Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Получение следующего объекта

2021-01-09T16:57:51Z

Irdkwmnsb: /* Специализация алгоритма для генерации следующего разбиения на подмножества */

== Алгоритм ==
{{Определение|definition= '''Получение следующего объекта''' {{---}} это нахождение объекта, следующего за данным в [[Лексикографический порядок|лексикографическом порядке]].
}}
Объект <tex>Q</tex> называется следующим за <tex>P</tex>, если <tex>P < Q</tex> и не найдется такого <tex>R</tex>, что <tex>P < R < Q</tex>.

Отсюда понятен алгоритм:
* находим суффикс минимальной длины, который можно изменить без изменения префикса текущего объекта <tex>P</tex>,
* к оставшейся части дописываем минимальный возможный элемент (чтобы было выполнено правило <tex>P < Q</tex>),
* дописываем минимальный возможный хвост.
По построению получаем, что <tex>Q</tex> {{---}} минимально возможный.

== Специализация алгоритма для генерации следующего битового вектора ==
* Находим минимальный суффикс, в котором есть <tex>0</tex>, его можно увеличить, не меняя оставшейся части
* Вместо <tex>0</tex> записываем <tex>1</tex>
* Дописываем минимально возможный хвост из нулей
'''int[]''' nextVector('''int[]''' a): // <tex>n</tex> {{---}} длина вектора
'''while''' (n >= 0) '''and''' (a[n] != 0)
a[n] = 0
n--
'''if''' n == -1
'''return''' ''null''
a[n] = 1
'''return''' a
Приведённый алгоритм эквивалентен прибавлению единицы к битовому вектору.
=== Пример работы ===
{| class="wikitable" border = 1
|0||1||0||1||style="background:#FFCC00"|1||исходный битовый вектор
|-
| || || || ||^|| начинаем идти с конца
|-
|0||1||0||style="background:#FFCC00"|0||style="background:#FFCC00"|0|| пока элементы равны 1, заменяем их на 0
|-
|0||1||style="background:#FFCC00"|1||0||0|| меняем первый не удовлетворяющий условию цикла элемент на 1
|-
|'''0'''||'''1'''||'''1'''||'''0'''||'''0'''||следующий битовый вектор
|}

== Специализация алгоритма для генерации следующей перестановки ==
* Двигаясь справа налево, находим элемент, нарушающий убывающую последовательность (в обычном порядке, слева направо, см. пример)
* Меняем его с минимальным элементом, большим нашего, стоящим правее
* Перевернем правую часть

'''int[]''' nextPermutation('''int[]''' a): // <tex>n</tex> {{---}} длина перестановки
'''for''' i = n - 2 '''downto''' 0
'''if''' a[i] < a[i + 1]
min = i + 1;
'''for''' j = i + 1 '''to''' n - 1
'''if''' (a[j] < a[min]) '''and''' (a[j] > a[i])
min = j
swap(a[i], a[min])
reverse(a, i + 1, n - 1)
'''return''' a
'''return''' ''null''

=== Пример работы ===
{| class="wikitable" border = 1
|1||3||style="background:#FFCC00"|2||5||style="background:#FFCC00"|4||исходная перестановка
|-
| || ||^|| || ||находим элемент, нарушающий убывающую последовательность
|-
| || || || ||^||минимальный элемент больше нашего
|-
|1||3||style="background:#FFCC00"|4||5||style="background:#FFCC00"|2||меняем их местами
|-
|1||3||4||style="background:#FFCC00"|2||style="background:#FFCC00"|5||разворачивам правую часть
|-
|'''1'''||'''3'''||'''4'''||'''2'''||'''5'''||следующая перестановка
|}

== Специализация алгоритма для генерации следующей мультиперестановки ==
* Двигаясь справа налево, находим элемент, нарушающий убывающую последовательность (в обычном порядке, слева направо, см. пример).
* Меняем его с минимальным элементом, большим нашего, стоящим правее.
* Переворачиваем правую часть.
'''int[]''' nextMultiperm('''int[]''' b): // <tex>n</tex> {{---}} длина мультиперестановки
i = n - 2
'''while''' (i >= 0) '''and''' (b[i] >= b[i + 1])
i--
'''if''' i >= 0
j = i + 1
'''while''' (j < n - 1) '''and''' (b[j + 1] > b[i])
j++
swap(b[i] , b[j])
reverse(b, i + 1, n - 1)
'''return''' b
'''else'''
'''return''' ''null''

=== Пример работы ===
{| class="wikitable" border = 1
|1||2||3||1||style="background:#FFCC00"|2||style="background:#FFCC00"|3||Исходная перестановка.
|-
| || || || ||^|| ||Находим элемент, нарушающий убывающую последовательность.
|-
| || || || || ||^||Минимальный элемент больше нашего.
|-
|1||2||3||1||style="background:#FFCC00"|3||style="background:#FFCC00"|2||Меняем их местами.
|-
|'''1'''||'''2'''||'''3'''||'''1'''||'''3'''||'''2'''||Следующая мультиперестановка.
|}

== Специализация алгоритма для генерации следующего сочетания ==

* Добавим в конец массива с сочетанием <tex>N+1</tex> – максимальный элемент.
* Пойдём справа налево. Будем искать номер элемента, который отличается от предыдущего на <tex>2</tex> и больше.
* Увеличим найденный элемент на <tex>1</tex>, и допишем в конец минимально возможный хвост, если такого элемента нет – на вход было дано последнее сочетание.
'''int[]''' nextChoose('''int[]''' a, '''int''' n, '''int''' k): // <tex>n,k </tex> {{---}} параметры сочетания
'''for''' i = 0 '''to''' k - 1
b[i] = a[i]
b[k] = n + 1
i = k - 1
'''while''' (i >= 0) '''and''' (b[i + 1] - b[i] < 2)
i--
'''if''' i >= 0
b[i]++
'''for''' j = i + 1 '''to''' k - 1
b[j] = b[j - 1] + 1
'''for''' i = 0 '''to''' k - 1
a[i] = b[i]
'''return''' a
'''else'''
'''return''' ''null''

=== Пример работы ===
{| class="wikitable" border = 1
|1||2||5||6||style="background:#FFCC00"|'''7'''||Дописываем 7 в конец сочетания.
|-
|1||style="background:#FFCC00"|2||5||6||'''7'''||
|-
| ||^|| || || ||Находим элемент i, a[i + 1] - a[ i ] >= 2
|-
|1||style="background:#FFCC00"|3||5||6||'''7'''||Увеличиваем его на 1.
|-
|1||3||style="background:#FFCC00"|4||style="background:#FFCC00"|5||style="background:#FFCC00"|'''6'''||Дописываем минимальный хвост.
|-
|'''1'''||'''3'''||'''4'''||'''5'''||''' '''||Следующее сочетание.
|}

== Специализация алгоритма для генерации следующего разбиения на слагаемые ==
Рассматриваемый алгоритм находит следующее [[комбинаторные объекты|разбиение на слагаемые]], при этом разбиение упорядоченно по возрастанию.
* Увеличим предпоследнее слагаемое на <tex>1</tex>, уменьшим последнее слагаемое на <tex>1</tex>.
** Если предпоследнее слагаемое стало больше последнего, то увеличиваем предпоследнее слагаемое на величину последнего.
** Если предпоследнее слагаемое умноженное на 2 меньше последнего, то разбиваем последнее слагаемое <tex>s</tex> на два слагаемых <tex>a</tex> и <tex>b</tex> таких, что <tex>a</tex> равно предпоследнему слагаемому, а <tex>b = s - a</tex>. Повторяем этот процесс, пока разбиение остается корректным, то есть предпоследнее слагаемое хотя бы в два раза меньше последнего.

<code>
// <tex>b</tex> {{---}} список, содержащий разбиение данного числа <tex>b.size</tex>{{---}} его размер 
'''list<int>''' nextPartition('''list<int>''' b):
b[b.size - 1]--
b[b.size - 2]++
'''if''' b[b.size - 2] > b[b.size - 1]
b[b.size - 2] += b[b.size - 1]
b.remove(b.size - 1)
'''else'''
'''while''' b[b.size - 2] * 2 <= b[b.size - 1]
b.add(b[b.size - 1] - b[b.size - 2])
b[b.size - 2] = b[b.size - 3]
'''return''' b
</code>

=== Пример работы ===
{| class="wikitable" border = 1
|1||style="background:#FFCC00"|1||style="background:#FFCC00"|7|| || ||Прибавим 1 + 1, вычтем 7 - 1.
|-
|1||style="background:#FFCC00"|2||style="background:#FFCC00"|6|| || ||Проверяем: 2 < 6, значит разбиваем 6 пока оно не станет меньше 4
|-
|1||2||style="background:#FFCC00"|2||style="background:#FFCC00"|4|| ||
|-
|1||2||2||style="background:#FFCC00"|2||style="background:#FFCC00"|2||
|-
|'''1'''||'''2'''||'''2'''||'''2'''||'''2'''||Следующее разбиение на слагаемые числа 9.
|}

{| class="wikitable" border = 1
|1||style="background:#FFCC00"|4||style="background:#FFCC00"|5||Прибавим 4 + 1, вычтем 5 - 1.
|-
|1||style="background:#FFCC00"|5||style="background:#FFCC00"|4||Проверяем: 5 > 4, значит прибавим к 5 + 4.
|-
|1||9||style="background:#FFCC00"|4||Удалим последний элемент.
|-
|'''1'''||'''9'''||||Следующее разбиение на слагаемые числа 10.
|}

== Специализация алгоритма для генерации следующего разбиения на подмножества ==

Рассмотрим множество первых n натуральных чисел:<tex>N_n = \{1, 2, ..., n\}</tex>

Упорядочим все разбиения на множества <tex>N_n</tex> лексикографически. Для этого, во-первых, в каждом разбиении упорядочим множества лексикографически. Будем говорить, что подмножество <tex> A \subset N_n </tex> лексикографически меньше подмножества <tex> B \subset N_n </tex> , если верно одно из следующих условий:

*существует <tex>i</tex> такое, что <tex>i \in A</tex> , <tex>i \notin B</tex>, для всех <tex>j < i: j \in A</tex> если и только если <tex>j \in B</tex> , и существует <tex>k > i</tex> такое что <tex>k \in B</tex>;
* <tex> A \subset B </tex> и <tex>i < j</tex> для всех <tex>i \in A</tex> и <tex>j \in B</tex> \ <tex> A </tex>.

Разбиения упорядочены лексикографически следующим образом. Разбиение <tex>N_n = A_1 \cup A_2 \cup . . . \cup A_k</tex> лексикографически меньше разбиения <tex>N_n = B_1 \cup B_2 \cup . . . \cup B_l</tex> если существует такое <tex>i</tex>, что <tex>A_1 = B_1, A_2 = B_2, . . . ,A_{i - 1} = B_{i - 1}, A_i < B_i</tex>.

'''Рассмотрим алгоритм нахождения лексикографически следующего разбиения на подмножества:'''
*Будем хранить подмножества в списке списков, например, разбиение <tex> \{1, 2, 3\} ~ \{4, 5\}</tex> будет выглядеть так:

{| class="wikitable" border = 1
|1||2||3
|-
|4||5||
|}

* Будем поддерживать массив удалённых элементов {{---}} элементы, которые затем нужно будет вернуть в разбиение.

* Двигаясь снизу вверх будем рассматривать подмножества.
** Если мы можем дописать в текущее подмножество минимальный элемент из удалённых, то мы нашли следующее разбиение и нужно завершить цикл.
** Если дописать не можем, значит, либо нужно укоротить и заменить какой-то элемент в текущем подмножестве, либо перейти к следующему подмножеству. Будем идти справа налево и рассматривать элементы:
*** Если мы можем заменить текущий элемент минимальным удалённым {{---}} мы нашли следующее разбиение, завершаем оба цикла и выполняем алгоритм дальше. Стоит отметить, что нельзя перезаписывать последний элемент в подмножестве, иначе мы не сможем дописать минимальный хвост после этого подмножества {{---}} в удалённых будет элемент меньше текущего и мы не сможем выписать удаленные элементы так, чтобы получилось корректное разбиение.
*** Если заменить текущий элемент каким-то из удалённых нельзя, то следует удалить и этот.
* Допишем лексикографически минимальный хвост подмножеств из оставшихся удалённых элементов.

'''list<list<int>>''' nextSetPartition('''list<list<int>>''' a):
used = '''list<int>'''
// a {{---}} список, содержащий подмножества
// used {{---}} список, в котором мы храним удаленные элементы
fl = ''false''
'''for''' i = a.size - 1 '''downto''' 0
'''if''' (used.size != 0) '''and''' (max(used) > a[i][-1]) // в удалённых есть хотя бы один элемент, который мы можем добавить в конец.
m = '''минимум из''' used '''строго больше''' a[i][-1]
a[i].add(m) //добавляем
used.remove(m)
'''break'''
'''for''' j = a[i].size - 1 '''downto''' 0
'''if''' (used.size != 0) '''and''' (j != 0) '''and''' (max(used) > a[i][j]) //если можем заменить элемент, другим элементом из списка used и он не последний
m = '''минимум из''' used '''строго больше''' a[i][j]
old = a[i][j]
a[i][j] = m //заменяем
used.remove(m)
used.add(old)
fl = ''true''
'''break'''
'''else'''
used.add(a[i][-1])
a[i].pop()
'''if''' a[i].size == 0
a.pop()
'''if''' fl
'''break'''
//далее выведем все удалённые, которые не выбрали
sort(used)
'''for''' i = 0 '''to''' used.size - 1
a.add('''list<int>'''(used[i])) //добавляем лексикографически минимальных хвост
'''return''' a

=== Пример работы ===

'''Рассмотрим следующее разбиение:'''

{| class="wikitable" border = 1
|1||2||3
|-
|4||5||
|}

'''1 Шаг:'''

{| class="wikitable" border = 1
|1||2||3||
|-
|4||style="background:#FFCC00"|5||||
|-
| ||^|| ||Удалили элемент 5.
|-
| || || ||Удалённые элементы
|}

'''2 Шаг:'''

{| class="wikitable" border = 1
|1||2||3||
|-
|style="background:#FFCC00"|4|| ||||
|-
|^|| || ||Удалили элемент 4. Так как он является последним в подмножестве, то мы не можем заменить его на другой.
|-
|5|| || ||Удалённые элементы
|}

'''3 Шаг:'''

{| class="wikitable" border = 1
|1||2||3||style="background:#FFCC00"|4||
|-
| || || ||^||Дополнили первое подмножество элементом 4
|-
|5|| || || ||Удалённые элементы
|}

'''4 Шаг:'''

{| class="wikitable" border = 1
|1||2||3||4||
|-
|style="background:#FFCC00"|5|| || || ||Дописали лексикографически минимальный хвост
|-
| || || || ||Удалённые элементы
|}

== См.также ==
* [[Получение предыдущего объекта]]
* [[Получение объекта по номеру]]
* [[Получение номера по объекту]]

== Источники информации ==

* [http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/combinations/permutations-2000 Визуализатор перестановок]
* [http://cppalgo.blogspot.com/2011/02/episode-2.html Пример компактного кода для перестановок (С++)]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Комбинаторика]]

Получение следующего объекта

2021-01-09T16:56:42Z

Irdkwmnsb: Исправление замены

== Алгоритм ==
{{Определение|definition= '''Получение следующего объекта''' {{---}} это нахождение объекта, следующего за данным в [[Лексикографический порядок|лексикографическом порядке]].
}}
Объект <tex>Q</tex> называется следующим за <tex>P</tex>, если <tex>P < Q</tex> и не найдется такого <tex>R</tex>, что <tex>P < R < Q</tex>.

Отсюда понятен алгоритм:
* находим суффикс минимальной длины, который можно изменить без изменения префикса текущего объекта <tex>P</tex>,
* к оставшейся части дописываем минимальный возможный элемент (чтобы было выполнено правило <tex>P < Q</tex>),
* дописываем минимальный возможный хвост.
По построению получаем, что <tex>Q</tex> {{---}} минимально возможный.

== Специализация алгоритма для генерации следующего битового вектора ==
* Находим минимальный суффикс, в котором есть <tex>0</tex>, его можно увеличить, не меняя оставшейся части
* Вместо <tex>0</tex> записываем <tex>1</tex>
* Дописываем минимально возможный хвост из нулей
'''int[]''' nextVector('''int[]''' a): // <tex>n</tex> {{---}} длина вектора
'''while''' (n >= 0) '''and''' (a[n] != 0)
a[n] = 0
n--
'''if''' n == -1
'''return''' ''null''
a[n] = 1
'''return''' a
Приведённый алгоритм эквивалентен прибавлению единицы к битовому вектору.
=== Пример работы ===
{| class="wikitable" border = 1
|0||1||0||1||style="background:#FFCC00"|1||исходный битовый вектор
|-
| || || || ||^|| начинаем идти с конца
|-
|0||1||0||style="background:#FFCC00"|0||style="background:#FFCC00"|0|| пока элементы равны 1, заменяем их на 0
|-
|0||1||style="background:#FFCC00"|1||0||0|| меняем первый не удовлетворяющий условию цикла элемент на 1
|-
|'''0'''||'''1'''||'''1'''||'''0'''||'''0'''||следующий битовый вектор
|}

== Специализация алгоритма для генерации следующей перестановки ==
* Двигаясь справа налево, находим элемент, нарушающий убывающую последовательность (в обычном порядке, слева направо, см. пример)
* Меняем его с минимальным элементом, большим нашего, стоящим правее
* Перевернем правую часть

'''int[]''' nextPermutation('''int[]''' a): // <tex>n</tex> {{---}} длина перестановки
'''for''' i = n - 2 '''downto''' 0
'''if''' a[i] < a[i + 1]
min = i + 1;
'''for''' j = i + 1 '''to''' n - 1
'''if''' (a[j] < a[min]) '''and''' (a[j] > a[i])
min = j
swap(a[i], a[min])
reverse(a, i + 1, n - 1)
'''return''' a
'''return''' ''null''

=== Пример работы ===
{| class="wikitable" border = 1
|1||3||style="background:#FFCC00"|2||5||style="background:#FFCC00"|4||исходная перестановка
|-
| || ||^|| || ||находим элемент, нарушающий убывающую последовательность
|-
| || || || ||^||минимальный элемент больше нашего
|-
|1||3||style="background:#FFCC00"|4||5||style="background:#FFCC00"|2||меняем их местами
|-
|1||3||4||style="background:#FFCC00"|2||style="background:#FFCC00"|5||разворачивам правую часть
|-
|'''1'''||'''3'''||'''4'''||'''2'''||'''5'''||следующая перестановка
|}

== Специализация алгоритма для генерации следующей мультиперестановки ==
* Двигаясь справа налево, находим элемент, нарушающий убывающую последовательность (в обычном порядке, слева направо, см. пример).
* Меняем его с минимальным элементом, большим нашего, стоящим правее.
* Переворачиваем правую часть.
'''int[]''' nextMultiperm('''int[]''' b): // <tex>n</tex> {{---}} длина мультиперестановки
i = n - 2
'''while''' (i >= 0) '''and''' (b[i] >= b[i + 1])
i--
'''if''' i >= 0
j = i + 1
'''while''' (j < n - 1) '''and''' (b[j + 1] > b[i])
j++
swap(b[i] , b[j])
reverse(b, i + 1, n - 1)
'''return''' b
'''else'''
'''return''' ''null''

=== Пример работы ===
{| class="wikitable" border = 1
|1||2||3||1||style="background:#FFCC00"|2||style="background:#FFCC00"|3||Исходная перестановка.
|-
| || || || ||^|| ||Находим элемент, нарушающий убывающую последовательность.
|-
| || || || || ||^||Минимальный элемент больше нашего.
|-
|1||2||3||1||style="background:#FFCC00"|3||style="background:#FFCC00"|2||Меняем их местами.
|-
|'''1'''||'''2'''||'''3'''||'''1'''||'''3'''||'''2'''||Следующая мультиперестановка.
|}

== Специализация алгоритма для генерации следующего сочетания ==

* Добавим в конец массива с сочетанием <tex>N+1</tex> – максимальный элемент.
* Пойдём справа налево. Будем искать номер элемента, который отличается от предыдущего на <tex>2</tex> и больше.
* Увеличим найденный элемент на <tex>1</tex>, и допишем в конец минимально возможный хвост, если такого элемента нет – на вход было дано последнее сочетание.
'''int[]''' nextChoose('''int[]''' a, '''int''' n, '''int''' k): // <tex>n,k </tex> {{---}} параметры сочетания
'''for''' i = 0 '''to''' k - 1
b[i] = a[i]
b[k] = n + 1
i = k - 1
'''while''' (i >= 0) '''and''' (b[i + 1] - b[i] < 2)
i--
'''if''' i >= 0
b[i]++
'''for''' j = i + 1 '''to''' k - 1
b[j] = b[j - 1] + 1
'''for''' i = 0 '''to''' k - 1
a[i] = b[i]
'''return''' a
'''else'''
'''return''' ''null''

=== Пример работы ===
{| class="wikitable" border = 1
|1||2||5||6||style="background:#FFCC00"|'''7'''||Дописываем 7 в конец сочетания.
|-
|1||style="background:#FFCC00"|2||5||6||'''7'''||
|-
| ||^|| || || ||Находим элемент i, a[i + 1] - a[ i ] >= 2
|-
|1||style="background:#FFCC00"|3||5||6||'''7'''||Увеличиваем его на 1.
|-
|1||3||style="background:#FFCC00"|4||style="background:#FFCC00"|5||style="background:#FFCC00"|'''6'''||Дописываем минимальный хвост.
|-
|'''1'''||'''3'''||'''4'''||'''5'''||''' '''||Следующее сочетание.
|}

== Специализация алгоритма для генерации следующего разбиения на слагаемые ==
Рассматриваемый алгоритм находит следующее [[комбинаторные объекты|разбиение на слагаемые]], при этом разбиение упорядоченно по возрастанию.
* Увеличим предпоследнее слагаемое на <tex>1</tex>, уменьшим последнее слагаемое на <tex>1</tex>.
** Если предпоследнее слагаемое стало больше последнего, то увеличиваем предпоследнее слагаемое на величину последнего.
** Если предпоследнее слагаемое умноженное на 2 меньше последнего, то разбиваем последнее слагаемое <tex>s</tex> на два слагаемых <tex>a</tex> и <tex>b</tex> таких, что <tex>a</tex> равно предпоследнему слагаемому, а <tex>b = s - a</tex>. Повторяем этот процесс, пока разбиение остается корректным, то есть предпоследнее слагаемое хотя бы в два раза меньше последнего.

<code>
// <tex>b</tex> {{---}} список, содержащий разбиение данного числа <tex>b.size</tex>{{---}} его размер 
'''list<int>''' nextPartition('''list<int>''' b):
b[b.size - 1]--
b[b.size - 2]++
'''if''' b[b.size - 2] > b[b.size - 1]
b[b.size - 2] += b[b.size - 1]
b.remove(b.size - 1)
'''else'''
'''while''' b[b.size - 2] * 2 <= b[b.size - 1]
b.add(b[b.size - 1] - b[b.size - 2])
b[b.size - 2] = b[b.size - 3]
'''return''' b
</code>

=== Пример работы ===
{| class="wikitable" border = 1
|1||style="background:#FFCC00"|1||style="background:#FFCC00"|7|| || ||Прибавим 1 + 1, вычтем 7 - 1.
|-
|1||style="background:#FFCC00"|2||style="background:#FFCC00"|6|| || ||Проверяем: 2 < 6, значит разбиваем 6 пока оно не станет меньше 4
|-
|1||2||style="background:#FFCC00"|2||style="background:#FFCC00"|4|| ||
|-
|1||2||2||style="background:#FFCC00"|2||style="background:#FFCC00"|2||
|-
|'''1'''||'''2'''||'''2'''||'''2'''||'''2'''||Следующее разбиение на слагаемые числа 9.
|}

{| class="wikitable" border = 1
|1||style="background:#FFCC00"|4||style="background:#FFCC00"|5||Прибавим 4 + 1, вычтем 5 - 1.
|-
|1||style="background:#FFCC00"|5||style="background:#FFCC00"|4||Проверяем: 5 > 4, значит прибавим к 5 + 4.
|-
|1||9||style="background:#FFCC00"|4||Удалим последний элемент.
|-
|'''1'''||'''9'''||||Следующее разбиение на слагаемые числа 10.
|}

== Специализация алгоритма для генерации следующего разбиения на подмножества ==

Рассмотрим множество первых n натуральных чисел:<tex>N_n = \{1, 2, ..., n\}</tex>

Упорядочим все разбиения на множества <tex>N_n</tex> лексикографически. Для этого, во-первых, в каждом разбиении упорядочим множества лексикографически. Будем говорить, что подмножество <tex> A \subset N_n </tex> лексикографически меньше подмножества <tex> B \subset N_n </tex> , если верно одно из следующих условий:

*существует <tex>i</tex> такое, что <tex>i \in A</tex> , <tex>i \notin B</tex>, для всех <tex>j < i: j \in A</tex> если и только если <tex>j \in B</tex> , и существует <tex>k > i</tex> такое что <tex>k \in B</tex>;
* <tex> A \subset B </tex> и <tex>i < j</tex> для всех <tex>i \in A</tex> и <tex>j \in B</tex> \ <tex> A </tex>.

Разбиения упорядочены лексикографически следующим образом. Разбиение <tex>N_n = A_1 \cup A_2 \cup . . . \cup A_k</tex> лексикографически меньше разбиения <tex>N_n = B_1 \cup B_2 \cup . . . \cup B_l</tex> если существует такое <tex>i</tex>, что <tex>A_1 = B_1, A_2 = B_2, . . . ,A_{i - 1} = B_{i - 1}, A_i < B_i</tex>.

'''Рассмотрим алгоритм нахождения лексикографически следующего разбиения на подмножества:'''
*Будем хранить подмножества в списке списков, например, разбиение <tex> \{1, 2, 3\} ~ \{4, 5\}</tex> будет выглядеть так:

{| class="wikitable" border = 1
|1||2||3
|-
|4||5||
|}

* Будем поддерживать массив удалённых элементов {{---}} элементы, которые затем нужно будет вернуть в разбиение.

* Двигаясь снизу вверх будем рассматривать подмножества.
** Если мы можем дописать в текущее подмножество минимальный элемент из удалённых, то мы нашли следующее разбиение и нужно завершить цикл.
** Если дописать не можем, значит, либо нужно укоротить и заменить какой-то элемент в текущем подмножестве, либо перейти к следующему подмножеству. Будем идти справа налево и рассматривать элементы:
*** Если мы можем заменить текущий элемент минимальным удалённым {{---}} мы нашли следующее разбиение, завершаем оба цикла и выполняем алгоритм дальше. Стоит отметить, что нельзя перезаписывать последний элемент в подмножестве, иначе мы не сможем дописать минимальный хвост после этого подмножества {{---}} в удалённых будет элемент меньше текущего и мы не сможем выписать удаленные элементы так, чтобы получилось корректное разбиение.
*** Если заменить текущий элемент каким-то из удалённых нельзя, то следует удалить и этот.
* Допишем лексикографически минимальный хвост подмножеств из оставшихся удалённых элементов.

'''list<list<int>>''' nextSetPartition('''list<list<int>>''' a):
used = '''list<int>'''
// a {{---}} список, содержащий подмножества
// used {{---}} список, в котором мы храним удаленные элементы
fl = ''false''
'''for''' i = a.size - 1 '''downto''' 0
'''if''' (used.size != 0) '''and''' (max(used) > a[i][-1]) // в удалённых есть хотя бы один элемент, который мы можем добавить в конец.
m = '''минимум из''' used '''строго больше''' a[i][-1]
a[i].add(m) //добавляем
used.remove(m)
'''break'''
'''for''' j = a[i].size - 1 '''downto''' 0
'''if''' (used.size != 0) '''and''' (j != 0) '''and''' (max(used) > a[i][j]) //если можем заменить элемент, другим элементом из списка used и он не последний
m = '''минимум из''' used '''строго больше''' a[i][-1]
old = a[i][j]
a[i][j] = m //заменяем
used.remove(m)
used.add(old)
fl = ''true''
'''break'''
'''else'''
used.add(a[i][-1])
a[i].pop()
'''if''' a[i].size == 0
a.pop()
'''if''' fl
'''break'''
//далее выведем все удалённые, которые не выбрали
sort(used)
'''for''' i = 0 '''to''' used.size - 1
a.add('''list<int>'''(used[i])) //добавляем лексикографически минимальных хвост
'''return''' a

=== Пример работы ===

'''Рассмотрим следующее разбиение:'''

{| class="wikitable" border = 1
|1||2||3
|-
|4||5||
|}

'''1 Шаг:'''

{| class="wikitable" border = 1
|1||2||3||
|-
|4||style="background:#FFCC00"|5||||
|-
| ||^|| ||Удалили элемент 5.
|-
| || || ||Удалённые элементы
|}

'''2 Шаг:'''

{| class="wikitable" border = 1
|1||2||3||
|-
|style="background:#FFCC00"|4|| ||||
|-
|^|| || ||Удалили элемент 4. Так как он является последним в подмножестве, то мы не можем заменить его на другой.
|-
|5|| || ||Удалённые элементы
|}

'''3 Шаг:'''

{| class="wikitable" border = 1
|1||2||3||style="background:#FFCC00"|4||
|-
| || || ||^||Дополнили первое подмножество элементом 4
|-
|5|| || || ||Удалённые элементы
|}

'''4 Шаг:'''

{| class="wikitable" border = 1
|1||2||3||4||
|-
|style="background:#FFCC00"|5|| || || ||Дописали лексикографически минимальный хвост
|-
| || || || ||Удалённые элементы
|}

== См.также ==
* [[Получение предыдущего объекта]]
* [[Получение объекта по номеру]]
* [[Получение номера по объекту]]

== Источники информации ==

* [http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/combinations/permutations-2000 Визуализатор перестановок]
* [http://cppalgo.blogspot.com/2011/02/episode-2.html Пример компактного кода для перестановок (С++)]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Комбинаторика]]

Получение следующего объекта

2021-01-08T10:38:42Z

Irdkwmnsb: Исправление алгоритма

== Алгоритм ==
{{Определение|definition= '''Получение следующего объекта''' {{---}} это нахождение объекта, следующего за данным в [[Лексикографический порядок|лексикографическом порядке]].
}}
Объект <tex>Q</tex> называется следующим за <tex>P</tex>, если <tex>P < Q</tex> и не найдется такого <tex>R</tex>, что <tex>P < R < Q</tex>.

Отсюда понятен алгоритм:
* находим суффикс минимальной длины, который можно изменить без изменения префикса текущего объекта <tex>P</tex>,
* к оставшейся части дописываем минимальный возможный элемент (чтобы было выполнено правило <tex>P < Q</tex>),
* дописываем минимальный возможный хвост.
По построению получаем, что <tex>Q</tex> {{---}} минимально возможный.

== Специализация алгоритма для генерации следующего битового вектора ==
* Находим минимальный суффикс, в котором есть <tex>0</tex>, его можно увеличить, не меняя оставшейся части
* Вместо <tex>0</tex> записываем <tex>1</tex>
* Дописываем минимально возможный хвост из нулей
'''int[]''' nextVector('''int[]''' a): // <tex>n</tex> {{---}} длина вектора
'''while''' (n >= 0) '''and''' (a[n] != 0)
a[n] = 0
n--
'''if''' n == -1
'''return''' ''null''
a[n] = 1
'''return''' a
Приведённый алгоритм эквивалентен прибавлению единицы к битовому вектору.
=== Пример работы ===
{| class="wikitable" border = 1
|0||1||0||1||style="background:#FFCC00"|1||исходный битовый вектор
|-
| || || || ||^|| начинаем идти с конца
|-
|0||1||0||style="background:#FFCC00"|0||style="background:#FFCC00"|0|| пока элементы равны 1, заменяем их на 0
|-
|0||1||style="background:#FFCC00"|1||0||0|| меняем первый не удовлетворяющий условию цикла элемент на 1
|-
|'''0'''||'''1'''||'''1'''||'''0'''||'''0'''||следующий битовый вектор
|}

== Специализация алгоритма для генерации следующей перестановки ==
* Двигаясь справа налево, находим элемент, нарушающий убывающую последовательность (в обычном порядке, слева направо, см. пример)
* Меняем его с минимальным элементом, большим нашего, стоящим правее
* Перевернем правую часть

'''int[]''' nextPermutation('''int[]''' a): // <tex>n</tex> {{---}} длина перестановки
'''for''' i = n - 2 '''downto''' 0
'''if''' a[i] < a[i + 1]
min = i + 1;
'''for''' j = i + 1 '''to''' n - 1
'''if''' (a[j] < a[min]) '''and''' (a[j] > a[i])
min = j
swap(a[i], a[min])
reverse(a, i + 1, n - 1)
'''return''' a
'''return''' ''null''

=== Пример работы ===
{| class="wikitable" border = 1
|1||3||style="background:#FFCC00"|2||5||style="background:#FFCC00"|4||исходная перестановка
|-
| || ||^|| || ||находим элемент, нарушающий убывающую последовательность
|-
| || || || ||^||минимальный элемент больше нашего
|-
|1||3||style="background:#FFCC00"|4||5||style="background:#FFCC00"|2||меняем их местами
|-
|1||3||4||style="background:#FFCC00"|2||style="background:#FFCC00"|5||разворачивам правую часть
|-
|'''1'''||'''3'''||'''4'''||'''2'''||'''5'''||следующая перестановка
|}

== Специализация алгоритма для генерации следующей мультиперестановки ==
* Двигаясь справа налево, находим элемент, нарушающий убывающую последовательность (в обычном порядке, слева направо, см. пример).
* Меняем его с минимальным элементом, большим нашего, стоящим правее.
* Переворачиваем правую часть.
'''int[]''' nextMultiperm('''int[]''' b): // <tex>n</tex> {{---}} длина мультиперестановки
i = n - 2
'''while''' (i >= 0) '''and''' (b[i] >= b[i + 1])
i--
'''if''' i >= 0
j = i + 1
'''while''' (j < n - 1) '''and''' (b[j + 1] > b[i])
j++
swap(b[i] , b[j])
reverse(b, i + 1, n - 1)
'''return''' b
'''else'''
'''return''' ''null''

=== Пример работы ===
{| class="wikitable" border = 1
|1||2||3||1||style="background:#FFCC00"|2||style="background:#FFCC00"|3||Исходная перестановка.
|-
| || || || ||^|| ||Находим элемент, нарушающий убывающую последовательность.
|-
| || || || || ||^||Минимальный элемент больше нашего.
|-
|1||2||3||1||style="background:#FFCC00"|3||style="background:#FFCC00"|2||Меняем их местами.
|-
|'''1'''||'''2'''||'''3'''||'''1'''||'''3'''||'''2'''||Следующая мультиперестановка.
|}

== Специализация алгоритма для генерации следующего сочетания ==

* Добавим в конец массива с сочетанием <tex>N+1</tex> – максимальный элемент.
* Пойдём справа налево. Будем искать номер элемента, который отличается от предыдущего на <tex>2</tex> и больше.
* Увеличим найденный элемент на <tex>1</tex>, и допишем в конец минимально возможный хвост, если такого элемента нет – на вход было дано последнее сочетание.
'''int[]''' nextChoose('''int[]''' a, '''int''' n, '''int''' k): // <tex>n,k </tex> {{---}} параметры сочетания
'''for''' i = 0 '''to''' k - 1
b[i] = a[i]
b[k] = n + 1
i = k - 1
'''while''' (i >= 0) '''and''' (b[i + 1] - b[i] < 2)
i--
'''if''' i >= 0
b[i]++
'''for''' j = i + 1 '''to''' k - 1
b[j] = b[j - 1] + 1
'''for''' i = 0 '''to''' k - 1
a[i] = b[i]
'''return''' a
'''else'''
'''return''' ''null''

=== Пример работы ===
{| class="wikitable" border = 1
|1||2||5||6||style="background:#FFCC00"|'''7'''||Дописываем 7 в конец сочетания.
|-
|1||style="background:#FFCC00"|2||5||6||'''7'''||
|-
| ||^|| || || ||Находим элемент i, a[i + 1] - a[ i ] >= 2
|-
|1||style="background:#FFCC00"|3||5||6||'''7'''||Увеличиваем его на 1.
|-
|1||3||style="background:#FFCC00"|4||style="background:#FFCC00"|5||style="background:#FFCC00"|'''6'''||Дописываем минимальный хвост.
|-
|'''1'''||'''3'''||'''4'''||'''5'''||''' '''||Следующее сочетание.
|}

== Специализация алгоритма для генерации следующего разбиения на слагаемые ==
Рассматриваемый алгоритм находит следующее [[комбинаторные объекты|разбиение на слагаемые]], при этом разбиение упорядоченно по возрастанию.
* Увеличим предпоследнее слагаемое на <tex>1</tex>, уменьшим последнее слагаемое на <tex>1</tex>.
** Если предпоследнее слагаемое стало больше последнего, то увеличиваем предпоследнее слагаемое на величину последнего.
** Если предпоследнее слагаемое умноженное на 2 меньше последнего, то разбиваем последнее слагаемое <tex>s</tex> на два слагаемых <tex>a</tex> и <tex>b</tex> таких, что <tex>a</tex> равно предпоследнему слагаемому, а <tex>b = s - a</tex>. Повторяем этот процесс, пока разбиение остается корректным, то есть предпоследнее слагаемое хотя бы в два раза меньше последнего.

<code>
// <tex>b</tex> {{---}} список, содержащий разбиение данного числа <tex>b.size</tex>{{---}} его размер 
'''list<int>''' nextPartition('''list<int>''' b):
b[b.size - 1]--
b[b.size - 2]++
'''if''' b[b.size - 2] > b[b.size - 1]
b[b.size - 2] += b[b.size - 1]
b.remove(b.size - 1)
'''else'''
'''while''' b[b.size - 2] * 2 <= b[b.size - 1]
b.add(b[b.size - 1] - b[b.size - 2])
b[b.size - 2] = b[b.size - 3]
'''return''' b
</code>

=== Пример работы ===
{| class="wikitable" border = 1
|1||style="background:#FFCC00"|1||style="background:#FFCC00"|7|| || ||Прибавим 1 + 1, вычтем 7 - 1.
|-
|1||style="background:#FFCC00"|2||style="background:#FFCC00"|6|| || ||Проверяем: 2 < 6, значит разбиваем 6 пока оно не станет меньше 4
|-
|1||2||style="background:#FFCC00"|2||style="background:#FFCC00"|4|| ||
|-
|1||2||2||style="background:#FFCC00"|2||style="background:#FFCC00"|2||
|-
|'''1'''||'''2'''||'''2'''||'''2'''||'''2'''||Следующее разбиение на слагаемые числа 9.
|}

{| class="wikitable" border = 1
|1||style="background:#FFCC00"|4||style="background:#FFCC00"|5||Прибавим 4 + 1, вычтем 5 - 1.
|-
|1||style="background:#FFCC00"|5||style="background:#FFCC00"|4||Проверяем: 5 > 4, значит прибавим к 5 + 4.
|-
|1||9||style="background:#FFCC00"|4||Удалим последний элемент.
|-
|'''1'''||'''9'''||||Следующее разбиение на слагаемые числа 10.
|}

== Специализация алгоритма для генерации следующего разбиения на подмножества ==

Рассмотрим множество первых n натуральных чисел:<tex>N_n = \{1, 2, ..., n\}</tex>

Упорядочим все разбиения на множества <tex>N_n</tex> лексикографически. Для этого, во-первых, в каждом разбиении упорядочим множества лексикографически. Будем говорить, что подмножество <tex> A \subset N_n </tex> лексикографически меньше подмножества <tex> B \subset N_n </tex> , если верно одно из следующих условий:

*существует <tex>i</tex> такое, что <tex>i \in A</tex> , <tex>i \notin B</tex>, для всех <tex>j < i: j \in A</tex> если и только если <tex>j \in B</tex> , и существует <tex>k > i</tex> такое что <tex>k \in B</tex>;
* <tex> A \subset B </tex> и <tex>i < j</tex> для всех <tex>i \in A</tex> и <tex>j \in B</tex> \ <tex> A </tex>.

Разбиения упорядочены лексикографически следующим образом. Разбиение <tex>N_n = A_1 \cup A_2 \cup . . . \cup A_k</tex> лексикографически меньше разбиения <tex>N_n = B_1 \cup B_2 \cup . . . \cup B_l</tex> если существует такое <tex>i</tex>, что <tex>A_1 = B_1, A_2 = B_2, . . . ,A_{i - 1} = B_{i - 1}, A_i < B_i</tex>.

'''Рассмотрим алгоритм нахождения лексикографически следующего разбиения на подмножества:'''
*Будем хранить подмножества в списке списков, например, разбиение <tex> \{1, 2, 3\} ~ \{4, 5\}</tex> будет выглядеть так:

{| class="wikitable" border = 1
|1||2||3
|-
|4||5||
|}

* Будем поддерживать массив удалённых элементов {{---}} элементы, которые затем нужно будет вернуть в разбиение.

* Двигаясь снизу вверх будем рассматривать подмножества.
** Если мы можем дописать в текущее подмножество минимальный элемент из удалённых, то мы нашли следующее разбиение и нужно завершить цикл.
** Если дописать не можем, значит, либо нужно укоротить и заменить какой-то элемент в текущем подмножестве, либо перейти к следующему подмножеству. Будем идти справа налево и рассматривать элементы:
*** Если мы можем заменить текущий элемент минимальным удалённым {{---}} мы нашли следующее разбиение, завершаем оба цикла и выполняем алгоритм дальше. Стоит отметить, что нельзя перезаписывать последний элемент в подмножестве, иначе мы не сможем дописать минимальный хвост после этого подмножества {{---}} в удалённых будет элемент меньше текущего и мы не сможем выписать удаленные элементы так, чтобы получилось корректное разбиение.
*** Если заменить текущий элемент каким-то из удалённых нельзя, то следует удалить и этот.
* Допишем лексикографически минимальный хвост подмножеств из оставшихся удалённых элементов.

'''list<list<int>>''' nextSetPartition('''list<list<int>>''' a):
used = '''list<int>'''
// a {{---}} список, содержащий подмножества
// used {{---}} список, в котором мы храним удаленные элементы
fl = ''false''
'''for''' i = a.size - 1 '''downto''' 0
'''if''' (used.size != 0) '''and''' (max(used) > a[i][-1]) // в удалённых есть хотя бы один элемент, который мы можем добавить в конец.
m = '''минимум из''' used '''строго больше''' a[i][-1]
a[i].add(m) //добавляем
used.remove(m)
'''break'''
'''for''' j = a[i].size - 1 '''downto''' 0
'''if''' (used.size != 0) '''and''' (j != 0) '''and''' (max(used) > a[i][j]) //если можем заменить элемент, другим элементом из списка used и он не последний
m = '''минимум из''' used '''строго больше''' a[i][-1]
a[i][j] = m //заменяем
used.remove(m)
fl = ''true''
'''break'''
'''else'''
used.add(a[i][-1])
a[i].pop()
'''if''' a[i].size == 0
a.pop()
'''if''' fl
'''break'''
//далее выведем все удалённые, которые не выбрали
sort(used)
'''for''' i = 0 '''to''' used.size - 1
a.add('''list<int>'''(used[i])) //добавляем лексикографически минимальных хвост
'''return''' a

=== Пример работы ===

'''Рассмотрим следующее разбиение:'''

{| class="wikitable" border = 1
|1||2||3
|-
|4||5||
|}

'''1 Шаг:'''

{| class="wikitable" border = 1
|1||2||3||
|-
|4||style="background:#FFCC00"|5||||
|-
| ||^|| ||Удалили элемент 5.
|-
| || || ||Удалённые элементы
|}

'''2 Шаг:'''

{| class="wikitable" border = 1
|1||2||3||
|-
|style="background:#FFCC00"|4|| ||||
|-
|^|| || ||Удалили элемент 4. Так как он является последним в подмножестве, то мы не можем заменить его на другой.
|-
|5|| || ||Удалённые элементы
|}

'''3 Шаг:'''

{| class="wikitable" border = 1
|1||2||3||style="background:#FFCC00"|4||
|-
| || || ||^||Дополнили первое подмножество элементом 4
|-
|5|| || || ||Удалённые элементы
|}

'''4 Шаг:'''

{| class="wikitable" border = 1
|1||2||3||4||
|-
|style="background:#FFCC00"|5|| || || ||Дописали лексикографически минимальный хвост
|-
| || || || ||Удалённые элементы
|}

== См.также ==
* [[Получение предыдущего объекта]]
* [[Получение объекта по номеру]]
* [[Получение номера по объекту]]

== Источники информации ==

* [http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/combinations/permutations-2000 Визуализатор перестановок]
* [http://cppalgo.blogspot.com/2011/02/episode-2.html Пример компактного кода для перестановок (С++)]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Комбинаторика]]

Участник:Irdkwmnsb

2021-01-07T10:14:12Z

Irdkwmnsb: /* Специализация алгоритма для генерации следующего разбиения на подмножества */

== Специализация алгоритма для генерации следующего разбиения на подмножества ==

Рассмотрим множество первых n натуральных чисел:<tex>N_n = \{1, 2, ..., n\}</tex>

Упорядочим все разбиения на множества <tex>N_n</tex> лексикографически. Для этого, во-первых, в каждом разбиении упорядочим множества лексикографически. Будем говорить, что подмножество <tex> A \subset N_n </tex> лексикографически меньше подмножества <tex> B \subset N_n </tex> , если верно одно из следующих условий:

*существует <tex>i</tex> такое, что <tex>i \in A</tex> , <tex>i \notin B</tex>, для всех <tex>j < i: j \in A</tex> если и только если <tex>j \in B</tex> , и существует <tex>k > i</tex> такое что <tex>k \in B</tex>;
* <tex> A \subset B </tex> и <tex>i < j</tex> для всех <tex>i \in A</tex> и <tex>j \in B</tex> \ <tex> A </tex>.

Разбиения упорядочены лексикографически следующим образом. Разбиение <tex>N_n = A_1 \cup A_2 \cup . . . \cup A_k</tex> лексикографически меньше разбиения <tex>N_n = B_1 \cup B_2 \cup . . . \cup B_l</tex> если существует такое <tex>i</tex>, что <tex>A_1 = B_1, A_2 = B_2, . . . ,A_{i - 1} = B_{i - 1}, A_i < B_i</tex>.

'''Рассмотрим алгоритм нахождения лексикографически следующего разбиения на подмножества:'''
*Будем хранить подмножества в списке списков, например, разбиение <tex> \{1, 2, 3\} ~ \{4, 5\}</tex> будет выглядеть так:

{| class="wikitable" border = 1
|1||2||3
|-
|4||5||
|}

* Будем поддерживать массив удалённых элементов {{---}} элементы, которые затем нужно будет вернуть в разбиение.

* Двигаясь снизу вверх будем рассматривать подмножества.
** Если мы можем дописать в текущее подмножество минимальный элемент из удалённых, то мы нашли следующее разбиение и нужно завершить цикл.
** Если дописать не можем, значит, либо нужно укоротить и заменить какой-то элемент в текущем подмножестве, либо перейти к следующему подмножеству. Будем идти справа налево и рассматривать элементы:
*** Если мы можем заменить текущий элемент минимальным удалённым {{---}} мы нашли следующее разбиение, завершаем оба цикла и выполняем алгоритм дальше. Стоит отметить, что нельзя перезаписывать последний элемент в подмножестве, иначе мы не сможем дописать минимальный хвост после этого подмножества {{---}} в удалённых будет элемент меньше текущего и мы не сможем выписать удаленные элементы так, чтобы получилось корректное разбиение.
*** Если заменить текущий элемент каким-то из удалённых нельзя, то следует удалить и этот.
* Допишем лексикографически минимальный хвост подмножеств из оставшихся удалённых элементов.

'''list<list<int>>''' nextSetPartition('''list<list<int>>''' a):
used = '''list<int>'''
// a {{---}} список, содержащий подмножества
// used {{---}} список, в котором мы храним удаленные элементы
fl = ''false''
'''for''' i = a.size - 1 '''downto''' 0
'''if''' (used.size != 0) '''and''' (max(used) > a[i][-1]) // в удалённых есть хотя бы один элемент, который мы можем добавить в конец.
m = '''минимум из''' used '''строго больше''' a[i][-1]
a[i].add(m) //добавляем
used.remove(m)
'''break'''
'''for''' j = a[i].size - 1 '''downto''' 0
'''if''' (used.size != 0) '''and''' (j != 0) '''and''' (max(used) > a[i][j]) //если можем заменить элемент, другим элементом из списка used и он не последний
m = '''минимум из''' used '''строго больше''' a[i][-1]
a[i][j] = m //заменяем
used.remove(m)
fl = ''true''
'''break'''
'''else'''
used.add(a[i][-1])
a[i].pop()
'''if''' a[i].size == 0
a.pop()
'''if''' fl
'''break'''
//далее выведем все удалённые, которые не выбрали
sort(used)
'''for''' i = 0 '''to''' used.size - 1
a.add('''list<int>'''(used[i])) //добавляем лексикографически минимальных хвост
'''return''' a

=== Пример работы ===

'''Рассмотрим следующее разбиение:'''

{| class="wikitable" border = 1
|1||2||3
|-
|4||5||
|}

'''1 Шаг:'''

{| class="wikitable" border = 1
|1||2||3||
|-
|4||style="background:#FFCC00"|5||||
|-
| ||^|| ||Удалили элемент 5.
|-
| || || ||Удалённые элементы
|}

'''2 Шаг:'''

{| class="wikitable" border = 1
|1||2||3||
|-
|style="background:#FFCC00"|4|| ||||
|-
|^|| || ||Удалили элемент 4. Так как он является последним в подмножестве, то мы не можем заменить его на другой.
|-
|5|| || ||Удалённые элементы
|}

'''3 Шаг:'''

{| class="wikitable" border = 1
|1||2||3||style="background:#FFCC00"|4||
|-
| || || ||^||Дополнили первое подмножество элементом 4
|-
|5|| || || ||Удалённые элементы
|}

'''4 Шаг:'''

{| class="wikitable" border = 1
|1||2||3||4||
|-
|style="background:#FFCC00"|5|| || || ||Дописали лексикографически минимальный хвост
|-
| || || || ||Удалённые элементы
|}

Участник:Irdkwmnsb

2021-01-06T18:24:20Z

Irdkwmnsb: fixes

== Специализация алгоритма для генерации следующего разбиения на подмножества ==

Рассмотрим множество первых n натуральных чисел:<tex>N_n = \{1, 2, ..., n\}</tex>

Упорядочим все разбиения на множества <tex>N_n</tex> лексикографически. Для этого, во-первых, в каждом разбиении упорядочим множества лексикографически. Будем говорить, что подмножество <tex> A \subset N_n </tex> лексикографически меньше подмножества <tex> B \subset N_n </tex> , если верно одно из следующих условий:

*существует <tex>i</tex> такое, что <tex>i \in A</tex> , <tex>i \notin B</tex>, для всех <tex>j < i: j \in A</tex> если и только если <tex>j \in B</tex> , и существует <tex>k > i</tex> такое что <tex>k \in B</tex>;
* <tex> A \subset B </tex> и <tex>i < j</tex> для всех <tex>i \in A</tex> и <tex>j \in B</tex> \ <tex> A </tex>.

Разбиения упорядочены лексикографически следующим образом. Разбиение <tex>N_n = A_1 \cup A_2 \cup . . . \cup A_k</tex> лексикографически меньше разбиения <tex>N_n = B_1 \cup B_2 \cup . . . \cup B_l</tex> если существует такое <tex>i</tex>, что <tex>A_1 = B_1, A_2 = B_2, . . . ,A_{i - 1} = B_{i - 1}, A_i < B_i</tex>.

'''Рассмотрим алгоритм нахождения лексикографически следующего разбиения на подмножества:'''
*Будем хранить подмножества в списке списков, например, разбиение <tex> \{1, 2, 3\}~ \{4, 5\}</tex> будет выглядеть так:

{| class="wikitable" border = 1
|1||2||3
|-
|4||5||
|}

* Будем поддерживать массив "удалённых" элементов {{---}} элементы которые затем нужно будет вернуть в разбиение.

* Двигаясь снизу вверх будем рассматривать подмножества.
** Если мы можем дописать в текущее подмножество минимальный элемент из удалённых, то мы нашли следующее разбиение и нужно завершить цикл.
** Если дописать не можем, значит, либо нужно укоротить и заменить какой то элемент в текущем подмножестве, либо перейти к следующему подмножеству. Будем идти справа налево и рассматривать элементы:
*** Если мы можем заменить текущий элемент минимальным удалённым {{---}} мы нашли следующее разбиение, завершаем оба цикла и выполняем алгоритм дальше. Стоит отметить, что нельзя перезаписывать последний элемент в подмножестве, иначе мы не сможем дописать минимальный хвост после этого подмножества {{---}} в удалённых будет элемент меньше текущего и мы не сможем выписать удаленные элементы так, чтобы получилось корректное разбиение.
*** Если заменить текущий элемент каким то из удалённых нельзя, то следует удалить и этот.
* Допишем лексикографически минимальный хвост подмножеств из оставшихся удалённых элементов.

'''list<list<int>>''' nextSetPartition('''list<list<int>>''' a):
used = '''list<int>'''
// a {{---}} список, содержащий подмножества
// used {{---}} список, в котором мы храним удаленные элементы
fl = ''false''
'''for''' i = a.size - 1 '''downto''' 0
'''if''' (used.size != 0) '''and''' (max(used) > a[i][-1]) // в удалённых есть хотя бы один элемент, который мы можем добавить в конец.
m = '''минимум из''' used '''строго больше''' a[i][-1]
a[i].add(m) //добавляем
used.remove(m)
'''break'''
'''for''' j = a[i].size - 1 '''downto''' 0
'''if''' (used.size != 0) '''and''' (j != 0) '''and''' (max(used) > a[i][j]) //если можем заменить элемент, другим элементом из списка used и он не последний
m = '''минимум из''' used '''строго больше''' a[i][-1]
a[i][j] = m //заменяем
used.remove(m)
fl = ''true''
'''break'''
'''else'''
used.add(a[i][-1])
a[i].pop()
'''if''' a[i].size == 0
a.pop()
'''if''' fl
'''break'''
//далее выведем все удалённые, которые не выбрали
sort(used)
'''for''' i = 0 '''to''' used.size - 1
a.add('''list<int>'''(used[i])) //добавляем лексикографически минимальных хвост
'''return''' a

=== Пример работы ===

'''Рассмотрим следующее разбиение:'''

{| class="wikitable" border = 1
|1||2||3
|-
|4||5||
|}

'''1 Шаг:'''

{| class="wikitable" border = 1
|1||2||3||
|-
|4||style="background:#FFCC00"|5||||
|-
| ||^|| ||Удалили элемент 5.
|-
| || || ||Удалённые элементы
|}

'''2 Шаг:'''

{| class="wikitable" border = 1
|1||2||3||
|-
|style="background:#FFCC00"|4|| ||||
|-
|^|| || ||Удалили элемент 4. Так как он является последним в подмножестве, то мы не можем заменить его на другой.
|-
|5|| || ||Удалённые элементы
|}

'''3 Шаг:'''

{| class="wikitable" border = 1
|1||2||3||style="background:#FFCC00"|4||
|-
| || || ||^||Дополнили первое подмножество элементом 4
|-
|5|| || || ||Удалённые элементы
|}

'''4 Шаг:'''

{| class="wikitable" border = 1
|1||2||3||4||
|-
|style="background:#FFCC00"|5|| || || ||Дописали лексикографически минимальный хвост
|-
| || || || ||Удалённые элементы
|}

Получение следующего объекта

2021-01-01T17:09:12Z

Irdkwmnsb: Отмена правки 75934, сделанной Irdkwmnsb (обсуждение)

== Алгоритм ==
{{Определение|definition= '''Получение следующего объекта''' {{---}} это нахождение объекта, следующего за данным в [[Лексикографический порядок|лексикографическом порядке]].
}}
Объект <tex>Q</tex> называется следующим за <tex>P</tex>, если <tex>P < Q</tex> и не найдется такого <tex>R</tex>, что <tex>P < R < Q</tex>.

Отсюда понятен алгоритм:
* находим суффикс минимальной длины, который можно изменить без изменения префикса текущего объекта <tex>P</tex>,
* к оставшейся части дописываем минимальный возможный элемент (чтобы было выполнено правило <tex>P < Q</tex>),
* дописываем минимальный возможный хвост.
По построению получаем, что <tex>Q</tex> {{---}} минимально возможный.

== Специализация алгоритма для генерации следующего битового вектора ==
* Находим минимальный суффикс, в котором есть <tex>0</tex>, его можно увеличить, не меняя оставшейся части
* Вместо <tex>0</tex> записываем <tex>1</tex>
* Дописываем минимально возможный хвост из нулей
'''int[]''' nextVector('''int[]''' a): // <tex>n</tex> {{---}} длина вектора
'''while''' (n >= 0) '''and''' (a[n] != 0)
a[n] = 0
n--
'''if''' n == -1
'''return''' ''null''
a[n] = 1
'''return''' a
Приведённый алгоритм эквивалентен прибавлению единицы к битовому вектору.
=== Пример работы ===
{| class="wikitable" border = 1
|0||1||0||1||style="background:#FFCC00"|1||исходный битовый вектор
|-
| || || || ||^|| начинаем идти с конца
|-
|0||1||0||style="background:#FFCC00"|0||style="background:#FFCC00"|0|| пока элементы равны 1, заменяем их на 0
|-
|0||1||style="background:#FFCC00"|1||0||0|| меняем первый не удовлетворяющий условию цикла элемент на 1
|-
|'''0'''||'''1'''||'''1'''||'''0'''||'''0'''||следующий битовый вектор
|}

== Специализация алгоритма для генерации следующей перестановки ==
* Двигаясь справа налево, находим элемент, нарушающий убывающую последовательность (в обычном порядке, слева направо, см. пример)
* Меняем его с минимальным элементом, большим нашего, стоящим правее
* Перевернем правую часть

'''int[]''' nextPermutation('''int[]''' a): // <tex>n</tex> {{---}} длина перестановки
'''for''' i = n - 2 '''downto''' 0
'''if''' a[i] < a[i + 1]
min = i + 1;
'''for''' j = i + 1 '''to''' n - 1
'''if''' (a[j] < a[min]) '''and''' (a[j] > a[i])
min = j
swap(a[i], a[min])
reverse(a, i + 1, n - 1)
'''return''' a
'''return''' ''null''

=== Пример работы ===
{| class="wikitable" border = 1
|1||3||style="background:#FFCC00"|2||5||style="background:#FFCC00"|4||исходная перестановка
|-
| || ||^|| || ||находим элемент, нарушающий убывающую последовательность
|-
| || || || ||^||минимальный элемент больше нашего
|-
|1||3||style="background:#FFCC00"|4||5||style="background:#FFCC00"|2||меняем их местами
|-
|1||3||4||style="background:#FFCC00"|2||style="background:#FFCC00"|5||разворачивам правую часть
|-
|'''1'''||'''3'''||'''4'''||'''2'''||'''5'''||следующая перестановка
|}

== Специализация алгоритма для генерации следующей мультиперестановки ==
* Двигаясь справа налево, находим элемент, нарушающий убывающую последовательность (в обычном порядке, слева направо, см. пример).
* Меняем его с минимальным элементом, большим нашего, стоящим правее.
* Переворачиваем правую часть.
'''int[]''' nextMultiperm('''int[]''' b): // <tex>n</tex> {{---}} длина мультиперестановки
i = n - 2
'''while''' (i >= 0) '''and''' (b[i] >= b[i + 1])
i--
'''if''' i >= 0
j = i + 1
'''while''' (j < n - 1) '''and''' (b[j + 1] > b[i])
j++
swap(b[i] , b[j])
reverse(b, i + 1, n - 1)
'''return''' b
'''else'''
'''return''' ''null''

=== Пример работы ===
{| class="wikitable" border = 1
|1||2||3||1||style="background:#FFCC00"|2||style="background:#FFCC00"|3||Исходная перестановка.
|-
| || || || ||^|| ||Находим элемент, нарушающий убывающую последовательность.
|-
| || || || || ||^||Минимальный элемент больше нашего.
|-
|1||2||3||1||style="background:#FFCC00"|3||style="background:#FFCC00"|2||Меняем их местами.
|-
|'''1'''||'''2'''||'''3'''||'''1'''||'''3'''||'''2'''||Следующая мультиперестановка.
|}

== Специализация алгоритма для генерации следующего сочетания ==

* Добавим в конец массива с сочетанием <tex>N+1</tex> – максимальный элемент.
* Пойдём справа налево. Будем искать номер элемента, который отличается от предыдущего на <tex>2</tex> и больше.
* Увеличим найденный элемент на <tex>1</tex>, и допишем в конец минимально возможный хвост, если такого элемента нет – на вход было дано последнее сочетание.
'''int[]''' nextChoose('''int[]''' a, '''int''' n, '''int''' k): // <tex>n,k </tex> {{---}} параметры сочетания
'''for''' i = 0 '''to''' k - 1
b[i] = a[i]
b[k] = n + 1
i = k - 1
'''while''' (i >= 0) '''and''' (b[i + 1] - b[i] < 2)
i--
'''if''' i >= 0
b[i]++
'''for''' j = i + 1 '''to''' k - 1
b[j] = b[j - 1] + 1
'''for''' i = 0 '''to''' k - 1
a[i] = b[i]
'''return''' a
'''else'''
'''return''' ''null''

=== Пример работы ===
{| class="wikitable" border = 1
|1||2||5||6||style="background:#FFCC00"|'''7'''||Дописываем 7 в конец сочетания.
|-
|1||style="background:#FFCC00"|2||5||6||'''7'''||
|-
| ||^|| || || ||Находим элемент i, a[i + 1] - a[ i ] >= 2
|-
|1||style="background:#FFCC00"|3||5||6||'''7'''||Увеличиваем его на 1.
|-
|1||3||style="background:#FFCC00"|4||style="background:#FFCC00"|5||style="background:#FFCC00"|'''6'''||Дописываем минимальный хвост.
|-
|'''1'''||'''3'''||'''4'''||'''5'''||''' '''||Следующее сочетание.
|}

== Специализация алгоритма для генерации следующего разбиения на слагаемые ==
Рассматриваемый алгоритм находит следующее [[комбинаторные объекты|разбиение на слагаемые]], при этом разбиение упорядоченно по возрастанию.
* Увеличим предпоследнее слагаемое на <tex>1</tex>, уменьшим последнее слагаемое на <tex>1</tex>.
** Если предпоследнее слагаемое стало больше последнего, то увеличиваем предпоследнее слагаемое на величину последнего.
** Если предпоследнее слагаемое умноженное на 2 меньше последнего, то разбиваем последнее слагаемое <tex>s</tex> на два слагаемых <tex>a</tex> и <tex>b</tex> таких, что <tex>a</tex> равно предпоследнему слагаемому, а <tex>b = s - a</tex>. Повторяем этот процесс, пока разбиение остается корректным, то есть предпоследнее слагаемое хотя бы в два раза меньше последнего.

<code>
// <tex>b</tex> {{---}} список, содержащий разбиение данного числа <tex>b.size</tex>{{---}} его размер 
'''list<int>''' nextPartition('''list<int>''' b):
b[b.size - 1]--
b[b.size - 2]++
'''if''' b[b.size - 2] > b[b.size - 1]
b[b.size - 2] += b[b.size - 1]
b.remove(b.size - 1)
'''else'''
'''while''' b[b.size - 2] * 2 <= b[b.size - 1]
b.add(b[b.size - 1] - b[b.size - 2])
b[b.size - 2] = b[b.size - 3]
'''return''' b
</code>

=== Пример работы ===
{| class="wikitable" border = 1
|1||style="background:#FFCC00"|1||style="background:#FFCC00"|7|| || ||Прибавим 1 + 1, вычтем 7 - 1.
|-
|1||style="background:#FFCC00"|2||style="background:#FFCC00"|6|| || ||Проверяем: 2 < 6, значит разбиваем 6 пока оно не станет меньше 4
|-
|1||2||style="background:#FFCC00"|2||style="background:#FFCC00"|4|| ||
|-
|1||2||2||style="background:#FFCC00"|2||style="background:#FFCC00"|2||
|-
|'''1'''||'''2'''||'''2'''||'''2'''||'''2'''||Следующее разбиение на слагаемые числа 9.
|}

{| class="wikitable" border = 1
|1||style="background:#FFCC00"|4||style="background:#FFCC00"|5||Прибавим 4 + 1, вычтем 5 - 1.
|-
|1||style="background:#FFCC00"|5||style="background:#FFCC00"|4||Проверяем: 5 > 4, значит прибавим к 5 + 4.
|-
|1||9||style="background:#FFCC00"|4||Удалим последний элемент.
|-
|'''1'''||'''9'''||||Следующее разбиение на слагаемые числа 10.
|}

== Специализация алгоритма для генерации следующего разбиения на подмножества ==

Рассмотрим множество первых n натуральных чисел:<tex>N_n = \{1, 2, ..., n\}</tex>

Упорядочим все разбиения на множества <tex>N_n</tex> лексикографически. Для этого, во-первых, в каждом разбиении упорядочим множества лексикографически. Будем говорить, что подмножество <tex> A \subset N_n </tex> лексикографически меньше подмножества <tex> B \subset N_n </tex> , если верно одно из следующих условий:

*существует <tex>i</tex> такое, что <tex>i \in A</tex> , <tex>i \notin B</tex>, для всех <tex>j < i: j \in A</tex> если и только если <tex>j \in B</tex> , и существует <tex>k > i</tex> такое что <tex>k \in B</tex>;
* <tex> A \subset B </tex> и <tex>i < j</tex> для всех <tex>i \in A</tex> и <tex>j \in B</tex> \ <tex> A </tex>.

Разбиения упорядочены лексикографически следующим образом. Разбиение <tex>N_n = A_1 \cup A_2 \cup . . . \cup A_k</tex> лексикографически меньше разбиения <tex>N_n = B_1 \cup B_2 \cup . . . \cup B_l</tex> если существует такое <tex>i</tex>, что <tex>A_1 = B_1, A_2 = B_2, . . . ,A_{i - 1} = B_{i - 1}, A_i < B_i</tex>.

'''Рассмотрим алгоритм нахождения лексикографически следующего разбиения на подмножества:'''
*Будем хранить подмножества в списке списков, например, разбиение <tex> \{1, 2, 3\}~ \{4, 5\}</tex> будет выглядеть так:

{| class="wikitable" border = 1
|1||2||3
|-
|4||5||
|}

* Двигаясь снизу вверх и справа налево, будем удалять элементы, записывая их в отдельный массив. Будем повторять эту операцию, пока не сможем выполнить одно из действий, описанных ниже:
** Заменить рассматриваемый элемент уже удаленным. Из всех подходящих элементов выбираем минимальный. '''Важное замечание''': мы не можем заменить первый элемент подмножества, мы можем только удалить его.
** Дополнить рассматриваемое подмножество уже удаленным элементом. Из всех подходящих элементов выбираем минимальный.
* Допишем лексикографически минимальный хвост подмножеств из оставшихся элементов.

<code>
'''list<list<int>>''' nextSetPartition('''list<list<int>>''' a):
// a {{---}} список, содержащий подмножества
// used {{---}} список, в котором мы храним удаленные элементы
used = '''list<int>'''
fl = ''false''
'''for''' i = a.size - 1 '''downto''' 0
'''if''' (used.size != 0) '''and''' (used[used.size - 1] > a[i][a[i].size - 1]) // если можем добавить в конец подмножества элемент из used
a[i].add(used[used.size - 1]) //добавляем
used.remove(used.size - 1)
'''break'''
'''for''' j = a[i].size - 1 '''downto''' 0
'''if''' (used.size != 0) '''and''' (j != 0) '''and''' (used[used.size - 1] > a[i][j]) //если можем заменить элемент, другим элементом из списка used 
a[i][j] = used[used.size - 1] //заменяем
fl = ''true''
'''break'''
'''if''' fl '''break'''
used.add(a[i][j]) //добавляем в used j-й элемент i-го подмножества
a[i].remove(j) //удаляем j-й элемент i-го подмножества
//далее выведем все получившиеся подмножества
sort(used)
'''for''' i = 0 '''to''' used.size - 1
a.add('''list<int>'''(used[i])) //добавляем лексикографически минимальных хвост
'''return''' a
</code>

=== Пример работы ===

'''Рассмотрим следующее разбиение:'''

{| class="wikitable" border = 1
|1||2||3
|-
|4||5||
|}

'''1 Шаг:'''

{| class="wikitable" border = 1
|1||2||3||
|-
|4||style="background:#FFCC00"|5||||
|-
| ||^|| ||Удалили элемент 5.
|-
| || || ||used
|}

'''2 Шаг:'''

{| class="wikitable" border = 1
|1||2||3||
|-
|style="background:#FFCC00"|4|| ||||
|-
|^|| || ||Удалили элемент 4. Так как он является первым в подмножестве, то мы не можем заменить его на другой.
|-
|5|| || ||used
|}

'''3 Шаг:'''

{| class="wikitable" border = 1
|1||2||3||style="background:#FFCC00"|4||
|-
| || || ||^||Дополнили первое подмножество элементом 4
|-
|5|| || || ||used
|}

'''4 Шаг:'''

{| class="wikitable" border = 1
|1||2||3||4||
|-
|style="background:#FFCC00"|5|| || || ||Дописали лексикографически минимальный хвост
|-
| || || || ||used
|}

== См.также ==
* [[Получение предыдущего объекта]]
* [[Получение объекта по номеру]]
* [[Получение номера по объекту]]

== Источники информации ==

* [http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/combinations/permutations-2000 Визуализатор перестановок]
* [http://cppalgo.blogspot.com/2011/02/episode-2.html Пример компактного кода для перестановок (С++)]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Комбинаторика]]

Участник:Irdkwmnsb

2021-01-01T17:08:48Z

Irdkwmnsb: submit

== Специализация алгоритма для генерации следующего разбиения на подмножества ==

Рассмотрим множество первых n натуральных чисел:<tex>N_n = \{1, 2, ..., n\}</tex>

Упорядочим все разбиения на множества <tex>N_n</tex> лексикографически. Для этого, во-первых, в каждом разбиении упорядочим множества лексикографически. Будем говорить, что подмножество <tex> A \subset N_n </tex> лексикографически меньше подмножества <tex> B \subset N_n </tex> , если верно одно из следующих условий:

*существует <tex>i</tex> такое, что <tex>i \in A</tex> , <tex>i \notin B</tex>, для всех <tex>j < i: j \in A</tex> если и только если <tex>j \in B</tex> , и существует <tex>k > i</tex> такое что <tex>k \in B</tex>;
* <tex> A \subset B </tex> и <tex>i < j</tex> для всех <tex>i \in A</tex> и <tex>j \in B</tex> \ <tex> A </tex>.

Разбиения упорядочены лексикографически следующим образом. Разбиение <tex>N_n = A_1 \cup A_2 \cup . . . \cup A_k</tex> лексикографически меньше разбиения <tex>N_n = B_1 \cup B_2 \cup . . . \cup B_l</tex> если существует такое <tex>i</tex>, что <tex>A_1 = B_1, A_2 = B_2, . . . ,A_{i - 1} = B_{i - 1}, A_i < B_i</tex>.

'''Рассмотрим алгоритм нахождения лексикографически следующего разбиения на подмножества:'''
*Будем хранить подмножества в списке списков, например, разбиение <tex> \{1, 2, 3\}~ \{4, 5\}</tex> будет выглядеть так:

{| class="wikitable" border = 1
|1||2||3
|-
|4||5||
|}

* Будем поддерживать массив "удалённых" элементов {{---}} элементы которые затем нужно будет вернуть в разбиение.

* Двигаясь снизу вверх будем рассматривать подмножества.
** Если мы можем дописать в текущее подмножество минимальный элемент из удалённых, то мы нашли следующее разбиение и идти дальше вверх не нужно.
** Если дописать не можем, значит, либо нужно укоротить и заменить какой то элемент в текущем подмножестве, либо перейти к следующему подмножеству. Будем идти справа налево и рассамтривать элементы:
*** Если мы можем заменить текущий элемент минимальным удалённым {{---}} мы нашли следующее разбиение, завершаем оба прохода. Стоит отметить, что нельзя перезаписывать последний элемент в подмножестве, иначе мы не сможем дописать минимальный хвост после этого подмножества {{---}} в удалённых будет элемент меньше текущего и мы не сможем дописать правильный хвост.
*** Если заменить не можем, то его нужно удалить.
* Допишем лексикографически минимальный хвост подмножеств из оставшихся удалённых элементов.

'''list<list<int>>''' nextSetPartition('''list<list<int>>''' a):
used = '''list<int>'''
// a {{---}} список, содержащий подмножества
// used {{---}} список, в котором мы храним удаленные элементы
fl = ''false''
'''for''' i = a.size - 1 '''downto''' 0
'''if''' (used.size != 0) '''and''' (max(used) > a[i][-1]) // в удалённых есть хотя бы один элемент, который мы можем добавить в конец.
m = '''минимум из''' used '''строго больше''' a[i][-1]
a[i].add(m) //добавляем
used.remove(m)
'''break'''
'''for''' j = a[i].size - 1 '''downto''' 0
'''if''' (used.size != 0) '''and''' (j != 0) '''and''' (max(used) > a[i][j]) //если можем заменить элемент, другим элементом из списка used и он не последний
m = '''минимум из''' used '''строго больше''' a[i][-1]
a[i][j] = m //заменяем
used.remove(m)
fl = ''true''
'''break'''
'''else'''
used.add(a[i][-1])
a[i].pop()
'''if''' a[i].size == 0
a.pop()
'''if''' fl
'''break'''
//далее выведем все удалённые, которые не выбрали
sort(used)
'''for''' i = 0 '''to''' used.size - 1
a.add('''list<int>'''(used[i])) //добавляем лексикографически минимальных хвост
'''return''' a

=== Пример работы ===

'''Рассмотрим следующее разбиение:'''

{| class="wikitable" border = 1
|1||2||3
|-
|4||5||
|}

'''1 Шаг:'''

{| class="wikitable" border = 1
|1||2||3||
|-
|4||style="background:#FFCC00"|5||||
|-
| ||^|| ||Удалили элемент 5.
|-
| || || ||used
|}

'''2 Шаг:'''

{| class="wikitable" border = 1
|1||2||3||
|-
|style="background:#FFCC00"|4|| ||||
|-
|^|| || ||Удалили элемент 4. Так как он является последним в подмножестве, то мы не можем заменить его на другой.
|-
|5|| || ||used
|}

'''3 Шаг:'''

{| class="wikitable" border = 1
|1||2||3||style="background:#FFCC00"|4||
|-
| || || ||^||Дополнили первое подмножество элементом 4
|-
|5|| || || ||used
|}

'''4 Шаг:'''

{| class="wikitable" border = 1
|1||2||3||4||
|-
|style="background:#FFCC00"|5|| || || ||Дописали лексикографически минимальный хвост
|-
| || || || ||used
|}

Получение следующего объекта

2021-01-01T17:07:43Z

Irdkwmnsb: /* Специализация алгоритма для генерации следующего разбиения на подмножества */

== Алгоритм ==
{{Определение|definition= '''Получение следующего объекта''' {{---}} это нахождение объекта, следующего за данным в [[Лексикографический порядок|лексикографическом порядке]].
}}
Объект <tex>Q</tex> называется следующим за <tex>P</tex>, если <tex>P < Q</tex> и не найдется такого <tex>R</tex>, что <tex>P < R < Q</tex>.

Отсюда понятен алгоритм:
* находим суффикс минимальной длины, который можно изменить без изменения префикса текущего объекта <tex>P</tex>,
* к оставшейся части дописываем минимальный возможный элемент (чтобы было выполнено правило <tex>P < Q</tex>),
* дописываем минимальный возможный хвост.
По построению получаем, что <tex>Q</tex> {{---}} минимально возможный.

== Специализация алгоритма для генерации следующего битового вектора ==
* Находим минимальный суффикс, в котором есть <tex>0</tex>, его можно увеличить, не меняя оставшейся части
* Вместо <tex>0</tex> записываем <tex>1</tex>
* Дописываем минимально возможный хвост из нулей
'''int[]''' nextVector('''int[]''' a): // <tex>n</tex> {{---}} длина вектора
'''while''' (n >= 0) '''and''' (a[n] != 0)
a[n] = 0
n--
'''if''' n == -1
'''return''' ''null''
a[n] = 1
'''return''' a
Приведённый алгоритм эквивалентен прибавлению единицы к битовому вектору.
=== Пример работы ===
{| class="wikitable" border = 1
|0||1||0||1||style="background:#FFCC00"|1||исходный битовый вектор
|-
| || || || ||^|| начинаем идти с конца
|-
|0||1||0||style="background:#FFCC00"|0||style="background:#FFCC00"|0|| пока элементы равны 1, заменяем их на 0
|-
|0||1||style="background:#FFCC00"|1||0||0|| меняем первый не удовлетворяющий условию цикла элемент на 1
|-
|'''0'''||'''1'''||'''1'''||'''0'''||'''0'''||следующий битовый вектор
|}

== Специализация алгоритма для генерации следующей перестановки ==
* Двигаясь справа налево, находим элемент, нарушающий убывающую последовательность (в обычном порядке, слева направо, см. пример)
* Меняем его с минимальным элементом, большим нашего, стоящим правее
* Перевернем правую часть

'''int[]''' nextPermutation('''int[]''' a): // <tex>n</tex> {{---}} длина перестановки
'''for''' i = n - 2 '''downto''' 0
'''if''' a[i] < a[i + 1]
min = i + 1;
'''for''' j = i + 1 '''to''' n - 1
'''if''' (a[j] < a[min]) '''and''' (a[j] > a[i])
min = j
swap(a[i], a[min])
reverse(a, i + 1, n - 1)
'''return''' a
'''return''' ''null''

=== Пример работы ===
{| class="wikitable" border = 1
|1||3||style="background:#FFCC00"|2||5||style="background:#FFCC00"|4||исходная перестановка
|-
| || ||^|| || ||находим элемент, нарушающий убывающую последовательность
|-
| || || || ||^||минимальный элемент больше нашего
|-
|1||3||style="background:#FFCC00"|4||5||style="background:#FFCC00"|2||меняем их местами
|-
|1||3||4||style="background:#FFCC00"|2||style="background:#FFCC00"|5||разворачивам правую часть
|-
|'''1'''||'''3'''||'''4'''||'''2'''||'''5'''||следующая перестановка
|}

== Специализация алгоритма для генерации следующей мультиперестановки ==
* Двигаясь справа налево, находим элемент, нарушающий убывающую последовательность (в обычном порядке, слева направо, см. пример).
* Меняем его с минимальным элементом, большим нашего, стоящим правее.
* Переворачиваем правую часть.
'''int[]''' nextMultiperm('''int[]''' b): // <tex>n</tex> {{---}} длина мультиперестановки
i = n - 2
'''while''' (i >= 0) '''and''' (b[i] >= b[i + 1])
i--
'''if''' i >= 0
j = i + 1
'''while''' (j < n - 1) '''and''' (b[j + 1] > b[i])
j++
swap(b[i] , b[j])
reverse(b, i + 1, n - 1)
'''return''' b
'''else'''
'''return''' ''null''

=== Пример работы ===
{| class="wikitable" border = 1
|1||2||3||1||style="background:#FFCC00"|2||style="background:#FFCC00"|3||Исходная перестановка.
|-
| || || || ||^|| ||Находим элемент, нарушающий убывающую последовательность.
|-
| || || || || ||^||Минимальный элемент больше нашего.
|-
|1||2||3||1||style="background:#FFCC00"|3||style="background:#FFCC00"|2||Меняем их местами.
|-
|'''1'''||'''2'''||'''3'''||'''1'''||'''3'''||'''2'''||Следующая мультиперестановка.
|}

== Специализация алгоритма для генерации следующего сочетания ==

* Добавим в конец массива с сочетанием <tex>N+1</tex> – максимальный элемент.
* Пойдём справа налево. Будем искать номер элемента, который отличается от предыдущего на <tex>2</tex> и больше.
* Увеличим найденный элемент на <tex>1</tex>, и допишем в конец минимально возможный хвост, если такого элемента нет – на вход было дано последнее сочетание.
'''int[]''' nextChoose('''int[]''' a, '''int''' n, '''int''' k): // <tex>n,k </tex> {{---}} параметры сочетания
'''for''' i = 0 '''to''' k - 1
b[i] = a[i]
b[k] = n + 1
i = k - 1
'''while''' (i >= 0) '''and''' (b[i + 1] - b[i] < 2)
i--
'''if''' i >= 0
b[i]++
'''for''' j = i + 1 '''to''' k - 1
b[j] = b[j - 1] + 1
'''for''' i = 0 '''to''' k - 1
a[i] = b[i]
'''return''' a
'''else'''
'''return''' ''null''

=== Пример работы ===
{| class="wikitable" border = 1
|1||2||5||6||style="background:#FFCC00"|'''7'''||Дописываем 7 в конец сочетания.
|-
|1||style="background:#FFCC00"|2||5||6||'''7'''||
|-
| ||^|| || || ||Находим элемент i, a[i + 1] - a[ i ] >= 2
|-
|1||style="background:#FFCC00"|3||5||6||'''7'''||Увеличиваем его на 1.
|-
|1||3||style="background:#FFCC00"|4||style="background:#FFCC00"|5||style="background:#FFCC00"|'''6'''||Дописываем минимальный хвост.
|-
|'''1'''||'''3'''||'''4'''||'''5'''||''' '''||Следующее сочетание.
|}

== Специализация алгоритма для генерации следующего разбиения на слагаемые ==
Рассматриваемый алгоритм находит следующее [[комбинаторные объекты|разбиение на слагаемые]], при этом разбиение упорядоченно по возрастанию.
* Увеличим предпоследнее слагаемое на <tex>1</tex>, уменьшим последнее слагаемое на <tex>1</tex>.
** Если предпоследнее слагаемое стало больше последнего, то увеличиваем предпоследнее слагаемое на величину последнего.
** Если предпоследнее слагаемое умноженное на 2 меньше последнего, то разбиваем последнее слагаемое <tex>s</tex> на два слагаемых <tex>a</tex> и <tex>b</tex> таких, что <tex>a</tex> равно предпоследнему слагаемому, а <tex>b = s - a</tex>. Повторяем этот процесс, пока разбиение остается корректным, то есть предпоследнее слагаемое хотя бы в два раза меньше последнего.

<code>
// <tex>b</tex> {{---}} список, содержащий разбиение данного числа <tex>b.size</tex>{{---}} его размер 
'''list<int>''' nextPartition('''list<int>''' b):
b[b.size - 1]--
b[b.size - 2]++
'''if''' b[b.size - 2] > b[b.size - 1]
b[b.size - 2] += b[b.size - 1]
b.remove(b.size - 1)
'''else'''
'''while''' b[b.size - 2] * 2 <= b[b.size - 1]
b.add(b[b.size - 1] - b[b.size - 2])
b[b.size - 2] = b[b.size - 3]
'''return''' b
</code>

=== Пример работы ===
{| class="wikitable" border = 1
|1||style="background:#FFCC00"|1||style="background:#FFCC00"|7|| || ||Прибавим 1 + 1, вычтем 7 - 1.
|-
|1||style="background:#FFCC00"|2||style="background:#FFCC00"|6|| || ||Проверяем: 2 < 6, значит разбиваем 6 пока оно не станет меньше 4
|-
|1||2||style="background:#FFCC00"|2||style="background:#FFCC00"|4|| ||
|-
|1||2||2||style="background:#FFCC00"|2||style="background:#FFCC00"|2||
|-
|'''1'''||'''2'''||'''2'''||'''2'''||'''2'''||Следующее разбиение на слагаемые числа 9.
|}

{| class="wikitable" border = 1
|1||style="background:#FFCC00"|4||style="background:#FFCC00"|5||Прибавим 4 + 1, вычтем 5 - 1.
|-
|1||style="background:#FFCC00"|5||style="background:#FFCC00"|4||Проверяем: 5 > 4, значит прибавим к 5 + 4.
|-
|1||9||style="background:#FFCC00"|4||Удалим последний элемент.
|-
|'''1'''||'''9'''||||Следующее разбиение на слагаемые числа 10.
|}

== Специализация алгоритма для генерации следующего разбиения на подмножества ==

Рассмотрим множество первых n натуральных чисел:<tex>N_n = \{1, 2, ..., n\}</tex>

Упорядочим все разбиения на множества <tex>N_n</tex> лексикографически. Для этого, во-первых, в каждом разбиении упорядочим множества лексикографически. Будем говорить, что подмножество <tex> A \subset N_n </tex> лексикографически меньше подмножества <tex> B \subset N_n </tex> , если верно одно из следующих условий:

*существует <tex>i</tex> такое, что <tex>i \in A</tex> , <tex>i \notin B</tex>, для всех <tex>j < i: j \in A</tex> если и только если <tex>j \in B</tex> , и существует <tex>k > i</tex> такое что <tex>k \in B</tex>;
* <tex> A \subset B </tex> и <tex>i < j</tex> для всех <tex>i \in A</tex> и <tex>j \in B</tex> \ <tex> A </tex>.

Разбиения упорядочены лексикографически следующим образом. Разбиение <tex>N_n = A_1 \cup A_2 \cup . . . \cup A_k</tex> лексикографически меньше разбиения <tex>N_n = B_1 \cup B_2 \cup . . . \cup B_l</tex> если существует такое <tex>i</tex>, что <tex>A_1 = B_1, A_2 = B_2, . . . ,A_{i - 1} = B_{i - 1}, A_i < B_i</tex>.

'''Рассмотрим алгоритм нахождения лексикографически следующего разбиения на подмножества:'''
*Будем хранить подмножества в списке списков, например, разбиение <tex> \{1, 2, 3\}~ \{4, 5\}</tex> будет выглядеть так:

{| class="wikitable" border = 1
|1||2||3
|-
|4||5||
|}

* Будем поддерживать массив "удалённых" элементов {{---}} элементы которые затем нужно будет вернуть в разбиение.

* Двигаясь снизу вверх будем рассматривать подмножества.
** Если мы можем дописать в текущее подмножество минимальный элемент из удалённых, то мы нашли следующее разбиение и идти дальше вверх не нужно.
** Если дописать не можем, значит, либо нужно укоротить и заменить какой то элемент в текущем подмножестве, либо перейти к следующему подмножеству. Будем идти справа налево и рассамтривать элементы:
*** Если мы можем заменить текущий элемент минимальным удалённым {{---}} мы нашли следующее разбиение, завершаем оба прохода. Стоит отметить, что нельзя перезаписывать последний элемент в подмножестве, иначе мы не сможем дописать минимальный хвост после этого подмножества {{---}} в удалённых будет элемент меньше текущего и мы не сможем дописать правильный хвост.
*** Если заменить не можем, то его нужно удалить.
* Допишем лексикографически минимальный хвост подмножеств из оставшихся удалённых элементов.

'''list<list<int>>''' nextSetPartition('''list<list<int>>''' a):
used = '''list<int>'''
// a {{---}} список, содержащий подмножества
// used {{---}} список, в котором мы храним удаленные элементы
fl = ''false''
'''for''' i = a.size - 1 '''downto''' 0
'''if''' (used.size != 0) '''and''' (max(used) > a[i][-1]) // в удалённых есть хотя бы один элемент, который мы можем добавить в конец.
m = '''минимум из''' used '''строго больше''' a[i][-1]
a[i].add(m) //добавляем
used.remove(m)
'''break'''
'''for''' j = a[i].size - 1 '''downto''' 0
'''if''' (used.size != 0) '''and''' (j != 0) '''and''' (max(used) > a[i][j]) //если можем заменить элемент, другим элементом из списка used и он не последний
m = '''минимум из''' used '''строго больше''' a[i][-1]
a[i][j] = m //заменяем
used.remove(m)
fl = ''true''
'''break'''
'''else'''
used.add(a[i][-1])
a[i].pop()
'''if''' a[i].size == 0
a.pop()
'''if''' fl
'''break'''
//далее выведем все удалённые, которые не выбрали
sort(used)
'''for''' i = 0 '''to''' used.size - 1
a.add('''list<int>'''(used[i])) //добавляем лексикографически минимальных хвост
'''return''' a

=== Пример работы ===

'''Рассмотрим следующее разбиение:'''

{| class="wikitable" border = 1
|1||2||3
|-
|4||5||
|}

'''1 Шаг:'''

{| class="wikitable" border = 1
|1||2||3||
|-
|4||style="background:#FFCC00"|5||||
|-
| ||^|| ||Удалили элемент 5.
|-
| || || ||used
|}

'''2 Шаг:'''

{| class="wikitable" border = 1
|1||2||3||
|-
|style="background:#FFCC00"|4|| ||||
|-
|^|| || ||Удалили элемент 4. Так как он является последним в подмножестве, то мы не можем заменить его на другой.
|-
|5|| || ||used
|}

'''3 Шаг:'''

{| class="wikitable" border = 1
|1||2||3||style="background:#FFCC00"|4||
|-
| || || ||^||Дополнили первое подмножество элементом 4
|-
|5|| || || ||used
|}

'''4 Шаг:'''

{| class="wikitable" border = 1
|1||2||3||4||
|-
|style="background:#FFCC00"|5|| || || ||Дописали лексикографически минимальный хвост
|-
| || || || ||used
|}

== См.также ==
* [[Получение предыдущего объекта]]
* [[Получение объекта по номеру]]
* [[Получение номера по объекту]]

== Источники информации ==

* [http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/combinations/permutations-2000 Визуализатор перестановок]
* [http://cppalgo.blogspot.com/2011/02/episode-2.html Пример компактного кода для перестановок (С++)]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Комбинаторика]]