Поиск с помощью золотого сечения

2021-04-21T11:39:02Z

Iliagri: /* Алгоритм */ Ошибки псевдокода

'''Поиск с помощью золотого сечения''' (англ. ''Golden section search'') {{---}} это улучшение наивной реализации [[Троичный поиск|троичного поиска]], служащего для нахождения минимума/максимума функции. При простом троичном поиске на каждой итерации функция вычисляется в двух точках. Метод же золотого сечения требует вычисления лишь в одной точке (за исключением первой итерации).

==Алгоритм==
===Мотивация===
Рассмотрим одну итерацию алгоритма [[Троичный поиск|троичного поиска]]. Попробуем подобрать такое разбиение отрезка на три части, чтобы на следующей итерации одна из точек нового разбиения совпала с одной из точек текущего разбиения. Тогда в следующий раз не придется считать функцию в двух точках, так как в одной она уже была посчитана.

[[Файл:new_seg.gif|right|450px|Старая точка x1 уже делит отрезок в нужном отношении, поэтому нет необходимости вычислять ее заново (красным отмечены новые значения точек).]]

Для этого нам потребуется, чтобы одновременно выполнялись равенства:

<tex> \dfrac{a + b}{c} = \dfrac{b + c}{a} = \varphi </tex>

Расстояние от <tex>l</tex> до <tex>x1 = a + b - c = a' </tex>, от <tex>x2 </tex> до <tex> r = b = c'</tex>, от <tex>х1 </tex> до <tex> х2 = c - b = b'</tex>. Т.е. если мы подставим <tex>a', b', c'</tex> в старое соотношение <tex> \dfrac{a + b}{c} </tex>, то получится <tex> \dfrac {a + b - c + c - b}{b} = \dfrac{a}{b}</tex>.

<tex> \dfrac{a}{b} = \varphi </tex>

<tex> \dfrac{c}{b} = \varphi </tex>

Где <tex> \varphi </tex> {{---}} это некоторое отношение, в котором мы делим отрезок (точки <tex>x_1</tex> и <tex>x_2</tex> разбивают отрезок симметрично).

Тогда:

<tex> a + b = \varphi c, a = \varphi b, c = \varphi b</tex>, откуда получаем <tex> \varphi + 1 = \varphi^2 \Rightarrow \varphi = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}</tex>   (тот корень уравнения, который меньше нуля, по понятным причинам отбросили).

Это число совпадает с золотым сечением. Отсюда название метода.

===Свойства золотого сечения===
Для реализации алгоритма нам потребуется найти <tex> a </tex> и <tex> a + b </tex>. Если <tex> L </tex> {{---}} длина исследуемого отрезка, тогда:

<tex> \left(\dfrac{b + c}{a} = \varphi;\; b + c = L - a \right) \Rightarrow</tex>

<tex> a = \dfrac{L}{\varphi + 1} </tex>

<tex> a + b = L - c = L - a = L - \dfrac{L}{\varphi + 1}</tex>

Заметим, что в силу того, что <tex>\varphi</tex> {{---}} золотое сечение, то <tex>\dfrac{1}{\varphi + 1} = 2 - \varphi</tex>.

===Итоговый алгоритм выбора границ===
Формально для поиска минимума (для максимума {{---}} делается аналогично) функции <tex> f </tex> делаем следующее:

:'''Шаг 1''':
::Определяем границы поиска <tex>l</tex> и <tex>r</tex>, затем устанавливаем текущее разбиение:
::<tex>x_1 = l + \dfrac{r - l}{\varphi + 1}</tex>
::<tex>x_2 = r - \dfrac{r - l}{\varphi + 1}</tex>
::и вычислим функцию на них: <tex>f_1 = f(x_1), f_2 = f(x_2)</tex>

:'''Шаг 2''':
:: если <tex>f_1 < f_2</tex>, тогда
::: <tex>r = x_2</tex>
::: <tex>x_2 = x_1, f_2 = f_1</tex>
::: <tex>x_1 = l + \dfrac{r - l}{\varphi + 1},\; f_1 = f(x_1)</tex>
:: иначе:
::: <tex>l = x_1</tex>
::: <tex>x_1 = x_2, f_1 = f_2</tex>
::: <tex>x_2 = r - \dfrac{r - l}{\varphi + 1},\; f_2 = f(x_2)</tex>
:'''Шаг 3''':
:: если точность <tex>|r - l| < \varepsilon</tex> нас устраивает, тогда останавливаемся, и искомая точка <tex>x = \dfrac{l + r}{2}</tex>, иначе назад к шагу 2

===Псевдокод===

'''double''' goldenSectionSearch(f: '''double -> double''', l: '''double''', r: '''double''', eps: '''double'''):
phi = (1 + sqrt(5)) / 2
resphi = 2 - phi
x1 = l + resphi * (r - l)
x2 = r - resphi * (r - l)
f1 = f(x1)
f2 = f(x2)
'''do'''
'''if''' f1 < f2
r = x2
x2 = x1
f2 = f1
x1 = l + resphi * (r - l)
f1 = f(x1)
'''else'''
l = x1
x1 = x2
f1 = f2
x2 = r - resphi * (r - l)
f2 = f(x2)
'''while''' abs(r - l) < eps
'''return''' (x1 + x2) / 2

===Ошибки псевдокода===
1. Используются вычислительно-неустойчивые формулы.
2. Учитывается только абсолютная длина отрезка.
Подробнее:
http://mech.math.msu.su/~iliagri/zip/sem2book.pdf

==Время работы==
Так как на каждой итерации мы считаем одно значение функции и уменьшаем область поиска в <tex> \varphi </tex> раз, пока <tex> r - l > \varepsilon</tex>,
то время работы алгоритма составит
<tex> \log_{\varphi}\left(\dfrac{r - l}{\varepsilon}\right)</tex>.

Если удельный вес вычисления функции <tex> f </tex> достаточно большой, тогда получим ускорение работы по сравнению с неулучшенным [[Троичный поиск|троичным поиском]] (<tex> \log_{\varphi}\left(\dfrac{r - l}{\varepsilon}\right)</tex> против <tex>2 \log_{\frac32} \left(\dfrac{r - l}{\varepsilon}\right)</tex>.

За счет этого достигается выигрыш в производительности, т.к. каждый новый отрезок в <tex>\approx 1.618 </tex> раз короче предыдущего (против <tex>1.5</tex> у троичного поиска) и сходится он в <tex>\log_{\frac32} \left(\dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}\right) \approx 1.1868 </tex> быстрее, чем в троичном поиске, соответственно, в <tex> \approx 2.3736 </tex> раза меньше вычислений.

==См также==
*[[Троичный поиск]]
*[[Целочисленный двоичный поиск]]

==Источники информации==
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%B7%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D1%82%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D1%81%D0%B5%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F Википедия {{---}} Метод золотого сечения]
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Golden_section_search Wikipedia {{---}} Golden section search]

[[Категория:Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория:Алгоритмы поиска]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Поиск с помощью золотого сечения