Викиконспекты - Вклад участника [ru]

PCP-теорема

2012-06-06T18:44:15Z

Filchenko: \log

{{Теорема
|id=pcp_th
|about=<tex>\mathrm{PCP}</tex> теорема
|statement=<tex>\mathrm{PCP}[\log n, O(1)] = \mathrm{NP}</tex>
}}

Классическое доказательство [[Класс PCP|<tex>\mathrm{PCP}</tex>]] теоремы громоздкое и довольно сложное для восприятия,
рассмотрим вариант докаательства, предложенный Динуром. Оно основано на тос, что <tex>\mathrm{PCP}</tex>-теорема [[Эквивалентность_PCP-теоремы_и_теоремы_о_трудности_аппроксимации | эквивалентна <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудности задачи <tex>\rho-GAPqCSP</tex>]].

==Определения и леммы, используемые в доказательстве==
{{Определение
|definition= <tex>\mathcal{C}=\lbrace c_1,..., c_n\rbrace</tex> назовем множеством условий над
множеством переменных <tex>V</tex>.
}}
{{Определение
|definition=Число неудовлетворенности <tex>UNSAT(\mathcal{C})</tex> — минимальное подмножество неудовлетворенных условий для любых возможных назначений <tex>V</tex>. <tex>\mathcal{C}</tex> удовлетворимо тогда и только тогда, когда <tex>UNSAT(\mathcal{C})=0</tex>. Если же <tex>\mathcal{C}</tex> неудовлетворимо, тогда <tex>UNSAT(\mathcal{C}) \ge \frac 1 n</tex>.
}}

===Графы условий===
Нам понадобятся графы ограничений для двух переменных, которые определяются следующим образом:
{{Определение
|definition=
<tex>G=\left\langle(V,E,\Sigma,\mathcal{C}\right\rangle</tex> называется графом условий, если:
* <tex>(V,E)</tex> — неориентированный граф, называемый графом, леащим в основе <tex>G</tex>.
* Множество <tex>V</tex> также представляется в виде множества переменных принимающих значениями из алфавита <tex>\Sigma</tex>
* Каждое ребро <tex>e \in E</tex> содержит условие <tex>c(e) \subseteq \Sigma^2</tex> и <tex>\mathcal{C}=\lbrace c(e)\rbrace_{e \in E}</tex>. Условие <tex>c(e)</tex> называется удовлетворенным парой <tex>(a, b)</tex>, если <tex>(a, b) \in c(e)</tex>
}}

Присваивание это отображение <tex>\sigma:V \rightarrow \Sigma</tex>, которое назначает каждой вершине из <tex>V</tex>
значение из <tex>\Sigma</tex>. Для любого присвоения <tex>\sigma</tex> определим <tex>UNSAT_\sigma(G) = \operatorname*{Pr}\limits_{(u,v)\in E} [(\sigma(u),\sigma(v)) \notin c(e)]</tex> и <tex>UNSAT(G) = \operatorname*{min}\limits_\sigma UNSAT_\sigma(G)</tex>.

Назовем <tex>UNSAT(G)</tex> числом неудовлетворенности графа <tex>G</tex>. Размером графа будем считать размер его описания <tex>size(G)=O(|V|+|E| \cdot |\Sigma|^2)</tex>

{{Лемма
|statement=Для заданного графа условий <tex>G=\left\langle(V,E,\Sigma,\mathcal{C}\right\rangle</tex>, где <tex>|\Sigma|=3</tex> проверка утверждения <tex>UNSAT(G)=0</tex> — <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудная задача.
|proof=
Сведем <tex>3Color</tex> к нашей задаче. Дан граф <tex>G</tex>, алфавит <tex>\Sigma=\lbrace 1,2,3 \rbrace</tex> для трех цветов. Оснастим ребра условиями неравенства. Очевидно, что <tex>G \in 3Color</tex> тогда и только тогда, когда <tex>UNSAT(G)=0<tex> (Иногда удобно использовать одно и то же обозначение <tex>G</tex> для графа условий и графа, лежащего в его основе).
}}

===Экспандер графы===
Экспандер графы играют важную роль во многих теоретических результатах.

{{Определение
|definition= <tex>G=(V,E)</tex> <tex>d</tex>-регулярный граф. Положим <tex>E(S,\overline{S})=|(S \times \overline{S}) \cap E|</tex> равным количеству ребер их подмножества <tex>S\in V</tex> в его дополнение. Определим реберное расширение как
<tex>h(G)=\operatorname*{min}\limits_{S:|S|<\frac {|V|} 2} \frac {E(S, \overline S)} {|S|}</tex>
}}

{{Лемма
|about=О экспандерах
|statement=Существует <tex>d_0 \in \mathbb{N}</tex> и <tex>h_0 >0</tex> такие, что есть построимое за полиномиальное время семейство <tex>\lbrace X_n\rbrace_{n \in \mathbb{N}}</tex> <tex>d_0</tex>-регулярных графов <tex>X_n</tex> с <tex>n</tex> вершинами таких, что <tex>h(X_n) \ge h_0</tex>.
|proof=см. The PCP Theorem by Gap Amplification, Irit Dinur, 2005
}}

{{Лемма
|statement= Пусть <tex>G</tex> <tex>d</tex>-регулярный граф, а <tex>h(G)</tex> его реберное расширение. Тогда <tex>\lambda(G) \le d - \frac {h(G)^2} d</tex>
}}

{{Определение
|definition=Собственным числом графа <tex>\lambda</tex> называют собственное число его матрицы смежности.
}}

{{Лемма
|statement=Пусть <tex>G</tex> <tex>d</tex>-регулярный граф со вторым по величине собственным числом <tex>\lambda</tex>. Пусть <tex>F \subseteq E</tex> множество ребер. Вероятность <tex>p</tex> того, что случайный путь, начинающийся со случайного ребра из <tex>F</tex> на <tex>i+1</tex> шаге попадет <tex>F</tex> ограничена <tex>\frac {|F|} {|E|} + \left({\frac {|\lambda|} d}\right)^i</tex>.
|proof=см. The PCP Theorem by Gap Amplification, Irit Dinur, 2005
}}

==Операции на графах условий==
Для доказательства <tex>\mathrm{PCP}</tex> теоремы потребуются три операции над графами уловий:
* Препроцессинг. Простая операция, сохраняющая чило неудовлетворенности(примерно) и размер алфавита, но делающая граф лучше.
* Усиление. Эта операция увеоичивает чило неудовлетворенности за счет увеличения размера алфавита.
* Композицияю Эта операция уменьшает размер алфавита, сохраняя число неудовлетворенности(приблизительно).

===Препроцессинг===
Под хорошим графом будем понимать регулярный, фиксированной степени экспандер граф.
{{Лемма
|about=Препроцессинг
|statement= существуют константы <tex>0 < \lambda < d</tex> и <tex>\beta_1 >0</tex> такие, что любой граф условий <tex>G</tex> может быть преобразован в граф условий <tex>G'=prep(G)</tex> такой, что:
* <tex>G'</tex> <tex>d</tex>-регулярный
* <tex>G'</tex> имеет тот же алфавит, что и <tex>G</tex> и <tex>size(G') = O(size(G))</tex>.
* <tex>\beta_1 \cdot UNSAT(G) \le UNSAT(G') \le UNSAT(G)</tex>
}}

Заметим, что третий пункт теммы гарантирует поддержание полноты, т.е. если <tex>UNSAT(G)=0</tex>, то и <tex>UNSAT(G')=0</tex>. Доказательство этой леммы состоит из двух следующих лемм (<tex>\beta_1=c \cdot \frac d {d + d_0 + 1}</tex>).

{{Лемма
|about=Константная степень
|statement=Любой граф условий <tex>G = \langle (V,E),\Sigma,\mathcal{C}\rangle</tex> может быть преобразован в <tex>(d_0 + 1)</tex>-регулярный граф условий <tex>G'=\langle (V',E'),\Sigma,\mathcal{C}'\rangle</tex> такой, что <tex>|V'|</tex>=2|E|</tex> и <tex>c \cdot UNSAT(G) \le UNSAT(G') \le UNSAT(G)</tex>. Для некоторых заданных констант <tex>d_0,c>0</tex>
|proof=см. The PCP Theorem by Gap Amplification, Irit Dinur, 2005
}}

Эта лемма известна как экспандер-замена(expander-replacement transformation).

{{Лемма
|about=О расширении
|statement=
Пусть <tex>d_0, h_0 >0</tex> некоторые константы. Любой <tex>d</tex>-регулярный граф условий <tex>G</tex> может быть преобразован в <tex>G'</tex> такой, что:
* <tex>G'</tex> <tex>(d + d_0 + 1)</tex>-регулярный, имеет собственные циклы и <tex>\lambda(G') \le d + d_0 + 1 - \frac {h_0^2} {d + d_0 + 1} < deg(G')</tex>
* <tex>size(G')=O(size(G))</tex>
* <tex> \frac d {d + d_0 + 1} \cdot UNSAT(G) \le UNSAT(G') \le UNSAT(G)</tex>
|proof=см. The PCP Theorem by Gap Amplification, Irit Dinur, 2005
}}

===Усиление===
Это новая операция на системах условий, которая увеличивает число неудовлетворенности.
Пусть <tex>G=\langle (V,E),\Sigma,\mathcal{C}\rangle<tex> граф условий, <tex>t \in \mathbb{N}</tex>. Определим <tex>G^t=\langle (V,\mathbf{E}),\Sigma^{d^{\lceil t/2\rceil}}, \mathcal{C}^t \rangle</tex> как следующий граф условий:
* Веришины <tex>G^t</tex> совпадают с вершинами <tex>G</tex>
* Ребра: <tex>u</tex> и <tex>v</tex> соединены <tex>k</tex> ребрами в <tex>\mathbf{E}</tex>, если количество путей длины <tex>t</tex> из <tex>u</tex> в <tex>v</tex> в графе <tex>G</tex> равно <tex>k</tex>
* Алфавит: алфавит графа <tex>G^t</tex> <tex>\Sigma^{d^{\lceil t/2\rceil}}</tex>, где каждой вершине сопоставлены значения ее соседей, достижимых за <tex>\frac t 2</tex> шагов.
* Условия: Условия сопоставленные ребру <tex>e=(u,v) \in \mathbf{E}</tex> удовлетворены, если назначения для <tex>u</tex> и <tex>v</tex> согласованы с назначениями, удовлетворяющими условия, порожденные <tex>\frac t 2</tex> соседями <tex>u</tex> и <tex>v</tex>.

Если <tex>UNSAT(G)=0</tex> тогда очевидно <tex>UNSAT(G^t)=0</tex>. Интереснее доказательство того, что <tex>UNSAT(G^t) \ge O(\sqrt{t} \cdot UNSAT(G)</tex>.

{{Лемма
|about=Усиление
|statement= Пусть <tex>\lambda < d</tex> и <tex>|\Sigma|</tex> произвольные константы. Тогда существует константа <tex>\beta_2=\beta_2(\lambda,d,|\Sigma|)>0</rex> такая, что для любого <tex>t \in \mathbb N</tex> и для любого <tex>d</tex>-регулярного графа условий <tex>G=\langle(V,E),\Sigma,\mathcal{C}\rangle</tex> с собственными циклами и <tex>\lambda(G)\le \lambda</tex>, <tex>UNSAT(G^t) \ge \beta_2 \sqrt{t} \cdot min \left({UNSAT(G), \frac 1 t}\right)</tex>.
|proof=см. The PCP Theorem by Gap Amplification, Irit Dinur, 2005
}}

Поскольку <tex>UNSAT(G) \le \frac 1 t</tex>, из жтой леммы следует что <tex>UNSAT(G^t) \ge O(\sqrt{t}) \cdot UNSAT(G)</tex>. Это основная техническая лемма.
===Композиция===
{{Определение
|about=Тестер присвоений
|definition=Тестер присвоений с алфавитом <tex>\Sigma_0</tex> и вероятностью отклонения <tex>\epsilon > 0</tex> это полиномиальное преобразование <tex>\mathcal{P}</tex>, принимающее на вход схему <tex>\Phi</tex> над будевыми переменными <tex>X</tex> и дающую на выходе граф условий <tex>G=\langle(V,E),\Sigma_0,\mathcal{C}\rangle</tex> такой, что <tex>V \subset X</tex>(в условном графе <tex>V</tex> играет одновременно две роли: переменных и вершин. <tex>Y \subset X</tex> подразумевает, что некоторые вершины из <tex>V</tex> определены с помощью переменных <tex>X</tex>). Пусть <tex>V'=V \setminus X</tex> и <tex>a : X \rightarrow \lbrace 0,1 \rbrace</tex> — присваивание.
* (Полнота) Если <tex>a \in SAT(\Phi)</tex> то существует <tex>b : V' \rightarrow \Sigma_0</tex> такое, что <tex>UNSAT_{a\cup{b}}(G)=0</tex>
* (Обоснованность) Если <tex>a \notin SAT(\Phi)</tex> то для всех <tex>b : V' \rightarrow \Sigma_0</tex>, <tex>UNSAT_{a\cup{b}}(G) \ge \epsilon \cdot dist(a, SAT(\Phi))</tex>.
}}

Следует заметить, что не накладывается никаких ограничений ни на время работы <tex>\mathcal{P}</tex> ни на <tex>size(G)</tex>. Мы игнорируем размер схемы <Tex>\Phi</tex>, которая может быть экспоненциальна относительно <tex>|X|</tex>.

{{Лемма
|about=Композиция
|statement=Пусть существует тестер присвоений <tex>\mathcal{P}</tex> с константной вероятностью отклонения <tex>\epsilon > 0</tex> и алфавитом <tex>\Sigma_0</tex>, <tex>|\Sigma_0|=O(1)</tex>. Тогда существует <tex>\beta_3 > 0</tex>, зависящая только от <tex>\mathcal{P}</tex>, такая что любой граф условий <tex>G=\langle(V,E),\Sigma,\mathcal{C}\rangle</tex> может быть преобразован в <tex>G'=\langle(V',E'),\Sigma_0,\mathcal{C}'\rangle</tex>, обозначаемый <tex>G \circ \mathcal{C}</tex>, такой что <tex>size(G')=M(|\Sigma|) \cdot size(G)</tex> и <tex>\beta_3 \cdot UNSAT(G) \le UNSAT(G') \le UNSAT(G)</tex>
|proof=см. The PCP Theorem by Gap Amplification, Irit Dinur, 2005
}}

==Основная теорема==
Основываясь на операциях с графами условий мы можем доказать основную теорему.
{{Теорема
|about=Основная теорема
|statement=Для любого <tex>\Sigma</tex>, <tex>|\Sigma|=O(1)</tex> существуют константы <tex>C > 0</tex> и <tex>0 < \alpha < 1</tex> такие, что для данного графа условий <tex>G=\langle(V,E),\Sigma,\mathcal{C}\rangle</tex> за полиномиальное время можно построить граф условий <tex>G'=\langle(V',E'),\Sigma_0,\mathcal{C}'\rangle</tex> такой, что:
* <tex>size(G') \le C \cdot size(G)</tex> и <tex>|\Sigma_0| = O(1)</tex>
* (Полнота) Если <tex>UNSAT(G)=0</tex>, то <tex>UNSAT(G')=0</tex>
* (Обоснованность) <tex>UNSAT(G') \ge min(2 \cdot UNSAT(G), \alpha)</tex>
|proof=
Построим <tex>G'</tex> по <tex>G</tex> следующим образом: <tex>G'=(prep(G))^t \circ \mathcal{P}</tex>.
# (Препроцессинг) Пусть <tex>H_1=prep(G)</tex>. Существуют некоторые глобальные константы <tex>\lambda < d </tex> и <tex>\beta_1 >0</tex> такие, что <tex>H_1</tex> <tex>d</tex>-регулярный, имеет тот же алфавит, что и <tex>G</tex>, <tex>\lambda(H_1) \le \lambda < d</tex> и <tex>\beta_1 \cdot UNSAT*G( \le UNSAT(H_1) \le UNSAT(G)</tex>.
# (Усиление) Пусть <tex>H_2=(H_1)^t</tex> для достаточно большой константы <tex> t > 1</tex>, которую определим ниже. Существует некоторая константа <tex>\beta_2=\beta(\lambda, d, |\Sigma|) > 0</tex>, для которой <tex>UNSAT(H_2) \ge \beta_2 \sqrt{t} \cdot min(UNSAT(H_1), \frac 1 t)</tex>. Однако, алфавит вырос до <tex>\Sigma^{d^{\lceil t / 2 \rceil}}</tex>.
# (Композиция) Пусть <tex>G'=H_2 \circ \mathcal{P}</tex>. Это уменьшит алфавит до <tex>\Sigma_0</tex>, при <tex>\beta_3 \cdot UNSAT(H_2) \le UNSAT(G') \le UNSAT(H_2)</tex> для некоторой <tex>\beta_3 > 0 </tex>.

Проверим выполнение условий теоремы. Размер <tex>G'</tex> линеен относительно размера<tex>G</tex>, поскольку на каждом шагу увеличивался линейно. Полнота явно поддерживается на каждом шаге. Теперь выберем <tex>t=\left\lceil\left({\frac 2 {\beta_1\beta_2\beta_3}}\right)^2\right\rceil</tex>. Пусть <tex>\alpha=\frac {\beta_3\beta_2} {sqrt{t}}</tex>.
Таким образом,

<tex>UNSAT(G') \ge \beta_3 \cdot UNSAT(H_2)</tex> <tex>\ge \beta_3 \cdot \beta_2 \sqrt{t} \cdot min(UNSAT(H_1), \frac 1 t)</tex> <tex>\ge \beta_3 \cdot \beta_2 \sqrt{t} \cdot min(\beta_1 UNSAT(G_, \frac 1 t) </tex> <tex>\ge min(2 \cdot UNSAT(G), \alpha)</tex>
}}
===Доказательство PCP теоремы===
{{Лемма
|statement=Следствием из основной теоремы является <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудность <tex>GAP-3SAT_s</tex>.
|proof=Сведем удовлетворимость графа условий к нашей задаче. Пусть <tex>G</tex> задача удовлетворимости некоторого графа с <tex>|\Sigma|=3</tex>. Идей состоит в повторении применения основной теоремы до тех пор, пока число неудовлетворенности не станет постоянным.

Пусть <tex>G_0 = G</tex> и <tex>G_i(i \ge 1)</tex> — результат применения основной теоремы к <tex>G_{i-1}</tex>. Тогда для <tex>i \ge 1</tex> <tex>G</tex> — граф условий с алфавитом <tex>\Sigma_0</tex>. Пусть <tex>E_0</tex> — множество ребер <tex>G_0<tex> и <tex>k=\log|E_0|=O(\log n)</tex>.

Полнота показывается тривиально: если <tex>UNSAT(G_0)=0</tex>, то для всех <tex>i</tex> <tex>UNSAT(G_i)=0</tex>. Для обоснованности рассмотрим <tex>UNSAT(G_0) > 0</tex>. Если для некоторого <tex>i*<k</tex>, <tex>UNSAT(G_{i*}) \ge \frac \alpha 2</tex>, то из основной теоремы следует, что для всех <tex>i>i*</tex> <tex>UNSAT(G_i)\ge \alpha</tex>. На остальные <tex>i</tex> это распространяется по индукции <tex>UNSAT(G_i) \ge min(2^i UNSAT(G_0), \alpha)</tex>.

Если <tex>UNSAT(G_0)>0</tex>, то <tex>UNSAT(G_0)\ge \frac 1 {|E_0|}</tex>. Конечно, <tex>2^k UNSAT(G_0) > \alpha</tex>. Таким образом <tex>UNSAT(G_k) \ge \alpha</tex>.

Такми образом <tex>\rho -GAP2CSP</tex> <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудная. Достичь обоснованности <tex>\frac 1 2</tex> можно последовательным повторением <tex>u=\frac 1 {\log(\frac 1 {1 - \alpha})} </tex> раз. Тоесть создать новые условия, представляющие собой <tex>AND</tex> всех возможных <tex>u</tex>-наборов прежних условий. Конечно, при этом количество запросов на условие увеличится до <tex>2u</tex>.

}}

==Дополнительные материалы==
* [http://www.math.ias.edu/boaz/ExpanderCourse/|N. Linial and A. Wigderson. Expander graphs and their applications. Lecture notes of a course, 2003].
* Michael Sipser and Daniel A. Spielman. Expander codes. IEEE Trans. Inform. Theory, 42(6, part 1):1710–1722, 1996. Codes and complexity.
* C. Papadimitriou and M. Yannakakis. Optimization, approximation and complexity classes. Journal of Computer and System Sciences, 3:425–440, 1991.
* Irit Dinur and Omer Reingold. Assignment testers: Towards combinatorial proofs of the PCP theorem. In Proceedings of the 45th Symposium on Foundations of Computer Science (FOCS), 2004.
==Источники==
* [http://eccc.hpi-web.de/report/2005/046 |The PCP Theorem by Gap Amplification, Irit Dinur, 2005].
* [http://www.cs.utah.edu/~alfeld/LecturePDFs/pcp.pdf |The PCP Theorem, Notes by Scott Alfeld, 2008].

Эквивалентность PCP-теоремы и теоремы о трудности аппроксимации

2012-06-06T18:42:53Z

Filchenko: \log

Классическое доказательство <tex>\mathrm{PCP}</tex>-теоремы довольно громоздкое и трудное для понимания, однако несложно показать эквивалентность <tex>\mathrm{PCP}</tex>-теоремы <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудности задачи аппроксимации.
==Задача qCSP==
{{Определение
|definition=<tex>qCSP</tex> представляет собой <tex>\varphi</tex> — набор функций <tex>\varphi_1, \ldots, \varphi_m</tex> из <tex>\{0, 1\}^n</tex> в <tex>\{0, 1\}</tex>, такие что <tex>\varphi_i</tex> зависит не больше, сем от <tex>q</tex> заданных параметров. То есть для <tex>\forall i \in [1..m]</tex> существуют <tex>j_1, \ldots, j_q \in [1..n]</tex> и функция <tex>f:\{0, 1\}^q \rightarrow \{0, 1\}</tex>, такие что <tex>\varphi_i(u) = f(u_{j_1}, \ldots, u_{j_q})</tex> для любого <tex>u \in \{0, 1\}^n</tex>.

Говорят, что назначение <tex>u \in \{0, 1\}^n</tex> удовлетворяет <tex>\varphi_i</tex>, если <tex>\varphi_i(u) = 1</tex>.

<tex>val(\varphi) = \frac{\sum_{i = 1}^{m} \varphi_i(u)}{m}.</tex> Если <tex>val(\varphi) = 1</tex>, то <tex>\varphi</tex> - удовлетворима.
}}
==ρ-GAPqCSP==
{{Определение
|definition=<tex>\rho \in (0, 1)</tex>. Задача <tex>\rho</tex>-GAP qCSP - определить для формулы qCSP — <tex>\varphi</tex>:
<tex>\bullet</tex> <tex>\varphi</tex> удовлетворима, то "YES".
<tex>\bullet</tex> <tex>val(\varphi) \leq \rho</tex>, то "NO".
}}
==Эквивалентность PCP-теоремы и NP-трудности задачи об аппроксимации==
{{Теорема
|id=pcp_th
|about=<tex>\mathrm{PCP}</tex> теорема
|statement=<tex>\mathrm{PCP}[\log n, O(1)] = \mathrm{NP}</tex>
}}

{{Теорема
|statement=Существуют <tex>q \in \mathbb{N}, \rho \in (0, 1)</tex> такие, что задача <tex>\rho-GAPqCSP</tex> — <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудная.
}}

{{Лемма
|statement= Из <tex>\mathrm{PCP}</tex>-теоремы следует <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудность задачи <tex>\rho-GAPqCSP</tex>.
|proof=
Покажем, что <tex>\frac 1 2 -GAPqCSP</tex> <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудная для некоторой константы <tex>q</tex>. Для этого достаточно свести <tex>\mathrm{NP}</tex>-полную задачу, например <tex>3SAT</tex> к <tex>\frac 1 2 -GAPqCSP</tex> для некоторой константы <tex>q</tex>. Из <tex>\mathrm{PCP}</tex>-теоремы следует, что для <tex>3SAT</tex> существует <tex>\mathrm{PCP}</tex>-система, в которой верифаер <tex>V</tex> делает константное число запросов <tex>q</tex> и использует <tex>c \log n</tex> монет для некоторйо константы <tex>c</tex>. Дял входа <tex>x</tex> и монет <tex>r</tex> определим <tex>V_{x,r}</tex> как функцию, принимающую на вход доказательство <tex>\pi</tex> и возвращающую <tex>1</tex>, если верифаер <tex>V</tex> принимает доказательство <tex>\pi</tex> на входе <tex>x</tex> с монетами <tex>r</tex>. Заметим, что <tex>V_{x,r}</tex> зависит не больше, чем от <tex>q</tex> позиций. Таким образом для любого <tex>x \in {0,1}^n</tex> набор <tex>\phi=\lbrace V_{x,r}\rbrace_{r \in \lbrace 0,1\rbrace^{c\log n}}</tex> — экземпляр <tex>qCSP</tex> полиномиального размера. Так как <tex>V</tex> работает за полиномиальное время, преобразование <tex>x</tex> в <tex>\phi</tex> также работает за полиномиальное время. Теперь полнота и обоснованность: если <tex>x \in 3SAT</tex>, то <tex>\phi</tex> удовоетворяет <tex>val(\phi)=1</tex>, а если <tex>x \notin 3SAT</tex> то <tex>\phi</tex> удовлетворяет <tex>val(\phi) \le \frac 1 2</tex>.
}}

{{Лемма
|statement= Из <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудности задачи <tex>\rho-GAPqCSP</tex> следует <tex>\mathrm{PCP}</tex>-теорема.
|proof=
Исходя из <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудности задачи <tex>\rho-GAPqCSP</tex> для некоторых констант <tex>q, \rho < 1</tex> легко построить <tex>\mathrm{PCP}</tex> систему с <tex>q</tex> запросами к доказательству, обоснованностью <tex>\rho</tex> и использующую логарифмическое число случайных бит. Сначала верифаер <tex>V</tex> запускает сведение <tex>f(x)</tex>, чтобы получить экземпляр задачи <tex>qCSP</tex> <tex>\phi=\lbrace\phi_i\rbrace_{i=1}^{m}</tex>. Будем считать, что доказательство <tex>\pi</tex> это назначение переменных <tex>\phi</tex>. Проверять будем случайно выбирая <tex>i \in [1,m]</tex> и проверяя, удовлетворяется ли <tex>\phi_i</tex> (для этого требуется <tex>q</tex> запросов). Действительно, если <tex>x \in L</tex>, верифаер примет его с вероятностью <tex>1</tex>. Если же <tex>x \notin L</tex>, верифаер примет его с вероятностью не больше <tex>\rho</tex>. Обоснованность может быть увеличена до <tex>\frac 1 2</tex> за счет увеличения количества завпросов к доказательству и использованных случайных бит в константное количество раз.
}}

Стоит заметить, что <tex>\mathrm{PCP}</tex>-теорема эквивалентна также <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудности задачи <tex>\rho-GAP3SAT</tex>.

==Источники==
* [http://www.cs.princeton.edu/theory/complexity/pcpchap.pdf S.Arora,B.Barak. Computational Complexity: A Modern Approach, 2007]

PCP-система

2012-06-06T18:41:42Z

Filchenko: /* Свойства */ PCP теорема, анонс

[[Категория: Теория сложности]]
'''PCP(probabilistically checkable proof)''' - вид доказательства, проверяемого рандомизированным алгоритмом, использующим ограниченное число случайных бит и читающим ограниченное число бит доказательства. Такой алгоритм должен с достаточно высокими вероятностями принимать корректные доказательства и отвергать ошибочные.

== Определения ==
{{Определение
|definition =
<tex>\mathrm{PCP}</tex>'''-системой''' (системой вероятностно проверяемых доказательств) с полнотой <tex>c(n)</tex> и обоснованностью <tex>s(n)</tex> над алфавитом <tex>\Sigma</tex> для языка <tex>L</tex>, где <tex>0 \le s(n) \le c(n) \le 1</tex>, называется верификатор <tex>V</tex> {{---}} [[Вероятностные вычисления. Вероятностная машина Тьюринга#Основные определения|вероятностная машина Тьюринга]], имеющая доступ к доказательству <tex>\pi</tex> {{---}} цепочке из <tex>\Sigma^{*}</tex>, удовлетворяющая следующим свойствам:
* '''Полнота''': если <tex>x \in L</tex>, то вероятность того, что <tex>V^{\pi}</tex> допустит <tex>x</tex>, не меньше <tex>c(n)</tex> для некоторого <tex>\pi</tex>,
* '''Обоснованность''': если <tex>x \notin L</tex>, то вероятность того, что <tex>V^{\pi}</tex> допустит <tex>x</tex>, не больше <tex>s(n)</tex> для любого <tex>\pi</tex>.
}}
{{Определение
|definition =
'''Randomness complexity''' (вероятностной сложностью) <tex>r(n)</tex> верификатора <tex>V</tex> называется число случайных битов, используемых за всё время работы со входом длины <tex>n</tex>.
}}
{{Определение
|definition =
'''Query complexity''' (запросной сложностью) <tex>q(n)</tex> верификатора <tex>V</tex> называется число запросов битов из <tex>\pi</tex>, отсылаемых за всё время работы со входом длины <tex>n</tex>.
}}
{{Определение
|definition =
Верификатор <tex>V</tex> называется '''non-adaptive''' (неадаптивным), если при отправке запроса не использует ответы на предыдущие. Иными словами, его работа не изменится, если все запросы отправить одновременно.
}}
{{Определение
|definition =
Сложностный класс <tex>\mathrm{PCP}_{c(n), s(n)}[r(n), q(n)]</tex> {{---}} это объединение всех языков, для которых существует <tex>\mathrm{PCP}</tex>-система над бинарным алфавитом с полнотой <tex>c(n)</tex> и обоснованностью <tex>s(n)</tex>, в которой неадаптивный верификатор <tex>V</tex> работает за полиномиальное время и имеет вероятностную и запросную сложности соответственно <tex>r(n)</tex> и <tex>q(n)</tex>, а доказательства имеют экспоненциальную длину. 
Часто <tex>\mathrm{PCP}_{1, \frac{1}{2}}[r(n), q(n)]</tex> обозначают как <tex>\mathrm{PCP}[r(n), q(n)]</tex>.
}}

== Свойства ==
{{Теорема
|statement = <tex>\mathrm{PCP}[0, 0]</tex> = <tex>\mathrm{PCP}[O(\log(n)), 0]</tex> = <tex>\mathrm{PCP}[0, O(\log(n))]</tex> = <tex>\mathrm{P}</tex>.
|proof =
* <tex>\mathrm{PCP}[0, 0]</tex> = <tex>\mathrm{P}</tex>: вероятностная МТ не использует случайные биты и не обращается к доказательству, то есть работает как детерминированная МТ, работающая за полиномиальное время.
* <tex>\mathrm{PCP}[O(\log(n)), 0]</tex> = <tex>\mathrm{P}</tex>: доступ к <tex>O(\log(n))</tex> случайных бит не меняет ситуации, так как все возможные битовые цепочки логарифмической длины детерминированная МТ может сгенерировать и проверить за полиномиальное время.
* <tex>\mathrm{PCP}[0, O(\log(n))]</tex> = <tex>\mathrm{P}</tex>: так как доступа к случайным битам нет, <tex>\pi</tex> можно рассматривать как битовую цепочку логарифмической длины. Все возможные такие цепочки детерминированная МТ может сгенерировать и проверить за полиномиальное время.
}}
{{Теорема
|statement = <tex>\mathrm{PCP}[poly(n), 0]</tex> = <tex>\mathrm{coRP}</tex>.
|proof =
Очевидно следует из [[Вероятностные вычисления. Вероятностная машина Тьюринга#Вероятностные сложностные классы|определения coRP]].
}}
{{Теорема
|statement = <tex>\mathrm{PCP}[0, poly(n)]</tex> = <tex>\mathrm{NP}</tex>.
|proof =
Очевидно следует из [[Классы_NP_и_Σ₁|определения Σ₁]].
}}
{{Теорема
|id=pcp_th
|about=[[PCP-теорема]]
|statement=<tex>\mathrm{PCP}[log(n), O(1)] = \mathrm{NP}</tex>
|proof=
В одну сторону включение тривиально <tex>\mathrm{PCP}(\log n, 1) \subseteq \mathrm{NTIME}(2^{O(\log n)}) = NP</tex>.

Обратное включение <tex>NP \subseteq \mathrm{PCP}(\log n, 1)</tex> нетривиально и рассматривается в [[PCP-теорема | PCP-теореме]].
}}

== Пример ==
{{Теорема
|statement = '''Graph Nonisomorphism(GNI)''' <tex>\in \mathrm{PCP}[poly(n), O(1)]</tex>.
|proof =
<tex>G_1</tex> и <tex>G_2</tex> {{---}} графы на <tex>n</tex> вершинах. Требуется проверить, неизоморфны ли они друг другу. 
Сперва пронумеруем все возможные графы на <tex>n</tex> вершинах. Не умаляя общности, будем считать, что <tex>\pi</tex> над троичным алфавитом. 
Будем считать корректной <tex>\pi</tex>: 
* <tex>\pi[k] = 0</tex> тогда и только тогда, когда граф номер <tex>k</tex> изоморфен <tex>G_1</tex> и <tex>G_2</tex>,
* <tex>\pi[k] = 1</tex> тогда и только тогда, когда граф номер <tex>k</tex> изоморфен <tex>G_1</tex> и неизоморфен <tex>G_2</tex>,
* <tex>\pi[k] = 2</tex> тогда и только тогда, когда граф номер <tex>k</tex> неизоморфен <tex>G_1</tex> и изоморфен <tex>G_2</tex>.
Верификатором <tex>V</tex> будет вероятностная МТ, работающая эквивалентно следующему псевдокоду: 
p(<tex>\langle G_1, G_2 \rangle</tex>) {
i = random{1, 2};
<tex>\phi</tex> = random permutation{1..n};
<tex>H</tex> = <tex>\phi(G_i)</tex>;
if (<tex>\pi[\#H]</tex> == 0) or (<tex>\pi[\#H]</tex> == 3-i) {
return 0;
}
// <tex>\pi[\#H]</tex> == i
return 1;
}
Проверим полноту и обоснованность:
* '''Полнота''': если графы неизоморфны, то существует <tex>\pi</tex> такая, что всякий её символ равен 1 или 2 и задан корректно. Тогда на этой <tex>\pi</tex> верификатор всегда вернёт 1;
* '''Обоснованность''': если графы изоморфны, то фиксируем <tex>\pi</tex>. Пусть <tex>\Omega</tex> {{---}} это множество всех конфигураций случайной ленты, с которой работает <tex>V</tex>. Заметим, что все конфигурации из <tex>\Omega</tex> будут переданы <tex>V</tex> с равными вероятностями. Теперь рассмотрим произвольную конфигурацию типа <tex>\psi</tex> из <tex>\Omega</tex>, то есть конфигурацию, на которой <tex>V</tex> допускает <tex>\langle G_1, G_2 \rangle</tex>. Заметим, что для каждой такой конфигурации существует однозначно определяемая конфигурация типа <tex>\overline \psi</tex>, отличающаяся от <tex>\psi</tex> только первым битом и также принадлежащая <tex>\Omega</tex>. Запустившись на <tex>\overline \psi</tex>, <tex>V</tex>, очевидно, отвергнет <tex>\langle G_1, G_2 \rangle</tex>. Таким образом, конфигураций типа <tex>\psi</tex> в <tex>\Omega</tex> не больше половины. Как уже отмечалось, конфигурации из <tex>\Omega</tex> подаются <tex>V</tex> с равными вероятностями, а конфигураций не из <tex>\Omega</tex>, по определению, <tex>V</tex> не подаётся. Таким образом, вероятность ошибки не превышает <tex>\frac{1}{2}</tex>.
}}

Эквивалентность PCP-теоремы и теоремы о трудности аппроксимации

2012-06-06T18:31:40Z

Filchenko: собственно PCP

Классическое доказательство <tex>\mathrm{PCP}</tex>-теоремы довольно громоздкое и трудное для понимания, однако несложно показать эквивалентность <tex>\mathrm{PCP}</tex>-теоремы <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудности задачи аппроксимации.
==Задача qCSP==
{{Определение
|definition=<tex>qCSP</tex> представляет собой <tex>\varphi</tex> — набор функций <tex>\varphi_1, \ldots, \varphi_m</tex> из <tex>\{0, 1\}^n</tex> в <tex>\{0, 1\}</tex>, такие что <tex>\varphi_i</tex> зависит не больше, сем от <tex>q</tex> заданных параметров. То есть для <tex>\forall i \in [1..m]</tex> существуют <tex>j_1, \ldots, j_q \in [1..n]</tex> и функция <tex>f:\{0, 1\}^q \rightarrow \{0, 1\}</tex>, такие что <tex>\varphi_i(u) = f(u_{j_1}, \ldots, u_{j_q})</tex> для любого <tex>u \in \{0, 1\}^n</tex>.

Говорят, что назначение <tex>u \in \{0, 1\}^n</tex> удовлетворяет <tex>\varphi_i</tex>, если <tex>\varphi_i(u) = 1</tex>.

<tex>val(\varphi) = \frac{\sum_{i = 1}^{m} \varphi_i(u)}{m}.</tex> Если <tex>val(\varphi) = 1</tex>, то <tex>\varphi</tex> - удовлетворима.
}}
==ρ-GAPqCSP==
{{Определение
|definition=<tex>\rho \in (0, 1)</tex>. Задача <tex>\rho</tex>-GAP qCSP - определить для формулы qCSP — <tex>\varphi</tex>:
<tex>\bullet</tex> <tex>\varphi</tex> удовлетворима, то "YES".
<tex>\bullet</tex> <tex>val(\varphi) \leq \rho</tex>, то "NO".
}}
==Эквивалентность PCP-теоремы и NP-трудности задачи об аппроксимации==
{{Теорема
|id=pcp_th
|about=<tex>\mathrm{PCP}</tex> теорема
|statement=<tex>\mathrm{PCP}[log(n), O(1)] = \mathrm{NP}</tex>
}}

{{Теорема
|statement=Существуют <tex>q \in \mathbb{N}, \rho \in (0, 1)</tex> такие, что задача <tex>\rho-GAPqCSP</tex> — <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудная.
}}

{{Лемма
|statement= Из <tex>\mathrm{PCP}</tex>-теоремы следует <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудность задачи <tex>\rho-GAPqCSP</tex>.
|proof=
Покажем, что <tex>\frac 1 2 -GAPqCSP</tex> <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудная для некоторой константы <tex>q</tex>. Для этого достаточно свести <tex>\mathrm{NP}</tex>-полную задачу, например <tex>3SAT</tex> к <tex>\frac 1 2 -GAPqCSP</tex> для некоторой константы <tex>q</tex>. Из <tex>\mathrm{PCP}</tex>-теоремы следует, что для <tex>3SAT</tex> существует <tex>\mathrm{PCP}</tex>-система, в которой верифаер <tex>V</tex> делает константное число запросов <tex>q</tex> и использует <tex>c \log n</tex> монет для некоторйо константы <tex>c</tex>. Дял входа <tex>x</tex> и монет <tex>r</tex> определим <tex>V_{x,r}</tex> как функцию, принимающую на вход доказательство <tex>\pi</tex> и возвращающую <tex>1</tex>, если верифаер <tex>V</tex> принимает доказательство <tex>\pi</tex> на входе <tex>x</tex> с монетами <tex>r</tex>. Заметим, что <tex>V_{x,r}</tex> зависит не больше, чем от <tex>q</tex> позиций. Таким образом для любого <tex>x \in {0,1}^n</tex> набор <tex>\phi=\lbrace V_{x,r}\rbrace_{r \in \lbrace 0,1\rbrace^{c\log n}}</tex> — экземпляр <tex>qCSP</tex> полиномиального размера. Так как <tex>V</tex> работает за полиномиальное время, преобразование <tex>x</tex> в <tex>\phi</tex> также работает за полиномиальное время. Теперь полнота и обоснованность: если <tex>x \in 3SAT</tex>, то <tex>\phi</tex> удовоетворяет <tex>val(\phi)=1</tex>, а если <tex>x \notin 3SAT</tex> то <tex>\phi</tex> удовлетворяет <tex>val(\phi) \le \frac 1 2</tex>.
}}

{{Лемма
|statement= Из <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудности задачи <tex>\rho-GAPqCSP</tex> следует <tex>\mathrm{PCP}</tex>-теорема.
|proof=
Исходя из <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудности задачи <tex>\rho-GAPqCSP</tex> для некоторых констант <tex>q, \rho < 1</tex> легко построить <tex>\mathrm{PCP}</tex> систему с <tex>q</tex> запросами к доказательству, обоснованностью <tex>\rho</tex> и использующую логарифмическое число случайных бит. Сначала верифаер <tex>V</tex> запускает сведение <tex>f(x)</tex>, чтобы получить экземпляр задачи <tex>qCSP</tex> <tex>\phi=\lbrace\phi_i\rbrace_{i=1}^{m}</tex>. Будем считать, что доказательство <tex>\pi</tex> это назначение переменных <tex>\phi</tex>. Проверять будем случайно выбирая <tex>i \in [1,m]</tex> и проверяя, удовлетворяется ли <tex>\phi_i</tex> (для этого требуется <tex>q</tex> запросов). Действительно, если <tex>x \in L</tex>, верифаер примет его с вероятностью <tex>1</tex>. Если же <tex>x \notin L</tex>, верифаер примет его с вероятностью не больше <tex>\rho</tex>. Обоснованность может быть увеличена до <tex>\frac 1 2</tex> за счет увеличения количества завпросов к доказательству и использованных случайных бит в константное количество раз.
}}

Стоит заметить, что <tex>\mathrm{PCP}</tex>-теорема эквивалентна также <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудности задачи <tex>\rho-GAP3SAT</tex>.

==Источники==
* [http://www.cs.princeton.edu/theory/complexity/pcpchap.pdf S.Arora,B.Barak. Computational Complexity: A Modern Approach, 2007]

Эквивалентность PCP-теоремы и теоремы о трудности аппроксимации

2012-06-06T18:29:23Z

Filchenko: фикс заголовка

Классическое доказательство <tex>\mathrm{PCP}</tex>-теоремы довольно громоздкое и трудное для понимания, однако несложно показать эквивалентность <tex>\mathrm{PCP}</tex>-теоремы <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудности задачи аппроксимации.
==Задача qCSP==
{{Определение
|definition=<tex>qCSP</tex> представляет собой <tex>\varphi</tex> — набор функций <tex>\varphi_1, \ldots, \varphi_m</tex> из <tex>\{0, 1\}^n</tex> в <tex>\{0, 1\}</tex>, такие что <tex>\varphi_i</tex> зависит не больше, сем от <tex>q</tex> заданных параметров. То есть для <tex>\forall i \in [1..m]</tex> существуют <tex>j_1, \ldots, j_q \in [1..n]</tex> и функция <tex>f:\{0, 1\}^q \rightarrow \{0, 1\}</tex>, такие что <tex>\varphi_i(u) = f(u_{j_1}, \ldots, u_{j_q})</tex> для любого <tex>u \in \{0, 1\}^n</tex>.

Говорят, что назначение <tex>u \in \{0, 1\}^n</tex> удовлетворяет <tex>\varphi_i</tex>, если <tex>\varphi_i(u) = 1</tex>.

<tex>val(\varphi) = \frac{\sum_{i = 1}^{m} \varphi_i(u)}{m}.</tex> Если <tex>val(\varphi) = 1</tex>, то <tex>\varphi</tex> - удовлетворима.
}}
==ρ-GAPqCSP==
{{Определение
|definition=<tex>\rho \in (0, 1)</tex>. Задача <tex>\rho</tex>-GAP qCSP - определить для формулы qCSP — <tex>\varphi</tex>:
<tex>\bullet</tex> <tex>\varphi</tex> удовлетворима, то "YES".
<tex>\bullet</tex> <tex>val(\varphi) \leq \rho</tex>, то "NO".
}}
==Эквивалентность PCP-теоремы и NP-трудности задачи об аппроксимации==
{{Теорема
|statement=Существуют <tex>q \in \mathbb{N}, \rho \in (0, 1)</tex> такие, что задача <tex>\rho-GAPqCSP</tex> — <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудная.
}}

{{Лемма
|statement= Из <tex>\mathrm{PCP}</tex>-теоремы следует <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудность задачи <tex>\rho-GAPqCSP</tex>.
|proof=
Покажем, что <tex>\frac 1 2 -GAPqCSP</tex> <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудная для некоторой константы <tex>q</tex>. Для этого достаточно свести <tex>\mathrm{NP}</tex>-полную задачу, например <tex>3SAT</tex> к <tex>\frac 1 2 -GAPqCSP</tex> для некоторой константы <tex>q</tex>. Из <tex>\mathrm{PCP}</tex>-теоремы следует, что для <tex>3SAT</tex> существует <tex>\mathrm{PCP}</tex>-система, в которой верифаер <tex>V</tex> делает константное число запросов <tex>q</tex> и использует <tex>c \log n</tex> монет для некоторйо константы <tex>c</tex>. Дял входа <tex>x</tex> и монет <tex>r</tex> определим <tex>V_{x,r}</tex> как функцию, принимающую на вход доказательство <tex>\pi</tex> и возвращающую <tex>1</tex>, если верифаер <tex>V</tex> принимает доказательство <tex>\pi</tex> на входе <tex>x</tex> с монетами <tex>r</tex>. Заметим, что <tex>V_{x,r}</tex> зависит не больше, чем от <tex>q</tex> позиций. Таким образом для любого <tex>x \in {0,1}^n</tex> набор <tex>\phi=\lbrace V_{x,r}\rbrace_{r \in \lbrace 0,1\rbrace^{c\log n}}</tex> — экземпляр <tex>qCSP</tex> полиномиального размера. Так как <tex>V</tex> работает за полиномиальное время, преобразование <tex>x</tex> в <tex>\phi</tex> также работает за полиномиальное время. Теперь полнота и обоснованность: если <tex>x \in 3SAT</tex>, то <tex>\phi</tex> удовоетворяет <tex>val(\phi)=1</tex>, а если <tex>x \notin 3SAT</tex> то <tex>\phi</tex> удовлетворяет <tex>val(\phi) \le \frac 1 2</tex>.
}}

{{Лемма
|statement= Из <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудности задачи <tex>\rho-GAPqCSP</tex> следует <tex>\mathrm{PCP}</tex>-теорема.
|proof=
Исходя из <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудности задачи <tex>\rho-GAPqCSP</tex> для некоторых констант <tex>q, \rho < 1</tex> легко построить <tex>\mathrm{PCP}</tex> систему с <tex>q</tex> запросами к доказательству, обоснованностью <tex>\rho</tex> и использующую логарифмическое число случайных бит. Сначала верифаер <tex>V</tex> запускает сведение <tex>f(x)</tex>, чтобы получить экземпляр задачи <tex>qCSP</tex> <tex>\phi=\lbrace\phi_i\rbrace_{i=1}^{m}</tex>. Будем считать, что доказательство <tex>\pi</tex> это назначение переменных <tex>\phi</tex>. Проверять будем случайно выбирая <tex>i \in [1,m]</tex> и проверяя, удовлетворяется ли <tex>\phi_i</tex> (для этого требуется <tex>q</tex> запросов). Действительно, если <tex>x \in L</tex>, верифаер примет его с вероятностью <tex>1</tex>. Если же <tex>x \notin L</tex>, верифаер примет его с вероятностью не больше <tex>\rho</tex>. Обоснованность может быть увеличена до <tex>\frac 1 2</tex> за счет увеличения количества завпросов к доказательству и использованных случайных бит в константное количество раз.
}}

Стоит заметить, что <tex>\mathrm{PCP}</tex>-теорема эквивалентна также <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудности задачи <tex>\rho-GAP3SAT</tex>.

==Источники==
* [http://www.cs.princeton.edu/theory/complexity/pcpchap.pdf S.Arora,B.Barak. Computational Complexity: A Modern Approach, 2007]

Эквивалентность PCP-теоремы и теоремы о трудности аппроксимации

2012-06-06T18:27:14Z

Filchenko: вторая половина доказательства, источник

Классическое доказательство <tex>\mathrm{PCP}</tex>-теоремы довольно громоздкое и трудное для понимания, однако несложно показать эквивалентность <tex>\mathrm{PCP}</tex>-теоремы <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудности задачи аппроксимации.
==Задача qCSP==
{{Определение
|definition=<tex>qCSP</tex> представляет собой <tex>\varphi</tex> — набор функций <tex>\varphi_1, \ldots, \varphi_m</tex> из <tex>\{0, 1\}^n</tex> в <tex>\{0, 1\}</tex>, такие что <tex>\varphi_i</tex> зависит не больше, сем от <tex>q</tex> заданных параметров. То есть для <tex>\forall i \in [1..m]</tex> существуют <tex>j_1, \ldots, j_q \in [1..n]</tex> и функция <tex>f:\{0, 1\}^q \rightarrow \{0, 1\}</tex>, такие что <tex>\varphi_i(u) = f(u_{j_1}, \ldots, u_{j_q})</tex> для любого <tex>u \in \{0, 1\}^n</tex>.

Говорят, что назначение <tex>u \in \{0, 1\}^n</tex> удовлетворяет <tex>\varphi_i</tex>, если <tex>\varphi_i(u) = 1</tex>.

<tex>val(\varphi) = \frac{\sum_{i = 1}^{m} \varphi_i(u)}{m}.</tex> Если <tex>val(\varphi) = 1</tex>, то <tex>\varphi</tex> - удовлетворима.
}}
==<tex>\rho</tex>-GAPqCSP==
{{Определение
|definition=<tex>\rho \in (0, 1)</tex>. Задача <tex>\rho</tex>-GAP qCSP - определить для формулы qCSP — <tex>\varphi</tex>:
<tex>\bullet</tex> <tex>\varphi</tex> удовлетворима, то "YES".
<tex>\bullet</tex> <tex>val(\varphi) \leq \rho</tex>, то "NO".
}}
==Эквивалентность PCP-теоремы и NP-трудности задачи об аппроксимации==
{{Теорема
|statement=Существуют <tex>q \in \mathbb{N}, \rho \in (0, 1)</tex> такие, что задача <tex>\rho-GAPqCSP</tex> — <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудная.
}}

{{Лемма
|statement= Из <tex>\mathrm{PCP}</tex>-теоремы следует <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудность задачи <tex>\rho-GAPqCSP</tex>.
|proof=
Покажем, что <tex>\frac 1 2 -GAPqCSP</tex> <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудная для некоторой константы <tex>q</tex>. Для этого достаточно свести <tex>\mathrm{NP}</tex>-полную задачу, например <tex>3SAT</tex> к <tex>\frac 1 2 -GAPqCSP</tex> для некоторой константы <tex>q</tex>. Из <tex>\mathrm{PCP}</tex>-теоремы следует, что для <tex>3SAT</tex> существует <tex>\mathrm{PCP}</tex>-система, в которой верифаер <tex>V</tex> делает константное число запросов <tex>q</tex> и использует <tex>c \log n</tex> монет для некоторйо константы <tex>c</tex>. Дял входа <tex>x</tex> и монет <tex>r</tex> определим <tex>V_{x,r}</tex> как функцию, принимающую на вход доказательство <tex>\pi</tex> и возвращающую <tex>1</tex>, если верифаер <tex>V</tex> принимает доказательство <tex>\pi</tex> на входе <tex>x</tex> с монетами <tex>r</tex>. Заметим, что <tex>V_{x,r}</tex> зависит не больше, чем от <tex>q</tex> позиций. Таким образом для любого <tex>x \in {0,1}^n</tex> набор <tex>\phi=\lbrace V_{x,r}\rbrace_{r \in \lbrace 0,1\rbrace^{c\log n}}</tex> — экземпляр <tex>qCSP</tex> полиномиального размера. Так как <tex>V</tex> работает за полиномиальное время, преобразование <tex>x</tex> в <tex>\phi</tex> также работает за полиномиальное время. Теперь полнота и обоснованность: если <tex>x \in 3SAT</tex>, то <tex>\phi</tex> удовоетворяет <tex>val(\phi)=1</tex>, а если <tex>x \notin 3SAT</tex> то <tex>\phi</tex> удовлетворяет <tex>val(\phi) \le \frac 1 2</tex>.
}}

{{Лемма
|statement= Из <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудности задачи <tex>\rho-GAPqCSP</tex> следует <tex>\mathrm{PCP}</tex>-теорема.
|proof=
Исходя из <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудности задачи <tex>\rho-GAPqCSP</tex> для некоторых констант <tex>q, \rho < 1</tex> легко построить <tex>\mathrm{PCP}</tex> систему с <tex>q</tex> запросами к доказательству, обоснованностью <tex>\rho</tex> и использующую логарифмическое число случайных бит. Сначала верифаер <tex>V</tex> запускает сведение <tex>f(x)</tex>, чтобы получить экземпляр задачи <tex>qCSP</tex> <tex>\phi=\lbrace\phi_i\rbrace_{i=1}^{m}</tex>. Будем считать, что доказательство <tex>\pi</tex> это назначение переменных <tex>\phi</tex>. Проверять будем случайно выбирая <tex>i \in [1,m]</tex> и проверяя, удовлетворяется ли <tex>\phi_i</tex> (для этого требуется <tex>q</tex> запросов). Действительно, если <tex>x \in L</tex>, верифаер примет его с вероятностью <tex>1</tex>. Если же <tex>x \notin L</tex>, верифаер примет его с вероятностью не больше <tex>\rho</tex>. Обоснованность может быть увеличена до <tex>\frac 1 2</tex> за счет увеличения количества завпросов к доказательству и использованных случайных бит в константное количество раз.
}}

Стоит заметить, что <tex>\mathrm{PCP}</tex>-теорема эквивалентна также <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудности задачи <tex>\rho-GAP3SAT</tex>.

==Источники==
* [http://www.cs.princeton.edu/theory/complexity/pcpchap.pdf S.Arora,B.Barak. Computational Complexity: A Modern Approach, 2007]

Эквивалентность PCP-теоремы и теоремы о трудности аппроксимации

2012-06-06T17:01:24Z

Filchenko: доказательство в одну сторону

Эквивалентность PCP-теоремы и теоремы о трудности аппроксимации

2012-06-06T16:22:52Z

Filchenko: опечатка

Классическое доказательство <tex>\mathrm{PCP}</tex>-теоремы довольно громоздкое и трудное для понимания, однако несложно показать эквивалентность <tex>\mathrm{PCP}</tex>-теоремы <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудности задачи аппроксимации.
==Задача qCSP==
{{Определение
|definition=<tex>qCSP</tex> представляет собой <tex>\varphi</tex> — набор функций <tex>\varphi_1, \ldots, \varphi_m</tex> из <tex>\{0, 1\}^n</tex> в <tex>\{0, 1\}</tex>, такие что <tex>\varphi_i</tex> зависит не больше, сем от <tex>q</tex> заданных параметров. То есть для <tex>\forall i \in [1..m]</tex> существуют <tex>j_1, \ldots, j_q \in [1..n]</tex> и функция <tex>f:\{0, 1\}^q \rightarrow \{0, 1\}</tex>, такие что <tex>\varphi_i(u) = f(u_{j_1}, \ldots, u_{j_q})</tex> для любого <tex>u \in \{0, 1\}^n</tex>.

Говорят, что набор <tex>u \in \{0, 1\}^n</tex> удовлетворяет <tex>\varphi_i</tex>, если <tex>\varphi_i(u) = 1</tex>.

<tex>val(\varphi) = \frac{\sum_{i = 1}^{m} \varphi_i(u)}{m}.</tex> Если <tex>val(\varphi) = 1</tex>, то <tex>\varphi</tex> - удовлетворима.
}}
==<tex>\rho</tex>-GAPqCSP==
{{Определение
|definition=<tex>\rho \in (0, 1)</tex>. Задача <tex>\rho</tex>-GAP qCSP - определить для формулы qCSP — <tex>\varphi</tex>:
<tex>\bullet</tex> <tex>\varphi</tex> удовлетворима, то "YES".
<tex>\bullet</tex> <tex>val(\varphi) \leq \rho</tex>, то "NO".
}}
==Эквивалентность PCP-теоремы и NP-трудности задачи об аппроксимации==
{{Теорема
|statement=Существуют <tex>q \in \mathbb{N}, \rho \in (0, 1)</tex> такие, что задача <tex>\rho</tex>-GAP qCSP — <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудная.
}}

{{Утверждение
|statement=Теорема выше эквивалентна теореме о том, что <tex>\mathrm{NP}</tex> = <tex>\mathrm{PCP}_{\frac 1 2 ,1}(\log(n), 1)</tex>.
|proof=
1) Пусть NP <tex>\subseteq</tex> PCP(1, <tex>log(n)</tex>). Докажем, что задача 3SAT сводится к <tex>\frac{1}{2}</tex>-GAP qCSP, а, значит, <tex>\rho</tex>-GAP qCSP является NP-сложной.

По нашему предположению для задачи <tex>3SAT</tex> существует верифаер <tex>V</tex> с доказательством <tex>\pi</tex> и обращается он к нему <tex>q</tex> раз, а случайной лентой пользуется <tex>c \log(n)</tex> раз.

Теперь для любого входа <tex>x \in \{0, 1\}^n</tex> и случайной ленты <tex>r \in \{0, 1\}^{clog(n)}</tex> определим функцию <tex>V_{x, r}</tex> такую, что для доказательства <tex>\pi</tex> возвращает 1, если верифаер принимает доказательство <tex>\pi</tex>, имея на входе <tex>x</tex> и ленту <tex>r</tex>. Получается что набор <tex>\varphi={V_{x, r}}</tex> для всех <tex>x</tex> и <tex>r</tex> является <tex>qCSP</tex> полиномиального размера. Так как верифаер работает за полиномиальное время, то <tex>x</tex> сводится к <tex>\varphi</tex> за полиномиальное время. И если <tex>x \in</tex> 3SAT, то <tex>val(\varphi) = 1</tex>, и <tex>x \not\in</tex> 3SAT, то <tex>val(\varphi) \leq \frac{1}{2}</tex>.

2) Пусть <tex>\rho</tex>-GAP qCSP — NP-трудная. Переведём её в задачу PCP c q запросами к доказательству и с вероятностью <tex>\rho</tex>. Нам дают на вход <tex>x</tex>, верифаер преобразовывает вход в qCSP задачу. В доказательстве <tex>\pi</tex> будут храниться значения переменных набора <tex>\varphi = \{\varphi_i\}_{i = 1}^{m}</tex>. Теперь мы случайно выбираем <tex>i \in [1..m]</tex> и проверяем <tex>\varphi_i</tex> на наборе из доказательства, сделав выборку из q элементов. Если <tex>x \in L</tex>, то верифаер принимает с вероятностью 1, иначе принимает с вероятностью <tex>\rho</tex>. Мы можем из <tex>\rho</tex> сделать <tex>\frac{1}{2}</tex>.
}}

Эквивалентность PCP-теоремы и теоремы о трудности аппроксимации

2012-06-06T16:22:04Z

Filchenko: немного косметических правок.

Классической доказательство <tex>\mathrm{PCP}</tex>-теоремы довольно громоздкое и трудное для понимания, однако несложно показать эквивалентность <tex>\mathrm{PCP}</tex>-теоремы <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудности задачи аппроксимации.
==Задача qCSP==
{{Определение
|definition=<tex>qCSP</tex> представляет собой <tex>\varphi</tex> — набор функций <tex>\varphi_1, \ldots, \varphi_m</tex> из <tex>\{0, 1\}^n</tex> в <tex>\{0, 1\}</tex>, такие что <tex>\varphi_i</tex> зависит не больше, сем от <tex>q</tex> заданных параметров. То есть для <tex>\forall i \in [1..m]</tex> существуют <tex>j_1, \ldots, j_q \in [1..n]</tex> и функция <tex>f:\{0, 1\}^q \rightarrow \{0, 1\}</tex>, такие что <tex>\varphi_i(u) = f(u_{j_1}, \ldots, u_{j_q})</tex> для любого <tex>u \in \{0, 1\}^n</tex>.

Говорят, что набор <tex>u \in \{0, 1\}^n</tex> удовлетворяет <tex>\varphi_i</tex>, если <tex>\varphi_i(u) = 1</tex>.

<tex>val(\varphi) = \frac{\sum_{i = 1}^{m} \varphi_i(u)}{m}.</tex> Если <tex>val(\varphi) = 1</tex>, то <tex>\varphi</tex> - удовлетворима.
}}
==<tex>\rho</tex>-GAPqCSP==
{{Определение
|definition=<tex>\rho \in (0, 1)</tex>. Задача <tex>\rho</tex>-GAP qCSP - определить для формулы qCSP — <tex>\varphi</tex>:
<tex>\bullet</tex> <tex>\varphi</tex> удовлетворима, то "YES".
<tex>\bullet</tex> <tex>val(\varphi) \leq \rho</tex>, то "NO".
}}
==Эквивалентность PCP-теоремы и NP-трудности задачи об аппроксимации==
{{Теорема
|statement=Существуют <tex>q \in \mathbb{N}, \rho \in (0, 1)</tex> такие, что задача <tex>\rho</tex>-GAP qCSP — <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудная.
}}

{{Утверждение
|statement=Теорема выше эквивалентна теореме о том, что <tex>\mathrm{NP}</tex> = <tex>\mathrm{PCP}_{\frac 1 2 ,1}(\log(n), 1)</tex>.
|proof=
1) Пусть NP <tex>\subseteq</tex> PCP(1, <tex>log(n)</tex>). Докажем, что задача 3SAT сводится к <tex>\frac{1}{2}</tex>-GAP qCSP, а, значит, <tex>\rho</tex>-GAP qCSP является NP-сложной.

По нашему предположению для задачи <tex>3SAT</tex> существует верифаер <tex>V</tex> с доказательством <tex>\pi</tex> и обращается он к нему <tex>q</tex> раз, а случайной лентой пользуется <tex>c \log(n)</tex> раз.

Теперь для любого входа <tex>x \in \{0, 1\}^n</tex> и случайной ленты <tex>r \in \{0, 1\}^{clog(n)}</tex> определим функцию <tex>V_{x, r}</tex> такую, что для доказательства <tex>\pi</tex> возвращает 1, если верифаер принимает доказательство <tex>\pi</tex>, имея на входе <tex>x</tex> и ленту <tex>r</tex>. Получается что набор <tex>\varphi={V_{x, r}}</tex> для всех <tex>x</tex> и <tex>r</tex> является <tex>qCSP</tex> полиномиального размера. Так как верифаер работает за полиномиальное время, то <tex>x</tex> сводится к <tex>\varphi</tex> за полиномиальное время. И если <tex>x \in</tex> 3SAT, то <tex>val(\varphi) = 1</tex>, и <tex>x \not\in</tex> 3SAT, то <tex>val(\varphi) \leq \frac{1}{2}</tex>.

2) Пусть <tex>\rho</tex>-GAP qCSP — NP-трудная. Переведём её в задачу PCP c q запросами к доказательству и с вероятностью <tex>\rho</tex>. Нам дают на вход <tex>x</tex>, верифаер преобразовывает вход в qCSP задачу. В доказательстве <tex>\pi</tex> будут храниться значения переменных набора <tex>\varphi = \{\varphi_i\}_{i = 1}^{m}</tex>. Теперь мы случайно выбираем <tex>i \in [1..m]</tex> и проверяем <tex>\varphi_i</tex> на наборе из доказательства, сделав выборку из q элементов. Если <tex>x \in L</tex>, то верифаер принимает с вероятностью 1, иначе принимает с вероятностью <tex>\rho</tex>. Мы можем из <tex>\rho</tex> сделать <tex>\frac{1}{2}</tex>.
}}

PCP-теорема

2012-06-06T15:59:44Z

Filchenko: убрана лемма, доказанная вдругой статье

{{Теорема
|id=pcp_th
|about=<tex>\mathrm{PCP}</tex> теорема
|statement=<tex>\mathrm{PCP}[log(n), O(1)] = \mathrm{NP}</tex>
}}

Классическое доказательство [[Класс PCP|<tex>\mathrm{PCP}</tex>]] теоремы громоздкое и довольно сложное для восприятия,
рассмотрим вариант докаательства, предложенный Динуром. Оно основано на тос, что <tex>\mathrm{PCP}</tex>-теорема [[Эквивалентность_PCP-теоремы_и_теоремы_о_трудности_аппроксимации | эквивалентна <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудности задачи <tex>\rho-GAPqCSP</tex>]].

==Определения и леммы, используемые в доказательстве==
{{Определение
|definition= <tex>\mathcal{C}=\lbrace c_1,..., c_n\rbrace</tex> назовем множеством условий над
множеством переменных <tex>V</tex>.
}}
{{Определение
|definition=Число неудовлетворенности <tex>UNSAT(\mathcal{C})</tex> — минимальное подмножество неудовлетворенных условий для любых возможных назначений <tex>V</tex>. <tex>\mathcal{C}</tex> удовлетворимо тогда и только тогда, когда <tex>UNSAT(\mathcal{C})=0</tex>. Если же <tex>\mathcal{C}</tex> неудовлетворимо, тогда <tex>UNSAT(\mathcal{C}) \ge \frac 1 n</tex>.
}}

===Графы условий===
Нам понадобятся графы ограничений для двух переменных, которые определяются следующим образом:
{{Определение
|definition=
<tex>G=\left\langle(V,E,\Sigma,\mathcal{C}\right\rangle</tex> называется графом условий, если:
* <tex>(V,E)</tex> — неориентированный граф, называемый графом, леащим в основе <tex>G</tex>.
* Множество <tex>V</tex> также представляется в виде множества переменных принимающих значениями из алфавита <tex>\Sigma</tex>
* Каждое ребро <tex>e \in E</tex> содержит условие <tex>c(e) \subseteq \Sigma^2</tex> и <tex>\mathcal{C}=\lbrace c(e)\rbrace_{e \in E}</tex>. Условие <tex>c(e)</tex> называется удовлетворенным парой <tex>(a, b)</tex>, если <tex>(a, b) \in c(e)</tex>
}}

Присваивание это отображение <tex>\sigma:V \rightarrow \Sigma</tex>, которое назначает каждой вершине из <tex>V</tex>
значение из <tex>\Sigma</tex>. Для любого присвоения <tex>\sigma</tex> определим <tex>UNSAT_\sigma(G) = \operatorname*{Pr}\limits_{(u,v)\in E} [(\sigma(u),\sigma(v)) \notin c(e)]</tex> и <tex>UNSAT(G) = \operatorname*{min}\limits_\sigma UNSAT_\sigma(G)</tex>.

Назовем <tex>UNSAT(G)</tex> числом неудовлетворенности графа <tex>G</tex>. Размером графа будем считать размер его описания <tex>size(G)=O(|V|+|E| \cdot |\Sigma|^2)</tex>

{{Лемма
|statement=Для заданного графа условий <tex>G=\left\langle(V,E,\Sigma,\mathcal{C}\right\rangle</tex>, где <tex>|\Sigma|=3</tex> проверка утверждения <tex>UNSAT(G)=0</tex> — <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудная задача.
|proof=
Сведем <tex>3Color</tex> к нашей задаче. Дан граф <tex>G</tex>, алфавит <tex>\Sigma=\lbrace 1,2,3 \rbrace</tex> для трех цветов. Оснастим ребра условиями неравенства. Очевидно, что <tex>G \in 3Color</tex> тогда и только тогда, когда <tex>UNSAT(G)=0<tex> (Иногда удобно использовать одно и то же обозначение <tex>G</tex> для графа условий и графа, лежащего в его основе).
}}

===Экспандер графы===
Экспандер графы играют важную роль во многих теоретических результатах.

{{Определение
|definition= <tex>G=(V,E)</tex> <tex>d</tex>-регулярный граф. Положим <tex>E(S,\overline{S})=|(S \times \overline{S}) \cap E|</tex> равным количеству ребер их подмножества <tex>S\in V</tex> в его дополнение. Определим реберное расширение как
<tex>h(G)=\operatorname*{min}\limits_{S:|S|<\frac {|V|} 2} \frac {E(S, \overline S)} {|S|}</tex>
}}

{{Лемма
|about=О экспандерах
|statement=Существует <tex>d_0 \in \mathbb{N}</tex> и <tex>h_0 >0</tex> такие, что есть построимое за полиномиальное время семейство <tex>\lbrace X_n\rbrace_{n \in \mathbb{N}}</tex> <tex>d_0</tex>-регулярных графов <tex>X_n</tex> с <tex>n</tex> вершинами таких, что <tex>h(X_n) \ge h_0</tex>.
|proof=см. The PCP Theorem by Gap Amplification, Irit Dinur, 2005
}}

{{Лемма
|statement= Пусть <tex>G</tex> <tex>d</tex>-регулярный граф, а <tex>h(G)</tex> его реберное расширение. Тогда <tex>\lambda(G) \le d - \frac {h(G)^2} d</tex>
}}

{{Определение
|definition=Собственным числом графа <tex>\lambda</tex> называют собственное число его матрицы смежности.
}}

{{Лемма
|statement=Пусть <tex>G</tex> <tex>d</tex>-регулярный граф со вторым по величине собственным числом <tex>\lambda</tex>. Пусть <tex>F \subseteq E</tex> множество ребер. Вероятность <tex>p</tex> того, что случайный путь, начинающийся со случайного ребра из <tex>F</tex> на <tex>i+1</tex> шаге попадет <tex>F</tex> ограничена <tex>\frac {|F|} {|E|} + \left({\frac {|\lambda|} d}\right)^i</tex>.
|proof=см. The PCP Theorem by Gap Amplification, Irit Dinur, 2005
}}

==Операции на графах условий==
Для доказательства <tex>\mathrm{PCP}</tex> теоремы потребуются три операции над графами уловий:
* Препроцессинг. Простая операция, сохраняющая чило неудовлетворенности(примерно) и размер алфавита, но делающая граф лучше.
* Усиление. Эта операция увеоичивает чило неудовлетворенности за счет увеличения размера алфавита.
* Композицияю Эта операция уменьшает размер алфавита, сохраняя число неудовлетворенности(приблизительно).

===Препроцессинг===
Под хорошим графом будем понимать регулярный, фиксированной степени экспандер граф.
{{Лемма
|about=Препроцессинг
|statement= существуют константы <tex>0 < \lambda < d</tex> и <tex>\beta_1 >0</tex> такие, что любой граф условий <tex>G</tex> может быть преобразован в граф условий <tex>G'=prep(G)</tex> такой, что:
* <tex>G'</tex> <tex>d</tex>-регулярный
* <tex>G'</tex> имеет тот же алфавит, что и <tex>G</tex> и <tex>size(G') = O(size(G))</tex>.
* <tex>\beta_1 \cdot UNSAT(G) \le UNSAT(G') \le UNSAT(G)</tex>
}}

Заметим, что третий пункт теммы гарантирует поддержание полноты, т.е. если <tex>UNSAT(G)=0</tex>, то и <tex>UNSAT(G')=0</tex>. Доказательство этой леммы состоит из двух следующих лемм (<tex>\beta_1=c \cdot \frac d {d + d_0 + 1}</tex>).

{{Лемма
|about=Константная степень
|statement=Любой граф условий <tex>G = \langle (V,E),\Sigma,\mathcal{C}\rangle</tex> может быть преобразован в <tex>(d_0 + 1)</tex>-регулярный граф условий <tex>G'=\langle (V',E'),\Sigma,\mathcal{C}'\rangle</tex> такой, что <tex>|V'|</tex>=2|E|</tex> и <tex>c \cdot UNSAT(G) \le UNSAT(G') \le UNSAT(G)</tex>. Для некоторых заданных констант <tex>d_0,c>0</tex>
|proof=см. The PCP Theorem by Gap Amplification, Irit Dinur, 2005
}}

Эта лемма известна как экспандер-замена(expander-replacement transformation).

{{Лемма
|about=О расширении
|statement=
Пусть <tex>d_0, h_0 >0</tex> некоторые константы. Любой <tex>d</tex>-регулярный граф условий <tex>G</tex> может быть преобразован в <tex>G'</tex> такой, что:
* <tex>G'</tex> <tex>(d + d_0 + 1)</tex>-регулярный, имеет собственные циклы и <tex>\lambda(G') \le d + d_0 + 1 - \frac {h_0^2} {d + d_0 + 1} < deg(G')</tex>
* <tex>size(G')=O(size(G))</tex>
* <tex> \frac d {d + d_0 + 1} \cdot UNSAT(G) \le UNSAT(G') \le UNSAT(G)</tex>
|proof=см. The PCP Theorem by Gap Amplification, Irit Dinur, 2005
}}

===Усиление===
Это новая операция на системах условий, которая увеличивает число неудовлетворенности.
Пусть <tex>G=\langle (V,E),\Sigma,\mathcal{C}\rangle<tex> граф условий, <tex>t \in \mathbb{N}</tex>. Определим <tex>G^t=\langle (V,\mathbf{E}),\Sigma^{d^{\lceil t/2\rceil}}, \mathcal{C}^t \rangle</tex> как следующий граф условий:
* Веришины <tex>G^t</tex> совпадают с вершинами <tex>G</tex>
* Ребра: <tex>u</tex> и <tex>v</tex> соединены <tex>k</tex> ребрами в <tex>\mathbf{E}</tex>, если количество путей длины <tex>t</tex> из <tex>u</tex> в <tex>v</tex> в графе <tex>G</tex> равно <tex>k</tex>
* Алфавит: алфавит графа <tex>G^t</tex> <tex>\Sigma^{d^{\lceil t/2\rceil}}</tex>, где каждой вершине сопоставлены значения ее соседей, достижимых за <tex>\frac t 2</tex> шагов.
* Условия: Условия сопоставленные ребру <tex>e=(u,v) \in \mathbf{E}</tex> удовлетворены, если назначения для <tex>u</tex> и <tex>v</tex> согласованы с назначениями, удовлетворяющими условия, порожденные <tex>\frac t 2</tex> соседями <tex>u</tex> и <tex>v</tex>.

Если <tex>UNSAT(G)=0</tex> тогда очевидно <tex>UNSAT(G^t)=0</tex>. Интереснее доказательство того, что <tex>UNSAT(G^t) \ge O(\sqrt{t} \cdot UNSAT(G)</tex>.

{{Лемма
|about=Усиление
|statement= Пусть <tex>\lambda < d</tex> и <tex>|\Sigma|</tex> произвольные константы. Тогда существует константа <tex>\beta_2=\beta_2(\lambda,d,|\Sigma|)>0</rex> такая, что для любого <tex>t \in \mathbb N</tex> и для любого <tex>d</tex>-регулярного графа условий <tex>G=\langle(V,E),\Sigma,\mathcal{C}\rangle</tex> с собственными циклами и <tex>\lambda(G)\le \lambda</tex>, <tex>UNSAT(G^t) \ge \beta_2 \sqrt{t} \cdot min \left({UNSAT(G), \frac 1 t}\right)</tex>.
|proof=см. The PCP Theorem by Gap Amplification, Irit Dinur, 2005
}}

Поскольку <tex>UNSAT(G) \le \frac 1 t</tex>, из жтой леммы следует что <tex>UNSAT(G^t) \ge O(\sqrt{t}) \cdot UNSAT(G)</tex>. Это основная техническая лемма.
===Композиция===
{{Определение
|about=Тестер присвоений
|definition=Тестер присвоений с алфавитом <tex>\Sigma_0</tex> и вероятностью отклонения <tex>\epsilon > 0</tex> это полиномиальное преобразование <tex>\mathcal{P}</tex>, принимающее на вход схему <tex>\Phi</tex> над будевыми переменными <tex>X</tex> и дающую на выходе граф условий <tex>G=\langle(V,E),\Sigma_0,\mathcal{C}\rangle</tex> такой, что <tex>V \subset X</tex>(в условном графе <tex>V</tex> играет одновременно две роли: переменных и вершин. <tex>Y \subset X</tex> подразумевает, что некоторые вершины из <tex>V</tex> определены с помощью переменных <tex>X</tex>). Пусть <tex>V'=V \setminus X</tex> и <tex>a : X \rightarrow \lbrace 0,1 \rbrace</tex> — присваивание.
* (Полнота) Если <tex>a \in SAT(\Phi)</tex> то существует <tex>b : V' \rightarrow \Sigma_0</tex> такое, что <tex>UNSAT_{a\cup{b}}(G)=0</tex>
* (Обоснованность) Если <tex>a \notin SAT(\Phi)</tex> то для всех <tex>b : V' \rightarrow \Sigma_0</tex>, <tex>UNSAT_{a\cup{b}}(G) \ge \epsilon \cdot dist(a, SAT(\Phi))</tex>.
}}

Следует заметить, что не накладывается никаких ограничений ни на время работы <tex>\mathcal{P}</tex> ни на <tex>size(G)</tex>. Мы игнорируем размер схемы <Tex>\Phi</tex>, которая может быть экспоненциальна относительно <tex>|X|</tex>.

{{Лемма
|about=Композиция
|statement=Пусть существует тестер присвоений <tex>\mathcal{P}</tex> с константной вероятностью отклонения <tex>\epsilon > 0</tex> и алфавитом <tex>\Sigma_0</tex>, <tex>|\Sigma_0|=O(1)</tex>. Тогда существует <tex>\beta_3 > 0</tex>, зависящая только от <tex>\mathcal{P}</tex>, такая что любой граф условий <tex>G=\langle(V,E),\Sigma,\mathcal{C}\rangle</tex> может быть преобразован в <tex>G'=\langle(V',E'),\Sigma_0,\mathcal{C}'\rangle</tex>, обозначаемый <tex>G \circ \mathcal{C}</tex>, такой что <tex>size(G')=M(|\Sigma|) \cdot size(G)</tex> и <tex>\beta_3 \cdot UNSAT(G) \le UNSAT(G') \le UNSAT(G)</tex>
|proof=см. The PCP Theorem by Gap Amplification, Irit Dinur, 2005
}}

==Основная теорема==
Основываясь на операциях с графами условий мы можем доказать основную теорему.
{{Теорема
|about=Основная теорема
|statement=Для любого <tex>\Sigma</tex>, <tex>|\Sigma|=O(1)</tex> существуют константы <tex>C > 0</tex> и <tex>0 < \alpha < 1</tex> такие, что для данного графа условий <tex>G=\langle(V,E),\Sigma,\mathcal{C}\rangle</tex> за полиномиальное время можно построить граф условий <tex>G'=\langle(V',E'),\Sigma_0,\mathcal{C}'\rangle</tex> такой, что:
* <tex>size(G') \le C \cdot size(G)</tex> и <tex>|\Sigma_0| = O(1)</tex>
* (Полнота) Если <tex>UNSAT(G)=0</tex>, то <tex>UNSAT(G')=0</tex>
* (Обоснованность) <tex>UNSAT(G') \ge min(2 \cdot UNSAT(G), \alpha)</tex>
|proof=
Построим <tex>G'</tex> по <tex>G</tex> следующим образом: <tex>G'=(prep(G))^t \circ \mathcal{P}</tex>.
# (Препроцессинг) Пусть <tex>H_1=prep(G)</tex>. Существуют некоторые глобальные константы <tex>\lambda < d </tex> и <tex>\beta_1 >0</tex> такие, что <tex>H_1</tex> <tex>d</tex>-регулярный, имеет тот же алфавит, что и <tex>G</tex>, <tex>\lambda(H_1) \le \lambda < d</tex> и <tex>\beta_1 \cdot UNSAT*G( \le UNSAT(H_1) \le UNSAT(G)</tex>.
# (Усиление) Пусть <tex>H_2=(H_1)^t</tex> для достаточно большой константы <tex> t > 1</tex>, которую определим ниже. Существует некоторая константа <tex>\beta_2=\beta(\lambda, d, |\Sigma|) > 0</tex>, для которой <tex>UNSAT(H_2) \ge \beta_2 \sqrt{t} \cdot min(UNSAT(H_1), \frac 1 t)</tex>. Однако, алфавит вырос до <tex>\Sigma^{d^{\lceil t / 2 \rceil}}</tex>.
# (Композиция) Пусть <tex>G'=H_2 \circ \mathcal{P}</tex>. Это уменьшит алфавит до <tex>\Sigma_0</tex>, при <tex>\beta_3 \cdot UNSAT(H_2) \le UNSAT(G') \le UNSAT(H_2)</tex> для некоторой <tex>\beta_3 > 0 </tex>.

Проверим выполнение условий теоремы. Размер <tex>G'</tex> линеен относительно размера<tex>G</tex>, поскольку на каждом шагу увеличивался линейно. Полнота явно поддерживается на каждом шаге. Теперь выберем <tex>t=\left\lceil\left({\frac 2 {\beta_1\beta_2\beta_3}}\right)^2\right\rceil</tex>. Пусть <tex>\alpha=\frac {\beta_3\beta_2} {sqrt{t}}</tex>.
Таким образом,

<tex>UNSAT(G') \ge \beta_3 \cdot UNSAT(H_2)</tex> <tex>\ge \beta_3 \cdot \beta_2 \sqrt{t} \cdot min(UNSAT(H_1), \frac 1 t)</tex> <tex>\ge \beta_3 \cdot \beta_2 \sqrt{t} \cdot min(\beta_1 UNSAT(G_, \frac 1 t) </tex> <tex>\ge min(2 \cdot UNSAT(G), \alpha)</tex>
}}
===Доказательство PCP теоремы===
{{Лемма
|statement=Следствием из основной теоремы является <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудность <tex>GAP-3SAT_s</tex>.
|proof=Сведем удовлетворимость графа условий к нашей задаче. Пусть <tex>G</tex> задача удовлетворимости некоторого графа с <tex>|\Sigma|=3</tex>. Идей состоит в повторении применения основной теоремы до тех пор, пока число неудовлетворенности не станет постоянным.

Пусть <tex>G_0 = G</tex> и <tex>G_i(i \ge 1)</tex> — результат применения основной теоремы к <tex>G_{i-1}</tex>. Тогда для <tex>i \ge 1</tex> <tex>G</tex> — граф условий с алфавитом <tex>\Sigma_0</tex>. Пусть <tex>E_0</tex> — множество ребер <tex>G_0<tex> и <tex>k=log|E_0|=O(log n)</tex>.

Полнота показывается тривиально: если <tex>UNSAT(G_0)=0</tex>, то для всех <tex>i</tex> <tex>UNSAT(G_i)=0</tex>. Для обоснованности рассмотрим <tex>UNSAT(G_0) > 0</tex>. Если для некоторого <tex>i*<k</tex>, <tex>UNSAT(G_{i*}) \ge \frac \alpha 2</tex>, то из основной теоремы следует, что для всех <tex>i>i*</tex> <tex>UNSAT(G_i)\ge \alpha</tex>. На остальные <tex>i</tex> это распространяется по индукции <tex>UNSAT(G_i) \ge min(2^i UNSAT(G_0), \alpha)</tex>.

Если <tex>UNSAT(G_0)>0</tex>, то <tex>UNSAT(G_0)\ge \frac 1 {|E_0|}</tex>. Конечно, <tex>2^k UNSAT(G_0) > \alpha</tex>. Таким образом <tex>UNSAT(G_k) \ge \alpha</tex>.

Такми образом <tex>\rho -GAP2CSP</tex> <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудная. Достичь обоснованности <tex>\frac 1 2</tex> можно последовательным повторением <tex>u=\frac 1 {\log(\frac 1 {1 - \alpha})} </tex> раз. Тоесть создать новые условия, представляющие собой <tex>AND</tex> всех возможных <tex>u</tex>-наборов прежних условий. Конечно, при этом количество запросов на условие увеличится до <tex>2u</tex>.

}}

==Дополнительные материалы==
* [http://www.math.ias.edu/boaz/ExpanderCourse/|N. Linial and A. Wigderson. Expander graphs and their applications. Lecture notes of a course, 2003].
* Michael Sipser and Daniel A. Spielman. Expander codes. IEEE Trans. Inform. Theory, 42(6, part 1):1710–1722, 1996. Codes and complexity.
* C. Papadimitriou and M. Yannakakis. Optimization, approximation and complexity classes. Journal of Computer and System Sciences, 3:425–440, 1991.
* Irit Dinur and Omer Reingold. Assignment testers: Towards combinatorial proofs of the PCP theorem. In Proceedings of the 45th Symposium on Foundations of Computer Science (FOCS), 2004.
==Источники==
* [http://eccc.hpi-web.de/report/2005/046 |The PCP Theorem by Gap Amplification, Irit Dinur, 2005].
* [http://www.cs.utah.edu/~alfeld/LecturePDFs/pcp.pdf |The PCP Theorem, Notes by Scott Alfeld, 2008].

PCP-теорема

2012-06-06T15:56:02Z

Filchenko: /* Доказательство PCP теоремы */ Небольшой фикс хвоста

{{Теорема
|id=pcp_th
|about=<tex>\mathrm{PCP}</tex> теорема
|statement=<tex>\mathrm{PCP}[log(n), O(1)] = \mathrm{NP}</tex>
}}

Классическое доказательство [[Класс PCP|<tex>\mathrm{PCP}</tex>]] теоремы громоздкое и довольно сложное для восприятия,
рассмотрим вариант докаательства, предложенный Динуром.

==Лемма об эквивалентности PCP теоремы и NP-трудности GAP-3SAT==

{{Определение
|definition=
Задача <tex>GAP-3SAT_s</tex>:
* <tex>\psi</tex> — <tex>3CNF</tex> с <tex>m</tex> дизъюнктами
* <tex>OPT</tex> — максимальное количество дизъюнктов, которые могуг быть удовлетворены одновременно
* <tex>OPT = m \Rightarrow YES</tex>
* <tex>OPT < sm \Rightarrow NO</tex>
* <tex>sm < OPT < m </tex> — нет ограничений на вывод
}}

{{Лемма
|statement=<tex>\mathrm{PCP}</tex> теорема эквивалентна вопросу принадлежности
<tex>GAP-3SAT_s</tex> классу <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудных задач для некоторого <tex>s</tex>.
|proof=
Сначала докажем, что из <tex>\mathrm{PCP}</tex> теоремы следует <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудность <tex>GAP-3SAT_s</tex>.

Покажем, что для <tex>\mathrm{NP}</tex>-полной задачи <tex>3-Color</tex> существует сведение <tex>\mathcal{R}</tex> к <tex>GAP-3SAT_s</tex>.

Из принадлежности <tex>3Color</tex> <tex>\mathrm{NP}</tex> и <tex>\mathrm{PCP}</tex> теоремы следует, что существует
доказательство <tex>\pi</tex> прувера <tex>\mathcal{P}</tex>. Обозначим <tex>\pi_i</tex> <tex>i</tex>-й бит доказательства (не его значение), будем рассматривать <tex>\pi_i</tex> как переменные в <tex>3SAT</tex> формуле.

По данному графу <tex>G</tex>, <tex>\mathcal{R}</tex> нумерует все <tex>N = 2^Q = 2^{O(log(n)} = poly(n)</tex> возможные
случайные строки, которые может выбрать верифаер <tex>V</tex>. Обозначим их <tex>Q_1 ... Q_{poly(n)}</tex>.

Каждая строка <tex>Q_i</tex> дает нам <tex>C</tex> позиций в доказательстве и предикат <tex>\phi</tex>. <tex>\mathcal{R}</tex>
строит <tex>3CNF</tex> формулу для каждого <tex>\phi</tex>. Поскольку <tex>\phi</tex> функция от <tex>C</tex> пременных,
построенная <tex>3CNF</tex> содержит не более <tex>K=C2^C</tex> дизъюнктов. Для упрощения будем считать, что формула содержит
<tex>K</tex> дизъюнктов. <tex>\mathcal{R}</tex> возвращает конъюнкцию всех полученных формул, содержащую <tex>m=NK</tex> дизъюнктов.

Можно заметить, что из <tex>G \in 3Color</tex> по <tex>\mathrm{PCP}</tex> теореме следует, что существует <tex>\pi</tex>,
удовлетворяющее всем проверкам <tex>V</tex>. Таким образом все <tex>m</tex> дизъюнктов могут быть удовлетворены и <tex>OPT=m</tex>, что и требуется для корректности сведения <tex>\mathcal{R}</tex>.

Однако, если <tex>G \notin 3Color</tex>, хотя бы <tex>\frac N 2</tex> проверок <tex>V</tex> должны привести к отрицательному результату. Если <tex>Q_i</tex> приводит к отрицательному ответу, <tex>3CNF</tex> формула, построенная по соответствующему
предикату <tex>\phi</tex> должна быть неудовлетворимой, значит не больше <tex>K-1</tex> дизъюнктов могут быть удовлетворены.
Суммарное количество дизъюнктов, которое может быть удовлетворено:

<tex>\frac N 2 (K-1) + \frac N 2 K = \frac N 2 K(1- \frac 1 K) + \frac N 2 K = NK(1 - \frac 1 {2K}) = m(1 - \frac 1 {2k}) = sm</tex>

Мы показали, что из <tex>\mathrm{PCP}</tex> теоремы следует <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудность задачи <tex>GAP-3SAT_s</tex>. Теперь
покажем, что из <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудности задачи <tex>GAP-3SAT_s</tex> следует <tex>\mathrm{PCP}</tex> теорема.

В предположении <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудности задачи <tex>GAP-3SAT_s</tex> любая <tex>\mathrm{NP}</tex>-полная задача, например <tex>3Color</tex> может быть сведена к <tex>GAP-3SAT_s</tex>. Таким образом мы можем свести <tex>3Color</tex> к <tex>3CNF</tex> формуле такой <tex>R(G)</tex>, что:
* <tex> G \in 3Color \Rightarrow R(G)</tex> имеет <tex>OPT=m</tex>
* <tex> G \notin 3Color \Rightarrow R(G)</tex> имеет <tex>OPT<sm</tex>

Имея такое сведение мы построим <tex>\mathcal{V}</tex> и доказательство прувера <tex>\mathcal{P}</tex> для
<tex>\mathrm {PCP}</tex> системы. <tex>\mathcal{V}</tex> запускает функцию сведения во время предподсчета,
доказателтьство <tex>\pi</tex> для данной <tex>R(G)=\psi</tex> <tex>3CNF</tex> формулы представляет собой значения пременных <tex>\psi</tex>. <tex>\mathcal{V}</tex> случайно выбирает дизъюнкт <tex>C</tex> из
<tex>\psi</tex> и проверяет, что он удовлетворяется <tex>\pi</tex>.

Понятно, что если <tex>G \in 3Color</tex>, то по определению <tex>R(G)</tex> любой дизъюнкт, выбранный
<tex>\mathcal{V}</tex> будет удовлетворен, поскольку <tex>OPT=m</tex>. Если же <tex>G \notin 3Color</tex>,
мы знаем, что <tex>OPT < sm</tex>, опять же по определению <tex>R(G)</tex>. Тaким образом вероятность того,
что <tex>\mathcal{V}</tex> выберет удовлетворенный дизъюнкт меньше <tex>s</tex>. Так как <tex>s</tex> —
константа, повторяя процесс мы можем сделать вероятность меньше <tex>\frac 1 2</tex>.

Таким образом мы показали эвивалентность <tex>\mathrm{PCP}</tex> теоремы вопросу <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудности задачи <tex>GAP-3SAT_s</tex>.
}}

==Определения и леммы, используемые в доказательстве==
{{Определение
|definition= <tex>\mathcal{C}=\lbrace c_1,..., c_n\rbrace</tex> назовем множеством условий над
множеством переменных <tex>V</tex>.
}}
{{Определение
|definition=Число неудовлетворенности <tex>UNSAT(\mathcal{C})</tex> — минимальное подмножество неудовлетворенных условий для любых возможных назначений <tex>V</tex>. <tex>\mathcal{C}</tex> удовлетворимо тогда и только тогда, когда <tex>UNSAT(\mathcal{C})=0</tex>. Если же <tex>\mathcal{C}</tex> неудовлетворимо, тогда <tex>UNSAT(\mathcal{C}) \ge \frac 1 n</tex>.
}}

===Графы условий===
Нам понадобятся графы ограничений для двух переменных, которые определяются следующим образом:
{{Определение
|definition=
<tex>G=\left\langle(V,E,\Sigma,\mathcal{C}\right\rangle</tex> называется графом условий, если:
* <tex>(V,E)</tex> — неориентированный граф, называемый графом, леащим в основе <tex>G</tex>.
* Множество <tex>V</tex> также представляется в виде множества переменных принимающих значениями из алфавита <tex>\Sigma</tex>
* Каждое ребро <tex>e \in E</tex> содержит условие <tex>c(e) \subseteq \Sigma^2</tex> и <tex>\mathcal{C}=\lbrace c(e)\rbrace_{e \in E}</tex>. Условие <tex>c(e)</tex> называется удовлетворенным парой <tex>(a, b)</tex>, если <tex>(a, b) \in c(e)</tex>
}}

Присваивание это отображение <tex>\sigma:V \rightarrow \Sigma</tex>, которое назначает каждой вершине из <tex>V</tex>
значение из <tex>\Sigma</tex>. Для любого присвоения <tex>\sigma</tex> определим <tex>UNSAT_\sigma(G) = \operatorname*{Pr}\limits_{(u,v)\in E} [(\sigma(u),\sigma(v)) \notin c(e)]</tex> и <tex>UNSAT(G) = \operatorname*{min}\limits_\sigma UNSAT_\sigma(G)</tex>.

Назовем <tex>UNSAT(G)</tex> числом неудовлетворенности графа <tex>G</tex>. Размером графа будем считать размер его описания <tex>size(G)=O(|V|+|E| \cdot |\Sigma|^2)</tex>

{{Лемма
|statement=Для заданного графа условий <tex>G=\left\langle(V,E,\Sigma,\mathcal{C}\right\rangle</tex>, где <tex>|\Sigma|=3</tex> проверка утверждения <tex>UNSAT(G)=0</tex> — <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудная задача.
|proof=
Сведем <tex>3Color</tex> к нашей задаче. Дан граф <tex>G</tex>, алфавит <tex>\Sigma=\lbrace 1,2,3 \rbrace</tex> для трех цветов. Оснастим ребра условиями неравенства. Очевидно, что <tex>G \in 3Color</tex> тогда и только тогда, когда <tex>UNSAT(G)=0<tex> (Иногда удобно использовать одно и то же обозначение <tex>G</tex> для графа условий и графа, лежащего в его основе).
}}

===Экспандер графы===
Экспандер графы играют важную роль во многих теоретических результатах.

{{Определение
|definition= <tex>G=(V,E)</tex> <tex>d</tex>-регулярный граф. Положим <tex>E(S,\overline{S})=|(S \times \overline{S}) \cap E|</tex> равным количеству ребер их подмножества <tex>S\in V</tex> в его дополнение. Определим реберное расширение как
<tex>h(G)=\operatorname*{min}\limits_{S:|S|<\frac {|V|} 2} \frac {E(S, \overline S)} {|S|}</tex>
}}

{{Лемма
|about=О экспандерах
|statement=Существует <tex>d_0 \in \mathbb{N}</tex> и <tex>h_0 >0</tex> такие, что есть построимое за полиномиальное время семейство <tex>\lbrace X_n\rbrace_{n \in \mathbb{N}}</tex> <tex>d_0</tex>-регулярных графов <tex>X_n</tex> с <tex>n</tex> вершинами таких, что <tex>h(X_n) \ge h_0</tex>.
|proof=см. The PCP Theorem by Gap Amplification, Irit Dinur, 2005
}}

{{Лемма
|statement= Пусть <tex>G</tex> <tex>d</tex>-регулярный граф, а <tex>h(G)</tex> его реберное расширение. Тогда <tex>\lambda(G) \le d - \frac {h(G)^2} d</tex>
}}

{{Определение
|definition=Собственным числом графа <tex>\lambda</tex> называют собственное число его матрицы смежности.
}}

{{Лемма
|statement=Пусть <tex>G</tex> <tex>d</tex>-регулярный граф со вторым по величине собственным числом <tex>\lambda</tex>. Пусть <tex>F \subseteq E</tex> множество ребер. Вероятность <tex>p</tex> того, что случайный путь, начинающийся со случайного ребра из <tex>F</tex> на <tex>i+1</tex> шаге попадет <tex>F</tex> ограничена <tex>\frac {|F|} {|E|} + \left({\frac {|\lambda|} d}\right)^i</tex>.
|proof=см. The PCP Theorem by Gap Amplification, Irit Dinur, 2005
}}

==Операции на графах условий==
Для доказательства <tex>\mathrm{PCP}</tex> теоремы потребуются три операции над графами уловий:
* Препроцессинг. Простая операция, сохраняющая чило неудовлетворенности(примерно) и размер алфавита, но делающая граф лучше.
* Усиление. Эта операция увеоичивает чило неудовлетворенности за счет увеличения размера алфавита.
* Композицияю Эта операция уменьшает размер алфавита, сохраняя число неудовлетворенности(приблизительно).

===Препроцессинг===
Под хорошим графом будем понимать регулярный, фиксированной степени экспандер граф.
{{Лемма
|about=Препроцессинг
|statement= существуют константы <tex>0 < \lambda < d</tex> и <tex>\beta_1 >0</tex> такие, что любой граф условий <tex>G</tex> может быть преобразован в граф условий <tex>G'=prep(G)</tex> такой, что:
* <tex>G'</tex> <tex>d</tex>-регулярный
* <tex>G'</tex> имеет тот же алфавит, что и <tex>G</tex> и <tex>size(G') = O(size(G))</tex>.
* <tex>\beta_1 \cdot UNSAT(G) \le UNSAT(G') \le UNSAT(G)</tex>
}}

Заметим, что третий пункт теммы гарантирует поддержание полноты, т.е. если <tex>UNSAT(G)=0</tex>, то и <tex>UNSAT(G')=0</tex>. Доказательство этой леммы состоит из двух следующих лемм (<tex>\beta_1=c \cdot \frac d {d + d_0 + 1}</tex>).

{{Лемма
|about=Константная степень
|statement=Любой граф условий <tex>G = \langle (V,E),\Sigma,\mathcal{C}\rangle</tex> может быть преобразован в <tex>(d_0 + 1)</tex>-регулярный граф условий <tex>G'=\langle (V',E'),\Sigma,\mathcal{C}'\rangle</tex> такой, что <tex>|V'|</tex>=2|E|</tex> и <tex>c \cdot UNSAT(G) \le UNSAT(G') \le UNSAT(G)</tex>. Для некоторых заданных констант <tex>d_0,c>0</tex>
|proof=см. The PCP Theorem by Gap Amplification, Irit Dinur, 2005
}}

Эта лемма известна как экспандер-замена(expander-replacement transformation).

{{Лемма
|about=О расширении
|statement=
Пусть <tex>d_0, h_0 >0</tex> некоторые константы. Любой <tex>d</tex>-регулярный граф условий <tex>G</tex> может быть преобразован в <tex>G'</tex> такой, что:
* <tex>G'</tex> <tex>(d + d_0 + 1)</tex>-регулярный, имеет собственные циклы и <tex>\lambda(G') \le d + d_0 + 1 - \frac {h_0^2} {d + d_0 + 1} < deg(G')</tex>
* <tex>size(G')=O(size(G))</tex>
* <tex> \frac d {d + d_0 + 1} \cdot UNSAT(G) \le UNSAT(G') \le UNSAT(G)</tex>
|proof=см. The PCP Theorem by Gap Amplification, Irit Dinur, 2005
}}

===Усиление===
Это новая операция на системах условий, которая увеличивает число неудовлетворенности.
Пусть <tex>G=\langle (V,E),\Sigma,\mathcal{C}\rangle<tex> граф условий, <tex>t \in \mathbb{N}</tex>. Определим <tex>G^t=\langle (V,\mathbf{E}),\Sigma^{d^{\lceil t/2\rceil}}, \mathcal{C}^t \rangle</tex> как следующий граф условий:
* Веришины <tex>G^t</tex> совпадают с вершинами <tex>G</tex>
* Ребра: <tex>u</tex> и <tex>v</tex> соединены <tex>k</tex> ребрами в <tex>\mathbf{E}</tex>, если количество путей длины <tex>t</tex> из <tex>u</tex> в <tex>v</tex> в графе <tex>G</tex> равно <tex>k</tex>
* Алфавит: алфавит графа <tex>G^t</tex> <tex>\Sigma^{d^{\lceil t/2\rceil}}</tex>, где каждой вершине сопоставлены значения ее соседей, достижимых за <tex>\frac t 2</tex> шагов.
* Условия: Условия сопоставленные ребру <tex>e=(u,v) \in \mathbf{E}</tex> удовлетворены, если назначения для <tex>u</tex> и <tex>v</tex> согласованы с назначениями, удовлетворяющими условия, порожденные <tex>\frac t 2</tex> соседями <tex>u</tex> и <tex>v</tex>.

Если <tex>UNSAT(G)=0</tex> тогда очевидно <tex>UNSAT(G^t)=0</tex>. Интереснее доказательство того, что <tex>UNSAT(G^t) \ge O(\sqrt{t} \cdot UNSAT(G)</tex>.

{{Лемма
|about=Усиление
|statement= Пусть <tex>\lambda < d</tex> и <tex>|\Sigma|</tex> произвольные константы. Тогда существует константа <tex>\beta_2=\beta_2(\lambda,d,|\Sigma|)>0</rex> такая, что для любого <tex>t \in \mathbb N</tex> и для любого <tex>d</tex>-регулярного графа условий <tex>G=\langle(V,E),\Sigma,\mathcal{C}\rangle</tex> с собственными циклами и <tex>\lambda(G)\le \lambda</tex>, <tex>UNSAT(G^t) \ge \beta_2 \sqrt{t} \cdot min \left({UNSAT(G), \frac 1 t}\right)</tex>.
|proof=см. The PCP Theorem by Gap Amplification, Irit Dinur, 2005
}}

Поскольку <tex>UNSAT(G) \le \frac 1 t</tex>, из жтой леммы следует что <tex>UNSAT(G^t) \ge O(\sqrt{t}) \cdot UNSAT(G)</tex>. Это основная техническая лемма.
===Композиция===
{{Определение
|about=Тестер присвоений
|definition=Тестер присвоений с алфавитом <tex>\Sigma_0</tex> и вероятностью отклонения <tex>\epsilon > 0</tex> это полиномиальное преобразование <tex>\mathcal{P}</tex>, принимающее на вход схему <tex>\Phi</tex> над будевыми переменными <tex>X</tex> и дающую на выходе граф условий <tex>G=\langle(V,E),\Sigma_0,\mathcal{C}\rangle</tex> такой, что <tex>V \subset X</tex>(в условном графе <tex>V</tex> играет одновременно две роли: переменных и вершин. <tex>Y \subset X</tex> подразумевает, что некоторые вершины из <tex>V</tex> определены с помощью переменных <tex>X</tex>). Пусть <tex>V'=V \setminus X</tex> и <tex>a : X \rightarrow \lbrace 0,1 \rbrace</tex> — присваивание.
* (Полнота) Если <tex>a \in SAT(\Phi)</tex> то существует <tex>b : V' \rightarrow \Sigma_0</tex> такое, что <tex>UNSAT_{a\cup{b}}(G)=0</tex>
* (Обоснованность) Если <tex>a \notin SAT(\Phi)</tex> то для всех <tex>b : V' \rightarrow \Sigma_0</tex>, <tex>UNSAT_{a\cup{b}}(G) \ge \epsilon \cdot dist(a, SAT(\Phi))</tex>.
}}

Следует заметить, что не накладывается никаких ограничений ни на время работы <tex>\mathcal{P}</tex> ни на <tex>size(G)</tex>. Мы игнорируем размер схемы <Tex>\Phi</tex>, которая может быть экспоненциальна относительно <tex>|X|</tex>.

{{Лемма
|about=Композиция
|statement=Пусть существует тестер присвоений <tex>\mathcal{P}</tex> с константной вероятностью отклонения <tex>\epsilon > 0</tex> и алфавитом <tex>\Sigma_0</tex>, <tex>|\Sigma_0|=O(1)</tex>. Тогда существует <tex>\beta_3 > 0</tex>, зависящая только от <tex>\mathcal{P}</tex>, такая что любой граф условий <tex>G=\langle(V,E),\Sigma,\mathcal{C}\rangle</tex> может быть преобразован в <tex>G'=\langle(V',E'),\Sigma_0,\mathcal{C}'\rangle</tex>, обозначаемый <tex>G \circ \mathcal{C}</tex>, такой что <tex>size(G')=M(|\Sigma|) \cdot size(G)</tex> и <tex>\beta_3 \cdot UNSAT(G) \le UNSAT(G') \le UNSAT(G)</tex>
|proof=см. The PCP Theorem by Gap Amplification, Irit Dinur, 2005
}}

==Основная теорема==
Основываясь на операциях с графами условий мы можем доказать основную теорему.
{{Теорема
|about=Основная теорема
|statement=Для любого <tex>\Sigma</tex>, <tex>|\Sigma|=O(1)</tex> существуют константы <tex>C > 0</tex> и <tex>0 < \alpha < 1</tex> такие, что для данного графа условий <tex>G=\langle(V,E),\Sigma,\mathcal{C}\rangle</tex> за полиномиальное время можно построить граф условий <tex>G'=\langle(V',E'),\Sigma_0,\mathcal{C}'\rangle</tex> такой, что:
* <tex>size(G') \le C \cdot size(G)</tex> и <tex>|\Sigma_0| = O(1)</tex>
* (Полнота) Если <tex>UNSAT(G)=0</tex>, то <tex>UNSAT(G')=0</tex>
* (Обоснованность) <tex>UNSAT(G') \ge min(2 \cdot UNSAT(G), \alpha)</tex>
|proof=
Построим <tex>G'</tex> по <tex>G</tex> следующим образом: <tex>G'=(prep(G))^t \circ \mathcal{P}</tex>.
# (Препроцессинг) Пусть <tex>H_1=prep(G)</tex>. Существуют некоторые глобальные константы <tex>\lambda < d </tex> и <tex>\beta_1 >0</tex> такие, что <tex>H_1</tex> <tex>d</tex>-регулярный, имеет тот же алфавит, что и <tex>G</tex>, <tex>\lambda(H_1) \le \lambda < d</tex> и <tex>\beta_1 \cdot UNSAT*G( \le UNSAT(H_1) \le UNSAT(G)</tex>.
# (Усиление) Пусть <tex>H_2=(H_1)^t</tex> для достаточно большой константы <tex> t > 1</tex>, которую определим ниже. Существует некоторая константа <tex>\beta_2=\beta(\lambda, d, |\Sigma|) > 0</tex>, для которой <tex>UNSAT(H_2) \ge \beta_2 \sqrt{t} \cdot min(UNSAT(H_1), \frac 1 t)</tex>. Однако, алфавит вырос до <tex>\Sigma^{d^{\lceil t / 2 \rceil}}</tex>.
# (Композиция) Пусть <tex>G'=H_2 \circ \mathcal{P}</tex>. Это уменьшит алфавит до <tex>\Sigma_0</tex>, при <tex>\beta_3 \cdot UNSAT(H_2) \le UNSAT(G') \le UNSAT(H_2)</tex> для некоторой <tex>\beta_3 > 0 </tex>.

Проверим выполнение условий теоремы. Размер <tex>G'</tex> линеен относительно размера<tex>G</tex>, поскольку на каждом шагу увеличивался линейно. Полнота явно поддерживается на каждом шаге. Теперь выберем <tex>t=\left\lceil\left({\frac 2 {\beta_1\beta_2\beta_3}}\right)^2\right\rceil</tex>. Пусть <tex>\alpha=\frac {\beta_3\beta_2} {sqrt{t}}</tex>.
Таким образом,

<tex>UNSAT(G') \ge \beta_3 \cdot UNSAT(H_2)</tex> <tex>\ge \beta_3 \cdot \beta_2 \sqrt{t} \cdot min(UNSAT(H_1), \frac 1 t)</tex> <tex>\ge \beta_3 \cdot \beta_2 \sqrt{t} \cdot min(\beta_1 UNSAT(G_, \frac 1 t) </tex> <tex>\ge min(2 \cdot UNSAT(G), \alpha)</tex>
}}
===Доказательство PCP теоремы===
{{Лемма
|statement=Следствием из основной теоремы является <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудность <tex>GAP-3SAT_s</tex>.
|proof=Сведем удовлетворимость графа условий к нашей задаче. Пусть <tex>G</tex> задача удовлетворимости некоторого графа с <tex>|\Sigma|=3</tex>. Идей состоит в повторении применения основной теоремы до тех пор, пока число неудовлетворенности не станет постоянным.

Пусть <tex>G_0 = G</tex> и <tex>G_i(i \ge 1)</tex> — результат применения основной теоремы к <tex>G_{i-1}</tex>. Тогда для <tex>i \ge 1</tex> <tex>G</tex> — граф условий с алфавитом <tex>\Sigma_0</tex>. Пусть <tex>E_0</tex> — множество ребер <tex>G_0<tex> и <tex>k=log|E_0|=O(log n)</tex>.

Полнота показывается тривиально: если <tex>UNSAT(G_0)=0</tex>, то для всех <tex>i</tex> <tex>UNSAT(G_i)=0</tex>. Для обоснованности рассмотрим <tex>UNSAT(G_0) > 0</tex>. Если для некоторого <tex>i*<k</tex>, <tex>UNSAT(G_{i*}) \ge \frac \alpha 2</tex>, то из основной теоремы следует, что для всех <tex>i>i*</tex> <tex>UNSAT(G_i)\ge \alpha</tex>. На остальные <tex>i</tex> это распространяется по индукции <tex>UNSAT(G_i) \ge min(2^i UNSAT(G_0), \alpha)</tex>.

Если <tex>UNSAT(G_0)>0</tex>, то <tex>UNSAT(G_0)\ge \frac 1 {|E_0|}</tex>. Конечно, <tex>2^k UNSAT(G_0) > \alpha</tex>. Таким образом <tex>UNSAT(G_k) \ge \alpha</tex>.

Такми образом <tex>\rho -GAP2CSP</tex> <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудная. Достичь обоснованности <tex>\frac 1 2</tex> можно последовательным повторением <tex>u=\frac 1 {\log(\frac 1 {1 - \alpha})} </tex> раз. Тоесть создать новые условия, представляющие собой <tex>AND</tex> всех возможных <tex>u</tex>-наборов прежних условий. Конечно, при этом количество запросов на условие увеличится до <tex>2u</tex>.

}}

==Дополнительные материалы==
* [http://www.math.ias.edu/boaz/ExpanderCourse/|N. Linial and A. Wigderson. Expander graphs and their applications. Lecture notes of a course, 2003].
* Michael Sipser and Daniel A. Spielman. Expander codes. IEEE Trans. Inform. Theory, 42(6, part 1):1710–1722, 1996. Codes and complexity.
* C. Papadimitriou and M. Yannakakis. Optimization, approximation and complexity classes. Journal of Computer and System Sciences, 3:425–440, 1991.
* Irit Dinur and Omer Reingold. Assignment testers: Towards combinatorial proofs of the PCP theorem. In Proceedings of the 45th Symposium on Foundations of Computer Science (FOCS), 2004.
==Источники==
* [http://eccc.hpi-web.de/report/2005/046 |The PCP Theorem by Gap Amplification, Irit Dinur, 2005].
* [http://www.cs.utah.edu/~alfeld/LecturePDFs/pcp.pdf |The PCP Theorem, Notes by Scott Alfeld, 2008].

PCP-теорема

2012-06-06T15:44:02Z

Filchenko: /* Источники */ фикс ссылок

{{Теорема
|id=pcp_th
|about=<tex>\mathrm{PCP}</tex> теорема
|statement=<tex>\mathrm{PCP}[log(n), O(1)] = \mathrm{NP}</tex>
}}

Классическое доказательство [[Класс PCP|<tex>\mathrm{PCP}</tex>]] теоремы громоздкое и довольно сложное для восприятия,
рассмотрим вариант докаательства, предложенный Динуром.

==Лемма об эквивалентности PCP теоремы и NP-трудности GAP-3SAT==

{{Определение
|definition=
Задача <tex>GAP-3SAT_s</tex>:
* <tex>\psi</tex> — <tex>3CNF</tex> с <tex>m</tex> дизъюнктами
* <tex>OPT</tex> — максимальное количество дизъюнктов, которые могуг быть удовлетворены одновременно
* <tex>OPT = m \Rightarrow YES</tex>
* <tex>OPT < sm \Rightarrow NO</tex>
* <tex>sm < OPT < m </tex> — нет ограничений на вывод
}}

{{Лемма
|statement=<tex>\mathrm{PCP}</tex> теорема эквивалентна вопросу принадлежности
<tex>GAP-3SAT_s</tex> классу <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудных задач для некоторого <tex>s</tex>.
|proof=
Сначала докажем, что из <tex>\mathrm{PCP}</tex> теоремы следует <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудность <tex>GAP-3SAT_s</tex>.

Покажем, что для <tex>\mathrm{NP}</tex>-полной задачи <tex>3-Color</tex> существует сведение <tex>\mathcal{R}</tex> к <tex>GAP-3SAT_s</tex>.

Из принадлежности <tex>3Color</tex> <tex>\mathrm{NP}</tex> и <tex>\mathrm{PCP}</tex> теоремы следует, что существует
доказательство <tex>\pi</tex> прувера <tex>\mathcal{P}</tex>. Обозначим <tex>\pi_i</tex> <tex>i</tex>-й бит доказательства (не его значение), будем рассматривать <tex>\pi_i</tex> как переменные в <tex>3SAT</tex> формуле.

По данному графу <tex>G</tex>, <tex>\mathcal{R}</tex> нумерует все <tex>N = 2^Q = 2^{O(log(n)} = poly(n)</tex> возможные
случайные строки, которые может выбрать верифаер <tex>V</tex>. Обозначим их <tex>Q_1 ... Q_{poly(n)}</tex>.

Каждая строка <tex>Q_i</tex> дает нам <tex>C</tex> позиций в доказательстве и предикат <tex>\phi</tex>. <tex>\mathcal{R}</tex>
строит <tex>3CNF</tex> формулу для каждого <tex>\phi</tex>. Поскольку <tex>\phi</tex> функция от <tex>C</tex> пременных,
построенная <tex>3CNF</tex> содержит не более <tex>K=C2^C</tex> дизъюнктов. Для упрощения будем считать, что формула содержит
<tex>K</tex> дизъюнктов. <tex>\mathcal{R}</tex> возвращает конъюнкцию всех полученных формул, содержащую <tex>m=NK</tex> дизъюнктов.

Можно заметить, что из <tex>G \in 3Color</tex> по <tex>\mathrm{PCP}</tex> теореме следует, что существует <tex>\pi</tex>,
удовлетворяющее всем проверкам <tex>V</tex>. Таким образом все <tex>m</tex> дизъюнктов могут быть удовлетворены и <tex>OPT=m</tex>, что и требуется для корректности сведения <tex>\mathcal{R}</tex>.

Однако, если <tex>G \notin 3Color</tex>, хотя бы <tex>\frac N 2</tex> проверок <tex>V</tex> должны привести к отрицательному результату. Если <tex>Q_i</tex> приводит к отрицательному ответу, <tex>3CNF</tex> формула, построенная по соответствующему
предикату <tex>\phi</tex> должна быть неудовлетворимой, значит не больше <tex>K-1</tex> дизъюнктов могут быть удовлетворены.
Суммарное количество дизъюнктов, которое может быть удовлетворено:

<tex>\frac N 2 (K-1) + \frac N 2 K = \frac N 2 K(1- \frac 1 K) + \frac N 2 K = NK(1 - \frac 1 {2K}) = m(1 - \frac 1 {2k}) = sm</tex>

Мы показали, что из <tex>\mathrm{PCP}</tex> теоремы следует <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудность задачи <tex>GAP-3SAT_s</tex>. Теперь
покажем, что из <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудности задачи <tex>GAP-3SAT_s</tex> следует <tex>\mathrm{PCP}</tex> теорема.

В предположении <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудности задачи <tex>GAP-3SAT_s</tex> любая <tex>\mathrm{NP}</tex>-полная задача, например <tex>3Color</tex> может быть сведена к <tex>GAP-3SAT_s</tex>. Таким образом мы можем свести <tex>3Color</tex> к <tex>3CNF</tex> формуле такой <tex>R(G)</tex>, что:
* <tex> G \in 3Color \Rightarrow R(G)</tex> имеет <tex>OPT=m</tex>
* <tex> G \notin 3Color \Rightarrow R(G)</tex> имеет <tex>OPT<sm</tex>

Имея такое сведение мы построим <tex>\mathcal{V}</tex> и доказательство прувера <tex>\mathcal{P}</tex> для
<tex>\mathrm {PCP}</tex> системы. <tex>\mathcal{V}</tex> запускает функцию сведения во время предподсчета,
доказателтьство <tex>\pi</tex> для данной <tex>R(G)=\psi</tex> <tex>3CNF</tex> формулы представляет собой значения пременных <tex>\psi</tex>. <tex>\mathcal{V}</tex> случайно выбирает дизъюнкт <tex>C</tex> из
<tex>\psi</tex> и проверяет, что он удовлетворяется <tex>\pi</tex>.

Понятно, что если <tex>G \in 3Color</tex>, то по определению <tex>R(G)</tex> любой дизъюнкт, выбранный
<tex>\mathcal{V}</tex> будет удовлетворен, поскольку <tex>OPT=m</tex>. Если же <tex>G \notin 3Color</tex>,
мы знаем, что <tex>OPT < sm</tex>, опять же по определению <tex>R(G)</tex>. Тaким образом вероятность того,
что <tex>\mathcal{V}</tex> выберет удовлетворенный дизъюнкт меньше <tex>s</tex>. Так как <tex>s</tex> —
константа, повторяя процесс мы можем сделать вероятность меньше <tex>\frac 1 2</tex>.

Таким образом мы показали эвивалентность <tex>\mathrm{PCP}</tex> теоремы вопросу <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудности задачи <tex>GAP-3SAT_s</tex>.
}}

==Определения и леммы, используемые в доказательстве==
{{Определение
|definition= <tex>\mathcal{C}=\lbrace c_1,..., c_n\rbrace</tex> назовем множеством условий над
множеством переменных <tex>V</tex>.
}}
{{Определение
|definition=Число неудовлетворенности <tex>UNSAT(\mathcal{C})</tex> — минимальное подмножество неудовлетворенных условий для любых возможных назначений <tex>V</tex>. <tex>\mathcal{C}</tex> удовлетворимо тогда и только тогда, когда <tex>UNSAT(\mathcal{C})=0</tex>. Если же <tex>\mathcal{C}</tex> неудовлетворимо, тогда <tex>UNSAT(\mathcal{C}) \ge \frac 1 n</tex>.
}}

===Графы условий===
Нам понадобятся графы ограничений для двух переменных, которые определяются следующим образом:
{{Определение
|definition=
<tex>G=\left\langle(V,E,\Sigma,\mathcal{C}\right\rangle</tex> называется графом условий, если:
* <tex>(V,E)</tex> — неориентированный граф, называемый графом, леащим в основе <tex>G</tex>.
* Множество <tex>V</tex> также представляется в виде множества переменных принимающих значениями из алфавита <tex>\Sigma</tex>
* Каждое ребро <tex>e \in E</tex> содержит условие <tex>c(e) \subseteq \Sigma^2</tex> и <tex>\mathcal{C}=\lbrace c(e)\rbrace_{e \in E}</tex>. Условие <tex>c(e)</tex> называется удовлетворенным парой <tex>(a, b)</tex>, если <tex>(a, b) \in c(e)</tex>
}}

Присваивание это отображение <tex>\sigma:V \rightarrow \Sigma</tex>, которое назначает каждой вершине из <tex>V</tex>
значение из <tex>\Sigma</tex>. Для любого присвоения <tex>\sigma</tex> определим <tex>UNSAT_\sigma(G) = \operatorname*{Pr}\limits_{(u,v)\in E} [(\sigma(u),\sigma(v)) \notin c(e)]</tex> и <tex>UNSAT(G) = \operatorname*{min}\limits_\sigma UNSAT_\sigma(G)</tex>.

Назовем <tex>UNSAT(G)</tex> числом неудовлетворенности графа <tex>G</tex>. Размером графа будем считать размер его описания <tex>size(G)=O(|V|+|E| \cdot |\Sigma|^2)</tex>

{{Лемма
|statement=Для заданного графа условий <tex>G=\left\langle(V,E,\Sigma,\mathcal{C}\right\rangle</tex>, где <tex>|\Sigma|=3</tex> проверка утверждения <tex>UNSAT(G)=0</tex> — <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудная задача.
|proof=
Сведем <tex>3Color</tex> к нашей задаче. Дан граф <tex>G</tex>, алфавит <tex>\Sigma=\lbrace 1,2,3 \rbrace</tex> для трех цветов. Оснастим ребра условиями неравенства. Очевидно, что <tex>G \in 3Color</tex> тогда и только тогда, когда <tex>UNSAT(G)=0<tex> (Иногда удобно использовать одно и то же обозначение <tex>G</tex> для графа условий и графа, лежащего в его основе).
}}

===Экспандер графы===
Экспандер графы играют важную роль во многих теоретических результатах.

{{Определение
|definition= <tex>G=(V,E)</tex> <tex>d</tex>-регулярный граф. Положим <tex>E(S,\overline{S})=|(S \times \overline{S}) \cap E|</tex> равным количеству ребер их подмножества <tex>S\in V</tex> в его дополнение. Определим реберное расширение как
<tex>h(G)=\operatorname*{min}\limits_{S:|S|<\frac {|V|} 2} \frac {E(S, \overline S)} {|S|}</tex>
}}

{{Лемма
|about=О экспандерах
|statement=Существует <tex>d_0 \in \mathbb{N}</tex> и <tex>h_0 >0</tex> такие, что есть построимое за полиномиальное время семейство <tex>\lbrace X_n\rbrace_{n \in \mathbb{N}}</tex> <tex>d_0</tex>-регулярных графов <tex>X_n</tex> с <tex>n</tex> вершинами таких, что <tex>h(X_n) \ge h_0</tex>.
|proof=см. The PCP Theorem by Gap Amplification, Irit Dinur, 2005
}}

{{Лемма
|statement= Пусть <tex>G</tex> <tex>d</tex>-регулярный граф, а <tex>h(G)</tex> его реберное расширение. Тогда <tex>\lambda(G) \le d - \frac {h(G)^2} d</tex>
}}

{{Определение
|definition=Собственным числом графа <tex>\lambda</tex> называют собственное число его матрицы смежности.
}}

{{Лемма
|statement=Пусть <tex>G</tex> <tex>d</tex>-регулярный граф со вторым по величине собственным числом <tex>\lambda</tex>. Пусть <tex>F \subseteq E</tex> множество ребер. Вероятность <tex>p</tex> того, что случайный путь, начинающийся со случайного ребра из <tex>F</tex> на <tex>i+1</tex> шаге попадет <tex>F</tex> ограничена <tex>\frac {|F|} {|E|} + \left({\frac {|\lambda|} d}\right)^i</tex>.
|proof=см. The PCP Theorem by Gap Amplification, Irit Dinur, 2005
}}

==Операции на графах условий==
Для доказательства <tex>\mathrm{PCP}</tex> теоремы потребуются три операции над графами уловий:
* Препроцессинг. Простая операция, сохраняющая чило неудовлетворенности(примерно) и размер алфавита, но делающая граф лучше.
* Усиление. Эта операция увеоичивает чило неудовлетворенности за счет увеличения размера алфавита.
* Композицияю Эта операция уменьшает размер алфавита, сохраняя число неудовлетворенности(приблизительно).

===Препроцессинг===
Под хорошим графом будем понимать регулярный, фиксированной степени экспандер граф.
{{Лемма
|about=Препроцессинг
|statement= существуют константы <tex>0 < \lambda < d</tex> и <tex>\beta_1 >0</tex> такие, что любой граф условий <tex>G</tex> может быть преобразован в граф условий <tex>G'=prep(G)</tex> такой, что:
* <tex>G'</tex> <tex>d</tex>-регулярный
* <tex>G'</tex> имеет тот же алфавит, что и <tex>G</tex> и <tex>size(G') = O(size(G))</tex>.
* <tex>\beta_1 \cdot UNSAT(G) \le UNSAT(G') \le UNSAT(G)</tex>
}}

Заметим, что третий пункт теммы гарантирует поддержание полноты, т.е. если <tex>UNSAT(G)=0</tex>, то и <tex>UNSAT(G')=0</tex>. Доказательство этой леммы состоит из двух следующих лемм (<tex>\beta_1=c \cdot \frac d {d + d_0 + 1}</tex>).

{{Лемма
|about=Константная степень
|statement=Любой граф условий <tex>G = \langle (V,E),\Sigma,\mathcal{C}\rangle</tex> может быть преобразован в <tex>(d_0 + 1)</tex>-регулярный граф условий <tex>G'=\langle (V',E'),\Sigma,\mathcal{C}'\rangle</tex> такой, что <tex>|V'|</tex>=2|E|</tex> и <tex>c \cdot UNSAT(G) \le UNSAT(G') \le UNSAT(G)</tex>. Для некоторых заданных констант <tex>d_0,c>0</tex>
|proof=см. The PCP Theorem by Gap Amplification, Irit Dinur, 2005
}}

Эта лемма известна как экспандер-замена(expander-replacement transformation).

{{Лемма
|about=О расширении
|statement=
Пусть <tex>d_0, h_0 >0</tex> некоторые константы. Любой <tex>d</tex>-регулярный граф условий <tex>G</tex> может быть преобразован в <tex>G'</tex> такой, что:
* <tex>G'</tex> <tex>(d + d_0 + 1)</tex>-регулярный, имеет собственные циклы и <tex>\lambda(G') \le d + d_0 + 1 - \frac {h_0^2} {d + d_0 + 1} < deg(G')</tex>
* <tex>size(G')=O(size(G))</tex>
* <tex> \frac d {d + d_0 + 1} \cdot UNSAT(G) \le UNSAT(G') \le UNSAT(G)</tex>
|proof=см. The PCP Theorem by Gap Amplification, Irit Dinur, 2005
}}

===Усиление===
Это новая операция на системах условий, которая увеличивает число неудовлетворенности.
Пусть <tex>G=\langle (V,E),\Sigma,\mathcal{C}\rangle<tex> граф условий, <tex>t \in \mathbb{N}</tex>. Определим <tex>G^t=\langle (V,\mathbf{E}),\Sigma^{d^{\lceil t/2\rceil}}, \mathcal{C}^t \rangle</tex> как следующий граф условий:
* Веришины <tex>G^t</tex> совпадают с вершинами <tex>G</tex>
* Ребра: <tex>u</tex> и <tex>v</tex> соединены <tex>k</tex> ребрами в <tex>\mathbf{E}</tex>, если количество путей длины <tex>t</tex> из <tex>u</tex> в <tex>v</tex> в графе <tex>G</tex> равно <tex>k</tex>
* Алфавит: алфавит графа <tex>G^t</tex> <tex>\Sigma^{d^{\lceil t/2\rceil}}</tex>, где каждой вершине сопоставлены значения ее соседей, достижимых за <tex>\frac t 2</tex> шагов.
* Условия: Условия сопоставленные ребру <tex>e=(u,v) \in \mathbf{E}</tex> удовлетворены, если назначения для <tex>u</tex> и <tex>v</tex> согласованы с назначениями, удовлетворяющими условия, порожденные <tex>\frac t 2</tex> соседями <tex>u</tex> и <tex>v</tex>.

Если <tex>UNSAT(G)=0</tex> тогда очевидно <tex>UNSAT(G^t)=0</tex>. Интереснее доказательство того, что <tex>UNSAT(G^t) \ge O(\sqrt{t} \cdot UNSAT(G)</tex>.

{{Лемма
|about=Усиление
|statement= Пусть <tex>\lambda < d</tex> и <tex>|\Sigma|</tex> произвольные константы. Тогда существует константа <tex>\beta_2=\beta_2(\lambda,d,|\Sigma|)>0</rex> такая, что для любого <tex>t \in \mathbb N</tex> и для любого <tex>d</tex>-регулярного графа условий <tex>G=\langle(V,E),\Sigma,\mathcal{C}\rangle</tex> с собственными циклами и <tex>\lambda(G)\le \lambda</tex>, <tex>UNSAT(G^t) \ge \beta_2 \sqrt{t} \cdot min \left({UNSAT(G), \frac 1 t}\right)</tex>.
|proof=см. The PCP Theorem by Gap Amplification, Irit Dinur, 2005
}}

Поскольку <tex>UNSAT(G) \le \frac 1 t</tex>, из жтой леммы следует что <tex>UNSAT(G^t) \ge O(\sqrt{t}) \cdot UNSAT(G)</tex>. Это основная техническая лемма.
===Композиция===
{{Определение
|about=Тестер присвоений
|definition=Тестер присвоений с алфавитом <tex>\Sigma_0</tex> и вероятностью отклонения <tex>\epsilon > 0</tex> это полиномиальное преобразование <tex>\mathcal{P}</tex>, принимающее на вход схему <tex>\Phi</tex> над будевыми переменными <tex>X</tex> и дающую на выходе граф условий <tex>G=\langle(V,E),\Sigma_0,\mathcal{C}\rangle</tex> такой, что <tex>V \subset X</tex>(в условном графе <tex>V</tex> играет одновременно две роли: переменных и вершин. <tex>Y \subset X</tex> подразумевает, что некоторые вершины из <tex>V</tex> определены с помощью переменных <tex>X</tex>). Пусть <tex>V'=V \setminus X</tex> и <tex>a : X \rightarrow \lbrace 0,1 \rbrace</tex> — присваивание.
* (Полнота) Если <tex>a \in SAT(\Phi)</tex> то существует <tex>b : V' \rightarrow \Sigma_0</tex> такое, что <tex>UNSAT_{a\cup{b}}(G)=0</tex>
* (Обоснованность) Если <tex>a \notin SAT(\Phi)</tex> то для всех <tex>b : V' \rightarrow \Sigma_0</tex>, <tex>UNSAT_{a\cup{b}}(G) \ge \epsilon \cdot dist(a, SAT(\Phi))</tex>.
}}

Следует заметить, что не накладывается никаких ограничений ни на время работы <tex>\mathcal{P}</tex> ни на <tex>size(G)</tex>. Мы игнорируем размер схемы <Tex>\Phi</tex>, которая может быть экспоненциальна относительно <tex>|X|</tex>.

{{Лемма
|about=Композиция
|statement=Пусть существует тестер присвоений <tex>\mathcal{P}</tex> с константной вероятностью отклонения <tex>\epsilon > 0</tex> и алфавитом <tex>\Sigma_0</tex>, <tex>|\Sigma_0|=O(1)</tex>. Тогда существует <tex>\beta_3 > 0</tex>, зависящая только от <tex>\mathcal{P}</tex>, такая что любой граф условий <tex>G=\langle(V,E),\Sigma,\mathcal{C}\rangle</tex> может быть преобразован в <tex>G'=\langle(V',E'),\Sigma_0,\mathcal{C}'\rangle</tex>, обозначаемый <tex>G \circ \mathcal{C}</tex>, такой что <tex>size(G')=M(|\Sigma|) \cdot size(G)</tex> и <tex>\beta_3 \cdot UNSAT(G) \le UNSAT(G') \le UNSAT(G)</tex>
|proof=см. The PCP Theorem by Gap Amplification, Irit Dinur, 2005
}}

==Основная теорема==
Основываясь на операциях с графами условий мы можем доказать основную теорему.
{{Теорема
|about=Основная теорема
|statement=Для любого <tex>\Sigma</tex>, <tex>|\Sigma|=O(1)</tex> существуют константы <tex>C > 0</tex> и <tex>0 < \alpha < 1</tex> такие, что для данного графа условий <tex>G=\langle(V,E),\Sigma,\mathcal{C}\rangle</tex> за полиномиальное время можно построить граф условий <tex>G'=\langle(V',E'),\Sigma_0,\mathcal{C}'\rangle</tex> такой, что:
* <tex>size(G') \le C \cdot size(G)</tex> и <tex>|\Sigma_0| = O(1)</tex>
* (Полнота) Если <tex>UNSAT(G)=0</tex>, то <tex>UNSAT(G')=0</tex>
* (Обоснованность) <tex>UNSAT(G') \ge min(2 \cdot UNSAT(G), \alpha)</tex>
|proof=
Построим <tex>G'</tex> по <tex>G</tex> следующим образом: <tex>G'=(prep(G))^t \circ \mathcal{P}</tex>.
# (Препроцессинг) Пусть <tex>H_1=prep(G)</tex>. Существуют некоторые глобальные константы <tex>\lambda < d </tex> и <tex>\beta_1 >0</tex> такие, что <tex>H_1</tex> <tex>d</tex>-регулярный, имеет тот же алфавит, что и <tex>G</tex>, <tex>\lambda(H_1) \le \lambda < d</tex> и <tex>\beta_1 \cdot UNSAT*G( \le UNSAT(H_1) \le UNSAT(G)</tex>.
# (Усиление) Пусть <tex>H_2=(H_1)^t</tex> для достаточно большой константы <tex> t > 1</tex>, которую определим ниже. Существует некоторая константа <tex>\beta_2=\beta(\lambda, d, |\Sigma|) > 0</tex>, для которой <tex>UNSAT(H_2) \ge \beta_2 \sqrt{t} \cdot min(UNSAT(H_1), \frac 1 t)</tex>. Однако, алфавит вырос до <tex>\Sigma^{d^{\lceil t / 2 \rceil}}</tex>.
# (Композиция) Пусть <tex>G'=H_2 \circ \mathcal{P}</tex>. Это уменьшит алфавит до <tex>\Sigma_0</tex>, при <tex>\beta_3 \cdot UNSAT(H_2) \le UNSAT(G') \le UNSAT(H_2)</tex> для некоторой <tex>\beta_3 > 0 </tex>.

Проверим выполнение условий теоремы. Размер <tex>G'</tex> линеен относительно размера<tex>G</tex>, поскольку на каждом шагу увеличивался линейно. Полнота явно поддерживается на каждом шаге. Теперь выберем <tex>t=\left\lceil\left({\frac 2 {\beta_1\beta_2\beta_3}}\right)^2\right\rceil</tex>. Пусть <tex>\alpha=\frac {\beta_3\beta_2} {sqrt{t}}</tex>.
Таким образом,

<tex>UNSAT(G') \ge \beta_3 \cdot UNSAT(H_2)</tex> <tex>\ge \beta_3 \cdot \beta_2 \sqrt{t} \cdot min(UNSAT(H_1), \frac 1 t)</tex> <tex>\ge \beta_3 \cdot \beta_2 \sqrt{t} \cdot min(\beta_1 UNSAT(G_, \frac 1 t) </tex> <tex>\ge min(2 \cdot UNSAT(G), \alpha)</tex>
}}
===Доказательство PCP теоремы===
{{Лемма
|statement=Следствием из основной теоремы является <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудность <tex>GAP-3SAT_s</tex>.
|proof=Сведем удовлетворимость графа условий к нашей задаче. Пусть <tex>G</tex> задача удовлетворимости некоторого графа с <tex>|\Sigma|=3</tex>. Идей состоит в повторении применения основной теоремы до тех пор, пока число неудовлетворенности не станет постоянным.

Пусть <tex>G_0 = G</tex> и <tex>G_i(i \ge 1)</tex> — результат применения основной теоремы к <tex>G_{i-1}</tex>. Тогда для <tex>i \ge 1</tex> <tex>G</tex> — граф условий с алфавитом <tex>\Sigma_0</tex>. Пусть <tex>E_0</tex> — множество ребер <tex>G_0<tex> и <tex>k=log|E_0|=O(log n)</tex>.

Полнота показывается тривиально: если <tex>UNSAT(G_0)=0</tex>, то для всех <tex>i</tex> <tex>UNSAT(G_i)=0</tex>. Для обоснованности рассмотрим <tex>UNSAT(G_0) > 0</tex>. Если для некоторого <tex>i*<k</tex>, <tex>UNSAT(G_{i*}) \ge \frac \alpha 2</tex>, то из основной теоремы следует, что для всех <tex>i>i*</tex> <tex>UNSAT(G_i)\ge \alpha</tex>. На остальные <tex>i</tex> это распространяется по индукции <tex>UNSAT(G_i) \ge min(2^i UNSAT(G_0), \alpha)</tex>.

Если <tex>UNSAT(G_0)>0</tex>, то <tex>UNSAT(G_0)\ge \frac 1 {|E_0|}</tex>. Конечно, <tex>2^k UNSAT(G_0) > \alpha</tex>. Таким образом <tex>UNSAT(G_k) \ge \alpha</tex>.

Мы доказали, что <tex>GAP</tex> <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудная. В частности, для <tex>GAP-3SAT</tex>, надо преобразовать каждое условие к константное число дизъюнктов <tex>3CNF</tex>.

}}
==Дополнительные материалы==
* [http://www.math.ias.edu/boaz/ExpanderCourse/|N. Linial and A. Wigderson. Expander graphs and their applications. Lecture notes of a course, 2003].
* Michael Sipser and Daniel A. Spielman. Expander codes. IEEE Trans. Inform. Theory, 42(6, part 1):1710–1722, 1996. Codes and complexity.
* C. Papadimitriou and M. Yannakakis. Optimization, approximation and complexity classes. Journal of Computer and System Sciences, 3:425–440, 1991.
* Irit Dinur and Omer Reingold. Assignment testers: Towards combinatorial proofs of the PCP theorem. In Proceedings of the 45th Symposium on Foundations of Computer Science (FOCS), 2004.
==Источники==
* [http://eccc.hpi-web.de/report/2005/046 |The PCP Theorem by Gap Amplification, Irit Dinur, 2005].
* [http://www.cs.utah.edu/~alfeld/LecturePDFs/pcp.pdf |The PCP Theorem, Notes by Scott Alfeld, 2008].

PCP-теорема

2012-06-05T08:47:34Z

Filchenko: /* Лемма об эквивалентности PCP теоремы и NP-трудности GAP-3SAT */ оговорка по фрейду

{{Теорема
|id=pcp_th
|about=<tex>\mathrm{PCP}</tex> теорема
|statement=<tex>\mathrm{PCP}[log(n), O(1)] = \mathrm{NP}</tex>
}}

Классическое доказательство [[Класс PCP|<tex>\mathrm{PCP}</tex>]] теоремы громоздкое и довольно сложное для восприятия,
рассмотрим вариант докаательства, предложенный Динуром.

==Лемма об эквивалентности PCP теоремы и NP-трудности GAP-3SAT==

{{Определение
|definition=
Задача <tex>GAP-3SAT_s</tex>:
* <tex>\psi</tex> — <tex>3CNF</tex> с <tex>m</tex> дизъюнктами
* <tex>OPT</tex> — максимальное количество дизъюнктов, которые могуг быть удовлетворены одновременно
* <tex>OPT = m \Rightarrow YES</tex>
* <tex>OPT < sm \Rightarrow NO</tex>
* <tex>sm < OPT < m </tex> — нет ограничений на вывод
}}

{{Лемма
|statement=<tex>\mathrm{PCP}</tex> теорема эквивалентна вопросу принадлежности
<tex>GAP-3SAT_s</tex> классу <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудных задач для некоторого <tex>s</tex>.
|proof=
Сначала докажем, что из <tex>\mathrm{PCP}</tex> теоремы следует <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудность <tex>GAP-3SAT_s</tex>.

Покажем, что для <tex>\mathrm{NP}</tex>-полной задачи <tex>3-Color</tex> существует сведение <tex>\mathcal{R}</tex> к <tex>GAP-3SAT_s</tex>.

Из принадлежности <tex>3Color</tex> <tex>\mathrm{NP}</tex> и <tex>\mathrm{PCP}</tex> теоремы следует, что существует
доказательство <tex>\pi</tex> прувера <tex>\mathcal{P}</tex>. Обозначим <tex>\pi_i</tex> <tex>i</tex>-й бит доказательства (не его значение), будем рассматривать <tex>\pi_i</tex> как переменные в <tex>3SAT</tex> формуле.

По данному графу <tex>G</tex>, <tex>\mathcal{R}</tex> нумерует все <tex>N = 2^Q = 2^{O(log(n)} = poly(n)</tex> возможные
случайные строки, которые может выбрать верифаер <tex>V</tex>. Обозначим их <tex>Q_1 ... Q_{poly(n)}</tex>.

Каждая строка <tex>Q_i</tex> дает нам <tex>C</tex> позиций в доказательстве и предикат <tex>\phi</tex>. <tex>\mathcal{R}</tex>
строит <tex>3CNF</tex> формулу для каждого <tex>\phi</tex>. Поскольку <tex>\phi</tex> функция от <tex>C</tex> пременных,
построенная <tex>3CNF</tex> содержит не более <tex>K=C2^C</tex> дизъюнктов. Для упрощения будем считать, что формула содержит
<tex>K</tex> дизъюнктов. <tex>\mathcal{R}</tex> возвращает конъюнкцию всех полученных формул, содержащую <tex>m=NK</tex> дизъюнктов.

Можно заметить, что из <tex>G \in 3Color</tex> по <tex>\mathrm{PCP}</tex> теореме следует, что существует <tex>\pi</tex>,
удовлетворяющее всем проверкам <tex>V</tex>. Таким образом все <tex>m</tex> дизъюнктов могут быть удовлетворены и <tex>OPT=m</tex>, что и требуется для корректности сведения <tex>\mathcal{R}</tex>.

Однако, если <tex>G \notin 3Color</tex>, хотя бы <tex>\frac N 2</tex> проверок <tex>V</tex> должны привести к отрицательному результату. Если <tex>Q_i</tex> приводит к отрицательному ответу, <tex>3CNF</tex> формула, построенная по соответствующему
предикату <tex>\phi</tex> должна быть неудовлетворимой, значит не больше <tex>K-1</tex> дизъюнктов могут быть удовлетворены.
Суммарное количество дизъюнктов, которое может быть удовлетворено:

<tex>\frac N 2 (K-1) + \frac N 2 K = \frac N 2 K(1- \frac 1 K) + \frac N 2 K = NK(1 - \frac 1 {2K}) = m(1 - \frac 1 {2k}) = sm</tex>

Мы показали, что из <tex>\mathrm{PCP}</tex> теоремы следует <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудность задачи <tex>GAP-3SAT_s</tex>. Теперь
покажем, что из <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудности задачи <tex>GAP-3SAT_s</tex> следует <tex>\mathrm{PCP}</tex> теорема.

В предположении <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудности задачи <tex>GAP-3SAT_s</tex> любая <tex>\mathrm{NP}</tex>-полная задача, например <tex>3Color</tex> может быть сведена к <tex>GAP-3SAT_s</tex>. Таким образом мы можем свести <tex>3Color</tex> к <tex>3CNF</tex> формуле такой <tex>R(G)</tex>, что:
* <tex> G \in 3Color \Rightarrow R(G)</tex> имеет <tex>OPT=m</tex>
* <tex> G \notin 3Color \Rightarrow R(G)</tex> имеет <tex>OPT<sm</tex>

Имея такое сведение мы построим <tex>\mathcal{V}</tex> и доказательство прувера <tex>\mathcal{P}</tex> для
<tex>\mathrm {PCP}</tex> системы. <tex>\mathcal{V}</tex> запускает функцию сведения во время предподсчета,
доказателтьство <tex>\pi</tex> для данной <tex>R(G)=\psi</tex> <tex>3CNF</tex> формулы представляет собой значения пременных <tex>\psi</tex>. <tex>\mathcal{V}</tex> случайно выбирает дизъюнкт <tex>C</tex> из
<tex>\psi</tex> и проверяет, что он удовлетворяется <tex>\pi</tex>.

Понятно, что если <tex>G \in 3Color</tex>, то по определению <tex>R(G)</tex> любой дизъюнкт, выбранный
<tex>\mathcal{V}</tex> будет удовлетворен, поскольку <tex>OPT=m</tex>. Если же <tex>G \notin 3Color</tex>,
мы знаем, что <tex>OPT < sm</tex>, опять же по определению <tex>R(G)</tex>. Тaким образом вероятность того,
что <tex>\mathcal{V}</tex> выберет удовлетворенный дизъюнкт меньше <tex>s</tex>. Так как <tex>s</tex> —
константа, повторяя процесс мы можем сделать вероятность меньше <tex>\frac 1 2</tex>.

Таким образом мы показали эвивалентность <tex>\mathrm{PCP}</tex> теоремы вопросу <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудности задачи <tex>GAP-3SAT_s</tex>.
}}

==Определения и леммы, используемые в доказательстве==
{{Определение
|definition= <tex>\mathcal{C}=\lbrace c_1,..., c_n\rbrace</tex> назовем множеством условий над
множеством переменных <tex>V</tex>.
}}
{{Определение
|definition=Число неудовлетворенности <tex>UNSAT(\mathcal{C})</tex> — минимальное подмножество неудовлетворенных условий для любых возможных назначений <tex>V</tex>. <tex>\mathcal{C}</tex> удовлетворимо тогда и только тогда, когда <tex>UNSAT(\mathcal{C})=0</tex>. Если же <tex>\mathcal{C}</tex> неудовлетворимо, тогда <tex>UNSAT(\mathcal{C}) \ge \frac 1 n</tex>.
}}

===Графы условий===
Нам понадобятся графы ограничений для двух переменных, которые определяются следующим образом:
{{Определение
|definition=
<tex>G=\left\langle(V,E,\Sigma,\mathcal{C}\right\rangle</tex> называется графом условий, если:
* <tex>(V,E)</tex> — неориентированный граф, называемый графом, леащим в основе <tex>G</tex>.
* Множество <tex>V</tex> также представляется в виде множества переменных принимающих значениями из алфавита <tex>\Sigma</tex>
* Каждое ребро <tex>e \in E</tex> содержит условие <tex>c(e) \subseteq \Sigma^2</tex> и <tex>\mathcal{C}=\lbrace c(e)\rbrace_{e \in E}</tex>. Условие <tex>c(e)</tex> называется удовлетворенным парой <tex>(a, b)</tex>, если <tex>(a, b) \in c(e)</tex>
}}

Присваивание это отображение <tex>\sigma:V \rightarrow \Sigma</tex>, которое назначает каждой вершине из <tex>V</tex>
значение из <tex>\Sigma</tex>. Для любого присвоения <tex>\sigma</tex> определим <tex>UNSAT_\sigma(G) = \operatorname*{Pr}\limits_{(u,v)\in E} [(\sigma(u),\sigma(v)) \notin c(e)]</tex> и <tex>UNSAT(G) = \operatorname*{min}\limits_\sigma UNSAT_\sigma(G)</tex>.

Назовем <tex>UNSAT(G)</tex> числом неудовлетворенности графа <tex>G</tex>. Размером графа будем считать размер его описания <tex>size(G)=O(|V|+|E| \cdot |\Sigma|^2)</tex>

{{Лемма
|statement=Для заданного графа условий <tex>G=\left\langle(V,E,\Sigma,\mathcal{C}\right\rangle</tex>, где <tex>|\Sigma|=3</tex> проверка утверждения <tex>UNSAT(G)=0</tex> — <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудная задача.
|proof=
Сведем <tex>3Color</tex> к нашей задаче. Дан граф <tex>G</tex>, алфавит <tex>\Sigma=\lbrace 1,2,3 \rbrace</tex> для трех цветов. Оснастим ребра условиями неравенства. Очевидно, что <tex>G \in 3Color</tex> тогда и только тогда, когда <tex>UNSAT(G)=0<tex> (Иногда удобно использовать одно и то же обозначение <tex>G</tex> для графа условий и графа, лежащего в его основе).
}}

===Экспандер графы===
Экспандер графы играют важную роль во многих теоретических результатах.

{{Определение
|definition= <tex>G=(V,E)</tex> <tex>d</tex>-регулярный граф. Положим <tex>E(S,\overline{S})=|(S \times \overline{S}) \cap E|</tex> равным количеству ребер их подмножества <tex>S\in V</tex> в его дополнение. Определим реберное расширение как
<tex>h(G)=\operatorname*{min}\limits_{S:|S|<\frac {|V|} 2} \frac {E(S, \overline S)} {|S|}</tex>
}}

{{Лемма
|about=О экспандерах
|statement=Существует <tex>d_0 \in \mathbb{N}</tex> и <tex>h_0 >0</tex> такие, что есть построимое за полиномиальное время семейство <tex>\lbrace X_n\rbrace_{n \in \mathbb{N}}</tex> <tex>d_0</tex>-регулярных графов <tex>X_n</tex> с <tex>n</tex> вершинами таких, что <tex>h(X_n) \ge h_0</tex>.
|proof=см. The PCP Theorem by Gap Amplification, Irit Dinur, 2005
}}

{{Лемма
|statement= Пусть <tex>G</tex> <tex>d</tex>-регулярный граф, а <tex>h(G)</tex> его реберное расширение. Тогда <tex>\lambda(G) \le d - \frac {h(G)^2} d</tex>
}}

{{Определение
|definition=Собственным числом графа <tex>\lambda</tex> называют собственное число его матрицы смежности.
}}

{{Лемма
|statement=Пусть <tex>G</tex> <tex>d</tex>-регулярный граф со вторым по величине собственным числом <tex>\lambda</tex>. Пусть <tex>F \subseteq E</tex> множество ребер. Вероятность <tex>p</tex> того, что случайный путь, начинающийся со случайного ребра из <tex>F</tex> на <tex>i+1</tex> шаге попадет <tex>F</tex> ограничена <tex>\frac {|F|} {|E|} + \left({\frac {|\lambda|} d}\right)^i</tex>.
|proof=см. The PCP Theorem by Gap Amplification, Irit Dinur, 2005
}}

==Операции на графах условий==
Для доказательства <tex>\mathrm{PCP}</tex> теоремы потребуются три операции над графами уловий:
* Препроцессинг. Простая операция, сохраняющая чило неудовлетворенности(примерно) и размер алфавита, но делающая граф лучше.
* Усиление. Эта операция увеоичивает чило неудовлетворенности за счет увеличения размера алфавита.
* Композицияю Эта операция уменьшает размер алфавита, сохраняя число неудовлетворенности(приблизительно).

===Препроцессинг===
Под хорошим графом будем понимать регулярный, фиксированной степени экспандер граф.
{{Лемма
|about=Препроцессинг
|statement= существуют константы <tex>0 < \lambda < d</tex> и <tex>\beta_1 >0</tex> такие, что любой граф условий <tex>G</tex> может быть преобразован в граф условий <tex>G'=prep(G)</tex> такой, что:
* <tex>G'</tex> <tex>d</tex>-регулярный
* <tex>G'</tex> имеет тот же алфавит, что и <tex>G</tex> и <tex>size(G') = O(size(G))</tex>.
* <tex>\beta_1 \cdot UNSAT(G) \le UNSAT(G') \le UNSAT(G)</tex>
}}

Заметим, что третий пункт теммы гарантирует поддержание полноты, т.е. если <tex>UNSAT(G)=0</tex>, то и <tex>UNSAT(G')=0</tex>. Доказательство этой леммы состоит из двух следующих лемм (<tex>\beta_1=c \cdot \frac d {d + d_0 + 1}</tex>).

{{Лемма
|about=Константная степень
|statement=Любой граф условий <tex>G = \langle (V,E),\Sigma,\mathcal{C}\rangle</tex> может быть преобразован в <tex>(d_0 + 1)</tex>-регулярный граф условий <tex>G'=\langle (V',E'),\Sigma,\mathcal{C}'\rangle</tex> такой, что <tex>|V'|</tex>=2|E|</tex> и <tex>c \cdot UNSAT(G) \le UNSAT(G') \le UNSAT(G)</tex>. Для некоторых заданных констант <tex>d_0,c>0</tex>
|proof=см. The PCP Theorem by Gap Amplification, Irit Dinur, 2005
}}

Эта лемма известна как экспандер-замена(expander-replacement transformation).

{{Лемма
|about=О расширении
|statement=
Пусть <tex>d_0, h_0 >0</tex> некоторые константы. Любой <tex>d</tex>-регулярный граф условий <tex>G</tex> может быть преобразован в <tex>G'</tex> такой, что:
* <tex>G'</tex> <tex>(d + d_0 + 1)</tex>-регулярный, имеет собственные циклы и <tex>\lambda(G') \le d + d_0 + 1 - \frac {h_0^2} {d + d_0 + 1} < deg(G')</tex>
* <tex>size(G')=O(size(G))</tex>
* <tex> \frac d {d + d_0 + 1} \cdot UNSAT(G) \le UNSAT(G') \le UNSAT(G)</tex>
|proof=см. The PCP Theorem by Gap Amplification, Irit Dinur, 2005
}}

===Усиление===
Это новая операция на системах условий, которая увеличивает число неудовлетворенности.
Пусть <tex>G=\langle (V,E),\Sigma,\mathcal{C}\rangle<tex> граф условий, <tex>t \in \mathbb{N}</tex>. Определим <tex>G^t=\langle (V,\mathbf{E}),\Sigma^{d^{\lceil t/2\rceil}}, \mathcal{C}^t \rangle</tex> как следующий граф условий:
* Веришины <tex>G^t</tex> совпадают с вершинами <tex>G</tex>
* Ребра: <tex>u</tex> и <tex>v</tex> соединены <tex>k</tex> ребрами в <tex>\mathbf{E}</tex>, если количество путей длины <tex>t</tex> из <tex>u</tex> в <tex>v</tex> в графе <tex>G</tex> равно <tex>k</tex>
* Алфавит: алфавит графа <tex>G^t</tex> <tex>\Sigma^{d^{\lceil t/2\rceil}}</tex>, где каждой вершине сопоставлены значения ее соседей, достижимых за <tex>\frac t 2</tex> шагов.
* Условия: Условия сопоставленные ребру <tex>e=(u,v) \in \mathbf{E}</tex> удовлетворены, если назначения для <tex>u</tex> и <tex>v</tex> согласованы с назначениями, удовлетворяющими условия, порожденные <tex>\frac t 2</tex> соседями <tex>u</tex> и <tex>v</tex>.

Если <tex>UNSAT(G)=0</tex> тогда очевидно <tex>UNSAT(G^t)=0</tex>. Интереснее доказательство того, что <tex>UNSAT(G^t) \ge O(\sqrt{t} \cdot UNSAT(G)</tex>.

{{Лемма
|about=Усиление
|statement= Пусть <tex>\lambda < d</tex> и <tex>|\Sigma|</tex> произвольные константы. Тогда существует константа <tex>\beta_2=\beta_2(\lambda,d,|\Sigma|)>0</rex> такая, что для любого <tex>t \in \mathbb N</tex> и для любого <tex>d</tex>-регулярного графа условий <tex>G=\langle(V,E),\Sigma,\mathcal{C}\rangle</tex> с собственными циклами и <tex>\lambda(G)\le \lambda</tex>, <tex>UNSAT(G^t) \ge \beta_2 \sqrt{t} \cdot min \left({UNSAT(G), \frac 1 t}\right)</tex>.
|proof=см. The PCP Theorem by Gap Amplification, Irit Dinur, 2005
}}

Поскольку <tex>UNSAT(G) \le \frac 1 t</tex>, из жтой леммы следует что <tex>UNSAT(G^t) \ge O(\sqrt{t}) \cdot UNSAT(G)</tex>. Это основная техническая лемма.
===Композиция===
{{Определение
|about=Тестер присвоений
|definition=Тестер присвоений с алфавитом <tex>\Sigma_0</tex> и вероятностью отклонения <tex>\epsilon > 0</tex> это полиномиальное преобразование <tex>\mathcal{P}</tex>, принимающее на вход схему <tex>\Phi</tex> над будевыми переменными <tex>X</tex> и дающую на выходе граф условий <tex>G=\langle(V,E),\Sigma_0,\mathcal{C}\rangle</tex> такой, что <tex>V \subset X</tex>(в условном графе <tex>V</tex> играет одновременно две роли: переменных и вершин. <tex>Y \subset X</tex> подразумевает, что некоторые вершины из <tex>V</tex> определены с помощью переменных <tex>X</tex>). Пусть <tex>V'=V \setminus X</tex> и <tex>a : X \rightarrow \lbrace 0,1 \rbrace</tex> — присваивание.
* (Полнота) Если <tex>a \in SAT(\Phi)</tex> то существует <tex>b : V' \rightarrow \Sigma_0</tex> такое, что <tex>UNSAT_{a\cup{b}}(G)=0</tex>
* (Обоснованность) Если <tex>a \notin SAT(\Phi)</tex> то для всех <tex>b : V' \rightarrow \Sigma_0</tex>, <tex>UNSAT_{a\cup{b}}(G) \ge \epsilon \cdot dist(a, SAT(\Phi))</tex>.
}}

Следует заметить, что не накладывается никаких ограничений ни на время работы <tex>\mathcal{P}</tex> ни на <tex>size(G)</tex>. Мы игнорируем размер схемы <Tex>\Phi</tex>, которая может быть экспоненциальна относительно <tex>|X|</tex>.

{{Лемма
|about=Композиция
|statement=Пусть существует тестер присвоений <tex>\mathcal{P}</tex> с константной вероятностью отклонения <tex>\epsilon > 0</tex> и алфавитом <tex>\Sigma_0</tex>, <tex>|\Sigma_0|=O(1)</tex>. Тогда существует <tex>\beta_3 > 0</tex>, зависящая только от <tex>\mathcal{P}</tex>, такая что любой граф условий <tex>G=\langle(V,E),\Sigma,\mathcal{C}\rangle</tex> может быть преобразован в <tex>G'=\langle(V',E'),\Sigma_0,\mathcal{C}'\rangle</tex>, обозначаемый <tex>G \circ \mathcal{C}</tex>, такой что <tex>size(G')=M(|\Sigma|) \cdot size(G)</tex> и <tex>\beta_3 \cdot UNSAT(G) \le UNSAT(G') \le UNSAT(G)</tex>
|proof=см. The PCP Theorem by Gap Amplification, Irit Dinur, 2005
}}

==Основная теорема==
Основываясь на операциях с графами условий мы можем доказать основную теорему.
{{Теорема
|about=Основная теорема
|statement=Для любого <tex>\Sigma</tex>, <tex>|\Sigma|=O(1)</tex> существуют константы <tex>C > 0</tex> и <tex>0 < \alpha < 1</tex> такие, что для данного графа условий <tex>G=\langle(V,E),\Sigma,\mathcal{C}\rangle</tex> за полиномиальное время можно построить граф условий <tex>G'=\langle(V',E'),\Sigma_0,\mathcal{C}'\rangle</tex> такой, что:
* <tex>size(G') \le C \cdot size(G)</tex> и <tex>|\Sigma_0| = O(1)</tex>
* (Полнота) Если <tex>UNSAT(G)=0</tex>, то <tex>UNSAT(G')=0</tex>
* (Обоснованность) <tex>UNSAT(G') \ge min(2 \cdot UNSAT(G), \alpha)</tex>
|proof=
Построим <tex>G'</tex> по <tex>G</tex> следующим образом: <tex>G'=(prep(G))^t \circ \mathcal{P}</tex>.
# (Препроцессинг) Пусть <tex>H_1=prep(G)</tex>. Существуют некоторые глобальные константы <tex>\lambda < d </tex> и <tex>\beta_1 >0</tex> такие, что <tex>H_1</tex> <tex>d</tex>-регулярный, имеет тот же алфавит, что и <tex>G</tex>, <tex>\lambda(H_1) \le \lambda < d</tex> и <tex>\beta_1 \cdot UNSAT*G( \le UNSAT(H_1) \le UNSAT(G)</tex>.
# (Усиление) Пусть <tex>H_2=(H_1)^t</tex> для достаточно большой константы <tex> t > 1</tex>, которую определим ниже. Существует некоторая константа <tex>\beta_2=\beta(\lambda, d, |\Sigma|) > 0</tex>, для которой <tex>UNSAT(H_2) \ge \beta_2 \sqrt{t} \cdot min(UNSAT(H_1), \frac 1 t)</tex>. Однако, алфавит вырос до <tex>\Sigma^{d^{\lceil t / 2 \rceil}}</tex>.
# (Композиция) Пусть <tex>G'=H_2 \circ \mathcal{P}</tex>. Это уменьшит алфавит до <tex>\Sigma_0</tex>, при <tex>\beta_3 \cdot UNSAT(H_2) \le UNSAT(G') \le UNSAT(H_2)</tex> для некоторой <tex>\beta_3 > 0 </tex>.

Проверим выполнение условий теоремы. Размер <tex>G'</tex> линеен относительно размера<tex>G</tex>, поскольку на каждом шагу увеличивался линейно. Полнота явно поддерживается на каждом шаге. Теперь выберем <tex>t=\left\lceil\left({\frac 2 {\beta_1\beta_2\beta_3}}\right)^2\right\rceil</tex>. Пусть <tex>\alpha=\frac {\beta_3\beta_2} {sqrt{t}}</tex>.
Таким образом,

<tex>UNSAT(G') \ge \beta_3 \cdot UNSAT(H_2)</tex> <tex>\ge \beta_3 \cdot \beta_2 \sqrt{t} \cdot min(UNSAT(H_1), \frac 1 t)</tex> <tex>\ge \beta_3 \cdot \beta_2 \sqrt{t} \cdot min(\beta_1 UNSAT(G_, \frac 1 t) </tex> <tex>\ge min(2 \cdot UNSAT(G), \alpha)</tex>
}}
===Доказательство PCP теоремы===
{{Лемма
|statement=Следствием из основной теоремы является <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудность <tex>GAP-3SAT_s</tex>.
|proof=Сведем удовлетворимость графа условий к нашей задаче. Пусть <tex>G</tex> задача удовлетворимости некоторого графа с <tex>|\Sigma|=3</tex>. Идей состоит в повторении применения основной теоремы до тех пор, пока число неудовлетворенности не станет постоянным.

Пусть <tex>G_0 = G</tex> и <tex>G_i(i \ge 1)</tex> — результат применения основной теоремы к <tex>G_{i-1}</tex>. Тогда для <tex>i \ge 1</tex> <tex>G</tex> — граф условий с алфавитом <tex>\Sigma_0</tex>. Пусть <tex>E_0</tex> — множество ребер <tex>G_0<tex> и <tex>k=log|E_0|=O(log n)</tex>.

Полнота показывается тривиально: если <tex>UNSAT(G_0)=0</tex>, то для всех <tex>i</tex> <tex>UNSAT(G_i)=0</tex>. Для обоснованности рассмотрим <tex>UNSAT(G_0) > 0</tex>. Если для некоторого <tex>i*<k</tex>, <tex>UNSAT(G_{i*}) \ge \frac \alpha 2</tex>, то из основной теоремы следует, что для всех <tex>i>i*</tex> <tex>UNSAT(G_i)\ge \alpha</tex>. На остальные <tex>i</tex> это распространяется по индукции <tex>UNSAT(G_i) \ge min(2^i UNSAT(G_0), \alpha)</tex>.

Если <tex>UNSAT(G_0)>0</tex>, то <tex>UNSAT(G_0)\ge \frac 1 {|E_0|}</tex>. Конечно, <tex>2^k UNSAT(G_0) > \alpha</tex>. Таким образом <tex>UNSAT(G_k) \ge \alpha</tex>.

Мы доказали, что <tex>GAP</tex> <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудная. В частности, для <tex>GAP-3SAT</tex>, надо преобразовать каждое условие к константное число дизъюнктов <tex>3CNF</tex>.

}}
==Дополнительные материалы==
* [http://www.math.ias.edu/boaz/ExpanderCourse/|N. Linial and A. Wigderson. Expander graphs and their applications. Lecture notes of a course, 2003].
* Michael Sipser and Daniel A. Spielman. Expander codes. IEEE Trans. Inform. Theory, 42(6, part 1):1710–1722, 1996. Codes and complexity.
* C. Papadimitriou and M. Yannakakis. Optimization, approximation and complexity classes. Journal of Computer and System Sciences, 3:425–440, 1991.
* Irit Dinur and Omer Reingold. Assignment testers: Towards combinatorial proofs of the PCP theorem. In Proceedings of the 45th Symposium on Foundations of Computer Science (FOCS), 2004.
==Источники==
* [http://eccc.hpi-web.de/report/2005/046/|The PCP Theorem by Gap Amplification, Irit Dinur, 2005].
* [http://www.cs.utah.edu/~alfeld/LecturePDFs/pcp.pdf|The PCP Theorem, Notes by Scott Alfeld, 2008].

PCP-теорема

2012-06-05T08:04:38Z

Filchenko: /* Лемма об эквивалентности PCP теоремы и NP-трудности GAP-3SAT */ тег

{{Теорема
|id=pcp_th
|about=<tex>\mathrm{PCP}</tex> теорема
|statement=<tex>\mathrm{PCP}[log(n), O(1)] = \mathrm{NP}</tex>
}}

Классическое доказательство [[Класс PCP|<tex>\mathrm{PCP}</tex>]] теоремы громоздкое и довольно сложное для восприятия,
рассмотрим вариант докаательства, предложенный Динуром.

==Лемма об эквивалентности PCP теоремы и NP-трудности GAP-3SAT==

{{Определение
|definition=
Задача <tex>GAP-3SAT_s</tex>:
* <tex>\psi</tex> — <tex>3CNF</tex> с <tex>m</tex> дизъюнктами
* <tex>OPT</tex> — максимальное количество дизъюнктов, которые могуг быть удовлетворены одновременно
* <tex>OPT = m \Rightarrow YES</tex>
* <tex>OPT < sm \Rightarrow NO</tex>
* <tex>sm < OPT < m </tex> — нет ограничений на вывод
}}

{{Лемма
|statement=<tex>\mathrm{PCP}</tex> теорема эквивалентна вопросу принадлежности
<tex>GAP-3SAT_s</tex> классу <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудных задач для некоторого <tex>s</tex>.
|proof=
Сначала докажем, что из <tex>\mathrm{PCP}</tex> теоремы следует <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудность <tex>GAP-3SAT_s</tex>.

Заметим, что для <tex>\mathrm{NP}</tex>-полной задачи <tex>3-Color</tex> существует сведение <tex>\mathcal{R}</tex> к <tex>GAP-3SAT_s</tex>.

Из принадлежности <tex>3Color</tex> <tex>\mathrm{NP}</tex> и <tex>\mathrm{PCP}</tex> теоремы следует, что существует
доказательство <tex>\pi</tex> прувера <tex>\mathcal{P}</tex>. Обозначим <tex>\pi_i</tex> <tex>i</tex>-й бит доказательства (не его значение), будем рассматривать <tex>\pi_i</tex> как переменные в <tex>3SAT</tex> формуле.

По данному графу <tex>G</tex>, <tex>\mathcal{R}</tex> нумерует все <tex>N = 2^Q = 2^{O(log(n)} = poly(n)</tex> возможные
случайные строки, которые может выбрать верифаер <tex>V</tex>. Обозначим их <tex>Q_1 ... Q_{poly(n)}</tex>.

Каждая строка <tex>Q_i</tex> дает нам <tex>C</tex> позиций в доказательстве и предикат <tex>\phi</tex>. <tex>\mathcal{R}</tex>
строит <tex>3CNF</tex> формулу для каждого <tex>\phi</tex>. Поскольку <tex>\phi</tex> функция от <tex>C</tex> пременных,
построенная <tex>3CNF</tex> содержит не более <tex>K=C2^C</tex> дизъюнктов. Для упрощения будем считать, что формула содержит
<tex>K</tex> дизъюнктов. <tex>\mathcal{R}</tex> возвращает конъюнкцию всех полученных формул, содержащую <tex>m=NK</tex> дизъюнктов.

Можно заметить, что из <tex>G \in 3Color</tex> по <tex>\mathrm{PCP}</tex> теореме следует, что существует <tex>\pi</tex>,
удовлетворяющее всем проверкам <tex>V</tex>. Таким образом все <tex>m</tex> дизъюнктов могут быть удовлетворены и <tex>OPT=m</tex>, что и требуется для корректности сведения <tex>\mathcal{R}</tex>.

Однако, если <tex>G \notin 3Color</tex>, хотя бы <tex>\frac N 2</tex> проверок <tex>V</tex> должны привести к отрицательному результату. Если <tex>Q_i</tex> приводит к отрицательному ответу, <tex>3CNF</tex> формула, построенная по соответствующему
предикату <tex>\phi</tex> должна быть неудовлетворимой, значит не больше <tex>K-1</tex> дизъюнктов могут быть удовлетворены.
Суммарное количество дизъюнктов, которое может быть удовлетворено:

<tex>\frac N 2 (K-1) + \frac N 2 K = \frac N 2 K(1- \frac 1 K) + \frac N 2 K = NK(1 - \frac 1 {2K}) = m(1 - \frac 1 {2k}) = sm</tex>

Мы показали, что из <tex>\mathrm{PCP}</tex> теоремы следует <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудность задачи <tex>GAP-3SAT_s</tex>. Теперь
покажем, что из <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудности задачи <tex>GAP-3SAT_s</tex> следует <tex>\mathrm{PCP}</tex> теорема.

В предположении <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудности задачи <tex>GAP-3SAT_s</tex> любая <tex>\mathrm{NP}</tex>-полная задача, например <tex>3Color</tex> может быть сведена к <tex>GAP-3SAT_s</tex>. Таким образом мы можем свести <tex>3Color</tex> к <tex>3CNF</tex> формуле такой <tex>R(G)</tex>, что:
* <tex> G \in 3Color \Rightarrow R(G)</tex> имеет <tex>OPT=m</tex>
* <tex> G \notin 3Color \Rightarrow R(G)</tex> имеет <tex>OPT<sm</tex>

Имея такое сведение мы построим <tex>\mathcal{V}</tex> и доказательство прувера <tex>\mathcal{P}</tex> для
<tex>\mathrm {PCP}</tex> системы. <tex>\mathcal{V}</tex> запускает функцию сведения во время предподсчета,
доказателтьство <tex>\pi</tex> для данной <tex>R(G)=\psi</tex> <tex>3CNF</tex> формулы представляет собой значения пременных <tex>\psi</tex>. <tex>\mathcal{V}</tex> случайно выбирает дизъюнкт <tex>C</tex> из
<tex>\psi</tex> и проверяет, что он удовлетворяется <tex>\pi</tex>.

Понятно, что если <tex>G \in 3Color</tex>, то по определению <tex>R(G)</tex> любой дизъюнкт, выбранный
<tex>\mathcal{V}</tex> будет удовлетворен, поскольку <tex>OPT=m</tex>. Если же <tex>G \notin 3Color</tex>,
мы знаем, что <tex>OPT < sm</tex>, опять же по определению <tex>R(G)</tex>. Тaким образом вероятность того,
что <tex>\mathcal{V}</tex> выберет удовлетворенный дизъюнкт меньше <tex>s</tex>. Так как <tex>s</tex> —
константа, повторяя процесс мы можем сделать вероятность меньше <tex>\frac 1 2</tex>.

Таким образом мы показали эвивалентность <tex>\mathrm{PCP}</tex> теоремы вопросу <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудности задачи <tex>GAP-3SAT_s</tex>.
}}

==Определения и леммы, используемые в доказательстве==
{{Определение
|definition= <tex>\mathcal{C}=\lbrace c_1,..., c_n\rbrace</tex> назовем множеством условий над
множеством переменных <tex>V</tex>.
}}
{{Определение
|definition=Число неудовлетворенности <tex>UNSAT(\mathcal{C})</tex> — минимальное подмножество неудовлетворенных условий для любых возможных назначений <tex>V</tex>. <tex>\mathcal{C}</tex> удовлетворимо тогда и только тогда, когда <tex>UNSAT(\mathcal{C})=0</tex>. Если же <tex>\mathcal{C}</tex> неудовлетворимо, тогда <tex>UNSAT(\mathcal{C}) \ge \frac 1 n</tex>.
}}

===Графы условий===
Нам понадобятся графы ограничений для двух переменных, которые определяются следующим образом:
{{Определение
|definition=
<tex>G=\left\langle(V,E,\Sigma,\mathcal{C}\right\rangle</tex> называется графом условий, если:
* <tex>(V,E)</tex> — неориентированный граф, называемый графом, леащим в основе <tex>G</tex>.
* Множество <tex>V</tex> также представляется в виде множества переменных принимающих значениями из алфавита <tex>\Sigma</tex>
* Каждое ребро <tex>e \in E</tex> содержит условие <tex>c(e) \subseteq \Sigma^2</tex> и <tex>\mathcal{C}=\lbrace c(e)\rbrace_{e \in E}</tex>. Условие <tex>c(e)</tex> называется удовлетворенным парой <tex>(a, b)</tex>, если <tex>(a, b) \in c(e)</tex>
}}

Присваивание это отображение <tex>\sigma:V \rightarrow \Sigma</tex>, которое назначает каждой вершине из <tex>V</tex>
значение из <tex>\Sigma</tex>. Для любого присвоения <tex>\sigma</tex> определим <tex>UNSAT_\sigma(G) = \operatorname*{Pr}\limits_{(u,v)\in E} [(\sigma(u),\sigma(v)) \notin c(e)]</tex> и <tex>UNSAT(G) = \operatorname*{min}\limits_\sigma UNSAT_\sigma(G)</tex>.

Назовем <tex>UNSAT(G)</tex> числом неудовлетворенности графа <tex>G</tex>. Размером графа будем считать размер его описания <tex>size(G)=O(|V|+|E| \cdot |\Sigma|^2)</tex>

{{Лемма
|statement=Для заданного графа условий <tex>G=\left\langle(V,E,\Sigma,\mathcal{C}\right\rangle</tex>, где <tex>|\Sigma|=3</tex> проверка утверждения <tex>UNSAT(G)=0</tex> — <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудная задача.
|proof=
Сведем <tex>3Color</tex> к нашей задаче. Дан граф <tex>G</tex>, алфавит <tex>\Sigma=\lbrace 1,2,3 \rbrace</tex> для трех цветов. Оснастим ребра условиями неравенства. Очевидно, что <tex>G \in 3Color</tex> тогда и только тогда, когда <tex>UNSAT(G)=0<tex> (Иногда удобно использовать одно и то же обозначение <tex>G</tex> для графа условий и графа, лежащего в его основе).
}}

===Экспандер графы===
Экспандер графы играют важную роль во многих теоретических результатах.

{{Определение
|definition= <tex>G=(V,E)</tex> <tex>d</tex>-регулярный граф. Положим <tex>E(S,\overline{S})=|(S \times \overline{S}) \cap E|</tex> равным количеству ребер их подмножества <tex>S\in V</tex> в его дополнение. Определим реберное расширение как
<tex>h(G)=\operatorname*{min}\limits_{S:|S|<\frac {|V|} 2} \frac {E(S, \overline S)} {|S|}</tex>
}}

{{Лемма
|about=О экспандерах
|statement=Существует <tex>d_0 \in \mathbb{N}</tex> и <tex>h_0 >0</tex> такие, что есть построимое за полиномиальное время семейство <tex>\lbrace X_n\rbrace_{n \in \mathbb{N}}</tex> <tex>d_0</tex>-регулярных графов <tex>X_n</tex> с <tex>n</tex> вершинами таких, что <tex>h(X_n) \ge h_0</tex>.
|proof=см. The PCP Theorem by Gap Amplification, Irit Dinur, 2005
}}

{{Лемма
|statement= Пусть <tex>G</tex> <tex>d</tex>-регулярный граф, а <tex>h(G)</tex> его реберное расширение. Тогда <tex>\lambda(G) \le d - \frac {h(G)^2} d</tex>
}}

{{Определение
|definition=Собственным числом графа <tex>\lambda</tex> называют собственное число его матрицы смежности.
}}

{{Лемма
|statement=Пусть <tex>G</tex> <tex>d</tex>-регулярный граф со вторым по величине собственным числом <tex>\lambda</tex>. Пусть <tex>F \subseteq E</tex> множество ребер. Вероятность <tex>p</tex> того, что случайный путь, начинающийся со случайного ребра из <tex>F</tex> на <tex>i+1</tex> шаге попадет <tex>F</tex> ограничена <tex>\frac {|F|} {|E|} + \left({\frac {|\lambda|} d}\right)^i</tex>.
|proof=см. The PCP Theorem by Gap Amplification, Irit Dinur, 2005
}}

==Операции на графах условий==
Для доказательства <tex>\mathrm{PCP}</tex> теоремы потребуются три операции над графами уловий:
* Препроцессинг. Простая операция, сохраняющая чило неудовлетворенности(примерно) и размер алфавита, но делающая граф лучше.
* Усиление. Эта операция увеоичивает чило неудовлетворенности за счет увеличения размера алфавита.
* Композицияю Эта операция уменьшает размер алфавита, сохраняя число неудовлетворенности(приблизительно).

===Препроцессинг===
Под хорошим графом будем понимать регулярный, фиксированной степени экспандер граф.
{{Лемма
|about=Препроцессинг
|statement= существуют константы <tex>0 < \lambda < d</tex> и <tex>\beta_1 >0</tex> такие, что любой граф условий <tex>G</tex> может быть преобразован в граф условий <tex>G'=prep(G)</tex> такой, что:
* <tex>G'</tex> <tex>d</tex>-регулярный
* <tex>G'</tex> имеет тот же алфавит, что и <tex>G</tex> и <tex>size(G') = O(size(G))</tex>.
* <tex>\beta_1 \cdot UNSAT(G) \le UNSAT(G') \le UNSAT(G)</tex>
}}

Заметим, что третий пункт теммы гарантирует поддержание полноты, т.е. если <tex>UNSAT(G)=0</tex>, то и <tex>UNSAT(G')=0</tex>. Доказательство этой леммы состоит из двух следующих лемм (<tex>\beta_1=c \cdot \frac d {d + d_0 + 1}</tex>).

{{Лемма
|about=Константная степень
|statement=Любой граф условий <tex>G = \langle (V,E),\Sigma,\mathcal{C}\rangle</tex> может быть преобразован в <tex>(d_0 + 1)</tex>-регулярный граф условий <tex>G'=\langle (V',E'),\Sigma,\mathcal{C}'\rangle</tex> такой, что <tex>|V'|</tex>=2|E|</tex> и <tex>c \cdot UNSAT(G) \le UNSAT(G') \le UNSAT(G)</tex>. Для некоторых заданных констант <tex>d_0,c>0</tex>
|proof=см. The PCP Theorem by Gap Amplification, Irit Dinur, 2005
}}

Эта лемма известна как экспандер-замена(expander-replacement transformation).

{{Лемма
|about=О расширении
|statement=
Пусть <tex>d_0, h_0 >0</tex> некоторые константы. Любой <tex>d</tex>-регулярный граф условий <tex>G</tex> может быть преобразован в <tex>G'</tex> такой, что:
* <tex>G'</tex> <tex>(d + d_0 + 1)</tex>-регулярный, имеет собственные циклы и <tex>\lambda(G') \le d + d_0 + 1 - \frac {h_0^2} {d + d_0 + 1} < deg(G')</tex>
* <tex>size(G')=O(size(G))</tex>
* <tex> \frac d {d + d_0 + 1} \cdot UNSAT(G) \le UNSAT(G') \le UNSAT(G)</tex>
|proof=см. The PCP Theorem by Gap Amplification, Irit Dinur, 2005
}}

===Усиление===
Это новая операция на системах условий, которая увеличивает число неудовлетворенности.
Пусть <tex>G=\langle (V,E),\Sigma,\mathcal{C}\rangle<tex> граф условий, <tex>t \in \mathbb{N}</tex>. Определим <tex>G^t=\langle (V,\mathbf{E}),\Sigma^{d^{\lceil t/2\rceil}}, \mathcal{C}^t \rangle</tex> как следующий граф условий:
* Веришины <tex>G^t</tex> совпадают с вершинами <tex>G</tex>
* Ребра: <tex>u</tex> и <tex>v</tex> соединены <tex>k</tex> ребрами в <tex>\mathbf{E}</tex>, если количество путей длины <tex>t</tex> из <tex>u</tex> в <tex>v</tex> в графе <tex>G</tex> равно <tex>k</tex>
* Алфавит: алфавит графа <tex>G^t</tex> <tex>\Sigma^{d^{\lceil t/2\rceil}}</tex>, где каждой вершине сопоставлены значения ее соседей, достижимых за <tex>\frac t 2</tex> шагов.
* Условия: Условия сопоставленные ребру <tex>e=(u,v) \in \mathbf{E}</tex> удовлетворены, если назначения для <tex>u</tex> и <tex>v</tex> согласованы с назначениями, удовлетворяющими условия, порожденные <tex>\frac t 2</tex> соседями <tex>u</tex> и <tex>v</tex>.

Если <tex>UNSAT(G)=0</tex> тогда очевидно <tex>UNSAT(G^t)=0</tex>. Интереснее доказательство того, что <tex>UNSAT(G^t) \ge O(\sqrt{t} \cdot UNSAT(G)</tex>.

{{Лемма
|about=Усиление
|statement= Пусть <tex>\lambda < d</tex> и <tex>|\Sigma|</tex> произвольные константы. Тогда существует константа <tex>\beta_2=\beta_2(\lambda,d,|\Sigma|)>0</rex> такая, что для любого <tex>t \in \mathbb N</tex> и для любого <tex>d</tex>-регулярного графа условий <tex>G=\langle(V,E),\Sigma,\mathcal{C}\rangle</tex> с собственными циклами и <tex>\lambda(G)\le \lambda</tex>, <tex>UNSAT(G^t) \ge \beta_2 \sqrt{t} \cdot min \left({UNSAT(G), \frac 1 t}\right)</tex>.
|proof=см. The PCP Theorem by Gap Amplification, Irit Dinur, 2005
}}

Поскольку <tex>UNSAT(G) \le \frac 1 t</tex>, из жтой леммы следует что <tex>UNSAT(G^t) \ge O(\sqrt{t}) \cdot UNSAT(G)</tex>. Это основная техническая лемма.
===Композиция===
{{Определение
|about=Тестер присвоений
|definition=Тестер присвоений с алфавитом <tex>\Sigma_0</tex> и вероятностью отклонения <tex>\epsilon > 0</tex> это полиномиальное преобразование <tex>\mathcal{P}</tex>, принимающее на вход схему <tex>\Phi</tex> над будевыми переменными <tex>X</tex> и дающую на выходе граф условий <tex>G=\langle(V,E),\Sigma_0,\mathcal{C}\rangle</tex> такой, что <tex>V \subset X</tex>(в условном графе <tex>V</tex> играет одновременно две роли: переменных и вершин. <tex>Y \subset X</tex> подразумевает, что некоторые вершины из <tex>V</tex> определены с помощью переменных <tex>X</tex>). Пусть <tex>V'=V \setminus X</tex> и <tex>a : X \rightarrow \lbrace 0,1 \rbrace</tex> — присваивание.
* (Полнота) Если <tex>a \in SAT(\Phi)</tex> то существует <tex>b : V' \rightarrow \Sigma_0</tex> такое, что <tex>UNSAT_{a\cup{b}}(G)=0</tex>
* (Обоснованность) Если <tex>a \notin SAT(\Phi)</tex> то для всех <tex>b : V' \rightarrow \Sigma_0</tex>, <tex>UNSAT_{a\cup{b}}(G) \ge \epsilon \cdot dist(a, SAT(\Phi))</tex>.
}}

Следует заметить, что не накладывается никаких ограничений ни на время работы <tex>\mathcal{P}</tex> ни на <tex>size(G)</tex>. Мы игнорируем размер схемы <Tex>\Phi</tex>, которая может быть экспоненциальна относительно <tex>|X|</tex>.

{{Лемма
|about=Композиция
|statement=Пусть существует тестер присвоений <tex>\mathcal{P}</tex> с константной вероятностью отклонения <tex>\epsilon > 0</tex> и алфавитом <tex>\Sigma_0</tex>, <tex>|\Sigma_0|=O(1)</tex>. Тогда существует <tex>\beta_3 > 0</tex>, зависящая только от <tex>\mathcal{P}</tex>, такая что любой граф условий <tex>G=\langle(V,E),\Sigma,\mathcal{C}\rangle</tex> может быть преобразован в <tex>G'=\langle(V',E'),\Sigma_0,\mathcal{C}'\rangle</tex>, обозначаемый <tex>G \circ \mathcal{C}</tex>, такой что <tex>size(G')=M(|\Sigma|) \cdot size(G)</tex> и <tex>\beta_3 \cdot UNSAT(G) \le UNSAT(G') \le UNSAT(G)</tex>
|proof=см. The PCP Theorem by Gap Amplification, Irit Dinur, 2005
}}

==Основная теорема==
Основываясь на операциях с графами условий мы можем доказать основную теорему.
{{Теорема
|about=Основная теорема
|statement=Для любого <tex>\Sigma</tex>, <tex>|\Sigma|=O(1)</tex> существуют константы <tex>C > 0</tex> и <tex>0 < \alpha < 1</tex> такие, что для данного графа условий <tex>G=\langle(V,E),\Sigma,\mathcal{C}\rangle</tex> за полиномиальное время можно построить граф условий <tex>G'=\langle(V',E'),\Sigma_0,\mathcal{C}'\rangle</tex> такой, что:
* <tex>size(G') \le C \cdot size(G)</tex> и <tex>|\Sigma_0| = O(1)</tex>
* (Полнота) Если <tex>UNSAT(G)=0</tex>, то <tex>UNSAT(G')=0</tex>
* (Обоснованность) <tex>UNSAT(G') \ge min(2 \cdot UNSAT(G), \alpha)</tex>
|proof=
Построим <tex>G'</tex> по <tex>G</tex> следующим образом: <tex>G'=(prep(G))^t \circ \mathcal{P}</tex>.
# (Препроцессинг) Пусть <tex>H_1=prep(G)</tex>. Существуют некоторые глобальные константы <tex>\lambda < d </tex> и <tex>\beta_1 >0</tex> такие, что <tex>H_1</tex> <tex>d</tex>-регулярный, имеет тот же алфавит, что и <tex>G</tex>, <tex>\lambda(H_1) \le \lambda < d</tex> и <tex>\beta_1 \cdot UNSAT*G( \le UNSAT(H_1) \le UNSAT(G)</tex>.
# (Усиление) Пусть <tex>H_2=(H_1)^t</tex> для достаточно большой константы <tex> t > 1</tex>, которую определим ниже. Существует некоторая константа <tex>\beta_2=\beta(\lambda, d, |\Sigma|) > 0</tex>, для которой <tex>UNSAT(H_2) \ge \beta_2 \sqrt{t} \cdot min(UNSAT(H_1), \frac 1 t)</tex>. Однако, алфавит вырос до <tex>\Sigma^{d^{\lceil t / 2 \rceil}}</tex>.
# (Композиция) Пусть <tex>G'=H_2 \circ \mathcal{P}</tex>. Это уменьшит алфавит до <tex>\Sigma_0</tex>, при <tex>\beta_3 \cdot UNSAT(H_2) \le UNSAT(G') \le UNSAT(H_2)</tex> для некоторой <tex>\beta_3 > 0 </tex>.

Проверим выполнение условий теоремы. Размер <tex>G'</tex> линеен относительно размера<tex>G</tex>, поскольку на каждом шагу увеличивался линейно. Полнота явно поддерживается на каждом шаге. Теперь выберем <tex>t=\left\lceil\left({\frac 2 {\beta_1\beta_2\beta_3}}\right)^2\right\rceil</tex>. Пусть <tex>\alpha=\frac {\beta_3\beta_2} {sqrt{t}}</tex>.
Таким образом,

<tex>UNSAT(G') \ge \beta_3 \cdot UNSAT(H_2)</tex> <tex>\ge \beta_3 \cdot \beta_2 \sqrt{t} \cdot min(UNSAT(H_1), \frac 1 t)</tex> <tex>\ge \beta_3 \cdot \beta_2 \sqrt{t} \cdot min(\beta_1 UNSAT(G_, \frac 1 t) </tex> <tex>\ge min(2 \cdot UNSAT(G), \alpha)</tex>
}}
===Доказательство PCP теоремы===
{{Лемма
|statement=Следствием из основной теоремы является <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудность <tex>GAP-3SAT_s</tex>.
|proof=Сведем удовлетворимость графа условий к нашей задаче. Пусть <tex>G</tex> задача удовлетворимости некоторого графа с <tex>|\Sigma|=3</tex>. Идей состоит в повторении применения основной теоремы до тех пор, пока число неудовлетворенности не станет постоянным.

Пусть <tex>G_0 = G</tex> и <tex>G_i(i \ge 1)</tex> — результат применения основной теоремы к <tex>G_{i-1}</tex>. Тогда для <tex>i \ge 1</tex> <tex>G</tex> — граф условий с алфавитом <tex>\Sigma_0</tex>. Пусть <tex>E_0</tex> — множество ребер <tex>G_0<tex> и <tex>k=log|E_0|=O(log n)</tex>.

Полнота показывается тривиально: если <tex>UNSAT(G_0)=0</tex>, то для всех <tex>i</tex> <tex>UNSAT(G_i)=0</tex>. Для обоснованности рассмотрим <tex>UNSAT(G_0) > 0</tex>. Если для некоторого <tex>i*<k</tex>, <tex>UNSAT(G_{i*}) \ge \frac \alpha 2</tex>, то из основной теоремы следует, что для всех <tex>i>i*</tex> <tex>UNSAT(G_i)\ge \alpha</tex>. На остальные <tex>i</tex> это распространяется по индукции <tex>UNSAT(G_i) \ge min(2^i UNSAT(G_0), \alpha)</tex>.

Если <tex>UNSAT(G_0)>0</tex>, то <tex>UNSAT(G_0)\ge \frac 1 {|E_0|}</tex>. Конечно, <tex>2^k UNSAT(G_0) > \alpha</tex>. Таким образом <tex>UNSAT(G_k) \ge \alpha</tex>.

Мы доказали, что <tex>GAP</tex> <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудная. В частности, для <tex>GAP-3SAT</tex>, надо преобразовать каждое условие к константное число дизъюнктов <tex>3CNF</tex>.

}}
==Дополнительные материалы==
* [http://www.math.ias.edu/boaz/ExpanderCourse/|N. Linial and A. Wigderson. Expander graphs and their applications. Lecture notes of a course, 2003].
* Michael Sipser and Daniel A. Spielman. Expander codes. IEEE Trans. Inform. Theory, 42(6, part 1):1710–1722, 1996. Codes and complexity.
* C. Papadimitriou and M. Yannakakis. Optimization, approximation and complexity classes. Journal of Computer and System Sciences, 3:425–440, 1991.
* Irit Dinur and Omer Reingold. Assignment testers: Towards combinatorial proofs of the PCP theorem. In Proceedings of the 45th Symposium on Foundations of Computer Science (FOCS), 2004.
==Источники==
* [http://eccc.hpi-web.de/report/2005/046/|The PCP Theorem by Gap Amplification, Irit Dinur, 2005].
* [http://www.cs.utah.edu/~alfeld/LecturePDFs/pcp.pdf|The PCP Theorem, Notes by Scott Alfeld, 2008].

PCP-теорема

2012-06-04T14:33:37Z

Filchenko: выпилил два лишних куска (не встречаются в приведенных доказательствах)

{{Теорема
|id=pcp_th
|about=<tex>\mathrm{PCP}</tex> теорема
|statement=<tex>\mathrm{PCP}[log(n), O(1)] = \mathrm{NP}</tex>
}}

Классическое доказательство [[Класс PCP|<tex>\mathrm{PCP}</tex>]] теоремы громоздкое и довольно сложное для восприятия,
рассмотрим вариант докаательства, предложенный Динуром.

==Лемма об эквивалентности PCP теоремы и NP-трудности GAP-3SAT==

{{Определение
|definition=
Задача <tex>GAP-3SAT_s</tex>:
* <tex>\psi</tex> — <tex>3CNF</tex> с <tex>m</tex> дизъюнктами
* <tex>OPT</tex> — максимальное количество дизъюнктов, которые могуг быть удовлетворены одновременно
* <tex>OPT = m \Rightarrow YES</tex>
* <tex>OPT < sm \Rightarrow NO</tex>
* <tex>sm < OPT < m </tex> — нет ограничений на вывод
}}

{{Лемма
|statement=<tex>\mathrm{PCP}</tex> теорема эквивалентна вопросу принадлежности
<tex>GAP-3SAT_s</tex> классу <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудных задач для некоторого <tex>s</tex>.
|proof=
Сначала докажем, что из <tex>\mathrm{PCP}</tex> теоремы следует <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудность <tex>GAP-3SAT_s</tex>.

Заметим, что для <tex>\mathrm{NP}</tex>-полной задачи <tex>3-Color</tex> существует сведение <tex>\mathcal{R}</tex> к <tex>GAP-3SAT_s</tex>.

Из принадлежности <tex>3Color</tex> <tex>\mathrm{NP}</tex> и <tex>\mathrm{PCP}</tex> теоремы следует, что существует
доказательство <tex>\pi</tex> прувера <tex>\mathcal{P}</tex>. Обозначим <tex>\pi_i</tex> <tex>i</tex>-й бит доказательства (не его значение), будем рассматривать <tex>\pi_i</tex> как переменные в <tex>3SAT</tex> формуле.

По данному графу <tex>G</tex>, <tex>\mathcal{R}</tex> нумерует все <tex>N = 2^Q = 2^{O(log(n)} = poly(n)</tex> возможные
случайные строки, которые может выбрать верифаер <tex>V</tex>. Обозначим их <tex>Q_1 ... Q_{poly(n)}</tex>.

Каждая строка <tex>Q_i</tex> дает нам <tex>C</tex> позиций в доказательстве и предикат <tex>\phi</tex>. <tex>\mathcal{R}</tex>
строит <tex>3CNF</tex> формулу для каждого <tex>\phi</tex>. Поскольку <tex>\phi</tex> функция от </tex>C</tex> пременных,
построенная <tex>3CNF</tex> содержит не более <tex>K=C2^C</tex> дизъюнктов. Для упрощения будем считать, что формула содержит
<tex>K</tex> дизъюнктов. <tex>\mathcal{R}</tex> возвращает конъюнкцию всех полученных формул, содержащую <tex>m=NK</tex> дизъюнктов.

Можно заметить, что из <tex>G \in 3Color</tex> по <tex>\mathrm{PCP}</tex> теореме следует, что существует <tex>\pi</tex>,
удовлетворяющее всем проверкам <tex>V</tex>. Таким образом все <tex>m</tex> дизъюнктов могут быть удовлетворены и <tex>OPT=m</tex>, что и требуется для корректности сведения <tex>\mathcal{R}</tex>.

Однако, если <tex>G \notin 3Color</tex>, хотя бы <tex>\frac N 2</tex> проверок <tex>V</tex> должны привести к отрицательному результату. Если <tex>Q_i</tex> приводит к отрицательному ответу, <tex>3CNF</tex> формула, построенная по соответствующему
предикату <tex>\phi</tex> должна быть неудовлетворимой, значит не больше <tex>K-1</tex> дизъюнктов могут быть удовлетворены.
Суммарное количество дизъюнктов, которое может быть удовлетворено:

<tex>\frac N 2 (K-1) + \frac N 2 K = \frac N 2 K(1- \frac 1 K) + \frac N 2 K = NK(1 - \frac 1 {2K}) = m(1 - \frac 1 {2k}) = sm</tex>

Мы показали, что из <tex>\mathrm{PCP}</tex> теоремы следует <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудность задачи <tex>GAP-3SAT_s</tex>. Теперь
покажем, что из <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудности задачи <tex>GAP-3SAT_s</tex> следует <tex>\mathrm{PCP}</tex> теорема.

В предположении <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудности задачи <tex>GAP-3SAT_s</tex> любая <tex>\mathrm{NP}</tex>-полная задача, например <tex>3Color</tex> может быть сведена к <tex>GAP-3SAT_s</tex>. Таким образом мы можем свести <tex>3Color</tex> к <tex>3CNF</tex> формуле такой <tex>R(G)</tex>, что:
* <tex> G \in 3Color \Rightarrow R(G)</tex> имеет <tex>OPT=m</tex>
* <tex> G \notin 3Color \Rightarrow R(G)</tex> имеет <tex>OPT<sm</tex>

Имея такое сведение мы построим <tex>\mathcal{V}</tex> и доказательство прувера <tex>\mathcal{P}</tex> для
<tex>\mathrm {PCP}</tex> системы. <tex>\mathcal{V}</tex> запускает функцию сведения во время предподсчета,
доказателтьство <tex>\pi</tex> для данной <tex>R(G)=\psi</tex> <tex>3CNF</tex> формулы представляет собой значения пременных <tex>\psi</tex>. <tex>\mathcal{V}</tex> случайно выбирает дизъюнкт <tex>C</tex> из
<tex>\psi</tex> и проверяет, что он удовлетворяется <tex>\pi</tex>.

Понятно, что если <tex>G \in 3Color</tex>, то по определению <tex>R(G)</tex> любой дизъюнкт, выбранный
<tex>\mathcal{V}</tex> будет удовлетворен, поскольку <tex>OPT=m</tex>. Если же <tex>G \notin 3Color</tex>,
мы знаем, что <tex>OPT < sm</tex>, опять же по определению <tex>R(G)</tex>. Тaким образом вероятность того,
что <tex>\mathcal{V}</tex> выберет удовлетворенный дизъюнкт меньше <tex>s</tex>. Так как <tex>s</tex> —
константа, повторяя процесс мы можем сделать вероятность меньше <tex>\frac 1 2</tex>.

Таким образом мы показали эвивалентность <tex>\mathrm{PCP}</tex> теоремы вопросу <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудности задачи <tex>GAP-3SAT_s</tex>.
}}

==Определения и леммы, используемые в доказательстве==
{{Определение
|definition= <tex>\mathcal{C}=\lbrace c_1,..., c_n\rbrace</tex> назовем множеством условий над
множеством переменных <tex>V</tex>.
}}
{{Определение
|definition=Число неудовлетворенности <tex>UNSAT(\mathcal{C})</tex> — минимальное подмножество неудовлетворенных условий для любых возможных назначений <tex>V</tex>. <tex>\mathcal{C}</tex> удовлетворимо тогда и только тогда, когда <tex>UNSAT(\mathcal{C})=0</tex>. Если же <tex>\mathcal{C}</tex> неудовлетворимо, тогда <tex>UNSAT(\mathcal{C}) \ge \frac 1 n</tex>.
}}

===Графы условий===
Нам понадобятся графы ограничений для двух переменных, которые определяются следующим образом:
{{Определение
|definition=
<tex>G=\left\langle(V,E,\Sigma,\mathcal{C}\right\rangle</tex> называется графом условий, если:
* <tex>(V,E)</tex> — неориентированный граф, называемый графом, леащим в основе <tex>G</tex>.
* Множество <tex>V</tex> также представляется в виде множества переменных принимающих значениями из алфавита <tex>\Sigma</tex>
* Каждое ребро <tex>e \in E</tex> содержит условие <tex>c(e) \subseteq \Sigma^2</tex> и <tex>\mathcal{C}=\lbrace c(e)\rbrace_{e \in E}</tex>. Условие <tex>c(e)</tex> называется удовлетворенным парой <tex>(a, b)</tex>, если <tex>(a, b) \in c(e)</tex>
}}

Присваивание это отображение <tex>\sigma:V \rightarrow \Sigma</tex>, которое назначает каждой вершине из <tex>V</tex>
значение из <tex>\Sigma</tex>. Для любого присвоения <tex>\sigma</tex> определим <tex>UNSAT_\sigma(G) = \operatorname*{Pr}\limits_{(u,v)\in E} [(\sigma(u),\sigma(v)) \notin c(e)]</tex> и <tex>UNSAT(G) = \operatorname*{min}\limits_\sigma UNSAT_\sigma(G)</tex>.

Назовем <tex>UNSAT(G)</tex> числом неудовлетворенности графа <tex>G</tex>. Размером графа будем считать размер его описания <tex>size(G)=O(|V|+|E| \cdot |\Sigma|^2)</tex>

{{Лемма
|statement=Для заданного графа условий <tex>G=\left\langle(V,E,\Sigma,\mathcal{C}\right\rangle</tex>, где <tex>|\Sigma|=3</tex> проверка утверждения <tex>UNSAT(G)=0</tex> — <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудная задача.
|proof=
Сведем <tex>3Color</tex> к нашей задаче. Дан граф <tex>G</tex>, алфавит <tex>\Sigma=\lbrace 1,2,3 \rbrace</tex> для трех цветов. Оснастим ребра условиями неравенства. Очевидно, что <tex>G \in 3Color</tex> тогда и только тогда, когда <tex>UNSAT(G)=0<tex> (Иногда удобно использовать одно и то же обозначение <tex>G</tex> для графа условий и графа, лежащего в его основе).
}}

===Экспандер графы===
Экспандер графы играют важную роль во многих теоретических результатах.

{{Определение
|definition= <tex>G=(V,E)</tex> <tex>d</tex>-регулярный граф. Положим <tex>E(S,\overline{S})=|(S \times \overline{S}) \cap E|</tex> равным количеству ребер их подмножества <tex>S\in V</tex> в его дополнение. Определим реберное расширение как
<tex>h(G)=\operatorname*{min}\limits_{S:|S|<\frac {|V|} 2} \frac {E(S, \overline S)} {|S|}</tex>
}}

{{Лемма
|about=О экспандерах
|statement=Существует <tex>d_0 \in \mathbb{N}</tex> и <tex>h_0 >0</tex> такие, что есть построимое за полиномиальное время семейство <tex>\lbrace X_n\rbrace_{n \in \mathbb{N}}</tex> <tex>d_0</tex>-регулярных графов <tex>X_n</tex> с <tex>n</tex> вершинами таких, что <tex>h(X_n) \ge h_0</tex>.
|proof=см. The PCP Theorem by Gap Amplification, Irit Dinur, 2005
}}

{{Лемма
|statement= Пусть <tex>G</tex> <tex>d</tex>-регулярный граф, а <tex>h(G)</tex> его реберное расширение. Тогда <tex>\lambda(G) \le d - \frac {h(G)^2} d</tex>
}}

{{Определение
|definition=Собственным числом графа <tex>\lambda</tex> называют собственное число его матрицы смежности.
}}

{{Лемма
|statement=Пусть <tex>G</tex> <tex>d</tex>-регулярный граф со вторым по величине собственным числом <tex>\lambda</tex>. Пусть <tex>F \subseteq E</tex> множество ребер. Вероятность <tex>p</tex> того, что случайный путь, начинающийся со случайного ребра из <tex>F</tex> на <tex>i+1</tex> шаге попадет <tex>F</tex> ограничена <tex>\frac {|F|} {|E|} + \left({\frac {|\lambda|} d}\right)^i</tex>.
|proof=см. The PCP Theorem by Gap Amplification, Irit Dinur, 2005
}}

==Операции на графах условий==
Для доказательства <tex>\mathrm{PCP}</tex> теоремы потребуются три операции над графами уловий:
* Препроцессинг. Простая операция, сохраняющая чило неудовлетворенности(примерно) и размер алфавита, но делающая граф лучше.
* Усиление. Эта операция увеоичивает чило неудовлетворенности за счет увеличения размера алфавита.
* Композицияю Эта операция уменьшает размер алфавита, сохраняя число неудовлетворенности(приблизительно).

===Препроцессинг===
Под хорошим графом будем понимать регулярный, фиксированной степени экспандер граф.
{{Лемма
|about=Препроцессинг
|statement= существуют константы <tex>0 < \lambda < d</tex> и <tex>\beta_1 >0</tex> такие, что любой граф условий <tex>G</tex> может быть преобразован в граф условий <tex>G'=prep(G)</tex> такой, что:
* <tex>G'</tex> <tex>d</tex>-регулярный
* <tex>G'</tex> имеет тот же алфавит, что и <tex>G</tex> и <tex>size(G') = O(size(G))</tex>.
* <tex>\beta_1 \cdot UNSAT(G) \le UNSAT(G') \le UNSAT(G)</tex>
}}

Заметим, что третий пункт теммы гарантирует поддержание полноты, т.е. если <tex>UNSAT(G)=0</tex>, то и <tex>UNSAT(G')=0</tex>. Доказательство этой леммы состоит из двух следующих лемм (<tex>\beta_1=c \cdot \frac d {d + d_0 + 1}</tex>).

{{Лемма
|about=Константная степень
|statement=Любой граф условий <tex>G = \langle (V,E),\Sigma,\mathcal{C}\rangle</tex> может быть преобразован в <tex>(d_0 + 1)</tex>-регулярный граф условий <tex>G'=\langle (V',E'),\Sigma,\mathcal{C}'\rangle</tex> такой, что <tex>|V'|</tex>=2|E|</tex> и <tex>c \cdot UNSAT(G) \le UNSAT(G') \le UNSAT(G)</tex>. Для некоторых заданных констант <tex>d_0,c>0</tex>
|proof=см. The PCP Theorem by Gap Amplification, Irit Dinur, 2005
}}

Эта лемма известна как экспандер-замена(expander-replacement transformation).

{{Лемма
|about=О расширении
|statement=
Пусть <tex>d_0, h_0 >0</tex> некоторые константы. Любой <tex>d</tex>-регулярный граф условий <tex>G</tex> может быть преобразован в <tex>G'</tex> такой, что:
* <tex>G'</tex> <tex>(d + d_0 + 1)</tex>-регулярный, имеет собственные циклы и <tex>\lambda(G') \le d + d_0 + 1 - \frac {h_0^2} {d + d_0 + 1} < deg(G')</tex>
* <tex>size(G')=O(size(G))</tex>
* <tex> \frac d {d + d_0 + 1} \cdot UNSAT(G) \le UNSAT(G') \le UNSAT(G)</tex>
|proof=см. The PCP Theorem by Gap Amplification, Irit Dinur, 2005
}}

===Усиление===
Это новая операция на системах условий, которая увеличивает число неудовлетворенности.
Пусть <tex>G=\langle (V,E),\Sigma,\mathcal{C}\rangle<tex> граф условий, <tex>t \in \mathbb{N}</tex>. Определим <tex>G^t=\langle (V,\mathbf{E}),\Sigma^{d^{\lceil t/2\rceil}}, \mathcal{C}^t \rangle</tex> как следующий граф условий:
* Веришины <tex>G^t</tex> совпадают с вершинами <tex>G</tex>
* Ребра: <tex>u</tex> и <tex>v</tex> соединены <tex>k</tex> ребрами в <tex>\mathbf{E}</tex>, если количество путей длины <tex>t</tex> из <tex>u</tex> в <tex>v</tex> в графе <tex>G</tex> равно <tex>k</tex>
* Алфавит: алфавит графа <tex>G^t</tex> <tex>\Sigma^{d^{\lceil t/2\rceil}}</tex>, где каждой вершине сопоставлены значения ее соседей, достижимых за <tex>\frac t 2</tex> шагов.
* Условия: Условия сопоставленные ребру <tex>e=(u,v) \in \mathbf{E}</tex> удовлетворены, если назначения для <tex>u</tex> и <tex>v</tex> согласованы с назначениями, удовлетворяющими условия, порожденные <tex>\frac t 2</tex> соседями <tex>u</tex> и <tex>v</tex>.

Если <tex>UNSAT(G)=0</tex> тогда очевидно <tex>UNSAT(G^t)=0</tex>. Интереснее доказательство того, что <tex>UNSAT(G^t) \ge O(\sqrt{t} \cdot UNSAT(G)</tex>.

{{Лемма
|about=Усиление
|statement= Пусть <tex>\lambda < d</tex> и <tex>|\Sigma|</tex> произвольные константы. Тогда существует константа <tex>\beta_2=\beta_2(\lambda,d,|\Sigma|)>0</rex> такая, что для любого <tex>t \in \mathbb N</tex> и для любого <tex>d</tex>-регулярного графа условий <tex>G=\langle(V,E),\Sigma,\mathcal{C}\rangle</tex> с собственными циклами и <tex>\lambda(G)\le \lambda</tex>, <tex>UNSAT(G^t) \ge \beta_2 \sqrt{t} \cdot min \left({UNSAT(G), \frac 1 t}\right)</tex>.
|proof=см. The PCP Theorem by Gap Amplification, Irit Dinur, 2005
}}

Поскольку <tex>UNSAT(G) \le \frac 1 t</tex>, из жтой леммы следует что <tex>UNSAT(G^t) \ge O(\sqrt{t}) \cdot UNSAT(G)</tex>. Это основная техническая лемма.
===Композиция===
{{Определение
|about=Тестер присвоений
|definition=Тестер присвоений с алфавитом <tex>\Sigma_0</tex> и вероятностью отклонения <tex>\epsilon > 0</tex> это полиномиальное преобразование <tex>\mathcal{P}</tex>, принимающее на вход схему <tex>\Phi</tex> над будевыми переменными <tex>X</tex> и дающую на выходе граф условий <tex>G=\langle(V,E),\Sigma_0,\mathcal{C}\rangle</tex> такой, что <tex>V \subset X</tex>(в условном графе <tex>V</tex> играет одновременно две роли: переменных и вершин. <tex>Y \subset X</tex> подразумевает, что некоторые вершины из <tex>V</tex> определены с помощью переменных <tex>X</tex>). Пусть <tex>V'=V \setminus X</tex> и <tex>a : X \rightarrow \lbrace 0,1 \rbrace</tex> — присваивание.
* (Полнота) Если <tex>a \in SAT(\Phi)</tex> то существует <tex>b : V' \rightarrow \Sigma_0</tex> такое, что <tex>UNSAT_{a\cup{b}}(G)=0</tex>
* (Обоснованность) Если <tex>a \notin SAT(\Phi)</tex> то для всех <tex>b : V' \rightarrow \Sigma_0</tex>, <tex>UNSAT_{a\cup{b}}(G) \ge \epsilon \cdot dist(a, SAT(\Phi))</tex>.
}}

Следует заметить, что не накладывается никаких ограничений ни на время работы <tex>\mathcal{P}</tex> ни на <tex>size(G)</tex>. Мы игнорируем размер схемы <Tex>\Phi</tex>, которая может быть экспоненциальна относительно <tex>|X|</tex>.

{{Лемма
|about=Композиция
|statement=Пусть существует тестер присвоений <tex>\mathcal{P}</tex> с константной вероятностью отклонения <tex>\epsilon > 0</tex> и алфавитом <tex>\Sigma_0</tex>, <tex>|\Sigma_0|=O(1)</tex>. Тогда существует <tex>\beta_3 > 0</tex>, зависящая только от <tex>\mathcal{P}</tex>, такая что любой граф условий <tex>G=\langle(V,E),\Sigma,\mathcal{C}\rangle</tex> может быть преобразован в <tex>G'=\langle(V',E'),\Sigma_0,\mathcal{C}'\rangle</tex>, обозначаемый <tex>G \circ \mathcal{C}</tex>, такой что <tex>size(G')=M(|\Sigma|) \cdot size(G)</tex> и <tex>\beta_3 \cdot UNSAT(G) \le UNSAT(G') \le UNSAT(G)</tex>
|proof=см. The PCP Theorem by Gap Amplification, Irit Dinur, 2005
}}

==Основная теорема==
Основываясь на операциях с графами условий мы можем доказать основную теорему.
{{Теорема
|about=Основная теорема
|statement=Для любого <tex>\Sigma</tex>, <tex>|\Sigma|=O(1)</tex> существуют константы <tex>C > 0</tex> и <tex>0 < \alpha < 1</tex> такие, что для данного графа условий <tex>G=\langle(V,E),\Sigma,\mathcal{C}\rangle</tex> за полиномиальное время можно построить граф условий <tex>G'=\langle(V',E'),\Sigma_0,\mathcal{C}'\rangle</tex> такой, что:
* <tex>size(G') \le C \cdot size(G)</tex> и <tex>|\Sigma_0| = O(1)</tex>
* (Полнота) Если <tex>UNSAT(G)=0</tex>, то <tex>UNSAT(G')=0</tex>
* (Обоснованность) <tex>UNSAT(G') \ge min(2 \cdot UNSAT(G), \alpha)</tex>
|proof=
Построим <tex>G'</tex> по <tex>G</tex> следующим образом: <tex>G'=(prep(G))^t \circ \mathcal{P}</tex>.
# (Препроцессинг) Пусть <tex>H_1=prep(G)</tex>. Существуют некоторые глобальные константы <tex>\lambda < d </tex> и <tex>\beta_1 >0</tex> такие, что <tex>H_1</tex> <tex>d</tex>-регулярный, имеет тот же алфавит, что и <tex>G</tex>, <tex>\lambda(H_1) \le \lambda < d</tex> и <tex>\beta_1 \cdot UNSAT*G( \le UNSAT(H_1) \le UNSAT(G)</tex>.
# (Усиление) Пусть <tex>H_2=(H_1)^t</tex> для достаточно большой константы <tex> t > 1</tex>, которую определим ниже. Существует некоторая константа <tex>\beta_2=\beta(\lambda, d, |\Sigma|) > 0</tex>, для которой <tex>UNSAT(H_2) \ge \beta_2 \sqrt{t} \cdot min(UNSAT(H_1), \frac 1 t)</tex>. Однако, алфавит вырос до <tex>\Sigma^{d^{\lceil t / 2 \rceil}}</tex>.
# (Композиция) Пусть <tex>G'=H_2 \circ \mathcal{P}</tex>. Это уменьшит алфавит до <tex>\Sigma_0</tex>, при <tex>\beta_3 \cdot UNSAT(H_2) \le UNSAT(G') \le UNSAT(H_2)</tex> для некоторой <tex>\beta_3 > 0 </tex>.

Проверим выполнение условий теоремы. Размер <tex>G'</tex> линеен относительно размера<tex>G</tex>, поскольку на каждом шагу увеличивался линейно. Полнота явно поддерживается на каждом шаге. Теперь выберем <tex>t=\left\lceil\left({\frac 2 {\beta_1\beta_2\beta_3}}\right)^2\right\rceil</tex>. Пусть <tex>\alpha=\frac {\beta_3\beta_2} {sqrt{t}}</tex>.
Таким образом,

<tex>UNSAT(G') \ge \beta_3 \cdot UNSAT(H_2)</tex> <tex>\ge \beta_3 \cdot \beta_2 \sqrt{t} \cdot min(UNSAT(H_1), \frac 1 t)</tex> <tex>\ge \beta_3 \cdot \beta_2 \sqrt{t} \cdot min(\beta_1 UNSAT(G_, \frac 1 t) </tex> <tex>\ge min(2 \cdot UNSAT(G), \alpha)</tex>
}}
===Доказательство PCP теоремы===
{{Лемма
|statement=Следствием из основной теоремы является <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудность <tex>GAP-3SAT_s</tex>.
|proof=Сведем удовлетворимость графа условий к нашей задаче. Пусть <tex>G</tex> задача удовлетворимости некоторого графа с <tex>|\Sigma|=3</tex>. Идей состоит в повторении применения основной теоремы до тех пор, пока число неудовлетворенности не станет постоянным.

Пусть <tex>G_0 = G</tex> и <tex>G_i(i \ge 1)</tex> — результат применения основной теоремы к <tex>G_{i-1}</tex>. Тогда для <tex>i \ge 1</tex> <tex>G</tex> — граф условий с алфавитом <tex>\Sigma_0</tex>. Пусть <tex>E_0</tex> — множество ребер <tex>G_0<tex> и <tex>k=log|E_0|=O(log n)</tex>.

Полнота показывается тривиально: если <tex>UNSAT(G_0)=0</tex>, то для всех <tex>i</tex> <tex>UNSAT(G_i)=0</tex>. Для обоснованности рассмотрим <tex>UNSAT(G_0) > 0</tex>. Если для некоторого <tex>i*<k</tex>, <tex>UNSAT(G_{i*}) \ge \frac \alpha 2</tex>, то из основной теоремы следует, что для всех <tex>i>i*</tex> <tex>UNSAT(G_i)\ge \alpha</tex>. На остальные <tex>i</tex> это распространяется по индукции <tex>UNSAT(G_i) \ge min(2^i UNSAT(G_0), \alpha)</tex>.

Если <tex>UNSAT(G_0)>0</tex>, то <tex>UNSAT(G_0)\ge \frac 1 {|E_0|}</tex>. Конечно, <tex>2^k UNSAT(G_0) > \alpha</tex>. Таким образом <tex>UNSAT(G_k) \ge \alpha</tex>.

Мы доказали, что <tex>GAP</tex> <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудная. В частности, для <tex>GAP-3SAT</tex>, надо преобразовать каждое условие к константное число дизъюнктов <tex>3CNF</tex>.

}}
==Дополнительные материалы==
* [http://www.math.ias.edu/boaz/ExpanderCourse/|N. Linial and A. Wigderson. Expander graphs and their applications. Lecture notes of a course, 2003].
* Michael Sipser and Daniel A. Spielman. Expander codes. IEEE Trans. Inform. Theory, 42(6, part 1):1710–1722, 1996. Codes and complexity.
* C. Papadimitriou and M. Yannakakis. Optimization, approximation and complexity classes. Journal of Computer and System Sciences, 3:425–440, 1991.
* Irit Dinur and Omer Reingold. Assignment testers: Towards combinatorial proofs of the PCP theorem. In Proceedings of the 45th Symposium on Foundations of Computer Science (FOCS), 2004.
==Источники==
* [http://eccc.hpi-web.de/report/2005/046/|The PCP Theorem by Gap Amplification, Irit Dinur, 2005].
* [http://www.cs.utah.edu/~alfeld/LecturePDFs/pcp.pdf|The PCP Theorem, Notes by Scott Alfeld, 2008].

PCP-теорема

2012-06-03T19:52:43Z

Filchenko: убрал кривые сслыки

{{Теорема
|id=pcp_th
|about=<tex>\mathrm{PCP}</tex> теорема
|statement=<tex>\mathrm{PCP}[log(n), O(1)] = \mathrm{NP}</tex>
}}

Классическое доказательство [[Класс PCP|<tex>\mathrm{PCP}</tex>]] теоремы громоздкое и довольно сложное для восприятия,
рассмотрим вариант докаательства, предложенный Динуром.

==Лемма об эквивалентности PCP теоремы и NP-трудности GAP-3SAT==

{{Определение
|definition=
Задача <tex>GAP-3SAT_s</tex>:
* <tex>\psi</tex> — <tex>3CNF</tex> с <tex>m</tex> дизъюнктами
* <tex>OPT</tex> — максимальное количество дизъюнктов, которые могуг быть удовлетворены одновременно
* <tex>OPT = m \Rightarrow YES</tex>
* <tex>OPT < sm \Rightarrow NO</tex>
* <tex>sm < OPT < m </tex> — нет ограничений на вывод
}}

{{Лемма
|statement=<tex>\mathrm{PCP}</tex> теорема эквивалентна вопросу принадлежности
<tex>GAP-3SAT_s</tex> классу <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудных задач для некоторого <tex>s</tex>.
|proof=
Сначала докажем, что из <tex>\mathrm{PCP}</tex> теоремы следует <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудность <tex>GAP-3SAT_s</tex>.

Заметим, что для <tex>\mathrm{NP}</tex>-полной задачи <tex>3-Color</tex> существует сведение <tex>\mathcal{R}</tex> к <tex>GAP-3SAT_s</tex>.

Из принадлежности <tex>3Color</tex> <tex>\mathrm{NP}</tex> и <tex>\mathrm{PCP}</tex> теоремы следует, что существует
доказательство <tex>\pi</tex> прувера <tex>\mathcal{P}</tex>. Обозначим <tex>\pi_i</tex> <tex>i</tex>-й бит доказательства (не его значение), будем рассматривать <tex>\pi_i</tex> как переменные в <tex>3SAT</tex> формуле.

По данному графу <tex>G</tex>, <tex>\mathcal{R}</tex> нумерует все <tex>N = 2^Q = 2^{O(log(n)} = poly(n)</tex> возможные
случайные строки, которые может выбрать верифаер <tex>V</tex>. Обозначим их <tex>Q_1 ... Q_{poly(n)}</tex>.

Каждая строка <tex>Q_i</tex> дает нам <tex>C</tex> позиций в доказательстве и предикат <tex>\phi</tex>. <tex>\mathcal{R}</tex>
строит <tex>3CNF</tex> формулу для каждого <tex>\phi</tex>. Поскольку <tex>\phi</tex> функция от </tex>C</tex> пременных,
построенная <tex>3CNF</tex> содержит не более <tex>K=C2^C</tex> дизъюнктов. Для упрощения будем считать, что формула содержит
<tex>K</tex> дизъюнктов. <tex>\mathcal{R}</tex> возвращает конъюнкцию всех полученных формул, содержащую <tex>m=NK</tex> дизъюнктов.

Можно заметить, что из <tex>G \in 3Color</tex> по <tex>\mathrm{PCP}</tex> теореме следует, что существует <tex>\pi</tex>,
удовлетворяющее всем проверкам <tex>V</tex>. Таким образом все <tex>m</tex> дизъюнктов могут быть удовлетворены и <tex>OPT=m</tex>, что и требуется для корректности сведения <tex>\mathcal{R}</tex>.

Однако, если <tex>G \notin 3Color</tex>, хотя бы <tex>\frac N 2</tex> проверок <tex>V</tex> должны привести к отрицательному результату. Если <tex>Q_i</tex> приводит к отрицательному ответу, <tex>3CNF</tex> формула, построенная по соответствующему
предикату <tex>\phi</tex> должна быть неудовлетворимой, значит не больше <tex>K-1</tex> дизъюнктов могут быть удовлетворены.
Суммарное количество дизъюнктов, которое может быть удовлетворено:

<tex>\frac N 2 (K-1) + \frac N 2 K = \frac N 2 K(1- \frac 1 K) + \frac N 2 K = NK(1 - \frac 1 {2K}) = m(1 - \frac 1 {2k}) = sm</tex>

Мы показали, что из <tex>\mathrm{PCP}</tex> теоремы следует <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудность задачи <tex>GAP-3SAT_s</tex>. Теперь
покажем, что из <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудности задачи <tex>GAP-3SAT_s</tex> следует <tex>\mathrm{PCP}</tex> теорема.

В предположении <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудности задачи <tex>GAP-3SAT_s</tex> любая <tex>\mathrm{NP}</tex>-полная задача, например <tex>3Color</tex> может быть сведена к <tex>GAP-3SAT_s</tex>. Таким образом мы можем свести <tex>3Color</tex> к <tex>3CNF</tex> формуле такой <tex>R(G)</tex>, что:
* <tex> G \in 3Color \Rightarrow R(G)</tex> имеет <tex>OPT=m</tex>
* <tex> G \notin 3Color \Rightarrow R(G)</tex> имеет <tex>OPT<sm</tex>

Имея такое сведение мы построим <tex>\mathcal{V}</tex> и доказательство прувера <tex>\mathcal{P}</tex> для
<tex>\mathrm {PCP}</tex> системы. <tex>\mathcal{V}</tex> запускает функцию сведения во время предподсчета,
доказателтьство <tex>\pi</tex> для данной <tex>R(G)=\psi</tex> <tex>3CNF</tex> формулы представляет собой значения пременных <tex>\psi</tex>. <tex>\mathcal{V}</tex> случайно выбирает дизъюнкт <tex>C</tex> из
<tex>\psi</tex> и проверяет, что он удовлетворяется <tex>\pi</tex>.

Понятно, что если <tex>G \in 3Color</tex>, то по определению <tex>R(G)</tex> любой дизъюнкт, выбранный
<tex>\mathcal{V}</tex> будет удовлетворен, поскольку <tex>OPT=m</tex>. Если же <tex>G \notin 3Color</tex>,
мы знаем, что <tex>OPT < sm</tex>, опять же по определению <tex>R(G)</tex>. Тaким образом вероятность того,
что <tex>\mathcal{V}</tex> выберет удовлетворенный дизъюнкт меньше <tex>s</tex>. Так как <tex>s</tex> —
константа, повторяя процесс мы можем сделать вероятность меньше <tex>\frac 1 2</tex>.

Таким образом мы показали эвивалентность <tex>\mathrm{PCP}</tex> теоремы вопросу <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудности задачи <tex>GAP-3SAT_s</tex>.
}}

==Определения и леммы, используемые в доказательстве==
{{Определение
|definition= <tex>\mathcal{C}=\lbrace c_1,..., c_n\rbrace</tex> назовем множеством условий над
множеством переменных <tex>V</tex>.
}}
{{Определение
|definition=Число неудовлетворенности <tex>UNSAT(\mathcal{C})</tex> — минимальное подмножество неудовлетворенных условий для любых возможных назначений <tex>V</tex>. <tex>\mathcal{C}</tex> удовлетворимо тогда и только тогда, когда <tex>UNSAT(\mathcal{C})=0</tex>. Если же <tex>\mathcal{C}</tex> неудовлетворимо, тогда <tex>UNSAT(\mathcal{C}) \ge \frac 1 n</tex>.
}}

===Графы условий===
Нам понадобятся графы ограничений для двух переменных, которые определяются следующим образом:
{{Определение
|definition=
<tex>G=\left\langle(V,E,\Sigma,\mathcal{C}\right\rangle</tex> называется графом условий, если:
* <tex>(V,E)</tex> — неориентированный граф, называемый графом, леащим в основе <tex>G</tex>.
* Множество <tex>V</tex> также представляется в виде множества переменных принимающих значениями из алфавита <tex>\Sigma</tex>
* Каждое ребро <tex>e \in E</tex> содержит условие <tex>c(e) \subseteq \Sigma^2</tex> и <tex>\mathcal{C}=\lbrace c(e)\rbrace_{e \in E}</tex>. Условие <tex>c(e)</tex> называется удовлетворенным парой <tex>(a, b)</tex>, если <tex>(a, b) \in c(e)</tex>
}}

Присваивание это отображение <tex>\sigma:V \rightarrow \Sigma</tex>, которое назначает каждой вершине из <tex>V</tex>
значение из <tex>\Sigma</tex>. Для любого присвоения <tex>\sigma</tex> определим <tex>UNSAT_\sigma(G) = \operatorname*{Pr}\limits_{(u,v)\in E} [(\sigma(u),\sigma(v)) \notin c(e)]</tex> и <tex>UNSAT(G) = \operatorname*{min}\limits_\sigma UNSAT_\sigma(G)</tex>.

Назовем <tex>UNSAT(G)</tex> числом неудовлетворенности графа <tex>G</tex>. Размером графа будем считать размер его описания <tex>size(G)=O(|V|+|E| \cdot |\Sigma|^2)</tex>

{{Лемма
|statement=Для заданного графа условий <tex>G=\left\langle(V,E,\Sigma,\mathcal{C}\right\rangle</tex>, где <tex>|\Sigma|=3</tex> проверка утверждения <tex>UNSAT(G)=0</tex> — <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудная задача.
|proof=
Сведем <tex>3Color</tex> к нашей задаче. Дан граф <tex>G</tex>, алфавит <tex>\Sigma=\lbrace 1,2,3 \rbrace</tex> для трех цветов. Оснастим ребра условиями неравенства. Очевидно, что <tex>G \in 3Color</tex> тогда и только тогда, когда <tex>UNSAT(G)=0<tex> (Иногда удобно использовать одно и то же обозначение <tex>G</tex> для графа условий и графа, лежащего в его основе).
}}

===Экспандер графы===
Экспандер графы играют важную роль во многих теоретических результатах.

{{Определение
|definition= <tex>G=(V,E)</tex> <tex>d</tex>-регулярный граф. Положим <tex>E(S,\overline{S})=|(S \times \overline{S}) \cap E|</tex> равным количеству ребер их подмножества <tex>S\in V</tex> в его дополнение. Определим реберное расширение как
<tex>h(G)=\operatorname*{min}\limits_{S:|S|<\frac {|V|} 2} \frac {E(S, \overline S)} {|S|}</tex>
}}

{{Лемма
|about=О экспандерах
|statement=Существует <tex>d_0 \in \mathbb{N}</tex> и <tex>h_0 >0</tex> такие, что есть построимое за полиномиальное время семейство <tex>\lbrace X_n\rbrace_{n \in \mathbb{N}}</tex> <tex>d_0</tex>-регулярных графов <tex>X_n</tex> с <tex>n</tex> вершинами таких, что <tex>h(X_n) \ge h_0</tex>.
|proof=см. The PCP Theorem by Gap Amplification, Irit Dinur, 2005
}}

{{Лемма
|statement= Пусть <tex>G</tex> <tex>d</tex>-регулярный граф, а <tex>h(G)</tex> его реберное расширение. Тогда <tex>\lambda(G) \le d - \frac {h(G)^2} d</tex>
}}

{{Определение
|definition=Собственным числом графа <tex>\lambda</tex> называют собственное число его матрицы смежности.
}}

{{Лемма
|statement=Пусть <tex>G</tex> <tex>d</tex>-регулярный граф со вторым по величине собственным числом <tex>\lambda</tex>. Пусть <tex>F \subseteq E</tex> множество ребер. Вероятность <tex>p</tex> того, что случайный путь, начинающийся со случайного ребра из <tex>F</tex> на <tex>i+1</tex> шаге попадет <tex>F</tex> ограничена <tex>\frac {|F|} {|E|} + \left({\frac {|\lambda|} d}\right)^i</tex>.
|proof=см. The PCP Theorem by Gap Amplification, Irit Dinur, 2005
}}

===Вероятности===
Следующее неравенство в стиле неравенства Чебышева удобно использовать, чтобы показать что для неотрицательной случайной величины <tex>X</tex>, <tex>Pr[X > 0] \approx \mathbb{E}[X]</tex> когда <tex>\mathbb{E}[X] \approx \mathbb{E}[X^2]</tex>.

{{Утверждение
|statement= Для любой неотрицательной случайной величины <tex>X</tex>, <tex>Pr[X>0] \ge \mathbb{E}[X^2] / \mathbb{E}[X]</tex>
|proof=см. The PCP Theorem by Gap Amplification, Irit Dinur, 2005
}}

===Коды с коррекцией ошибок===
{{Определение
|definition=Кодом с коррекцией ошибок называется набор строк <tex>C \subset \Sigma^n</tex>, где <tex>\Sigma</tex> некоторый конечный алфавит. <tex>n</tex> называется размером блока, а <tex>log_{|\Sigma|}|C|</tex> уровнем кода. Расстоянием кода называется <tex>min_{x \neq y \in C} dist(x,y)</tex>, где <tex>dist(\cdot,\cdot)</tex> — расстояние Хэмминга.
}}

Взаимнооднознаячное отображение <tex>e:D \rightarrow \Sigma^n</tex> также иногда называют кодом с коррекцией ошибок. Его уровень и расстояние определяются как уровени и расстояние его образа <tex>e(D)</tex>.

Известно, что существуют семейства кодов <tex>\lbrace C_n \subset \lbrace 0,1 \rbrace^n \rbrace_{n \in \mathbb{N}}</tex>, для которых уровень и расстояние равны <tex>O(n)</tex> и существует схема полиномиального размера, проверяющая <tex>x \in C_n</tex>.

==Операции на графах условий==
Для доказательства <tex>\mathrm{PCP}</tex> теоремы потребуются три операции над графами уловий:
* Препроцессинг. Простая операция, сохраняющая чило неудовлетворенности(примерно) и размер алфавита, но делающая граф лучше.
* Усиление. Эта операция увеоичивает чило неудовлетворенности за счет увеличения размера алфавита.
* Композицияю Эта операция уменьшает размер алфавита, сохраняя число неудовлетворенности(приблизительно).

===Препроцессинг===
Под хорошим графом будем понимать регулярный, фиксированной степени экспандер граф.
{{Лемма
|about=Препроцессинг
|statement= существуют константы <tex>0 < \lambda < d</tex> и <tex>\beta_1 >0</tex> такие, что любой граф условий <tex>G</tex> может быть преобразован в граф условий <tex>G'=prep(G)</tex> такой, что:
* <tex>G'</tex> <tex>d</tex>-регулярный
* <tex>G'</tex> имеет тот же алфавит, что и <tex>G</tex> и <tex>size(G') = O(size(G))</tex>.
* <tex>\beta_1 \cdot UNSAT(G) \le UNSAT(G') \le UNSAT(G)</tex>
}}

Заметим, что третий пункт теммы гарантирует поддержание полноты, т.е. если <tex>UNSAT(G)=0</tex>, то и <tex>UNSAT(G')=0</tex>. Доказательство этой леммы состоит из двух следующих лемм (<tex>\beta_1=c \cdot \frac d {d + d_0 + 1}</tex>).

{{Лемма
|about=Константная степень
|statement=Любой граф условий <tex>G = \langle (V,E),\Sigma,\mathcal{C}\rangle</tex> может быть преобразован в <tex>(d_0 + 1)</tex>-регулярный граф условий <tex>G'=\langle (V',E'),\Sigma,\mathcal{C}'\rangle</tex> такой, что <tex>|V'|</tex>=2|E|</tex> и <tex>c \cdot UNSAT(G) \le UNSAT(G') \le UNSAT(G)</tex>. Для некоторых заданных констант <tex>d_0,c>0</tex>
|proof=см. The PCP Theorem by Gap Amplification, Irit Dinur, 2005
}}

Эта лемма известна как экспандер-замена(expander-replacement transformation).

{{Лемма
|about=О расширении
|statement=
Пусть <tex>d_0, h_0 >0</tex> некоторые константы. Любой <tex>d</tex>-регулярный граф условий <tex>G</tex> может быть преобразован в <tex>G'</tex> такой, что:
* <tex>G'</tex> <tex>(d + d_0 + 1)</tex>-регулярный, имеет собственные циклы и <tex>\lambda(G') \le d + d_0 + 1 - \frac {h_0^2} {d + d_0 + 1} < deg(G')</tex>
* <tex>size(G')=O(size(G))</tex>
* <tex> \frac d {d + d_0 + 1} \cdot UNSAT(G) \le UNSAT(G') \le UNSAT(G)</tex>
|proof=см. The PCP Theorem by Gap Amplification, Irit Dinur, 2005
}}

===Усиление===
Это новая операция на системах условий, которая увеличивает число неудовлетворенности.
Пусть <tex>G=\langle (V,E),\Sigma,\mathcal{C}\rangle<tex> граф условий, <tex>t \in \mathbb{N}</tex>. Определим <tex>G^t=\langle (V,\mathbf{E}),\Sigma^{d^{\lceil t/2\rceil}}, \mathcal{C}^t \rangle</tex> как следующий граф условий:
* Веришины <tex>G^t</tex> совпадают с вершинами <tex>G</tex>
* Ребра: <tex>u</tex> и <tex>v</tex> соединены <tex>k</tex> ребрами в <tex>\mathbf{E}</tex>, если количество путей длины <tex>t</tex> из <tex>u</tex> в <tex>v</tex> в графе <tex>G</tex> равно <tex>k</tex>
* Алфавит: алфавит графа <tex>G^t</tex> <tex>\Sigma^{d^{\lceil t/2\rceil}}</tex>, где каждой вершине сопоставлены значения ее соседей, достижимых за <tex>\frac t 2</tex> шагов.
* Условия: Условия сопоставленные ребру <tex>e=(u,v) \in \mathbf{E}</tex> удовлетворены, если назначения для <tex>u</tex> и <tex>v</tex> согласованы с назначениями, удовлетворяющими условия, порожденные <tex>\frac t 2</tex> соседями <tex>u</tex> и <tex>v</tex>.

Если <tex>UNSAT(G)=0</tex> тогда очевидно <tex>UNSAT(G^t)=0</tex>. Интереснее доказательство того, что <tex>UNSAT(G^t) \ge O(\sqrt{t} \cdot UNSAT(G)</tex>.

{{Лемма
|about=Усиление
|statement= Пусть <tex>\lambda < d</tex> и <tex>|\Sigma|</tex> произвольные константы. Тогда существует константа <tex>\beta_2=\beta_2(\lambda,d,|\Sigma|)>0</rex> такая, что для любого <tex>t \in \mathbb N</tex> и для любого <tex>d</tex>-регулярного графа условий <tex>G=\langle(V,E),\Sigma,\mathcal{C}\rangle</tex> с собственными циклами и <tex>\lambda(G)\le \lambda</tex>, <tex>UNSAT(G^t) \ge \beta_2 \sqrt{t} \cdot min \left({UNSAT(G), \frac 1 t}\right)</tex>.
|proof=см. The PCP Theorem by Gap Amplification, Irit Dinur, 2005
}}

Поскольку <tex>UNSAT(G) \le \frac 1 t</tex>, из жтой леммы следует что <tex>UNSAT(G^t) \ge O(\sqrt{t}) \cdot UNSAT(G)</tex>. Это основная техническая лемма.
===Композиция===
{{Определение
|about=Тестер присвоений
|definition=Тестер присвоений с алфавитом <tex>\Sigma_0</tex> и вероятностью отклонения <tex>\epsilon > 0</tex> это полиномиальное преобразование <tex>\mathcal{P}</tex>, принимающее на вход схему <tex>\Phi</tex> над будевыми переменными <tex>X</tex> и дающую на выходе граф условий <tex>G=\langle(V,E),\Sigma_0,\mathcal{C}\rangle</tex> такой, что <tex>V \subset X</tex>(в условном графе <tex>V</tex> играет одновременно две роли: переменных и вершин. <tex>Y \subset X</tex> подразумевает, что некоторые вершины из <tex>V</tex> определены с помощью переменных <tex>X</tex>). Пусть <tex>V'=V \setminus X</tex> и <tex>a : X \rightarrow \lbrace 0,1 \rbrace</tex> — присваивание.
* (Полнота) Если <tex>a \in SAT(\Phi)</tex> то существует <tex>b : V' \rightarrow \Sigma_0</tex> такое, что <tex>UNSAT_{a\cup{b}}(G)=0</tex>
* (Обоснованность) Если <tex>a \notin SAT(\Phi)</tex> то для всех <tex>b : V' \rightarrow \Sigma_0</tex>, <tex>UNSAT_{a\cup{b}}(G) \ge \epsilon \cdot dist(a, SAT(\Phi))</tex>.
}}

Следует заметить, что не накладывается никаких ограничений ни на время работы <tex>\mathcal{P}</tex> ни на <tex>size(G)</tex>. Мы игнорируем размер схемы <Tex>\Phi</tex>, которая может быть экспоненциальна относительно <tex>|X|</tex>.

{{Лемма
|about=Композиция
|statement=Пусть существует тестер присвоений <tex>\mathcal{P}</tex> с константной вероятностью отклонения <tex>\epsilon > 0</tex> и алфавитом <tex>\Sigma_0</tex>, <tex>|\Sigma_0|=O(1)</tex>. Тогда существует <tex>\beta_3 > 0</tex>, зависящая только от <tex>\mathcal{P}</tex>, такая что любой граф условий <tex>G=\langle(V,E),\Sigma,\mathcal{C}\rangle</tex> может быть преобразован в <tex>G'=\langle(V',E'),\Sigma_0,\mathcal{C}'\rangle</tex>, обозначаемый <tex>G \circ \mathcal{C}</tex>, такой что <tex>size(G')=M(|\Sigma|) \cdot size(G)</tex> и <tex>\beta_3 \cdot UNSAT(G) \le UNSAT(G') \le UNSAT(G)</tex>
|proof=см. The PCP Theorem by Gap Amplification, Irit Dinur, 2005
}}

==Основная теорема==
Основываясь на операциях с графами условий мы можем доказать основную теорему.
{{Теорема
|about=Основная теорема
|statement=Для любого <tex>\Sigma</tex>, <tex>|\Sigma|=O(1)</tex> существуют константы <tex>C > 0</tex> и <tex>0 < \alpha < 1</tex> такие, что для данного графа условий <tex>G=\langle(V,E),\Sigma,\mathcal{C}\rangle</tex> за полиномиальное время можно построить граф условий <tex>G'=\langle(V',E'),\Sigma_0,\mathcal{C}'\rangle</tex> такой, что:
* <tex>size(G') \le C \cdot size(G)</tex> и <tex>|\Sigma_0| = O(1)</tex>
* (Полнота) Если <tex>UNSAT(G)=0</tex>, то <tex>UNSAT(G')=0</tex>
* (Обоснованность) <tex>UNSAT(G') \ge min(2 \cdot UNSAT(G), \alpha)</tex>
|proof=
Построим <tex>G'</tex> по <tex>G</tex> следующим образом: <tex>G'=(prep(G))^t \circ \mathcal{P}</tex>.
# (Препроцессинг) Пусть <tex>H_1=prep(G)</tex>. Существуют некоторые глобальные константы <tex>\lambda < d </tex> и <tex>\beta_1 >0</tex> такие, что <tex>H_1</tex> <tex>d</tex>-регулярный, имеет тот же алфавит, что и <tex>G</tex>, <tex>\lambda(H_1) \le \lambda < d</tex> и <tex>\beta_1 \cdot UNSAT*G( \le UNSAT(H_1) \le UNSAT(G)</tex>.
# (Усиление) Пусть <tex>H_2=(H_1)^t</tex> для достаточно большой константы <tex> t > 1</tex>, которую определим ниже. Существует некоторая константа <tex>\beta_2=\beta(\lambda, d, |\Sigma|) > 0</tex>, для которой <tex>UNSAT(H_2) \ge \beta_2 \sqrt{t} \cdot min(UNSAT(H_1), \frac 1 t)</tex>. Однако, алфавит вырос до <tex>\Sigma^{d^{\lceil t / 2 \rceil}}</tex>.
# (Композиция) Пусть <tex>G'=H_2 \circ \mathcal{P}</tex>. Это уменьшит алфавит до <tex>\Sigma_0</tex>, при <tex>\beta_3 \cdot UNSAT(H_2) \le UNSAT(G') \le UNSAT(H_2)</tex> для некоторой <tex>\beta_3 > 0 </tex>.

Проверим выполнение условий теоремы. Размер <tex>G'</tex> линеен относительно размера<tex>G</tex>, поскольку на каждом шагу увеличивался линейно. Полнота явно поддерживается на каждом шаге. Теперь выберем <tex>t=\left\lceil\left({\frac 2 {\beta_1\beta_2\beta_3}}\right)^2\right\rceil</tex>. Пусть <tex>\alpha=\frac {\beta_3\beta_2} {sqrt{t}}</tex>.
Таким образом,

<tex>UNSAT(G') \ge \beta_3 \cdot UNSAT(H_2)</tex> <tex>\ge \beta_3 \cdot \beta_2 \sqrt{t} \cdot min(UNSAT(H_1), \frac 1 t)</tex> <tex>\ge \beta_3 \cdot \beta_2 \sqrt{t} \cdot min(\beta_1 UNSAT(G_, \frac 1 t) </tex> <tex>\ge min(2 \cdot UNSAT(G), \alpha)</tex>
}}
===Доказательство PCP теоремы===
{{Лемма
|statement=Следствием из основной теоремы является <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудность <tex>GAP-3SAT_s</tex>.
|proof=Сведем удовлетворимость графа условий к нашей задаче. Пусть <tex>G</tex> задача удовлетворимости некоторого графа с <tex>|\Sigma|=3</tex>. Идей состоит в повторении применения основной теоремы до тех пор, пока число неудовлетворенности не станет постоянным.

Пусть <tex>G_0 = G</tex> и <tex>G_i(i \ge 1)</tex> — результат применения основной теоремы к <tex>G_{i-1}</tex>. Тогда для <tex>i \ge 1</tex> <tex>G</tex> — граф условий с алфавитом <tex>\Sigma_0</tex>. Пусть <tex>E_0</tex> — множество ребер <tex>G_0<tex> и <tex>k=log|E_0|=O(log n)</tex>.

Полнота показывается тривиально: если <tex>UNSAT(G_0)=0</tex>, то для всех <tex>i</tex> <tex>UNSAT(G_i)=0</tex>. Для обоснованности рассмотрим <tex>UNSAT(G_0) > 0</tex>. Если для некоторого <tex>i*<k</tex>, <tex>UNSAT(G_{i*}) \ge \frac \alpha 2</tex>, то из основной теоремы следует, что для всех <tex>i>i*</tex> <tex>UNSAT(G_i)\ge \alpha</tex>. На остальные <tex>i</tex> это распространяется по индукции <tex>UNSAT(G_i) \ge min(2^i UNSAT(G_0), \alpha)</tex>.

Если <tex>UNSAT(G_0)>0</tex>, то <tex>UNSAT(G_0)\ge \frac 1 {|E_0|}</tex>. Конечно, <tex>2^k UNSAT(G_0) > \alpha</tex>. Таким образом <tex>UNSAT(G_k) \ge \alpha</tex>.

Мы доказали, что <tex>GAP</tex> <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудная. В частности, для <tex>GAP-3SAT</tex>, надо преобразовать каждое условие к константное число дизъюнктов <tex>3CNF</tex>.

}}
==Дополнительные материалы==
* [http://www.math.ias.edu/boaz/ExpanderCourse/|N. Linial and A. Wigderson. Expander graphs and their applications. Lecture notes of a course, 2003].
* Michael Sipser and Daniel A. Spielman. Expander codes. IEEE Trans. Inform. Theory, 42(6, part 1):1710–1722, 1996. Codes and complexity.
* C. Papadimitriou and M. Yannakakis. Optimization, approximation and complexity classes. Journal of Computer and System Sciences, 3:425–440, 1991.
* Irit Dinur and Omer Reingold. Assignment testers: Towards combinatorial proofs of the PCP theorem. In Proceedings of the 45th Symposium on Foundations of Computer Science (FOCS), 2004.
==Источники==
* [http://eccc.hpi-web.de/report/2005/046/|The PCP Theorem by Gap Amplification, Irit Dinur, 2005].
* [http://www.cs.utah.edu/~alfeld/LecturePDFs/pcp.pdf|The PCP Theorem, Notes by Scott Alfeld, 2008].

PCP-теорема

2012-06-03T19:46:52Z

Filchenko: ссылки на доказательства

{{Теорема
|id=pcp_th
|about=<tex>\mathrm{PCP}</tex> теорема
|statement=<tex>\mathrm{PCP}[log(n), O(1)] = \mathrm{NP}</tex>
}}

Классическое доказательство [[Класс PCP|<tex>\mathrm{PCP}</tex>]] теоремы громоздкое и довольно сложное для восприятия,
рассмотрим вариант докаательства, предложенный Динуром.

==Лемма об эквивалентности PCP теоремы и NP-трудности GAP-3SAT==

{{Определение
|definition=
Задача <tex>GAP-3SAT_s</tex>:
* <tex>\psi</tex> — <tex>3CNF</tex> с <tex>m</tex> дизъюнктами
* <tex>OPT</tex> — максимальное количество дизъюнктов, которые могуг быть удовлетворены одновременно
* <tex>OPT = m \Rightarrow YES</tex>
* <tex>OPT < sm \Rightarrow NO</tex>
* <tex>sm < OPT < m </tex> — нет ограничений на вывод
}}

{{Лемма
|statement=<tex>\mathrm{PCP}</tex> теорема эквивалентна вопросу принадлежности
<tex>GAP-3SAT_s</tex> классу <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудных задач для некоторого <tex>s</tex>.
|proof=
Сначала докажем, что из <tex>\mathrm{PCP}</tex> теоремы следует <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудность <tex>GAP-3SAT_s</tex>.

Заметим, что для <tex>\mathrm{NP}</tex>-полной задачи <tex>3-Color</tex> существует сведение <tex>\mathcal{R}</tex> к <tex>GAP-3SAT_s</tex>.

Из принадлежности <tex>3Color</tex> <tex>\mathrm{NP}</tex> и <tex>\mathrm{PCP}</tex> теоремы следует, что существует
доказательство <tex>\pi</tex> прувера <tex>\mathcal{P}</tex>. Обозначим <tex>\pi_i</tex> <tex>i</tex>-й бит доказательства (не его значение), будем рассматривать <tex>\pi_i</tex> как переменные в <tex>3SAT</tex> формуле.

По данному графу <tex>G</tex>, <tex>\mathcal{R}</tex> нумерует все <tex>N = 2^Q = 2^{O(log(n)} = poly(n)</tex> возможные
случайные строки, которые может выбрать верифаер <tex>V</tex>. Обозначим их <tex>Q_1 ... Q_{poly(n)}</tex>.

Каждая строка <tex>Q_i</tex> дает нам <tex>C</tex> позиций в доказательстве и предикат <tex>\phi</tex>. <tex>\mathcal{R}</tex>
строит <tex>3CNF</tex> формулу для каждого <tex>\phi</tex>. Поскольку <tex>\phi</tex> функция от </tex>C</tex> пременных,
построенная <tex>3CNF</tex> содержит не более <tex>K=C2^C</tex> дизъюнктов. Для упрощения будем считать, что формула содержит
<tex>K</tex> дизъюнктов. <tex>\mathcal{R}</tex> возвращает конъюнкцию всех полученных формул, содержащую <tex>m=NK</tex> дизъюнктов.

Можно заметить, что из <tex>G \in 3Color</tex> по <tex>\mathrm{PCP}</tex> теореме следует, что существует <tex>\pi</tex>,
удовлетворяющее всем проверкам <tex>V</tex>. Таким образом все <tex>m</tex> дизъюнктов могут быть удовлетворены и <tex>OPT=m</tex>, что и требуется для корректности сведения <tex>\mathcal{R}</tex>.

Однако, если <tex>G \notin 3Color</tex>, хотя бы <tex>\frac N 2</tex> проверок <tex>V</tex> должны привести к отрицательному результату. Если <tex>Q_i</tex> приводит к отрицательному ответу, <tex>3CNF</tex> формула, построенная по соответствующему
предикату <tex>\phi</tex> должна быть неудовлетворимой, значит не больше <tex>K-1</tex> дизъюнктов могут быть удовлетворены.
Суммарное количество дизъюнктов, которое может быть удовлетворено:

<tex>\frac N 2 (K-1) + \frac N 2 K = \frac N 2 K(1- \frac 1 K) + \frac N 2 K = NK(1 - \frac 1 {2K}) = m(1 - \frac 1 {2k}) = sm</tex>

Мы показали, что из <tex>\mathrm{PCP}</tex> теоремы следует <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудность задачи <tex>GAP-3SAT_s</tex>. Теперь
покажем, что из <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудности задачи <tex>GAP-3SAT_s</tex> следует <tex>\mathrm{PCP}</tex> теорема.

В предположении <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудности задачи <tex>GAP-3SAT_s</tex> любая <tex>\mathrm{NP}</tex>-полная задача, например <tex>3Color</tex> может быть сведена к <tex>GAP-3SAT_s</tex>. Таким образом мы можем свести <tex>3Color</tex> к <tex>3CNF</tex> формуле такой <tex>R(G)</tex>, что:
* <tex> G \in 3Color \Rightarrow R(G)</tex> имеет <tex>OPT=m</tex>
* <tex> G \notin 3Color \Rightarrow R(G)</tex> имеет <tex>OPT<sm</tex>

Имея такое сведение мы построим <tex>\mathcal{V}</tex> и доказательство прувера <tex>\mathcal{P}</tex> для
<tex>\mathrm {PCP}</tex> системы. <tex>\mathcal{V}</tex> запускает функцию сведения во время предподсчета,
доказателтьство <tex>\pi</tex> для данной <tex>R(G)=\psi</tex> <tex>3CNF</tex> формулы представляет собой значения пременных <tex>\psi</tex>. <tex>\mathcal{V}</tex> случайно выбирает дизъюнкт <tex>C</tex> из
<tex>\psi</tex> и проверяет, что он удовлетворяется <tex>\pi</tex>.

Понятно, что если <tex>G \in 3Color</tex>, то по определению <tex>R(G)</tex> любой дизъюнкт, выбранный
<tex>\mathcal{V}</tex> будет удовлетворен, поскольку <tex>OPT=m</tex>. Если же <tex>G \notin 3Color</tex>,
мы знаем, что <tex>OPT < sm</tex>, опять же по определению <tex>R(G)</tex>. Тaким образом вероятность того,
что <tex>\mathcal{V}</tex> выберет удовлетворенный дизъюнкт меньше <tex>s</tex>. Так как <tex>s</tex> —
константа, повторяя процесс мы можем сделать вероятность меньше <tex>\frac 1 2</tex>.

Таким образом мы показали эвивалентность <tex>\mathrm{PCP}</tex> теоремы вопросу <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудности задачи <tex>GAP-3SAT_s</tex>.
}}

==Определения и леммы, используемые в доказательстве==
{{Определение
|definition= <tex>\mathcal{C}=\lbrace c_1,..., c_n\rbrace</tex> назовем множеством условий над
множеством переменных <tex>V</tex>.
}}
{{Определение
|definition=Число неудовлетворенности <tex>UNSAT(\mathcal{C})</tex> — минимальное подмножество неудовлетворенных условий для любых возможных назначений <tex>V</tex>. <tex>\mathcal{C}</tex> удовлетворимо тогда и только тогда, когда <tex>UNSAT(\mathcal{C})=0</tex>. Если же <tex>\mathcal{C}</tex> неудовлетворимо, тогда <tex>UNSAT(\mathcal{C}) \ge \frac 1 n</tex>.
}}

===Графы условий===
Нам понадобятся графы ограничений для двух переменных, которые определяются следующим образом:
{{Определение
|definition=
<tex>G=\left\langle(V,E,\Sigma,\mathcal{C}\right\rangle</tex> называется графом условий, если:
* <tex>(V,E)</tex> — неориентированный граф, называемый графом, леащим в основе <tex>G</tex>.
* Множество <tex>V</tex> также представляется в виде множества переменных принимающих значениями из алфавита <tex>\Sigma</tex>
* Каждое ребро <tex>e \in E</tex> содержит условие <tex>c(e) \subseteq \Sigma^2</tex> и <tex>\mathcal{C}=\lbrace c(e)\rbrace_{e \in E}</tex>. Условие <tex>c(e)</tex> называется удовлетворенным парой <tex>(a, b)</tex>, если <tex>(a, b) \in c(e)</tex>
}}

Присваивание это отображение <tex>\sigma:V \rightarrow \Sigma</tex>, которое назначает каждой вершине из <tex>V</tex>
значение из <tex>\Sigma</tex>. Для любого присвоения <tex>\sigma</tex> определим <tex>UNSAT_\sigma(G) = \operatorname*{Pr}\limits_{(u,v)\in E} [(\sigma(u),\sigma(v)) \notin c(e)]</tex> и <tex>UNSAT(G) = \operatorname*{min}\limits_\sigma UNSAT_\sigma(G)</tex>.

Назовем <tex>UNSAT(G)</tex> числом неудовлетворенности графа <tex>G</tex>. Размером графа будем считать размер его описания <tex>size(G)=O(|V|+|E| \cdot |\Sigma|^2)</tex>

{{Лемма
|statement=Для заданного графа условий <tex>G=\left\langle(V,E,\Sigma,\mathcal{C}\right\rangle</tex>, где <tex>|\Sigma|=3</tex> проверка утверждения <tex>UNSAT(G)=0</tex> — <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудная задача.
|proof=
Сведем <tex>3Color</tex> к нашей задаче. Дан граф <tex>G</tex>, алфавит <tex>\Sigma=\lbrace 1,2,3 \rbrace</tex> для трех цветов. Оснастим ребра условиями неравенства. Очевидно, что <tex>G \in 3Color</tex> тогда и только тогда, когда <tex>UNSAT(G)=0<tex> (Иногда удобно использовать одно и то же обозначение <tex>G</tex> для графа условий и графа, лежащего в его основе).
}}

===Экспандер графы===
Экспандер графы играют важную роль во многих теоретических результатах.

{{Определение
|definition= <tex>G=(V,E)</tex> <tex>d</tex>-регулярный граф. Положим <tex>E(S,\overline{S})=|(S \times \overline{S}) \cap E|</tex> равным количеству ребер их подмножества <tex>S\in V</tex> в его дополнение. Определим реберное расширение как
<tex>h(G)=\operatorname*{min}\limits_{S:|S|<\frac {|V|} 2} \frac {E(S, \overline S)} {|S|}</tex>
}}

{{Лемма
|about=О экспандерах
|statement=Существует <tex>d_0 \in \mathbb{N}</tex> и <tex>h_0 >0</tex> такие, что есть построимое за полиномиальное время семейство <tex>\lbrace X_n\rbrace_{n \in \mathbb{N}}</tex> <tex>d_0</tex>-регулярных графов <tex>X_n</tex> с <tex>n</tex> вершинами таких, что <tex>h(X_n) \ge h_0</tex>.
|proof=см. [http://eccc.hpi-web.de/report/2005/046/|The PCP Theorem by Gap Amplification, Irit Dinur, 2005]
}}

{{Лемма
|statement= Пусть <tex>G</tex> <tex>d</tex>-регулярный граф, а <tex>h(G)</tex> его реберное расширение. Тогда <tex>\lambda(G) \le d - \frac {h(G)^2} d</tex>
}}

{{Определение
|definition=Собственным числом графа <tex>\lambda</tex> называют собственное число его матрицы смежности.
}}

{{Лемма
|statement=Пусть <tex>G</tex> <tex>d</tex>-регулярный граф со вторым по величине собственным числом <tex>\lambda</tex>. Пусть <tex>F \subseteq E</tex> множество ребер. Вероятность <tex>p</tex> того, что случайный путь, начинающийся со случайного ребра из <tex>F</tex> на <tex>i+1</tex> шаге попадет <tex>F</tex> ограничена <tex>\frac {|F|} {|E|} + \left({\frac {|\lambda|} d}\right)^i</tex>.
|proof=см. [http://eccc.hpi-web.de/report/2005/046/|The PCP Theorem by Gap Amplification, Irit Dinur, 2005]
}}

===Вероятности===
Следующее неравенство в стиле неравенства Чебышева удобно использовать, чтобы показать что для неотрицательной случайной величины <tex>X</tex>, <tex>Pr[X > 0] \approx \mathbb{E}[X]</tex> когда <tex>\mathbb{E}[X] \approx \mathbb{E}[X^2]</tex>.

{{Утверждение
|statement= Для любой неотрицательной случайной величины <tex>X</tex>, <tex>Pr[X>0] \ge \mathbb{E}[X^2] / \mathbb{E}[X]</tex>
|proof=см. [http://eccc.hpi-web.de/report/2005/046/|The PCP Theorem by Gap Amplification, Irit Dinur, 2005]
}}

===Коды с коррекцией ошибок===
{{Определение
|definition=Кодом с коррекцией ошибок называется набор строк <tex>C \subset \Sigma^n</tex>, где <tex>\Sigma</tex> некоторый конечный алфавит. <tex>n</tex> называется размером блока, а <tex>log_{|\Sigma|}|C|</tex> уровнем кода. Расстоянием кода называется <tex>min_{x \neq y \in C} dist(x,y)</tex>, где <tex>dist(\cdot,\cdot)</tex> — расстояние Хэмминга.
}}

Взаимнооднознаячное отображение <tex>e:D \rightarrow \Sigma^n</tex> также иногда называют кодом с коррекцией ошибок. Его уровень и расстояние определяются как уровени и расстояние его образа <tex>e(D)</tex>.

Известно, что существуют семейства кодов <tex>\lbrace C_n \subset \lbrace 0,1 \rbrace^n \rbrace_{n \in \mathbb{N}}</tex>, для которых уровень и расстояние равны <tex>O(n)</tex> и существует схема полиномиального размера, проверяющая <tex>x \in C_n</tex>.

==Операции на графах условий==
Для доказательства <tex>\mathrm{PCP}</tex> теоремы потребуются три операции над графами уловий:
* Препроцессинг. Простая операция, сохраняющая чило неудовлетворенности(примерно) и размер алфавита, но делающая граф лучше.
* Усиление. Эта операция увеоичивает чило неудовлетворенности за счет увеличения размера алфавита.
* Композицияю Эта операция уменьшает размер алфавита, сохраняя число неудовлетворенности(приблизительно).

===Препроцессинг===
Под хорошим графом будем понимать регулярный, фиксированной степени экспандер граф.
{{Лемма
|about=Препроцессинг
|statement= существуют константы <tex>0 < \lambda < d</tex> и <tex>\beta_1 >0</tex> такие, что любой граф условий <tex>G</tex> может быть преобразован в граф условий <tex>G'=prep(G)</tex> такой, что:
* <tex>G'</tex> <tex>d</tex>-регулярный
* <tex>G'</tex> имеет тот же алфавит, что и <tex>G</tex> и <tex>size(G') = O(size(G))</tex>.
* <tex>\beta_1 \cdot UNSAT(G) \le UNSAT(G') \le UNSAT(G)</tex>
}}

Заметим, что третий пункт теммы гарантирует поддержание полноты, т.е. если <tex>UNSAT(G)=0</tex>, то и <tex>UNSAT(G')=0</tex>. Доказательство этой леммы состоит из двух следующих лемм (<tex>\beta_1=c \cdot \frac d {d + d_0 + 1}</tex>).

{{Лемма
|about=Константная степень
|statement=Любой граф условий <tex>G = \langle (V,E),\Sigma,\mathcal{C}\rangle</tex> может быть преобразован в <tex>(d_0 + 1)</tex>-регулярный граф условий <tex>G'=\langle (V',E'),\Sigma,\mathcal{C}'\rangle</tex> такой, что <tex>|V'|</tex>=2|E|</tex> и <tex>c \cdot UNSAT(G) \le UNSAT(G') \le UNSAT(G)</tex>. Для некоторых заданных констант <tex>d_0,c>0</tex>
|proof=см. [http://eccc.hpi-web.de/report/2005/046/|The PCP Theorem by Gap Amplification, Irit Dinur, 2005]
}}

Эта лемма известна как экспандер-замена(expander-replacement transformation).

{{Лемма
|about=О расширении
|statement=
Пусть <tex>d_0, h_0 >0</tex> некоторые константы. Любой <tex>d</tex>-регулярный граф условий <tex>G</tex> может быть преобразован в <tex>G'</tex> такой, что:
* <tex>G'</tex> <tex>(d + d_0 + 1)</tex>-регулярный, имеет собственные циклы и <tex>\lambda(G') \le d + d_0 + 1 - \frac {h_0^2} {d + d_0 + 1} < deg(G')</tex>
* <tex>size(G')=O(size(G))</tex>
* <tex> \frac d {d + d_0 + 1} \cdot UNSAT(G) \le UNSAT(G') \le UNSAT(G)</tex>
|proof=см. [http://eccc.hpi-web.de/report/2005/046/|The PCP Theorem by Gap Amplification, Irit Dinur, 2005]
}}

===Усиление===
Это новая операция на системах условий, которая увеличивает число неудовлетворенности.
Пусть <tex>G=\langle (V,E),\Sigma,\mathcal{C}\rangle<tex> граф условий, <tex>t \in \mathbb{N}</tex>. Определим <tex>G^t=\langle (V,\mathbf{E}),\Sigma^{d^{\lceil t/2\rceil}}, \mathcal{C}^t \rangle</tex> как следующий граф условий:
* Веришины <tex>G^t</tex> совпадают с вершинами <tex>G</tex>
* Ребра: <tex>u</tex> и <tex>v</tex> соединены <tex>k</tex> ребрами в <tex>\mathbf{E}</tex>, если количество путей длины <tex>t</tex> из <tex>u</tex> в <tex>v</tex> в графе <tex>G</tex> равно <tex>k</tex>
* Алфавит: алфавит графа <tex>G^t</tex> <tex>\Sigma^{d^{\lceil t/2\rceil}}</tex>, где каждой вершине сопоставлены значения ее соседей, достижимых за <tex>\frac t 2</tex> шагов.
* Условия: Условия сопоставленные ребру <tex>e=(u,v) \in \mathbf{E}</tex> удовлетворены, если назначения для <tex>u</tex> и <tex>v</tex> согласованы с назначениями, удовлетворяющими условия, порожденные <tex>\frac t 2</tex> соседями <tex>u</tex> и <tex>v</tex>.

Если <tex>UNSAT(G)=0</tex> тогда очевидно <tex>UNSAT(G^t)=0</tex>. Интереснее доказательство того, что <tex>UNSAT(G^t) \ge O(\sqrt{t} \cdot UNSAT(G)</tex>.

{{Лемма
|about=Усиление
|statement= Пусть <tex>\lambda < d</tex> и <tex>|\Sigma|</tex> произвольные константы. Тогда существует константа <tex>\beta_2=\beta_2(\lambda,d,|\Sigma|)>0</rex> такая, что для любого <tex>t \in \mathbb N</tex> и для любого <tex>d</tex>-регулярного графа условий <tex>G=\langle(V,E),\Sigma,\mathcal{C}\rangle</tex> с собственными циклами и <tex>\lambda(G)\le \lambda</tex>, <tex>UNSAT(G^t) \ge \beta_2 \sqrt{t} \cdot min \left({UNSAT(G), \frac 1 t}\right)</tex>.
|proof=см. [http://eccc.hpi-web.de/report/2005/046/|The PCP Theorem by Gap Amplification, Irit Dinur, 2005]
}}

Поскольку <tex>UNSAT(G) \le \frac 1 t</tex>, из жтой леммы следует что <tex>UNSAT(G^t) \ge O(\sqrt{t}) \cdot UNSAT(G)</tex>. Это основная техническая лемма.
===Композиция===
{{Определение
|about=Тестер присвоений
|definition=Тестер присвоений с алфавитом <tex>\Sigma_0</tex> и вероятностью отклонения <tex>\epsilon > 0</tex> это полиномиальное преобразование <tex>\mathcal{P}</tex>, принимающее на вход схему <tex>\Phi</tex> над будевыми переменными <tex>X</tex> и дающую на выходе граф условий <tex>G=\langle(V,E),\Sigma_0,\mathcal{C}\rangle</tex> такой, что <tex>V \subset X</tex>(в условном графе <tex>V</tex> играет одновременно две роли: переменных и вершин. <tex>Y \subset X</tex> подразумевает, что некоторые вершины из <tex>V</tex> определены с помощью переменных <tex>X</tex>). Пусть <tex>V'=V \setminus X</tex> и <tex>a : X \rightarrow \lbrace 0,1 \rbrace</tex> — присваивание.
* (Полнота) Если <tex>a \in SAT(\Phi)</tex> то существует <tex>b : V' \rightarrow \Sigma_0</tex> такое, что <tex>UNSAT_{a\cup{b}}(G)=0</tex>
* (Обоснованность) Если <tex>a \notin SAT(\Phi)</tex> то для всех <tex>b : V' \rightarrow \Sigma_0</tex>, <tex>UNSAT_{a\cup{b}}(G) \ge \epsilon \cdot dist(a, SAT(\Phi))</tex>.
}}

Следует заметить, что не накладывается никаких ограничений ни на время работы <tex>\mathcal{P}</tex> ни на <tex>size(G)</tex>. Мы игнорируем размер схемы <Tex>\Phi</tex>, которая может быть экспоненциальна относительно <tex>|X|</tex>.

{{Лемма
|about=Композиция
|statement=Пусть существует тестер присвоений <tex>\mathcal{P}</tex> с константной вероятностью отклонения <tex>\epsilon > 0</tex> и алфавитом <tex>\Sigma_0</tex>, <tex>|\Sigma_0|=O(1)</tex>. Тогда существует <tex>\beta_3 > 0</tex>, зависящая только от <tex>\mathcal{P}</tex>, такая что любой граф условий <tex>G=\langle(V,E),\Sigma,\mathcal{C}\rangle</tex> может быть преобразован в <tex>G'=\langle(V',E'),\Sigma_0,\mathcal{C}'\rangle</tex>, обозначаемый <tex>G \circ \mathcal{C}</tex>, такой что <tex>size(G')=M(|\Sigma|) \cdot size(G)</tex> и <tex>\beta_3 \cdot UNSAT(G) \le UNSAT(G') \le UNSAT(G)</tex>
|proof=
}}

==Основная теорема==
Основываясь на операциях с графами условий мы можем доказать основную теорему.
{{Теорема
|about=Основная теорема
|statement=Для любого <tex>\Sigma</tex>, <tex>|\Sigma|=O(1)</tex> существуют константы <tex>C > 0</tex> и <tex>0 < \alpha < 1</tex> такие, что для данного графа условий <tex>G=\langle(V,E),\Sigma,\mathcal{C}\rangle</tex> за полиномиальное время можно построить граф условий <tex>G'=\langle(V',E'),\Sigma_0,\mathcal{C}'\rangle</tex> такой, что:
* <tex>size(G') \le C \cdot size(G)</tex> и <tex>|\Sigma_0| = O(1)</tex>
* (Полнота) Если <tex>UNSAT(G)=0</tex>, то <tex>UNSAT(G')=0</tex>
* (Обоснованность) <tex>UNSAT(G') \ge min(2 \cdot UNSAT(G), \alpha)</tex>
|proof=
Построим <tex>G'</tex> по <tex>G</tex> следующим образом: <tex>G'=(prep(G))^t \circ \mathcal{P}</tex>.
# (Препроцессинг) Пусть <tex>H_1=prep(G)</tex>. Существуют некоторые глобальные константы <tex>\lambda < d </tex> и <tex>\beta_1 >0</tex> такие, что <tex>H_1</tex> <tex>d</tex>-регулярный, имеет тот же алфавит, что и <tex>G</tex>, <tex>\lambda(H_1) \le \lambda < d</tex> и <tex>\beta_1 \cdot UNSAT*G( \le UNSAT(H_1) \le UNSAT(G)</tex>.
# (Усиление) Пусть <tex>H_2=(H_1)^t</tex> для достаточно большой константы <tex> t > 1</tex>, которую определим ниже. Существует некоторая константа <tex>\beta_2=\beta(\lambda, d, |\Sigma|) > 0</tex>, для которой <tex>UNSAT(H_2) \ge \beta_2 \sqrt{t} \cdot min(UNSAT(H_1), \frac 1 t)</tex>. Однако, алфавит вырос до <tex>\Sigma^{d^{\lceil t / 2 \rceil}}</tex>.
# (Композиция) Пусть <tex>G'=H_2 \circ \mathcal{P}</tex>. Это уменьшит алфавит до <tex>\Sigma_0</tex>, при <tex>\beta_3 \cdot UNSAT(H_2) \le UNSAT(G') \le UNSAT(H_2)</tex> для некоторой <tex>\beta_3 > 0 </tex>.

Проверим выполнение условий теоремы. Размер <tex>G'</tex> линеен относительно размера<tex>G</tex>, поскольку на каждом шагу увеличивался линейно. Полнота явно поддерживается на каждом шаге. Теперь выберем <tex>t=\left\lceil\left({\frac 2 {\beta_1\beta_2\beta_3}}\right)^2\right\rceil</tex>. Пусть <tex>\alpha=\frac {\beta_3\beta_2} {sqrt{t}}</tex>.
Таким образом,

<tex>UNSAT(G') \ge \beta_3 \cdot UNSAT(H_2)</tex> <tex>\ge \beta_3 \cdot \beta_2 \sqrt{t} \cdot min(UNSAT(H_1), \frac 1 t)</tex> <tex>\ge \beta_3 \cdot \beta_2 \sqrt{t} \cdot min(\beta_1 UNSAT(G_, \frac 1 t) </tex> <tex>\ge min(2 \cdot UNSAT(G), \alpha)</tex>
}}
===Доказательство PCP теоремы===
{{Лемма
|statement=Следствием из основной теоремы является <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудность <tex>GAP-3SAT_s</tex>.
|proof=Сведем удовлетворимость графа условий к нашей задаче. Пусть <tex>G</tex> задача удовлетворимости некоторого графа с <tex>|\Sigma|=3</tex>. Идей состоит в повторении применения основной теоремы до тех пор, пока число неудовлетворенности не станет постоянным.

Пусть <tex>G_0 = G</tex> и <tex>G_i(i \ge 1)</tex> — результат применения основной теоремы к <tex>G_{i-1}</tex>. Тогда для <tex>i \ge 1</tex> <tex>G</tex> — граф условий с алфавитом <tex>\Sigma_0</tex>. Пусть <tex>E_0</tex> — множество ребер <tex>G_0<tex> и <tex>k=log|E_0|=O(log n)</tex>.

Полнота показывается тривиально: если <tex>UNSAT(G_0)=0</tex>, то для всех <tex>i</tex> <tex>UNSAT(G_i)=0</tex>. Для обоснованности рассмотрим <tex>UNSAT(G_0) > 0</tex>. Если для некоторого <tex>i*<k</tex>, <tex>UNSAT(G_{i*}) \ge \frac \alpha 2</tex>, то из основной теоремы следует, что для всех <tex>i>i*</tex> <tex>UNSAT(G_i)\ge \alpha</tex>. На остальные <tex>i</tex> это распространяется по индукции <tex>UNSAT(G_i) \ge min(2^i UNSAT(G_0), \alpha)</tex>.

Если <tex>UNSAT(G_0)>0</tex>, то <tex>UNSAT(G_0)\ge \frac 1 {|E_0|}</tex>. Конечно, <tex>2^k UNSAT(G_0) > \alpha</tex>. Таким образом <tex>UNSAT(G_k) \ge \alpha</tex>.

Мы доказали, что <tex>GAP</tex> <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудная. В частности, для <tex>GAP-3SAT</tex>, надо преобразовать каждое условие к константное число дизъюнктов <tex>3CNF</tex>.

}}
==Дополнительные материалы==
* [http://www.math.ias.edu/boaz/ExpanderCourse/|N. Linial and A. Wigderson. Expander graphs and their applications. Lecture notes of a course, 2003].
* Michael Sipser and Daniel A. Spielman. Expander codes. IEEE Trans. Inform. Theory, 42(6, part 1):1710–1722, 1996. Codes and complexity.
* C. Papadimitriou and M. Yannakakis. Optimization, approximation and complexity classes. Journal of Computer and System Sciences, 3:425–440, 1991.
* Irit Dinur and Omer Reingold. Assignment testers: Towards combinatorial proofs of the PCP theorem. In Proceedings of the 45th Symposium on Foundations of Computer Science (FOCS), 2004.
==Источники==
* [http://eccc.hpi-web.de/report/2005/046/|The PCP Theorem by Gap Amplification, Irit Dinur, 2005].
* [http://www.cs.utah.edu/~alfeld/LecturePDFs/pcp.pdf|The PCP Theorem, Notes by Scott Alfeld, 2008].

PCP-теорема

2012-06-03T19:43:24Z

Filchenko: забыл тег

{{Теорема
|id=pcp_th
|about=<tex>\mathrm{PCP}</tex> теорема
|statement=<tex>\mathrm{PCP}[log(n), O(1)] = \mathrm{NP}</tex>
}}

Классическое доказательство [[Класс PCP|<tex>\mathrm{PCP}</tex>]] теоремы громоздкое и довольно сложное для восприятия,
рассмотрим вариант докаательства, предложенный Динуром.

==Лемма об эквивалентности PCP теоремы и NP-трудности GAP-3SAT==

{{Определение
|definition=
Задача <tex>GAP-3SAT_s</tex>:
* <tex>\psi</tex> — <tex>3CNF</tex> с <tex>m</tex> дизъюнктами
* <tex>OPT</tex> — максимальное количество дизъюнктов, которые могуг быть удовлетворены одновременно
* <tex>OPT = m \Rightarrow YES</tex>
* <tex>OPT < sm \Rightarrow NO</tex>
* <tex>sm < OPT < m </tex> — нет ограничений на вывод
}}

{{Лемма
|statement=<tex>\mathrm{PCP}</tex> теорема эквивалентна вопросу принадлежности
<tex>GAP-3SAT_s</tex> классу <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудных задач для некоторого <tex>s</tex>.
|proof=
Сначала докажем, что из <tex>\mathrm{PCP}</tex> теоремы следует <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудность <tex>GAP-3SAT_s</tex>.

Заметим, что для <tex>\mathrm{NP}</tex>-полной задачи <tex>3-Color</tex> существует сведение <tex>\mathcal{R}</tex> к <tex>GAP-3SAT_s</tex>.

Из принадлежности <tex>3Color</tex> <tex>\mathrm{NP}</tex> и <tex>\mathrm{PCP}</tex> теоремы следует, что существует
доказательство <tex>\pi</tex> прувера <tex>\mathcal{P}</tex>. Обозначим <tex>\pi_i</tex> <tex>i</tex>-й бит доказательства (не его значение), будем рассматривать <tex>\pi_i</tex> как переменные в <tex>3SAT</tex> формуле.

По данному графу <tex>G</tex>, <tex>\mathcal{R}</tex> нумерует все <tex>N = 2^Q = 2^{O(log(n)} = poly(n)</tex> возможные
случайные строки, которые может выбрать верифаер <tex>V</tex>. Обозначим их <tex>Q_1 ... Q_{poly(n)}</tex>.

Каждая строка <tex>Q_i</tex> дает нам <tex>C</tex> позиций в доказательстве и предикат <tex>\phi</tex>. <tex>\mathcal{R}</tex>
строит <tex>3CNF</tex> формулу для каждого <tex>\phi</tex>. Поскольку <tex>\phi</tex> функция от </tex>C</tex> пременных,
построенная <tex>3CNF</tex> содержит не более <tex>K=C2^C</tex> дизъюнктов. Для упрощения будем считать, что формула содержит
<tex>K</tex> дизъюнктов. <tex>\mathcal{R}</tex> возвращает конъюнкцию всех полученных формул, содержащую <tex>m=NK</tex> дизъюнктов.

Можно заметить, что из <tex>G \in 3Color</tex> по <tex>\mathrm{PCP}</tex> теореме следует, что существует <tex>\pi</tex>,
удовлетворяющее всем проверкам <tex>V</tex>. Таким образом все <tex>m</tex> дизъюнктов могут быть удовлетворены и <tex>OPT=m</tex>, что и требуется для корректности сведения <tex>\mathcal{R}</tex>.

Однако, если <tex>G \notin 3Color</tex>, хотя бы <tex>\frac N 2</tex> проверок <tex>V</tex> должны привести к отрицательному результату. Если <tex>Q_i</tex> приводит к отрицательному ответу, <tex>3CNF</tex> формула, построенная по соответствующему
предикату <tex>\phi</tex> должна быть неудовлетворимой, значит не больше <tex>K-1</tex> дизъюнктов могут быть удовлетворены.
Суммарное количество дизъюнктов, которое может быть удовлетворено:

<tex>\frac N 2 (K-1) + \frac N 2 K = \frac N 2 K(1- \frac 1 K) + \frac N 2 K = NK(1 - \frac 1 {2K}) = m(1 - \frac 1 {2k}) = sm</tex>

Мы показали, что из <tex>\mathrm{PCP}</tex> теоремы следует <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудность задачи <tex>GAP-3SAT_s</tex>. Теперь
покажем, что из <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудности задачи <tex>GAP-3SAT_s</tex> следует <tex>\mathrm{PCP}</tex> теорема.

В предположении <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудности задачи <tex>GAP-3SAT_s</tex> любая <tex>\mathrm{NP}</tex>-полная задача, например <tex>3Color</tex> может быть сведена к <tex>GAP-3SAT_s</tex>. Таким образом мы можем свести <tex>3Color</tex> к <tex>3CNF</tex> формуле такой <tex>R(G)</tex>, что:
* <tex> G \in 3Color \Rightarrow R(G)</tex> имеет <tex>OPT=m</tex>
* <tex> G \notin 3Color \Rightarrow R(G)</tex> имеет <tex>OPT<sm</tex>

Имея такое сведение мы построим <tex>\mathcal{V}</tex> и доказательство прувера <tex>\mathcal{P}</tex> для
<tex>\mathrm {PCP}</tex> системы. <tex>\mathcal{V}</tex> запускает функцию сведения во время предподсчета,
доказателтьство <tex>\pi</tex> для данной <tex>R(G)=\psi</tex> <tex>3CNF</tex> формулы представляет собой значения пременных <tex>\psi</tex>. <tex>\mathcal{V}</tex> случайно выбирает дизъюнкт <tex>C</tex> из
<tex>\psi</tex> и проверяет, что он удовлетворяется <tex>\pi</tex>.

Понятно, что если <tex>G \in 3Color</tex>, то по определению <tex>R(G)</tex> любой дизъюнкт, выбранный
<tex>\mathcal{V}</tex> будет удовлетворен, поскольку <tex>OPT=m</tex>. Если же <tex>G \notin 3Color</tex>,
мы знаем, что <tex>OPT < sm</tex>, опять же по определению <tex>R(G)</tex>. Тaким образом вероятность того,
что <tex>\mathcal{V}</tex> выберет удовлетворенный дизъюнкт меньше <tex>s</tex>. Так как <tex>s</tex> —
константа, повторяя процесс мы можем сделать вероятность меньше <tex>\frac 1 2</tex>.

Таким образом мы показали эвивалентность <tex>\mathrm{PCP}</tex> теоремы вопросу <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудности задачи <tex>GAP-3SAT_s</tex>.
}}

==Определения и леммы, используемые в доказательстве==
{{Определение
|definition= <tex>\mathcal{C}=\lbrace c_1,..., c_n\rbrace</tex> назовем множеством условий над
множеством переменных <tex>V</tex>.
}}
{{Определение
|definition=Число неудовлетворенности <tex>UNSAT(\mathcal{C})</tex> — минимальное подмножество неудовлетворенных условий для любых возможных назначений <tex>V</tex>. <tex>\mathcal{C}</tex> удовлетворимо тогда и только тогда, когда <tex>UNSAT(\mathcal{C})=0</tex>. Если же <tex>\mathcal{C}</tex> неудовлетворимо, тогда <tex>UNSAT(\mathcal{C}) \ge \frac 1 n</tex>.
}}

===Графы условий===
Нам понадобятся графы ограничений для двух переменных, которые определяются следующим образом:
{{Определение
|definition=
<tex>G=\left\langle(V,E,\Sigma,\mathcal{C}\right\rangle</tex> называется графом условий, если:
* <tex>(V,E)</tex> — неориентированный граф, называемый графом, леащим в основе <tex>G</tex>.
* Множество <tex>V</tex> также представляется в виде множества переменных принимающих значениями из алфавита <tex>\Sigma</tex>
* Каждое ребро <tex>e \in E</tex> содержит условие <tex>c(e) \subseteq \Sigma^2</tex> и <tex>\mathcal{C}=\lbrace c(e)\rbrace_{e \in E}</tex>. Условие <tex>c(e)</tex> называется удовлетворенным парой <tex>(a, b)</tex>, если <tex>(a, b) \in c(e)</tex>
}}

Присваивание это отображение <tex>\sigma:V \rightarrow \Sigma</tex>, которое назначает каждой вершине из <tex>V</tex>
значение из <tex>\Sigma</tex>. Для любого присвоения <tex>\sigma</tex> определим <tex>UNSAT_\sigma(G) = \operatorname*{Pr}\limits_{(u,v)\in E} [(\sigma(u),\sigma(v)) \notin c(e)]</tex> и <tex>UNSAT(G) = \operatorname*{min}\limits_\sigma UNSAT_\sigma(G)</tex>.

Назовем <tex>UNSAT(G)</tex> числом неудовлетворенности графа <tex>G</tex>. Размером графа будем считать размер его описания <tex>size(G)=O(|V|+|E| \cdot |\Sigma|^2)</tex>

{{Лемма
|statement=Для заданного графа условий <tex>G=\left\langle(V,E,\Sigma,\mathcal{C}\right\rangle</tex>, где <tex>|\Sigma|=3</tex> проверка утверждения <tex>UNSAT(G)=0</tex> — <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудная задача.
|proof=
Сведем <tex>3Color</tex> к нашей задаче. Дан граф <tex>G</tex>, алфавит <tex>\Sigma=\lbrace 1,2,3 \rbrace</tex> для трех цветов. Оснастим ребра условиями неравенства. Очевидно, что <tex>G \in 3Color</tex> тогда и только тогда, когда <tex>UNSAT(G)=0<tex> (Иногда удобно использовать одно и то же обозначение <tex>G</tex> для графа условий и графа, лежащего в его основе).
}}

===Экспандер графы===
Экспандер графы играют важную роль во многих теоретических результатах.

{{Определение
|definition= <tex>G=(V,E)</tex> <tex>d</tex>-регулярный граф. Положим <tex>E(S,\overline{S})=|(S \times \overline{S}) \cap E|</tex> равным количеству ребер их подмножества <tex>S\in V</tex> в его дополнение. Определим реберное расширение как
<tex>h(G)=\operatorname*{min}\limits_{S:|S|<\frac {|V|} 2} \frac {E(S, \overline S)} {|S|}</tex>
}}

{{Лемма
|about=О экспандерах
|statement=Существует <tex>d_0 \in \mathbb{N}</tex> и <tex>h_0 >0</tex> такие, что есть построимое за полиномиальное время семейство <tex>\lbrace X_n\rbrace_{n \in \mathbb{N}}</tex> <tex>d_0</tex>-регулярных графов <tex>X_n</tex> с <tex>n</tex> вершинами таких, что <tex>h(X_n) \ge h_0</tex>.
|proof=TODO
}}

{{Лемма
|statement= Пусть <tex>G</tex> <tex>d</tex>-регулярный граф, а <tex>h(G)</tex> его реберное расширение. Тогда <tex>\lambda(G) \le d - \frac {h(G)^2} d</tex>
}}

{{Определение
|definition=Собственным числом графа <tex>\lambda</tex> называют собственное число его матрицы смежности.
}}

{{Лемма
|statement=Пусть <tex>G</tex> <tex>d</tex>-регулярный граф со вторым по величине собственным числом <tex>\lambda</tex>. Пусть <tex>F \subseteq E</tex> множество ребер. Вероятность <tex>p</tex> того, что случайный путь, начинающийся со случайного ребра из <tex>F</tex> на <tex>i+1</tex> шаге попадет <tex>F</tex> ограничена <tex>\frac {|F|} {|E|} + \left({\frac {|\lambda|} d}\right)^i</tex>.
|proof=TODO
}}

===Вероятности===
Следующее неравенство в стиле неравенства Чебышева удобно использовать, чтобы показать что для неотрицательной случайной величины <tex>X</tex>, <tex>Pr[X > 0] \approx \mathbb{E}[X]</tex> когда <tex>\mathbb{E}[X] \approx \mathbb{E}[X^2]</tex>.

{{Утверждение
|statement= Для любой неотрицательной случайной величины <tex>X</tex>, <tex>Pr[X>0] \ge \mathbb{E}[X^2] / \mathbb{E}[X]</tex>
|proof=TODO
}}

===Коды с коррекцией ошибок===
{{Определение
|definition=Кодом с коррекцией ошибок называется набор строк <tex>C \subset \Sigma^n</tex>, где <tex>\Sigma</tex> некоторый конечный алфавит. <tex>n</tex> называется размером блока, а <tex>log_{|\Sigma|}|C|</tex> уровнем кода. Расстоянием кода называется <tex>min_{x \neq y \in C} dist(x,y)</tex>, где <tex>dist(\cdot,\cdot)</tex> — расстояние Хэмминга.
}}

Взаимнооднознаячное отображение <tex>e:D \rightarrow \Sigma^n</tex> также иногда называют кодом с коррекцией ошибок. Его уровень и расстояние определяются как уровени и расстояние его образа <tex>e(D)</tex>.

Известно, что существуют семейства кодов <tex>\lbrace C_n \subset \lbrace 0,1 \rbrace^n \rbrace_{n \in \mathbb{N}}</tex>, для которых уровень и расстояние равны <tex>O(n)</tex> и существует схема полиномиального размера, проверяющая <tex>x \in C_n</tex>.

==Операции на графах условий==
Для доказательства <tex>\mathrm{PCP}</tex> теоремы потребуются три операции над графами уловий:
* Препроцессинг. Простая операция, сохраняющая чило неудовлетворенности(примерно) и размер алфавита, но делающая граф лучше.
* Усиление. Эта операция увеоичивает чило неудовлетворенности за счет увеличения размера алфавита.
* Композицияю Эта операция уменьшает размер алфавита, сохраняя число неудовлетворенности(приблизительно).

===Препроцессинг===
Под хорошим графом будем понимать регулярный, фиксированной степени экспандер граф.
{{Лемма
|about=Препроцессинг
|statement= существуют константы <tex>0 < \lambda < d</tex> и <tex>\beta_1 >0</tex> такие, что любой граф условий <tex>G</tex> может быть преобразован в граф условий <tex>G'=prep(G)</tex> такой, что:
* <tex>G'</tex> <tex>d</tex>-регулярный
* <tex>G'</tex> имеет тот же алфавит, что и <tex>G</tex> и <tex>size(G') = O(size(G))</tex>.
* <tex>\beta_1 \cdot UNSAT(G) \le UNSAT(G') \le UNSAT(G)</tex>
}}

Заметим, что третий пункт теммы гарантирует поддержание полноты, т.е. если <tex>UNSAT(G)=0</tex>, то и <tex>UNSAT(G')=0</tex>. Доказательство этой леммы состоит из двух следующих лемм (<tex>\beta_1=c \cdot \frac d {d + d_0 + 1}</tex>).

{{Лемма
|about=Константная степень
|statement=Любой граф условий <tex>G = \langle (V,E),\Sigma,\mathcal{C}\rangle</tex> может быть преобразован в <tex>(d_0 + 1)</tex>-регулярный граф условий <tex>G'=\langle (V',E'),\Sigma,\mathcal{C}'\rangle</tex> такой, что <tex>|V'|</tex>=2|E|</tex> и <tex>c \cdot UNSAT(G) \le UNSAT(G') \le UNSAT(G)</tex>. Для некоторых заданных констант <tex>d_0,c>0</tex>
|proof=TODO
}}

Эта лемма известна как экспандер-замена(expander-replacement transformation).

{{Лемма
|about=О расширении
|statement=
Пусть <tex>d_0, h_0 >0</tex> некоторые константы. Любой <tex>d</tex>-регулярный граф условий <tex>G</tex> может быть преобразован в <tex>G'</tex> такой, что:
* <tex>G'</tex> <tex>(d + d_0 + 1)</tex>-регулярный, имеет собственные циклы и <tex>\lambda(G') \le d + d_0 + 1 - \frac {h_0^2} {d + d_0 + 1} < deg(G')</tex>
* <tex>size(G')=O(size(G))</tex>
* <tex> \frac d {d + d_0 + 1} \cdot UNSAT(G) \le UNSAT(G') \le UNSAT(G)</tex>
|proof=TODO
}}

===Усиление===
Это новая операция на системах условий, которая увеличивает число неудовлетворенности.
Пусть <tex>G=\langle (V,E),\Sigma,\mathcal{C}\rangle<tex> граф условий, <tex>t \in \mathbb{N}</tex>. Определим <tex>G^t=\langle (V,\mathbf{E}),\Sigma^{d^{\lceil t/2\rceil}}, \mathcal{C}^t \rangle</tex> как следующий граф условий:
* Веришины <tex>G^t</tex> совпадают с вершинами <tex>G</tex>
* Ребра: <tex>u</tex> и <tex>v</tex> соединены <tex>k</tex> ребрами в <tex>\mathbf{E}</tex>, если количество путей длины <tex>t</tex> из <tex>u</tex> в <tex>v</tex> в графе <tex>G</tex> равно <tex>k</tex>
* Алфавит: алфавит графа <tex>G^t</tex> <tex>\Sigma^{d^{\lceil t/2\rceil}}</tex>, где каждой вершине сопоставлены значения ее соседей, достижимых за <tex>\frac t 2</tex> шагов.
* Условия: Условия сопоставленные ребру <tex>e=(u,v) \in \mathbf{E}</tex> удовлетворены, если назначения для <tex>u</tex> и <tex>v</tex> согласованы с назначениями, удовлетворяющими условия, порожденные <tex>\frac t 2</tex> соседями <tex>u</tex> и <tex>v</tex>.

Если <tex>UNSAT(G)=0</tex> тогда очевидно <tex>UNSAT(G^t)=0</tex>. Интереснее доказательство того, что <tex>UNSAT(G^t) \ge O(\sqrt{t} \cdot UNSAT(G)</tex>.

{{Лемма
|about=Усиление
|statement= Пусть <tex>\lambda < d</tex> и <tex>|\Sigma|</tex> произвольные константы. Тогда существует константа <tex>\beta_2=\beta_2(\lambda,d,|\Sigma|)>0</rex> такая, что для любого <tex>t \in \mathbb N</tex> и для любого <tex>d</tex>-регулярного графа условий <tex>G=\langle(V,E),\Sigma,\mathcal{C}\rangle</tex> с собственными циклами и <tex>\lambda(G)\le \lambda</tex>, <tex>UNSAT(G^t) \ge \beta_2 \sqrt{t} \cdot min \left({UNSAT(G), \frac 1 t}\right)</tex>.
|proof=TODO
}}

Поскольку <tex>UNSAT(G) \le \frac 1 t</tex>, из жтой леммы следует что <tex>UNSAT(G^t) \ge O(\sqrt{t}) \cdot UNSAT(G)</tex>. Это основная техническая лемма.
===Композиция===
{{Определение
|about=Тестер присвоений
|definition=Тестер присвоений с алфавитом <tex>\Sigma_0</tex> и вероятностью отклонения <tex>\epsilon > 0</tex> это полиномиальное преобразование <tex>\mathcal{P}</tex>, принимающее на вход схему <tex>\Phi</tex> над будевыми переменными <tex>X</tex> и дающую на выходе граф условий <tex>G=\langle(V,E),\Sigma_0,\mathcal{C}\rangle</tex> такой, что <tex>V \subset X</tex>(в условном графе <tex>V</tex> играет одновременно две роли: переменных и вершин. <tex>Y \subset X</tex> подразумевает, что некоторые вершины из <tex>V</tex> определены с помощью переменных <tex>X</tex>). Пусть <tex>V'=V \setminus X</tex> и <tex>a : X \rightarrow \lbrace 0,1 \rbrace</tex> — присваивание.
* (Полнота) Если <tex>a \in SAT(\Phi)</tex> то существует <tex>b : V' \rightarrow \Sigma_0</tex> такое, что <tex>UNSAT_{a\cup{b}}(G)=0</tex>
* (Обоснованность) Если <tex>a \notin SAT(\Phi)</tex> то для всех <tex>b : V' \rightarrow \Sigma_0</tex>, <tex>UNSAT_{a\cup{b}}(G) \ge \epsilon \cdot dist(a, SAT(\Phi))</tex>.
}}

Следует заметить, что не накладывается никаких ограничений ни на время работы <tex>\mathcal{P}</tex> ни на <tex>size(G)</tex>. Мы игнорируем размер схемы <Tex>\Phi</tex>, которая может быть экспоненциальна относительно <tex>|X|</tex>.

{{Лемма
|about=Композиция
|statement=Пусть существует тестер присвоений <tex>\mathcal{P}</tex> с константной вероятностью отклонения <tex>\epsilon > 0</tex> и алфавитом <tex>\Sigma_0</tex>, <tex>|\Sigma_0|=O(1)</tex>. Тогда существует <tex>\beta_3 > 0</tex>, зависящая только от <tex>\mathcal{P}</tex>, такая что любой граф условий <tex>G=\langle(V,E),\Sigma,\mathcal{C}\rangle</tex> может быть преобразован в <tex>G'=\langle(V',E'),\Sigma_0,\mathcal{C}'\rangle</tex>, обозначаемый <tex>G \circ \mathcal{C}</tex>, такой что <tex>size(G')=M(|\Sigma|) \cdot size(G)</tex> и <tex>\beta_3 \cdot UNSAT(G) \le UNSAT(G') \le UNSAT(G)</tex>
|proof=
}}

==Основная теорема==
Основываясь на операциях с графами условий мы можем доказать основную теорему.
{{Теорема
|about=Основная теорема
|statement=Для любого <tex>\Sigma</tex>, <tex>|\Sigma|=O(1)</tex> существуют константы <tex>C > 0</tex> и <tex>0 < \alpha < 1</tex> такие, что для данного графа условий <tex>G=\langle(V,E),\Sigma,\mathcal{C}\rangle</tex> за полиномиальное время можно построить граф условий <tex>G'=\langle(V',E'),\Sigma_0,\mathcal{C}'\rangle</tex> такой, что:
* <tex>size(G') \le C \cdot size(G)</tex> и <tex>|\Sigma_0| = O(1)</tex>
* (Полнота) Если <tex>UNSAT(G)=0</tex>, то <tex>UNSAT(G')=0</tex>
* (Обоснованность) <tex>UNSAT(G') \ge min(2 \cdot UNSAT(G), \alpha)</tex>
|proof=
Построим <tex>G'</tex> по <tex>G</tex> следующим образом: <tex>G'=(prep(G))^t \circ \mathcal{P}</tex>.
# (Препроцессинг) Пусть <tex>H_1=prep(G)</tex>. Существуют некоторые глобальные константы <tex>\lambda < d </tex> и <tex>\beta_1 >0</tex> такие, что <tex>H_1</tex> <tex>d</tex>-регулярный, имеет тот же алфавит, что и <tex>G</tex>, <tex>\lambda(H_1) \le \lambda < d</tex> и <tex>\beta_1 \cdot UNSAT*G( \le UNSAT(H_1) \le UNSAT(G)</tex>.
# (Усиление) Пусть <tex>H_2=(H_1)^t</tex> для достаточно большой константы <tex> t > 1</tex>, которую определим ниже. Существует некоторая константа <tex>\beta_2=\beta(\lambda, d, |\Sigma|) > 0</tex>, для которой <tex>UNSAT(H_2) \ge \beta_2 \sqrt{t} \cdot min(UNSAT(H_1), \frac 1 t)</tex>. Однако, алфавит вырос до <tex>\Sigma^{d^{\lceil t / 2 \rceil}}</tex>.
# (Композиция) Пусть <tex>G'=H_2 \circ \mathcal{P}</tex>. Это уменьшит алфавит до <tex>\Sigma_0</tex>, при <tex>\beta_3 \cdot UNSAT(H_2) \le UNSAT(G') \le UNSAT(H_2)</tex> для некоторой <tex>\beta_3 > 0 </tex>.

Проверим выполнение условий теоремы. Размер <tex>G'</tex> линеен относительно размера<tex>G</tex>, поскольку на каждом шагу увеличивался линейно. Полнота явно поддерживается на каждом шаге. Теперь выберем <tex>t=\left\lceil\left({\frac 2 {\beta_1\beta_2\beta_3}}\right)^2\right\rceil</tex>. Пусть <tex>\alpha=\frac {\beta_3\beta_2} {sqrt{t}}</tex>.
Таким образом,

<tex>UNSAT(G') \ge \beta_3 \cdot UNSAT(H_2)</tex> <tex>\ge \beta_3 \cdot \beta_2 \sqrt{t} \cdot min(UNSAT(H_1), \frac 1 t)</tex> <tex>\ge \beta_3 \cdot \beta_2 \sqrt{t} \cdot min(\beta_1 UNSAT(G_, \frac 1 t) </tex> <tex>\ge min(2 \cdot UNSAT(G), \alpha)</tex>
}}
===Доказательство PCP теоремы===
{{Лемма
|statement=Следствием из основной теоремы является <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудность <tex>GAP-3SAT_s</tex>.
|proof=Сведем удовлетворимость графа условий к нашей задаче. Пусть <tex>G</tex> задача удовлетворимости некоторого графа с <tex>|\Sigma|=3</tex>. Идей состоит в повторении применения основной теоремы до тех пор, пока число неудовлетворенности не станет постоянным.

Пусть <tex>G_0 = G</tex> и <tex>G_i(i \ge 1)</tex> — результат применения основной теоремы к <tex>G_{i-1}</tex>. Тогда для <tex>i \ge 1</tex> <tex>G</tex> — граф условий с алфавитом <tex>\Sigma_0</tex>. Пусть <tex>E_0</tex> — множество ребер <tex>G_0<tex> и <tex>k=log|E_0|=O(log n)</tex>.

Полнота показывается тривиально: если <tex>UNSAT(G_0)=0</tex>, то для всех <tex>i</tex> <tex>UNSAT(G_i)=0</tex>. Для обоснованности рассмотрим <tex>UNSAT(G_0) > 0</tex>. Если для некоторого <tex>i*<k</tex>, <tex>UNSAT(G_{i*}) \ge \frac \alpha 2</tex>, то из основной теоремы следует, что для всех <tex>i>i*</tex> <tex>UNSAT(G_i)\ge \alpha</tex>. На остальные <tex>i</tex> это распространяется по индукции <tex>UNSAT(G_i) \ge min(2^i UNSAT(G_0), \alpha)</tex>.

Если <tex>UNSAT(G_0)>0</tex>, то <tex>UNSAT(G_0)\ge \frac 1 {|E_0|}</tex>. Конечно, <tex>2^k UNSAT(G_0) > \alpha</tex>. Таким образом <tex>UNSAT(G_k) \ge \alpha</tex>.

Мы доказали, что <tex>GAP</tex> <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудная. В частности, для <tex>GAP-3SAT</tex>, надо преобразовать каждое условие к константное число дизъюнктов <tex>3CNF</tex>.

}}
==Дополнительные материалы==
* [http://www.math.ias.edu/boaz/ExpanderCourse/|N. Linial and A. Wigderson. Expander graphs and their applications. Lecture notes of a course, 2003].
* Michael Sipser and Daniel A. Spielman. Expander codes. IEEE Trans. Inform. Theory, 42(6, part 1):1710–1722, 1996. Codes and complexity.
* C. Papadimitriou and M. Yannakakis. Optimization, approximation and complexity classes. Journal of Computer and System Sciences, 3:425–440, 1991.
* Irit Dinur and Omer Reingold. Assignment testers: Towards combinatorial proofs of the PCP theorem. In Proceedings of the 45th Symposium on Foundations of Computer Science (FOCS), 2004.
==Источники==
* [http://eccc.hpi-web.de/report/2005/046/|The PCP Theorem by Gap Amplification, Irit Dinur, 2005].
* [http://www.cs.utah.edu/~alfeld/LecturePDFs/pcp.pdf|The PCP Theorem, Notes by Scott Alfeld, 2008].

Теория сложности

2012-06-03T19:42:17Z

Filchenko: PCP-теорема

{{В разработке}}

[[Категория: Теория сложности]]

*[[Сложностные классы. Вычисления с оракулом]]
*[[Класс P]]
*[[Недетерминированные вычисления. Классы NP и Σ₁]]
*[[Сведение относительно класса функций. Сведение по Карпу. Трудные и полные задачи]]
*[[Примеры NP-полных языков. Теорема Кука]]
*[[Теоремы о временной и емкостной иерархиях]]
*[[Теорема Бейкера — Гилла — Соловэя]]
*[[Теорема Ладнера]]
*[[Теорема Левина]]
*[[Теорема Бермана — Форчуна]]
*[[Теорема Махэни]]
*[[Класс PS. Теорема Сэвича. Совпадение классов NPS и PS]]
*[[PS-полнота языка верных булевых формул с кванторами (TQBF)]]
*[[Классы L, NL, coNL. NL-полнота задачи о достижимости]]
*[[Классы PH, Σ и Π]]
*[[Теоремы о коллапсе полиномиальной иерархии]]
*[[Схемная сложность и класс P/poly]]
*[[Теорема Карпа — Липтона]]
*[[Классы NC и AC]]
*[[Теорема о непринадлежности XOR классу AC⁰]]
*[[Вероятностные вычисления. Вероятностная машина Тьюринга]]
*[[Классы BPPweak и BPPstrong]]
*[[Уменьшение ошибки в классе RP. Теорема о соотношении классов coRP и coNP]]
*[[Теорема Лаутемана]]
*[[Интерактивные протоколы. Класс IP. Класс AM]]
*[[Связь классов IP и AM друг с другом и с другими классами языков]]
*[[Арифметизация булевых формул с кванторами]]
*[[Лемма о соотношении coNP и IP]]
*[[Теорема Шамира]]
*[[Семейство универсальных попарно независимых хеш-функций]]
*[[Протокол Голдвассера-Сипсера для оценки размера множества]]
*[[PCP-система]]
*[[PCP-теорема]]
*[[PCP-теорема, альтернативное доказательство]]

----

[[Теория сложности (старая трешовая версия)|Вот сюда]] можно подсматривать, но злоупотреблять не рекомендуется.

PCP-теорема

2012-06-03T19:41:55Z

Filchenko: доказательство PCP

{{Теорема
|id=pcp_th
|about=<tex>\mathrm{PCP}</tex> теорема
|statement=<tex>\mathrm{PCP}[log(n), O(1)] = \mathrm{NP}</tex>
}}

Классическое доказательство [[Класс PCP|<tex>\mathrm{PCP}</tex>]] теоремы громоздкое и довольно сложное для восприятия,
рассмотрим вариант докаательства, предложенный Динуром.

==Лемма об эквивалентности PCP теоремы и NP-трудности GAP-3SAT==

{{Определение
|definition=
Задача <tex>GAP-3SAT_s</tex>:
* <tex>\psi</tex> — <tex>3CNF</tex> с <tex>m</tex> дизъюнктами
* <tex>OPT</tex> — максимальное количество дизъюнктов, которые могуг быть удовлетворены одновременно
* <tex>OPT = m \Rightarrow YES</tex>
* <tex>OPT < sm \Rightarrow NO</tex>
* <tex>sm < OPT < m </tex> — нет ограничений на вывод
}}

{{Лемма
|statement=<tex>\mathrm{PCP}</tex> теорема эквивалентна вопросу принадлежности
<tex>GAP-3SAT_s</tex> классу <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудных задач для некоторого <tex>s</tex>.
|proof=
Сначала докажем, что из <tex>\mathrm{PCP}</tex> теоремы следует <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудность <tex>GAP-3SAT_s</tex>.

Заметим, что для <tex>\mathrm{NP}</tex>-полной задачи <tex>3-Color</tex> существует сведение <tex>\mathcal{R}</tex> к <tex>GAP-3SAT_s</tex>.

Из принадлежности <tex>3Color</tex> <tex>\mathrm{NP}</tex> и <tex>\mathrm{PCP}</tex> теоремы следует, что существует
доказательство <tex>\pi</tex> прувера <tex>\mathcal{P}</tex>. Обозначим <tex>\pi_i</tex> <tex>i</tex>-й бит доказательства (не его значение), будем рассматривать <tex>\pi_i</tex> как переменные в <tex>3SAT</tex> формуле.

По данному графу <tex>G</tex>, <tex>\mathcal{R}</tex> нумерует все <tex>N = 2^Q = 2^{O(log(n)} = poly(n)</tex> возможные
случайные строки, которые может выбрать верифаер <tex>V</tex>. Обозначим их <tex>Q_1 ... Q_{poly(n)}</tex>.

Каждая строка <tex>Q_i</tex> дает нам <tex>C</tex> позиций в доказательстве и предикат <tex>\phi</tex>. <tex>\mathcal{R}</tex>
строит <tex>3CNF</tex> формулу для каждого <tex>\phi</tex>. Поскольку <tex>\phi</tex> функция от </tex>C</tex> пременных,
построенная <tex>3CNF</tex> содержит не более <tex>K=C2^C</tex> дизъюнктов. Для упрощения будем считать, что формула содержит
<tex>K</tex> дизъюнктов. <tex>\mathcal{R}</tex> возвращает конъюнкцию всех полученных формул, содержащую <tex>m=NK</tex> дизъюнктов.

Можно заметить, что из <tex>G \in 3Color</tex> по <tex>\mathrm{PCP}</tex> теореме следует, что существует <tex>\pi</tex>,
удовлетворяющее всем проверкам <tex>V</tex>. Таким образом все <tex>m</tex> дизъюнктов могут быть удовлетворены и <tex>OPT=m</tex>, что и требуется для корректности сведения <tex>\mathcal{R}</tex>.

Однако, если <tex>G \notin 3Color</tex>, хотя бы <tex>\frac N 2</tex> проверок <tex>V</tex> должны привести к отрицательному результату. Если <tex>Q_i</tex> приводит к отрицательному ответу, <tex>3CNF</tex> формула, построенная по соответствующему
предикату <tex>\phi</tex> должна быть неудовлетворимой, значит не больше <tex>K-1</tex> дизъюнктов могут быть удовлетворены.
Суммарное количество дизъюнктов, которое может быть удовлетворено:

<tex>\frac N 2 (K-1) + \frac N 2 K = \frac N 2 K(1- \frac 1 K) + \frac N 2 K = NK(1 - \frac 1 {2K}) = m(1 - \frac 1 {2k}) = sm</tex>

Мы показали, что из <tex>\mathrm{PCP}</tex> теоремы следует <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудность задачи <tex>GAP-3SAT_s</tex>. Теперь
покажем, что из <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудности задачи <tex>GAP-3SAT_s</tex> следует <tex>\mathrm{PCP}</tex> теорема.

В предположении <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудности задачи <tex>GAP-3SAT_s</tex> любая <tex>\mathrm{NP}</tex>-полная задача, например <tex>3Color</tex> может быть сведена к <tex>GAP-3SAT_s</tex>. Таким образом мы можем свести <tex>3Color</tex> к <tex>3CNF</tex> формуле такой <tex>R(G)</tex>, что:
* <tex> G \in 3Color \Rightarrow R(G)</tex> имеет <tex>OPT=m</tex>
* <tex> G \notin 3Color \Rightarrow R(G)</tex> имеет <tex>OPT<sm</tex>

Имея такое сведение мы построим <tex>\mathcal{V}</tex> и доказательство прувера <tex>\mathcal{P}</tex> для
<tex>\mathrm {PCP}</tex> системы. <tex>\mathcal{V}</tex> запускает функцию сведения во время предподсчета,
доказателтьство <tex>\pi</tex> для данной <tex>R(G)=\psi</tex> <tex>3CNF</tex> формулы представляет собой значения пременных <tex>\psi</tex>. <tex>\mathcal{V}</tex> случайно выбирает дизъюнкт <tex>C</tex> из
<tex>\psi</tex> и проверяет, что он удовлетворяется <tex>\pi</tex>.

Понятно, что если <tex>G \in 3Color</tex>, то по определению <tex>R(G)</tex> любой дизъюнкт, выбранный
<tex>\mathcal{V}</tex> будет удовлетворен, поскольку <tex>OPT=m</tex>. Если же <tex>G \notin 3Color</tex>,
мы знаем, что <tex>OPT < sm</tex>, опять же по определению <tex>R(G)</tex>. Тaким образом вероятность того,
что <tex>\mathcal{V}</tex> выберет удовлетворенный дизъюнкт меньше <tex>s</tex>. Так как <tex>s</tex> —
константа, повторяя процесс мы можем сделать вероятность меньше <tex>\frac 1 2</tex>.

Таким образом мы показали эвивалентность <tex>\mathrm{PCP}</tex> теоремы вопросу <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудности задачи <tex>GAP-3SAT_s</tex>.
}}

==Определения и леммы, используемые в доказательстве==
{{Определение
|definition= <tex>\mathcal{C}=\lbrace c_1,..., c_n\rbrace</tex> назовем множеством условий над
множеством переменных <tex>V</tex>.
}}
{{Определение
|definition=Число неудовлетворенности <tex>UNSAT(\mathcal{C})</tex> — минимальное подмножество неудовлетворенных условий для любых возможных назначений <tex>V</tex>. <tex>\mathcal{C}</tex> удовлетворимо тогда и только тогда, когда <tex>UNSAT(\mathcal{C})=0</tex>. Если же <tex>\mathcal{C}</tex> неудовлетворимо, тогда <tex>UNSAT(\mathcal{C}) \ge \frac 1 n</tex>.
}}

===Графы условий===
Нам понадобятся графы ограничений для двух переменных, которые определяются следующим образом:
{{Определение
|definition=
<tex>G=\left\langle(V,E,\Sigma,\mathcal{C}\right\rangle</tex> называется графом условий, если:
* <tex>(V,E)</tex> — неориентированный граф, называемый графом, леащим в основе <tex>G</tex>.
* Множество <tex>V</tex> также представляется в виде множества переменных принимающих значениями из алфавита <tex>\Sigma</tex>
* Каждое ребро <tex>e \in E</tex> содержит условие <tex>c(e) \subseteq \Sigma^2</tex> и <tex>\mathcal{C}=\lbrace c(e)\rbrace_{e \in E}</tex>. Условие <tex>c(e)</tex> называется удовлетворенным парой <tex>(a, b)</tex>, если <tex>(a, b) \in c(e)</tex>
}}

Присваивание это отображение <tex>\sigma:V \rightarrow \Sigma</tex>, которое назначает каждой вершине из <tex>V</tex>
значение из <tex>\Sigma</tex>. Для любого присвоения <tex>\sigma</tex> определим <tex>UNSAT_\sigma(G) = \operatorname*{Pr}\limits_{(u,v)\in E} [(\sigma(u),\sigma(v)) \notin c(e)]</tex> и <tex>UNSAT(G) = \operatorname*{min}\limits_\sigma UNSAT_\sigma(G)</tex>.

Назовем <tex>UNSAT(G)</tex> числом неудовлетворенности графа <tex>G</tex>. Размером графа будем считать размер его описания <tex>size(G)=O(|V|+|E| \cdot |\Sigma|^2)</tex>

{{Лемма
|statement=Для заданного графа условий <tex>G=\left\langle(V,E,\Sigma,\mathcal{C}\right\rangle</tex>, где <tex>|\Sigma|=3</tex> проверка утверждения <tex>UNSAT(G)=0</tex> — <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудная задача.
|proof=
Сведем <tex>3Color</tex> к нашей задаче. Дан граф <tex>G</tex>, алфавит <tex>\Sigma=\lbrace 1,2,3 \rbrace</tex> для трех цветов. Оснастим ребра условиями неравенства. Очевидно, что <tex>G \in 3Color</tex> тогда и только тогда, когда <tex>UNSAT(G)=0<tex> (Иногда удобно использовать одно и то же обозначение <tex>G</tex> для графа условий и графа, лежащего в его основе).
}}

===Экспандер графы===
Экспандер графы играют важную роль во многих теоретических результатах.

{{Определение
|definition= <tex>G=(V,E)</tex> <tex>d</tex>-регулярный граф. Положим <tex>E(S,\overline{S})=|(S \times \overline{S}) \cap E|</tex> равным количеству ребер их подмножества <tex>S\in V</tex> в его дополнение. Определим реберное расширение как
<tex>h(G)=\operatorname*{min}\limits_{S:|S|<\frac {|V|} 2} \frac {E(S, \overline S)} {|S|}</tex>
}}

{{Лемма
|about=О экспандерах
|statement=Существует <tex>d_0 \in \mathbb{N}</tex> и <tex>h_0 >0</tex> такие, что есть построимое за полиномиальное время семейство <tex>\lbrace X_n\rbrace_{n \in \mathbb{N}}</tex> <tex>d_0</tex>-регулярных графов <tex>X_n</tex> с <tex>n</tex> вершинами таких, что <tex>h(X_n) \ge h_0</tex>.
|proof=TODO
}}

{{Лемма
|statement= Пусть <tex>G</tex> <tex>d</tex>-регулярный граф, а <tex>h(G)</tex> его реберное расширение. Тогда <tex>\lambda(G) \le d - \frac {h(G)^2} d</tex>
}}

{{Определение
|definition=Собственным числом графа <tex>\lambda</tex> называют собственное число его матрицы смежности.
}}

{{Лемма
|statement=Пусть <tex>G</tex> <tex>d</tex>-регулярный граф со вторым по величине собственным числом <tex>\lambda</tex>. Пусть <tex>F \subseteq E</tex> множество ребер. Вероятность <tex>p</tex> того, что случайный путь, начинающийся со случайного ребра из <tex>F</tex> на <tex>i+1</tex> шаге попадет <tex>F</tex> ограничена <tex>\frac {|F|} {|E|} + \left({\frac {|\lambda|} d}\right)^i</tex>.
|proof=TODO
}}

===Вероятности===
Следующее неравенство в стиле неравенства Чебышева удобно использовать, чтобы показать что для неотрицательной случайной величины <tex>X</tex>, <tex>Pr[X > 0] \approx \mathbb{E}[X]</tex> когда <tex>\mathbb{E}[X] \approx \mathbb{E}[X^2]</tex>.

{{Утверждение
|statement= Для любой неотрицательной случайной величины <tex>X</tex>, <tex>Pr[X>0] \ge \mathbb{E}[X^2] / \mathbb{E}[X]</tex>
|proof=TODO
}}

===Коды с коррекцией ошибок===
{{Определение
|definition=Кодом с коррекцией ошибок называется набор строк <tex>C \subset \Sigma^n</tex>, где <tex>\Sigma</tex> некоторый конечный алфавит. <tex>n</tex> называется размером блока, а <tex>log_{|\Sigma|}|C|</tex> уровнем кода. Расстоянием кода называется <tex>min_{x \neq y \in C} dist(x,y)</tex>, где <tex>dist(\cdot,\cdot)</tex> — расстояние Хэмминга.
}}

Взаимнооднознаячное отображение <tex>e:D \rightarrow \Sigma^n</tex> также иногда называют кодом с коррекцией ошибок. Его уровень и расстояние определяются как уровени и расстояние его образа <tex>e(D)</tex>.

Известно, что существуют семейства кодов <tex>\lbrace C_n \subset \lbrace 0,1 \rbrace^n \rbrace_{n \in \mathbb{N}}</tex>, для которых уровень и расстояние равны <tex>O(n)</tex> и существует схема полиномиального размера, проверяющая <tex>x \in C_n</tex>.

==Операции на графах условий==
Для доказательства <tex>\mathrm{PCP}</tex> теоремы потребуются три операции над графами уловий:
* Препроцессинг. Простая операция, сохраняющая чило неудовлетворенности(примерно) и размер алфавита, но делающая граф лучше.
* Усиление. Эта операция увеоичивает чило неудовлетворенности за счет увеличения размера алфавита.
* Композицияю Эта операция уменьшает размер алфавита, сохраняя число неудовлетворенности(приблизительно).

===Препроцессинг===
Под хорошим графом будем понимать регулярный, фиксированной степени экспандер граф.
{{Лемма
|about=Препроцессинг
|statement= существуют константы <tex>0 < \lambda < d</tex> и <tex>\beta_1 >0</tex> такие, что любой граф условий <tex>G</tex> может быть преобразован в граф условий <tex>G'=prep(G)</tex> такой, что:
* <tex>G'</tex> <tex>d</tex>-регулярный
* <tex>G'</tex> имеет тот же алфавит, что и <tex>G</tex> и <tex>size(G') = O(size(G))</tex>.
* <tex>\beta_1 \cdot UNSAT(G) \le UNSAT(G') \le UNSAT(G)</tex>
}}

Заметим, что третий пункт теммы гарантирует поддержание полноты, т.е. если <tex>UNSAT(G)=0</tex>, то и <tex>UNSAT(G')=0</tex>. Доказательство этой леммы состоит из двух следующих лемм (<tex>\beta_1=c \cdot \frac d {d + d_0 + 1}</tex>).

{{Лемма
|about=Константная степень
|statement=Любой граф условий <tex>G = \langle (V,E),\Sigma,\mathcal{C}\rangle</tex> может быть преобразован в <tex>(d_0 + 1)</tex>-регулярный граф условий <tex>G'=\langle (V',E'),\Sigma,\mathcal{C}'\rangle</tex> такой, что <tex>|V'|</tex>=2|E|</tex> и <tex>c \cdot UNSAT(G) \le UNSAT(G') \le UNSAT(G)</tex>. Для некоторых заданных констант <tex>d_0,c>0</tex>
|proof=TODO
}}

Эта лемма известна как экспандер-замена(expander-replacement transformation).

{{Лемма
|about=О расширении
|statement=
Пусть <tex>d_0, h_0 >0</tex> некоторые константы. Любой <tex>d</tex>-регулярный граф условий <tex>G</tex> может быть преобразован в <tex>G'</tex> такой, что:
* <tex>G'</tex> <tex>(d + d_0 + 1)</tex>-регулярный, имеет собственные циклы и <tex>\lambda(G') \le d + d_0 + 1 - \frac {h_0^2} {d + d_0 + 1} < deg(G')</tex>
* <tex>size(G')=O(size(G))</tex>
* <tex> \frac d {d + d_0 + 1} \cdot UNSAT(G) \le UNSAT(G') \le UNSAT(G)</tex>
|proof=TODO
}}

===Усиление===
Это новая операция на системах условий, которая увеличивает число неудовлетворенности.
Пусть <tex>G=\langle (V,E),\Sigma,\mathcal{C}\rangle<tex> граф условий, <tex>t \in \mathbb{N}</tex>. Определим <tex>G^t=\langle (V,\mathbf{E}),\Sigma^{d^{\lceil t/2\rceil}}, \mathcal{C}^t \rangle</tex> как следующий граф условий:
* Веришины <tex>G^t</tex> совпадают с вершинами <tex>G</tex>
* Ребра: <tex>u</tex> и <tex>v</tex> соединены <tex>k</tex> ребрами в <tex>\mathbf{E}</tex>, если количество путей длины <tex>t</tex> из <tex>u</tex> в <tex>v</tex> в графе <tex>G</tex> равно <tex>k</tex>
* Алфавит: алфавит графа <tex>G^t</tex> <tex>\Sigma^{d^{\lceil t/2\rceil}}</tex>, где каждой вершине сопоставлены значения ее соседей, достижимых за <tex>\frac t 2</tex> шагов.
* Условия: Условия сопоставленные ребру <tex>e=(u,v) \in \mathbf{E}</tex> удовлетворены, если назначения для <tex>u</tex> и <tex>v</tex> согласованы с назначениями, удовлетворяющими условия, порожденные <tex>\frac t 2</tex> соседями <tex>u</tex> и <tex>v</tex>.

Если <tex>UNSAT(G)=0</tex> тогда очевидно <tex>UNSAT(G^t)=0</tex>. Интереснее доказательство того, что <tex>UNSAT(G^t) \ge O(\sqrt{t} \cdot UNSAT(G)</tex>.

{{Лемма
|about=Усиление
|statement= Пусть <tex>\lambda < d</tex> и <tex>|\Sigma|</tex> произвольные константы. Тогда существует константа <tex>\beta_2=\beta_2(\lambda,d,|\Sigma|)>0</rex> такая, что для любого <tex>t \in \mathbb N</tex> и для любого <tex>d</tex>-регулярного графа условий <tex>G=\langle(V,E),\Sigma,\mathcal{C}\rangle</tex> с собственными циклами и <tex>\lambda(G)\le \lambda</tex>, <tex>UNSAT(G^t) \ge \beta_2 \sqrt{t} \cdot min \left({UNSAT(G), \frac 1 t}\right)</tex>.
|proof=TODO
}}

Поскольку <tex>UNSAT(G) \le \frac 1 t</tex>, из жтой леммы следует что <tex>UNSAT(G^t) \ge O(\sqrt{t}) \cdot UNSAT(G)</tex>. Это основная техническая лемма.
===Композиция===
{{Определение
|about=Тестер присвоений
|definition=Тестер присвоений с алфавитом <tex>\Sigma_0</tex> и вероятностью отклонения <tex>\epsilon > 0</tex> это полиномиальное преобразование <tex>\mathcal{P}</tex>, принимающее на вход схему <tex>\Phi</tex> над будевыми переменными <tex>X</tex> и дающую на выходе граф условий <tex>G=\langle(V,E),\Sigma_0,\mathcal{C}\rangle</tex> такой, что <tex>V \subset X</tex>(в условном графе <tex>V</tex> играет одновременно две роли: переменных и вершин. <tex>Y \subset X</tex> подразумевает, что некоторые вершины из <tex>V</tex> определены с помощью переменных <tex>X</tex>). Пусть <tex>V'=V \setminus X</tex> и <tex>a : X \rightarrow \lbrace 0,1 \rbrace</tex> — присваивание.
* (Полнота) Если <tex>a \in SAT(\Phi)</tex> то существует <tex>b : V' \rightarrow \Sigma_0</tex> такое, что <tex>UNSAT_{a\cup{b}}(G)=0</tex>
* (Обоснованность) Если <tex>a \notin SAT(\Phi)</tex> то для всех <tex>b : V' \rightarrow \Sigma_0</tex>, <tex>UNSAT_{a\cup{b}}(G) \ge \epsilon \cdot dist(a, SAT(\Phi))</tex>.
}}

Следует заметить, что не накладывается никаких ограничений ни на время работы <tex>\mathcal{P}</tex> ни на <tex>size(G)</tex>. Мы игнорируем размер схемы <Tex>\Phi</tex>, которая может быть экспоненциальна относительно <tex>|X|</tex>.

{{Лемма
|about=Композиция
|statement=Пусть существует тестер присвоений <tex>\mathcal{P}</tex> с константной вероятностью отклонения <tex>\epsilon > 0</tex> и алфавитом <tex>\Sigma_0</tex>, <tex>|\Sigma_0|=O(1)</tex>. Тогда существует <tex>\beta_3 > 0</tex>, зависящая только от <tex>\mathcal{P}</tex>, такая что любой граф условий <tex>G=\langle(V,E),\Sigma,\mathcal{C}\rangle</tex> может быть преобразован в <tex>G'=\langle(V',E'),\Sigma_0,\mathcal{C}'\rangle</tex>, обозначаемый <tex>G \circ \mathcal{C}</tex>, такой что <tex>size(G')=M(|\Sigma|) \cdot size(G)</tex> и <tex>\beta_3 \cdot UNSAT(G) \le UNSAT(G') \le UNSAT(G)</tex>
|proof=
}}

==Основная теорема==
Основываясь на операциях с графами условий мы можем доказать основную теорему.
{{Теорема
|about=Основная теорема
|statement=Для любого <tex>\Sigma</tex>, <tex>|\Sigma|=O(1)</tex> существуют константы <tex>C > 0</tex> и <tex>0 < \alpha < 1</tex> такие, что для данного графа условий <tex>G=\langle(V,E),\Sigma,\mathcal{C}\rangle</tex> за полиномиальное время можно построить граф условий <tex>G'=\langle(V',E'),\Sigma_0,\mathcal{C}'\rangle</tex> такой, что:
* <tex>size(G') \le C \cdot size(G)</tex> и <tex>|\Sigma_0| = O(1)</tex>
* (Полнота) Если <tex>UNSAT(G)=0</tex>, то <tex>UNSAT(G')=0</tex>
* (Обоснованность) <tex>UNSAT(G') \ge min(2 \cdot UNSAT(G), \alpha)</tex>
|proof=
Построим <tex>G'</tex> по <tex>G</tex> следующим образом: <tex>G'=(prep(G))^t \circ \mathcal{P}</tex>.
# (Препроцессинг) Пусть <tex>H_1=prep(G)</tex>. Существуют некоторые глобальные константы <tex>\lambda < d </tex> и <tex>\beta_1 >0</tex> такие, что <tex>H_1</tex> <tex>d</tex>-регулярный, имеет тот же алфавит, что и <tex>G</tex>, <tex>\lambda(H_1) \le \lambda < d</tex> и <tex>\beta_1 \cdot UNSAT*G( \le UNSAT(H_1) \le UNSAT(G)</tex>.
# (Усиление) Пусть <tex>H_2=(H_1)^t</tex> для достаточно большой константы <tex> t > 1</tex>, которую определим ниже. Существует некоторая константа <tex>\beta_2=\beta(\lambda, d, |\Sigma|) > 0</tex>, для которой <tex>UNSAT(H_2) \ge \beta_2 \sqrt{t} \cdot min(UNSAT(H_1), \frac 1 t)</tex>. Однако, алфавит вырос до <tex>\Sigma^{d^{\lceil t / 2 \rceil}}</tex>.
# (Композиция) Пусть <tex>G'=H_2 \circ \mathcal{P}</tex>. Это уменьшит алфавит до <tex>\Sigma_0</tex>, при <tex>\beta_3 \cdot UNSAT(H_2) \le UNSAT(G') \le UNSAT(H_2)</tex> для некоторой <tex>\beta_3 > 0 </tex>.

Проверим выполнение условий теоремы. Размер <tex>G'</tex> линеен относительно размера<tex>G</tex>, поскольку на каждом шагу увеличивался линейно. Полнота явно поддерживается на каждом шаге. Теперь выберем <tex>t=\left\lceil\left({\frac 2 {\beta_1\beta_2\beta_3}}\right)^2\right\rceil</tex>. Пусть <tex>\alpha=\frac {\beta_3\beta_2} {sqrt{t}}</tex>.
Таким образом,

<tex>UNSAT(G') \ge \beta_3 \cdot UNSAT(H_2)</tex> <tex>\ge \beta_3 \cdot \beta_2 \sqrt{t} \cdot min(UNSAT(H_1), \frac 1 t)</tex> <tex>\ge \beta_3 \cdot \beta_2 \sqrt{t} \cdot min(\beta_1 UNSAT(G_, \frac 1 t) </tex> <tex>\ge min(2 \cdot UNSAT(G), \alpha)</tex>
}}
===Доказательство PCP теоремы===
{{Лемма
|statement=Следствием из основной теоремы является <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудность <tex>GAP-3SAT_s</tex>.
|proof=Сведем удовлетворимость графа условий к нашей задаче. Пусть <tex>G</tex> задача удовлетворимости некоторого графа с <tex>|\Sigma|=3</tex>. Идей состоит в повторении применения основной теоремы до тех пор, пока число неудовлетворенности не станет постоянным.

Пусть <tex>G_0 = G</tex> и <tex>G_i(i \ge 1)</tex> — результат применения основной теоремы к <tex>G_{i-1}</tex>. Тогда для <tex>i \ge 1</tex> <tex>G</tex> — граф условий с алфавитом <tex>\Sigma_0</tex>. Пусть <tex>E_0</tex> — множество ребер <tex>G_0<tex> и <tex>k=log|E_0|=O(log n)</tex>.

Полнота показывается тривиально: если <tex>UNSAT(G_0)=0</tex>, то для всех <tex>i</tex> <tex>UNSAT(G_i)=0</tex>. Для обоснованности рассмотрим <tex>UNSAT(G_0) > 0</tex>. Если для некоторого <tex>i*<k</tex>, <tex>UNSAT(G_{i*}) \ge \frac \alpha 2</tex>, то из основной теоремы следует, что для всех <tex>i>i*</tex> <tex>UNSAT(G_i)\ge \alpha</tex>. На остальные <tex>i</tex> это распространяется по индукции <tex>UNSAT(G_i) \ge min(2^i UNSAT(G_0), \alpha).

Если <tex>UNSAT(G_0)>0</tex>, то <tex>UNSAT(G_0)\ge \frac 1 {|E_0|}</tex>. Конечно, <tex>2^k UNSAT(G_0) > \alpha</tex>. Таким образом <tex>UNSAT(G_k) \ge \alpha</tex>.

Мы доказали, что <tex>GAP</tex> <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудная. В частности, для <tex>GAP-3SAT</tex>, надо преобразовать каждое условие к константное число дизъюнктов <tex>3CNF</tex>.

}}
==Дополнительные материалы==
* [http://www.math.ias.edu/boaz/ExpanderCourse/|N. Linial and A. Wigderson. Expander graphs and their applications. Lecture notes of a course, 2003].
* Michael Sipser and Daniel A. Spielman. Expander codes. IEEE Trans. Inform. Theory, 42(6, part 1):1710–1722, 1996. Codes and complexity.
* C. Papadimitriou and M. Yannakakis. Optimization, approximation and complexity classes. Journal of Computer and System Sciences, 3:425–440, 1991.
* Irit Dinur and Omer Reingold. Assignment testers: Towards combinatorial proofs of the PCP theorem. In Proceedings of the 45th Symposium on Foundations of Computer Science (FOCS), 2004.
==Источники==
* [http://eccc.hpi-web.de/report/2005/046/|The PCP Theorem by Gap Amplification, Irit Dinur, 2005].
* [http://www.cs.utah.edu/~alfeld/LecturePDFs/pcp.pdf|The PCP Theorem, Notes by Scott Alfeld, 2008].

PCP-теорема

2012-06-03T19:19:22Z

Filchenko: основная теорема

{{Теорема
|id=pcp_th
|about=<tex>\mathrm{PCP}</tex> теорема
|statement=<tex>\mathrm{PCP}[log(n), O(1)] = \mathrm{NP}</tex>
}}

Классическое доказательство [[Класс PCP|<tex>\mathrm{PCP}</tex>]] теоремы громоздкое и довольно сложное для восприятия,
рассмотрим вариант докаательства, предложенный Динуром.

==Лемма об эквивалентности PCP теоремы и NP-трудности GAP-3SAT==

{{Определение
|definition=
Задача <tex>GAP-3SAT_s</tex>:
* <tex>\psi</tex> — <tex>3CNF</tex> с <tex>m</tex> дизъюнктами
* <tex>OPT</tex> — максимальное количество дизъюнктов, которые могуг быть удовлетворены одновременно
* <tex>OPT = m \Rightarrow YES</tex>
* <tex>OPT < sm \Rightarrow NO</tex>
* <tex>sm < OPT < m </tex> — нет ограничений на вывод
}}

{{Лемма
|statement=<tex>\mathrm{PCP}</tex> теорема эквивалентна вопросу принадлежности
<tex>GAP-3SAT_s</tex> классу <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудных задач для некоторого <tex>s</tex>.
|proof=
Сначала докажем, что из <tex>\mathrm{PCP}</tex> теоремы следует <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудность <tex>GAP-3SAT_s</tex>.

Заметим, что для <tex>\mathrm{NP}</tex>-полной задачи <tex>3-Color</tex> существует сведение <tex>\mathcal{R}</tex> к <tex>GAP-3SAT_s</tex>.

Из принадлежности <tex>3Color</tex> <tex>\mathrm{NP}</tex> и <tex>\mathrm{PCP}</tex> теоремы следует, что существует
доказательство <tex>\pi</tex> прувера <tex>\mathcal{P}</tex>. Обозначим <tex>\pi_i</tex> <tex>i</tex>-й бит доказательства (не его значение), будем рассматривать <tex>\pi_i</tex> как переменные в <tex>3SAT</tex> формуле.

По данному графу <tex>G</tex>, <tex>\mathcal{R}</tex> нумерует все <tex>N = 2^Q = 2^{O(log(n)} = poly(n)</tex> возможные
случайные строки, которые может выбрать верифаер <tex>V</tex>. Обозначим их <tex>Q_1 ... Q_{poly(n)}</tex>.

Каждая строка <tex>Q_i</tex> дает нам <tex>C</tex> позиций в доказательстве и предикат <tex>\phi</tex>. <tex>\mathcal{R}</tex>
строит <tex>3CNF</tex> формулу для каждого <tex>\phi</tex>. Поскольку <tex>\phi</tex> функция от </tex>C</tex> пременных,
построенная <tex>3CNF</tex> содержит не более <tex>K=C2^C</tex> дизъюнктов. Для упрощения будем считать, что формула содержит
<tex>K</tex> дизъюнктов. <tex>\mathcal{R}</tex> возвращает конъюнкцию всех полученных формул, содержащую <tex>m=NK</tex> дизъюнктов.

Можно заметить, что из <tex>G \in 3Color</tex> по <tex>\mathrm{PCP}</tex> теореме следует, что существует <tex>\pi</tex>,
удовлетворяющее всем проверкам <tex>V</tex>. Таким образом все <tex>m</tex> дизъюнктов могут быть удовлетворены и <tex>OPT=m</tex>, что и требуется для корректности сведения <tex>\mathcal{R}</tex>.

Однако, если <tex>G \notin 3Color</tex>, хотя бы <tex>\frac N 2</tex> проверок <tex>V</tex> должны привести к отрицательному результату. Если <tex>Q_i</tex> приводит к отрицательному ответу, <tex>3CNF</tex> формула, построенная по соответствующему
предикату <tex>\phi</tex> должна быть неудовлетворимой, значит не больше <tex>K-1</tex> дизъюнктов могут быть удовлетворены.
Суммарное количество дизъюнктов, которое может быть удовлетворено:

<tex>\frac N 2 (K-1) + \frac N 2 K = \frac N 2 K(1- \frac 1 K) + \frac N 2 K = NK(1 - \frac 1 {2K}) = m(1 - \frac 1 {2k}) = sm</tex>

Мы показали, что из <tex>\mathrm{PCP}</tex> теоремы следует <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудность задачи <tex>GAP-3SAT_s</tex>. Теперь
покажем, что из <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудности задачи <tex>GAP-3SAT_s</tex> следует <tex>\mathrm{PCP}</tex> теорема.

В предположении <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудности задачи <tex>GAP-3SAT_s</tex> любая <tex>\mathrm{NP}</tex>-полная задача, например <tex>3Color</tex> может быть сведена к <tex>GAP-3SAT_s</tex>. Таким образом мы можем свести <tex>3Color</tex> к <tex>3CNF</tex> формуле такой <tex>R(G)</tex>, что:
* <tex> G \in 3Color \Rightarrow R(G)</tex> имеет <tex>OPT=m</tex>
* <tex> G \notin 3Color \Rightarrow R(G)</tex> имеет <tex>OPT<sm</tex>

Имея такое сведение мы построим <tex>\mathcal{V}</tex> и доказательство прувера <tex>\mathcal{P}</tex> для
<tex>\mathrm {PCP}</tex> системы. <tex>\mathcal{V}</tex> запускает функцию сведения во время предподсчета,
доказателтьство <tex>\pi</tex> для данной <tex>R(G)=\psi</tex> <tex>3CNF</tex> формулы представляет собой значения пременных <tex>\psi</tex>. <tex>\mathcal{V}</tex> случайно выбирает дизъюнкт <tex>C</tex> из
<tex>\psi</tex> и проверяет, что он удовлетворяется <tex>\pi</tex>.

Понятно, что если <tex>G \in 3Color</tex>, то по определению <tex>R(G)</tex> любой дизъюнкт, выбранный
<tex>\mathcal{V}</tex> будет удовлетворен, поскольку <tex>OPT=m</tex>. Если же <tex>G \notin 3Color</tex>,
мы знаем, что <tex>OPT < sm</tex>, опять же по определению <tex>R(G)</tex>. Тaким образом вероятность того,
что <tex>\mathcal{V}</tex> выберет удовлетворенный дизъюнкт меньше <tex>s</tex>. Так как <tex>s</tex> —
константа, повторяя процесс мы можем сделать вероятность меньше <tex>\frac 1 2</tex>.

Таким образом мы показали эвивалентность <tex>\mathrm{PCP}</tex> теоремы вопросу <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудности задачи <tex>GAP-3SAT_s</tex>.
}}

==Определения и леммы, используемые в доказательстве==
{{Определение
|definition= <tex>\mathcal{C}=\lbrace c_1,..., c_n\rbrace</tex> назовем множеством условий над
множеством переменных <tex>V</tex>.
}}
{{Определение
|definition=Число неудовлетворенности <tex>UNSAT(\mathcal{C})</tex> — минимальное подмножество неудовлетворенных условий для любых возможных назначений <tex>V</tex>. <tex>\mathcal{C}</tex> удовлетворимо тогда и только тогда, когда <tex>UNSAT(\mathcal{C})=0</tex>. Если же <tex>\mathcal{C}</tex> неудовлетворимо, тогда <tex>UNSAT(\mathcal{C}) \ge \frac 1 n</tex>.
}}

===Графы условий===
Нам понадобятся графы ограничений для двух переменных, которые определяются следующим образом:
{{Определение
|definition=
<tex>G=\left\langle(V,E,\Sigma,\mathcal{C}\right\rangle</tex> называется графом условий, если:
* <tex>(V,E)</tex> — неориентированный граф, называемый графом, леащим в основе <tex>G</tex>.
* Множество <tex>V</tex> также представляется в виде множества переменных принимающих значениями из алфавита <tex>\Sigma</tex>
* Каждое ребро <tex>e \in E</tex> содержит условие <tex>c(e) \subseteq \Sigma^2</tex> и <tex>\mathcal{C}=\lbrace c(e)\rbrace_{e \in E}</tex>. Условие <tex>c(e)</tex> называется удовлетворенным парой <tex>(a, b)</tex>, если <tex>(a, b) \in c(e)</tex>
}}

Присваивание это отображение <tex>\sigma:V \rightarrow \Sigma</tex>, которое назначает каждой вершине из <tex>V</tex>
значение из <tex>\Sigma</tex>. Для любого присвоения <tex>\sigma</tex> определим <tex>UNSAT_\sigma(G) = \operatorname*{Pr}\limits_{(u,v)\in E} [(\sigma(u),\sigma(v)) \notin c(e)]</tex> и <tex>UNSAT(G) = \operatorname*{min}\limits_\sigma UNSAT_\sigma(G)</tex>.

Назовем <tex>UNSAT(G)</tex> числом неудовлетворенности графа <tex>G</tex>. Размером графа будем считать размер его описания <tex>size(G)=O(|V|+|E| \cdot |\Sigma|^2)</tex>

{{Лемма
|statement=Для заданного графа условий <tex>G=\left\langle(V,E,\Sigma,\mathcal{C}\right\rangle</tex>, где <tex>|\Sigma|=3</tex> проверка утверждения <tex>UNSAT(G)=0</tex> — <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудная задача.
|proof=
Сведем <tex>3Color</tex> к нашей задаче. Дан граф <tex>G</tex>, алфавит <tex>\Sigma=\lbrace 1,2,3 \rbrace</tex> для трех цветов. Оснастим ребра условиями неравенства. Очевидно, что <tex>G \in 3Color</tex> тогда и только тогда, когда <tex>UNSAT(G)=0<tex> (Иногда удобно использовать одно и то же обозначение <tex>G</tex> для графа условий и графа, лежащего в его основе).
}}

===Экспандер графы===
Экспандер графы играют важную роль во многих теоретических результатах.

{{Определение
|definition= <tex>G=(V,E)</tex> <tex>d</tex>-регулярный граф. Положим <tex>E(S,\overline{S})=|(S \times \overline{S}) \cap E|</tex> равным количеству ребер их подмножества <tex>S\in V</tex> в его дополнение. Определим реберное расширение как
<tex>h(G)=\operatorname*{min}\limits_{S:|S|<\frac {|V|} 2} \frac {E(S, \overline S)} {|S|}</tex>
}}

{{Лемма
|about=О экспандерах
|statement=Существует <tex>d_0 \in \mathbb{N}</tex> и <tex>h_0 >0</tex> такие, что есть построимое за полиномиальное время семейство <tex>\lbrace X_n\rbrace_{n \in \mathbb{N}}</tex> <tex>d_0</tex>-регулярных графов <tex>X_n</tex> с <tex>n</tex> вершинами таких, что <tex>h(X_n) \ge h_0</tex>.
|proof=TODO
}}

{{Лемма
|statement= Пусть <tex>G</tex> <tex>d</tex>-регулярный граф, а <tex>h(G)</tex> его реберное расширение. Тогда <tex>\lambda(G) \le d - \frac {h(G)^2} d</tex>
}}

{{Определение
|definition=Собственным числом графа <tex>\lambda</tex> называют собственное число его матрицы смежности.
}}

{{Лемма
|statement=Пусть <tex>G</tex> <tex>d</tex>-регулярный граф со вторым по величине собственным числом <tex>\lambda</tex>. Пусть <tex>F \subseteq E</tex> множество ребер. Вероятность <tex>p</tex> того, что случайный путь, начинающийся со случайного ребра из <tex>F</tex> на <tex>i+1</tex> шаге попадет <tex>F</tex> ограничена <tex>\frac {|F|} {|E|} + \left({\frac {|\lambda|} d}\right)^i</tex>.
|proof=TODO
}}

===Вероятности===
Следующее неравенство в стиле неравенства Чебышева удобно использовать, чтобы показать что для неотрицательной случайной величины <tex>X</tex>, <tex>Pr[X > 0] \approx \mathbb{E}[X]</tex> когда <tex>\mathbb{E}[X] \approx \mathbb{E}[X^2]</tex>.

{{Утверждение
|statement= Для любой неотрицательной случайной величины <tex>X</tex>, <tex>Pr[X>0] \ge \mathbb{E}[X^2] / \mathbb{E}[X]</tex>
|proof=TODO
}}

===Коды с коррекцией ошибок===
{{Определение
|definition=Кодом с коррекцией ошибок называется набор строк <tex>C \subset \Sigma^n</tex>, где <tex>\Sigma</tex> некоторый конечный алфавит. <tex>n</tex> называется размером блока, а <tex>log_{|\Sigma|}|C|</tex> уровнем кода. Расстоянием кода называется <tex>min_{x \neq y \in C} dist(x,y)</tex>, где <tex>dist(\cdot,\cdot)</tex> — расстояние Хэмминга.
}}

Взаимнооднознаячное отображение <tex>e:D \rightarrow \Sigma^n</tex> также иногда называют кодом с коррекцией ошибок. Его уровень и расстояние определяются как уровени и расстояние его образа <tex>e(D)</tex>.

Известно, что существуют семейства кодов <tex>\lbrace C_n \subset \lbrace 0,1 \rbrace^n \rbrace_{n \in \mathbb{N}}</tex>, для которых уровень и расстояние равны <tex>O(n)</tex> и существует схема полиномиального размера, проверяющая <tex>x \in C_n</tex>.

==Операции на графах условий==
Для доказательства <tex>\mathrm{PCP}</tex> теоремы потребуются три операции над графами уловий:
* Препроцессинг. Простая операция, сохраняющая чило неудовлетворенности(примерно) и размер алфавита, но делающая граф лучше.
* Усиление. Эта операция увеоичивает чило неудовлетворенности за счет увеличения размера алфавита.
* Композицияю Эта операция уменьшает размер алфавита, сохраняя число неудовлетворенности(приблизительно).

===Препроцессинг===
Под хорошим графом будем понимать регулярный, фиксированной степени экспандер граф.
{{Лемма
|about=Препроцессинг
|statement= существуют константы <tex>0 < \lambda < d</tex> и <tex>\beta_1 >0</tex> такие, что любой граф условий <tex>G</tex> может быть преобразован в граф условий <tex>G'=prep(G)</tex> такой, что:
* <tex>G'</tex> <tex>d</tex>-регулярный
* <tex>G'</tex> имеет тот же алфавит, что и <tex>G</tex> и <tex>size(G') = O(size(G))</tex>.
* <tex>\beta_1 \cdot UNSAT(G) \le UNSAT(G') \le UNSAT(G)</tex>
}}

Заметим, что третий пункт теммы гарантирует поддержание полноты, т.е. если <tex>UNSAT(G)=0</tex>, то и <tex>UNSAT(G')=0</tex>. Доказательство этой леммы состоит из двух следующих лемм (<tex>\beta_1=c \cdot \frac d {d + d_0 + 1}</tex>).

{{Лемма
|about=Константная степень
|statement=Любой граф условий <tex>G = \langle (V,E),\Sigma,\mathcal{C}\rangle</tex> может быть преобразован в <tex>(d_0 + 1)</tex>-регулярный граф условий <tex>G'=\langle (V',E'),\Sigma,\mathcal{C}'\rangle</tex> такой, что <tex>|V'|</tex>=2|E|</tex> и <tex>c \cdot UNSAT(G) \le UNSAT(G') \le UNSAT(G)</tex>. Для некоторых заданных констант <tex>d_0,c>0</tex>
|proof=TODO
}}

Эта лемма известна как экспандер-замена(expander-replacement transformation).

{{Лемма
|about=О расширении
|statement=
Пусть <tex>d_0, h_0 >0</tex> некоторые константы. Любой <tex>d</tex>-регулярный граф условий <tex>G</tex> может быть преобразован в <tex>G'</tex> такой, что:
* <tex>G'</tex> <tex>(d + d_0 + 1)</tex>-регулярный, имеет собственные циклы и <tex>\lambda(G') \le d + d_0 + 1 - \frac {h_0^2} {d + d_0 + 1} < deg(G')</tex>
* <tex>size(G')=O(size(G))</tex>
* <tex> \frac d {d + d_0 + 1} \cdot UNSAT(G) \le UNSAT(G') \le UNSAT(G)</tex>
|proof=TODO
}}

===Усиление===
Это новая операция на системах условий, которая увеличивает число неудовлетворенности.
Пусть <tex>G=\langle (V,E),\Sigma,\mathcal{C}\rangle<tex> граф условий, <tex>t \in \mathbb{N}</tex>. Определим <tex>G^t=\langle (V,\mathbf{E}),\Sigma^{d^{\lceil t/2\rceil}}, \mathcal{C}^t \rangle</tex> как следующий граф условий:
* Веришины <tex>G^t</tex> совпадают с вершинами <tex>G</tex>
* Ребра: <tex>u</tex> и <tex>v</tex> соединены <tex>k</tex> ребрами в <tex>\mathbf{E}</tex>, если количество путей длины <tex>t</tex> из <tex>u</tex> в <tex>v</tex> в графе <tex>G</tex> равно <tex>k</tex>
* Алфавит: алфавит графа <tex>G^t</tex> <tex>\Sigma^{d^{\lceil t/2\rceil}}</tex>, где каждой вершине сопоставлены значения ее соседей, достижимых за <tex>\frac t 2</tex> шагов.
* Условия: Условия сопоставленные ребру <tex>e=(u,v) \in \mathbf{E}</tex> удовлетворены, если назначения для <tex>u</tex> и <tex>v</tex> согласованы с назначениями, удовлетворяющими условия, порожденные <tex>\frac t 2</tex> соседями <tex>u</tex> и <tex>v</tex>.

Если <tex>UNSAT(G)=0</tex> тогда очевидно <tex>UNSAT(G^t)=0</tex>. Интереснее доказательство того, что <tex>UNSAT(G^t) \ge O(\sqrt{t} \cdot UNSAT(G)</tex>.

{{Лемма
|about=Усиление
|statement= Пусть <tex>\lambda < d</tex> и <tex>|\Sigma|</tex> произвольные константы. Тогда существует константа <tex>\beta_2=\beta_2(\lambda,d,|\Sigma|)>0</rex> такая, что для любого <tex>t \in \mathbb N</tex> и для любого <tex>d</tex>-регулярного графа условий <tex>G=\langle(V,E),\Sigma,\mathcal{C}\rangle</tex> с собственными циклами и <tex>\lambda(G)\le \lambda</tex>, <tex>UNSAT(G^t) \ge \beta_2 \sqrt{t} \cdot min \left({UNSAT(G), \frac 1 t}\right)</tex>.
|proof=TODO
}}

Поскольку <tex>UNSAT(G) \le \frac 1 t</tex>, из жтой леммы следует что <tex>UNSAT(G^t) \ge O(\sqrt{t}) \cdot UNSAT(G)</tex>. Это основная техническая лемма.
===Композиция===
{{Определение
|about=Тестер присвоений
|definition=Тестер присвоений с алфавитом <tex>\Sigma_0</tex> и вероятностью отклонения <tex>\epsilon > 0</tex> это полиномиальное преобразование <tex>\mathcal{P}</tex>, принимающее на вход схему <tex>\Phi</tex> над будевыми переменными <tex>X</tex> и дающую на выходе граф условий <tex>G=\langle(V,E),\Sigma_0,\mathcal{C}\rangle</tex> такой, что <tex>V \subset X</tex>(в условном графе <tex>V</tex> играет одновременно две роли: переменных и вершин. <tex>Y \subset X</tex> подразумевает, что некоторые вершины из <tex>V</tex> определены с помощью переменных <tex>X</tex>). Пусть <tex>V'=V \setminus X</tex> и <tex>a : X \rightarrow \lbrace 0,1 \rbrace</tex> — присваивание.
* (Полнота) Если <tex>a \in SAT(\Phi)</tex> то существует <tex>b : V' \rightarrow \Sigma_0</tex> такое, что <tex>UNSAT_{a\cup{b}}(G)=0</tex>
* (Обоснованность) Если <tex>a \notin SAT(\Phi)</tex> то для всех <tex>b : V' \rightarrow \Sigma_0</tex>, <tex>UNSAT_{a\cup{b}}(G) \ge \epsilon \cdot dist(a, SAT(\Phi))</tex>.
}}

Следует заметить, что не накладывается никаких ограничений ни на время работы <tex>\mathcal{P}</tex> ни на <tex>size(G)</tex>. Мы игнорируем размер схемы <Tex>\Phi</tex>, которая может быть экспоненциальна относительно <tex>|X|</tex>.

{{Лемма
|about=Композиция
|statement=Пусть существует тестер присвоений <tex>\mathcal{P}</tex> с константной вероятностью отклонения <tex>\epsilon > 0</tex> и алфавитом <tex>\Sigma_0</tex>, <tex>|\Sigma_0|=O(1)</tex>. Тогда существует <tex>\beta_3 > 0</tex>, зависящая только от <tex>\mathcal{P}</tex>, такая что любой граф условий <tex>G=\langle(V,E),\Sigma,\mathcal{C}\rangle</tex> может быть преобразован в <tex>G'=\langle(V',E'),\Sigma_0,\mathcal{C}'\rangle</tex>, обозначаемый <tex>G \circ \mathcal{C}</tex>, такой что <tex>size(G')=M(|\Sigma|) \cdot size(G)</tex> и <tex>\beta_3 \cdot UNSAT(G) \le UNSAT(G') \le UNSAT(G)</tex>
|proof=
}}

==Основная теорема==
Основываясь на операциях с графами условий мы можем доказать основную теорему.
{{Теорема
|about=Основная теорема
|statement=Для любого <tex>\Sigma</tex>, <tex>|\Sigma|=O(1)</tex> существуют константы <tex>C > 0</tex> и <tex>0 < \alpha < 1</tex> такие, что для данного графа условий <tex>G=\langle(V,E),\Sigma,\mathcal{C}\rangle</tex> за полиномиальное время можно построить граф условий <tex>G'=\langle(V',E'),\Sigma_0,\mathcal{C}'\rangle</tex> такой, что:
* <tex>size(G') \le C \cdot size(G)</tex> и <tex>|\Sigma_0| = O(1)</tex>
* (Полнота) Если <tex>UNSAT(G)=0</tex>, то <tex>UNSAT(G')=0</tex>
* (Обоснованность) <tex>UNSAT(G') \ge min(2 \cdot UNSAT(G), \alpha)</tex>
|proof=
Построим <tex>G'</tex> по <tex>G</tex> следующим образом: <tex>G'=(prep(G))^t \circ \mathcal{P}</tex>.
# (Препроцессинг) Пусть <tex>H_1=prep(G)</tex>. Существуют некоторые глобальные константы <tex>\lambda < d </tex> и <tex>\beta_1 >0</tex> такие, что <tex>H_1</tex> <tex>d</tex>-регулярный, имеет тот же алфавит, что и <tex>G</tex>, <tex>\lambda(H_1) \le \lambda < d</tex> и <tex>\beta_1 \cdot UNSAT*G( \le UNSAT(H_1) \le UNSAT(G)</tex>.
# (Усиление) Пусть <tex>H_2=(H_1)^t</tex> для достаточно большой константы <tex> t > 1</tex>, которую определим ниже. Существует некоторая константа <tex>\beta_2=\beta(\lambda, d, |\Sigma|) > 0</tex>, для которой <tex>UNSAT(H_2) \ge \beta_2 \sqrt{t} \cdot min(UNSAT(H_1), \frac 1 t)</tex>. Однако, алфавит вырос до <tex>\Sigma^{d^{\lceil t / 2 \rceil}}</tex>.
# (Композиция) Пусть <tex>G'=H_2 \circ \mathcal{P}</tex>. Это уменьшит алфавит до <tex>\Sigma_0</tex>, при <tex>\beta_3 \cdot UNSAT(H_2) \le UNSAT(G') \le UNSAT(H_2)</tex> для некоторой <tex>\beta_3 > 0 </tex>.

Проверим выполнение условий теоремы. Размер <tex>G'</tex> линеен относительно размера<tex>G</tex>, поскольку на каждом шагу увеличивался линейно. Полнота явно поддерживается на каждом шаге. Теперь выберем <tex>t=\left\lceil\left({\frac 2 {\beta_1\beta_2\beta_3}}\right)^2\right\rceil</tex>. Пусть <tex>\alpha=\frac {\beta_3\beta_2} {sqrt{t}}</tex>.
Таким образом,

<tex>UNSAT(G') \ge \beta_3 \cdot UNSAT(H_2)</tex> <tex>\ge \beta_3 \cdot \beta_2 \sqrt{t} \cdot min(UNSAT(H_1), \frac 1 t)</tex> <tex>\ge \beta_3 \cdot \beta_2 \sqrt{t} \cdot min(\beta_1 UNSAT(G_, \frac 1 t) </tex> <tex>\ge min(2 \cdot UNSAT(G), \alpha)</tex>
}}
===Доказательство PCP теоремы===
{{Лемма
|statement=Следствием из основной теоремы является <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудность <tex>GAP-3SAT_s</tex>.
|proof=
}}
==Дополнительные материалы==
* [http://www.math.ias.edu/boaz/ExpanderCourse/|N. Linial and A. Wigderson. Expander graphs and their applications. Lecture notes of a course, 2003].
* Michael Sipser and Daniel A. Spielman. Expander codes. IEEE Trans. Inform. Theory, 42(6, part 1):1710–1722, 1996. Codes and complexity.
* C. Papadimitriou and M. Yannakakis. Optimization, approximation and complexity classes. Journal of Computer and System Sciences, 3:425–440, 1991.
* Irit Dinur and Omer Reingold. Assignment testers: Towards combinatorial proofs of the PCP theorem. In Proceedings of the 45th Symposium on Foundations of Computer Science (FOCS), 2004.
==Источники==
* [http://eccc.hpi-web.de/report/2005/046/|The PCP Theorem by Gap Amplification, Irit Dinur, 2005].
* [http://www.cs.utah.edu/~alfeld/LecturePDFs/pcp.pdf|The PCP Theorem, Notes by Scott Alfeld, 2008].

PCP-теорема

2012-06-03T18:46:13Z

Filchenko: лемма о композиции

{{Теорема
|id=pcp_th
|about=<tex>\mathrm{PCP}</tex> теорема
|statement=<tex>\mathrm{PCP}[log(n), O(1)] = \mathrm{NP}</tex>
}}

Классическое доказательство [[Класс PCP|<tex>\mathrm{PCP}</tex>]] теоремы громоздкое и довольно сложное для восприятия,
рассмотрим вариант докаательства, предложенный Динуром.

==Лемма об эквивалентности <tex>\mathrm{PCP}</tex> теоремы и <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудности <tex>GAP-3SAT_s</tex>==

{{Определение
|definition=
Задача <tex>GAP-3SAT_s</tex>:
* <tex>\psi</tex> — <tex>3CNF</tex> с <tex>m</tex> дизъюнктами
* <tex>OPT</tex> — максимальное количество дизъюнктов, которые могуг быть удовлетворены одновременно
* <tex>OPT = m \Rightarrow YES</tex>
* <tex>OPT < sm \Rightarrow NO</tex>
* <tex>sm < OPT < m </tex> — нет ограничений на вывод
}}

{{Лемма
|statement=<tex>\mathrm{PCP}</tex> теорема эквивалентна вопросу принадлежности
<tex>GAP-3SAT_s</tex> классу <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудных задач для некоторого <tex>s</tex>.
|proof=
Сначала докажем, что из <tex>\mathrm{PCP}</tex> теоремы следует <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудность <tex>GAP-3SAT_s</tex>.

Заметим, что для <tex>\mathrm{NP}</tex>-полной задачи <tex>3-Color</tex> существует сведение <tex>\mathcal{R}</tex> к <tex>GAP-3SAT_s</tex>.

Из принадлежности <tex>3Color</tex> <tex>\mathrm{NP}</tex> и <tex>\mathrm{PCP}</tex> теоремы следует, что существует
доказательство <tex>\pi</tex> прувера <tex>\mathcal{P}</tex>. Обозначим <tex>\pi_i</tex> <tex>i</tex>-й бит доказательства (не его значение), будем рассматривать <tex>\pi_i</tex> как переменные в <tex>3SAT</tex> формуле.

По данному графу <tex>G</tex>, <tex>\mathcal{R}</tex> нумерует все <tex>N = 2^Q = 2^{O(log(n)} = poly(n)</tex> возможные
случайные строки, которые может выбрать верифаер <tex>V</tex>. Обозначим их <tex>Q_1 ... Q_{poly(n)}</tex>.

Каждая строка <tex>Q_i</tex> дает нам <tex>C</tex> позиций в доказательстве и предикат <tex>\phi</tex>. <tex>\mathcal{R}</tex>
строит <tex>3CNF</tex> формулу для каждого <tex>\phi</tex>. Поскольку <tex>\phi</tex> функция от </tex>C</tex> пременных,
построенная <tex>3CNF</tex> содержит не более <tex>K=C2^C</tex> дизъюнктов. Для упрощения будем считать, что формула содержит
<tex>K</tex> дизъюнктов. <tex>\mathcal{R}</tex> возвращает конъюнкцию всех полученных формул, содержащую <tex>m=NK</tex> дизъюнктов.

Можно заметить, что из <tex>G \in 3Color</tex> по <tex>\mathrm{PCP}</tex> теореме следует, что существует <tex>\pi</tex>,
удовлетворяющее всем проверкам <tex>V</tex>. Таким образом все <tex>m</tex> дизъюнктов могут быть удовлетворены и <tex>OPT=m</tex>, что и требуется для корректности сведения <tex>\mathcal{R}</tex>.

Однако, если <tex>G \notin 3Color</tex>, хотя бы <tex>\frac N 2</tex> проверок <tex>V</tex> должны привести к отрицательному результату. Если <tex>Q_i</tex> приводит к отрицательному ответу, <tex>3CNF</tex> формула, построенная по соответствующему
предикату <tex>\phi</tex> должна быть неудовлетворимой, значит не больше <tex>K-1</tex> дизъюнктов могут быть удовлетворены.
Суммарное количество дизъюнктов, которое может быть удовлетворено:

<tex>\frac N 2 (K-1) + \frac N 2 K = \frac N 2 K(1- \frac 1 K) + \frac N 2 K = NK(1 - \frac 1 {2K}) = m(1 - \frac 1 {2k}) = sm</tex>

Мы показали, что из <tex>\mathrm{PCP}</tex> теоремы следует <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудность задачи <tex>GAP-3SAT_s</tex>. Теперь
покажем, что из <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудности задачи <tex>GAP-3SAT_s</tex> следует <tex>\mathrm{PCP}</tex> теорема.

В предположении <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудности задачи <tex>GAP-3SAT_s</tex> любая <tex>\mathrm{NP}</tex>-полная задача, например <tex>3Color</tex> может быть сведена к <tex>GAP-3SAT_s</tex>. Таким образом мы можем свести <tex>3Color</tex> к <tex>3CNF</tex> формуле такой <tex>R(G)</tex>, что:
* <tex> G \in 3Color \Rightarrow R(G)</tex> имеет <tex>OPT=m</tex>
* <tex> G \notin 3Color \Rightarrow R(G)</tex> имеет <tex>OPT<sm</tex>

Имея такое сведение мы построим <tex>\mathcal{V}</tex> и доказательство прувера <tex>\mathcal{P}</tex> для
<tex>\mathrm {PCP}</tex> системы. <tex>\mathcal{V}</tex> запускает функцию сведения во время предподсчета,
доказателтьство <tex>\pi</tex> для данной <tex>R(G)=\psi</tex> <tex>3CNF</tex> формулы представляет собой значения пременных <tex>\psi</tex>. <tex>\mathcal{V}</tex> случайно выбирает дизъюнкт <tex>C</tex> из
<tex>\psi</tex> и проверяет, что он удовлетворяется <tex>\pi</tex>.

Понятно, что если <tex>G \in 3Color</tex>, то по определению <tex>R(G)</tex> любой дизъюнкт, выбранный
<tex>\mathcal{V}</tex> будет удовлетворен, поскольку <tex>OPT=m</tex>. Если же <tex>G \notin 3Color</tex>,
мы знаем, что <tex>OPT < sm</tex>, опять же по определению <tex>R(G)</tex>. Тaким образом вероятность того,
что <tex>\mathcal{V}</tex> выберет удовлетворенный дизъюнкт меньше <tex>s</tex>. Так как <tex>s</tex> —
константа, повторяя процесс мы можем сделать вероятность меньше <tex>\frac 1 2</tex>.

Таким образом мы показали эвивалентность <tex>\mathrm{PCP}</tex> теоремы вопросу <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудности задачи <tex>GAP-3SAT_s</tex>.
}}

==Определения и леммы, используемые в доказательстве==
{{Определение
|definition= <tex>\mathcal{C}=\lbrace c_1,..., c_n\rbrace</tex> назовем множеством условий над
множеством переменных <tex>V</tex>.
}}
{{Определение
|definition=Число неудовлетворенности <tex>UNSAT(\mathcal{C})</tex> — минимальное подмножество неудовлетворенных условий для любых возможных назначений <tex>V</tex>. <tex>\mathcal{C}</tex> удовлетворимо тогда и только тогда, когда <tex>UNSAT(\mathcal{C})=0</tex>. Если же <tex>\mathcal{C}</tex> неудовлетворимо, тогда <tex>UNSAT(\mathcal{C}) \ge \frac 1 n</tex>.
}}

===Графы условий===
Нам понадобятся графы ограничений для двух переменных, которые определяются следующим образом:
{{Определение
|definition=
<tex>G=\left\langle(V,E,\Sigma,\mathcal{C}\right\rangle</tex> называется графом условий, если:
* <tex>(V,E)</tex> — неориентированный граф, называемый графом, леащим в основе <tex>G</tex>.
* Множество <tex>V</tex> также представляется в виде множества переменных принимающих значениями из алфавита <tex>\Sigma</tex>
* Каждое ребро <tex>e \in E</tex> содержит условие <tex>c(e) \subseteq \Sigma^2</tex> и <tex>\mathcal{C}=\lbrace c(e)\rbrace_{e \in E}</tex>. Условие <tex>c(e)</tex> называется удовлетворенным парой <tex>(a, b)</tex>, если <tex>(a, b) \in c(e)</tex>
}}

Присваивание это отображение <tex>\sigma:V \rightarrow \Sigma</tex>, которое назначает каждой вершине из <tex>V</tex>
значение из <tex>\Sigma</tex>. Для любого присвоения <tex>\sigma</tex> определим <tex>UNSAT_\sigma(G) = \operatorname*{Pr}\limits_{(u,v)\in E} [(\sigma(u),\sigma(v)) \notin c(e)]</tex> и <tex>UNSAT(G) = \operatorname*{min}\limits_\sigma UNSAT_\sigma(G)</tex>.

Назовем <tex>UNSAT(G)</tex> числом неудовлетворенности графа <tex>G</tex>. Размером графа будем считать размер его описания <tex>size(G)=O(|V|+|E| \cdot |\Sigma|^2)</tex>

{{Лемма
|statement=Для заданного графа условий <tex>G=\left\langle(V,E,\Sigma,\mathcal{C}\right\rangle</tex>, где <tex>|\Sigma|=3</tex> проверка утверждения <tex>UNSAT(G)=0</tex> — <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудная задача.
|proof=
Сведем <tex>3Color</tex> к нашей задаче. Дан граф <tex>G</tex>, алфавит <tex>\Sigma=\lbrace 1,2,3 \rbrace</tex> для трех цветов. Оснастим ребра условиями неравенства. Очевидно, что <tex>G \in 3Color</tex> тогда и только тогда, когда <tex>UNSAT(G)=0<tex> (Иногда удобно использовать одно и то же обозначение <tex>G</tex> для графа условий и графа, лежащего в его основе).
}}

===Экспандер графы===
Экспандер графы играют важную роль во многих теоретических результатах.

{{Определение
|definition= <tex>G=(V,E)</tex> <tex>d</tex>-регулярный граф. Положим <tex>E(S,\overline{S})=|(S \times \overline{S}) \cap E|</tex> равным количеству ребер их подмножества <tex>S\in V</tex> в его дополнение. Определим реберное расширение как
<tex>h(G)=\operatorname*{min}\limits_{S:|S|<\frac {|V|} 2} \frac {E(S, \overline S)} {|S|}</tex>
}}

{{Лемма
|about=О экспандерах
|statement=Существует <tex>d_0 \in \mathbb{N}</tex> и <tex>h_0 >0</tex> такие, что есть построимое за полиномиальное время семейство <tex>\lbrace X_n\rbrace_{n \in \mathbb{N}}</tex> <tex>d_0</tex>-регулярных графов <tex>X_n</tex> с <tex>n</tex> вершинами таких, что <tex>h(X_n) \ge h_0</tex>.
|proof=TODO
}}

{{Лемма
|statement= Пусть <tex>G</tex> <tex>d</tex>-регулярный граф, а <tex>h(G)</tex> его реберное расширение. Тогда <tex>\lambda(G) \le d - \frac {h(G)^2} d</tex>
}}

{{Определение
|definition=Собственным числом графа <tex>\lambda</tex> называют собственное число его матрицы смежности.
}}

{{Лемма
|statement=Пусть <tex>G</tex> <tex>d</tex>-регулярный граф со вторым по величине собственным числом <tex>\lambda</tex>. Пусть <tex>F \subseteq E</tex> множество ребер. Вероятность <tex>p</tex> того, что случайный путь, начинающийся со случайного ребра из <tex>F</tex> на <tex>i+1</tex> шаге попадет <tex>F</tex> ограничена <tex>\frac {|F|} {|E|} + \left({\frac {|\lambda|} d}\right)^i</tex>.
|proof=TODO
}}

===Вероятности===
Следующее неравенство в стиле неравенства Чебышева удобно использовать, чтобы показать что для неотрицательной случайной величины <tex>X</tex>, <tex>Pr[X > 0] \approx \mathbb{E}[X]</tex> когда <tex>\mathbb{E}[X] \approx \mathbb{E}[X^2]</tex>.

{{Утверждение
|statement= Для любой неотрицательной случайной величины <tex>X</tex>, <tex>Pr[X>0] \ge \mathbb{E}[X^2] / \mathbb{E}[X]</tex>
|proof=TODO
}}

===Коды с коррекцией ошибок===
{{Определение
|definition=Кодом с коррекцией ошибок называется набор строк <tex>C \subset \Sigma^n</tex>, где <tex>\Sigma</tex> некоторый конечный алфавит. <tex>n</tex> называется размером блока, а <tex>log_{|\Sigma|}|C|</tex> уровнем кода. Расстоянием кода называется <tex>min_{x \neq y \in C} dist(x,y)</tex>, где <tex>dist(\cdot,\cdot)</tex> — расстояние Хэмминга.
}}

Взаимнооднознаячное отображение <tex>e:D \rightarrow \Sigma^n</tex> также иногда называют кодом с коррекцией ошибок. Его уровень и расстояние определяются как уровени и расстояние его образа <tex>e(D)</tex>.

Известно, что существуют семейства кодов <tex>\lbrace C_n \subset \lbrace 0,1 \rbrace^n \rbrace_{n \in \mathbb{N}}</tex>, для которых уровень и расстояние равны <tex>O(n)</tex> и существует схема полиномиального размера, проверяющая <tex>x \in C_n</tex>.

==Операции на графах условий==
Для доказательства <tex>\mathrm{PCP}</tex> теоремы потребуются три операции над графами уловий:
* Препроцессинг. Простая операция, сохраняющая чило неудовлетворенности(примерно) и размер алфавита, но делающая граф лучше.
* Усиление. Эта операция увеоичивает чило неудовлетворенности за счет увеличения размера алфавита.
* Композицияю Эта операция уменьшает размер алфавита, сохраняя число неудовлетворенности(приблизительно).

===Препроцессинг===
Под хорошим графом будем понимать регулярный, фиксированной степени экспандер граф.
{{Лемма
|about=Препроцессинг
|statement= существуют константы <tex>0 < \lambda < d</tex> и <tex>\beta_1 >0</tex> такие, что любой граф условий <tex>G</tex> может быть преобразован в граф условий <tex>G'=prep(G)</tex> такой, что:
* <tex>G'</tex> <tex>d</tex>-регулярный
* <tex>G'</tex> имеет тот же алфавит, что и <tex>G</tex> и <tex>size(G') = O(size(G))</tex>.
* <tex>\beta_1 \cdot UNSAT(G) \le UNSAT(G') \le UNSAT(G)</tex>
}}

Заметим, что третий пункт теммы гарантирует поддержание полноты, т.е. если <tex>UNSAT(G)=0</tex>, то и <tex>UNSAT(G')=0</tex>. Доказательство этой леммы состоит из двух следующих лемм (<tex>\beta_1=c \cdot \frac d {d + d_0 + 1}</tex>).

{{Лемма
|about=Константная степень
|statement=Любой граф условий <tex>G = \langle (V,E),\Sigma,\mathcal{C}\rangle</tex> может быть преобразован в <tex>(d_0 + 1)</tex>-регулярный граф условий <tex>G'=\langle (V',E'),\Sigma,\mathcal{C}'\rangle</tex> такой, что <tex>|V'|</tex>=2|E|</tex> и <tex>c \cdot UNSAT(G) \le UNSAT(G') \le UNSAT(G)</tex>. Для некоторых заданных констант <tex>d_0,c>0</tex>
|proof=TODO
}}

Эта лемма известна как экспандер-замена(expander-replacement transformation).

{{Лемма
|about=О расширении
|statement=
Пусть <tex>d_0, h_0 >0</tex> некоторые константы. Любой <tex>d</tex>-регулярный граф условий <tex>G</tex> может быть преобразован в <tex>G'</tex> такой, что:
* <tex>G'</tex> <tex>(d + d_0 + 1)</tex>-регулярный, имеет собственные циклы и <tex>\lambda(G') \le d + d_0 + 1 - \frac {h_0^2} {d + d_0 + 1} < deg(G')</tex>
* <tex>size(G')=O(size(G))</tex>
* <tex> \frac d {d + d_0 + 1} \cdot UNSAT(G) \le UNSAT(G') \le UNSAT(G)</tex>
|proof=TODO
}}

===Усиление===
Это новая операция на системах условий, которая увеличивает число неудовлетворенности.
Пусть <tex>G=\langle (V,E),\Sigma,\mathcal{C}\rangle<tex> граф условий, <tex>t \in \mathbb{N}</tex>. Определим <tex>G^t=\langle (V,\mathbf{E}),\Sigma^{d^{\lceil t/2\rceil}}, \mathcal{C}^t \rangle</tex> как следующий граф условий:
* Веришины <tex>G^t</tex> совпадают с вершинами <tex>G</tex>
* Ребра: <tex>u</tex> и <tex>v</tex> соединены <tex>k</tex> ребрами в <tex>\mathbf{E}</tex>, если количество путей длины <tex>t</tex> из <tex>u</tex> в <tex>v</tex> в графе <tex>G</tex> равно <tex>k</tex>
* Алфавит: алфавит графа <tex>G^t</tex> <tex>\Sigma^{d^{\lceil t/2\rceil}}</tex>, где каждой вершине сопоставлены значения ее соседей, достижимых за <tex>\frac t 2</tex> шагов.
* Условия: Условия сопоставленные ребру <tex>e=(u,v) \in \mathbf{E}</tex> удовлетворены, если назначения для <tex>u</tex> и <tex>v</tex> согласованы с назначениями, удовлетворяющими условия, порожденные <tex>\frac t 2</tex> соседями <tex>u</tex> и <tex>v</tex>.

Если <tex>UNSAT(G)=0</tex> тогда очевидно <tex>UNSAT(G^t)=0</tex>. Интереснее доказательство того, что <tex>UNSAT(G^t) \ge O(\sqrt{t} \cdot UNSAT(G)</tex>.

{{Лемма
|about=Усиление
|statement= Пусть <tex>\lambda < d</tex> и <tex>|\Sigma|</tex> произвольные константы. Тогда существует константа <tex>\beta_2=\beta_2(\lambda,d,|\Sigma|)>0</rex> такая, что для любого <tex>t \in \mathbb N</tex> и для любого <tex>d</tex>-регулярного графа условий <tex>G=\langle(V,E),\Sigma,\mathcal{C}\rangle</tex> с собственными циклами и <tex>\lambda(G)\le \lambda</tex>, <tex>UNSAT(G^t) \ge \beta_2 \sqrt{t} \cdot min \left({UNSAT(G), \frac 1 t}\right)</tex>.
|proof=TODO
}}

Поскольку <tex>UNSAT(G) \le \frac 1 t</tex>, из жтой леммы следует что <tex>UNSAT(G^t) \ge O(\sqrt{t}) \cdot UNSAT(G)</tex>. Это основная техническая лемма.
===Композиция===
{{Определение
|about=Тестер присвоений
|definition=Тестер присвоений с алфавитом <tex>\Sigma_0</tex> и вероятностью отклонения <tex>\epsilon > 0</tex> это полиномиальное преобразование <tex>\mathcal{P}</tex>, принимающее на вход схему <tex>\Phi</tex> над будевыми переменными <tex>X</tex> и дающую на выходе граф условий <tex>G=\langle(V,E),\Sigma_0,\mathcal{C}\rangle</tex> такой, что <tex>V \subset X</tex>(в условном графе <tex>V</tex> играет одновременно две роли: переменных и вершин. <tex>Y \subset X</tex> подразумевает, что некоторые вершины из <tex>V</tex> определены с помощью переменных <tex>X</tex>). Пусть <tex>V'=V \setminus X</tex> и <tex>a : X \rightarrow \lbrace 0,1 \rbrace</tex> — присваивание.
* (Полнота) Если <tex>a \in SAT(\Phi)</tex> то существует <tex>b : V' \rightarrow \Sigma_0</tex> такое, что <tex>UNSAT_{a\cup{b}}(G)=0</tex>
* (Обоснованность) Если <tex>a \notin SAT(\Phi)</tex> то для всех <tex>b : V' \rightarrow \Sigma_0</tex>, <tex>UNSAT_{a\cup{b}}(G) \ge \epsilon \cdot dist(a, SAT(\Phi))</tex>.
}}

Следует заметить, что не накладывается никаких ограничений ни на время работы <tex>\mathcal{P}</tex> ни на <tex>size(G)</tex>. Мы игнорируем размер схемы <Tex>\Phi</tex>, которая может быть экспоненциальна относительно <tex>|X|</tex>.

{{Лемма
|about=Композиция
|statement=Пусть существует тестер присвоений <tex>\mathcal{P}</tex> с константной вероятностью отклонения <tex>\epsilon > 0</tex> и алфавитом <tex>\Sigma_0</tex>, <tex>|\Sigma_0|=O(1)</tex>. Тогда существует <tex>\beta_3 > 0</tex>, зависящая только от <tex>\mathcal{P}</tex>, такая что любой граф условий <tex>G=\langle(V,E),\Sigma,\mathcal{C}\rangle</tex> может быть преобразован в <tex>G'=\langle(V',E'),\Sigma_0,\mathcal{C}'\rangle</tex>, обозначаемый <tex>G \circ \mathcal{C}</tex>, такой что <tex>size(G')=M(|\Sigma|) \cdot size(G)</tex> и <tex>\beta_3 \cdot UNSAT(G) \le UNSAT(G') \le UNSAT(G)</tex>
|proof=
}}

==Дополнительные материалы==
* [http://www.math.ias.edu/boaz/ExpanderCourse/|N. Linial and A. Wigderson. Expander graphs and their applications. Lecture notes of a course, 2003].
* Michael Sipser and Daniel A. Spielman. Expander codes. IEEE Trans. Inform. Theory, 42(6, part 1):1710–1722, 1996. Codes and complexity.
* C. Papadimitriou and M. Yannakakis. Optimization, approximation and complexity classes. Journal of Computer and System Sciences, 3:425–440, 1991.
* Irit Dinur and Omer Reingold. Assignment testers: Towards combinatorial proofs of the PCP theorem. In Proceedings of the 45th Symposium on Foundations of Computer Science (FOCS), 2004.
==Источники==
* [http://eccc.hpi-web.de/report/2005/046/|The PCP Theorem by Gap Amplification, Irit Dinur, 2005].
* [http://www.cs.utah.edu/~alfeld/LecturePDFs/pcp.pdf|The PCP Theorem, Notes by Scott Alfeld, 2008].

PCP-теорема

2012-06-03T18:28:41Z

Filchenko: Вступление композиции

{{Теорема
|id=pcp_th
|about=<tex>\mathrm{PCP}</tex> теорема
|statement=<tex>\mathrm{PCP}[log(n), O(1)] = \mathrm{NP}</tex>
}}

Классическое доказательство [[Класс PCP|<tex>\mathrm{PCP}</tex>]] теоремы громоздкое и довольно сложное для восприятия,
рассмотрим вариант докаательства, предложенный Динуром.

==Лемма об эквивалентности <tex>\mathrm{PCP}</tex> теоремы и <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудности <tex>GAP-3SAT_s</tex>==

{{Определение
|definition=
Задача <tex>GAP-3SAT_s</tex>:
* <tex>\psi</tex> — <tex>3CNF</tex> с <tex>m</tex> дизъюнктами
* <tex>OPT</tex> — максимальное количество дизъюнктов, которые могуг быть удовлетворены одновременно
* <tex>OPT = m \Rightarrow YES</tex>
* <tex>OPT < sm \Rightarrow NO</tex>
* <tex>sm < OPT < m </tex> — нет ограничений на вывод
}}

{{Лемма
|statement=<tex>\mathrm{PCP}</tex> теорема эквивалентна вопросу принадлежности
<tex>GAP-3SAT_s</tex> классу <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудных задач для некоторого <tex>s</tex>.
|proof=
Сначала докажем, что из <tex>\mathrm{PCP}</tex> теоремы следует <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудность <tex>GAP-3SAT_s</tex>.

Заметим, что для <tex>\mathrm{NP}</tex>-полной задачи <tex>3-Color</tex> существует сведение <tex>\mathcal{R}</tex> к <tex>GAP-3SAT_s</tex>.

Из принадлежности <tex>3Color</tex> <tex>\mathrm{NP}</tex> и <tex>\mathrm{PCP}</tex> теоремы следует, что существует
доказательство <tex>\pi</tex> прувера <tex>\mathcal{P}</tex>. Обозначим <tex>\pi_i</tex> <tex>i</tex>-й бит доказательства (не его значение), будем рассматривать <tex>\pi_i</tex> как переменные в <tex>3SAT</tex> формуле.

По данному графу <tex>G</tex>, <tex>\mathcal{R}</tex> нумерует все <tex>N = 2^Q = 2^{O(log(n)} = poly(n)</tex> возможные
случайные строки, которые может выбрать верифаер <tex>V</tex>. Обозначим их <tex>Q_1 ... Q_{poly(n)}</tex>.

Каждая строка <tex>Q_i</tex> дает нам <tex>C</tex> позиций в доказательстве и предикат <tex>\phi</tex>. <tex>\mathcal{R}</tex>
строит <tex>3CNF</tex> формулу для каждого <tex>\phi</tex>. Поскольку <tex>\phi</tex> функция от </tex>C</tex> пременных,
построенная <tex>3CNF</tex> содержит не более <tex>K=C2^C</tex> дизъюнктов. Для упрощения будем считать, что формула содержит
<tex>K</tex> дизъюнктов. <tex>\mathcal{R}</tex> возвращает конъюнкцию всех полученных формул, содержащую <tex>m=NK</tex> дизъюнктов.

Можно заметить, что из <tex>G \in 3Color</tex> по <tex>\mathrm{PCP}</tex> теореме следует, что существует <tex>\pi</tex>,
удовлетворяющее всем проверкам <tex>V</tex>. Таким образом все <tex>m</tex> дизъюнктов могут быть удовлетворены и <tex>OPT=m</tex>, что и требуется для корректности сведения <tex>\mathcal{R}</tex>.

Однако, если <tex>G \notin 3Color</tex>, хотя бы <tex>\frac N 2</tex> проверок <tex>V</tex> должны привести к отрицательному результату. Если <tex>Q_i</tex> приводит к отрицательному ответу, <tex>3CNF</tex> формула, построенная по соответствующему
предикату <tex>\phi</tex> должна быть неудовлетворимой, значит не больше <tex>K-1</tex> дизъюнктов могут быть удовлетворены.
Суммарное количество дизъюнктов, которое может быть удовлетворено:

<tex>\frac N 2 (K-1) + \frac N 2 K = \frac N 2 K(1- \frac 1 K) + \frac N 2 K = NK(1 - \frac 1 {2K}) = m(1 - \frac 1 {2k}) = sm</tex>

Мы показали, что из <tex>\mathrm{PCP}</tex> теоремы следует <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудность задачи <tex>GAP-3SAT_s</tex>. Теперь
покажем, что из <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудности задачи <tex>GAP-3SAT_s</tex> следует <tex>\mathrm{PCP}</tex> теорема.

В предположении <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудности задачи <tex>GAP-3SAT_s</tex> любая <tex>\mathrm{NP}</tex>-полная задача, например <tex>3Color</tex> может быть сведена к <tex>GAP-3SAT_s</tex>. Таким образом мы можем свести <tex>3Color</tex> к <tex>3CNF</tex> формуле такой <tex>R(G)</tex>, что:
* <tex> G \in 3Color \Rightarrow R(G)</tex> имеет <tex>OPT=m</tex>
* <tex> G \notin 3Color \Rightarrow R(G)</tex> имеет <tex>OPT<sm</tex>

Имея такое сведение мы построим <tex>\mathcal{V}</tex> и доказательство прувера <tex>\mathcal{P}</tex> для
<tex>\mathrm {PCP}</tex> системы. <tex>\mathcal{V}</tex> запускает функцию сведения во время предподсчета,
доказателтьство <tex>\pi</tex> для данной <tex>R(G)=\psi</tex> <tex>3CNF</tex> формулы представляет собой значения пременных <tex>\psi</tex>. <tex>\mathcal{V}</tex> случайно выбирает дизъюнкт <tex>C</tex> из
<tex>\psi</tex> и проверяет, что он удовлетворяется <tex>\pi</tex>.

Понятно, что если <tex>G \in 3Color</tex>, то по определению <tex>R(G)</tex> любой дизъюнкт, выбранный
<tex>\mathcal{V}</tex> будет удовлетворен, поскольку <tex>OPT=m</tex>. Если же <tex>G \notin 3Color</tex>,
мы знаем, что <tex>OPT < sm</tex>, опять же по определению <tex>R(G)</tex>. Тaким образом вероятность того,
что <tex>\mathcal{V}</tex> выберет удовлетворенный дизъюнкт меньше <tex>s</tex>. Так как <tex>s</tex> —
константа, повторяя процесс мы можем сделать вероятность меньше <tex>\frac 1 2</tex>.

Таким образом мы показали эвивалентность <tex>\mathrm{PCP}</tex> теоремы вопросу <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудности задачи <tex>GAP-3SAT_s</tex>.
}}

==Определения и леммы, используемые в доказательстве==
{{Определение
|definition= <tex>\mathcal{C}=\lbrace c_1,..., c_n\rbrace</tex> назовем множеством условий над
множеством переменных <tex>V</tex>.
}}
{{Определение
|definition=Число неудовлетворенности <tex>UNSAT(\mathcal{C})</tex> — минимальное подмножество неудовлетворенных условий для любых возможных назначений <tex>V</tex>. <tex>\mathcal{C}</tex> удовлетворимо тогда и только тогда, когда <tex>UNSAT(\mathcal{C})=0</tex>. Если же <tex>\mathcal{C}</tex> неудовлетворимо, тогда <tex>UNSAT(\mathcal{C}) \ge \frac 1 n</tex>.
}}

===Графы условий===
Нам понадобятся графы ограничений для двух переменных, которые определяются следующим образом:
{{Определение
|definition=
<tex>G=\left\langle(V,E,\Sigma,\mathcal{C}\right\rangle</tex> называется графом условий, если:
* <tex>(V,E)</tex> — неориентированный граф, называемый графом, леащим в основе <tex>G</tex>.
* Множество <tex>V</tex> также представляется в виде множества переменных принимающих значениями из алфавита <tex>\Sigma</tex>
* Каждое ребро <tex>e \in E</tex> содержит условие <tex>c(e) \subseteq \Sigma^2</tex> и <tex>\mathcal{C}=\lbrace c(e)\rbrace_{e \in E}</tex>. Условие <tex>c(e)</tex> называется удовлетворенным парой <tex>(a, b)</tex>, если <tex>(a, b) \in c(e)</tex>
}}

Присваивание это отображение <tex>\sigma:V \rightarrow \Sigma</tex>, которое назначает каждой вершине из <tex>V</tex>
значение из <tex>\Sigma</tex>. Для любого присвоения <tex>\sigma</tex> определим <tex>UNSAT_\sigma(G) = \operatorname*{Pr}\limits_{(u,v)\in E} [(\sigma(u),\sigma(v)) \notin c(e)]</tex> и <tex>UNSAT(G) = \operatorname*{min}\limits_\sigma UNSAT_\sigma(G)</tex>.

Назовем <tex>UNSAT(G)</tex> числом неудовлетворенности графа <tex>G</tex>. Размером графа будем считать размер его описания <tex>size(G)=O(|V|+|E| \cdot |\Sigma|^2)</tex>

{{Лемма
|statement=Для заданного графа условий <tex>G=\left\langle(V,E,\Sigma,\mathcal{C}\right\rangle</tex>, где <tex>|\Sigma|=3</tex> проверка утверждения <tex>UNSAT(G)=0</tex> — <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудная задача.
|proof=
Сведем <tex>3Color</tex> к нашей задаче. Дан граф <tex>G</tex>, алфавит <tex>\Sigma=\lbrace 1,2,3 \rbrace</tex> для трех цветов. Оснастим ребра условиями неравенства. Очевидно, что <tex>G \in 3Color</tex> тогда и только тогда, когда <tex>UNSAT(G)=0<tex> (Иногда удобно использовать одно и то же обозначение <tex>G</tex> для графа условий и графа, лежащего в его основе).
}}

===Экспандер графы===
Экспандер графы играют важную роль во многих теоретических результатах.

{{Определение
|definition= <tex>G=(V,E)</tex> <tex>d</tex>-регулярный граф. Положим <tex>E(S,\overline{S})=|(S \times \overline{S}) \cap E|</tex> равным количеству ребер их подмножества <tex>S\in V</tex> в его дополнение. Определим реберное расширение как
<tex>h(G)=\operatorname*{min}\limits_{S:|S|<\frac {|V|} 2} \frac {E(S, \overline S)} {|S|}</tex>
}}

{{Лемма
|about=О экспандерах
|statement=Существует <tex>d_0 \in \mathbb{N}</tex> и <tex>h_0 >0</tex> такие, что есть построимое за полиномиальное время семейство <tex>\lbrace X_n\rbrace_{n \in \mathbb{N}}</tex> <tex>d_0</tex>-регулярных графов <tex>X_n</tex> с <tex>n</tex> вершинами таких, что <tex>h(X_n) \ge h_0</tex>.
|proof=TODO
}}

{{Лемма
|statement= Пусть <tex>G</tex> <tex>d</tex>-регулярный граф, а <tex>h(G)</tex> его реберное расширение. Тогда <tex>\lambda(G) \le d - \frac {h(G)^2} d</tex>
}}

{{Определение
|definition=Собственным числом графа <tex>\lambda</tex> называют собственное число его матрицы смежности.
}}

{{Лемма
|statement=Пусть <tex>G</tex> <tex>d</tex>-регулярный граф со вторым по величине собственным числом <tex>\lambda</tex>. Пусть <tex>F \subseteq E</tex> множество ребер. Вероятность <tex>p</tex> того, что случайный путь, начинающийся со случайного ребра из <tex>F</tex> на <tex>i+1</tex> шаге попадет <tex>F</tex> ограничена <tex>\frac {|F|} {|E|} + \left({\frac {|\lambda|} d}\right)^i</tex>.
|proof=TODO
}}

===Вероятности===
Следующее неравенство в стиле неравенства Чебышева удобно использовать, чтобы показать что для неотрицательной случайной величины <tex>X</tex>, <tex>Pr[X > 0] \approx \mathbb{E}[X]</tex> когда <tex>\mathbb{E}[X] \approx \mathbb{E}[X^2]</tex>.

{{Утверждение
|statement= Для любой неотрицательной случайной величины <tex>X</tex>, <tex>Pr[X>0] \ge \mathbb{E}[X^2] / \mathbb{E}[X]</tex>
|proof=TODO
}}

===Коды с коррекцией ошибок===
{{Определение
|definition=Кодом с коррекцией ошибок называется набор строк <tex>C \subset \Sigma^n</tex>, где <tex>\Sigma</tex> некоторый конечный алфавит. <tex>n</tex> называется размером блока, а <tex>log_{|\Sigma|}|C|</tex> уровнем кода. Расстоянием кода называется <tex>min_{x \neq y \in C} dist(x,y)</tex>, где <tex>dist(\cdot,\cdot)</tex> — расстояние Хэмминга.
}}

Взаимнооднознаячное отображение <tex>e:D \rightarrow \Sigma^n</tex> также иногда называют кодом с коррекцией ошибок. Его уровень и расстояние определяются как уровени и расстояние его образа <tex>e(D)</tex>.

Известно, что существуют семейства кодов <tex>\lbrace C_n \subset \lbrace 0,1 \rbrace^n \rbrace_{n \in \mathbb{N}}</tex>, для которых уровень и расстояние равны <tex>O(n)</tex> и существует схема полиномиального размера, проверяющая <tex>x \in C_n</tex>.

==Операции на графах условий==
Для доказательства <tex>\mathrm{PCP}</tex> теоремы потребуются три операции над графами уловий:
* Препроцессинг. Простая операция, сохраняющая чило неудовлетворенности(примерно) и размер алфавита, но делающая граф лучше.
* Усиление. Эта операция увеоичивает чило неудовлетворенности за счет увеличения размера алфавита.
* Композицияю Эта операция уменьшает размер алфавита, сохраняя число неудовлетворенности(приблизительно).

===Препроцессинг===
Под хорошим графом будем понимать регулярный, фиксированной степени экспандер граф.
{{Лемма
|about=Препроцессинг
|statement= существуют константы <tex>0 < \lambda < d</tex> и <tex>\beta_1 >0</tex> такие, что любой граф условий <tex>G</tex> может быть преобразован в граф условий <tex>G'=prep(G)</tex> такой, что:
* <tex>G'</tex> <tex>d</tex>-регулярный
* <tex>G'</tex> имеет тот же алфавит, что и <tex>G</tex> и <tex>size(G') = O(size(G))</tex>.
* <tex>\beta_1 \cdot UNSAT(G) \le UNSAT(G') \le UNSAT(G)</tex>
}}

Заметим, что третий пункт теммы гарантирует поддержание полноты, т.е. если <tex>UNSAT(G)=0</tex>, то и <tex>UNSAT(G')=0</tex>. Доказательство этой леммы состоит из двух следующих лемм (<tex>\beta_1=c \cdot \frac d {d + d_0 + 1}</tex>).

{{Лемма
|about=Константная степень
|statement=Любой граф условий <tex>G = \langle (V,E),\Sigma,\mathcal{C}\rangle</tex> может быть преобразован в <tex>(d_0 + 1)</tex>-регулярный граф условий <tex>G'=\langle (V',E'),\Sigma,\mathcal{C}'\rangle</tex> такой, что <tex>|V'|</tex>=2|E|</tex> и <tex>c \cdot UNSAT(G) \le UNSAT(G') \le UNSAT(G)</tex>. Для некоторых заданных констант <tex>d_0,c>0</tex>
|proof=TODO
}}

Эта лемма известна как экспандер-замена(expander-replacement transformation).

{{Лемма
|about=О расширении
|statement=
Пусть <tex>d_0, h_0 >0</tex> некоторые константы. Любой <tex>d</tex>-регулярный граф условий <tex>G</tex> может быть преобразован в <tex>G'</tex> такой, что:
* <tex>G'</tex> <tex>(d + d_0 + 1)</tex>-регулярный, имеет собственные циклы и <tex>\lambda(G') \le d + d_0 + 1 - \frac {h_0^2} {d + d_0 + 1} < deg(G')</tex>
* <tex>size(G')=O(size(G))</tex>
* <tex> \frac d {d + d_0 + 1} \cdot UNSAT(G) \le UNSAT(G') \le UNSAT(G)</tex>
|proof=TODO
}}

===Усиление===
Это новая операция на системах условий, которая увеличивает число неудовлетворенности.
Пусть <tex>G=\langle (V,E),\Sigma,\mathcal{C}\rangle<tex> граф условий, <tex>t \in \mathbb{N}</tex>. Определим <tex>G^t=\langle (V,\mathbf{E}),\Sigma^{d^{\lceil t/2\rceil}}, \mathcal{C}^t \rangle</tex> как следующий граф условий:
* Веришины <tex>G^t</tex> совпадают с вершинами <tex>G</tex>
* Ребра: <tex>u</tex> и <tex>v</tex> соединены <tex>k</tex> ребрами в <tex>\mathbf{E}</tex>, если количество путей длины <tex>t</tex> из <tex>u</tex> в <tex>v</tex> в графе <tex>G</tex> равно <tex>k</tex>
* Алфавит: алфавит графа <tex>G^t</tex> <tex>\Sigma^{d^{\lceil t/2\rceil}}</tex>, где каждой вершине сопоставлены значения ее соседей, достижимых за <tex>\frac t 2</tex> шагов.
* Условия: Условия сопоставленные ребру <tex>e=(u,v) \in \mathbf{E}</tex> удовлетворены, если назначения для <tex>u</tex> и <tex>v</tex> согласованы с назначениями, удовлетворяющими условия, порожденные <tex>\frac t 2</tex> соседями <tex>u</tex> и <tex>v</tex>.

Если <tex>UNSAT(G)=0</tex> тогда очевидно <tex>UNSAT(G^t)=0</tex>. Интереснее доказательство того, что <tex>UNSAT(G^t) \ge O(\sqrt{t} \cdot UNSAT(G)</tex>.

{{Лемма
|about=Усиление
|statement= Пусть <tex>\lambda < d</tex> и <tex>|\Sigma|</tex> произвольные константы. Тогда существует константа <tex>\beta_2=\beta_2(\lambda,d,|\Sigma|)>0</rex> такая, что для любого <tex>t \in \mathbb N</tex> и для любого <tex>d</tex>-регулярного графа условий <tex>G=\langle(V,E),\Sigma,\mathcal{C}\rangle</tex> с собственными циклами и <tex>\lambda(G)\le \lambda</tex>, <tex>UNSAT(G^t) \ge \beta_2 \sqrt{t} \cdot min \left({UNSAT(G), \frac 1 t}\right)</tex>.
|proof=TODO
}}

Поскольку <tex>UNSAT(G) \le \frac 1 t</tex>, из жтой леммы следует что <tex>UNSAT(G^t) \ge O(\sqrt{t}) \cdot UNSAT(G)</tex>. Это основная техническая лемма.
===Композиция===
{{Определение
|about=Тестер присвоений
|definition=Тестер присвоений с алфавитом <tex>\Sigma_0</tex> и вероятностью отклонения <tex>\epsilon > 0</tex> это полиномиальное преобразование <tex>\mathcal{P}</tex>, принимающее на вход схему <tex>\Phi</tex> над будевыми переменными <tex>X</tex> и дающую на выходе граф условий <tex>G=\langle(V,E),\Sigma_0,\mathcal{C}\rangle</tex> такой, что <tex>V \subset X</tex>(в условном графе <tex>V</tex> играет одновременно две роли: переменных и вершин. <tex>Y \subset X</tex> подразумевает, что некоторые вершины из <tex>V</tex> определены с помощью переменных <tex>X</tex>). Пусть <tex>V'=V \setminus X</tex> и <tex>a : X \rightarrow \lbrace 0,1 \rbrace</tex> — присваивание.
* (Полнота) Если <tex>a \in SAT(\Phi)</tex> то существует <tex>b : V' \rightarrow \Sigma_0</tex> такое, что <tex>UNSAT_{a\cup{b}}(G)=0</tex>
* (Обоснованность) Если <tex>a \notin SAT(\Phi)</tex> то для всех <tex>b : V' \rightarrow \Sigma_0</tex>, <tex>UNSAT_{a\cup{b}}(G) \ge \epsilon \cdot dist(a, SAT(\Phi))</tex>.
}}

Следует заметить, что не накладывается никаких ограничений ни на время работы <tex>\mathcal{P}</tex> ни на <tex>size(G)</tex>. Мы игнорируем размер схемы <Tex>\Phi</tex>, которая может быть экспоненциальна относительно <tex>|X|</tex>.
==Дополнительные материалы==
* [http://www.math.ias.edu/boaz/ExpanderCourse/|N. Linial and A. Wigderson. Expander graphs and their applications. Lecture notes of a course, 2003].
* Michael Sipser and Daniel A. Spielman. Expander codes. IEEE Trans. Inform. Theory, 42(6, part 1):1710–1722, 1996. Codes and complexity.
* C. Papadimitriou and M. Yannakakis. Optimization, approximation and complexity classes. Journal of Computer and System Sciences, 3:425–440, 1991.
* Irit Dinur and Omer Reingold. Assignment testers: Towards combinatorial proofs of the PCP theorem. In Proceedings of the 45th Symposium on Foundations of Computer Science (FOCS), 2004.
==Источники==
* [http://eccc.hpi-web.de/report/2005/046/|The PCP Theorem by Gap Amplification, Irit Dinur, 2005].
* [http://www.cs.utah.edu/~alfeld/LecturePDFs/pcp.pdf|The PCP Theorem, Notes by Scott Alfeld, 2008].

PCP-теорема

2012-06-03T18:07:15Z

Filchenko: лемма об усилении

{{Теорема
|id=pcp_th
|about=<tex>\mathrm{PCP}</tex> теорема
|statement=<tex>\mathrm{PCP}[log(n), O(1)] = \mathrm{NP}</tex>
}}

Классическое доказательство [[Класс PCP|<tex>\mathrm{PCP}</tex>]] теоремы громоздкое и довольно сложное для восприятия,
рассмотрим вариант докаательства, предложенный Динуром.

==Лемма об эквивалентности <tex>\mathrm{PCP}</tex> теоремы и <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудности <tex>GAP-3SAT_s</tex>==

{{Определение
|definition=
Задача <tex>GAP-3SAT_s</tex>:
* <tex>\psi</tex> — <tex>3CNF</tex> с <tex>m</tex> дизъюнктами
* <tex>OPT</tex> — максимальное количество дизъюнктов, которые могуг быть удовлетворены одновременно
* <tex>OPT = m \Rightarrow YES</tex>
* <tex>OPT < sm \Rightarrow NO</tex>
* <tex>sm < OPT < m </tex> — нет ограничений на вывод
}}

{{Лемма
|statement=<tex>\mathrm{PCP}</tex> теорема эквивалентна вопросу принадлежности
<tex>GAP-3SAT_s</tex> классу <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудных задач для некоторого <tex>s</tex>.
|proof=
Сначала докажем, что из <tex>\mathrm{PCP}</tex> теоремы следует <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудность <tex>GAP-3SAT_s</tex>.

Заметим, что для <tex>\mathrm{NP}</tex>-полной задачи <tex>3-Color</tex> существует сведение <tex>\mathcal{R}</tex> к <tex>GAP-3SAT_s</tex>.

Из принадлежности <tex>3Color</tex> <tex>\mathrm{NP}</tex> и <tex>\mathrm{PCP}</tex> теоремы следует, что существует
доказательство <tex>\pi</tex> прувера <tex>\mathcal{P}</tex>. Обозначим <tex>\pi_i</tex> <tex>i</tex>-й бит доказательства (не его значение), будем рассматривать <tex>\pi_i</tex> как переменные в <tex>3SAT</tex> формуле.

По данному графу <tex>G</tex>, <tex>\mathcal{R}</tex> нумерует все <tex>N = 2^Q = 2^{O(log(n)} = poly(n)</tex> возможные
случайные строки, которые может выбрать верифаер <tex>V</tex>. Обозначим их <tex>Q_1 ... Q_{poly(n)}</tex>.

Каждая строка <tex>Q_i</tex> дает нам <tex>C</tex> позиций в доказательстве и предикат <tex>\phi</tex>. <tex>\mathcal{R}</tex>
строит <tex>3CNF</tex> формулу для каждого <tex>\phi</tex>. Поскольку <tex>\phi</tex> функция от </tex>C</tex> пременных,
построенная <tex>3CNF</tex> содержит не более <tex>K=C2^C</tex> дизъюнктов. Для упрощения будем считать, что формула содержит
<tex>K</tex> дизъюнктов. <tex>\mathcal{R}</tex> возвращает конъюнкцию всех полученных формул, содержащую <tex>m=NK</tex> дизъюнктов.

Можно заметить, что из <tex>G \in 3Color</tex> по <tex>\mathrm{PCP}</tex> теореме следует, что существует <tex>\pi</tex>,
удовлетворяющее всем проверкам <tex>V</tex>. Таким образом все <tex>m</tex> дизъюнктов могут быть удовлетворены и <tex>OPT=m</tex>, что и требуется для корректности сведения <tex>\mathcal{R}</tex>.

Однако, если <tex>G \notin 3Color</tex>, хотя бы <tex>\frac N 2</tex> проверок <tex>V</tex> должны привести к отрицательному результату. Если <tex>Q_i</tex> приводит к отрицательному ответу, <tex>3CNF</tex> формула, построенная по соответствующему
предикату <tex>\phi</tex> должна быть неудовлетворимой, значит не больше <tex>K-1</tex> дизъюнктов могут быть удовлетворены.
Суммарное количество дизъюнктов, которое может быть удовлетворено:

<tex>\frac N 2 (K-1) + \frac N 2 K = \frac N 2 K(1- \frac 1 K) + \frac N 2 K = NK(1 - \frac 1 {2K}) = m(1 - \frac 1 {2k}) = sm</tex>

Мы показали, что из <tex>\mathrm{PCP}</tex> теоремы следует <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудность задачи <tex>GAP-3SAT_s</tex>. Теперь
покажем, что из <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудности задачи <tex>GAP-3SAT_s</tex> следует <tex>\mathrm{PCP}</tex> теорема.

В предположении <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудности задачи <tex>GAP-3SAT_s</tex> любая <tex>\mathrm{NP}</tex>-полная задача, например <tex>3Color</tex> может быть сведена к <tex>GAP-3SAT_s</tex>. Таким образом мы можем свести <tex>3Color</tex> к <tex>3CNF</tex> формуле такой <tex>R(G)</tex>, что:
* <tex> G \in 3Color \Rightarrow R(G)</tex> имеет <tex>OPT=m</tex>
* <tex> G \notin 3Color \Rightarrow R(G)</tex> имеет <tex>OPT<sm</tex>

Имея такое сведение мы построим <tex>\mathcal{V}</tex> и доказательство прувера <tex>\mathcal{P}</tex> для
<tex>\mathrm {PCP}</tex> системы. <tex>\mathcal{V}</tex> запускает функцию сведения во время предподсчета,
доказателтьство <tex>\pi</tex> для данной <tex>R(G)=\psi</tex> <tex>3CNF</tex> формулы представляет собой значения пременных <tex>\psi</tex>. <tex>\mathcal{V}</tex> случайно выбирает дизъюнкт <tex>C</tex> из
<tex>\psi</tex> и проверяет, что он удовлетворяется <tex>\pi</tex>.

Понятно, что если <tex>G \in 3Color</tex>, то по определению <tex>R(G)</tex> любой дизъюнкт, выбранный
<tex>\mathcal{V}</tex> будет удовлетворен, поскольку <tex>OPT=m</tex>. Если же <tex>G \notin 3Color</tex>,
мы знаем, что <tex>OPT < sm</tex>, опять же по определению <tex>R(G)</tex>. Тaким образом вероятность того,
что <tex>\mathcal{V}</tex> выберет удовлетворенный дизъюнкт меньше <tex>s</tex>. Так как <tex>s</tex> —
константа, повторяя процесс мы можем сделать вероятность меньше <tex>\frac 1 2</tex>.

Таким образом мы показали эвивалентность <tex>\mathrm{PCP}</tex> теоремы вопросу <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудности задачи <tex>GAP-3SAT_s</tex>.
}}

==Определения и леммы, используемые в доказательстве==
{{Определение
|definition= <tex>\mathcal{C}=\lbrace c_1,..., c_n\rbrace</tex> назовем множеством условий над
множеством переменных <tex>V</tex>.
}}
{{Определение
|definition=Число неудовлетворенности <tex>UNSAT(\mathcal{C})</tex> — минимальное подмножество неудовлетворенных условий для любых возможных назначений <tex>V</tex>. <tex>\mathcal{C}</tex> удовлетворимо тогда и только тогда, когда <tex>UNSAT(\mathcal{C})=0</tex>. Если же <tex>\mathcal{C}</tex> неудовлетворимо, тогда <tex>UNSAT(\mathcal{C}) \ge \frac 1 n</tex>.
}}

===Графы условий===
Нам понадобятся графы ограничений для двух переменных, которые определяются следующим образом:
{{Определение
|definition=
<tex>G=\left\langle(V,E,\Sigma,\mathcal{C}\right\rangle</tex> называется графом условий, если:
* <tex>(V,E)</tex> — неориентированный граф, называемый графом, леащим в основе <tex>G</tex>.
* Множество <tex>V</tex> также представляется в виде множества переменных принимающих значениями из алфавита <tex>\Sigma</tex>
* Каждое ребро <tex>e \in E</tex> содержит условие <tex>c(e) \subseteq \Sigma^2</tex> и <tex>\mathcal{C}=\lbrace c(e)\rbrace_{e \in E}</tex>. Условие <tex>c(e)</tex> называется удовлетворенным парой <tex>(a, b)</tex>, если <tex>(a, b) \in c(e)</tex>
}}

Присваивание это отображение <tex>\sigma:V \rightarrow \Sigma</tex>, которое назначает каждой вершине из <tex>V</tex>
значение из <tex>\Sigma</tex>. Для любого присвоения <tex>\sigma</tex> определим <tex>UNSAT_\sigma(G) = \operatorname*{Pr}\limits_{(u,v)\in E} [(\sigma(u),\sigma(v)) \notin c(e)]</tex> и <tex>UNSAT(G) = \operatorname*{min}\limits_\sigma UNSAT_\sigma(G)</tex>.

Назовем <tex>UNSAT(G)</tex> числом неудовлетворенности графа <tex>G</tex>. Размером графа будем считать размер его описания <tex>size(G)=O(|V|+|E| \cdot |\Sigma|^2)</tex>

{{Лемма
|statement=Для заданного графа условий <tex>G=\left\langle(V,E,\Sigma,\mathcal{C}\right\rangle</tex>, где <tex>|\Sigma|=3</tex> проверка утверждения <tex>UNSAT(G)=0</tex> — <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудная задача.
|proof=
Сведем <tex>3Color</tex> к нашей задаче. Дан граф <tex>G</tex>, алфавит <tex>\Sigma=\lbrace 1,2,3 \rbrace</tex> для трех цветов. Оснастим ребра условиями неравенства. Очевидно, что <tex>G \in 3Color</tex> тогда и только тогда, когда <tex>UNSAT(G)=0<tex> (Иногда удобно использовать одно и то же обозначение <tex>G</tex> для графа условий и графа, лежащего в его основе).
}}

===Экспандер графы===
Экспандер графы играют важную роль во многих теоретических результатах.

{{Определение
|definition= <tex>G=(V,E)</tex> <tex>d</tex>-регулярный граф. Положим <tex>E(S,\overline{S})=|(S \times \overline{S}) \cap E|</tex> равным количеству ребер их подмножества <tex>S\in V</tex> в его дополнение. Определим реберное расширение как
<tex>h(G)=\operatorname*{min}\limits_{S:|S|<\frac {|V|} 2} \frac {E(S, \overline S)} {|S|}</tex>
}}

{{Лемма
|about=О экспандерах
|statement=Существует <tex>d_0 \in \mathbb{N}</tex> и <tex>h_0 >0</tex> такие, что есть построимое за полиномиальное время семейство <tex>\lbrace X_n\rbrace_{n \in \mathbb{N}}</tex> <tex>d_0</tex>-регулярных графов <tex>X_n</tex> с <tex>n</tex> вершинами таких, что <tex>h(X_n) \ge h_0</tex>.
|proof=TODO
}}

{{Лемма
|statement= Пусть <tex>G</tex> <tex>d</tex>-регулярный граф, а <tex>h(G)</tex> его реберное расширение. Тогда <tex>\lambda(G) \le d - \frac {h(G)^2} d</tex>
}}

{{Определение
|definition=Собственным числом графа <tex>\lambda</tex> называют собственное число его матрицы смежности.
}}

{{Лемма
|statement=Пусть <tex>G</tex> <tex>d</tex>-регулярный граф со вторым по величине собственным числом <tex>\lambda</tex>. Пусть <tex>F \subseteq E</tex> множество ребер. Вероятность <tex>p</tex> того, что случайный путь, начинающийся со случайного ребра из <tex>F</tex> на <tex>i+1</tex> шаге попадет <tex>F</tex> ограничена <tex>\frac {|F|} {|E|} + \left({\frac {|\lambda|} d}\right)^i</tex>.
|proof=TODO
}}

===Вероятности===
Следующее неравенство в стиле неравенства Чебышева удобно использовать, чтобы показать что для неотрицательной случайной величины <tex>X</tex>, <tex>Pr[X > 0] \approx \mathbb{E}[X]</tex> когда <tex>\mathbb{E}[X] \approx \mathbb{E}[X^2]</tex>.

{{Утверждение
|statement= Для любой неотрицательной случайной величины <tex>X</tex>, <tex>Pr[X>0] \ge \mathbb{E}[X^2] / \mathbb{E}[X]</tex>
|proof=TODO
}}

===Коды с коррекцией ошибок===
{{Определение
|definition=Кодом с коррекцией ошибок называется набор строк <tex>C \subset \Sigma^n</tex>, где <tex>\Sigma</tex> некоторый конечный алфавит. <tex>n</tex> называется размером блока, а <tex>log_{|\Sigma|}|C|</tex> уровнем кода. Расстоянием кода называется <tex>min_{x \neq y \in C} dist(x,y)</tex>, где <tex>dist(\cdot,\cdot)</tex> — расстояние Хэмминга.
}}

Взаимнооднознаячное отображение <tex>e:D \rightarrow \Sigma^n</tex> также иногда называют кодом с коррекцией ошибок. Его уровень и расстояние определяются как уровени и расстояние его образа <tex>e(D)</tex>.

Известно, что существуют семейства кодов <tex>\lbrace C_n \subset \lbrace 0,1 \rbrace^n \rbrace_{n \in \mathbb{N}}</tex>, для которых уровень и расстояние равны <tex>O(n)</tex> и существует схема полиномиального размера, проверяющая <tex>x \in C_n</tex>.

==Операции на графах условий==
Для доказательства <tex>\mathrm{PCP}</tex> теоремы потребуются три операции над графами уловий:
* Препроцессинг. Простая операция, сохраняющая чило неудовлетворенности(примерно) и размер алфавита, но делающая граф лучше.
* Усиление. Эта операция увеоичивает чило неудовлетворенности за счет увеличения размера алфавита.
* Композицияю Эта операция уменьшает размер алфавита, сохраняя число неудовлетворенности(приблизительно).

===Препроцессинг===
Под хорошим графом будем понимать регулярный, фиксированной степени экспандер граф.
{{Лемма
|about=Препроцессинг
|statement= существуют константы <tex>0 < \lambda < d</tex> и <tex>\beta_1 >0</tex> такие, что любой граф условий <tex>G</tex> может быть преобразован в граф условий <tex>G'=prep(G)</tex> такой, что:
* <tex>G'</tex> <tex>d</tex>-регулярный
* <tex>G'</tex> имеет тот же алфавит, что и <tex>G</tex> и <tex>size(G') = O(size(G))</tex>.
* <tex>\beta_1 \cdot UNSAT(G) \le UNSAT(G') \le UNSAT(G)</tex>
}}

Заметим, что третий пункт теммы гарантирует поддержание полноты, т.е. если <tex>UNSAT(G)=0</tex>, то и <tex>UNSAT(G')=0</tex>. Доказательство этой леммы состоит из двух следующих лемм (<tex>\beta_1=c \cdot \frac d {d + d_0 + 1}</tex>).

{{Лемма
|about=Константная степень
|statement=Любой граф условий <tex>G = \langle (V,E),\Sigma,\mathcal{C}\rangle</tex> может быть преобразован в <tex>(d_0 + 1)</tex>-регулярный граф условий <tex>G'=\langle (V',E'),\Sigma,\mathcal{C}'\rangle</tex> такой, что <tex>|V'|</tex>=2|E|</tex> и <tex>c \cdot UNSAT(G) \le UNSAT(G') \le UNSAT(G)</tex>. Для некоторых заданных констант <tex>d_0,c>0</tex>
|proof=TODO
}}

Эта лемма известна как экспандер-замена(expander-replacement transformation).

{{Лемма
|about=О расширении
|statement=
Пусть <tex>d_0, h_0 >0</tex> некоторые константы. Любой <tex>d</tex>-регулярный граф условий <tex>G</tex> может быть преобразован в <tex>G'</tex> такой, что:
* <tex>G'</tex> <tex>(d + d_0 + 1)</tex>-регулярный, имеет собственные циклы и <tex>\lambda(G') \le d + d_0 + 1 - \frac {h_0^2} {d + d_0 + 1} < deg(G')</tex>
* <tex>size(G')=O(size(G))</tex>
* <tex> \frac d {d + d_0 + 1} \cdot UNSAT(G) \le UNSAT(G') \le UNSAT(G)</tex>
|proof=TODO
}}

===Усиление===
Это новая операция на системах условий, которая увеличивает число неудовлетворенности.
Пусть <tex>G=\langle (V,E),\Sigma,\mathcal{C}\rangle<tex> граф условий, <tex>t \in \mathbb{N}</tex>. Определим <tex>G^t=\langle (V,\mathbf{E}),\Sigma^{d^{\lceil t/2\rceil}}, \mathcal{C}^t \rangle</tex> как следующий граф условий:
* Веришины <tex>G^t</tex> совпадают с вершинами <tex>G</tex>
* Ребра: <tex>u</tex> и <tex>v</tex> соединены <tex>k</tex> ребрами в <tex>\mathbf{E}</tex>, если количество путей длины <tex>t</tex> из <tex>u</tex> в <tex>v</tex> в графе <tex>G</tex> равно <tex>k</tex>
* Алфавит: алфавит графа <tex>G^t</tex> <tex>\Sigma^{d^{\lceil t/2\rceil}}</tex>, где каждой вершине сопоставлены значения ее соседей, достижимых за <tex>\frac t 2</tex> шагов.
* Условия: Условия сопоставленные ребру <tex>e=(u,v) \in \mathbf{E}</tex> удовлетворены, если назначения для <tex>u</tex> и <tex>v</tex> согласованы с назначениями, удовлетворяющими условия, порожденные <tex>\frac t 2</tex> соседями <tex>u</tex> и <tex>v</tex>.

Если <tex>UNSAT(G)=0</tex> тогда очевидно <tex>UNSAT(G^t)=0</tex>. Интереснее доказательство того, что <tex>UNSAT(G^t) \ge O(\sqrt{t} \cdot UNSAT(G)</tex>.

{{Лемма
|about=Усиление
|statement= Пусть <tex>\lambda < d</tex> и <tex>|\Sigma|</tex> произвольные константы. Тогда существует константа <tex>\beta_2=\beta_2(\lambda,d,|\Sigma|)>0</rex> такая, что для любого <tex>t \in \mathbb N</tex> и для любого <tex>d</tex>-регулярного графа условий <tex>G=\langle(V,E),\Sigma,\mathcal{C}\rangle</tex> с собственными циклами и <tex>\lambda(G)\le \lambda</tex>, <tex>UNSAT(G^t) \ge \beta_2 \sqrt{t} \cdot min \left({UNSAT(G), \frac 1 t}\right)</tex>.
|proof=TODO
}}

Поскольку <tex>UNSAT(G) \le \frac 1 t</tex>, из жтой леммы следует что <tex>UNSAT(G^t) \ge O(\sqrt{t}) \cdot UNSAT(G)</tex>. Это основная техническая лемма.
===Композиция===

==Дополнительные материалы==
* [http://www.math.ias.edu/boaz/ExpanderCourse/|N. Linial and A. Wigderson. Expander graphs and their applications. Lecture notes of a course, 2003].
* Michael Sipser and Daniel A. Spielman. Expander codes. IEEE Trans. Inform. Theory, 42(6, part 1):1710–1722, 1996. Codes and complexity.
* C. Papadimitriou and M. Yannakakis. Optimization, approximation and complexity classes. Journal of Computer and System Sciences, 3:425–440, 1991.
==Источники==
* [http://eccc.hpi-web.de/report/2005/046/|The PCP Theorem by Gap Amplification, Irit Dinur, 2005].
* [http://www.cs.utah.edu/~alfeld/LecturePDFs/pcp.pdf|The PCP Theorem, Notes by Scott Alfeld, 2008].

PCP-теорема

2012-06-03T16:59:46Z

Filchenko: Усиление, введение

PCP-теорема

2012-06-03T16:40:24Z

Filchenko: Лемма о расширении

PCP-теорема

2012-06-03T16:34:35Z

Filchenko: expander-replacement

PCP-теорема

2012-06-03T16:17:31Z

Filchenko: реструктуризация

PCP-теорема

2012-06-03T16:08:42Z

Filchenko: Коды с коррекцией ошибок

PCP-теорема

2012-06-03T15:56:46Z

Filchenko: Неравенство в стиле Чебышева

PCP-теорема

2012-06-03T15:48:58Z

Filchenko: Экспандер графы без доказательств

PCP-теорема

2012-06-03T15:35:10Z

Filchenko: Лемма о экспандерах

PCP-теорема

2012-06-03T15:15:36Z

Filchenko: /* Графы условий */ Доказательство леммы

PCP-теорема

2012-06-03T15:06:08Z

Filchenko: Графы условий без доказательсва

PCP-теорема

2012-06-03T14:47:05Z

Filchenko: определение графов условий

PCP-теорема

2012-06-03T14:15:27Z

Filchenko: /* Несколько замечаний [TODO: переименовать] */ - переименовано

PCP-теорема

2012-06-03T14:11:59Z

Filchenko: доказательство леммы

PCP-теорема

2012-06-03T13:18:28Z

Filchenko: закончено доказательство леммы в одну сторону

PCP-теорема

2012-06-03T13:01:03Z

Filchenko: Начало доказательства леммы

PCP-теорема

2012-06-03T12:24:05Z

Filchenko: GAP-3SAT

Возможность порождения формальной грамматикой произвольного перечислимого языка

2012-01-23T23:38:26Z

Filchenko: определение переехало

= Теорема =

{{Теорема
|statement=
Язык распознается машиной Тьюринга тогда и только тогда, когда он генерируется формальной грамматикой.
|proof=
{{Лемма
|statement=
Для любой формальной грамматики существует машина Тьюринга, распознающая язык этой грамматики.
|proof=
Пусть <tex>G = (N, \Sigma, P, S)</tex> — грамматика и <tex>L = L(G)</tex>. Опишем неформально недетерминированную машину Тьюринга <tex>Tm</tex>, допускающую <tex>L</tex>. 
<tex>Tm = (Q, \Sigma, \Gamma, D, q_0, F)</tex>, где <tex>\Gamma = T \cup \Sigma \cup \{B,\#,X\}</tex> и <tex>B,\#,X \notin N \cup \Sigma</tex>. 
Вначале <tex>Tm</tex> содержит на ленте <tex>w \in \Sigma^*</tex>. <tex>Tm</tex> вставляет <tex>\#</tex> перед <tex>w</tex>, сдвигая все символы <tex>w</tex> на одну ячейку вправо, и <tex>\#S\#</tex> после <tex>w</tex>, так что содержимым ленты становится <Tex>\#w\#S\#</tex>.

Теперь <tex>Tm</tex> недетерминированно симулирует вывод <tex>G</tex>, начиная с <tex>S</tex>. Каждая [[Формальные грамматики#sform|сентенциальная форма вывода]] появляется по порядку между последними двумя <tex>\#</tex>. Если некоторый выбор переходов ведет к терминальной строке, она сравнивается с <tex>w</tex>. Если они совпадают, <tex>Tm</tex> допускает.

Формально, пусть <tex>Tm</tex> имеет на ленте <tex>\#w\#A_1A_2...A_k\#</tex>. <tex>Tm</tex> передвигает недетерминированно головку по <tex>A_1A_2...A_k</tex>, выбирая позицию <tex>i</tex> и константу <tex>r</tex> между <tex>1</tex> и максимальной длиной левой части любого правила вывода в <tex>P</tex>. Затем <tex>Tm</tex> проверяет подстроки <tex>A_iA_{i+1}...A_{i+r-1}</tex>. Если <tex>A_iA_{i+1}...A_{i+r-1}</tex> — левая часть некоторого правила вывода из <tex>P</tex>, она может быть заменена на правую часть. <tex>Tm</tex> может сдвинуть <tex>A_{i+r}A_{i+r+1}...A_k\#</tex> либо влево, либо вправо, освобождая или заполняя место, если правая часть имеет длину, отличную от <tex>r</tex>.

Из этой простой симуляции выводов в <tex>G</tex> видно, что <tex>Tm</tex> печатает на ленте строку вида <tex>\#w\#y\#</tex>, <tex>y \in V*</tex> в точности, если <tex>S \Rightarrow^* y</tex>. Если <tex>y = w</tex>, <tex>Tm</tex> допускает <tex>L</tex>.

}}

{{Лемма
|statement=
Если язык распознается некоторой машиной Тьюринга то существует формальная грамматика, которая его генерирует.
|proof=
Пусть <tex>Tm=(Q,\Sigma,\Gamma,D,q_0,F)</tex> допускает <tex>L</tex>. Построим грамматику <tex>G</tex>, которая недерминированно генерирует две копии представления некоторого слова из <tex>\Sigma^*</tex> и затем симулирует поведение <tex>Tm</tex> на одной из копий. Если <tex>Tm</tex> допускает слово, то G трансформирует вторую копию в терминальную строку. Если <tex>Tm</tex> не допускает <tex>L</tex>, то вывод никогда не приводит к терминальной строке.

Формально, пусть 
<tex>G=(N,\Sigma,P,A_1)</tex>, где <tex>N=([\Sigma \cup \{e\}] \times \Gamma) \cup Q \cup \{A_1,A_2,A_3\}</tex> 
Правила:

# <tex>A_1 \rightarrow q_0A_2</tex>
# <tex>A_2 \rightarrow [a, a]A_2</tex> для каждого <tex>a \in \Sigma</tex>
# <tex>A_2 \rightarrow A_3</tex>
# <tex>A_3 \rightarrow [e,B]A_3</tex>
# <tex>A_3 \rightarrow e</tex>
# <tex>q[a,C] \rightarrow [a,E]p</tex> для каждого <tex>a \in \Sigma \cup \{e\}</tex> и каждого <tex>q \in Q</tex> и <tex>C \in \Gamma</tex> такого, что <tex>D(q, C) = (p, E, R)</tex>
# <tex>[b, I]q[a,C] \rightarrow p[b,I][a,J]</tex> для каждого <tex>C,J,I</tex> из <tex>\Gamma</tex>, <tex>a</tex> и <tex>b</tex> и <tex>p,q \in Q</tex> таких, что <tex>D(q, C) = (p, J, L)</tex>
# <tex>[a,C]q \rightarrow qaq</tex> для каждого <tex>a \in \Sigma \cup \{e\}</tex>, <tex>C\in \Gamma</tex>, <tex>q \in F</tex>
# <tex>q[a,C] \rightarrow qaq</tex> для каждого <tex>a \in \Sigma \cup \{e\}</tex>, <tex>C\in \Gamma</tex>, <tex>q \in F</tex>
# <tex>q \rightarrow e</tex> для каждого <tex>q \in F</tex>

Используя правила 1 и 2 
<tex>A_1 \Rightarrow^* q_o[a_1,a_1][a_2,a_2]...[a_n,a_n]A_2<tex>, где <tex>a_i \in \Sigma</tex> для некоторого <tex>i</tex>.

Предположим, что <tex>Tm</tex> допускает строку <tex>a_1a_2...a_n</tex>. Тогда для некоторого <tex>m</tex> <tex>Tm</tex> использует не более, чем <tex>m</tex> ячеек справа от входа. Используя правило 3, а затем правило 4 <tex>m</tex> раз, и, наконец, правило 5, имеем: 
<tex>A_1 \Rightarrow^* q_0[a_1,a_1][a_2,a_2]...[a_n,a_n][e,B]^m</tex>. 
Начиная с этого момента могут быть использованы только правила 6 и 7, пока не сгенерируется допускающее состояние. Отметим, что первые компоненты ленточных символов в <tex>(\Sigma \cup {e}) \times \Gamma</tex> никогда не меняются. Индукцией по числу шагов <tex>Tm</tex> можно показать, что если <tex>(q_0,a_1a_2...a_n,1)\vdash(q, X_1X_2...X_S,r)</tex>, то <tex>q_0[a_1,a_1][a_2,a_2]...[a_n,a_n][e,B]^m \Rightarrow [a_1,X_1][a_2,X_2]...[a_{r-1},X_{r-1}]q[a_r,X_r]...[a_{n+m},X_{n+m}]</tex>, где <tex> a_1,a_2,...a_n \in \Sigma</tex>, <tex>a_{n+1}=a_{n+2}=...=a_{n+m}=e</tex>, <tex>X_1, X_2,...,X_{n+m} \in \Gamma</tex> и <tex>X_{S+1}=X_{S+2}=...=X_{n+m}=B</tex>.

Предположение индукции тривиально для нуля шагов. Предположим, что оно справедливо для <tex>k - 1</tex> шагов. Пусть <tex>(q_0,a_1a_2...a_n,1) \vdash (q_1,X_1X_2...X_r,j_1) \vdash (q_2,Y_1Y_2...Y_S,j_2)</tex> за <tex>k</tex> шагов. По предположению индукции 
<tex>q_0[a_1,a_1][a_2,a_2]...[a_n,a_n][e,B]^m \Rightarrow [a_1,X_1][a_2][X_2]...[a_{r-1},X_{r-1}]q_1[a_{j_1},X_{j_1}]...[a_{n+m},X_{n+m}</tex>. 
Пусть <tex>E=L</tex>, если <tex>j_2 = j_1 - 1</tex> и <tex>E = R</tex>, если <tex>j_2 = j_1 + 1</tex>. В этом случае <tex>D(q_1, X_{j_1}) = (q_1, Y_{j_1}, E)</tex>.

По правилам 6 или 7: 
<tex>q_1[a_{j_1}] \rightarrow [a_{j_1},Y_{j_1}]q_1</tex> или 
<tex>[a_{j_1-1},X_{j_1-1}]q_1[a_{j_1},X_{j_1}] \rightarrow q_2[a_{j_1-1}, X_{j_1-1}][a_{j_1}, Y_{j_1}]</tex> 
в зависимости от того, равно ли <tex>E</tex> значению <tex>R</tex> или <tex>L</tex>.

Теперь <tex>X_i=Y_i \forall i \neq j_1</tex>.

Таким образом, <Tex>q_0[a_1,a_1][a_2,a_2]...[a_n,a_n][e,B]^m \Rightarrow [a_1,Y_1]q_2[a_{j_2},Y_{j_2}]...[a_{n+m},Y_{n+m}]</tex>, что доказывает предположение индукции.

По правилам 8-10, если <Tex>q \in F</tex>, легко показать что <tex>[a_1,X_1]...q[a_j,X_j]...[a_{n+m},X_{n+m}] \Rightarrow^* a_1a_2...a_n</tex>.

Таким образом, <tex>G</tex> может генерировать <tex>a_1a_2...a_n</tex>, если <tex>a_1a_2...a_n</tex> допускается <tex>Tm</tex>. Таким образом, <tex>L(G)</tex> включает все слова, допускаемые <tex>Tm</tex>. Для завершения доказательства необходимо показать, что все слова из <tex>L(G)</tex> допускаются <Tex>Tm</tex>. Индукцией доказывается, что <tex>A_1 \Rightarrow w</tex> только если <Tex>w</tex> допускается <tex>Tm</tex>.
}}

}}

= Примеры =
== Построение МТ по грамматике ==
{{Задача
|definition = построить МТ для слудующей грамматики:
#<tex>S \rightarrow 1S1</tex>
#<tex>S \rightarrow 0S0</tex>
#<tex>S \rightarrow 1</tex>
#<tex>S \rightarrow 0</tex>
}}

Решением будет МТ, которая изменяет содержимое ленты следующим образом (<tex>w, \alpha , \beta \in \{0,1\}^*</tex>):
#<tex>w \Rightarrow \#w\#S\#</tex>
#<tex>\#w\#\alpha S \beta \# \Rightarrow \#w\#\alpha 1 S 1 \beta \#</tex> это первое правило грамматики
#<tex>\#w\#\alpha S \beta \# \Rightarrow \#w\#\alpha 0 S 0 \beta \#</tex> это второе правило грамматики
#<tex>\#w\#\alpha S \beta \# \Rightarrow \#w\#\alpha 1 \beta \#</tex> это третье правило грамматики
#<tex>\#w\#\alpha S \beta \# \Rightarrow \#w\#\alpha 1 \beta \#</tex> это четвертое правило грамматики
#<tex>\#w\#w\# \Rightarrow Y</tex>, где <tex>Y</tex> — допускающее состояние

Причем она перебирает все возможные последовательности применения таких преобразований недетерминированно (если ни одно применить нельзя, МТ возвращает ленту в исходное состояние)

== Построение грамматики по МТ ==
{{Задача
|definition = написать грамматику, генерирующю язык щаданной МТ: 
* Четыре состояния <tex>\{A,B,Y,N\}</tex>, где <tex>Y</tex> — доупускающее, <tex>N</tex> — недоупускающее 
* <tex>A \rightarrow A</tex> по единице, головка сдвигается вправо
* <tex>A \rightarrow B</tex> по нулю, головка сдвигается вправо
* <tex>A \rightarrow Y</tex> по пустому символу, головка сдвигается вправо
* <tex>B \rightarrow B</tex> по нулю, головка сдвигается вправо
* <tex>B \rightarrow Y</tex> по пустому символу, головка сдвигается вправо
* <tex>B \rightarrow N</tex> по единице, головка сдвигается вправо
}}

Грамматика будет следующей:
#<tex>A_1 \rightarrow q_A A_2</tex>
#<tex>A_2 \rightarrow [0,0]</tex>
#<tex>A_2 \rightarrow [1,1]</tex>
#<tex>A_2 \rightarrow A_3</tex>
#<tex>A_3 \rightarrow [e,B]A_3</tex>
#<tex>A_3 \rightarrow e</tex>
#<tex>q_A[0, 0] \rightarrow [0,0]q_A</tex>
#<tex>q_A[1, 0] \rightarrow [1,0]q_A</tex>
#<tex>q_A[e, 0] \rightarrow [e,0]q_A</tex>
#<tex>q_A[0, 1] \rightarrow [0,1]q_B</tex>
#<tex>q_A[1, 1] \rightarrow [1,1]q_B</tex>
#<tex>q_A[e, 1] \rightarrow [e,1]q_B</tex>
#<tex>q_A[0, 1] \rightarrow [0,0]q_B</tex>
#<tex>q_A[0, B] \rightarrow [0,B]q_Y</tex>
#<tex>q_A[1, B] \rightarrow [1,B]q_Y</tex>
#<tex>q_A[e, B] \rightarrow [e,B]q_Y</tex>
#<tex>q_Y[0, 0] \rightarrow q_Y0q_Y</tex>
#<tex>q_Y[1, 0] \rightarrow q_Y1q_Y</tex>
#<tex>q_Y[e, 0] \rightarrow q_Yq_Y</tex>
#<tex>q_Y[0, 1] \rightarrow q_Y0q_Y</tex>
#<tex>q_Y[1, 1] \rightarrow q_Y1q_Y</tex>
#<tex>q_Y[e, 1] \rightarrow q_Yq_Y</tex>
#<tex>q_Y[0, B] \rightarrow q_Y0q_Y</tex>
#<tex>q_Y[1, B] \rightarrow q_Y1q_Y</tex>
#<tex>q_Y[e, B] \rightarrow q_Yq_Y</tex>
#<tex>q_Y \rightarrow e</tex>

Формальные грамматики

2012-01-23T23:34:24Z

Filchenko: якорь

= Определения =

{{Определение
|definition =
'''Формальная грамматика''' — способ описания формального языка, представляющий собой четверку
<tex>\Gamma =\langle \Sigma, N, S \in N, P \subset N^{+}\times (\Sigma\cup N)^{*}\rangle</tex>, где <tex>\Sigma</tex> — [[Основные_определения: алфавит, слово, язык, конкатенация, свободный моноид слов|алфавит]], элементы которого называют '''терминалами''', <tex>N</tex> — множество, элементы которого называют '''нетерминалами''', <tex>S</tex> — начальный символ грамматики, <tex>P</tex> — набор правил вывода <tex>\alpha\rightarrow \beta</tex>.
}}

{{Определение
|definition =
'''<tex>\beta</tex> выводится из <tex>\alpha</tex> за один шаг''' (<tex>\alpha \Rightarrow \beta</tex>):
# <tex>\alpha=\alpha_1\alpha_2\alpha_3</tex>;
# <tex>\beta=\beta_1\beta_2\beta_3</tex>;
# <tex>\alpha_1=\beta_1</tex>, <tex>\alpha_3=\beta_3</tex>, <tex>\alpha_2\rightarrow\beta_2 \in P</tex>.
}}

{{Определение
|definition =
'''<tex>\beta</tex> выводится из <tex>\alpha</tex> за ноль или более шагов''' (<tex>\alpha \Rightarrow^* \beta</tex>):
<tex>\exists \gamma_1, \gamma_2,...,\gamma_n : \alpha \Rightarrow \gamma_1 \Rightarrow \gamma_2 \Rightarrow ... \Rightarrow \gamma_n \Rightarrow \beta</tex>.
}}

{{Определение
|definition =
'''Языком грамматики''' называется <tex>L(\Gamma) = \{\omega \in \Sigma^{*}|S \Rightarrow^{*}\omega\}</tex>.
}}

{{Определение
|id=sform
|definition =
'''Сентенциальная форма''' — последовательность терминалов и нетерминалов, выводимых из начального символа.
}}

= Обозначения =
* Нетерминалы обозначаются заглавными буквами латинского алфавита.
* Терминалы обозначаются строчными буквами из начала латинского алфавита.
* Последовательности из терминалов (слова) обозначают строчными буквами из конца латинского или греческого алфавита. 
* Последовательности из терминалов и нетерминалов обозначаются строчными буквами из начала греческого алфавита.

=Примеры грамматик=
==Правильные скобочные последовательности==
<tex>\Sigma = \{(, )\}</tex>;
 
<tex>\begin{array}{lcr}
S \rightarrow (S);\\
S \rightarrow SS;\\
S \rightarrow \epsilon.
\end{array}
</tex> 

Вывод строки <tex>(()())</tex>: 
<tex>S\rightarrow(S)\rightarrow(SS)\rightarrow((S)S)\rightarrow((S)(S))\rightarrow(()(S))\rightarrow(()())</tex>.

Вывод строки <tex>((()())(()))</tex>: 
<tex>S\rightarrow(S)\rightarrow(SS)\rightarrow((S)S)\rightarrow((S)(S))\rightarrow</tex> 
<tex>\rightarrow((SS)((S)))\rightarrow (((S)S)((S))) \rightarrow ((()S)((S)))\rightarrow</tex> <tex>\rightarrow((()(S))((S)))\rightarrow ((()())((S)))\rightarrow ((()())(()))</tex>.

==Арифметические выражения==
<tex>\Sigma = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, +, *, /, -, (, )\}</tex>;
 

<tex>\begin{array}{lcr}
S \rightarrow S O S;\\
S \rightarrow (S);\\
S \rightarrow 0;\\
S \rightarrow DN;\\
O \rightarrow + | - | * | /;\\
D \rightarrow 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9;\\
N \rightarrow NN | \epsilon;\\
N \rightarrow 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9.
\end{array}
</tex> 

Вывод строки <tex>2+2*2</tex>: <tex>S \rightarrow SOS \rightarrow SOSOS \rightarrow 2OSOS \rightarrow 2O2OS \rightarrow 2O2O2 \rightarrow 2+2O2 \rightarrow 2+2*2</tex>.

[[Контекстно-свободные грамматики, вывод, лево- и правосторонний вывод, дерево разбора|Левосторонний вывод]] этой же строки: <tex>S \rightarrow SOS \rightarrow 2OS \rightarrow 2+S \rightarrow 2+SOS \rightarrow 2+2OS \rightarrow 2+2*S \rightarrow 2+2*2</tex>.

= Литература =
* ''Хопкрофт Д., Мотвани Р., Ульман Д.'' — '''Введение в теорию автоматов, языков и вычислений''', 2-е изд. : Пер. с англ. — Москва, Издательский дом «Вильямс», 2002. — 528 с. : ISBN 5-8459-0261-4 (рус.)

Формальные грамматики

2012-01-23T23:32:38Z

Filchenko: сент. форма

= Определения =

{{Определение
|definition =
'''Формальная грамматика''' — способ описания формального языка, представляющий собой четверку
<tex>\Gamma =\langle \Sigma, N, S \in N, P \subset N^{+}\times (\Sigma\cup N)^{*}\rangle</tex>, где <tex>\Sigma</tex> — [[Основные_определения: алфавит, слово, язык, конкатенация, свободный моноид слов|алфавит]], элементы которого называют '''терминалами''', <tex>N</tex> — множество, элементы которого называют '''нетерминалами''', <tex>S</tex> — начальный символ грамматики, <tex>P</tex> — набор правил вывода <tex>\alpha\rightarrow \beta</tex>.
}}

{{Определение
|definition =
'''<tex>\beta</tex> выводится из <tex>\alpha</tex> за один шаг''' (<tex>\alpha \Rightarrow \beta</tex>):
# <tex>\alpha=\alpha_1\alpha_2\alpha_3</tex>;
# <tex>\beta=\beta_1\beta_2\beta_3</tex>;
# <tex>\alpha_1=\beta_1</tex>, <tex>\alpha_3=\beta_3</tex>, <tex>\alpha_2\rightarrow\beta_2 \in P</tex>.
}}

{{Определение
|definition =
'''<tex>\beta</tex> выводится из <tex>\alpha</tex> за ноль или более шагов''' (<tex>\alpha \Rightarrow^* \beta</tex>):
<tex>\exists \gamma_1, \gamma_2,...,\gamma_n : \alpha \Rightarrow \gamma_1 \Rightarrow \gamma_2 \Rightarrow ... \Rightarrow \gamma_n \Rightarrow \beta</tex>.
}}

{{Определение
|definition =
'''Языком грамматики''' называется <tex>L(\Gamma) = \{\omega \in \Sigma^{*}|S \Rightarrow^{*}\omega\}</tex>.
}}

{{Определение
|definition =
'''Сентенциальная форма''' — последовательность терминалов и нетерминалов, выводимых из начального символа.
}}

= Обозначения =
* Нетерминалы обозначаются заглавными буквами латинского алфавита.
* Терминалы обозначаются строчными буквами из начала латинского алфавита.
* Последовательности из терминалов (слова) обозначают строчными буквами из конца латинского или греческого алфавита. 
* Последовательности из терминалов и нетерминалов обозначаются строчными буквами из начала греческого алфавита.

=Примеры грамматик=
==Правильные скобочные последовательности==
<tex>\Sigma = \{(, )\}</tex>;
 
<tex>\begin{array}{lcr}
S \rightarrow (S);\\
S \rightarrow SS;\\
S \rightarrow \epsilon.
\end{array}
</tex> 

Вывод строки <tex>(()())</tex>: 
<tex>S\rightarrow(S)\rightarrow(SS)\rightarrow((S)S)\rightarrow((S)(S))\rightarrow(()(S))\rightarrow(()())</tex>.

Вывод строки <tex>((()())(()))</tex>: 
<tex>S\rightarrow(S)\rightarrow(SS)\rightarrow((S)S)\rightarrow((S)(S))\rightarrow</tex> 
<tex>\rightarrow((SS)((S)))\rightarrow (((S)S)((S))) \rightarrow ((()S)((S)))\rightarrow</tex> <tex>\rightarrow((()(S))((S)))\rightarrow ((()())((S)))\rightarrow ((()())(()))</tex>.

==Арифметические выражения==
<tex>\Sigma = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, +, *, /, -, (, )\}</tex>;
 

<tex>\begin{array}{lcr}
S \rightarrow S O S;\\
S \rightarrow (S);\\
S \rightarrow 0;\\
S \rightarrow DN;\\
O \rightarrow + | - | * | /;\\
D \rightarrow 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9;\\
N \rightarrow NN | \epsilon;\\
N \rightarrow 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9.
\end{array}
</tex> 

Вывод строки <tex>2+2*2</tex>: <tex>S \rightarrow SOS \rightarrow SOSOS \rightarrow 2OSOS \rightarrow 2O2OS \rightarrow 2O2O2 \rightarrow 2+2O2 \rightarrow 2+2*2</tex>.

[[Контекстно-свободные грамматики, вывод, лево- и правосторонний вывод, дерево разбора|Левосторонний вывод]] этой же строки: <tex>S \rightarrow SOS \rightarrow 2OS \rightarrow 2+S \rightarrow 2+SOS \rightarrow 2+2OS \rightarrow 2+2*S \rightarrow 2+2*2</tex>.

= Литература =
* ''Хопкрофт Д., Мотвани Р., Ульман Д.'' — '''Введение в теорию автоматов, языков и вычислений''', 2-е изд. : Пер. с англ. — Москва, Издательский дом «Вильямс», 2002. — 528 с. : ISBN 5-8459-0261-4 (рус.)

Возможность порождения формальной грамматикой произвольного перечислимого языка

2012-01-23T23:30:49Z

Filchenko: сент. форма

= Определения =
{{Определение
|definition =
'''Сентенциальная форма''' — последовательность терминалов и нетерминалов, выводимых из начального символа.
}}

= Теорема =

{{Теорема
|statement=
Язык распознается машиной Тьюринга тогда и только тогда, когда он генерируется формальной грамматикой.
|proof=
{{Лемма
|statement=
Для любой формальной грамматики существует машина Тьюринга, распознающая язык этой грамматики.
|proof=
Пусть <tex>G = (N, \Sigma, P, S)</tex> — грамматика и <tex>L = L(G)</tex>. Опишем неформально недетерминированную машину Тьюринга <tex>Tm</tex>, допускающую <tex>L</tex>. 
<tex>Tm = (Q, \Sigma, \Gamma, D, q_0, F)</tex>, где <tex>\Gamma = T \cup \Sigma \cup \{B,\#,X\}</tex> и <tex>B,\#,X \notin N \cup \Sigma</tex>. 
Вначале <tex>Tm</tex> содержит на ленте <tex>w \in \Sigma^*</tex>. <tex>Tm</tex> вставляет <tex>\#</tex> перед <tex>w</tex>, сдвигая все символы <tex>w</tex> на одну ячейку вправо, и <tex>\#S\#</tex> после <tex>w</tex>, так что содержимым ленты становится <Tex>\#w\#S\#</tex>.

Теперь <tex>Tm</tex> недетерминированно симулирует вывод <tex>G</tex>, начиная с <tex>S</tex>. Каждая сентенциальная форма вывода появляется по порядку между последними двумя <tex>\#</tex>. Если некоторый выбор переходов ведет к терминальной строке, она сравнивается с <tex>w</tex>. Если они совпадают, <tex>Tm</tex> допускает.

Формально, пусть <tex>Tm</tex> имеет на ленте <tex>\#w\#A_1A_2...A_k\#</tex>. <tex>Tm</tex> передвигает недетерминированно головку по <tex>A_1A_2...A_k</tex>, выбирая позицию <tex>i</tex> и константу <tex>r</tex> между <tex>1</tex> и максимальной длиной левой части любого правила вывода в <tex>P</tex>. Затем <tex>Tm</tex> проверяет подстроки <tex>A_iA_{i+1}...A_{i+r-1}</tex>. Если <tex>A_iA_{i+1}...A_{i+r-1}</tex> — левая часть некоторого правила вывода из <tex>P</tex>, она может быть заменена на правую часть. <tex>Tm</tex> может сдвинуть <tex>A_{i+r}A_{i+r+1}...A_k\#</tex> либо влево, либо вправо, освобождая или заполняя место, если правая часть имеет длину, отличную от <tex>r</tex>.

Из этой простой симуляции выводов в <tex>G</tex> видно, что <tex>Tm</tex> печатает на ленте строку вида <tex>\#w\#y\#</tex>, <tex>y \in V*</tex> в точности, если <tex>S \Rightarrow^* y</tex>. Если <tex>y = w</tex>, <tex>Tm</tex> допускает <tex>L</tex>.

}}

{{Лемма
|statement=
Если язык распознается некоторой машиной Тьюринга то существует формальная грамматика, которая его генерирует.
|proof=
Пусть <tex>Tm=(Q,\Sigma,\Gamma,D,q_0,F)</tex> допускает <tex>L</tex>. Построим грамматику <tex>G</tex>, которая недерминированно генерирует две копии представления некоторого слова из <tex>\Sigma^*</tex> и затем симулирует поведение <tex>Tm</tex> на одной из копий. Если <tex>Tm</tex> допускает слово, то G трансформирует вторую копию в терминальную строку. Если <tex>Tm</tex> не допускает <tex>L</tex>, то вывод никогда не приводит к терминальной строке.

Формально, пусть 
<tex>G=(N,\Sigma,P,A_1)</tex>, где <tex>N=([\Sigma \cup \{e\}] \times \Gamma) \cup Q \cup \{A_1,A_2,A_3\}</tex> 
Правила:

# <tex>A_1 \rightarrow q_0A_2</tex>
# <tex>A_2 \rightarrow [a, a]A_2</tex> для каждого <tex>a \in \Sigma</tex>
# <tex>A_2 \rightarrow A_3</tex>
# <tex>A_3 \rightarrow [e,B]A_3</tex>
# <tex>A_3 \rightarrow e</tex>
# <tex>q[a,C] \rightarrow [a,E]p</tex> для каждого <tex>a \in \Sigma \cup \{e\}</tex> и каждого <tex>q \in Q</tex> и <tex>C \in \Gamma</tex> такого, что <tex>D(q, C) = (p, E, R)</tex>
# <tex>[b, I]q[a,C] \rightarrow p[b,I][a,J]</tex> для каждого <tex>C,J,I</tex> из <tex>\Gamma</tex>, <tex>a</tex> и <tex>b</tex> и <tex>p,q \in Q</tex> таких, что <tex>D(q, C) = (p, J, L)</tex>
# <tex>[a,C]q \rightarrow qaq</tex> для каждого <tex>a \in \Sigma \cup \{e\}</tex>, <tex>C\in \Gamma</tex>, <tex>q \in F</tex>
# <tex>q[a,C] \rightarrow qaq</tex> для каждого <tex>a \in \Sigma \cup \{e\}</tex>, <tex>C\in \Gamma</tex>, <tex>q \in F</tex>
# <tex>q \rightarrow e</tex> для каждого <tex>q \in F</tex>

Используя правила 1 и 2 
<tex>A_1 \Rightarrow^* q_o[a_1,a_1][a_2,a_2]...[a_n,a_n]A_2<tex>, где <tex>a_i \in \Sigma</tex> для некоторого <tex>i</tex>.

Предположим, что <tex>Tm</tex> допускает строку <tex>a_1a_2...a_n</tex>. Тогда для некоторого <tex>m</tex> <tex>Tm</tex> использует не более, чем <tex>m</tex> ячеек справа от входа. Используя правило 3, а затем правило 4 <tex>m</tex> раз, и, наконец, правило 5, имеем: 
<tex>A_1 \Rightarrow^* q_0[a_1,a_1][a_2,a_2]...[a_n,a_n][e,B]^m</tex>. 
Начиная с этого момента могут быть использованы только правила 6 и 7, пока не сгенерируется допускающее состояние. Отметим, что первые компоненты ленточных символов в <tex>(\Sigma \cup {e}) \times \Gamma</tex> никогда не меняются. Индукцией по числу шагов <tex>Tm</tex> можно показать, что если <tex>(q_0,a_1a_2...a_n,1)\vdash(q, X_1X_2...X_S,r)</tex>, то <tex>q_0[a_1,a_1][a_2,a_2]...[a_n,a_n][e,B]^m \Rightarrow [a_1,X_1][a_2,X_2]...[a_{r-1},X_{r-1}]q[a_r,X_r]...[a_{n+m},X_{n+m}]</tex>, где <tex> a_1,a_2,...a_n \in \Sigma</tex>, <tex>a_{n+1}=a_{n+2}=...=a_{n+m}=e</tex>, <tex>X_1, X_2,...,X_{n+m} \in \Gamma</tex> и <tex>X_{S+1}=X_{S+2}=...=X_{n+m}=B</tex>.

Предположение индукции тривиально для нуля шагов. Предположим, что оно справедливо для <tex>k - 1</tex> шагов. Пусть <tex>(q_0,a_1a_2...a_n,1) \vdash (q_1,X_1X_2...X_r,j_1) \vdash (q_2,Y_1Y_2...Y_S,j_2)</tex> за <tex>k</tex> шагов. По предположению индукции 
<tex>q_0[a_1,a_1][a_2,a_2]...[a_n,a_n][e,B]^m \Rightarrow [a_1,X_1][a_2][X_2]...[a_{r-1},X_{r-1}]q_1[a_{j_1},X_{j_1}]...[a_{n+m},X_{n+m}</tex>. 
Пусть <tex>E=L</tex>, если <tex>j_2 = j_1 - 1</tex> и <tex>E = R</tex>, если <tex>j_2 = j_1 + 1</tex>. В этом случае <tex>D(q_1, X_{j_1}) = (q_1, Y_{j_1}, E)</tex>.

По правилам 6 или 7: 
<tex>q_1[a_{j_1}] \rightarrow [a_{j_1},Y_{j_1}]q_1</tex> или 
<tex>[a_{j_1-1},X_{j_1-1}]q_1[a_{j_1},X_{j_1}] \rightarrow q_2[a_{j_1-1}, X_{j_1-1}][a_{j_1}, Y_{j_1}]</tex> 
в зависимости от того, равно ли <tex>E</tex> значению <tex>R</tex> или <tex>L</tex>.

Теперь <tex>X_i=Y_i \forall i \neq j_1</tex>.

Таким образом, <Tex>q_0[a_1,a_1][a_2,a_2]...[a_n,a_n][e,B]^m \Rightarrow [a_1,Y_1]q_2[a_{j_2},Y_{j_2}]...[a_{n+m},Y_{n+m}]</tex>, что доказывает предположение индукции.

По правилам 8-10, если <Tex>q \in F</tex>, легко показать что <tex>[a_1,X_1]...q[a_j,X_j]...[a_{n+m},X_{n+m}] \Rightarrow^* a_1a_2...a_n</tex>.

Таким образом, <tex>G</tex> может генерировать <tex>a_1a_2...a_n</tex>, если <tex>a_1a_2...a_n</tex> допускается <tex>Tm</tex>. Таким образом, <tex>L(G)</tex> включает все слова, допускаемые <tex>Tm</tex>. Для завершения доказательства необходимо показать, что все слова из <tex>L(G)</tex> допускаются <Tex>Tm</tex>. Индукцией доказывается, что <tex>A_1 \Rightarrow w</tex> только если <Tex>w</tex> допускается <tex>Tm</tex>.
}}

}}

= Примеры =
== Построение МТ по грамматике ==
{{Задача
|definition = построить МТ для слудующей грамматики:
#<tex>S \rightarrow 1S1</tex>
#<tex>S \rightarrow 0S0</tex>
#<tex>S \rightarrow 1</tex>
#<tex>S \rightarrow 0</tex>
}}

Решением будет МТ, которая изменяет содержимое ленты следующим образом (<tex>w, \alpha , \beta \in \{0,1\}^*</tex>):
#<tex>w \Rightarrow \#w\#S\#</tex>
#<tex>\#w\#\alpha S \beta \# \Rightarrow \#w\#\alpha 1 S 1 \beta \#</tex> это первое правило грамматики
#<tex>\#w\#\alpha S \beta \# \Rightarrow \#w\#\alpha 0 S 0 \beta \#</tex> это второе правило грамматики
#<tex>\#w\#\alpha S \beta \# \Rightarrow \#w\#\alpha 1 \beta \#</tex> это третье правило грамматики
#<tex>\#w\#\alpha S \beta \# \Rightarrow \#w\#\alpha 1 \beta \#</tex> это четвертое правило грамматики
#<tex>\#w\#w\# \Rightarrow Y</tex>, где <tex>Y</tex> — допускающее состояние

Причем она перебирает все возможные последовательности применения таких преобразований недетерминированно (если ни одно применить нельзя, МТ возвращает ленту в исходное состояние)

== Построение грамматики по МТ ==
{{Задача
|definition = написать грамматику, генерирующю язык щаданной МТ: 
* Четыре состояния <tex>\{A,B,Y,N\}</tex>, где <tex>Y</tex> — доупускающее, <tex>N</tex> — недоупускающее 
* <tex>A \rightarrow A</tex> по единице, головка сдвигается вправо
* <tex>A \rightarrow B</tex> по нулю, головка сдвигается вправо
* <tex>A \rightarrow Y</tex> по пустому символу, головка сдвигается вправо
* <tex>B \rightarrow B</tex> по нулю, головка сдвигается вправо
* <tex>B \rightarrow Y</tex> по пустому символу, головка сдвигается вправо
* <tex>B \rightarrow N</tex> по единице, головка сдвигается вправо
}}

Грамматика будет следующей:
#<tex>A_1 \rightarrow q_A A_2</tex>
#<tex>A_2 \rightarrow [0,0]</tex>
#<tex>A_2 \rightarrow [1,1]</tex>
#<tex>A_2 \rightarrow A_3</tex>
#<tex>A_3 \rightarrow [e,B]A_3</tex>
#<tex>A_3 \rightarrow e</tex>
#<tex>q_A[0, 0] \rightarrow [0,0]q_A</tex>
#<tex>q_A[1, 0] \rightarrow [1,0]q_A</tex>
#<tex>q_A[e, 0] \rightarrow [e,0]q_A</tex>
#<tex>q_A[0, 1] \rightarrow [0,1]q_B</tex>
#<tex>q_A[1, 1] \rightarrow [1,1]q_B</tex>
#<tex>q_A[e, 1] \rightarrow [e,1]q_B</tex>
#<tex>q_A[0, 1] \rightarrow [0,0]q_B</tex>
#<tex>q_A[0, B] \rightarrow [0,B]q_Y</tex>
#<tex>q_A[1, B] \rightarrow [1,B]q_Y</tex>
#<tex>q_A[e, B] \rightarrow [e,B]q_Y</tex>
#<tex>q_Y[0, 0] \rightarrow q_Y0q_Y</tex>
#<tex>q_Y[1, 0] \rightarrow q_Y1q_Y</tex>
#<tex>q_Y[e, 0] \rightarrow q_Yq_Y</tex>
#<tex>q_Y[0, 1] \rightarrow q_Y0q_Y</tex>
#<tex>q_Y[1, 1] \rightarrow q_Y1q_Y</tex>
#<tex>q_Y[e, 1] \rightarrow q_Yq_Y</tex>
#<tex>q_Y[0, B] \rightarrow q_Y0q_Y</tex>
#<tex>q_Y[1, B] \rightarrow q_Y1q_Y</tex>
#<tex>q_Y[e, B] \rightarrow q_Yq_Y</tex>
#<tex>q_Y \rightarrow e</tex>

Возможность порождения формальной грамматикой произвольного перечислимого языка

2012-01-23T23:22:28Z

Filchenko: перевод на русский

= Теорема =

{{Теорема
|statement=
Язык распознается машиной Тьюринга тогда и только тогда, когда он генерируется формальной грамматикой.
|proof=
{{Лемма
|statement=
Для любой формальной грамматики существует машина Тьюринга, распознающая язык этой грамматики.
|proof=
Пусть <tex>G = (N, \Sigma, P, S)</tex> — грамматика и <tex>L = L(G)</tex>. Опишем неформально недетерминированную машину Тьюринга <tex>Tm</tex>, допускающую <tex>L</tex>. 
<tex>Tm = (Q, \Sigma, \Gamma, D, q_0, F)</tex>, где <tex>\Gamma = T \cup \Sigma \cup \{B,\#,X\}</tex> и <tex>B,\#,X \notin N \cup \Sigma</tex>. 
Вначале <tex>Tm</tex> содержит на ленте <tex>w \in \Sigma^*</tex>. <tex>Tm</tex> вставляет <tex>\#</tex> перед <tex>w</tex>, сдвигая все символы <tex>w</tex> на одну ячейку вправо, и <tex>\#S\#</tex> после <tex>w</tex>, так что содержимым ленты становится <Tex>\#w\#S\#</tex>.

Теперь <tex>Tm</tex> недетерминированно симулирует вывод <tex>G</tex>, начиная с <tex>S</tex>. Каждая сентенциальная форма вывода появляется по порядку между последними двумя <tex>\#</tex>. Если некоторый выбор переходов ведет к терминальной строке, она сравнивается с <tex>w</tex>. Если они совпадают, <tex>Tm</tex> допускает.

Формально, пусть <tex>Tm</tex> имеет на ленте <tex>\#w\#A_1A_2...A_k\#</tex>. <tex>Tm</tex> передвигает недетерминированно головку по <tex>A_1A_2...A_k</tex>, выбирая позицию <tex>i</tex> и константу <tex>r</tex> между <tex>1</tex> и максимальной длиной левой части любого правила вывода в <tex>P</tex>. Затем <tex>Tm</tex> проверяет подстроки <tex>A_iA_{i+1}...A_{i+r-1}</tex>. Если <tex>A_iA_{i+1}...A_{i+r-1}</tex> — левая часть некоторого правила вывода из <tex>P</tex>, она может быть заменена на правую часть. <tex>Tm</tex> может сдвинуть <tex>A_{i+r}A_{i+r+1}...A_k\#</tex> либо влево, либо вправо, освобождая или заполняя место, если правая часть имеет длину, отличную от <tex>r</tex>.

Из этой простой симуляции выводов в <tex>G</tex> видно, что <tex>Tm</tex> печатает на ленте строку вида <tex>\#w\#y\#</tex>, <tex>y \in V*</tex> в точности, если <tex>S \Rightarrow^* y</tex>. Если <tex>y = w</tex>, <tex>Tm</tex> допускает <tex>L</tex>.

}}

{{Лемма
|statement=
Если язык распознается некоторой машиной Тьюринга то существует формальная грамматика, которая его генерирует.
|proof=
Пусть <tex>Tm=(Q,\Sigma,\Gamma,D,q_0,F)</tex> допускает <tex>L</tex>. Построим грамматику <tex>G</tex>, которая недерминированно генерирует две копии представления некоторого слова из <tex>\Sigma^*</tex> и затем симулирует поведение <tex>Tm</tex> на одной из копий. Если <tex>Tm</tex> допускает слово, то G трансформирует вторую копию в терминальную строку. Если <tex>Tm</tex> не допускает <tex>L</tex>, то вывод никогда не приводит к терминальной строке.

Формально, пусть 
<tex>G=(N,\Sigma,P,A_1)</tex>, где <tex>N=([\Sigma \cup \{e\}] \times \Gamma) \cup Q \cup \{A_1,A_2,A_3\}</tex> 
Правила:

# <tex>A_1 \rightarrow q_0A_2</tex>
# <tex>A_2 \rightarrow [a, a]A_2</tex> для каждого <tex>a \in \Sigma</tex>
# <tex>A_2 \rightarrow A_3</tex>
# <tex>A_3 \rightarrow [e,B]A_3</tex>
# <tex>A_3 \rightarrow e</tex>
# <tex>q[a,C] \rightarrow [a,E]p</tex> для каждого <tex>a \in \Sigma \cup \{e\}</tex> и каждого <tex>q \in Q</tex> и <tex>C \in \Gamma</tex> такого, что <tex>D(q, C) = (p, E, R)</tex>
# <tex>[b, I]q[a,C] \rightarrow p[b,I][a,J]</tex> для каждого <tex>C,J,I</tex> из <tex>\Gamma</tex>, <tex>a</tex> и <tex>b</tex> и <tex>p,q \in Q</tex> таких, что <tex>D(q, C) = (p, J, L)</tex>
# <tex>[a,C]q \rightarrow qaq</tex> для каждого <tex>a \in \Sigma \cup \{e\}</tex>, <tex>C\in \Gamma</tex>, <tex>q \in F</tex>
# <tex>q[a,C] \rightarrow qaq</tex> для каждого <tex>a \in \Sigma \cup \{e\}</tex>, <tex>C\in \Gamma</tex>, <tex>q \in F</tex>
# <tex>q \rightarrow e</tex> для каждого <tex>q \in F</tex>

Используя правила 1 и 2 
<tex>A_1 \Rightarrow^* q_o[a_1,a_1][a_2,a_2]...[a_n,a_n]A_2<tex>, где <tex>a_i \in \Sigma</tex> для некоторого <tex>i</tex>.

Предположим, что <tex>Tm</tex> допускает строку <tex>a_1a_2...a_n</tex>. Тогда для некоторого <tex>m</tex> <tex>Tm</tex> использует не более, чем <tex>m</tex> ячеек справа от входа. Используя правило 3, а затем правило 4 <tex>m</tex> раз, и, наконец, правило 5, имеем: 
<tex>A_1 \Rightarrow^* q_0[a_1,a_1][a_2,a_2]...[a_n,a_n][e,B]^m</tex>. 
Начиная с этого момента могут быть использованы только правила 6 и 7, пока не сгенерируется допускающее состояние. Отметим, что первые компоненты ленточных символов в <tex>(\Sigma \cup {e}) \times \Gamma</tex> никогда не меняются. Индукцией по числу шагов <tex>Tm</tex> можно показать, что если <tex>(q_0,a_1a_2...a_n,1)\vdash(q, X_1X_2...X_S,r)</tex>, то <tex>q_0[a_1,a_1][a_2,a_2]...[a_n,a_n][e,B]^m \Rightarrow [a_1,X_1][a_2,X_2]...[a_{r-1},X_{r-1}]q[a_r,X_r]...[a_{n+m},X_{n+m}]</tex>, где <tex> a_1,a_2,...a_n \in \Sigma</tex>, <tex>a_{n+1}=a_{n+2}=...=a_{n+m}=e</tex>, <tex>X_1, X_2,...,X_{n+m} \in \Gamma</tex> и <tex>X_{S+1}=X_{S+2}=...=X_{n+m}=B</tex>.

Предположение индукции тривиально для нуля шагов. Предположим, что оно справедливо для <tex>k - 1</tex> шагов. Пусть <tex>(q_0,a_1a_2...a_n,1) \vdash (q_1,X_1X_2...X_r,j_1) \vdash (q_2,Y_1Y_2...Y_S,j_2)</tex> за <tex>k</tex> шагов. По предположению индукции 
<tex>q_0[a_1,a_1][a_2,a_2]...[a_n,a_n][e,B]^m \Rightarrow [a_1,X_1][a_2][X_2]...[a_{r-1},X_{r-1}]q_1[a_{j_1},X_{j_1}]...[a_{n+m},X_{n+m}</tex>. 
Пусть <tex>E=L</tex>, если <tex>j_2 = j_1 - 1</tex> и <tex>E = R</tex>, если <tex>j_2 = j_1 + 1</tex>. В этом случае <tex>D(q_1, X_{j_1}) = (q_1, Y_{j_1}, E)</tex>.

По правилам 6 или 7: 
<tex>q_1[a_{j_1}] \rightarrow [a_{j_1},Y_{j_1}]q_1</tex> или 
<tex>[a_{j_1-1},X_{j_1-1}]q_1[a_{j_1},X_{j_1}] \rightarrow q_2[a_{j_1-1}, X_{j_1-1}][a_{j_1}, Y_{j_1}]</tex> 
в зависимости от того, равно ли <tex>E</tex> значению <tex>R</tex> или <tex>L</tex>.

Теперь <tex>X_i=Y_i \forall i \neq j_1</tex>.

Таким образом, <Tex>q_0[a_1,a_1][a_2,a_2]...[a_n,a_n][e,B]^m \Rightarrow [a_1,Y_1]q_2[a_{j_2},Y_{j_2}]...[a_{n+m},Y_{n+m}]</tex>, что доказывает предположение индукции.

По правилам 8-10, если <Tex>q \in F</tex>, легко показать что <tex>[a_1,X_1]...q[a_j,X_j]...[a_{n+m},X_{n+m}] \Rightarrow^* a_1a_2...a_n</tex>.

Таким образом, <tex>G</tex> может генерировать <tex>a_1a_2...a_n</tex>, если <tex>a_1a_2...a_n</tex> допускается <tex>Tm</tex>. Таким образом, <tex>L(G)</tex> включает все слова, допускаемые <tex>Tm</tex>. Для завершения доказательства необходимо показать, что все слова из <tex>L(G)</tex> допускаются <Tex>Tm</tex>. Индукцией доказывается, что <tex>A_1 \Rightarrow w</tex> только если <Tex>w</tex> допускается <tex>Tm</tex>.
}}

}}

= Примеры =
== Построение МТ по грамматике ==
{{Задача
|definition = построить МТ для слудующей грамматики:
#<tex>S \rightarrow 1S1</tex>
#<tex>S \rightarrow 0S0</tex>
#<tex>S \rightarrow 1</tex>
#<tex>S \rightarrow 0</tex>
}}

Решением будет МТ, которая изменяет содержимое ленты следующим образом (<tex>w, \alpha , \beta \in \{0,1\}^*</tex>):
#<tex>w \Rightarrow \#w\#S\#</tex>
#<tex>\#w\#\alpha S \beta \# \Rightarrow \#w\#\alpha 1 S 1 \beta \#</tex> это первое правило грамматики
#<tex>\#w\#\alpha S \beta \# \Rightarrow \#w\#\alpha 0 S 0 \beta \#</tex> это второе правило грамматики
#<tex>\#w\#\alpha S \beta \# \Rightarrow \#w\#\alpha 1 \beta \#</tex> это третье правило грамматики
#<tex>\#w\#\alpha S \beta \# \Rightarrow \#w\#\alpha 1 \beta \#</tex> это четвертое правило грамматики
#<tex>\#w\#w\# \Rightarrow Y</tex>, где <tex>Y</tex> — допускающее состояние

Причем она перебирает все возможные последовательности применения таких преобразований недетерминированно (если ни одно применить нельзя, МТ возвращает ленту в исходное состояние)

== Построение грамматики по МТ ==
{{Задача
|definition = написать грамматику, генерирующю язык щаданной МТ: 
* Четыре состояния <tex>\{A,B,Y,N\}</tex>, где <tex>Y</tex> — доупускающее, <tex>N</tex> — недоупускающее 
* <tex>A \rightarrow A</tex> по единице, головка сдвигается вправо
* <tex>A \rightarrow B</tex> по нулю, головка сдвигается вправо
* <tex>A \rightarrow Y</tex> по пустому символу, головка сдвигается вправо
* <tex>B \rightarrow B</tex> по нулю, головка сдвигается вправо
* <tex>B \rightarrow Y</tex> по пустому символу, головка сдвигается вправо
* <tex>B \rightarrow N</tex> по единице, головка сдвигается вправо
}}

Грамматика будет следующей:
#<tex>A_1 \rightarrow q_A A_2</tex>
#<tex>A_2 \rightarrow [0,0]</tex>
#<tex>A_2 \rightarrow [1,1]</tex>
#<tex>A_2 \rightarrow A_3</tex>
#<tex>A_3 \rightarrow [e,B]A_3</tex>
#<tex>A_3 \rightarrow e</tex>
#<tex>q_A[0, 0] \rightarrow [0,0]q_A</tex>
#<tex>q_A[1, 0] \rightarrow [1,0]q_A</tex>
#<tex>q_A[e, 0] \rightarrow [e,0]q_A</tex>
#<tex>q_A[0, 1] \rightarrow [0,1]q_B</tex>
#<tex>q_A[1, 1] \rightarrow [1,1]q_B</tex>
#<tex>q_A[e, 1] \rightarrow [e,1]q_B</tex>
#<tex>q_A[0, 1] \rightarrow [0,0]q_B</tex>
#<tex>q_A[0, B] \rightarrow [0,B]q_Y</tex>
#<tex>q_A[1, B] \rightarrow [1,B]q_Y</tex>
#<tex>q_A[e, B] \rightarrow [e,B]q_Y</tex>
#<tex>q_Y[0, 0] \rightarrow q_Y0q_Y</tex>
#<tex>q_Y[1, 0] \rightarrow q_Y1q_Y</tex>
#<tex>q_Y[e, 0] \rightarrow q_Yq_Y</tex>
#<tex>q_Y[0, 1] \rightarrow q_Y0q_Y</tex>
#<tex>q_Y[1, 1] \rightarrow q_Y1q_Y</tex>
#<tex>q_Y[e, 1] \rightarrow q_Yq_Y</tex>
#<tex>q_Y[0, B] \rightarrow q_Y0q_Y</tex>
#<tex>q_Y[1, B] \rightarrow q_Y1q_Y</tex>
#<tex>q_Y[e, B] \rightarrow q_Yq_Y</tex>
#<tex>q_Y \rightarrow e</tex>

Возможность порождения формальной грамматикой произвольного перечислимого языка

2012-01-23T23:21:39Z

Filchenko: точки, точки, точечки

= Теорема =

{{Теорема
|statement=
Язык распознается машиной Тьюринга тогда и только тогда, когда он генерируется формальной грамматикой.
|proof=
{{Лемма
|statement=
Для любой формальной грамматики существует машина Тьюринга, распознающая этот язык.
|proof=
Пусть <tex>G = (N, \Sigma, P, S)</tex> — грамматика и <tex>L = L(G)</tex>. Опишем неформально недетерминированную машину Тьюринга <tex>Tm</tex>, допускающую <tex>L</tex>. 
<tex>Tm = (Q, \Sigma, \Gamma, D, q_0, F)</tex>, где <tex>\Gamma = T \cup \Sigma \cup \{B,\#,X\}</tex> и <tex>B,\#,X \notin N \cup \Sigma</tex>. 
Вначале <tex>Tm</tex> содержит на ленте <tex>w \in \Sigma^*</tex>. <tex>Tm</tex> вставляет <tex>\#</tex> перед <tex>w</tex>, сдвигая все символы <tex>w</tex> на одну ячейку вправо, и <tex>\#S\#</tex> после <tex>w</tex>, так что содержимым ленты становится <Tex>\#w\#S\#</tex>.

Теперь <tex>Tm</tex> недетерминированно симулирует вывод <tex>G</tex>, начиная с <tex>S</tex>. Каждая сентенциальная форма вывода появляется по порядку между последними двумя <tex>\#</tex>. Если некоторый выбор переходов ведет к терминальной строке, она сравнивается с <tex>w</tex>. Если они совпадают, <tex>Tm</tex> допускает.

Формально, пусть <tex>Tm</tex> имеет на ленте <tex>\#w\#A_1A_2...A_k\#</tex>. <tex>Tm</tex> передвигает недетерминированно головку по <tex>A_1A_2...A_k</tex>, выбирая позицию <tex>i</tex> и константу <tex>r</tex> между <tex>1</tex> и максимальной длиной левой части любого правила вывода в <tex>P</tex>. Затем <tex>Tm</tex> проверяет подстроки <tex>A_iA_{i+1}...A_{i+r-1}</tex>. Если <tex>A_iA_{i+1}...A_{i+r-1}</tex> — левая часть некоторого правила вывода из <tex>P</tex>, она может быть заменена на правую часть. <tex>Tm</tex> может сдвинуть <tex>A_{i+r}A_{i+r+1}...A_k\#</tex> либо влево, либо вправо, освобождая или заполняя место, если правая часть имеет длину, отличную от <tex>r</tex>.

Из этой простой симуляции выводов в <tex>G</tex> видно, что <tex>Tm</tex> печатает на ленте строку вида <tex>\#w\#y\#</tex>, <tex>y \in V*</tex> в точности, если <tex>S \Rightarrow^* y</tex>. Если <tex>y = w</tex>, <tex>Tm</tex> допускает <tex>L</tex>.

}}

{{Лемма
|statement=
Если язык распознается некоторой машиной Тьюринга то существует формальная грамматика, которая его генерирует.
|proof=
Пусть <tex>Tm=(Q,\Sigma,\Gamma,D,q_0,F)</tex> допускает <tex>L</tex>. Построим грамматику <tex>G</tex>, которая недерминированно генерирует две копии представления некоторого слова из <tex>\Sigma^*</tex> и затем симулирует поведение <tex>Tm</tex> на одной из копий. Если <tex>Tm</tex> допускает слово, то G трансформирует вторую копию в терминальную строку. Если <tex>Tm</tex> не допускает <tex>L</tex>, то вывод никогда не приводит к терминальной строке.

Формально, пусть 
<tex>G=(N,\Sigma,P,A_1)</tex>, где <tex>N=([\Sigma \cup \{e\}] \times \Gamma) \cup Q \cup \{A_1,A_2,A_3\}</tex> 
Правила:

# <tex>A_1 \rightarrow q_0A_2</tex>
# <tex>A_2 \rightarrow [a, a]A_2</tex> для каждого <tex>a \in \Sigma</tex>
# <tex>A_2 \rightarrow A_3</tex>
# <tex>A_3 \rightarrow [e,B]A_3</tex>
# <tex>A_3 \rightarrow e</tex>
# <tex>q[a,C] \rightarrow [a,E]p</tex> для каждого <tex>a \in \Sigma \cup \{e\}</tex> и каждого <tex>q \in Q</tex> и <tex>C \in \Gamma</tex> такого, что <tex>D(q, C) = (p, E, R)</tex>
# <tex>[b, I]q[a,C] \rightarrow p[b,I][a,J]</tex> для каждого <tex>C,J,I</tex> из <tex>\Gamma</tex>, <tex>a</tex> и <tex>b</tex> и <tex>p,q \in Q</tex> таких, что <tex>D(q, C) = (p, J, L)</tex>
# <tex>[a,C]q \rightarrow qaq</tex> для каждого <tex>a \in \Sigma \cup \{e\}</tex>, <tex>C\in \Gamma</tex>, <tex>q \in F</tex>
# <tex>q[a,C] \rightarrow qaq</tex> для каждого <tex>a \in \Sigma \cup \{e\}</tex>, <tex>C\in \Gamma</tex>, <tex>q \in F</tex>
# <tex>q \rightarrow e</tex> для каждого <tex>q \in F</tex>

Используя правила 1 и 2 
<tex>A_1 \Rightarrow^* q_o[a_1,a_1][a_2,a_2]...[a_n,a_n]A_2<tex>, где <tex>a_i \in \Sigma</tex> для некоторого <tex>i</tex>.

Предположим, что <tex>Tm</tex> допускает строку <tex>a_1a_2...a_n</tex>. Тогда для некоторого <tex>m</tex> <tex>Tm</tex> использует не более, чем <tex>m</tex> ячеек справа от входа. Используя правило 3, а затем правило 4 <tex>m</tex> раз, и, наконец, правило 5, имеем: 
<tex>A_1 \Rightarrow^* q_0[a_1,a_1][a_2,a_2]...[a_n,a_n][e,B]^m</tex>. 
Начиная с этого момента могут быть использованы только правила 6 и 7, пока не сгенерируется допускающее состояние. Отметим, что первые компоненты ленточных символов в <tex>(\Sigma \cup {e}) \times \Gamma</tex> никогда не меняются. Индукцией по числу шагов <tex>Tm</tex> можно показать, что если <tex>(q_0,a_1a_2...a_n,1)\vdash(q, X_1X_2...X_S,r)</tex>, то <tex>q_0[a_1,a_1][a_2,a_2]...[a_n,a_n][e,B]^m \Rightarrow [a_1,X_1][a_2,X_2]...[a_{r-1},X_{r-1}]q[a_r,X_r]...[a_{n+m},X_{n+m}]</tex>, где <tex> a_1,a_2,...a_n \in \Sigma</tex>, <tex>a_{n+1}=a_{n+2}=...=a_{n+m}=e</tex>, <tex>X_1, X_2,...,X_{n+m} \in \Gamma</tex> и <tex>X_{S+1}=X_{S+2}=...=X_{n+m}=B</tex>.

Предположение индукции тривиально для нуля шагов. Предположим, что оно справедливо для <tex>k - 1</tex> шагов. Пусть <tex>(q_0,a_1a_2...a_n,1) \vdash (q_1,X_1X_2...X_r,j_1) \vdash (q_2,Y_1Y_2...Y_S,j_2)</tex> за <tex>k</tex> шагов. По предположению индукции 
<tex>q_0[a_1,a_1][a_2,a_2]...[a_n,a_n][e,B]^m \Rightarrow [a_1,X_1][a_2][X_2]...[a_{r-1},X_{r-1}]q_1[a_{j_1},X_{j_1}]...[a_{n+m},X_{n+m}</tex>. 
Пусть <tex>E=L</tex>, если <tex>j_2 = j_1 - 1</tex> и <tex>E = R</tex>, если <tex>j_2 = j_1 + 1</tex>. В этом случае <tex>D(q_1, X_{j_1}) = (q_1, Y_{j_1}, E)</tex>.

По правилам 6 или 7: 
<tex>q_1[a_{j_1}] \rightarrow [a_{j_1},Y_{j_1}]q_1</tex> или 
<tex>[a_{j_1-1},X_{j_1-1}]q_1[a_{j_1},X_{j_1}] \rightarrow q_2[a_{j_1-1}, X_{j_1-1}][a_{j_1}, Y_{j_1}]</tex> 
в зависимости от того, равно ли <tex>E</tex> значению <tex>R</tex> или <tex>L</tex>.

Теперь <tex>X_i=Y_i \forall i \neq j_1</tex>.

Таким образом, <Tex>q_0[a_1,a_1][a_2,a_2]...[a_n,a_n][e,B]^m \Rightarrow [a_1,Y_1]q_2[a_{j_2},Y_{j_2}]...[a_{n+m},Y_{n+m}]</tex>, что доказывает предположение индукции.

По правилам 8-10, если <Tex>q \in F</tex>, легко показать что <tex>[a_1,X_1]...q[a_j,X_j]...[a_{n+m},X_{n+m}] \Rightarrow^* a_1a_2...a_n</tex>.

Таким образом, <tex>G</tex> может генерировать <tex>a_1a_2...a_n</tex>, если <tex>a_1a_2...a_n</tex> допускается <tex>Tm</tex>. Таким образом, <tex>L(G)</tex> включает все слова, допускаемые <tex>Tm</tex>. Для завершения доказательства необходимо показать, что все слова из <tex>L(G)</tex> допускаются <Tex>Tm</tex>. Индукцией доказывается, что <tex>A_1 \Rightarrow w</tex> только если <Tex>w</tex> допускается <tex>Tm</tex>.
}}

}}

= Примеры =
== Построение МТ по грамматике ==
{{Задача
|definition = построить МТ для слудующей грамматики:
#<tex>S \rightarrow 1S1</tex>
#<tex>S \rightarrow 0S0</tex>
#<tex>S \rightarrow 1</tex>
#<tex>S \rightarrow 0</tex>
}}

Решением будет МТ, которая изменяет содержимое ленты следующим образом (<tex>w, \alpha , \beta \in \{0,1\}^*</tex>):
#<tex>w \Rightarrow \#w\#S\#</tex>
#<tex>\#w\#\alpha S \beta \# \Rightarrow \#w\#\alpha 1 S 1 \beta \#</tex> это первое правило грамматики
#<tex>\#w\#\alpha S \beta \# \Rightarrow \#w\#\alpha 0 S 0 \beta \#</tex> это второе правило грамматики
#<tex>\#w\#\alpha S \beta \# \Rightarrow \#w\#\alpha 1 \beta \#</tex> это третье правило грамматики
#<tex>\#w\#\alpha S \beta \# \Rightarrow \#w\#\alpha 1 \beta \#</tex> это четвертое правило грамматики
#<tex>\#w\#w\# \Rightarrow Y</tex>, где <tex>Y</tex> — допускающее состояние

Причем она перебирает все возможные последовательности применения таких преобразований недетерминированно (если ни одно применить нельзя, МТ возвращает ленту в исходное состояние)

== Построение грамматики по МТ ==
{{Задача
|definition = написать грамматику, генерирующю язык щаданной МТ: 
* Четыре состояния <tex>\{A,B,Y,N\}</tex>, где <tex>Y</tex> — доупускающее, <tex>N</tex> — недоупускающее 
* <tex>A \rightarrow A</tex> по единице, головка сдвигается вправо
* <tex>A \rightarrow B</tex> по нулю, головка сдвигается вправо
* <tex>A \rightarrow Y</tex> по пустому символу, головка сдвигается вправо
* <tex>B \rightarrow B</tex> по нулю, головка сдвигается вправо
* <tex>B \rightarrow Y</tex> по пустому символу, головка сдвигается вправо
* <tex>B \rightarrow N</tex> по единице, головка сдвигается вправо
}}

Грамматика будет следующей:
#<tex>A_1 \rightarrow q_A A_2</tex>
#<tex>A_2 \rightarrow [0,0]</tex>
#<tex>A_2 \rightarrow [1,1]</tex>
#<tex>A_2 \rightarrow A_3</tex>
#<tex>A_3 \rightarrow [e,B]A_3</tex>
#<tex>A_3 \rightarrow e</tex>
#<tex>q_A[0, 0] \rightarrow [0,0]q_A</tex>
#<tex>q_A[1, 0] \rightarrow [1,0]q_A</tex>
#<tex>q_A[e, 0] \rightarrow [e,0]q_A</tex>
#<tex>q_A[0, 1] \rightarrow [0,1]q_B</tex>
#<tex>q_A[1, 1] \rightarrow [1,1]q_B</tex>
#<tex>q_A[e, 1] \rightarrow [e,1]q_B</tex>
#<tex>q_A[0, 1] \rightarrow [0,0]q_B</tex>
#<tex>q_A[0, B] \rightarrow [0,B]q_Y</tex>
#<tex>q_A[1, B] \rightarrow [1,B]q_Y</tex>
#<tex>q_A[e, B] \rightarrow [e,B]q_Y</tex>
#<tex>q_Y[0, 0] \rightarrow q_Y0q_Y</tex>
#<tex>q_Y[1, 0] \rightarrow q_Y1q_Y</tex>
#<tex>q_Y[e, 0] \rightarrow q_Yq_Y</tex>
#<tex>q_Y[0, 1] \rightarrow q_Y0q_Y</tex>
#<tex>q_Y[1, 1] \rightarrow q_Y1q_Y</tex>
#<tex>q_Y[e, 1] \rightarrow q_Yq_Y</tex>
#<tex>q_Y[0, B] \rightarrow q_Y0q_Y</tex>
#<tex>q_Y[1, B] \rightarrow q_Y1q_Y</tex>
#<tex>q_Y[e, B] \rightarrow q_Yq_Y</tex>
#<tex>q_Y \rightarrow e</tex>

Возможность порождения формальной грамматикой произвольного перечислимого языка

2012-01-23T23:16:00Z

Filchenko: примеры, структура

= Теорема =

{{Теорема
|statement=
Язык распознается машиной Тьюринга тогда и только тогда, когда он генерируется формальной грамматикой
|proof=
{{Лемма
|statement=
Для любой формальной грамматики существует машина Тьюринга, распознающая этот язык
|proof=
Пусть <tex>G = (N, \Sigma, P, S)</tex> — грамматика и <tex>L = L(G)</tex>. Опишем неформально недетерминированную машину Тьюринга <tex>Tm</tex>, допускающую <tex>L</tex>. 
<tex>Tm = (Q, \Sigma, \Gamma, D, q_0, F)</tex>, где <tex>\Gamma = T \cup \Sigma \cup \{B,\#,X\}</tex> и <tex>B,\#,X \notin N \cup \Sigma</tex> 
Вначале <tex>Tm</tex> содержит на ленте <tex>w \in \Sigma^*</tex>. <tex>Tm</tex> вставляет <tex>\#</tex> перед <tex>w</tex>, сдвигая все символы <tex>w</tex> на одну ячейку вправо, и <tex>\#S\#</tex> после <tex>w</tex>, так что содержимым ленты становится <Tex>\#w\#S\#</tex>.

Теперь <tex>Tm</tex> недетерминированно симулирует вывод <tex>G</tex>, начиная с <tex>S</tex>. Каждая сентенциальная форма вывода появляется по порядку между последними двумя <tex>\#</tex>. Если некоторый выбор переходов ведет к терминальной строке, она сравнивается с <tex>w</tex>. Если они совпадают, <tex>Tm</tex> допускает.

Формально, пусть <tex>Tm</tex> имеет на ленте <tex>\#w\#A_1A_2...A_k\#</tex>. <tex>Tm</tex> передвигает недетерминированно головку по <tex>A_1A_2...A_k</tex>, выбирая позицию <tex>i</tex> и константу <tex>r</tex> между <tex>1</tex> и максимальной длиной левой части любого правила вывода в <tex>P</tex>. Затем <tex>Tm</tex> проверяет подстроки <tex>A_iA_{i+1}...A_{i+r-1}</tex>. Если <tex>A_iA_{i+1}...A_{i+r-1}</tex> — левая часть некоторого правила вывода из <tex>P</tex>, она может быть заменена на правую часть. <tex>Tm</tex> может сдвинуть <tex>A_{i+r}A_{i+r+1}...A_k\#</tex> либо влево, либо вправо, освобождая или заполняя место, если правая часть имеет длину, отличную от <tex>r</tex>.

Из этой простой симуляции выводов в <tex>G</tex> видно, что <tex>Tm</tex> печатает на ленте строку вида <tex>\#w\#y\#</tex>, <tex>y \in V*</tex> в точности, если <tex>S \Rightarrow^* y</tex>. Если <tex>y = w</tex>, <tex>Tm</tex> допускает <tex>L</tex>.

}}

{{Лемма
|statement=
Если язык распознается некоторой машиной Тьюринга то существует формальная грамматика, которая его генерирует.
|proof=
Пусть <tex>Tm=(Q,\Sigma,\Gamma,D,q_0,F)</tex> допускает <tex>L</tex>. Построим грамматику <tex>G</tex>, которая недерминированно генерирует две копии представления некоторого слова из <tex>\Sigma^*</tex> и затем симулирует поведение <tex>Tm</tex> на одной из копий. Если <tex>Tm</tex> допускает слово, то G трансформирует вторую копию в терминальную строку. Если <tex>Tm</tex> не допускает <tex>L</tex>, то вывод никогда не приводит к терминальной строке.

Формально, пусть 
<tex>G=(N,\Sigma,P,A_1)</tex>, где <tex>N=([\Sigma \cup \{e\}] \times \Gamma) \cup Q \cup \{A_1,A_2,A_3\}</tex> 
Правила:

# <tex>A_1 \rightarrow q_0A_2</tex>
# <tex>A_2 \rightarrow [a, a]A_2</tex> для каждого <tex>a \in \Sigma</tex>
# <tex>A_2 \rightarrow A_3</tex>
# <tex>A_3 \rightarrow [e,B]A_3</tex>
# <tex>A_3 \rightarrow e</tex>
# <tex>q[a,C] \rightarrow [a,E]p</tex> для каждого <tex>a \in \Sigma \cup \{e\}</tex> и каждого <tex>q \in Q</tex> и <tex>C \in \Gamma</tex> такого, что <tex>D(q, C) = (p, E, R)</tex>
# <tex>[b, I]q[a,C] \rightarrow p[b,I][a,J]</tex> для каждого <tex>C,J,I</tex> из <tex>\Gamma</tex>, <tex>a</tex> и <tex>b</tex> и <tex>p,q \in Q</tex> таких, что <tex>D(q, C) = (p, J, L)</tex>
# <tex>[a,C]q \rightarrow qaq</tex> для каждого <tex>a \in \Sigma \cup \{e\}</tex>, <tex>C\in \Gamma</tex>, <tex>q \in F</tex>
# <tex>q[a,C] \rightarrow qaq</tex> для каждого <tex>a \in \Sigma \cup \{e\}</tex>, <tex>C\in \Gamma</tex>, <tex>q \in F</tex>
# <tex>q \rightarrow e</tex> для каждого <tex>q \in F</tex>

Используя правила 1 и 2 
<tex>A_1 \Rightarrow^* q_o[a_1,a_1][a_2,a_2]...[a_n,a_n]A_2<tex>, где <tex>a_i \in \Sigma</tex> для некоторого <tex>i</tex>

Предположим, что <tex>Tm</tex> допускает строку <tex>a_1a_2...a_n</tex>. Тогда для некоторого <tex>m</tex> <tex>Tm</tex> использует не более, чем <tex>m</tex> ячеек справа от входа. Используя правило 3, а затем правило 4 <tex>m</tex> раз, и, наконец, правило 5, имеем 
<tex>A_1 \Rightarrow^* q_0[a_1,a_1][a_2,a_2]...[a_n,a_n][e,B]^m</tex> 
Начиная с этого момента могут быть использованы только правила 6 и 7, пока не сгенерируется допускающее состояние. Отметим, что первые компоненты ленточных символов в <tex>(\Sigma \cup {e}) \times \Gamma</tex> никогда не меняются. Индукцией по числу шагов <tex>Tm</tex> можно показать, что если <tex>(q_0,a_1a_2...a_n,1)\vdash(q, X_1X_2...X_S,r)</tex>, то <tex>q_0[a_1,a_1][a_2,a_2]...[a_n,a_n][e,B]^m \Rightarrow [a_1,X_1][a_2,X_2]...[a_{r-1},X_{r-1}]q[a_r,X_r]...[a_{n+m},X_{n+m}]</tex>, где <tex> a_1,a_2,...a_n \in \Sigma</tex>, <tex>a_{n+1}=a_{n+2}=...=a_{n+m}=e</tex>, <tex>X_1, X_2,...,X_{n+m} \in \Gamma</tex> и <tex>X_{S+1}=X_{S+2}=...=X_{n+m}=B</tex>

Предположение индукции тривиально для нуля шагов. Предположим, что оно справедливо для <tex>k - 1</tex> шагов. Пусть <tex>(q_0,a_1a_2...a_n,1) \vdash (q_1,X_1X_2...X_r,j_1) \vdash (q_2,Y_1Y_2...Y_S,j_2)</tex> за <tex>k</tex> шагов. По предположению индукции 
<tex>q_0[a_1,a_1][a_2,a_2]...[a_n,a_n][e,B]^m \Rightarrow [a_1,X_1][a_2][X_2]...[a_{r-1},X_{r-1}]q_1[a_{j_1},X_{j_1}]...[a_{n+m},X_{n+m}</tex> 
ПУсть <tex>E=L</tex>, если <tex>j_2 = j_1 - 1</tex> и <tex>E = R</tex>, если <tex>j_2 = j_1 + 1</tex>. В этом случае <tex>D(q_1, X_{j_1}) = (q_1, Y_{j_1}, E)</tex>.

По правилам 6 или 7 
<tex>q_1[a_{j_1}] \rightarrow [a_{j_1},Y_{j_1}]q_1</tex> или 
<tex>[a_{j_1-1},X_{j_1-1}]q_1[a_{j_1},X_{j_1}] \rightarrow q_2[a_{j_1-1}, X_{j_1-1}][a_{j_1}, Y_{j_1}]</tex> 
в зависимости от того, равно ли <tex>E</tex> значению <tex>R</tex> или <tex>L</tex>

Теперь <tex>X_i=Y_i \forall i \neq j_1</tex>

Таким образом, <Tex>q_0[a_1,a_1][a_2,a_2]...[a_n,a_n][e,B]^m \Rightarrow [a_1,Y_1]q_2[a_{j_2},Y_{j_2}]...[a_{n+m},Y_{n+m}]</tex>, что доказывает предположение индукции.

По правилам 8-10, если <Tex>q \in F</tex>, легко показать что <tex>[a_1,X_1]...q[a_j,X_j]...[a_{n+m},X_{n+m}] \Rightarrow^* a_1a_2...a_n</tex>.

Таким образом, <tex>G</tex> может генерировать <tex>a_1a_2...a_n</tex>, если <tex>a_1a_2...a_n</tex> допускается <tex>Tm</tex>. Таким образом, <tex>L(G)</tex> включает все слова, допускаемые <tex>Tm</tex>. Для завершения доказательства необходимо показать, что все слова из <tex>L(G)</tex> допускаются <Tex>Tm</tex>. Индукцией доказывается, что <tex>A_1 \Rightarrow w</tex> только если <Tex>w</tex> допускается <tex>Tm</tex>
}}

}}

= Примеры =
== Построение МТ по грамматике ==
{{Задача
|definition = построить МТ для слудующей грамматики:
#<tex>S \rightarrow 1S1</tex>
#<tex>S \rightarrow 0S0</tex>
#<tex>S \rightarrow 1</tex>
#<tex>S \rightarrow 0</tex>
}}

Решением будет МТ, которая изменяет содержимое ленты следующим образом (<tex>w, \alpha , \beta \in \{0,1\}^*</tex>):
#<tex>w \Rightarrow \#w\#S\#</tex>
#<tex>\#w\#\alpha S \beta \# \Rightarrow \#w\#\alpha 1 S 1 \beta \#</tex> это первое правило грамматики
#<tex>\#w\#\alpha S \beta \# \Rightarrow \#w\#\alpha 0 S 0 \beta \#</tex> это второе правило грамматики
#<tex>\#w\#\alpha S \beta \# \Rightarrow \#w\#\alpha 1 \beta \#</tex> это третье правило грамматики
#<tex>\#w\#\alpha S \beta \# \Rightarrow \#w\#\alpha 1 \beta \#</tex> это четвертое правило грамматики
#<tex>\#w\#w\# \Rightarrow Y</tex>, где <tex>Y</tex> — допускающее состояние

Причем она перебирает все возможные последовательности применения таких преобразований недетерминированно (если ни одно применить нельзя, МТ возвращает ленту в исходное состояние)

== Построение грамматики по МТ ==
{{Задача
|definition = написать грамматику, генерирующю язык щаданной МТ: 
* Четыре состояния <tex>\{A,B,Y,N\}</tex>, где <tex>Y</tex> — доупускающее, <tex>N</tex> — недоупускающее 
* <tex>A \rightarrow A</tex> по единице, головка сдвигается вправо
* <tex>A \rightarrow B</tex> по нулю, головка сдвигается вправо
* <tex>A \rightarrow Y</tex> по пустому символу, головка сдвигается вправо
* <tex>B \rightarrow B</tex> по нулю, головка сдвигается вправо
* <tex>B \rightarrow Y</tex> по пустому символу, головка сдвигается вправо
* <tex>B \rightarrow N</tex> по единице, головка сдвигается вправо
}}

Грамматика будет следующей:
#<tex>A_1 \rightarrow q_A A_2</tex>
#<tex>A_2 \rightarrow [0,0]</tex>
#<tex>A_2 \rightarrow [1,1]</tex>
#<tex>A_2 \rightarrow A_3</tex>
#<tex>A_3 \rightarrow [e,B]A_3</tex>
#<tex>A_3 \rightarrow e</tex>
#<tex>q_A[0, 0] \rightarrow [0,0]q_A</tex>
#<tex>q_A[1, 0] \rightarrow [1,0]q_A</tex>
#<tex>q_A[e, 0] \rightarrow [e,0]q_A</tex>
#<tex>q_A[0, 1] \rightarrow [0,1]q_B</tex>
#<tex>q_A[1, 1] \rightarrow [1,1]q_B</tex>
#<tex>q_A[e, 1] \rightarrow [e,1]q_B</tex>
#<tex>q_A[0, 1] \rightarrow [0,0]q_B</tex>
#<tex>q_A[0, B] \rightarrow [0,B]q_Y</tex>
#<tex>q_A[1, B] \rightarrow [1,B]q_Y</tex>
#<tex>q_A[e, B] \rightarrow [e,B]q_Y</tex>
#<tex>q_Y[0, 0] \rightarrow q_Y0q_Y</tex>
#<tex>q_Y[1, 0] \rightarrow q_Y1q_Y</tex>
#<tex>q_Y[e, 0] \rightarrow q_Yq_Y</tex>
#<tex>q_Y[0, 1] \rightarrow q_Y0q_Y</tex>
#<tex>q_Y[1, 1] \rightarrow q_Y1q_Y</tex>
#<tex>q_Y[e, 1] \rightarrow q_Yq_Y</tex>
#<tex>q_Y[0, B] \rightarrow q_Y0q_Y</tex>
#<tex>q_Y[1, B] \rightarrow q_Y1q_Y</tex>
#<tex>q_Y[e, B] \rightarrow q_Yq_Y</tex>
#<tex>q_Y \rightarrow e</tex>

Возможность порождения формальной грамматикой произвольного перечислимого языка

2012-01-23T23:11:13Z

Filchenko: примеры, разбил доказательство

{{Теорема
|statement=
Язык распознается машиной Тьюринга тогда и только тогда, когда он генерируется формальной грамматикой
|proof=
{{Лемма
|statement=
Для любой формальной грамматики существует машина Тьюринга, распознающая этот язык
|proof=
Пусть <tex>G = (N, \Sigma, P, S)</tex> — грамматика и <tex>L = L(G)</tex>. Опишем неформально недетерминированную машину Тьюринга <tex>Tm</tex>, допускающую <tex>L</tex>. 
<tex>Tm = (Q, \Sigma, \Gamma, D, q_0, F)</tex>, где <tex>\Gamma = T \cup \Sigma \cup \{B,\#,X\}</tex> и <tex>B,\#,X \notin N \cup \Sigma</tex> 
Вначале <tex>Tm</tex> содержит на ленте <tex>w \in \Sigma^*</tex>. <tex>Tm</tex> вставляет <tex>\#</tex> перед <tex>w</tex>, сдвигая все символы <tex>w</tex> на одну ячейку вправо, и <tex>\#S\#</tex> после <tex>w</tex>, так что содержимым ленты становится <Tex>\#w\#S\#</tex>.

Теперь <tex>Tm</tex> недетерминированно симулирует вывод <tex>G</tex>, начиная с <tex>S</tex>. Каждая сентенциальная форма вывода появляется по порядку между последними двумя <tex>\#</tex>. Если некоторый выбор переходов ведет к терминальной строке, она сравнивается с <tex>w</tex>. Если они совпадают, <tex>Tm</tex> допускает.

Формально, пусть <tex>Tm</tex> имеет на ленте <tex>\#w\#A_1A_2...A_k\#</tex>. <tex>Tm</tex> передвигает недетерминированно головку по <tex>A_1A_2...A_k</tex>, выбирая позицию <tex>i</tex> и константу <tex>r</tex> между <tex>1</tex> и максимальной длиной левой части любого правила вывода в <tex>P</tex>. Затем <tex>Tm</tex> проверяет подстроки <tex>A_iA_{i+1}...A_{i+r-1}</tex>. Если <tex>A_iA_{i+1}...A_{i+r-1}</tex> — левая часть некоторого правила вывода из <tex>P</tex>, она может быть заменена на правую часть. <tex>Tm</tex> может сдвинуть <tex>A_{i+r}A_{i+r+1}...A_k\#</tex> либо влево, либо вправо, освобождая или заполняя место, если правая часть имеет длину, отличную от <tex>r</tex>.

Из этой простой симуляции выводов в <tex>G</tex> видно, что <tex>Tm</tex> печатает на ленте строку вида <tex>\#w\#y\#</tex>, <tex>y \in V*</tex> в точности, если <tex>S \Rightarrow^* y</tex>. Если <tex>y = w</tex>, <tex>Tm</tex> допускает <tex>L</tex>.

}}

{{Лемма
|statement=
Если язык распознается некоторой машиной Тьюринга то существует формальная грамматика, которая его генерирует.
|proof=
Пусть <tex>Tm=(Q,\Sigma,\Gamma,D,q_0,F)</tex> допускает <tex>L</tex>. Построим грамматику <tex>G</tex>, которая недерминированно генерирует две копии представления некоторого слова из <tex>\Sigma^*</tex> и затем симулирует поведение <tex>Tm</tex> на одной из копий. Если <tex>Tm</tex> допускает слово, то G трансформирует вторую копию в терминальную строку. Если <tex>Tm</tex> не допускает <tex>L</tex>, то вывод никогда не приводит к терминальной строке.

Формально, пусть 
<tex>G=(N,\Sigma,P,A_1)</tex>, где <tex>N=([\Sigma \cup \{e\}] \times \Gamma) \cup Q \cup \{A_1,A_2,A_3\}</tex> 
Правила:

# <tex>A_1 \rightarrow q_0A_2</tex>
# <tex>A_2 \rightarrow [a, a]A_2</tex> для каждого <tex>a \in \Sigma</tex>
# <tex>A_2 \rightarrow A_3</tex>
# <tex>A_3 \rightarrow [e,B]A_3</tex>
# <tex>A_3 \rightarrow e</tex>
# <tex>q[a,C] \rightarrow [a,E]p</tex> для каждого <tex>a \in \Sigma \cup \{e\}</tex> и каждого <tex>q \in Q</tex> и <tex>C \in \Gamma</tex> такого, что <tex>D(q, C) = (p, E, R)</tex>
# <tex>[b, I]q[a,C] \rightarrow p[b,I][a,J]</tex> для каждого <tex>C,J,I</tex> из <tex>\Gamma</tex>, <tex>a</tex> и <tex>b</tex> и <tex>p,q \in Q</tex> таких, что <tex>D(q, C) = (p, J, L)</tex>
# <tex>[a,C]q \rightarrow qaq</tex> для каждого <tex>a \in \Sigma \cup \{e\}</tex>, <tex>C\in \Gamma</tex>, <tex>q \in F</tex>
# <tex>q[a,C] \rightarrow qaq</tex> для каждого <tex>a \in \Sigma \cup \{e\}</tex>, <tex>C\in \Gamma</tex>, <tex>q \in F</tex>
# <tex>q \rightarrow e</tex> для каждого <tex>q \in F</tex>

Используя правила 1 и 2 
<tex>A_1 \Rightarrow^* q_o[a_1,a_1][a_2,a_2]...[a_n,a_n]A_2<tex>, где <tex>a_i \in \Sigma</tex> для некоторого <tex>i</tex>

Предположим, что <tex>Tm</tex> допускает строку <tex>a_1a_2...a_n</tex>. Тогда для некоторого <tex>m</tex> <tex>Tm</tex> использует не более, чем <tex>m</tex> ячеек справа от входа. Используя правило 3, а затем правило 4 <tex>m</tex> раз, и, наконец, правило 5, имеем 
<tex>A_1 \Rightarrow^* q_0[a_1,a_1][a_2,a_2]...[a_n,a_n][e,B]^m</tex> 
Начиная с этого момента могут быть использованы только правила 6 и 7, пока не сгенерируется допускающее состояние. Отметим, что первые компоненты ленточных символов в <tex>(\Sigma \cup {e}) \times \Gamma</tex> никогда не меняются. Индукцией по числу шагов <tex>Tm</tex> можно показать, что если <tex>(q_0,a_1a_2...a_n,1)\vdash(q, X_1X_2...X_S,r)</tex>, то <tex>q_0[a_1,a_1][a_2,a_2]...[a_n,a_n][e,B]^m \Rightarrow [a_1,X_1][a_2,X_2]...[a_{r-1},X_{r-1}]q[a_r,X_r]...[a_{n+m},X_{n+m}]</tex>, где <tex> a_1,a_2,...a_n \in \Sigma</tex>, <tex>a_{n+1}=a_{n+2}=...=a_{n+m}=e</tex>, <tex>X_1, X_2,...,X_{n+m} \in \Gamma</tex> и <tex>X_{S+1}=X_{S+2}=...=X_{n+m}=B</tex>

Предположение индукции тривиально для нуля шагов. Предположим, что оно справедливо для <tex>k - 1</tex> шагов. Пусть <tex>(q_0,a_1a_2...a_n,1) \vdash (q_1,X_1X_2...X_r,j_1) \vdash (q_2,Y_1Y_2...Y_S,j_2)</tex> за <tex>k</tex> шагов. По предположению индукции 
<tex>q_0[a_1,a_1][a_2,a_2]...[a_n,a_n][e,B]^m \Rightarrow [a_1,X_1][a_2][X_2]...[a_{r-1},X_{r-1}]q_1[a_{j_1},X_{j_1}]...[a_{n+m},X_{n+m}</tex> 
ПУсть <tex>E=L</tex>, если <tex>j_2 = j_1 - 1</tex> и <tex>E = R</tex>, если <tex>j_2 = j_1 + 1</tex>. В этом случае <tex>D(q_1, X_{j_1}) = (q_1, Y_{j_1}, E)</tex>.

По правилам 6 или 7 
<tex>q_1[a_{j_1}] \rightarrow [a_{j_1},Y_{j_1}]q_1</tex> или 
<tex>[a_{j_1-1},X_{j_1-1}]q_1[a_{j_1},X_{j_1}] \rightarrow q_2[a_{j_1-1}, X_{j_1-1}][a_{j_1}, Y_{j_1}]</tex> 
в зависимости от того, равно ли <tex>E</tex> значению <tex>R</tex> или <tex>L</tex>

Теперь <tex>X_i=Y_i \forall i \neq j_1</tex>

Таким образом, <Tex>q_0[a_1,a_1][a_2,a_2]...[a_n,a_n][e,B]^m \Rightarrow [a_1,Y_1]q_2[a_{j_2},Y_{j_2}]...[a_{n+m},Y_{n+m}]</tex>, что доказывает предположение индукции.

По правилам 8-10, если <Tex>q \in F</tex>, легко показать что <tex>[a_1,X_1]...q[a_j,X_j]...[a_{n+m},X_{n+m}] \Rightarrow^* a_1a_2...a_n</tex>.

Таким образом, <tex>G</tex> может генерировать <tex>a_1a_2...a_n</tex>, если <tex>a_1a_2...a_n</tex> допускается <tex>Tm</tex>. Таким образом, <tex>L(G)</tex> включает все слова, допускаемые <tex>Tm</tex>. Для завершения доказательства необходимо показать, что все слова из <tex>L(G)</tex> допускаются <Tex>Tm</tex>. Индукцией доказывается, что <tex>A_1 \Rightarrow w</tex> только если <Tex>w</tex> допускается <tex>Tm</tex>
}}

}}

== Примеры ==
{{Задача
|definition = построить МТ для слудующей грамматики:
#<tex>S \rightarrow 1S1</tex>
#<tex>S \rightarrow 0S0</tex>
#<tex>S \rightarrow 1</tex>
#<tex>S \rightarrow 0</tex>
}}

Решением будет МТ, которая изменяет содержимое ленты следующим образом (<tex>w, \alpha , \beta \in \{0,1\}^*</tex>):
#<tex>w \Rightarrow \#w\#S\#</tex>
#<tex>\#w\#\alpha S \beta \# \Rightarrow \#w\#\alpha 1 S 1 \beta \#</tex> это первое правило грамматики
#<tex>\#w\#\alpha S \beta \# \Rightarrow \#w\#\alpha 0 S 0 \beta \#</tex> это второе правило грамматики
#<tex>\#w\#\alpha S \beta \# \Rightarrow \#w\#\alpha 1 \beta \#</tex> это третье правило грамматики
#<tex>\#w\#\alpha S \beta \# \Rightarrow \#w\#\alpha 1 \beta \#</tex> это четвертое правило грамматики
#<tex>\#w\#w\# \Rightarrow Y</tex>, где <tex>Y</tex> — допускающее состояние

Причем она перебирает все возможные последовательности применения таких преобразований недетерминированно (если ни одно применить нельзя, МТ возвращает ленту в исходное состояние)

{{Задача
|definition = написать грамматику, генерирующю язык щаданной МТ: 
* Четыре состояния <tex>\{A,B,Y,N\}</tex>, где <tex>Y</tex> — доупускающее, <tex>N</tex> — недоупускающее 
* <tex>A \rightarrow A</tex> по единице, головка сдвигается вправо
* <tex>A \rightarrow B</tex> по нулю, головка сдвигается вправо
* <tex>A \rightarrow Y</tex> по пустому символу, головка сдвигается вправо
* <tex>B \rightarrow B</tex> по нулю, головка сдвигается вправо
* <tex>B \rightarrow Y</tex> по пустому символу, головка сдвигается вправо
* <tex>B \rightarrow N</tex> по единице, головка сдвигается вправо
}}

Грамматика будет следующей:
#<tex>A_1 \rightarrow q_A A_2</tex>
#<tex>A_2 \rightarrow [0,0]</tex>
#<tex>A_2 \rightarrow [1,1]</tex>
#<tex>A_2 \rightarrow A_3</tex>
#<tex>A_3 \rightarrow [e,B]A_3</tex>
#<tex>A_3 \rightarrow e</tex>
#<tex>q_A[0, 0] \rightarrow [0,0]q_A</tex>
#<tex>q_A[1, 0] \rightarrow [1,0]q_A</tex>
#<tex>q_A[e, 0] \rightarrow [e,0]q_A</tex>
#<tex>q_A[0, 1] \rightarrow [0,1]q_B</tex>
#<tex>q_A[1, 1] \rightarrow [1,1]q_B</tex>
#<tex>q_A[e, 1] \rightarrow [e,1]q_B</tex>
#<tex>q_A[0, 1] \rightarrow [0,0]q_B</tex>
#<tex>q_A[0, B] \rightarrow [0,B]q_Y</tex>
#<tex>q_A[1, B] \rightarrow [1,B]q_Y</tex>
#<tex>q_A[e, B] \rightarrow [e,B]q_Y</tex>
#<tex>q_Y[0, 0] \rightarrow q_Y0q_Y</tex>
#<tex>q_Y[1, 0] \rightarrow q_Y1q_Y</tex>
#<tex>q_Y[e, 0] \rightarrow q_Yq_Y</tex>
#<tex>q_Y[0, 1] \rightarrow q_Y0q_Y</tex>
#<tex>q_Y[1, 1] \rightarrow q_Y1q_Y</tex>
#<tex>q_Y[e, 1] \rightarrow q_Yq_Y</tex>
#<tex>q_Y[0, B] \rightarrow q_Y0q_Y</tex>
#<tex>q_Y[1, B] \rightarrow q_Y1q_Y</tex>
#<tex>q_Y[e, B] \rightarrow q_Yq_Y</tex>
#<tex>q_Y \rightarrow e</tex>

Возможность порождения формальной грамматикой произвольного перечислимого языка

2012-01-19T02:26:24Z

Filchenko: часть 4

{{Теорема
|statement=
Язык распознается машиной Тьюринга тогда и только тогда, когда он генерируется формальной грамматикой
|proof=
<tex>\Rightarrow</tex> 
Пусть <tex>G = (N, \Sigma, P, S)</tex> — грамматика и <tex>L = L(G)</tex>. Опишем неформально недетерминированную машину Тьюринга <tex>Tm</tex>, допускающую <tex>L</tex>. 
<tex>Tm = (Q, \Sigma, \Gamma, D, q_0, F)</tex>, где <tex>\Gamma = T \cup \Sigma \cup \{B,\#,X\}</tex> и <tex>B,\#,X \notin N \cup \Sigma</tex> 
Вначале <tex>Tm</tex> содержит на ленте <tex>w \in \Sigma^*</tex>. <tex>Tm</tex> вставляет <tex>\#</tex> перед <tex>w</tex>, сдвигая все символы <tex>w</tex> на одну ячейку вправо, и <tex>\#S\#</tex> после <tex>w</tex>, так что содержимым ленты становится <Tex>\#w\#S\#</tex>.

Теперь <tex>Tm</tex> недетерминированно симулирует вывод <tex>G</tex>, начиная с <tex>S</tex>. Каждая сентенциальная форма вывода появляется по порядку между последними двумя <tex>\#</tex>. Если некоторый выбор переходов ведет к терминальной строке, она сравнивается с <tex>w</tex>. Если они совпадают, <tex>Tm</tex> допускает.

Формально, пусть <tex>Tm</tex> имеет на ленте <tex>\#w\#A_1A_2...A_k\#</tex>. <tex>Tm</tex> передвигает недетерминированно головку по <tex>A_1A_2...A_k</tex>, выбирая позицию <tex>i</tex> и константу <tex>r</tex> между <tex>1</tex> и максимальной длиной левой части любого правила вывода в <tex>P</tex>. Затем <tex>Tm</tex> проверяет подстроки <tex>A_iA_{i+1}...A_{i+r-1}</tex>. Если <tex>A_iA_{i+1}...A_{i+r-1}</tex> — левая часть некоторого правила вывода из <tex>P</tex>, она может быть заменена на правую часть. <tex>Tm</tex> может сдвинуть <tex>A_{i+r}A_{i+r+1}...A_k\#</tex> либо влево, либо вправо, освобождая или заполняя место, если правая часть имеет длину, отличную от <tex>r</tex>.

Из этой простой симуляции выводов в <tex>G</tex> видно, что <tex>Tm</tex> печатает на ленте строку вида <tex>\#w\#y\#</tex>, <tex>y \in V*</tex> в точности, если <tex>S \Rightarrow^* y</tex>. Если <tex>y = w</tex>, <tex>Tm</tex> допускает <tex>L</tex>.

<tex>\Leftarrow</tex> 

Пусть <tex>Tm=(Q,\Sigma,\Gamma,D,q_0,F)</tex> допускает <tex>L</tex>. Построим грамматику <tex>G</tex>, которая недерминированно генерирует две копии представления некоторого слова из <tex>\Sigma^*</tex> и затем симулирует поведение <tex>Tm</tex> на одной из копий. Если <tex>Tm</tex> допускает слово, то G трансформирует вторую копию в терминальную строку. Если <tex>Tm</tex> не допускает <tex>L</tex>, то вывод никогда не приводит к терминальной строке.

Формально, пусть 
<tex>G=(N,\Sigma,P,A_1)</tex>, где <tex>N=([\Sigma \cup \{e\}] \times \Gamma) \cup Q \cup \{A_1,A_2,A_3\}</tex> 
Правила:

# <tex>A_1 \rightarrow q_0A_2</tex>
# <tex>A_2 \rightarrow [a, a]A_2</tex> для каждого <tex>a \in \Sigma</tex>
# <tex>A_2 \rightarrow A_3</tex>
# <tex>A_3 \rightarrow [e,B]A_3</tex>
# <tex>A_3 \rightarrow e</tex>
# <tex>q[a,C] \rightarrow [a,E]p для каждого <tex>a \in \Sigma \cup \{e\}</tex> и каждого <tex>q \in Q</tex> и <tex>С \in \Gamma</tex> такого, что <tex>D(q, C) = (p, E, R)</tex>
# <tex>[b, I]q[a,C] \rightarrow p[b,I][a,J]</tex> для каждого <tex>X,J,I</tex> из <tex>\Gamma</tex>, <tex>a</tex> и <tex>b</tex>
# <tex>[a,C]q \rightarrow qqq</tex> для каждого <tex>a \in \Sigma \cup \{e\}</tex>, <tex>C\in \Gamma</tex>, <tex>q \in F</tex>
# <tex>q[a,C] \rightarrow qqq</tex> для каждого <tex>a \in \Sigma \cup \{e\}</tex>, <tex>C\in \Gamma</tex>, <tex>q \in F</tex>
# <tex>q \rightarrow e</tex> для каждого <tex>q \in F</tex>

Используя правила 1 и 2 
<tex>A_1 \Rightarrow^* q_o[a_1,a_1][a_2,a_2]...[a_n,a_n]A_2<tex>, где <tex>a_i \in \Sigma</tex> для некоторого <tex>i</tex>

Предположим, что <tex>Tm</tex> допускает строку <tex>a_1a_2...a_n</tex>. Тогда для некоторого <tex>m</tex> <tex>Tm</tex> использует не более, чем <tex>m</tex> ячеек справа от входа. Используя правило 3, а затем правило 4 <tex>m</tex> раз, и, наконец, правило 5, имеем 
<tex>A_1 \Rightarrow^* q_0[a_1,a_1][a_2,a_2]...[a_n,a_n][e,B]^m</tex> 
Начиная с этого момента могут быть использованы только правила 6 и 7, пока не сгенерируется допускающее состояние. Отметим, что первые компоненты ленточных символов в <tex>(\Sigma \cup {e}) \times \Gamma</tex> никогда не меняются. Индукцией по числу шагов <tex>Tm</tex> можно показать, что если <tex>(q_0,a_1a_2...a_n,1)\vdash(q, X_1X_2...X_S,r)</tex>, то <tex>q_0[a_1,a_1][a_2,a_2]...[a_n,a_n][e,B]^m \Rightarrow [a_1,X_1][a_2,X_2]...[a_{r-1},X_{r-1}]q[a_r,X_r]...[a_{n+m},X_{n+m}]</tex>, где <tex> a_1,a_2,...a_n \in \Sigma</tex>, <tex>a_{n+1}=a_{n+2}=...=a_{n+m}=e</tex>, <tex>X_1, X_2,...,X_{n+m} \in \Gamma</tex> и <tex>X_{S+1}=X_{S+2}=...=X_{n+m}=B</tex>

Предположение индукции тривиально для нуля шагов. Предположим, что оно справедливо для <tex>k - 1</tex> шагов. Пусть <tex>(q_0,a_1a_2...a_n,1) \vdash (q_1,X_1X_2...X_r,j_1) \vdash (q_2,Y_1Y_2...Y_S,j_2)</tex> за <tex>k</tex> шагов. По предположению индукции 
<tex>q_0[a_1,a_1][a_2,a_2]...[a_n,a_n][e,B]^m \Rightarrow [a_1,X_1][a_2][X_2]...[a_{r-1},X_{r-1}]q_1[a_{j_1},X_{j_1}]...[a_{n+m},X_{n+m}</tex> 
ПУсть <tex>E=L</tex>, если <tex>j_2 = j_1 - 1</tex> и <tex>E = R</tex>, если <tex>j_2 = j_1 + 1</tex>. В этом случае <tex>D(q_1, X_{j_1}) = (q_1, Y_{j_1}, E)</tex>.

По правилам 6 или 7 
<tex>q_1[a_{j_1}] \rightarrow [a_{j_1},Y_{j_1}]q_1</tex> или 
<tex>[a_{j_1-1},X_{j_1-1}]q_1[a_{j_1},X_{j_1}] \rightarrow q_2[a_{j_1-1}, X_{j_1-1}][a_{j_1}, Y_{j_1}]</tex> 
в зависимости от того, равно ли <tex>E</tex> значению <tex>R</tex> или <tex>L</tex>

Теперь <tex>X_i=Y_i \forall i \neq j_1</tex>

Таким образом, <Tex>q_0[a_1,a_1][a_2,a_2]...[a_n,a_n][e,B]^m \Rightarrow [a_1,Y_1]q_2[a_{j_2},Y_{j_2}]...[a_{n+m},Y_{n+m}]</tex>, что доказывает предположение индукции.

По правилам 8-10, если <Tex>q \in F</tex>, легко показать что <tex>[a_1,X_1]...q[a_j,X_j]...[a_{n+m},X_{n+m}] \Rightarrow^* a_1a_2...a_n</tex>.

Таким образом, <tex>G</tex> может генерировать <tex>a_1a_2...a_n</tex>, если <tex>a_1a_2...a_n</tex> допускается <tex>Tm</tex>. Таким образом, <tex>L(G)</tex> включает все слова, допускаемые <tex>Tm</tex>. Для завершения доказательства необходимо показать, что все слова из <tex>L(G)</tex> допускаются <Tex>Tm</tex>. Индукцией доказывается, что <tex>A_1 \Rightarrow w</tex> только если <Tex>w</tex> допускается <tex>Tm</tex>
}}

Возможность порождения формальной грамматикой произвольного перечислимого языка

2012-01-19T02:07:54Z

Filchenko: Часть 3