершинного покрытия]] в двудольном графе совершается за <tex> O(n^3) </tex> операций. При каждом повторении шагов 1-4 в матрице весов появляется новый нуль. Этот нуль соответствует некоторому новому ребру между вершинами из множеств <tex> X \setminus X_c </tex> и <tex> Y \setminus Y_c </tex>. Всего в графе <tex> n^2 </tex> ребер, значит, всего будет совершено не более <tex> O(n^2) </tex> итераций внешнего цикла. Поэтому, верхняя оценка времени работы данного метода — <tex> O(n^5) </tex>. Более точная оценка довольно сложна и зависит от порядка чисел в матрице весов графа.

== Алгоритм за <tex> O(n^3) </tex> ==

=== Общая идея ===
Будем добавлять в рассмотрение строки матрицы одну за одной, а не рассматривать их все сразу.

=== Описание алгоритма ===
* Начало
* '''Шаг 0.''' Введем ''следующее понятие'':
** Назовём потенциалом два произвольных массива чисел <tex> u[1 \ldots n] </tex> и <tex> v[1 \ldots n] </tex> таких, что выполняется условие:
<tex> u[i] + v[j] \leqslant a[i][j] ~ (i = 1 \ldots n)</tex>, где <tex> a </tex> {{---}} заданная матрица
* '''Шаг 1.''' Добавляем в рассмотрение очередную строку матрицы <tex> a </tex>
* '''Шаг 2.''' Пока нет увеличивающей цепи, начинающейся в этой строке, пересчитываем потенциал.
* '''Шаг 3.''' Как только появляется увеличивающая цепь, чередуем паросочетание вдоль неё (включая тем самым последнюю строку в паросочетание), и переходим к началу (к рассмотрению следующей строки).
* Конец

=== Реализация ===

<tex> \mathtt{a[1 \dots n][1 \dots m]} </tex> {{---}} прямоугольная входная матрица, где <tex> \mathtt{n \leqslant m} </tex>. Матрица хранится в 1-индексации.

<tex> \mathtt{u[0 \dots n], v[0 \dots n]} </tex> {{---}} массивы потенциалов.

<tex> \mathtt{p[0 \dots m]} </tex> {{---}} массив паросочетания. Для каждого стобца <tex> \mathtt{i = 0 \dots m} </tex> он хранит номер соответствующей выбранной строки <tex> \mathtt{p[i]} </tex> (или <tex> \mathtt{0} </tex>, если ничего не выбрано). Полагаем, что <tex> \mathtt{p[0]} </tex> равно номеру рассматриваемой строки.

<tex> \mathtt{minv[1 \dots m]} </tex> {{---}} массив, хранящий для каждого столбца j вспомогательные минимумы, необходимые для быстрого пересчета потенциала.

<tex> \mathtt{minv[j] = \min\limits_{i \in Z_1}(a[i][j] - u[i] - v[j])} </tex>

<tex> \mathtt{way[1 \dots m]} </tex> {{---}} массив, содержащий информацию о том, где эти минимумы достигаются, чтобы мы могли впоследствии восстановить [[Паросочетания: основные определения, теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях|увеличивающую цепочку]].

'''function''' hungarianAlgorithm(a):
'''for''' i = 1 '''to''' n // рассматриваем строки матрицы ''a''
заполняем массивы ''minv'' {{---}} <tex> \infty </tex>, ''used'' {{---}} ''false''
'''while''' ''true'' // ищем свободный столбец
помечаем посещенными столбец ''j0'' и строку ''i0''
пересчитываем массив ''minv'', находим в нем минимум ''<tex> \delta </tex>'' и столбец ''j1'', в котором он достигнут
производим пересчет потенциалов ''u'' и ''v'' и соответствующее изменение ''minv''
если нашли свободный столбец {{---}} выходим из цикла
ищем увеличивающуюся цепочку, пользуясь массивом предков ''way''

=== Время работы ===
Оценим время работы алгоритма. Во внешнем цикле мы добавляем в рассмотрение строки матрицы одну за другой. Каждая строка обрабатывается за время <tex> O(n^2) </tex>, поскольку при этом могло происходить лишь <tex> O(n) </tex> пересчётов потенциала (каждый — за время <tex> O(n) </tex>), для чего за время <tex> O(n^2) </tex> поддерживается массив <tex> \mathtt{minv[]} </tex>; алгоритм Куна суммарно отработает за время <tex> O(n^2) </tex> (поскольку он представлен в форме <tex> O(n) </tex> итераций, на каждой из которых посещается новый столбец).

Итоговая асимптотика составляет <tex> O(n^3) </tex>.

== См. также ==
* [[Алгоритм Куна для поиска максимального паросочетания]]
* [[Связь максимального паросочетания и минимального вершинного покрытия в двудольных графах]]

== Источники информации ==
* Асанов М., Баранский В., Расин В. — Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы — 2010, 368 стр.
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/Венгерский_алгоритм Венгерский алготитм в Википедии]
* [http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/graph-flow-match/hungarian-2002 Визуализатор алгоритма]
* [http://acm.mipt.ru/twiki/bin/view/Algorithms/HungarianAlgorithmCPP?sortcol=5&table=2&up=0 Реализация венгерского алгоритма на C++]
* [http://e-maxx.ru/algo/assignment_hungary Венгерский алгоритм решения задачи о назначениях]

[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Задача о потоке минимальной стоимости]]

Венгерский алгоритм решения задачи о назначениях

2016-01-26T19:12:55Z

Da1s111: /* Реализация */

'''''Венгерский алгоритм''''' (англ. ''Hungarian algorithm'') — алгоритм, решающий задачу о назначениях за полиномиальное время. Оригинальная версия была придумана и разработана Х. Куном в 1955 году и имела асимптотику <tex> O(n^4) </tex>, но позже Эдмонс и Карп (а также, независимо от них, Томидзава) показали, что можно улучшить ее до <tex> O(n^3) </tex>.
{{Задача
|definition = Пусть дан [[Основные определения теории графов|взвешенный полный двудольный граф]] c целыми весами ребер <tex> K_{n, n} </tex>, нужно найти в нем [[Паросочетания: основные определения, теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях|полное паросочетание минимального веса]]. Вес паросочетания определяется как сумма весов его ребер. Далее будем обозначать левую и правую доли графа за <tex> X </tex> и <tex> Y </tex> соответственно, вес ребра <tex> xy </tex> — как <tex> c(xy) </tex>.
}}

== Вспомогательные леммы ==

{{Лемма
|statement=
Если веса всех ребер графа, инцидентных какой-либо вершине, изменить (увеличить или уменьшить) на одно и то же число, то в новом графе оптимальное паросочетание будет состоять из тех же ребер, что и в старом.
|proof=
Полное паросочетание для каждой вершины содержит ровно одно ребро, инцидентное этой вершине. Указанная операция изменит на одно и то же число вес любого паросочетания. Значит, ребро, которое принадлежало оптимальному паросочетанию в старом графе, в новом графе тоже будет ему принадлежать.
}}

Далее будем рассматривать только графы с неотрицательной весовой функцией, так как, согласно этой лемме, задачу о назначениях на остальных графах можно свести к задаче о назначениях на них.

{{Лемма
|statement=
Выделим в множествах <tex>X</tex> и <tex>Y</tex> подмножества <tex>X', Y'</tex>. Пусть <tex>d = \min \{c(xy) \mid x \in X \setminus X', y \in Y'\}</tex>. Прибавим <tex> d </tex> ко всем весам ребер, инцидентных вершинам из <tex>X'</tex>. Затем отнимем <tex> d </tex> от всех весов ребер, инцидентных вершинам из <tex>Y'</tex> (далее для краткости эта операция обозначается как <tex> X' \uparrow\downarrow Y' </tex>). Тогда:
# Веса всех ребер графа останутся неотрицательными.
# Веса ребер вида <tex>xy</tex>, где <tex>x \in X', y \in Y'</tex> или <tex>x \in X \backslash X', y \in Y \backslash Y'</tex>, не изменятся.
|proof=
Рассмотрим матрицу весов графа. Не умаляя общности, можно сказать, что множества <tex> X' </tex> и <tex> Y' </tex> состоят из первых элементов множеств <tex> X </tex> и <tex> Y </tex> соответственно (мы упорядочиваем множества по номерам вершин). Тогда вся матрица делится на 4 блока:

<table border = '1' bordercolor = 'black' rules = 'all' cellpadding = '5'>
<tr>
<td> </td>
<td> <tex> Y' </tex> </td>
<td> <tex> Y \backslash Y' </tex> </td>
</tr>
<tr>
<td> <tex> X' </tex> </td>
<td> <tex> A + d - d </tex> </td>
<td> <tex> C + d </tex> </td>
</tr>
<tr>
<td> <tex> X \backslash X' </tex> </td>
<td> <tex> B - d </tex> </td>
<td> <tex> D </tex> </td>
</tr>
</table>

Веса группы <tex> A </tex> будут сначала увеличены, а потом уменьшены на <tex> d </tex>, поэтому они не изменятся, веса группы <tex> D </tex> вообще изменяться не будут. Все веса группы <tex> B </tex> будут уменьшены на <tex> d </tex>, но <tex> d </tex> — минимум среди этих весов, поэтому они останутся неотрицательными.

}}

{{Лемма
|statement=
Если веса всех ребер графа неотрицательны и некоторое полное паросочетание состоит из ребер нулевого веса, то оно является оптимальным.
|proof=
Действительно, паросочетание с какими-то другими весами ребер имеет больший вес и оптимальным не является.
}}

== Общий метод ==

Доказанные ранее утверждения позволяют придумать схему алгоритма, решающего задачу о назначениях: нужно найти полное паросочетание из ребер нулевого веса в графе, полученном из исходного преобразованиями, описанными в первых двух леммах.

Алгоритм, решающий задачу, работает с графом, как с матрицей весов.

# Вычитаем из каждой строки значение ее минимального элемента. Теперь в каждой строке есть хотя бы один нулевой элемент.
# Вычитаем из каждого столбца значение его минимального элемента. Теперь в каждом столбце есть хотя бы один нулевой элемент.
# Ищем в текущем графе полное паросочетание из ребер нулевого веса:
#
#* Если оно найдено, то желаемый результат достигнут, алгоритм закончен.
#* В противном случае, покроем нули матрицы весов минимальным количеством строк и столбцов (это не что иное, как [[Связь максимального паросочетания и минимального вершинного покрытия в двудольных графах|нахождение минимального вершинного покрытия в двудольном графе]]). Пусть <tex> X_c </tex> и <tex> Y_c </tex> — множества вершин минимального вершинного покрытия из левой и правой долей (то есть, строк и столбцов) соответственно, тогда применим преобразование <tex> X_c \uparrow\downarrow (Y \setminus Y_c) </tex>. Для этого преобразования <tex> d </tex> будет минимумом по всем ребрам между <tex> X \setminus X_c </tex> и <tex> Y \setminus Y_c </tex>, то есть, ребер нулевого веса здесь нет, поэтому, после его выполнения в матрице весов появится новый нуль. После этого перейдем к шагу 1.

== Анализ времени работы ==

[[Алгоритм Форда-Фалкерсона для поиска максимального паросочетания|Поиск максимального паросочетания]] или [[Связь максимального паросочетания и минимального вершинного покрытия в двудольных графах|минимального вершинного покрытия]] в двудольном графе совершается за <tex> O(n^3) </tex> операций. При каждом повторении шагов 1-4 в матрице весов появляется новый нуль. Этот нуль соответствует некоторому новому ребру между вершинами из множеств <tex> X \setminus X_c </tex> и <tex> Y \setminus Y_c </tex>. Всего в графе <tex> n^2 </tex> ребер, значит, всего будет совершено не более <tex> O(n^2) </tex> итераций внешнего цикла. Поэтому, верхняя оценка времени работы данного метода — <tex> O(n^5) </tex>. Более точная оценка довольно сложна и зависит от порядка чисел в матрице весов графа.

== Алгоритм за <tex> O(n^3) </tex> ==

=== Общая идея ===
Будем добавлять в рассмотрение строки матрицы одну за одной, а не рассматривать их все сразу.

=== Описание алгоритма ===
* Добавляем в рассмотрение очередную строку матрицы <tex> \mathtt{a} </tex>.
* Пока нет увеличивающей цепи, начинающейся в этой строке, пересчитываем потенциал.
* Как только появляется увеличивающая цепь, чередуем паросочетание вдоль неё (включая тем самым последнюю строку в паросочетание), и переходим к началу (к рассмотрению следующей строки).

=== Реализация ===

<tex> \mathtt{a[1 \dots n][1 \dots m]} </tex> {{---}} прямоугольная входная матрица, где <tex> \mathtt{n \leqslant m} </tex>. Матрица хранится в 1-индексации.

<tex> \mathtt{u[0 \dots n], v[0 \dots n]} </tex> {{---}} массивы потенциалов.

<tex> \mathtt{p[0 \dots m]} </tex> {{---}} массив паросочетания. Для каждого стобца <tex> \mathtt{i = 0 \dots m} </tex> он хранит номер соответствующей выбранной строки <tex> \mathtt{p[i]} </tex> (или <tex> \mathtt{0} </tex>, если ничего не выбрано). Полагаем, что <tex> \mathtt{p[0]} </tex> равно номеру рассматриваемой строки.

<tex> \mathtt{minv[1 \dots m]} </tex> {{---}} массив, хранящий для каждого столбца j вспомогательные минимумы, необходимые для быстрого пересчета потенциала.

<tex> \mathtt{minv[j] = \min\limits_{i \in Z_1}(a[i][j] - u[i] - v[j])} </tex>

<tex> \mathtt{way[1 \dots m]} </tex> {{---}} массив, содержащий информацию о том, где эти минимумы достигаются, чтобы мы могли впоследствии восстановить [[Паросочетания: основные определения, теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях|увеличивающую цепочку]].

'''function''' hungarianAlgorithm(a):
'''for''' i = 1 '''to''' n // рассматриваем строки матрицы ''a''
заполняем массивы ''minv'' {{---}} <tex> \infty </tex>, ''used'' {{---}} ''false''
'''while''' ''true'' // ищем свободный столбец
помечаем посещенными столбец ''j0'' и строку ''i0''
пересчитываем массив ''minv'', находим в нем минимум ''<tex> \delta </tex>'' и столбец ''j1'', в котором он достигнут
производим пересчет потенциалов ''u'' и ''v'' и соответствующее изменение ''minv''
если нашли свободный столбец {{---}} выходим из цикла
ищем увеличивающуюся цепочку, пользуясь массивом предков ''way''

=== Время работы ===
Оценим время работы алгоритма. Во внешнем цикле мы добавляем в рассмотрение строки матрицы одну за другой. Каждая строка обрабатывается за время <tex> O(n^2) </tex>, поскольку при этом могло происходить лишь <tex> O(n) </tex> пересчётов потенциала (каждый — за время <tex> O(n) </tex>), для чего за время <tex> O(n^2) </tex> поддерживается массив <tex> \mathtt{minv[]} </tex>; алгоритм Куна суммарно отработает за время <tex> O(n^2) </tex> (поскольку он представлен в форме <tex> O(n) </tex> итераций, на каждой из которых посещается новый столбец).

Итоговая асимптотика составляет <tex> O(n^3) </tex>.

== См. также ==
* [[Алгоритм Куна для поиска максимального паросочетания]]
* [[Связь максимального паросочетания и минимального вершинного покрытия в двудольных графах]]

== Источники информации ==
* Асанов М., Баранский В., Расин В. — Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы — 2010, 368 стр.
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/Венгерский_алгоритм Венгерский алготитм в Википедии]
* [http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/graph-flow-match/hungarian-2002 Визуализатор алгоритма]
* [http://acm.mipt.ru/twiki/bin/view/Algorithms/HungarianAlgorithmCPP?sortcol=5&table=2&up=0 Реализация венгерского алгоритма на C++]
* [http://e-maxx.ru/algo/assignment_hungary Венгерский алгоритм решения задачи о назначениях]

[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Задача о потоке минимальной стоимости]]

Венгерский алгоритм решения задачи о назначениях

2016-01-26T18:18:05Z

Da1s111:

'''''Венгерский алгоритм''''' (англ. ''Hungarian algorithm'') — алгоритм, решающий задачу о назначениях за полиномиальное время. Оригинальная версия была придумана и разработана Х. Куном в 1955 году и имела асимптотику <tex> O(n^4) </tex>, но позже Эдмонс и Карп (а также, независимо от них, Томидзава) показали, что можно улучшить ее до <tex> O(n^3) </tex>.
{{Задача
|definition = Пусть дан [[Основные определения теории графов|взвешенный полный двудольный граф]] c целыми весами ребер <tex> K_{n, n} </tex>, нужно найти в нем [[Паросочетания: основные определения, теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях|полное паросочетание минимального веса]]. Вес паросочетания определяется как сумма весов его ребер. Далее будем обозначать левую и правую доли графа за <tex> X </tex> и <tex> Y </tex> соответственно, вес ребра <tex> xy </tex> — как <tex> c(xy) </tex>.
}}

== Вспомогательные леммы ==

{{Лемма
|statement=
Если веса всех ребер графа, инцидентных какой-либо вершине, изменить (увеличить или уменьшить) на одно и то же число, то в новом графе оптимальное паросочетание будет состоять из тех же ребер, что и в старом.
|proof=
Полное паросочетание для каждой вершины содержит ровно одно ребро, инцидентное этой вершине. Указанная операция изменит на одно и то же число вес любого паросочетания. Значит, ребро, которое принадлежало оптимальному паросочетанию в старом графе, в новом графе тоже будет ему принадлежать.
}}

Далее будем рассматривать только графы с неотрицательной весовой функцией, так как, согласно этой лемме, задачу о назначениях на остальных графах можно свести к задаче о назначениях на них.

{{Лемма
|statement=
Выделим в множествах <tex>X</tex> и <tex>Y</tex> подмножества <tex>X', Y'</tex>. Пусть <tex>d = \min \{c(xy) \mid x \in X \setminus X', y \in Y'\}</tex>. Прибавим <tex> d </tex> ко всем весам ребер, инцидентных вершинам из <tex>X'</tex>. Затем отнимем <tex> d </tex> от всех весов ребер, инцидентных вершинам из <tex>Y'</tex> (далее для краткости эта операция обозначается как <tex> X' \uparrow\downarrow Y' </tex>). Тогда:
# Веса всех ребер графа останутся неотрицательными.
# Веса ребер вида <tex>xy</tex>, где <tex>x \in X', y \in Y'</tex> или <tex>x \in X \backslash X', y \in Y \backslash Y'</tex>, не изменятся.
|proof=
Рассмотрим матрицу весов графа. Не умаляя общности, можно сказать, что множества <tex> X' </tex> и <tex> Y' </tex> состоят из первых элементов множеств <tex> X </tex> и <tex> Y </tex> соответственно (мы упорядочиваем множества по номерам вершин). Тогда вся матрица делится на 4 блока:

<table border = '1' bordercolor = 'black' rules = 'all' cellpadding = '5'>
<tr>
<td> </td>
<td> <tex> Y' </tex> </td>
<td> <tex> Y \backslash Y' </tex> </td>
</tr>
<tr>
<td> <tex> X' </tex> </td>
<td> <tex> A + d - d </tex> </td>
<td> <tex> C + d </tex> </td>
</tr>
<tr>
<td> <tex> X \backslash X' </tex> </td>
<td> <tex> B - d </tex> </td>
<td> <tex> D </tex> </td>
</tr>
</table>

Веса группы <tex> A </tex> будут сначала увеличены, а потом уменьшены на <tex> d </tex>, поэтому они не изменятся, веса группы <tex> D </tex> вообще изменяться не будут. Все веса группы <tex> B </tex> будут уменьшены на <tex> d </tex>, но <tex> d </tex> — минимум среди этих весов, поэтому они останутся неотрицательными.

}}

{{Лемма
|statement=
Если веса всех ребер графа неотрицательны и некоторое полное паросочетание состоит из ребер нулевого веса, то оно является оптимальным.
|proof=
Действительно, паросочетание с какими-то другими весами ребер имеет больший вес и оптимальным не является.
}}

== Общий метод ==

Доказанные ранее утверждения позволяют придумать схему алгоритма, решающего задачу о назначениях: нужно найти полное паросочетание из ребер нулевого веса в графе, полученном из исходного преобразованиями, описанными в первых двух леммах.

Алгоритм, решающий задачу, работает с графом, как с матрицей весов.

# Вычитаем из каждой строки значение ее минимального элемента. Теперь в каждой строке есть хотя бы один нулевой элемент.
# Вычитаем из каждого столбца значение его минимального элемента. Теперь в каждом столбце есть хотя бы один нулевой элемент.
# Ищем в текущем графе полное паросочетание из ребер нулевого веса:
#
#* Если оно найдено, то желаемый результат достигнут, алгоритм закончен.
#* В противном случае, покроем нули матрицы весов минимальным количеством строк и столбцов (это не что иное, как [[Связь максимального паросочетания и минимального вершинного покрытия в двудольных графах|нахождение минимального вершинного покрытия в двудольном графе]]). Пусть <tex> X_c </tex> и <tex> Y_c </tex> — множества вершин минимального вершинного покрытия из левой и правой долей (то есть, строк и столбцов) соответственно, тогда применим преобразование <tex> X_c \uparrow\downarrow (Y \setminus Y_c) </tex>. Для этого преобразования <tex> d </tex> будет минимумом по всем ребрам между <tex> X \setminus X_c </tex> и <tex> Y \setminus Y_c </tex>, то есть, ребер нулевого веса здесь нет, поэтому, после его выполнения в матрице весов появится новый нуль. После этого перейдем к шагу 1.

== Анализ времени работы ==

[[Алгоритм Форда-Фалкерсона для поиска максимального паросочетания|Поиск максимального паросочетания]] или [[Связь максимального паросочетания и минимального вершинного покрытия в двудольных графах|минимального вершинного покрытия]] в двудольном графе совершается за <tex> O(n^3) </tex> операций. При каждом повторении шагов 1-4 в матрице весов появляется новый нуль. Этот нуль соответствует некоторому новому ребру между вершинами из множеств <tex> X \setminus X_c </tex> и <tex> Y \setminus Y_c </tex>. Всего в графе <tex> n^2 </tex> ребер, значит, всего будет совершено не более <tex> O(n^2) </tex> итераций внешнего цикла. Поэтому, верхняя оценка времени работы данного метода — <tex> O(n^5) </tex>. Более точная оценка довольно сложна и зависит от порядка чисел в матрице весов графа.

== Алгоритм за <tex> O(n^3) </tex> ==

=== Общая идея ===
Будем добавлять в рассмотрение строки матрицы одну за одной, а не рассматривать их все сразу.

=== Описание алгоритма ===
* Добавляем в рассмотрение очередную строку матрицы <tex> \mathtt{a} </tex>.
* Пока нет увеличивающей цепи, начинающейся в этой строке, пересчитываем потенциал.
* Как только появляется увеличивающая цепь, чередуем паросочетание вдоль неё (включая тем самым последнюю строку в паросочетание), и переходим к началу (к рассмотрению следующей строки).

=== Реализация ===

<tex> \mathtt{a[1 \dots n][1 \dots m]} </tex> {{---}} прямоугольная входная матрица, где <tex> \mathtt{n \leqslant m} </tex>. Матрица хранится в 1-индексации.

<tex> \mathtt{u[0 \dots n], v[0 \dots n]} </tex> {{---}} массивы потенциалов.

<tex> \mathtt{p[0 \dots m]} </tex> {{---}} массив паросочетания. Для каждого стобца <tex> \mathtt{i = 0 \dots m} </tex> он хранит номер соответствующей выбранной строки <tex> \mathtt{p[i]} </tex> (или 0, если ничего не выбрано). Полагаем, что <tex> \mathtt{p[0]} </tex> равно номеру рассматриваемой строки.

<tex> \mathtt{minv[1 \dots m]} </tex> {{---}} массив, хранящий для каждого столбца j вспомогательные минимумы, необходимые для быстрого пересчета потенциала.

<tex> \mathtt{minv[j] = \min_{i \in Z_1}\{a[i][j] - u[i] - v[j]\}} </tex>

<tex> \mathtt{way[1 \dots m]} </tex> {{---}} массив, содержащий информацию о том, где эти минимумы достигаются, чтобы мы могли впоследствии восстановить [[Паросочетания: основные определения, теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях|увеличивающую цепочку]].

'''function''' hungarianAlgorithm(a):
'''for''' i = 1 '''to''' n
p[0] = i
j0 = 0
заполняем массивы '''minv''' {{---}} <tex> \infty </tex>, '''used''' {{---}} false
'''while''' true
used[j0] = true
i0 = p[j0]
<tex> \delta </tex> = <tex> \infty </tex>
'''for''' j = 1 '''to''' m
'''if''' used[j] == 0
cur = a[i0][j] - u[i0] - v[j]
'''if''' cur < minv[j]
minv[j] = cur
way[j] = j0
'''if''' minv[j] < <tex> \delta </tex>
<tex> \delta </tex> = minv[j]
j1 = j
'''for''' j = 0 '''to''' m
'''if''' used[j]
u[p[j]] += <tex> \delta </tex>
v[j] -= <tex> \delta </tex>
'''else'''
minv[j] -= <tex> \delta </tex>
j0 = j1
'''if''' p[j0] != 0
'''break'''
'''while''' true
j1 = way[j0]
p[j0] = p[j1]
j0 = j1
'''if''' j0 <tex> \neq </tex> 0
'''break'''

=== Время работы ===
Оценим время работы алгоритма. Во внешнем цикле мы добавляем в рассмотрение строки матрицы одну за другой. Каждая строка обрабатывается за время <tex> O(n^2) </tex>, поскольку при этом могло происходить лишь <tex> O(n) </tex> пересчётов потенциала (каждый — за время <tex> O(n) </tex>), для чего за время <tex> O(n^2) </tex> поддерживается массив <tex> \mathtt{minv[]} </tex>; алгоритм Куна суммарно отработает за время <tex> O(n^2) </tex> (поскольку он представлен в форме <tex> O(n) </tex> итераций, на каждой из которых посещается новый столбец).

Итоговая асимптотика составляет <tex> O(n^3) </tex>.

== См. также ==
* [[Алгоритм Куна для поиска максимального паросочетания]]
* [[Связь максимального паросочетания и минимального вершинного покрытия в двудольных графах]]

== Источники информации ==
* Асанов М., Баранский В., Расин В. — Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы — 2010, 368 стр.
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/Венгерский_алгоритм Венгерский алготитм в Википедии]
* [http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/graph-flow-match/hungarian-2002 Визуализатор алгоритма]
* [http://acm.mipt.ru/twiki/bin/view/Algorithms/HungarianAlgorithmCPP?sortcol=5&table=2&up=0 Реализация венгерского алгоритма на C++]
* [http://e-maxx.ru/algo/assignment_hungary Венгерский алгоритм решения задачи о назначениях]

[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Задача о потоке минимальной стоимости]]

Венгерский алгоритм решения задачи о назначениях

2016-01-25T22:23:14Z

Da1s111: /* Анализ времени работы */

'''Венгерский алгоритм''' (англ. '''Hungarian algorithm''') — алгоритм, решающий задачу о назначениях за полиномиальное время. Оригинальная версия была придумана и разработана Х. Куном в 1955 году и имела асимптотику <tex> O(n^4) </tex>, но позже Эдмонс и Карп (а также, независимо от них, Томидзава) показали, что можно улучшить ее до <tex> O(n^3) </tex>.
{{Задача
|definition = Пусть дан [[Основные определения теории графов|взвешенный полный двудольный граф]] c целыми весами ребер <tex> K_{n, n} </tex>, нужно найти в нем [[Паросочетания: основные определения, теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях|полное паросочетание минимального веса]]. Вес паросочетания определяется как сумма весов его ребер. Далее будем обозначать левую и правую доли графа за <tex> X </tex> и <tex> Y </tex> соответственно, вес ребра <tex> xy </tex> — как <tex> c(xy) </tex>.
}}

== Вспомогательные леммы ==

{{Лемма
|statement=
Если веса всех ребер графа, инцидентных какой-либо вершине, изменить (увеличить или уменьшить) на одно и то же число, то в новом графе оптимальное паросочетание будет состоять из тех же ребер, что и в старом.
|proof=
Полное паросочетание для каждой вершины содержит ровно одно ребро, инцидентное этой вершине. Указанная операция изменит на одно и то же число вес любого паросочетания. Значит, ребро, которое принадлежало оптимальному паросочетанию в старом графе, в новом графе тоже будет ему принадлежать.
}}

Далее будем рассматривать только графы с неотрицательной весовой функцией, так как, согласно этой лемме, задачу о назначениях на остальных графах можно свести к задаче о назначениях на них.

{{Лемма
|statement=
Выделим в множествах <tex>X</tex> и <tex>Y</tex> подмножества <tex>X', Y'</tex>. Пусть <tex>d = \min \{c(xy) \mid x \in X \setminus X', y \in Y'\}</tex>. Прибавим <tex> d </tex> ко всем весам ребер, инцидентных вершинам из <tex>X'</tex>. Затем отнимем <tex> d </tex> от всех весов ребер, инцидентных вершинам из <tex>Y'</tex> (далее для краткости эта операция обозначается как <tex> X' \uparrow\downarrow Y' </tex>). Тогда:
# Веса всех ребер графа останутся неотрицательными.
# Веса ребер вида <tex>xy</tex>, где <tex>x \in X', y \in Y'</tex> или <tex>x \in X \backslash X', y \in Y \backslash Y'</tex>, не изменятся.
|proof=
Рассмотрим матрицу весов графа. Не умаляя общности, можно сказать, что множества <tex> X' </tex> и <tex> Y' </tex> состоят из первых элементов множеств <tex> X </tex> и <tex> Y </tex> соответственно (мы упорядочиваем множества по номерам вершин). Тогда вся матрица делится на 4 блока:

<table border = '1' bordercolor = 'black' rules = 'all' cellpadding = '5'>
<tr>
<td> </td>
<td> <tex> Y' </tex> </td>
<td> <tex> Y \backslash Y' </tex> </td>
</tr>
<tr>
<td> <tex> X' </tex> </td>
<td> <tex> A + d - d </tex> </td>
<td> <tex> C + d </tex> </td>
</tr>
<tr>
<td> <tex> X \backslash X' </tex> </td>
<td> <tex> B - d </tex> </td>
<td> <tex> D </tex> </td>
</tr>
</table>

Веса группы <tex> A </tex> будут сначала увеличены, а потом уменьшены на <tex> d </tex>, поэтому они не изменятся, веса группы <tex> D </tex> вообще изменяться не будут. Все веса группы <tex> B </tex> будут уменьшены на <tex> d </tex>, но <tex> d </tex> — минимум среди этих весов, поэтому они останутся неотрицательными.

}}

{{Лемма
|statement=
Если веса всех ребер графа неотрицательны и некоторое полное паросочетание состоит из ребер нулевого веса, то оно является оптимальным.
|proof=
Действительно, паросочетание с какими-то другими весами ребер имеет больший вес и оптимальным не является.
}}

== Общий метод ==

Доказанные ранее утверждения позволяют придумать схему алгоритма, решающего задачу о назначениях: нужно найти полное паросочетание из ребер нулевого веса в графе, полученном из исходного преобразованиями, описанными в первых двух леммах.

Алгоритм, решающий задачу, работает с графом, как с матрицей весов.

# Вычитаем из каждой строки значение ее минимального элемента. Теперь в каждой строке есть хотя бы один нулевой элемент.
# Вычитаем из каждого столбца значение его минимального элемента. Теперь в каждом столбце есть хотя бы один нулевой элемент.
# Ищем в текущем графе полное паросочетание из ребер нулевого веса:
#
#* Если оно найдено, то желаемый результат достигнут, алгоритм закончен.
#* В противном случае, покроем нули матрицы весов минимальным количеством строк и столбцов (это не что иное, как [[Связь максимального паросочетания и минимального вершинного покрытия в двудольных графах|нахождение минимального вершинного покрытия в двудольном графе]]). Пусть <tex> X_c </tex> и <tex> Y_c </tex> — множества вершин минимального вершинного покрытия из левой и правой долей (то есть, строк и столбцов) соответственно, тогда применим преобразование <tex> X_c \uparrow\downarrow (Y \setminus Y_c) </tex>. Для этого преобразования <tex> d </tex> будет минимумом по всем ребрам между <tex> X \setminus X_c </tex> и <tex> Y \setminus Y_c </tex>, то есть, ребер нулевого веса здесь нет, поэтому, после его выполнения в матрице весов появится новый нуль. После этого перейдем к шагу 1.

== Анализ времени работы ==

[[Алгоритм Форда-Фалкерсона для поиска максимального паросочетания|Поиск максимального паросочетания]] или [[Связь максимального паросочетания и минимального вершинного покрытия в двудольных графах|минимального вершинного покрытия]] в двудольном графе совершается за <tex> O(n^3) </tex> операций. При каждом повторении шагов 1-4 в матрице весов появляется новый нуль. Этот нуль соответствует некоторому новому ребру между вершинами из множеств <tex> X \setminus X_c </tex> и <tex> Y \setminus Y_c </tex>. Всего в графе <tex> n^2 </tex> ребер, значит, всего будет совершено не более <tex> O(n^2) </tex> итераций внешнего цикла. Поэтому, верхняя оценка времени работы данного метода — <tex> O(n^5) </tex>. Более точная оценка довольно сложна и зависит от порядка чисел в матрице весов графа.

== Алгоритм за <tex> O(n^3) </tex> ==

=== Общая идея ===
Будем добавлять в рассмотрение строки матрицы одну за одной, а не рассматривать их все сразу.

=== Описание алгоритма ===
* Добавляем в рассмотрение очередную строку матрицы <tex> \mathtt{a} </tex>.
* Пока нет увеличивающей цепи, начинающейся в этой строке, пересчитываем потенциал.
* Как только появляется увеличивающая цепь, чередуем паросочетание вдоль неё (включая тем самым последнюю строку в паросочетание), и переходим к началу (к рассмотрению следующей строки).

=== Реализация ===

<tex> \mathtt{a[1 \dots n][1 \dots m]} </tex> {{---}} прямоугольная входная матрица, где <tex> \mathtt{n \leqslant m} </tex>. Матрица хранится в 1-индексации.

<tex> \mathtt{u[0 \dots n], v[0 \dots n]} </tex> {{---}} массивы потенциалов.

<tex> \mathtt{p[0 \dots m]} </tex> {{---}} массив паросочетания. Для каждого стобца <tex> \mathtt{i = 0 \dots m} </tex> он хранит номер соответствующей выбранной строки <tex> \mathtt{p[i]} </tex> (или 0, если ничего не выбрано). Полагаем, что <tex> \mathtt{p[0]} </tex> равно номеру рассматриваемой строки.

<tex> \mathtt{minv[1 \dots m]} </tex> {{---}} массив, хранящий для каждого столбца j вспомогательные минимумы, необходимые для быстрого пересчета потенциала.

<tex> \mathtt{minv[j] = \min_{i \in Z_1}\{a[i][j] - u[i] - v[j]\}} </tex>

<tex> \mathtt{way[1 \dots m]} </tex> {{---}} массив, содержащий информацию о том, где эти минимумы достигаются, чтобы мы могли впоследствии восстановить [[Паросочетания: основные определения, теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях|увеличивающую цепочку]].

'''function''' hungarianAlgorithm(a):
'''for''' i = 1 '''to''' n
p[0] = i
j0 = 0
заполняем массивы '''minv''' {{---}} <tex> \infty </tex>, '''used''' {{---}} false
'''while''' true
used[j0] = true
i0 = p[j0]
<tex> \delta </tex> = <tex> \infty </tex>
'''for''' j = 1 '''to''' m
'''if''' used[j] == 0
cur = a[i0][j] - u[i0] - v[j]
'''if''' cur < minv[j]
minv[j] = cur
way[j] = j0
'''if''' minv[j] < <tex> \delta </tex>
<tex> \delta </tex> = minv[j]
j1 = j
'''for''' j = 0 '''to''' m
'''if''' used[j]
u[p[j]] += <tex> \delta </tex>
v[j] -= <tex> \delta </tex>
'''else'''
minv[j] -= <tex> \delta </tex>
j0 = j1
'''if''' p[j0] != 0
'''break'''
'''while''' true
j1 = way[j0]
p[j0] = p[j1]
j0 = j1
'''if''' j0 <tex> \neq </tex> 0
'''break'''

=== Время работы ===
Оценим время работы алгоритма. Во внешнем цикле мы добавляем в рассмотрение строки матрицы одну за другой. Каждая строка обрабатывается за время <tex> O(n^2) </tex>, поскольку при этом могло происходить лишь <tex> O(n) </tex> пересчётов потенциала (каждый — за время <tex> O(n) </tex>), для чего за время <tex> O(n^2) </tex> поддерживается массив <tex> \mathtt{minv[]} </tex>; алгоритм Куна суммарно отработает за время <tex> O(n^2) </tex> (поскольку он представлен в форме <tex> O(n) </tex> итераций, на каждой из которых посещается новый столбец).

Итоговая асимптотика составляет <tex> O(n^3) </tex>.

== См. также ==
* [[Алгоритм Куна для поиска максимального паросочетания]]
* [[Связь максимального паросочетания и минимального вершинного покрытия в двудольных графах]]

== Источники информации ==
* Асанов М., Баранский В., Расин В. — Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы — 2010, 368 стр.
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/Венгерский_алгоритм Венгерский алготитм в Википедии]
* [http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/graph-flow-match/hungarian-2002 Визуализатор алгоритма]
* [http://acm.mipt.ru/twiki/bin/view/Algorithms/HungarianAlgorithmCPP?sortcol=5&table=2&up=0 Реализация венгерского алгоритма на C++]
* [http://e-maxx.ru/algo/assignment_hungary Венгерский алгоритм решения задачи о назначениях]

[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Задача о потоке минимальной стоимости]]

Венгерский алгоритм решения задачи о назначениях

2016-01-25T22:08:29Z

Da1s111: /* Алгоритм за O(n^3) */

'''Венгерский алгоритм''' (англ. '''Hungarian algorithm''') — алгоритм, решающий задачу о назначениях за полиномиальное время. Оригинальная версия была придумана и разработана Х. Куном в 1955 году и имела асимптотику <tex> O(n^4) </tex>, но позже Эдмонс и Карп (а также, независимо от них, Томидзава) показали, что можно улучшить ее до <tex> O(n^3) </tex>.
{{Задача
|definition = Пусть дан [[Основные определения теории графов|взвешенный полный двудольный граф]] c целыми весами ребер <tex> K_{n, n} </tex>, нужно найти в нем [[Паросочетания: основные определения, теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях|полное паросочетание минимального веса]]. Вес паросочетания определяется как сумма весов его ребер. Далее будем обозначать левую и правую доли графа за <tex> X </tex> и <tex> Y </tex> соответственно, вес ребра <tex> xy </tex> — как <tex> c(xy) </tex>.
}}

== Вспомогательные леммы ==

{{Лемма
|statement=
Если веса всех ребер графа, инцидентных какой-либо вершине, изменить (увеличить или уменьшить) на одно и то же число, то в новом графе оптимальное паросочетание будет состоять из тех же ребер, что и в старом.
|proof=
Полное паросочетание для каждой вершины содержит ровно одно ребро, инцидентное этой вершине. Указанная операция изменит на одно и то же число вес любого паросочетания. Значит, ребро, которое принадлежало оптимальному паросочетанию в старом графе, в новом графе тоже будет ему принадлежать.
}}

Далее будем рассматривать только графы с неотрицательной весовой функцией, так как, согласно этой лемме, задачу о назначениях на остальных графах можно свести к задаче о назначениях на них.

{{Лемма
|statement=
Выделим в множествах <tex>X</tex> и <tex>Y</tex> подмножества <tex>X', Y'</tex>. Пусть <tex>d = \min \{c(xy) \mid x \in X \setminus X', y \in Y'\}</tex>. Прибавим <tex> d </tex> ко всем весам ребер, инцидентных вершинам из <tex>X'</tex>. Затем отнимем <tex> d </tex> от всех весов ребер, инцидентных вершинам из <tex>Y'</tex> (далее для краткости эта операция обозначается как <tex> X' \uparrow\downarrow Y' </tex>). Тогда:
# Веса всех ребер графа останутся неотрицательными.
# Веса ребер вида <tex>xy</tex>, где <tex>x \in X', y \in Y'</tex> или <tex>x \in X \backslash X', y \in Y \backslash Y'</tex>, не изменятся.
|proof=
Рассмотрим матрицу весов графа. Не умаляя общности, можно сказать, что множества <tex> X' </tex> и <tex> Y' </tex> состоят из первых элементов множеств <tex> X </tex> и <tex> Y </tex> соответственно (мы упорядочиваем множества по номерам вершин). Тогда вся матрица делится на 4 блока:

<table border = '1' bordercolor = 'black' rules = 'all' cellpadding = '5'>
<tr>
<td> </td>
<td> <tex> Y' </tex> </td>
<td> <tex> Y \backslash Y' </tex> </td>
</tr>
<tr>
<td> <tex> X' </tex> </td>
<td> <tex> A + d - d </tex> </td>
<td> <tex> C + d </tex> </td>
</tr>
<tr>
<td> <tex> X \backslash X' </tex> </td>
<td> <tex> B - d </tex> </td>
<td> <tex> D </tex> </td>
</tr>
</table>

Веса группы <tex> A </tex> будут сначала увеличены, а потом уменьшены на <tex> d </tex>, поэтому они не изменятся, веса группы <tex> D </tex> вообще изменяться не будут. Все веса группы <tex> B </tex> будут уменьшены на <tex> d </tex>, но <tex> d </tex> — минимум среди этих весов, поэтому они останутся неотрицательными.

}}

{{Лемма
|statement=
Если веса всех ребер графа неотрицательны и некоторое полное паросочетание состоит из ребер нулевого веса, то оно является оптимальным.
|proof=
Действительно, паросочетание с какими-то другими весами ребер имеет больший вес и оптимальным не является.
}}

== Общий метод ==

Доказанные ранее утверждения позволяют придумать схему алгоритма, решающего задачу о назначениях: нужно найти полное паросочетание из ребер нулевого веса в графе, полученном из исходного преобразованиями, описанными в первых двух леммах.

Алгоритм, решающий задачу, работает с графом, как с матрицей весов.

# Вычитаем из каждой строки значение ее минимального элемента. Теперь в каждой строке есть хотя бы один нулевой элемент.
# Вычитаем из каждого столбца значение его минимального элемента. Теперь в каждом столбце есть хотя бы один нулевой элемент.
# Ищем в текущем графе полное паросочетание из ребер нулевого веса:
#
#* Если оно найдено, то желаемый результат достигнут, алгоритм закончен.
#* В противном случае, покроем нули матрицы весов минимальным количеством строк и столбцов (это не что иное, как [[Связь максимального паросочетания и минимального вершинного покрытия в двудольных графах|нахождение минимального вершинного покрытия в двудольном графе]]). Пусть <tex> X_c </tex> и <tex> Y_c </tex> — множества вершин минимального вершинного покрытия из левой и правой долей (то есть, строк и столбцов) соответственно, тогда применим преобразование <tex> X_c \uparrow\downarrow (Y \setminus Y_c) </tex>. Для этого преобразования <tex> d </tex> будет минимумом по всем ребрам между <tex> X \setminus X_c </tex> и <tex> Y \setminus Y_c </tex>, то есть, ребер нулевого веса здесь нет, поэтому, после его выполнения в матрице весов появится новый нуль. После этого перейдем к шагу 1.

== Анализ времени работы ==

[[Алгоритм Форда-Фалкерсона для поиска максимального паросочетания|Поиск максимального паросочетания]] или [[Связь максимального паросочетания и минимального вершинного покрытия в двудольных графах|минимального вершинного покрытия]] в двудольном графе совершается за <tex> O(n^3) </tex> операций. При каждом повторении шагов 1-4 в матрице весов появляется новый нуль. Этот нуль соответствует некоторому новому ребру между вершинами из множеств <tex> X \setminus X_c </tex> и <tex> Y \setminus Y_c </tex>. Всего в графе n^2 ребер, значит, всего будет совершено не более <tex> O(n^2) </tex> итераций внешнего цикла. Поэтому, верхняя оценка времени работы данного метода — <tex> O(n^5) </tex>. Более точная оценка довольно сложна и зависит от порядка чисел в матрице весов графа.

== Алгоритм за <tex> O(n^3) </tex> ==

=== Общая идея ===
Будем добавлять в рассмотрение строки матрицы одну за одной, а не рассматривать их все сразу.

=== Описание алгоритма ===
* Добавляем в рассмотрение очередную строку матрицы <tex> \mathtt{a} </tex>.
* Пока нет увеличивающей цепи, начинающейся в этой строке, пересчитываем потенциал.
* Как только появляется увеличивающая цепь, чередуем паросочетание вдоль неё (включая тем самым последнюю строку в паросочетание), и переходим к началу (к рассмотрению следующей строки).

=== Реализация ===

<tex> \mathtt{a[1 \dots n][1 \dots m]} </tex> {{---}} прямоугольная входная матрица, где <tex> \mathtt{n \leqslant m} </tex>. Матрица хранится в 1-индексации.

<tex> \mathtt{u[0 \dots n], v[0 \dots n]} </tex> {{---}} массивы потенциалов.

<tex> \mathtt{p[0 \dots m]} </tex> {{---}} массив паросочетания. Для каждого стобца <tex> \mathtt{i = 0 \dots m} </tex> он хранит номер соответствующей выбранной строки <tex> \mathtt{p[i]} </tex> (или 0, если ничего не выбрано). Полагаем, что <tex> \mathtt{p[0]} </tex> равно номеру рассматриваемой строки.

<tex> \mathtt{minv[1 \dots m]} </tex> {{---}} массив, хранящий для каждого столбца j вспомогательные минимумы, необходимые для быстрого пересчета потенциала.

<tex> \mathtt{minv[j] = \min_{i \in Z_1}\{a[i][j] - u[i] - v[j]\}} </tex>

<tex> \mathtt{way[1 \dots m]} </tex> {{---}} массив, содержащий информацию о том, где эти минимумы достигаются, чтобы мы могли впоследствии восстановить [[Паросочетания: основные определения, теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях|увеличивающую цепочку]].

'''function''' hungarianAlgorithm(a):
'''for''' i = 1 '''to''' n
p[0] = i
j0 = 0
заполняем массивы '''minv''' {{---}} <tex> \infty </tex>, '''used''' {{---}} false
'''while''' true
used[j0] = true
i0 = p[j0]
<tex> \delta </tex> = <tex> \infty </tex>
'''for''' j = 1 '''to''' m
'''if''' used[j] == 0
cur = a[i0][j] - u[i0] - v[j]
'''if''' cur < minv[j]
minv[j] = cur
way[j] = j0
'''if''' minv[j] < <tex> \delta </tex>
<tex> \delta </tex> = minv[j]
j1 = j
'''for''' j = 0 '''to''' m
'''if''' used[j]
u[p[j]] += <tex> \delta </tex>
v[j] -= <tex> \delta </tex>
'''else'''
minv[j] -= <tex> \delta </tex>
j0 = j1
'''if''' p[j0] != 0
'''break'''
'''while''' true
j1 = way[j0]
p[j0] = p[j1]
j0 = j1
'''if''' j0 <tex> \neq </tex> 0
'''break'''

=== Время работы ===
Оценим время работы алгоритма. Во внешнем цикле мы добавляем в рассмотрение строки матрицы одну за другой. Каждая строка обрабатывается за время <tex> O(n^2) </tex>, поскольку при этом могло происходить лишь <tex> O(n) </tex> пересчётов потенциала (каждый — за время <tex> O(n) </tex>), для чего за время <tex> O(n^2) </tex> поддерживается массив <tex> \mathtt{minv[]} </tex>; алгоритм Куна суммарно отработает за время <tex> O(n^2) </tex> (поскольку он представлен в форме <tex> O(n) </tex> итераций, на каждой из которых посещается новый столбец).

Итоговая асимптотика составляет <tex> O(n^3) </tex>.

== См. также ==
* [[Алгоритм Куна для поиска максимального паросочетания]]
* [[Связь максимального паросочетания и минимального вершинного покрытия в двудольных графах]]

== Источники информации ==
* Асанов М., Баранский В., Расин В. — Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы — 2010, 368 стр.
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/Венгерский_алгоритм Венгерский алготитм в Википедии]
* [http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/graph-flow-match/hungarian-2002 Визуализатор алгоритма]
* [http://acm.mipt.ru/twiki/bin/view/Algorithms/HungarianAlgorithmCPP?sortcol=5&table=2&up=0 Реализация венгерского алгоритма на C++]
* [http://e-maxx.ru/algo/assignment_hungary Венгерский алгоритм решения задачи о назначениях]

[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Задача о потоке минимальной стоимости]]

Венгерский алгоритм решения задачи о назначениях

2016-01-25T20:55:18Z

Da1s111: /* См. также */

'''Венгерский алгоритм''' (англ. '''Hungarian algorithm''') — алгоритм, решающий задачу о назначениях за полиномиальное время. Оригинальная версия была придумана и разработана Х. Куном в 1955 году и имела асимптотику <tex> O(n^4) </tex>, но позже Эдмонс и Карп (а также, независимо от них, Томидзава) показали, что можно улучшить ее до <tex> O(n^3) </tex>.
{{Задача
|definition = Пусть дан [[Основные определения теории графов|взвешенный полный двудольный граф]] c целыми весами ребер <tex> K_{n, n} </tex>, нужно найти в нем [[Паросочетания: основные определения, теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях|полное паросочетание минимального веса]]. Вес паросочетания определяется как сумма весов его ребер. Далее будем обозначать левую и правую доли графа за <tex> X </tex> и <tex> Y </tex> соответственно, вес ребра <tex> xy </tex> — как <tex> c(xy) </tex>.
}}

== Вспомогательные леммы ==

{{Лемма
|statement=
Если веса всех ребер графа, инцидентных какой-либо вершине, изменить (увеличить или уменьшить) на одно и то же число, то в новом графе оптимальное паросочетание будет состоять из тех же ребер, что и в старом.
|proof=
Полное паросочетание для каждой вершины содержит ровно одно ребро, инцидентное этой вершине. Указанная операция изменит на одно и то же число вес любого паросочетания. Значит, ребро, которое принадлежало оптимальному паросочетанию в старом графе, в новом графе тоже будет ему принадлежать.
}}

Далее будем рассматривать только графы с неотрицательной весовой функцией, так как, согласно этой лемме, задачу о назначениях на остальных графах можно свести к задаче о назначениях на них.

{{Лемма
|statement=
Выделим в множествах <tex>X</tex> и <tex>Y</tex> подмножества <tex>X', Y'</tex>. Пусть <tex>d = \min \{c(xy) \mid x \in X \setminus X', y \in Y'\}</tex>. Прибавим <tex> d </tex> ко всем весам ребер, инцидентных вершинам из <tex>X'</tex>. Затем отнимем <tex> d </tex> от всех весов ребер, инцидентных вершинам из <tex>Y'</tex> (далее для краткости эта операция обозначается как <tex> X' \uparrow\downarrow Y' </tex>). Тогда:
# Веса всех ребер графа останутся неотрицательными.
# Веса ребер вида <tex>xy</tex>, где <tex>x \in X', y \in Y'</tex> или <tex>x \in X \backslash X', y \in Y \backslash Y'</tex>, не изменятся.
|proof=
Рассмотрим матрицу весов графа. Не умаляя общности, можно сказать, что множества <tex> X' </tex> и <tex> Y' </tex> состоят из первых элементов множеств <tex> X </tex> и <tex> Y </tex> соответственно (мы упорядочиваем множества по номерам вершин). Тогда вся матрица делится на 4 блока:

<table border = '1' bordercolor = 'black' rules = 'all' cellpadding = '5'>
<tr>
<td> </td>
<td> <tex> Y' </tex> </td>
<td> <tex> Y \backslash Y' </tex> </td>
</tr>
<tr>
<td> <tex> X' </tex> </td>
<td> <tex> A + d - d </tex> </td>
<td> <tex> C + d </tex> </td>
</tr>
<tr>
<td> <tex> X \backslash X' </tex> </td>
<td> <tex> B - d </tex> </td>
<td> <tex> D </tex> </td>
</tr>
</table>

Веса группы <tex> A </tex> будут сначала увеличены, а потом уменьшены на <tex> d </tex>, поэтому они не изменятся, веса группы <tex> D </tex> вообще изменяться не будут. Все веса группы <tex> B </tex> будут уменьшены на <tex> d </tex>, но <tex> d </tex> — минимум среди этих весов, поэтому они останутся неотрицательными.

}}

{{Лемма
|statement=
Если веса всех ребер графа неотрицательны и некоторое полное паросочетание состоит из ребер нулевого веса, то оно является оптимальным.
|proof=
Действительно, паросочетание с какими-то другими весами ребер имеет больший вес и оптимальным не является.
}}

== Общий метод ==

Доказанные ранее утверждения позволяют придумать схему алгоритма, решающего задачу о назначениях: нужно найти полное паросочетание из ребер нулевого веса в графе, полученном из исходного преобразованиями, описанными в первых двух леммах.

Алгоритм, решающий задачу, работает с графом, как с матрицей весов.

# Вычитаем из каждой строки значение ее минимального элемента. Теперь в каждой строке есть хотя бы один нулевой элемент.
# Вычитаем из каждого столбца значение его минимального элемента. Теперь в каждом столбце есть хотя бы один нулевой элемент.
# Ищем в текущем графе полное паросочетание из ребер нулевого веса:
#
#* Если оно найдено, то желаемый результат достигнут, алгоритм закончен.
#* В противном случае, покроем нули матрицы весов минимальным количеством строк и столбцов (это не что иное, как [[Связь максимального паросочетания и минимального вершинного покрытия в двудольных графах|нахождение минимального вершинного покрытия в двудольном графе]]). Пусть <tex> X_c </tex> и <tex> Y_c </tex> — множества вершин минимального вершинного покрытия из левой и правой долей (то есть, строк и столбцов) соответственно, тогда применим преобразование <tex> X_c \uparrow\downarrow (Y \setminus Y_c) </tex>. Для этого преобразования <tex> d </tex> будет минимумом по всем ребрам между <tex> X \setminus X_c </tex> и <tex> Y \setminus Y_c </tex>, то есть, ребер нулевого веса здесь нет, поэтому, после его выполнения в матрице весов появится новый нуль. После этого перейдем к шагу 1.

== Анализ времени работы ==

[[Алгоритм Форда-Фалкерсона для поиска максимального паросочетания|Поиск максимального паросочетания]] или [[Связь максимального паросочетания и минимального вершинного покрытия в двудольных графах|минимального вершинного покрытия]] в двудольном графе совершается за <tex> O(n^3) </tex> операций. При каждом повторении шагов 1-4 в матрице весов появляется новый нуль. Этот нуль соответствует некоторому новому ребру между вершинами из множеств <tex> X \setminus X_c </tex> и <tex> Y \setminus Y_c </tex>. Всего в графе n^2 ребер, значит, всего будет совершено не более <tex> O(n^2) </tex> итераций внешнего цикла. Поэтому, верхняя оценка времени работы данного метода — <tex> O(n^5) </tex>. Более точная оценка довольно сложна и зависит от порядка чисел в матрице весов графа.

== Алгоритм за <tex>O(n^3)</tex> ==

<tex> \mathtt{a[1 \dots n][1 \dots m]} </tex> {{---}} прямоугольная входная матрица, где <tex> \mathtt{n \leqslant m} </tex>. Матрица хранится в 1-индексации.

<tex> \mathtt{u[0 \dots n], v[0 \dots n]} </tex> {{---}} массивы потенциалов.

<tex> \mathtt{p[0 \dots m]} </tex> {{---}} массив паросочетания. Для каждого стобца <tex> \mathtt{i = 0 \dots m} </tex> он хранит номер соответствующей выбранной строки <tex> \mathtt{p[i]} </tex> (или 0, если ничего не выбрано). Полагаем, что <tex> \mathtt{p[0]} </tex> равно номеру рассматриваемой строки.

<tex> \mathtt{minv[1 \dots m]} </tex> {{---}} массив, хранящий для каждого столбца j вспомогательные минимумы, необходимые для быстрого пересчета потенциала.

<tex> \mathtt{minv[j] = \min_{i \in Z_1}\{a[i][j] - u[i] - v[j]\}} </tex>

<tex> \mathtt{way[1 \dots m]} </tex> {{---}} массив, содержащий информацию о том, где эти минимумы достигаются, чтобы мы могли впоследствии восстановить [[Паросочетания: основные определения, теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях|увеличивающую цепочку]].

'''function''' hungarianAlgorithm(a):
<font color=darkgreen>// добавляем в рассмотрение <tex> i </tex>-ую строку матрицы </font>
'''for''' i = 1 '''to''' n
p[0] = i
j0 = 0
заполняем массивы minv {{---}} <tex> \infty </tex>, used {{---}} false
<font color=darkgreen>// ищем свободный столбец j0 </font>
'''while''' true
used[j0] = true
i0 = p[j0]
<tex> \delta </tex> = <tex> \infty </tex> <font color=darkgreen> // минимум в массиве minv </font>
<font color=darkgreen>// пересчитываем массив minv </font>
'''for''' j = 1 '''to''' m
'''if''' used[j] == 0
cur = a[i0][j] - u[i0] - v[j]
'''if''' cur < minv[j]
minv[j] = cur
way[j] = j0
'''if''' minv[j] < <tex> \delta </tex>
<tex> \delta </tex> = minv[j]
j1 = j
<font color=darkgreen>// производим пересчет потенциалов u и v, соответствующее изменение массива minv</font>
'''for''' j = 0 '''to''' m
'''if''' used[j]
u[p[j]] += <tex> \delta </tex>
v[j] -= <tex> \delta </tex>
'''else'''
minv[j] -= <tex> \delta </tex>
j0 = j1
'''if''' p[j0] != 0
'''break'''
<font color=darkgreen>// ищем увеличивающую цепочку, оканчивающуюся в столбце j0, "раскрутить" которую можно, пользуясь массивом предков way</font>
'''while''' true
j1 = way[j0]
p[j0] = p[j1]
j0 = j1
'''if''' j0 <tex> \neq </tex> 0
'''break'''

== См. также ==
* [[Алгоритм Куна для поиска максимального паросочетания]]
* [[Связь максимального паросочетания и минимального вершинного покрытия в двудольных графах]]

== Источники информации ==
* Асанов М., Баранский В., Расин В. — Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы — 2010, 368 стр.
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/Венгерский_алгоритм Венгерский алготитм в Википедии]
* [http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/graph-flow-match/hungarian-2002 Визуализатор алгоритма]
* [http://acm.mipt.ru/twiki/bin/view/Algorithms/HungarianAlgorithmCPP?sortcol=5&table=2&up=0 Реализация венгерского алгоритма на C++]
* [http://e-maxx.ru/algo/assignment_hungary Венгерский алгоритм решения задачи о назначениях]

[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Задача о потоке минимальной стоимости]]

Венгерский алгоритм решения задачи о назначениях

2016-01-25T19:54:10Z

Da1s111:

'''Венгерский алгоритм''' (англ. '''Hungarian algorithm''') — алгоритм, решающий задачу о назначениях за полиномиальное время. Оригинальная версия была придумана и разработана Х. Куном в 1955 году и имела асимптотику <tex> O(n^4) </tex>, но позже Эдмонс и Карп (а также, независимо от них, Томидзава) показали, что можно улучшить ее до <tex> O(n^3) </tex>.
{{Задача
|definition = Пусть дан [[Основные определения теории графов|взвешенный полный двудольный граф]] c целыми весами ребер <tex> K_{n, n} </tex>, нужно найти в нем [[Паросочетания: основные определения, теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях|полное паросочетание минимального веса]]. Вес паросочетания определяется как сумма весов его ребер. Далее будем обозначать левую и правую доли графа за <tex> X </tex> и <tex> Y </tex> соответственно, вес ребра <tex> xy </tex> — как <tex> c(xy) </tex>.
}}

== Вспомогательные леммы ==

{{Лемма
|statement=
Если веса всех ребер графа, инцидентных какой-либо вершине, изменить (увеличить или уменьшить) на одно и то же число, то в новом графе оптимальное паросочетание будет состоять из тех же ребер, что и в старом.
|proof=
Полное паросочетание для каждой вершины содержит ровно одно ребро, инцидентное этой вершине. Указанная операция изменит на одно и то же число вес любого паросочетания. Значит, ребро, которое принадлежало оптимальному паросочетанию в старом графе, в новом графе тоже будет ему принадлежать.
}}

Далее будем рассматривать только графы с неотрицательной весовой функцией, так как, согласно этой лемме, задачу о назначениях на остальных графах можно свести к задаче о назначениях на них.

{{Лемма
|statement=
Выделим в множествах <tex>X</tex> и <tex>Y</tex> подмножества <tex>X', Y'</tex>. Пусть <tex>d = \min \{c(xy) \mid x \in X \setminus X', y \in Y'\}</tex>. Прибавим <tex> d </tex> ко всем весам ребер, инцидентных вершинам из <tex>X'</tex>. Затем отнимем <tex> d </tex> от всех весов ребер, инцидентных вершинам из <tex>Y'</tex> (далее для краткости эта операция обозначается как <tex> X' \uparrow\downarrow Y' </tex>). Тогда:
# Веса всех ребер графа останутся неотрицательными.
# Веса ребер вида <tex>xy</tex>, где <tex>x \in X', y \in Y'</tex> или <tex>x \in X \backslash X', y \in Y \backslash Y'</tex>, не изменятся.
|proof=
Рассмотрим матрицу весов графа. Не умаляя общности, можно сказать, что множества <tex> X' </tex> и <tex> Y' </tex> состоят из первых элементов множеств <tex> X </tex> и <tex> Y </tex> соответственно (мы упорядочиваем множества по номерам вершин). Тогда вся матрица делится на 4 блока:

<table border = '1' bordercolor = 'black' rules = 'all' cellpadding = '5'>
<tr>
<td> </td>
<td> <tex> Y' </tex> </td>
<td> <tex> Y \backslash Y' </tex> </td>
</tr>
<tr>
<td> <tex> X' </tex> </td>
<td> <tex> A + d - d </tex> </td>
<td> <tex> C + d </tex> </td>
</tr>
<tr>
<td> <tex> X \backslash X' </tex> </td>
<td> <tex> B - d </tex> </td>
<td> <tex> D </tex> </td>
</tr>
</table>

Веса группы <tex> A </tex> будут сначала увеличены, а потом уменьшены на <tex> d </tex>, поэтому они не изменятся, веса группы <tex> D </tex> вообще изменяться не будут. Все веса группы <tex> B </tex> будут уменьшены на <tex> d </tex>, но <tex> d </tex> — минимум среди этих весов, поэтому они останутся неотрицательными.

}}

{{Лемма
|statement=
Если веса всех ребер графа неотрицательны и некоторое полное паросочетание состоит из ребер нулевого веса, то оно является оптимальным.
|proof=
Действительно, паросочетание с какими-то другими весами ребер имеет больший вес и оптимальным не является.
}}

== Общий метод ==

Доказанные ранее утверждения позволяют придумать схему алгоритма, решающего задачу о назначениях: нужно найти полное паросочетание из ребер нулевого веса в графе, полученном из исходного преобразованиями, описанными в первых двух леммах.

Алгоритм, решающий задачу, работает с графом, как с матрицей весов.

# Вычитаем из каждой строки значение ее минимального элемента. Теперь в каждой строке есть хотя бы один нулевой элемент.
# Вычитаем из каждого столбца значение его минимального элемента. Теперь в каждом столбце есть хотя бы один нулевой элемент.
# Ищем в текущем графе полное паросочетание из ребер нулевого веса:
#
#* Если оно найдено, то желаемый результат достигнут, алгоритм закончен.
#* В противном случае, покроем нули матрицы весов минимальным количеством строк и столбцов (это не что иное, как [[Связь максимального паросочетания и минимального вершинного покрытия в двудольных графах|нахождение минимального вершинного покрытия в двудольном графе]]). Пусть <tex> X_c </tex> и <tex> Y_c </tex> — множества вершин минимального вершинного покрытия из левой и правой долей (то есть, строк и столбцов) соответственно, тогда применим преобразование <tex> X_c \uparrow\downarrow (Y \setminus Y_c) </tex>. Для этого преобразования <tex> d </tex> будет минимумом по всем ребрам между <tex> X \setminus X_c </tex> и <tex> Y \setminus Y_c </tex>, то есть, ребер нулевого веса здесь нет, поэтому, после его выполнения в матрице весов появится новый нуль. После этого перейдем к шагу 1.

== Анализ времени работы ==

[[Алгоритм Форда-Фалкерсона для поиска максимального паросочетания|Поиск максимального паросочетания]] или [[Связь максимального паросочетания и минимального вершинного покрытия в двудольных графах|минимального вершинного покрытия]] в двудольном графе совершается за <tex> O(n^3) </tex> операций. При каждом повторении шагов 1-4 в матрице весов появляется новый нуль. Этот нуль соответствует некоторому новому ребру между вершинами из множеств <tex> X \setminus X_c </tex> и <tex> Y \setminus Y_c </tex>. Всего в графе n^2 ребер, значит, всего будет совершено не более <tex> O(n^2) </tex> итераций внешнего цикла. Поэтому, верхняя оценка времени работы данного метода — <tex> O(n^5) </tex>. Более точная оценка довольно сложна и зависит от порядка чисел в матрице весов графа.

== Алгоритм за <tex>O(n^3)</tex> ==

<tex> \mathtt{a[1 \dots n][1 \dots m]} </tex> {{---}} прямоугольная входная матрица, где <tex> \mathtt{n \leqslant m} </tex>. Матрица хранится в 1-индексации.

<tex> \mathtt{u[0 \dots n], v[0 \dots n]} </tex> {{---}} массивы потенциалов.

<tex> \mathtt{p[0 \dots m]} </tex> {{---}} массив паросочетания. Для каждого стобца <tex> \mathtt{i = 0 \dots m} </tex> он хранит номер соответствующей выбранной строки <tex> \mathtt{p[i]} </tex> (или 0, если ничего не выбрано). Полагаем, что <tex> \mathtt{p[0]} </tex> равно номеру рассматриваемой строки.

<tex> \mathtt{minv[1 \dots m]} </tex> {{---}} массив, хранящий для каждого столбца j вспомогательные минимумы, необходимые для быстрого пересчета потенциала.

<tex> \mathtt{minv[j] = \min_{i \in Z_1}\{a[i][j] - u[i] - v[j]\}} </tex>

<tex> \mathtt{way[1 \dots m]} </tex> {{---}} массив, содержащий информацию о том, где эти минимумы достигаются, чтобы мы могли впоследствии восстановить [[Паросочетания: основные определения, теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях|увеличивающую цепочку]].

'''function''' hungarianAlgorithm(a):
<font color=darkgreen>// добавляем в рассмотрение <tex> i </tex>-ую строку матрицы </font>
'''for''' i = 1 '''to''' n
p[0] = i
j0 = 0
заполняем массивы minv {{---}} <tex> \infty </tex>, used {{---}} false
<font color=darkgreen>// ищем свободный столбец j0 </font>
'''while''' true
used[j0] = true
i0 = p[j0]
<tex> \delta </tex> = <tex> \infty </tex> <font color=darkgreen> // минимум в массиве minv </font>
<font color=darkgreen>// пересчитываем массив minv </font>
'''for''' j = 1 '''to''' m
'''if''' used[j] == 0
cur = a[i0][j] - u[i0] - v[j]
'''if''' cur < minv[j]
minv[j] = cur
way[j] = j0
'''if''' minv[j] < <tex> \delta </tex>
<tex> \delta </tex> = minv[j]
j1 = j
<font color=darkgreen>// производим пересчет потенциалов u и v, соответствующее изменение массива minv</font>
'''for''' j = 0 '''to''' m
'''if''' used[j]
u[p[j]] += <tex> \delta </tex>
v[j] -= <tex> \delta </tex>
'''else'''
minv[j] -= <tex> \delta </tex>
j0 = j1
'''if''' p[j0] != 0
'''break'''
<font color=darkgreen>// ищем увеличивающую цепочку, оканчивающуюся в столбце j0, "раскрутить" которую можно, пользуясь массивом предков way</font>
'''while''' true
j1 = way[j0]
p[j0] = p[j1]
j0 = j1
'''if''' j0 <tex> \neq </tex> 0
'''break'''

== См. также ==

== Источники информации ==
* Асанов М., Баранский В., Расин В. — Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы — 2010, 368 стр.
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/Венгерский_алгоритм Венгерский алготитм в Википедии]
* [http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/graph-flow-match/hungarian-2002 Визуализатор алгоритма]
* [http://acm.mipt.ru/twiki/bin/view/Algorithms/HungarianAlgorithmCPP?sortcol=5&table=2&up=0 Реализация венгерского алгоритма на C++]
* [http://e-maxx.ru/algo/assignment_hungary Венгерский алгоритм решения задачи о назначениях]

[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Задача о потоке минимальной стоимости]]

Венгерский алгоритм решения задачи о назначениях

2016-01-25T09:02:48Z

Da1s111: /* Алгоритм за O(n^3) */

Венгерский алгоритм — алгоритм, решающий задачу о назначениях за полиномиальное время. Оригинальная версия была придумана и разработана Х. Куном в 1955 году и имела асимптотику <tex> O(n^4) </tex>, но позже Эдмонс и Карп (а также, независимо от них, Томидзава) показали, что можно улучшить ее до <tex> O(n^3) </tex>.

== Постановка задачи ==

Пусть дан [[Основные определения теории графов|взвешенный полный двудольный граф]] c целыми весами ребер <tex> K_{n, n} </tex>, нужно найти в нем [[Паросочетания: основные определения, теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях|полное паросочетание минимального веса]]. Вес [[Паросочетания: основные определения, теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях|паросочетания]] определяется как сумма весов его ребер. Далее будем обозначать левую и правую доли графа за <tex> X </tex> и <tex> Y </tex> соответственно, вес ребра <tex> xy </tex> — как <tex> c(xy) </tex>.

== Некоторые полезные утверждения ==

{{Лемма
|statement=
Если веса всех ребер графа, инцидентных какой-либо вершине, изменить (увеличить или уменьшить) на одно и то же число, то в новом графе оптимальное паросочетание будет состоять из тех же ребер, что и в старом.
|proof=
Полное паросочетание для каждой вершины содержит ровно одно ребро, инцидентное этой вершине. Указанная операция изменит на одно и то же число вес любого паросочетания. Значит, ребро, которое принадлежало оптимальному паросочетанию в старом графе, в новом графе тоже будет ему принадлежать.
}}

Далее будем рассматривать только графы с неотрицательной весовой функцией, так как, согласно этой лемме, задачу о назначениях на остальных графах можно свести к задаче о назначениях на них.

{{Лемма
|statement=
Выделим в множествах <tex>X</tex> и <tex>Y</tex> подмножества <tex>X', Y'</tex>. Пусть <tex>d = \min \{c(xy)|\ x \in X \setminus X', y \in Y'\}</tex>. Прибавим <tex> d </tex> ко всем весам ребер, инцидентных вершинам из <tex>X'</tex>. Затем отнимем <tex> d </tex> от всех весов ребер, инцидентных вершинам из <tex>Y'</tex> (далее для краткости эта операция обозначается как <tex> X' \uparrow\downarrow Y' </tex>). Тогда:
# Веса всех ребер графа останутся неотрицательными.
# Веса ребер вида <tex>xy</tex>, где <tex>x \in X', y \in Y'</tex> или <tex>x \in X \backslash X', y \in Y \backslash Y'</tex>, не изменятся.
|proof=
Рассмотрим матрицу весов графа. Не умаляя общности, можно сказать, что множества <tex> X' </tex> и <tex> Y' </tex> состоят из первых элементов множеств <tex> X </tex> и <tex> Y </tex> соответственно (мы упорядочиваем множества по номерам вершин). Тогда вся матрица делится на 4 блока:

<table border = '1' bordercolor = 'black' rules = 'all' cellpadding = '5'>
<tr>
<td> </td>
<td> <tex> Y' </tex> </td>
<td> <tex> Y \backslash Y' </tex> </td>
</tr>
<tr>
<td> <tex> X' </tex> </td>
<td> <tex> A + d - d </tex> </td>
<td> <tex> C + d </tex> </td>
</tr>
<tr>
<td> <tex> X \backslash X' </tex> </td>
<td> <tex> B - d </tex> </td>
<td> <tex> D </tex> </td>
</tr>
</table>

Веса группы <tex> A </tex> будут сначала увеличены, а потом уменьшены на <tex> d </tex>, поэтому они не изменятся, веса группы <tex> D </tex> вообще изменяться не будут. Все веса группы <tex> B </tex> будут уменьшены на <tex> d </tex>, но <tex> d </tex> — минимум среди этих весов, поэтому они останутся неотрицательными.

}}

{{Лемма
|statement=
Если веса всех ребер графа неотрицательны и некоторое полное паросочетание состоит из ребер нулевого веса, то оно является оптимальным.
|proof=
Действительно, паросочетание с какими-то другими весами ребер имеет больший вес и оптимальным не является.
}}

== Общий метод ==

Доказанные ранее утверждения позволяют придумать схему алгоритма, решающего задачу о назначениях: нужно найти полное паросочетание из ребер нулевого веса в графе, полученном из исходного преобразованиями, описанными в первых двух леммах.

Алгоритм, решающий задачу, работает с графом, как с матрицей весов.

# Вычитаем из каждой строки значение ее минимального элемента. Теперь в каждой строке есть хотя бы один нулевой элемент.
# Вычитаем из каждого столбца значение его минимального элемента. Теперь в каждом столбце есть хотя бы один нулевой элемент.
# Ищем в текущем графе полное паросочетание из ребер нулевого веса:
#
#* Если оно найдено, то желаемый результат достигнут, алгоритм закончен.
#* В противном случае, покроем нули матрицы весов минимальным количеством строк и столбцов (это не что иное, как [[Связь максимального паросочетания и минимального вершинного покрытия в двудольных графах|нахождение минимального вершинного покрытия в двудольном графе]]). Пусть <tex> X_c </tex> и <tex> Y_c </tex> — множества вершин минимального вершинного покрытия из левой и правой долей (то есть, строк и столбцов) соответственно, тогда применим преобразование <tex> X_c \uparrow\downarrow (Y \setminus Y_c) </tex>. Для этого преобразования <tex> d </tex> будет минимумом по всем ребрам между <tex> X \setminus X_c </tex> и <tex> Y \setminus Y_c </tex>, то есть, ребер нулевого веса здесь нет, поэтому, после его выполнения в матрице весов появится новый нуль. После этого перейдем к шагу 1.

== Анализ времени работы ==

[[Алгоритм Форда-Фалкерсона для поиска максимального паросочетания|Поиск максимального паросочетания]] или [[Связь максимального паросочетания и минимального вершинного покрытия в двудольных графах|минимального вершинного покрытия]] в двудольном графе совершается за <tex> O(n^3) </tex> операций. При каждом повторении шагов 1-4 в матрице весов появляется новый нуль. Этот нуль соответствует некоторому новому ребру между вершинами из множеств <tex> X \setminus X_c </tex> и <tex> Y \setminus Y_c </tex>. Всего в графе n^2 ребер, значит, всего будет совершено не более <tex> O(n^2) </tex> итераций внешнего цикла. Поэтому, верхняя оценка времени работы данного метода — <tex> O(n^5) </tex>. Более точная оценка довольно сложна и зависит от порядка чисел в матрице весов графа.

== Алгоритм за <tex>O(n^3)</tex> ==

<tex> a[1 \dots n][1 \dots m] </tex> {{---}} прямоугольная входная матрица, где <tex> n \leq m </tex>. Матрица хранится в 1-индексации.

<tex> u[0 \dots n], v[0 \dots n] </tex> {{---}} массивы потенциалов. Изначально нулевые, что верно для матрицы, состоящей из 0 строк.

<tex> p[0 \dots m] </tex> {{---}} массив паросочетания. Для каждого стобца <tex> i = 0 \dots m </tex> он хранит номер соответствующей выбранной строки <tex> p[i] </tex> (или 0, если ничего не выбрано). Полагаем, что <tex> p[0] </tex> равно номеру рассматриваемой строки.

<tex> minv[1 \dots m] </tex> {{---}} массив, хранящий для каждого столбца j вспомогательные минимумы, необходимые для быстрого пересчета потенциала.

<tex> minv[j] = \min_{i \in Z_1}\{a[i][j] - u[i] - v[j]\} </tex>

<tex> way[1 \dots m] </tex> {{---}} массив, содержащий информацию о том, где эти минимумы достигаются, чтобы мы могли впоследствии восстановить [[Паросочетания: основные определения, теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях|увеличивающую цепочку]].

'''function''' hungarianAlgorithm(a):
<font color=darkgreen>// добавляем в рассмотрение <tex> i </tex>-ую строку матрицы </font>
'''for''' i = 1 '''to''' n
p[0] = i
j0 = 0
'''for''' i = 0 '''to''' m + 1
minv[i] = <tex> \infty </tex>
used[i] = false
<font color=darkgreen>// ищем свободный столбец j0 </font>
'''while''' true
used[j0] = true
i0 = p[j0]
<tex> \delta </tex> = <tex> \infty </tex> <font color=darkgreen> // минимум в массиве minv </font>
<font color=darkgreen>// пересчитываем массив minv </font>
'''for''' j = 1 '''to''' m
'''if''' used[j] == 0
cur = a[i0][j] - u[i0] - v[j]
'''if''' cur < minv[j]
minv[j] = cur
way[j] = j0
'''if''' minv[j] < <tex> \delta </tex>
<tex> \delta </tex> = minv[j]
j1 = j
<font color=darkgreen>// производим пересчет потенциалов u и v, соответствующее изменение массива minv</font>
'''for''' j = 0 '''to''' m
'''if''' used[j]
u[p[j]] += <tex> \delta </tex>
v[j] -= <tex> \delta </tex>
'''else'''
minv[j] -= <tex> \delta </tex>
j0 = j1
'''if''' p[j0] != 0
'''break'''
<font color=darkgreen>// ищем увеличивающую цепочку, оканчивающуюся в столбце j0, "раскрутить" которую можно, пользуясь массивом предков way</font>
'''while''' true
j1 = way[j0]
p[j0] = p[j1]
j0 = j1
'''if''' j0 <tex> \neq </tex> 0
'''break'''

== Ссылки ==
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/Венгерский_алгоритм Венгерский алготитм в Википедии]
* [http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/graph-flow-match/hungarian-2002 Визуализатор алгоритма]
* [http://acm.mipt.ru/twiki/bin/view/Algorithms/HungarianAlgorithmCPP?sortcol=5&table=2&up=0 Реализация венгерского алгоритма на C++]
* [http://e-maxx.ru/algo/assignment_hungary Венгерский алгоритм решения задачи о назначениях]

== Литература ==
* Асанов М., Баранский В., Расин В. — Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы — 2010, 368 стр.

[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Задача о потоке минимальной стоимости]]

Венгерский алгоритм решения задачи о назначениях

2016-01-25T08:00:11Z

Da1s111: /* Анализ времени работы */

Венгерский алгоритм — алгоритм, решающий задачу о назначениях за полиномиальное время. Оригинальная версия была придумана и разработана Х. Куном в 1955 году и имела асимптотику <tex> O(n^4) </tex>, но позже Эдмонс и Карп (а также, независимо от них, Томидзава) показали, что можно улучшить ее до <tex> O(n^3) </tex>.

== Постановка задачи ==

Пусть дан [[Основные определения теории графов|взвешенный полный двудольный граф]] c целыми весами ребер <tex> K_{n, n} </tex>, нужно найти в нем [[Паросочетания: основные определения, теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях|полное паросочетание минимального веса]]. Вес [[Паросочетания: основные определения, теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях|паросочетания]] определяется как сумма весов его ребер. Далее будем обозначать левую и правую доли графа за <tex> X </tex> и <tex> Y </tex> соответственно, вес ребра <tex> xy </tex> — как <tex> c(xy) </tex>.

== Некоторые полезные утверждения ==

{{Лемма
|statement=
Если веса всех ребер графа, инцидентных какой-либо вершине, изменить (увеличить или уменьшить) на одно и то же число, то в новом графе оптимальное паросочетание будет состоять из тех же ребер, что и в старом.
|proof=
Полное паросочетание для каждой вершины содержит ровно одно ребро, инцидентное этой вершине. Указанная операция изменит на одно и то же число вес любого паросочетания. Значит, ребро, которое принадлежало оптимальному паросочетанию в старом графе, в новом графе тоже будет ему принадлежать.
}}

Далее будем рассматривать только графы с неотрицательной весовой функцией, так как, согласно этой лемме, задачу о назначениях на остальных графах можно свести к задаче о назначениях на них.

{{Лемма
|statement=
Выделим в множествах <tex>X</tex> и <tex>Y</tex> подмножества <tex>X', Y'</tex>. Пусть <tex>d = \min \{c(xy)|\ x \in X \setminus X', y \in Y'\}</tex>. Прибавим <tex> d </tex> ко всем весам ребер, инцидентных вершинам из <tex>X'</tex>. Затем отнимем <tex> d </tex> от всех весов ребер, инцидентных вершинам из <tex>Y'</tex> (далее для краткости эта операция обозначается как <tex> X' \uparrow\downarrow Y' </tex>). Тогда:
# Веса всех ребер графа останутся неотрицательными.
# Веса ребер вида <tex>xy</tex>, где <tex>x \in X', y \in Y'</tex> или <tex>x \in X \backslash X', y \in Y \backslash Y'</tex>, не изменятся.
|proof=
Рассмотрим матрицу весов графа. Не умаляя общности, можно сказать, что множества <tex> X' </tex> и <tex> Y' </tex> состоят из первых элементов множеств <tex> X </tex> и <tex> Y </tex> соответственно (мы упорядочиваем множества по номерам вершин). Тогда вся матрица делится на 4 блока:

<table border = '1' bordercolor = 'black' rules = 'all' cellpadding = '5'>
<tr>
<td> </td>
<td> <tex> Y' </tex> </td>
<td> <tex> Y \backslash Y' </tex> </td>
</tr>
<tr>
<td> <tex> X' </tex> </td>
<td> <tex> A + d - d </tex> </td>
<td> <tex> C + d </tex> </td>
</tr>
<tr>
<td> <tex> X \backslash X' </tex> </td>
<td> <tex> B - d </tex> </td>
<td> <tex> D </tex> </td>
</tr>
</table>

Веса группы <tex> A </tex> будут сначала увеличены, а потом уменьшены на <tex> d </tex>, поэтому они не изменятся, веса группы <tex> D </tex> вообще изменяться не будут. Все веса группы <tex> B </tex> будут уменьшены на <tex> d </tex>, но <tex> d </tex> — минимум среди этих весов, поэтому они останутся неотрицательными.

}}

{{Лемма
|statement=
Если веса всех ребер графа неотрицательны и некоторое полное паросочетание состоит из ребер нулевого веса, то оно является оптимальным.
|proof=
Действительно, паросочетание с какими-то другими весами ребер имеет больший вес и оптимальным не является.
}}

== Общий метод ==

Доказанные ранее утверждения позволяют придумать схему алгоритма, решающего задачу о назначениях: нужно найти полное паросочетание из ребер нулевого веса в графе, полученном из исходного преобразованиями, описанными в первых двух леммах.

Алгоритм, решающий задачу, работает с графом, как с матрицей весов.

# Вычитаем из каждой строки значение ее минимального элемента. Теперь в каждой строке есть хотя бы один нулевой элемент.
# Вычитаем из каждого столбца значение его минимального элемента. Теперь в каждом столбце есть хотя бы один нулевой элемент.
# Ищем в текущем графе полное паросочетание из ребер нулевого веса:
#
#* Если оно найдено, то желаемый результат достигнут, алгоритм закончен.
#* В противном случае, покроем нули матрицы весов минимальным количеством строк и столбцов (это не что иное, как [[Связь максимального паросочетания и минимального вершинного покрытия в двудольных графах|нахождение минимального вершинного покрытия в двудольном графе]]). Пусть <tex> X_c </tex> и <tex> Y_c </tex> — множества вершин минимального вершинного покрытия из левой и правой долей (то есть, строк и столбцов) соответственно, тогда применим преобразование <tex> X_c \uparrow\downarrow (Y \setminus Y_c) </tex>. Для этого преобразования <tex> d </tex> будет минимумом по всем ребрам между <tex> X \setminus X_c </tex> и <tex> Y \setminus Y_c </tex>, то есть, ребер нулевого веса здесь нет, поэтому, после его выполнения в матрице весов появится новый нуль. После этого перейдем к шагу 1.

== Анализ времени работы ==

[[Алгоритм Форда-Фалкерсона для поиска максимального паросочетания|Поиск максимального паросочетания]] или [[Связь максимального паросочетания и минимального вершинного покрытия в двудольных графах|минимального вершинного покрытия]] в двудольном графе совершается за <tex> O(n^3) </tex> операций. При каждом повторении шагов 1-4 в матрице весов появляется новый нуль. Этот нуль соответствует некоторому новому ребру между вершинами из множеств <tex> X \setminus X_c </tex> и <tex> Y \setminus Y_c </tex>. Всего в графе n^2 ребер, значит, всего будет совершено не более <tex> O(n^2) </tex> итераций внешнего цикла. Поэтому, верхняя оценка времени работы данного метода — <tex> O(n^5) </tex>. Более точная оценка довольно сложна и зависит от порядка чисел в матрице весов графа.

== Алгоритм за <tex>O(n^3)</tex> ==

<tex>a[1 \dots n][1 \dots m]</tex> {{---}} прямоугольная входная матрица, где <tex>n \leq m</tex>. Матрица хранится в 1-индексации.

<tex>u[0 \dots n], v[0 \dots n]</tex> {{---}} массивы потенциалов. Изначально нулевые, что верно для матрицы, состоящей из 0 строк.

<tex>p[0 \dots m]</tex> {{---}} массив паросочетания. Для каждого стобца <tex>i = 0 \dots m</tex> он хранит номер соответствующей выбранной строки <tex>p[i]</tex> (или 0, если ничего не выбрано). Полагаем, что <tex>p[0]</tex> равно номеру рассматриваемой строки.

<tex>minv[1 \dots m]</tex> {{---}} массив, хранящий для каждого столбца j вспомогательные минимумы, необходимые для быстрого пересчета потенциала.

<tex>minv[j] = \min_{i \in Z_1}\{a[i][j] - u[i] - v[j]\}</tex>

<tex>way[1 \dots m]</tex> {{---}} массив, содержащий информацию о том, где эти минимумы достигаются, чтобы мы могли впоследствии восстановить увеличивающую цепочку.

'''hungarianAlgorithm'''(a):
'''for''' i = 1 '''to''' n:
p[0] = i
j0 = 0
'''for''' i = 0 '''to''' m + 1:
minv[i] = <tex>\infty</tex>
used[i] = false
'''while''' true:
used[j0] = true
i0 = p[j0]
<tex>\delta</tex> = <tex>\infty</tex>
'''for''' j = 1 '''to''' m:
'''if''' used[j] == 0:
cur = a[i0][j] - u[i0] - v[j]
'''if''' cur < minv[j]:
minv[j] = cur
way[j] = j0
'''if''' minv[j] < <tex>\delta</tex>:
<tex>\delta</tex> = minv[j]
j1 = j
'''for''' j = 0 '''to''' m:
'''if''' used[j]:
u[p[j]] += <tex>\delta</tex>
v[j] -= <tex>\delta</tex>;
'''else''':
minv[j] -= <tex>\delta</tex>
j0 = j1;
'''if''' p[j0] != 0:
'''break'''
'''while''' true:
j1 = way[j0]
p[j0] = p[j1]
j0 = j1
'''if''' j0 <tex>\neq</tex> 0:
'''break'''

== Ссылки ==
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/Венгерский_алгоритм Венгерский алготитм в Википедии]
* [http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/graph-flow-match/hungarian-2002 Визуализатор алгоритма]
* [http://acm.mipt.ru/twiki/bin/view/Algorithms/HungarianAlgorithmCPP?sortcol=5&table=2&up=0 Реализация венгерского алгоритма на C++]
* [http://e-maxx.ru/algo/assignment_hungary Венгерский алгоритм решения задачи о назначениях]

== Литература ==
* Асанов М., Баранский В., Расин В. — Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы — 2010, 368 стр.

[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Задача о потоке минимальной стоимости]]

Венгерский алгоритм решения задачи о назначениях

2016-01-25T07:21:35Z

Da1s111: /* Постановка задачи */

Венгерский алгоритм — алгоритм, решающий задачу о назначениях за полиномиальное время. Оригинальная версия была придумана и разработана Х. Куном в 1955 году и имела асимптотику <tex> O(n^4) </tex>, но позже Эдмонс и Карп (а также, независимо от них, Томидзава) показали, что можно улучшить ее до <tex> O(n^3) </tex>.

== Постановка задачи ==

Пусть дан [[Основные определения теории графов|взвешенный полный двудольный граф]] c целыми весами ребер <tex> K_{n, n} </tex>, нужно найти в нем [[Паросочетания: основные определения, теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях|полное паросочетание минимального веса]]. Вес [[Паросочетания: основные определения, теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях|паросочетания]] определяется как сумма весов его ребер. Далее будем обозначать левую и правую доли графа за <tex> X </tex> и <tex> Y </tex> соответственно, вес ребра <tex> xy </tex> — как <tex> c(xy) </tex>.

== Некоторые полезные утверждения ==

{{Лемма
|statement=
Если веса всех ребер графа, инцидентных какой-либо вершине, изменить (увеличить или уменьшить) на одно и то же число, то в новом графе оптимальное паросочетание будет состоять из тех же ребер, что и в старом.
|proof=
Полное паросочетание для каждой вершины содержит ровно одно ребро, инцидентное этой вершине. Указанная операция изменит на одно и то же число вес любого паросочетания. Значит, ребро, которое принадлежало оптимальному паросочетанию в старом графе, в новом графе тоже будет ему принадлежать.
}}

Далее будем рассматривать только графы с неотрицательной весовой функцией, так как, согласно этой лемме, задачу о назначениях на остальных графах можно свести к задаче о назначениях на них.

{{Лемма
|statement=
Выделим в множествах <tex>X</tex> и <tex>Y</tex> подмножества <tex>X', Y'</tex>. Пусть <tex>d = \min \{c(xy)|\ x \in X \setminus X', y \in Y'\}</tex>. Прибавим <tex> d </tex> ко всем весам ребер, инцидентных вершинам из <tex>X'</tex>. Затем отнимем <tex> d </tex> от всех весов ребер, инцидентных вершинам из <tex>Y'</tex> (далее для краткости эта операция обозначается как <tex> X' \uparrow\downarrow Y' </tex>). Тогда:
# Веса всех ребер графа останутся неотрицательными.
# Веса ребер вида <tex>xy</tex>, где <tex>x \in X', y \in Y'</tex> или <tex>x \in X \backslash X', y \in Y \backslash Y'</tex>, не изменятся.
|proof=
Рассмотрим матрицу весов графа. Не умаляя общности, можно сказать, что множества <tex> X' </tex> и <tex> Y' </tex> состоят из первых элементов множеств <tex> X </tex> и <tex> Y </tex> соответственно (мы упорядочиваем множества по номерам вершин). Тогда вся матрица делится на 4 блока:

<table border = '1' bordercolor = 'black' rules = 'all' cellpadding = '5'>
<tr>
<td> </td>
<td> <tex> Y' </tex> </td>
<td> <tex> Y \backslash Y' </tex> </td>
</tr>
<tr>
<td> <tex> X' </tex> </td>
<td> <tex> A + d - d </tex> </td>
<td> <tex> C + d </tex> </td>
</tr>
<tr>
<td> <tex> X \backslash X' </tex> </td>
<td> <tex> B - d </tex> </td>
<td> <tex> D </tex> </td>
</tr>
</table>

Веса группы <tex> A </tex> будут сначала увеличены, а потом уменьшены на <tex> d </tex>, поэтому они не изменятся, веса группы <tex> D </tex> вообще изменяться не будут. Все веса группы <tex> B </tex> будут уменьшены на <tex> d </tex>, но <tex> d </tex> — минимум среди этих весов, поэтому они останутся неотрицательными.

}}

{{Лемма
|statement=
Если веса всех ребер графа неотрицательны и некоторое полное паросочетание состоит из ребер нулевого веса, то оно является оптимальным.
|proof=
Действительно, паросочетание с какими-то другими весами ребер имеет больший вес и оптимальным не является.
}}

== Общий метод ==

Доказанные ранее утверждения позволяют придумать схему алгоритма, решающего задачу о назначениях: нужно найти полное паросочетание из ребер нулевого веса в графе, полученном из исходного преобразованиями, описанными в первых двух леммах.

Алгоритм, решающий задачу, работает с графом, как с матрицей весов.

# Вычитаем из каждой строки значение ее минимального элемента. Теперь в каждой строке есть хотя бы один нулевой элемент.
# Вычитаем из каждого столбца значение его минимального элемента. Теперь в каждом столбце есть хотя бы один нулевой элемент.
# Ищем в текущем графе полное паросочетание из ребер нулевого веса:
#
#* Если оно найдено, то желаемый результат достигнут, алгоритм закончен.
#* В противном случае, покроем нули матрицы весов минимальным количеством строк и столбцов (это не что иное, как [[Связь максимального паросочетания и минимального вершинного покрытия в двудольных графах|нахождение минимального вершинного покрытия в двудольном графе]]). Пусть <tex> X_c </tex> и <tex> Y_c </tex> — множества вершин минимального вершинного покрытия из левой и правой долей (то есть, строк и столбцов) соответственно, тогда применим преобразование <tex> X_c \uparrow\downarrow (Y \setminus Y_c) </tex>. Для этого преобразования <tex> d </tex> будет минимумом по всем ребрам между <tex> X \setminus X_c </tex> и <tex> Y \setminus Y_c </tex>, то есть, ребер нулевого веса здесь нет, поэтому, после его выполнения в матрице весов появится новый нуль. После этого перейдем к шагу 1.

== Анализ времени работы ==

Поиск максимального паросочетания или минимального вершинного покрытия в двудольном графе совершается за <tex> O(n^3) </tex> операций. При каждом повторении шагов 1-4 в матрице весов появляется новый нуль. Этот нуль соответствует некоторому новому ребру между вершинами из множеств <tex> X \setminus X_c </tex> и <tex> Y \setminus Y_c </tex>. Всего в графе n^2 ребер, значит, всего будет совершено не более <tex> O(n^2) </tex> итераций внешнего цикла. Поэтому, верхняя оценка времени работы данного метода — <tex> O(n^5) </tex>. Более точная оценка довольно сложна и зависит от порядка чисел в матрице весов графа.

== Алгоритм за <tex>O(n^3)</tex> ==

<tex>a[1 \dots n][1 \dots m]</tex> {{---}} прямоугольная входная матрица, где <tex>n \leq m</tex>. Матрица хранится в 1-индексации.

<tex>u[0 \dots n], v[0 \dots n]</tex> {{---}} массивы потенциалов. Изначально нулевые, что верно для матрицы, состоящей из 0 строк.

<tex>p[0 \dots m]</tex> {{---}} массив паросочетания. Для каждого стобца <tex>i = 0 \dots m</tex> он хранит номер соответствующей выбранной строки <tex>p[i]</tex> (или 0, если ничего не выбрано). Полагаем, что <tex>p[0]</tex> равно номеру рассматриваемой строки.

<tex>minv[1 \dots m]</tex> {{---}} массив, хранящий для каждого столбца j вспомогательные минимумы, необходимые для быстрого пересчета потенциала.

<tex>minv[j] = \min_{i \in Z_1}\{a[i][j] - u[i] - v[j]\}</tex>

<tex>way[1 \dots m]</tex> {{---}} массив, содержащий информацию о том, где эти минимумы достигаются, чтобы мы могли впоследствии восстановить увеличивающую цепочку.

'''hungarianAlgorithm'''(a):
'''for''' i = 1 '''to''' n:
p[0] = i
j0 = 0
'''for''' i = 0 '''to''' m + 1:
minv[i] = <tex>\infty</tex>
used[i] = false
'''while''' true:
used[j0] = true
i0 = p[j0]
<tex>\delta</tex> = <tex>\infty</tex>
'''for''' j = 1 '''to''' m:
'''if''' used[j] == 0:
cur = a[i0][j] - u[i0] - v[j]
'''if''' cur < minv[j]:
minv[j] = cur
way[j] = j0
'''if''' minv[j] < <tex>\delta</tex>:
<tex>\delta</tex> = minv[j]
j1 = j
'''for''' j = 0 '''to''' m:
'''if''' used[j]:
u[p[j]] += <tex>\delta</tex>
v[j] -= <tex>\delta</tex>;
'''else''':
minv[j] -= <tex>\delta</tex>
j0 = j1;
'''if''' p[j0] != 0:
'''break'''
'''while''' true:
j1 = way[j0]
p[j0] = p[j1]
j0 = j1
'''if''' j0 <tex>\neq</tex> 0:
'''break'''

== Ссылки ==
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/Венгерский_алгоритм Венгерский алготитм в Википедии]
* [http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/graph-flow-match/hungarian-2002 Визуализатор алгоритма]
* [http://acm.mipt.ru/twiki/bin/view/Algorithms/HungarianAlgorithmCPP?sortcol=5&table=2&up=0 Реализация венгерского алгоритма на C++]
* [http://e-maxx.ru/algo/assignment_hungary Венгерский алгоритм решения задачи о назначениях]

== Литература ==
* Асанов М., Баранский В., Расин В. — Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы — 2010, 368 стр.

[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Задача о потоке минимальной стоимости]]

Венгерский алгоритм решения задачи о назначениях

2016-01-14T02:33:43Z

Da1s111: /* Ссылки */

Венгерский алгоритм — алгоритм, решающий задачу о назначениях за полиномиальное время. Оригинальная версия была придумана и разработана Х. Куном в 1955 году и имела асимптотику <tex> O(n^4) </tex>, но позже Эдмонс и Карп (а также, независимо от них, Томидзава) показали, что можно улучшить ее до <tex> O(n^3) </tex>.

== Постановка задачи ==

Пусть дан взвешенный полный двудольный граф c целыми весами ребер <tex> K_{n, n} </tex>, нужно найти в нем полное паросочетание минимального веса. Вес паросочетания определяется как сумма весов его ребер. Далее будем обозначать левую и правую доли графа за <tex> X </tex> и <tex> Y </tex> соответственно, вес ребра <tex> xy </tex> — как <tex> c(xy) </tex>.

== Некоторые полезные утверждения ==

{{Лемма
|statement=
Если веса всех ребер графа, инцидентных какой-либо вершине, изменить (увеличить или уменьшить) на одно и то же число, то в новом графе оптимальное паросочетание будет состоять из тех же ребер, что и в старом.
|proof=
Полное паросочетание для каждой вершины содержит ровно одно ребро, инцидентное этой вершине. Указанная операция изменит на одно и то же число вес любого паросочетания. Значит, ребро, которое принадлежало оптимальному паросочетанию в старом графе, в новом графе тоже будет ему принадлежать.
}}

Далее будем рассматривать только графы с неотрицательной весовой функцией, так как, согласно этой лемме, задачу о назначениях на остальных графах можно свести к задаче о назначениях на них.

{{Лемма
|statement=
Выделим в множествах <tex>X</tex> и <tex>Y</tex> подмножества <tex>X', Y'</tex>. Пусть <tex>d = \min \{c(xy)|\ x \in X \setminus X', y \in Y'\}</tex>. Прибавим <tex> d </tex> ко всем весам ребер, инцидентных вершинам из <tex>X'</tex>. Затем отнимем <tex> d </tex> от всех весов ребер, инцидентных вершинам из <tex>Y'</tex> (далее для краткости эта операция обозначается как <tex> X' \uparrow\downarrow Y' </tex>). Тогда:
# Веса всех ребер графа останутся неотрицательными.
# Веса ребер вида <tex>xy</tex>, где <tex>x \in X', y \in Y'</tex> или <tex>x \in X \backslash X', y \in Y \backslash Y'</tex>, не изменятся.
|proof=
Рассмотрим матрицу весов графа. Не умаляя общности, можно сказать, что множества <tex> X' </tex> и <tex> Y' </tex> состоят из первых элементов множеств <tex> X </tex> и <tex> Y </tex> соответственно (мы упорядочиваем множества по номерам вершин). Тогда вся матрица делится на 4 блока:

<table border = '1' bordercolor = 'black' rules = 'all' cellpadding = '5'>
<tr>
<td> </td>
<td> <tex> Y' </tex> </td>
<td> <tex> Y \backslash Y' </tex> </td>
</tr>
<tr>
<td> <tex> X' </tex> </td>
<td> <tex> A + d - d </tex> </td>
<td> <tex> C + d </tex> </td>
</tr>
<tr>
<td> <tex> X \backslash X' </tex> </td>
<td> <tex> B - d </tex> </td>
<td> <tex> D </tex> </td>
</tr>
</table>

Веса группы <tex> A </tex> будут сначала увеличены, а потом уменьшены на <tex> d </tex>, поэтому они не изменятся, веса группы <tex> D </tex> вообще изменяться не будут. Все веса группы <tex> B </tex> будут уменьшены на <tex> d </tex>, но <tex> d </tex> — минимум среди этих весов, поэтому они останутся неотрицательными.

}}

{{Лемма
|statement=
Если веса всех ребер графа неотрицательны и некоторое полное паросочетание состоит из ребер нулевого веса, то оно является оптимальным.
|proof=
Действительно, паросочетание с какими-то другими весами ребер имеет больший вес и оптимальным не является.
}}

== Общий метод ==

Доказанные ранее утверждения позволяют придумать схему алгоритма, решающего задачу о назначениях: нужно найти полное паросочетание из ребер нулевого веса в графе, полученном из исходного преобразованиями, описанными в первых двух леммах.

Алгоритм, решающий задачу, работает с графом, как с матрицей весов.

# Вычитаем из каждой строки значение ее минимального элемента. Теперь в каждой строке есть хотя бы один нулевой элемент.
# Вычитаем из каждого столбца значение его минимального элемента. Теперь в каждом столбце есть хотя бы один нулевой элемент.
# Ищем в текущем графе полное паросочетание из ребер нулевого веса:
#
#* Если оно найдено, то желаемый результат достигнут, алгоритм закончен.
#* В противном случае, покроем нули матрицы весов минимальным количеством строк и столбцов (это не что иное, как [[Связь максимального паросочетания и минимального вершинного покрытия в двудольных графах|нахождение минимального вершинного покрытия в двудольном графе]]). Пусть <tex> X_c </tex> и <tex> Y_c </tex> — множества вершин минимального вершинного покрытия из левой и правой долей (то есть, строк и столбцов) соответственно, тогда применим преобразование <tex> X_c \uparrow\downarrow (Y \setminus Y_c) </tex>. Для этого преобразования <tex> d </tex> будет минимумом по всем ребрам между <tex> X \setminus X_c </tex> и <tex> Y \setminus Y_c </tex>, то есть, ребер нулевого веса здесь нет, поэтому, после его выполнения в матрице весов появится новый нуль. После этого перейдем к шагу 1.

== Анализ времени работы ==

Поиск максимального паросочетания или минимального вершинного покрытия в двудольном графе совершается за <tex> O(n^3) </tex> операций. При каждом повторении шагов 1-4 в матрице весов появляется новый нуль. Этот нуль соответствует некоторому новому ребру между вершинами из множеств <tex> X \setminus X_c </tex> и <tex> Y \setminus Y_c </tex>. Всего в графе n^2 ребер, значит, всего будет совершено не более <tex> O(n^2) </tex> итераций внешнего цикла. Поэтому, верхняя оценка времени работы данного метода — <tex> O(n^5) </tex>. Более точная оценка довольно сложна и зависит от порядка чисел в матрице весов графа.

== Алгоритм за <tex>O(n^3)</tex> ==

<tex>a[1 \dots n][1 \dots m]</tex> {{---}} прямоугольная входная матрица, где <tex>n \leq m</tex>. Матрица хранится в 1-индексации.

<tex>u[0 \dots n], v[0 \dots n]</tex> {{---}} массивы потенциалов. Изначально нулевые, что верно для матрицы, состоящей из 0 строк.

<tex>p[0 \dots m]</tex> {{---}} массив паросочетания. Для каждого стобца <tex>i = 0 \dots m</tex> он хранит номер соответствующей выбранной строки <tex>p[i]</tex> (или 0, если ничего не выбрано). Полагаем, что <tex>p[0]</tex> равно номеру рассматриваемой строки.

<tex>minv[1 \dots m]</tex> {{---}} массив, хранящий для каждого столбца j вспомогательные минимумы, необходимые для быстрого пересчета потенциала.

<tex>minv[j] = \min_{i \in Z_1}\{a[i][j] - u[i] - v[j]\}</tex>

<tex>way[1 \dots m]</tex> {{---}} массив, содержащий информацию о том, где эти минимумы достигаются, чтобы мы могли впоследствии восстановить увеличивающую цепочку.

'''hungarianAlgorithm'''(a):
'''for''' i = 1 '''to''' n:
p[0] = i
j0 = 0
'''for''' i = 0 '''to''' m + 1:
minv[i] = <tex>\infty</tex>
used[i] = false
'''while''' true:
used[j0] = true
i0 = p[j0]
<tex>\delta</tex> = <tex>\infty</tex>
'''for''' j = 1 '''to''' m:
'''if''' used[j] == 0:
cur = a[i0][j] - u[i0] - v[j]
'''if''' cur < minv[j]:
minv[j] = cur
way[j] = j0
'''if''' minv[j] < <tex>\delta</tex>:
<tex>\delta</tex> = minv[j]
j1 = j
'''for''' j = 0 '''to''' m:
'''if''' used[j]:
u[p[j]] += <tex>\delta</tex>
v[j] -= <tex>\delta</tex>;
'''else''':
minv[j] -= <tex>\delta</tex>
j0 = j1;
'''if''' p[j0] != 0:
'''break'''
'''while''' true:
j1 = way[j0]
p[j0] = p[j1]
j0 = j1
'''if''' j0 <tex>\neq</tex> 0:
'''break'''

== Ссылки ==
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/Венгерский_алгоритм Венгерский алготитм в Википедии]
* [http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/graph-flow-match/hungarian-2002 Визуализатор алгоритма]
* [http://acm.mipt.ru/twiki/bin/view/Algorithms/HungarianAlgorithmCPP?sortcol=5&table=2&up=0 Реализация венгерского алгоритма на C++]
* [http://e-maxx.ru/algo/assignment_hungary Венгерский алгоритм решения задачи о назначениях]

== Литература ==
* Асанов М., Баранский В., Расин В. — Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы — 2010, 368 стр.

[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Задача о потоке минимальной стоимости]]

Венгерский алгоритм решения задачи о назначениях

2016-01-14T02:32:13Z

Da1s111: /* Алгоритм за O(n^3) */

Венгерский алгоритм — алгоритм, решающий задачу о назначениях за полиномиальное время. Оригинальная версия была придумана и разработана Х. Куном в 1955 году и имела асимптотику <tex> O(n^4) </tex>, но позже Эдмонс и Карп (а также, независимо от них, Томидзава) показали, что можно улучшить ее до <tex> O(n^3) </tex>.

== Постановка задачи ==

Пусть дан взвешенный полный двудольный граф c целыми весами ребер <tex> K_{n, n} </tex>, нужно найти в нем полное паросочетание минимального веса. Вес паросочетания определяется как сумма весов его ребер. Далее будем обозначать левую и правую доли графа за <tex> X </tex> и <tex> Y </tex> соответственно, вес ребра <tex> xy </tex> — как <tex> c(xy) </tex>.

== Некоторые полезные утверждения ==

{{Лемма
|statement=
Если веса всех ребер графа, инцидентных какой-либо вершине, изменить (увеличить или уменьшить) на одно и то же число, то в новом графе оптимальное паросочетание будет состоять из тех же ребер, что и в старом.
|proof=
Полное паросочетание для каждой вершины содержит ровно одно ребро, инцидентное этой вершине. Указанная операция изменит на одно и то же число вес любого паросочетания. Значит, ребро, которое принадлежало оптимальному паросочетанию в старом графе, в новом графе тоже будет ему принадлежать.
}}

Далее будем рассматривать только графы с неотрицательной весовой функцией, так как, согласно этой лемме, задачу о назначениях на остальных графах можно свести к задаче о назначениях на них.

{{Лемма
|statement=
Выделим в множествах <tex>X</tex> и <tex>Y</tex> подмножества <tex>X', Y'</tex>. Пусть <tex>d = \min \{c(xy)|\ x \in X \setminus X', y \in Y'\}</tex>. Прибавим <tex> d </tex> ко всем весам ребер, инцидентных вершинам из <tex>X'</tex>. Затем отнимем <tex> d </tex> от всех весов ребер, инцидентных вершинам из <tex>Y'</tex> (далее для краткости эта операция обозначается как <tex> X' \uparrow\downarrow Y' </tex>). Тогда:
# Веса всех ребер графа останутся неотрицательными.
# Веса ребер вида <tex>xy</tex>, где <tex>x \in X', y \in Y'</tex> или <tex>x \in X \backslash X', y \in Y \backslash Y'</tex>, не изменятся.
|proof=
Рассмотрим матрицу весов графа. Не умаляя общности, можно сказать, что множества <tex> X' </tex> и <tex> Y' </tex> состоят из первых элементов множеств <tex> X </tex> и <tex> Y </tex> соответственно (мы упорядочиваем множества по номерам вершин). Тогда вся матрица делится на 4 блока:

<table border = '1' bordercolor = 'black' rules = 'all' cellpadding = '5'>
<tr>
<td> </td>
<td> <tex> Y' </tex> </td>
<td> <tex> Y \backslash Y' </tex> </td>
</tr>
<tr>
<td> <tex> X' </tex> </td>
<td> <tex> A + d - d </tex> </td>
<td> <tex> C + d </tex> </td>
</tr>
<tr>
<td> <tex> X \backslash X' </tex> </td>
<td> <tex> B - d </tex> </td>
<td> <tex> D </tex> </td>
</tr>
</table>

Веса группы <tex> A </tex> будут сначала увеличены, а потом уменьшены на <tex> d </tex>, поэтому они не изменятся, веса группы <tex> D </tex> вообще изменяться не будут. Все веса группы <tex> B </tex> будут уменьшены на <tex> d </tex>, но <tex> d </tex> — минимум среди этих весов, поэтому они останутся неотрицательными.

}}

{{Лемма
|statement=
Если веса всех ребер графа неотрицательны и некоторое полное паросочетание состоит из ребер нулевого веса, то оно является оптимальным.
|proof=
Действительно, паросочетание с какими-то другими весами ребер имеет больший вес и оптимальным не является.
}}

== Общий метод ==

Доказанные ранее утверждения позволяют придумать схему алгоритма, решающего задачу о назначениях: нужно найти полное паросочетание из ребер нулевого веса в графе, полученном из исходного преобразованиями, описанными в первых двух леммах.

Алгоритм, решающий задачу, работает с графом, как с матрицей весов.

# Вычитаем из каждой строки значение ее минимального элемента. Теперь в каждой строке есть хотя бы один нулевой элемент.
# Вычитаем из каждого столбца значение его минимального элемента. Теперь в каждом столбце есть хотя бы один нулевой элемент.
# Ищем в текущем графе полное паросочетание из ребер нулевого веса:
#
#* Если оно найдено, то желаемый результат достигнут, алгоритм закончен.
#* В противном случае, покроем нули матрицы весов минимальным количеством строк и столбцов (это не что иное, как [[Связь максимального паросочетания и минимального вершинного покрытия в двудольных графах|нахождение минимального вершинного покрытия в двудольном графе]]). Пусть <tex> X_c </tex> и <tex> Y_c </tex> — множества вершин минимального вершинного покрытия из левой и правой долей (то есть, строк и столбцов) соответственно, тогда применим преобразование <tex> X_c \uparrow\downarrow (Y \setminus Y_c) </tex>. Для этого преобразования <tex> d </tex> будет минимумом по всем ребрам между <tex> X \setminus X_c </tex> и <tex> Y \setminus Y_c </tex>, то есть, ребер нулевого веса здесь нет, поэтому, после его выполнения в матрице весов появится новый нуль. После этого перейдем к шагу 1.

== Анализ времени работы ==

Поиск максимального паросочетания или минимального вершинного покрытия в двудольном графе совершается за <tex> O(n^3) </tex> операций. При каждом повторении шагов 1-4 в матрице весов появляется новый нуль. Этот нуль соответствует некоторому новому ребру между вершинами из множеств <tex> X \setminus X_c </tex> и <tex> Y \setminus Y_c </tex>. Всего в графе n^2 ребер, значит, всего будет совершено не более <tex> O(n^2) </tex> итераций внешнего цикла. Поэтому, верхняя оценка времени работы данного метода — <tex> O(n^5) </tex>. Более точная оценка довольно сложна и зависит от порядка чисел в матрице весов графа.

== Алгоритм за <tex>O(n^3)</tex> ==

<tex>a[1 \dots n][1 \dots m]</tex> {{---}} прямоугольная входная матрица, где <tex>n \leq m</tex>. Матрица хранится в 1-индексации.

<tex>u[0 \dots n], v[0 \dots n]</tex> {{---}} массивы потенциалов. Изначально нулевые, что верно для матрицы, состоящей из 0 строк.

<tex>p[0 \dots m]</tex> {{---}} массив паросочетания. Для каждого стобца <tex>i = 0 \dots m</tex> он хранит номер соответствующей выбранной строки <tex>p[i]</tex> (или 0, если ничего не выбрано). Полагаем, что <tex>p[0]</tex> равно номеру рассматриваемой строки.

<tex>minv[1 \dots m]</tex> {{---}} массив, хранящий для каждого столбца j вспомогательные минимумы, необходимые для быстрого пересчета потенциала.

<tex>minv[j] = \min_{i \in Z_1}\{a[i][j] - u[i] - v[j]\}</tex>

<tex>way[1 \dots m]</tex> {{---}} массив, содержащий информацию о том, где эти минимумы достигаются, чтобы мы могли впоследствии восстановить увеличивающую цепочку.

'''hungarianAlgorithm'''(a):
'''for''' i = 1 '''to''' n:
p[0] = i
j0 = 0
'''for''' i = 0 '''to''' m + 1:
minv[i] = <tex>\infty</tex>
used[i] = false
'''while''' true:
used[j0] = true
i0 = p[j0]
<tex>\delta</tex> = <tex>\infty</tex>
'''for''' j = 1 '''to''' m:
'''if''' used[j] == 0:
cur = a[i0][j] - u[i0] - v[j]
'''if''' cur < minv[j]:
minv[j] = cur
way[j] = j0
'''if''' minv[j] < <tex>\delta</tex>:
<tex>\delta</tex> = minv[j]
j1 = j
'''for''' j = 0 '''to''' m:
'''if''' used[j]:
u[p[j]] += <tex>\delta</tex>
v[j] -= <tex>\delta</tex>;
'''else''':
minv[j] -= <tex>\delta</tex>
j0 = j1;
'''if''' p[j0] != 0:
'''break'''
'''while''' true:
j1 = way[j0]
p[j0] = p[j1]
j0 = j1
'''if''' j0 <tex>\neq</tex> 0:
'''break'''

== Ссылки ==
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/Венгерский_алгоритм Венгерский алготитм в Википедии]
* [http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/graph-flow-match/hungarian-2002 Визуализатор алгоритма]
* [http://acm.mipt.ru/twiki/bin/view/Algorithms/HungarianAlgorithmCPP?sortcol=5&table=2&up=0 Реализация венгерского алгоритма на C++]

== Литература ==
* Асанов М., Баранский В., Расин В. — Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы — 2010, 368 стр.

[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Задача о потоке минимальной стоимости]]

Алгоритм LZMA

2014-12-20T01:13:45Z

Da1s111:

LZMA (англ. Lempel-Ziv-Markov chain-Algorithm) — алгоритм сжатия данных без потерь. Он разрабатывался с 1996-1998 гг и впервые был использован в формате 7z архиватора 7-Zip. Алгоритм использует схему сжатия данных по словарю, сходную с алгоритмом LZ77, опубликованным Авраамом Лемпелем (Abraham Lempel) и Якобом Зивом (Jacob Ziv) в 1977 году, и отличается высокой степенью сжатия, произвольным размером словаря, тогда как скорость распаковки сходна с другими алгоритмами сжатия.

==Описание==
LZMA использует алгоритм сжатия данных по словарю, чей результат закодирован интервальным кодированием, используя сложную модель вычисления вероятности появления каждого бита. Система сжатия ищет совпадения, используя словарь структур данных, и создает поток символов и ссылок на фразы, который закодирован 1 битом интервальным кодировщиком, в то же время динамическое программирование используется, чтобы выбрать оптимальный код под некоторой аппроксимацией.

Алгоритм LZMA

2014-12-05T19:42:35Z

Da1s111: Новая страница: «LZMA (англ. Lempel-Ziv-Markov chain-Algorithm) — алгоритм сжатия данных без потерь, разрабатываемый с 2001 го...»

LZMA (англ. Lempel-Ziv-Markov chain-Algorithm) — алгоритм сжатия данных без потерь, разрабатываемый с 2001 года.

Алгоритм основан на схеме сжатия данных по словарю, сходной с использованной в LZ77, и обеспечивает высокий коэффициент сжатия, а также позволяет использовать словари различного размера.