http://neerc.ifmo.ru/wiki/api.php?action=feedcontributions&feedformat=atom&user=Masha 2026-06-11T16:46:37Z Вклад участника MediaWiki 1.30.0 http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:Masha&diff=81013 2021-06-13T19:34:13Z

<p>Masha: /* Формула Бержа */</p> <hr /> <div>== Формула Бержа ==<br /> <br /> {{Определение<br /> |definition =&lt;tex&gt;\mathrm{odd}({G})&lt;/tex&gt; {{---}} число нечетных компонент связности в графе &lt;tex&gt;{G}&lt;/tex&gt;, где '''нечетная компонента''' (англ. ''odd component'') {{---}} это [[Отношение связности, компоненты связности#def2|компонента связности]], содержащая нечетное число вершин. <br /> }}<br /> <br /> <br /> <br /> {{Лемма<br /> |statement= &lt;tex&gt;(n + |S| + odd(G \setminus S)) \; \equiv \; 0 \; ( mod \; 2) \; &lt;/tex&gt;, где &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; {{---}} граф с &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt; вершинами, &lt;tex&gt;S \in {V}_{G}&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> Удалим из графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; множество &lt;tex&gt;S&lt;/tex&gt;, получим &lt;tex&gt;t&lt;/tex&gt; компонент связности, содержащих &lt;tex&gt;k_1, k_2 ... k_t&lt;/tex&gt; вершин соответственно.<br /> &lt;tex&gt;|S|\; + \; \sum_{i=1}^{k}k_i \; = \; n \; &lt;/tex&gt;, так как в сумме это все вершины исходного графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. <br /> Возьмем данное равенство по модулю два: &lt;tex&gt;(|S|\; + \; \sum_{i=1}^{k}k_i) \; \equiv \; n \; (mod \; 2)&lt;/tex&gt;<br /> В сумме &lt;tex&gt;\sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)&lt;/tex&gt; число единиц равно числу нечетных компонент &lt;tex&gt;odd(G \setminus S)&lt;/tex&gt;. Таким образом, &lt;tex&gt; \forall S \in V : \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; \equiv \; n \; (mod \; 2) \;&lt;/tex&gt;. <br /> }}<br /> <br /> <br /> <br /> {{Теорема<br /> |statement= &lt;tex&gt;def G = \max\limits_{S \in V} (odd(G \setminus S) - |S|)&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> &lt;tex&gt; \forall S \in V : \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; \equiv \; n ( mod \; 2) \;&lt;/tex&gt;<br /> <br /> <br /> Рассмотрим несколько случаев:<br /> <br /> <br /> 1. Если &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) \; - \; |S|) \; = 0 \; &lt;/tex&gt;, тогда для любых &lt;tex&gt;S \in V: \; odd(G \setminus S) \leq |S| \; &lt;/tex&gt;, следовательно выполнено условие [[Теорема Татта о существовании полного паросочетания|теоремы Татта]], значит, в графе есть совершенное паросочетание, то есть его дефицит равен нулю. <br /> <br /> 2. Если &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = k \; &lt;/tex&gt;, тогда рассмотрим исходный граф &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; и полный граф &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; с &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; вершинами, &lt;tex&gt;W&lt;/tex&gt; - вершины &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt;. Каждую вершину &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; соединим с каждой вершиной &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. Получим граф &lt;tex&gt;H \; = \; K_k + G \;&lt;/tex&gt;, докажем, что для него выполнено условие теоремы Татта. Докажем, что для любых &lt;tex&gt;S \in V_{H}: odd(H \setminus S) \; \leq \; |S| \; &lt;/tex&gt;. <br /> Рассмотрим &lt;tex&gt;S \; \subset \; V_H\;&lt;/tex&gt;:<br /> <br /> * Если &lt;tex&gt;W \not\subset S&lt;/tex&gt;, тогда поскольку граф &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; полный и все его вершины связаны с каждой вершиной графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;, то граф &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt; связный и &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 0 \;&lt;/tex&gt; или &lt;tex&gt;odd(G \setminus S) \; = \; 1 \;&lt;/tex&gt;. <br /> ** В случае &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 0 \; &lt;/tex&gt; условие очевидно выполняется, так как для любых &lt;tex&gt;S \in G : 0 \; \leq \; |S| \;&lt;/tex&gt;. <br /> ** Рассмотрим случай &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 1 \;&lt;/tex&gt;, &lt;tex&gt;|V_H| \; = \; n \; + \; k \; = \; n \; + \; odd(G \setminus A) \; - \; |A| \; &lt;/tex&gt;, где &lt;tex&gt;A \; = \; arg \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) \; - \; |S|) \; &lt;/tex&gt;. Разность &lt;tex&gt;odd(G \setminus A) \; - \; |A| \; &lt;/tex&gt; имеет ту же четность, что и &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt;, и &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 1 \;&lt;/tex&gt;, поэтому &lt;tex&gt;|V_H|&lt;/tex&gt; четно, значит, по лемме, мощность &lt;tex&gt;S&lt;/tex&gt; нечетна, следовательно она не равна нулю, значит, &lt;tex&gt; 1 \leq |S| &lt;/tex&gt;.<br /> <br /> <br /> * Если &lt;tex&gt;W \subset S \;&lt;/tex&gt;, то &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; odd(G \setminus (S \cap V)) \; = odd(G \setminus (S \cap V)) \; - \; |S \cap V| \; + \; |S \cap V| \; \leq \; |S \cap V| \; + \; k \leq |S| \; &lt;/tex&gt;, так как &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = k \; &lt;/tex&gt;. Таким образом, для графа &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt; выполнено условие теоремы Татта, следовательно в нём есть полное паросочетание. Рассмотрим полное паросочетание в графе &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt;, удалим вершины &lt;tex&gt;W&lt;/tex&gt; из графа &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt;. Количество непокрытых вершин после удаления не больше, чем количество удаленных вершин &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt;, значит, &lt;tex&gt;def(G) \; \leq \; k&lt;/tex&gt;. Удалим множество вершин &lt;tex&gt;A \; = \; arg \max\limits_{S \in V}(odd(H \setminus S) \; - \; |S|) \; &lt;/tex&gt; из графа &lt;tex&gt;G\;&lt;/tex&gt;. Заметим, что после удаления в графе осталось &lt;tex&gt;odd(G \setminus A)\; &lt;/tex&gt; нечетных компонент и образовались новые непокрытые вершины, но при этом число нечетных компонент больше числа удаленных на &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt;. Значит, хотя бы &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; нечетных компонент содержали исходно непокрытую вершину, следовательно &lt;tex&gt;def(G) \; \geq \; k \; &lt;/tex&gt;. Из &lt;tex&gt;def(G) \; \leq \; k&lt;/tex&gt; и &lt;tex&gt;def(G) \; \geq \; k \; &lt;/tex&gt; следует &lt;tex&gt;def(G) \; = \; k \; &lt;/tex&gt;.<br /> }}<br /> <br /> ==См. также==<br /> <br /> ==Источники информации==<br /> <br /> [https://www.youtube.com/watch?v=1KggxCJZFRg {{---}} Лекция А.С. Станкевича]</div>

Masha http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:Masha&diff=81012 2021-06-13T19:33:23Z

<p>Masha: /* Формула Бержа */</p> <hr /> <div>== Формула Бержа ==<br /> <br /> {{Определение<br /> |definition =&lt;tex&gt;\mathrm{odd}({G})&lt;/tex&gt; {{---}} число нечетных компонент связности в графе &lt;tex&gt;{G}&lt;/tex&gt;, где '''нечетная компонента''' (англ. ''odd component'') {{---}} это [[Отношение связности, компоненты связности#def2|компонента связности]], содержащая нечетное число вершин. <br /> }}<br /> <br /> <br /> <br /> {{Лемма<br /> |statement= &lt;tex&gt;(n + |S| + odd(G \setminus S)) \; = 0 \; ( mod \; 2) \; &lt;/tex&gt;, где &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; {{---}} граф с &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt; вершинами, &lt;tex&gt;S \in {V}_{G}&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> Удалим из графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; множество &lt;tex&gt;S&lt;/tex&gt;, получим &lt;tex&gt;t&lt;/tex&gt; компонент связности, содержащих &lt;tex&gt;k_1, k_2 ... k_t&lt;/tex&gt; вершин соответственно.<br /> &lt;tex&gt;|S|\; + \; \sum_{i=1}^{k}k_i \; = \; n \; &lt;/tex&gt;, так как в сумме это все вершины исходного графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. <br /> Возьмем данное равенство по модулю два: &lt;tex&gt;(|S|\; + \; \sum_{i=1}^{k}k_i) \; \equiv \; n \; (mod \; 2)&lt;/tex&gt;<br /> В сумме &lt;tex&gt;\sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)&lt;/tex&gt; число единиц равно числу нечетных компонент &lt;tex&gt;odd(G \setminus S)&lt;/tex&gt;. Таким образом, &lt;tex&gt; \forall S \in V : \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; \equiv \; n \; (mod \; 2) \;&lt;/tex&gt;. <br /> }}<br /> <br /> <br /> <br /> {{Теорема<br /> |statement= &lt;tex&gt;def G = \max\limits_{S \in V} (odd(G \setminus S) - |S|)&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> &lt;tex&gt; \forall S \in V : \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; \equiv \; n ( mod \; 2) \;&lt;/tex&gt;<br /> <br /> <br /> Рассмотрим несколько случаев:<br /> <br /> <br /> 1. Если &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) \; - \; |S|) \; = 0 \; &lt;/tex&gt;, тогда для любых &lt;tex&gt;S \in V: \; odd(G \setminus S) \leq |S| \; &lt;/tex&gt;, следовательно выполнено условие [[Теорема Татта о существовании полного паросочетания|теоремы Татта]], значит, в графе есть совершенное паросочетание, то есть его дефицит равен нулю. <br /> <br /> 2. Если &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = k \; &lt;/tex&gt;, тогда рассмотрим исходный граф &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; и полный граф &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; с &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; вершинами, &lt;tex&gt;W&lt;/tex&gt; - вершины &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt;. Каждую вершину &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; соединим с каждой вершиной &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. Получим граф &lt;tex&gt;H \; = \; K_k + G \;&lt;/tex&gt;, докажем, что для него выполнено условие теоремы Татта. Докажем, что для любых &lt;tex&gt;S \in V_{H}: odd(H \setminus S) \; \leq \; |S| \; &lt;/tex&gt;. <br /> Рассмотрим &lt;tex&gt;S \; \subset \; V_H\;&lt;/tex&gt;:<br /> <br /> * Если &lt;tex&gt;W \not\subset S&lt;/tex&gt;, тогда поскольку граф &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; полный и все его вершины связаны с каждой вершиной графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;, то граф &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt; связный и &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 0 \;&lt;/tex&gt; или &lt;tex&gt;odd(G \setminus S) \; = \; 1 \;&lt;/tex&gt;. <br /> ** В случае &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 0 \; &lt;/tex&gt; условие очевидно выполняется, так как для любых &lt;tex&gt;S \in G : 0 \; \leq \; |S| \;&lt;/tex&gt;. <br /> ** Рассмотрим случай &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 1 \;&lt;/tex&gt;, &lt;tex&gt;|V_H| \; = \; n \; + \; k \; = \; n \; + \; odd(G \setminus A) \; - \; |A| \; &lt;/tex&gt;, где &lt;tex&gt;A \; = \; arg \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) \; - \; |S|) \; &lt;/tex&gt;. Разность &lt;tex&gt;odd(G \setminus A) \; - \; |A| \; &lt;/tex&gt; имеет ту же четность, что и &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt;, и &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 1 \;&lt;/tex&gt;, поэтому &lt;tex&gt;|V_H|&lt;/tex&gt; четно, значит, по лемме, мощность &lt;tex&gt;S&lt;/tex&gt; нечетна, следовательно она не равна нулю, значит, &lt;tex&gt; 1 \leq |S| &lt;/tex&gt;.<br /> <br /> <br /> * Если &lt;tex&gt;W \subset S \;&lt;/tex&gt;, то &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; odd(G \setminus (S \cap V)) \; = odd(G \setminus (S \cap V)) \; - \; |S \cap V| \; + \; |S \cap V| \; \leq \; |S \cap V| \; + \; k \leq |S| \; &lt;/tex&gt;, так как &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = k \; &lt;/tex&gt;. Таким образом, для графа &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt; выполнено условие теоремы Татта, следовательно в нём есть полное паросочетание. Рассмотрим полное паросочетание в графе &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt;, удалим вершины &lt;tex&gt;W&lt;/tex&gt; из графа &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt;. Количество непокрытых вершин после удаления не больше, чем количество удаленных вершин &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt;, значит, &lt;tex&gt;def(G) \; \leq \; k&lt;/tex&gt;. Удалим множество вершин &lt;tex&gt;A \; = \; arg \max\limits_{S \in V}(odd(H \setminus S) \; - \; |S|) \; &lt;/tex&gt; из графа &lt;tex&gt;G\;&lt;/tex&gt;. Заметим, что после удаления в графе осталось &lt;tex&gt;odd(G \setminus A)\; &lt;/tex&gt; нечетных компонент и образовались новые непокрытые вершины, но при этом число нечетных компонент больше числа удаленных на &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt;. Значит, хотя бы &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; нечетных компонент содержали исходно непокрытую вершину, следовательно &lt;tex&gt;def(G) \; \geq \; k \; &lt;/tex&gt;. Из &lt;tex&gt;def(G) \; \leq \; k&lt;/tex&gt; и &lt;tex&gt;def(G) \; \geq \; k \; &lt;/tex&gt; следует &lt;tex&gt;def(G) \; = \; k \; &lt;/tex&gt;.<br /> }}<br /> <br /> ==См. также==<br /> <br /> ==Источники информации==<br /> <br /> [https://www.youtube.com/watch?v=1KggxCJZFRg {{---}} Лекция А.С. Станкевича]</div>

Masha http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:Masha&diff=81011 2021-06-13T19:32:41Z

<p>Masha: /* Формула Бержа */</p> <hr /> <div>== Формула Бержа ==<br /> <br /> {{Определение<br /> |definition =&lt;tex&gt;\mathrm{odd}({G})&lt;/tex&gt; {{---}} число нечетных компонент связности в графе &lt;tex&gt;{G}&lt;/tex&gt;, где '''нечетная компонента''' (англ. ''odd component'') {{---}} это [[Отношение связности, компоненты связности#def2|компонента связности]], содержащая нечетное число вершин. <br /> }}<br /> <br /> <br /> <br /> {{Лемма<br /> |statement= &lt;tex&gt;(n + |S| + odd(G \setminus S)) \; mod \; 2 = 0 \; &lt;/tex&gt;, где &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; {{---}} граф с &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt; вершинами, &lt;tex&gt;S \in {V}_{G}&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> Удалим из графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; множество &lt;tex&gt;S&lt;/tex&gt;, получим &lt;tex&gt;t&lt;/tex&gt; компонент связности, содержащих &lt;tex&gt;k_1, k_2 ... k_t&lt;/tex&gt; вершин соответственно.<br /> &lt;tex&gt;|S|\; + \; \sum_{i=1}^{k}k_i \; = \; n \; &lt;/tex&gt;, так как в сумме это все вершины исходного графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. <br /> Возьмем данное равенство по модулю два: &lt;tex&gt;(|S|\; + \; \sum_{i=1}^{k}k_i) \; \equiv \; n \; (mod \; 2)&lt;/tex&gt;<br /> В сумме &lt;tex&gt;\sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)&lt;/tex&gt; число единиц равно числу нечетных компонент &lt;tex&gt;odd(G \setminus S)&lt;/tex&gt;. Таким образом, &lt;tex&gt; \forall S \in V : \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; \equiv \; n \; (mod \; 2) \;&lt;/tex&gt;. <br /> }}<br /> <br /> <br /> <br /> {{Теорема<br /> |statement= &lt;tex&gt;def G = \max\limits_{S \in V} (odd(G \setminus S) - |S|)&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> &lt;tex&gt; \forall S \in V : \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; \equiv \; n ( mod \; 2) \;&lt;/tex&gt;<br /> <br /> <br /> Рассмотрим несколько случаев:<br /> <br /> <br /> 1. Если &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) \; - \; |S|) \; = 0 \; &lt;/tex&gt;, тогда для любых &lt;tex&gt;S \in V: \; odd(G \setminus S) \leq |S| \; &lt;/tex&gt;, следовательно выполнено условие [[Теорема Татта о существовании полного паросочетания|теоремы Татта]], значит, в графе есть совершенное паросочетание, то есть его дефицит равен нулю. <br /> <br /> 2. Если &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = k \; &lt;/tex&gt;, тогда рассмотрим исходный граф &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; и полный граф &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; с &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; вершинами, &lt;tex&gt;W&lt;/tex&gt; - вершины &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt;. Каждую вершину &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; соединим с каждой вершиной &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. Получим граф &lt;tex&gt;H \; = \; K_k + G \;&lt;/tex&gt;, докажем, что для него выполнено условие теоремы Татта. Докажем, что для любых &lt;tex&gt;S \in V_{H}: odd(H \setminus S) \; \leq \; |S| \; &lt;/tex&gt;. <br /> Рассмотрим &lt;tex&gt;S \; \subset \; V_H\;&lt;/tex&gt;:<br /> <br /> * Если &lt;tex&gt;W \not\subset S&lt;/tex&gt;, тогда поскольку граф &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; полный и все его вершины связаны с каждой вершиной графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;, то граф &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt; связный и &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 0 \;&lt;/tex&gt; или &lt;tex&gt;odd(G \setminus S) \; = \; 1 \;&lt;/tex&gt;. <br /> ** В случае &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 0 \; &lt;/tex&gt; условие очевидно выполняется, так как для любых &lt;tex&gt;S \in G : 0 \; \leq \; |S| \;&lt;/tex&gt;. <br /> ** Рассмотрим случай &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 1 \;&lt;/tex&gt;, &lt;tex&gt;|V_H| \; = \; n \; + \; k \; = \; n \; + \; odd(G \setminus A) \; - \; |A| \; &lt;/tex&gt;, где &lt;tex&gt;A \; = \; arg \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) \; - \; |S|) \; &lt;/tex&gt;. Разность &lt;tex&gt;odd(G \setminus A) \; - \; |A| \; &lt;/tex&gt; имеет ту же четность, что и &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt;, и &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 1 \;&lt;/tex&gt;, поэтому &lt;tex&gt;|V_H|&lt;/tex&gt; четно, значит, по лемме, мощность &lt;tex&gt;S&lt;/tex&gt; нечетна, следовательно она не равна нулю, значит, &lt;tex&gt; 1 \leq |S| &lt;/tex&gt;.<br /> <br /> <br /> * Если &lt;tex&gt;W \subset S \;&lt;/tex&gt;, то &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; odd(G \setminus (S \cap V)) \; = odd(G \setminus (S \cap V)) \; - \; |S \cap V| \; + \; |S \cap V| \; \leq \; |S \cap V| \; + \; k \leq |S| \; &lt;/tex&gt;, так как &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = k \; &lt;/tex&gt;. Таким образом, для графа &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt; выполнено условие теоремы Татта, следовательно в нём есть полное паросочетание. Рассмотрим полное паросочетание в графе &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt;, удалим вершины &lt;tex&gt;W&lt;/tex&gt; из графа &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt;. Количество непокрытых вершин после удаления не больше, чем количество удаленных вершин &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt;, значит, &lt;tex&gt;def(G) \; \leq \; k&lt;/tex&gt;. Удалим множество вершин &lt;tex&gt;A \; = \; arg \max\limits_{S \in V}(odd(H \setminus S) \; - \; |S|) \; &lt;/tex&gt; из графа &lt;tex&gt;G\;&lt;/tex&gt;. Заметим, что после удаления в графе осталось &lt;tex&gt;odd(G \setminus A)\; &lt;/tex&gt; нечетных компонент и образовались новые непокрытые вершины, но при этом число нечетных компонент больше числа удаленных на &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt;. Значит, хотя бы &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; нечетных компонент содержали исходно непокрытую вершину, следовательно &lt;tex&gt;def(G) \; \geq \; k \; &lt;/tex&gt;. Из &lt;tex&gt;def(G) \; \leq \; k&lt;/tex&gt; и &lt;tex&gt;def(G) \; \geq \; k \; &lt;/tex&gt; следует &lt;tex&gt;def(G) \; = \; k \; &lt;/tex&gt;.<br /> }}<br /> <br /> ==См. также==<br /> <br /> ==Источники информации==<br /> <br /> [https://www.youtube.com/watch?v=1KggxCJZFRg {{---}} Лекция А.С. Станкевича]</div>

Masha http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:Masha&diff=81010 2021-06-13T19:32:02Z

<p>Masha: </p> <hr /> <div>== Формула Бержа ==<br /> <br /> {{Определение<br /> |definition =&lt;tex&gt;\mathrm{odd}({G})&lt;/tex&gt; {{---}} число нечетных компонент связности в графе &lt;tex&gt;{G}&lt;/tex&gt;, где '''нечетная компонента''' (англ. ''odd component'') {{---}} это [[Отношение связности, компоненты связности#def2|компонента связности]], содержащая нечетное число вершин. <br /> }}<br /> <br /> <br /> <br /> {{Лемма<br /> |statement= &lt;tex&gt;(n + |S| + odd(G \setminus S)) \; mod \; 2 = 0 \; &lt;/tex&gt;, где &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; {{---}} граф с &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt; вершинами, &lt;tex&gt;S \in {V}_{G}&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> Удалим из графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; множество &lt;tex&gt;S&lt;/tex&gt;, получим &lt;tex&gt;t&lt;/tex&gt; компонент связности, содержащих &lt;tex&gt;k_1, k_2 ... k_t&lt;/tex&gt; вершин соответственно.<br /> &lt;tex&gt;|S|\; + \; \sum_{i=1}^{k}k_i \; = \; n \; &lt;/tex&gt;, так как в сумме это все вершины исходного графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. <br /> Возьмем данное равенство по модулю два: &lt;tex&gt;(|S|\; mod\; 2 \; + \; \sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)) \; \equiv \; n \; (mod \; 2)&lt;/tex&gt;<br /> В сумме &lt;tex&gt;\sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)&lt;/tex&gt; число единиц равно числу нечетных компонент &lt;tex&gt;odd(G \setminus S)&lt;/tex&gt;. Таким образом, &lt;tex&gt; \forall S \in V : \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; \equiv \; n \; (mod \; 2) \;&lt;/tex&gt;. <br /> }}<br /> <br /> <br /> <br /> {{Теорема<br /> |statement= &lt;tex&gt;def G = \max\limits_{S \in V} (odd(G \setminus S) - |S|)&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> &lt;tex&gt; \forall S \in V : \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; \equiv \; n ( mod \; 2) \;&lt;/tex&gt;<br /> <br /> <br /> Рассмотрим несколько случаев:<br /> <br /> <br /> 1. Если &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) \; - \; |S|) \; = 0 \; &lt;/tex&gt;, тогда для любых &lt;tex&gt;S \in V: \; odd(G \setminus S) \leq |S| \; &lt;/tex&gt;, следовательно выполнено условие [[Теорема Татта о существовании полного паросочетания|теоремы Татта]], значит, в графе есть совершенное паросочетание, то есть его дефицит равен нулю. <br /> <br /> 2. Если &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = k \; &lt;/tex&gt;, тогда рассмотрим исходный граф &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; и полный граф &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; с &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; вершинами, &lt;tex&gt;W&lt;/tex&gt; - вершины &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt;. Каждую вершину &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; соединим с каждой вершиной &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. Получим граф &lt;tex&gt;H \; = \; K_k + G \;&lt;/tex&gt;, докажем, что для него выполнено условие теоремы Татта. Докажем, что для любых &lt;tex&gt;S \in V_{H}: odd(H \setminus S) \; \leq \; |S| \; &lt;/tex&gt;. <br /> Рассмотрим &lt;tex&gt;S \; \subset \; V_H\;&lt;/tex&gt;:<br /> <br /> * Если &lt;tex&gt;W \not\subset S&lt;/tex&gt;, тогда поскольку граф &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; полный и все его вершины связаны с каждой вершиной графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;, то граф &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt; связный и &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 0 \;&lt;/tex&gt; или &lt;tex&gt;odd(G \setminus S) \; = \; 1 \;&lt;/tex&gt;. <br /> ** В случае &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 0 \; &lt;/tex&gt; условие очевидно выполняется, так как для любых &lt;tex&gt;S \in G : 0 \; \leq \; |S| \;&lt;/tex&gt;. <br /> ** Рассмотрим случай &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 1 \;&lt;/tex&gt;, &lt;tex&gt;|V_H| \; = \; n \; + \; k \; = \; n \; + \; odd(G \setminus A) \; - \; |A| \; &lt;/tex&gt;, где &lt;tex&gt;A \; = \; arg \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) \; - \; |S|) \; &lt;/tex&gt;. Разность &lt;tex&gt;odd(G \setminus A) \; - \; |A| \; &lt;/tex&gt; имеет ту же четность, что и &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt;, и &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 1 \;&lt;/tex&gt;, поэтому &lt;tex&gt;|V_H|&lt;/tex&gt; четно, значит, по лемме, мощность &lt;tex&gt;S&lt;/tex&gt; нечетна, следовательно она не равна нулю, значит, &lt;tex&gt; 1 \leq |S| &lt;/tex&gt;.<br /> <br /> <br /> * Если &lt;tex&gt;W \subset S \;&lt;/tex&gt;, то &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; odd(G \setminus (S \cap V)) \; = odd(G \setminus (S \cap V)) \; - \; |S \cap V| \; + \; |S \cap V| \; \leq \; |S \cap V| \; + \; k \leq |S| \; &lt;/tex&gt;, так как &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = k \; &lt;/tex&gt;. Таким образом, для графа &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt; выполнено условие теоремы Татта, следовательно в нём есть полное паросочетание. Рассмотрим полное паросочетание в графе &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt;, удалим вершины &lt;tex&gt;W&lt;/tex&gt; из графа &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt;. Количество непокрытых вершин после удаления не больше, чем количество удаленных вершин &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt;, значит, &lt;tex&gt;def(G) \; \leq \; k&lt;/tex&gt;. Удалим множество вершин &lt;tex&gt;A \; = \; arg \max\limits_{S \in V}(odd(H \setminus S) \; - \; |S|) \; &lt;/tex&gt; из графа &lt;tex&gt;G\;&lt;/tex&gt;. Заметим, что после удаления в графе осталось &lt;tex&gt;odd(G \setminus A)\; &lt;/tex&gt; нечетных компонент и образовались новые непокрытые вершины, но при этом число нечетных компонент больше числа удаленных на &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt;. Значит, хотя бы &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; нечетных компонент содержали исходно непокрытую вершину, следовательно &lt;tex&gt;def(G) \; \geq \; k \; &lt;/tex&gt;. Из &lt;tex&gt;def(G) \; \leq \; k&lt;/tex&gt; и &lt;tex&gt;def(G) \; \geq \; k \; &lt;/tex&gt; следует &lt;tex&gt;def(G) \; = \; k \; &lt;/tex&gt;.<br /> }}<br /> <br /> ==См. также==<br /> <br /> ==Источники информации==<br /> <br /> [https://www.youtube.com/watch?v=1KggxCJZFRg {{---}} Лекция А.С. Станкевича]</div>

Masha http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:Masha&diff=81009 2021-06-13T19:30:25Z

<p>Masha: </p> <hr /> <div>== Формула Бержа ==<br /> <br /> {{Определение<br /> |definition =&lt;tex&gt;\mathrm{odd}({G})&lt;/tex&gt; {{---}} число нечетных компонент связности в графе &lt;tex&gt;{G}&lt;/tex&gt;, где '''нечетная компонента''' (англ. ''odd component'') {{---}} это [[Отношение связности, компоненты связности#def2|компонента связности]], содержащая нечетное число вершин. <br /> }}<br /> <br /> <br /> <br /> {{Лемма<br /> |statement= &lt;tex&gt;(n + |S| + odd(G \setminus S)) \; mod \; 2 = 0 \; &lt;/tex&gt;, где &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; {{---}} граф с &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt; вершинами, &lt;tex&gt;S \in {V}_{G}&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> Удалим из графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; множество &lt;tex&gt;S&lt;/tex&gt;, получим &lt;tex&gt;t&lt;/tex&gt; компонент связности, содержащих &lt;tex&gt;k_1, k_2 ... k_t&lt;/tex&gt; вершин соответственно.<br /> &lt;tex&gt;|S|\; + \; \sum_{i=1}^{k}k_i \; = \; n \; &lt;/tex&gt;, так как в сумме это все вершины исходного графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. <br /> Возьмем данное равенство по модулю два: &lt;tex&gt;(|S|\; mod\; 2 \; + \; \sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)) \; \equiv \; n \; (mod \; 2)&lt;/tex&gt;<br /> В сумме &lt;tex&gt;\sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)&lt;/tex&gt; число единиц равно числу нечетных компонент &lt;tex&gt;odd(G \setminus S)&lt;/tex&gt;. Таким образом, &lt;tex&gt; \forall S \in V : \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; \equiv \; n \; (mod \; 2) \;&lt;/tex&gt;. <br /> }}<br /> <br /> <br /> <br /> {{Теорема<br /> |statement= &lt;tex&gt;def G = \max\limits_{S \in V} (odd(G \setminus S) - |S|)&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> &lt;tex&gt; \forall S \in V : \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; \equiv \; n ( mod \; 2) \;&lt;/tex&gt;<br /> <br /> <br /> Рассмотрим несколько случаев:<br /> <br /> <br /> 1. Если &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) \; - \; |S|) \; = 0 \; &lt;/tex&gt;, тогда для любых &lt;tex&gt;S \in V: \; odd(G \setminus S) \leq |S| \; &lt;/tex&gt;, следовательно выполнено условие [[Теорема Татта о существовании полного паросочетания|теоремы Татта]], значит, в графе есть совершенное паросочетание, то есть его дефицит равен нулю. <br /> <br /> 2. Если &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = k \; &lt;/tex&gt;, тогда рассмотрим исходный граф &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; и полный граф &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; с &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; вершинами, &lt;tex&gt;W&lt;/tex&gt; - вершины &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt;. Каждую вершину &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; соединим с каждой вершиной &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. Получим граф &lt;tex&gt;H \; = \; K_k + G \;&lt;/tex&gt;, докажем, что для него выполнено условие теоремы Татта. Докажем, что для любых &lt;tex&gt;S \in V_{H}: odd(H \setminus S) \; \leq \; |S| \; &lt;/tex&gt;. <br /> Рассмотрим &lt;tex&gt;S \; \subset \; V_H\;&lt;/tex&gt;:<br /> <br /> * Если &lt;tex&gt;W \not\subset S&lt;/tex&gt;, тогда поскольку граф &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; полный и все его вершины связаны с каждой вершиной графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;, то граф &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt; связный и &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 0 \;&lt;/tex&gt; или &lt;tex&gt;odd(G \setminus S) \; = \; 1 \;&lt;/tex&gt;. <br /> ** В случае &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 0 \; &lt;/tex&gt; условие очевидно выполняется, так как для любых &lt;tex&gt;S \in G : 0 \; \leq \; |S| \;&lt;/tex&gt;. <br /> ** Рассмотрим случай &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 1 \;&lt;/tex&gt;, &lt;tex&gt;|V_H| \; = \; n \; + \; k \; = \; n \; + \; odd(G \setminus A) \; - \; |A| \; &lt;/tex&gt;, где &lt;tex&gt;A \; = \; arg \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) \; - \; |S|) \; &lt;/tex&gt;. Разность &lt;tex&gt;odd(G \setminus A) \; - \; |A| \; &lt;/tex&gt; имеет ту же четность, что и &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt;, и &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 1 \;&lt;/tex&gt;, поэтому &lt;tex&gt;|V_H|&lt;/tex&gt; четно, значит, по лемме, мощность &lt;tex&gt;S&lt;/tex&gt; нечетна, следовательно она не равна нулю, значит, &lt;tex&gt; 1 \leq |S| &lt;/tex&gt;.<br /> <br /> <br /> * Если &lt;tex&gt;W \subset S \;&lt;/tex&gt;, то &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; odd(G \setminus (S \cap V)) \; \leq \; |S \cap V| \; + \; k \leq |S| \; &lt;/tex&gt;, так как &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = k \; &lt;/tex&gt;. Таким образом, для графа &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt; выполнено условие теоремы Татта, следовательно в нём есть полное паросочетание. Рассмотрим полное паросочетание в графе &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt;, удалим вершины &lt;tex&gt;W&lt;/tex&gt; из графа &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt;. Количество непокрытых вершин после удаления не больше, чем количество удаленных вершин &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt;, значит, &lt;tex&gt;def(G) \; \leq \; k&lt;/tex&gt;. Удалим множество вершин &lt;tex&gt;A \; = \; arg \max\limits_{S \in V}(odd(H \setminus S) \; - \; |S|) \; &lt;/tex&gt; из графа &lt;tex&gt;G\;&lt;/tex&gt;. Заметим, что после удаления в графе осталось &lt;tex&gt;odd(G \setminus A)\; &lt;/tex&gt; нечетных компонент и образовались новые непокрытые вершины, но при этом число нечетных компонент больше числа удаленных на &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt;. Значит, хотя бы &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; нечетных компонент содержали исходно непокрытую вершину, следовательно &lt;tex&gt;def(G) \; \geq \; k \; &lt;/tex&gt;. Из &lt;tex&gt;def(G) \; \leq \; k&lt;/tex&gt; и &lt;tex&gt;def(G) \; \geq \; k \; &lt;/tex&gt; следует &lt;tex&gt;def(G) \; = \; k \; &lt;/tex&gt;.<br /> }}<br /> <br /> ==См. также==<br /> <br /> ==Источники информации==<br /> <br /> [https://www.youtube.com/watch?v=1KggxCJZFRg {{---}} Лекция А.С. Станкевича]</div>

Masha http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:Masha&diff=81008 2021-06-13T19:28:02Z

<p>Masha: /* Формула Бержа */</p> <hr /> <div>== Формула Бержа ==<br /> <br /> {{Определение<br /> |definition =&lt;tex&gt;\mathrm{odd}({G})&lt;/tex&gt; {{---}} число нечетных компонент связности в графе &lt;tex&gt;{G}&lt;/tex&gt;, где '''нечетная компонента''' (англ. ''odd component'') {{---}} это [[Отношение связности, компоненты связности#def2|компонента связности]], содержащая нечетное число вершин. <br /> }}<br /> <br /> <br /> <br /> {{Лемма<br /> |statement= &lt;tex&gt;(n + |S| + odd(G \setminus S)) \; mod \; 2 = 0 \; &lt;/tex&gt;, где &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; {{---}} граф с &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt; вершинами, &lt;tex&gt;S \in {V}_{G}&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> Удалим из графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; множество &lt;tex&gt;S&lt;/tex&gt;, получим &lt;tex&gt;t&lt;/tex&gt; компонент связности, содержащих &lt;tex&gt;k_1, k_2 ... k_t&lt;/tex&gt; вершин соответственно.<br /> &lt;tex&gt;|S|\; + \; \sum_{i=1}^{k}k_i \; = \; n \; &lt;/tex&gt;, так как в сумме это все вершины исходного графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. <br /> Возьмем данное равенство по модулю два: &lt;tex&gt;(|S|\; mod\; 2 \; + \; \sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)) \; \equiv \; n \; (mod \; 2)&lt;/tex&gt;<br /> В сумме &lt;tex&gt;\sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)&lt;/tex&gt; число единиц равно числу нечетных компонент &lt;tex&gt;odd(G \setminus S)&lt;/tex&gt;. Таким образом, &lt;tex&gt; \forall S \in V : \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; \equiv \; n \; (mod \; 2) \;&lt;/tex&gt;. <br /> }}<br /> <br /> <br /> <br /> {{Теорема<br /> |statement= &lt;tex&gt;def G = \max\limits_{S \in V} (odd(G \setminus S) - |S|)&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> &lt;tex&gt; \forall S \in V : \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; \equiv \; n ( mod \; 2) \;&lt;/tex&gt;<br /> <br /> <br /> Рассмотрим несколько случаев:<br /> <br /> <br /> 1. Если &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) \; - \; |S|) \; = 0 \; &lt;/tex&gt;, тогда для любых &lt;tex&gt;S \in V: \; odd(G \setminus S) \leq |S| \; &lt;/tex&gt;, следовательно выполнено условие [[Теорема Татта о существовании полного паросочетания|теоремы Татта]], значит, в графе есть совершенное паросочетание, то есть его дефицит равен нулю. <br /> <br /> 2. Если &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = k \; &lt;/tex&gt;, тогда рассмотрим исходный граф &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; и полный граф &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; с &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; вершинами, &lt;tex&gt;W&lt;/tex&gt; - вершины &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt;. Каждую вершину &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; соединим с каждой вершиной &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. Получим граф &lt;tex&gt;H \; = \; K_k + G \;&lt;/tex&gt;, докажем, что для него выполнено условие теоремы Татта. Докажем, что для любых &lt;tex&gt;S \in V_{H}: odd(H \setminus S) \; \leq \; |S| \; &lt;/tex&gt;. <br /> Рассмотрим &lt;tex&gt;S \; \subset \; V_H\;&lt;/tex&gt;:<br /> <br /> * Если &lt;tex&gt;W \not\subset S&lt;/tex&gt;, тогда поскольку граф &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; полный и все его вершины связаны с каждой вершиной графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;, то граф &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt; связный и &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 0 \;&lt;/tex&gt; или &lt;tex&gt;odd(G \setminus S) \; = \; 1 \;&lt;/tex&gt;. <br /> ** В случае &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 0 \; &lt;/tex&gt; условие очевидно выполняется, так как для любых &lt;tex&gt;S \in G : 0 \; \leq \; |S| \;&lt;/tex&gt;. <br /> ** Рассмотрим случай &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 1 \;&lt;/tex&gt;, &lt;tex&gt;|V_H| \; = \; n \; + \; k \; = \; n \; + \; odd(G \setminus A) \; - \; |A| \; &lt;/tex&gt;, где &lt;tex&gt;A \; = \; arg \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) \; - \; |S|) \; &lt;/tex&gt;. Разность &lt;tex&gt;odd(G \setminus A) \; - \; |A| \; &lt;/tex&gt; имеет ту же четность, что и &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt;, поэтому &lt;tex&gt;|V_H|&lt;/tex&gt; четно, значит, по лемме, мощность &lt;tex&gt;S&lt;/tex&gt; нечетна, следовательно она не равна нулю, значит, &lt;tex&gt; 1 \leq |S| &lt;/tex&gt;.<br /> <br /> <br /> * Если &lt;tex&gt;W \subset S \;&lt;/tex&gt;, то &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; odd(G \setminus (S \cap V)) \; \leq \; |S \cap V| \; + \; k \leq |S| \; &lt;/tex&gt;, так как &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = k \; &lt;/tex&gt;. Таким образом, для графа &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt; выполнено условие теоремы Татта, следовательно в нём есть полное паросочетание. Рассмотрим полное паросочетание в графе &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt;, удалим вершины &lt;tex&gt;W&lt;/tex&gt; из графа &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt;. Количество непокрытых вершин после удаления не больше, чем количество удаленных вершин &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt;, значит, &lt;tex&gt;def(G) \; \leq \; k&lt;/tex&gt;. Удалим множество вершин &lt;tex&gt;A \; = \; arg \max\limits_{S \in V}(odd(H \setminus S) \; - \; |S|) \; &lt;/tex&gt; из графа &lt;tex&gt;G\;&lt;/tex&gt;. Заметим, что после удаления в графе осталось &lt;tex&gt;odd(G \setminus A)\; &lt;/tex&gt; нечетных компонент и образовались новые непокрытые вершины, но при этом число нечетных компонент больше числа удаленных на &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt;. Значит, хотя бы &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; нечетных компонент содержали исходно непокрытую вершину, следовательно &lt;tex&gt;def(G) \; \geq \; k \; &lt;/tex&gt;. Из &lt;tex&gt;def(G) \; \leq \; k&lt;/tex&gt; и &lt;tex&gt;def(G) \; \geq \; k \; &lt;/tex&gt; следует &lt;tex&gt;def(G) \; = \; k \; &lt;/tex&gt;.<br /> }}<br /> <br /> ==См. также==<br /> <br /> ==Источники информации==<br /> <br /> [https://www.youtube.com/watch?v=1KggxCJZFRg {{---}} Лекция А.С. Станкевича]</div>

Masha http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:Masha&diff=81007 2021-06-13T19:26:14Z

<p>Masha: </p> <hr /> <div>== Формула Бержа ==<br /> <br /> {{Определение<br /> |definition =&lt;tex&gt;\mathrm{odd}({G})&lt;/tex&gt; {{---}} число нечетных компонент связности в графе &lt;tex&gt;{G}&lt;/tex&gt;, где '''нечетная компонента''' (англ. ''odd component'') {{---}} это [[Отношение связности, компоненты связности#def2|компонента связности]], содержащая нечетное число вершин. <br /> }}<br /> <br /> <br /> <br /> {{Лемма<br /> |statement= &lt;tex&gt;(n + |S| + odd(G \setminus S)) \; mod \; 2 = 0 \; &lt;/tex&gt;, где &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; {{---}} граф с &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt; вершинами, &lt;tex&gt;S \in {V}_{G}&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> Удалим из графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; множество &lt;tex&gt;S&lt;/tex&gt;, получим &lt;tex&gt;t&lt;/tex&gt; компонент связности, содержащих &lt;tex&gt;k_1, k_2 ... k_t&lt;/tex&gt; вершин соответственно.<br /> &lt;tex&gt;|S|\; + \; \sum_{i=1}^{k}k_i \; = \; n \; &lt;/tex&gt;, так как в сумме это все вершины исходного графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. <br /> Возьмем данное равенство по модулю два: &lt;tex&gt;(|S|\; mod\; 2 \; + \; \sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)) \; mod \; 2 \equiv \; n \; (mod \; 2)&lt;/tex&gt;<br /> В сумме &lt;tex&gt;\sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)&lt;/tex&gt; число единиц равно числу нечетных компонент &lt;tex&gt;odd(G \setminus S)&lt;/tex&gt;. Таким образом, &lt;tex&gt; \forall S \in V : \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 \; \equiv \; n \; (mod \; 2) \;&lt;/tex&gt;. <br /> }}<br /> <br /> <br /> <br /> {{Теорема<br /> |statement= &lt;tex&gt;def G = \max\limits_{S \in V} (odd(G \setminus S) - |S|)&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> &lt;tex&gt; \forall S \in V : \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 \; \equiv \; n (\; mod \; 2) \;&lt;/tex&gt;<br /> <br /> <br /> Рассмотрим несколько случаев:<br /> <br /> <br /> 1. Если &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) \; - \; |S|) \; = 0 \; &lt;/tex&gt;, тогда для любых &lt;tex&gt;S \in V: \; odd(G \setminus S) \leq |S| \; &lt;/tex&gt;, следовательно выполнено условие [[Теорема Татта о существовании полного паросочетания|теоремы Татта]], значит, в графе есть совершенное паросочетание, то есть его дефицит равен нулю. <br /> <br /> 2. Если &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = k \; &lt;/tex&gt;, тогда рассмотрим исходный граф &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; и полный граф &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; с &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; вершинами, &lt;tex&gt;W&lt;/tex&gt; - вершины &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt;. Каждую вершину &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; соединим с каждой вершиной &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. Получим граф &lt;tex&gt;H \; = \; K_k + G \;&lt;/tex&gt;, докажем, что для него выполнено условие теоремы Татта. Докажем, что для любых &lt;tex&gt;S \in V_{H}: odd(H \setminus S) \; \leq \; |S| \; &lt;/tex&gt;. <br /> Рассмотрим &lt;tex&gt;S \; \subset \; V_H\;&lt;/tex&gt;:<br /> <br /> * Если &lt;tex&gt;W \not\subset S&lt;/tex&gt;, тогда поскольку граф &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; полный и все его вершины связаны с каждой вершиной графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;, то граф &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt; связный и &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 0 \;&lt;/tex&gt; или &lt;tex&gt;odd(G \setminus S) \; = \; 1 \;&lt;/tex&gt;. <br /> ** В случае &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 0 \; &lt;/tex&gt; условие очевидно выполняется, так как для любых &lt;tex&gt;S \in G : 0 \; \leq \; |S| \;&lt;/tex&gt;. <br /> ** Рассмотрим случай &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 1 \;&lt;/tex&gt;, &lt;tex&gt;|V_H| \; = \; n \; + \; k \; = \; n \; + \; odd(G \setminus A) \; - \; |A| \; &lt;/tex&gt;, где &lt;tex&gt;A \; = \; arg \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) \; - \; |S|) \; &lt;/tex&gt;. Разность &lt;tex&gt;odd(G \setminus A) \; - \; |A| \; &lt;/tex&gt; имеет ту же четность, что и &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt;, поэтому &lt;tex&gt;|V_H|&lt;/tex&gt; четно, значит, по лемме, мощность &lt;tex&gt;S&lt;/tex&gt; нечетна, следовательно она не равна нулю, значит, &lt;tex&gt; 1 \leq |S| &lt;/tex&gt;.<br /> <br /> <br /> * Если &lt;tex&gt;W \subset S \;&lt;/tex&gt;, то &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; odd(G \setminus (S \cap V)) \; \leq \; |S \cap V| \; + \; k \leq |S| \; &lt;/tex&gt;, так как &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = k \; &lt;/tex&gt;. Таким образом, для графа &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt; выполнено условие теоремы Татта, следовательно в нём есть полное паросочетание. Рассмотрим полное паросочетание в графе &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt;, удалим вершины &lt;tex&gt;W&lt;/tex&gt; из графа &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt;. Количество непокрытых вершин после удаления не больше, чем количество удаленных вершин &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt;, значит, &lt;tex&gt;def(G) \; \leq \; k&lt;/tex&gt;. Удалим множество вершин &lt;tex&gt;A \; = \; arg \max\limits_{S \in V}(odd(H \setminus S) \; - \; |S|) \; &lt;/tex&gt; из графа &lt;tex&gt;G\;&lt;/tex&gt;. Заметим, что после удаления в графе осталось &lt;tex&gt;odd(G \setminus A)\; &lt;/tex&gt; нечетных компонент и образовались новые непокрытые вершины, но при этом число нечетных компонент больше числа удаленных на &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt;. Значит, хотя бы &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; нечетных компонент содержали исходно непокрытую вершину, следовательно &lt;tex&gt;def(G) \; \geq \; k \; &lt;/tex&gt;. Из &lt;tex&gt;def(G) \; \leq \; k&lt;/tex&gt; и &lt;tex&gt;def(G) \; \geq \; k \; &lt;/tex&gt; следует &lt;tex&gt;def(G) \; = \; k \; &lt;/tex&gt;.<br /> }}<br /> <br /> ==См. также==<br /> <br /> ==Источники информации==<br /> <br /> [https://www.youtube.com/watch?v=1KggxCJZFRg {{---}} Лекция А.С. Станкевича]</div>

Masha http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:Masha&diff=81006 2021-06-13T19:20:19Z

<p>Masha: /* Формула Бержа */</p> <hr /> <div>== Формула Бержа ==<br /> <br /> {{Определение<br /> |definition =&lt;tex&gt;\mathrm{odd}({G})&lt;/tex&gt; {{---}} число нечетных компонент связности в графе &lt;tex&gt;{G}&lt;/tex&gt;, где '''нечетная компонента''' (англ. ''odd component'') {{---}} это [[Отношение связности, компоненты связности#def2|компонента связности]], содержащая нечетное число вершин. <br /> }}<br /> <br /> <br /> <br /> {{Лемма<br /> |statement= &lt;tex&gt;(n + |S| + odd(G \setminus S)) \; mod \; 2 = 0 \; &lt;/tex&gt;, где &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; {{---}} граф с &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt; вершинами, &lt;tex&gt;S \in {V}_{G}&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> Удалим из графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; множество &lt;tex&gt;S&lt;/tex&gt;, получим &lt;tex&gt;t&lt;/tex&gt; компонент связности, содержащих &lt;tex&gt;k_1, k_2 ... k_t&lt;/tex&gt; вершин соответственно.<br /> &lt;tex&gt;|S|\; + \; \sum_{i=1}^{k}k_i \; = \; n \; &lt;/tex&gt;, так как в сумме это все вершины исходного графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. <br /> Возьмем данное равенство по модулю два: &lt;tex&gt;(|S|\; mod\; 2 \; + \; \sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)) \; mod \; 2 \equiv \; n \; (mod \; 2)&lt;/tex&gt;<br /> В сумме &lt;tex&gt;\sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)&lt;/tex&gt; число единиц равно числу нечетных компонент &lt;tex&gt;odd(G \setminus S)&lt;/tex&gt;. Таким образом, &lt;tex&gt; \forall S \in V : \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 \; \equiv \; n \; (mod \; 2) \;&lt;/tex&gt;. <br /> }}<br /> <br /> <br /> <br /> {{Теорема<br /> |statement= &lt;tex&gt;def G = \max\limits_{S \in V} (odd(G \setminus S) - |S|)&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> &lt;tex&gt; \forall S \in V : \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 \; \equiv \; n (\; mod \; 2) \;&lt;/tex&gt;<br /> <br /> <br /> Рассмотрим несколько случаев:<br /> <br /> <br /> 1. Если &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) \; - \; |S|) \; = 0 \; &lt;/tex&gt;, тогда для любых &lt;tex&gt;S \in V: \; odd(G \setminus S) \leq |S| \; &lt;/tex&gt;, следовательно выполнено условие [[Теорема Татта о существовании полного паросочетания|теоремы Татта]], значит, в графе есть совершенное паросочетание, то есть его дефицит равен нулю. <br /> <br /> 2. Если &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = k \; &lt;/tex&gt;, тогда рассмотрим исходный граф &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; и полный граф &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; с &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; вершинами, множество вершин нового графа обозначим как &lt;tex&gt;W&lt;/tex&gt;. Каждую вершину &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; соединим с каждой вершиной &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. Получим граф &lt;tex&gt;H \; = \; K_k + G \;&lt;/tex&gt;, докажем, что для него выполнено условие теоремы Татта. Докажем, что для любых &lt;tex&gt;S \in V_{H}: odd(H \setminus S) \; \leq \; |S| \; &lt;/tex&gt;. <br /> Рассмотрим &lt;tex&gt;S \; \subset \; V_H\;&lt;/tex&gt;:<br /> <br /> * Если &lt;tex&gt;W \not\subset S&lt;/tex&gt;, тогда поскольку граф &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; полный и все его вершины связаны с каждой вершиной графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;, то граф &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt; связный и &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 0 \;&lt;/tex&gt; или &lt;tex&gt;odd(G \setminus S) \; = \; 1 \;&lt;/tex&gt;. <br /> ** В случае &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 0 \; &lt;/tex&gt; условие очевидно выполняется, так как для любых &lt;tex&gt;S \in G : 0 \; \leq \; |S| \;&lt;/tex&gt;. <br /> ** Рассмотрим случай &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 1 \;&lt;/tex&gt;, &lt;tex&gt;|V_H| \; = \; n \; + \; k \; = \; n \; + \; odd(G \setminus A) \; - \; |A| \; &lt;/tex&gt;, где &lt;tex&gt;A \; = \; arg \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) \; - \; |S|) \; &lt;/tex&gt;. Разность &lt;tex&gt;odd(G \setminus A) \; - \; |A| \; &lt;/tex&gt; имеет ту же четность, что и &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt;, поэтому &lt;tex&gt;|V_H|&lt;/tex&gt; четно, значит, по лемме, мощность &lt;tex&gt;S&lt;/tex&gt; нечетна, следовательно она не равна нулю, значит, &lt;tex&gt; 1 \leq |S| &lt;/tex&gt;.<br /> <br /> <br /> * Если &lt;tex&gt;W \subset S \;&lt;/tex&gt;, то &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; odd(G \setminus (S \cap V)) \; \leq \; |S \cap V| \; + \; k \leq |S| \; &lt;/tex&gt;, так как &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = k \; &lt;/tex&gt;. Таким образом, для графа &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt; выполнено условие теоремы Татта, следовательно в нём есть полное паросочетание. Рассмотрим полное паросочетание в графе &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt;, удалим вершины &lt;tex&gt;W&lt;/tex&gt; из графа &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt;. Количество непокрытых вершин после удаления не больше, чем количество удаленных вершин &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt;, значит, &lt;tex&gt;def(G) \; \leq \; k&lt;/tex&gt;. Удалим множество вершин &lt;tex&gt;A \; = \; arg \max\limits_{S \in V}(odd(H \setminus S) \; - \; |S|) \; &lt;/tex&gt; из графа &lt;tex&gt;G\;&lt;/tex&gt;. Заметим, что после удаления в графе осталось &lt;tex&gt;odd(G \setminus A)\; &lt;/tex&gt; нечетных компонент и образовались новые непокрытые вершины, но при этом число нечетных компонент больше числа удаленных на &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt;. Значит, хотя бы &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; нечетных компонент содержали исходно непокрытую вершину, следовательно &lt;tex&gt;def(G) \; \geq \; k \; &lt;/tex&gt;. Из &lt;tex&gt;def(G) \; \leq \; k&lt;/tex&gt; и &lt;tex&gt;def(G) \; \geq \; k \; &lt;/tex&gt; следует &lt;tex&gt;def(G) \; = \; k \; &lt;/tex&gt;.<br /> }}<br /> <br /> ==См. также==<br /> <br /> ==Источники информации==<br /> <br /> [https://www.youtube.com/watch?v=1KggxCJZFRg {{---}} Лекция А.С. Станкевича]</div>

Masha http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:Masha&diff=80998 2021-06-11T05:38:00Z

<p>Masha: /* Формула Бержа */</p> <hr /> <div>== Формула Бержа ==<br /> <br /> {{Определение<br /> |definition =&lt;tex&gt;\mathrm{odd}({G})&lt;/tex&gt; {{---}} число нечетных компонент связности в графе &lt;tex&gt;{G}&lt;/tex&gt;, где '''нечетная компонента''' (англ. ''odd component'') {{---}} это [[Отношение связности, компоненты связности#def2|компонента связности]], содержащая нечетное число вершин. <br /> }}<br /> <br /> <br /> <br /> {{Лемма<br /> |statement= &lt;tex&gt;(n + |S| + odd(G \setminus S)) \; mod \; 2 = 0 \; &lt;/tex&gt;, где &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; {{---}} граф с &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt; вершинами, &lt;tex&gt;S \in {V}_{G}&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> Удалим из графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; множество &lt;tex&gt;S&lt;/tex&gt;, получим &lt;tex&gt;t&lt;/tex&gt; компонент связности, содержащих &lt;tex&gt;k_1, k_2 ... k_t&lt;/tex&gt; вершин соответственно.<br /> &lt;tex&gt;|S|\; + \; \sum_{i=1}^{k}k_i \; = \; n \; &lt;/tex&gt;, так как в сумме это все вершины исходного графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. <br /> Возьмем данное равенство по модулю два: &lt;tex&gt;(|S|\; mod\; 2 \; + \; \sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)) \; mod \; 2 \equiv \; n \; (mod \; 2)&lt;/tex&gt;<br /> В сумме &lt;tex&gt;\sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)&lt;/tex&gt; число единиц равно числу нечетных компонент &lt;tex&gt;odd(G \setminus S)&lt;/tex&gt;. Таким образом, &lt;tex&gt; \forall S \in V : \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 \; \equiv \; n \; (mod \; 2) \;&lt;/tex&gt;. <br /> }}<br /> <br /> <br /> <br /> {{Теорема<br /> |statement= &lt;tex&gt;def G = \max\limits_{S \in V} (odd(G \setminus S) - |S|)&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> &lt;tex&gt; \forall S \in V : \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 \; \equiv \; n (\; mod \; 2) \;&lt;/tex&gt;<br /> <br /> <br /> Рассмотрим несколько случаев:<br /> <br /> <br /> 1. Если &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) \; - \; |S|) \; = 0 \; &lt;/tex&gt;, тогда для любых &lt;tex&gt;S \in V: \; odd(G \setminus S) \leq |S| \; &lt;/tex&gt;, следовательно выполнено условие [[Теорема Татта о существовании полного паросочетания|теоремы Татта]], значит в графе есть совершенное паросочетание, то есть его дефицит равен нулю. <br /> <br /> 2. Если &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = k \; &lt;/tex&gt;, тогда рассмотрим исходный граф &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; и полный граф &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; с &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; вершинами, множество вершин нового графа обозначим как &lt;tex&gt;W&lt;/tex&gt;. Каждую вершину &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; соединим с каждой вершиной &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. Получим граф &lt;tex&gt;H \; = \; K_k + G \;&lt;/tex&gt;, докажем, что для него выполнено условие теоремы Татта. Докажем, что для любых &lt;tex&gt;S \in V_{H}: odd(H \setminus S) \; \leq \; |S| \; &lt;/tex&gt;. <br /> Рассмотрим &lt;tex&gt;S \; \subset \; V_H\;&lt;/tex&gt;:<br /> <br /> * Если &lt;tex&gt;W \not\subset S&lt;/tex&gt;, тогда поскольку граф &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; полный и все его вершины связаны с каждой вершиной графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;, то граф &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt; связный и &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 0 \;&lt;/tex&gt; или &lt;tex&gt;odd(G \setminus S) \; = \; 1 \;&lt;/tex&gt;. <br /> ** В случае &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 0 \; &lt;/tex&gt; условие очевидно выполняется, так как для любых &lt;tex&gt;S \in G : 0 \; \leq \; |S| \;&lt;/tex&gt;. <br /> ** Рассмотрим случай &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 1 \;&lt;/tex&gt;, &lt;tex&gt;|V_H| \; = \; n \; + \; k \; = \; n \; + \; odd(G \setminus A) \; - \; |A| \; &lt;/tex&gt;, где &lt;tex&gt;A \; = \; arg \max\limits_{S \in V}(odd(H \setminus S) \; - \; |S|) \; &lt;/tex&gt;. Разность &lt;tex&gt;odd(G \setminus A) \; - \; |A| \; &lt;/tex&gt; имеет ту же четность, что и &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt;, поэтому &lt;tex&gt;|V_H|&lt;/tex&gt; четно, значит, по лемме, мощность &lt;tex&gt;S&lt;/tex&gt; нечетна, следовательно она не равна нулю, значит &lt;tex&gt; 1 \leq |S| &lt;/tex&gt;.<br /> <br /> <br /> * Если &lt;tex&gt;W \subset S \;&lt;/tex&gt;, то &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; odd(G \setminus (S \cap V)) \; \leq \; |S \cap V| \; + \; k \leq |S| \; &lt;/tex&gt;, так как &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = k \; &lt;/tex&gt;. Таким образом, для графа &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt; выполнено условие теоремы Татта, следовательно в нём есть полное паросочетание. Рассмотрим полное паросочетание в графе &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt;, удалим вершины &lt;tex&gt;W&lt;/tex&gt; из графа &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt;. Количество непокрытых вершин после удаления не больше, чем количество удаленных вершин &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt;, значит &lt;tex&gt;def(G) \; \leq \; k&lt;/tex&gt;. Удалим множество вершин &lt;tex&gt;A \; = \; arg \max\limits_{S \in V}(odd(H \setminus S) \; - \; |S|) \; &lt;/tex&gt; из графа &lt;tex&gt;G\;&lt;/tex&gt;. Заметим, что после удаления в графе осталось &lt;tex&gt;odd(G \setminus A)\; &lt;/tex&gt; нечетных компонент и образовались новые непокрытые вершины, но при этом число нечетных компонент больше числа удаленных на &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt;. Значит хотя бы &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; нечетных компонент содержали исходно непокрытую вершину, следовательно &lt;tex&gt;def(G) \; \geq \; k \; &lt;/tex&gt;. Из &lt;tex&gt;def(G) \; \leq \; k&lt;/tex&gt; и &lt;tex&gt;def(G) \; \geq \; k \; &lt;/tex&gt; следует &lt;tex&gt;def(G) \; = \; k \; &lt;/tex&gt;.<br /> }}<br /> <br /> ==См. также==<br /> <br /> ==Источники информации==<br /> <br /> [https://www.youtube.com/watch?v=1KggxCJZFRg {{---}} Лекция А.С. Станкевича]</div>

Masha http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:Masha&diff=80997 2021-06-11T05:30:09Z

<p>Masha: /* Формула Бержа */</p> <hr /> <div>== Формула Бержа ==<br /> <br /> {{Определение<br /> |definition =&lt;tex&gt;\mathrm{odd}({G})&lt;/tex&gt; {{---}} число нечетных компонент связности в графе &lt;tex&gt;{G}&lt;/tex&gt;, где '''нечетная компонента''' (англ. ''odd component'') {{---}} это [[Отношение связности, компоненты связности#def2|компонента связности]], содержащая нечетное число вершин. <br /> }}<br /> <br /> <br /> <br /> {{Лемма<br /> |statement= &lt;tex&gt;(n + |S| + odd(G \setminus S)) \; mod \; 2 = 0 \; &lt;/tex&gt;, где &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; {{---}} граф с &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt; вершинами, &lt;tex&gt;S \in {V}_{G}&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> Удалим из графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; множество &lt;tex&gt;S&lt;/tex&gt;, получим &lt;tex&gt;t&lt;/tex&gt; компонент связности, содержащих &lt;tex&gt;k_1, k_2 ... k_t&lt;/tex&gt; вершин соответственно.<br /> &lt;tex&gt;|S|\; + \; \sum_{i=1}^{k}k_i \; = \; n \; &lt;/tex&gt;, так как в сумме это все вершины исходного графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. <br /> Возьмем данное равенство по модулю два: &lt;tex&gt;(|S|\; mod\; 2 \; + \; \sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)) \; mod \; 2 \equiv \; n \; (mod \; 2)&lt;/tex&gt;<br /> В сумме &lt;tex&gt;\sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)&lt;/tex&gt; число единиц равно числу нечетных компонент &lt;tex&gt;odd(G \setminus S)&lt;/tex&gt;. Таким образом, &lt;tex&gt; \forall S \in V : \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 \; \equiv \; n \; (mod \; 2) \;&lt;/tex&gt;. <br /> }}<br /> <br /> <br /> <br /> {{Теорема<br /> |statement= &lt;tex&gt;def G = \max\limits_{S \in V} (odd(G \setminus S) - |S|)&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> &lt;tex&gt; \forall S \in V : \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 \; \equiv \; n (\; mod \; 2) \;&lt;/tex&gt;<br /> <br /> <br /> Рассмотрим несколько случаев:<br /> <br /> <br /> 1) Если &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) \; - \; |S|) \; = 0 \; &lt;/tex&gt;, тогда для любых &lt;tex&gt;S \in V: \; odd(G \setminus S) \leq |S| \; &lt;/tex&gt;, следовательно выполнено условие [[Теорема Татта о существовании полного паросочетания|теоремы Татта]], значит в графе есть совершенное паросочетание, то есть его дефицит равен нулю. <br /> <br /> 2) Если &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = k \; &lt;/tex&gt;, тогда рассмотрим исходный граф &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; и полный граф &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; с &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; вершинами, множество вершин нового графа обозначим как &lt;tex&gt;W&lt;/tex&gt;. Каждую вершину &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; соединим с каждой вершиной &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. Получим граф &lt;tex&gt;H \; = \; K_k + G \;&lt;/tex&gt;, докажем, что для него выполнено условие теоремы Татта. Докажем, что для любых &lt;tex&gt;S \in V_{H}: odd(H \setminus S) \; \leq \; |S| \; &lt;/tex&gt;. <br /> <br /> <br /> Рассмотрим &lt;tex&gt;S \; \subset \; V_H\;&lt;/tex&gt;:<br /> <br /> * Если &lt;tex&gt;W \not\subset S&lt;/tex&gt;, тогда поскольку граф &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; полный и все его вершины связаны с каждой вершиной графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;, то граф &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt; связный и &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 0 \;&lt;/tex&gt; или &lt;tex&gt;odd(G \setminus S) \; = \; 1 \;&lt;/tex&gt;. В случае &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 0 \; &lt;/tex&gt; условие очевидно выполняется, так как &lt;tex&gt;\forall S \in G : 0 \; \leq \; |S| \;&lt;/tex&gt;. <br /> Рассмотрим случай &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 1 \;&lt;/tex&gt;, &lt;tex&gt;|V_H| \; = \; n \; + \; k \; = \; n \; + \; odd(G \setminus A) \; - \; |A| \; &lt;/tex&gt;, где &lt;tex&gt;A \; = \; arg \max\limits_{S \in V}(odd(H \setminus S) \; - \; |S|) \; &lt;/tex&gt;. Разность &lt;tex&gt;odd(G \setminus A) \; - \; |A| \; &lt;/tex&gt; имеет ту же четность, что и &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt;, поэтому &lt;tex&gt;|V_H|&lt;/tex&gt; четно, значит, по лемме, мощность &lt;tex&gt;S&lt;/tex&gt; нечетна, следовательно она не равна нулю, значит &lt;tex&gt; 1 \leq |S| &lt;/tex&gt;.<br /> <br /> <br /> * Если &lt;tex&gt;W \subset S \;&lt;/tex&gt;, то &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; odd(G \setminus (S \cap V)) \; \leq \; |S \cap V| \; + \; k \leq |S| \; &lt;/tex&gt;, так как &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = k \; &lt;/tex&gt;. Таким образом, для графа &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt; выполнено условие теоремы Татта, следовательно в нём есть полное паросочетание. Рассмотрим полное паросочетание в графе &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt;, удалим вершины &lt;tex&gt;W&lt;/tex&gt; из графа &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt;. Количество непокрытых вершин после удаления не больше, чем количество удаленных вершин &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt;, значит &lt;tex&gt;def(G) \; \leq \; k&lt;/tex&gt;. Удалим множество вершин &lt;tex&gt;A \; = \; arg \max\limits_{S \in V}(odd(H \setminus S) \; - \; |S|) \; &lt;/tex&gt; из графа &lt;tex&gt;G\;&lt;/tex&gt;. Заметим, что после удаления в графе осталось &lt;tex&gt;odd(G \setminus A)\; &lt;/tex&gt; нечетных компонент и образовались новые непокрытые вершины, но при этом число нечетных компонент больше числа удаленных на &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt;. Значит хотя бы &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; нечетных компонент содержали исходно непокрытую вершину, следовательно &lt;tex&gt;def(G) \; \geq \; k \; &lt;/tex&gt;. Из &lt;tex&gt;def(G) \; \leq \; k&lt;/tex&gt; и &lt;tex&gt;def(G) \; \geq \; k \; &lt;/tex&gt; следует &lt;tex&gt;def(G) \; = \; k \; &lt;/tex&gt;.<br /> }}<br /> <br /> ==См. также==<br /> <br /> ==Источники информации==<br /> <br /> [https://www.youtube.com/watch?v=1KggxCJZFRg {{---}} Лекция А.С. Станкевича]</div>

Masha http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:Masha&diff=80996 2021-06-11T05:29:36Z

<p>Masha: /* Формула Бержа */</p> <hr /> <div>== Формула Бержа ==<br /> <br /> {{Определение<br /> |id = odd<br /> |definition =&lt;tex&gt;\mathrm{odd}({G})&lt;/tex&gt; {{---}} число нечетных компонент связности в графе &lt;tex&gt;{G}&lt;/tex&gt;, где '''нечетная компонента''' (англ. ''odd component'') {{---}} это [[Отношение связности, компоненты связности#def2|компонента связности]], содержащая нечетное число вершин. <br /> }}<br /> <br /> <br /> <br /> {{Лемма<br /> |statement= &lt;tex&gt;(n + |S| + odd(G \setminus S)) \; mod \; 2 = 0 \; &lt;/tex&gt;, где &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; {{---}} граф с &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt; вершинами, &lt;tex&gt;S \in {V}_{G}&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> Удалим из графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; множество &lt;tex&gt;S&lt;/tex&gt;, получим &lt;tex&gt;t&lt;/tex&gt; компонент связности, содержащих &lt;tex&gt;k_1, k_2 ... k_t&lt;/tex&gt; вершин соответственно.<br /> &lt;tex&gt;|S|\; + \; \sum_{i=1}^{k}k_i \; = \; n \; &lt;/tex&gt;, так как в сумме это все вершины исходного графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. <br /> Возьмем данное равенство по модулю два: &lt;tex&gt;(|S|\; mod\; 2 \; + \; \sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)) \; mod \; 2 \equiv \; n \; (mod \; 2)&lt;/tex&gt;<br /> В сумме &lt;tex&gt;\sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)&lt;/tex&gt; число единиц равно числу нечетных компонент &lt;tex&gt;odd(G \setminus S)&lt;/tex&gt;. Таким образом, &lt;tex&gt; \forall S \in V : \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 \; \equiv \; n \; (mod \; 2) \;&lt;/tex&gt;. <br /> }}<br /> <br /> <br /> <br /> {{Теорема<br /> |statement= &lt;tex&gt;def G = \max\limits_{S \in V} (odd(G \setminus S) - |S|)&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> &lt;tex&gt; \forall S \in V : \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 \; \equiv \; n (\; mod \; 2) \;&lt;/tex&gt;<br /> <br /> <br /> Рассмотрим несколько случаев:<br /> <br /> <br /> 1) Если &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) \; - \; |S|) \; = 0 \; &lt;/tex&gt;, тогда для любых &lt;tex&gt;S \in V: \; odd(G \setminus S) \leq |S| \; &lt;/tex&gt;, следовательно выполнено условие [[Теорема Татта о существовании полного паросочетания|теоремы Татта]], значит в графе есть совершенное паросочетание, то есть его дефицит равен нулю. <br /> <br /> 2) Если &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = k \; &lt;/tex&gt;, тогда рассмотрим исходный граф &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; и полный граф &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; с &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; вершинами, множество вершин нового графа обозначим как &lt;tex&gt;W&lt;/tex&gt;. Каждую вершину &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; соединим с каждой вершиной &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. Получим граф &lt;tex&gt;H \; = \; K_k + G \;&lt;/tex&gt;, докажем, что для него выполнено условие теоремы Татта. Докажем, что для любых &lt;tex&gt;S \in V_{H}: odd(H \setminus S) \; \leq \; |S| \; &lt;/tex&gt;. <br /> <br /> <br /> Рассмотрим &lt;tex&gt;S \; \subset \; V_H\;&lt;/tex&gt;:<br /> <br /> * Если &lt;tex&gt;W \not\subset S&lt;/tex&gt;, тогда поскольку граф &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; полный и все его вершины связаны с каждой вершиной графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;, то граф &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt; связный и &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 0 \;&lt;/tex&gt; или &lt;tex&gt;odd(G \setminus S) \; = \; 1 \;&lt;/tex&gt;. В случае &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 0 \; &lt;/tex&gt; условие очевидно выполняется, так как &lt;tex&gt;\forall S \in G : 0 \; \leq \; |S| \;&lt;/tex&gt;. <br /> Рассмотрим случай &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 1 \;&lt;/tex&gt;, &lt;tex&gt;|V_H| \; = \; n \; + \; k \; = \; n \; + \; odd(G \setminus A) \; - \; |A| \; &lt;/tex&gt;, где &lt;tex&gt;A \; = \; arg \max\limits_{S \in V}(odd(H \setminus S) \; - \; |S|) \; &lt;/tex&gt;. Разность &lt;tex&gt;odd(G \setminus A) \; - \; |A| \; &lt;/tex&gt; имеет ту же четность, что и &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt;, поэтому &lt;tex&gt;|V_H|&lt;/tex&gt; четно, значит, по лемме, мощность &lt;tex&gt;S&lt;/tex&gt; нечетна, следовательно она не равна нулю, значит &lt;tex&gt; 1 \leq |S| &lt;/tex&gt;.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> * Если &lt;tex&gt;W \subset S \;&lt;/tex&gt;, то &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; odd(G \setminus (S \cap V)) \; \leq \; |S \cap V| \; + \; k \leq |S| \; &lt;/tex&gt;, так как &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = k \; &lt;/tex&gt;. Таким образом, для графа &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt; выполнено условие теоремы Татта, следовательно в нём есть полное паросочетание. Рассмотрим полное паросочетание в графе &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt;, удалим вершины &lt;tex&gt;W&lt;/tex&gt; из графа &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt;. Количество непокрытых вершин после удаления не больше, чем количество удаленных вершин &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt;, значит &lt;tex&gt;def(G) \; \leq \; k&lt;/tex&gt;. Удалим множество вершин &lt;tex&gt;A \; = \; arg \max\limits_{S \in V}(odd(H \setminus S) \; - \; |S|) \; &lt;/tex&gt; из графа &lt;tex&gt;G\;&lt;/tex&gt;. Заметим, что после удаления в графе осталось &lt;tex&gt;odd(G \setminus A)\; &lt;/tex&gt; нечетных компонент и образовались новые непокрытые вершины, но при этом число нечетных компонент больше числа удаленных на &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt;. Значит хотя бы &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; нечетных компонент содержали исходно непокрытую вершину, следовательно &lt;tex&gt;def(G) \; \geq \; k \; &lt;/tex&gt;. Из &lt;tex&gt;def(G) \; \leq \; k&lt;/tex&gt; и &lt;tex&gt;def(G) \; \geq \; k \; &lt;/tex&gt; следует &lt;tex&gt;def(G) \; = \; k \; &lt;/tex&gt;.<br /> }}<br /> <br /> ==См. также==<br /> <br /> ==Источники информации==<br /> <br /> [https://www.youtube.com/watch?v=1KggxCJZFRg {{---}} Лекция А.С. Станкевича]</div>

Masha http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:Masha&diff=80995 2021-06-11T05:21:25Z

<p>Masha: /* Формула Бержа */</p> <hr /> <div>== Формула Бержа ==<br /> <br /> {{Определение<br /> |id = odd<br /> |definition =&lt;tex&gt;\mathrm{odd}({G})&lt;/tex&gt; {{---}} число нечетных компонент связности в графе &lt;tex&gt;{G}&lt;/tex&gt;, где '''нечетная компонента''' (англ. ''odd component'') {{---}} это [[Отношение связности, компоненты связности#def2|компонента связности]], содержащая нечетное число вершин. <br /> }}<br /> <br /> <br /> <br /> {{Лемма<br /> |statement= &lt;tex&gt;(n + |S| + odd(G \setminus S)) \; mod \; 2 = 0 \; &lt;/tex&gt;, где &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; - граф с &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt; вершинами, &lt;tex&gt;S \in {V}_{G}&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> Удалим из графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; множество &lt;tex&gt;S&lt;/tex&gt;, получим &lt;tex&gt;t&lt;/tex&gt; компонент связности, содержащих &lt;tex&gt;k_1, k_2 ... k_t&lt;/tex&gt; вершин соответственно.<br /> &lt;tex&gt;|S|\; + \; \sum_{i=1}^{k}k_i \; = \; n \; &lt;/tex&gt;, так как в сумме это все вершины исходного графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. <br /> Возьмем данное равенство по модулю два: &lt;tex&gt;(|S|\; mod\; 2 \; + \; \sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)) \; mod \; 2 \equiv \; n \; (mod \; 2)&lt;/tex&gt;<br /> В сумме &lt;tex&gt;\sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)&lt;/tex&gt; число единиц равно числу нечетных компонент &lt;tex&gt;odd(G \setminus S)&lt;/tex&gt;. Таким образом, &lt;tex&gt; \forall S \in V : \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 \; \equiv \; n \; (mod \; 2) \;&lt;/tex&gt;. <br /> }}<br /> <br /> <br /> <br /> {{Теорема<br /> |statement= &lt;tex&gt;def G = \max\limits_{S \in V} (odd(G \setminus S) - |S|)&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> &lt;tex&gt; \forall S \in V : \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 \; \equiv \; n (\; mod \; 2) \;&lt;/tex&gt;<br /> <br /> <br /> Рассмотрим несколько случаев:<br /> <br /> <br /> 1) Если &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) \; - \; |S|) \; = 0 \; &lt;/tex&gt;, тогда для любых &lt;tex&gt;S \in V: \; odd(G \setminus S) \leq |S| \; &lt;/tex&gt;, следовательно выполнено условие [[Теорема Татта о существовании полного паросочетания|теоремы Татта]], значит в графе есть совершенное паросочетание, то есть его дефицит равен нулю. <br /> <br /> 2) Если &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = k \; &lt;/tex&gt;, тогда рассмотрим исходный граф &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; и полный граф &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; с &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; вершинами, множество вершин нового графа обозначим как &lt;tex&gt;W&lt;/tex&gt;. Каждую вершину графа &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; соединим с каждой вершиной &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. Получим граф &lt;tex&gt;H \; = \; K_k + G \;&lt;/tex&gt;, докажем, что для него выполнено условие теоремы Татта. Докажем, что для любых &lt;tex&gt;S \in V_{H}: odd(H \setminus S) \; \leq \; |S| \; &lt;/tex&gt;. Рассмотрим &lt;tex&gt;S \; \subset \; V_H\;&lt;/tex&gt;. <br /> <br /> Если &lt;tex&gt;W \not\subset S&lt;/tex&gt;, тогда поскольку граф &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; полный и все его вершины связаны с каждой вершиной графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;, то граф &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt; связный и &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 0 \;&lt;/tex&gt; или &lt;tex&gt;odd(G \setminus S) \; = \; 1 \;&lt;/tex&gt;. В случае &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 0 \; &lt;/tex&gt; условие очевидно выполняется т.к &lt;tex&gt;\forall S \in G : 0 \; \leq \; |S| \;&lt;/tex&gt;. <br /> Рассмотрим случай &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 1 \;&lt;/tex&gt;, &lt;tex&gt;|V_H| \; = \; n \; + \; k \; = \; n \; + \; odd(G \setminus A) \; - \; |A| \; &lt;/tex&gt;, где &lt;tex&gt;A \; = \; arg \max\limits_{S \in V}(odd(H \setminus S) \; - \; |S|) \; &lt;/tex&gt;. Разность &lt;tex&gt;odd(G \setminus A) \; - \; |A| \; &lt;/tex&gt; имеет ту же четность, что и &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt;, поэтому &lt;tex&gt;|V_H|&lt;/tex&gt; четно, значит, по лемме, мощность &lt;tex&gt;S&lt;/tex&gt; нечетна, следовательно она не равна нулю, значит &lt;tex&gt; 1 \leq |S| &lt;/tex&gt;.<br /> <br /> Если &lt;tex&gt;W \subset S \;&lt;/tex&gt;, то &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; odd(G \setminus (S \cap V)) \; \leq \; |S \cap V| \; + \; k \leq |S| \; &lt;/tex&gt; т.к. &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = k \; &lt;/tex&gt;.<br /> <br /> Таким образом, для графа &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt; выполнено условие Татта, следовательно в нём есть полное паросочетание. Рассмотрим полное паросочетание в графе &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt;, удалим вершины &lt;tex&gt;W&lt;/tex&gt; из графа &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt;. Количество непокрытых вершин после удаления не больше, чем количество удаленных вершин &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt;, значит &lt;tex&gt;def(G) \; \leq \; k&lt;/tex&gt;. Удалим множество вершин &lt;tex&gt;A \; = \; arg \max\limits_{S \in V}(odd(H \setminus S) \; - \; |S|) \; &lt;/tex&gt; из графа &lt;tex&gt;G\;&lt;/tex&gt;. Заметим, что после удаления в графе осталось &lt;tex&gt;odd(G \setminus A)\; &lt;/tex&gt; нечетных компонент и образовались новые непокрытые вершины, но при этом число нечетных компонент больше числа удаленных на &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt;. Значит хотя бы &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; нечетных компонент содержали исходно непокрытую вершину, следовательно &lt;tex&gt;def(G) \; \geq \; k \; &lt;/tex&gt;. <br /> <br /> Из &lt;tex&gt;def(G) \; \leq \; k&lt;/tex&gt; и &lt;tex&gt;def(G) \; \geq \; k \; &lt;/tex&gt; следует &lt;tex&gt;def(G) \; = \; k \; &lt;/tex&gt;.<br /> }}<br /> <br /> ==См. также==<br /> <br /> ==Источники информации==<br /> <br /> [https://www.youtube.com/watch?v=1KggxCJZFRg {{---}} Лекция А.С. Станкевича]</div>

Masha http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:Masha&diff=80994 2021-06-11T05:14:00Z

<p>Masha: /* Формула Бержа */</p> <hr /> <div>== Формула Бержа ==<br /> <br /> {{Определение<br /> |id = odd<br /> |definition =&lt;tex&gt;\mathrm{odd}({G})&lt;/tex&gt; {{---}} число нечетных компонент связности в графе &lt;tex&gt;{G}&lt;/tex&gt;, где '''нечетная компонента''' (англ. ''odd component'') {{---}} это [[Отношение связности, компоненты связности#def2|компонента связности]], содержащая нечетное число вершин. <br /> }}<br /> <br /> <br /> <br /> {{Лемма<br /> |statement= &lt;tex&gt;(n + |S| + odd(G \setminus S)) \; mod \; 2 = 0 \; &lt;/tex&gt;, где &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; - граф с &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt; вершинами, &lt;tex&gt;S \in {V}_{G}&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> Удалим из графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; множество &lt;tex&gt;S&lt;/tex&gt;, получим &lt;tex&gt;t&lt;/tex&gt; компонент связности, содержащих &lt;tex&gt;k_1, k_2 ... k_t&lt;/tex&gt; вершин соответственно.<br /> &lt;tex&gt;|S|\; + \; \sum_{i=1}^{k}k_i \; = \; n \; &lt;/tex&gt;, так как в сумме это все вершины исходного графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. <br /> Возьмем данное равенство по модулю два: &lt;tex&gt;(|S|\; mod\; 2 \; + \; \sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)) \; mod \; 2 \equiv \; n \; (mod \; 2)&lt;/tex&gt;<br /> В сумме &lt;tex&gt;\sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)&lt;/tex&gt; число единиц равно числу нечетных компонент &lt;tex&gt;odd(G \setminus S)&lt;/tex&gt;. Таким образом, &lt;tex&gt; \forall S \in V : \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 \; \equiv \; n \; (mod \; 2) \;&lt;/tex&gt;. <br /> }}<br /> <br /> <br /> <br /> {{Теорема<br /> |statement= &lt;tex&gt;def G = \max\limits_{S \in V} (odd(G \setminus S) - |S|)&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> &lt;tex&gt; \forall S \in V : \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 \; \equiv \; n (\; mod \; 2) \;&lt;/tex&gt;<br /> <br /> <br /> Рассмотрим несколько случаев:<br /> <br /> <br /> 1) Если &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) \; - \; |S|) \; = 0 \; &lt;/tex&gt;, тогда &lt;tex&gt;\forall \; S \in V: \; odd(G \setminus S) \leq |S| \; &lt;/tex&gt; и выполнен [[Теорема Татта о существовании полного паросочетания|критерий Татта]], значит в графе есть совершенное паросочетание, т.е. его дефицит равен нулю. <br /> <br /> 2) Если &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = k \; &lt;/tex&gt;, тогда рассмотрим исходный граф &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; и полный граф &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; с &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; вершинами, множество вершин нового графа обозначим как &lt;tex&gt;W&lt;/tex&gt;. Каждую вершину вспомогательного графа соединим с каждой вершиной &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. Получим новый граф &lt;tex&gt;H \; = \; K_k + G \;&lt;/tex&gt;, докажем, что для него выполнено условие Татта. Докажем, что &lt;tex&gt;\forall S \in V_{H}: odd(G \setminus S) \; \leq \; |S| \; &lt;/tex&gt;. Рассмотрим &lt;tex&gt;S \; \subset \; V_H\;&lt;/tex&gt;. <br /> <br /> Если &lt;tex&gt;W \not\subset S&lt;/tex&gt;, тогда поскольку граф &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; полный и все его вершины связаны с каждой вершиной графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;, то граф &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt; связный и &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 0 \;&lt;/tex&gt; или &lt;tex&gt;odd(G \setminus S) \; = \; 1 \;&lt;/tex&gt;. В случае &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 0 \; &lt;/tex&gt; условие очевидно выполняется т.к &lt;tex&gt;\forall S \in G : 0 \; \leq \; |S| \;&lt;/tex&gt;. <br /> Рассмотрим случай &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 1 \;&lt;/tex&gt;, &lt;tex&gt;|V_H| \; = \; n \; + \; k \; = \; n \; + \; odd(G \setminus A) \; - \; |A| \; &lt;/tex&gt;, где &lt;tex&gt;A \; = \; arg \max\limits_{S \in V}(odd(H \setminus S) \; - \; |S|) \; &lt;/tex&gt;. Разность &lt;tex&gt;odd(G \setminus A) \; - \; |A| \; &lt;/tex&gt; имеет ту же четность, что и &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt;, поэтому &lt;tex&gt;|V_H|&lt;/tex&gt; четно, значит, по лемме, мощность &lt;tex&gt;S&lt;/tex&gt; нечетна, следовательно она не равна нулю, значит &lt;tex&gt; 1 \leq |S| &lt;/tex&gt;.<br /> <br /> Если &lt;tex&gt;W \subset S \;&lt;/tex&gt;, то &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; odd(G \setminus (S \cap V)) \; \leq \; |S \cap V| \; + \; k \leq |S| \; &lt;/tex&gt; т.к. &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = k \; &lt;/tex&gt;.<br /> <br /> Таким образом, для графа &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt; выполнено условие Татта, следовательно в нём есть полное паросочетание. Рассмотрим полное паросочетание в графе &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt;, удалим вершины &lt;tex&gt;W&lt;/tex&gt; из графа &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt;. Количество непокрытых вершин после удаления не больше, чем количество удаленных вершин &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt;, значит &lt;tex&gt;def(G) \; \leq \; k&lt;/tex&gt;. Удалим множество вершин &lt;tex&gt;A \; = \; arg \max\limits_{S \in V}(odd(H \setminus S) \; - \; |S|) \; &lt;/tex&gt; из графа &lt;tex&gt;G\;&lt;/tex&gt;. Заметим, что после удаления в графе осталось &lt;tex&gt;odd(G \setminus A)\; &lt;/tex&gt; нечетных компонент и образовались новые непокрытые вершины, но при этом число нечетных компонент больше числа удаленных на &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt;. Значит хотя бы &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; нечетных компонент содержали исходно непокрытую вершину, следовательно &lt;tex&gt;def(G) \; \geq \; k \; &lt;/tex&gt;. <br /> <br /> Из &lt;tex&gt;def(G) \; \leq \; k&lt;/tex&gt; и &lt;tex&gt;def(G) \; \geq \; k \; &lt;/tex&gt; следует &lt;tex&gt;def(G) \; = \; k \; &lt;/tex&gt;.<br /> }}<br /> <br /> ==См. также==<br /> <br /> ==Источники информации==<br /> <br /> [https://www.youtube.com/watch?v=1KggxCJZFRg {{---}} Лекция А.С. Станкевича]</div>

Masha http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:Masha&diff=80993 2021-06-11T05:13:02Z

<p>Masha: </p> <hr /> <div>== Формула Бержа ==<br /> <br /> {{Определение<br /> |id = odd<br /> |definition =&lt;tex&gt;\mathrm{odd}({G})&lt;/tex&gt; {{---}} число нечетных компонент связности в графе &lt;tex&gt;{G}&lt;/tex&gt;, где '''нечетная компонента''' (англ. ''odd component'') {{---}} это [[Отношение связности, компоненты связности#def2|компонента связности]], содержащая нечетное число вершин. <br /> }}<br /> <br /> <br /> <br /> {{Лемма<br /> |statement= &lt;tex&gt;(n + |S| + odd(G \setminus S)) \; mod \; 2 = 0 \; &lt;/tex&gt;, где &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; - граф с &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt; вершинами, &lt;tex&gt;S \in {V}_{G}&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> Удалим из графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; множество &lt;tex&gt;S&lt;/tex&gt;, получим &lt;tex&gt;t&lt;/tex&gt; компонент связности, содержащих &lt;tex&gt;k_1, k_2 ... k_t&lt;/tex&gt; вершин соответственно.<br /> &lt;tex&gt;|S|\; + \; \sum_{i=1}^{k}k_i \; = \; n \; &lt;/tex&gt;, так как в сумме это все вершины исходного графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. <br /> Возьмем данное равенство по модулю два: &lt;tex&gt;(|S|\; mod\; 2 \; + \; \sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2&lt;/tex&gt;<br /> В сумме &lt;tex&gt;\sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)&lt;/tex&gt; число единиц равно числу нечетных компонент &lt;tex&gt;odd(G \setminus S)&lt;/tex&gt;. Таким образом, &lt;tex&gt; \forall S \in V : \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 \; \equiv \; n \; (mod \; 2) \;&lt;/tex&gt;. <br /> }}<br /> <br /> <br /> <br /> {{Теорема<br /> |statement= &lt;tex&gt;def G = \max\limits_{S \in V} (odd(G \setminus S) - |S|)&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> &lt;tex&gt; \forall S \in V : \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 \; \equiv \; n (\; mod \; 2) \;&lt;/tex&gt;<br /> <br /> <br /> Рассмотрим несколько случаев:<br /> <br /> <br /> 1) Если &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) \; - \; |S|) \; = 0 \; &lt;/tex&gt;, тогда &lt;tex&gt;\forall \; S \in V: \; odd(G \setminus S) \leq |S| \; &lt;/tex&gt; и выполнен [[Теорема Татта о существовании полного паросочетания|критерий Татта]], значит в графе есть совершенное паросочетание, т.е. его дефицит равен нулю. <br /> <br /> 2) Если &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = k \; &lt;/tex&gt;, тогда рассмотрим исходный граф &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; и полный граф &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; с &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; вершинами, множество вершин нового графа обозначим как &lt;tex&gt;W&lt;/tex&gt;. Каждую вершину вспомогательного графа соединим с каждой вершиной &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. Получим новый граф &lt;tex&gt;H \; = \; K_k + G \;&lt;/tex&gt;, докажем, что для него выполнено условие Татта. Докажем, что &lt;tex&gt;\forall S \in V_{H}: odd(G \setminus S) \; \leq \; |S| \; &lt;/tex&gt;. Рассмотрим &lt;tex&gt;S \; \subset \; V_H\;&lt;/tex&gt;. <br /> <br /> Если &lt;tex&gt;W \not\subset S&lt;/tex&gt;, тогда поскольку граф &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; полный и все его вершины связаны с каждой вершиной графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;, то граф &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt; связный и &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 0 \;&lt;/tex&gt; или &lt;tex&gt;odd(G \setminus S) \; = \; 1 \;&lt;/tex&gt;. В случае &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 0 \; &lt;/tex&gt; условие очевидно выполняется т.к &lt;tex&gt;\forall S \in G : 0 \; \leq \; |S| \;&lt;/tex&gt;. <br /> Рассмотрим случай &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 1 \;&lt;/tex&gt;, &lt;tex&gt;|V_H| \; = \; n \; + \; k \; = \; n \; + \; odd(G \setminus A) \; - \; |A| \; &lt;/tex&gt;, где &lt;tex&gt;A \; = \; arg \max\limits_{S \in V}(odd(H \setminus S) \; - \; |S|) \; &lt;/tex&gt;. Разность &lt;tex&gt;odd(G \setminus A) \; - \; |A| \; &lt;/tex&gt; имеет ту же четность, что и &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt;, поэтому &lt;tex&gt;|V_H|&lt;/tex&gt; четно, значит, по лемме, мощность &lt;tex&gt;S&lt;/tex&gt; нечетна, следовательно она не равна нулю, значит &lt;tex&gt; 1 \leq |S| &lt;/tex&gt;.<br /> <br /> Если &lt;tex&gt;W \subset S \;&lt;/tex&gt;, то &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; odd(G \setminus (S \cap V)) \; \leq \; |S \cap V| \; + \; k \leq |S| \; &lt;/tex&gt; т.к. &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = k \; &lt;/tex&gt;.<br /> <br /> Таким образом, для графа &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt; выполнено условие Татта, следовательно в нём есть полное паросочетание. Рассмотрим полное паросочетание в графе &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt;, удалим вершины &lt;tex&gt;W&lt;/tex&gt; из графа &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt;. Количество непокрытых вершин после удаления не больше, чем количество удаленных вершин &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt;, значит &lt;tex&gt;def(G) \; \leq \; k&lt;/tex&gt;. Удалим множество вершин &lt;tex&gt;A \; = \; arg \max\limits_{S \in V}(odd(H \setminus S) \; - \; |S|) \; &lt;/tex&gt; из графа &lt;tex&gt;G\;&lt;/tex&gt;. Заметим, что после удаления в графе осталось &lt;tex&gt;odd(G \setminus A)\; &lt;/tex&gt; нечетных компонент и образовались новые непокрытые вершины, но при этом число нечетных компонент больше числа удаленных на &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt;. Значит хотя бы &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; нечетных компонент содержали исходно непокрытую вершину, следовательно &lt;tex&gt;def(G) \; \geq \; k \; &lt;/tex&gt;. <br /> <br /> Из &lt;tex&gt;def(G) \; \leq \; k&lt;/tex&gt; и &lt;tex&gt;def(G) \; \geq \; k \; &lt;/tex&gt; следует &lt;tex&gt;def(G) \; = \; k \; &lt;/tex&gt;.<br /> }}<br /> <br /> ==См. также==<br /> <br /> ==Источники информации==<br /> <br /> [https://www.youtube.com/watch?v=1KggxCJZFRg {{---}} Лекция А.С. Станкевича]</div>

Masha http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:Masha&diff=80962 2021-06-06T14:17:44Z

<p>Masha: /* Формула Бержа */</p> <hr /> <div>== Формула Бержа ==<br /> <br /> {{Лемма<br /> |statement= &lt;tex&gt;(n + |S| + odd(G \setminus S)) \; mod \; 2 = 0 \; &lt;/tex&gt;, где &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; - граф с &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt; вершинами, &lt;tex&gt;S \in {V}_{G}&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> Удалим из графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; множество &lt;tex&gt;S&lt;/tex&gt;, получим &lt;tex&gt;t&lt;/tex&gt; компонент связности, содержащих &lt;tex&gt;k_1, k_2 ... k_t&lt;/tex&gt; вершин соответственно.<br /> &lt;tex&gt;|S|\; + \; \sum_{i=1}^{k}k_i \; = \; n \; &lt;/tex&gt;, т. к. в сумме это все вершины исходного графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. <br /> Возьмем данное равенство по модулю два: &lt;tex&gt;(|S|\; mod\; 2 \; + \; \sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2&lt;/tex&gt;<br /> В сумме &lt;tex&gt;\sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)&lt;/tex&gt; число единиц равно числу нечетных компонент &lt;tex&gt;odd(G \setminus S)&lt;/tex&gt;. Таким образом, &lt;tex&gt; \forall S \in V : \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 \; = \; n \; mod \; 2 \;&lt;/tex&gt;.<br /> }}<br /> <br /> <br /> <br /> {{Теорема<br /> |statement= &lt;tex&gt;def G = \max\limits_{S \in V} (odd(G \setminus S) - |S|)&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> &lt;tex&gt; \forall S \in V : \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2&lt;/tex&gt;<br /> <br /> <br /> Рассмотрим несколько случаев:<br /> <br /> <br /> 1) Если &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) \; - \; |S|) \; = 0 \; &lt;/tex&gt;, тогда &lt;tex&gt;\forall \; S \in V: \; odd(G \setminus S) \leq |S| \; &lt;/tex&gt; и выполнен [[Теорема Татта о существовании полного паросочетания|критерий Татта]], значит в графе есть совершенное паросочетание, т.е. его дефицит равен нулю. <br /> <br /> 2) Если &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = k \; &lt;/tex&gt;, тогда рассмотрим исходный граф &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; и полный граф &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; с &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; вершинами, множество вершин нового графа обозначим как &lt;tex&gt;W&lt;/tex&gt;. Каждую вершину вспомогательного графа соединим с каждой вершиной &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. Получим новый граф &lt;tex&gt;H \; = \; K_k + G \;&lt;/tex&gt;, докажем, что для него выполнено условие Татта. Докажем, что &lt;tex&gt;\forall S \in V_{H}: odd(G \setminus S) \; \leq \; |S| \; &lt;/tex&gt;. Рассмотрим &lt;tex&gt;S \; \subset \; V_H\;&lt;/tex&gt;. <br /> <br /> Если &lt;tex&gt;W \not\subset S&lt;/tex&gt;, тогда поскольку граф &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; полный и все его вершины связаны с каждой вершиной графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;, то граф &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt; связный и &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 0 \;&lt;/tex&gt; или &lt;tex&gt;odd(G \setminus S) \; = \; 1 \;&lt;/tex&gt;. В случае &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 0 \; &lt;/tex&gt; условие очевидно выполняется т.к &lt;tex&gt;\forall S \in G : 0 \; \leq \; |S| \;&lt;/tex&gt;. <br /> Рассмотрим случай &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 1 \;&lt;/tex&gt;, &lt;tex&gt;|V_H| \; = \; n \; + \; k \; = \; n \; + \; odd(G \setminus A) \; - \; |A| \; &lt;/tex&gt;, где &lt;tex&gt;A \; = \; arg \max\limits_{S \in V}(odd(H \setminus S) \; - \; |S|) \; &lt;/tex&gt;. Разность &lt;tex&gt;odd(G \setminus A) \; - \; |A| \; &lt;/tex&gt; имеет ту же четность, что и &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt;, поэтому &lt;tex&gt;|V_H|&lt;/tex&gt; четно, значит, по лемме, мощность &lt;tex&gt;S&lt;/tex&gt; нечетна, следовательно она не равна нулю, значит &lt;tex&gt; 1 \leq |S| &lt;/tex&gt;.<br /> <br /> Если &lt;tex&gt;W \subset S \;&lt;/tex&gt;, то &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; odd(G \setminus (S \cap V)) \; \leq \; |S \cap V| \; + \; k \leq |S| \; &lt;/tex&gt; т.к. &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = k \; &lt;/tex&gt;.<br /> <br /> Таким образом, для графа &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt; выполнено условие Татта, следовательно в нём есть полное паросочетание. Рассмотрим полное паросочетание в графе &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt;, удалим вершины &lt;tex&gt;W&lt;/tex&gt; из графа &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt;. Количество непокрытых вершин после удаления не больше, чем количество удаленных вершин &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt;, значит &lt;tex&gt;def(G) \; \leq \; k&lt;/tex&gt;. Удалим множество вершин &lt;tex&gt;A \; = \; arg \max\limits_{S \in V}(odd(H \setminus S) \; - \; |S|) \; &lt;/tex&gt; из графа &lt;tex&gt;G\;&lt;/tex&gt;. Заметим, что после удаления в графе осталось &lt;tex&gt;odd(G \setminus A)\; &lt;/tex&gt; нечетных компонент и образовались новые непокрытые вершины, но при этом число нечетных компонент больше числа удаленных на &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt;. Значит хотя бы &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; нечетных компонент содержали исходно непокрытую вершину, следовательно &lt;tex&gt;def(G) \; \geq \; k \; &lt;/tex&gt;. <br /> <br /> Из &lt;tex&gt;def(G) \; \leq \; k&lt;/tex&gt; и &lt;tex&gt;def(G) \; \geq \; k \; &lt;/tex&gt; следует &lt;tex&gt;def(G) \; = \; k \; &lt;/tex&gt;.<br /> }}<br /> <br /> ==См. также==<br /> <br /> ==Источники информации==<br /> <br /> [https://www.youtube.com/watch?v=1KggxCJZFRg {{---}} Лекция А.С. Станкевича]</div>

Masha http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:Masha&diff=80961 2021-06-06T14:17:03Z

<p>Masha: /* Формула Бержа */</p> <hr /> <div>== Формула Бержа ==<br /> <br /> {{Лемма<br /> |statement= &lt;tex&gt;(n + |S| + odd(G \setminus S)) \; mod \; 2 = 0 \; &lt;/tex&gt;, где &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; - граф с &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt; вершинами, &lt;tex&gt;S \in {V}_{G}&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> Удалим из графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; множество &lt;tex&gt;S&lt;/tex&gt;, получим &lt;tex&gt;t&lt;/tex&gt; компонент связности, содержащих &lt;tex&gt;k_1, k_2 ... k_t&lt;/tex&gt; вершин соответственно.<br /> &lt;tex&gt;|S|\; + \; \sum_{i=1}^{k}k_i \; = \; n \; &lt;/tex&gt;, т. к. в сумме это все вершины исходного графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. <br /> Возьмем данное равенство по модулю два: &lt;tex&gt;(|S|\; mod\; 2 \; + \; \sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2&lt;/tex&gt;<br /> В сумме &lt;tex&gt;\sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)&lt;/tex&gt; число единиц равно числу нечетных компонент &lt;tex&gt;odd(G \setminus S)&lt;/tex&gt;. Таким образом, &lt;tex&gt; \forall S \in V : \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 \; = \; n \; mod \; 2 \;&lt;/tex&gt;.<br /> }}<br /> <br /> <br /> <br /> {{Теорема<br /> |statement= &lt;tex&gt;def G = \max\limits_{S \in V} (odd(G \setminus S) - |S|)&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> &lt;tex&gt; \forall S \in V : \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2&lt;/tex&gt;<br /> <br /> <br /> Рассмотрим несколько случаев:<br /> <br /> <br /> 1) Если &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) \; - \; |S|) \; = 0 \; &lt;/tex&gt;, тогда &lt;tex&gt;\forall \; S \in V: \; odd(G \setminus S) \leq |S| \; &lt;/tex&gt; и выполнен [[Теорема Татта о существовании полного паросочетания|критерий Татта]], значит в графе есть совершенное паросочетание, т.е. его дефицит равен нулю. <br /> <br /> 2) Если &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = k \; &lt;/tex&gt;, тогда рассмотрим исходный граф &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; и полный граф &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; с &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; вершинами, множество вершин нового графа обозначим как &lt;tex&gt;W&lt;/tex&gt;. Каждую вершину вспомогательного графа соединим с каждой вершиной &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. Получим новый граф &lt;tex&gt;H \; = \; K_k + G \;&lt;/tex&gt;, докажем, что для него выполнено условие Татта. Докажем, что &lt;tex&gt;\forall S \in V_{H}: odd(G \setminus S) \; \leq \; |S| \; &lt;/tex&gt;. Рассмотрим &lt;tex&gt;S \; \subset \; V_H\;&lt;/tex&gt;. <br /> <br /> Если &lt;tex&gt;W \not\subset S&lt;/tex&gt;, тогда поскольку граф &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; полный и все его вершины связаны с каждой вершиной графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;, то граф &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt; связный и &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 0 \;&lt;/tex&gt; или &lt;tex&gt;odd(G \setminus S) \; = \; 1 \;&lt;/tex&gt;. В случае &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 0 \; &lt;/tex&gt; условие очевидно выполняется т.к &lt;tex&gt;\forall S \in G : 0 \; \leq \; |S| \;&lt;/tex&gt;. <br /> Рассмотрим случай &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 1 \;&lt;/tex&gt;, &lt;tex&gt;|V_H| \; = \; n \; + \; k \; = \; n \; + \; odd(G \setminus A) \; - \; |A| \; &lt;/tex&gt;, где &lt;tex&gt;A \; = \; arg \max\limits_{S \in V}(odd(H \setminus S) \; - \; |S|) \; &lt;/tex&gt;. Разность &lt;tex&gt;odd(G \setminus A) \; - \; |A| \; &lt;/tex&gt; имеет ту же четность, что и &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt;, поэтому &lt;tex&gt;|V_H|&lt;/tex&gt; четно, значит, по лемме, мощность &lt;tex&gt;S&lt;/tex&gt; нечетна, следовательно она не равна нулю, значит &lt;tex&gt; 1 \leq |S| &lt;/tex&gt;.<br /> <br /> Если &lt;tex&gt;W \subset S \;&lt;/tex&gt;, то &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; odd(G \setminus (S \cap V)) \; \leq \; |S \cap V| \; + \; k \leq |S| \; &lt;/tex&gt; т.к. &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = k \; &lt;/tex&gt;.<br /> <br /> Таким образом, для графа &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt; выполнено условие Татта, следовательно в нём есть полное паросочетание. Рассмотрим полное паросочетание в графе &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt;, удалим вершины &lt;tex&gt;W&lt;/tex&gt; из графа &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt;. Количество непокрытых вершин после удаления не больше, чем количество удаленных вершин &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt;, значит &lt;tex&gt;def(G) \; \leq \; k&lt;/tex&gt;. Удалим множество вершин &lt;tex&gt;A \; = \; arg \max\limits_{S \in V}(odd(H \setminus S) \; - \; |S|) \; &lt;/tex&gt; из графа &lt;tex&gt;G\;&lt;/tex&gt;. Заметим, что после удаления в графе осталось &lt;tex&gt;odd(G \setminus A)\; &lt;/tex&gt; нечетных компонент и образовались новые непокрытые вершины, но при этом число нечетных компонент больше числа удаленных на &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt;. Значит хотя бы &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; нечетных компонент содержали исходно непокрытую вершину, следовательно &lt;tex&gt;def(G) \; \geq \; k \; &lt;/tex&gt;. <br /> <br /> Из &lt;tex&gt;def(G) \; \leq \; k&lt;/tex&gt; и &lt;tex&gt;def(G) \; \geq \; k \; &lt;/tex&gt; следует <br /> &lt;tex&gt;def(G) \; = \; k&lt;/tex&gt;.<br /> }}<br /> <br /> ==См. также==<br /> <br /> ==Источники информации==<br /> <br /> [https://www.youtube.com/watch?v=1KggxCJZFRg {{---}} Лекция А.С. Станкевича]</div>

Masha http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:Masha&diff=80960 2021-06-06T14:16:44Z

<p>Masha: /* Формула Бержа */</p> <hr /> <div>== Формула Бержа ==<br /> <br /> {{Лемма<br /> |statement= &lt;tex&gt;(n + |S| + odd(G \setminus S)) \; mod \; 2 = 0 \; &lt;/tex&gt;, где &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; - граф с &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt; вершинами, &lt;tex&gt;S \in {V}_{G}&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> Удалим из графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; множество &lt;tex&gt;S&lt;/tex&gt;, получим &lt;tex&gt;t&lt;/tex&gt; компонент связности, содержащих &lt;tex&gt;k_1, k_2 ... k_t&lt;/tex&gt; вершин соответственно.<br /> &lt;tex&gt;|S|\; + \; \sum_{i=1}^{k}k_i \; = \; n \; &lt;/tex&gt;, т. к. в сумме это все вершины исходного графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. <br /> Возьмем данное равенство по модулю два: &lt;tex&gt;(|S|\; mod\; 2 \; + \; \sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2&lt;/tex&gt;<br /> В сумме &lt;tex&gt;\sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)&lt;/tex&gt; число единиц равно числу нечетных компонент &lt;tex&gt;odd(G \setminus S)&lt;/tex&gt;. Таким образом, &lt;tex&gt; \forall S \in V : \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 \; = \; n \; mod \; 2 \;&lt;/tex&gt;.<br /> }}<br /> <br /> <br /> <br /> {{Теорема<br /> |statement= &lt;tex&gt;def G = \max\limits_{S \in V} (odd(G \setminus S) - |S|)&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> &lt;tex&gt; \forall S \in V : \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2&lt;/tex&gt;<br /> <br /> <br /> Рассмотрим несколько случаев:<br /> <br /> <br /> 1) Если &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) \; - \; |S|) \; = 0 \; &lt;/tex&gt;, тогда &lt;tex&gt;\forall \; S \in V: \; odd(G \setminus S) \leq |S| \; &lt;/tex&gt; и выполнен [[Теорема Татта о существовании полного паросочетания|критерий Татта]], значит в графе есть совершенное паросочетание, т.е. его дефицит равен нулю. <br /> <br /> 2) Если &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = k \; &lt;/tex&gt;, тогда рассмотрим исходный граф &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; и полный граф &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; с &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; вершинами, множество вершин нового графа обозначим как &lt;tex&gt;W&lt;/tex&gt;. Каждую вершину вспомогательного графа соединим с каждой вершиной &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. Получим новый граф &lt;tex&gt;H \; = \; K_k + G \;&lt;/tex&gt;, докажем, что для него выполнено условие Татта. Докажем, что &lt;tex&gt;\forall S \in V_{H}: odd(G \setminus S) \; \leq \; |S| \; &lt;/tex&gt;. Рассмотрим &lt;tex&gt;S \; \subset \; V_H\;&lt;/tex&gt;. <br /> <br /> Если &lt;tex&gt;W \not\subset S&lt;/tex&gt;, тогда поскольку граф &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; полный и все его вершины связаны с каждой вершиной графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;, то граф &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt; связный и &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 0 \;&lt;/tex&gt; или &lt;tex&gt;odd(G \setminus S) \; = \; 1 \;&lt;/tex&gt;. В случае &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 0 \; &lt;/tex&gt; условие очевидно выполняется т.к &lt;tex&gt;\forall S \in G : 0 \; \leq \; |S| \;&lt;/tex&gt;. <br /> Рассмотрим случай &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 1 \;&lt;/tex&gt;, &lt;tex&gt;|V_H| \; = \; n \; + \; k \; = \; n \; + \; odd(G \setminus A) \; - \; |A| \; &lt;/tex&gt;, где &lt;tex&gt;A \; = \; arg \max\limits_{S \in V}(odd(H \setminus S) \; - \; |S|) \; &lt;/tex&gt;. Разность &lt;tex&gt;odd(G \setminus A) \; - \; |A| \; &lt;/tex&gt; имеет ту же четность, что и &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt;, поэтому &lt;tex&gt;|V_H|&lt;/tex&gt; четно, значит, по лемме, мощность &lt;tex&gt;S&lt;/tex&gt; нечетна, следовательно она не равна нулю, значит &lt;tex&gt; 1 \leq |S| &lt;/tex&gt;.<br /> <br /> Если &lt;tex&gt;W \subset S \;&lt;/tex&gt;, то &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; odd(G \setminus (S \cap V)) \; \leq \; |S \cap V| \; + \; k \leq |S| \; &lt;/tex&gt; т.к. &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = k \; &lt;/tex&gt;.<br /> <br /> Таким образом, для графа &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt; выполнено условие Татта, следовательно в нём есть полное паросочетание. Рассмотрим полное паросочетание в графе &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt;, удалим вершины &lt;tex&gt;W&lt;/tex&gt; из графа &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt;. Количество непокрытых вершин после удаления не больше, чем количество удаленных вершин &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt;, значит &lt;tex&gt;def(G) \; \leq \; k&lt;/tex&gt;. Удалим множество вершин &lt;tex&gt;A \; = \; arg \max\limits_{S \in V}(odd(H \setminus S) \; - \; |S|) \; &lt;/tex&gt; из графа &lt;tex&gt;G\;&lt;/tex&gt;. Заметим, что после удаления в графе осталось &lt;tex&gt;odd(G \setminus A)\; &lt;/tex&gt; нечетных компонент и образовались новые непокрытые вершины, но при этом число нечетных компонент больше числа удаленных на &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt;. Значит хотя бы &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; нечетных компонент содержали исходно непокрытую вершину, следовательно &lt;tex&gt;def(G) \; \geq \; k \; &lt;/tex&gt;. <br /> <br /> Из &lt;tex&gt;def(G) \; \leq \; k&lt;/tex&gt; и &lt;tex&gt;def(G) \; \geq \; k \; &lt;/tex&gt; следует <br /> &lt;tex&gt;def(G) \; = \; k&lt;/tex&gt;. Теорема доказана.<br /> }}<br /> <br /> ==См. также==<br /> <br /> ==Источники информации==<br /> <br /> [https://www.youtube.com/watch?v=1KggxCJZFRg {{---}} Лекция А.С. Станкевича]</div>

Masha http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:Masha&diff=80959 2021-06-06T14:15:14Z

<p>Masha: /* Формула Бержа */</p> <hr /> <div>== Формула Бержа ==<br /> <br /> {{Лемма<br /> |statement= &lt;tex&gt;(n + |S| + odd(G \setminus S)) \; mod \; 2 = 0 \; &lt;/tex&gt;, где &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; - граф с &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt; вершинами, &lt;tex&gt;S \in {V}_{G}&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> Удалим из графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; множество &lt;tex&gt;S&lt;/tex&gt;, получим &lt;tex&gt;t&lt;/tex&gt; компонент связности, содержащих &lt;tex&gt;k_1, k_2 ... k_t&lt;/tex&gt; вершин соответственно.<br /> &lt;tex&gt;|S|\; + \; \sum_{i=1}^{k}k_i \; = \; n \; &lt;/tex&gt;, т. к. в сумме это все вершины исходного графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. <br /> Возьмем данное равенство по модулю два: &lt;tex&gt;(|S|\; mod\; 2 \; + \; \sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2&lt;/tex&gt;<br /> В сумме &lt;tex&gt;\sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)&lt;/tex&gt; число единиц равно числу нечетных компонент &lt;tex&gt;odd(G \setminus S)&lt;/tex&gt;. Таким образом, &lt;tex&gt; \forall S \in V : \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 \; = \; n \; mod \; 2 \;&lt;/tex&gt;.<br /> }}<br /> <br /> <br /> <br /> {{Теорема<br /> |statement= &lt;tex&gt;def G = \max\limits_{S \in V} (odd(G \setminus S) - |S|)&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> &lt;tex&gt; \forall S \in V : \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2&lt;/tex&gt;<br /> <br /> <br /> Рассмотрим несколько случаев:<br /> <br /> <br /> 1) Если &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) \; - \; |S|) \; = 0 \; &lt;/tex&gt;, тогда &lt;tex&gt;\forall \; S \in V: \; odd(G \setminus S) \leq |S| \; &lt;/tex&gt; и выполнен [[Теорема Татта о существовании полного паросочетания|критерий Татта]], значит в графе есть совершенное паросочетание, т.е. его дефицит равен нулю. <br /> <br /> 2) Если &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = k \; &lt;/tex&gt;, тогда рассмотрим исходный граф &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; и полный граф &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; с &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; вершинами, множество вершин нового графа обозначим как &lt;tex&gt;W&lt;/tex&gt;. Каждую вершину вспомогательного графа соединим с каждой вершиной &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. Получим новый граф &lt;tex&gt;H \; = \; K_k + G \;&lt;/tex&gt;, докажем, что для него выполнено условие Татта. Докажем, что &lt;tex&gt;\forall S \in V_{H}: odd(G \setminus S) \; \leq \; |S| \; &lt;/tex&gt;. Рассмотрим &lt;tex&gt;S \; \subset \; V_H\;&lt;/tex&gt;. <br /> <br /> Если &lt;tex&gt;W \not\subset S&lt;/tex&gt;, тогда поскольку граф &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; полный и все его вершины связаны с каждой вершиной графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;, то граф &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt; связный и &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 0 \;&lt;/tex&gt; или &lt;tex&gt;odd(G \setminus S) \; = \; 1 \;&lt;/tex&gt;. В случае &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 0 \; &lt;/tex&gt; условие очевидно выполняется т.к &lt;tex&gt;\forall S \in G : 0 \; \leq \; |S| \;&lt;/tex&gt;. <br /> Рассмотрим случай &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 1 \;&lt;/tex&gt;, &lt;tex&gt;|V_H| \; = \; n \; + \; k \; = \; n \; + \; odd(G \setminus A) \; - \; |A| \; &lt;/tex&gt;, где &lt;tex&gt;A \; = \; arg \max\limits_{S \in V}(odd(H \setminus S) \; - \; |S|) \; &lt;/tex&gt;. Разность &lt;tex&gt;odd(G \setminus A) \; - \; |A| \; &lt;/tex&gt; имеет ту же четность, что и &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt;, поэтому &lt;tex&gt;|V_H|&lt;/tex&gt; четно, значит, по лемме, мощность &lt;tex&gt;S&lt;/tex&gt; нечетна, следовательно она не равна нулю, значит &lt;tex&gt; 1 \leq |S| &lt;/tex&gt;.<br /> <br /> Если &lt;tex&gt;W \subset S \;&lt;/tex&gt;, то &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; odd(G \setminus (S \cap V)) \; \leq \; |S \cap V| \; + \; k \leq |S| \; &lt;/tex&gt; т.к. &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = k \; &lt;/tex&gt;.<br /> <br /> Таким образом, для графа &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt; выполнено условие Татта, следовательно в нём есть полное паросочетание. Рассмотрим полное паросочетание в графе &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt;, удалим вершины &lt;tex&gt;W&lt;/tex&gt; из графа &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt;. Количество непокрытых вершин после удаления не больше, чем количество удаленных вершин &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt;, значит &lt;tex&gt;def(G) \; \leq \; k&lt;/tex&gt;. Удалим множество вершин &lt;tex&gt;A \; = \; arg \max\limits_{S \in V}(odd(H \setminus S) \; - \; |S|) \; &lt;/tex&gt; из графа &lt;tex&gt;G\;&lt;/tex&gt;. Заметим, что после удаления в графе осталось &lt;tex&gt;odd(G \setminus A)\; &lt;/tex&gt; нечетных компонент и образовались новые непокрытые вершины, но при этом число нечетных компонент больше числа удаленных на &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt;. Значит хотя бы &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; нечетных компонент содержали исходно непокрытую вершину, следовательно &lt;tex&gt;k \; \leq \; def(G)&lt;/tex&gt;. Значит &lt;tex&gt;def(G) \; = \; k&lt;/tex&gt;. Теорема доказана.<br /> }}<br /> <br /> ==См. также==<br /> <br /> ==Источники информации==<br /> <br /> [https://www.youtube.com/watch?v=1KggxCJZFRg {{---}} Лекция А.С. Станкевича]</div>

Masha http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:Masha&diff=80958 2021-06-06T14:14:30Z

<p>Masha: /* Формула Бержа */</p> <hr /> <div>== Формула Бержа ==<br /> <br /> {{Лемма<br /> |statement= &lt;tex&gt;(n + |S| + odd(G \setminus S)) \; mod \; 2 = 0 \; &lt;/tex&gt;, где &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; - граф с &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt; вершинами, &lt;tex&gt;S \in {V}_{G}&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> Удалим из графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; множество &lt;tex&gt;S&lt;/tex&gt;, получим &lt;tex&gt;t&lt;/tex&gt; компонент связности, содержащих &lt;tex&gt;k_1, k_2 ... k_t&lt;/tex&gt; вершин соответственно.<br /> &lt;tex&gt;|S|\; + \; \sum_{i=1}^{k}k_i \; = \; n \; &lt;/tex&gt;, т. к. в сумме это все вершины исходного графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. <br /> Возьмем данное равенство по модулю два: &lt;tex&gt;(|S|\; mod\; 2 \; + \; \sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2&lt;/tex&gt;<br /> В сумме &lt;tex&gt;\sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)&lt;/tex&gt; число единиц равно числу нечетных компонент &lt;tex&gt;odd(G \setminus S)&lt;/tex&gt;. Таким образом, &lt;tex&gt; \forall S \in V : \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 \; = \; n \; mod \; 2 \;&lt;/tex&gt;.<br /> }}<br /> <br /> <br /> <br /> {{Теорема<br /> |statement= &lt;tex&gt;def G = \max\limits_{S \in V} (odd(G \setminus S) - |S|)&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> &lt;tex&gt; \forall S \in V : \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2&lt;/tex&gt;<br /> <br /> <br /> Рассмотрим несколько случаев:<br /> <br /> <br /> 1) Если &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) \; - \; |S|) \; = 0 \; &lt;/tex&gt;, тогда &lt;tex&gt;\forall \; S \in V: \; odd(G \setminus S) \leq |S| \; &lt;/tex&gt; и выполнен [[Теорема Татта о существовании полного паросочетания|критерий Татта]], значит в графе есть совершенное паросочетание, т.е. его дефицит равен нулю. <br /> <br /> 2) Если &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = k \; &lt;/tex&gt;, тогда рассмотрим исходный граф &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; и полный граф &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; с &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; вершинами, множество вершин нового графа обозначим как &lt;tex&gt;W&lt;/tex&gt;. Каждую вершину вспомогательного графа соединим с каждой вершиной &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. Получим новый граф &lt;tex&gt;H \; = \; K_k + G \;&lt;/tex&gt;, докажем, что для него выполнено условие Татта. Докажем, что &lt;tex&gt;\forall S \in V_{H}: odd(G \setminus S) \; \leq \; |S| \; &lt;/tex&gt;. Рассмотрим &lt;tex&gt;S \; \subset \; V_H\;&lt;/tex&gt;. <br /> <br /> Если &lt;tex&gt;W \not\subset S&lt;/tex&gt;, тогда поскольку граф &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; полный и все его вершины связаны с каждой вершиной графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;, то граф &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt; связный и &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 0 \;&lt;/tex&gt; или &lt;tex&gt;odd(G \setminus S) \; = \; 1 \;&lt;/tex&gt;. В случае &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 0 \; &lt;/tex&gt; условие очевидно выполняется т.к &lt;tex&gt;\forall S \in G : 0 \; \leq \; |S| \;&lt;/tex&gt;. <br /> Рассмотрим случай &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 1 \;&lt;/tex&gt;, &lt;tex&gt;|V_H| \; = \; n \; + \; k \; = \; n \; + \; odd(G \setminus A) \; - \; |A| \; &lt;/tex&gt;, где &lt;tex&gt;A \; = \; arg \max\limits_{S \in V}(odd(H \setminus S) \; - \; |S|) \; &lt;/tex&gt;. Разность &lt;tex&gt;odd(G \setminus A) \; - \; |A| \; &lt;/tex&gt; имеет ту же четность, что и &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt;, поэтому &lt;tex&gt;|V_H|&lt;/tex&gt; четно, значит, по лемме, мощность &lt;tex&gt;S&lt;/tex&gt; нечетна, следовательно она не равна нулю, значит &lt;tex&gt; 1 \leq |S| &lt;/tex&gt;.<br /> <br /> Если &lt;tex&gt;W \subset S \;&lt;/tex&gt;, то &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; odd(G \setminus (S \cap V)) \; \leq \; |S \cap V| \; + \; k \leq |S| \; &lt;/tex&gt; т.к. &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = k \; &lt;/tex&gt;.<br /> <br /> Таким образом, для графа &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt; выполнено условие Татта, следовательно в нём есть полное паросочетание. Рассмотрим полное паросочетание в графе &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt;, удалим вершины &lt;tex&gt;W&lt;/tex&gt; из графа &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt;. Количество непокрытых вершин после удаления не больше, чем количество удаленных вершин &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt;, значит &lt;tex&gt;def(G) \; \leq \; k&lt;/tex&gt;. Удалим множество вершин &lt;tex&gt;A \; = \; arg \max\limits_{S \in V}(odd(H \setminus S) \; - \; |S|) \; &lt;/tex&gt; из графа &lt;tex&gt;G\;&lt;/tex&gt;. Заметим, что после удаления в графе осталось &lt;tex&gt;odd(G \setminus A)\; &lt;/tex&gt; нечетных компонент и образовались новые непокрытые вершины, но при этом  число нечетных компонент больше числа удаленных на &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt;. Значит хотя бы &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; нечетных компонент содержали исходно непокрытую вершину, следовательно &lt;tex&gt;k \; \leq \; def(G)&lt;/tex&gt;. Значит &lt;tex&gt;def(G) \; = \; k&lt;/tex&gt;. Теорема доказана.<br /> }}<br /> <br /> ==См. также==<br /> <br /> ==Источники информации==<br /> <br /> [https://www.youtube.com/watch?v=1KggxCJZFRg {{---}} Лекция А.С. Станкевича]</div>

Masha http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:Masha&diff=80957 2021-06-06T14:10:24Z

<p>Masha: /* Формула Бержа */</p> <hr /> <div>== Формула Бержа ==<br /> <br /> {{Лемма<br /> |statement= &lt;tex&gt;(n + |S| + odd(G \setminus S)) \; mod \; 2 = 0 \; &lt;/tex&gt;, где &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; - граф с &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt; вершинами, &lt;tex&gt;S \in {V}_{G}&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> Удалим из графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; множество &lt;tex&gt;S&lt;/tex&gt;, получим &lt;tex&gt;t&lt;/tex&gt; компонент связности, содержащих &lt;tex&gt;k_1, k_2 ... k_t&lt;/tex&gt; вершин соответственно.<br /> &lt;tex&gt;|S|\; + \; \sum_{i=1}^{k}k_i \; = \; n \; &lt;/tex&gt;, т. к. в сумме это все вершины исходного графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. <br /> Возьмем данное равенство по модулю два: &lt;tex&gt;(|S|\; mod\; 2 \; + \; \sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2&lt;/tex&gt;<br /> В сумме &lt;tex&gt;\sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)&lt;/tex&gt; число единиц равно числу нечетных компонент &lt;tex&gt;odd(G \setminus S)&lt;/tex&gt;. Таким образом, &lt;tex&gt; \forall S \in V : \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 \; = \; n \; mod \; 2 \;&lt;/tex&gt;.<br /> }}<br /> <br /> <br /> <br /> {{Теорема<br /> |statement= &lt;tex&gt;def G = \max\limits_{S \in V} (odd(G \setminus S) - |S|)&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> &lt;tex&gt; \forall S \in V : \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2&lt;/tex&gt;<br /> <br /> <br /> Рассмотрим несколько случаев:<br /> <br /> <br /> 1) Если &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) \; - \; |S|) \; = 0 \; &lt;/tex&gt;, тогда &lt;tex&gt;\forall \; S \in V: \; odd(G \setminus S) \leq |S| \; &lt;/tex&gt; и выполнен [[Теорема Татта о существовании полного паросочетания|критерий Татта]], значит в графе есть совершенное паросочетание, т.е. его дефицит равен нулю. <br /> <br /> 2) Если &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = k \; &lt;/tex&gt;, тогда рассмотрим исходный граф &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; и полный граф &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; с &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; вершинами, множество вершин нового графа обозначим как &lt;tex&gt;W&lt;/tex&gt;. Каждую вершину вспомогательного графа соединим с каждой вершиной &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. Получим новый граф &lt;tex&gt;H \; = \; K_k + G \;&lt;/tex&gt;, докажем, что для него выполнено условие Татта. Докажем, что &lt;tex&gt;\forall S \in V_{H}: odd(G \setminus S) \; \leq \; |S| \; &lt;/tex&gt;. Рассмотрим &lt;tex&gt;S \; \subset \; V_H\;&lt;/tex&gt;. <br /> <br /> Если &lt;tex&gt;W \not\subset S&lt;/tex&gt;, тогда поскольку граф &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; полный и все его вершины связаны с каждой вершиной графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;, то граф &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt; связный и &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 0 \;&lt;/tex&gt; или &lt;tex&gt;odd(G \setminus S) \; = \; 1 \;&lt;/tex&gt;. В случае &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 0 \; &lt;/tex&gt; условие очевидно выполняется т.к &lt;tex&gt;\forall S \in G : 0 \; \leq \; |S| \;&lt;/tex&gt;. <br /> Рассмотрим случай &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 1 \;&lt;/tex&gt;, &lt;tex&gt;|V_H| \; = \; n \; + \; k \; = \; n \; + \; odd(G \setminus A) \; - \; |A| \; &lt;/tex&gt;, где &lt;tex&gt;A \; = \; arg \max\limits_{S \in V}(odd(H \setminus S) \; - \; |S|) \; &lt;/tex&gt;. Разность &lt;tex&gt;odd(G \setminus A) \; - \; |A| \; &lt;/tex&gt; имеет ту же четность, что и &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt;, поэтому &lt;tex&gt;|V_H|&lt;/tex&gt; четно, значит, по лемме, мощность &lt;tex&gt;S&lt;/tex&gt; нечетна, следовательно она не равна нулю, значит &lt;tex&gt; 1 \leq |S| &lt;/tex&gt;.<br /> <br /> Если &lt;tex&gt;W \subset S \;&lt;/tex&gt;, то &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; odd(G \setminus (S \cap V)) \; \leq \; |S \cap V| \; + \; k \leq |S| \; &lt;/tex&gt; т.к. &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = k \; &lt;/tex&gt;.<br /> <br /> Таким образом, для графа &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt; выполнено условие Татта, следовательно в нём есть полное паросочетание. Рассмотрим полное паросочетание в графе &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt;, удалим вершины &lt;tex&gt;W&lt;/tex&gt; из графа &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt;. Количество непокрытых вершин после удаления не больше, чем количество удаленных вершин &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt;, значит &lt;tex&gt;def(G) \; \leq \; k&lt;/tex&gt;. Удалим множество вершин &lt;tex&gt;A \; = \; arg \max\limits_{S \in V}(odd(H \setminus S) \; - \; |S|) \; &lt;/tex&gt; из графа &lt;tex&gt;G\;&lt;/tex&gt;. Заметим, что после удаления в графе осталось &lt;tex&gt;odd(G \setminus A)\; &lt;/tex&gt; нечетных компонент и образовались новые непокрытые вершины, но при этом осталось на &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; больше нечетных компонент, чем было удалено, значит, хотя бы &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; нечетных компонент содержали исходно непокрытую вершину, значит, &lt;tex&gt;k \; \leq \; def(G)&lt;/tex&gt;. Значит, &lt;tex&gt;def(G) \; = \; k&lt;/tex&gt;. Теорема доказана.<br /> }}<br /> <br /> ==См. также==<br /> <br /> ==Источники информации==<br /> <br /> [https://www.youtube.com/watch?v=1KggxCJZFRg {{---}} Лекция А.С. Станкевича]</div>

Masha http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:Masha&diff=80956 2021-06-06T14:03:38Z

<p>Masha: /* Формула Бержа */</p> <hr /> <div>== Формула Бержа ==<br /> <br /> {{Лемма<br /> |statement= &lt;tex&gt;(n + |S| + odd(G \setminus S)) \; mod \; 2 = 0 \; &lt;/tex&gt;, где &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; - граф с &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt; вершинами, &lt;tex&gt;S \in {V}_{G}&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> Удалим из графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; множество &lt;tex&gt;S&lt;/tex&gt;, получим &lt;tex&gt;t&lt;/tex&gt; компонент связности, содержащих &lt;tex&gt;k_1, k_2 ... k_t&lt;/tex&gt; вершин соответственно.<br /> &lt;tex&gt;|S|\; + \; \sum_{i=1}^{k}k_i \; = \; n \; &lt;/tex&gt;, т. к. в сумме это все вершины исходного графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. <br /> Возьмем данное равенство по модулю два: &lt;tex&gt;(|S|\; mod\; 2 \; + \; \sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2&lt;/tex&gt;<br /> В сумме &lt;tex&gt;\sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)&lt;/tex&gt; число единиц равно числу нечетных компонент &lt;tex&gt;odd(G \setminus S)&lt;/tex&gt;. Таким образом, &lt;tex&gt; \forall S \in V : \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 \; = \; n \; mod \; 2 \;&lt;/tex&gt;.<br /> }}<br /> <br /> <br /> <br /> {{Теорема<br /> |statement= &lt;tex&gt;def G = \max\limits_{S \in V} (odd(G \setminus S) - |S|)&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> &lt;tex&gt; \forall S \in V : \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2&lt;/tex&gt;<br /> <br /> <br /> Рассмотрим несколько случаев:<br /> <br /> <br /> 1) Если &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) \; - \; |S|) \; = 0 \; &lt;/tex&gt;, тогда &lt;tex&gt;\forall \; S \in V: \; odd(G \setminus S) \leq |S| \; &lt;/tex&gt; и выполнен [[Теорема Татта о существовании полного паросочетания|критерий Татта]], значит в графе есть совершенное паросочетание, т.е. его дефицит равен нулю. <br /> <br /> 2) Если &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = k \; &lt;/tex&gt;, тогда рассмотрим исходный граф &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; и полный граф &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; с &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; вершинами, множество вершин нового графа обозначим как &lt;tex&gt;W&lt;/tex&gt;. Каждую вершину вспомогательного графа соединим с каждой вершиной &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. Получим новый граф &lt;tex&gt;H \; = \; K_k + G \;&lt;/tex&gt;, докажем, что для него выполнено условие Татта. Докажем, что &lt;tex&gt;\forall S \in V_{H}: odd(G \setminus S) \; \leq \; |S| \; &lt;/tex&gt;. Рассмотрим &lt;tex&gt;S \; \subset \; V_H\;&lt;/tex&gt;. <br /> <br /> Если &lt;tex&gt;W \not\subset S&lt;/tex&gt;, тогда поскольку граф &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; полный и все его вершины связаны с каждой вершиной графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;, то граф &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt; связный и &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 0 \;&lt;/tex&gt; или &lt;tex&gt;odd(G \setminus S) \; = \; 1 \;&lt;/tex&gt;. В случае &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 0 \; &lt;/tex&gt; условие очевидно выполняется т.к &lt;tex&gt;\forall S \in G : 0 \; \leq \; |S| \;&lt;/tex&gt;. <br /> Рассмотрим случай &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 1 \;&lt;/tex&gt;, &lt;tex&gt;|V_H| \; = \; n \; + \; k \; = \; n \; + \; odd(G \setminus A) \; - \; |A| \; &lt;/tex&gt;, где &lt;tex&gt;A \; = \; arg \max\limits_{S \in V}(odd(H \setminus S) \; - \; |S|) \; &lt;/tex&gt;. Разность &lt;tex&gt;odd(G \setminus A) \; - \; |A| \; &lt;/tex&gt; имеет ту же четность, что и &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt;, поэтому &lt;tex&gt;|V_H|&lt;/tex&gt; четно, значит, по лемме, мощность &lt;tex&gt;S&lt;/tex&gt; нечетна, следовательно она не равна нулю, значит &lt;tex&gt; 1 \leq |S| &lt;/tex&gt;.<br /> <br /> Если &lt;tex&gt;W \subset S \;&lt;/tex&gt;, то &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; odd(G \setminus (S \cap V)) \; \leq \; |S \cap V| \; + \; k \leq |S| \;&lt;/tex&gt; т.к. &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = k \; &lt;/tex&gt;.<br /> <br /> Таким образом, для графа &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt; выполнено условие Татта, следовательно, в нём есть полное паросочетание. Рассмотрим полное паросочетание в графе &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt;, удалим вершины &lt;tex&gt;W&lt;/tex&gt; из графа &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt;. Количество непокрытых вершин после удаления не больше, чем количество удаленных вершин &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt;, значит, &lt;tex&gt;def(G) \; \leq \; k&lt;/tex&gt;. Удалим множество вершин &lt;tex&gt;A \; = \; arg \max\limits_{S \in V}(odd(H \setminus S) \; - \; |S|) &lt;/tex&gt; из графа &lt;tex&gt;G\;&lt;/tex&gt;. Заметим, что после удаление в графе осталось несколько нечетных компонент и образовались новые непокрытые вершины, но при этом осталось на &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; больше нечетных компонент, чем было удалено, значит, хотя бы &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; нечетных компонент содержали исходно непокрытую вершину, значит, &lt;tex&gt;k \; \leq \; def(G)&lt;/tex&gt;. Значит, &lt;tex&gt;def(G) \; = \; k&lt;/tex&gt;. Теорема доказана.<br /> }}<br /> <br /> ==См. также==<br /> <br /> ==Источники информации==<br /> <br /> [https://www.youtube.com/watch?v=1KggxCJZFRg {{---}} Лекция А.С. Станкевича]</div>

Masha http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:Masha&diff=80955 2021-06-06T13:59:33Z

<p>Masha: /* Формула Бержа */</p> <hr /> <div>== Формула Бержа ==<br /> <br /> {{Лемма<br /> |statement= &lt;tex&gt;(n + |S| + odd(G \setminus S)) \; mod \; 2 = 0 \; &lt;/tex&gt;, где &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; - граф с &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt; вершинами, &lt;tex&gt;S \in {V}_{G}&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> Удалим из графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; множество &lt;tex&gt;S&lt;/tex&gt;, получим &lt;tex&gt;t&lt;/tex&gt; компонент связности, содержащих &lt;tex&gt;k_1, k_2 ... k_t&lt;/tex&gt; вершин соответственно.<br /> &lt;tex&gt;|S|\; + \; \sum_{i=1}^{k}k_i \; = \; n \; &lt;/tex&gt;, т. к. в сумме это все вершины исходного графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. <br /> Возьмем данное равенство по модулю два: &lt;tex&gt;(|S|\; mod\; 2 \; + \; \sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2&lt;/tex&gt;<br /> В сумме &lt;tex&gt;\sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)&lt;/tex&gt; число единиц равно числу нечетных компонент &lt;tex&gt;odd(G \setminus S)&lt;/tex&gt;. Таким образом, &lt;tex&gt; \forall S \in V : \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 \; = \; n \; mod \; 2 \;&lt;/tex&gt;.<br /> }}<br /> <br /> <br /> <br /> {{Теорема<br /> |statement= &lt;tex&gt;def G = \max\limits_{S \in V} (odd(G \setminus S) - |S|)&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> &lt;tex&gt; \forall S \in V : \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2&lt;/tex&gt;<br /> <br /> <br /> Рассмотрим несколько случаев:<br /> <br /> <br /> 1) Если &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) \; - \; |S|) \; = 0 \; &lt;/tex&gt;, тогда &lt;tex&gt;\forall \; S \in V: \; odd(G \setminus S) \leq |S| \; &lt;/tex&gt; и выполнен [[Теорема Татта о существовании полного паросочетания|критерий Татта]], значит в графе есть совершенное паросочетание, т.е. его дефицит равен нулю. <br /> <br /> 2) Если &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = k \; &lt;/tex&gt;, тогда рассмотрим исходный граф &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; и полный граф &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; с &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; вершинами, множество вершин нового графа обозначим как &lt;tex&gt;W&lt;/tex&gt;. Каждую вершину вспомогательного графа соединим с каждой вершиной &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. Получим новый граф &lt;tex&gt;H \; = \; K_k + G \;&lt;/tex&gt;, докажем, что для него выполнено условие Татта. Докажем, что &lt;tex&gt;\forall S \in V_{H}: odd(G \setminus S) \; \leq \; |S| \; &lt;/tex&gt;. Рассмотрим &lt;tex&gt;S \; \subset \; V_H\;&lt;/tex&gt;. <br /> <br /> Если &lt;tex&gt;W \not\subset S&lt;/tex&gt;, тогда поскольку граф &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; полный и все его вершины связаны с каждой вершиной графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;, то граф &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt; связный и &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 0 \;&lt;/tex&gt; или &lt;tex&gt;odd(G \setminus S) \; = \; 1 \;&lt;/tex&gt;. В случае &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 0 \; &lt;/tex&gt; условие очевидно выполняется т.к &lt;tex&gt;\forall S \in G : 0 \; \leq \; |S| \;&lt;/tex&gt;. <br /> Рассмотрим случай &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 1 \;&lt;/tex&gt;, &lt;tex&gt;|V_H| \; = \; n \; + \; k \; = \; n \; + \; odd(G \setminus A) \; - \; |A| \; &lt;/tex&gt;, где &lt;tex&gt;A \; = \; arg \max\limits_{S \in V}(odd(H \setminus S) \; - \; |S|) \; &lt;/tex&gt;. Разность &lt;tex&gt;odd(G \setminus A) \; - \; |A| \; &lt;/tex&gt; имеет ту же четность, что и &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt;, поэтому &lt;tex&gt;|V_H|&lt;/tex&gt; четно, значит, по лемме, мощность &lt;tex&gt;S&lt;/tex&gt; нечетна, следовательно она не равна нулю, значит &lt;tex&gt; 1 \leq |S| &lt;/tex&gt;.<br /> <br /> Если &lt;tex&gt;W \subset S \;&lt;/tex&gt;, то &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; odd(G \setminus (S \cap V)) \; \leq \; |S \cap V| \; + \; k \leq |S| \;&lt;/tex&gt;.<br /> <br /> Таким образом, для графа &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt; выполнено условие Татта, следовательно, в нём есть полное паросочетание. Рассмотрим полное паросочетание в графе &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt;, удалим вершины &lt;tex&gt;W&lt;/tex&gt; из графа &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt;. Количество непокрытых вершин после удаления не больше, чем количество удаленных вершин &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt;, значит, &lt;tex&gt;def(G) \; \leq \; k&lt;/tex&gt;. Удалим множество вершин &lt;tex&gt;A \; = \; arg \max\limits_{S \in V}(odd(H \setminus S) \; - \; |S|) &lt;/tex&gt; из графа &lt;tex&gt;G\;&lt;/tex&gt;. Заметим, что после удаление в графе осталось несколько нечетных компонент и образовались новые непокрытые вершины, но при этом осталось на &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; больше нечетных компонент, чем было удалено, значит, хотя бы &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; нечетных компонент содержали исходно непокрытую вершину, значит, &lt;tex&gt;k \; \leq \; def(G)&lt;/tex&gt;. Значит, &lt;tex&gt;def(G) \; = \; k&lt;/tex&gt;. Теорема доказана.<br /> }}<br /> <br /> ==См. также==<br /> <br /> ==Источники информации==<br /> <br /> [https://www.youtube.com/watch?v=1KggxCJZFRg {{---}} Лекция А.С. Станкевича]</div>

Masha http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:Masha&diff=80954 2021-06-06T13:59:07Z

<p>Masha: /* Формула Бержа */</p> <hr /> <div>== Формула Бержа ==<br /> <br /> {{Лемма<br /> |statement= &lt;tex&gt;(n + |S| + odd(G \setminus S)) \; mod \; 2 = 0 \; &lt;/tex&gt;, где &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; - граф с &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt; вершинами, &lt;tex&gt;S \in {V}_{G}&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> Удалим из графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; множество &lt;tex&gt;S&lt;/tex&gt;, получим &lt;tex&gt;t&lt;/tex&gt; компонент связности, содержащих &lt;tex&gt;k_1, k_2 ... k_t&lt;/tex&gt; вершин соответственно.<br /> &lt;tex&gt;|S|\; + \; \sum_{i=1}^{k}k_i \; = \; n \; &lt;/tex&gt;, т. к. в сумме это все вершины исходного графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. <br /> Возьмем данное равенство по модулю два: &lt;tex&gt;(|S|\; mod\; 2 \; + \; \sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2&lt;/tex&gt;<br /> В сумме &lt;tex&gt;\sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)&lt;/tex&gt; число единиц равно числу нечетных компонент &lt;tex&gt;odd(G \setminus S)&lt;/tex&gt;. Таким образом, &lt;tex&gt; \forall S \in V : \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 \; = \; n \; mod \; 2 \;&lt;/tex&gt;.<br /> }}<br /> <br /> <br /> <br /> {{Теорема<br /> |statement= &lt;tex&gt;def G = \max\limits_{S \in V} (odd(G \setminus S) - |S|)&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> &lt;tex&gt; \forall S \in V : \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2&lt;/tex&gt;<br /> <br /> <br /> Рассмотрим несколько случаев:<br /> <br /> <br /> 1) Если &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) \; - \; |S|) \; = 0 \; &lt;/tex&gt;, тогда &lt;tex&gt;\forall \; S \in V: \; odd(G \setminus S) \leq |S| \; &lt;/tex&gt; и выполнен [[Теорема Татта о существовании полного паросочетания|критерий Татта]], значит в графе есть совершенное паросочетание, т.е. его дефицит равен нулю. <br /> <br /> 2) Если &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = k \; &lt;/tex&gt;, тогда рассмотрим исходный граф &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; и полный граф &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; с &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; вершинами, множество вершин нового графа обозначим как &lt;tex&gt;W&lt;/tex&gt;. Каждую вершину вспомогательного графа соединим с каждой вершиной &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. Получим новый граф &lt;tex&gt;H \; = \; K_k + G \;&lt;/tex&gt;, докажем, что для него выполнено условие Татта. Докажем, что &lt;tex&gt;\forall S \in V_{H}: odd(G \setminus S) \; \leq \; |S| \; &lt;/tex&gt;. Рассмотрим &lt;tex&gt;S \; \subset \; V_H\;&lt;/tex&gt;. <br /> <br /> Если &lt;tex&gt;W \not\subset S&lt;/tex&gt;, тогда поскольку граф &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; полный и все его вершины связаны с каждой вершиной графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;, то граф &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt; связный и &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 0 \;&lt;/tex&gt; или &lt;tex&gt;odd(G \setminus S) \; = \; 1 \;&lt;/tex&gt;. В случае &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 0 \; &lt;/tex&gt; условие очевидно выполняется т.к &lt;tex&gt;\forall S \in G : 0 \; \leq \; |S| \;&lt;/tex&gt;. <br /> Рассмотрим случай &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 1 \;&lt;/tex&gt;, &lt;tex&gt;|V_H| \; = \; n \; + \; k \; = \; n \; + \; odd(G \setminus A) \; - \; |A| \; &lt;/tex&gt;, где &lt;tex&gt;A \; = \; arg \max\limits_{S \in V}(odd(H \setminus S) \; - \; |S|) \; &lt;/tex&gt;. Разность &lt;tex&gt;odd(G \setminus A) \; - \; |A| \; &lt;/tex&gt; имеет ту же четность, что и &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt;, поэтому &lt;tex&gt;|V_H|&lt;/tex&gt; четно, значит, по лемме, мощность &lt;tex&gt;S&lt;/tex&gt; нечетна, следовательно, она не равна нулю, значит &lt;tex&gt; 1 \leq |S| &lt;/tex&gt;.<br /> <br /> Если &lt;tex&gt;W \subset S \;&lt;/tex&gt;, то &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; odd(G \setminus (S \cap V)) \; \leq \; |S \cap V| \; + \; k \leq |S| \;&lt;/tex&gt;.<br /> <br /> Таким образом, для графа &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt; выполнено условие Татта, следовательно, в нём есть полное паросочетание. Рассмотрим полное паросочетание в графе &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt;, удалим вершины &lt;tex&gt;W&lt;/tex&gt; из графа &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt;. Количество непокрытых вершин после удаления не больше, чем количество удаленных вершин &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt;, значит, &lt;tex&gt;def(G) \; \leq \; k&lt;/tex&gt;. Удалим множество вершин &lt;tex&gt;A \; = \; arg \max\limits_{S \in V}(odd(H \setminus S) \; - \; |S|) &lt;/tex&gt; из графа &lt;tex&gt;G\;&lt;/tex&gt;. Заметим, что после удаление в графе осталось несколько нечетных компонент и образовались новые непокрытые вершины, но при этом осталось на &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; больше нечетных компонент, чем было удалено, значит, хотя бы &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; нечетных компонент содержали исходно непокрытую вершину, значит, &lt;tex&gt;k \; \leq \; def(G)&lt;/tex&gt;. Значит, &lt;tex&gt;def(G) \; = \; k&lt;/tex&gt;. Теорема доказана.<br /> }}<br /> <br /> ==См. также==<br /> <br /> ==Источники информации==<br /> <br /> [https://www.youtube.com/watch?v=1KggxCJZFRg {{---}} Лекция А.С. Станкевича]</div>

Masha http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:Masha&diff=80953 2021-06-06T13:57:35Z

<p>Masha: /* Формула Бержа */</p> <hr /> <div>== Формула Бержа ==<br /> <br /> {{Лемма<br /> |statement= &lt;tex&gt;(n + |S| + odd(G \setminus S)) \; mod \; 2 = 0 \; &lt;/tex&gt;, где &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; - граф с &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt; вершинами, &lt;tex&gt;S \in {V}_{G}&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> Удалим из графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; множество &lt;tex&gt;S&lt;/tex&gt;, получим &lt;tex&gt;t&lt;/tex&gt; компонент связности, содержащих &lt;tex&gt;k_1, k_2 ... k_t&lt;/tex&gt; вершин соответственно.<br /> &lt;tex&gt;|S|\; + \; \sum_{i=1}^{k}k_i \; = \; n \; &lt;/tex&gt;, т. к. в сумме это все вершины исходного графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. <br /> Возьмем данное равенство по модулю два: &lt;tex&gt;(|S|\; mod\; 2 \; + \; \sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2&lt;/tex&gt;<br /> В сумме &lt;tex&gt;\sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)&lt;/tex&gt; число единиц равно числу нечетных компонент &lt;tex&gt;odd(G \setminus S)&lt;/tex&gt;. Таким образом, &lt;tex&gt; \forall S \in V : \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 \; = \; n \; mod \; 2 \;&lt;/tex&gt;.<br /> }}<br /> <br /> <br /> <br /> {{Теорема<br /> |statement= &lt;tex&gt;def G = \max\limits_{S \in V} (odd(G \setminus S) - |S|)&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> &lt;tex&gt; \forall S \in V : \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2&lt;/tex&gt;<br /> <br /> <br /> Рассмотрим несколько случаев:<br /> <br /> <br /> 1) Если &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) \; - \; |S|) \; = 0 \; &lt;/tex&gt;, тогда &lt;tex&gt;\forall \; S \in V: \; odd(G \setminus S) \leq |S| \; &lt;/tex&gt; и выполнен [[Теорема Татта о существовании полного паросочетания|критерий Татта]], значит в графе есть совершенное паросочетание, т.е. его дефицит равен нулю. <br /> <br /> 2) Если &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = k \; &lt;/tex&gt;, тогда рассмотрим исходный граф &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; и полный граф &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; с &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; вершинами, множество вершин нового графа обозначим как &lt;tex&gt;W&lt;/tex&gt;. Каждую вершину вспомогательного графа соединим с каждой вершиной &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. Получим новый граф &lt;tex&gt;H \; = \; K_k + G \;&lt;/tex&gt;, докажем, что для него выполнено условие Татта. Докажем, что &lt;tex&gt;\forall S \in V_{H}: odd(G \setminus S) \; \leq \; |S| \; &lt;/tex&gt;. Рассмотрим &lt;tex&gt;S \; \subset \; V_H\;&lt;/tex&gt;. <br /> <br /> Если &lt;tex&gt;W \not\subset S&lt;/tex&gt;, тогда поскольку граф &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; полный и все его вершины связаны с каждой вершиной графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;, то граф &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt; связный и &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 0 \;&lt;/tex&gt; или &lt;tex&gt;odd(G \setminus S) \; = \; 1 \;&lt;/tex&gt;. В случае &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 0 \; &lt;/tex&gt; условие очевидно выполняется т.к &lt;tex&gt;\forall S \in G : 0 \; \leq \; |S| \;&lt;/tex&gt;. <br /> Рассмотрим случай &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 1 \;&lt;/tex&gt;, &lt;tex&gt;|V_H| \; = \; n \; + \; k \; = \; n \; + \; odd(G \setminus A) - |A|&lt;/tex&gt;, где &lt;tex&gt;A = arg \max\limits_{S \in V}(odd(H \setminus S) - |S|) &lt;/tex&gt;. Разность &lt;tex&gt;odd(G \setminus A) - |A|&lt;/tex&gt; имеет ту же четность, что и &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt;, поэтому &lt;tex&gt;|V_H|&lt;/tex&gt; четно, значит, по лемме, мощность &lt;tex&gt;S&lt;/tex&gt; нечетна, следовательно, она не равна нулю, значит &lt;tex&gt; 1 \leq |S| &lt;/tex&gt;.<br /> <br /> Если &lt;tex&gt;W \subset S \;&lt;/tex&gt;, то &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; odd(G \setminus (S \cap V)) \; \leq \; |S \cap V| \; + \; k \leq |S| \;&lt;/tex&gt;.<br /> <br /> Таким образом, для графа &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt; выполнено условие Татта, следовательно, в нём есть полное паросочетание. Рассмотрим полное паросочетание в графе &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt;, удалим вершины &lt;tex&gt;W&lt;/tex&gt; из графа &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt;. Количество непокрытых вершин после удаления не больше, чем количество удаленных вершин &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt;, значит, &lt;tex&gt;def(G) \; \leq \; k&lt;/tex&gt;. Удалим множество вершин &lt;tex&gt;A \; = \; arg \max\limits_{S \in V}(odd(H \setminus S) \; - \; |S|) &lt;/tex&gt; из графа &lt;tex&gt;G\;&lt;/tex&gt;. Заметим, что после удаление в графе осталось несколько нечетных компонент и образовались новые непокрытые вершины, но при этом осталось на &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; больше нечетных компонент, чем было удалено, значит, хотя бы &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; нечетных компонент содержали исходно непокрытую вершину, значит, &lt;tex&gt;k \; \leq \; def(G)&lt;/tex&gt;. Значит, &lt;tex&gt;def(G) \; = \; k&lt;/tex&gt;. Теорема доказана.<br /> }}<br /> <br /> ==См. также==<br /> <br /> ==Источники информации==<br /> <br /> [https://www.youtube.com/watch?v=1KggxCJZFRg {{---}} Лекция А.С. Станкевича]</div>

Masha http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:Masha&diff=80952 2021-06-06T13:57:00Z

<p>Masha: /* Формула Бержа */</p> <hr /> <div>== Формула Бержа ==<br /> <br /> {{Лемма<br /> |statement= &lt;tex&gt;(n + |S| + odd(G \setminus S)) \; mod \; 2 = 0 \; &lt;/tex&gt;, где &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; - граф с &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt; вершинами, &lt;tex&gt;S \in {V}_{G}&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> Удалим из графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; множество &lt;tex&gt;S&lt;/tex&gt;, получим &lt;tex&gt;t&lt;/tex&gt; компонент связности, содержащих &lt;tex&gt;k_1, k_2 ... k_t&lt;/tex&gt; вершин соответственно.<br /> &lt;tex&gt;|S|\; + \; \sum_{i=1}^{k}k_i \; = \; n \; &lt;/tex&gt;, т. к. в сумме это все вершины исходного графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. <br /> Возьмем данное равенство по модулю два: &lt;tex&gt;(|S|\; mod\; 2 \; + \; \sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2&lt;/tex&gt;<br /> В сумме &lt;tex&gt;\sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)&lt;/tex&gt; число единиц равно числу нечетных компонент &lt;tex&gt;odd(G \setminus S)&lt;/tex&gt;. Таким образом, &lt;tex&gt; \forall S \in V : \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 \; = \; n \; mod \; 2 \;&lt;/tex&gt;.<br /> }}<br /> <br /> <br /> <br /> {{Теорема<br /> |statement= &lt;tex&gt;def G = \max\limits_{S \in V} (odd(G \setminus S) - |S|)&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> &lt;tex&gt; \forall S \in V : \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2&lt;/tex&gt;<br /> <br /> <br /> Рассмотрим несколько случаев:<br /> <br /> <br /> 1) Если &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) \; - \; |S|) \; = 0 \; &lt;/tex&gt;, тогда &lt;tex&gt;\forall \; S \in V: \; odd(G \setminus S) \leq |S| \; &lt;/tex&gt; и выполнен [[Теорема Татта о существовании полного паросочетания|критерий Татта]], значит в графе есть совершенное паросочетание, т.е. его дефицит равен нулю. <br /> <br /> 2) Если &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = k \; &lt;/tex&gt;, тогда рассмотрим исходный граф &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; и полный граф &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; с &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; вершинами, множество вершин нового графа обозначим как &lt;tex&gt;W&lt;/tex&gt;. Каждую вершину вспомогательного графа соединим с каждой вершиной &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. Получим новый граф &lt;tex&gt;H \; = \; K_k + G \;&lt;/tex&gt;, докажем, что для него выполнено условие Татта. Докажем, что &lt;tex&gt;\forall S \in V_{H}: odd(G \setminus S) \; \leq \; |S| \; &lt;/tex&gt;. Рассмотрим &lt;tex&gt;S \; \subset \; V_H\;&lt;/tex&gt;. <br /> <br /> Если &lt;tex&gt;W \not\subset S&lt;/tex&gt;, тогда поскольку граф &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; полный и все его вершины связаны с каждой вершиной графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;, то граф &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt; связный и &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 0 \;&lt;/tex&gt; или &lt;tex&gt;odd(G \setminus S) \; = \; 1 \;&lt;/tex&gt;. В случае &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 0&lt;/tex&gt; условие очевидно выполняется т.к &lt;tex&gt;\forall S \in G : 0 \; \leq \; |S|&lt;/tex&gt;. <br /> Рассмотрим случай &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 1 \;&lt;/tex&gt;, &lt;tex&gt;|V_H| \; = \; n \; + \; k \; = \; n \; + \; odd(G \setminus A) - |A|&lt;/tex&gt;, где &lt;tex&gt;A = arg \max\limits_{S \in V}(odd(H \setminus S) - |S|) &lt;/tex&gt;. Разность &lt;tex&gt;odd(G \setminus A) - |A|&lt;/tex&gt; имеет ту же четность, что и &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt;, поэтому &lt;tex&gt;|V_H|&lt;/tex&gt; четно, значит, по лемме, мощность &lt;tex&gt;S&lt;/tex&gt; нечетна, следовательно, она не равна нулю, значит &lt;tex&gt; 1 \leq |S| &lt;/tex&gt;.<br /> <br /> Если &lt;tex&gt;W \subset S \;&lt;/tex&gt;, то &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; odd(G \setminus (S \cap V)) \; \leq \; |S \cap V| \; + \; k \leq |S| \;&lt;/tex&gt;.<br /> <br /> Таким образом, для графа &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt; выполнено условие Татта, следовательно, в нём есть полное паросочетание. Рассмотрим полное паросочетание в графе &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt;, удалим вершины &lt;tex&gt;W&lt;/tex&gt; из графа &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt;. Количество непокрытых вершин после удаления не больше, чем количество удаленных вершин &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt;, значит, &lt;tex&gt;def(G) \; \leq \; k&lt;/tex&gt;. Удалим множество вершин &lt;tex&gt;A \; = \; arg \max\limits_{S \in V}(odd(H \setminus S) \; - \; |S|) &lt;/tex&gt; из графа &lt;tex&gt;G\;&lt;/tex&gt;. Заметим, что после удаление в графе осталось несколько нечетных компонент и образовались новые непокрытые вершины, но при этом осталось на &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; больше нечетных компонент, чем было удалено, значит, хотя бы &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; нечетных компонент содержали исходно непокрытую вершину, значит, &lt;tex&gt;k \; \leq \; def(G)&lt;/tex&gt;. Значит, &lt;tex&gt;def(G) \; = \; k&lt;/tex&gt;. Теорема доказана.<br /> }}<br /> <br /> ==См. также==<br /> <br /> ==Источники информации==<br /> <br /> [https://www.youtube.com/watch?v=1KggxCJZFRg {{---}} Лекция А.С. Станкевича]</div>

Masha http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:Masha&diff=80951 2021-06-06T13:54:51Z

<p>Masha: /* Формула Бержа */</p> <hr /> <div>== Формула Бержа ==<br /> <br /> {{Лемма<br /> |statement= &lt;tex&gt;(n + |S| + odd(G \setminus S)) \; mod \; 2 = 0 \; &lt;/tex&gt;, где &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; - граф с &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt; вершинами, &lt;tex&gt;S \in {V}_{G}&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> Удалим из графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; множество &lt;tex&gt;S&lt;/tex&gt;, получим &lt;tex&gt;t&lt;/tex&gt; компонент связности, содержащих &lt;tex&gt;k_1, k_2 ... k_t&lt;/tex&gt; вершин соответственно.<br /> &lt;tex&gt;|S|\; + \; \sum_{i=1}^{k}k_i \; = \; n \; &lt;/tex&gt;, т. к. в сумме это все вершины исходного графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. <br /> Возьмем данное равенство по модулю два: &lt;tex&gt;(|S|\; mod\; 2 \; + \; \sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2&lt;/tex&gt;<br /> В сумме &lt;tex&gt;\sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)&lt;/tex&gt; число единиц равно числу нечетных компонент &lt;tex&gt;odd(G \setminus S)&lt;/tex&gt;. Таким образом, &lt;tex&gt; \forall S \in V : \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 \; = \; n \; mod \; 2 \;&lt;/tex&gt;.<br /> }}<br /> <br /> <br /> <br /> {{Теорема<br /> |statement= &lt;tex&gt;def G = \max\limits_{S \in V} (odd(G \setminus S) - |S|)&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> &lt;tex&gt; \forall S \in V : \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2&lt;/tex&gt;<br /> <br /> <br /> Рассмотрим несколько случаев:<br /> <br /> <br /> 1) Если &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) \; - \; |S|) \; = 0 \; &lt;/tex&gt;, тогда &lt;tex&gt;\forall \; S \in V: \; odd(G \setminus S) \leq |S| \; &lt;/tex&gt; и выполнен [[Теорема Татта о существовании полного паросочетания|критерий Татта]], значит в графе есть совершенное паросочетание, т.е. его дефицит равен нулю. <br /> <br /> 2) Если &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = k \; &lt;/tex&gt;, тогда рассмотрим исходный граф &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; и полный граф &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; с &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; вершинами, множество вершин нового графа обозначим как &lt;tex&gt;W&lt;/tex&gt;. Каждую вершину вспомогательного графа соединим с каждой вершиной &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. Получим новый граф &lt;tex&gt;H \; = \; K_k + G \;&lt;/tex&gt;, докажем, что для него выполнено условие Татта. Докажем, что &lt;tex&gt;\forall S \in V_{H}: odd(G \setminus S) \; \leq \; |S| \; &lt;/tex&gt;. Рассмотрим &lt;tex&gt;S \; \subset \; V_H\;&lt;/tex&gt;. <br /> <br /> Если &lt;tex&gt;W \not\subset S&lt;/tex&gt;, тогда посколько граф &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; полный и все его вершины связаны с каждой вершиной графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;, то граф &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt; связный и &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 0 \;&lt;/tex&gt; или &lt;tex&gt;odd(G \setminus S) \; = \; 1 \;&lt;/tex&gt;. В случае &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 0&lt;/tex&gt; условие очевидно выполняется т.к &lt;tex&gt;\forall S \in G : 0 \; \leq \; |S|&lt;/tex&gt;. <br /> Рассмотрим случай &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 1 \;&lt;/tex&gt;, &lt;tex&gt;|V_H| \; = \; n \; + \; k \; = \; n \; + \; odd(G \setminus A) - |A|&lt;/tex&gt;, где &lt;tex&gt;A = arg \max\limits_{S \in V}(odd(H \setminus S) - |S|) &lt;/tex&gt;. Разность &lt;tex&gt;odd(G \setminus A) - |A|&lt;/tex&gt; имеет ту же четность, что и &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt;, поэтому &lt;tex&gt;|V_H|&lt;/tex&gt; четно, значит, по лемме, мощность &lt;tex&gt;S&lt;/tex&gt; нечетна, следовательно, она не равна нулю, значит &lt;tex&gt; 1 \leq |S| &lt;/tex&gt;.<br /> <br /> Если &lt;tex&gt;W \subset S \;&lt;/tex&gt;, то &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; odd(G \setminus (S \cap V)) \; \leq \; |S \cap V| \; + \; k \leq |S| \;&lt;/tex&gt;.<br /> <br /> Таким образом, для графа &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt; выполнено условие Татта, следовательно, в нём есть полное паросочетание. Рассмотрим полное паросочетание в графе &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt;, удалим вершины &lt;tex&gt;W&lt;/tex&gt; из графа &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt;. Количество непокрытых вершин после удаления не больше, чем количество удаленных вершин &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt;, значит, &lt;tex&gt;def(G) \; \leq \; k&lt;/tex&gt;. Удалим множество вершин &lt;tex&gt;A \; = \; arg \max\limits_{S \in V}(odd(H \setminus S) \; - \; |S|) &lt;/tex&gt; из графа &lt;tex&gt;G\;&lt;/tex&gt;. Заметим, что после удаление в графе осталось несколько нечетных компонент и образовались новые непокрытые вершины, но при этом осталось на &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; больше нечетных компонент, чем было удалено, значит, хотя бы &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; нечетных компонент содержали исходно непокрытую вершину, значит, &lt;tex&gt;k \; \leq \; def(G)&lt;/tex&gt;. Значит, &lt;tex&gt;def(G) \; = \; k&lt;/tex&gt;. Теорема доказана.<br /> }}<br /> <br /> ==См. также==<br /> <br /> ==Источники информации==<br /> <br /> [https://www.youtube.com/watch?v=1KggxCJZFRg {{---}} Лекция А.С. Станкевича]</div>

Masha http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:Masha&diff=80950 2021-06-06T13:53:27Z

<p>Masha: /* Формула Бержа */</p> <hr /> <div>== Формула Бержа ==<br /> <br /> {{Лемма<br /> |statement= &lt;tex&gt;(n + |S| + odd(G \setminus S)) \; mod \; 2 = 0 \; &lt;/tex&gt;, где &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; - граф с &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt; вершинами, &lt;tex&gt;S \in {V}_{G}&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> Удалим из графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; множество &lt;tex&gt;S&lt;/tex&gt;, получим &lt;tex&gt;t&lt;/tex&gt; компонент связности, содержащих &lt;tex&gt;k_1, k_2 ... k_t&lt;/tex&gt; вершин соответственно.<br /> &lt;tex&gt;|S|\; + \; \sum_{i=1}^{k}k_i \; = \; n \; &lt;/tex&gt;, т. к. в сумме это все вершины исходного графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. <br /> Возьмем данное равенство по модулю два: &lt;tex&gt;(|S|\; mod\; 2 \; + \; \sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2&lt;/tex&gt;<br /> В сумме &lt;tex&gt;\sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)&lt;/tex&gt; число единиц равно числу нечетных компонент &lt;tex&gt;odd(G \setminus S)&lt;/tex&gt;. Таким образом, &lt;tex&gt; \forall S \in V : \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 \; = \; n \; mod \; 2 \;&lt;/tex&gt;.<br /> }}<br /> <br /> <br /> <br /> {{Теорема<br /> |statement= &lt;tex&gt;def G = \max\limits_{S \in V} (odd(G \setminus S) - |S|)&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> &lt;tex&gt; \forall S \in V : \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2&lt;/tex&gt;<br /> <br /> <br /> Рассмотрим несколько случаев:<br /> <br /> <br /> 1) Если &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) \; - \; |S|) \; = 0 \; &lt;/tex&gt;, тогда &lt;tex&gt;\forall \; S \in V: \; odd(G \setminus S) \leq |S| \; &lt;/tex&gt; и выполнен [[Теорема Татта о существовании полного паросочетания|критерий Татта]], значит в графе есть совершенное паросочетание, т.е. его дефицит равен нулю. <br /> <br /> 2) Если &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = k &lt;/tex&gt;, тогда рассмотрим исходный граф &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; и полный граф &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; с &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; вершинами, множество вершин нового графа обозначим как &lt;tex&gt;W&lt;/tex&gt;. Каждую вершину вспомогательного графа соединим с каждой вершиной &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. Получим новый граф &lt;tex&gt;H \; = \; K_k + G&lt;/tex&gt;, докажем, что для него выполнено условие Татта. Докажем, что &lt;tex&gt;\forall S \in V_{H}: odd(G \setminus S) \; \leq \; |S| \; &lt;/tex&gt;. Рассмотрим &lt;tex&gt;S \; \subset \; V_H\;&lt;/tex&gt;. <br /> <br /> Если &lt;tex&gt;W \not\subset S&lt;/tex&gt;, тогда посколько граф &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; полный и все его вершины связаны с каждой вершиной графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;, то граф &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt; связный и &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 0 \;&lt;/tex&gt; или &lt;tex&gt;odd(G \setminus S) \; = \; 1 \;&lt;/tex&gt;. В случае &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 0&lt;/tex&gt; условие очевидно выполняется т.к &lt;tex&gt;\forall S \in G : 0 \; \leq \; |S|&lt;/tex&gt;. <br /> Рассмотрим случай &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 1 \;&lt;/tex&gt;, &lt;tex&gt;|V_H| \; = \; n \; + \; k \; = \; n \; + \; odd(G \setminus A) - |A|&lt;/tex&gt;, где &lt;tex&gt;A = arg \max\limits_{S \in V}(odd(H \setminus S) - |S|) &lt;/tex&gt;. Разность &lt;tex&gt;odd(G \setminus A) - |A|&lt;/tex&gt; имеет ту же четность, что и &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt;, поэтому &lt;tex&gt;|V_H|&lt;/tex&gt; четно, значит, по лемме, мощность &lt;tex&gt;S&lt;/tex&gt; нечетна, следовательно, она не равна нулю, значит &lt;tex&gt; 1 \leq |S| &lt;/tex&gt;.<br /> <br /> Если &lt;tex&gt;W \subset S \;&lt;/tex&gt;, то &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; odd(G \setminus (S \cap V)) \; \leq \; |S \cap V| \; + \; k \leq |S| \;&lt;/tex&gt;.<br /> <br /> Таким образом, для графа &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt; выполнено условие Татта, следовательно, в нём есть полное паросочетание. Рассмотрим полное паросочетание в графе &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt;, удалим вершины &lt;tex&gt;W&lt;/tex&gt; из графа &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt;. Количество непокрытых вершин после удаления не больше, чем количество удаленных вершин &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt;, значит, &lt;tex&gt;def(G) \; \leq \; k&lt;/tex&gt;. Удалим множество вершин &lt;tex&gt;A \; = \; arg \max\limits_{S \in V}(odd(H \setminus S) \; - \; |S|) &lt;/tex&gt; из графа &lt;tex&gt;G\;&lt;/tex&gt;. Заметим, что после удаление в графе осталось несколько нечетных компонент и образовались новые непокрытые вершины, но при этом осталось на &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; больше нечетных компонент, чем было удалено, значит, хотя бы &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; нечетных компонент содержали исходно непокрытую вершину, значит, &lt;tex&gt;k \; \leq \; def(G)&lt;/tex&gt;. Значит, &lt;tex&gt;def(G) \; = \; k&lt;/tex&gt;. Теорема доказана.<br /> }}<br /> <br /> ==См. также==<br /> <br /> ==Источники информации==<br /> <br /> [https://www.youtube.com/watch?v=1KggxCJZFRg {{---}} Лекция А.С. Станкевича]</div>

Masha http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:Masha&diff=80949 2021-06-06T13:52:23Z

<p>Masha: /* Формула Бержа */</p> <hr /> <div>== Формула Бержа ==<br /> <br /> {{Лемма<br /> |statement= &lt;tex&gt;(n + |S| + odd(G \setminus S)) \; mod \; 2 = 0 \; &lt;/tex&gt;, где &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; - граф с &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt; вершинами, &lt;tex&gt;S \in {V}_{G}&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> Удалим из графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; множество &lt;tex&gt;S&lt;/tex&gt;, получим &lt;tex&gt;t&lt;/tex&gt; компонент связности, содержащих &lt;tex&gt;k_1, k_2 ... k_t&lt;/tex&gt; вершин соответственно.<br /> &lt;tex&gt;|S|\; + \; \sum_{i=1}^{k}k_i \; = \; n \; &lt;/tex&gt;, т. к. в сумме это все вершины исходного графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. <br /> Возьмем данное равенство по модулю два: &lt;tex&gt;(|S|\; mod\; 2 \; + \; \sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2&lt;/tex&gt;<br /> В сумме &lt;tex&gt;\sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)&lt;/tex&gt; число единиц равно числу нечетных компонент &lt;tex&gt;odd(G \setminus S)&lt;/tex&gt;. Таким образом, &lt;tex&gt; \forall S \in V : \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 \; = \; n \; mod \; 2 \;&lt;/tex&gt;.<br /> }}<br /> <br /> <br /> <br /> {{Теорема<br /> |statement= &lt;tex&gt;def G = \max\limits_{S \in V} (odd(G \setminus S) - |S|)&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> &lt;tex&gt; \forall S \in V : \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2&lt;/tex&gt;<br /> <br /> <br /> Рассмотрим несколько случаев:<br /> <br /> <br /> 1) Если &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) \; - \; |S|) \; = 0 \; &lt;/tex&gt;, тогда &lt;tex&gt;\forall \; S \in V: \; odd(G \setminus S) \leq |S| \; &lt;/tex&gt; и выполнен [[Теорема Татта о существовании полного паросочетания|критерий Татта]], значит, в графе есть совершенное паросочетание, т.е. его дефицит равен нулю. <br /> <br /> 2) Если &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = k &lt;/tex&gt;, тогда рассмотрим исходный граф &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; и полный граф &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; с &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; вершинами, множество вершин нового графа обозначим как &lt;tex&gt;W&lt;/tex&gt;. Каждую вершину вспомогательного графа соединим с каждой вершиной &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. Получим новый граф &lt;tex&gt;H \; = \; K_k + G&lt;/tex&gt;, докажем, что для него выполнено условие Татта. Докажем, что &lt;tex&gt;\forall S \in V_{H}: odd(G \setminus S) \; \leq \; |S| \; &lt;/tex&gt;. Рассмотрим &lt;tex&gt;S \; \subset \; V_H\;&lt;/tex&gt;. <br /> <br /> Если &lt;tex&gt;W \not\subset S&lt;/tex&gt;, тогда посколько граф &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; полный и все его вершины связаны с каждой вершиной графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;, то граф &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt; связный и &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 0 \;&lt;/tex&gt; или &lt;tex&gt;odd(G \setminus S) \; = \; 1 \;&lt;/tex&gt;. В случае &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 0&lt;/tex&gt; условие очевидно выполняется т.к &lt;tex&gt;\forall S \in G : 0 \; \leq \; |S|&lt;/tex&gt;. <br /> Рассмотрим случай &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 1 \;&lt;/tex&gt;, &lt;tex&gt;|V_H| \; = \; n \; + \; k \; = \; n \; + \; odd(G \setminus A) - |A|&lt;/tex&gt;, где &lt;tex&gt;A = arg \max\limits_{S \in V}(odd(H \setminus S) - |S|) &lt;/tex&gt;. Разность &lt;tex&gt;odd(G \setminus A) - |A|&lt;/tex&gt; имеет ту же четность, что и &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt;, поэтому &lt;tex&gt;|V_H|&lt;/tex&gt; четно, значит, по лемме, мощность &lt;tex&gt;S&lt;/tex&gt; нечетна, следовательно, она не равна нулю, значит &lt;tex&gt; 1 \leq |S| &lt;/tex&gt;.<br /> <br /> Если &lt;tex&gt;W \subset S \;&lt;/tex&gt;, то &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; odd(G \setminus (S \cap V)) \; \leq \; |S \cap V| \; + \; k \leq |S| \;&lt;/tex&gt;.<br /> <br /> Таким образом, для графа &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt; выполнено условие Татта, следовательно, в нём есть полное паросочетание. Рассмотрим полное паросочетание в графе &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt;, удалим вершины &lt;tex&gt;W&lt;/tex&gt; из графа &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt;. Количество непокрытых вершин после удаления не больше, чем количество удаленных вершин &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt;, значит, &lt;tex&gt;def(G) \; \leq \; k&lt;/tex&gt;. Удалим множество вершин &lt;tex&gt;A \; = \; arg \max\limits_{S \in V}(odd(H \setminus S) \; - \; |S|) &lt;/tex&gt; из графа &lt;tex&gt;G\;&lt;/tex&gt;. Заметим, что после удаление в графе осталось несколько нечетных компонент и образовались новые непокрытые вершины, но при этом осталось на &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; больше нечетных компонент, чем было удалено, значит, хотя бы &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; нечетных компонент содержали исходно непокрытую вершину, значит, &lt;tex&gt;k \; \leq \; def(G)&lt;/tex&gt;. Значит, &lt;tex&gt;def(G) \; = \; k&lt;/tex&gt;. Теорема доказана.<br /> }}<br /> <br /> ==См. также==<br /> <br /> ==Источники информации==<br /> <br /> [https://www.youtube.com/watch?v=1KggxCJZFRg {{---}} Лекция А.С. Станкевича]</div>

Masha http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:Masha&diff=80948 2021-06-06T13:51:14Z

<p>Masha: /* Формула Бержа */</p> <hr /> <div>== Формула Бержа ==<br /> <br /> {{Лемма<br /> |statement= &lt;tex&gt;(n + |S| + odd(G \setminus S)) \; mod \; 2 = 0 \; &lt;/tex&gt;, где &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; - граф с &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt; вершинами, &lt;tex&gt;S \in {V}_{G}&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> Удалим из графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; множество &lt;tex&gt;S&lt;/tex&gt;, получим &lt;tex&gt;t&lt;/tex&gt; компонент связности, содержащих &lt;tex&gt;k_1, k_2 ... k_t&lt;/tex&gt; вершин соответственно.<br /> &lt;tex&gt;|S|\; + \; \sum_{i=1}^{k}k_i \; = \; n \; &lt;/tex&gt;, т. к. в сумме это все вершины исходного графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. <br /> Возьмем данное равенство по модулю два: &lt;tex&gt;(|S|\; mod\; 2 \; + \; \sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2&lt;/tex&gt;<br /> В сумме &lt;tex&gt;\sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)&lt;/tex&gt; число единиц равно числу нечетных компонент &lt;tex&gt;odd(G \setminus S)&lt;/tex&gt;. Таким образом, &lt;tex&gt; \forall S \in V : \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 \; = \; n \; mod \; 2 \;&lt;/tex&gt;.<br /> }}<br /> <br /> <br /> <br /> {{Теорема<br /> |statement= &lt;tex&gt;def G = \max\limits_{S \in V} (odd(G \setminus S) - |S|)&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> &lt;tex&gt; \forall S \in V : \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2&lt;/tex&gt;<br /> <br /> <br /> Рассмотрим несколько случаев:<br /> <br /> <br /> 1) Если &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) \; - \; |S|) \; = 0 \; &lt;/tex&gt;, тогда &lt;tex&gt;\forall \; S \in \; V: \; odd(G \setminus S) \leq |S| \; &lt;/tex&gt; и выполнен [[Теорема Татта о существовании полного паросочетания|критерий Татта]], значит, в графе есть совершенное паросочетание, т.е. его дефицит равен нулю. <br /> <br /> 2) Если &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = k &lt;/tex&gt;, тогда рассмотрим исходный граф &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; и полный граф &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; с &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; вершинами, множество вершин нового графа обозначим как &lt;tex&gt;W&lt;/tex&gt;. Каждую вершину вспомогательного графа соединим с каждой вершиной &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. Получим новый граф &lt;tex&gt;H \; = \; K_k + G&lt;/tex&gt;, докажем, что для него выполнено условие Татта. Докажем, что &lt;tex&gt;\forall S \in V_{H}: odd(G \setminus S) \; \leq \; |S| \; &lt;/tex&gt;. Рассмотрим &lt;tex&gt;S \; \subset \; V_H\;&lt;/tex&gt;. <br /> <br /> Если &lt;tex&gt;W \not\subset S&lt;/tex&gt;, тогда посколько граф &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; полный и все его вершины связаны с каждой вершиной графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;, то граф &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt; связный и &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 0 \;&lt;/tex&gt; или &lt;tex&gt;odd(G \setminus S) \; = \; 1 \;&lt;/tex&gt;. В случае &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 0&lt;/tex&gt; условие очевидно выполняется т.к &lt;tex&gt;\forall S \in G : 0 \; \leq \; |S|&lt;/tex&gt;. <br /> Рассмотрим случай &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 1 \;&lt;/tex&gt;, &lt;tex&gt;|V_H| \; = \; n \; + \; k \; = \; n \; + \; odd(G \setminus A) - |A|&lt;/tex&gt;, где &lt;tex&gt;A = arg \max\limits_{S \in V}(odd(H \setminus S) - |S|) &lt;/tex&gt;. Разность &lt;tex&gt;odd(G \setminus A) - |A|&lt;/tex&gt; имеет ту же четность, что и &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt;, поэтому &lt;tex&gt;|V_H|&lt;/tex&gt; четно, значит, по лемме, мощность &lt;tex&gt;S&lt;/tex&gt; нечетна, следовательно, она не равна нулю, значит &lt;tex&gt; 1 \leq |S| &lt;/tex&gt;.<br /> <br /> Если &lt;tex&gt;W \subset S \;&lt;/tex&gt;, то &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; odd(G \setminus (S \cap V)) \; \leq \; |S \cap V| \; + \; k \leq |S| \;&lt;/tex&gt;.<br /> <br /> Таким образом, для графа &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt; выполнено условие Татта, следовательно, в нём есть полное паросочетание. Рассмотрим полное паросочетание в графе &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt;, удалим вершины &lt;tex&gt;W&lt;/tex&gt; из графа &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt;. Количество непокрытых вершин после удаления не больше, чем количество удаленных вершин &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt;, значит, &lt;tex&gt;def(G) \; \leq \; k&lt;/tex&gt;. Удалим множество вершин &lt;tex&gt;A \; = \; arg \max\limits_{S \in V}(odd(H \setminus S) \; - \; |S|) &lt;/tex&gt; из графа &lt;tex&gt;G\;&lt;/tex&gt;. Заметим, что после удаление в графе осталось несколько нечетных компонент и образовались новые непокрытые вершины, но при этом осталось на &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; больше нечетных компонент, чем было удалено, значит, хотя бы &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; нечетных компонент содержали исходно непокрытую вершину, значит, &lt;tex&gt;k \; \leq \; def(G)&lt;/tex&gt;. Значит, &lt;tex&gt;def(G) \; = \; k&lt;/tex&gt;. Теорема доказана.<br /> }}<br /> <br /> ==См. также==<br /> <br /> ==Источники информации==<br /> <br /> [https://www.youtube.com/watch?v=1KggxCJZFRg {{---}} Лекция А.С. Станкевича]</div>

Masha http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:Masha&diff=80947 2021-06-06T13:50:52Z

<p>Masha: /* Формула Бержа */</p> <hr /> <div>== Формула Бержа ==<br /> <br /> {{Лемма<br /> |statement= &lt;tex&gt;(n + |S| + odd(G \setminus S)) \; mod \; 2 = 0 \; &lt;/tex&gt;, где &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; - граф с &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt; вершинами, &lt;tex&gt;S \in {V}_{G}&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> Удалим из графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; множество &lt;tex&gt;S&lt;/tex&gt;, получим &lt;tex&gt;t&lt;/tex&gt; компонент связности, содержащих &lt;tex&gt;k_1, k_2 ... k_t&lt;/tex&gt; вершин соответственно.<br /> &lt;tex&gt;|S|\; + \; \sum_{i=1}^{k}k_i \; = \; n \; &lt;/tex&gt;, т. к. в сумме это все вершины исходного графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. <br /> Возьмем данное равенство по модулю два: &lt;tex&gt;(|S|\; mod\; 2 \; + \; \sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2&lt;/tex&gt;<br /> В сумме &lt;tex&gt;\sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)&lt;/tex&gt; число единиц равно числу нечетных компонент &lt;tex&gt;odd(G \setminus S)&lt;/tex&gt;. Таким образом, &lt;tex&gt; \forall S \in V : \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 \; = \; n \; mod \; 2 \;&lt;/tex&gt;.<br /> }}<br /> <br /> <br /> <br /> {{Теорема<br /> |statement= &lt;tex&gt;def G = \max\limits_{S \in V} (odd(G \setminus S) - |S|)&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> &lt;tex&gt; \forall S \in V \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2&lt;/tex&gt;<br /> <br /> <br /> Рассмотрим несколько случаев:<br /> <br /> <br /> 1) Если &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) \; - \; |S|) \; = 0 \; &lt;/tex&gt;, тогда &lt;tex&gt;\forall \; S \in \; V: \; odd(G \setminus S) \leq |S| \; &lt;/tex&gt; и выполнен [[Теорема Татта о существовании полного паросочетания|критерий Татта]], значит, в графе есть совершенное паросочетание, т.е. его дефицит равен нулю. <br /> <br /> 2) Если &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = k &lt;/tex&gt;, тогда рассмотрим исходный граф &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; и полный граф &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; с &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; вершинами, множество вершин нового графа обозначим как &lt;tex&gt;W&lt;/tex&gt;. Каждую вершину вспомогательного графа соединим с каждой вершиной &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. Получим новый граф &lt;tex&gt;H \; = \; K_k + G&lt;/tex&gt;, докажем, что для него выполнено условие Татта. Докажем, что &lt;tex&gt;\forall S \in V_{H}: odd(G \setminus S) \; \leq \; |S| \; &lt;/tex&gt;. Рассмотрим &lt;tex&gt;S \; \subset \; V_H\;&lt;/tex&gt;. <br /> <br /> Если &lt;tex&gt;W \not\subset S&lt;/tex&gt;, тогда посколько граф &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; полный и все его вершины связаны с каждой вершиной графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;, то граф &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt; связный и &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 0 \;&lt;/tex&gt; или &lt;tex&gt;odd(G \setminus S) \; = \; 1 \;&lt;/tex&gt;. В случае &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 0&lt;/tex&gt; условие очевидно выполняется т.к &lt;tex&gt;\forall S \in G : 0 \; \leq \; |S|&lt;/tex&gt;. <br /> Рассмотрим случай &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 1 \;&lt;/tex&gt;, &lt;tex&gt;|V_H| \; = \; n \; + \; k \; = \; n \; + \; odd(G \setminus A) - |A|&lt;/tex&gt;, где &lt;tex&gt;A = arg \max\limits_{S \in V}(odd(H \setminus S) - |S|) &lt;/tex&gt;. Разность &lt;tex&gt;odd(G \setminus A) - |A|&lt;/tex&gt; имеет ту же четность, что и &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt;, поэтому &lt;tex&gt;|V_H|&lt;/tex&gt; четно, значит, по лемме, мощность &lt;tex&gt;S&lt;/tex&gt; нечетна, следовательно, она не равна нулю, значит &lt;tex&gt; 1 \leq |S| &lt;/tex&gt;.<br /> <br /> Если &lt;tex&gt;W \subset S \;&lt;/tex&gt;, то &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; odd(G \setminus (S \cap V)) \; \leq \; |S \cap V| \; + \; k \leq |S| \;&lt;/tex&gt;.<br /> <br /> Таким образом, для графа &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt; выполнено условие Татта, следовательно, в нём есть полное паросочетание. Рассмотрим полное паросочетание в графе &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt;, удалим вершины &lt;tex&gt;W&lt;/tex&gt; из графа &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt;. Количество непокрытых вершин после удаления не больше, чем количество удаленных вершин &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt;, значит, &lt;tex&gt;def(G) \; \leq \; k&lt;/tex&gt;. Удалим множество вершин &lt;tex&gt;A \; = \; arg \max\limits_{S \in V}(odd(H \setminus S) \; - \; |S|) &lt;/tex&gt; из графа &lt;tex&gt;G\;&lt;/tex&gt;. Заметим, что после удаление в графе осталось несколько нечетных компонент и образовались новые непокрытые вершины, но при этом осталось на &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; больше нечетных компонент, чем было удалено, значит, хотя бы &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; нечетных компонент содержали исходно непокрытую вершину, значит, &lt;tex&gt;k \; \leq \; def(G)&lt;/tex&gt;. Значит, &lt;tex&gt;def(G) \; = \; k&lt;/tex&gt;. Теорема доказана.<br /> }}<br /> <br /> ==См. также==<br /> <br /> ==Источники информации==<br /> <br /> [https://www.youtube.com/watch?v=1KggxCJZFRg {{---}} Лекция А.С. Станкевича]</div>

Masha http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:Masha&diff=80946 2021-06-06T13:50:35Z

<p>Masha: /* Формула Бержа */</p> <hr /> <div>== Формула Бержа ==<br /> <br /> {{Лемма<br /> |statement= &lt;tex&gt;(n + |S| + odd(G \setminus S)) \; mod \; 2 = 0 \; &lt;/tex&gt;, где &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; - граф с &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt; вершинами, &lt;tex&gt;S \in {V}_{G}&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> Удалим из графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; множество &lt;tex&gt;S&lt;/tex&gt;, получим &lt;tex&gt;t&lt;/tex&gt; компонент связности, содержащих &lt;tex&gt;k_1, k_2 ... k_t&lt;/tex&gt; вершин соответственно.<br /> &lt;tex&gt;|S|\; + \; \sum_{i=1}^{k}k_i \; = \; n \; &lt;/tex&gt;, т. к. в сумме это все вершины исходного графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. <br /> Возьмем данное равенство по модулю два: &lt;tex&gt;(|S|\; mod\; 2 \; + \; \sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2&lt;/tex&gt;<br /> В сумме &lt;tex&gt;\sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)&lt;/tex&gt; число единиц равно числу нечетных компонент &lt;tex&gt;odd(G \setminus S)&lt;/tex&gt;. Таким образом, &lt;tex&gt; \forall S \in V : \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 \; = \; n \; mod \; 2 \; &lt;/tex&gt;.<br /> }}<br /> <br /> <br /> <br /> {{Теорема<br /> |statement= &lt;tex&gt;def G = \max\limits_{S \in V} (odd(G \setminus S) - |S|)&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> &lt;tex&gt; \forall S \in V \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2&lt;/tex&gt;<br /> <br /> <br /> Рассмотрим несколько случаев:<br /> <br /> <br /> 1) Если &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) \; - \; |S|) \; = 0 \; &lt;/tex&gt;, тогда &lt;tex&gt;\forall \; S \in \; V: \; odd(G \setminus S) \leq |S| \; &lt;/tex&gt; и выполнен [[Теорема Татта о существовании полного паросочетания|критерий Татта]], значит, в графе есть совершенное паросочетание, т.е. его дефицит равен нулю. <br /> <br /> 2) Если &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = k &lt;/tex&gt;, тогда рассмотрим исходный граф &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; и полный граф &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; с &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; вершинами, множество вершин нового графа обозначим как &lt;tex&gt;W&lt;/tex&gt;. Каждую вершину вспомогательного графа соединим с каждой вершиной &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. Получим новый граф &lt;tex&gt;H \; = \; K_k + G&lt;/tex&gt;, докажем, что для него выполнено условие Татта. Докажем, что &lt;tex&gt;\forall S \in V_{H}: odd(G \setminus S) \; \leq \; |S| \; &lt;/tex&gt;. Рассмотрим &lt;tex&gt;S \; \subset \; V_H\;&lt;/tex&gt;. <br /> <br /> Если &lt;tex&gt;W \not\subset S&lt;/tex&gt;, тогда посколько граф &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; полный и все его вершины связаны с каждой вершиной графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;, то граф &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt; связный и &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 0 \;&lt;/tex&gt; или &lt;tex&gt;odd(G \setminus S) \; = \; 1 \;&lt;/tex&gt;. В случае &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 0&lt;/tex&gt; условие очевидно выполняется т.к &lt;tex&gt;\forall S \in G : 0 \; \leq \; |S|&lt;/tex&gt;. <br /> Рассмотрим случай &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 1 \;&lt;/tex&gt;, &lt;tex&gt;|V_H| \; = \; n \; + \; k \; = \; n \; + \; odd(G \setminus A) - |A|&lt;/tex&gt;, где &lt;tex&gt;A = arg \max\limits_{S \in V}(odd(H \setminus S) - |S|) &lt;/tex&gt;. Разность &lt;tex&gt;odd(G \setminus A) - |A|&lt;/tex&gt; имеет ту же четность, что и &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt;, поэтому &lt;tex&gt;|V_H|&lt;/tex&gt; четно, значит, по лемме, мощность &lt;tex&gt;S&lt;/tex&gt; нечетна, следовательно, она не равна нулю, значит &lt;tex&gt; 1 \leq |S| &lt;/tex&gt;.<br /> <br /> Если &lt;tex&gt;W \subset S \;&lt;/tex&gt;, то &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; odd(G \setminus (S \cap V)) \; \leq \; |S \cap V| \; + \; k \leq |S| \;&lt;/tex&gt;.<br /> <br /> Таким образом, для графа &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt; выполнено условие Татта, следовательно, в нём есть полное паросочетание. Рассмотрим полное паросочетание в графе &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt;, удалим вершины &lt;tex&gt;W&lt;/tex&gt; из графа &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt;. Количество непокрытых вершин после удаления не больше, чем количество удаленных вершин &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt;, значит, &lt;tex&gt;def(G) \; \leq \; k&lt;/tex&gt;. Удалим множество вершин &lt;tex&gt;A \; = \; arg \max\limits_{S \in V}(odd(H \setminus S) \; - \; |S|) &lt;/tex&gt; из графа &lt;tex&gt;G\;&lt;/tex&gt;. Заметим, что после удаление в графе осталось несколько нечетных компонент и образовались новые непокрытые вершины, но при этом осталось на &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; больше нечетных компонент, чем было удалено, значит, хотя бы &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; нечетных компонент содержали исходно непокрытую вершину, значит, &lt;tex&gt;k \; \leq \; def(G)&lt;/tex&gt;. Значит, &lt;tex&gt;def(G) \; = \; k&lt;/tex&gt;. Теорема доказана.<br /> }}<br /> <br /> ==См. также==<br /> <br /> ==Источники информации==<br /> <br /> [https://www.youtube.com/watch?v=1KggxCJZFRg {{---}} Лекция А.С. Станкевича]</div>

Masha http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:Masha&diff=80945 2021-06-06T13:50:04Z

<p>Masha: /* Формула Бержа */</p> <hr /> <div>== Формула Бержа ==<br /> <br /> {{Лемма<br /> |statement= &lt;tex&gt;(n + |S| + odd(G \setminus S)) \; mod \; 2 = 0&lt;/tex&gt;, где &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; - граф с &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt; вершинами, &lt;tex&gt;S \in {V}_{G}&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> Удалим из графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; множество &lt;tex&gt;S&lt;/tex&gt;, получим &lt;tex&gt;t&lt;/tex&gt; компонент связности, содержащих &lt;tex&gt;k_1, k_2 ... k_t&lt;/tex&gt; вершин соответственно.<br /> &lt;tex&gt;|S|\; + \; \sum_{i=1}^{k}k_i \; = \; n \; &lt;/tex&gt;, т. к. в сумме это все вершины исходного графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. <br /> Возьмем данное равенство по модулю два: &lt;tex&gt;(|S|\; mod\; 2 \; + \; \sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2&lt;/tex&gt;<br /> В сумме &lt;tex&gt;\sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)&lt;/tex&gt; число единиц равно числу нечетных компонент &lt;tex&gt;odd(G \setminus S)&lt;/tex&gt;. Таким образом, &lt;tex&gt; \forall S \in V : \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 \; = \; n \; mod \; 2 \; &lt;/tex&gt;.<br /> }}<br /> <br /> <br /> <br /> {{Теорема<br /> |statement= &lt;tex&gt;def G = \max\limits_{S \in V} (odd(G \setminus S) - |S|)&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> &lt;tex&gt; \forall S \in V \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2&lt;/tex&gt;<br /> <br /> <br /> Рассмотрим несколько случаев:<br /> <br /> <br /> 1) Если &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) \; - \; |S|) \; = 0 \; &lt;/tex&gt;, тогда &lt;tex&gt;\forall \; S \in \; V: \; odd(G \setminus S) \leq |S| \; &lt;/tex&gt; и выполнен [[Теорема Татта о существовании полного паросочетания|критерий Татта]], значит, в графе есть совершенное паросочетание, т.е. его дефицит равен нулю. <br /> <br /> 2) Если &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = k &lt;/tex&gt;, тогда рассмотрим исходный граф &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; и полный граф &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; с &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; вершинами, множество вершин нового графа обозначим как &lt;tex&gt;W&lt;/tex&gt;. Каждую вершину вспомогательного графа соединим с каждой вершиной &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. Получим новый граф &lt;tex&gt;H \; = \; K_k + G&lt;/tex&gt;, докажем, что для него выполнено условие Татта. Докажем, что &lt;tex&gt;\forall S \in V_{H}: odd(G \setminus S) \; \leq \; |S| \; &lt;/tex&gt;. Рассмотрим &lt;tex&gt;S \; \subset \; V_H\;&lt;/tex&gt;. <br /> <br /> Если &lt;tex&gt;W \not\subset S&lt;/tex&gt;, тогда посколько граф &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; полный и все его вершины связаны с каждой вершиной графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;, то граф &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt; связный и &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 0 \;&lt;/tex&gt; или &lt;tex&gt;odd(G \setminus S) \; = \; 1 \;&lt;/tex&gt;. В случае &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 0&lt;/tex&gt; условие очевидно выполняется т.к &lt;tex&gt;\forall S \in G : 0 \; \leq \; |S|&lt;/tex&gt;. <br /> Рассмотрим случай &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 1 \;&lt;/tex&gt;, &lt;tex&gt;|V_H| \; = \; n \; + \; k \; = \; n \; + \; odd(G \setminus A) - |A|&lt;/tex&gt;, где &lt;tex&gt;A = arg \max\limits_{S \in V}(odd(H \setminus S) - |S|) &lt;/tex&gt;. Разность &lt;tex&gt;odd(G \setminus A) - |A|&lt;/tex&gt; имеет ту же четность, что и &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt;, поэтому &lt;tex&gt;|V_H|&lt;/tex&gt; четно, значит, по лемме, мощность &lt;tex&gt;S&lt;/tex&gt; нечетна, следовательно, она не равна нулю, значит &lt;tex&gt; 1 \leq |S| &lt;/tex&gt;.<br /> <br /> Если &lt;tex&gt;W \subset S \;&lt;/tex&gt;, то &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; odd(G \setminus (S \cap V)) \; \leq \; |S \cap V| \; + \; k \leq |S| \;&lt;/tex&gt;.<br /> <br /> Таким образом, для графа &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt; выполнено условие Татта, следовательно, в нём есть полное паросочетание. Рассмотрим полное паросочетание в графе &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt;, удалим вершины &lt;tex&gt;W&lt;/tex&gt; из графа &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt;. Количество непокрытых вершин после удаления не больше, чем количество удаленных вершин &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt;, значит, &lt;tex&gt;def(G) \; \leq \; k&lt;/tex&gt;. Удалим множество вершин &lt;tex&gt;A \; = \; arg \max\limits_{S \in V}(odd(H \setminus S) \; - \; |S|) &lt;/tex&gt; из графа &lt;tex&gt;G\;&lt;/tex&gt;. Заметим, что после удаление в графе осталось несколько нечетных компонент и образовались новые непокрытые вершины, но при этом осталось на &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; больше нечетных компонент, чем было удалено, значит, хотя бы &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; нечетных компонент содержали исходно непокрытую вершину, значит, &lt;tex&gt;k \; \leq \; def(G)&lt;/tex&gt;. Значит, &lt;tex&gt;def(G) \; = \; k&lt;/tex&gt;. Теорема доказана.<br /> }}<br /> <br /> ==См. также==<br /> <br /> ==Источники информации==<br /> <br /> [https://www.youtube.com/watch?v=1KggxCJZFRg {{---}} Лекция А.С. Станкевича]</div>

Masha http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:Masha&diff=80944 2021-06-06T13:49:14Z

<p>Masha: /* Формула Бержа */</p> <hr /> <div>== Формула Бержа ==<br /> <br /> {{Лемма<br /> |statement= &lt;tex&gt;(n + |S| + odd(G \setminus S)) \; mod \; 2 = 0&lt;/tex&gt;, где &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; - граф с &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt; вершинами, &lt;tex&gt;S \in {V}_{G}&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> Удалим из графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; множество &lt;tex&gt;S&lt;/tex&gt;, получим &lt;tex&gt;t&lt;/tex&gt; компонент связности, содержащих &lt;tex&gt;k_1, k_2 ... k_t&lt;/tex&gt; вершин соответственно.<br /> &lt;tex&gt;|S|\; + \; \sum_{i=1}^{k}k_i \; = \; n \; &lt;/tex&gt;, т. к. в сумме это все вершины исходного графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. <br /> Возьмем данное равенство по модулю два: &lt;tex&gt;(|S|\; mod\; 2 \; + \; \sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2&lt;/tex&gt;<br /> В сумме &lt;tex&gt;\sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)&lt;/tex&gt; число единиц равно числу нечетных компонент &lt;tex&gt;odd(G \setminus S)&lt;/tex&gt;. Таким образом, &lt;tex&gt; \forall S \in V \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 \; = \; n \; mod \; 2 \; &lt;/tex&gt;.<br /> }}<br /> <br /> <br /> <br /> {{Теорема<br /> |statement= &lt;tex&gt;def G = \max\limits_{S \in V} (odd(G \setminus S) - |S|)&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> &lt;tex&gt; \forall S \in V \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2&lt;/tex&gt;<br /> <br /> <br /> Рассмотрим несколько случаев:<br /> <br /> <br /> 1) Если &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) \; - \; |S|) \; = 0 \; &lt;/tex&gt;, тогда &lt;tex&gt;\forall \; S \in \; V: \; odd(G \setminus S) \leq |S| \; &lt;/tex&gt; и выполнен [[Теорема Татта о существовании полного паросочетания|критерий Татта]], значит, в графе есть совершенное паросочетание, т.е. его дефицит равен нулю. <br /> <br /> 2) Если &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = k &lt;/tex&gt;, тогда рассмотрим исходный граф &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; и полный граф &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; с &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; вершинами, множество вершин нового графа обозначим как &lt;tex&gt;W&lt;/tex&gt;. Каждую вершину вспомогательного графа соединим с каждой вершиной &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. Получим новый граф &lt;tex&gt;H \; = \; K_k + G&lt;/tex&gt;, докажем, что для него выполнено условие Татта. Докажем, что &lt;tex&gt;\forall S \in V_{H}: odd(G \setminus S) \; \leq \; |S| \; &lt;/tex&gt;. Рассмотрим &lt;tex&gt;S \; \subset \; V_H\;&lt;/tex&gt;. <br /> <br /> Если &lt;tex&gt;W \not\subset S&lt;/tex&gt;, тогда посколько граф &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; полный и все его вершины связаны с каждой вершиной графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;, то граф &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt; связный и &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 0 \;&lt;/tex&gt; или &lt;tex&gt;odd(G \setminus S) \; = \; 1 \;&lt;/tex&gt;. В случае &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 0&lt;/tex&gt; условие очевидно выполняется т.к &lt;tex&gt;\forall S \in G : 0 \; \leq \; |S|&lt;/tex&gt;. <br /> Рассмотрим случай &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 1 \;&lt;/tex&gt;, &lt;tex&gt;|V_H| \; = \; n \; + \; k \; = \; n \; + \; odd(G \setminus A) - |A|&lt;/tex&gt;, где &lt;tex&gt;A = arg \max\limits_{S \in V}(odd(H \setminus S) - |S|) &lt;/tex&gt;. Разность &lt;tex&gt;odd(G \setminus A) - |A|&lt;/tex&gt; имеет ту же четность, что и &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt;, поэтому &lt;tex&gt;|V_H|&lt;/tex&gt; четно, значит, по лемме, мощность &lt;tex&gt;S&lt;/tex&gt; нечетна, следовательно, она не равна нулю, значит &lt;tex&gt; 1 \leq |S| &lt;/tex&gt;.<br /> <br /> Если &lt;tex&gt;W \subset S \;&lt;/tex&gt;, то &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; odd(G \setminus (S \cap V)) \; \leq \; |S \cap V| \; + \; k \leq |S| \;&lt;/tex&gt;.<br /> <br /> Таким образом, для графа &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt; выполнено условие Татта, следовательно, в нём есть полное паросочетание. Рассмотрим полное паросочетание в графе &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt;, удалим вершины &lt;tex&gt;W&lt;/tex&gt; из графа &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt;. Количество непокрытых вершин после удаления не больше, чем количество удаленных вершин &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt;, значит, &lt;tex&gt;def(G) \; \leq \; k&lt;/tex&gt;. Удалим множество вершин &lt;tex&gt;A \; = \; arg \max\limits_{S \in V}(odd(H \setminus S) \; - \; |S|) &lt;/tex&gt; из графа &lt;tex&gt;G\;&lt;/tex&gt;. Заметим, что после удаление в графе осталось несколько нечетных компонент и образовались новые непокрытые вершины, но при этом осталось на &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; больше нечетных компонент, чем было удалено, значит, хотя бы &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; нечетных компонент содержали исходно непокрытую вершину, значит, &lt;tex&gt;k \; \leq \; def(G)&lt;/tex&gt;. Значит, &lt;tex&gt;def(G) \; = \; k&lt;/tex&gt;. Теорема доказана.<br /> }}<br /> <br /> ==См. также==<br /> <br /> ==Источники информации==<br /> <br /> [https://www.youtube.com/watch?v=1KggxCJZFRg {{---}} Лекция А.С. Станкевича]</div>

Masha http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:Masha&diff=80943 2021-06-06T13:48:05Z

<p>Masha: /* Формула Бержа */</p> <hr /> <div>== Формула Бержа ==<br /> <br /> {{Лемма<br /> |statement= &lt;tex&gt;(n + |S| + odd(G \setminus S)) \; mod \; 2 = 0&lt;/tex&gt;, где &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; - граф с &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt; вершинами, &lt;tex&gt;S \in {V}_{G}&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> Удалим из графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; множество &lt;tex&gt;S&lt;/tex&gt;, получим &lt;tex&gt;t&lt;/tex&gt; компонент связности, содержащих &lt;tex&gt;k_1, k_2 ... k_t&lt;/tex&gt; вершин соответственно.<br /> &lt;tex&gt;|S|\; + \; \sum_{i=1}^{k}k_i = n&lt;/tex&gt; т. к в сумме это все вершины исходного графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. <br /> Возьмем данное равенство по модулю два: &lt;tex&gt;(|S|\; mod\; 2 \; + \; \sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2&lt;/tex&gt;<br /> В сумме &lt;tex&gt;\sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)&lt;/tex&gt; число единиц равно числу нечетных компонент &lt;tex&gt;odd(G \setminus S)&lt;/tex&gt;. Таким образом, &lt;tex&gt; \forall S \in V \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2 &lt;/tex&gt;.<br /> }}<br /> <br /> <br /> <br /> {{Теорема<br /> |statement= &lt;tex&gt;def G = \max\limits_{S \in V} (odd(G \setminus S) - |S|)&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> &lt;tex&gt; \forall S \in V \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2&lt;/tex&gt;<br /> <br /> <br /> Рассмотрим несколько случаев:<br /> <br /> <br /> 1) Если &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) \; - \; |S|) \; = 0 \; &lt;/tex&gt;, тогда &lt;tex&gt;\forall \; S \in \; V: \; odd(G \setminus S) \leq |S| \; &lt;/tex&gt; и выполнен [[Теорема Татта о существовании полного паросочетания|критерий Татта]], значит, в графе есть совершенное паросочетание, т.е. его дефицит равен нулю. <br /> <br /> 2) Если &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = k &lt;/tex&gt;, тогда рассмотрим исходный граф &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; и полный граф &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; с &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; вершинами, множество вершин нового графа обозначим как &lt;tex&gt;W&lt;/tex&gt;. Каждую вершину вспомогательного графа соединим с каждой вершиной &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. Получим новый граф &lt;tex&gt;H \; = \; K_k + G&lt;/tex&gt;, докажем, что для него выполнено условие Татта. Докажем, что &lt;tex&gt;\forall S \in V_{H}: odd(G \setminus S) \; \leq \; |S| \; &lt;/tex&gt;. Рассмотрим &lt;tex&gt;S \; \subset \; V_H\;&lt;/tex&gt;. <br /> <br /> Если &lt;tex&gt;W \not\subset S&lt;/tex&gt;, тогда посколько граф &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; полный и все его вершины связаны с каждой вершиной графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;, то граф &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt; связный и &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 0 \;&lt;/tex&gt; или &lt;tex&gt;odd(G \setminus S) \; = \; 1 \;&lt;/tex&gt;. В случае &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 0&lt;/tex&gt; условие очевидно выполняется т.к &lt;tex&gt;\forall S \in G : 0 \; \leq \; |S|&lt;/tex&gt;. <br /> Рассмотрим случай &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 1 \;&lt;/tex&gt;, &lt;tex&gt;|V_H| \; = \; n \; + \; k \; = \; n \; + \; odd(G \setminus A) - |A|&lt;/tex&gt;, где &lt;tex&gt;A = arg \max\limits_{S \in V}(odd(H \setminus S) - |S|) &lt;/tex&gt;. Разность &lt;tex&gt;odd(G \setminus A) - |A|&lt;/tex&gt; имеет ту же четность, что и &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt;, поэтому &lt;tex&gt;|V_H|&lt;/tex&gt; четно, значит, по лемме, мощность &lt;tex&gt;S&lt;/tex&gt; нечетна, следовательно, она не равна нулю, значит &lt;tex&gt; 1 \leq |S| &lt;/tex&gt;.<br /> <br /> Если &lt;tex&gt;W \subset S \;&lt;/tex&gt;, то &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; odd(G \setminus (S \cap V)) \; \leq \; |S \cap V| \; + \; k \leq |S| \;&lt;/tex&gt;.<br /> <br /> Таким образом, для графа &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt; выполнено условие Татта, следовательно, в нём есть полное паросочетание. Рассмотрим полное паросочетание в графе &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt;, удалим вершины &lt;tex&gt;W&lt;/tex&gt; из графа &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt;. Количество непокрытых вершин после удаления не больше, чем количество удаленных вершин &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt;, значит, &lt;tex&gt;def(G) \; \leq \; k&lt;/tex&gt;. Удалим множество вершин &lt;tex&gt;A \; = \; arg \max\limits_{S \in V}(odd(H \setminus S) \; - \; |S|) &lt;/tex&gt; из графа &lt;tex&gt;G\;&lt;/tex&gt;. Заметим, что после удаление в графе осталось несколько нечетных компонент и образовались новые непокрытые вершины, но при этом осталось на &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; больше нечетных компонент, чем было удалено, значит, хотя бы &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; нечетных компонент содержали исходно непокрытую вершину, значит, &lt;tex&gt;k \; \leq \; def(G)&lt;/tex&gt;. Значит, &lt;tex&gt;def(G) \; = \; k&lt;/tex&gt;. Теорема доказана.<br /> }}<br /> <br /> ==См. также==<br /> <br /> ==Источники информации==<br /> <br /> [https://www.youtube.com/watch?v=1KggxCJZFRg {{---}} Лекция А.С. Станкевича]</div>

Masha http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:Masha&diff=80942 2021-06-06T13:46:13Z

<p>Masha: /* Формула Бержа */</p> <hr /> <div>== Формула Бержа ==<br /> <br /> {{Лемма<br /> |statement= &lt;tex&gt;(n + |S| + odd(G \setminus S)) \; mod \; 2 = 0&lt;/tex&gt;, где &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; - граф с &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt; вершинами, &lt;tex&gt;S \in {V}_{G}&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> Удалим из графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; множество &lt;tex&gt;S&lt;/tex&gt;, получим &lt;tex&gt;t&lt;/tex&gt; компонент связности, содержащих &lt;tex&gt;k_1, k_2 ... k_t&lt;/tex&gt; вершин соответсвенно.<br /> &lt;tex&gt;|S|\; + \; \sum_{i=1}^{k}k_i = n&lt;/tex&gt; т. к в сумме это все вершины исходного графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. <br /> Возьмем данное равенство по модулю два: &lt;tex&gt;(|S|\; mod\; 2 \; + \; \sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2&lt;/tex&gt;<br /> В сумме &lt;tex&gt;\sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)&lt;/tex&gt; число единиц равно числу нечетных компонент &lt;tex&gt;odd(G \setminus S)&lt;/tex&gt;. Таким образом, &lt;tex&gt; \forall S \in V \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2 &lt;/tex&gt;.<br /> }}<br /> <br /> <br /> <br /> {{Теорема<br /> |statement= &lt;tex&gt;def G = \max\limits_{S \in V} (odd(G \setminus S) - |S|)&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> &lt;tex&gt; \forall S \in V \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2&lt;/tex&gt;<br /> <br /> <br /> Рассмотрим несколько случаев:<br /> <br /> <br /> 1) Если &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) \; - \; |S|) \; = 0 \; &lt;/tex&gt;, тогда &lt;tex&gt;\forall \; S \in \; V: \; odd(G \setminus S) \leq |S| \; &lt;/tex&gt; и выполнен [[Теорема Татта о существовании полного паросочетания|критерий Татта]], значит, в графе есть совершенное паросочетание, т.е. его дефицит равен нулю. <br /> <br /> 2) Если &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = k &lt;/tex&gt;, тогда рассмотрим исходный граф &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; и полный граф &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; с &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; вершинами, множество вершин нового графа обозначим как &lt;tex&gt;W&lt;/tex&gt;. Каждую вершину вспомогательного графа соединим с каждой вершиной &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. Получим новый граф &lt;tex&gt;H \; = \; K_k + G&lt;/tex&gt;, докажем, что для него выполнено условие Татта. Докажем, что &lt;tex&gt;\forall S \in V_{H}: odd(G \setminus S) \; \leq \; |S| \; &lt;/tex&gt;. Рассмотрим &lt;tex&gt;S \; \subset \; V_H\;&lt;/tex&gt;. <br /> <br /> Если &lt;tex&gt;W \not\subset S&lt;/tex&gt;, тогда посколько граф &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; полный и все его вершины связаны с каждой вершиной графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;, то граф &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt; связный и &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 0 \;&lt;/tex&gt; или &lt;tex&gt;odd(G \setminus S) \; = \; 1 \;&lt;/tex&gt;. В случае &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 0&lt;/tex&gt; условие очевидно выполняется т.к &lt;tex&gt;\forall S \in G : 0 \; \leq \; |S|&lt;/tex&gt;. <br /> Рассмотрим случай &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 1 \;&lt;/tex&gt;, &lt;tex&gt;|V_H| \; = \; n \; + \; k \; = \; n \; + \; odd(G \setminus A) - |A|&lt;/tex&gt;, где &lt;tex&gt;A = arg \max\limits_{S \in V}(odd(H \setminus S) - |S|) &lt;/tex&gt;. Разность &lt;tex&gt;odd(G \setminus A) - |A|&lt;/tex&gt; имеет ту же четность, что и &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt;, поэтому &lt;tex&gt;|V_H|&lt;/tex&gt; четно, значит, по лемме, мощность &lt;tex&gt;S&lt;/tex&gt; нечетна, следовательно, она не равна нулю, значит &lt;tex&gt; 1 \leq |S| &lt;/tex&gt;.<br /> <br /> Если &lt;tex&gt;W \subset S \;&lt;/tex&gt;, то &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; odd(G \setminus (S \cap V)) \; \leq \; |S \cap V| \; + \; k \leq |S| \;&lt;/tex&gt;.<br /> <br /> Таким образом, для графа &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt; выполнено условие Татта, следовательно, в нём есть полное паросочетание. Рассмотрим полное паросочетание в графе &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt;, удалим вершины &lt;tex&gt;W&lt;/tex&gt; из графа &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt;. Количество непокрытых вершин после удаления не больше, чем количество удаленных вершин &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt;, значит, &lt;tex&gt;def(G) \; \leq \; k&lt;/tex&gt;. Удалим множество вершин &lt;tex&gt;A \; = \; arg \max\limits_{S \in V}(odd(H \setminus S) \; - \; |S|) &lt;/tex&gt; из графа &lt;tex&gt;G\;&lt;/tex&gt;. Заметим, что после удаление в графе осталось несколько нечетных компонент и образовались новые непокрытые вершины, но при этом осталось на &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; больше нечетных компонент, чем было удалено, значит, хотя бы &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; нечетных компонент содержали исходно непокрытую вершину, значит, &lt;tex&gt;k \; \leq \; def(G)&lt;/tex&gt;. Значит, &lt;tex&gt;def(G) \; = \; k&lt;/tex&gt;. Теорема доказана.<br /> }}<br /> <br /> ==См. также==<br /> <br /> ==Источники информации==<br /> <br /> [https://www.youtube.com/watch?v=1KggxCJZFRg {{---}} Лекция А.С. Станкевича]</div>

Masha http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:Masha&diff=80941 2021-06-06T13:44:34Z

<p>Masha: /* Формула Бержа */</p> <hr /> <div>== Формула Бержа ==<br /> <br /> {{Лемма (1)<br /> |statement= &lt;tex&gt;(n + |S| + odd(G \setminus S)) \; mod \; 2 = 0&lt;/tex&gt;, где &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; - граф с &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt; вершинами, &lt;tex&gt;S \in {V}_{G}&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> Удалим из графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; множество &lt;tex&gt;S&lt;/tex&gt;, получим &lt;tex&gt;t&lt;/tex&gt; компонент связности, содержащих &lt;tex&gt;k_1, k_2 ... k_t&lt;/tex&gt; вершин соответсвенно.<br /> &lt;tex&gt;|S|\; + \; \sum_{i=1}^{k}k_i = n&lt;/tex&gt; т. к в сумме это все вершины исходного графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. <br /> Возьмем данное равенство по модулю два: &lt;tex&gt;(|S|\; mod\; 2 \; + \; \sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2&lt;/tex&gt;<br /> В сумме &lt;tex&gt;\sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)&lt;/tex&gt; число единиц равно числу нечетных компонент &lt;tex&gt;odd(G \setminus S)&lt;/tex&gt;. Таким образом, &lt;tex&gt; \forall S \in V \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2 &lt;/tex&gt;.<br /> }}<br /> <br /> <br /> <br /> {{Теорема<br /> |statement= &lt;tex&gt;def G = \max\limits_{S \in V} (odd(G \setminus S) - |S|)&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> &lt;tex&gt; \forall S \in V \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2&lt;/tex&gt;<br /> <br /> <br /> Рассмотрим несколько случаев:<br /> <br /> <br /> 1) Если &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) \; - \; |S|) \; = 0 \; &lt;/tex&gt;, тогда &lt;tex&gt;\forall \; S \in \; V: \; odd(G \setminus S) \leq |S| \; &lt;/tex&gt; и выполнен [[Теорема Татта о существовании полного паросочетания|критерий Татта]], значит, в графе есть совершенное паросочетание, т.е. его дефицит равен нулю. <br /> <br /> 2) Если &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = k &lt;/tex&gt;, тогда рассмотрим исходный граф &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; и полный граф &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; с &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; вершинами, множество вершин нового графа обозначим как &lt;tex&gt;W&lt;/tex&gt;. Каждую вершину вспомогательного графа соединим с каждой вершиной &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. Получим новый граф &lt;tex&gt;H \; = \; K_k + G&lt;/tex&gt;, докажем, что для него выполнено условие Татта. Докажем, что &lt;tex&gt;\forall S \in V_{H}: odd(G \setminus S) \; \leq \; |S| \; &lt;/tex&gt;. Рассмотрим &lt;tex&gt;S \; \subset \; V_H\;&lt;/tex&gt;. <br /> <br /> Если &lt;tex&gt;W \not\subset S&lt;/tex&gt;, тогда посколько граф &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; полный и все его вершины связаны с каждой вершиной графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;, то граф &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt; связный и &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 0 \;&lt;/tex&gt; или &lt;tex&gt;odd(G \setminus S) \; = \; 1 \;&lt;/tex&gt;. В случае &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 0&lt;/tex&gt; условие очевидно выполняется т.к &lt;tex&gt;\forall S \in G : 0 \; \leq \; |S|&lt;/tex&gt;. <br /> Рассмотрим случай &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; 1 \;&lt;/tex&gt;, &lt;tex&gt;|V_H| \; = \; n \; + \; k \; = \; n \; + \; odd(G \setminus A) - |A|&lt;/tex&gt;, где &lt;tex&gt;A = arg \max\limits_{S \in V}(odd(H \setminus S) - |S|) &lt;/tex&gt;. Разность &lt;tex&gt;odd(G \setminus A) - |A|&lt;/tex&gt; имеет ту же четность, что и &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt;, поэтому &lt;tex&gt;|V_H|&lt;/tex&gt; четно, значит, по лемме (1), мощность &lt;tex&gt;S&lt;/tex&gt; нечетна, следовательно, она не равна нулю, значит &lt;tex&gt; 1 \leq |S| &lt;/tex&gt;.<br /> <br /> Если &lt;tex&gt;W \subset S \;&lt;/tex&gt;, то &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) \; = \; odd(G \setminus (S \cap V)) \; \leq \; |S \cap V| \; + \; k \leq |S| \;&lt;/tex&gt;.<br /> <br /> Таким образом, для графа &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt; выполнено условие Татта, следовательно, в нём есть полное паросочетание. Рассмотрим полное паросочетание в графе &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt;, удалим вершины &lt;tex&gt;W&lt;/tex&gt; из графа &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt;. Количество непокрытых вершин после удаления не больше, чем количество удаленных вершин &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt;, значит, &lt;tex&gt;def(G) \; \leq \; k&lt;/tex&gt;. Удалим множество вершин &lt;tex&gt;A \; = \; arg \max\limits_{S \in V}(odd(H \setminus S) \; - \; |S|) &lt;/tex&gt; из графа &lt;tex&gt;G\;&lt;/tex&gt;. Заметим, что после удаление в графе осталось несколько нечетных компонент и образовались новые непокрытые вершины, но при этом осталось на &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; больше нечетных компонент, чем было удалено, значит, хотя бы &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; нечетных компонент содержали исходно непокрытую вершину, значит, &lt;tex&gt;k \; \leq \; def(G)&lt;/tex&gt;. Значит, &lt;tex&gt;def(G) \; = \; k&lt;/tex&gt;. Теорема доказана.<br /> }}<br /> <br /> ==См. также==<br /> <br /> ==Источники информации==<br /> <br /> [https://www.youtube.com/watch?v=1KggxCJZFRg {{---}} Лекция А.С. Станкевича]</div>

Masha http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:Masha&diff=80940 2021-06-06T13:35:34Z

<p>Masha: /* Формула Бержа */</p> <hr /> <div>== Формула Бержа ==<br /> <br /> {{Лемма<br /> |statement= &lt;tex&gt;(n + |S| + odd(G \setminus S)) \; mod \; 2 = 0&lt;/tex&gt;, где &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; - граф с &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt; вершинами, &lt;tex&gt;S \in {V}_{G}&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> Удалим из графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; множество &lt;tex&gt;S&lt;/tex&gt;, получим &lt;tex&gt;t&lt;/tex&gt; компонент связности, содержащих &lt;tex&gt;k_1, k_2 ... k_t&lt;/tex&gt; вершин соответсвенно.<br /> &lt;tex&gt;|S|\; + \; \sum_{i=1}^{k}k_i = n&lt;/tex&gt; т. к в сумме это все вершины исходного графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. <br /> Возьмем данное равенство по модулю два: &lt;tex&gt;(|S|\; mod\; 2 \; + \; \sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2&lt;/tex&gt;<br /> В сумме &lt;tex&gt;\sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)&lt;/tex&gt; число единиц равно числу нечетных компонент &lt;tex&gt;odd(G \setminus S)&lt;/tex&gt;. Таким образом, &lt;tex&gt; \forall S \in V \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2 &lt;/tex&gt;.<br /> }}<br /> <br /> <br /> <br /> {{Теорема<br /> |statement= &lt;tex&gt;def G = \max\limits_{S \in V} (odd(G \setminus S) - |S|)&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> &lt;tex&gt; \forall S \in V \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2&lt;/tex&gt;<br /> <br /> <br /> Рассмотрим несколько случаев:<br /> <br /> <br /> 1) Если &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = 0 &lt;/tex&gt;, тогда &lt;tex&gt;\forall \; S \in \; V: \; odd(G \setminus S) \leq |S| \; &lt;/tex&gt; и выполнен [[Теорема Татта о существовании полного паросочетания|критерий Татта]], значит, в графе есть совершенное паросочетание, т.е. его дефицит равен нулю. <br /> <br /> 2) Если &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = k &lt;/tex&gt;, тогда рассмотрим исходный граф &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; и [[Полный граф|полный граф]] &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; с &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; вершинами, множество вершин нового графа обозначим как &lt;tex&gt;W&lt;/tex&gt;. Каждую вершину вспомогательного графа соединим с каждой вершиной &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. Получим новый граф &lt;tex&gt;H \; = \; K_k + G&lt;/tex&gt;, докажем, что для него выполнено условие Татта. Докажем, что &lt;tex&gt;\forall S \in V_{H}: odd(G \setminus S) \; \leq \; |S| \; &lt;/tex&gt;. Рассмотрим &lt;tex&gt;S \subset V_H\;&lt;/tex&gt;. <br /> <br /> a) Если &lt;tex&gt;W \not\subset S&lt;/tex&gt;, тогда посколько граф &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; полный и все его вершины связаны с каждой вершиной графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;, то граф &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt; связный и &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) = 0&lt;/tex&gt; или &lt;tex&gt;odd(G \setminus S) = 1&lt;/tex&gt;. В случае &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) = 0&lt;/tex&gt; условие очевидно выполняется т.к &lt;tex&gt;\forall S \in G : 0 \; \leq \; |S|&lt;/tex&gt;. <br /> <br /> <br /> б) Рассмотрим случай &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) = 1&lt;/tex&gt;, &lt;tex&gt;|V_H| = n + k = n + odd(G \setminus A) - |A|&lt;/tex&gt;, где &lt;tex&gt;A = arg \max\limits_{S \in V}(odd(H \setminus S) - |S|) &lt;/tex&gt;. Разность &lt;tex&gt;odd(G \setminus A) - |A|&lt;/tex&gt; имеет ту же четность, что и &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt;, поэтому &lt;tex&gt;|V_H|&lt;/tex&gt; четно, значит, по лемме мощность &lt;tex&gt;S&lt;/tex&gt; нечетна, следовательно, она не равна нулю, значит &lt;tex&gt; 1 \leq |S| &lt;/tex&gt;.<br /> <br /> Если &lt;tex&gt;W \subset S&lt;/tex&gt;, то &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) = odd(G \setminus (S \cap V)) \leq |S \cap V| + k \leq |S| &lt;/tex&gt;.<br /> <br /> Таким образом, для графа &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt; выполнено условие Татта, следовательно, в нём есть полное паросочетание. Рассмотрим полное паросочетание в графе &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt;, удалим вершины &lt;tex&gt;W&lt;/tex&gt; из графа &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt;. Количество непокрытых вершин после удаления не больше, чем количество удаленных вершин &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt;, значит, &lt;tex&gt;def(G) \leq k&lt;/tex&gt;. Удалим множество вершин &lt;tex&gt;A = arg \max\limits_{S \in V}(odd(H \setminus S) - |S|) &lt;/tex&gt; из графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. Заметим, что после удаление в графе осталось несколько нечетных компонент и образовались новые непокрытые вершины, но при этом осталось на &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; больше нечетных компонент, чем было удалено, значит, хотя бы &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; нечетных компонент содержали исходно непокрытую вершину, значит, &lt;tex&gt;k \leq def(G)&lt;/tex&gt;. Значит, &lt;tex&gt;def(G) = k&lt;/tex&gt;. Теорема доказана.<br /> }}<br /> <br /> ==См. также==<br /> <br /> ==Источники информации==<br /> <br /> [https://www.youtube.com/watch?v=1KggxCJZFRg {{---}} Лекция А.С. Станкевича]</div>

Masha http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:Masha&diff=80939 2021-06-06T13:32:58Z

<p>Masha: </p> <hr /> <div>== Формула Бержа ==<br /> <br /> {{Лемма<br /> |statement= &lt;tex&gt;(n + |S| + odd(G \setminus S)) \; mod \; 2 = 0&lt;/tex&gt;, где &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; - граф с &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt; вершинами, &lt;tex&gt;S \in {V}_{G}&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> Удалим из графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; множество &lt;tex&gt;S&lt;/tex&gt;, получим &lt;tex&gt;t&lt;/tex&gt; компонент связности, содержащих &lt;tex&gt;k_1, k_2 ... k_t&lt;/tex&gt; вершин соответсвенно.<br /> &lt;tex&gt;|S|\; + \; \sum_{i=1}^{k}k_i = n&lt;/tex&gt; т. к в сумме это все вершины исходного графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. <br /> Возьмем данное равенство по модулю два: &lt;tex&gt;(|S|\; mod\; 2 \; + \; \sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2&lt;/tex&gt;<br /> В сумме &lt;tex&gt;\sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)&lt;/tex&gt; число единиц равно числу нечетных компонент &lt;tex&gt;odd(G \setminus S)&lt;/tex&gt;. Таким образом, &lt;tex&gt; \forall S \in V \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2 &lt;/tex&gt;.<br /> }}<br /> <br /> <br /> <br /> {{Теорема<br /> |statement= &lt;tex&gt;def G = \max\limits_{S \in V} (odd(G \setminus S) - |S|)&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> &lt;tex&gt; \forall S \in V \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2&lt;/tex&gt;<br /> <br /> <br /> Рассмотрим несколько случаев:<br /> <br /> <br /> 1) Если &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = 0 &lt;/tex&gt;, тогда &lt;tex&gt;\forall \; S \in \; V: \; odd(G \setminus S) \leq |S| \; &lt;/tex&gt; и выполнен [[Теорема Татта о существовании полного паросочетания|критерий Татта]], значит, в графе есть совершенное паросочетание, т.е. его дефицит равен нулю. <br /> <br /> 2) Если &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = k &lt;/tex&gt;, тогда рассмотрим исходный граф &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; и полный граф &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; с &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; вершинами, множество вершин нового графа обозначим как &lt;tex&gt;W&lt;/tex&gt;. Каждую вершину вспомогательного графа соединим с каждой вершиной &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. Получим новый граф &lt;tex&gt;H \; = \; K_k + G&lt;/tex&gt;, докажем, что для него выполнено условие Татта. Докажем, что &lt;tex&gt;\forall S \in V_{H}: odd(G \setminus S) \; \leq \; |S| \; &lt;/tex&gt;. Рассмотрим &lt;tex&gt;S \subset V_H\;&lt;/tex&gt;. <br /> <br /> a) Если &lt;tex&gt;W \not\subset S&lt;/tex&gt;, тогда посколько граф &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; полный и все его вершины связаны с каждой вершиной графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;, то граф &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt; связный и &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) = 0&lt;/tex&gt; или &lt;tex&gt;odd(G \setminus S) = 1&lt;/tex&gt;. В случае &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) = 0&lt;/tex&gt; условие очевидно выполняется т.к &lt;tex&gt;\forall S \in G : 0 \; \leq \; |S|&lt;/tex&gt;. <br /> <br /> <br /> б) Рассмотрим случай &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) = 1&lt;/tex&gt;, &lt;tex&gt;|V_H| = n + k = n + odd(G \setminus A) - |A|&lt;/tex&gt;, где &lt;tex&gt;A = arg \max\limits_{S \in V}(odd(H \setminus S) - |S|) &lt;/tex&gt;. Разность &lt;tex&gt;odd(G \setminus A) - |A|&lt;/tex&gt; имеет ту же четность, что и &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt;, поэтому &lt;tex&gt;|V_H|&lt;/tex&gt; четно, значит, по лемме мощность &lt;tex&gt;S&lt;/tex&gt; нечетна, следовательно, она не равна нулю, значит &lt;tex&gt; 1 \leq |S| &lt;/tex&gt;.<br /> <br /> Если &lt;tex&gt;W \subset S&lt;/tex&gt;, то &lt;tex&gt;odd(H \setminus S) = odd(G \setminus (S \cap V)) \leq |S \cap V| + k \leq |S| &lt;/tex&gt;.<br /> <br /> Таким образом, для графа &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt; выполнено условие Татта, следовательно, в нём есть полное паросочетание. Рассмотрим полное паросочетание в графе &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt;, удалим вершины &lt;tex&gt;W&lt;/tex&gt; из графа &lt;tex&gt;H&lt;/tex&gt;. Количество непокрытых вершин после удаления не больше, чем количество удаленных вершин &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt;, значит, &lt;tex&gt;def(G) \leq k&lt;/tex&gt;. Удалим множество вершин &lt;tex&gt;A = arg \max\limits_{S \in V}(odd(H \setminus S) - |S|) &lt;/tex&gt; из графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. Заметим, что после удаление в графе осталось несколько нечетных компонент и образовались новые непокрытые вершины, но при этом осталось на &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; больше нечетных компонент, чем было удалено, значит, хотя бы &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; нечетных компонент содержали исходно непокрытую вершину, значит, &lt;tex&gt;k \leq def(G)&lt;/tex&gt;. Значит, &lt;tex&gt;def(G) = k&lt;/tex&gt;. Теорема доказана.<br /> }}<br /> <br /> ==См. также==<br /> <br /> ==Источники информации==<br /> <br /> [https://www.youtube.com/watch?v=1KggxCJZFRg {{---}} Лекция А.С. Станкевича]</div>

Masha http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:Masha&diff=80928 2021-06-03T10:20:49Z

<p>Masha: /* Формула Бержа */</p> <hr /> <div>== Формула Бержа ==<br /> <br /> {{Лемма<br /> |statement= &lt;tex&gt;(n + |S| + odd(G \setminus S)) \; mod \; 2 = 0&lt;/tex&gt;, где &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; - граф с &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt; вершинами, &lt;tex&gt;S \in {V}_{G}&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> Удалим из графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; множество &lt;tex&gt;S&lt;/tex&gt;, получим &lt;tex&gt;t&lt;/tex&gt; компонент связности, содержащих &lt;tex&gt;k_1, k_2 ... k_t&lt;/tex&gt; вершин соответсвенно.<br /> &lt;tex&gt;|S|\; + \; \sum_{i=1}^{k}k_i = n&lt;/tex&gt; т. к в сумме это все вершины исходного графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. <br /> Возьмем данное равенство по модулю два: &lt;tex&gt;(|S|\; mod\; 2 \; + \; \sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2&lt;/tex&gt;<br /> В сумме &lt;tex&gt;\sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)&lt;/tex&gt; число единиц равно числу нечетных компонент &lt;tex&gt;odd(G \setminus S)&lt;/tex&gt;. Таким образом, &lt;tex&gt; \forall S \in V \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2 &lt;/tex&gt;.<br /> }}<br /> <br /> <br /> <br /> {{Теорема<br /> |statement= &lt;tex&gt;def G = \max\limits_{S \in V} (odd(G \setminus S) - |S|)&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> &lt;tex&gt; \forall S \in V \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2&lt;/tex&gt;<br /> <br /> <br /> Рассмотрим несколько случаев:<br /> <br /> <br /> 1) Если &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = 0 &lt;/tex&gt;, тогда &lt;tex&gt;\forall \; S \in \; V: \; odd(G \setminus S) \leq |S| \; &lt;/tex&gt; и выполнен критерий Татта, значит, в графе есть совершенное паросочетание, т.е. его дефицит равен нулю. <br /> <br /> 2) Если &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = k &lt;/tex&gt;, тогда рассмотрим исходный граф &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; и полный граф &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; с &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; вершинами и каждую вершину вспомогательного графа соединим с каждой вершиной &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. Получим новый граф &lt;tex&gt;H \; = \; K_k + G&lt;/tex&gt;, докажем, что для него выполнено условие Татта.<br /> }}</div>

Masha http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:Masha&diff=80927 2021-06-03T10:20:12Z

<p>Masha: /* Формула Бержа */</p> <hr /> <div>== Формула Бержа ==<br /> <br /> {{Лемма<br /> |statement= &lt;tex&gt;(n + |S| + odd(G \setminus S)) \; mod \; 2 = 0&lt;/tex&gt;, где &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; - граф с &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt; вершинами, &lt;tex&gt;S \in {V}_{G}&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> Удалим из графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; множество &lt;tex&gt;S&lt;/tex&gt;, получим &lt;tex&gt;t&lt;/tex&gt; компонент связности, содержащих &lt;tex&gt;k_1, k_2 ... k_t&lt;/tex&gt; вершин соответсвенно.<br /> &lt;tex&gt;|S|\; + \; \sum_{i=1}^{k}k_i = n&lt;/tex&gt; т. к в сумме это все вершины исходного графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. <br /> Возьмем данное равенство по модулю два: &lt;tex&gt;(|S|\; mod\; 2 \; + \; \sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2&lt;/tex&gt;<br /> В сумме &lt;tex&gt;\sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)&lt;/tex&gt; число единиц равно числу нечетных компонент &lt;tex&gt;odd(G \setminus S)&lt;/tex&gt;. Таким образом, &lt;tex&gt; \forall S \in V \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2 &lt;/tex&gt;.<br /> }}<br /> <br /> <br /> <br /> {{Теорема<br /> |statement= &lt;tex&gt;def G = \max\limits_{S \in V} (odd(G \setminus S) - |S|)&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> &lt;tex&gt; \forall S \in V \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2&lt;/tex&gt;<br /> <br /> <br /> Рассмотрим несколько случаев:<br /> <br /> <br /> 1) Если &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = 0 &lt;/tex&gt;, тогда &lt;tex&gt;\forall \; S \in \; V: \; odd(G \setminus S) \leq |S| \; &lt;/tex&gt; и выполнен критерий Татта, значит, в графе есть совершенное паросочетание, т.е. его дефицит равен нулю. <br /> <br /> 2) Если &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = k &lt;/tex&gt;, тогда рассмотрим исходный граф &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; и полный граф &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; с &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; вершинами и каждую вершину вспомогательного графа соединим с каждой вершиной &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. Получим новый граф &lt;tex&gt;H \; = \; K_k + G&lt;/tex&gt;, для которого выполнено условие Татта<br /> }}</div>

Masha http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:Masha&diff=80926 2021-06-03T10:19:18Z

<p>Masha: </p> <hr /> <div>== Формула Бержа ==<br /> <br /> {{Лемма<br /> |statement= &lt;tex&gt;(n + |S| + odd(G \setminus S)) \; mod \; 2 = 0&lt;/tex&gt;, где &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; - граф с &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt; вершинами, &lt;tex&gt;S \in {V}_{G}&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> Удалим из графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; множество &lt;tex&gt;S&lt;/tex&gt;, получим &lt;tex&gt;t&lt;/tex&gt; компонент связности, содержащих &lt;tex&gt;k_1, k_2 ... k_t&lt;/tex&gt; вершин соответсвенно.<br /> &lt;tex&gt;|S|\; + \; \sum_{i=1}^{k}k_i = n&lt;/tex&gt; т. к в сумме это все вершины исходного графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. <br /> Возьмем данное равенство по модулю два: &lt;tex&gt;(|S|\; mod\; 2 \; + \; \sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2&lt;/tex&gt;<br /> В сумме &lt;tex&gt;\sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)&lt;/tex&gt; число единиц равно числу нечетных компонент &lt;tex&gt;odd(G \setminus S)&lt;/tex&gt;. Таким образом, &lt;tex&gt; \forall S \in V \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2 &lt;/tex&gt;.<br /> }}<br /> <br /> <br /> <br /> {{Теорема<br /> |statement= &lt;tex&gt;def G = \max\limits_{S \in V} (odd(G \setminus S) - |S|)&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> &lt;tex&gt; \forall S \in V \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2 \\&lt;/tex&gt;<br /> Рассмотрим несколько случаев:<br /> 1) Если &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = 0 &lt;/tex&gt;, тогда &lt;tex&gt;\forall \; S \in \; V: \; odd(G \setminus S) \leq |S| \; &lt;/tex&gt; и выполнен критерий Татта, значит, в графе есть совершенное паросочетание, т.е. его дефицит равен нулю. <br /> <br /> 2) Если &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = k &lt;/tex&gt;, тогда рассмотрим исходный граф &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; и полный граф &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; с &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; вершинами и каждую вершину вспомогательного графа соединим с каждой вершиной &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. Получим новый граф &lt;tex&gt;H \; = \; K_k + G&lt;/tex&gt;, для которого выполнено условие Татта<br /> }}</div>

Masha http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:Masha&diff=80925 2021-06-03T10:18:52Z

<p>Masha: </p> <hr /> <div>== Формула Бержа ==<br /> <br /> {{Лемма<br /> |statement= &lt;tex&gt;(n + |S| + odd(G \setminus S)) \; mod \; 2 = 0&lt;/tex&gt;, где &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; - граф с &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt; вершинами, &lt;tex&gt;S \in {V}_{G}&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> Удалим из графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; множество &lt;tex&gt;S&lt;/tex&gt;, получим &lt;tex&gt;t&lt;/tex&gt; компонент связности, содержащих &lt;tex&gt;k_1, k_2 ... k_t&lt;/tex&gt; вершин соответсвенно.<br /> &lt;tex&gt;|S|\; + \; \sum_{i=1}^{k}k_i = n&lt;/tex&gt; т. к в сумме это все вершины исходного графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. <br /> Возьмем данное равенство по модулю два: &lt;tex&gt;(|S|\; mod\; 2 \; + \; \sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2&lt;/tex&gt;<br /> В сумме &lt;tex&gt;\sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)&lt;/tex&gt; число единиц равно числу нечетных компонент &lt;tex&gt;odd(G \setminus S)&lt;/tex&gt;. Таким образом, &lt;tex&gt; \forall S \in V \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2 &lt;/tex&gt;.<br /> }}<br /> <br /> <br /> <br /> {{Теорема<br /> |statement= &lt;tex&gt;def G = \max\limits_{S \in V} (odd(G \setminus S) - |S|)&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> &lt;tex&gt; \forall S \in V \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2 &lt;/tex&gt;.<br /> Рассмотрим несколько случаев:<br /> 1) Если &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = 0 &lt;/tex&gt;, тогда &lt;tex&gt;\forall \; S \in \; V: \; odd(G \setminus S) \leq |S| \; &lt;/tex&gt; и выполнен критерий Татта, значит, в графе есть совершенное паросочетание, т.е. его дефицит равен нулю. <br /> <br /> 2) Если &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = k &lt;/tex&gt;, тогда рассмотрим исходный граф &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; и полный граф &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; с &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; вершинами и каждую вершину вспомогательного графа соединим с каждой вершиной &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. Получим новый граф &lt;tex&gt;H \; = \; K_k + G&lt;/tex&gt;, для которого выполнено условие Татта<br /> }}</div>

Masha http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:Masha&diff=80924 2021-06-03T10:18:27Z

<p>Masha: /* Формула Бержа */</p> <hr /> <div>== Формула Бержа ==<br /> <br /> {{Лемма<br /> |statement= &lt;tex&gt;(n + |S| + odd(G \setminus S)) \; mod \; 2 = 0&lt;/tex&gt;, где &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; - граф с &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt; вершинами, &lt;tex&gt;S \in {V}_{G}&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> Удалим из графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; множество &lt;tex&gt;S&lt;/tex&gt;, получим &lt;tex&gt;t&lt;/tex&gt; компонент связности, содержащих &lt;tex&gt;k_1, k_2 ... k_t&lt;/tex&gt; вершин соответсвенно.<br /> &lt;tex&gt;|S|\; + \; \sum_{i=1}^{k}k_i = n&lt;/tex&gt; т. к в сумме это все вершины исходного графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. <br /> Возьмем данное равенство по модулю два: &lt;tex&gt;(|S|\; mod\; 2 \; + \; \sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2&lt;/tex&gt;<br /> В сумме &lt;tex&gt;\sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)&lt;/tex&gt; число единиц равно числу нечетных компонент &lt;tex&gt;odd(G \setminus S)&lt;/tex&gt;. Таким образом, &lt;tex&gt; \forall S \in V \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2 &lt;/tex&gt;.<br /> }}<br /> <br /> <br /> <br /> {{Теорема<br /> |statement= &lt;tex&gt;def G = \max\limits_{S \in V} (odd(G \setminus S) - |S|)&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> &lt;tex&gt; \forall S \in V \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2 &lt;/tex&gt;<br /> Рассмотрим несколько случаев:<br /> 1) Если &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = 0 &lt;/tex&gt;, тогда &lt;tex&gt;\forall \; S \in \; V: \; odd(G \setminus S) \leq |S| \; &lt;/tex&gt; и выполнен критерий Татта, значит, в графе есть совершенное паросочетание, т.е. его дефицит равен нулю. <br /> <br /> 2) Если &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = k &lt;/tex&gt;, тогда рассмотрим исходный граф &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; и полный граф &lt;tex&gt;K_k&lt;/tex&gt; с &lt;tex&gt;k&lt;/tex&gt; вершинами и каждую вершину вспомогательного графа соединим с каждой вершиной &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. Получим новый граф &lt;tex&gt;H \; = \; K_k + G&lt;/tex&gt;, для которого выполнено условие Татта<br /> }}</div>

Masha http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:Masha&diff=80923 2021-06-03T10:12:06Z

<p>Masha: /* Формула Бержа */</p> <hr /> <div>== Формула Бержа ==<br /> <br /> {{Лемма<br /> |statement= &lt;tex&gt;(n + |S| + odd(G \setminus S)) \; mod \; 2 = 0&lt;/tex&gt;, где &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; - граф с &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt; вершинами, &lt;tex&gt;S \in {V}_{G}&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> Удалим из графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; множество &lt;tex&gt;S&lt;/tex&gt;, получим &lt;tex&gt;t&lt;/tex&gt; компонент связности, содержащих &lt;tex&gt;k_1, k_2 ... k_t&lt;/tex&gt; вершин соответсвенно.<br /> &lt;tex&gt;|S|\; + \; \sum_{i=1}^{k}k_i = n&lt;/tex&gt; т. к в сумме это все вершины исходного графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. <br /> Возьмем данное равенство по модулю два: &lt;tex&gt;(|S|\; mod\; 2 \; + \; \sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2&lt;/tex&gt;<br /> В сумме &lt;tex&gt;\sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)&lt;/tex&gt; число единиц равно числу нечетных компонент &lt;tex&gt;odd(G \setminus S)&lt;/tex&gt;. Таким образом, &lt;tex&gt; \forall S \in V \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2 &lt;/tex&gt;.<br /> }}<br /> <br /> <br /> <br /> {{Теорема<br /> |statement= &lt;tex&gt;def G = \max\limits_{S \in V} (odd(G \setminus S) - |S|)&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> &lt;tex&gt; \forall S \in V \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2 &lt;/tex&gt;<br /> Рассмотрим несколько случаев:<br /> 1) Если &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = 0 &lt;/tex&gt;, тогда &lt;tex&gt;\forall \; S \in \; V: \; odd(G \setminus S) \leq |S| \; &lt;/tex&gt; и выполнен критерий Татта, значит, в графе есть совершенное паросочетание, т.е. его дефицит равен нулю. <br /> }}</div>

Masha http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:Masha&diff=80922 2021-06-03T10:08:58Z

<p>Masha: </p> <hr /> <div>== Формула Бержа ==<br /> <br /> {{Утверждение<br /> |statement= &lt;tex&gt;(n + |S| + odd(G \setminus S)) \; mod \; 2 = 0&lt;/tex&gt;, где &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; - граф с &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt; вершинами, &lt;tex&gt;S \in {V}_{G}&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> Удалим из графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; множество &lt;tex&gt;S&lt;/tex&gt;, получим &lt;tex&gt;t&lt;/tex&gt; компонент связности, содержащих &lt;tex&gt;k_1, k_2 ... k_t&lt;/tex&gt; вершин соответсвенно.<br /> &lt;tex&gt;|S|\; + \; \sum_{i=1}^{k}k_i = n&lt;/tex&gt; т. к в сумме это все вершины исходного графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. <br /> Возьмем данное равенство по модулю два: &lt;tex&gt;(|S|\; mod\; 2 \; + \; \sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2&lt;/tex&gt;<br /> В сумме &lt;tex&gt;\sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)&lt;/tex&gt; число единиц равно числу нечетных компонент &lt;tex&gt;odd(G \setminus S)&lt;/tex&gt;. Таким образом, &lt;tex&gt; \forall S \in V \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2 &lt;/tex&gt;.<br /> }}<br /> <br /> <br /> <br /> {{Теорема<br /> |statement= &lt;tex&gt;def G = \max\limits_{S \in V} (odd(G \setminus S) - |S|)&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> &lt;tex&gt; \forall S \in V \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2 &lt;/tex&gt;<br /> Рассмотрим несколько случаев:<br /> 1) Если &lt;tex&gt; \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = 0 &lt;/tex&gt;, тогда &lt;tex&gt;\forall \; S \in \; V: \; odd(G \setminus S) \leq |S| \; &lt;/tex&gt; и выполнен критерий Татта, значит, в графе есть совершенное паросочетание, т.е. его дефицит равен нулю. <br /> }}</div>

Masha http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:Masha&diff=80921 2021-06-03T10:03:21Z

<p>Masha: </p> <hr /> <div>== Формула Бержа ==<br /> <br /> {{Утверждение<br /> |statement= &lt;tex&gt;(n + |S| + odd(G \setminus S)) \; mod \; 2 = 0&lt;/tex&gt;, где &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; - граф с &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt; вершинами, &lt;tex&gt;S \in {V}_{G}&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> Удалим из графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt; множество &lt;tex&gt;S&lt;/tex&gt;, получим &lt;tex&gt;t&lt;/tex&gt; компонент связности, содержащих &lt;tex&gt;k_1, k_2 ... k_t&lt;/tex&gt; вершин соответсвенно.<br /> &lt;tex&gt;|S|\; + \; \sum_{i=1}^{k}k_i = n&lt;/tex&gt; т. к в сумме это все вершины исходного графа &lt;tex&gt;G&lt;/tex&gt;. <br /> Возьмем данное равенство по модулю два: &lt;tex&gt;(|S|\; mod\; 2 \; + \; \sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2&lt;/tex&gt;<br /> В сумме &lt;tex&gt;\sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)&lt;/tex&gt; число единиц равно числу нечетных компонент &lt;tex&gt;odd(G \setminus S)&lt;/tex&gt;. Таким образом, &lt;tex&gt; \forall S \in V \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2 &lt;/tex&gt;<br /> }}<br /> <br /> <br /> <br /> {{Теорема<br /> |statement= &lt;tex&gt;def G = \max\limits_{S \in V} (odd(G \setminus S) - |S|)&lt;/tex&gt;<br /> |proof= <br /> <br /> }}</div>

Masha http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D0%B4%D1%8B_%D0%9F%D1%80%D1%8E%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B0&diff=77323 2021-01-10T16:39:40Z

<p>Masha: добавлен алгоритм декодирования</p> <hr /> <div>== Алгоритм построения кодов Прюфера ==<br /> Кодирование Прюфера переводит [[Количество помеченных деревьев#Помеченное дерево|помеченные деревья порядка &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt;]] в последовательность чисел от &lt;tex&gt;1&lt;/tex&gt; до &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt; по алгоритму:&lt;br&gt;<br /> Пока количество вершин больше двух:<br /> # Выбирается лист &lt;tex&gt;v&lt;/tex&gt; с минимальным номером.<br /> # В код Прюфера добавляется номер вершины, смежной с &lt;tex&gt;v&lt;/tex&gt;.<br /> # Вершина &lt;tex&gt;v&lt;/tex&gt; и инцидентное ей ребро удаляются из дерева.<br /> &lt;br&gt;<br /> Полученная последовательность называется '''кодом Прюфера''' ''(англ. Prüfer code)'' для заданного дерева.<br /> <br /> {{Лемма<br /> |statement=<br /> Номер вершины &lt;tex&gt;v&lt;/tex&gt; встречается в коде Прюфера тогда и только тогда, когда &lt;tex&gt;v&lt;/tex&gt; не является листом, причём встречается этот номер к коде дерева в точности &lt;math&gt;\deg v - 1&lt;/math&gt; раз.<br /> |proof=<br /> # Вершина с номером &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt; не может быть удалена, следовательно на последнем шаге у неё была смежная вершина, и число &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt; встретилось в коде.<br /> # Если вершина не является листом, то у неё на некотором шаге была смежная вершина &lt;tex&gt;-&lt;/tex&gt; лист, следовательно номер этой вершины встречается в коде.<br /> # Если вершина является листом с номером меньше &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt;, то она была удалена до того, как был удален её сосед, следовательно её номер не встречается в коде.<br /> <br /> Таким образом, номера всех вершин, не являющихся листьями или имеющих номер &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt;, встречаются в коде Прюфера, а остальные &lt;tex&gt;-&lt;/tex&gt; нет.<br /> }}<br /> <br /> {{Лемма<br /> |statement=<br /> По любой последовательности длины &lt;tex&gt;n - 2&lt;/tex&gt; из чисел от &lt;tex&gt;1&lt;/tex&gt; до &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt; можно построить помеченное дерево,<br /> для которого эта последовательность является кодом Прюфера.<br /> |proof=<br /> Доказательство проведем по индукции по числу &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt;&lt;br&gt;<br /> &lt;u&gt;''База индукции:''&lt;/u&gt;<br /> <br /> &lt;tex&gt;n = 1&lt;/tex&gt; &lt;tex&gt;-&lt;/tex&gt; верно.<br /> <br /> &lt;u&gt;''Индукционный переход:''&lt;/u&gt;<br /> <br /> Пусть для числа &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt; верно, построим доказательство для &lt;tex&gt;n+1&lt;/tex&gt;:<br /> <br /> Пусть у нас есть последовательность: &lt;tex&gt;A = [a_1, a_2, ..., a_{n - 2}].&lt;/tex&gt;<br /> Выберем минимальное число &lt;tex&gt;v&lt;/tex&gt; не лежащее в &lt;tex&gt;A&lt;/tex&gt;. По предыдущей лемме &lt;tex&gt;v&lt;/tex&gt; &lt;tex&gt;-&lt;/tex&gt; вершина, которую мы удалили первой. Соединим &lt;tex&gt;v&lt;/tex&gt; и &lt;tex&gt;a_1&lt;/tex&gt; ребром. Выкинем из последовательности &lt;tex&gt;A&lt;/tex&gt; число &lt;tex&gt;a_1&lt;/tex&gt;. Перенумеруем вершины, для всех &lt;tex&gt;a_i &gt; v&lt;/tex&gt; заменим &lt;tex&gt;a_i&lt;/tex&gt; на &lt;tex&gt;a_i - 1&lt;/tex&gt;. А теперь мы можем применить предположение индукции.<br /> }}<br /> <br /> {{Теорема<br /> |statement=<br /> Кодирование Прюфера задаёт биекцию между множествами помеченных деревьев порядка &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; и последовательностями длиной &lt;tex&gt;n - 2&lt;/tex&gt; из чисел от &lt;tex&gt;1&lt;/tex&gt; до &lt;tex&gt;n&lt;/tex&gt;<br /> |proof=<br /> # Каждому помеченному дереву приведенный алгоритм сопоставляет последовательность.<br /> # Каждой последовательности, как следует из предыдущей леммы, соотвествует помеченное дерево.<br /> }}<br /> <br /> Следствием из этой теоремы является [[Количество помеченных деревьев|формула Кэли]].<br /> <br /> == Пример построения кода Прюфера ==<br /> [[Файл: Prufer.png|500px]]<br /> <br /> == Алгоритм декодирования кодa Прюфера ==<br /> <br /> В массиве вершин исходного дерева &lt;tex&gt;V&lt;/tex&gt; найдём вершину &lt;tex&gt;v_{min}&lt;/tex&gt; с минимальным номером, не содержащуюся в массиве с кодом Прюфера &lt;tex&gt;P&lt;/tex&gt;, т.е. такую, что она является листом или концом уже добавленного в граф ребра, т.е. она стала листом в процессе построения кода Прюфера (по первому пункту построения). Вершина &lt;tex&gt;p_1&lt;/tex&gt; была добавлена в код Прюфера как инцидентная листу с минимальным номером (по второму пункту построения), поэтому в исходном дереве существует ребро {&lt;tex&gt;p_1&lt;/tex&gt;, &lt;tex&gt;v_{min}&lt;/tex&gt;}, добавим его в список ребер. Удалим первый элемент из массива &lt;tex&gt;Р&lt;/tex&gt;, а вершину &lt;tex&gt;v_{min}&lt;/tex&gt; - из массива &lt;tex&gt;V&lt;/tex&gt; т.к. она больше не может являться листом (по третьему пункту построения). Будем выполнять вышеуказанные действия, пока массив &lt;tex&gt;P&lt;/tex&gt; не станет пустым. В конце работы алгоритма в массиве &lt;tex&gt;V&lt;/tex&gt; останутся две вершины, составляющие последнее ребро дерева (это следует из построения).<br /> <br /> === Реализация ===<br /> # P - код Прюфера<br /> # V - вершины<br /> '''function''' buildTree(P, V):<br /> '''while'' '''not'' P.empty():<br /> u = P[0]<br /> v = min(x '''&lt;tex&gt;\in&lt;/tex&gt;''' V: P.count(x) == 0)<br /> G.push({u, v})<br /> P.erase(0)<br /> V.erase(indexOf(v))<br /> G.push({v[0], v[1]})<br /> '''return''' G<br /> <br /> <br /> == Пример декодирования кода Прюфера ==<br /> [[Файл: backprufer.png|700px]]<br /> <br /> ==См. также==<br /> *[[Связь матрицы Кирхгофа и матрицы инцидентности]]<br /> *[[Матрица Кирхгофа]]<br /> *[[Количество помеченных деревьев]]<br /> *[[Подсчет числа остовных деревьев с помощью матрицы Кирхгофа]]<br /> <br /> <br /> == Источники информации ==<br /> * [http://www.intuit.ru/department/algorithms/graphsuse/11/2.html Университет INTUIT | Представление с помощью списка ребер и кода Прюфера]<br /> <br /> [[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]<br /> [[Категория: Остовные деревья ]]<br /> [[Категория: Свойства остовных деревьев ]]</div>

Masha http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:Masha&diff=76485 2021-01-06T15:44:18Z

<p>Masha: /* Алгоритм декодирования кодa Прюфера */</p> <hr /> <div>== Алгоритм декодирования кодa Прюфера ==<br /> <br /> В массиве вершин исходного дерева &lt;tex&gt;V&lt;/tex&gt; найдём вершину &lt;tex&gt;v_{min}&lt;/tex&gt; с минимальным номером, не содержащуюся в массиве с кодом Прюфера &lt;tex&gt;P&lt;/tex&gt;, т.е. такую, что она является листом или концом уже добавленного в граф ребра, т.е. она стала листом в процессе построения кода Прюфера (по первому пункту построения). Вершина &lt;tex&gt;p_1&lt;/tex&gt; была добавлена в код Прюфера как инцидентная листу с минимальным номером (по второму пункту построения), поэтому в исходном дереве существует ребро {&lt;tex&gt;p_1&lt;/tex&gt;, &lt;tex&gt;v_{min}&lt;/tex&gt;}, добавим его в список ребер. Удалим первый элемент из массива &lt;tex&gt;Р&lt;/tex&gt;, а вершину &lt;tex&gt;v_{min}&lt;/tex&gt; - из массива &lt;tex&gt;V&lt;/tex&gt; т.к. она больше не может являться листом (по третьему пункту построения). Будем выполнять вышеуказанные действия, пока массив &lt;tex&gt;P&lt;/tex&gt; не станет пустым. В конце работы алгоритма в массиве &lt;tex&gt;V&lt;/tex&gt; останутся две вершины, составляющие последнее ребро дерева (это следует из построения).<br /> <br /> === Реализация ===<br /> # P - код Прюфера<br /> # V - вершины<br /> '''function''' buildTree(P, V):<br /> '''while'' '''not'' P.empty():<br /> u = P[0]<br /> v = min(x '''&lt;tex&gt;\in&lt;/tex&gt;''' V: P.count(x) == 0)<br /> G.push({u, v})<br /> P.erase(0)<br /> V.erase(indexOf(v))<br /> G.push({v[0], v[1]})<br /> '''return''' G</div>

Masha http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:Masha&diff=75795 2020-12-29T00:35:52Z

<p>Masha: Новая страница: «== Алгоритм декодирования кодов Прюфера == Пусть есть массив &lt;tex&gt;P = {p_1, ..., p_{n - 2}}&lt;/tex&gt; - код Прю…»</p> <hr /> <div>== Алгоритм декодирования кодов Прюфера ==<br /> Пусть есть массив &lt;tex&gt;P = {p_1, ..., p_{n - 2}}&lt;/tex&gt; - код Прюфера какого-то дерева и массив вершин дерева &lt;tex&gt;V&lt;/tex&gt;. Для получения дерева по коду Прюфера необходимо выполнять следующие действия, пока массив &lt;tex&gt;P&lt;/tex&gt; не станет пустым. В массиве &lt;tex&gt;V&lt;/tex&gt; найти вершину &lt;tex&gt;v_{min}&lt;/tex&gt; с минимальным номером, не содержащуюся в массиве &lt;tex&gt;P&lt;/tex&gt;. Добавить ребро {&lt;tex&gt;p_1&lt;/tex&gt;, &lt;tex&gt;v_{min}&lt;/tex&gt;} в дерево, удалить найденные вершины из соответствующих массивов. В конце работы алгоритма в массиве &lt;tex&gt;V&lt;/tex&gt; останется две вершины, составляющих последнее ребро дерева.<br /> <br /> === Реализация ===<br /> <br /> '''function''' buildTree(P, V):<br /> '''while'' '''not'' P.empty():<br /> u = P[0]<br /> v = min(x '''&lt;tex&gt;\in&lt;/tex&gt;''' V: P.count(x) == 0)<br /> G.push({u, v})<br /> P.erase(0)<br /> V.erase(indexOf(x))<br /> '''if''' P.count(u) == 0:<br /> V.push(u)<br /> G.push({v[0], v[1]})<br /> '''return''' G</div>

Masha