== Неравенство Маркова ==

{{Определение
|definition = Нера́венство Ма́ркова в теории вероятностей дает оценку вероятности, что случайная величина превзойдет по модулю фиксированную положительную константу, в терминах её математического ожидания. Получаемая оценка обычно груба, однако она позволяет получить определённое представление о распределении, когда последнее не известно
явным образом.
}}
== Формулировка ==

Пусть случайная величина <tex>X: \Omega \rightarrow \mathbb R\mathrm+</tex> определена на вероятностном пространстве (<tex>\Omega</tex>, <tex>F</tex>, <tex>\mathbb R</tex>), и ее математическое ожидание <tex> \mathbb E\mathrm |\xi|<\mathcal {1}</tex>. Тогда
<tex>\forall ~x > 0~~ \mathbb P\mathrm(|\xi| \geqslant x)\leqslant \frac {\mathbb E\mathrm |\xi|}{x} </tex>

== Доказательство ==

Возьмем для доказательства следующее понятие:

Пусть <math> A</math> - некоторое событие. Назовем индикатором события <math>A</math> случайную величину <math>I</math>, равную единице если событие <math>A</math> произошло, и нулю в противном случае. По определению величина <math>I(A)</math> имеет распределение Бернулли с параметром
<math> p = \mathbb P\mathrm (I(A) = 1) = \mathbb P\mathrm (A)</math>,
и ее математическое ожидание равно вероятности успеха
<math> p = \mathbb P\mathrm (A) </math>.
Индикаторы прямого и противоположного событий связаны равенством <math>I(A) + I(\overline A) = 1</math>. Поэтому
<math>|\xi|=|\xi|*I(|\xi|<x)+|\xi|*I(|\xi|\ge x)\ge |\xi|*I(|\xi|\ge x)\ge x*I(|\xi| \ge x)</math>.
Тогда
<math>\mathbb E\mathrm |\xi|\ge \mathbb E\mathrm(x*I(|\xi|\ge x)) = x*\mathbb P\mathrm (|\xi|\ge x)</math>.
Разделим обе части на <math>x</math>:
<math> \mathbb P\mathrm(|\xi| \ge x)\le \frac {\mathbb E\mathrm |\xi|}{x} </math>

== Примеры ==

Ученики в среднем опаздывают на 3 минуты. Какова вероятность того, что ученик опоздает на 15 минут и более? Дать грубую оценку сверху.
<math>\mathbb P\mathrm (|\xi|\ge 15)\le 3/15 = 0.2</math>

== Неравенство Чебышева ==

{{Определение
|definition = Неравенство Чебышева является следствием Неравенства Маркова и утверждает, что случайная величина в основном принимает значения, близкие к значению математического
ожидания. Говоря более точно, оно дает оценку вероятности, что случайная величина примет значение, далекое от своего среднего.
}}
== Формулировка ==

Если <math>\mathbb E\mathrm \xi^2<\mathcal 1</math>, то <math>\forall x > 0</math> будет выполнено

<math>\mathbb P\mathrm (|\xi - \mathbb E\mathrm \xi| \ge x) \le \frac {\mathbb D\mathrm \xi}{x^2}</math>

== Доказательство ==

Для <math>x>0</math> неравенство <math>|\xi-\mathbb E\mathrm \xi| \ge x</math> равносильно неравенству <math>(\xi-\mathbb E\mathrm \xi)^2 \ge x^2</math>, поэтому
<math>\mathbb P\mathrm (|\xi-\mathbb E\mathrm \xi| \ge x) = \mathbb P\mathrm((\xi-\mathbb E\mathrm \xi)^2 \ge x^2 ) \le \frac {\mathbb E\mathrm(\xi-\mathbb E\mathrm\xi)^2}{x^2} = \frac {\mathbb D\mathrm \xi}{x^2}</math>

== Следствие ==

Как следствие получим так называемое "правило трех сигм",которое означает, что вероятность случайной величины отличаться от своего математического ожидания более чем на три корня из дисперсии мала.

Рассмотрим такое утверждение:
Если <math>\mathbb E\mathrm \xi^2 < \mathcal {1}</math>, то
<math>\mathbb P\mathrm (|\xi-\mathbb E\mathrm \xi| \le 3\sqrt{\mathbb D\mathrm \xi})\ge \frac {8}{9}</math>.

Доказательство:
Согласно неравенству Чебышева
<math>\mathbb P\mathrm (|\xi-\mathbb E\mathrm \xi|\ge 3\sqrt{\mathbb D\mathrm \xi})\le \frac {\mathbb D\mathrm \xi}{(3\sqrt{\mathbb D\mathrm \xi})^2} = \frac {1} {9}</math>
Отсюда заметим, что вероятность отклониться значению случайной величины от значения математического ожидания меньше чем <math>\frac {1}{9}</math>