Формула полной вероятности

2021-05-17T13:34:31Z

Mistrikoff: /* Пример 2 - согласно условию, вероятность 90% в первой и третьей урне, а не в первой и второй. При вашем решении ответ будет не 0.775, а 0.875 */

'''Формула полной вероятности''' (англ. ''law of total probability'') позволяет вычислить [[Вероятностное пространство, элементарный исход, событие | вероятность]] интересующего события <tex> A </tex> через вероятности его произойти при выполнении ''гипотез'' с заданной вероятностью. Формула полной вероятности требуется, когда необходимо узнать вероятность совершения некоторого события, если его совершение зависит от нескольких условий. Например, можно узнать вероятность принятия законопроекта, зная, с какой вероятностью его примет каждая партия. Ещё формула применяется в задачах о нахождении среднего качества продукции, выпускаемой цехом. Вот пример:
{{Задача
|definition =
Из <tex>40</tex> деталей <tex>10</tex> изготовлены в первом цехе, <tex>25</tex> {{---}} во втором, а остальные {{---}} в третьем. Первый и третий цехи дают продукцию отличного качества с вероятностью <tex>0.9</tex>, второй цех {{---}} с вероятностью <tex>0.7</tex>. Какова вероятность того, что взятая наудачу деталь будет отличного качества?
}}

==Теорема==
{{Определение
|definition =
'''Полной системой событий''' называется [[Мощность множества | не более чем счётное]] [[Множества | множество]] событий <tex> B_1,\ B_2,\ \dots,\ B_{n} </tex>, таких что:
# все события попарно несовместны: <tex> \forall i,\ j = 1,\ 2,\ \dots,\ n\ B_{i} \cap B_{j} = \varnothing </tex>
# их объединение образует пространство элементарных исходов: <tex>P(B_{i})~>~0,~B_1~\cup ~B_2~\cup\ \dots ~\cup ~B_n = \Omega </tex>
}}
В этом случае события <tex>B_i</tex> ещё называются гипотезами.

{{Теорема
| about =
формула полной вероятности
| statement =
Вероятность события <tex> A~\subset ~\Omega </tex>, которое может произойти только вместе с одним из событий <tex> B_1, B_2, \dots, B_{n} </tex>, образующих

полную систему событий, равна сумме произведений вероятностей гипотез на условные вероятности события, вычисленные соотвественно при каждой из гипотез.

<tex> {P}(A) = \sum\limits_{i=1}^{n} {P}( A \mid B_i) {P}(B_i) </tex>
| proof =

Так как события <tex>\{B_i\}_{i=1}^{n} </tex> образуют полную систему событий, то по определению событие <tex> A </tex> можно представить следующим образом:

<tex>
A~=~A \cap \Omega ~=~ A \cap \big( \bigcup\limits_{i=1}^{n} B_{i} \big) ~=~ \bigcup\limits_{i=1}^{n} ( A \cap B_{i} )
</tex>

События <tex>\{B_i\}_{i=1}^{n} </tex> попарно несовместны, значит, события <tex> (A\cap B_{i}) </tex> тоже несовместны. Тогда, воспользовавшись определением условной вероятности, получаем:

<tex>
{P}(A)~=~{P}\Big( \bigcup\limits_{i=1}^{n} ( A \cap B_{i} ) \Big) ~=~ \sum\limits_{i=1}^{n} {P}(A\cap B_i) ~=~ \sum\limits_{i=1}^{n} {P}(A \mid B_i){P}(B_i)
</tex>

}}

==Использование формулы полной вероятности==

Рассмотрим два примера

===Пример 1===
{{Задача
|definition = Имеются <tex>3</tex> одинаковые урны с шарами. В первой из них находится <tex>3</tex> белых и <tex>4</tex> черных шара, во второй {{---}} <tex>2</tex> белых и <tex>5</tex> чёрных, а в третьей {{---}} <tex>10</tex> чёрных шаров. Из случайно выбранной урны наудачу вынут шар. С какой вероятностью он окажется белым?
}}
'''Решение.''' Будем считать события <tex> B_1, B_2, B_3 </tex> выбором урны с соотвествующим номером, а событие <tex>A</tex> {{---}} выбором белого шара. По условию задачи все события выбора урны равновероятны, значит:

<tex> {P}(B_1)~=~{P}(B_2)~=~{P}(B_3)~=~ \genfrac{}{}{}{0}{1}{3} </tex>

Теперь найдём вероятность события <tex>A</tex> при выборе каждой урны:

<tex>
{P}(A \mid B_1) = \genfrac{}{}{}{0}{3}{7} ,~ {P}(A \mid B_2) = \genfrac{}{}{}{0}{2}{7} ,~ {P}(A \mid B_3) = 0.
</tex>

В результате получаем
<tex>
{P}(A) ~=~ \genfrac{}{}{}{0}{1}{3} \cdot \genfrac{}{}{}{0}{3}{7} +\genfrac{}{}{}{0}{1}{3} \cdot \genfrac{}{}{}{0}{2}{7} +\genfrac{}{}{}{0}{1}{3} \cdot 0 ~\approx ~ 0{.}238
</tex>

===Пример 2===
Рассмотрим пример из введения.

'''Решение.''' Обозначим за событие <tex> A </tex> {{---}} выбрана деталь отличного качества, тогда событие <tex> B_i </tex> {{---}} выбранная деталь изготовлена в <tex>i</tex> цехе (где <tex> i ~=~ 1,2,3 </tex>).

<tex>
{P}(B_1) = \genfrac{}{}{}{0}{10}{40} = \genfrac{}{}{}{0}{1}{4},~
{P}(B_2) = \genfrac{}{}{}{0}{25}{40} = \genfrac{}{}{}{0}{5}{8},~
{P}(B_3) = \genfrac{}{}{}{0}{5}{40} = \genfrac{}{}{}{0}{1}{8}.
</tex>

По условию задачи, вероятности производства продукции отличного качества в каждом цехе:

<tex>
{P}(A \mid B_1) = {P}(A \mid B_3) = \genfrac{}{}{}{0}{9}{10},~
{P}(A \mid B_2) = \genfrac{}{}{}{0}{7}{10}.
</tex>

Теперь воспользуемся формулой полной вероятности для нахождения искомой вероятности:

<tex>
{P}(A) ~=~ \sum\limits_{i=1}^3 {P}(A \mid B_i) {P}(B_i) ~=~ \genfrac{}{}{}{0}{9}{10} \cdot \genfrac{}{}{}{0}{1}{4} +\genfrac{}{}{}{0}{7}{10} \cdot \genfrac{}{}{}{0}{5}{8} +\genfrac{}{}{}{0}{9}{10} \cdot \genfrac{}{}{}{0}{1}{8} ~=~ 0{.}775
</tex>

==См. также==

* [[Условная вероятность]]
* [[Формула Байеса]]

== Источники информации ==
* [http://nsu.ru/mmf/tvims/chernova/tv/lec/node14.html NSU | Формула полной вероятности]
* [http://vm.psati.ru/downloads/uch-pos-tv.pdf Конспект лекций | Теория вероятностей]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Теория вероятности]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Формула полной вероятности