http://neerc.ifmo.ru/wiki/api.php?action=feedcontributions&feedformat=atom&user=MartoonВикиконспекты - Вклад участника [ru]2026-06-11T17:18:24ZВклад участникаMediaWiki 1.30.0http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9C%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D0%B0_%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F&diff=52178Матрица преобразования2016-02-19T14:10:29Z<p>Martoon: /* Композиция преобразований */</p>
<hr />
<div>Будем рассматривать двумерный случай.<br />
<br />
Матрица преобразования - это некоторая матрица <tex> 3 \times 3 </tex>. Мы будем рассматривать матрицы вида <br />
<tex> \left(\begin{array}{ccc}<br />
a & b & t_x\\<br />
c & d & t_y\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) </tex><br />
<br />
Допустим есть какое-то преобразование <tex> F </tex>, и <tex> F(P) = P' </tex> (к точке <tex> P </tex> применили преобразование <tex> F </tex> и получили точку <tex> P' </tex>).<br />
<br />
Тогда матрица преобразования <tex> F </tex>, умноженная на однородные координаты <tex> P </tex>, даёт однородные координаты <tex> P' </tex>.<br />
<br />
В каком-то смысле, любое линейное преобразование одновременно является матрицей, так же как точка {{---}} это набор координат.<br />
<br />
<br />
Посмотрим как меняются координаты при преобразовании.<br />
<br />
<tex> F \left(\begin{array}{c}<br />
x\\<br />
y\\<br />
1<br />
\end{array}\right) = <br />
</tex><br />
<tex> \left(\begin{array}{ccc}<br />
a & b & t_x\\<br />
c & d & t_y\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) \cdot <br />
</tex><br />
<tex> \left(\begin{array}{c}<br />
x\\<br />
y\\<br />
1<br />
\end{array}\right) = <br />
</tex><br />
<tex> \left(\begin{array}{c}<br />
a x + b y + t_x\\<br />
c x + d y + t_y\\<br />
1<br />
\end{array}\right) <br />
</tex>. <br />
<br />
То есть новые координаты как-то линейно зависят от старых.<br />
<br />
Рассмотрим частные случаи преобразований.<br />
<br />
<br />
<br />
= Базовые преобразования = <br />
<br />
=== Параллельный перенос ===<br />
Задаёт преобразование <tex> x \rightarrow x + t_x ,\ y \rightarrow y + t_y </tex>.<br />
<br />
Обозначается <tex> T_{\overrightarrow v} </tex>, где <tex> \overrightarrow v = (t_x, t_y) </tex> {{---}} вектор параллельного переноса.<br />
<br />
<tex> T_{(t_x, t_y)} = \left(\begin{array}{ccc}<br />
1 & 0 & t_x\\<br />
0 & 1 & t_y\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) </tex><br />
<br />
'''Пример'''<br />
Задача: Найдите новые координаты точки <tex> (6, 9) </tex> после параллельного переноса плоскости на вектор <tex> \overrightarrow v = (1, 2) </tex>.<br />
<br />
Решение: <tex> T_{(a, b)} (\left(\begin{array}{c} <br />
6\\ <br />
9\\ <br />
1<br />
\end{array}\right)) =<br />
</tex><br />
<tex><br />
\left(\begin{array}{ccc}<br />
1 & 0 & 1\\<br />
0 & 1 & 2\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) \cdot<br />
</tex><br />
<tex><br />
\left(\begin{array}{c} <br />
6\\ <br />
9\\ <br />
1<br />
\end{array}\right) =<br />
</tex><br />
<tex><br />
\left(\begin{array}{c} <br />
6 + 1\\ <br />
9 + 2\\ <br />
1<br />
\end{array}\right) =<br />
</tex><br />
<tex><br />
\left(\begin{array}{c} <br />
7\\ <br />
11\\ <br />
1<br />
\end{array}\right) <br />
</tex><br />
<br />
Вполне ожидаемый ответ.<br />
<br />
<br />
=== Масштабирование вдоль осей ===<br />
<br />
Задаёт преобразование <tex> x \rightarrow s_x x ,\ y \rightarrow s_y y </tex>.<br />
<br />
Будем обозначать как <tex> S_{s_x, s_y} </tex>. Числа <tex> s_x </tex> и <tex> s_y </tex> называются коэффициентами масштабирования.<br />
<br />
<tex> S_{s_x, s_y} = \left(\begin{array}{ccc}<br />
s_x & 0 & 0\\<br />
0 & s_y & 0\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) </tex><br />
<br />
'''Пример'''<br />
<br />
Задача: Найдите новые координаты точки <tex> (3, 5) </tex> после масштабирования по оси <tex> O_x </tex> с коэффициентом 2 (по оси <tex> O_y </tex> масштаб остаётся таким же).<br />
<br />
Решение: <tex> S_{2, 1} (\left(\begin{array}{c} <br />
3\\ <br />
5\\ <br />
1<br />
\end{array}\right)) =<br />
</tex><br />
<tex><br />
\left(\begin{array}{ccc}<br />
2 & 0 & 0\\<br />
0 & 1 & 0\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) \cdot<br />
</tex><br />
<tex><br />
\left(\begin{array}{c} <br />
3\\ <br />
5\\ <br />
1<br />
\end{array}\right) =<br />
</tex><br />
<tex><br />
\left(\begin{array}{c} <br />
2 \cdot 3\\ <br />
1 \cdot 5\\ <br />
1<br />
\end{array}\right) =<br />
</tex><br />
<tex><br />
\left(\begin{array}{c} <br />
6\\ <br />
5\\ <br />
1<br />
\end{array}\right) <br />
</tex><br />
<br />
<br />
=== Поворот относительно начала координат ===<br />
<br />
Обозначается <tex> R^\alpha </tex>, где <tex> \alpha </tex> {{---}} угол поворота. <br />
Как обычно, <tex> \alpha > 0 </tex> при повороте против часовой стрелки, и <tex> \alpha < 0 </tex> при повороте по часовой стрелке.<br />
<br />
<tex> R^\alpha = \left(\begin{array}{ccc}<br />
\cos \alpha & - \sin \alpha & 0\\<br />
\sin \alpha & \cos \alpha & 0\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) </tex><br />
<br />
'''Пример'''<br />
Задача: Найдите новые координаты точки <tex> (5, 1) </tex> после поворота плоскости на <tex> 90 </tex> °.<br />
<br />
Решение: <tex> R^{90} = \left(\begin{array}{ccc}<br />
0 & -1 & 0\\<br />
1 & 0 & 0\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) <br />
</tex><br />
<br />
<tex> R^{90} (\left(\begin{array}{cc}<br />
5\\<br />
1\\<br />
1<br />
\end{array}\right)) =<br />
</tex><br />
<tex>\left(\begin{array}{ccc}<br />
0 & -1 & 0\\<br />
1 & 0 & 0\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) \cdot<br />
</tex><br />
<tex> \left(\begin{array}{cc}<br />
5\\<br />
1\\<br />
1<br />
\end{array}\right) =<br />
</tex><br />
<tex> \left(\begin{array}{cc}<br />
-1\\<br />
5\\<br />
1<br />
\end{array}\right)<br />
</tex><br />
<br />
<br />
'''Замечание'''<br />
<br />
<tex> R^{180} = \left(\begin{array}{ccc}<br />
-1 & 0 & 0\\<br />
0 & -1 & 0\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) </tex>, то есть центральная симметрия относительно начала координат меняет координаты точки на противоположные.<br />
<br />
<br />
=== Тождественное преобразование ===<br />
<br />
Это преобразование, оставляющее все точки неподвижными. <br />
<br />
Его матрица: <tex> I = \left(\begin{array}{ccc}<br />
1 & 0 & 0\\<br />
0 & 1 & 0\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) <br />
</tex><br />
<br />
= Композиция преобразований =<br />
<br />
<tex> (g \circ f) x = g (f (x)) </tex><br />
<br />
<br />
Задача: к точке <tex> (3, 5) </tex> применили осевую симметрию относительно <tex> O_x </tex>, и затем применили параллельный перенос на <tex> \overrightarrow{(2, 1)} </tex>. Какие новые координаты у точки?<br />
<br />
Решение: обозначим нашу точку за <tex> P </tex>, новую точку за <tex> P' </tex><br />
<br />
Посчитаем двумя способами.<br />
<br />
1) <tex> P' = S_{1, -1}(T_{\overrightarrow{(3, 2)}}(P)) = <br />
\left(\begin{array}{ccc}<br />
1 & 0 & 2\\<br />
0 & 1 & 1\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) \cdot </tex><br />
<tex> (\left(\begin{array}{ccc}<br />
1 & 0 & 0\\<br />
0 & -1 & 0\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) \cdot </tex><br />
<tex> \left(\begin{array}{c}<br />
3\\<br />
5\\<br />
1<br />
\end{array}\right)) = </tex><br />
<tex> \left(\begin{array}{ccc}<br />
1 & 0 & 2\\<br />
0 & 1 & 1\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) \cdot </tex><br />
<tex> \left(\begin{array}{c}<br />
3\\<br />
-5\\<br />
1<br />
\end{array}\right) = </tex><br />
<tex> \left(\begin{array}{c}<br />
5\\<br />
-4\\<br />
1<br />
\end{array}\right) </tex><br />
<br />
<br />
<br />
2) Воспользуемся ассоциативностью умножения матриц (сочетательный закон)<br />
<br />
<tex> P' = S_{1, -1}(T_{\overrightarrow{(3, 2)}}(P)) = <br />
\left(\begin{array}{ccc}<br />
1 & 0 & 2\\<br />
0 & 1 & 1\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) \cdot </tex><br />
<tex> (\left(\begin{array}{ccc}<br />
1 & 0 & 0\\<br />
0 & -1 & 0\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) \cdot </tex><br />
<tex> \left(\begin{array}{c}<br />
3\\<br />
5\\<br />
1<br />
\end{array}\right)) = </tex><br />
<tex> (\left(\begin{array}{ccc}<br />
1 & 0 & 2\\<br />
0 & 1 & 1\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) \cdot </tex><br />
<tex> \left(\begin{array}{ccc}<br />
1 & 0 & 0\\<br />
0 & -1 & 0\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right)) \cdot </tex><br />
<tex> \left(\begin{array}{c}<br />
3\\<br />
5\\<br />
1<br />
\end{array}\right) = </tex><br />
<tex> \left(\begin{array}{ccc}<br />
1 & 0 & 2\\<br />
0 & -1 & 1\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) \cdot </tex><br />
<tex> \left(\begin{array}{c}<br />
3\\<br />
5\\<br />
1<br />
\end{array}\right) = </tex><br />
<tex> \left(\begin{array}{c}<br />
5\\<br />
-4\\<br />
1<br />
\end{array}\right) </tex><br />
<br />
Заметим, что <tex> \left(\begin{array}{ccc}<br />
1 & 0 & 2\\<br />
0 & -1 & 1\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) </tex> {{---}} тоже какая-то матрица преобразования, в данном случае "осевая симметрия относительно <tex> O_x </tex>, с последующим параллельным переносом на <tex> \overrightarrow{(2, 1)} </tex>"<br />
<br />
Действительно, <tex> P' = S_{1, -1}(T_{\overrightarrow{(2, 1)}}(P)) = (S_{1, -1} \circ T_{\overrightarrow{(2, 1)}}) P </tex><br />
<br />
Тогда матрица для <tex> (S_{1, -1} \circ T_{\overrightarrow{(2, 1)}}) </tex> будет <tex> \left(\begin{array}{ccc}<br />
1 & 0 & 2\\<br />
0 & -1 & 1\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) </tex>.<br />
<br />
Получается, при композиции преобразований их матрицы перемножаются.</div>Martoonhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9C%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D0%B0_%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F&diff=52177Матрица преобразования2016-02-19T13:58:52Z<p>Martoon: /* Композиция преобразований */</p>
<hr />
<div>Будем рассматривать двумерный случай.<br />
<br />
Матрица преобразования - это некоторая матрица <tex> 3 \times 3 </tex>. Мы будем рассматривать матрицы вида <br />
<tex> \left(\begin{array}{ccc}<br />
a & b & t_x\\<br />
c & d & t_y\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) </tex><br />
<br />
Допустим есть какое-то преобразование <tex> F </tex>, и <tex> F(P) = P' </tex> (к точке <tex> P </tex> применили преобразование <tex> F </tex> и получили точку <tex> P' </tex>).<br />
<br />
Тогда матрица преобразования <tex> F </tex>, умноженная на однородные координаты <tex> P </tex>, даёт однородные координаты <tex> P' </tex>.<br />
<br />
В каком-то смысле, любое линейное преобразование одновременно является матрицей, так же как точка {{---}} это набор координат.<br />
<br />
<br />
Посмотрим как меняются координаты при преобразовании.<br />
<br />
<tex> F \left(\begin{array}{c}<br />
x\\<br />
y\\<br />
1<br />
\end{array}\right) = <br />
</tex><br />
<tex> \left(\begin{array}{ccc}<br />
a & b & t_x\\<br />
c & d & t_y\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) \cdot <br />
</tex><br />
<tex> \left(\begin{array}{c}<br />
x\\<br />
y\\<br />
1<br />
\end{array}\right) = <br />
</tex><br />
<tex> \left(\begin{array}{c}<br />
a x + b y + t_x\\<br />
c x + d y + t_y\\<br />
1<br />
\end{array}\right) <br />
</tex>. <br />
<br />
То есть новые координаты как-то линейно зависят от старых.<br />
<br />
Рассмотрим частные случаи преобразований.<br />
<br />
<br />
<br />
= Базовые преобразования = <br />
<br />
=== Параллельный перенос ===<br />
Задаёт преобразование <tex> x \rightarrow x + t_x ,\ y \rightarrow y + t_y </tex>.<br />
<br />
Обозначается <tex> T_{\overrightarrow v} </tex>, где <tex> \overrightarrow v = (t_x, t_y) </tex> {{---}} вектор параллельного переноса.<br />
<br />
<tex> T_{(t_x, t_y)} = \left(\begin{array}{ccc}<br />
1 & 0 & t_x\\<br />
0 & 1 & t_y\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) </tex><br />
<br />
'''Пример'''<br />
Задача: Найдите новые координаты точки <tex> (6, 9) </tex> после параллельного переноса плоскости на вектор <tex> \overrightarrow v = (1, 2) </tex>.<br />
<br />
Решение: <tex> T_{(a, b)} (\left(\begin{array}{c} <br />
6\\ <br />
9\\ <br />
1<br />
\end{array}\right)) =<br />
</tex><br />
<tex><br />
\left(\begin{array}{ccc}<br />
1 & 0 & 1\\<br />
0 & 1 & 2\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) \cdot<br />
</tex><br />
<tex><br />
\left(\begin{array}{c} <br />
6\\ <br />
9\\ <br />
1<br />
\end{array}\right) =<br />
</tex><br />
<tex><br />
\left(\begin{array}{c} <br />
6 + 1\\ <br />
9 + 2\\ <br />
1<br />
\end{array}\right) =<br />
</tex><br />
<tex><br />
\left(\begin{array}{c} <br />
7\\ <br />
11\\ <br />
1<br />
\end{array}\right) <br />
</tex><br />
<br />
Вполне ожидаемый ответ.<br />
<br />
<br />
=== Масштабирование вдоль осей ===<br />
<br />
Задаёт преобразование <tex> x \rightarrow s_x x ,\ y \rightarrow s_y y </tex>.<br />
<br />
Будем обозначать как <tex> S_{s_x, s_y} </tex>. Числа <tex> s_x </tex> и <tex> s_y </tex> называются коэффициентами масштабирования.<br />
<br />
<tex> S_{s_x, s_y} = \left(\begin{array}{ccc}<br />
s_x & 0 & 0\\<br />
0 & s_y & 0\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) </tex><br />
<br />
'''Пример'''<br />
<br />
Задача: Найдите новые координаты точки <tex> (3, 5) </tex> после масштабирования по оси <tex> O_x </tex> с коэффициентом 2 (по оси <tex> O_y </tex> масштаб остаётся таким же).<br />
<br />
Решение: <tex> S_{2, 1} (\left(\begin{array}{c} <br />
3\\ <br />
5\\ <br />
1<br />
\end{array}\right)) =<br />
</tex><br />
<tex><br />
\left(\begin{array}{ccc}<br />
2 & 0 & 0\\<br />
0 & 1 & 0\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) \cdot<br />
</tex><br />
<tex><br />
\left(\begin{array}{c} <br />
3\\ <br />
5\\ <br />
1<br />
\end{array}\right) =<br />
</tex><br />
<tex><br />
\left(\begin{array}{c} <br />
2 \cdot 3\\ <br />
1 \cdot 5\\ <br />
1<br />
\end{array}\right) =<br />
</tex><br />
<tex><br />
\left(\begin{array}{c} <br />
6\\ <br />
5\\ <br />
1<br />
\end{array}\right) <br />
</tex><br />
<br />
<br />
=== Поворот относительно начала координат ===<br />
<br />
Обозначается <tex> R^\alpha </tex>, где <tex> \alpha </tex> {{---}} угол поворота. <br />
Как обычно, <tex> \alpha > 0 </tex> при повороте против часовой стрелки, и <tex> \alpha < 0 </tex> при повороте по часовой стрелке.<br />
<br />
<tex> R^\alpha = \left(\begin{array}{ccc}<br />
\cos \alpha & - \sin \alpha & 0\\<br />
\sin \alpha & \cos \alpha & 0\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) </tex><br />
<br />
'''Пример'''<br />
Задача: Найдите новые координаты точки <tex> (5, 1) </tex> после поворота плоскости на <tex> 90 </tex> °.<br />
<br />
Решение: <tex> R^{90} = \left(\begin{array}{ccc}<br />
0 & -1 & 0\\<br />
1 & 0 & 0\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) <br />
</tex><br />
<br />
<tex> R^{90} (\left(\begin{array}{cc}<br />
5\\<br />
1\\<br />
1<br />
\end{array}\right)) =<br />
</tex><br />
<tex>\left(\begin{array}{ccc}<br />
0 & -1 & 0\\<br />
1 & 0 & 0\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) \cdot<br />
</tex><br />
<tex> \left(\begin{array}{cc}<br />
5\\<br />
1\\<br />
1<br />
\end{array}\right) =<br />
</tex><br />
<tex> \left(\begin{array}{cc}<br />
-1\\<br />
5\\<br />
1<br />
\end{array}\right)<br />
</tex><br />
<br />
<br />
'''Замечание'''<br />
<br />
<tex> R^{180} = \left(\begin{array}{ccc}<br />
-1 & 0 & 0\\<br />
0 & -1 & 0\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) </tex>, то есть центральная симметрия относительно начала координат меняет координаты точки на противоположные.<br />
<br />
<br />
=== Тождественное преобразование ===<br />
<br />
Это преобразование, оставляющее все точки неподвижными. <br />
<br />
Его матрица: <tex> I = \left(\begin{array}{ccc}<br />
1 & 0 & 0\\<br />
0 & 1 & 0\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) <br />
</tex><br />
<br />
= Композиция преобразований =<br />
<br />
<tex> (g \circ f) x = g (f (x)) </tex><br />
<br />
<br />
Задача: к точке <tex> (3, 5) </tex> применили осевую симметрию относительно <tex> O_x </tex>, и затем применили параллельный перенос на <tex> \overrightarrow{(2, 1)} </tex>. Какие новые координаты у точки?<br />
<br />
Решение: обозначим нашу точку за <tex> P </tex>, новую точку за <tex> P' </tex><br />
<br />
Посчитаем двумя способами.<br />
<br />
1) <tex> P' = S_{1, -1}(T_{\overrightarrow{(3, 2)}}(P)) = <br />
\left(\begin{array}{ccc}<br />
1 & 0 & 2\\<br />
0 & 1 & 1\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) \cdot </tex><br />
<tex> (\left(\begin{array}{ccc}<br />
1 & 0 & 0\\<br />
0 & -1 & 0\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) \cdot </tex><br />
<tex> \left(\begin{array}{c}<br />
3\\<br />
5\\<br />
1<br />
\end{array}\right)) = </tex><br />
<tex> \left(\begin{array}{ccc}<br />
1 & 0 & 2\\<br />
0 & 1 & 1\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) \cdot </tex><br />
<tex> \left(\begin{array}{c}<br />
3\\<br />
-5\\<br />
1<br />
\end{array}\right) = </tex><br />
<tex> \left(\begin{array}{c}<br />
5\\<br />
-4\\<br />
1<br />
\end{array}\right) </tex><br />
<br />
<br />
<br />
2) Воспользуемся ассоциативностью умножения матриц (сочетательный закон)<br />
<br />
<tex> P' = S_{1, -1}(T_{\overrightarrow{(3, 2)}}(P)) = <br />
\left(\begin{array}{ccc}<br />
1 & 0 & 2\\<br />
0 & 1 & 1\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) \cdot </tex><br />
<tex> (\left(\begin{array}{ccc}<br />
1 & 0 & 0\\<br />
0 & -1 & 0\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) \cdot </tex><br />
<tex> \left(\begin{array}{c}<br />
3\\<br />
5\\<br />
1<br />
\end{array}\right)) = </tex><br />
<tex> (\left(\begin{array}{ccc}<br />
1 & 0 & 2\\<br />
0 & 1 & 1\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) \cdot </tex><br />
<tex> \left(\begin{array}{ccc}<br />
1 & 0 & 0\\<br />
0 & -1 & 0\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right)) \cdot </tex><br />
<tex> \left(\begin{array}{c}<br />
3\\<br />
5\\<br />
1<br />
\end{array}\right) = </tex><br />
<tex> \left(\begin{array}{ccc}<br />
1 & 0 & 2\\<br />
0 & -1 & 1\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) \cdot </tex><br />
<tex> \left(\begin{array}{c}<br />
3\\<br />
5\\<br />
1<br />
\end{array}\right) = </tex><br />
<tex> \left(\begin{array}{c}<br />
5\\<br />
-4\\<br />
1<br />
\end{array}\right) </tex><br />
<br />
Заметим, что <tex> \left(\begin{array}{ccc}<br />
1 & 0 & 2\\<br />
0 & -1 & 1\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) </tex> {{---}} тоже какая-то матрица преобразования, в данном случае "осевая симметрия относительно <tex> O_x </tex>, с последующим параллельным переносом на <tex> \overrightarrow{(2, 1)} </tex><br />
<br />
Действительно, <tex> P' = S_{1, -1}(T_{\overrightarrow{(2, 1)}}(P)) = (S_{1, -1} \circ T_{\overrightarrow{(2, 1)}}) P </tex><br />
<br />
Тогда матрица для <tex> (S_{1, -1} \circ T_{\overrightarrow{(2, 1)}}) </tex> будет <tex> \left(\begin{array}{ccc}<br />
1 & 0 & 2\\<br />
0 & -1 & 1\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) </tex>.<br />
<br />
Получается, при композиции преобразований их матрицы перемножаются.</div>Martoonhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9C%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D0%B0_%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F&diff=52176Матрица преобразования2016-02-19T13:17:43Z<p>Martoon: </p>
<hr />
<div>Будем рассматривать двумерный случай.<br />
<br />
Матрица преобразования - это некоторая матрица <tex> 3 \times 3 </tex>. Мы будем рассматривать матрицы вида <br />
<tex> \left(\begin{array}{ccc}<br />
a & b & t_x\\<br />
c & d & t_y\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) </tex><br />
<br />
Допустим есть какое-то преобразование <tex> F </tex>, и <tex> F(P) = P' </tex> (к точке <tex> P </tex> применили преобразование <tex> F </tex> и получили точку <tex> P' </tex>).<br />
<br />
Тогда матрица преобразования <tex> F </tex>, умноженная на однородные координаты <tex> P </tex>, даёт однородные координаты <tex> P' </tex>.<br />
<br />
В каком-то смысле, любое линейное преобразование одновременно является матрицей, так же как точка {{---}} это набор координат.<br />
<br />
<br />
Посмотрим как меняются координаты при преобразовании.<br />
<br />
<tex> F \left(\begin{array}{c}<br />
x\\<br />
y\\<br />
1<br />
\end{array}\right) = <br />
</tex><br />
<tex> \left(\begin{array}{ccc}<br />
a & b & t_x\\<br />
c & d & t_y\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) \cdot <br />
</tex><br />
<tex> \left(\begin{array}{c}<br />
x\\<br />
y\\<br />
1<br />
\end{array}\right) = <br />
</tex><br />
<tex> \left(\begin{array}{c}<br />
a x + b y + t_x\\<br />
c x + d y + t_y\\<br />
1<br />
\end{array}\right) <br />
</tex>. <br />
<br />
То есть новые координаты как-то линейно зависят от старых.<br />
<br />
Рассмотрим частные случаи преобразований.<br />
<br />
<br />
<br />
= Базовые преобразования = <br />
<br />
=== Параллельный перенос ===<br />
Задаёт преобразование <tex> x \rightarrow x + t_x ,\ y \rightarrow y + t_y </tex>.<br />
<br />
Обозначается <tex> T_{\overrightarrow v} </tex>, где <tex> \overrightarrow v = (t_x, t_y) </tex> {{---}} вектор параллельного переноса.<br />
<br />
<tex> T_{(t_x, t_y)} = \left(\begin{array}{ccc}<br />
1 & 0 & t_x\\<br />
0 & 1 & t_y\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) </tex><br />
<br />
'''Пример'''<br />
Задача: Найдите новые координаты точки <tex> (6, 9) </tex> после параллельного переноса плоскости на вектор <tex> \overrightarrow v = (1, 2) </tex>.<br />
<br />
Решение: <tex> T_{(a, b)} (\left(\begin{array}{c} <br />
6\\ <br />
9\\ <br />
1<br />
\end{array}\right)) =<br />
</tex><br />
<tex><br />
\left(\begin{array}{ccc}<br />
1 & 0 & 1\\<br />
0 & 1 & 2\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) \cdot<br />
</tex><br />
<tex><br />
\left(\begin{array}{c} <br />
6\\ <br />
9\\ <br />
1<br />
\end{array}\right) =<br />
</tex><br />
<tex><br />
\left(\begin{array}{c} <br />
6 + 1\\ <br />
9 + 2\\ <br />
1<br />
\end{array}\right) =<br />
</tex><br />
<tex><br />
\left(\begin{array}{c} <br />
7\\ <br />
11\\ <br />
1<br />
\end{array}\right) <br />
</tex><br />
<br />
Вполне ожидаемый ответ.<br />
<br />
<br />
=== Масштабирование вдоль осей ===<br />
<br />
Задаёт преобразование <tex> x \rightarrow s_x x ,\ y \rightarrow s_y y </tex>.<br />
<br />
Будем обозначать как <tex> S_{s_x, s_y} </tex>. Числа <tex> s_x </tex> и <tex> s_y </tex> называются коэффициентами масштабирования.<br />
<br />
<tex> S_{s_x, s_y} = \left(\begin{array}{ccc}<br />
s_x & 0 & 0\\<br />
0 & s_y & 0\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) </tex><br />
<br />
'''Пример'''<br />
<br />
Задача: Найдите новые координаты точки <tex> (3, 5) </tex> после масштабирования по оси <tex> O_x </tex> с коэффициентом 2 (по оси <tex> O_y </tex> масштаб остаётся таким же).<br />
<br />
Решение: <tex> S_{2, 1} (\left(\begin{array}{c} <br />
3\\ <br />
5\\ <br />
1<br />
\end{array}\right)) =<br />
</tex><br />
<tex><br />
\left(\begin{array}{ccc}<br />
2 & 0 & 0\\<br />
0 & 1 & 0\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) \cdot<br />
</tex><br />
<tex><br />
\left(\begin{array}{c} <br />
3\\ <br />
5\\ <br />
1<br />
\end{array}\right) =<br />
</tex><br />
<tex><br />
\left(\begin{array}{c} <br />
2 \cdot 3\\ <br />
1 \cdot 5\\ <br />
1<br />
\end{array}\right) =<br />
</tex><br />
<tex><br />
\left(\begin{array}{c} <br />
6\\ <br />
5\\ <br />
1<br />
\end{array}\right) <br />
</tex><br />
<br />
<br />
=== Поворот относительно начала координат ===<br />
<br />
Обозначается <tex> R^\alpha </tex>, где <tex> \alpha </tex> {{---}} угол поворота. <br />
Как обычно, <tex> \alpha > 0 </tex> при повороте против часовой стрелки, и <tex> \alpha < 0 </tex> при повороте по часовой стрелке.<br />
<br />
<tex> R^\alpha = \left(\begin{array}{ccc}<br />
\cos \alpha & - \sin \alpha & 0\\<br />
\sin \alpha & \cos \alpha & 0\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) </tex><br />
<br />
'''Пример'''<br />
Задача: Найдите новые координаты точки <tex> (5, 1) </tex> после поворота плоскости на <tex> 90 </tex> °.<br />
<br />
Решение: <tex> R^{90} = \left(\begin{array}{ccc}<br />
0 & -1 & 0\\<br />
1 & 0 & 0\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) <br />
</tex><br />
<br />
<tex> R^{90} (\left(\begin{array}{cc}<br />
5\\<br />
1\\<br />
1<br />
\end{array}\right)) =<br />
</tex><br />
<tex>\left(\begin{array}{ccc}<br />
0 & -1 & 0\\<br />
1 & 0 & 0\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) \cdot<br />
</tex><br />
<tex> \left(\begin{array}{cc}<br />
5\\<br />
1\\<br />
1<br />
\end{array}\right) =<br />
</tex><br />
<tex> \left(\begin{array}{cc}<br />
-1\\<br />
5\\<br />
1<br />
\end{array}\right)<br />
</tex><br />
<br />
<br />
'''Замечание'''<br />
<br />
<tex> R^{180} = \left(\begin{array}{ccc}<br />
-1 & 0 & 0\\<br />
0 & -1 & 0\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) </tex>, то есть центральная симметрия относительно начала координат меняет координаты точки на противоположные.<br />
<br />
<br />
=== Тождественное преобразование ===<br />
<br />
Это преобразование, оставляющее все точки неподвижными. <br />
<br />
Его матрица: <tex> I = \left(\begin{array}{ccc}<br />
1 & 0 & 0\\<br />
0 & 1 & 0\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) <br />
</tex><br />
<br />
= Композиция преобразований =<br />
<br />
<tex> (g \circ f) x = g (f (x)) </tex></div>Martoonhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9C%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D0%B0_%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F&diff=52175Матрица преобразования2016-02-19T13:00:33Z<p>Martoon: </p>
<hr />
<div>Будем рассматривать двумерный случай.<br />
<br />
Матрица преобразования - это некоторая матрица <tex> 3 \times 3 </tex>. Мы будем рассматривать матрицы вида <br />
<tex> \left(\begin{array}{ccc}<br />
a & b & t_x\\<br />
c & d & t_y\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) </tex><br />
<br />
Допустим есть какое-то преобразование <tex> F </tex>, и <tex> F(P) = P' </tex> (к точке <tex> P </tex> применили преобразование <tex> F </tex> и получили точку <tex> P' </tex>).<br />
<br />
Тогда матрица преобразования <tex> F </tex>, умноженная на однородные координаты <tex> P </tex>, даёт однородные координаты <tex> P' </tex>.<br />
<br />
В каком-то смысле, любое линейное преобразование одновременно является матрицей, так же как точка {{---}} это набор координат.<br />
<br />
<br />
Посмотрим как меняются координаты при преобразовании.<br />
<br />
<tex> F \left(\begin{array}{c}<br />
x\\<br />
y\\<br />
1<br />
\end{array}\right) = <br />
</tex><br />
<tex> \left(\begin{array}{ccc}<br />
a & b & t_x\\<br />
c & d & t_y\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) \cdot <br />
</tex><br />
<tex> \left(\begin{array}{c}<br />
x\\<br />
y\\<br />
1<br />
\end{array}\right) = <br />
</tex><br />
<tex> \left(\begin{array}{c}<br />
a x + b y + t_x\\<br />
c x + d y + t_y\\<br />
1<br />
\end{array}\right) <br />
</tex>. <br />
<br />
То есть новые координаты как-то линейно зависят от старых.<br />
<br />
Рассмотрим частные случаи преобразований.<br />
<br />
<br />
<br />
= Базовые преобразования = <br />
<br />
=== Параллельный перенос ===<br />
Задаёт преобразование <tex> x \rightarrow x + t_x ,\ y \rightarrow y + t_y </tex>.<br />
<br />
Обозначается <tex> T_{\overrightarrow v} </tex>, где <tex> \overrightarrow v = (t_x, t_y) </tex> {{---}} вектор параллельного переноса.<br />
<br />
<tex> T_{(t_x, t_y)} = \left(\begin{array}{ccc}<br />
1 & 0 & t_x\\<br />
0 & 1 & t_y\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) </tex><br />
<br />
'''Пример'''<br />
Задача: Найдите новые координаты точки <tex> (6, 9) </tex> после параллельного переноса плоскости на вектор <tex> \overrightarrow v = (1, 2) </tex>.<br />
<br />
Решение: <tex> T_{(a, b)} (\left(\begin{array}{c} <br />
6\\ <br />
9\\ <br />
1<br />
\end{array}\right)) =<br />
</tex><br />
<tex><br />
\left(\begin{array}{ccc}<br />
1 & 0 & 1\\<br />
0 & 1 & 2\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) \cdot<br />
</tex><br />
<tex><br />
\left(\begin{array}{c} <br />
6\\ <br />
9\\ <br />
1<br />
\end{array}\right) =<br />
</tex><br />
<tex><br />
\left(\begin{array}{c} <br />
6 + 1\\ <br />
9 + 2\\ <br />
1<br />
\end{array}\right) =<br />
</tex><br />
<tex><br />
\left(\begin{array}{c} <br />
7\\ <br />
11\\ <br />
1<br />
\end{array}\right) <br />
</tex><br />
<br />
Вполне ожидаемый ответ.<br />
<br />
<br />
=== Масштабирование вдоль осей ===<br />
<br />
Задаёт преобразование <tex> x \rightarrow s_x x ,\ y \rightarrow s_y y </tex>.<br />
<br />
Будем обозначать как <tex> S_{s_x, s_y} </tex>. Числа <tex> s_x </tex> и <tex> s_y </tex> называются коэффициентами масштабирования.<br />
<br />
<tex> S_{s_x, s_y} = \left(\begin{array}{ccc}<br />
s_x & 0 & 0\\<br />
0 & s_y & 0\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) </tex><br />
<br />
'''Пример'''<br />
<br />
Задача: Найдите новые координаты точки <tex> (3, 5) </tex> после масштабирования по оси <tex> O_x </tex> с коэффициентом 2 (по оси <tex> O_y </tex> масштаб остаётся таким же).<br />
<br />
Решение: <tex> S_{2, 1} (\left(\begin{array}{c} <br />
3\\ <br />
5\\ <br />
1<br />
\end{array}\right)) =<br />
</tex><br />
<tex><br />
\left(\begin{array}{ccc}<br />
2 & 0 & 0\\<br />
0 & 1 & 0\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) \cdot<br />
</tex><br />
<tex><br />
\left(\begin{array}{c} <br />
3\\ <br />
5\\ <br />
1<br />
\end{array}\right) =<br />
</tex><br />
<tex><br />
\left(\begin{array}{c} <br />
2 \cdot 3\\ <br />
1 \cdot 5\\ <br />
1<br />
\end{array}\right) =<br />
</tex><br />
<tex><br />
\left(\begin{array}{c} <br />
6\\ <br />
5\\ <br />
1<br />
\end{array}\right) <br />
</tex><br />
<br />
<br />
=== Поворот относительно начала координат ===<br />
<br />
Обозначается <tex> R^\alpha </tex>, где <tex> \alpha </tex> {{---}} угол поворота. <br />
Как обычно, <tex> \alpha > 0 </tex> при повороте против часовой стрелки, и <tex> \alpha < 0 </tex> при повороте по часовой стрелке.<br />
<br />
<tex> R^\alpha = \left(\begin{array}{ccc}<br />
\cos \alpha & - \sin \alpha & 0\\<br />
\sin \alpha & \cos \alpha & 0\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) </tex><br />
<br />
'''Пример'''<br />
Задача: Найдите новые координаты точки <tex> (5, 1) </tex> после поворота плоскости на <tex> 90 </tex> °.<br />
<br />
Решение: <tex> R^{90} = \left(\begin{array}{ccc}<br />
0 & -1 & 0\\<br />
1 & 0 & 0\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) <br />
</tex><br />
<br />
<tex> R^{90} (\left(\begin{array}{cc}<br />
5\\<br />
1\\<br />
1<br />
\end{array}\right)) =<br />
</tex><br />
<tex>\left(\begin{array}{ccc}<br />
0 & -1 & 0\\<br />
1 & 0 & 0\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) \cdot<br />
</tex><br />
<tex> \left(\begin{array}{cc}<br />
5\\<br />
1\\<br />
1<br />
\end{array}\right) =<br />
</tex><br />
<tex> \left(\begin{array}{cc}<br />
-1\\<br />
5\\<br />
1<br />
\end{array}\right)<br />
</tex><br />
<br />
<br />
'''Замечание'''<br />
<br />
<tex> R^{180} = \left(\begin{array}{ccc}<br />
-1 & 0 & 0\\<br />
0 & -1 & 0\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) </tex>, то есть центральная симметрия относительно начала координат меняет координаты точки на противоположные.<br />
<br />
<br />
=== Тождественное преобразование ===<br />
<br />
Это преобразование, оставляющее все точки неподвижными. <br />
<br />
Его матрица: <tex> I = \left(\begin{array}{ccc}<br />
1 & 0 & 0\\<br />
0 & 1 & 0\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) <br />
</tex><br />
<br />
== Композиция ==</div>Martoonhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9C%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D0%B0_%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F&diff=52171Матрица преобразования2016-02-15T10:17:14Z<p>Martoon: </p>
<hr />
<div>Будем рассматривать двумерный случай.<br />
<br />
Матрица преобразования - это некоторая матрица <tex> 3 \times 3 </tex>. Мы будем рассматривать матрицы вида <br />
<tex> \left(\begin{array}{ccc}<br />
a & b & t_x\\<br />
c & d & t_y\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) </tex><br />
<br />
Допустим есть какое-то преобразование <tex> F </tex>, и <tex> F(P) = P' </tex> (к точке <tex> P </tex> применили преобразование <tex> F </tex> и получили точку <tex> P' </tex>).<br />
<br />
Тогда матрица преобразования <tex> F </tex>, умноженная на однородные координаты <tex> P </tex>, даёт однородные координаты <tex> P' </tex>.<br />
<br />
В каком-то смысле, любое линейное преобразование одновременно является матрицей, так же как точка {{---}} это набор координат.<br />
<br />
<br />
Посмотрим как меняются координаты при преобразовании.<br />
<br />
<tex> F \left(\begin{array}{c}<br />
x\\<br />
y\\<br />
1<br />
\end{array}\right) = <br />
</tex><br />
<tex> \left(\begin{array}{ccc}<br />
a & b & t_x\\<br />
c & d & t_y\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) \cdot <br />
</tex><br />
<tex> \left(\begin{array}{c}<br />
x\\<br />
y\\<br />
1<br />
\end{array}\right) = <br />
</tex><br />
<tex> \left(\begin{array}{c}<br />
a x + b y + t_x\\<br />
c x + d y + t_y\\<br />
1<br />
\end{array}\right) <br />
</tex>. <br />
<br />
То есть новые координаты как-то линейно зависят от старых.<br />
<br />
Рассмотрим частные случаи преобразований.<br />
<br />
<br />
<br />
= Базовые преобразования = <br />
<br />
=== Параллельный перенос ===<br />
Задаёт преобразование <tex> x \rightarrow x + t_x ,\ y \rightarrow y + t_y </tex>.<br />
<br />
Обозначается <tex> T_{\overrightarrow v} </tex>, где <tex> \overrightarrow v = (t_x, t_y) </tex> {{---}} вектор параллельного переноса.<br />
<br />
<tex> T_{(t_x, t_y)} = \left(\begin{array}{ccc}<br />
1 & 0 & t_x\\<br />
0 & 1 & t_y\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) </tex><br />
<br />
'''Пример'''<br />
Задача: Найдите новые координаты точки <tex> (6, 9) </tex> после параллельного переноса плоскости на вектор <tex> \overrightarrow v = (1, 2) </tex>.<br />
<br />
Решение: <tex> T_{(a, b)} (\left(\begin{array}{c} <br />
6\\ <br />
9\\ <br />
1<br />
\end{array}\right)) =<br />
</tex><br />
<tex><br />
\left(\begin{array}{ccc}<br />
1 & 0 & 1\\<br />
0 & 1 & 2\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) \cdot<br />
</tex><br />
<tex><br />
\left(\begin{array}{c} <br />
6\\ <br />
9\\ <br />
1<br />
\end{array}\right) =<br />
</tex><br />
<tex><br />
\left(\begin{array}{c} <br />
6 + 1\\ <br />
9 + 2\\ <br />
1<br />
\end{array}\right) =<br />
</tex><br />
<tex><br />
\left(\begin{array}{c} <br />
7\\ <br />
11\\ <br />
1<br />
\end{array}\right) <br />
</tex><br />
<br />
Вполне ожидаемый ответ.<br />
<br />
<br />
=== Масштабирование вдоль осей ===<br />
<br />
Задаёт преобразование <tex> x \rightarrow s_x x ,\ y \rightarrow s_y y </tex>.<br />
<br />
Будем обозначать как <tex> S_{s_x, s_y} </tex>. Числа <tex> s_x </tex> и <tex> s_y </tex> называются коэффициентами масштабирования.<br />
<br />
<tex> S_{s_x, s_y} = \left(\begin{array}{ccc}<br />
s_x & 0 & 0\\<br />
0 & s_y & 0\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) </tex><br />
<br />
'''Пример'''<br />
<br />
Задача: Найдите новые координаты точки <tex> (3, 5) </tex> после масштабирования по оси <tex> O_x </tex> с коэффициентом 2 (по оси <tex> O_y </tex> масштаб остаётся таким же).<br />
<br />
Решение: <tex> S_{2, 1} (\left(\begin{array}{c} <br />
3\\ <br />
5\\ <br />
1<br />
\end{array}\right)) =<br />
</tex><br />
<tex><br />
\left(\begin{array}{ccc}<br />
2 & 0 & 0\\<br />
0 & 1 & 0\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) \cdot<br />
</tex><br />
<tex><br />
\left(\begin{array}{c} <br />
3\\ <br />
5\\ <br />
1<br />
\end{array}\right) =<br />
</tex><br />
<tex><br />
\left(\begin{array}{c} <br />
2 \cdot 3\\ <br />
1 \cdot 5\\ <br />
1<br />
\end{array}\right) =<br />
</tex><br />
<tex><br />
\left(\begin{array}{c} <br />
6\\ <br />
5\\ <br />
1<br />
\end{array}\right) <br />
</tex><br />
<br />
<br />
=== Поворот относительно начала координат ===<br />
<br />
Обозначается <tex> R^\alpha </tex>, где <tex> \alpha </tex> {{---}} угол поворота. <br />
Как обычно, <tex> \alpha > 0 </tex> при повороте против часовой стрелки, и <tex> \alpha < 0 </tex> при повороте по часовой стрелке.<br />
<br />
<tex> R^\alpha = \left(\begin{array}{ccc}<br />
\cos \alpha & - \sin \alpha & 0\\<br />
\sin \alpha & \cos \alpha & 0\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) </tex><br />
<br />
'''Пример'''<br />
Задача: Найдите новые координаты точки <tex> (5, 1) </tex> после поворота плоскости на <tex> 90 </tex> °.<br />
<br />
Решение: <tex> R^{90} = \left(\begin{array}{ccc}<br />
0 & -1 & 0\\<br />
1 & 0 & 0\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) <br />
</tex><br />
<br />
<tex> R^{90} (\left(\begin{array}{cc}<br />
5\\<br />
1\\<br />
1<br />
\end{array}\right)) =<br />
</tex><br />
<tex>\left(\begin{array}{ccc}<br />
0 & -1 & 0\\<br />
1 & 0 & 0\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) \cdot<br />
</tex><br />
<tex> \left(\begin{array}{cc}<br />
5\\<br />
1\\<br />
1<br />
\end{array}\right) =<br />
</tex><br />
<tex> \left(\begin{array}{cc}<br />
-1\\<br />
5\\<br />
1<br />
\end{array}\right)<br />
</tex><br />
<br />
<br />
'''Замечание'''<br />
<br />
<tex> R^{180} = \left(\begin{array}{ccc}<br />
-1 & 0 & 0\\<br />
0 & -1 & 0\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) </tex>, то есть центральная симметрия относительно начала координат меняет координаты точки на противоположные.<br />
<br />
<br />
=== Тождественное преобразование ===<br />
<br />
Это преобразование, оставляющее все точки неподвижными. <br />
<br />
Его матрица: <tex> I = \left(\begin{array}{ccc}<br />
1 & 0 & 0\\<br />
0 & 1 & 0\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) <br />
</tex></div>Martoonhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9C%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D0%B0_%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F&diff=52170Матрица преобразования2016-02-14T15:28:56Z<p>Martoon: /* Поворот относительно начала координат */</p>
<hr />
<div>Будем рассматривать двумерный случай.<br />
<br />
Матрица преобразования - это некоторая матрица <tex> 3 \times 3 </tex>. Мы будем рассматривать матрицы вида <br />
<tex> F = \left(\begin{array}{ccc}<br />
a & b & t_x\\<br />
c & d & t_y\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) </tex><br />
<br />
Посмотрим как меняются координаты при таком преобразовании.<br />
<br />
<tex> F \left(\begin{array}{c}<br />
x\\<br />
y\\<br />
1<br />
\end{array}\right) = <br />
</tex><br />
<tex> \left(\begin{array}{ccc}<br />
a & b & t_x\\<br />
c & d & t_y\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) \cdot <br />
</tex><br />
<tex> \left(\begin{array}{c}<br />
x\\<br />
y\\<br />
1<br />
\end{array}\right) = <br />
</tex><br />
<tex> \left(\begin{array}{c}<br />
a x + b y + t_x\\<br />
c x + d y + t_y\\<br />
1<br />
\end{array}\right) <br />
</tex>. <br />
<br />
То есть новые координаты как-то линейно зависят от старых.<br />
<br />
Рассмотрим частные случаи преобразований.<br />
<br />
<br />
<br />
= Базовые преобразования = <br />
<br />
=== Параллельный перенос ===<br />
Задаёт преобразование <tex> x \rightarrow x + t_x ,\ y \rightarrow y + t_y </tex>.<br />
<br />
Обозначается <tex> T_{\overrightarrow v} </tex>, где <tex> \overrightarrow v = (t_x, t_y) </tex> {{---}} вектор параллельного переноса.<br />
<br />
<tex> T_{(t_x, t_y)} = \left(\begin{array}{ccc}<br />
1 & 0 & t_x\\<br />
0 & 1 & t_y\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) </tex><br />
<br />
'''Пример'''<br />
Задача: Найдите новые координаты точки <tex> (6, 9) </tex> после параллельного переноса плоскости на вектор <tex> \overrightarrow v = (1, 2) </tex>.<br />
<br />
Решение: <tex> T_{(a, b)} (\left(\begin{array}{c} <br />
6\\ <br />
9\\ <br />
1<br />
\end{array}\right)) =<br />
</tex><br />
<tex><br />
\left(\begin{array}{ccc}<br />
1 & 0 & 1\\<br />
0 & 1 & 2\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) \cdot<br />
</tex><br />
<tex><br />
\left(\begin{array}{c} <br />
6\\ <br />
9\\ <br />
1<br />
\end{array}\right) =<br />
</tex><br />
<tex><br />
\left(\begin{array}{c} <br />
6 + 1\\ <br />
9 + 2\\ <br />
1<br />
\end{array}\right) =<br />
</tex><br />
<tex><br />
\left(\begin{array}{c} <br />
7\\ <br />
11\\ <br />
1<br />
\end{array}\right) <br />
</tex><br />
<br />
Вполне ожидаемый ответ.<br />
<br />
<br />
=== Масштабирование вдоль осей ===<br />
<br />
Задаёт преобразование <tex> x \rightarrow s_x x ,\ y \rightarrow s_y y </tex>.<br />
<br />
Будем обозначать как <tex> S_{s_x, s_y} </tex>. Числа <tex> s_x </tex> и <tex> s_y </tex> называются коэффициентами масштабирования.<br />
<br />
<tex> S_{s_x, s_y} = \left(\begin{array}{ccc}<br />
s_x & 0 & 0\\<br />
0 & s_y & 0\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) </tex><br />
<br />
'''Пример'''<br />
<br />
Задача: Найдите новые координаты точки <tex> (3, 5) </tex> после масштабирования по оси <tex> O_x </tex> с коэффициентом 2 (по оси <tex> O_y </tex> масштаб остаётся таким же).<br />
<br />
Решение: <tex> S_{2, 1} (\left(\begin{array}{c} <br />
3\\ <br />
5\\ <br />
1<br />
\end{array}\right)) =<br />
</tex><br />
<tex><br />
\left(\begin{array}{ccc}<br />
2 & 0 & 0\\<br />
0 & 1 & 0\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) \cdot<br />
</tex><br />
<tex><br />
\left(\begin{array}{c} <br />
3\\ <br />
5\\ <br />
1<br />
\end{array}\right) =<br />
</tex><br />
<tex><br />
\left(\begin{array}{c} <br />
2 \cdot 3\\ <br />
1 \cdot 5\\ <br />
1<br />
\end{array}\right) =<br />
</tex><br />
<tex><br />
\left(\begin{array}{c} <br />
6\\ <br />
5\\ <br />
1<br />
\end{array}\right) <br />
</tex><br />
<br />
<br />
=== Поворот относительно начала координат ===<br />
<br />
Обозначается <tex> R^\alpha </tex>, где <tex> \alpha </tex> {{---}} угол поворота. <br />
Как обычно, <tex> \alpha > 0 </tex> при повороте против часовой стрелки, и <tex> \alpha < 0 </tex> при повороте по часовой стрелке.<br />
<br />
<tex> R^\alpha = \left(\begin{array}{ccc}<br />
\cos \alpha & - \sin \alpha & 0\\<br />
\sin \alpha & \cos \alpha & 0\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) </tex><br />
<br />
'''Пример'''<br />
Задача: Найдите новые координаты точки <tex> (5, 1) </tex> после поворота плоскости на <tex> 90 </tex> °.<br />
<br />
Решение: <tex> R^{90} = \left(\begin{array}{ccc}<br />
0 & -1 & 0\\<br />
1 & 0 & 0\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) <br />
</tex><br />
<br />
<tex> R^{90} (\left(\begin{array}{cc}<br />
5\\<br />
1\\<br />
1<br />
\end{array}\right)) =<br />
</tex><br />
<tex>\left(\begin{array}{ccc}<br />
0 & -1 & 0\\<br />
1 & 0 & 0\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) \cdot<br />
</tex><br />
<tex> \left(\begin{array}{cc}<br />
5\\<br />
1\\<br />
1<br />
\end{array}\right) =<br />
</tex><br />
<tex> \left(\begin{array}{cc}<br />
-1\\<br />
5\\<br />
1<br />
\end{array}\right)<br />
</tex><br />
<br />
<br />
'''Замечание'''<br />
<br />
<tex> R^{180} = \left(\begin{array}{ccc}<br />
-1 & 0 & 0\\<br />
0 & -1 & 0\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) </tex>, то есть центральная симметрия относительно начала координат меняет координаты точки на противоположные.<br />
<br />
=== Тождественное преобразование ===<br />
<br />
Это преобразование, оставляющее все точки неподвижными. <br />
<br />
Его матрица: <tex> I = \left(\begin{array}{ccc}<br />
1 & 0 & 0\\<br />
0 & 1 & 0\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) <br />
</tex></div>Martoonhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9C%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D0%B0_%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F&diff=52169Матрица преобразования2016-02-14T15:11:32Z<p>Martoon: /* Базовые преобразования */</p>
<hr />
<div>Будем рассматривать двумерный случай.<br />
<br />
Матрица преобразования - это некоторая матрица <tex> 3 \times 3 </tex>. Мы будем рассматривать матрицы вида <br />
<tex> F = \left(\begin{array}{ccc}<br />
a & b & t_x\\<br />
c & d & t_y\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) </tex><br />
<br />
Посмотрим как меняются координаты при таком преобразовании.<br />
<br />
<tex> F \left(\begin{array}{c}<br />
x\\<br />
y\\<br />
1<br />
\end{array}\right) = <br />
</tex><br />
<tex> \left(\begin{array}{ccc}<br />
a & b & t_x\\<br />
c & d & t_y\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) \cdot <br />
</tex><br />
<tex> \left(\begin{array}{c}<br />
x\\<br />
y\\<br />
1<br />
\end{array}\right) = <br />
</tex><br />
<tex> \left(\begin{array}{c}<br />
a x + b y + t_x\\<br />
c x + d y + t_y\\<br />
1<br />
\end{array}\right) <br />
</tex>. <br />
<br />
То есть новые координаты как-то линейно зависят от старых.<br />
<br />
Рассмотрим частные случаи преобразований.<br />
<br />
<br />
<br />
= Базовые преобразования = <br />
<br />
=== Параллельный перенос ===<br />
Задаёт преобразование <tex> x \rightarrow x + t_x ,\ y \rightarrow y + t_y </tex>.<br />
<br />
Обозначается <tex> T_{\overrightarrow v} </tex>, где <tex> \overrightarrow v = (t_x, t_y) </tex> {{---}} вектор параллельного переноса.<br />
<br />
<tex> T_{(t_x, t_y)} = \left(\begin{array}{ccc}<br />
1 & 0 & t_x\\<br />
0 & 1 & t_y\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) </tex><br />
<br />
'''Пример'''<br />
Задача: Найдите новые координаты точки <tex> (6, 9) </tex> после параллельного переноса плоскости на вектор <tex> \overrightarrow v = (1, 2) </tex>.<br />
<br />
Решение: <tex> T_{(a, b)} (\left(\begin{array}{c} <br />
6\\ <br />
9\\ <br />
1<br />
\end{array}\right)) =<br />
</tex><br />
<tex><br />
\left(\begin{array}{ccc}<br />
1 & 0 & 1\\<br />
0 & 1 & 2\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) \cdot<br />
</tex><br />
<tex><br />
\left(\begin{array}{c} <br />
6\\ <br />
9\\ <br />
1<br />
\end{array}\right) =<br />
</tex><br />
<tex><br />
\left(\begin{array}{c} <br />
6 + 1\\ <br />
9 + 2\\ <br />
1<br />
\end{array}\right) =<br />
</tex><br />
<tex><br />
\left(\begin{array}{c} <br />
7\\ <br />
11\\ <br />
1<br />
\end{array}\right) <br />
</tex><br />
<br />
Вполне ожидаемый ответ.<br />
<br />
<br />
=== Масштабирование вдоль осей ===<br />
<br />
Задаёт преобразование <tex> x \rightarrow s_x x ,\ y \rightarrow s_y y </tex>.<br />
<br />
Будем обозначать как <tex> S_{s_x, s_y} </tex>. Числа <tex> s_x </tex> и <tex> s_y </tex> называются коэффициентами масштабирования.<br />
<br />
<tex> S_{s_x, s_y} = \left(\begin{array}{ccc}<br />
s_x & 0 & 0\\<br />
0 & s_y & 0\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) </tex><br />
<br />
'''Пример'''<br />
<br />
Задача: Найдите новые координаты точки <tex> (3, 5) </tex> после масштабирования по оси <tex> O_x </tex> с коэффициентом 2 (по оси <tex> O_y </tex> масштаб остаётся таким же).<br />
<br />
Решение: <tex> S_{2, 1} (\left(\begin{array}{c} <br />
3\\ <br />
5\\ <br />
1<br />
\end{array}\right)) =<br />
</tex><br />
<tex><br />
\left(\begin{array}{ccc}<br />
2 & 0 & 0\\<br />
0 & 1 & 0\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) \cdot<br />
</tex><br />
<tex><br />
\left(\begin{array}{c} <br />
3\\ <br />
5\\ <br />
1<br />
\end{array}\right) =<br />
</tex><br />
<tex><br />
\left(\begin{array}{c} <br />
2 \cdot 3\\ <br />
1 \cdot 5\\ <br />
1<br />
\end{array}\right) =<br />
</tex><br />
<tex><br />
\left(\begin{array}{c} <br />
6\\ <br />
5\\ <br />
1<br />
\end{array}\right) <br />
</tex><br />
<br />
<br />
=== Поворот относительно начала координат ===<br />
<br />
Обозначается <tex> R^\alpha </tex>, где <tex> \alpha </tex> {{---}} угол поворота. <br />
Как обычно, <tex> \alpha > 0 </tex> при повороте против часовой стрелки, и <tex> \alpha < 0 </tex> при повороте по часовой стрелке.<br />
<br />
<tex> R^\alpha = \left(\begin{array}{ccc}<br />
\cos \alpha & - \sin \alpha & 0\\<br />
\sin \alpha & \cos \alpha & 0\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) </tex><br />
<br />
'''Пример'''<br />
Задача: Найдите новые координаты точки <tex> (5, 1) </tex> после поворота плоскости на <tex> 90 </tex> °.<br />
<br />
Решение: <tex> R^{90} = \left(\begin{array}{ccc}<br />
0 & -1 & 0\\<br />
1 & 0 & 0\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) <br />
</tex><br />
<br />
<tex> R^{90} (\left(\begin{array}{cc}<br />
5\\<br />
1\\<br />
1<br />
\end{array}\right)) =<br />
</tex><br />
<tex>\left(\begin{array}{ccc}<br />
0 & -1 & 0\\<br />
1 & 0 & 0\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) \cdot<br />
</tex><br />
<tex> \left(\begin{array}{cc}<br />
5\\<br />
1\\<br />
1<br />
\end{array}\right) =<br />
</tex><br />
<tex> \left(\begin{array}{cc}<br />
-1\\<br />
5\\<br />
1<br />
\end{array}\right)<br />
</tex><br />
<br />
<br />
=== Тождественное преобразование ===<br />
<br />
Это преобразование, оставляющее все точки неподвижными. <br />
<br />
Его матрица: <tex> I = \left(\begin{array}{ccc}<br />
1 & 0 & 0\\<br />
0 & 1 & 0\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) <br />
</tex></div>Martoonhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9C%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D0%B0_%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F&diff=52168Матрица преобразования2016-02-14T14:29:46Z<p>Martoon: </p>
<hr />
<div>Будем рассматривать двумерный случай.<br />
<br />
Матрица преобразования - это некоторая матрица <tex> 3 \times 3 </tex>. Мы будем рассматривать матрицы вида <br />
<tex> F = \left(\begin{array}{ccc}<br />
a & b & t_x\\<br />
c & d & t_y\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) </tex><br />
<br />
Посмотрим как меняются координаты при таком преобразовании.<br />
<br />
<tex> F \left(\begin{array}{c}<br />
x\\<br />
y\\<br />
1<br />
\end{array}\right) = <br />
</tex><br />
<tex> \left(\begin{array}{ccc}<br />
a & b & t_x\\<br />
c & d & t_y\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) \cdot <br />
</tex><br />
<tex> \left(\begin{array}{c}<br />
x\\<br />
y\\<br />
1<br />
\end{array}\right) = <br />
</tex><br />
<tex> \left(\begin{array}{c}<br />
a x + b y + t_x\\<br />
c x + d y + t_y\\<br />
1<br />
\end{array}\right) <br />
</tex>. <br />
<br />
То есть новые координаты как-то линейно зависят от старых.<br />
<br />
Рассмотрим частные случаи преобразований.<br />
<br />
<br />
<br />
= Базовые преобразования = <br />
<br />
=== Параллельный перенос ===<br />
Задаёт преобразование <tex> x \rightarrow x + t_x ,\ y \rightarrow y + t_y </tex>.<br />
<br />
Обозначается <tex> T_{\overrightarrow v} </tex>, где <tex> \overrightarrow v = (t_x, t_y) </tex> {{---}} вектор параллельного переноса.<br />
<br />
<tex> T_{(t_x, t_y)} = \left(\begin{array}{ccc}<br />
1 & 0 & t_x\\<br />
0 & 1 & t_y\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) </tex><br />
<br />
'''Пример'''<br />
Задача: Найдите новые координаты точки <tex> (6, 9) </tex> после параллельного переноса плоскости на вектор <tex> \overrightarrow v = (1, 2) </tex>.<br />
<br />
Решение: <tex> T_{(a, b)} (\left(\begin{array}{c} <br />
6\\ <br />
9\\ <br />
1<br />
\end{array}\right)) =<br />
</tex><br />
<tex><br />
\left(\begin{array}{ccc}<br />
1 & 0 & 1\\<br />
0 & 1 & 2\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) \cdot<br />
</tex><br />
<tex><br />
\left(\begin{array}{c} <br />
6\\ <br />
9\\ <br />
1<br />
\end{array}\right) =<br />
</tex><br />
<tex><br />
\left(\begin{array}{c} <br />
6 + 1\\ <br />
9 + 2\\ <br />
1<br />
\end{array}\right) =<br />
</tex><br />
<tex><br />
\left(\begin{array}{c} <br />
7\\ <br />
11\\ <br />
1<br />
\end{array}\right) <br />
</tex><br />
<br />
Вполне ожидаемый ответ.<br />
<br />
=== Поворот относительно начала координат ===<br />
<br />
Обозначается <tex> R^\alpha </tex>, где <tex> \alpha </tex> {{---}} угол поворота. <br />
Как обычно, <tex> \alpha > 0 </tex> при повороте против часовой стрелки, и <tex> \alpha < 0 </tex> при повороте по часовой стрелке.<br />
<br />
<tex> R^\alpha = \left(\begin{array}{ccc}<br />
\cos \alpha & - \sin \alpha & 0\\<br />
\sin \alpha & \cos \alpha & 0\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) </tex><br />
<br />
'''Пример'''<br />
Задача: Найдите новые координаты точки <tex> (5, 1) </tex> после поворота плоскости на <tex> 90 </tex> °.<br />
<br />
Решение: <tex> R^{90} = \left(\begin{array}{ccc}<br />
0 & -1 & 0\\<br />
1 & 0 & 0\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) <br />
</tex><br />
<br />
<tex> R^{90} (\left(\begin{array}{cc}<br />
5\\<br />
1\\<br />
1<br />
\end{array}\right)) =<br />
</tex><br />
<tex>\left(\begin{array}{ccc}<br />
0 & -1 & 0\\<br />
1 & 0 & 0\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) \cdot<br />
</tex><br />
<tex> \left(\begin{array}{cc}<br />
5\\<br />
1\\<br />
1<br />
\end{array}\right) =<br />
</tex><br />
<tex> \left(\begin{array}{cc}<br />
-1\\<br />
5\\<br />
1<br />
\end{array}\right)<br />
</tex></div>Martoonhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9C%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D0%B0_%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F&diff=52159Матрица преобразования2016-02-12T17:58:08Z<p>Martoon: </p>
<hr />
<div><br />
<br />
= Базовые преобразования = <br />
<br />
=== Параллельный перенос ===<br />
Задаёт преобразование <tex> x \rightarrow x + a ,\ y \rightarrow y + b </tex>.<br />
<br />
Обозначается <tex> T_{\overrightarrow v} </tex>, где <tex> \overrightarrow v = (a, b) </tex> {{---}} вектор параллельного переноса.<br />
<br />
<tex> T_{(a, b)} = \left(\begin{array}{ccc}<br />
1 & 0 & a\\<br />
0 & 1 & b\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) </tex><br />
<br />
'''Пример'''<br />
Задача: Найдите новые координаты точки <tex> (6, 9) </tex> после параллельного переноса плоскости на вектор <tex> \overrightarrow v = (1, 2) </tex>.<br />
<br />
Решение: <tex> T_{(a, b)} (\left(\begin{array}{c} <br />
6\\ <br />
9\\ <br />
1<br />
\end{array}\right)) =<br />
</tex><br />
<tex><br />
\left(\begin{array}{ccc}<br />
1 & 0 & 1\\<br />
0 & 1 & 2\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) \cdot<br />
</tex><br />
<tex><br />
\left(\begin{array}{c} <br />
6\\ <br />
9\\ <br />
1<br />
\end{array}\right) =<br />
</tex><br />
<tex><br />
\left(\begin{array}{c} <br />
6 + 1\\ <br />
9 + 2\\ <br />
1<br />
\end{array}\right) =<br />
</tex><br />
<tex><br />
\left(\begin{array}{c} <br />
7\\ <br />
11\\ <br />
1<br />
\end{array}\right) <br />
</tex><br />
<br />
Вполне ожидаемый ответ.<br />
<br />
=== Поворот относительно начала координат ===<br />
<br />
Обозначается <tex> R^\alpha </tex>, где <tex> \alpha </tex> {{---}} угол поворота. <br />
Как обычно, <tex> \alpha > 0 </tex> при повороте против часовой стрелки, и <tex> \alpha < 0 </tex> при повороте по часовой стрелке.<br />
<br />
<tex> R^\alpha = \left(\begin{array}{ccc}<br />
\cos \alpha & - \sin \alpha & 0\\<br />
\sin \alpha & \cos \alpha & 0\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) </tex><br />
<br />
'''Пример'''<br />
Задача: Найдите новые координаты точки <tex> (5, 1) </tex> после поворота плоскости на <tex> 90 </tex> °.<br />
<br />
Решение: <tex> R^{90} = \left(\begin{array}{ccc}<br />
0 & -1 & 0\\<br />
1 & 0 & 0\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) <br />
</tex><br />
<br />
<tex> R^{90} (\left(\begin{array}{cc}<br />
5\\<br />
1\\<br />
1<br />
\end{array}\right)) =<br />
</tex><br />
<tex>\left(\begin{array}{ccc}<br />
0 & -1 & 0\\<br />
1 & 0 & 0\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) \cdot<br />
</tex><br />
<tex> \left(\begin{array}{cc}<br />
5\\<br />
1\\<br />
1<br />
\end{array}\right) =<br />
</tex><br />
<tex> \left(\begin{array}{cc}<br />
-1\\<br />
5\\<br />
1<br />
\end{array}\right)<br />
</tex></div>Martoonhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9C%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D0%B0_%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F&diff=52158Матрица преобразования2016-02-12T17:37:55Z<p>Martoon: Новая страница: « = Базовые преобразования = === Параллельный перенос === Задаёт преобразование <tex> x \rightarrow ...»</p>
<hr />
<div><br />
<br />
= Базовые преобразования = <br />
<br />
=== Параллельный перенос ===<br />
Задаёт преобразование <tex> x \rightarrow x + a ,\ y \rightarrow y + b </tex>.<br />
<br />
Обозначается <tex> T_{\overrightarrow v} </tex>, где <tex> \overrightarrow v = (a, b) </tex> {{---}} вектор параллельного переноса.<br />
<br />
<tex> T_{(a, b)} = \left(\begin{array}{ccc}<br />
1 & 0 & a\\<br />
0 & 1 & b\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) </tex><br />
<br />
'''Пример'''<br />
Задача: Найдите новые координаты точки <tex> (6, 9) </tex> после параллельного переноса пространства на вектор <tex> \overrightarrow v = (1, 2) </tex>.<br />
<br />
Решение: <tex> T_{(a, b)} (\left(\begin{array}{c} <br />
6\\ <br />
9\\ <br />
1<br />
\end{array}\right)) =<br />
</tex><br />
<tex><br />
\left(\begin{array}{ccc}<br />
1 & 0 & 1\\<br />
0 & 1 & 2\\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{array}\right) \cdot<br />
</tex><br />
<tex><br />
\left(\begin{array}{c} <br />
6\\ <br />
9\\ <br />
1<br />
\end{array}\right) =<br />
</tex><br />
<tex><br />
\left(\begin{array}{c} <br />
6 + 1\\ <br />
9 + 2\\ <br />
1<br />
\end{array}\right) =<br />
</tex><br />
<tex><br />
\left(\begin{array}{c} <br />
7\\ <br />
11\\ <br />
1<br />
\end{array}\right) =<br />
</tex></div>Martoonhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9E%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82%D1%8B&diff=52157Однородные координаты2016-02-12T17:07:30Z<p>Martoon: Новая страница: «Будем рассматривать точки в плоскости. Вообще каждая точка задаётся парой координат <tex>...»</p>
<hr />
<div>Будем рассматривать точки в плоскости.<br />
<br />
Вообще каждая точка задаётся парой координат <tex>(x, y)</tex>.<br />
<br />
В однородных координатах добавляется ещё одна - <tex> z </tex>, и вводятся следующие правила:<br />
<br />
# Точке <tex> P(x, y) </tex> соответствуют однородные координаты <tex> (x, y, 1) </tex><br />
# Если домножить все три координаты на одно и то же число, получившаяся тройка координат будет задавать ту же точку.<br />
<br />
Например, точке <tex> P(5, 3) </tex> соответствуют однородные координаты <tex> (5, 3, 1), (10, 6, 2), (-5, -3, -1) </tex>, и бесконечно много других. Но мы будем предпочитать ту тройку, у которой <tex> z = 1 </tex>.<br />
<br />
== Пример ==<br />
<br />
Задача: Найдите обычные координаты точки, если её однородные координаты <tex> (10, 25, 5) </tex><br />
<br />
Решение: Нужно умножить все координаты на одно число так, чтобы z стало равно 1. Соответственно, делим на 5:<br />
<br />
<tex> (10 / 5, 25 / 5, 5 / 5) = (2, 5, 1) </tex><br />
<br />
Значит, наша точка имеет координаты <tex> (2, 5) </tex></div>Martoonhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9A%D1%81%D0%B5_%D0%BA&diff=52156Ксе к2016-02-09T13:00:38Z<p>Martoon: </p>
<hr />
<div>''' О ЗАДАЧЕ '''<br />
<br />
Представим банку, заполненную хим акт жидкостью, а может твердое тело, перемешаны хим реагенты, которые способны взаимод друг с другом. Одну из стенок банки начинают прогревать (поддерживая температуру стенки <tex>T_w</tex>). При нагревании происходит хим реакция. Эта хим реакция удовлетворяет 2 свойствам:<br />
# скорость реакции "сильно" увеличивается с температурой<br />
# происходит "сильное" выделение тепла этой реакции<br />
<br />
Исходная смесь имеет температуру <tex>T_0</tex> (при которой скорость реакции очень маленькая). Начинаем стеночку прогревать, тепло передается близлежащим слоям смесей, нагреваются, так как скорость реакции увеличивается с температурой, в них начинает происходить реакция. Как только пошла, начинается выделение собственного тепла реакции. Это тепло передается след слоям, они тоже прогреваются и тд. При некоторых условиях формируется тепловой фронт химической реакции. (РИСУНОК распределение температуры, ось z, хим волна реакции).<br />
<br> <tex>Tm = T_0 + \frac{Q}{C}</tex><br />
<br>, где <br />
<br><tex>T_m</tex> температура адиабатического прохождения реакции, когда все тепло реакции на нагрев смеси<br />
<br><tex>Q</tex> - тепловой эффект хим реакции<br />
<br><tex>C</tex> - теплоемкость<br />
<br />
* Как ведет концентрация реагентов?<br />
начальный реагент A -> B (в продукт B)<br />
(в чем мер <b>концентрация</b> = отношение плотности вещества к полной плотности смеси <tex>x = \frac {\rho_A} {\rho_A + \rho_B} </tex> , <tex>0 \leq x \leq 1</tex>)<br />
<br />
Перед фронтом когда один реагент концентрация = 1. После фронта асимтотически выходит на 0.<br />
<br />
* Как ведет себя скорость?<br />
Дает очень узкий пик в какой-то малой зоне. Перед зоной скорость реакции мала, так как температура мала, а после мала, так как реагент скушался. Расчеты показывают, что это очень узкий пик. <br />
<br />
Например, как инициировать фронт? Допустим, устанавливаем температуру стенки <tex>T_w</tex>; если <tex>T_w = T_m</tex>, то волна без проблем идет, если меньше, то существует критическое значение <tex>T^*</tex> для инициирования волны. Тогда<br />
<br />
* <tex> T_w \lesssim T^* \le T_m </tex> - нет "поджига" (т.е. волна не начинается, инертный прогрев)<br />
<br />
* <tex> T^* \lesssim T_w \le T_m </tex> - "поджиг" с задержкой<br />
<br />
* <tex> T_m \le T_w </tex> - быстрый "поджиг" (мнгновенно)<br />
<br />
Когда волна отходит, она забывает об начальном условии. Влияние другой стенки и тп.<br />
При определенном соотношении параметров, которые характеризуют эту волну, она может терять устойчивость. <br />
Что происходит после потери? <br />
Если теряет в одномерной моде (?) то есть сохраняет свою плоскую структуру, то формирются другие устойчивые режимы, например колебательные, то есть волна движется, то ускоряясь, то замедляясь; дальше может произойти бифуркация, и воникнуть 2х периодические колебание, то есть делает такие колебания с большим периодом и маленьким. И при определенном наборе параметров возникает хаотическое поведение, волна, сохраняя плоскую форму, распространяется колебательно, но вообще не периодически, поведение похоже на хаотическое. Пример динамического хаоса: поведение похоже на хаос, но описывается детерминированной закономерностью.<br />
Не плоская волна?<br />
Если плоская задача, может возникнуть 2 очага. (РИСУНКИ)<br />
Если 3д, то очаги(2шт) по спирали двигаются в одну сторону.<br />
Могут распасться на несколько очагов - спиновая волна. Всякие чудеса<br />
<br />
Совершенно детерминир система - такое сложное поведение =)<br />
<br />
<br />
''' КАК МОДЕЛИРОВАТЬ '''<br />
<br />
В одномерном случае ситема описывается 2мя функциями:<br />
# <tex>x(t, z)</tex> - концентрация<br />
# <tex>T(t, z)</tex> - температура <br />
<br />
<tex>\left\{ \begin{matrix} \frac {\partial x} {\partial t} - D \frac{\partial^2 x}{\partial t^2} = W(x, T) \\ <br />
\rho C \frac {\partial T}{\partial t} - \lambda \frac{\partial^2 T}{\partial z^2} = - \rho Q W (x,T)\end{matrix} \right.</tex><br />
<br>, где <tex>D</tex> - коэффициет диффузии<br />
<br />
Первое - уравнение диффузии. Справа - скорость хим реакции:<br />
<br><tex>W(x, T) = - K x^a exp ( - \frac{E}{R T})</tex><br />
<br>, где K - константа скорости реакции. К, а - порядок реакции, Е - энергия активациии - константы<br />
<br />
Что такое переход из вещества А в В (РИСУНОК енергия связи, барьер.) То есть чтобы произошла реакция необходимо преодолеть молекулярный барьер. Экспонента формуле показывает, какая часть модекул больше барьера.<br />
<br />
Надо решить ту систему уравнений.<br />
<br />
* Граничные условия:<br />
<br />
<tex>x|_{z = 0} = 0</tex><br />
<br />
<tex>T|_{z = 0} = T_w</tex> - температура стенки<br />
<br />
<tex>\frac {\partial x} {\partial z} |_{z = l} = 0, \frac {\partial T} {\partial z} |_{z = l} = 0</tex>. На самом деле, все это не важно условия на дальнем конце, пока фронт не подойдет к ней.<br />
<br />
* Начальные условия:<br />
<br />
<tex>x|_{t = 0} = \left\{ \begin{matrix} 1, z \ne 0 \\ <br />
0, z = 0\end{matrix} \right.</tex><br />
<br />
<br />
<tex>T|_{t = 0} = \left\{ \begin{matrix} T_0, z \ne 0 \\ <br />
T_w, z = 0\end{matrix} \right.</tex><br />
<br />
* Замечание<br />
С вероятность 99 процентов не получится; надо представлять структуру того, что происходит. То есть нельзя формально применять методы, должен быть предварительный физ анализ. Поэтому нужны оценки.<br />
<br />
<br />
''' Оценки: '''<br />
<br />
Характерная величина скорости фронта для случая когда, порядок реакции а = 1<br />
<br />
<tex>U \sim [\frac{2 K \lambda}{Q \rho \triangle T} (\frac{R T_{m^2}}{E})^2 e^{-\frac{E}{R T_m}}] ^ {1/2}</tex><br />
<br>, где<br />
<br>К - конст реакции, <br />
<br><tex>\triangle T</tex> - насколько среда прогревается<br />
<br><tex>\lambda</tex> - коэффициент теплопроводности<br />
<br>Q - тепловой эффект реакции<br />
<br />
<br><tex>\triangle T = T_m - T_0 = \frac{Q}{C}</tex><br />
<br> T_m - температура адиабатического прохожденя реакции, то есть насколько прогрелась<br />
<br />
По структуре фронта (ГРАФИКИ структура фронта)<br />
есть сравнительно широкая зона подогрева <tex>\delta_t</tex> и сравнительно узкая зона реакции <tex>\delta_r</tex>. То есть температура увелич в сравнительно широкой облачти, а реакция контертруется (?) в более узкой зоне.<br />
<br />
<tex>\delta_T \sim \frac {\varkappa}{U} = \frac{\lambda}{\rho С U}</tex>, <tex>\varkappa</tex>- коэфф темепературопроводности<br />
<br />
диффузионный масштаб (может не совпадать с тепловым)<br />
<tex>\delta_D \sim \frac {D} {U} </tex>, где D - коэфф диффузии<br />
<br />
<tex>\delta_r \sim \delta_T \beta</tex><br />
<br>, где <tex>\beta =\frac{R T_m}{E} \ll 1</tex> - условние "сильной " зависимости скор реакц от температуры<br />
<br />
<tex>\gamma = \frac{R T_m^2}{E \triangle T} = \frac{R T_m^2}{E (T_m - T_0)} = \frac{R T_m^2 C}{E Q} \ll 1</tex> - условие "сильной" экзотермичности реакии<br />
<br />
* Как подбирать шаги по времени?<br />
Должны разрешить наименьший физ масштаб. нужно чтобы <br />
# на <tex>\delta_r</tex> укладывалось хотя юы несколько пространственных шагов , <br />
# <tex> \triangle z\lesssim \delta_r</tex>,<br />
# <tex>\delta_T \ll l </tex> l - разсер области, то есть чтобы фронт поместился.<br />
<br />
''' Задача '''<br />
<br />
Предже всего, получить обычный фронт, потом варьируя параметры залезть за критичсекие режимы. Что способствует переходу за крит режимы: D↓, K↑, и одновременно (K↑, Е↑ таким образом что <tex>K e^{-\frac{E}{l t m}} = const </tex> - может привести к релаксационным колебаниям)<br />
<br />
(*)Для желающих 2мерную задачу. <br />
<br />
Параметры:<br />
<br />
<tex>K = 1.6 \cdot 10^6 </tex> 1 /c константа скорости реакции<br />
<br />
<tex>E = 8 \cdot 10^4 </tex> Дж/Моль энергия активации<br />
<br />
<tex>R = 8.314 </tex> Дж/(Моль * К) унив газовая постоянная<br />
<br />
<tex>a = 0..2</tex> - порядок реакции. лучше начинать с 1<br />
<br />
<tex>Q =7 \cdot 10^5 </tex> Дж/кг тепловой эффект реакции<br />
<br />
<tex>\rho = 830 </tex> кг / м^3<br />
<br />
<tex>T_0 = 293</tex> K<br />
<br />
<tex>C = 1980</tex> Дж/(кг * K) теплоемкость<br />
<br />
<tex>\lambda = 1.13 </tex> Дж/(м * с * К) теплопроводность <br />
<ref><br />
У меня немного по-другому <tex>\lambda = 0.13 </tex> Дж/(м * с * К)<br />
</ref><br />
<br />
<tex>D \sim 8 \cdot 10^{-12}</tex> м^2/c коэффиц диффузии.<br />
Диффузия в жидк и твердых телах очень маленькая. Для начала не реальную брать D, а взять не физ значение а такое, что число Льюиса <tex>L_e = \frac{D}{\varkappa} = \frac{D \rho C} {\lambda} = 1</tex>. Это даст ситуацию подобия уравнений переноса тепла и переноса массы. <br />
<br />
"Препроцессинг" - интерактивный ввод параметров физических и вычислительных(шаги кол-во шагов...)<br />
<br />
"Процессор" - солвер<br />
<br />
"Постпроцессор" - визуализация. Температура, концентрация, W скорость реакции. (интересно - анимация, прям волна бежит)<br />
<br />
<br />
== Решения ==<br />
=== Неявный метод ===<br />
<br />
Общий вид:<br />
<br />
<tex> \frac{T^{n+1}-T^{n}}{\Delta t}=L_{n}T^{n+1} </tex><br />
<br />
<br />
В нашем случае (вычисляем <tex>(n+1)</tex>-ый слой):<br />
<br />
<tex> \frac {X_{i}^{n+1} - X_{i}^{n}} {\Delta t} - D \frac {X_{i-1}^{n+1} - 2X_{i}^{n+1} + X_{i+1}^{n+1}} {\Delta z^{2}} = W(X_{i}^{n},\ T_{i}^{n}) </tex> <br />
<ref> В слагаемом с <tex> D </tex> у нас была производная по времени, но тогда мало понятно как решать, а ещё решение которое нашёл Вова содержит в этом месте производную по координате. </ref><br />
<br />
<tex> \rho C \frac {T^{n+1} - T^{n}} {\Delta t} - \lambda \frac {T_{i-1}^{n+1} - 2T_{i}^{n+1} + T_{i+1}^{n+1}} {\Delta z^{2}} = -\rho Q W(X_{i}^{n},\ T_{i}^{n}) </tex><br />
<br />
Решается методом прогонки ( + внутренние итерации)<br />
<br />
== Возможные альтернативные варианты формул: ==<br />
<br />
<references/></div>Martoonhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9A%D1%81%D0%B5_%D0%BA&diff=52155Ксе к2016-02-09T12:59:45Z<p>Martoon: /* Неявный метод */</p>
<hr />
<div>''' О ЗАДАЧЕ '''<br />
<br />
Представим банку, заполненную хим акт жидкостью, а может твердое тело, перемешаны хим реагенты, которые способны взаимод друг с другом. Одну из стенок банки начинают прогревать (поддерживая температуру стенки <tex>T_w</tex>). При нагревании происходит хим реакция. Эта хим реакция удовлетворяет 2 свойствам:<br />
# скорость реакции "сильно" увеличивается с температурой<br />
# происходит "сильное" выделение тепла этой реакции<br />
<br />
Исходная смесь имеет температуру <tex>T_0</tex> (при которой скорость реакции очень маленькая). Начинаем стеночку прогревать, тепло передается близлежащим слоям смесей, нагреваются, так как скорость реакции увеличивается с температурой, в них начинает происходить реакция. Как только пошла, начинается выделение собственного тепла реакции. Это тепло передается след слоям, они тоже прогреваются и тд. При некоторых условиях формируется тепловой фронт химической реакции. (РИСУНОК распределение температуры, ось z, хим волна реакции).<br />
<br> <tex>Tm = T_0 + \frac{Q}{C}</tex><br />
<br>, где <br />
<br><tex>T_m</tex> температура адиабатического прохождения реакции, когда все тепло реакции на нагрев смеси<br />
<br><tex>Q</tex> - тепловой эффект хим реакции<br />
<br><tex>C</tex> - теплоемкость<br />
<br />
* Как ведет концентрация реагентов?<br />
начальный реагент A -> B (в продукт B)<br />
(в чем мер <b>концентрация</b> = отношение плотности вещества к полной плотности смеси <tex>x = \frac {\rho_A} {\rho_A + \rho_B} </tex> , <tex>0 \leq x \leq 1</tex>)<br />
<br />
Перед фронтом когда один реагент концентрация = 1. После фронта асимтотически выходит на 0.<br />
<br />
* Как ведет себя скорость?<br />
Дает очень узкий пик в какой-то малой зоне. Перед зоной скорость реакции мала, так как температура мала, а после мала, так как реагент скушался. Расчеты показывают, что это очень узкий пик. <br />
<br />
Например, как инициировать фронт? Допустим, устанавливаем температуру стенки <tex>T_w</tex>; если <tex>T_w = T_m</tex>, то волна без проблем идет, если меньше, то существует критическое значение <tex>T^*</tex> для инициирования волны. Тогда<br />
<br />
* <tex> T_w \lesssim T^* \le T_m </tex> - нет "поджига" (т.е. волна не начинается, инертный прогрев)<br />
<br />
* <tex> T^* \lesssim T_w \le T_m </tex> - "поджиг" с задержкой<br />
<br />
* <tex> T_m \le T_w </tex> - быстрый "поджиг" (мнгновенно)<br />
<br />
Когда волна отходит, она забывает об начальном условии. Влияние другой стенки и тп.<br />
При определенном соотношении параметров, которые характеризуют эту волну, она может терять устойчивость. <br />
Что происходит после потери? <br />
Если теряет в одномерной моде (?) то есть сохраняет свою плоскую структуру, то формирются другие устойчивые режимы, например колебательные, то есть волна движется, то ускоряясь, то замедляясь; дальше может произойти бифуркация, и воникнуть 2х периодические колебание, то есть делает такие колебания с большим периодом и маленьким. И при определенном наборе параметров возникает хаотическое поведение, волна, сохраняя плоскую форму, распространяется колебательно, но вообще не периодически, поведение похоже на хаотическое. Пример динамического хаоса: поведение похоже на хаос, но описывается детерминированной закономерностью.<br />
Не плоская волна?<br />
Если плоская задача, может возникнуть 2 очага. (РИСУНКИ)<br />
Если 3д, то очаги(2шт) по спирали двигаются в одну сторону.<br />
Могут распасться на несколько очагов - спиновая волна. Всякие чудеса<br />
<br />
Совершенно детерминир система - такое сложное поведение =)<br />
<br />
<br />
''' КАК МОДЕЛИРОВАТЬ '''<br />
<br />
В одномерном случае ситема описывается 2мя функциями:<br />
# <tex>x(t, z)</tex> - концентрация<br />
# <tex>T(t, z)</tex> - температура <br />
<br />
<tex>\left\{ \begin{matrix} \frac {\partial x} {\partial t} - D \frac{\partial^2 x}{\partial t^2} = W(x, T) \\ <br />
C \frac {\partial T}{\partial t} - \lambda \frac{\partial^2 T}{\partial z^2} = - \rho Q W (x,T)\end{matrix} \right.</tex><br />
<ref><br />
У меня немного по-другому 2-ое уравнение: <tex> \rho C \frac {\partial T}{\partial t} - \lambda \frac{\partial^2 T}{\partial z^2} = - \rho Q W (x,T) </tex><br />
<br>И у меня! Тоже с <tex> \rho </tex> в начале (Вова)<br />
</ref><br />
<br>, где <tex>D</tex> - коэффициет диффузии<br />
<br />
Первое - уравнение диффузии. Справа - скорость хим реакции:<br />
<br><tex>W(x, T) = - K x^a exp ( - \frac{E}{R T})</tex><br />
<br>, где K - константа скорости реакции. К, а - порядок реакции, Е - энергия активациии - константы<br />
<br />
Что такое переход из вещества А в В (РИСУНОК енергия связи, барьер.) То есть чтобы произошла реакция необходимо преодолеть молекулярный барьер. Экспонента формуле показывает, какая часть модекул больше барьера.<br />
<br />
Надо решить ту систему уравнений.<br />
<br />
* Граничные условия:<br />
<br />
<tex>x|_{z = 0} = 0</tex><br />
<br />
<tex>T|_{z = 0} = T_w</tex> - температура стенки<br />
<br />
<tex>\frac {\partial x} {\partial z} |_{z = l} = 0, \frac {\partial T} {\partial z} |_{z = l} = 0</tex>. На самом деле, все это не важно условия на дальнем конце, пока фронт не подойдет к ней.<br />
<br />
* Начальные условия:<br />
<br />
<tex>x|_{t = 0} = \left\{ \begin{matrix} 1, z \ne 0 \\ <br />
0, z = 0\end{matrix} \right.</tex><br />
<br />
<br />
<tex>T|_{t = 0} = \left\{ \begin{matrix} T_0, z \ne 0 \\ <br />
T_w, z = 0\end{matrix} \right.</tex><br />
<br />
* Замечание<br />
С вероятность 99 процентов не получится; надо представлять структуру того, что происходит. То есть нельзя формально применять методы, должен быть предварительный физ анализ. Поэтому нужны оценки.<br />
<br />
<br />
''' Оценки: '''<br />
<br />
Характерная величина скорости фронта для случая когда, порядок реакции а = 1<br />
<br />
<tex>U \sim [\frac{2 K \lambda}{Q \rho \triangle T} (\frac{R T_{m^2}}{E})^2 e^{-\frac{E}{R T_m}}] ^ {1/2}</tex><br />
<br>, где<br />
<br>К - конст реакции, <br />
<br><tex>\triangle T</tex> - насколько среда прогревается<br />
<br><tex>\lambda</tex> - коэффициент теплопроводности<br />
<br>Q - тепловой эффект реакции<br />
<br />
<br><tex>\triangle T = T_m - T_0 = \frac{Q}{C}</tex><br />
<br> T_m - температура адиабатического прохожденя реакции, то есть насколько прогрелась<br />
<br />
По структуре фронта (ГРАФИКИ структура фронта)<br />
есть сравнительно широкая зона подогрева <tex>\delta_t</tex> и сравнительно узкая зона реакции <tex>\delta_r</tex>. То есть температура увелич в сравнительно широкой облачти, а реакция контертруется (?) в более узкой зоне.<br />
<br />
<tex>\delta_T \sim \frac {\varkappa}{U} = \frac{\lambda}{\rho С U}</tex>, <tex>\varkappa</tex>- коэфф темепературопроводности<br />
<br />
диффузионный масштаб (может не совпадать с тепловым)<br />
<tex>\delta_D \sim \frac {D} {U} </tex>, где D - коэфф диффузии<br />
<br />
<tex>\delta_r \sim \delta_T \beta</tex><br />
<br>, где <tex>\beta =\frac{R T_m}{E} \ll 1</tex> - условние "сильной " зависимости скор реакц от температуры<br />
<br />
<tex>\gamma = \frac{R T_m^2}{E \triangle T} = \frac{R T_m^2}{E (T_m - T_0)} = \frac{R T_m^2 C}{E Q} \ll 1</tex> - условие "сильной" экзотермичности реакии<br />
<br />
* Как подбирать шаги по времени?<br />
Должны разрешить наименьший физ масштаб. нужно чтобы <br />
# на <tex>\delta_r</tex> укладывалось хотя юы несколько пространственных шагов , <br />
# <tex> \triangle z\lesssim \delta_r</tex>,<br />
# <tex>\delta_T \ll l </tex> l - разсер области, то есть чтобы фронт поместился.<br />
<br />
''' Задача '''<br />
<br />
Предже всего, получить обычный фронт, потом варьируя параметры залезть за критичсекие режимы. Что способствует переходу за крит режимы: D↓, K↑, и одновременно (K↑, Е↑ таким образом что <tex>K e^{-\frac{E}{l t m}} = const </tex> - может привести к релаксационным колебаниям)<br />
<br />
(*)Для желающих 2мерную задачу. <br />
<br />
Параметры:<br />
<br />
<tex>K = 1.6 \cdot 10^6 </tex> 1 /c константа скорости реакции<br />
<br />
<tex>E = 8 \cdot 10^4 </tex> Дж/Моль энергия активации<br />
<br />
<tex>R = 8.314 </tex> Дж/(Моль * К) унив газовая постоянная<br />
<br />
<tex>a = 0..2</tex> - порядок реакции. лучше начинать с 1<br />
<br />
<tex>Q =7 \cdot 10^5 </tex> Дж/кг тепловой эффект реакции<br />
<br />
<tex>\rho = 830 </tex> кг / м^3<br />
<br />
<tex>T_0 = 293</tex> K<br />
<br />
<tex>C = 1980</tex> Дж/(кг * K) теплоемкость<br />
<br />
<tex>\lambda = 1.13 </tex> Дж/(м * с * К) теплопроводность <br />
<ref><br />
У меня немного по-другому <tex>\lambda = 0.13 </tex> Дж/(м * с * К)<br />
</ref><br />
<br />
<tex>D \sim 8 \cdot 10^{-12}</tex> м^2/c коэффиц диффузии.<br />
Диффузия в жидк и твердых телах очень маленькая. Для начала не реальную брать D, а взять не физ значение а такое, что число Льюиса <tex>L_e = \frac{D}{\varkappa} = \frac{D \rho C} {\lambda} = 1</tex>. Это даст ситуацию подобия уравнений переноса тепла и переноса массы. <br />
<br />
"Препроцессинг" - интерактивный ввод параметров физических и вычислительных(шаги кол-во шагов...)<br />
<br />
"Процессор" - солвер<br />
<br />
"Постпроцессор" - визуализация. Температура, концентрация, W скорость реакции. (интересно - анимация, прям волна бежит)<br />
<br />
<br />
== Решения ==<br />
=== Неявный метод ===<br />
<br />
Общий вид:<br />
<br />
<tex> \frac{T^{n+1}-T^{n}}{\Delta t}=L_{n}T^{n+1} </tex><br />
<br />
<br />
В нашем случае (вычисляем <tex>(n+1)</tex>-ый слой):<br />
<br />
<tex> \frac {X_{i}^{n+1} - X_{i}^{n}} {\Delta t} - D \frac {X_{i-1}^{n+1} - 2X_{i}^{n+1} + X_{i+1}^{n+1}} {\Delta z^{2}} = W(X_{i}^{n},\ T_{i}^{n}) </tex> <br />
<ref> В слагаемом с <tex> D </tex> у нас была производная по времени, но тогда мало понятно как решать, а ещё решение которое нашёл Вова содержит в этом месте производную по координате. </ref><br />
<br />
<tex> \rho C \frac {T^{n+1} - T^{n}} {\Delta t} - \lambda \frac {T_{i-1}^{n+1} - 2T_{i}^{n+1} + T_{i+1}^{n+1}} {\Delta z^{2}} = -\rho Q W(X_{i}^{n},\ T_{i}^{n}) </tex><br />
<br />
Решается методом прогонки ( + внутренние итерации)<br />
<br />
== Возможные альтернативные варианты формул: ==<br />
<br />
<references/></div>Martoonhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9A%D1%81%D0%B5_%D0%BA&diff=52154Ксе к2016-02-09T12:58:45Z<p>Martoon: /* Неявный метод */</p>
<hr />
<div>''' О ЗАДАЧЕ '''<br />
<br />
Представим банку, заполненную хим акт жидкостью, а может твердое тело, перемешаны хим реагенты, которые способны взаимод друг с другом. Одну из стенок банки начинают прогревать (поддерживая температуру стенки <tex>T_w</tex>). При нагревании происходит хим реакция. Эта хим реакция удовлетворяет 2 свойствам:<br />
# скорость реакции "сильно" увеличивается с температурой<br />
# происходит "сильное" выделение тепла этой реакции<br />
<br />
Исходная смесь имеет температуру <tex>T_0</tex> (при которой скорость реакции очень маленькая). Начинаем стеночку прогревать, тепло передается близлежащим слоям смесей, нагреваются, так как скорость реакции увеличивается с температурой, в них начинает происходить реакция. Как только пошла, начинается выделение собственного тепла реакции. Это тепло передается след слоям, они тоже прогреваются и тд. При некоторых условиях формируется тепловой фронт химической реакции. (РИСУНОК распределение температуры, ось z, хим волна реакции).<br />
<br> <tex>Tm = T_0 + \frac{Q}{C}</tex><br />
<br>, где <br />
<br><tex>T_m</tex> температура адиабатического прохождения реакции, когда все тепло реакции на нагрев смеси<br />
<br><tex>Q</tex> - тепловой эффект хим реакции<br />
<br><tex>C</tex> - теплоемкость<br />
<br />
* Как ведет концентрация реагентов?<br />
начальный реагент A -> B (в продукт B)<br />
(в чем мер <b>концентрация</b> = отношение плотности вещества к полной плотности смеси <tex>x = \frac {\rho_A} {\rho_A + \rho_B} </tex> , <tex>0 \leq x \leq 1</tex>)<br />
<br />
Перед фронтом когда один реагент концентрация = 1. После фронта асимтотически выходит на 0.<br />
<br />
* Как ведет себя скорость?<br />
Дает очень узкий пик в какой-то малой зоне. Перед зоной скорость реакции мала, так как температура мала, а после мала, так как реагент скушался. Расчеты показывают, что это очень узкий пик. <br />
<br />
Например, как инициировать фронт? Допустим, устанавливаем температуру стенки <tex>T_w</tex>; если <tex>T_w = T_m</tex>, то волна без проблем идет, если меньше, то существует критическое значение <tex>T^*</tex> для инициирования волны. Тогда<br />
<br />
* <tex> T_w \lesssim T^* \le T_m </tex> - нет "поджига" (т.е. волна не начинается, инертный прогрев)<br />
<br />
* <tex> T^* \lesssim T_w \le T_m </tex> - "поджиг" с задержкой<br />
<br />
* <tex> T_m \le T_w </tex> - быстрый "поджиг" (мнгновенно)<br />
<br />
Когда волна отходит, она забывает об начальном условии. Влияние другой стенки и тп.<br />
При определенном соотношении параметров, которые характеризуют эту волну, она может терять устойчивость. <br />
Что происходит после потери? <br />
Если теряет в одномерной моде (?) то есть сохраняет свою плоскую структуру, то формирются другие устойчивые режимы, например колебательные, то есть волна движется, то ускоряясь, то замедляясь; дальше может произойти бифуркация, и воникнуть 2х периодические колебание, то есть делает такие колебания с большим периодом и маленьким. И при определенном наборе параметров возникает хаотическое поведение, волна, сохраняя плоскую форму, распространяется колебательно, но вообще не периодически, поведение похоже на хаотическое. Пример динамического хаоса: поведение похоже на хаос, но описывается детерминированной закономерностью.<br />
Не плоская волна?<br />
Если плоская задача, может возникнуть 2 очага. (РИСУНКИ)<br />
Если 3д, то очаги(2шт) по спирали двигаются в одну сторону.<br />
Могут распасться на несколько очагов - спиновая волна. Всякие чудеса<br />
<br />
Совершенно детерминир система - такое сложное поведение =)<br />
<br />
<br />
''' КАК МОДЕЛИРОВАТЬ '''<br />
<br />
В одномерном случае ситема описывается 2мя функциями:<br />
# <tex>x(t, z)</tex> - концентрация<br />
# <tex>T(t, z)</tex> - температура <br />
<br />
<tex>\left\{ \begin{matrix} \frac {\partial x} {\partial t} - D \frac{\partial^2 x}{\partial t^2} = W(x, T) \\ <br />
C \frac {\partial T}{\partial t} - \lambda \frac{\partial^2 T}{\partial z^2} = - \rho Q W (x,T)\end{matrix} \right.</tex><br />
<ref><br />
У меня немного по-другому 2-ое уравнение: <tex> \rho C \frac {\partial T}{\partial t} - \lambda \frac{\partial^2 T}{\partial z^2} = - \rho Q W (x,T) </tex><br />
<br>И у меня! Тоже с <tex> \rho </tex> в начале (Вова)<br />
</ref><br />
<br>, где <tex>D</tex> - коэффициет диффузии<br />
<br />
Первое - уравнение диффузии. Справа - скорость хим реакции:<br />
<br><tex>W(x, T) = - K x^a exp ( - \frac{E}{R T})</tex><br />
<br>, где K - константа скорости реакции. К, а - порядок реакции, Е - энергия активациии - константы<br />
<br />
Что такое переход из вещества А в В (РИСУНОК енергия связи, барьер.) То есть чтобы произошла реакция необходимо преодолеть молекулярный барьер. Экспонента формуле показывает, какая часть модекул больше барьера.<br />
<br />
Надо решить ту систему уравнений.<br />
<br />
* Граничные условия:<br />
<br />
<tex>x|_{z = 0} = 0</tex><br />
<br />
<tex>T|_{z = 0} = T_w</tex> - температура стенки<br />
<br />
<tex>\frac {\partial x} {\partial z} |_{z = l} = 0, \frac {\partial T} {\partial z} |_{z = l} = 0</tex>. На самом деле, все это не важно условия на дальнем конце, пока фронт не подойдет к ней.<br />
<br />
* Начальные условия:<br />
<br />
<tex>x|_{t = 0} = \left\{ \begin{matrix} 1, z \ne 0 \\ <br />
0, z = 0\end{matrix} \right.</tex><br />
<br />
<br />
<tex>T|_{t = 0} = \left\{ \begin{matrix} T_0, z \ne 0 \\ <br />
T_w, z = 0\end{matrix} \right.</tex><br />
<br />
* Замечание<br />
С вероятность 99 процентов не получится; надо представлять структуру того, что происходит. То есть нельзя формально применять методы, должен быть предварительный физ анализ. Поэтому нужны оценки.<br />
<br />
<br />
''' Оценки: '''<br />
<br />
Характерная величина скорости фронта для случая когда, порядок реакции а = 1<br />
<br />
<tex>U \sim [\frac{2 K \lambda}{Q \rho \triangle T} (\frac{R T_{m^2}}{E})^2 e^{-\frac{E}{R T_m}}] ^ {1/2}</tex><br />
<br>, где<br />
<br>К - конст реакции, <br />
<br><tex>\triangle T</tex> - насколько среда прогревается<br />
<br><tex>\lambda</tex> - коэффициент теплопроводности<br />
<br>Q - тепловой эффект реакции<br />
<br />
<br><tex>\triangle T = T_m - T_0 = \frac{Q}{C}</tex><br />
<br> T_m - температура адиабатического прохожденя реакции, то есть насколько прогрелась<br />
<br />
По структуре фронта (ГРАФИКИ структура фронта)<br />
есть сравнительно широкая зона подогрева <tex>\delta_t</tex> и сравнительно узкая зона реакции <tex>\delta_r</tex>. То есть температура увелич в сравнительно широкой облачти, а реакция контертруется (?) в более узкой зоне.<br />
<br />
<tex>\delta_T \sim \frac {\varkappa}{U} = \frac{\lambda}{\rho С U}</tex>, <tex>\varkappa</tex>- коэфф темепературопроводности<br />
<br />
диффузионный масштаб (может не совпадать с тепловым)<br />
<tex>\delta_D \sim \frac {D} {U} </tex>, где D - коэфф диффузии<br />
<br />
<tex>\delta_r \sim \delta_T \beta</tex><br />
<br>, где <tex>\beta =\frac{R T_m}{E} \ll 1</tex> - условние "сильной " зависимости скор реакц от температуры<br />
<br />
<tex>\gamma = \frac{R T_m^2}{E \triangle T} = \frac{R T_m^2}{E (T_m - T_0)} = \frac{R T_m^2 C}{E Q} \ll 1</tex> - условие "сильной" экзотермичности реакии<br />
<br />
* Как подбирать шаги по времени?<br />
Должны разрешить наименьший физ масштаб. нужно чтобы <br />
# на <tex>\delta_r</tex> укладывалось хотя юы несколько пространственных шагов , <br />
# <tex> \triangle z\lesssim \delta_r</tex>,<br />
# <tex>\delta_T \ll l </tex> l - разсер области, то есть чтобы фронт поместился.<br />
<br />
''' Задача '''<br />
<br />
Предже всего, получить обычный фронт, потом варьируя параметры залезть за критичсекие режимы. Что способствует переходу за крит режимы: D↓, K↑, и одновременно (K↑, Е↑ таким образом что <tex>K e^{-\frac{E}{l t m}} = const </tex> - может привести к релаксационным колебаниям)<br />
<br />
(*)Для желающих 2мерную задачу. <br />
<br />
Параметры:<br />
<br />
<tex>K = 1.6 \cdot 10^6 </tex> 1 /c константа скорости реакции<br />
<br />
<tex>E = 8 \cdot 10^4 </tex> Дж/Моль энергия активации<br />
<br />
<tex>R = 8.314 </tex> Дж/(Моль * К) унив газовая постоянная<br />
<br />
<tex>a = 0..2</tex> - порядок реакции. лучше начинать с 1<br />
<br />
<tex>Q =7 \cdot 10^5 </tex> Дж/кг тепловой эффект реакции<br />
<br />
<tex>\rho = 830 </tex> кг / м^3<br />
<br />
<tex>T_0 = 293</tex> K<br />
<br />
<tex>C = 1980</tex> Дж/(кг * K) теплоемкость<br />
<br />
<tex>\lambda = 1.13 </tex> Дж/(м * с * К) теплопроводность <br />
<ref><br />
У меня немного по-другому <tex>\lambda = 0.13 </tex> Дж/(м * с * К)<br />
</ref><br />
<br />
<tex>D \sim 8 \cdot 10^{-12}</tex> м^2/c коэффиц диффузии.<br />
Диффузия в жидк и твердых телах очень маленькая. Для начала не реальную брать D, а взять не физ значение а такое, что число Льюиса <tex>L_e = \frac{D}{\varkappa} = \frac{D \rho C} {\lambda} = 1</tex>. Это даст ситуацию подобия уравнений переноса тепла и переноса массы. <br />
<br />
"Препроцессинг" - интерактивный ввод параметров физических и вычислительных(шаги кол-во шагов...)<br />
<br />
"Процессор" - солвер<br />
<br />
"Постпроцессор" - визуализация. Температура, концентрация, W скорость реакции. (интересно - анимация, прям волна бежит)<br />
<br />
<br />
== Решения ==<br />
=== Неявный метод ===<br />
<br />
Общий вид:<br />
<br />
<tex> \frac{T^{n+1}-T^{n}}{\Delta t}=L_{n}T^{n+1} </tex><br />
<br />
<br />
В нашем случае (вычисляем <tex>(n+1)</tex>-ый слой):<br />
<br />
<tex> \frac {X_{i}^{n+1} - X_{i}^{n}} {\Delta t} - D \frac {X_{i-1}^{n+1} - 2X_{i}^{n+1} + X_{i+1}^{n+1}} {\Delta z^{2}} = W(X_{i}^{n},\ T_{i}^{n}) </tex> <br />
<ref> В слагаемом с <tex> D </tex> у нас была производная по времени, но тогда мало понятно как решать, а ещё решение которое нашёл Вова содержит в этом месте производную по координате. </ref><br />
<br />
<tex> C \frac {T^{n+1} - T^{n}} {\Delta t} - \lambda \frac {T_{i-1}^{n+1} - 2T_{i}^{n+1} + T_{i+1}^{n+1}} {\Delta z^{2}} = -\rho Q W(X_{i}^{n},\ T_{i}^{n}) </tex><br />
<br />
Решается методом прогонки ( + внутренние итерации)<br />
<br />
== Возможные альтернативные варианты формул: ==<br />
<br />
<references/></div>Martoonhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9A%D1%81%D0%B5_%D0%BA&diff=52153Ксе к2016-02-09T12:50:21Z<p>Martoon: /* Неявный метод */</p>
<hr />
<div>''' О ЗАДАЧЕ '''<br />
<br />
Представим банку, заполненную хим акт жидкостью, а может твердое тело, перемешаны хим реагенты, которые способны взаимод друг с другом. Одну из стенок банки начинают прогревать (поддерживая температуру стенки <tex>T_w</tex>). При нагревании происходит хим реакция. Эта хим реакция удовлетворяет 2 свойствам:<br />
# скорость реакции "сильно" увеличивается с температурой<br />
# происходит "сильное" выделение тепла этой реакции<br />
<br />
Исходная смесь имеет температуру <tex>T_0</tex> (при которой скорость реакции очень маленькая). Начинаем стеночку прогревать, тепло передается близлежащим слоям смесей, нагреваются, так как скорость реакции увеличивается с температурой, в них начинает происходить реакция. Как только пошла, начинается выделение собственного тепла реакции. Это тепло передается след слоям, они тоже прогреваются и тд. При некоторых условиях формируется тепловой фронт химической реакции. (РИСУНОК распределение температуры, ось z, хим волна реакции).<br />
<br> <tex>Tm = T_0 + \frac{Q}{C}</tex><br />
<br>, где <br />
<br><tex>T_m</tex> температура адиабатического прохождения реакции, когда все тепло реакции на нагрев смеси<br />
<br><tex>Q</tex> - тепловой эффект хим реакции<br />
<br><tex>C</tex> - теплоемкость<br />
<br />
* Как ведет концентрация реагентов?<br />
начальный реагент A -> B (в продукт B)<br />
(в чем мер <b>концентрация</b> = отношение плотности вещества к полной плотности смеси <tex>x = \frac {\rho_A} {\rho_A + \rho_B} </tex> , <tex>0 \leq x \leq 1</tex>)<br />
<br />
Перед фронтом когда один реагент концентрация = 1. После фронта асимтотически выходит на 0.<br />
<br />
* Как ведет себя скорость?<br />
Дает очень узкий пик в какой-то малой зоне. Перед зоной скорость реакции мала, так как температура мала, а после мала, так как реагент скушался. Расчеты показывают, что это очень узкий пик. <br />
<br />
Например, как инициировать фронт? Допустим, устанавливаем температуру стенки <tex>T_w</tex>; если <tex>T_w = T_m</tex>, то волна без проблем идет, если меньше, то существует критическое значение <tex>T^*</tex> для инициирования волны. Тогда<br />
<br />
* <tex> T_w \lesssim T^* \le T_m </tex> - нет "поджига" (т.е. волна не начинается, инертный прогрев)<br />
<br />
* <tex> T^* \lesssim T_w \le T_m </tex> - "поджиг" с задержкой<br />
<br />
* <tex> T_m \le T_w </tex> - быстрый "поджиг" (мнгновенно)<br />
<br />
Когда волна отходит, она забывает об начальном условии. Влияние другой стенки и тп.<br />
При определенном соотношении параметров, которые характеризуют эту волну, она может терять устойчивость. <br />
Что происходит после потери? <br />
Если теряет в одномерной моде (?) то есть сохраняет свою плоскую структуру, то формирются другие устойчивые режимы, например колебательные, то есть волна движется, то ускоряясь, то замедляясь; дальше может произойти бифуркация, и воникнуть 2х периодические колебание, то есть делает такие колебания с большим периодом и маленьким. И при определенном наборе параметров возникает хаотическое поведение, волна, сохраняя плоскую форму, распространяется колебательно, но вообще не периодически, поведение похоже на хаотическое. Пример динамического хаоса: поведение похоже на хаос, но описывается детерминированной закономерностью.<br />
Не плоская волна?<br />
Если плоская задача, может возникнуть 2 очага. (РИСУНКИ)<br />
Если 3д, то очаги(2шт) по спирали двигаются в одну сторону.<br />
Могут распасться на несколько очагов - спиновая волна. Всякие чудеса<br />
<br />
Совершенно детерминир система - такое сложное поведение =)<br />
<br />
<br />
''' КАК МОДЕЛИРОВАТЬ '''<br />
<br />
В одномерном случае ситема описывается 2мя функциями:<br />
# <tex>x(t, z)</tex> - концентрация<br />
# <tex>T(t, z)</tex> - температура <br />
<br />
<tex>\left\{ \begin{matrix} \frac {\partial x} {\partial t} - D \frac{\partial^2 x}{\partial t^2} = W(x, T) \\ <br />
C \frac {\partial T}{\partial t} - \lambda \frac{\partial^2 T}{\partial z^2} = - \rho Q W (x,T)\end{matrix} \right.</tex><br />
<ref><br />
У меня немного по-другому 2-ое уравнение: <tex> \rho C \frac {\partial T}{\partial t} - \lambda \frac{\partial^2 T}{\partial z^2} = - \rho Q W (x,T) </tex><br />
<br>И у меня! Тоже с <tex> \rho </tex> в начале (Вова)<br />
</ref><br />
<br>, где <tex>D</tex> - коэффициет диффузии<br />
<br />
Первое - уравнение диффузии. Справа - скорость хим реакции:<br />
<br><tex>W(x, T) = - K x^a exp ( - \frac{E}{R T})</tex><br />
<br>, где K - константа скорости реакции. К, а - порядок реакции, Е - энергия активациии - константы<br />
<br />
Что такое переход из вещества А в В (РИСУНОК енергия связи, барьер.) То есть чтобы произошла реакция необходимо преодолеть молекулярный барьер. Экспонента формуле показывает, какая часть модекул больше барьера.<br />
<br />
Надо решить ту систему уравнений.<br />
<br />
* Граничные условия:<br />
<br />
<tex>x|_{z = 0} = 0</tex><br />
<br />
<tex>T|_{z = 0} = T_w</tex> - температура стенки<br />
<br />
<tex>\frac {\partial x} {\partial z} |_{z = l} = 0, \frac {\partial T} {\partial z} |_{z = l} = 0</tex>. На самом деле, все это не важно условия на дальнем конце, пока фронт не подойдет к ней.<br />
<br />
* Начальные условия:<br />
<br />
<tex>x|_{t = 0} = \left\{ \begin{matrix} 1, z \ne 0 \\ <br />
0, z = 0\end{matrix} \right.</tex><br />
<br />
<br />
<tex>T|_{t = 0} = \left\{ \begin{matrix} T_0, z \ne 0 \\ <br />
T_w, z = 0\end{matrix} \right.</tex><br />
<br />
* Замечание<br />
С вероятность 99 процентов не получится; надо представлять структуру того, что происходит. То есть нельзя формально применять методы, должен быть предварительный физ анализ. Поэтому нужны оценки.<br />
<br />
<br />
''' Оценки: '''<br />
<br />
Характерная величина скорости фронта для случая когда, порядок реакции а = 1<br />
<br />
<tex>U \sim [\frac{2 K \lambda}{Q \rho \triangle T} (\frac{R T_{m^2}}{E})^2 e^{-\frac{E}{R T_m}}] ^ {1/2}</tex><br />
<br>, где<br />
<br>К - конст реакции, <br />
<br><tex>\triangle T</tex> - насколько среда прогревается<br />
<br><tex>\lambda</tex> - коэффициент теплопроводности<br />
<br>Q - тепловой эффект реакции<br />
<br />
<br><tex>\triangle T = T_m - T_0 = \frac{Q}{C}</tex><br />
<br> T_m - температура адиабатического прохожденя реакции, то есть насколько прогрелась<br />
<br />
По структуре фронта (ГРАФИКИ структура фронта)<br />
есть сравнительно широкая зона подогрева <tex>\delta_t</tex> и сравнительно узкая зона реакции <tex>\delta_r</tex>. То есть температура увелич в сравнительно широкой облачти, а реакция контертруется (?) в более узкой зоне.<br />
<br />
<tex>\delta_T \sim \frac {\varkappa}{U} = \frac{\lambda}{\rho С U}</tex>, <tex>\varkappa</tex>- коэфф темепературопроводности<br />
<br />
диффузионный масштаб (может не совпадать с тепловым)<br />
<tex>\delta_D \sim \frac {D} {U} </tex>, где D - коэфф диффузии<br />
<br />
<tex>\delta_r \sim \delta_T \beta</tex><br />
<br>, где <tex>\beta =\frac{R T_m}{E} \ll 1</tex> - условние "сильной " зависимости скор реакц от температуры<br />
<br />
<tex>\gamma = \frac{R T_m^2}{E \triangle T} = \frac{R T_m^2}{E (T_m - T_0)} = \frac{R T_m^2 C}{E Q} \ll 1</tex> - условие "сильной" экзотермичности реакии<br />
<br />
* Как подбирать шаги по времени?<br />
Должны разрешить наименьший физ масштаб. нужно чтобы <br />
# на <tex>\delta_r</tex> укладывалось хотя юы несколько пространственных шагов , <br />
# <tex> \triangle z\lesssim \delta_r</tex>,<br />
# <tex>\delta_T \ll l </tex> l - разсер области, то есть чтобы фронт поместился.<br />
<br />
''' Задача '''<br />
<br />
Предже всего, получить обычный фронт, потом варьируя параметры залезть за критичсекие режимы. Что способствует переходу за крит режимы: D↓, K↑, и одновременно (K↑, Е↑ таким образом что <tex>K e^{-\frac{E}{l t m}} = const </tex> - может привести к релаксационным колебаниям)<br />
<br />
(*)Для желающих 2мерную задачу. <br />
<br />
Параметры:<br />
<br />
<tex>K = 1.6 \cdot 10^6 </tex> 1 /c константа скорости реакции<br />
<br />
<tex>E = 8 \cdot 10^4 </tex> Дж/Моль энергия активации<br />
<br />
<tex>R = 8.314 </tex> Дж/(Моль * К) унив газовая постоянная<br />
<br />
<tex>a = 0..2</tex> - порядок реакции. лучше начинать с 1<br />
<br />
<tex>Q =7 \cdot 10^5 </tex> Дж/кг тепловой эффект реакции<br />
<br />
<tex>\rho = 830 </tex> кг / м^3<br />
<br />
<tex>T_0 = 293</tex> K<br />
<br />
<tex>C = 1980</tex> Дж/(кг * K) теплоемкость<br />
<br />
<tex>\lambda = 1.13 </tex> Дж/(м * с * К) теплопроводность <br />
<ref><br />
У меня немного по-другому <tex>\lambda = 0.13 </tex> Дж/(м * с * К)<br />
</ref><br />
<br />
<tex>D \sim 8 \cdot 10^{-12}</tex> м^2/c коэффиц диффузии.<br />
Диффузия в жидк и твердых телах очень маленькая. Для начала не реальную брать D, а взять не физ значение а такое, что число Льюиса <tex>L_e = \frac{D}{\varkappa} = \frac{D \rho C} {\lambda} = 1</tex>. Это даст ситуацию подобия уравнений переноса тепла и переноса массы. <br />
<br />
"Препроцессинг" - интерактивный ввод параметров физических и вычислительных(шаги кол-во шагов...)<br />
<br />
"Процессор" - солвер<br />
<br />
"Постпроцессор" - визуализация. Температура, концентрация, W скорость реакции. (интересно - анимация, прям волна бежит)<br />
<br />
<br />
== Решения ==<br />
=== Неявный метод ===<br />
<br />
Общий вид:<br />
<br />
<tex> \frac{T^{n+1}-T^{n}}{\Delta t}=L_{n}T^{n+1} </tex><br />
<br />
<br />
В нашем случае (вычисляем <tex>(n+1)</tex>-ый слой):<br />
<br />
<tex> \frac {X_{i}^{n+1} - X_{i}^{n}} {\Delta t} - D \frac {X_{i-1}^{n+1} - 2X_{i}^{n+1} + X_{i+1}^{n+1}} {\Delta z^{2}} = W(X_{i}^{n},\ T_{i}^{n}) </tex> <br />
<ref> В слагаемом с <tex> D </tex> у нас была производная по времени, но тогда мало понятно как решать, а ещё решение которое нашёл Вова содержит в этом месте производную по координате. </ref><br />
<br />
<tex> C \frac {T^{n+1} - T^{n}} {\Delta t} - \lambda \frac {T_{i-1}^{n+1} - 2T_{i}^{n+1} + T_{i+1}^{n+1}} {\Delta z^{2}} = -\rho Q W(X_{i}^{n},\ T_{i}^{n}) </tex><br />
<br />
Решается методом прогонки (на каждом временном слое нужно сделать это несколько раз, каждый раз используя только что вычисленные <tex> X^{n+1} </tex> и <tex> T^{n+1} </tex> в качестве <tex> X^n </tex> и <tex> T^n </tex>, т.е. внутренние итерации)<br />
<br />
== Возможные альтернативные варианты формул: ==<br />
<br />
<references/></div>Martoonhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9A%D1%81%D0%B5_%D0%BA&diff=52152Ксе к2016-02-09T12:49:01Z<p>Martoon: /* Неявный метод */</p>
<hr />
<div>''' О ЗАДАЧЕ '''<br />
<br />
Представим банку, заполненную хим акт жидкостью, а может твердое тело, перемешаны хим реагенты, которые способны взаимод друг с другом. Одну из стенок банки начинают прогревать (поддерживая температуру стенки <tex>T_w</tex>). При нагревании происходит хим реакция. Эта хим реакция удовлетворяет 2 свойствам:<br />
# скорость реакции "сильно" увеличивается с температурой<br />
# происходит "сильное" выделение тепла этой реакции<br />
<br />
Исходная смесь имеет температуру <tex>T_0</tex> (при которой скорость реакции очень маленькая). Начинаем стеночку прогревать, тепло передается близлежащим слоям смесей, нагреваются, так как скорость реакции увеличивается с температурой, в них начинает происходить реакция. Как только пошла, начинается выделение собственного тепла реакции. Это тепло передается след слоям, они тоже прогреваются и тд. При некоторых условиях формируется тепловой фронт химической реакции. (РИСУНОК распределение температуры, ось z, хим волна реакции).<br />
<br> <tex>Tm = T_0 + \frac{Q}{C}</tex><br />
<br>, где <br />
<br><tex>T_m</tex> температура адиабатического прохождения реакции, когда все тепло реакции на нагрев смеси<br />
<br><tex>Q</tex> - тепловой эффект хим реакции<br />
<br><tex>C</tex> - теплоемкость<br />
<br />
* Как ведет концентрация реагентов?<br />
начальный реагент A -> B (в продукт B)<br />
(в чем мер <b>концентрация</b> = отношение плотности вещества к полной плотности смеси <tex>x = \frac {\rho_A} {\rho_A + \rho_B} </tex> , <tex>0 \leq x \leq 1</tex>)<br />
<br />
Перед фронтом когда один реагент концентрация = 1. После фронта асимтотически выходит на 0.<br />
<br />
* Как ведет себя скорость?<br />
Дает очень узкий пик в какой-то малой зоне. Перед зоной скорость реакции мала, так как температура мала, а после мала, так как реагент скушался. Расчеты показывают, что это очень узкий пик. <br />
<br />
Например, как инициировать фронт? Допустим, устанавливаем температуру стенки <tex>T_w</tex>; если <tex>T_w = T_m</tex>, то волна без проблем идет, если меньше, то существует критическое значение <tex>T^*</tex> для инициирования волны. Тогда<br />
<br />
* <tex> T_w \lesssim T^* \le T_m </tex> - нет "поджига" (т.е. волна не начинается, инертный прогрев)<br />
<br />
* <tex> T^* \lesssim T_w \le T_m </tex> - "поджиг" с задержкой<br />
<br />
* <tex> T_m \le T_w </tex> - быстрый "поджиг" (мнгновенно)<br />
<br />
Когда волна отходит, она забывает об начальном условии. Влияние другой стенки и тп.<br />
При определенном соотношении параметров, которые характеризуют эту волну, она может терять устойчивость. <br />
Что происходит после потери? <br />
Если теряет в одномерной моде (?) то есть сохраняет свою плоскую структуру, то формирются другие устойчивые режимы, например колебательные, то есть волна движется, то ускоряясь, то замедляясь; дальше может произойти бифуркация, и воникнуть 2х периодические колебание, то есть делает такие колебания с большим периодом и маленьким. И при определенном наборе параметров возникает хаотическое поведение, волна, сохраняя плоскую форму, распространяется колебательно, но вообще не периодически, поведение похоже на хаотическое. Пример динамического хаоса: поведение похоже на хаос, но описывается детерминированной закономерностью.<br />
Не плоская волна?<br />
Если плоская задача, может возникнуть 2 очага. (РИСУНКИ)<br />
Если 3д, то очаги(2шт) по спирали двигаются в одну сторону.<br />
Могут распасться на несколько очагов - спиновая волна. Всякие чудеса<br />
<br />
Совершенно детерминир система - такое сложное поведение =)<br />
<br />
<br />
''' КАК МОДЕЛИРОВАТЬ '''<br />
<br />
В одномерном случае ситема описывается 2мя функциями:<br />
# <tex>x(t, z)</tex> - концентрация<br />
# <tex>T(t, z)</tex> - температура <br />
<br />
<tex>\left\{ \begin{matrix} \frac {\partial x} {\partial t} - D \frac{\partial^2 x}{\partial t^2} = W(x, T) \\ <br />
C \frac {\partial T}{\partial t} - \lambda \frac{\partial^2 T}{\partial z^2} = - \rho Q W (x,T)\end{matrix} \right.</tex><br />
<ref><br />
У меня немного по-другому 2-ое уравнение: <tex> \rho C \frac {\partial T}{\partial t} - \lambda \frac{\partial^2 T}{\partial z^2} = - \rho Q W (x,T) </tex><br />
<br>И у меня! Тоже с <tex> \rho </tex> в начале (Вова)<br />
</ref><br />
<br>, где <tex>D</tex> - коэффициет диффузии<br />
<br />
Первое - уравнение диффузии. Справа - скорость хим реакции:<br />
<br><tex>W(x, T) = - K x^a exp ( - \frac{E}{R T})</tex><br />
<br>, где K - константа скорости реакции. К, а - порядок реакции, Е - энергия активациии - константы<br />
<br />
Что такое переход из вещества А в В (РИСУНОК енергия связи, барьер.) То есть чтобы произошла реакция необходимо преодолеть молекулярный барьер. Экспонента формуле показывает, какая часть модекул больше барьера.<br />
<br />
Надо решить ту систему уравнений.<br />
<br />
* Граничные условия:<br />
<br />
<tex>x|_{z = 0} = 0</tex><br />
<br />
<tex>T|_{z = 0} = T_w</tex> - температура стенки<br />
<br />
<tex>\frac {\partial x} {\partial z} |_{z = l} = 0, \frac {\partial T} {\partial z} |_{z = l} = 0</tex>. На самом деле, все это не важно условия на дальнем конце, пока фронт не подойдет к ней.<br />
<br />
* Начальные условия:<br />
<br />
<tex>x|_{t = 0} = \left\{ \begin{matrix} 1, z \ne 0 \\ <br />
0, z = 0\end{matrix} \right.</tex><br />
<br />
<br />
<tex>T|_{t = 0} = \left\{ \begin{matrix} T_0, z \ne 0 \\ <br />
T_w, z = 0\end{matrix} \right.</tex><br />
<br />
* Замечание<br />
С вероятность 99 процентов не получится; надо представлять структуру того, что происходит. То есть нельзя формально применять методы, должен быть предварительный физ анализ. Поэтому нужны оценки.<br />
<br />
<br />
''' Оценки: '''<br />
<br />
Характерная величина скорости фронта для случая когда, порядок реакции а = 1<br />
<br />
<tex>U \sim [\frac{2 K \lambda}{Q \rho \triangle T} (\frac{R T_{m^2}}{E})^2 e^{-\frac{E}{R T_m}}] ^ {1/2}</tex><br />
<br>, где<br />
<br>К - конст реакции, <br />
<br><tex>\triangle T</tex> - насколько среда прогревается<br />
<br><tex>\lambda</tex> - коэффициент теплопроводности<br />
<br>Q - тепловой эффект реакции<br />
<br />
<br><tex>\triangle T = T_m - T_0 = \frac{Q}{C}</tex><br />
<br> T_m - температура адиабатического прохожденя реакции, то есть насколько прогрелась<br />
<br />
По структуре фронта (ГРАФИКИ структура фронта)<br />
есть сравнительно широкая зона подогрева <tex>\delta_t</tex> и сравнительно узкая зона реакции <tex>\delta_r</tex>. То есть температура увелич в сравнительно широкой облачти, а реакция контертруется (?) в более узкой зоне.<br />
<br />
<tex>\delta_T \sim \frac {\varkappa}{U} = \frac{\lambda}{\rho С U}</tex>, <tex>\varkappa</tex>- коэфф темепературопроводности<br />
<br />
диффузионный масштаб (может не совпадать с тепловым)<br />
<tex>\delta_D \sim \frac {D} {U} </tex>, где D - коэфф диффузии<br />
<br />
<tex>\delta_r \sim \delta_T \beta</tex><br />
<br>, где <tex>\beta =\frac{R T_m}{E} \ll 1</tex> - условние "сильной " зависимости скор реакц от температуры<br />
<br />
<tex>\gamma = \frac{R T_m^2}{E \triangle T} = \frac{R T_m^2}{E (T_m - T_0)} = \frac{R T_m^2 C}{E Q} \ll 1</tex> - условие "сильной" экзотермичности реакии<br />
<br />
* Как подбирать шаги по времени?<br />
Должны разрешить наименьший физ масштаб. нужно чтобы <br />
# на <tex>\delta_r</tex> укладывалось хотя юы несколько пространственных шагов , <br />
# <tex> \triangle z\lesssim \delta_r</tex>,<br />
# <tex>\delta_T \ll l </tex> l - разсер области, то есть чтобы фронт поместился.<br />
<br />
''' Задача '''<br />
<br />
Предже всего, получить обычный фронт, потом варьируя параметры залезть за критичсекие режимы. Что способствует переходу за крит режимы: D↓, K↑, и одновременно (K↑, Е↑ таким образом что <tex>K e^{-\frac{E}{l t m}} = const </tex> - может привести к релаксационным колебаниям)<br />
<br />
(*)Для желающих 2мерную задачу. <br />
<br />
Параметры:<br />
<br />
<tex>K = 1.6 \cdot 10^6 </tex> 1 /c константа скорости реакции<br />
<br />
<tex>E = 8 \cdot 10^4 </tex> Дж/Моль энергия активации<br />
<br />
<tex>R = 8.314 </tex> Дж/(Моль * К) унив газовая постоянная<br />
<br />
<tex>a = 0..2</tex> - порядок реакции. лучше начинать с 1<br />
<br />
<tex>Q =7 \cdot 10^5 </tex> Дж/кг тепловой эффект реакции<br />
<br />
<tex>\rho = 830 </tex> кг / м^3<br />
<br />
<tex>T_0 = 293</tex> K<br />
<br />
<tex>C = 1980</tex> Дж/(кг * K) теплоемкость<br />
<br />
<tex>\lambda = 1.13 </tex> Дж/(м * с * К) теплопроводность <br />
<ref><br />
У меня немного по-другому <tex>\lambda = 0.13 </tex> Дж/(м * с * К)<br />
</ref><br />
<br />
<tex>D \sim 8 \cdot 10^{-12}</tex> м^2/c коэффиц диффузии.<br />
Диффузия в жидк и твердых телах очень маленькая. Для начала не реальную брать D, а взять не физ значение а такое, что число Льюиса <tex>L_e = \frac{D}{\varkappa} = \frac{D \rho C} {\lambda} = 1</tex>. Это даст ситуацию подобия уравнений переноса тепла и переноса массы. <br />
<br />
"Препроцессинг" - интерактивный ввод параметров физических и вычислительных(шаги кол-во шагов...)<br />
<br />
"Процессор" - солвер<br />
<br />
"Постпроцессор" - визуализация. Температура, концентрация, W скорость реакции. (интересно - анимация, прям волна бежит)<br />
<br />
<br />
== Решения ==<br />
=== Неявный метод ===<br />
<br />
Общий вид:<br />
<br />
<tex> \frac{T^{n+1}-T^{n}}{\Delta t}=L_{n}T^{n+1} </tex><br />
<br />
<br />
В нашем случае (вычисляем <tex>(n+1)</tex>-ый слой):<br />
<br />
<tex> \frac {X_{i}^{n+1} - X_{i}^{n}} {\Delta t} - D \frac {X_{i-1}^{n+1} - 2X_{i}^{n+1} + X_{i+1}^{n+1}} {\Delta z^{2}} = W(X_{i}^{n},\ T_{i}^{n}) </tex> <br />
<ref> В слагаемом с <tex> D </tex> у нас была производная по времени, но тогда мало понятно как решать, а ещё решение которое нашёл Вова содержит в этом месте производную по координате. </ref><br />
<br />
<tex> C \frac {T^{n+1} - T^{n}} {\Delta t} - \lambda \frac {T_{i-1}^{n+1} - 2T_{i}^{n+1} + T_{i+1}^{n+1}} {\Delta z^{2}} = -\rho Q W(X_{i}^{n},\ T_{i}^{n}) </tex><br />
<br />
Решается методом прогонки (нужно сделать это несколько раз, каждый раз используя только что вычисленные <tex> X^{n+1} </tex> и <tex> T^{n+1} </tex> в качестве <tex> X^n </tex> и <tex> T^n </tex>)<br />
<br />
== Возможные альтернативные варианты формул: ==<br />
<br />
<references/></div>Martoonhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9A%D1%81%D0%B5_%D0%BA&diff=50246Ксе к2015-12-16T23:05:44Z<p>Martoon: Замена 1-ой альтернативной формулой</p>
<hr />
<div>ПРедставим банку, заполнен хим акт жидкостьью, а может твердое тело, перемешаны хим реагенты, она способным взаимод друг с другом , и Реаккц хим удовлет 2 свовам<br />
# скорость реакции "сильно" увеличивается с температурой<br />
# происходит "сильное" выделение тепла этой реакции<br />
<br />
исходная смесь при темп T0 (при которой скорость реакц очень маленькая). начинаем стеночку прогревать, тепло передается близлеж слоям смесей, нагреваются, так как скорость реакц увеличивается с темп, в них начинает происходить реак, как только пошла, начинается выделение собственного тепла реакции. Это тепло передается след слоям, они тоже прогремваются и тд. При некоторых условий формируется тепловоцй фронт химической реакции. (РИСУНОК распределение температуры, ось z, хим волна реакции).<br />
<tex>Tm = T_0 + \frac{Q}{C}</tex><br />
<br />
Tm температура адиаьатического прохождения реакции, когда все тепло реакции на нагрев смеси<br />
Q - тепловой эффект хим реакции<br />
С - теплоемкость<br />
<br />
Как ведет концентрация реагинтов?<br />
начальный реагент A -> B (в продукт B)<br />
(в чем мер конц = отношение плотности вещ к полной плотности смеси <tex>x = \frac {\rho_A} {\rho_A + \rho_B} </tex> , <tex>0 \leq x \leq 1</tex>)<br />
<br />
перед фронтом когда один геагент концентраци я = 1. после фронта асимтотически выходит на 0<br />
<br />
как ведет себя скорость?<br />
дает оче узкий пик в кокой-то малой зоне. перед зоной скорость реакц мала, так как температура мала, а после мала, так как реагент скушался. расчеты показываеют, что это оче узкий пик. <br />
<br />
Наример как фронт инициировать? Допустим устанавливаем температуру стенки Tw, есди эта Tw = Tm то волна без проблем идет, если меьшн, то существует критическое значение T* для инициирования волны.<br />
<br />
* <tex> T_w \lesssim T^* \le T_m </tex> - нет "поджига"<br />
<br />
* <tex> T^* \lesssim T_w \le T_m </tex> - "поджиг" с задержкой<br />
<br />
* <tex> T_w \le T_m </tex> - быстрый "поджиг"<br />
<br />
Когда волна отходит , она забывает об начальном условии. Влияние другой стенки. и тп.<br />
При определенном соотношении параметров, которые характеризуют эту волну, она может терять устойчивость. Что происходит посде потери. Если терят в одномерной моде (?) то есть сохраняет свою плоскую структуру, то формиру.тся другие устойчивые режимы, например колеебтельные, тоесть волна движется, то ускор то замедляясь, дальше мождет поизойти бифуркация, и воникнуть 2х периодические колебание, то есть делает таие колебания с большим периодом и маленьким.<br />
И при определенном наборе параметров возникает хаотичское поведение, волна сохраняя плоскую форму распространяется колебательно,но вообще не периодичсеки, поведение похоже на чаотичское. пример динам хаоса. поведение похоже на хаосЮ но описывается детерминир закономерностью.<br />
Не плоская волна?<br />
Если плоская задача, может возникнуть 2 очага. (РИСУНКИ)<br />
Если 3д то очаги(2шт) по спирали двигаются в одну сторону.<br />
Могут распасться на несколько очагов - спиновая воллна. Всякие чудеса<br />
<br />
Совершенно детерминир система - такое сложное поведение<br />
<br />
КАК МОДЕЛИРОВАТЬ<br />
в одномеррном случае ситема опис 2мя фунцик<br />
x(t, z) - кончентрация , температура T(t, z)<br />
<br />
<tex>\left\{ \begin{matrix} \frac {\partial x} {\partial t} - D \frac{\partial^2 x}{\partial t^2} = W(x, T) \\ <br />
C \frac {\partial T}{\partial t} - \lambda \frac{\partial^2 T}{\partial z^2} = - \rho Q W (x,T)\end{matrix} \right.</tex><br />
<ref><br />
У меня немного по-другому 2-ое уравнение: <tex> \rho C \frac {\partial T}{\partial t} - \lambda \frac{\partial^2 T}{\partial z^2} = - \rho Q W (x,T) </tex><br />
</ref><br />
D - коэффициет диффузии<br />
<br />
первое - уравнение диффузии. справа скорость хим реакции<br />
<tex>W(x, T) = - K x^a exp ( - \frac{E}{R T})</tex><br />
K - константа скорости реакции. К, а - порядок реакции, Е - енергия активациии - константы<br />
<br />
Что такое переход из вещ А в В (РИСУНКО енергия связи, барьер.) То есть чтобы проихощла рекция необходимо преодолеть молек барьер. Экспонента формуле показывает, какая часть модекул больше барьера<br />
<br />
Надо решуть ту систему уравнений.<br />
Граничные условия.<br />
<br />
<tex>x|_{z = 0} = 0</tex><br />
<br />
<tex>T|_{z = 0} = T_w</tex> - темпер стенки<br />
<br />
<tex>\frac {\partial x} {\partial z} |_{z = l} = 0, \frac {\partial T} {\partial z} |_{z = l} = 0</tex> На самом деле все это не важно услоивя на дальнем конце, пока фронт не подойдет к ней.<br />
Начальные условия<br />
<br />
<tex>x|_{t = 0} = \left\{ \begin{matrix} 1, z \ne 0 \\ <br />
0, z = 0\end{matrix} \right.</tex><br />
<br />
<br />
<tex>T|_{t = 0} = \left\{ \begin{matrix} T_0, z \ne 0 \\ <br />
T_w, z = 0\end{matrix} \right.</tex><br />
<br />
с вер 99 рпоцентов не получится, надо представлять структуру того, что происходит. То есть нельзя формально применять методы, должен быт предварительный физ анализ. Поэтому нужны оценки<br />
<br />
Лценки:<br />
<br />
Характерная величинаа скорости фронта для случая когда, порядок реакции а = 1<br />
<br />
<tex>U \sim [\frac{2 K \lambda}{Q \rho \triangle T} (\frac{R T m^2}{E})^2 e^{-\frac{E}{R T m}}] ^ {1/2}</tex><br />
<br />
К - конст реакции, <tex>\triangle T</tex> - насколько среда прогревается, <tex>\lambda</tex> - коэффициент теплопроводности<br />
Q - топловой эффект реакции<br />
<br />
<tex>\triangle T = T_m - T_0 = \frac{Q}{C}</tex><br />
<br />
T_m - ьемпература адиабатического прохожденя реакции, то есть насколько прогрелась<br />
<br />
По структуре фронта (ГРАФИКИ структура фронта)<br />
есть сравнительно широкая зона подогрева <tex>\delta_t</tex> и сравнительно узкая зна реакции <tex>\delta_r</tex>. То есть температура увелич в сравнительно широкой облачти, а реакция контертруется в более узкой зоне.<br />
<br />
<tex>\delta_T \sim \frac {\varkappa}{U} = \frac{\lambda}{p c U}</tex>, <tex>\varkappa</tex>- коэфф темепературопроводности<br />
<br />
диффузионный масштаб (может не совпадать с тепловым)<br />
<tex>\delta_D \sim D/U </tex> D - коэфф диффузии<br />
<br />
<tex>\delta_r \sim \delta_T \beta</tex> ??<br />
<br />
<tex>\beta =\frac{R T_m}{E} \ll 1</tex> - условние "сильной " зависимости скор реакц от темпертуры<br />
<br />
<tex>\gamma = \frac{R T_m^2}{E \triangle T} = \frac{R T_m^2}{E (T_m - T_0)} = \frac{R T_m^2 c}{E Q} \ll 1</tex> - условие "сильной" экзотермичности реакии<br />
<br />
Кау подбирать шаги по времени? должны разрешить наименьший физ масштаб. нужно чтобы <br />
# на <tex>\delta_r</tex> укладывалось хотя юы несколько пространственных шагов , <br />
# <tex> \triangle z\lesssim \delta_r</tex>,<br />
# <tex>\delta_T \ll l </tex> l - разсер области, то еть чтоб фрон поместился.<br />
<br />
Предже всего получить обычный фронт, потом варьируя параметры залезть за критичсекие режимы. Что способствует переходу за крит режимы: D↓, K↑, и одновременно (K↑, Е↑ таким образом что <tex>K e^{-\frac{E}{l t m}} = const </tex>)<br />
<br />
(*)Для желающих 2мерную задачу. <br />
<br />
Параметры:<br />
<br />
<tex>K = 1.6 \cdot 10^6 </tex> 1 /c константа скорости реакции<br />
<br />
<tex>E = 8 \cdot 10^4 </tex> Дж/Моль энергия активации<br />
<br />
<tex>R = 8.314 </tex> Дж/(Моль * К)<br />
<br />
<tex>a = 0..2</tex> - порядок реакции. лучше начинать с 1<br />
<br />
<tex>Q =7 \cdot 10^5 </tex> Дж/кг тепловой эффект реакции<br />
<br />
<tex>\rho = 830 </tex> кг / м^3<br />
<br />
<tex>T_0 = 293</tex> K<br />
<br />
<tex>C = 1980</tex> Дж/(кг * K) теплоемкость<br />
<br />
<tex>\lambda = 1.13 </tex> Дж/(м * с * К) теплопроводность <br />
<br />
<tex>D \sim 8 \cdot 10^{-12}</tex> м^2/c коэффиц диффуз. Диффузия в жидк и твердых телах очень маленькая. для начала не реальную юрать D, а звять не физ значение а такое, что число Льюиса <tex>L_e = \frac{D}{\varkappa} = \frac{D \rho C} {\lambda} = 1</tex>. Это даст ситуацию подобия уравнений переноса тепла и переноса массы. <br />
<br />
"Препроцессинг" - интерактивный ввод параметров физических и вычислительных(шаги колво шагов...)<br />
<br />
"Процессор" - солвер<br />
<br />
"Постпроцессор" - визуализация. Температура, концентрация, W скорость реакции. (интересно - анимация, прям волна бежит)<br />
<br />
<br />
=== Возможные альтернативные варианты формул: ===<br />
<br />
<references/></div>Martoonhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9A%D1%81%D0%B5_%D0%BA&diff=50245Ксе к2015-12-16T22:01:56Z<p>Martoon: </p>
<hr />
<div>ПРедставим банку, заполнен хим акт жидкостьью, а может твердое тело, перемешаны хим реагенты, она способным взаимод друг с другом , и Реаккц хим удовлет 2 свовам<br />
# скорость реакции "сильно" увеличивается с температурой<br />
# происходит "сильное" выделение тепла этой реакции<br />
<br />
исходная смесь при темп T0 (при которой скорость реакц очень маленькая). начинаем стеночку прогревать, тепло передается близлеж слоям смесей, нагреваются, так как скорость реакц увеличивается с темп, в них начинает происходить реак, как только пошла, начинается выделение собственного тепла реакции. Это тепло передается след слоям, они тоже прогремваются и тд. При некоторых условий формируется тепловоцй фронт химической реакции. (РИСУНОК распределение температуры, ось z, хим волна реакции).<br />
<tex>Tm = T_0 + \frac{Q}{C}</tex><br />
<br />
Tm температура адиаьатического прохождения реакции, когда все тепло реакции на нагрев смеси<br />
Q - тепловой эффект хим реакции<br />
С - теплоемкость<br />
<br />
Как ведет концентрация реагинтов?<br />
начальный реагент A -> B (в продукт B)<br />
(в чем мер конц = отношение плотности вещ к полной плотности смеси <tex>x = \frac {\rho_A} {\rho_A + \rho_B} </tex> , <tex>0 \leq x \leq 1</tex>)<br />
<br />
перед фронтом когда один геагент концентраци я = 1. после фронта асимтотически выходит на 0<br />
<br />
как ведет себя скорость?<br />
дает оче узкий пик в кокой-то малой зоне. перед зоной скорость реакц мала, так как температура мала, а после мала, так как реагент скушался. расчеты показываеют, что это оче узкий пик. <br />
<br />
Наример как фронт инициировать? Допустим устанавливаем температуру стенки Tw, есди эта Tw = Tm то волна без проблем идет, если меьшн, то существует критическое значение T* для инициирования волны.<br />
<br />
<tex>T_0 \lesssim T* \le Tm</tex> - нет "поджиг" (наверное, тут вместо T* Tw)<br />
<br />
<tex>T* \lesssim Tw \le Tm</tex> - "поджиг" с задержкой<br />
<br />
<tex> Tm \le Tw</tex> - быстрый "поджиг" <br />
<ref> <br />
* <tex> T_w \lesssim T^* \le T </tex> - нет "поджига"<br />
<br />
* <tex> T^* \lesssim T_w \le T_m </tex> - "поджиг" с задержкой<br />
<br />
* <tex> T_w \le T_m </tex> - быстрый "поджиг"<br />
</ref><br />
<br />
Когда волна отходит , она забывает об начальном условии. Влияние другой стенки. и тп.<br />
При определенном соотношении параметров, которые характеризуют эту волну, она может терять устойчивость. Что происходит посде потери. Если терят в одномерной моде (?) то есть сохраняет свою плоскую структуру, то формиру.тся другие устойчивые режимы, например колеебтельные, тоесть волна движется, то ускор то замедляясь, дальше мождет поизойти бифуркация, и воникнуть 2х периодические колебание, то есть делает таие колебания с большим периодом и маленьким.<br />
И при определенном наборе параметров возникает хаотичское поведение, волна сохраняя плоскую форму распространяется колебательно,но вообще не периодичсеки, поведение похоже на чаотичское. пример динам хаоса. поведение похоже на хаосЮ но описывается детерминир закономерностью.<br />
Не плоская волна?<br />
Если плоская задача, может возникнуть 2 очага. (РИСУНКИ)<br />
Если 3д то очаги(2шт) по спирали двигаются в одну сторону.<br />
Могут распасться на несколько очагов - спиновая воллна. Всякие чудеса<br />
<br />
Совершенно детерминир система - такое сложное поведение<br />
<br />
КАК МОДЕЛИРОВАТЬ<br />
в одномеррном случае ситема опис 2мя фунцик<br />
x(t, z) - кончентрация , температура T(t, z)<br />
<br />
<tex>\left\{ \begin{matrix} \frac {\partial x} {\partial t} - D \frac{\partial^2 x}{\partial t^2} = W(x, T) \\ <br />
C \frac {\partial T}{\partial t} - \lambda \frac{\partial^2 T}{\partial z^2} = - \rho Q W (x,T)\end{matrix} \right.</tex><br />
<ref><br />
У меня немного по-другому 2-ое уравнение: <tex> \rho C \frac {\partial T}{\partial t} - \lambda \frac{\partial^2 T}{\partial z^2} = - \rho Q W (x,T) </tex><br />
</ref><br />
D - коэффициет диффузии<br />
<br />
первое - уравнение диффузии. справа скорость хим реакции<br />
<tex>W(x, T) = - K x^a exp ( - \frac{E}{R T})</tex><br />
K - константа скорости реакции. К, а - порядок реакции, Е - енергия активациии - константы<br />
<br />
Что такое переход из вещ А в В (РИСУНКО енергия связи, барьер.) То есть чтобы проихощла рекция необходимо преодолеть молек барьер. Экспонента формуле показывает, какая часть модекул больше барьера<br />
<br />
Надо решуть ту систему уравнений.<br />
Граничные условия.<br />
<br />
<tex>x|_{z = 0} = 0</tex><br />
<br />
<tex>T|_{z = 0} = T_w</tex> - темпер стенки<br />
<br />
<tex>\frac {\partial x} {\partial z} |_{z = l} = 0, \frac {\partial T} {\partial z} |_{z = l} = 0</tex> На самом деле все это не важно услоивя на дальнем конце, пока фронт не подойдет к ней.<br />
Начальные условия<br />
<br />
<tex>x|_{t = 0} = \left\{ \begin{matrix} 1, z \ne 0 \\ <br />
0, z = 0\end{matrix} \right.</tex><br />
<br />
<br />
<tex>T|_{t = 0} = \left\{ \begin{matrix} T_0, z \ne 0 \\ <br />
T_w, z = 0\end{matrix} \right.</tex><br />
<br />
с вер 99 рпоцентов не получится, надо представлять структуру того, что происходит. То есть нельзя формально применять методы, должен быт предварительный физ анализ. Поэтому нужны оценки<br />
<br />
Лценки:<br />
<br />
Характерная величинаа скорости фронта для случая когда, порядок реакции а = 1<br />
<br />
<tex>U \sim [\frac{2 K \lambda}{Q \rho \triangle T} (\frac{R T m^2}{E})^2 e^{-\frac{E}{R T m}}] ^ {1/2}</tex><br />
<br />
К - конст реакции, <tex>\triangle T</tex> - насколько среда прогревается, <tex>\lambda</tex> - коэффициент теплопроводности<br />
Q - топловой эффект реакции<br />
<br />
<tex>\triangle T = T_m - T_0 = \frac{Q}{C}</tex><br />
<br />
T_m - ьемпература адиабатического прохожденя реакции, то есть насколько прогрелась<br />
<br />
По структуре фронта (ГРАФИКИ структура фронта)<br />
есть сравнительно широкая зона подогрева <tex>\delta_t</tex> и сравнительно узкая зна реакции <tex>\delta_r</tex>. То есть температура увелич в сравнительно широкой облачти, а реакция контертруется в более узкой зоне.<br />
<br />
<tex>\delta_T \sim \frac {\varkappa}{U} = \frac{\lambda}{p c U}</tex>, <tex>\varkappa</tex>- коэфф темепературопроводности<br />
<br />
диффузионный масштаб (может не совпадать с тепловым)<br />
<tex>\delta_D \sim D/U </tex> D - коэфф диффузии<br />
<br />
<tex>\delta_r \sim \delta_T \beta</tex> ??<br />
<br />
<tex>\beta =\frac{R T_m}{E} \ll 1</tex> - условние "сильной " зависимости скор реакц от темпертуры<br />
<br />
<tex>\gamma = \frac{R T_m^2}{E \triangle T} = \frac{R T_m^2}{E (T_m - T_0)} = \frac{R T_m^2 c}{E Q} \ll 1</tex> - условие "сильной" экзотермичности реакии<br />
<br />
Кау подбирать шаги по времени? должны разрешить наименьший физ масштаб. нужно чтобы <br />
# на <tex>\delta_r</tex> укладывалось хотя юы несколько пространственных шагов , <br />
# <tex> \triangle z\lesssim \delta_r</tex>,<br />
# <tex>\delta_T \ll l </tex> l - разсер области, то еть чтоб фрон поместился.<br />
<br />
Предже всего получить обычный фронт, потом варьируя параметры залезть за критичсекие режимы. Что способствует переходу за крит режимы: D↓, K↑, и одновременно (K↑, Е↑ таким образом что <tex>K e^{-\frac{E}{l t m}} = const </tex>)<br />
<br />
(*)Для желающих 2мерную задачу. <br />
<br />
Параметры:<br />
<br />
<tex>K = 1.6 \cdot 10^6 </tex> 1 /c константа скорости реакции<br />
<br />
<tex>E = 8 \cdot 10^4 </tex> Дж/Моль энергия активации<br />
<br />
<tex>R = 8.314 </tex> Дж/(Моль * К)<br />
<br />
<tex>a = 0..2</tex> - порядок реакции. лучше начинать с 1<br />
<br />
<tex>Q =7 \cdot 10^5 </tex> Дж/кг тепловой эффект реакции<br />
<br />
<tex>\rho = 830 </tex> кг / м^3<br />
<br />
<tex>T_0 = 293</tex> K<br />
<br />
<tex>C = 1980</tex> Дж/(кг * K) теплоемкость<br />
<br />
<tex>\lambda = 1.13 </tex> Дж/(м * с * К) теплопроводность <br />
<br />
<tex>D \sim 8 \cdot 10^{-12}</tex> м^2/c коэффиц диффуз. Диффузия в жидк и твердых телах очень маленькая. для начала не реальную юрать D, а звять не физ значение а такое, что число Льюиса <tex>L_e = \frac{D}{\varkappa} = \frac{D \rho C} {\lambda} = 1</tex>. Это даст ситуацию подобия уравнений переноса тепла и переноса массы. <br />
<br />
"Препроцессинг" - интерактивный ввод параметров физических и вычислительных(шаги колво шагов...)<br />
<br />
"Процессор" - солвер<br />
<br />
"Постпроцессор" - визуализация. Температура, концентрация, W скорость реакции. (интересно - анимация, прям волна бежит)<br />
<br />
<br />
=== Возможные альтернативные варианты формул: ===<br />
<br />
<references/></div>Martoonhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9A%D1%81%D0%B5_%D0%BA&diff=50244Ксе к2015-12-16T22:01:22Z<p>Martoon: Альтернативные варианты формул</p>
<hr />
<div>ПРедставим банку, заполнен хим акт жидкостьью, а может твердое тело, перемешаны хим реагенты, она способным взаимод друг с другом , и Реаккц хим удовлет 2 свовам<br />
# скорость реакции "сильно" увеличивается с температурой<br />
# происходит "сильное" выделение тепла этой реакции<br />
<br />
исходная смесь при темп T0 (при которой скорость реакц очень маленькая). начинаем стеночку прогревать, тепло передается близлеж слоям смесей, нагреваются, так как скорость реакц увеличивается с темп, в них начинает происходить реак, как только пошла, начинается выделение собственного тепла реакции. Это тепло передается след слоям, они тоже прогремваются и тд. При некоторых условий формируется тепловоцй фронт химической реакции. (РИСУНОК распределение температуры, ось z, хим волна реакции).<br />
<tex>Tm = T_0 + \frac{Q}{C}</tex><br />
<br />
Tm температура адиаьатического прохождения реакции, когда все тепло реакции на нагрев смеси<br />
Q - тепловой эффект хим реакции<br />
С - теплоемкость<br />
<br />
Как ведет концентрация реагинтов?<br />
начальный реагент A -> B (в продукт B)<br />
(в чем мер конц = отношение плотности вещ к полной плотности смеси <tex>x = \frac {\rho_A} {\rho_A + \rho_B} </tex> , <tex>0 \leq x \leq 1</tex>)<br />
<br />
перед фронтом когда один геагент концентраци я = 1. после фронта асимтотически выходит на 0<br />
<br />
как ведет себя скорость?<br />
дает оче узкий пик в кокой-то малой зоне. перед зоной скорость реакц мала, так как температура мала, а после мала, так как реагент скушался. расчеты показываеют, что это оче узкий пик. <br />
<br />
Наример как фронт инициировать? Допустим устанавливаем температуру стенки Tw, есди эта Tw = Tm то волна без проблем идет, если меьшн, то существует критическое значение T* для инициирования волны.<br />
<br />
<tex>T_0 \lesssim T* \le Tm</tex> - нет "поджиг" (наверное, тут вместо T* Tw)<br />
<br />
<tex>T* \lesssim Tw \le Tm</tex> - "поджиг" с задержкой<br />
<br />
<tex> Tm \le Tw</tex> - быстрый "поджиг" <br />
<ref> <br />
* <tex> T_w \lesssim T^* \le T </tex> - нет "поджига"<br />
<br />
* <tex> T_* \lesssim T^w \le T_m </tex> - "поджиг" с задержкой<br />
<br />
* <tex> T_w \le T_m </tex> - быстрый "поджиг"<br />
</ref><br />
<br />
Когда волна отходит , она забывает об начальном условии. Влияние другой стенки. и тп.<br />
При определенном соотношении параметров, которые характеризуют эту волну, она может терять устойчивость. Что происходит посде потери. Если терят в одномерной моде (?) то есть сохраняет свою плоскую структуру, то формиру.тся другие устойчивые режимы, например колеебтельные, тоесть волна движется, то ускор то замедляясь, дальше мождет поизойти бифуркация, и воникнуть 2х периодические колебание, то есть делает таие колебания с большим периодом и маленьким.<br />
И при определенном наборе параметров возникает хаотичское поведение, волна сохраняя плоскую форму распространяется колебательно,но вообще не периодичсеки, поведение похоже на чаотичское. пример динам хаоса. поведение похоже на хаосЮ но описывается детерминир закономерностью.<br />
Не плоская волна?<br />
Если плоская задача, может возникнуть 2 очага. (РИСУНКИ)<br />
Если 3д то очаги(2шт) по спирали двигаются в одну сторону.<br />
Могут распасться на несколько очагов - спиновая воллна. Всякие чудеса<br />
<br />
Совершенно детерминир система - такое сложное поведение<br />
<br />
КАК МОДЕЛИРОВАТЬ<br />
в одномеррном случае ситема опис 2мя фунцик<br />
x(t, z) - кончентрация , температура T(t, z)<br />
<br />
<tex>\left\{ \begin{matrix} \frac {\partial x} {\partial t} - D \frac{\partial^2 x}{\partial t^2} = W(x, T) \\ <br />
C \frac {\partial T}{\partial t} - \lambda \frac{\partial^2 T}{\partial z^2} = - \rho Q W (x,T)\end{matrix} \right.</tex><br />
<ref><br />
У меня немного по-другому 2-ое уравнение: <tex> \rho C \frac {\partial T}{\partial t} - \lambda \frac{\partial^2 T}{\partial z^2} = - \rho Q W (x,T) </tex><br />
</ref><br />
D - коэффициет диффузии<br />
<br />
первое - уравнение диффузии. справа скорость хим реакции<br />
<tex>W(x, T) = - K x^a exp ( - \frac{E}{R T})</tex><br />
K - константа скорости реакции. К, а - порядок реакции, Е - енергия активациии - константы<br />
<br />
Что такое переход из вещ А в В (РИСУНКО енергия связи, барьер.) То есть чтобы проихощла рекция необходимо преодолеть молек барьер. Экспонента формуле показывает, какая часть модекул больше барьера<br />
<br />
Надо решуть ту систему уравнений.<br />
Граничные условия.<br />
<br />
<tex>x|_{z = 0} = 0</tex><br />
<br />
<tex>T|_{z = 0} = T_w</tex> - темпер стенки<br />
<br />
<tex>\frac {\partial x} {\partial z} |_{z = l} = 0, \frac {\partial T} {\partial z} |_{z = l} = 0</tex> На самом деле все это не важно услоивя на дальнем конце, пока фронт не подойдет к ней.<br />
Начальные условия<br />
<br />
<tex>x|_{t = 0} = \left\{ \begin{matrix} 1, z \ne 0 \\ <br />
0, z = 0\end{matrix} \right.</tex><br />
<br />
<br />
<tex>T|_{t = 0} = \left\{ \begin{matrix} T_0, z \ne 0 \\ <br />
T_w, z = 0\end{matrix} \right.</tex><br />
<br />
с вер 99 рпоцентов не получится, надо представлять структуру того, что происходит. То есть нельзя формально применять методы, должен быт предварительный физ анализ. Поэтому нужны оценки<br />
<br />
Лценки:<br />
<br />
Характерная величинаа скорости фронта для случая когда, порядок реакции а = 1<br />
<br />
<tex>U \sim [\frac{2 K \lambda}{Q \rho \triangle T} (\frac{R T m^2}{E})^2 e^{-\frac{E}{R T m}}] ^ {1/2}</tex><br />
<br />
К - конст реакции, <tex>\triangle T</tex> - насколько среда прогревается, <tex>\lambda</tex> - коэффициент теплопроводности<br />
Q - топловой эффект реакции<br />
<br />
<tex>\triangle T = T_m - T_0 = \frac{Q}{C}</tex><br />
<br />
T_m - ьемпература адиабатического прохожденя реакции, то есть насколько прогрелась<br />
<br />
По структуре фронта (ГРАФИКИ структура фронта)<br />
есть сравнительно широкая зона подогрева <tex>\delta_t</tex> и сравнительно узкая зна реакции <tex>\delta_r</tex>. То есть температура увелич в сравнительно широкой облачти, а реакция контертруется в более узкой зоне.<br />
<br />
<tex>\delta_T \sim \frac {\varkappa}{U} = \frac{\lambda}{p c U}</tex>, <tex>\varkappa</tex>- коэфф темепературопроводности<br />
<br />
диффузионный масштаб (может не совпадать с тепловым)<br />
<tex>\delta_D \sim D/U </tex> D - коэфф диффузии<br />
<br />
<tex>\delta_r \sim \delta_T \beta</tex> ??<br />
<br />
<tex>\beta =\frac{R T_m}{E} \ll 1</tex> - условние "сильной " зависимости скор реакц от темпертуры<br />
<br />
<tex>\gamma = \frac{R T_m^2}{E \triangle T} = \frac{R T_m^2}{E (T_m - T_0)} = \frac{R T_m^2 c}{E Q} \ll 1</tex> - условие "сильной" экзотермичности реакии<br />
<br />
Кау подбирать шаги по времени? должны разрешить наименьший физ масштаб. нужно чтобы <br />
# на <tex>\delta_r</tex> укладывалось хотя юы несколько пространственных шагов , <br />
# <tex> \triangle z\lesssim \delta_r</tex>,<br />
# <tex>\delta_T \ll l </tex> l - разсер области, то еть чтоб фрон поместился.<br />
<br />
Предже всего получить обычный фронт, потом варьируя параметры залезть за критичсекие режимы. Что способствует переходу за крит режимы: D↓, K↑, и одновременно (K↑, Е↑ таким образом что <tex>K e^{-\frac{E}{l t m}} = const </tex>)<br />
<br />
(*)Для желающих 2мерную задачу. <br />
<br />
Параметры:<br />
<br />
<tex>K = 1.6 \cdot 10^6 </tex> 1 /c константа скорости реакции<br />
<br />
<tex>E = 8 \cdot 10^4 </tex> Дж/Моль энергия активации<br />
<br />
<tex>R = 8.314 </tex> Дж/(Моль * К)<br />
<br />
<tex>a = 0..2</tex> - порядок реакции. лучше начинать с 1<br />
<br />
<tex>Q =7 \cdot 10^5 </tex> Дж/кг тепловой эффект реакции<br />
<br />
<tex>\rho = 830 </tex> кг / м^3<br />
<br />
<tex>T_0 = 293</tex> K<br />
<br />
<tex>C = 1980</tex> Дж/(кг * K) теплоемкость<br />
<br />
<tex>\lambda = 1.13 </tex> Дж/(м * с * К) теплопроводность <br />
<br />
<tex>D \sim 8 \cdot 10^{-12}</tex> м^2/c коэффиц диффуз. Диффузия в жидк и твердых телах очень маленькая. для начала не реальную юрать D, а звять не физ значение а такое, что число Льюиса <tex>L_e = \frac{D}{\varkappa} = \frac{D \rho C} {\lambda} = 1</tex>. Это даст ситуацию подобия уравнений переноса тепла и переноса массы. <br />
<br />
"Препроцессинг" - интерактивный ввод параметров физических и вычислительных(шаги колво шагов...)<br />
<br />
"Процессор" - солвер<br />
<br />
"Постпроцессор" - визуализация. Температура, концентрация, W скорость реакции. (интересно - анимация, прям волна бежит)<br />
<br />
<br />
=== Возможные альтернативные варианты формул: ===<br />
<br />
<references/></div>Martoonhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9A%D1%81%D0%B5_%D0%BA&diff=50243Ксе к2015-12-16T21:50:11Z<p>Martoon: </p>
<hr />
<div>ПРедставим банку, заполнен хим акт жидкостьью, а может твердое тело, перемешаны хим реагенты, она способным взаимод друг с другом , и Реаккц хим удовлет 2 свовам<br />
# скорость реакции "сильно" увеличивается с температурой<br />
# происходит "сильное" выделение тепла этой реакции<br />
<br />
исходная смесь при темп T0 (при которой скорость реакц очень маленькая). начинаем стеночку прогревать, тепло передается близлеж слоям смесей, нагреваются, так как скорость реакц увеличивается с темп, в них начинает происходить реак, как только пошла, начинается выделение собственного тепла реакции. Это тепло передается след слоям, они тоже прогремваются и тд. При некоторых условий формируется тепловоцй фронт химической реакции. (РИСУНОК распределение температуры, ось z, хим волна реакции).<br />
<tex>Tm = T_0 + \frac{Q}{C}</tex><br />
<br />
Tm температура адиаьатического прохождения реакции, когда все тепло реакции на нагрев смеси<br />
Q - тепловой эффект хим реакции<br />
С - теплоемкость<br />
<br />
Как ведет концентрация реагинтов?<br />
начальный реагент A -> B (в продукт B)<br />
(в чем мер конц = отношение плотности вещ к полной плотности смеси <tex>x = \frac {\rho_A} {\rho_A + \rho_B} </tex> , <tex>0 \leq x \leq 1</tex>)<br />
<br />
перед фронтом когда один геагент концентраци я = 1. после фронта асимтотически выходит на 0<br />
<br />
как ведет себя скорость?<br />
дает оче узкий пик в кокой-то малой зоне. перед зоной скорость реакц мала, так как температура мала, а после мала, так как реагент скушался. расчеты показываеют, что это оче узкий пик. <br />
<br />
Наример как фронт инициировать? Допустим устанавливаем температуру стенки Tw, есди эта Tw = Tm то волна без проблем идет, если меьшн, то существует критическое значение T* для инициирования волны.<br />
<br />
<tex>T_0 \lesssim T* \le Tm</tex> - нет "поджиг" (наверное, тут вместо T* Tw)<br />
<br />
<tex>T* \lesssim Tw \le Tm</tex> - "поджиг" с задержкой<br />
<br />
<tex> Tm \le Tw</tex> - быстрый "поджиг" <br />
<br />
Когда волна отходит , она забывает об начальном условии. Влияние другой стенки. и тп.<br />
При определенном соотношении параметров, которые характеризуют эту волну, она может терять устойчивость. Что происходит посде потери. Если терят в одномерной моде (?) то есть сохраняет свою плоскую структуру, то формиру.тся другие устойчивые режимы, например колеебтельные, тоесть волна движется, то ускор то замедляясь, дальше мождет поизойти бифуркация, и воникнуть 2х периодические колебание, то есть делает таие колебания с большим периодом и маленьким.<br />
И при определенном наборе параметров возникает хаотичское поведение, волна сохраняя плоскую форму распространяется колебательно,но вообще не периодичсеки, поведение похоже на чаотичское. пример динам хаоса. поведение похоже на хаосЮ но описывается детерминир закономерностью.<br />
Не плоская волна?<br />
Если плоская задача, может возникнуть 2 очага. (РИСУНКИ)<br />
Если 3д то очаги(2шт) по спирали двигаются в одну сторону.<br />
Могут распасться на несколько очагов - спиновая воллна. Всякие чудеса<br />
<br />
Совершенно детерминир система - такое сложное поведение<br />
<br />
КАК МОДЕЛИРОВАТЬ<br />
в одномеррном случае ситема опис 2мя фунцик<br />
x(t, z) - кончентрация , температура T(t, z)<br />
<br />
<tex>\left\{ \begin{matrix} \frac {\partial x} {\partial t} - D \frac{\partial^2 x}{\partial t^2} = W(x, T) \\ <br />
C \frac {\partial T}{\partial t} - \lambda \frac{\partial^2 T}{\partial z^2} = - \rho Q W (x,T)\end{matrix} \right.</tex><br />
D - коэффициет диффузии<br />
<br />
первое - уравнение диффузии. справа скорость хим реакции<br />
<tex>W(x, T) = - K x^a exp ( - \frac{E}{R T})</tex><br />
K - константа скорости реакции. К, а - порядок реакции, Е - енергия активациии - константы<br />
<br />
Что такое переход из вещ А в В (РИСУНКО енергия связи, барьер.) То есть чтобы проихощла рекция необходимо преодолеть молек барьер. Экспонента формуле показывает, какая часть модекул больше барьера<br />
<br />
Надо решуть ту систему уравнений.<br />
Граничные условия.<br />
<br />
<tex>x|_{z = 0} = 0</tex><br />
<br />
<tex>T|_{z = 0} = T_w</tex> - темпер стенки<br />
<br />
<tex>\frac {\partial x} {\partial z} |_{z = l} = 0, \frac {\partial T} {\partial z} |_{z = l} = 0</tex> На самом деле все это не важно услоивя на дальнем конце, пока фронт не подойдет к ней.<br />
Начальные условия<br />
<br />
<tex>x|_{t = 0} = \left\{ \begin{matrix} 1, z \ne 0 \\ <br />
0, z = 0\end{matrix} \right.</tex><br />
<br />
<br />
<tex>T|_{t = 0} = \left\{ \begin{matrix} T_0, z \ne 0 \\ <br />
T_w, z = 0\end{matrix} \right.</tex><br />
<br />
с вер 99 рпоцентов не получится, надо представлять структуру того, что происходит. То есть нельзя формально применять методы, должен быт предварительный физ анализ. Поэтому нужны оценки<br />
<br />
Лценки:<br />
<br />
Характерная величинаа скорости фронта для случая когда, порядок реакции а = 1<br />
<br />
<tex>U \sim [\frac{2 K \lambda}{Q \rho \triangle T} (\frac{R T m^2}{E})^2 e^{-\frac{E}{R T m}}] ^ {1/2}</tex><br />
<br />
К - конст реакции, <tex>\triangle T</tex> - насколько среда прогревается, <tex>\lambda</tex> - коэффициент теплопроводности<br />
Q - топловой эффект реакции<br />
<br />
<tex>\triangle T = T_m - T_0 = \frac{Q}{C}</tex><br />
<br />
T_m - ьемпература адиабатического прохожденя реакции, то есть насколько прогрелась<br />
<br />
По структуре фронта (ГРАФИКИ структура фронта)<br />
есть сравнительно широкая зона подогрева <tex>\delta_t</tex> и сравнительно узкая зна реакции <tex>\delta_r</tex>. То есть температура увелич в сравнительно широкой облачти, а реакция контертруется в более узкой зоне.<br />
<br />
<tex>\delta_T \sim \frac {\varkappa}{U} = \frac{\lambda}{p c U}</tex>, <tex>\varkappa</tex>- коэфф темепературопроводности<br />
<br />
диффузионный масштаб (может не совпадать с тепловым)<br />
<tex>\delta_D \sim D/U </tex> D - коэфф диффузии<br />
<br />
<tex>\delta_r \sim \delta_T \beta</tex> ??<br />
<br />
<tex>\beta =\frac{R T_m}{E} \ll 1</tex> - условние "сильной " зависимости скор реакц от темпертуры<br />
<br />
<tex>\gamma = \frac{R T_m^2}{E \triangle T} = \frac{R T_m^2}{E (T_m - T_0)} = \frac{R T_m^2 c}{E Q} \ll 1</tex> - условие "сильной" экзотермичности реакии<br />
<br />
Кау подбирать шаги по времени? должны разрешить наименьший физ масштаб. нужно чтобы <br />
# на <tex>\delta_r</tex> укладывалось хотя юы несколько пространственных шагов , <br />
# <tex> \triangle z\lesssim \delta_r</tex>,<br />
# <tex>\delta_T \ll l </tex> l - разсер области, то еть чтоб фрон поместился.<br />
<br />
Предже всего получить обычный фронт, потом варьируя параметры залезть за критичсекие режимы. Что способствует переходу за крит режимы: D↓, K↑, и одновременно (K↑, Е↑ таким образом что <tex>K e^{-\frac{E}{l t m}} = const </tex>)<br />
<br />
(*)Для желающих 2мерную задачу.<br />
<br />
Параметры:<br />
<br />
<tex>K = 1.6 \cdot 10^6 </tex> 1 /c константа скорости реакции<br />
<br />
<tex>E = 8 \cdot 10^4 </tex> Дж/Моль энергия активации<br />
<br />
<tex>R = 8.314 </tex> Дж/(Моль * К)<br />
<br />
<tex>a = 0..2</tex> - порядок реакции. лучше начинать с 1<br />
<br />
<tex>Q =7 \cdot 10^5 </tex> Дж/кг тепловой эффект реакции<br />
<br />
<tex>\rho = 830 </tex> кг / м^3<br />
<br />
<tex>T_0 = 293</tex> K<br />
<br />
<tex>C = 1980</tex> Дж/(кг * K) теплоемкость<br />
<br />
<tex>\lambda = 1.13 </tex> Дж/(м * с * К) теплопроводность <br />
<br />
<tex>D \sim 8 \cdot 10^{-12}</tex> м^2/c коэффиц диффуз. Диффузия в жидк и твердых телах очень маленькая. для начала не реальную юрать D, а звять не физ значение а такое, что число Льюиса <tex>L_e = \frac{D}{\varkappa} = \frac{D \rho C} {\lambda} = 1</tex>. Это даст ситуацию подобия уравнений переноса тепла и переноса массы. <br />
<br />
"Препроцессинг" - интерактивный ввод параметров физических и вычислительных(шаги колво шагов...)<br />
<br />
"Процессор" - солвер<br />
<br />
"Постпроцессор" - визуализация. Температура, концентрация, W скорость реакции. (интересно - анимация, прям волна бежит)</div>Martoonhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9A%D1%81%D0%B5_%D0%BA&diff=50242Ксе к2015-12-16T21:31:47Z<p>Martoon: </p>
<hr />
<div>ПРедставим банку, заполнен хим акт жидкостьью, а может твердое тело, перемешаны хим реагенты, она способным взаимод друг с другом , и Реаккц хим удовлет 2 свовам<br />
# скорость реакции "сильно" увеличивается с температурой<br />
# происходит "сильное" выделение тепла этой реакции<br />
<br />
исходная смесь при темп T0 (при которой скорость реакц очень маленькая). начинаем стеночку прогревать, тепло передается близлеж слоям смесей, нагреваются, так как скорость реакц увеличивается с темп, в них начинает происходить реак, как только пошла, начинается выделение собственного тепла реакции. Это тепло передается след слоям, они тоже прогремваются и тд. При некоторых условий формируется тепловоцй фронт химической реакции. (РИСУНОК распределение температуры, ось z, хим волна реакции).<br />
<tex>Tm = T_0 + \frac{Q}{C}</tex><br />
<br />
Tm температура адиаьатического прохождения реакции, когда все тепло реакции на нагрев смеси<br />
Q - тепловой эффект хим реакции<br />
С - теплоемкость<br />
<br />
Как ведет концентрация реагинтов?<br />
начальный реагент A -> B (в продукт B)<br />
(в чем мер конц = отношение плотности вещ к полной плотности смеси <tex>x = \frac {\rho_A} {\rho_A + \rho_B} </tex> , <tex>0 \leq x \leq 1</tex>)<br />
<br />
перед фронтом когда один геагент концентраци я = 1. после фронта асимтотически выходит на 0<br />
<br />
как ведет себя скорость?<br />
дает оче узкий пик в кокой-то малой зоне. перед зоной скорость реакц мала, так как температура мала, а после мала, так как реагент скушался. расчеты показываеют, что это оче узкий пик. <br />
<br />
Наример как фронт инициировать? Допустим устанавливаем температуру стенки Tw, есди эта Tw = Tm то волна без проблем идет, если меьшн, то существует критическое значение T* для инициирования волны.<br />
<br />
<tex>T_0 \lesssim T* \le Tm</tex> - нет "поджиг" (наверное, тут вместо T* Tw)<br />
<br />
<tex>T* \lesssim Tw \le Tm</tex> - "поджиг" с задержкой<br />
<br />
<tex> Tm \le Tw</tex> - быстрый "поджиг" <br />
<br />
Когда волна отходит , она забывает об начальном условии. Влияние другой стенки. и тп.<br />
При определенном соотношении параметров, которые характеризуют эту волну, она может терять устойчивость. Что происходит посде потери. Если терят в одномерной моде (?) то есть сохраняет свою плоскую структуру, то формиру.тся другие устойчивые режимы, например колеебтельные, тоесть волна движется, то ускор то замедляясь, дальше мождет поизойти бифуркация, и воникнуть 2х периодические колебание, то есть делает таие колебания с большим периодом и маленьким.<br />
И при определенном наборе параметров возникает хаотичское поведение, волна сохраняя плоскую форму распространяется колебательно,но вообще не периодичсеки, поведение похоже на чаотичское. пример динам хаоса. поведение похоже на хаосЮ но описывается детерминир закономерностью.<br />
Не плоская волна?<br />
Если плоская задача, может возникнуть 2 очага. (РИСУНКИ)<br />
Если 3д то очаги(2шт) по спирали двигаются в одну сторону.<br />
Могут распасться на несколько очагов - спиновая воллна. Всякие чудеса<br />
<br />
Совершенно детерминир система - такое сложное поведение<br />
<br />
КАК МОДЕЛИРОВАТЬ<br />
в одномеррном случае ситема опис 2мя фунцик<br />
x(t, z) - кончентрация , температура T(t, z)<br />
<br />
<tex>\left\{ \begin{matrix} \frac {\partial x} {\partial t} - D \frac{\partial^2 x}{\partial t^2} = W(x, T) \\ <br />
C \frac {\partial T}{\partial t} - \lambda \frac{\partial^2 T}{\partial z^2} = - \rho Q W (x,T)\end{matrix} \right.</tex><br />
D - коэффициет диффузии<br />
<br />
первое - уравнение диффузии. справа скорость хим реакции<br />
<tex>W(x, T) = - K x^a exp ( - \frac{E}{R T})</tex><br />
K - константа скорости реакции. К, а - порядок реакции, Е - енергия активациии - константы<br />
<br />
Что такое переход из вещ А в В (РИСУНКО енергия связи, барьер.) То есть чтобы проихощла рекция необходимо преодолеть молек барьер. Экспонента формуле показывает, какая часть модекул больше барьера<br />
<br />
Надо решуть ту систему уравнений.<br />
Граничные условия.<br />
<br />
<tex>x|_{z = 0} = 0</tex><br />
<br />
<tex>T|_{z = 0} = T_w</tex> - темпер стенки<br />
<br />
<tex>\frac {\partial x} {\partial z} |_{z = l} = 0, \frac {\partial T} {\partial z} |_{z = l} = 0</tex> На самом деле все это не важно услоивя на дальнем конце, пока фронт не подойдет к ней.<br />
Начальные условия<br />
<br />
<tex>x|_{t = 0} = \left\{ \begin{matrix} 1, z \ne 0 \\ <br />
0, z = 0\end{matrix} \right.</tex><br />
<br />
<br />
<tex>T|_{t = 0} = \left\{ \begin{matrix} T_0, z \ne 0 \\ <br />
T_w, z = 0\end{matrix} \right.</tex><br />
<br />
с вер 99 рпоцентов не получится, надо представлять структуру того, что происходит. То есть нельзя формально применять методы, должен быт предварительный физ анализ. Поэтому нужны оценки<br />
<br />
Лценки:<br />
<br />
Характерная величинаа скорости фронта для случая когда, порядок реакции а = 1<br />
<br />
<tex>U \sim [\frac{2 K \lambda}{Q \rho \triangle T} (\frac{R T m^2}{E})^2 e^{-\frac{E}{R T m}}] ^ {1/2}</tex><br />
<br />
К - конст реакции, <tex>\triangle T</tex> - насколько среда прогревается, <tex>\lambda</tex> - коэффициент теплопроводности<br />
Q - топловой эффект реакции<br />
<br />
<tex>\triangle T = T_m - T_0 = \frac{Q}{C}</tex><br />
<br />
T_m - ьемпература адиабатического прохожденя реакции, то есть насколько прогрелась<br />
<br />
По структуре фронта (ГРАФИКИ структура фронта)<br />
есть сравнительно широкая зона подогрева <tex>\delta_t</tex> и сравнительно узкая зна реакции <tex>\delta_r</tex>. То есть температура увелич в сравнительно широкой облачти, а реакция контертруется в более узкой зоне.<br />
<br />
<tex>\delta_T \sim \frac {\varkappa}{U} = \frac{\lambda}{p c U}</tex>, <tex>\varkappa</tex>- коэфф темепературопроводности<br />
<br />
диффузионный масштаб (может не совпадать с тепловым)<br />
<tex>\delta_D \sim D/U </tex> D - коэфф диффузии<br />
<br />
<tex>\delta_r \sim \delta_T \beta</tex> ??<br />
<br />
<tex>\beta =\frac{R T_m}{E} \ll 1</tex> - условние "сильной " зависимости скор реакц от темпертуры<br />
<br />
<tex>\gamma = \frac{R T_m^2}{E \triangle T} = \frac{R T_m^2}{E (T_m - T_0)} = \frac{R T_m^2 c}{E Q} \ll 1</tex> - условие "сильной" экзотермичности реакии<br />
<br />
Кау подбирать шаги по времени? должны разрешить наименьший физ масштаб. нужно чтобы 1)на <tex>\delta_r</tex> укладывалось хотя юы несколько пространственных шагов , 2)<tex> \triangle z\lesssim \delta_r</tex>,<br />
3) <tex>\delta_T \ll l </tex> l - разсер области, то еть чтоб фрон поместился.<br />
<br />
Предже всего получить обычный фронт, потом варьируя параметры залезть за критичсекие режимы. Что способствует переходу за крит режимы: D↓, K↑, и одновременно (K↑, Е↑ таким образом <tex>K e^{-\frac{E}{l t m}} = const </tex>)<br />
<br />
(*)Для желающих 2мерную задачу.<br />
<br />
Параметры:<br />
<br />
<tex>K = 1.6 \cdot 10^6 </tex> 1 /c константа скорости реакции<br />
<br />
<tex>E = 8 \cdot 10^4 </tex> Дж/Моль энергия активации<br />
<br />
<tex>R = 8.314 </tex> Дж/(Моль * К)<br />
<br />
<tex>a = 0..2</tex> - порядок реакции. лучше начинать с 1<br />
<br />
<tex>Q =7 \cdot 10^5 </tex> Дж/кг тепловой эффект реакции<br />
<br />
<tex>\rho = 830 </tex> кг / м^3<br />
<br />
<tex>T_0 = 293</tex> K<br />
<br />
<tex>C = 1980</tex> Дж/(кг * K) теплоемкость<br />
<br />
<tex>\lambda = 1.13 </tex> Дж/(м * с * К) теплопроводность <br />
<br />
<tex>D \sim 8 \cdot 10^{-12}</tex> м^2/c коэффиц диффуз. Диффузия в жидк и твердых телах очень маленькая. для начала не реальную юрать D, а звять не физ значение а такое, что число Льюиса <tex>L_e = \frac{D}{\varkappa} = \frac{D \rho C} {\lambda} = 1</tex>. Это даст ситуацию подобия уравнений переноса тепла и переноса массы. <br />
<br />
"Препроцессинг" - интерактивный ввод параметров физических и вычислительных(шаги колво шагов...)<br />
<br />
"Процессор" - солвер<br />
<br />
"Постпроцессор" - визуализация. Температура, концентрация, W скорость реакции. (интересно - анимация, прям волна бежит)</div>Martoonhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9A%D1%81%D0%B5_%D0%BA&diff=50241Ксе к2015-12-16T21:03:35Z<p>Martoon: </p>
<hr />
<div>ПРедставим банку, заполнен хим акт жидкостьью, а может твердое тело, перемешаны хим реагенты, она способным взаимод друг с другом , и Реаккц хим удовлет 2 свовам<br />
# скорость реакции "сильно" увеличивается с температурой<br />
# происходит "сильное" выделение тепла этой реакции<br />
<br />
исходная смесь при темп T0 (при которой скорость реакц очень маленькая). начинаем стеночку прогревать, тепло передается близлеж слоям смесей, нагреваются, так как скорость реакц увеличивается с темп, в них начинает происходить реак, как только пошла, начинается выделение собственного тепла реакции. Это тепло передается след слоям, они тоже прогремваются и тд. При некоторых условий формируется тепловоцй фронт химической реакции. (РИСУНОК распределение температуры, ось z, хим волна реакции).<br />
<tex>Tm = T_0 + \frac{Q}{C}</tex><br />
<br />
Tm температура адиаьатического прохождения реакции, когда все тепло реакции на нагрев смеси<br />
Q - тепловой эффект хим реакции<br />
С - теплоемкость<br />
<br />
Как ведет концентрация реагинтов?<br />
начальный реагент A -> B (в продукт B)<br />
(в чем мер конц = отношение плотности вещ к полной плотности смеси <tex>x = \frac {\rho_A} {\rho_A + \rho_B} </tex> , <tex>0 \leq x \leq 1</tex>)<br />
<br />
перед фронтом когда один геагент концентраци я = 1. после фронта асимтотически выходит на 0<br />
<br />
как ведет себя скорость?<br />
дает оче узкий пик в кокой-то малой зоне. перед зоной скорость реакц мала, так как температура мала, а после мала, так как реагент скушался. расчеты показываеют, что это оче узкий пик. <br />
<br />
Наример как фронт инициировать? Допустим устанавливаем температуру стенки Tw, есди эта Tw = Tm то волна без проблем идет, если меьшн, то существует критическое значение T* для инициирования волны.<br />
<br />
<tex>T_0 \lesssim T* \le Tm</tex> - нет "поджиг" (наверное, тут вместо T* Tw)<br />
<br />
<tex>T* \lesssim Tw \le Tm</tex> - "поджиг" с задержкой<br />
<br />
<tex> Tm \le Tw</tex> - быстрый "поджиг" <br />
<br />
Когда волна отходит , она забывает об начальном условии. Влияние другой стенки. и тп.<br />
При определенном соотношении параметров, которые характеризуют эту волну, она может терять устойчивость. Что происходит посде потери. Если терят в одномерной моде (?) то есть сохраняет свою плоскую структуру, то формиру.тся другие устойчивые режимы, например колеебтельные, тоесть волна движется, то ускор то замедляясь, дальше мождет поизойти бифуркация, и воникнуть 2х периодические колебание, то есть делает таие колебания с большим периодом и маленьким.<br />
И при определенном наборе параметров возникает хаотичское поведение, волна сохраняя плоскую форму распространяется колебательно,но вообще не периодичсеки, поведение похоже на чаотичское. пример динам хаоса. поведение похоже на хаосЮ но описывается детерминир закономерностью.<br />
Не плоская волна?<br />
Если плоская задача, может возникнуть 2 очага. (РИСУНКИ)<br />
Если 3д то очаги(2шт) по спирали двигаются в одну сторону.<br />
Могут распасться на несколько очагов - спиновая воллна. Всякие чудеса<br />
<br />
Совершенно детерминир система - такое сложное поведение<br />
<br />
КАК МОДЕЛИРОВАТЬ<br />
в одномеррном случае ситема опис 2мя фунцик<br />
x(t, z) - кончентрация , температура T(t, z)<br />
<br />
<tex>\left\{ \begin{matrix} \frac {\partial x} {\partial t} - D \frac{\partial^2 x}{\partial t^2} = W(x, T) \\ <br />
C \frac {\partial T}{\partial t} - \lambda \frac{\partial^2 T}{\partial z^2} = - \rho Q W (x,T)\end{matrix} \right.</tex><br />
D - коэффициет диффузии<br />
<br />
первое - уравнение диффузии. справа скорость хим реакции<br />
<tex>W(x, T) = - K x^a exp ( - \frac{E}{R T})</tex><br />
K - константа скорости реакции. К, а - порядок реакции, Е - енергия активациии - константы<br />
<br />
Что такое переход из вещ А в В (РИСУНКО енергия связи, барьер.) То есть чтобы проихощла рекция необходимо преодолеть молек барьер. Экспонента формуле показывает, какая часть модекул больше барьера<br />
<br />
Надо решуть ту систему уравнений.<br />
Граничные условия.<br />
<br />
<tex>x|_{z = 0} = 0</tex><br />
<br />
<tex>T|_{z = 0} = T_w</tex> - темпер стенки<br />
<br />
<tex>\frac {\partial x} {\partial z} |_{z = l} = 0, \frac {\partial T} {\partial z} |_{z = l} = 0</tex> На самом деле все это не важно услоивя на дальнем конце, пока фронт не подойдет к ней.<br />
Начальные условия<br />
<br />
<tex>x|_{t = 0} = \left\{ \begin{matrix} 1, z \ne 0 \\ <br />
0, z = 0\end{matrix} \right.</tex><br />
<br />
<br />
<tex>T|_{t = 0} = \left\{ \begin{matrix} T_0, z \ne 0 \\ <br />
T_w, z = 0\end{matrix} \right.</tex><br />
<br />
с вер 99 рпоцентов не получится, надо представлять структуру того, что происходит. То есть нельзя формально применять методы, должен быт предварительный физ анализ. Поэтому нужны оценки<br />
<br />
Лценки:<br />
<br />
Характерная величинаа скорости фронта для случая когда, порядок реакции а = 1<br />
<br />
<tex>U \sim [\frac{2 K \lambda}{Q \rho \triangle T} (\frac{R T m^2}{E})^2 e^{-\frac{E}{R T m}}] ^ {1/2}</tex><br />
<br />
К - конст реакции, <tex>\triangle T</tex> - насколько среда прогревается, <tex>\lambda</tex> - коэффициент теплопроводности<br />
Q - топловой эффект реакции<br />
<br />
<tex>\triangle T = T_m - T_0 = \frac{Q}{C}</tex><br />
T_m - ьемпература адиабатического прохожденя реакции, то есть насколько прогрелась<br />
<br />
По структуре фронта (ГРАФИКИ структура фронта)<br />
есть сравнительно широкая зона подогрева <tex>\delta_t</tex> и сравнительно узкая зна реакции <tex>\delta_r</tex>. То есть температура увелич в сравнительно широкой облачти, а реакция контертруется в более узкой зоне.<br />
<br />
<tex>\delta_T \sim \frac {\varkappa}{U} = \frac{\lambda}{p c U}</tex>, <tex>\varkappa</tex>- коэфф темепературопроводности<br />
<br />
диффузионный масштаб (может не совпадать с тепловым)<br />
<tex>\delta_D \sim D/U </tex> D - коэфф диффузии<br />
<br />
<tex>\delta_r \sim \delta_T \beta</tex> ??<br />
<br />
<tex>\beta =\frac{R T_m}{E} \ll 1</tex> - условние "сильной " зависимости скор реакц от темпертуры<br />
<br />
<tex>\gamma = \frac{R T_m^2}{E \triangle T} = \frac{R T_m^2}{E (T_m - T_0)} = \frac{R T_m^2 c}{E Q} \ll 1</tex> - условие "сильной" экзотермичности реакии<br />
<br />
Кау подбирать шаги по времени? должны разрешить наименьший физ масштаб. нужно чтобы 1)на <tex>\delta_r</tex> укладывалось хотя юы несколько пространственных шагов , 2)<tex> \triangle z\lesssim \delta_r</tex>,<br />
3) <tex>\delta_T \ll l </tex> l - разсер области, то еть чтоб фрон поместился.<br />
<br />
Предже всего получить обычный фронт, потом варьируя параметры залезть за критичсекие режимы. Что способствует переходу за крит режимы: D↓, K↑, и одновременно (K↑, Е↑ таким образом <tex>K e^{-\frac{E}{l t m}} = const </tex>)<br />
<br />
(*)Для желающих 2мерную задачу.<br />
<br />
Параметры:<br />
<br />
<tex>K = 1.6 \cdot 10^6 </tex> 1 /c константа скорости реакции<br />
<br />
<tex>E = 8 \cdot 10^4 </tex> Дж/Моль энергия активации<br />
<br />
<tex>R = 8.314 </tex> Дж/(Моль * К)<br />
<br />
<tex>a = 0..2</tex> - порядок реакции. лучше начинать с 1<br />
<br />
<tex>Q =7 \cdot 10^5 </tex> Дж/кг тепловой эффект реакции<br />
<br />
<tex>\rho = 830 </tex> кг / м^3<br />
<br />
<tex>T_0 = 293</tex> K<br />
<br />
<tex>C = 1980</tex> Дж/(кг * K) теплоемкость<br />
<br />
<tex>\lambda = 1.13 </tex> Дж/(м * с * К) теплопроводность <br />
<br />
<tex>D \sim 8 \cdot 10^{-12}</tex> м^2/c коэффиц диффуз. Диффузия в жидк и твердых телах очень маленькая. для начала не реальную юрать D, а звять не физ значение а такое, что число Льюиса <tex>L_e = \frac{D}{\varkappa} = \frac{D \rho C} {\lambda} = 1</tex>. Это даст ситуацию подобия уравнений переноса тепла и переноса массы. <br />
<br />
"Препроцессинг" - интерактивный ввод параметров физических и вычислительных(шаги колво шагов...)<br />
<br />
"Процессор" - солвер<br />
<br />
"Постпроцессор" - визуализация. Температура, концентрация, W скорость реакции. (интересно - анимация, прям волна бежит)</div>Martoonhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9A%D1%81%D0%B5_%D0%BA&diff=50240Ксе к2015-12-16T20:56:00Z<p>Martoon: </p>
<hr />
<div>ПРедставим банку, заполнен хим акт жидкостьью, а может твердое тело, перемешаны хим реагенты, она способным взаимод друг с другом , и Реаккц хим удовлет 2 свовам<br />
# скорость реакции "сильно" увеличивается с температурой<br />
# происходит "сильное" выделение тепла этой реакции<br />
<br />
исходная смесь при темп T0 (при которой скорость реакц очень маленькая). начинаем стеночку прогревать, тепло передается близлеж слоям смесей, нагреваются, так как скорость реакц увеличивается с темп, в них начинает происходить реак, как только пошла, начинается выделение собственного тепла реакции. Это тепло передается след слоям, они тоже прогремваются и тд. При некоторых условий формируется тепловоцй фронт химической реакции. (РИСУНОК распределение температуры, ось z, хим волна реакции).<br />
<tex>Tm = T_0 + \frac{Q}{C}</tex><br />
<br />
Tm температура адиаьатического прохождения реакции, когда все тепло реакции на нагрев смеси<br />
Q - тепловой эффект хим реакции<br />
С - теплоемкость<br />
<br />
Как ведет концентрация реагинтов?<br />
начальный реагент A -> B (в продукт B)<br />
(в чем мер конц = отношение плотности вещ к полной плотности смеси <tex>x = \frac {\rho_A} {\rho_A + \rho_B} </tex> , <tex>0 \leq x \leq 1</tex>)<br />
<br />
перед фронтом когда один геагент концентраци я = 1. после фронта асимтотически выходит на 0<br />
<br />
как ведет себя скорость?<br />
дает оче узкий пик в кокой-то малой зоне. перед зоной скорость реакц мала, так как температура мала, а после мала, так как реагент скушался. расчеты показываеют, что это оче узкий пик. <br />
<br />
Наример как фронт инициировать? Допустим устанавливаем температуру стенки Tw, есди эта Tw = Tm то волна без проблем идет, если меьшн, то существует критическое значение T* для инициирования волны.<br />
<br />
<tex>T_0 \lesssim T* \le Tm</tex> - нет "поджиг" (наверное, тут вместо T* Tw)<br />
<br />
<tex>T* \lesssim Tw \le Tm</tex> - "поджиг" с задержкой<br />
<tex> Tm \le Tw</tex> - быстрый "поджиг" <br />
<br />
Когда волна отходит , она забывает об начальном условии. Влияние другой стенки. и тп.<br />
При определенном соотношении параметров, которые характеризуют эту волну, она может терять устойчивость. Что происходит посде потери. Если терят в одномерной моде (?) то есть сохраняет свою плоскую структуру, то формиру.тся другие устойчивые режимы, например колеебтельные, тоесть волна движется, то ускор то замедляясь, дальше мождет поизойти бифуркация, и воникнуть 2х периодические колебание, то есть делает таие колебания с большим периодом и маленьким.<br />
И при определенном наборе параметров возникает хаотичское поведение, волна сохраняя плоскую форму распространяется колебательно,но вообще не периодичсеки, поведение похоже на чаотичское. пример динам хаоса. поведение похоже на хаосЮ но описывается детерминир закономерностью.<br />
Не плоская волна?<br />
Если плоская задача, может возникнуть 2 очага. (РИСУНКИ)<br />
Если 3д то очаги(2шт) по спирали двигаются в одну сторону.<br />
Могут распасться на несколько очагов - спиновая воллна. Всякие чудеса<br />
<br />
Совершенно детерминир система - такое сложное поведение<br />
<br />
КАК МОДЕЛИРОВАТЬ<br />
в одномеррном случае ситема опис 2мя фунцик<br />
x(t, z) - кончентрация , температура T(t, z)<br />
<br />
<tex>\left\{ \begin{matrix} \frac {\partial x} {\partial t} - D \frac{\partial^2 x}{\partial t^2} = W(x, T) \\ <br />
C \frac {\partial T}{\partial t} - \lambda \frac{\partial^2 T}{\partial z^2} = - \rho Q W (x,T)\end{matrix} \right.</tex><br />
D - коэффициет диффузии<br />
<br />
первое - уравнение диффузии. справа скорость хим реакции<br />
<tex>W(x, T) = - K x^a exp ( - \frac{E}{R T})</tex><br />
K - константа скорости реакции. К, а - порядок реакции, Е - енергия активациии - константы<br />
<br />
Что такое переход из вещ А в В (РИСУНКО енергия связи, барьер.) То есть чтобы проихощла рекция необходимо преодолеть молек барьер. Экспонента формуле показывает, какая часть модекул больше барьера<br />
<br />
Надо решуть ту систему уравнений.<br />
Граничные условия.<br />
<br />
<tex>x|_{z = 0} = 0</tex><br />
<br />
<tex>T|_{z = 0} = T_w</tex> - темпер стенки<br />
<br />
<tex>\frac {\partial x} {\partial z} |_{z = l} = 0, \frac {\partial T} {\partial z} |_{z = l} = 0</tex> На самом деле все это не важно услоивя на дальнем конце, пока фронт не подойдет к ней.<br />
Начальные условия<br />
<br />
<tex>x|_{t = 0} = \left\{ \begin{matrix} 1, z \ne 0 \\ <br />
0, z = 0\end{matrix} \right.</tex><br />
<br />
<br />
<tex>T|_{t = 0} = \left\{ \begin{matrix} T_0, z \ne 0 \\ <br />
T_w, z = 0\end{matrix} \right.</tex><br />
<br />
с вер 99 рпоцентов не получится, надо представлять структуру того, что происходит. То есть нельзя формально применять методы, должен быт предварительный физ анализ. Поэтому нужны оценки<br />
<br />
Лценки:<br />
<br />
Характерная величинаа скорости фронта для случая когда, порядок реакции а = 1<br />
<br />
<tex>U \sim [\frac{2 K \lambda}{Q \rho \triangle T} (\frac{R T m^2}{E})^2 e^{-\frac{E}{R T m}}] ^ {1/2}</tex><br />
<br />
К - конст реакции, <tex>\triangle T</tex> - насколько среда прогревается, <tex>\lambda</tex> - коэффициент теплопроводности<br />
Q - топловой эффект реакции<br />
<br />
<tex>\triangle T = T_m - T_0 = \frac{Q}{C}</tex><br />
T_m - ьемпература адиабатического прохожденя реакции, то есть насколько прогрелась<br />
<br />
По структуре фронта (ГРАФИКИ структура фронта)<br />
есть сравнительно широкая зона подогрева <tex>\delta_t</tex> и сравнительно узкая зна реакции <tex>\delta_r</tex>. То есть температура увелич в сравнительно широкой облачти, а реакция контертруется в более узкой зоне.<br />
<br />
<tex>\delta_T \sim \frac {\varkappa}{U} = \frac{\lambda}{p c U}</tex>, <tex>\varkappa</tex>- коэфф темепературопроводности<br />
<br />
диффузионный масштаб (может не совпадать с тепловым)<br />
<tex>\delta_D \sim D/U </tex> D - коэфф диффузии<br />
<br />
<tex>\delta_r \sim \delta_T \beta</tex> ??<br />
<br />
<tex>\beta =\frac{R T_m}{E} \ll 1</tex> - условние "сильной " зависимости скор реакц от темпертуры<br />
<br />
<tex>\gamma = \frac{R T_m^2}{E \triangle T} = \frac{R T_m^2}{E (T_m - T_0)} = \frac{R T_m^2 c}{E Q} \ll 1</tex> - условие "сильной" экзотермичности реакии<br />
<br />
Кау подбирать шаги по времени? должны разрешить наименьший физ масштаб. нужно чтобы 1)на <tex>\delta_r</tex> укладывалось хотя юы несколько пространственных шагов , 2)<tex> \triangle z\lesssim \delta_r</tex>,<br />
3) <tex>\delta_T \ll l </tex> l - разсер области, то еть чтоб фрон поместился.<br />
<br />
Предже всего получить обычный фронт, потом варьируя параметры залезть за критичсекие режимы. Что способствует переходу за крит режимы: D↓, K↑, и одновременно (K↑, Е↑ таким образом <tex>K e^{-\frac{E}{l t m}} = const </tex>)<br />
<br />
(*)Для желающих 2мерную задачу.<br />
<br />
Параметры:<br />
<br />
<tex>K = 1.6 \cdot 10^6 </tex> 1 /c константа скорости реакции<br />
<br />
<tex>E = 8 \cdot 10^4 </tex> Дж/Моль энергия активации<br />
<br />
<tex>R = 8.314 </tex> Дж/(Моль * К)<br />
<br />
<tex>a = 0..2</tex> - порядок реакции. лучше начинать с 1<br />
<br />
<tex>Q =7 \cdot 10^5 </tex> Дж/кг тепловой эффект реакции<br />
<br />
<tex>\rho = 830 </tex> кг / м^3<br />
<br />
<tex>T_0 = 293</tex> K<br />
<br />
<tex>C = 1980</tex> Дж/(кг * K) теплоемкость<br />
<br />
<tex>\lambda = 1.13 </tex> Дж/(м * с * К) теплопроводность <br />
<br />
<tex>D \sim 8 \cdot 10^{-12}</tex> м^2/c коэффиц диффуз. Диффузия в жидк и твердых телах очень маленькая. для начала не реальную юрать D, а звять не физ значение а такое, что число Льюиса <tex>L_e = \frac{D}{\varkappa} = \frac{D \rho C} {\lambda} = 1</tex>. Это даст ситуацию подобия уравнений переноса тепла и переноса массы. <br />
<br />
"Препроцессинг" - интерактивный ввод параметров физических и вычислительных(шаги колво шагов...)<br />
<br />
"Процессор" - солвер<br />
<br />
"Постпроцессор" - визуализация. Температура, концентрация, W скорость реакции. (интересно - анимация, прям волна бежит)</div>Martoonhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9A%D0%A1%D0%95_%D0%BC%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B8_%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D1%82%D0%B5%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8&diff=49687КСЕ модели решения уравнения теплопроводности2015-10-31T23:17:22Z<p>Martoon: </p>
<hr />
<div>Необходимо численно решить уравнение:<br />
<br />
<tex> \frac{\delta T}{\delta t} + u \frac{\delta T}{\delta x} - \varkappa \frac{\delta^2 T}{\delta x^2} = 0</tex><br />
<br />
Для этого делаем такие замены (метод явный, "против потока")<br />
<br />
<tex> \frac{\delta T}{\delta t} \quad \to \quad \frac{T_i^{n+1} - T_i^n}{\Delta t}</tex><br />
<br />
<tex> \frac{\delta T}{\delta x} \quad \to \quad \frac{T_i^n - T_{i-1}^n}{\Delta x}</tex><br />
<br />
<tex> \frac{\delta T}{\delta x^2} \quad \to \quad \frac{T_{i-1}^n - 2T_i^n + T_{i+1}^n}{\Delta x^2}</tex><br />
<br />
и выражаем <tex> T^{n+1} </tex>.<br />
<br />
<br />
В методах "по потоку" в первой производной по <tex> x </tex> мы смотрим на предыдущие значения справа, поэтому одна из замен такая:<br />
<br />
<tex> \frac{\delta T}{\delta x} \quad \to \quad \frac{T_{i+1}^n - T_i^n}{\Delta x}</tex><br />
<br />
В неявных методах у всех производных по <tex> x </tex> заменяется <tex> T^n \to T^{n+1} </tex>.<br />
<br />
Ещё есть метод "чехарда" (вероятно он называется методом Дефорта-Франкла), он задаётся таким уравнением:<br />
<br />
<tex> \frac{T_i^{n+1} - T_i^{n-1}}{2 \Delta t} + u \frac{T_{i+1}^n - T_{i-1}^n}{2 \Delta x} - \varkappa \frac{T_{i-1}^n - 2T_i^n + T_{i+1}^n}{\Delta x^2} = 0 </tex><br />
<br />
Требуется самим придумать граничные и начальные условия и решить уравнение методами ([явным, неявным] <*> ["по потоку", "против потока"]) ++ ["чехарда"].<br />
<br />
Заметка: в качестве вариантов начальных условий желательно иметь "ступеньку" и "пик" (типа <tex> T(0, x) = \Theta(-x) </tex> и <tex> T(0, x) = \sigma(x) </tex>, если кто помнит что это такое)<br />
<br />
Параметры <tex> \Delta x, \Delta t, u, \varkappa </tex> подаются на входной интерфейс программы, надо уметь как-то выводить <tex> T_i^n </tex>, например в виде анимированного или 3D графика.<br />
<br />
<br />
Ещё в ходе решения возникают выражения<br />
<br />
<tex> \frac{u \cdot \Delta t}{\Delta x} = s </tex> {{---}} число Куррента<br />
<br />
<tex> \frac{\varkappa \cdot \Delta t}{\Delta x^2} = r </tex> {{---}} число Рейнольца<br />
<br />
Несходимость метода может напрямую зависеть от величины <tex> sign(1 - s - 2r) </tex>, поэтому надо уметь показывать или принимать на вход эти <tex> s </tex> и <tex> r </tex></div>Martoonhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9A%D0%A1%D0%95_%D0%BC%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B8_%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D1%82%D0%B5%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8&diff=49683КСЕ модели решения уравнения теплопроводности2015-10-31T21:06:15Z<p>Martoon: </p>
<hr />
<div>Необходимо численно решить уравнение:<br />
<br />
<tex> \frac{\delta T}{\delta t} + u \frac{\delta T}{\delta x} - \varkappa \frac{\delta^2 T}{\delta x^2} = 0</tex><br />
<br />
Для этого делаем такие замены (метод явный, "против потока")<br />
<br />
<tex> \frac{\delta T}{\delta t} \quad \to \quad \frac{T_i^{n+1} - T_i^n}{\Delta t}</tex><br />
<br />
<tex> \frac{\delta T}{\delta x} \quad \to \quad \frac{T_i^n - T_{i-1}^n}{\Delta x}</tex><br />
<br />
<tex> \frac{\delta T}{\delta x^2} \quad \to \quad \frac{T_{i-1}^n - 2T_i^n + T_{i+1}^n}{\Delta x^2}</tex><br />
<br />
и выражаем <tex> T^{n+1} </tex>.<br />
<br />
<br />
В методах "по потоку" мы смотрим на предыдущие значения справа, поэтому одна из замен такая:<br />
<br />
<tex> \frac{\delta T}{\delta x} \quad \to \quad \frac{T_{i+1}^n - T_i^n}{\Delta x}</tex><br />
<br />
В неявных методах у всех производных по <tex> x </tex> заменяется <tex> T^n \to T^{n+1} </tex>.<br />
<br />
Ещё есть метод "чехарда" (вероятно он называется методом Дефорта-Франкла), он задаётся таким уравнением:<br />
<br />
<tex> \frac{T_i^{n+1} - T_i^{n-1}}{2 \Delta t} + u \frac{T_{i+1}^n - T_{i-1}^n}{2 \Delta x} - \varkappa \frac{T_{i-1}^n - 2T_i^n + T_{i+1}^n}{\Delta x^2} = 0 </tex><br />
<br />
Требуется самим придумать граничные и начальные условия и решить уравнение методами ([явным, неявным] <*> ["по потоку", "против потока"]) ++ ["чехарда"].<br />
<br />
Заметка: в качестве вариантов начальных условий желательно иметь "ступеньку" и "пик" (типа <tex> T(0, x) = \Theta(-x) </tex> и <tex> T(0, x) = \sigma(x) </tex>, если кто помнит что это такое)<br />
<br />
Параметры <tex> \Delta x, \Delta t, u, \varkappa </tex> подаются на входной интерфейс программы, надо уметь как-то выводить <tex> T_i^n </tex>, например в виде анимированного или 3D графика.<br />
<br />
<br />
Ещё в ходе решения возникают выражения<br />
<br />
<tex> \frac{u \cdot \Delta t}{\Delta x} = s </tex> {{---}} число Куррента<br />
<br />
<tex> \frac{\varkappa \cdot \Delta t}{\Delta x^2} = r </tex> {{---}} число Рейнольца<br />
<br />
Несходимость метода может напрямую зависеть от величины <tex> sign(1 - s - 2r) </tex>, поэтому надо уметь показывать или принимать на вход эти <tex> s </tex> и <tex> r </tex></div>Martoonhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9A%D0%A1%D0%95_%D0%BC%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B8_%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D1%82%D0%B5%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8&diff=49682КСЕ модели решения уравнения теплопроводности2015-10-31T20:27:37Z<p>Martoon: </p>
<hr />
<div>Необходимо численно решить уравнение:<br />
<br />
<tex> \frac{\delta T}{\delta t} + u \frac{\delta T}{\delta x} - \varkappa \frac{\delta^2 T}{\delta x^2} = 0</tex><br />
<br />
Для этого делаем такие замены (метод явный, "против потока")<br />
<br />
<tex> \frac{\delta T}{\delta t} \quad \to \quad \frac{T_i^{n+1} - T_i^n}{\Delta t}</tex><br />
<br />
<tex> \frac{\delta T}{\delta x} \quad \to \quad \frac{T_i^n - T_{i-1}^n}{\Delta x}</tex><br />
<br />
<tex> \frac{\delta T}{\delta x^2} \quad \to \quad \frac{T_{i-1}^n - 2T_i^n + T_{i+1}^n}{\Delta x^2}</tex><br />
<br />
и выражаем <tex> T^{n+1} </tex>.<br />
<br />
<br />
В методах "по потоку" мы смотрим на предыдущие значения справа, поэтому одна из замен такая:<br />
<br />
<tex> \frac{\delta T}{\delta x} \quad \to \quad \frac{T_{i+1}^n - T_i^n}{\Delta x}</tex><br />
<br />
В неявных методах у всех производных по <tex> x </tex> заменяется <tex> T^n \to T^{n+1} </tex>.<br />
<br />
Ещё есть метод "чехарда" (вероятно он называется методом Дефорта-Франкла), он задаётся таким уравнением:<br />
<br />
<tex> \frac{T_i^{n+1} - T_i^{n-1}}{2 \Delta t} + u \frac{T_{i+1}^n - T_{i-1}^n}{2 \Delta x} - \varkappa \frac{T_{i-1}^n - 2T_i^n + T_{i+1}^n}{\Delta x^2} = 0 </tex><br />
<br />
Требуется самим придумать граничные и начальные условия и решить уравнение методами ([явным, неявным] <*> ["по потоку", "против потока"]) ++ ["чехарда"].<br />
<br />
Заметка: в качестве вариантов начальных условий желательно иметь "ступеньку" и "пик" (типа <tex> T(0, x) = \Theta(-x) </tex> и <tex> T(0, x) = \sigma(x) </tex>, если кто помнит что это такое)<br />
<br />
Параметры <tex> \Delta x, \Delta t, u, \kappa </tex> подаются на входной интерфейс программы, надо уметь как-то выводить <tex> T_i^n </tex>, например в виде анимированного или 3D графика.<br />
<br />
<br />
Ещё в ходе решения возникают выражения<br />
<br />
<tex> \frac{u \cdot \Delta t}{\Delta x} = s </tex> {{---}} число Куррента<br />
<br />
<tex> \frac{\varkappa \cdot \Delta t}{\Delta x^2} = r </tex> {{---}} число Рейнольца<br />
<br />
Несходимость метода может напрямую зависеть от величины <tex> sign(1 - s - 2r) </tex>, поэтому надо уметь показывать или принимать на вход эти <tex> s </tex> и <tex> r </tex></div>Martoonhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9A%D0%A1%D0%95_%D0%BC%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B8_%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D1%82%D0%B5%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8&diff=49681КСЕ модели решения уравнения теплопроводности2015-10-29T18:14:27Z<p>Martoon: </p>
<hr />
<div>Необходимо численно решить уравнение:<br />
<br />
<tex> \frac{\delta T}{\delta t} + u \frac{\delta T}{\delta x} - \varkappa \frac{\delta^2 T}{\delta x^2} = 0</tex><br />
<br />
Для этого делаем такие замены (метод явный, "против потока")<br />
<br />
<tex> \frac{\delta T}{\delta t} \quad \to \quad \frac{T_i^{n+1} - T_i^n}{\Delta t}</tex><br />
<br />
<tex> \frac{\delta T}{\delta x} \quad \to \quad \frac{T_i^n - T_{i-1}^n}{\Delta x}</tex><br />
<br />
<tex> \frac{\delta T}{\delta x^2} \quad \to \quad \frac{T_{i-1}^n - 2T_i^n + T_{i+1}^n}{\Delta x^2}</tex><br />
<br />
и выражаем <tex> T^{n+1} </tex>.<br />
<br />
<br />
В методах "по потоку" мы смотрим на предыдущие значения справа, поэтому одна из замен такая:<br />
<br />
<tex> \frac{\delta T}{\delta x} \quad \to \quad \frac{T_{i+1}^n - T_i^n}{\Delta x}</tex><br />
<br />
В неявных методах у всех производных по <tex> x </tex> заменяется <tex> T^n \to T^{n+1} </tex>.<br />
<br />
Ещё есть метод "чехарда" (вероятно он называется методом Дефорта-Франкла), он задаётся таким уравнением:<br />
<br />
<tex> \frac{T_i^{n+1} - T_i^{n-1}}{2 \Delta t} + u \frac{T_{i+1}^n - T_{i-1}^n}{2 \Delta x} - \varkappa \frac{T_{i-1}^n - 2T_i^n + T_{i+1}^n}{\Delta x^2} </tex><br />
<br />
Требуется самим придумать граничные и начальные условия и решить уравнение методами ([явным, неявным] <*> ["по потоку", "против потока"]) ++ ["чехарда"].<br />
<br />
Заметка: в качестве вариантов начальных условий желательно иметь "ступеньку" и "пик" (типа <tex> T(0, x) = \Theta(-x) </tex> и <tex> T(0, x) = \sigma(x) </tex>, если кто помнит что это такое)<br />
<br />
Параметры <tex> \Delta x, \Delta t, u, \kappa </tex> подаются на входной интерфейс программы, надо уметь как-то выводить <tex> T_i^n </tex>, например в виде анимированного или 3D графика.<br />
<br />
<br />
Ещё в ходе решения возникают выражения<br />
<br />
<tex> \frac{u \cdot \Delta t}{\Delta x} = s </tex> - число Куррента<br />
<br />
<tex> \frac{\varkappa \cdot \Delta t}{\Delta x^2} = r </tex> - число Рейнольца<br />
<br />
Несходимость метода может напрямую зависеть от величины <tex> sign(1 - s - 2r) </tex>, поэтому надо уметь показывать или принимать на вход эти <tex> s </tex> и <tex> r </tex></div>Martoonhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9A%D0%A1%D0%95_%D0%BC%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B8_%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D1%82%D0%B5%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8&diff=49680КСЕ модели решения уравнения теплопроводности2015-10-29T18:14:07Z<p>Martoon: </p>
<hr />
<div>Необходимо численно решить уравнение:<br />
<br />
<tex> \frac{\delta T}{\delta t} + u \frac{\delta T}{\delta x} - \varkappa \frac{\delta T}{\delta x^2} = 0</tex><br />
<br />
Для этого делаем такие замены (метод явный, "против потока")<br />
<br />
<tex> \frac{\delta T}{\delta t} \quad \to \quad \frac{T_i^{n+1} - T_i^n}{\Delta t}</tex><br />
<br />
<tex> \frac{\delta T}{\delta x} \quad \to \quad \frac{T_i^n - T_{i-1}^n}{\Delta x}</tex><br />
<br />
<tex> \frac{\delta T}{\delta x^2} \quad \to \quad \frac{T_{i-1}^n - 2T_i^n + T_{i+1}^n}{\Delta x^2}</tex><br />
<br />
и выражаем <tex> T^{n+1} </tex>.<br />
<br />
<br />
В методах "по потоку" мы смотрим на предыдущие значения справа, поэтому одна из замен такая:<br />
<br />
<tex> \frac{\delta T}{\delta x} \quad \to \quad \frac{T_{i+1}^n - T_i^n}{\Delta x}</tex><br />
<br />
В неявных методах у всех производных по <tex> x </tex> заменяется <tex> T^n \to T^{n+1} </tex>.<br />
<br />
Ещё есть метод "чехарда" (вероятно он называется методом Дефорта-Франкла), он задаётся таким уравнением:<br />
<br />
<tex> \frac{T_i^{n+1} - T_i^{n-1}}{2 \Delta t} + u \frac{T_{i+1}^n - T_{i-1}^n}{2 \Delta x} - \varkappa \frac{T_{i-1}^n - 2T_i^n + T_{i+1}^n}{\Delta x^2} </tex><br />
<br />
Требуется самим придумать граничные и начальные условия и решить уравнение методами ([явным, неявным] <*> ["по потоку", "против потока"]) ++ ["чехарда"].<br />
<br />
Заметка: в качестве вариантов начальных условий желательно иметь "ступеньку" и "пик" (типа <tex> T(0, x) = \Theta(-x) </tex> и <tex> T(0, x) = \sigma(x) </tex>, если кто помнит что это такое)<br />
<br />
Параметры <tex> \Delta x, \Delta t, u, \kappa </tex> подаются на входной интерфейс программы, надо уметь как-то выводить <tex> T_i^n </tex>, например в виде анимированного или 3D графика.<br />
<br />
<br />
Ещё в ходе решения возникают выражения<br />
<br />
<tex> \frac{u \cdot \Delta t}{\Delta x} = s </tex> - число Куррента<br />
<br />
<tex> \frac{\varkappa \cdot \Delta t}{\Delta x^2} = r </tex> - число Рейнольца<br />
<br />
Несходимость метода может напрямую зависеть от величины <tex> sign(1 - s - 2r) </tex>, поэтому надо уметь показывать или принимать на вход эти <tex> s </tex> и <tex> r </tex></div>Martoonhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9A%D0%A1%D0%95_%D0%BC%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B8_%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D1%82%D0%B5%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8&diff=49679КСЕ модели решения уравнения теплопроводности2015-10-29T18:13:20Z<p>Martoon: </p>
<hr />
<div>Необходимо численно решить уравнение:<br />
<br />
<tex> \frac{\delta T}{\delta t} + u \frac{\delta T}{\delta x} - \varkappa \frac{\delta T}{\delta x^2} = 0</tex><br />
<br />
Для этого делаем такие замены (метод явный, "против потока")<br />
<br />
<tex> \frac{\delta T}{\delta t} \quad \to \quad \frac{T_i^{n+1} - T_i^n}{\Delta t}</tex><br />
<br />
<tex> \frac{\delta T}{\delta x} \quad \to \quad \frac{T_i^n - T_{i-1}^n}{\Delta x}</tex><br />
<br />
<tex> \frac{\delta T}{\delta x^2} \quad \to \quad \frac{T_{i-1}^n - 2T_i^n + T_{i+1}^n}{\Delta x^2}</tex><br />
<br />
и выражаем <tex> T^{n+1} </tex>.<br />
<br />
<br />
В методах "по потоку" мы смотрим на предыдущие значения справа, поэтому одна из замен такая:<br />
<br />
<tex> \frac{\delta T}{\delta x} \quad \to \quad \frac{T_{i+1}^n - T_i^n}{\Delta x}</tex><br />
<br />
В неявных методах у всех производных по <tex> x </tex> заменяется <tex> T^n \to T^{n+1} </tex>.<br />
<br />
Ещё есть метод "чехарда" (вероятно он называется методом Дефорта-Франкла), он задаётся таким уравнением:<br />
<br />
<tex> \frac{T_i^{n+1} - T_i^{n-1}}{2 \Delta t} + u \frac{T_{i+1}^n - T_{i-1}^n}{2 \Delta x} - \varkappa \frac{T_{i-1}^n - 2T_i^n + T_{i+1}^n}{\Delta x^2} </tex><br />
<br />
Требуется самим придумать граничные и начальные условия и решить уравнение методами ([явным, неявным] <*> ["по потоку", "против потока"]) ++ ["чехарда"].<br />
<br />
Заметка: в качестве вариантов начальных условий желательно иметь "ступеньку" и "пик" (типа <tex> T(0, x) = \Theta(-x) </tex> и <tex> T(0, x) = \sigma(x) </tex>, если кто помнит что это такое)<br />
<br />
Параметры <tex> \Delta x, \Delta t, u, \kappa </tex> подаются на входной интерфейс программы, надо уметь как-то выводить <tex> T_i^n </tex>, например в виде анимированного или 3D графика.<br />
<br />
<br />
Ещё в ходе решения возникают выражения<br />
<br />
<tex> \frac{u \Delta t}{\Delta x} = s </tex> - число Куррента<br />
<br />
<tex> \frac{\varkappa \Delta t}{\Delta x^2} = r </tex> - число Рейнольца<br />
<br />
Несходимость метода может напрямую зависеть от величины <tex> sign(1 - s - 2r) </tex>, поэтому надо уметь показывать или принимать на вход эти <tex> s </tex> и <tex> r </tex></div>Martoonhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9A%D0%A1%D0%95_%D0%BC%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B8_%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D1%82%D0%B5%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8&diff=49676КСЕ модели решения уравнения теплопроводности2015-10-29T17:58:27Z<p>Martoon: Новая страница: «Необходимо численно решить уравнение: <tex> \frac{\delta T}{\delta t} + u \frac{\delta T}{\delta x} - \varkappa \frac{\delta T}{...»</p>
<hr />
<div>Необходимо численно решить уравнение:<br />
<br />
<tex> \frac{\delta T}{\delta t} + u \frac{\delta T}{\delta x} - \varkappa \frac{\delta T}{\delta x^2} = 0</tex><br />
<br />
Для этого делаем такие замены (метод явный, "против потока")<br />
<br />
<tex> \frac{\delta T}{\delta t} \quad \to \quad \frac{T_i^{n+1} - T_i^n}{\Delta t}</tex><br />
<br />
<tex> \frac{\delta T}{\delta x} \quad \to \quad \frac{T_i^n - T_{i-1}^n}{\Delta t}</tex><br />
<br />
<tex> \frac{\delta T}{\delta x^2} \quad \to \quad \frac{T_{i-1}^n - 2T_i^n + T_{i+1}^n}{\Delta x^2}</tex><br />
<br />
и выражаем <tex> T^{n+1} </tex>.<br />
<br />
<br />
В методах "по потоку" мы смотрим на предыдущие значения справа, и одна из замен такая:<br />
<br />
<tex> \frac{\delta T}{\delta x} \quad \to \quad \frac{T_{i+1}^n - T_i^n}{\Delta t}</tex><br />
<br />
В неявных методах у всех производных по <tex> x </tex> заменяется <tex> T^n \to T^{n+1} </tex>.<br />
<br />
<br />
Требуется самим придумать граничные и начальные условия и решить уравнение методами ([явным, неявным] <*> ["по потоку", "против потока"]) ++ ["чехарда" (вероятно он называется методом Дефорта-Франкла)].<br />
<br />
Параметры <tex> \Delta x, \Delta t, u, \kappa </tex> подаются на входной интерфейс программы, надо как-то выводить <tex> T_i^n </tex>.</div>Martoonhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BF%D0%BE_%D0%9A%D0%A1%D0%95_%D1%84%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B0_3&diff=45928Задание по КСЕ физика 32015-04-30T17:46:07Z<p>Martoon: /* Задание 2 */</p>
<hr />
<div>== Задание 1 ==<br />
<tex> \vec{V}(\vec{r}) </tex> {{---}} поле скоростей, индуцированное заданным распределённым источником. Его объёмная плотность интенсивности равна <tex> q \quad (q \cdot dW = dQ) </tex> <ref> [http://mexalib.com/download/6215 ''Лойцянский Л. Г.'' Механика жидкости и газа, с. 395] </ref><br />
<br />
# <tex> \phi(\vec{r}) \ - \ ? </tex> ('''Подсказка:''' ''использовать принцип суперпозиции'')<br />
# <tex> \vec{V} = \nabla \cdot \phi \ - \ ? </tex><br />
# <tex> \nabla \cdot \vec{V} \ - \ ? </tex><br />
<br />
'''Примечание:''' Казалось бы, <tex> \nabla \cdot \vec{V} = \nabla \cdot (\nabla \cdot \phi) = \nabla^2 \cdot \phi = q </tex>, но если провести решение должным образом, ответ получится не такой, необходимо понять почему. <ref>''(Думали что-то интересное написано? А здесь ничего нет. Но раз вы это читаете, можете добавить ссылок на литературу и полезные сайты по этому примеру)''</ref><br />
<br />
== Задание 2 ==<br />
<tex> \vec{V}(\vec{r}) </tex> {{---}} индуцированное заданной вихревой областью поле<br />
{{TODO| t=А что найти-то надо? }}<br />
<br />
'''Подсказка к решению:''' Известно, что <tex> \nabla \cdot \vec{V} = 0 </tex>. Из этого следует <tex> \exists \vec{A} :\ \vec{V} = \nabla \times \vec{A} </tex><br />
<br />
<tex> \vec{\Omega} = \nabla \times (\nabla \times \vec{A}) = \nabla \cdot (\nabla \cdot \vec{A}) - \nabla^2 \vec{A} </tex>; поскольку можно подобрать <tex> \vec{A} </tex> такое, что <tex> \nabla \cdot \vec{A} = 0 </tex> <ref> См. [http://scask.ru/book_s_phis2.php?id=162 ''Векторный потенциал''] </ref>, то <tex> \nabla^2 \vec{A} = -\vec{\Omega} </tex><br />
<br />
Дальше аналогично первому заданию.<br />
<br />
== Задание 3 ==<br />
Есть вихревая трубка. Надо найти {{TODO| t=}}<br />
<br />
<tex> \int\limits_S \vec{\Omega} \cdot \vec{n} \, dS <br />
= \oint_l \vec{V} \cdot \vec{\tau} \cdot \, dl<br />
= r<br />
= const </tex><br />
<br />
Должен получится закон Био-Савара-Лапласа, только для жидкости <ref> [http://edu.sernam.ru/lect_gam.php?id=104 Решение из ''Лекций по гидроаэромеханике''] </ref> <ref> [http://mexalib.com/download/6215 ''Лойцянский Л. Г.'' Механика жидкости и газа, с. 399] </ref><br />
<br />
<br />
== Задание 4 ==<br />
Найти <tex> \vec{V}(\vec{r}) </tex> и <tex> p(\vec{r}) </tex>, возникающих при обтекании неподвижной сферы потоком идеальной несжимаемой жидкости. <br />
<br />
'''Подсказка:''' удобно решать в сферической системе координат. Тогда нужно найти <tex> V_r (\vec{r}, \beta) ,\ V_{\beta}(\vec{r}, \beta) ,\ p(\vec{r}, \beta) </tex> (у скорости только две интересующих нас компоненты в следствие симметричности относительно одной из осей)<br />
<br />
'''Подсказка:''' Наиболее очевидный вариант {{---}} написать уравнение Лапласа, задать начальные условия и решать получающуюся систему, это слегка трудоёмкая задача.<ref> [http://edu.sernam.ru/lect_gam.php?id=89 Решение из ''Лекций по гидроаэромеханике''] </ref> <ref> [http://mexalib.com/download/6215 ''Лойцянский Л. Г.'' Механика жидкости и газа, с. 407] </ref><br />
<br />
Есть вариант проще: представить поле скорости как суперпозицию поля скорости, индуцируемого диполем, расположенным в центре сферы, и набегающей <tex> \vec{V}_{\infty} </tex>; нужно будет подобрать подходящий дипольный момент <tex> \vec{D} </tex><br />
<br />
<br />
<br />
== Источники информации == <br />
* [[wikipedia:Help:Displaying_a_formula | Всякие математические знаки]]<br />
<br />
<references/></div>Martoonhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BF%D0%BE_%D0%9A%D0%A1%D0%95_%D1%84%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B0_3&diff=45927Задание по КСЕ физика 32015-04-30T17:45:39Z<p>Martoon: /* Задание 2 */</p>
<hr />
<div>== Задание 1 ==<br />
<tex> \vec{V}(\vec{r}) </tex> {{---}} поле скоростей, индуцированное заданным распределённым источником. Его объёмная плотность интенсивности равна <tex> q \quad (q \cdot dW = dQ) </tex> <ref> [http://mexalib.com/download/6215 ''Лойцянский Л. Г.'' Механика жидкости и газа, с. 395] </ref><br />
<br />
# <tex> \phi(\vec{r}) \ - \ ? </tex> ('''Подсказка:''' ''использовать принцип суперпозиции'')<br />
# <tex> \vec{V} = \nabla \cdot \phi \ - \ ? </tex><br />
# <tex> \nabla \cdot \vec{V} \ - \ ? </tex><br />
<br />
'''Примечание:''' Казалось бы, <tex> \nabla \cdot \vec{V} = \nabla \cdot (\nabla \cdot \phi) = \nabla^2 \cdot \phi = q </tex>, но если провести решение должным образом, ответ получится не такой, необходимо понять почему. <ref>''(Думали что-то интересное написано? А здесь ничего нет. Но раз вы это читаете, можете добавить ссылок на литературу и полезные сайты по этому примеру)''</ref><br />
<br />
== Задание 2 ==<br />
<tex> \vec{V}(\vec{r}) </tex> {{---}} индуцированное заданной вихревой областью поле<br />
{{TODO| t=А что найти-то надо? }}<br />
<br />
'''Подсказка к решению:''' Известно, что <tex> \nabla \cdot \vec{V} = 0 </tex>. Из этого следует <tex> \exists \vec{A} :\ \vec{V} = \nabla \times \vec{A} </tex><br />
<br />
<tex> \vec{\Omega} = \nabla \times (\nabla \times \vec{A}) = \nabla \cdot (\nabla \cdot \vec{A}) - \nabla^2 \vec{A} </tex>; поскольку можно подобрать <tex> \vec{A} </tex> такое, что <tex> \nabla \cdot \vec{A} = 0 </tex> <ref> [http://scask.ru/book_s_phis2.php?id=162 См. ''Векторный потенциал''] </ref>, то <tex> \nabla^2 \vec{A} = -\vec{\Omega} </tex><br />
<br />
Дальше аналогично первому заданию.<br />
<br />
== Задание 3 ==<br />
Есть вихревая трубка. Надо найти {{TODO| t=}}<br />
<br />
<tex> \int\limits_S \vec{\Omega} \cdot \vec{n} \, dS <br />
= \oint_l \vec{V} \cdot \vec{\tau} \cdot \, dl<br />
= r<br />
= const </tex><br />
<br />
Должен получится закон Био-Савара-Лапласа, только для жидкости <ref> [http://edu.sernam.ru/lect_gam.php?id=104 Решение из ''Лекций по гидроаэромеханике''] </ref> <ref> [http://mexalib.com/download/6215 ''Лойцянский Л. Г.'' Механика жидкости и газа, с. 399] </ref><br />
<br />
<br />
== Задание 4 ==<br />
Найти <tex> \vec{V}(\vec{r}) </tex> и <tex> p(\vec{r}) </tex>, возникающих при обтекании неподвижной сферы потоком идеальной несжимаемой жидкости. <br />
<br />
'''Подсказка:''' удобно решать в сферической системе координат. Тогда нужно найти <tex> V_r (\vec{r}, \beta) ,\ V_{\beta}(\vec{r}, \beta) ,\ p(\vec{r}, \beta) </tex> (у скорости только две интересующих нас компоненты в следствие симметричности относительно одной из осей)<br />
<br />
'''Подсказка:''' Наиболее очевидный вариант {{---}} написать уравнение Лапласа, задать начальные условия и решать получающуюся систему, это слегка трудоёмкая задача.<ref> [http://edu.sernam.ru/lect_gam.php?id=89 Решение из ''Лекций по гидроаэромеханике''] </ref> <ref> [http://mexalib.com/download/6215 ''Лойцянский Л. Г.'' Механика жидкости и газа, с. 407] </ref><br />
<br />
Есть вариант проще: представить поле скорости как суперпозицию поля скорости, индуцируемого диполем, расположенным в центре сферы, и набегающей <tex> \vec{V}_{\infty} </tex>; нужно будет подобрать подходящий дипольный момент <tex> \vec{D} </tex><br />
<br />
<br />
<br />
== Источники информации == <br />
* [[wikipedia:Help:Displaying_a_formula | Всякие математические знаки]]<br />
<br />
<references/></div>Martoonhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BF%D0%BE_%D0%9A%D0%A1%D0%95_%D1%84%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B0_3&diff=45926Задание по КСЕ физика 32015-04-30T17:44:52Z<p>Martoon: /* Задание 2 */</p>
<hr />
<div>== Задание 1 ==<br />
<tex> \vec{V}(\vec{r}) </tex> {{---}} поле скоростей, индуцированное заданным распределённым источником. Его объёмная плотность интенсивности равна <tex> q \quad (q \cdot dW = dQ) </tex> <ref> [http://mexalib.com/download/6215 ''Лойцянский Л. Г.'' Механика жидкости и газа, с. 395] </ref><br />
<br />
# <tex> \phi(\vec{r}) \ - \ ? </tex> ('''Подсказка:''' ''использовать принцип суперпозиции'')<br />
# <tex> \vec{V} = \nabla \cdot \phi \ - \ ? </tex><br />
# <tex> \nabla \cdot \vec{V} \ - \ ? </tex><br />
<br />
'''Примечание:''' Казалось бы, <tex> \nabla \cdot \vec{V} = \nabla \cdot (\nabla \cdot \phi) = \nabla^2 \cdot \phi = q </tex>, но если провести решение должным образом, ответ получится не такой, необходимо понять почему. <ref>''(Думали что-то интересное написано? А здесь ничего нет. Но раз вы это читаете, можете добавить ссылок на литературу и полезные сайты по этому примеру)''</ref><br />
<br />
== Задание 2 ==<br />
<tex> \vec{V}(\vec{r}) </tex> {{---}} индуцированное заданной вихревой областью поле<br />
{{TODO| t=А что найти-то надо? }}<br />
<br />
'''Подсказка к решению:''' Известно, что <tex> \nabla \cdot \vec{V} = 0 </tex>. Из этого следует <tex> \exists \vec{A} :\ \vec{V} = \nabla \times \vec{A} </tex><br />
<br />
<tex> \vec{\Omega} = \nabla \times (\nabla \times \vec{A}) = \nabla \cdot (\nabla \cdot \vec{A}) - \nabla^2 \vec{A} </tex>; поскольку можно подобрать <tex> \vec{A} </tex> такое, что <tex> \nabla \cdot \vec{A} = 0 </tex> <ref> [http://scask.ru/book_s_phis2.php?id=162] </ref>, то <tex> \nabla^2 \vec{A} = -\vec{\Omega} </tex><br />
<br />
Дальше аналогично первому заданию.<br />
<br />
== Задание 3 ==<br />
Есть вихревая трубка. Надо найти {{TODO| t=}}<br />
<br />
<tex> \int\limits_S \vec{\Omega} \cdot \vec{n} \, dS <br />
= \oint_l \vec{V} \cdot \vec{\tau} \cdot \, dl<br />
= r<br />
= const </tex><br />
<br />
Должен получится закон Био-Савара-Лапласа, только для жидкости <ref> [http://edu.sernam.ru/lect_gam.php?id=104 Решение из ''Лекций по гидроаэромеханике''] </ref> <ref> [http://mexalib.com/download/6215 ''Лойцянский Л. Г.'' Механика жидкости и газа, с. 399] </ref><br />
<br />
<br />
== Задание 4 ==<br />
Найти <tex> \vec{V}(\vec{r}) </tex> и <tex> p(\vec{r}) </tex>, возникающих при обтекании неподвижной сферы потоком идеальной несжимаемой жидкости. <br />
<br />
'''Подсказка:''' удобно решать в сферической системе координат. Тогда нужно найти <tex> V_r (\vec{r}, \beta) ,\ V_{\beta}(\vec{r}, \beta) ,\ p(\vec{r}, \beta) </tex> (у скорости только две интересующих нас компоненты в следствие симметричности относительно одной из осей)<br />
<br />
'''Подсказка:''' Наиболее очевидный вариант {{---}} написать уравнение Лапласа, задать начальные условия и решать получающуюся систему, это слегка трудоёмкая задача.<ref> [http://edu.sernam.ru/lect_gam.php?id=89 Решение из ''Лекций по гидроаэромеханике''] </ref> <ref> [http://mexalib.com/download/6215 ''Лойцянский Л. Г.'' Механика жидкости и газа, с. 407] </ref><br />
<br />
Есть вариант проще: представить поле скорости как суперпозицию поля скорости, индуцируемого диполем, расположенным в центре сферы, и набегающей <tex> \vec{V}_{\infty} </tex>; нужно будет подобрать подходящий дипольный момент <tex> \vec{D} </tex><br />
<br />
<br />
<br />
== Источники информации == <br />
* [[wikipedia:Help:Displaying_a_formula | Всякие математические знаки]]<br />
<br />
<references/></div>Martoonhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BF%D0%BE_%D0%9A%D0%A1%D0%95_%D1%84%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B0_3&diff=45925Задание по КСЕ физика 32015-04-30T17:25:44Z<p>Martoon: </p>
<hr />
<div>== Задание 1 ==<br />
<tex> \vec{V}(\vec{r}) </tex> {{---}} поле скоростей, индуцированное заданным распределённым источником. Его объёмная плотность интенсивности равна <tex> q \quad (q \cdot dW = dQ) </tex> <ref> [http://mexalib.com/download/6215 ''Лойцянский Л. Г.'' Механика жидкости и газа, с. 395] </ref><br />
<br />
# <tex> \phi(\vec{r}) \ - \ ? </tex> ('''Подсказка:''' ''использовать принцип суперпозиции'')<br />
# <tex> \vec{V} = \nabla \cdot \phi \ - \ ? </tex><br />
# <tex> \nabla \cdot \vec{V} \ - \ ? </tex><br />
<br />
'''Примечание:''' Казалось бы, <tex> \nabla \cdot \vec{V} = \nabla \cdot (\nabla \cdot \phi) = \nabla^2 \cdot \phi = q </tex>, но если провести решение должным образом, ответ получится не такой, необходимо понять почему. <ref>''(Думали что-то интересное написано? А здесь ничего нет. Но раз вы это читаете, можете добавить ссылок на литературу и полезные сайты по этому примеру)''</ref><br />
<br />
== Задание 2 ==<br />
<tex> \vec{V}(\vec{r}) </tex> {{---}} индуцированное заданной вихревой областью поле<br />
{{TODO| t=А что найти-то надо? }}<br />
<br />
'''Подсказка к решению:''' Известно, что <tex> \nabla \cdot \vec{V} = 0 </tex>. Из этого следует <tex> \exists \vec{A} :\ \vec{V} = \nabla \times \vec{A} </tex><br />
<br />
<tex> \vec{\Omega} = \nabla \times (\nabla \times \vec{A}) = \nabla \cdot (\nabla \cdot \vec{A}) - \nabla^2 \vec{A} </tex>; поскольку первое слагаемое равно <tex> 0 </tex>, то <tex> \nabla^2 \vec{A} = -\vec{\Omega} </tex><br />
<br />
Дальше аналогично первому заданию.<br />
<br />
<br />
== Задание 3 ==<br />
Есть вихревая трубка. Надо найти {{TODO| t=}}<br />
<br />
<tex> \int\limits_S \vec{\Omega} \cdot \vec{n} \, dS <br />
= \oint_l \vec{V} \cdot \vec{\tau} \cdot \, dl<br />
= r<br />
= const </tex><br />
<br />
Должен получится закон Био-Савара-Лапласа, только для жидкости <ref> [http://edu.sernam.ru/lect_gam.php?id=104 Решение из ''Лекций по гидроаэромеханике''] </ref> <ref> [http://mexalib.com/download/6215 ''Лойцянский Л. Г.'' Механика жидкости и газа, с. 399] </ref><br />
<br />
<br />
== Задание 4 ==<br />
Найти <tex> \vec{V}(\vec{r}) </tex> и <tex> p(\vec{r}) </tex>, возникающих при обтекании неподвижной сферы потоком идеальной несжимаемой жидкости. <br />
<br />
'''Подсказка:''' удобно решать в сферической системе координат. Тогда нужно найти <tex> V_r (\vec{r}, \beta) ,\ V_{\beta}(\vec{r}, \beta) ,\ p(\vec{r}, \beta) </tex> (у скорости только две интересующих нас компоненты в следствие симметричности относительно одной из осей)<br />
<br />
'''Подсказка:''' Наиболее очевидный вариант {{---}} написать уравнение Лапласа, задать начальные условия и решать получающуюся систему, это слегка трудоёмкая задача.<ref> [http://edu.sernam.ru/lect_gam.php?id=89 Решение из ''Лекций по гидроаэромеханике''] </ref> <ref> [http://mexalib.com/download/6215 ''Лойцянский Л. Г.'' Механика жидкости и газа, с. 407] </ref><br />
<br />
Есть вариант проще: представить поле скорости как суперпозицию поля скорости, индуцируемого диполем, расположенным в центре сферы, и набегающей <tex> \vec{V}_{\infty} </tex>; нужно будет подобрать подходящий дипольный момент <tex> \vec{D} </tex><br />
<br />
<br />
<br />
== Источники информации == <br />
* [[wikipedia:Help:Displaying_a_formula | Всякие математические знаки]]<br />
<br />
<references/></div>Martoonhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BF%D0%BE_%D0%9A%D0%A1%D0%95_%D1%84%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B0_3&diff=45924Задание по КСЕ физика 32015-04-30T17:17:47Z<p>Martoon: </p>
<hr />
<div>== Задание 1 ==<br />
<tex> \vec{V}(\vec{r}) </tex> {{---}} поле скоростей, индуцированное заданным распределённым источником. Его объёмная плотность интенсивности равна <tex> q \quad (q \cdot dW = dQ) </tex> <ref> [http://mexalib.com/download/6215 ''Лойцянский Л. Г.'' Механика жидкости и газа, с. 495] </ref><br />
<br />
# <tex> \phi(\vec{r}) \ - \ ? </tex> ('''Подсказка:''' ''использовать принцип суперпозиции'')<br />
# <tex> \vec{V} = \nabla \cdot \phi \ - \ ? </tex><br />
# <tex> \nabla \cdot \vec{V} \ - \ ? </tex><br />
<br />
'''Примечание:''' Казалось бы, <tex> \nabla \cdot \vec{V} = \nabla \cdot (\nabla \cdot \phi) = \nabla^2 \cdot \phi = q </tex>, но если провести решение должным образом, ответ получится не такой, необходимо понять почему. <ref>''(Думали что-то интересное написано? А здесь ничего нет. Но раз вы это читаете, можете добавить ссылок на литературу и полезные сайты по этому примеру)''</ref><br />
<br />
== Задание 2 ==<br />
<tex> \vec{V}(\vec{r}) </tex> {{---}} индуцированное заданной вихревой областью поле<br />
{{TODO| t=А что найти-то надо? }}<br />
<br />
'''Подсказка к решению:''' Известно, что <tex> \nabla \cdot \vec{V} = 0 </tex>. Из этого следует <tex> \exists \vec{A} :\ \vec{V} = \nabla \times \vec{A} </tex><br />
<br />
<tex> \vec{\Omega} = \nabla \times (\nabla \times \vec{A}) = \nabla \cdot (\nabla \cdot \vec{A}) - \nabla^2 \vec{A} </tex>; поскольку первое слагаемое равно <tex> 0 </tex>, то <tex> \nabla^2 \vec{A} = -\vec{\Omega} </tex><br />
<br />
Дальше аналогично первому заданию.<br />
<br />
<br />
== Задание 3 ==<br />
Есть вихревая трубка. Надо найти {{TODO| t=}}<br />
<br />
<tex> \int\limits_S \vec{\Omega} \cdot \vec{n} \, dS <br />
= \oint_l \vec{V} \cdot \vec{\tau} \cdot \, dl<br />
= r<br />
= const </tex><br />
<br />
Должен получится закон Био-Савара-Лапласа, только для жидкости <ref> [http://edu.sernam.ru/lect_gam.php?id=104 Решение из ''Лекций по гидроаэромеханике''] </ref><br />
<br />
<br />
== Задание 4 ==<br />
Найти <tex> \vec{V}(\vec{r}) </tex> и <tex> p(\vec{r}) </tex>, возникающих при обтекании неподвижной сферы потоком идеальной несжимаемой жидкости. <br />
<br />
'''Подсказка:''' удобно решать в сферической системе координат. Тогда нужно найти <tex> V_r (\vec{r}, \beta) ,\ V_{\beta}(\vec{r}, \beta) ,\ p(\vec{r}, \beta) </tex> (у скорости только две интересующих нас компоненты в следствие симметричности относительно одной из осей)<br />
<br />
'''Подсказка:''' Наиболее очевидный вариант {{---}} написать уравнение Лапласа, задать начальные условия и решать получающуюся систему, это слегка трудоёмкая задача.<ref> [http://edu.sernam.ru/lect_gam.php?id=89 Решение из ''Лекций по гидроаэромеханике''] </ref> <br />
<br />
Есть вариант проще: представить поле скорости как суперпозицию поля скорости, индуцируемого диполем, расположенным в центре сферы, и набегающей <tex> \vec{V}_{\infty} </tex>; нужно будет подобрать подходящий дипольный момент <tex> \vec{D} </tex><br />
<br />
<br />
<br />
== Источники информации == <br />
* [[wikipedia:Help:Displaying_a_formula | Всякие математические знаки]]<br />
<br />
<references/></div>Martoonhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BF%D0%BE_%D0%9A%D0%A1%D0%95_%D1%84%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B0_3&diff=45923Задание по КСЕ физика 32015-04-30T17:07:48Z<p>Martoon: /* Задание 1 */</p>
<hr />
<div>== Задание 1 ==<br />
<tex> \vec{V}(\vec{r}) </tex> {{---}} поле скоростей, индуцированное заданным распределённым источником. Его объёмная плотность интенсивности равна <tex> q \quad (q \cdot dW = dQ) </tex><br />
<br />
# <tex> \phi(\vec{r}) \ - \ ? </tex> ('''Подсказка:''' ''использовать принцип суперпозиции'')<br />
# <tex> \vec{V} = \nabla \cdot \phi \ - \ ? </tex><br />
# <tex> \nabla \cdot \vec{V} \ - \ ? </tex><br />
<br />
'''Примечание:''' Казалось бы, <tex> \nabla \cdot \vec{V} = \nabla \cdot (\nabla \cdot \phi) = \nabla^2 \cdot \phi = q </tex>, но если провести решение должным образом, ответ получится не такой, необходимо понять почему. <ref>''(Думали что-то интересное написано? А здесь ничего нет. Но раз вы это читаете, можете добавить ссылок на литературу и полезные сайты по этому примеру)''</ref><br />
<br />
== Задание 2 ==<br />
<tex> \vec{V}(\vec{r}) </tex> {{---}} индуцированное заданной вихревой областью поле<br />
{{TODO| t=А что найти-то надо? }}<br />
<br />
'''Подсказка к решению:''' Известно, что <tex> \nabla \cdot \vec{V} = 0 </tex>. Из этого следует <tex> \exists \vec{A} :\ \vec{V} = \nabla \times \vec{A} </tex><br />
<br />
<tex> \vec{\Omega} = \nabla \times (\nabla \times \vec{A}) = \nabla \cdot (\nabla \cdot \vec{A}) - \nabla^2 \vec{A} </tex>; поскольку первое слагаемое равно <tex> 0 </tex>, то <tex> \nabla^2 \vec{A} = -\vec{\Omega} </tex><br />
<br />
Дальше аналогично первому заданию.<br />
<br />
<br />
== Задание 3 ==<br />
Есть вихревая трубка. Надо найти {{TODO| t=}}<br />
<br />
<tex> \int\limits_S \vec{\Omega} \cdot \vec{n} \, dS <br />
= \oint_l \vec{V} \cdot \vec{\tau} \cdot \, dl<br />
= r<br />
= const </tex><br />
<br />
Должен получится закон Био-Савара-Лапласа, только для жидкости <ref> [http://edu.sernam.ru/lect_gam.php?id=104 Решение из ''Лекций по гидроаэромеханике''] </ref><br />
<br />
<br />
== Задание 4 ==<br />
Найти <tex> \vec{V}(\vec{r}) </tex> и <tex> p(\vec{r}) </tex>, возникающих при обтекании неподвижной сферы потоком идеальной несжимаемой жидкости. <br />
<br />
'''Подсказка:''' удобно решать в сферической системе координат. Тогда нужно найти <tex> V_r (\vec{r}, \beta) ,\ V_{\beta}(\vec{r}, \beta) ,\ p(\vec{r}, \beta) </tex> (у скорости только две интересующих нас компоненты в следствие симметричности относительно одной из осей)<br />
<br />
'''Подсказка:''' Наиболее очевидный вариант {{---}} написать уравнение Лапласа, задать начальные условия и решать получающуюся систему, это слегка трудоёмкая задача.<ref> [http://edu.sernam.ru/lect_gam.php?id=89 Решение из ''Лекций по гидроаэромеханике''] </ref> <br />
<br />
Есть вариант проще: представить поле скорости как суперпозицию поля скорости, индуцируемого диполем, расположенным в центре сферы, и набегающей <tex> \vec{V}_{\infty} </tex>; нужно будет подобрать подходящий дипольный момент <tex> \vec{D} </tex><br />
<br />
<br />
<br />
== Источники информации == <br />
* [[wikipedia:Help:Displaying_a_formula | Всякие математические знаки]]<br />
<br />
<references/></div>Martoonhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BF%D0%BE_%D0%9A%D0%A1%D0%95_%D1%84%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B0_3&diff=45723Задание по КСЕ физика 32015-04-19T18:42:01Z<p>Martoon: </p>
<hr />
<div>== Задание 1 ==<br />
<tex> \vec{V}(\vec{r}) </tex> {{---}} поле скоростей, индуцированное заданным распределённым источником. Его объёмная плотность интенсивности равна <tex> q \quad (q \cdot dW = dQ) </tex><br />
<br />
# <tex> \phi(\vec{r}) \ - \ ? </tex> ('''Подсказка:''' ''использовать принцип суперпозиции'')<br />
# <tex> \vec{V} = \nabla \cdot \phi \ - \ ? </tex><br />
# <tex> \nabla \cdot \vec{V} \ - \ ? </tex><br />
<br />
'''Примечание:''' Кажется, что <tex> \nabla \cdot \vec{V} = \nabla \cdot (\nabla \cdot \phi) = \nabla^2 \cdot \phi = q </tex>, но так не получится верный ответ, необходимо понять почему. <ref>''(Думали что-то интересное написано? А здесь ничего нет. Но раз вы это читаете, можете добавить ссылок на литературу и полезные сайты по этому примеру)''</ref><br />
<br />
<br />
== Задание 2 ==<br />
<tex> \vec{V}(\vec{r}) </tex> {{---}} индуцированное заданной вихревой областью поле<br />
{{TODO| t=А что найти-то надо? }}<br />
<br />
'''Подсказка к решению:''' Известно, что <tex> \nabla \cdot \vec{V} = 0 </tex>. Из этого следует <tex> \exists \vec{A} :\ \vec{V} = \nabla \times \vec{A} </tex><br />
<br />
<tex> \vec{\Omega} = \nabla \times (\nabla \times \vec{A}) = \nabla \cdot (\nabla \cdot \vec{A}) - \nabla^2 \vec{A} </tex>; поскольку первое слагаемое равно <tex> 0 </tex>, то <tex> \nabla^2 \vec{A} = -\vec{\Omega} </tex><br />
<br />
Дальше аналогично первому заданию.<br />
<br />
<br />
== Задание 3 ==<br />
Есть вихревая трубка. Надо найти {{TODO| t=}}<br />
<br />
<tex> \int\limits_S \vec{\Omega} \cdot \vec{n} \, dS <br />
= \oint_l \vec{V} \cdot \vec{\tau} \cdot \, dl<br />
= r<br />
= const </tex><br />
<br />
Должен получится закон Био-Савара-Лапласа, только для жидкости <ref> [http://edu.sernam.ru/lect_gam.php?id=104 Решение из ''Лекций по гидроаэромеханике''] </ref><br />
<br />
<br />
== Задание 4 ==<br />
Найти <tex> \vec{V}(\vec{r}) </tex> и <tex> p(\vec{r}) </tex>, возникающих при обтекании неподвижной сферы потоком идеальной несжимаемой жидкости. <br />
<br />
'''Подсказка:''' удобно решать в сферической системе координат. Тогда нужно найти <tex> V_r (\vec{r}, \beta) ,\ V_{\beta}(\vec{r}, \beta) ,\ p(\vec{r}, \beta) </tex> (у скорости только две интересующих нас компоненты в следствие симметричности относительно одной из осей)<br />
<br />
'''Подсказка:''' Наиболее очевидный вариант {{---}} написать уравнение Лапласа, задать начальные условия и решать получающуюся систему, это слегка трудоёмкая задача.<ref> [http://edu.sernam.ru/lect_gam.php?id=89 Решение из ''Лекций по гидроаэромеханике''] </ref> <br />
<br />
Есть вариант проще: представить поле скорости как суперпозицию поля скорости, индуцируемого диполем, расположенным в центре сферы, и набегающей <tex> \vec{V}_{\infty} </tex>; нужно будет подобрать подходящий дипольный момент <tex> \vec{D} </tex><br />
<br />
<br />
<br />
== Источники информации == <br />
* [[wikipedia:Help:Displaying_a_formula | Всякие математические знаки]]<br />
<br />
<references/></div>Martoonhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BF%D0%BE_%D0%9A%D0%A1%D0%95_%D1%84%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B0_3&diff=45722Задание по КСЕ физика 32015-04-19T18:27:51Z<p>Martoon: </p>
<hr />
<div>== Задание 1 ==<br />
<tex> \vec{V}(\vec{r}) </tex> {{---}} поле скоростей, индуцированное заданным распределённым источником. Его объёмная плотность интенсивности равна <tex> q \quad (q \cdot dW = dQ) </tex><br />
<br />
# <tex> \phi(\vec{r}) \ - \ ? </tex> ('''Подсказка:''' ''использовать принцип суперпозиции'')<br />
# <tex> \vec{V} = \nabla \cdot \phi \ - \ ? </tex><br />
# <tex> \nabla \cdot \vec{V} \ - \ ? </tex><br />
<br />
'''Примечание:''' Кажется, что <tex> \nabla \cdot \vec{V} = \nabla \cdot (\nabla \cdot \phi) = \nabla^2 \cdot \phi = q </tex>, но так не получится верный ответ, необходимо понять почему. <ref>''(Думали что-то интересное написано? А здесь ничего нет. Но раз вы это читаете, можете добавить ссылок на литературу и полезные сайты по этому примеру)''</ref><br />
<br />
<br />
== Задание 2 ==<br />
<tex> \vec{V}(\vec{r}) </tex> {{---}} индуцированное заданной вихревой областью поле<br />
{{TODO| t=А что найти-то надо? }}<br />
<br />
'''Подсказка к решению:''' Известно, что <tex> \nabla \cdot \vec{V} = 0 </tex>. Из этого следует <tex> \exists \vec{A} :\ \vec{V} = \nabla \times \vec{A} </tex><br />
<br />
<tex> \vec{\Omega} = \nabla \times (\nabla \times \vec{A}) = \nabla \cdot (\nabla \cdot \vec{A}) - \nabla^2 \vec{A} </tex>; поскольку первое слагаемое равно <tex> 0 </tex>, то <tex> \nabla^2 \vec{A} = -\vec{\Omega} </tex><br />
<br />
Дальше аналогично первому заданию.<br />
<br />
<br />
== Задание 3 ==<br />
Есть вихревая трубка. Надо найти {{TODO| t=}}<br />
<br />
<tex> \int\limits_S \vec{\Omega} \cdot \vec{n} \, dS <br />
= \oint_l \vec{V} \cdot \vec{\tau} \cdot \, dl<br />
= r<br />
= const </tex><br />
<br />
Должен получится закон Био-Савара-Лапласа, только для жидкости<br />
<br />
<br />
== Задание 4 ==<br />
Найти <tex> \vec{V}(\vec{r}) </tex> и <tex> p(\vec{r}) </tex>, возникающих при обтекании неподвижной сферы потоком идеальной несжимаемой жидкости. <br />
<br />
'''Подсказка:''' удобно решать в сферической системе координат. Тогда нужно найти <tex> V_r (\vec{r}, \beta) ,\ V_{\beta}(\vec{r}, \beta) ,\ p(\vec{r}, \beta) </tex> (у скорости только две интересующих нас компоненты в следствие симметричности относительно одной из осей)<br />
<br />
'''Подсказка:''' Наиболее очевидный вариант {{---}} написать уравнение Лапласа, задать начальные условия и решать получающуюся систему, это слегка трудоёмкая задача.<ref> [http://edu.sernam.ru/lect_gam.php?id=89 Мега решение] </ref> <br />
<br />
Есть вариант проще: представить поле скорости как суперпозицию поля скорости, индуцируемого диполем, расположенным в центре сферы, и набегающей <tex> \vec{V}_{\infty} </tex>; нужно будет подобрать подходящий дипольный момент <tex> \vec{D} </tex><br />
<br />
<br />
<br />
== Источники информации == <br />
* [[wikipedia:Help:Displaying_a_formula | Всякие математические знаки]]<br />
<br />
<references/></div>Martoonhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BF%D0%BE_%D0%9A%D0%A1%D0%95_%D1%84%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B0_3&diff=45719Задание по КСЕ физика 32015-04-19T13:08:45Z<p>Martoon: </p>
<hr />
<div>== Задание 1 ==<br />
<tex> \vec{V}(\vec{r}) </tex> {{---}} поле скоростей, индуцированное заданным распределённым источником. Его объёмная плотность интенсивности равна <tex> q \quad (q \cdot dW = dQ) </tex><br />
<br />
# <tex> \phi(\vec{r}) \ - \ ? </tex> ('''Подсказка:''' ''использовать принцип суперпозиции'')<br />
# <tex> \vec{V} = \nabla \cdot \phi \ - \ ? </tex><br />
# <tex> \nabla \cdot \vec{V} \ - \ ? </tex><br />
<br />
'''Примечание:''' Кажется, что <tex> \nabla \cdot \vec{V} = \nabla \cdot (\nabla \cdot \phi) = \nabla^2 \cdot \phi = q </tex>, но так не получится верный ответ, необходимо понять почему. <ref>''(Думали что-то интересное написано? А здесь ничего нет. Но раз вы это читаете, можете добавить ссылок на литературу и полезные сайты по этому примеру)''</ref><br />
<br />
<br />
== Задание 2 ==<br />
<tex> \vec{V}(\vec{r}) </tex> {{---}} индуцированное заданной вихревой областью поле<br />
{{TODO| t=А что найти-то надо? }}<br />
<br />
'''Подсказка к решению:''' Известно, что <tex> \nabla \cdot \vec{V} = 0 </tex>. Из этого следует <tex> \exists \vec{A} :\ \vec{V} = \nabla \times \vec{A} </tex><br />
<br />
<tex> \vec{\Omega} = \nabla \times (\nabla \times \vec{A}) = \nabla \cdot (\nabla \cdot \vec{A}) - \nabla^2 \vec{A} </tex>; поскольку первое слагаемое равно <tex> 0 </tex>, то <tex> \nabla^2 \vec{A} = -\vec{\Omega} </tex><br />
<br />
Дальше аналогично первому заданию.<br />
<br />
<br />
== Задание 3 ==<br />
Есть вихревая трубка. Надо найти {{TODO| t=}}<br />
<br />
<tex> \int\limits_S \vec{\Omega} \cdot \vec{n} \, dS <br />
= \oint_l \vec{V} \cdot \vec{\tau} \cdot \, dl<br />
= r<br />
= const </tex><br />
<br />
Должен получится закон Био-Савара-Лапласа, только для жидкости<br />
<br />
<br />
== Задание 4 ==<br />
Найти <tex> \vec{V}(\vec{r}) </tex> и <tex> p(\vec{r}) </tex>, возникающих при обтекании неподвижной сферы потоком идеальной несжимаемой жидкости. <br />
<br />
'''Подсказка:''' удобно решать в сферической системе координат. Тогда нужно найти <tex> V_r (\vec{r}, \beta) ,\ V_{\beta}(\vec{r}, \beta) ,\ p(\vec{r}, \beta) </tex> (у скорости только две интересующих нас компоненты в следствие симметричности относительно одной из осей)<br />
<br />
'''Подсказка:''' Наиболее очевидный вариант {{---}} написать уравнение Лапласа, задать начальные условия и решать получающуюся систему, это слегка трудоёмкая задача. <br />
<br />
Есть вариант проще: представить поле скорости как суперпозицию поля скорости, индуцируемого диполем, расположенным в центре сферы, и набегающей <tex> \vec{V}_{\infty} </tex>; нужно будет подобрать подходящий дипольный момент <tex> \vec{D} </tex><br />
<br />
<br />
<br />
== Источники информации == <br />
* [[wikipedia:Help:Displaying_a_formula | Всякие математические знаки]]<br />
<br />
<references/></div>Martoonhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9E%D0%B1%D1%81%D1%83%D0%B6%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5:%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BF%D0%BE_%D0%9A%D0%A1%D0%95_%D1%84%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B0_3&diff=45644Обсуждение:Задание по КСЕ физика 32015-04-17T17:10:24Z<p>Martoon: Новая страница: «Здесь можно вести весёлое обсуждение. В конце каждого сообщения ставьте 4 тильды в качес...»</p>
<hr />
<div>Здесь можно вести весёлое обсуждение. В конце каждого сообщения ставьте 4 тильды в качестве подписи. [[Участник:Martoon|Martoon]] 21:10, 17 апреля 2015 (GST)</div>Martoonhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BF%D0%BE_%D0%9A%D0%A1%D0%95_%D1%84%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B0_3&diff=45643Задание по КСЕ физика 32015-04-17T17:08:23Z<p>Martoon: </p>
<hr />
<div>== Задание 1 ==<br />
<tex> \vec{V}(\vec{r}) </tex> {{---}} индуцированное заданным точечным источником поле<br />
<br />
<tex> q \cdot dW = dQ </tex>, где <tex> q </tex> {{---}} объёмная плотность интенсивности источника.<br />
<br />
# <tex> \phi(\vec{r}) \ - \ ? </tex> ('''Подсказка:''' ''использовать принцип суперпозиции'')<br />
# <tex> \vec{V} = \nabla \cdot \phi \ - \ ? </tex><br />
# <tex> \nabla \cdot \vec{V} \ - \ ? </tex><br />
<br />
'''Примечание:''' Кажется, что <tex> \nabla \cdot \vec{V} = \nabla \cdot (\nabla \cdot \phi) = \nabla^2 \cdot \phi = q </tex>, но так не получится верный ответ, необходимо понять почему. <ref>''(Думали что-то интересное написано? А здесь ничего нет. Но раз вы это читаете, можете добавить ссылок на литературу и полезные сайты по этому примеру)''</ref><br />
<br />
<br />
== Задание 2 ==<br />
<tex> \vec{V}(\vec{r}) </tex> {{---}} индуцированное заданной вихревой областью поле<br />
{{TODO| t=А что найти-то надо? }}<br />
<br />
'''Подсказка к решению:''' Известно, что <tex> \nabla \cdot \vec{V} = 0 </tex>. Из этого следует <tex> \exists \vec{A} :\ \vec{V} = \nabla \times \vec{A} </tex><br />
<br />
<tex> \vec{\Omega} = \nabla \times (\nabla \times \vec{A}) = \nabla \cdot (\nabla \cdot \vec{A}) - \nabla^2 \vec{A} </tex>; поскольку первое слагаемое равно <tex> 0 </tex>, то <tex> \nabla^2 \vec{A} = -\vec{\Omega} </tex><br />
<br />
Дальше аналогично первому заданию.<br />
<br />
<br />
== Задание 3 ==<br />
Есть вихревая трубка. Надо найти {{TODO| t=}}<br />
<br />
<tex> \int\limits_S \vec{\Omega} \cdot \vec{n} \, dS <br />
= \oint_l \vec{V} \cdot \vec{\tau} \cdot \, dl<br />
= r<br />
= const </tex><br />
<br />
Должен получится закон Био-Савара-Лапласа, только для жидкости<br />
<br />
<br />
== Задание 4 ==<br />
Найти <tex> \vec{V}(\vec{r}) </tex> и <tex> p(\vec{r}) </tex>, возникающих при обтекании неподвижной сферы потоком идеальной несжимаемой жидкости. <br />
<br />
'''Подсказка:''' удобно решать в сферической системе координат. Тогда нужно найти <tex> V_r (\vec{r}, \beta) ,\ V_{\beta}(\vec{r}, \beta) ,\ p(\vec{r}, \beta) </tex> (у скорости только две интересующих нас компоненты в следствие симметричности относительно одной из осей)<br />
<br />
'''Подсказка:''' Наиболее очевидный вариант {{---}} написать уравнение Лапласа, задать начальные условия и решать получающуюся систему, это слегка трудоёмкая задача. <br />
<br />
Есть вариант проще: представить поле скорости как суперпозицию поля скорости, индуцируемого диполем, расположенным в центре сферы, и набегающей <tex> \vec{V}_{\infty} </tex>; нужно будет подобрать подходящий дипольный момент <tex> \vec{D} </tex><br />
<br />
<br />
<br />
== Источники информации == <br />
* [[wikipedia:Help:Displaying_a_formula | Всякие математические знаки]]<br />
<br />
<references/></div>Martoonhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BF%D0%BE_%D0%9A%D0%A1%D0%95_%D1%84%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B0_3&diff=45641Задание по КСЕ физика 32015-04-17T16:51:45Z<p>Martoon: </p>
<hr />
<div>== Задание 1 ==<br />
<tex> \vec{V}(\vec{r}) </tex> {{---}} индуцированное заданным точечным источником поле<br />
<br />
<tex> q \cdot dW = dQ </tex>, где <tex> q </tex> {{---}} объёмная плотность интенсивности источника.<br />
<br />
# <tex> \phi(\vec{r}) \ - \ ? </tex> ('''Подсказка:''' ''использовать принцип суперпозиции'')<br />
# <tex> \vec{V} = \nabla \cdot \phi \ - \ ? </tex><br />
# <tex> \nabla \cdot \vec{V} \ - \ ? </tex><br />
<br />
'''Примечание:''' Кажется, что <tex> \nabla \cdot \vec{V} = \nabla \cdot (\nabla \cdot \phi) = \nabla^2 \cdot \phi = q </tex>, но так не получится верный ответ, необходимо понять почему.<br />
<br />
== Задание 2 ==<br />
<tex> \vec{V}(\vec{r}) </tex> {{---}} индуцированное заданной вихревой областью поле<br />
{{TODO| t=А что найти-то надо? }}<br />
<br />
'''Подсказка к решению:''' Известно, что <tex> \nabla \cdot \vec{V} = 0 </tex>. Из этого следует <tex> \exists \vec{A} :\ \vec{V} = \nabla \times \vec{A} </tex><br />
<br />
<tex> \vec{\Omega} = \nabla \times (\nabla \times \vec{A}) = \nabla \cdot (\nabla \cdot \vec{A}) - \nabla^2 \vec{A} </tex>; поскольку первое слагаемое равно <tex> 0 </tex>, то <tex> \nabla^2 \vec{A} = -\vec{\Omega} </tex><br />
<br />
Дальше аналогично первому заданию.<br />
<br />
== Задание 3 ==<br />
Есть вихревая трубка. Надо найти {{TODO| t=}}<br />
<br />
<tex> \int\limits_S \vec{\Omega} \cdot \vec{n} \, dS <br />
= \oint_l \vec{V} \cdot \vec{\tau} \cdot \, dl<br />
= r<br />
= const </tex><br />
<br />
Должен получится закон Био-Савара-Лапласа, только для жидкости<br />
<br />
== Задание 4 ==<br />
Найти <tex> \vec{V}(\vec{r}) </tex> и <tex> p(\vec{r}) </tex>, возникающих при обтекании неподвижной сферы потоком идеальной несжимаемой жидкости. <br />
<br />
'''Подсказка:''' удобно решать в сферической системе координат. Тогда нужно найти <tex> V_r (\vec{r}, \beta) ,\ V_{\beta}(\vec{r}, \beta) ,\ p(\vec{r}, \beta) </tex> (у скорости только две интересующих нас компоненты в следствие симметричности относительно одной из осей)<br />
<br />
'''Подсказка:''' Наиболее очевидный вариант {{---}} написать уравнение Лапласа, задать начальные условия и решать получающуюся систему, это слегка трудоёмкая задача. <br />
<br />
Есть вариант проще: представить поле скорости как суперпозицию поля скорости, индуцируемого диполем, расположенным в центре сферы, и набегающей <tex> \vec{V}_{\infty} </tex>; нужно будет подобрать подходящий дипольный момент <tex> \vec{D} </tex><br />
<br />
== Источники информации == <br />
* [[wikipedia:Help:Displaying_a_formula | Всякие математические знаки]]</div>Martoonhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BF%D0%BE_%D0%9A%D0%A1%D0%95_%D1%84%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B0_3&diff=45639Задание по КСЕ физика 32015-04-17T16:35:46Z<p>Martoon: </p>
<hr />
<div>== Задание 1 ==<br />
<tex> \vec{V}(\vec{r}) </tex> {{---}} индуцированное заданным точечным источником поле<br />
<br />
<tex> q \cdot dW = dQ </tex>, где <tex> q </tex> {{---}} объёмная плотность интенсивности источника.<br />
<br />
# <tex> \phi(\vec{r}) \ - \ ? </tex> ('''Подсказка:''' ''использовать принцип суперпозиции'')<br />
# <tex> \vec{V} = \nabla \cdot \phi \ - \ ? </tex><br />
# <tex> \nabla \cdot \vec{V} \ - \ ? </tex><br />
<br />
'''Примечание:''' Кажется, что <tex> \nabla \cdot \vec{V} = \nabla \cdot (\nabla \cdot \phi) = \nabla^2 \cdot \phi = q </tex>, но так не получится верный ответ, необходимо понять почему.<br />
<br />
== Задание 2 ==<br />
<tex> \vec{V}(\vec{r}) </tex> {{---}} индуцированное заданной вихревой областью поле<br />
{{TODO| t=А что найти-то надо? }}<br />
<br />
'''Подсказка к решению:''' Известно, что <tex> \nabla \cdot \vec{V} = 0 </tex>. Из этого следует <tex> \exists \vec{A} :\ \vec{V} = \nabla \times \vec{A} </tex><br />
<br />
<tex> \vec{\Omega} = \nabla \times (\nabla \times \vec{A}) = \nabla \cdot (\nabla \cdot \vec{A}) - \nabla^2 \vec{A} </tex>; поскольку первое слагаемое равно <tex> 0 </tex>, то <tex> \nabla^2 \vec{A} = -\vec{\Omega} </tex><br />
<br />
Дальше аналогично первому заданию.<br />
<br />
== Задание 3 ==<br />
Есть вихревая трубка. Надо найти {{TODO| t=}}<br />
<br />
<tex> \int\limits_S \vec{\Omega} \cdot \vec{n} \, dS <br />
= \oint_l \vec{V} \cdot \vec{\tau} \cdot \, dl<br />
= r<br />
= const </tex><br />
<br />
Должен получится закон Био-Савара-Лапласа, только для жидкости<br />
<br />
== Задание 4 ==<br />
Найти <tex> \vec{V}(\vec{r}) </tex> и <tex> p(\vec{r}) </tex>, возникающих при обтекании неподвижной сферы потоком идеальной несжимаемой жидкости. <br />
<br />
'''Подсказка:''' удобно решать в сферической системе координат. Тогда нужно найти <tex> V_r (\vec{r}, \beta) ,\ V_{\beta}(\vec{r}, \beta) ,\ p(\vec{r}, \beta) </tex> (у скорости только две интересующих нас компоненты в следствие симметричности относительно одной из осей)<br />
<br />
'''Подсказка:''' Наиболее очевидный вариант {{---}} написать уравнение Лапласа, задать начальные условия и решать получающуюся систему, это слегка трудоёмкая задача. <br />
<br />
Есть вариант проще: представить поле скорости как суперпозицию поля скорости, индуцируемого диполем, расположенным в центре сферы, и набегающей <tex> \vec{V}_{\infty} </tex>; нужно будет подобрать подходящий дипольный момент <tex> \vec{D} </tex></div>Martoonhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BF%D0%BE_%D0%9A%D0%A1%D0%95_%D1%84%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B0_3&diff=45638Задание по КСЕ физика 32015-04-17T16:30:42Z<p>Martoon: </p>
<hr />
<div>== Задание 1 ==<br />
<tex> \vec{V}(\vec{r}) </tex> {{---}} индуцированное заданным точечным источником поле<br />
<br />
<tex> q \cdot dW = dQ </tex>, где <tex> q </tex> {{---}} объёмная плотность интенсивности источника.<br />
<br />
# <tex> \phi(\vec{r}) \ - \ ? </tex> ('''Подсказка:''' ''использовать принцип суперпозиции'')<br />
# <tex> \vec{V} = \nabla \cdot \phi \ - \ ? </tex><br />
# <tex> \nabla \cdot \vec{V} \ - \ ? </tex><br />
<br />
'''Примечание:''' Кажется, что <tex> \nabla \cdot \vec{V} = \nabla \cdot (\nabla \cdot \phi) = \nabla^2 \cdot \phi = q </tex>, но так не получится верный ответ, необходимо понять почему.<br />
<br />
== Задание 2 ==<br />
<tex> \vec{V}(\vec{r}) </tex> {{---}} индуцированное заданной вихревой областью поле<br />
{{TODO| t=А что найти-то надо? }}<br />
<br />
'''Подсказка к решению:''' Известно, что <tex> \nabla \cdot \vec{V} = 0 </tex>. Из этого следует <tex> \exists \vec{A} :\ \vec{V} = \nabla \times \vec{A} </tex><br />
<br />
<tex> \vec{\Omega} = \nabla \times (\nabla \times \vec{A}) = \nabla \cdot (\nabla \cdot \vec{A}) - \nabla^2 \vec{A} </tex>; поскольку первое слагаемое равно <tex> 0 </tex>, то <tex> \nabla^2 \vec{A} = -\vec{\Omega} </tex><br />
<br />
Дальше аналогично первому заданию.<br />
<br />
== Задание 3 ==<br />
Есть вихревая трубка. Надо найти {{TODO| t=}}<br />
<br />
<tex> \int\limits_S \vec{\Omega} \cdot \vec{n} \, dS <br />
= \oint_l \vec{V} \cdot \vec{\tau} \cdot \, dl<br />
= r<br />
= const </tex><br />
<br />
Должен получится закон Био-Савара-Лапласа, только для жидкости<br />
<br />
== Задание 4 ==<br />
Найти <tex> \vec{V}(\vec{r}) </tex> и <tex> p(\vec{r}) </tex>, возникающих при обтекании неподвижной сферы потоком идеальной несжимаемой жидкости. <br />
<br />
'''Подсказка:''' удобно решать в сферической системе координат. Тогда нужно найти <tex> V_r(\vec{r}, \betha) ,\ V_{\betha}(\vec{r}, \betha) ,\ p(\vec{r}, \betha) </tex> (у скорости две интересующих нас компоненты в следствие симметричности относительно одной из осей)<br />
<br />
<br />
'''Подсказка:''' Наиболее очевидный вариант {{---}} написать уравнение Лапласа, задать начальные условия и решать получающуюся систему, это слегка трудоёмкая задача. <br />
<br />
Есть вариант проще: представить поле скорости как суперпозицию поля скорости, индуцируемого диполем, расположенным в центре сферы, и набегающей <tex> \vec{V}_{\infty} </tex>; нужно будет подобрать подходящий дипольный момент <tex> \vec{D} </tex></div>Martoonhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BF%D0%BE_%D0%9A%D0%A1%D0%95_%D1%84%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B0_3&diff=45637Задание по КСЕ физика 32015-04-17T16:10:40Z<p>Martoon: </p>
<hr />
<div>== Задание 1 ==<br />
<tex> \vec{V}(\vec{r}) </tex> {{---}} индуцированное заданным точечным источником поле<br />
<br />
<tex> q \cdot dW = dQ </tex>, где <tex> q </tex> {{---}} объёмная плотность интенсивности источника.<br />
<br />
# <tex> \phi(\vec{r}) \ - \ ? </tex> ('''Подсказка:''' ''использовать принцип суперпозиции'')<br />
# <tex> \vec{V} = \nabla \cdot \phi \ - \ ? </tex><br />
# <tex> \nabla \cdot \vec{V} \ - \ ? </tex><br />
<br />
'''Примечание:''' Кажется, что <tex> \nabla \cdot \vec{V} = \nabla \cdot (\nabla \cdot \phi) = \nabla^2 \cdot \phi = q </tex>, но так не получится верный ответ, необходимо понять почему.<br />
<br />
== Задание 2 ==<br />
<tex> \vec{V}(\vec{r}) </tex> {{---}} индуцированное заданной вихревой областью поле<br />
{{TODO| t=А что найти-то надо? }}<br />
<br />
'''Подсказка к решению:''' Известно, что <tex> \nabla \cdot \vec{V} = 0 </tex>. Из этого следует <tex> \exists \vec{A} :\ \vec{V} = \nabla \times \vec{A} </tex><br />
<br />
<tex> \vec{\Omega} = \nabla \times (\nabla \times \vec{A}) = \nabla \cdot (\nabla \cdot \vec{A}) - \nabla^2 \vec{A} </tex>; поскольку первое слагаемое равно <tex> 0 </tex>, то <tex> \nabla^2 \vec{A} = -\vec{\Omega} </tex><br />
<br />
Дальше аналогично первому заданию.<br />
<br />
== Задание 3 ==</div>Martoonhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BF%D0%BE_%D0%9A%D0%A1%D0%95_%D1%84%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B0_3&diff=45636Задание по КСЕ физика 32015-04-17T15:57:58Z<p>Martoon: Новая страница: «=== Задание 1 === : <tex> \vec{V}(\vec{r}) </tex> {{---}} индуцированное заданным источником распределение. : ...»</p>
<hr />
<div>=== Задание 1 ===<br />
: <tex> \vec{V}(\vec{r}) </tex> {{---}} индуцированное заданным источником распределение.<br />
: <tex> q \cdot dW = dQ </tex>, где <tex> q </tex> {{---}} объёмная плтность интенсивности источника.<br />
:# <tex> \phi(\vec{r}) \ - \ ? </tex> ('''Подсказка:''' ''использовать принцип суперпозиции'')<br />
:# <tex> \vec{V} = \nabla \cdot \phi \ - \ ? </tex><br />
:# <tex> \nabla \cdot \vec{V} \ - \ ? </tex></div>Martoonhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9C%D0%B0%D1%82%D1%84%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B0_6_%D1%81%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D1%81%D1%82%D1%80_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D1%81_%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B9&diff=45229Матфизика 6 семестр задания с лекций2015-03-31T17:31:05Z<p>Martoon: </p>
<hr />
<div>Здесь дано подмножество задач, которые решали на лекциях по мат. физике (1-ый модуль).<br />
Решения должны быть строго формальными.<br />
<br />
Посчитать <tex> (f, \phi) </tex> (представить через интеграл и упростить если возможно), где <tex> f(x) </tex> равно:<br />
* <tex> x^2 </tex><br />
* <tex> \sigma(x) </tex><br />
* <tex> \sigma(x-x_0) </tex><br />
* <tex> \mathit{\Theta}(x) = [x \geqslant 0] </tex><br />
* <tex> ln|x| </tex><br />
* <tex> \frac{1}{x} </tex><br />
<br />
<br />
Показать что выполняется:<br />
* <tex> \mathit{\Theta'} = \sigma </tex><br />
* <tex> \sigma^{(n)} =\ (-1)^n \phi^{(n)}(0) </tex><br />
* <tex> ln'|x| = \frac{1}{x} </tex><br />
* <tex> \alpha \in C^{\infty} ,\ f \in \mathcal{D}' \Rightarrow (\alpha \cdot f)' = \alpha' \cdot f + \alpha \cdot f' \quad (\mathcal{D}' </tex> {{---}} пространство обобщённых функций <tex> ) </tex><br />
* <tex> \ldots </tex> <br />
* Здесь что-то было<br />
* <tex> \ldots </tex><br />
<br />
<br />
Решить уравнение:<br />
* <tex> (x-1)(x-2)y'' = \mathcal{P} \frac{1}{x-1} </tex><br />
<br />
<br />
Показать что выполняется:<br />
* <tex> \cos nx \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} 0 </tex><br />
* <tex> \sin nx \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} 0 \quad </tex><br />
* <tex> e^{inx} \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} 0 \quad </tex></div>Martoonhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9C%D0%B0%D1%82%D1%84%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B0_6_%D1%81%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D1%81%D1%82%D1%80_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D1%81_%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B9&diff=45228Матфизика 6 семестр задания с лекций2015-03-31T17:20:10Z<p>Martoon: </p>
<hr />
<div>Здесь дано подмножество задач, которые решали на лекциях по мат. физике (1-ый модуль).<br />
Решения должны быть строго формальными.<br />
<br />
Посчитать <tex> (f ,\ \phi) </tex> (представить через интеграл и упростить если возможно), где <tex> f(x) </tex> равно:<br />
* <tex> x^2 </tex><br />
* <tex> \sigma(x) </tex><br />
* <tex> \sigma(x-x_0) </tex><br />
* <tex> \mathit{\Theta}(x) = [x \geqslant 0] </tex><br />
* <tex> ln|x| </tex><br />
* <tex> frac{1}{x} </tex><br />
<br />
<br />
* <tex> \mathit{\Theta'} = \sigma </tex><br />
* <tex> \sigma^{(n)} =\ (-1)^n \phi^{(n)}(0) </tex><br />
* <tex> ln'|x| = \frac{1}{x} </tex><br />
* <tex> \alpha \in C^{\infty} ,\ f \in \mathcal{D}' \Rightarrow (\alpha \cdot f)' = \alpha' \cdot f + \alpha \cdot f' </tex><br />
* <tex> \ldots </tex> <br />
* Здесь что-то было<br />
* <tex> \ldots </tex><br />
<br />
<br />
Решить уравнение:<br />
* <tex> (x-1)(x-2)y'' = \mathcal{P} \frac{1}{x-1} </tex><br />
<br />
<br />
Показать что выполняется:<br />
* <tex> \cos nx \rightarrow 0 \quad (n \rightarrow \infty) </tex><br />
* <tex> \sin nx \rightarrow 0 \quad (n \rightarrow \infty) </tex><br />
* <tex> e^{inx} \rightarrow 0 \quad (n \rightarrow \infty) </tex></div>Martoonhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9C%D0%B0%D1%82%D1%84%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B0_6_%D1%81%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D1%81%D1%82%D1%80_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D1%81_%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B9&diff=45226Матфизика 6 семестр задания с лекций2015-03-31T17:10:04Z<p>Martoon: переименовал Матфизика 4 семестр задания с лекций в Матфизика 6 семестр задания с лекций</p>
<hr />
<div>Здесь дано подмножество задач, которые решали на лекциях по мат. физике (1-ый модуль).<br />
Решения должны быть строго формальными.<br />
<br />
Показать, что выполняется следующее:<br />
* <tex> \mathit{\Theta'} = \sigma </tex><br />
* <tex> \sigma^{(n)} =\ (-1)^n \phi^{(n)}(0) </tex><br />
* <tex> ln'|x| </tex><br />
* <tex> \alpha \in C^{\infty} ,\ f \in \mathcal{D}' \Rightarrow (\alpha \cdot f)' = \alpha' \cdot f + \alpha \cdot f' </tex><br />
* <tex> \ldots </tex> <br />
* Здесь что-то было<br />
* <tex> \ldots </tex><br />
<br />
<br />
Решить уравнение:<br />
* <tex> (x-1)(x-2)y'' = \mathcal{P} \frac{1}{x-1} </tex><br />
<br />
<br />
Показать что выполняется:<br />
* <tex> \cos nx \rightarrow 0 \quad (n \rightarrow \infty) </tex><br />
* <tex> \sin nx \rightarrow 0 \quad (n \rightarrow \infty) </tex><br />
* <tex> e^{inx} \rightarrow 0 \quad (n \rightarrow \infty) </tex></div>Martoonhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9C%D0%B0%D1%82%D1%84%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B0_4_%D1%81%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D1%81%D1%82%D1%80_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D1%81_%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B9&diff=45227Матфизика 4 семестр задания с лекций2015-03-31T17:10:04Z<p>Martoon: переименовал Матфизика 4 семестр задания с лекций в Матфизика 6 семестр задания с лекций</p>
<hr />
<div>#перенаправление [[Матфизика 6 семестр задания с лекций]]</div>Martoon