Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Лямбда-исчисление

2021-10-27T17:51:49Z

Rybak: удалил неуместный баннер

'''Лямбда-исчисление''' (''англ. lambda calculus'') {{---}} формальная система, придуманная в 1930-х годах
Алонзо Чёрчем. Лямбда-функция является, по сути, анонимной функцией.
Эта концепция показала себя удобной и сейчас активно используется во многих
языках программирования.

== Лямбда-исчисление==
{{Определение
|definition=
'''Лямбда-выражением''' (англ. <tex>\lambda</tex>''-term'') называется выражение, удовлетворяющее следующей грамматике: 
<tex>
\Lambda \to V\\
\Lambda \to \Lambda \ \Lambda\\
\Lambda \to \lambda V . \Lambda
</tex>
где <tex>V</tex> {{---}} множество всех строк над фиксированным алфавитом <tex> \Sigma \setminus \{ "\lambda", "\ ",\ "."\} </tex>.
}}
Пробел во втором правиле является терминалом грамматики. Иногда его обозначают как @, чтобы он не сливался с другими символами в выражении.

В первом случае функция является просто переменной.
Во втором происходит ''аппликация'' (''применение'') одной функции к другой.
Это аналогично вычислению функции-левого операнда на аргументе-правом операнде.
В третьем {{---}} ''абстракция'' по переменной. В данном случае происходит
создание функции одного аргумента с заданными именем аргумента и телом функции.

Рассмотрим, например, <tex>\lambda</tex>-терм <tex>\operatorname{id} = \lambda x\ .\ x</tex>. Эта функция принимает аргумент и
возвращает его неизменённым. Например,
<tex>\operatorname{id}\ 2 \equiv 2</tex>. Аналогично, <tex>\operatorname{id}\ y \equiv y</tex>.

Еще примеры:
:<tex>
x\\
(x\ z)\\
(\lambda x.(x\ z))\\
(\lambda z.(\lambda w.((\lambda y.((\lambda x.(x\ z))\ y))\ w)))\\
</tex>

Иногда <tex>\lambda</tex> -термы пишут по другому. Для краткости подряд идущие лямбды заменяют на одну. Например:
:<tex>\lambda x\ .\ \lambda y\ .P\ \to\ \lambda xy.P</tex>

===Приоритет операций===
* Аппликация: <tex>x\ y\ z\ w \equiv ((x\ y)\ z)\ w</tex>
* Абстракция забирает себе всё, до чего дотянется: <tex>\lambda x\ .\ \lambda y\ .\ \lambda z\ .\ z\ y\ x \equiv \lambda x\ .\ (\lambda y\ .\ (\lambda z\ .\ ((z\ y)\ x)))</tex>
* Скобки играют привычную роль группировки действий

===Свободные и связанные переменные===
''Связанными'' переменными называются все переменные, по которым выше в
дереве разбора были абстракции. Все остальные переменные называются свободными.

Например, в <tex>\lambda x\ .\ y\ x</tex>, <tex>x</tex> и связана, а <tex>y</tex>{{---}} свободна. А в <tex>\lambda y\ .\ x\ (\lambda x\ .\ x)</tex>
в своём первом вхождении переменная <tex>x</tex> свободна, а во втором {{---}} связана.

Связанные переменные {{---}} это аргументы функции. То есть для функции они являются локальными.

Рассмотрим функции <tex>\lambda y\ .\ y</tex> и <tex>\lambda x\ .\ y</tex>. В первой из них при взгляде на <tex>y</tex>
понятно, что она имеет отношение к переменной, по которой производилась
абстракция. Если по одной и той же
переменной абстракция производилась более одного раза, то переменная связана
с самым поздним (самым нижним в дереве разбора) абстрагированием. Например, в
<tex>\lambda x\ .\ \lambda x\ .\ \lambda y\ .\ \lambda x\ .\ x</tex>, переменная <tex>x</tex> связана с самой правой абстракцией
по <tex>x</tex>.

===α-эквивалетность===

{{Определение
|definition='''<tex>\alpha</tex>-эквивалетностью''' (англ. ''<tex>\alpha</tex> -equivalence'') {{---}} называется наименьшее соотношение эквивалентности на <tex>\Lambda</tex> такое что:
:<tex>P=_\alpha P</tex> для любого <tex>P</tex>
:<tex>\lambda x.P=_\alpha \lambda y.P[x:=y]</tex> если <tex>y \not\in FV(P)</tex>
и замкнуто относительно следующих правил:
:<tex> P=_\alpha P' \Rightarrow \forall x \in V: \lambda x.P=_\alpha \lambda x.P'\\
P=_\alpha P' \Rightarrow \forall Z \in \Lambda : P Z =_\alpha P'Z\\
P=_\alpha P' \Rightarrow \forall Z \in \Lambda : Z P =_\alpha Z P'\\
P=_\alpha P' \Rightarrow P'=_\alpha P\\
P=_\alpha P' \ \& \ P'=_\alpha P'' \Rightarrow P=_\alpha P''\\</tex>
}}

Функции <tex>\lambda x\ .\ \lambda y\ .\ x\ y\ z</tex> и <tex>\lambda a\ .\ \lambda x\ .\ a\ x\ z</tex> являются <tex>\alpha</tex>-эквивалентными,
а <tex>\lambda x\ .\ \lambda y\ .\ y\ z</tex> и <tex>\lambda y\ .\ \lambda x\ .\ y\ z</tex> {{---}} нет.

===β-редукция===

{{Определение
|definition=
'''<tex>\beta</tex>-редукция''' (англ. ''<tex>\beta</tex> -reduction'') {{---}} это наименьшее соотношение на <tex>\Lambda</tex> такое что
:<tex>(\lambda x.P)Q\to _\beta P[x:=Q]</tex>
и замкнуто относительно следующих правил
:<tex>P\to _\beta P' \Rightarrow \forall x\in V:\lambda x.P\to _\beta \lambda x.P'\\
P\to _\beta P' \Rightarrow \forall Z\in \Lambda : P\ Z\to _\beta P'\ Z\\
P\to _\beta P' \Rightarrow \forall Z\in \Lambda : Z\ P\to _\beta Z\ P'</tex>
}}

{{Определение
|definition=
Через <tex>f \to_\beta g</tex> обозначают сведение <tex>f</tex> к <tex>g</tex> с помощью одной <tex>\beta</tex>-редукции.
А через <tex>f \to_\beta^* g</tex> {{---}} за ноль или более.
}}

В <tex>\beta</tex>-редукции вполне возможна функция вида <tex>\lambda x. \lambda x.x</tex>. Во время подстановки вместо <tex>x</tex> внутренняя переменная не заменяется - действует принцип локальной переменной. Но принято считать, что таких ситуаций не возникает и все переменные называются разными именами.

===Каррирование===

{{Определение
|definition=
'''Каррирование''' (англ. ''carrying'') {{---}} преобразование функции от многих переменных в функцию, берущую свои аргументы по одному. Для функции <tex>h</tex> типа <tex>h\ :\ (A\ *\ B)\ \to\ C</tex> оператор каррирования <tex>\Lambda </tex> выполняет преобразование <tex>\Lambda (h)\ :\ A\to (B\to C)</tex>. Таким образом <tex>\Lambda (h)</tex> берет аргумент типа <tex>A</tex> и возвращает функцию типа <tex>B\ \to\ C</tex>. С интуитивной точки зрения, каррирование функции позволяет фиксировать ее некоторый аргумент, возвращая функцию от остальных аргументов. Таким образом, <tex>\Lambda</tex> представляет собой функцию типа <tex>\Lambda :\ (A\ *\ B\to C)\to (A\to (B\to C))</tex>.
}}

==Нотация Де Брауна==
Существует также альтернативное эквивалентное определение <tex>\lambda</tex>-исчисления.
В оригинальном определении для обозначения переменных использовались имена,
и была проблема с тем, что не были запрещены одинаковые имена в разных
абстракциях.

От этой проблемы можно избавиться следующим образом. Вместо имени переменной
будет храниться натуральное число {{---}} количество абстракций в дереве разбора,
на которое нужно подняться, чтобы найти ту лямбду, с которой данная переменная
связана. В данной нотации получаются несколько более простые определения
свободных переменных и <tex>\beta</tex>-редукции.

Грамматику нотации можно задать как:
:<tex>e\ ::= n\ |\ \lambda .e\ |\ e\ e</tex>

Примеры выражений в этой нотации:

{|
! Standart
! de Bruijn
|-
| $\lambda x.x$
| $\lambda .0$
|-
| $\lambda z.z$
| $\lambda .0$
|-
| $\lambda x. \lambda y.x$
| $\lambda . \lambda .1$
|-
| $\lambda x. \lambda y. \lambda s. \lambda z.x\ s\ (y\ s\ z)$
| $\lambda . \lambda . \lambda . \lambda .3\ 1(2\ 1\ 0)$
|-
| $(\lambda x.x\ x)(\lambda x.x\ x)$
| $(\lambda .0\ 0)(\lambda .0\ 0)$
|-
| $(\lambda x. \lambda x.x)(\lambda y.y)$
| $(\lambda .\lambda .0)(\lambda .0)$
|}

Переменная называется свободной, если ей соответствует число, которое больше
количества абстракций на пути до неё в дереве разбора.

При <tex>\beta</tex>-редукции же нужно будет ко всем свободным переменным заменяющего
дерева при каждой замене прибавить число, равное разницы уровней раньше и сейчас.
Это будет соответствовать тому, что эта переменная продолжит «держаться» за
ту же лямбду, что и раньше.

==Нумералы Чёрча и программирование на <tex>\lambda</tex>-исчислении==

===Определение===
Введём на основе лямбда-исчисления аналог натуральных чисел, основанный на идее,
что натуральное число {{---}} это или ноль, или увеличенное на единицу натуральное
число.

:<tex>\bar 0 = \lambda s\ .\ \lambda z\ .\ z</tex>
:<tex>\bar 1 = \lambda s\ .\ \lambda z\ .\ s\ z</tex>
:<tex>\bar 2 = \lambda s\ .\ \lambda z\ .\ s\ (s\ z)</tex>
:<tex>\bar 3 = \lambda s\ .\ \lambda z\ .\ s\ (s\ (s\ z))</tex>

Каждое число будет функцией двух аргументов: какой-то функции и начального значения.
Число <tex>n</tex> будет <tex>n</tex> раз применять функцию к начальному значению и возвращать
результат. Если такому "числу" дать на вход функцию <tex>(+1)</tex> и <tex>0</tex> в качестве
начального значения, то на выходе как раз будет ожидаемое от функции число:
<tex>\bar 3\ (+1)\ 0 \equiv 3</tex>.

===+1===
Функция, прибавляющая <tex>1</tex> к числу, должна принимать первым аргументом число.
Но число {{---}} функция двух аргументов. Значит, эта функция должна принимать три
аргумента: "число" <tex>n</tex>, которое хочется увеличить, функция, которую надо будет
<tex>n+1</tex> раз применить, и начальное значение.

<tex>\operatorname{succ} = \lambda n\ .\ \lambda s\ .\ \lambda z\ .\ s\ (n\ s\ z)</tex>

Здесь <tex>n\ s\ z</tex> {{---}} <tex>n</tex> раз применённая к <tex>z</tex> функция <tex>s</tex>. Но нужно применить <tex>n+1</tex>
раз. Отсюда <tex>s\ (n\ s\ z)</tex>.

===Сложение===
Сложение двух чисел похоже на прибавление единицы. Но только надо прибавить не единицу, а второе число.

<tex>\operatorname{plus} = \lambda n\ .\ \lambda m\ .\ \lambda s\ .\ \lambda z\ .\ n\ s\ (m\ s\ z)</tex>

<tex>n</tex> раз применить <tex>s</tex> к применённому <tex>m</tex> раз <tex>s</tex> к <tex>z</tex>

<tex>(\operatorname{plus}\ \bar 3\ \bar 3)\ (+1)\ 0 \equiv 6</tex>

<tex>(\operatorname{plus}\ ((\operatorname{plus}\ 2\ 5)(+1)\ 0)\ 4)(+1)0 \equiv 11</tex>

===Умножение===
Умножение похоже на сложение, но прибавлять надо не единицу, а второе число.
Или, в терминах нумералов Чёрча, в качестве применяемой несколько раз
функции должна быть не <tex>s</tex>, а функция, применяющая <tex>n</tex> раз <tex>s</tex>.

<tex>\operatorname{mult} = \lambda n\ .\ \lambda m\ .\ \lambda s\ .\ \lambda z\ .\ n\ (m\ s)\ z</tex>

Здесь <tex>m\ s</tex> {{---}} функция, которая <tex>m</tex> раз применит <tex>s</tex> к тому, что дадут ей на
вход. С помощью <tex>\eta</tex>-редукции можно немного сократить эту формулу

<tex>\operatorname{mult} = \lambda n\ .\ \lambda m\ .\ \lambda s\ .\ n\ (m\ s)</tex>

<tex>(\operatorname{mult} \bar 3\ \bar 3)\ (+1)\ 0 \equiv 9</tex>

===Возведение в степень===
It's a kind of magic

<tex>\operatorname{power} = \lambda n\ .\ \lambda m\ .\ \lambda s\ .\ \lambda z\ .\ m\ n\ s\ z</tex>

<tex>(\operatorname{power}\ \bar 3\ (\operatorname{succ}\ \bar 3))\ (+1)\ 0 \equiv 81</tex>

===Логические значения===
<tex>\operatorname{true} = \lambda a\ .\ \lambda b\ .\ a</tex>

<tex>\operatorname{false} = \lambda a\ .\ \lambda b\ .\ b</tex>

Функции двух аргументов, возвращающие первый и второй, соответственное, аргументы.
Забавный факт: <tex>\operatorname{false} \equiv_\alpha \operatorname{zero}</tex>. Эти функции сделаны такими для того,
чтобы красиво написать функцию <tex>\operatorname{if}</tex>:

<tex>\operatorname{if} = \lambda p\ .\ \lambda t\ .\ \lambda e\ .\ p\ t\ e</tex>

Если ей в качестве первого аргумента дадут <tex>\operatorname{true}</tex>, то вернётся <tex>t</tex>, иначе {{---}} <tex>e</tex>.

Стандартные функции булевой логики:

<tex>\operatorname{and} = \lambda n\ .\ \lambda m\ .\ \operatorname{if}\ n\ m\ \operatorname{false}</tex>

<tex>\operatorname{or} = \lambda n\ .\ \lambda m\ .\ \operatorname{if}\ n\ \operatorname{true} \ m</tex>

<tex>\operatorname{not} = \lambda b\ .\ \operatorname{if}\ b\ \operatorname{false} \ \operatorname{true}</tex>

Ещё одной важной функцией является функция проверки, является ли число нулём:

<tex>\operatorname{isZero} = \lambda n\ .\ n\ (\lambda c\ .\ \operatorname{false})\ \operatorname{true}</tex>

Функция выглядит несколько странно. <tex>\lambda c \to \operatorname{false}</tex> - функция, которая независимо
от того, что ей дали на вход, возвращает <tex>\operatorname{false}</tex>. Тогда, если в качестве <tex>n</tex>
будет дан ноль, то функция, по определению нуля, не выполнится ни разу, и будет
возвращено значение по умолчанию <tex>\operatorname{true}</tex>. Иначе же функция будет запущено, и
вернётся <tex>\operatorname{false}</tex>.

===Пара===

<tex>\operatorname{pair} = \lambda a\ .\ \lambda b\ .\ \lambda t\ .\ t\ a\ b</tex>

<tex>\operatorname{fst} = \lambda p\ .\ p\ \operatorname{true}</tex>

<tex>\operatorname{snd} = \lambda p\ .\ p\ \operatorname{false}</tex>

Функция <tex>\operatorname{pair}</tex> принимает два значения и запаковывает их в пару так, чтобы к ним можно было обращаться по <tex>\operatorname{fst}</tex> и <tex>\operatorname{snd}</tex>. В <tex>\operatorname{fst}</tex> и <tex>\operatorname{snd}</tex> вместо <tex>t</tex> в <tex>\operatorname{pair}</tex> будет подставлено <tex>\operatorname{true}</tex> или <tex>\operatorname{false}</tex>, возвращающие, соответственно, первый и второй аргументы, то есть <tex>a</tex> или <tex>b</tex>, соответственно.

===Вычитание===
В отличие от всех предыдущих функций, вычитание для натуральных чисел определено только в случае, если уменьшаемое больше вычитаемого. Положим в противном случае результат равным нулю. Пусть уже есть функция, которая вычитает из числа единицу. Тогда на её основе легко сделать, собственно, вычитание.

<tex>\operatorname{minus} = \lambda n\ .\ \lambda m\ .\ m\ \operatorname{pred} n</tex>

Это то же самое, что <tex>m</tex> раз вычесть единицу из <tex>n</tex>.

Осталось, собственно, функция для вычитания единицы. Однако, это не так просто, как может показаться на первый взгляд. Проблема в том, что, имея функцию, которую нужно применить для того, чтобы продвинуться вперёд, продвинуться назад будет проблематично. Если попробовать воспользоваться идеей о том, чтобы, начав от нуля, идти вперёд, и пройти на один шаг меньше, то будет не очень понятно, как же остановиться ровно за один шаг до конца. Для реализации вычитания единицы сделаем следующее. <tex>n</tex> раз выполним следующее: имея пару <tex>\langle n-1, n-2\rangle</tex> построим пару <tex>\langle n, n-1\rangle</tex>. Тогда после <tex>n</tex> шагов во втором элементе пары будет записано число <tex>n-1</tex>, которое и хочется получить.

<tex>\operatorname{pred} = \lambda n\ .\ \lambda s\ .\ \lambda z.\ \operatorname{snd}\ (
n\ (
\lambda p\ .\ \operatorname{pair}\ (s\ (\operatorname{fst} p))\ (\operatorname{fst} p)
)\ (\operatorname{pair}\ z\ z))</tex>

Если вы ничего не поняли, не огорчайтесь. Вычитание придумал Клини, когда ему вырывали зуб мудрости. А сейчас наркоз уже не тот.

===Сравнение===
Так как вычитание определено таким способом, чтобы для случая, в котором уменьшаемое больше, чем вычитаемое, возвращать ноль, можно определить сравнение на больше-меньше через него. Равными же числа <tex>a</tex> и <tex>b</tex> считаются, если <tex>a - b = 0 \wedge b - a = 0</tex>.

<tex>\operatorname{le} = \lambda n\ .\ \lambda m\ .\ \operatorname{isZero}\ (\operatorname{minus}\ n\ m)</tex>

<tex>\operatorname{less} = \lambda n\ .\ \lambda m\ .\ \operatorname{le}\ n\ (\operatorname{pred} m)</tex>

<tex>\operatorname{eq} = \lambda n\ .\ \lambda m\ .\ \operatorname{and}\ (\operatorname{isZero}\ (\operatorname{minus}\ n\ m))\
(\operatorname{isZero}\ (\operatorname{minus}\ m\ n))</tex>

===Комбинатор неподвижной точки===
Попробуем выразить в лямбда-исчислении какую-нибудь функцию, использующую рекурсию. Например, факториал.

<tex>\operatorname{fact} = \lambda x\ .\ \operatorname{if}\ (\operatorname{isZero}\ x)\ \bar 1\ (\operatorname{fact}\ (\operatorname{pred}\ x))</tex>

Мы столкнулись с проблемой. В определении функции <tex>\operatorname{fact}</tex> используется функция <tex>\operatorname{fact}</tex>. При формальной замене, получим бесконечную функцию. Можно попытаться решить эту проблему следующим образом

<tex>\operatorname{fact} = (\lambda f\ .\ \lambda x\ .\ \operatorname{if}\ (\operatorname{isZero}\ x)\ \bar 1\ (f\ (\operatorname{pred}\ x)))\ \operatorname{fact}</tex>

{{Определение
|definition=''Неподвижной точкой'' лямбда-функции <tex>f</tex> назовём такую функцию <tex>x</tex>, что
<tex>f\ x \to_\beta^* x</tex>.
}}

Лямбда исчисление обладаем замечательным свойством: у каждой функции есть неподвижная точка!

Рассмотрим следующую функцию.

<tex>\operatorname{fix} = \lambda f\ .\ (\lambda x\ .\ f\ (x\ x))\ (\lambda x\ .\ f\ (x\ x))</tex>

Заметим, что <tex>\operatorname{fix} \to_\beta^* \lambda f\ .\ f\ ((\lambda x\ .\ f\ (x\ x))\ (\lambda x\ .\ f\ (x\ x)))</tex>.
Или, что то же самое,
<tex>\lambda f\ .\ (\lambda x\ .\ f\ (x\ x))\ (\lambda x\ .\ f\ (x\ x)) \to_\beta^*</tex>
<tex>\lambda f\ .\ f\ ((\lambda x\ .\ f\ (x\ x))\ (\lambda x\ .\ f\ (x\ x)))</tex>

Рассмотрим функцию

<tex>\operatorname{fact'} = \lambda f\ .\ \lambda x\ .\ \operatorname{if}\ (\operatorname{isZero}\ x)\ \bar 1\ (\operatorname{mult}\ x\ (f\ (\operatorname{pred}\ x)))</tex>

Как было показано выше, <tex>\operatorname{fix} f \to_\beta^* f\ (\operatorname{fix} f)</tex>, то есть, <tex>\operatorname{fix}\ \operatorname{fact'} \to_\beta^* \operatorname{fact}</tex>, где <tex>\operatorname{fact}</tex> {{---}} искомая функция, считающая факториал.

<tex>\operatorname{fact} = \operatorname{fix}\ \operatorname{fact'}</tex>

Это даст функцию, которая посчитает факториал числа. Но делать она это будет мееедленно-меееедленно. Для того, чтобы посчитать <tex>5!</tex> потребовалось сделать 66066 <tex>\beta</tex>-редукций.

Наиболее известным комбинатором неподвижной точки является <tex>Y</tex>-комбинатор, введенный известным американским ученым Хаскеллом Карри как
:<tex>Y\ = \ \lambda f.(\lambda x.f(x\ x))\ (\lambda x.f(x\ x))</tex>

===Деление===
Воспользовавшись идеей о том, что можно делать рекурсивные функции, сделаем функцию, которая будет искать частное двух чисел.

<tex>\operatorname{div'} = \lambda div\ .\ \lambda n\ .\ \lambda m\ .\ \operatorname{if}\ (\operatorname{less}\ n\ m)\ \bar 0\ (\operatorname{succ}\ (div\ (\operatorname{minus}\ n\ m)\ m))</tex>

<tex>\operatorname{div} = \operatorname{fix}\ \operatorname{div'}</tex>

И остатка от деления

<tex>\operatorname{mod'} = \lambda mod\ .\ \lambda n\ .\ \lambda m\ .\ \operatorname{if}\ (\operatorname{less}\ n\ m)\ n\ (mod\ (\operatorname{minus}\ n\ m)\ m)</tex>

<tex>\operatorname{mod} = \operatorname{fix}\ \operatorname{mod'}</tex>

===Проверка на простоту===

<tex>\operatorname{isPrimeHelp}</tex> {{---}} принимает число, которое требуется проверить на простоту и то, на что его надо опытаться поделить, перебирая это от <tex>2</tex> до <tex>p-1</tex>. Если на что-нибудь разделилось, то число {{---}} составное, иначе {{---}} простое.

<tex>\operatorname{isPrimeHelp'} =</tex><tex>\lambda f\ .\ \lambda p\ .\ \lambda i\ .\ \operatorname{if}\ (\operatorname{le}\ p\ i)\ \operatorname{true}\ (\operatorname{if}\ (\operatorname{isZero}\ (\operatorname{mod}\ p\ i))\ \operatorname{false}\ (f\ p\ (\operatorname{succ}\ i)))</tex>

<tex>\operatorname{isPrimeHelp} = \operatorname{fix}\ \operatorname{isPrimeHelp'}</tex>

<tex>\operatorname{isPrime} = \lambda p\ .\ \operatorname{isPrimeHelp}\ p\ \bar 2</tex>

Следующее простое число. <tex>\operatorname{nextPrime'}</tex> {{---}} следующее, больше либо равное заданного, <tex>\operatorname{nextPrime}</tex> {{---}} следующее, большее заданного.

<tex>\operatorname{nextPrime''} = \lambda f\ .\ \lambda p\ .\ \operatorname{if}\ (\operatorname{isPrime}\ p)\ p\ (f\ (\operatorname{succ}\ p)) </tex>

<tex>\operatorname{nextPrime'} = \operatorname{fix}\ \operatorname{nextPrime'}</tex>

<tex>\operatorname{nextPrime} = \lambda p\ .\ \operatorname{nextPrime'}\ (\operatorname{succ}\ p)</tex>

<tex>\operatorname{ithPrimeStep}</tex> пропрыгает <tex>i</tex> простых чисел вперёд. <tex>\operatorname{ithPrime}</tex> принимает число <tex>i</tex> и пропрыгивает столько простых чисел вперёд, начиная с двойки.

<tex>\operatorname{ithPrimeStep'} = \lambda f\ .\ \lambda p\ .\ \lambda i\ .\ \operatorname{if}\ (\operatorname{isZero}\ i)\ p\ (f\ (\operatorname{nextPrime}\ p)\ (\operatorname{pred}\ i))</tex>

<tex>\operatorname{ithPrimeStep} = \operatorname{fix}\ \operatorname{ithPrimeStep'}</tex>

<tex>\operatorname{ithPrime} = \lambda i\ .\ \operatorname{ithPrimeStep}\ \bar 2\ i</tex>

...и всего через 314007 <tex>\beta</tex>-редукций вы узнаете, что третье простое число {{---}} семь!

===Списки===

Для работы со списками чисел нам понадобятся следующие функции:
* <tex>\operatorname{empty}</tex> {{---}} возвращает пустой список
* <tex>\operatorname{cons}</tex> {{---}} принимает первый элемент и оставшийся список, склеивает их
* <tex>\operatorname{head}</tex> {{---}} вернуть голову списка
* <tex>\operatorname{tail}</tex> {{---}} вернуть хвост списка

Список будем хранить в следующем виде: <tex>\langle len, p_1^{a_1}p_2^{a_2}\ldots p_{len}^{a_{len}} \rangle</tex>. При этом, голова списка будет храниться как показатель степени при <tex>p_{len}</tex>.

<tex>\operatorname{empty} = \operatorname{pair}\ \operatorname{zero}\ \bar 1</tex>

<tex>\operatorname{cons} = \lambda h\ .\ \lambda t\ .\ \operatorname{pair}\ (\operatorname{succ}\ (\operatorname{fst}\ t))\ (\operatorname{mult}\ (\operatorname{snd}\ t)\ (\operatorname{power}\ (\operatorname{ithPrime}\ (\operatorname{fst}\ t))\ h))</tex>

<tex>\operatorname{head} = \lambda list\ .\ \operatorname{getExponent}\ (\operatorname{snd}\ list)\ (\operatorname{ithPrime}\ (\operatorname{pred}\ (\operatorname{fst}\ list)))</tex>

<tex>\operatorname{tail} = \lambda list\ .\ \operatorname{pair}\ (\operatorname{pred}\ (\operatorname{fst}\ list))
(\operatorname{eliminateMultiplier}\ (\operatorname{snd}\ list)\ (\operatorname{ithPrime}\ (\operatorname{pred}\ (\operatorname{fst}\ list))))</tex>

<tex>\operatorname{eliminateMultiplier'} =</tex><tex> \lambda f\ .\ \lambda n\ .\ \lambda m\ .\ \operatorname{if}\ (\operatorname{isZero}\ (\operatorname{mod}\ n\ m))\ (f\ (\operatorname{div}\ n\ m)\ m)\ n</tex>

<tex>\operatorname{eliminateMultiplier} = \operatorname{fix}\ \operatorname{eliminateMultiplier'}</tex>

<tex>\operatorname{getExponent'} =</tex><tex> \lambda f\ .\ \lambda n\ .\ \lambda m\ .\ \operatorname{if}\ (\operatorname{isZero}\ (\operatorname{mod}\ n\ m))\ (\operatorname{succ}\ (f\ (\operatorname{div}\ n\ m)\ m))\ \bar 0</tex>

<tex>\operatorname{getExponent} = \operatorname{fix}\ \operatorname{getExponent'}</tex>

==Выводы==

На основе этого всего уже можно реализовать эмулятор машины тьюринга: с помощью пар, списков чисел можно хранить состояния. С помощью рекурсии можно обрабатывать переходы. Входная строка будет даваться, например, закодированной аналогично списку: пара из длины и числа, характеризующего список степенями простых. Я бы продолжил это писать, но уже на операции <tex>\operatorname{head} [1, 2]</tex> я не дождался окончания выполнения. Скорость лямбда-исчисления как вычислителя печальна.

==Примеры (слабонервным не смотреть)==

====fact====
<tex>(\lambda f.(\lambda x.f (x x))</tex><tex> (\lambda x.f (x x)))</tex><tex> (\lambda f.\lambda x.(\lambda p.\lambda t.\lambda e.p t e)</tex><tex> ((\lambda n.n (\lambda c.\lambda a.\lambda b.b)</tex><tex> (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (x))</tex><tex> (\lambda s.\lambda z.s z)</tex><tex> ((\lambda n.\lambda m.\lambda s.n (m s))</tex><tex> (x)</tex><tex> (f ((\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))</tex><tex> (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex>((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex>(z)</tex><tex> z))) (x)))))</tex>
====head====
<tex>\lambda list.(\lambda f.(\lambda x.f (x x))</tex><tex> (\lambda x.f (x x)))</tex><tex> (\lambda f.\lambda n.\lambda m.(\lambda p.\lambda t.\lambda e.p t e)</tex><tex> ((\lambda n.n (\lambda c.\lambda a.\lambda b.b)</tex><tex> (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> ((\lambda f.(\lambda x.f (x x))</tex><tex> (\lambda x.f (x x)))</tex><tex> (\lambda mod.\lambda n.\lambda m.(\lambda p.\lambda t.\lambda e.p t e)</tex><tex> ((\lambda n.\lambda m.(\lambda n.\lambda m.(\lambda n.n(\lambda c.\lambda a.\lambda b.b)</tex><tex> (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> ((\lambda n.\lambda m.m (\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))</tex><tex> (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (z)</tex><tex> z))) n) (n)</tex><tex> m)) (n)</tex><tex> ((\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))</tex><tex> (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (z)</tex><tex> z))) (m)))</tex><tex> (n)</tex><tex> m) n (mod ((\lambda n.\lambda m.m (\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))</tex><tex> (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (z)</tex><tex> z))) n) (n)</tex><tex> m) m)) n m)) ((\lambda n.\lambda s.\lambda z.s (n s z))</tex><tex> (f ((\lambda f.(\lambda x.f (x x))</tex><tex> (\lambda x.f (x x)))</tex><tex> (\lambda div.\lambda n.\lambda m.(\lambda p.\lambda t.\lambda e.p t e)</tex><tex> ((\lambda n.\lambda m.(\lambda n.\lambda m.(\lambda n.n (\lambda c.\lambda a.\lambda b.b)</tex><tex> (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> ((\lambda n.\lambda m.m (\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))</tex><tex> (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (z)</tex><tex> z))) n) (n)</tex><tex> m)) (n)</tex><tex> ((\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))</tex><tex> (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (z)</tex><tex> z))) (m)))</tex><tex> (n)</tex><tex> m) (\lambda s.\lambda z.z)</tex><tex> ((\lambda n.\lambda s.\lambda z.s (n s z))</tex><tex> (div ((\lambda n.\lambda m.m (\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))</tex><tex> (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (z)</tex><tex> z))) n) (n)</tex><tex> m) m))) n m) m)) (\lambda s.\lambda z.z))</tex><tex> ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))</tex><tex> (list))</tex><tex> ((\lambda i.(\lambda f.(\lambda x.f (x x))</tex><tex> (\lambda x.f (x x)))</tex><tex> (\lambda f.\lambda p.\lambda i.(\lambda p.\lambda t.\lambda e.p t e)</tex><tex> ((\lambda n.n (\lambda c.\lambda a.\lambda b.b)</tex><tex> (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (i))</tex><tex> p (f ((\lambda p.(\lambda f.(\lambda x.f (x x))</tex><tex> (\lambda x.f (x x)))</tex><tex> (\lambda f.\lambda p.(\lambda p.\lambda t.\lambda e.p t e)</tex><tex> ((\lambda p.(\lambda f.(\lambda x.f (x x))</tex><tex> (\lambda x.f (x x)))</tex><tex> (\lambda f.\lambda p.\lambda i.(\lambda p.\lambda t.\lambda e.p t e)</tex><tex> ((\lambda n.\lambda m.(\lambda n.n (\lambda c.\lambda a.\lambda b.b)</tex><tex> (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> ((\lambda n.\lambda m.m (\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))</tex><tex> (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (z)</tex><tex> z))) n) (n)</tex><tex> m)) (p)</tex><tex> i) (\lambda a.\lambda b.a)</tex><tex> ((\lambda p.\lambda t.\lambda e.p t e)</tex><tex> ((\lambda n.n (\lambda c.\lambda a.\lambda b.b)</tex><tex> (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> ((\lambda f.(\lambda x.f (x x))</tex><tex> (\lambda x.f (x x)))</tex><tex> (\lambda mod.\lambda n.\lambda m.(\lambda p.\lambda t.\lambda e.p t e)</tex><tex> ((\lambda n.\lambda m.(\lambda n.\lambda m.(\lambda n.n (\lambda c.\lambda a.\lambda b.b)</tex><tex> (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> ((\lambda n.\lambda m.m (\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))</tex><tex> (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (z)</tex><tex> z))) n) (n)</tex><tex> m)) (n)</tex><tex> ((\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))</tex><tex> (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (z)</tex><tex> z))) (m)))</tex><tex> (n)</tex><tex> m) n (mod ((\lambda n.\lambda m.m (\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))</tex><tex> (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (z)</tex><tex> z))) n) (n)</tex><tex> m) m)) p i)) (\lambda a.\lambda b.b)</tex><tex> (f p ((\lambda n.\lambda s.\lambda z.s (n s z))</tex><tex> (i)))))</tex><tex> p (\lambda s.\lambda z.s (s z)))</tex><tex> (p))</tex><tex> p (f ((\lambda n.\lambda s.\lambda z.s (n s z))</tex><tex> (p))))</tex><tex> ((\lambda n.\lambda s.\lambda z.s (n s z))</tex><tex> (p)))</tex><tex> (p))</tex><tex> ((\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))</tex><tex> (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (z)</tex><tex> z))) (i))))</tex><tex> (\lambda s.\lambda z.s (s z))</tex><tex> i) ((\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))</tex><tex> (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (z)</tex><tex> z))) ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (list))))</tex>

====tail====
<tex>\lambda list.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> ((\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))</tex><tex> (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (z)</tex><tex> z))) ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (list)))</tex><tex> ((\lambda f.(\lambda x.f (x x))</tex><tex> (\lambda x.f (x x)))</tex><tex> (\lambda f.\lambda n.\lambda m.(\lambda p.\lambda t.\lambda e.p t e)</tex><tex> ((\lambda n.n (\lambda c.\lambda a.\lambda b.b)</tex><tex> (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> ((\lambda f.(\lambda x.f (x x))</tex><tex> (\lambda x.f (x x)))</tex><tex> (\lambda mod.\lambda n.\lambda m.(\lambda p.\lambda t.\lambda e.p t e)</tex><tex> ((\lambda n.\lambda m.(\lambda n.\lambda m.(\lambda n.n (\lambda c.\lambda a.\lambda b.b)</tex><tex> (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> ((\lambda n.\lambda m.m (\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))</tex><tex> (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (z)</tex><tex> z))) n) (n)</tex><tex> m)) (n)</tex><tex> ((\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))</tex><tex> (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (z)</tex><tex> z))) (m)))</tex><tex> (n)</tex><tex> m) n (mod ((\lambda n.\lambda m.m (\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))</tex><tex> (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (z)</tex><tex> z))) n) (n)</tex><tex> m) m)) n m)) (f ((\lambda f.(\lambda x.f (x x))</tex><tex> (\lambda x.f (x x)))</tex><tex> (\lambda div.\lambda n.\lambda m.(\lambda p.\lambda t.\lambda e.p t e)</tex><tex> ((\lambda n.\lambda m.(\lambda n.\lambda m.(\lambda n.n (\lambda c.\lambda a.\lambda b.b)</tex><tex> (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> ((\lambda n.\lambda m.m (\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))</tex><tex> (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (z)</tex><tex> z))) n) (n)</tex><tex> m)) (n)</tex><tex> ((\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))</tex><tex> (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (z)</tex><tex> z))) (m)))</tex><tex> (n)</tex><tex> m) (\lambda s.\lambda z.z)</tex><tex> ((\lambda n.\lambda s.\lambda z.s (n s z))</tex><tex> (div ((\lambda n.\lambda m.m (\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))</tex><tex> (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (z)</tex><tex> z))) n) (n)</tex><tex> m) m))) n m) m) n) ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))</tex><tex> (list))</tex><tex> ((\lambda i.(\lambda f.(\lambda x.f (x x))</tex><tex> (\lambda x.f (x x)))</tex><tex> (\lambda f.\lambda p.\lambda i.(\lambda p.\lambda t.\lambda e.p t e)</tex><tex> ((\lambda n.n (\lambda c.\lambda a.\lambda b.b)</tex><tex> (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (i))</tex><tex> p (f ((\lambda p.(\lambda f.(\lambda x.f (x x))</tex><tex> (\lambda x.f (x x)))</tex><tex> (\lambda f.\lambda p.(\lambda p.\lambda t.\lambda e.p t e)</tex><tex> ((\lambda p.(\lambda f.(\lambda x.f (x x))</tex><tex> (\lambda x.f (x x)))</tex><tex> (\lambda f.\lambda p.\lambda i.(\lambda p.\lambda t.\lambda e.p t e)</tex><tex> ((\lambda n.\lambda m.(\lambda n.n (\lambda c.\lambda a.\lambda b.b)</tex><tex> (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> ((\lambda n.\lambda m.m (\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))</tex><tex> (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (z)</tex><tex> z))) n) (n)</tex><tex> m)) (p)</tex><tex> i) (\lambda a.\lambda b.a)</tex><tex> ((\lambda p.\lambda t.\lambda e.p t e)</tex><tex> ((\lambda n.n (\lambda c.\lambda a.\lambda b.b)</tex><tex> (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> ((\lambda f.(\lambda x.f (x x))</tex><tex> (\lambda x.f (x x)))</tex><tex> (\lambda mod.\lambda n.\lambda m.(\lambda p.\lambda t.\lambda e.p t e)</tex><tex> ((\lambda n.\lambda m.(\lambda n.\lambda m.(\lambda n.n (\lambda c.\lambda a.\lambda b.b)</tex><tex> (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> ((\lambda n.\lambda m.m (\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))</tex><tex> (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (z)</tex><tex> z))) n) (n)</tex><tex> m)) (n)</tex><tex> ((\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))</tex><tex> (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (z)</tex><tex> z))) (m)))</tex><tex> (n)</tex><tex> m) n (mod ((\lambda n.\lambda m.m (\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))</tex><tex> (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (z)</tex><tex> z))) n) (n)</tex><tex> m) m)) p i)) (\lambda a.\lambda b.b)</tex><tex> (f p ((\lambda n.\lambda s.\lambda z.s (n s z))</tex><tex> (i)))))</tex><tex> p (\lambda s.\lambda z.s (s z)))</tex><tex> (p))</tex><tex> p (f ((\lambda n.\lambda s.\lambda z.s (n s z))</tex><tex> (p))))</tex><tex> ((\lambda n.\lambda s.\lambda z.s (n s z))</tex><tex> (p)))</tex><tex> (p))</tex><tex> ((\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))</tex><tex> (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (z)</tex><tex> z))) (i))))</tex><tex> (\lambda s.\lambda z.s (s z))</tex><tex> i) ((\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))</tex><tex> (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (z)</tex><tex> z))) ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (list)))))</tex>

== См. также ==
*[[Неразрешимость задачи вывода типов в языке с зависимыми типами]]

==Источники информации==
* Lectures on the Curry Howard - Isomorphism
*[https://github.com/shd/tt2014 Д. Штукенберг. Лекции]
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Lambda-calculus Английская Википедия]
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D1%8F%D0%BC%D0%B1%D0%B4%D0%B0-%D0%B8%D1%81%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Русская Википедия]
*[http://worrydream.com/AlligatorEggs Игра про крокодилов]

[[Категория: Теория формальных языков]]
[[Категория: Теория вычислимости]]

Целочисленный двоичный поиск

2021-10-27T17:46:13Z

Rybak: /* Применение двоичного поиска на некоторых неотсортированных массивах */ ссылка на тернарный поиск

'''Целочисленный двоичный поиск (бинарный поиск)''' (англ. binary search) {{---}} алгоритм поиска объекта по заданному признаку в множестве объектов, упорядоченных по тому же самому признаку, работающий за логарифмическое время.
{{Задача
|definition = Пусть нам дан упорядоченный массив, состоящий только из целочисленных элементов. Требуется найти позицию, на которой находится заданный элемент.
}}

[[Файл:shcemebinsearch.png|320px|thumb|right|Схема бинарного поиска]]

==Принцип работы==
Двоичный поиск заключается в том, что на каждом шаге множество объектов делится на две части и в работе остаётся та часть множества, где находится искомый объект. Или же, в зависимости от постановки задачи, мы можем остановить процесс, когда мы получим первый или же последний индекс вхождения элемента. Последнее условие {{---}} это левосторонний/правосторонний двоичный поиск.

== Правосторонний/левосторонний целочисленный двоичный поиск ==
Для простоты дальнейших определений будем считать, что <tex>a[-1] = -\infty</tex> и что <tex>a[n] = +\infty</tex> (массив нумеруется с <tex>0</tex>).

{{Определение|definition='''Правосторонний бинарный поиск''' (англ. rightside binary search) {{---}} бинарный поиск, с помощью которого мы ищем <tex> \max\limits_{i \in [-1,n-1]} \{i \mid a[i] \leqslant x\} </tex>, где <tex>a</tex> {{---}} массив, а <tex>x</tex> {{---}} искомый ключ}}

{{Определение|definition='''Левосторонний бинарный поиск''' (англ. leftside binary search) {{---}} бинарный поиск, с помощью которого мы ищем <tex> \min\limits_{i \in [0,n]}\{i \mid a[i] \geqslant x\} </tex>, где <tex>a</tex> {{---}} массив, а <tex>x</tex> {{---}} искомый ключ}}

Использовав эти два вида двоичного поиска, мы можем найти отрезок позиций <tex>[l,r]</tex> таких, что <tex>\forall i \in [l,r] : a[i] = x</tex> и <tex> \forall i \notin [l,r] : a[i] \neq x </tex>

===Пример:===

Задан отсортированный массив <tex>[1, 2, 2, 2, 2, 3, 5, 8, 9, 11], x = 2</tex>.

Правосторонний поиск двойки выдаст в результате <tex>4</tex>, в то время как левосторонний выдаст <tex>1</tex> (нумерация с нуля).

Отсюда следует, что количество подряд идущих двоек равно длине отрезка <tex>[1;4]</tex>, то есть <tex>4</tex>.

Если искомого элемента в массиве нет, то правосторонний поиск выдаст максимальный элемент, меньший искомого, а левосторонний наоборот, минимальный элемент, больший искомого.

== Алгоритм двоичного поиска ==
Идея поиска заключается в том, чтобы брать элемент посередине, между границами, и сравнивать его с искомым.
Если искомое больше(в случае правостороннего {{---}} не меньше), чем элемент сравнения,
то сужаем область поиска так, чтобы новая левая граница была равна индексу середины предыдущей области. В противном случае присваиваем это значение правой границе. Проделываем эту процедуру до тех пор, пока правая граница больше левой более чем на <tex>1</tex>.

== Код ==
'''int''' binSearch('''int[]''' a, '''int''' key): // Запускаем бинарный поиск
'''int''' l = -1 // l, r {{---}} левая и правая границы
'''int''' r = len(a)
'''while''' l < r - 1 // Запускаем цикл
m = (l + r) / 2 // m {{---}} середина области поиска
'''if''' a[m] < key
l = m
'''else'''
r = m // Сужение границ
'''return''' r

Инвариант цикла: правый индекс не меньше искомого элемента, а левый {{---}} строго меньше (т.к значение <tex>m</tex> присваевается левой границе <tex>l</tex>, только тогда, когда <tex>a[m]</tex> строго меньше искомого элемента <tex>key</tex>), тогда если <tex>r = l + 1</tex> (что эквивалентно <tex>r-l=1</tex>), то понятно, что <tex>r</tex> {{---}} самое левое вхождение искомого элемента (так как предыдущие элементы уже меньше искомого элемента)

В случае правостороннего поиска изменится знак сравнения при сужении границ на <tex>a[m] \leqslant k</tex>.

== Несколько слов об эвристиках ==
'''Эвристика с завершением поиска, при досрочном нахождении искомого элемента'''

Заметим, что если нам необходимо просто проверить наличие элемента в упорядоченном множестве, то можно использовать любой из правостороннего и левостороннего поиска.
При этом будем на каждой итерации проверять "не попали ли мы в элемент, равный искомому", и в случае попадания заканчивать поиск.

'''Эвристика с запоминанием ответа на предыдущий запрос'''

Пусть дан отсортированный массив чисел, упорядоченных по неубыванию.
Также пусть запросы приходят в таком порядке, что каждый следующий не меньше, чем предыдущий.
Для ответа на запрос будем использовать левосторонний двоичный поиск.
При этом после того как обработался первый запрос, запомним чему равно <tex>l</tex>, запишем его в переменную <tex>startL</tex>.
Когда будем обрабатывать следующий запрос, то проинициализируем левую границу как <tex>startL</tex>.
Заметим, что все элементы, которые лежат не правее <tex>startL</tex>, строго меньше текущего искомого элемента, так как они меньше предыдущего запроса, а значит и меньше текущего. Значит инвариант цикла выполнен.

== Применение двоичного поиска на некоторых неотсортированных массивах ==

{{Задача
|definition = Пусть отсортированный по возрастанию массив из <tex>n</tex> элементов <tex>a[0 \ldots n - 1]</tex>, все элементы которого различны, был циклически сдвинут, требуется максимально быстро найти элемент в таком массиве.
}}

Если массив, отсортированный по возрастанию, был циклически сдвинут, тогда полученный массив состоит из двух отсортированных частей. Используем двоичный поиск, чтобы найти индекс последнего элемента левой части массива. Для этого в реализации двоичного поиска заменим условие в <code>'''if'''</code> на <tex>a[m] > a[n-1]</tex>, тогда в <tex>l</tex> будет содержаться искомый индекс:
<code>
'''int''' l = -1
'''int''' r = len(a)
'''while''' l < r - 1 // С помощью бинарного поиска найдем максимум на массиве
m = (l + r) / 2 // m {{---}} середина области поиска
'''if''' a[m] > a[n - 1] // Сужение границ
l = m
'''else'''
r = m
'''int''' x = l // x {{---}} искомый индекс.
</code>
Затем воспользуемся двоичным поиском искомого элемента <tex>key</tex>, запустив его на той части массива, в которой он находится: на <tex>[0, x]</tex> или на <tex>[x + 1, n - 1]</tex>. Для определения нужной части массива сравним <tex>key</tex> с первым и с последним элементами массива:
<code>
'''if''' key > a[0] // Если key в левой части
l = -1
r = x + 1
'''if''' key < a[n] // Если key в правой части
l = x
r = n
</code>
Время выполнения данного алгоритма {{---}} <tex>O(2\log n)=O(\log n)</tex>.

{{Задача
|definition = Массив образован путем приписывания в конец массива, отсортированного по возрастанию, массива, отсортированного по убыванию. Требуется максимально быстро найти элемент в таком массиве.
}}

Найдем индекс последнего элемента массива, отсортированного по возрастанию, воспользовавшись [[Троичный_поиск|троичным поиском]], затем запустим левосторонний двоичный поиск для каждого массива отдельно: для элементов <tex>[0 \ldots x]</tex> и для элементов <tex>[x+1 \ldots n]</tex>, где в качестве <tex>x</tex> мы возьмем индекс максимума, найденный троичным поиском. Для массива, отсортированного по убыванию используем двоичный поиск, изменив условие в <code>'''if'''</code> на <tex>a[m] > key</tex>.

Время выполнения алгоритма {{---}} <tex> O(\log n)</tex> (так как и бинарный поиск, и [[тернарный поиск]] работают за логарифмическое время с точностью до константы).

{{Задача
|definition = Два отсортированных по возрастанию массива записаны один в конец другого. Требуется максимально быстро найти элемент в таком массиве.
}}

Мы имеем массив, образованный из двух отсортированных подмассивов, записанных один в конец другого. Запустить сразу бинарный или тернарный поиски на таком массиве нельзя, так как массив не будет обязательно отсортированным и он не будет иметь <tex>1</tex> точку экстремума. Поэтому попробуем найти индекс последнего элемента левого массива, чтобы потом запустить бинарный поиск два раза на отсортированных массивах.

Докажем, что найти этот индекс невозможно быстрее, чем за <tex>\Omega (n)</tex>. Возьмем возрастающий массив целых чисел, начиная с <tex>1</tex>. Он удовлетворяет условию задачи. Вставим в него <tex>0</tex> на любую позицию. Такой массив по-прежнему будет удовлетворять условию задачи. Следовательно, из-за того, что <tex>0</tex> может находиться на любой позиции, мы можем его найти лишь за <tex>\Omega (n)</tex>.

{{Задача
|definition = Массив образован путем циклического сдвига массива, образованного приписыванием отсортированного по убыванию массива в конец отсортированного по возрастанию. Требуется максимально быстро найти элемент в таком массиве.
}}

После циклического сдвига мы получим массив <tex>a[0 \ldots n-1]</tex>, образованный из трех частей: отсортированных по возрастанию-убыванию-возрастанию (<tex>\nearrow \searrow \nearrow </tex>) или по убыванию-возрастанию-убыванию (<tex> \searrow \nearrow \searrow </tex>). С помощью двоичного поиска найдем индексы максимального и минимального элементов массива, заменив условие в <code>'''if'''</code> на <tex>a[m] > a[m - 1]</tex> (ответ будет записан в <tex>l</tex>) или на <tex>a[m] > a[m + 1]</tex> (ответ будет записан в <tex>r</tex>) соответственно.

Фактически, при поиске индексов минимума и максимума мы проверяем, возрастает или убывает массив на промежутке <tex> [ m - 1 ; m ] </tex>, а затем, в зависимости от того, что мы ищем, мы либо поднимаемся, либо опускаемся по этому промежутку возрастания (убывания). Однако при таком решении могут быть неправильно найдены значения минимума или максимума. Рассмотрим случаи, когда они будут неправильно найдены. Определить, какого вида наш массив возможно, сравнив первые два элемента массива.

Рассмотрим отдельно ситуацию, если наш массив вида возрастание-убывание-возрастание (<tex>\nearrow \searrow \nearrow </tex>). В таком случае может быть неправильно найдено значение максимума, если последний промежуток возрастания занимает больше половины массива (мы будем подниматься по последнему промежутку возрастания вплоть до конца массива и за максимум будет принят последний элемент массива, что не всегда верно). Тогда, если последний элемент массива меньше первого, нужно еще раз запустить поиск максимума, но уже на промежутке от <tex>0</tex> до <tex>min</tex>, потому что истинный максимум будет находиться в первой точке экстремума, которую мы таким образом и найдем.

В случае же убывание-возрастание-убывание (<tex> \searrow \nearrow \searrow </tex>) может быть, что будет неправильно найден минимум. Найдем правильный минимум аналогично поиску максимума в предыдущем абзаце.

Затем, в зависимости от типа нашего массива, запустим бинарный поиск три раза на каждом промежутке.

Время выполнения данного алгоритма {{---}} <tex>O(6\log n)=O(\log n)</tex>.

== Переполнение индекса середины ==
В некоторых языках программирования присвоение <code>m = (l + r) / 2</code> приводит к переполнению. Вместо этого рекомендуется использовать <code>m = l + (r - l) / 2;</code> или эквивалентные выражения.<ref>https://ai.googleblog.com/2006/06/extra-extra-read-all-about-it-nearly.html</ref>

== См. также ==
* [[Вещественный_двоичный_поиск|Вещественный двоичный поиск]]
* [[Троичный_поиск|Троичный поиск]]
* [[Поиск_с_помощью_золотого_сечения|Поиск с помощью золотого сечения]]
* [[Интерполяционный_поиск|Интерполяционный поиск]]

== Источники информации ==
* Д. Кнут {{---}} Искусство программирования (Том 3, 2-е издание)
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B2%D0%BE%D0%B8%D1%87%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BF%D0%BE%D0%B8%D1%81%D0%BA Википедия {{---}} двоичный поиск]
* [http://habrahabr.ru/post/146228/ Типичные ошибки при написании бинарного поиска]
* [http://algolist.manual.ru/search/advbin.php Бинарный поиск на algolist]

== Примечания ==
<references/>

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Алгоритмы поиска]]

Тернарный поиск

2021-10-27T17:45:27Z

Rybak: #REDIRECT Троичный поиск

#REDIRECT [[Троичный поиск]]

Целочисленный двоичный поиск

2019-05-27T15:15:34Z

Rybak: /* Примечания */ заголовок секции

'''Целочисленный двоичный поиск (бинарный поиск)''' (англ. binary search) {{---}} алгоритм поиска объекта по заданному признаку в множестве объектов, упорядоченных по тому же самому признаку, работающий за логарифмическое время.
{{Задача
|definition = Пусть нам дан упорядоченный массив, состоящий только из целочисленных элементов. Требуется найти позицию, на которой находится заданный элемент.
}}

[[Файл:shcemebinsearch.png|320px|thumb|right|Схема бинарного поиска]]

==Принцип работы==
Двоичный поиск заключается в том, что на каждом шаге множество объектов делится на две части и в работе остаётся та часть множества, где находится искомый объект. Или же, в зависимости от постановки задачи, мы можем остановить процесс, когда мы получим первый или же последний индекс вхождения элемента. Последнее условие {{---}} это левосторонний/правосторонний двоичный поиск.

== Правосторонний/левосторонний целочисленный двоичный поиск ==
Для простоты дальнейших определений будем считать, что <tex>a[-1] = -\infty</tex> и что <tex>a[n] = +\infty</tex> (массив нумеруется с <tex>0</tex>).

{{Определение|definition='''Правосторонний бинарный поиск''' (англ. rightside binary search) {{---}} бинарный поиск, с помощью которого мы ищем <tex> \max\limits_{i \in [0,n]} \{i \mid a[i] \leqslant x\} </tex>, где <tex>a</tex> {{---}} массив, а <tex>x</tex> {{---}} искомый ключ}}

{{Определение|definition='''Левосторонний бинарный поиск''' (англ. leftside binary search) {{---}} бинарный поиск, с помощью которого мы ищем <tex> \min\limits_{i \in [0,n]}\{i \mid a[i] \geqslant x\} </tex>, где <tex>a</tex> {{---}} массив, а <tex>x</tex> {{---}} искомый ключ}}

Использовав эти два вида двоичного поиска, мы можем найти отрезок позиций <tex>[l,r]</tex> таких, что <tex>\forall i \in [l,r] : a[i] = x</tex> и <tex> \forall i \notin [l,r] : a[i] \neq x </tex>

===Пример:===

Задан отсортированный массив <tex>[1, 2, 2, 2, 2, 3, 5, 8, 9, 11], x = 2</tex>.

Правосторонний поиск двойки выдаст в результате <tex>4</tex>, в то время как левосторонний выдаст <tex>1</tex> (нумерация с нуля).

Отсюда следует, что количество подряд идущих двоек равно длине отрезка <tex>[1;4]</tex>, то есть <tex>4</tex>.

Если искомого элемента в массиве нет, то правосторонний поиск выдаст минимальный элемент, больший искомого, а левосторонний наоборот, максимальный элемент, меньший искомого.

== Алгоритм двоичного поиска ==
Идея поиска заключается в том, чтобы брать элемент посередине, между границами, и сравнивать его с искомым.
Если искомое больше(в случае правостороннего {{---}} не меньше), чем элемент сравнения,
то сужаем область поиска так, чтобы новая левая граница была равна индексу середины предыдущей области. В противном случае присваиваем это значение правой границе. Проделываем эту процедуру до тех пор, пока правая граница больше левой более чем на <tex>1</tex>.

== Код ==
'''int''' binSearch('''int[]''' a, '''int''' key): // Запускаем бинарный поиск
'''int''' l = -1 // l, r {{---}} левая и правая границы
'''int''' r = len(a)
'''while''' l < r - 1 // Запускаем цикл
m = (l + r) / 2 // m {{---}} середина области поиска
'''if''' a[m] < key
l = m
'''else'''
r = m // Сужение границ
'''return''' r

В случае правостороннего поиска изменится знак сравнения при сужении границ на <tex>a[m] \leqslant k</tex>.

Инвариант цикла: пусть левый индекс не больше искомого элемента, а правый {{---}} строго больше, тогда если <tex>l = r - 1</tex>, то понятно, что <tex>l</tex> {{---}} самое правое вхождение (так как следующее уже больше).

== Несколько слов об эвристиках ==
'''Эвристика с завершением поиска, при досрочном нахождении искомого элемента'''

Заметим, что если нам необходимо просто проверить наличие элемента в упорядоченном множестве, то можно использовать любой из правостороннего и левостороннего поиска.
При этом будем на каждой итерации проверять "не попали ли мы в элемент, равный искомому", и в случае попадания заканчивать поиск.

'''Эвристика с запоминанием ответа на предыдущий запрос'''

Пусть дан отсортированный массив чисел, упорядоченных по неубыванию.
Также пусть запросы приходят в таком порядке, что каждый следующий не меньше, чем предыдущий.
Для ответа на запрос будем использовать левосторонний двоичный поиск.
При этом после того как обработался первый запрос, запомним чему равно <tex>l</tex>, запишем его в переменную <tex>startL</tex>.
Когда будем обрабатывать следующий запрос, то проинициализируем левую границу как <tex>startL</tex>.
Заметим, что все элементы, которые лежат не правее <tex>startL</tex>, строго меньше текущего искомого элемента, так как они меньше предыдущего запроса, а значит и меньше текущего. Значит инвариант цикла выполнен.

== Применение двоичного поиска на некоторых неотсортированных массивах ==

{{Задача
|definition = Пусть отсортированный по возрастанию массив из <tex>n</tex> элементов <tex>a[0 \ldots n - 1]</tex>, все элементы которого различны, был циклически сдвинут, требуется максимально быстро найти элемент в таком массиве.
}}

Если массив, отсортированный по возрастанию, был циклически сдвинут, тогда полученный массив состоит из двух отсортированных частей. Используем двоичный поиск, чтобы найти индекс последнего элемента левой части массива. Для этого в реализации двоичного поиска заменим условие в <code>'''if'''</code> на <tex>a[m] > a[n-1]</tex>, тогда в <tex>l</tex> будет содержаться искомый индекс:
<code>
'''int''' l = -1
'''int''' r = len(a)
'''while''' l < r - 1 // С помощью бинарного поиска найдем максимум на массиве
m = (l + r) / 2 // m {{---}} середина области поиска
'''if''' a[m] > a[n - 1] // Сужение границ
l = m
'''else'''
r = m
'''int''' x = l // x {{---}} искомый индекс.
</code>
Затем воспользуемся двоичным поиском искомого элемента <tex>key</tex>, запустив его на той части массива, в которой он находится: на <tex>[0, x]</tex> или на <tex>[x + 1, n - 1]</tex>. Для определения нужной части массива сравним <tex>key</tex> с первым и с последним элементами массива:
<code>
'''if''' key > a[0] // Если key в левой части
l = -1
r = x + 1
'''if''' key < a[n] // Если key в правой части
l = x
r = n
</code>
Время выполнения данного алгоритма {{---}} <tex>O(2\log n)=O(\log n)</tex>.

{{Задача
|definition = Массив образован путем приписывания в конец массива, отсортированного по возрастанию, массива, отсортированного по убыванию. Требуется максимально быстро найти элемент в таком массиве.
}}

Найдем индекс последнего элемента массива, отсортированного по возрастанию, воспользовавшись [[Троичный_поиск|троичным поиском]], затем запустим левосторонний двоичный поиск для каждого массива отдельно: для элементов <tex>[0 \ldots x]</tex> и для элементов <tex>[x+1 \ldots n]</tex>, где в качестве <tex>x</tex> мы возьмем индекс максимума, найденный троичным поиском. Для массива, отсортированного по убыванию используем двоичный поиск, изменив условие в <code>'''if'''</code> на <tex>a[m] > key</tex>.

Время выполнения алгоритма {{---}} <tex> O(\log n)</tex> (так как и бинарный поиск, и тернарный поиск работают за логарифмическое время с точностью до константы).

{{Задача
|definition = Два отсортированных по возрастанию массива записаны один в конец другого. Требуется максимально быстро найти элемент в таком массиве.
}}

Мы имеем массив, образованный из двух отсортированных подмассивов, записанных один в конец другого. Запустить сразу бинарный или тернарный поиски на таком массиве нельзя, так как массив не будет обязательно отсортированным и он не будет иметь <tex>1</tex> точку экстремума. Поэтому попробуем найти индекс последнего элемента левого массива, чтобы потом запустить бинарный поиск два раза на отсортированных массивах.

Докажем, что найти этот индекс невозможно быстрее, чем за <tex>\Omega (n)</tex>. Возьмем возрастающий массив целых чисел, начиная с <tex>1</tex>. Он удовлетворяет условию задачи. Вставим в него <tex>0</tex> на любую позицию. Такой массив по-прежнему будет удовлетворять условию задачи. Следовательно, из-за того, что <tex>0</tex> может находиться на любой позиции, мы можем его найти лишь за <tex>\Omega (n)</tex>.

{{Задача
|definition = Массив образован путем циклического сдвига массива, образованного приписыванием отсортированного по убыванию массива в конец отсортированного по возрастанию. Требуется максимально быстро найти элемент в таком массиве.
}}

После циклического сдвига мы получим массив <tex>a[0 \ldots n-1]</tex>, образованный из трех частей: отсортированных по возрастанию-убыванию-возрастанию (<tex>\nearrow \searrow \nearrow </tex>) или по убыванию-возрастанию-убыванию (<tex> \searrow \nearrow \searrow </tex>). С помощью двоичного поиска найдем индексы максимального и минимального элементов массива, заменив условие в <code>'''if'''</code> на <tex>a[m] > a[m - 1]</tex> (ответ будет записан в <tex>l</tex>) или на <tex>a[m] > a[m + 1]</tex> (ответ будет записан в <tex>r</tex>) соответственно.

Фактически, при поиске индексов минимума и максимума мы проверяем, возрастает или убывает массив на промежутке <tex> [ m - 1 ; m ] </tex>, а затем, в зависимости от того, что мы ищем, мы либо поднимаемся, либо опускаемся по этому промежутку возрастания (убывания). Однако при таком решении могут быть неправильно найдены значения минимума или максимума. Рассмотрим случаи, когда они будут неправильно найдены. Определить, какого вида наш массив возможно, сравнив первые два элемента массива.

Рассмотрим отдельно ситуацию, если наш массив вида возрастание-убывание-возрастание (<tex>\nearrow \searrow \nearrow </tex>). В таком случае может быть неправильно найдено значение максимума, если последний промежуток возрастания занимает больше половины массива (мы будем подниматься по последнему промежутку возрастания вплоть до конца массива и за максимум будет принят последний элемент массива, что не всегда верно). Тогда, если последний элемент массива меньше первого, нужно еще раз запустить поиск максимума, но уже на промежутке от <tex>0</tex> до <tex>min</tex>, потому что истинный максимум будет находиться в первой точке экстремума, которую мы таким образом и найдем.

В случае же убывание-возрастание-убывание (<tex> \searrow \nearrow \searrow </tex>) может быть, что будет неправильно найден минимум. Найдем правильный минимум аналогично поиску максимума в предыдущем абзаце.

Затем, в зависимости от типа нашего массива, запустим бинарный поиск три раза на каждом промежутке.

Время выполнения данного алгоритма {{---}} <tex>O(6\log n)=O(\log n)</tex>.

== Переполнение индекса середины ==
В некоторых языках программирования присвоение <code>m = (l + r) / 2</code> приводит к переполнению. Вместо этого рекомендуется использовать <code>m = l + (r - l) / 2;</code> или эквивалентные выражения.<ref>https://ai.googleblog.com/2006/06/extra-extra-read-all-about-it-nearly.html</ref>

== См. также ==
* [[Вещественный_двоичный_поиск|Вещественный двоичный поиск]]
* [[Троичный_поиск|Троичный поиск]]
* [[Поиск_с_помощью_золотого_сечения|Поиск с помощью золотого сечения]]
* [[Интерполяционный_поиск|Интерполяционный поиск]]

== Источники информации ==
* Д. Кнут {{---}} Искусство программирования (Том 3, 2-е издание)
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B2%D0%BE%D0%B8%D1%87%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BF%D0%BE%D0%B8%D1%81%D0%BA Википедия {{---}} двоичный поиск]
* [http://habrahabr.ru/post/146228/ Типичные ошибки при написании бинарного поиска]
* [http://algolist.manual.ru/search/advbin.php Бинарный поиск на algolist]

== Примечания ==
<references/>

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Алгоритмы поиска]]

Целочисленный двоичный поиск

2019-05-27T15:14:49Z

Rybak: /* Источники информации */ <references/> для ссылок из <ref></ref>

'''Целочисленный двоичный поиск (бинарный поиск)''' (англ. binary search) {{---}} алгоритм поиска объекта по заданному признаку в множестве объектов, упорядоченных по тому же самому признаку, работающий за логарифмическое время.
{{Задача
|definition = Пусть нам дан упорядоченный массив, состоящий только из целочисленных элементов. Требуется найти позицию, на которой находится заданный элемент.
}}

[[Файл:shcemebinsearch.png|320px|thumb|right|Схема бинарного поиска]]

==Принцип работы==
Двоичный поиск заключается в том, что на каждом шаге множество объектов делится на две части и в работе остаётся та часть множества, где находится искомый объект. Или же, в зависимости от постановки задачи, мы можем остановить процесс, когда мы получим первый или же последний индекс вхождения элемента. Последнее условие {{---}} это левосторонний/правосторонний двоичный поиск.

== Правосторонний/левосторонний целочисленный двоичный поиск ==
Для простоты дальнейших определений будем считать, что <tex>a[-1] = -\infty</tex> и что <tex>a[n] = +\infty</tex> (массив нумеруется с <tex>0</tex>).

{{Определение|definition='''Правосторонний бинарный поиск''' (англ. rightside binary search) {{---}} бинарный поиск, с помощью которого мы ищем <tex> \max\limits_{i \in [0,n]} \{i \mid a[i] \leqslant x\} </tex>, где <tex>a</tex> {{---}} массив, а <tex>x</tex> {{---}} искомый ключ}}

{{Определение|definition='''Левосторонний бинарный поиск''' (англ. leftside binary search) {{---}} бинарный поиск, с помощью которого мы ищем <tex> \min\limits_{i \in [0,n]}\{i \mid a[i] \geqslant x\} </tex>, где <tex>a</tex> {{---}} массив, а <tex>x</tex> {{---}} искомый ключ}}

Использовав эти два вида двоичного поиска, мы можем найти отрезок позиций <tex>[l,r]</tex> таких, что <tex>\forall i \in [l,r] : a[i] = x</tex> и <tex> \forall i \notin [l,r] : a[i] \neq x </tex>

===Пример:===

Задан отсортированный массив <tex>[1, 2, 2, 2, 2, 3, 5, 8, 9, 11], x = 2</tex>.

Правосторонний поиск двойки выдаст в результате <tex>4</tex>, в то время как левосторонний выдаст <tex>1</tex> (нумерация с нуля).

Отсюда следует, что количество подряд идущих двоек равно длине отрезка <tex>[1;4]</tex>, то есть <tex>4</tex>.

Если искомого элемента в массиве нет, то правосторонний поиск выдаст минимальный элемент, больший искомого, а левосторонний наоборот, максимальный элемент, меньший искомого.

== Алгоритм двоичного поиска ==
Идея поиска заключается в том, чтобы брать элемент посередине, между границами, и сравнивать его с искомым.
Если искомое больше(в случае правостороннего {{---}} не меньше), чем элемент сравнения,
то сужаем область поиска так, чтобы новая левая граница была равна индексу середины предыдущей области. В противном случае присваиваем это значение правой границе. Проделываем эту процедуру до тех пор, пока правая граница больше левой более чем на <tex>1</tex>.

== Код ==
'''int''' binSearch('''int[]''' a, '''int''' key): // Запускаем бинарный поиск
'''int''' l = -1 // l, r {{---}} левая и правая границы
'''int''' r = len(a)
'''while''' l < r - 1 // Запускаем цикл
m = (l + r) / 2 // m {{---}} середина области поиска
'''if''' a[m] < key
l = m
'''else'''
r = m // Сужение границ
'''return''' r

В случае правостороннего поиска изменится знак сравнения при сужении границ на <tex>a[m] \leqslant k</tex>.

Инвариант цикла: пусть левый индекс не больше искомого элемента, а правый {{---}} строго больше, тогда если <tex>l = r - 1</tex>, то понятно, что <tex>l</tex> {{---}} самое правое вхождение (так как следующее уже больше).

== Несколько слов об эвристиках ==
'''Эвристика с завершением поиска, при досрочном нахождении искомого элемента'''

Заметим, что если нам необходимо просто проверить наличие элемента в упорядоченном множестве, то можно использовать любой из правостороннего и левостороннего поиска.
При этом будем на каждой итерации проверять "не попали ли мы в элемент, равный искомому", и в случае попадания заканчивать поиск.

'''Эвристика с запоминанием ответа на предыдущий запрос'''

Пусть дан отсортированный массив чисел, упорядоченных по неубыванию.
Также пусть запросы приходят в таком порядке, что каждый следующий не меньше, чем предыдущий.
Для ответа на запрос будем использовать левосторонний двоичный поиск.
При этом после того как обработался первый запрос, запомним чему равно <tex>l</tex>, запишем его в переменную <tex>startL</tex>.
Когда будем обрабатывать следующий запрос, то проинициализируем левую границу как <tex>startL</tex>.
Заметим, что все элементы, которые лежат не правее <tex>startL</tex>, строго меньше текущего искомого элемента, так как они меньше предыдущего запроса, а значит и меньше текущего. Значит инвариант цикла выполнен.

== Применение двоичного поиска на некоторых неотсортированных массивах ==

{{Задача
|definition = Пусть отсортированный по возрастанию массив из <tex>n</tex> элементов <tex>a[0 \ldots n - 1]</tex>, все элементы которого различны, был циклически сдвинут, требуется максимально быстро найти элемент в таком массиве.
}}

Если массив, отсортированный по возрастанию, был циклически сдвинут, тогда полученный массив состоит из двух отсортированных частей. Используем двоичный поиск, чтобы найти индекс последнего элемента левой части массива. Для этого в реализации двоичного поиска заменим условие в <code>'''if'''</code> на <tex>a[m] > a[n-1]</tex>, тогда в <tex>l</tex> будет содержаться искомый индекс:
<code>
'''int''' l = -1
'''int''' r = len(a)
'''while''' l < r - 1 // С помощью бинарного поиска найдем максимум на массиве
m = (l + r) / 2 // m {{---}} середина области поиска
'''if''' a[m] > a[n - 1] // Сужение границ
l = m
'''else'''
r = m
'''int''' x = l // x {{---}} искомый индекс.
</code>
Затем воспользуемся двоичным поиском искомого элемента <tex>key</tex>, запустив его на той части массива, в которой он находится: на <tex>[0, x]</tex> или на <tex>[x + 1, n - 1]</tex>. Для определения нужной части массива сравним <tex>key</tex> с первым и с последним элементами массива:
<code>
'''if''' key > a[0] // Если key в левой части
l = -1
r = x + 1
'''if''' key < a[n] // Если key в правой части
l = x
r = n
</code>
Время выполнения данного алгоритма {{---}} <tex>O(2\log n)=O(\log n)</tex>.

{{Задача
|definition = Массив образован путем приписывания в конец массива, отсортированного по возрастанию, массива, отсортированного по убыванию. Требуется максимально быстро найти элемент в таком массиве.
}}

Найдем индекс последнего элемента массива, отсортированного по возрастанию, воспользовавшись [[Троичный_поиск|троичным поиском]], затем запустим левосторонний двоичный поиск для каждого массива отдельно: для элементов <tex>[0 \ldots x]</tex> и для элементов <tex>[x+1 \ldots n]</tex>, где в качестве <tex>x</tex> мы возьмем индекс максимума, найденный троичным поиском. Для массива, отсортированного по убыванию используем двоичный поиск, изменив условие в <code>'''if'''</code> на <tex>a[m] > key</tex>.

Время выполнения алгоритма {{---}} <tex> O(\log n)</tex> (так как и бинарный поиск, и тернарный поиск работают за логарифмическое время с точностью до константы).

{{Задача
|definition = Два отсортированных по возрастанию массива записаны один в конец другого. Требуется максимально быстро найти элемент в таком массиве.
}}

Мы имеем массив, образованный из двух отсортированных подмассивов, записанных один в конец другого. Запустить сразу бинарный или тернарный поиски на таком массиве нельзя, так как массив не будет обязательно отсортированным и он не будет иметь <tex>1</tex> точку экстремума. Поэтому попробуем найти индекс последнего элемента левого массива, чтобы потом запустить бинарный поиск два раза на отсортированных массивах.

Докажем, что найти этот индекс невозможно быстрее, чем за <tex>\Omega (n)</tex>. Возьмем возрастающий массив целых чисел, начиная с <tex>1</tex>. Он удовлетворяет условию задачи. Вставим в него <tex>0</tex> на любую позицию. Такой массив по-прежнему будет удовлетворять условию задачи. Следовательно, из-за того, что <tex>0</tex> может находиться на любой позиции, мы можем его найти лишь за <tex>\Omega (n)</tex>.

{{Задача
|definition = Массив образован путем циклического сдвига массива, образованного приписыванием отсортированного по убыванию массива в конец отсортированного по возрастанию. Требуется максимально быстро найти элемент в таком массиве.
}}

После циклического сдвига мы получим массив <tex>a[0 \ldots n-1]</tex>, образованный из трех частей: отсортированных по возрастанию-убыванию-возрастанию (<tex>\nearrow \searrow \nearrow </tex>) или по убыванию-возрастанию-убыванию (<tex> \searrow \nearrow \searrow </tex>). С помощью двоичного поиска найдем индексы максимального и минимального элементов массива, заменив условие в <code>'''if'''</code> на <tex>a[m] > a[m - 1]</tex> (ответ будет записан в <tex>l</tex>) или на <tex>a[m] > a[m + 1]</tex> (ответ будет записан в <tex>r</tex>) соответственно.

Фактически, при поиске индексов минимума и максимума мы проверяем, возрастает или убывает массив на промежутке <tex> [ m - 1 ; m ] </tex>, а затем, в зависимости от того, что мы ищем, мы либо поднимаемся, либо опускаемся по этому промежутку возрастания (убывания). Однако при таком решении могут быть неправильно найдены значения минимума или максимума. Рассмотрим случаи, когда они будут неправильно найдены. Определить, какого вида наш массив возможно, сравнив первые два элемента массива.

Рассмотрим отдельно ситуацию, если наш массив вида возрастание-убывание-возрастание (<tex>\nearrow \searrow \nearrow </tex>). В таком случае может быть неправильно найдено значение максимума, если последний промежуток возрастания занимает больше половины массива (мы будем подниматься по последнему промежутку возрастания вплоть до конца массива и за максимум будет принят последний элемент массива, что не всегда верно). Тогда, если последний элемент массива меньше первого, нужно еще раз запустить поиск максимума, но уже на промежутке от <tex>0</tex> до <tex>min</tex>, потому что истинный максимум будет находиться в первой точке экстремума, которую мы таким образом и найдем.

В случае же убывание-возрастание-убывание (<tex> \searrow \nearrow \searrow </tex>) может быть, что будет неправильно найден минимум. Найдем правильный минимум аналогично поиску максимума в предыдущем абзаце.

Затем, в зависимости от типа нашего массива, запустим бинарный поиск три раза на каждом промежутке.

Время выполнения данного алгоритма {{---}} <tex>O(6\log n)=O(\log n)</tex>.

== Переполнение индекса середины ==
В некоторых языках программирования присвоение <code>m = (l + r) / 2</code> приводит к переполнению. Вместо этого рекомендуется использовать <code>m = l + (r - l) / 2;</code> или эквивалентные выражения.<ref>https://ai.googleblog.com/2006/06/extra-extra-read-all-about-it-nearly.html</ref>

== См. также ==
* [[Вещественный_двоичный_поиск|Вещественный двоичный поиск]]
* [[Троичный_поиск|Троичный поиск]]
* [[Поиск_с_помощью_золотого_сечения|Поиск с помощью золотого сечения]]
* [[Интерполяционный_поиск|Интерполяционный поиск]]

== Источники информации ==
* Д. Кнут {{---}} Искусство программирования (Том 3, 2-е издание)
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B2%D0%BE%D0%B8%D1%87%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BF%D0%BE%D0%B8%D1%81%D0%BA Википедия {{---}} двоичный поиск]
* [http://habrahabr.ru/post/146228/ Типичные ошибки при написании бинарного поиска]
* [http://algolist.manual.ru/search/advbin.php Бинарный поиск на algolist]
<references/>

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Алгоритмы поиска]]

Целочисленный двоичный поиск

2019-05-27T15:13:56Z

Rybak: /* Переполнение индекса середины */ новый раздел

'''Целочисленный двоичный поиск (бинарный поиск)''' (англ. binary search) {{---}} алгоритм поиска объекта по заданному признаку в множестве объектов, упорядоченных по тому же самому признаку, работающий за логарифмическое время.
{{Задача
|definition = Пусть нам дан упорядоченный массив, состоящий только из целочисленных элементов. Требуется найти позицию, на которой находится заданный элемент.
}}

[[Файл:shcemebinsearch.png|320px|thumb|right|Схема бинарного поиска]]

==Принцип работы==
Двоичный поиск заключается в том, что на каждом шаге множество объектов делится на две части и в работе остаётся та часть множества, где находится искомый объект. Или же, в зависимости от постановки задачи, мы можем остановить процесс, когда мы получим первый или же последний индекс вхождения элемента. Последнее условие {{---}} это левосторонний/правосторонний двоичный поиск.

== Правосторонний/левосторонний целочисленный двоичный поиск ==
Для простоты дальнейших определений будем считать, что <tex>a[-1] = -\infty</tex> и что <tex>a[n] = +\infty</tex> (массив нумеруется с <tex>0</tex>).

{{Определение|definition='''Правосторонний бинарный поиск''' (англ. rightside binary search) {{---}} бинарный поиск, с помощью которого мы ищем <tex> \max\limits_{i \in [0,n]} \{i \mid a[i] \leqslant x\} </tex>, где <tex>a</tex> {{---}} массив, а <tex>x</tex> {{---}} искомый ключ}}

{{Определение|definition='''Левосторонний бинарный поиск''' (англ. leftside binary search) {{---}} бинарный поиск, с помощью которого мы ищем <tex> \min\limits_{i \in [0,n]}\{i \mid a[i] \geqslant x\} </tex>, где <tex>a</tex> {{---}} массив, а <tex>x</tex> {{---}} искомый ключ}}

Использовав эти два вида двоичного поиска, мы можем найти отрезок позиций <tex>[l,r]</tex> таких, что <tex>\forall i \in [l,r] : a[i] = x</tex> и <tex> \forall i \notin [l,r] : a[i] \neq x </tex>

===Пример:===

Задан отсортированный массив <tex>[1, 2, 2, 2, 2, 3, 5, 8, 9, 11], x = 2</tex>.

Правосторонний поиск двойки выдаст в результате <tex>4</tex>, в то время как левосторонний выдаст <tex>1</tex> (нумерация с нуля).

Отсюда следует, что количество подряд идущих двоек равно длине отрезка <tex>[1;4]</tex>, то есть <tex>4</tex>.

Если искомого элемента в массиве нет, то правосторонний поиск выдаст минимальный элемент, больший искомого, а левосторонний наоборот, максимальный элемент, меньший искомого.

== Алгоритм двоичного поиска ==
Идея поиска заключается в том, чтобы брать элемент посередине, между границами, и сравнивать его с искомым.
Если искомое больше(в случае правостороннего {{---}} не меньше), чем элемент сравнения,
то сужаем область поиска так, чтобы новая левая граница была равна индексу середины предыдущей области. В противном случае присваиваем это значение правой границе. Проделываем эту процедуру до тех пор, пока правая граница больше левой более чем на <tex>1</tex>.

== Код ==
'''int''' binSearch('''int[]''' a, '''int''' key): // Запускаем бинарный поиск
'''int''' l = -1 // l, r {{---}} левая и правая границы
'''int''' r = len(a)
'''while''' l < r - 1 // Запускаем цикл
m = (l + r) / 2 // m {{---}} середина области поиска
'''if''' a[m] < key
l = m
'''else'''
r = m // Сужение границ
'''return''' r

В случае правостороннего поиска изменится знак сравнения при сужении границ на <tex>a[m] \leqslant k</tex>.

Инвариант цикла: пусть левый индекс не больше искомого элемента, а правый {{---}} строго больше, тогда если <tex>l = r - 1</tex>, то понятно, что <tex>l</tex> {{---}} самое правое вхождение (так как следующее уже больше).

== Несколько слов об эвристиках ==
'''Эвристика с завершением поиска, при досрочном нахождении искомого элемента'''

Заметим, что если нам необходимо просто проверить наличие элемента в упорядоченном множестве, то можно использовать любой из правостороннего и левостороннего поиска.
При этом будем на каждой итерации проверять "не попали ли мы в элемент, равный искомому", и в случае попадания заканчивать поиск.

'''Эвристика с запоминанием ответа на предыдущий запрос'''

Пусть дан отсортированный массив чисел, упорядоченных по неубыванию.
Также пусть запросы приходят в таком порядке, что каждый следующий не меньше, чем предыдущий.
Для ответа на запрос будем использовать левосторонний двоичный поиск.
При этом после того как обработался первый запрос, запомним чему равно <tex>l</tex>, запишем его в переменную <tex>startL</tex>.
Когда будем обрабатывать следующий запрос, то проинициализируем левую границу как <tex>startL</tex>.
Заметим, что все элементы, которые лежат не правее <tex>startL</tex>, строго меньше текущего искомого элемента, так как они меньше предыдущего запроса, а значит и меньше текущего. Значит инвариант цикла выполнен.

== Применение двоичного поиска на некоторых неотсортированных массивах ==

{{Задача
|definition = Пусть отсортированный по возрастанию массив из <tex>n</tex> элементов <tex>a[0 \ldots n - 1]</tex>, все элементы которого различны, был циклически сдвинут, требуется максимально быстро найти элемент в таком массиве.
}}

Если массив, отсортированный по возрастанию, был циклически сдвинут, тогда полученный массив состоит из двух отсортированных частей. Используем двоичный поиск, чтобы найти индекс последнего элемента левой части массива. Для этого в реализации двоичного поиска заменим условие в <code>'''if'''</code> на <tex>a[m] > a[n-1]</tex>, тогда в <tex>l</tex> будет содержаться искомый индекс:
<code>
'''int''' l = -1
'''int''' r = len(a)
'''while''' l < r - 1 // С помощью бинарного поиска найдем максимум на массиве
m = (l + r) / 2 // m {{---}} середина области поиска
'''if''' a[m] > a[n - 1] // Сужение границ
l = m
'''else'''
r = m
'''int''' x = l // x {{---}} искомый индекс.
</code>
Затем воспользуемся двоичным поиском искомого элемента <tex>key</tex>, запустив его на той части массива, в которой он находится: на <tex>[0, x]</tex> или на <tex>[x + 1, n - 1]</tex>. Для определения нужной части массива сравним <tex>key</tex> с первым и с последним элементами массива:
<code>
'''if''' key > a[0] // Если key в левой части
l = -1
r = x + 1
'''if''' key < a[n] // Если key в правой части
l = x
r = n
</code>
Время выполнения данного алгоритма {{---}} <tex>O(2\log n)=O(\log n)</tex>.

{{Задача
|definition = Массив образован путем приписывания в конец массива, отсортированного по возрастанию, массива, отсортированного по убыванию. Требуется максимально быстро найти элемент в таком массиве.
}}

Найдем индекс последнего элемента массива, отсортированного по возрастанию, воспользовавшись [[Троичный_поиск|троичным поиском]], затем запустим левосторонний двоичный поиск для каждого массива отдельно: для элементов <tex>[0 \ldots x]</tex> и для элементов <tex>[x+1 \ldots n]</tex>, где в качестве <tex>x</tex> мы возьмем индекс максимума, найденный троичным поиском. Для массива, отсортированного по убыванию используем двоичный поиск, изменив условие в <code>'''if'''</code> на <tex>a[m] > key</tex>.

Время выполнения алгоритма {{---}} <tex> O(\log n)</tex> (так как и бинарный поиск, и тернарный поиск работают за логарифмическое время с точностью до константы).

{{Задача
|definition = Два отсортированных по возрастанию массива записаны один в конец другого. Требуется максимально быстро найти элемент в таком массиве.
}}

Мы имеем массив, образованный из двух отсортированных подмассивов, записанных один в конец другого. Запустить сразу бинарный или тернарный поиски на таком массиве нельзя, так как массив не будет обязательно отсортированным и он не будет иметь <tex>1</tex> точку экстремума. Поэтому попробуем найти индекс последнего элемента левого массива, чтобы потом запустить бинарный поиск два раза на отсортированных массивах.

Докажем, что найти этот индекс невозможно быстрее, чем за <tex>\Omega (n)</tex>. Возьмем возрастающий массив целых чисел, начиная с <tex>1</tex>. Он удовлетворяет условию задачи. Вставим в него <tex>0</tex> на любую позицию. Такой массив по-прежнему будет удовлетворять условию задачи. Следовательно, из-за того, что <tex>0</tex> может находиться на любой позиции, мы можем его найти лишь за <tex>\Omega (n)</tex>.

{{Задача
|definition = Массив образован путем циклического сдвига массива, образованного приписыванием отсортированного по убыванию массива в конец отсортированного по возрастанию. Требуется максимально быстро найти элемент в таком массиве.
}}

После циклического сдвига мы получим массив <tex>a[0 \ldots n-1]</tex>, образованный из трех частей: отсортированных по возрастанию-убыванию-возрастанию (<tex>\nearrow \searrow \nearrow </tex>) или по убыванию-возрастанию-убыванию (<tex> \searrow \nearrow \searrow </tex>). С помощью двоичного поиска найдем индексы максимального и минимального элементов массива, заменив условие в <code>'''if'''</code> на <tex>a[m] > a[m - 1]</tex> (ответ будет записан в <tex>l</tex>) или на <tex>a[m] > a[m + 1]</tex> (ответ будет записан в <tex>r</tex>) соответственно.

Фактически, при поиске индексов минимума и максимума мы проверяем, возрастает или убывает массив на промежутке <tex> [ m - 1 ; m ] </tex>, а затем, в зависимости от того, что мы ищем, мы либо поднимаемся, либо опускаемся по этому промежутку возрастания (убывания). Однако при таком решении могут быть неправильно найдены значения минимума или максимума. Рассмотрим случаи, когда они будут неправильно найдены. Определить, какого вида наш массив возможно, сравнив первые два элемента массива.

Рассмотрим отдельно ситуацию, если наш массив вида возрастание-убывание-возрастание (<tex>\nearrow \searrow \nearrow </tex>). В таком случае может быть неправильно найдено значение максимума, если последний промежуток возрастания занимает больше половины массива (мы будем подниматься по последнему промежутку возрастания вплоть до конца массива и за максимум будет принят последний элемент массива, что не всегда верно). Тогда, если последний элемент массива меньше первого, нужно еще раз запустить поиск максимума, но уже на промежутке от <tex>0</tex> до <tex>min</tex>, потому что истинный максимум будет находиться в первой точке экстремума, которую мы таким образом и найдем.

В случае же убывание-возрастание-убывание (<tex> \searrow \nearrow \searrow </tex>) может быть, что будет неправильно найден минимум. Найдем правильный минимум аналогично поиску максимума в предыдущем абзаце.

Затем, в зависимости от типа нашего массива, запустим бинарный поиск три раза на каждом промежутке.

Время выполнения данного алгоритма {{---}} <tex>O(6\log n)=O(\log n)</tex>.

== Переполнение индекса середины ==
В некоторых языках программирования присвоение <code>m = (l + r) / 2</code> приводит к переполнению. Вместо этого рекомендуется использовать <code>m = l + (r - l) / 2;</code> или эквивалентные выражения.<ref>https://ai.googleblog.com/2006/06/extra-extra-read-all-about-it-nearly.html</ref>

== См. также ==
* [[Вещественный_двоичный_поиск|Вещественный двоичный поиск]]
* [[Троичный_поиск|Троичный поиск]]
* [[Поиск_с_помощью_золотого_сечения|Поиск с помощью золотого сечения]]
* [[Интерполяционный_поиск|Интерполяционный поиск]]

== Источники информации ==
* Д. Кнут {{---}} Искусство программирования (Том 3, 2-е издание)
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B2%D0%BE%D0%B8%D1%87%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BF%D0%BE%D0%B8%D1%81%D0%BA Википедия {{---}} двоичный поиск]
* [http://habrahabr.ru/post/146228/ Типичные ошибки при написании бинарного поиска]
* [http://algolist.manual.ru/search/advbin.php Бинарный поиск на algolist]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Алгоритмы поиска]]

Троичный поиск

2016-06-11T01:21:09Z

Rybak: imply explicitly

'''Троичный поиск''' (''ternary search, тернарный поиск'') {{---}} метод поиска минимума или максимума функции на отрезке, которая либо сначала строго возрастает, затем строго убывает, либо наоборот.
== Алгоритм ==

[[File:Ternar2.png|thumb|280px|Пример. <tex>f(a) < f(b) \implies x_{min} \in [l, b]</tex>]]

Рассмотрим этот алгоритм на примере поиска минимума (поиск максимума аналогичен).

Пусть функция <tex>f(x)</tex> на отрезке <tex>[l, r]</tex> имеет минимум, и мы хотим найти точку <tex>x_{min}</tex>, в которой он достигается.

Посчитаем значения функции в точках <tex> a = l + \dfrac{(r-l)}{3} </tex> и <tex> b = l + \dfrac{2(r-l)}{3} </tex>.

Так как в точке <tex>x_{min}</tex> минимум, то на отрезке <tex>[l, x_{min}]</tex> функция убывает, а на <tex>[x_{min}, r]</tex> {{---}} возрастает, то есть

<tex> \forall x', x'' \in [l, r]: \\
l < x' < x'' < x_{min} \implies f(l) > f(x') > f(x'') > f(x_{min}) \\
x_{min} < x' < x'' < r \implies f(x_{min}) < f(x') < f(x'') < f(r) </tex>.

Значит если <tex>f(a) < f(b)</tex>, то <tex>x_{min} \in [l, b]</tex>,
аналогично из <tex>f(a) > f(b)</tex> следует <tex> x_{min} \in [a, r]</tex>.

Тогда нам нужно изменить границы поиска и искать дальше,
пока не будет достигнута необходимая точность, то есть <tex> r-l < \varepsilon </tex>.

Из рассуждений и рисунка может возникнуть идея взять, например, отрезок <tex>[l, a]</tex> вместо отрезка <tex>[l, b]</tex>. Но этого делать нельзя, потому что мы не умеем различать случаи, когда <tex>f(a) < f(b)</tex> и <tex>a</tex> слева или справа от минимума.

Можно заметить, что если мы всегда будем брать отрезок <tex>[l, b]</tex> при <tex>f(a) < f(b)</tex> или <tex>[a, r]</tex> при <tex>f(a) > f(b)</tex> , то минимум функции всегда будет в нашем отрезке. Если <tex>f(a) = f(b)</tex>, то можно взять любой отрезок.

=== Псевдокод ===

Рекурсивный вариант:

'''double''' ternarySearchMin('''double''' f(), '''double''' left, '''double''' right, '''double''' eps):
'''if''' right - left < eps
'''return''' (left + right) / 2
a = (left * 2 + right) / 3
b = (left + right * 2) / 3
'''if''' f(a) < f(b)
'''return''' ternarySearchMin(f, left, b, eps)
'''else'''
'''return''' ternarySearchMin(f, a, right, eps)

Итеративный вариант:

'''double''' ternarySearchMin('''double''' f(), '''double''' left, '''double''' right, '''double''' eps):
'''while''' right - left > eps
a = (left * 2 + right) / 3
b = (left + right * 2) / 3
'''if''' f(a) < f(b)
right = b
'''else'''
left = a
'''return''' (left + right) / 2

=== Время работы ===

Так как на каждой итерации мы считаем два значения функции и уменьшаем область поиска в полтора раза, пока <tex> r - l > \varepsilon</tex>,
то время работы алгоритма составит
<tex dpi = "135">2 \log_{\frac32} \left(\dfrac{r - l}{\varepsilon}\right)</tex>

== См. также ==

* [[Поиск с помощью золотого сечения]]

== Источники информации ==

* Дональд Кнут {{---}} Искусство программирования. Том 3. Сортировка и поиск. / Knuth D.E. {{---}} The Art of Computer Programming. Vol. 3. Sorting and Searching.
* [[wikipedia:ru:Троичный поиск|Троичный поиск — Википедия]]
* [[wikipedia:Ternary search|Ternary search {{---}} Wikipedia]]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Алгоритмы поиска]]

Участник:Rybak

2014-01-30T14:08:53Z

Rybak:

Андрей Рыбак, группа 4538. Связь со мной по электропочте: [mailto:rybak.a.v+w@gmail.com rybak.a.v+w@gmail.com]

=== Приоритетные очереди ===

* [[Двоичная куча]]
* [[Биномиальная куча]]
* [[Фибоначчиевы кучи]]

=== Хеширование ===
* [[Хеширование]]
* [[Открытое и закрытое хеширование]]
* [[Поиск свободного места при закрытом хешировании]]
* [[Хеширование кукушки]]
* [[Двойное хеширование]]
* [[Перехеширование. Амортизационный анализ]]
* [[Фильтр Блума]]
* [[Универсальное семейство хеш-функций]]

== Дополнительные страницы ==

[[Участник:Rybak/Матан]]
[[Участник:Rybak/Черновик]]

Линейные функционалы

2013-07-30T18:06:39Z

Rybak: /* Непрерывность функционала */ орфография

[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]

{{Определение
|id=linfuncdef
|definition=
Пусть <tex>X</tex> — линейное множество. Отображение <tex> f\colon X \to \mathbb{R} </tex> {{---}} '''линейный функционал''', если
<tex>\forall \alpha, \beta \in \mathbb{R} \ \forall x, y \in X : f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(y)</tex>.

Обозначим <tex>X^*</tex> — совокупность линейных функционалов, определенных на множестве <tex>X</tex>.

<tex> \mathrm{Ker}\, f = \{x \mid f(x) = 0 \} </tex> — '''ядро функционала'''.
}}

Заметим: <tex> \forall \alpha \in \mathbb{R} ~ 0 \cdot \alpha = 0</tex>. По линейности <tex>f(\alpha \cdot 0) = \alpha f(0)</tex>, следовательно, <tex>f(0) = 0</tex>.

<tex> \mathrm{Ker}\, f </tex> — линейное подмножество <tex>X</tex>: Пусть <tex>x, y \in \mathrm{Ker}\, f</tex>, тогда <tex>f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(y) = 0 \implies \alpha x + \beta y \in \mathrm{Ker}\, f</tex>.

== Коразмерность ==

Выясним геометрическую структуру ядра.

Напомним свойства отношения эквивалентности:

1. Рефлексивность: <tex>x \sim x</tex>

2. Симметричность: <tex>x_1 \sim x_2 \implies x_2 \sim x_1</tex>

3. Транзитивность: <tex>x_2 \sim x_2,~ x_2 \sim x_3 \implies x_1 \sim x_3</tex>

{{Определение
|id=factorsetdef
|definition=
Пусть <tex>X</tex> — линейное множество, <tex>Y</tex> линейное подмножество <tex>X</tex>.

Введем отношение эквивалентности на <tex>X</tex>:

<tex> x_1 \sim x_2 \stackrel{\mathrm{def}}{\iff} x_1 - x_2 \in Y </tex>

<tex> [x] = \{ y \in X \mid y \sim x \} </tex> — '''классы смежности''' по <tex>Y</tex>.

<tex> X /_Y </tex> — совокупность всех классов смежности — '''фактор-множество''' по <tex>Y</tex>.

}}

Операции над классами смежности:

<tex> [x] + [y] \stackrel{\mathrm{def}}{=} [x+y] </tex>

<tex> \alpha [x] \stackrel{\mathrm{def}}{=} [\alpha x] </tex>

Эти операции не зависят от представителя класса.

Фактор-множество — линейное, следовательно, можно говорить о его размерности:

{{Определение
|id=codimdef
|definition=
<tex>\mathrm{Codim}\, Y \stackrel{\mathrm{def}}{=} \dim X /_Y </tex> — '''коразмерность''' <tex>Y</tex>.

<tex> Y </tex> — '''гиперплоскость''' в <tex>X</tex>, если <tex>\mathrm{Codim}\, Y = 1</tex>.

}}

Что означает коразмерность на языке исходных линейных операций?

{{Утверждение
|id=codimeqn
|statement=

<tex>\mathrm{Codim}\, Y = n \iff \exists\, e_1, \ldots, e_n \in X </tex> такие, что <tex>\forall x \in X</tex> представляется единственным образом: <tex> x = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k + y, ~ y \in Y</tex>.

|proof=

'''Замечание''': для <tex>n = 1</tex>: если <tex>\mathrm{Codim}\, Y = 1 \iff \exists\, e \in X </tex> такое, что <tex>\forall x \in X</tex> представляется единственным образом: <tex> x = \alpha e + y, ~ y \in Y</tex>.

Доказательство <tex>\implies</tex>:

<tex>\mathrm{Codim}\, Y = n \implies \dim X /_Y = n \implies \exists \xi_1 \ldots \xi_n \in X /_Y </tex> — базис <tex> X /_Y </tex>.
<tex> \forall \xi \in X /_Y </tex> единственным образом <tex>\xi = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k \xi_k </tex>.

Рассмотрим <tex> \forall x \in X </tex>, <tex> [x] \in X /_Y </tex> и его представление <tex> [x] = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k \xi_k </tex>.

Пусть <tex> \xi_k = [ e_k ] </tex>, то есть <tex> [ x ] = \left [ \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k \right ] </tex>. Следовательно, по определению <tex> [ x ] </tex>, <tex> x \sim \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k </tex> <tex> \implies x - \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k = y \in Y \implies x = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k + y </tex> — разложение <tex> x </tex>. Единственность следует из единственности разложения по базису <tex> [x] = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k \xi_k </tex>.

Доказательство <tex> \Longleftarrow </tex>:
{{TODO | t = упражнение}}

(все шаги "туда" вроде бы равносильны)
}}

{{Утверждение
|about=Коразмерность ядра функционала
|statement=

Если <tex> f </tex> не является тождественно равным нулю, то <tex>\mathrm{Codim}\, \mathrm{Ker}\, f = 1 </tex>.

|proof=

Рассмотрим <tex>x_0 \in X : f(x_0) \not = 0 </tex>. Возьмем <tex>\forall x \in X</tex>, подберем <tex>\alpha</tex> такое, чтобы <tex>y = x - \alpha x_0 \in \mathrm{Ker}\, f</tex>.
<tex>f (x - \alpha x_0) = 0 \implies f(x) = \alpha f(x_0), \quad f(x_0) \not = 0 \implies \alpha = \frac{f(x)}{f(x_0)} </tex>. Представление единственно: пусть есть два представления <tex>x = \alpha x_0 + y</tex> и <tex>x = \beta x_0 + y'</tex>, тогда <tex>(\beta - \alpha) x_0 + (y - y') = 0</tex>. Применим к обеим частям <tex>f</tex>, тогда <tex>(\beta - \alpha) f(x_0) + f(y - y') = f(0)</tex>, так как <tex> y - y' </tex> в ядре, получили <tex> f(x_0) = 0</tex>, то есть противоречие. Нашли единственное представление, следовательно, [[Линейные функционалы#codimeqn|по предыдущему утверждению]], <tex>\mathrm{Codim}\, \mathrm{Ker}\, f = 1 </tex>.
}}

Итак, ядро линейного функционала является гиперплоскостью.

Для непрерывности надо превратить <tex>X</tex> в ТВП. Наиболее важный случай — когда <tex>X</tex> является НП.

Для функционального анализа значение имеют линейные непрерывные функционалы.

== Непрерывность функционала ==

{{Определение
|id=contfuncdef
|definition=
Пусть <tex>X</tex> — нормированное пространство. Линейный функционал <tex> f \in X^* </tex> {{---}} '''непрерывен''' в точке <tex> x </tex>, если
<tex>x_n \to x \implies f(x_n) \to f(x) </tex>.
}}

Далее: <tex> \| \cdot \| </tex> — норма на <tex> X </tex>.

Заметим, что в силу линейности функционала нам достаточно проверять непрерывность в нуле:

{{Утверждение
|id=cont0
|statement= Линейный функционал <tex>f</tex> непрерывен <tex> \iff </tex> <tex>f</tex> непрерывен в нуле.
|proof=
Рассмотрим <tex> x_n \to 0 </tex>. <tex> f(x_n) \to f(0) = 0 </tex>. Проверим непрерывность <tex>f</tex>:

<tex> x_n \to x \implies x_n - x \to 0 \implies f(x_n - x) \to 0 </tex>

<tex>f(x_n - x) = f(x_n) - f(x), \quad f(x_n) \to f(x) </tex>
}}

Обозначение <tex> \overline{V}_1 = \{ x : \| x \| \leq 1 \} </tex>

Введем норму в <tex> X^* </tex>:

<tex> \| f \| \stackrel{\mathrm{def}}{=} \sup\limits_{\overline{V}_1} {| f(x) |} </tex>

{{Определение
|id=finitefuncdef
|definition=
<tex> f </tex> — '''ограниченный''' функционал, если <tex> \| f \| < \infty </tex>.
}}

Отметим, что для ограниченного функционала: <tex> \forall x \in X, x \not = 0</tex>

<tex> \frac {x} {\| x \| } \in \overline{V}_1 \implies
\left | f \left ( \frac {x} {\| x \|} \right ) \right | \leq \| f \| \implies
f \left ( \frac {x} {\| x \|}\right ) = \frac 1 {\| x \|} f(x) \implies
\\
| f(x) | \leq \| f \| \cdot \| x \| </tex>

{{Утверждение
|id=cont-finite
|statement= <tex>f</tex> — непрерывен <tex> \iff </tex> <tex>f</tex> — ограничен.
|proof=
1) <tex>f</tex> — ограничен <tex> \implies \| f \| < \infty </tex>. Как отмечалось ранее: <tex> | f(x) | \leq \| f \| \cdot \| x \| </tex>

Рассмотрим <tex> x_n \to 0 \implies
\| x_n \| \to 0 \implies
| f(x_n) | \leq \| f \| \cdot \| x_n \| \implies
f(x_n) \to 0 \implies f</tex> — непрерывен.

2) <tex>f</tex> — непрерывен. Пусть <tex> \| f \| = \infty </tex>, тогда по определению <tex> \| f \| </tex>:

<tex> \forall n \in \mathbb{N} ~ \exists\, x_n \in \overline{V}_1 : | f (x_n) | > n \implies </tex>
по линейности <tex> \left| f \left( \frac {x_n}{n} \right) \right| > 1 </tex>.

<tex> \left\| \frac{x_n}{n} \right\| = \frac1n \| x_n \| </tex>,
так как <tex> x_n \in \overline{V}_1 \implies
\frac1n \| x_n \| \leq \frac1n</tex>

<tex> n \to \infty, \quad \frac1n \to 0,
\quad \left \| \frac {x_n}{n} \right \| \to 0 \implies
\frac{x_n}{n} \to 0 \implies </tex>
по непрерывности <tex> f \left ( \frac {x_n}{n} \right ) \to 0 </tex>. Пришли к противоречию.

}}

Пусть <tex> X^* </tex> обозначает теперь более узкий класс линейных ограниченных функционалов. То, что <tex>\|f\|</tex> — норма, проверяется так же, как свойства [[Линейные_ограниченные_операторы | нормы линейного оператора]], то есть получили, что <tex>X^*</tex> — НП, сопряженное с <tex>X</tex>.

{{Утверждение
|id=densefunextension
|statement= Пусть <tex> Y </tex> — линейное всюду плотное в <tex> X </tex> множество.
<tex> f </tex> — линейный непрерывный функционал на <tex> Y </tex>. Тогда существует единственный <tex> \widetilde f </tex> — линейный непрерывный функционал на <tex> X </tex> такой, что:

1) <tex> \widetilde f |_Y = f </tex> — сужение на <tex> Y </tex> совпадает с <tex> f </tex>.
2) <tex> \| \widetilde f \|_X = \| f \|_Y </tex>

|proof=
{{TODO|t=Было в виде идеи, доказал [[Участник:Dgerasimov|Дмитрий Герасимов]] 21:18, 7 января 2013 (GST) , проверьте}}

По определению всюду плотности, <tex> \mathrm{Cl}\, Y = X </tex>, то есть любое <tex> \forall x \in X </tex> можно аппроксимировать последовательностями <tex>y \in Y</tex>: <tex> y_n \to x </tex>, при этом последовательности <tex>y</tex> будут сходящимися в себе.

Рассмотрим последовательность <tex> \{ f(y_n) \} </tex>. Она сходится в себе, так как <tex>f(y_n) - f(y_m) = f(y_n - y_m)</tex>, <tex>y_n - y_m \in Y</tex>, и как мы уже заметили, последовательность <tex>y</tex> сходится в себе, тогда <tex>f(y_n - y_m) \le \|f\| \|y_n - y_m\|</tex>, по ограниченности <tex>f</tex> и сходимости в себе <tex>y</tex>, также сходится. Последовательность <tex>f(y_n)</tex> сходится в себе, тогда по полноте <tex>\mathbb{R}</tex>, последовательность <tex>f(y_n)</tex> также сходится к некому пределу , который мы и определим как продолжение функционала в точке <tex>x</tex>, то есть <tex> \widetilde f(x) \stackrel{\mathrm{def}}{=} \lim f(y_n)</tex>.

Установим единственность: Если <tex>y_n \to x</tex> и <tex>y'_n \to x</tex>, то

<tex>y_n - y'_n \to 0 \implies f(y_n - y'_n) \to 0 \implies f(y_n) - f(y'_n) \to 0
\\
\implies \lim f(y_n) = \lim f(y'_n) </tex>.

Таким образом, предел не зависит от выбора <tex> y_n </tex>.

Покажем, что <tex> \widetilde f </tex> — линейный и удовлетворяет условию теоремы:
* <tex>\widetilde f (\alpha x) = \lim f(\alpha y_n) = \lim \alpha f(y_n) = \alpha \lim f(y_n) = \alpha \widetilde f(x)</tex>
* <tex>\widetilde f (x + x') = \lim f(y_n + y'_n) = \lim f(y_n) + f(y'_n)</tex><tex> = \lim f(y_n) + \lim f(y'_n) = \widetilde f(x) + \widetilde f(x')</tex>
* сужение: покажем, что <tex>\forall y \in Y: \widetilde f(y) = f(y)</tex>, как уже показали, можем выбрать любую последовательность, сходящуюся к <tex>y</tex>, тогда возьмем последовательность, состоящую только из <tex>y</tex>, очевидно, она сходится к <tex>y</tex> и значения функционалов совпадают
* сохранение нормы: по только что доказанному свойству сужения, на <tex>\| x \| \le 1, x \in Y</tex> функционал <tex>\widetilde f </tex> принимает все те значения, что и <tex>f</tex>, поэтому достаточно показать, что не найдется <tex>x: \| x \| \le 1, x \in X, x \notin Y: |\widetilde f(x)| > \|f\|</tex>. Пусть такой <tex>x</tex> нашелся со значением функционала <tex>\widetilde f(x) > 0</tex>, значит, он является пределом какой-то последовательности <tex>y_n</tex> в <tex>Y</tex>. Тогда по определению продолжения функционала и определению предела <tex>\forall \varepsilon > 0 \exists N \forall n \ge N: |f(y_n) - \widetilde f(x)| < \varepsilon</tex>, возьмем <tex>\varepsilon < \widetilde f(x) - \|f\|</tex>, тогда найдется такой номер <tex>N</tex>, что <tex>y_N \in Y, f(y_N) > \|f\|</tex>, то есть получили противоречие.
* непрерывность: вместо непрерывности можно показать ограниченность, а по только что доказанному, норма сохраняется, и функционал останется ограниченным

{{TODO|t=Это еще не все, надо также показать, что любой другой линейный функционал, удовлетворяющий условиям теоремы, будет совпадать с <tex> f </tex>. --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 15:29, 18 января 2013 (GST)}}
}}

{{
Теорема
|about=характеристика ограниченного функционала в терминах ядра
|statement=
<tex>f</tex> — ограничен <tex>\iff \mathrm{Ker}\, f</tex> — замкнуто в <tex>X</tex>.
|proof=
<tex>\implies</tex>:

<tex>f</tex> — ограничен, значит непрерывен. По непрерывности функционала: 
<tex>x_n \to x \implies f(x_n) \to f(x) , \, x_n \in \mathrm{Ker}\, f</tex>, все <tex>f(x_n) = 0</tex>, значит, и <tex>f(x) = 0 \implies x \in \mathrm{Ker}\, f</tex>
то есть оно содержит пределы своих подпоследовательностей <tex>\implies</tex> ядро замкнуто.

<tex>\Longleftarrow </tex>:
{{TODO|t=тут была какая-то непонятная хрень, запилил хорошее доказательство с [http://en.wikibooks.org/wiki/Functional_Analysis/Banach_spaces английской википедии]}}

Покажем, что если <tex>f</tex> не ограничен, <tex>\mathrm{Ker}\, f</tex> — не замкнуто в <tex>X</tex>. Рассмотрим определение неограниченности: <tex>\forall n \exists u_n: \|u_n\| = 1, f(u_n) \ge n </tex> (заметим, что в классическом определении <tex>|f(u_n)| \ge n</tex>, однако по линейности пространства если оказалось, что <tex>f(u_n) \le -n</tex>, возьмем <tex>-u_n: f(-u_n) \ge n</tex>), теперь определим последовательность <tex>v_n = \frac{u_n}{f(u_n)}</tex>, очевидно, <tex>\|v_n\| \le \frac{1}{n}</tex>, то есть <tex>v_n \to 0</tex>. Теперь возьмем <tex> a \notin \mathrm{Ker}\, f</tex> и определим последовательность <tex>z_n = a - f(a) v_n</tex>. Каждый элемент <tex>z_n</tex> содержится в ядре, так как <tex>f(z_n) = f(a) - f(a) f(v_n) = f(a) (1 - f(v_n)) = 0</tex> (воспользуемся тем, что <tex>f(v_n) = \frac{f(v_n)}{f(v_n)} = 1</tex>). Однако последовательность <tex>z_n</tex> стремится к <tex>a</tex>, так как <tex>v_n \to 0</tex>, то есть стремится к элементу не из ядра. Таким образом, предъявили последовательность элементов в ядре, сходящуюся к элементу не из ядра и ядро не замкнуто.
}}

Установим теперь важную теорему, которая задает общую формулу для записи линейного ограниченного функционала в гильбертовом пространстве.

{{Теорема
|author=Рисс
|statement=
<tex>\forall f \in H^*\; \exists ! y \in H : f(x) = \langle x, y \rangle</tex>, причем <tex>\|f\| = \|y\|</tex>
|proof=
<wikitex>
Покажем, что функционал, определенный как $g(x) = \langle x, y \rangle$ (для произвольного $y \in H$), — линейный и ограниченный, причем $\|g\| = \|y\|$.
* линейность тривиально получается из аксиом скалярного произведения
* для подсчета нормы применим [[Нормированные пространства#Неравенство Шварца | неравенство Шварца]]: $|g(x)| = |\langle x, y \rangle| \le \| y\| \|x\|$, то есть $\|g\| \le \|y\|$, если $\|x\| = 1$. Однако на элементе ${y \over \|y\|}$, $g$ принимает значение, равное $\langle {y \over \|y\|}, y \rangle = {\langle y, y \rangle \over \|y\|} = {\|y\|^2 \over \|y\|} = \|y\|$. $g$ ограниченный, значит $|g| \le \|g\|$ при $\|x\| = 1$, значит $\|y\| \le \|g\|$. Таким образом, $\|g\|$ и есть $\|y\|$.

$\forall f \in H^*$ надо найти $y \in H: \forall x \in H: f(x) = \langle x, y \rangle$. Возьмем ядро функционала $\ker f$, оно замкнуто по непрерывности функционала и является подпространством $H$, обозначим его за $H_1$.

По уже доказанному, коразмерность ядра равна 1, $H = H_1 \oplus H_1^{\perp}$ и существует $e \in H_1^{\perp}$, что у любого $x \in H$ существует единственное разложение $x = x_1 + t e, x_1 \in H_1$.

Тогда $f(x) = f(x_1) + f(t e) = t f(e)$.

$\forall y \in H_1^{\perp}: \langle x, y \rangle = \langle x_1 + te, y \rangle = \langle x_1, y\rangle + \langle te, y \rangle = t \langle e, y \rangle$.

Добьемся того, чтобы $f(e)$ было равно $\langle e, y \rangle$: пусть $y = \alpha e$, тогда $\langle e, y \rangle = \alpha \|e\|^2 = f(e)$, то есть $\alpha = {f(e) \over \|e\|^2}$.

Таким образом, искомый $y = {f(e) \over \|e\|^2} e$.

Единственность такого $y$: пусть существуют $y$ и $y'$ такие, что $f(x) = \langle x, y \rangle$ и $f(x) = \langle x, y' \rangle$. Тогда $\forall x: \langle x, y - y' \rangle = 0$, а из первой аксиомы скалярного произведения это означает, что $y - y' = 0$.

</wikitex>
}}

== Ссылки ==
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Quotient_space Quotient space]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Quotient_space_(linear_algebra) Quotient space (linear algebra)]

Компактный оператор

2013-06-14T11:53:49Z

Rybak:

[[Сопряженный оператор|<<]][[Базис Шаудера|>>]]

Напоминание: все рассматриваемые пространства считаем Банаховыми.
{{Определение
|definition=
Множество называется '''относительно компактным''', если его замыкание компактно
}}
{{Определение
|definition=
Линейный ограниченный оператор <tex> A : X \to Y </tex> называется '''компактным''', если <tex> A </tex> переводит любое ограниченное подмножество <tex> X </tex> в относительно компактное множество из <tex> Y </tex>.
}}

Из определения ясно, что мы получаем усиление ограниченности, так как любое относительно компактное множество — ограничено.

=== Пример ===

Рассмотрим пространство <tex> C[0,1] </tex>.
Пусть <tex> K(t, s) </tex> — непрерывно на <tex> [0,1]\times[0,1] </tex> и ограничено: <tex> | K(t,s) | \leq M </tex>.

Введем оператор <tex>A: C[0,1] \to C[0,1]</tex> как <tex> A(x,t) = \int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds </tex>, где <tex> x(s) \in C[0,1] </tex>.

Зададим норму <tex> \| x \| = \max\limits_{s \in [0,1]} | x(s) | \implies |x(s)| \leq \| x \| </tex>.

{{Утверждение
|statement=
Оператор <tex> A(x,t) = \int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds </tex> — компактный.
|proof=
<tex> | A(x,t) | \leq M \cdot \| x \| </tex>

<tex> \| A x \| \leq M \cdot \| x \| </tex>

Проверим, что реализуются условия теоремы Арцела-Асколи о предкомпактности множества в <tex> C[a, b] </tex>:

<tex> T \subset C[0,1] </tex> — относительно компактное <tex>\iff</tex>
# <tex>\exists M\ \forall x \in T : \|x\| \leq M </tex>
# <tex> \forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0 : | t'' - t' | < \delta \implies \forall x \in T : | x(t') - x(t'') | < \varepsilon </tex> — '''равностепенная непрерывность'''.

Рассмотрим <tex>V = \{ x \mid \|x\| \le 1\}</tex> и <tex>A(V)</tex>.

<tex>\|K(u, z)\| \le M, \|A(x)\| \le M\|x\|, x \in V, \|x\| \le 1 </tex>

<tex>\|Ax\| \le M</tex>

<tex>|A(x, t'') - A(x, t')| = |\int\limits_0^1 (K(t'', s) - K(t', s)) x(s) ds|</tex>

<tex>K(u, z)</tex> непрерывна на компакте <tex>[0, 1] \times [0, 1]</tex>, следовательно, равномерно непрерывна на нем.

Отсюда, <tex>\forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0: |t'' - t'| < \delta \implies |K(t'', s) - K(t', s)| < \varepsilon \forall s \in [0, 1]</tex>.

Таким образом, <tex>|A(x, t'') - A(x, t')| \le \int\limits_0^1 \varepsilon |x(s)| ds \le \varepsilon \|x\| < \varepsilon</tex>, получили равностепенную непрерывность <tex>A</tex>.
}}

== Критерий проверки компактности ==

Замечание: в бесконечномерном пространстве шар не будет компактом (следствие из теоремы Рисса о почти перпендикуляре), следовательно, <tex>\mathcal{I}x = x</tex> — не компактен.

Для определения компактности используется [[Теорема Хаусдорфа об ε-сетях|критерий Хаусдорфа]]: множество компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и вполне ограниченно, то есть у него существует конечная <tex>\varepsilon</tex>-сеть.

== Произведение компактных операторов ==
{{Утверждение
|statement =
<tex> A \in \mathcal{L} (X,Y), ~ B \in \mathcal{L} (Y,Z) </tex>, <tex> C = B \cdot A </tex> (произведение, суперпозиция). Тогда:

# Если <tex> B </tex> — ограниченный, <tex> A </tex> — компактный, то <tex> C </tex> — компактный.
# Если <tex> B </tex> — компактный, <tex> A </tex> — ограниченный, то <tex> C </tex> — компактный.
|proof = <wikitex>Докажем первый случай, второй доказывается аналогично.

Рассмотрим единичный шар $V = \{ x \mid \|x\| \le 1\}$. Проверим, что $C(V)$ — относительно компактное в $Z$, то есть надо проверить, что оно вполне ограниченно.

$A$ — компактен, то есть $W = A(V)$ относительно компактно в $Y$, поэтому $\forall \varepsilon > 0 \exists y_1 \dots y_p \forall y \in W \exists j: \| y - y_j\| \le \varepsilon$.

Обозначим $z_j = B(y_j) \in Z$. Рассмотрим произвольное $z \in C(V)$: $z = By, y = Ax, x \in V$.

$\|z - z_j\| = \|B(y - y_j)\| \le \|B\|\|y - y_j\| \le \varepsilon \|B\|$. $B$ — ограничен, таким образом, множество $\{B(y_j)\}$ будет являться $\|B\|\varepsilon$-сетью для $C(V)$, то есть $C$ будет относительно компактен.
</wikitex>
}}

{{Утверждение
|about=следствие
|statement=
Если <tex> B </tex> — компактный оператор, то он (в бесконечномерном случае) не может быть непрерывно обратимым.
|proof=
От противного: пусть <tex> \exists B^{-1} \implies I = B \cdot B^{-1} </tex> — компактный по доказанному утверждению, что невозможно в бесконечномерном случае.
}}

== Компактность сопряженного оператора ==
{{Утверждение
|statement=
Если <tex>A: E \to F</tex> — компактный, то <tex>A^*: F^* \to E^*</tex> — тоже компактный.
|proof=
(Стырено у прошлого курса)

По определению сопряженного оператора, если <tex>\phi \in F^*</tex>, то <tex>A^*\phi = \phi A</tex>.

1. Для доказательства необходимо показать, что множество <tex>\{A^*\phi \mid \|\phi\| \le 1\}</tex> будет относительно компактно в <tex>E^*</tex>.
Для этого надо показать, что если взята последовательность <tex>\{\phi_n\}</tex> такая, что <tex>\|\phi_n\| \le 1\</tex>, то можно выбрать <tex>\{\phi_{n_k}\}</tex> такую, что <tex>A^*\phi_{n_k}</tex> сходится в <tex>E^*</tex>.

2. Рассмотрим в <tex>E</tex> единичный замкнутый шар <tex>\overline{V}</tex>.
По компактности оператора <tex>K = Cl(A(\overline{V})) \subset F</tex> будет метрическим компактом.
Рассмотрим ''сужение'' функционалов <tex>\phi_n</tex> на <tex>K</tex>.

3. Докажем [[равностепенная непрерывность|равностепенную непрерывность]] этой последовательности: рассмотрим <tex>y, z \in K</tex>.
Норма
:<tex>\|\phi_n(z) - \phi_n(y)\| = \|\phi_n(z - y)\| \le \|\phi_n\| \|z - y\| \le \|z - y\|</tex>
не зависит от <tex>n</tex>, а следовательно <tex>\{\phi_n\}</tex> равностепенно непрерывна.

4. Выполняется и ''равномерная ограниченность'' последовательности. Для любого <tex>y \in K</tex>:
:<tex>\|\phi_n(y)\| \le \|\phi_n\| \|y\| \le \|y\| \le const</tex>.

5. Таким образом <tex>\{\phi_n\}</tex> равномерно ограничена и равностепенно непрерывна, следовательно, по теореме Арцела — Асколи из нее можно выделить равномерно сходящуюся последовательность <tex>\{\phi_{n_m}\}</tex> в <tex>K</tex>.

Для доказательства теоремы осталось показать, что <tex>A^*\{\phi_{n_m}\}</tex> сходится в <tex>E^*</tex>. Для этого достаточно выяснить, что <tex>A^*\{\phi_{n_m}\}</tex> равномерно сходится (при устремлении <tex>m</tex> к бесконечности) на <tex>\overline{V}</tex>.

6. Рассмотрим <tex>\varepsilon > 0</tex>. По равномерной сходимости <tex>\{\phi_{n_m}\}</tex> на <tex>K</tex>:
<tex>\exists p_0 : \forall i, j \ge p_0 : \forall y \in K : \| \phi_{n_j}(y) - \phi_{n_i}(y) \| \le \varepsilon</tex>.

7. Следовательно, для любого <tex>x \in \overline{V}</tex> верно <tex>\| \phi_{n_j}(Ax) - \phi_{n_i}(Ax) \| \le \varepsilon</tex>.
Замечая, что <tex>\phi_{n_i}(Ax) = A^*(\phi_{n_i}, x)</tex>, приходим к равномерной сходимости <tex>A^*\phi_{n_m}</tex> на <tex>\overline{V}</tex>.

Таким образом, теорема доказана.
}}

{{Утверждение
|statement =
Пусть <tex> A </tex> — компактный, тогда <tex> R(A) </tex> — сепарабельно (то есть, в <tex> R(A) </tex> существует счетное всюду плотное подмножество).
|proof =
<tex> X = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} V_n, \quad V_n = \{ x \mid \| x \| < n \} </tex> — счетное объединение шаров.

<tex> R(A) = A (X) = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} A(V_n) </tex>

<tex> A(V_n) </tex> — относительно компактно.

Используя [[Теорема Хаусдорфа об ε-сетях|теорему Хаусдорфа]], можно показать, что любое относительно компактное множество сепарабельно: объединение <tex>\varepsilon</tex>-сетей при <tex>\varepsilon = \frac1n</tex> для <tex>n</tex> от <tex>1</tex> до <tex>\infty</tex> счетно и оно будет всюду плотным в этом множестве.

Счетное объединение сепарабельных множеств — сепарабельно, значит <tex> R(A) </tex> — сепарабельно.
}}

[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]

Сопряжённый оператор

2013-06-14T11:53:20Z

Rybak:

{{В разработке}}

[[Спектр линейного оператора|<<]][[Компактный оператор |>>]]

Все рассматриваемые далее пространства считаем Банаховыми.

{{Определение
|definition=
<tex> E^* </tex> {{---}} множество линейных непрерывных функционалов над <tex> E </tex>, его называют пространством, сопряженным к <tex> E </tex>. 
Аналогично, <tex> E^{**} </tex> {{---}} пространство, сопряженное к <tex> E^* </tex>.
}}

== Естественное вложение ==
{{Утверждение
|statement=
Между <tex> E </tex> и <tex> E^{**} </tex> существует так называемый '''естественный изоморфизм''', сохраняющий норму точки.
|proof=
Введем <tex> F_x </tex> следующим образом: <tex>\forall x \in E : F_x (f) = f(x), f \in E^{*} </tex>.

<tex> F_x : E^{*} \to \mathbb{R} </tex> — функционал, заданный на <tex>E^{*}</tex>, то есть <tex> F_x \in E^{**} </tex>.

Тогда само <tex> F </tex> отображает <tex> E </tex> в <tex> E^{**} </tex>.

<tex> F </tex> линейно: <tex> F_{\alpha x_1 + \beta x_2} = \alpha F_{x_1} + \beta F_{x_2} </tex>.

<tex> | F_x(f) | = |f(x)| \le \| f \| \| x \| </tex>, откуда <tex> \| F_x \| \le \| x \| </tex>.

С другой стороны, по следствию из теоремы Хана-Банаха, для любого <tex> x_0 \in E </tex> существует <tex> f_0 \in E^* </tex>, такое, что выполняются два условия:
# <tex> f_0(x_0) = \| x_0 \| </tex>
# <tex> \| f_0 \| = 1 </tex>.

<tex> | F_{x_0} (f_0) | = f_0 (x_0) = \| x_0 \|, \| f_0 \| = 1 </tex>, потому получаем, что <tex> \| F_{x_0} \| \ge \| x_0 \| \implies \| F_{x_0} \| = \| x_0 \| </tex>.

Значит, получившееся преобразование <tex> x \mapsto F_x </tex> — изометрия, <tex> \| x \| = \| F_x \| </tex>, получили '''естественное вложение''' <tex> E </tex> в <tex> E^{**} </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
<tex> E </tex> называется '''рефлексивным''', если <tex> E </tex> будет совпадать с <tex> E^{**} </tex> при таком отображении.
}}

Например, гильбертово пространство <tex> H </tex> рефлексивно (следует из теоремы Рисса об общем виде линейного функционала).

<tex> C[0, 1] </tex> не является рефлексивным.

== Сопряженный оператор ==

Пусть оператор <tex> A </tex> действует из <tex> E </tex> в <tex> F </tex>, и функционал <tex> \varphi </tex> принадлежит <tex> F^* </tex>.

Рассмотрим <tex> f(x) = \varphi (Ax), | f(x) | \le \| \varphi \| \| A \| \| x \| </tex>.

Получили новый функционал <tex> f </tex>, принадлежащий <tex> E^* </tex>. <tex> \varphi \mapsto \varphi A </tex>.

<tex> \varphi A = A^* (\varphi), A^* : F^* \to E^* </tex>. <tex> A^* </tex> {{---}} '''сопряженный оператор''' к <tex> A </tex>.

{{Теорема
|statement=
Если <tex> A </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор, то <tex> \| A^* \| = \| A \| </tex>.
|proof=
Возьмем <tex> x \in E, \varphi \in F^* </tex>.

<tex> | A^* (\varphi, x) | = | \varphi (Ax) | \le \| A \| \| \varphi \| \| x \| </tex>.

Получили, что <tex> \| A^* (\varphi) \| \le \| A \| \| \varphi \| </tex>, откуда <tex> \| A^* \| \le \| A \| </tex>.

Для доказательства в обратную сторону используем [[Теорема Хана-Банаха#hbnorm|следствие из теоремы Хана-Банаха]]:

По определению нормы оператора: <tex> \forall \varepsilon > 0 \, \exists x: \| x \| = 1 \implies \| A \| - \varepsilon < \| Ax \| </tex>.

<tex> Ax \in F </tex>, по следствию из теоремы Хана-Банаха подберем <tex> \varphi_0 \in F^*, \| \varphi_0 \| = 1: \varphi_0 (Ax) = \| Ax \| </tex>.

<tex> | A^*(\varphi_0, x) | = | \varphi_0(Ax) | = \| Ax \| > \| A \| - \varepsilon </tex>.

<tex> | A^*(\varphi_0, x) | \le \| A^*(\varphi_0) \| \| x \| = \| A^*(\varphi_0) \| \le \| A^* \| \| \varphi_0 \| = \| A^* \| </tex>.

Соединяя эти два неравенства, получаем, что <tex> \forall \varepsilon > 0: \| A^* \| > \| A \| - \varepsilon </tex>.

Устремляя <tex> \varepsilon </tex> к нулю, получаем, что <tex> \| A^* \| \ge \| A \| </tex>, и, окончательно, <tex> \| A^* \| = \| A \| </tex>.

}}

== Примеры сопряженных операторов ==

Возьмем любое гильбертово пространство <tex> H </tex>, <tex> A : H \to H </tex>.

<tex> \forall \varphi \in H^* </tex> по теореме Рисса об общем виде линейного функционала в <tex> H </tex> существует единственный
<tex> z : \varphi (y) = \langle y, z \rangle, \| \varphi \| = \| z \| </tex>.

Поскольку <tex> x \mapsto \varphi (Ax) </tex> также является линейным функционалом <tex> H \to H </tex>, то <tex> \varphi (Ax) = \langle Ax, z \rangle = \langle x, y \rangle </tex>, где <tex> y </tex> не зависит от <tex> x </tex>.

Имеем отображение <tex> z \mapsto y </tex>, тогда <tex> y = A^*(z) </tex>, и окончательно:

<tex> \langle Ax, z \rangle = \langle x, A^*z \rangle </tex>.

В гильбертовом пространстве <tex> H </tex> сопряженный оператор {{---}} тот оператор, который позволяет писать равенство выше.

{{Определение
|definition=
Оператор <tex> A </tex> в гильбертовом пространстве называется '''самосопряженным''', если <tex> A = A^* </tex>
}}

В случае <tex> \mathbb{R}^n </tex> (частный случай <tex> H </tex>) оператор <tex> A : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n </tex> представляет собой матрицу размером <tex> n \times n </tex>. Сопряженный к <tex> A </tex> оператор получается транспонированием соответствующей матрицы: <tex> A^* = A^T </tex>. Для симметричной матрицы <tex> A </tex> получается <tex> A^* = A^T = A </tex>, то есть, если <tex> A </tex> {{---}} симметричная матрица, то <tex> A </tex> {{---}} самосопряженный оператор.

Рассмотрим теперь пространство <tex> E = L_p [0, 1] </tex>.

Пусть <tex> K(u, v) : [0, 1] \times [0, 1] \to \mathbb{R} </tex> {{---}} непрерывная функция на <tex> [0, 1] \times [0, 1] </tex>, <tex> x \in E </tex>.

'''Интегральный оператор''' <tex> A </tex>, действующий из <tex> L_p [0, 1] </tex> в <tex> L_p [0, 1] </tex> определяется так: <tex> A(x, s) = (Ax)(s) = \int\limits_0^1 K(s, t) x(t) dt </tex>. <tex> Ax \in E </tex>.

Построим сопряженный оператор:

По теореме об общем виде линейного функционала в <tex> L_p </tex>,

<tex> \forall \varphi \in E^*, x \in E: \varphi(x) = \int\limits_0^1 y(t) x(t) dt, y \in L_q </tex>, где <tex> \frac 1p + \frac 1q = 1 </tex> (<tex> p </tex> и <tex> q </tex> называются '''сопряженными показателями''').

<tex> L_p^* = L_q </tex>.

<tex> A^*(\varphi, x) = \varphi (Ax) = \int\limits_0^1 y(s) (Ax)(s) ds = \int\limits_0^1 y(s) (\int\limits_0^1 K(s, t) x(t) dt) ds = </tex> (по теореме Фубини поменяем порядок интегрирования) <tex> = \int\limits_0^1 ( \int\limits_0^1 K(s, t) y(s) ds) x(t) dt </tex>

Получили, что <tex> A^*(\varphi, x) = \int\limits_0^1 ( \int\limits_0^1 K(s, t) y(s) ds) x(t) dt </tex>. Обозначим <tex> z(t) = \int\limits_0^1 K(s, t) y(s) ds </tex>, тогда <tex> A^* (\varphi) \equiv z </tex>, аналогично <tex> \varphi \equiv y </tex>.

<tex> A^* </tex> {{---}} интегральный оператор из <tex> L_q </tex>, имеющий ядро <tex> K^*(s, t) = K(t, s) </tex>. В частности, если ядро симметрично (<tex> K(s, t) = K(t, s) </tex>) и <tex> p = q = 2 </tex>, то <tex> A = A^* </tex>.

== Ортогональное дополнение ==

Важное значение имеет ортогональное дополнение (в любом нормированном пространстве):

{{Определение
|definition=
Пусть <tex> E </tex> {{---}} НП, <tex> S \subset E^* </tex>.

<tex> S^{\bot} = \{ x \in E \mid \forall f \in S: f(x) = 0 \} </tex> {{---}} '''ортогональное дополнение''' <tex> S </tex>.

Аналогично, если <tex> T \subset E </tex>, то <tex> T^{\bot} = \{ f \in E^* \mid \forall x \in T: f(x) = 0 \} </tex>.
}}

{{Утверждение
|statement= <tex> \{ 0 \} = (E^*)^{\bot}, \{ \mathbf{0} \} = E^{\bot} </tex>.
|proof=

Оба включения <tex> \subset </tex> очевидны по определению. В обратную сторону:

# Пусть <tex> x \in (E^*)^{\bot} </tex>, тогда <tex> \forall f \in E^*: f(x) = 0 </tex>. Предположим, что <tex> x \neq 0 </tex>, тогда по [[Теорема Хана-Банаха|следствию из теоремы Хана-Банаха]], для такого <tex>x</tex>, найдется функционал <tex>f: f(x) = \| x \| \neq 0 </tex>, получили противоречие, что <tex> x \in (E^*)^{\bot} </tex>.
# Пусть <tex> f \in E^\bot </tex>, тогда <tex> \forall x \in E: f(x) = 0</tex>. Тогда <tex>f</tex> — нулевой функционал по определению.
}}

== Теоремы о множестве значений оператора ==
=== Теорема 1 ===

{{Теорема
|statement= <tex> A \in \mathcal{L}(E,F) \implies \operatorname{Cl} R(A) = (\operatorname{Ker} A^*)^\perp </tex>.
|proof =
<tex>\subset</tex>:

<tex>\forall \varphi \in \operatorname{Ker}A^*</tex>, <tex>A^* \varphi = \mathbf{0}</tex>.

Пусть <tex>y \in R(A) </tex>, тогда <tex> y = Ax </tex>.

<tex> \varphi (y) = \varphi(A x) = A^*(\varphi, x) = 0 </tex>, следовательно, <tex> R(A)\subset(\operatorname{Ker}A^*)^\perp</tex>.

Теперь, пусть <tex>y \in \operatorname{Cl} R(A)</tex>, тогда <tex> y = \lim y_n, y_n \in R(A)</tex>.

<tex>\varphi(y_n) = 0, \varphi(y_n) \xrightarrow[]{n \to \infty} \varphi(y) \implies \varphi(y) = 0</tex>, и <tex>\operatorname{Cl}(R(A)) \subset (\operatorname{Ker}(A^*))^\perp</tex>

<tex>\supset</tex>:

Надо показать, что <tex>y \in (\operatorname{Ker}A^*)^\perp \implies y \in \operatorname{Cl} R(A)</tex>. Пусть это не так: <tex> y \notin \operatorname{Cl} R(A)</tex>.

Рассмотрим <tex> F_1 = \left\{ z + ty \mid z \in \operatorname{Cl}(R(A)), y \notin \operatorname{Cl}(R(A)), t \in \mathbb{R} \right\} </tex>. <tex>F_1</tex> {{---}} линейное множество в силу линейности <tex>\operatorname{Cl}(R(A))</tex>.

Покажем, что <tex>F_1</tex> -- подпространство <tex>F</tex>. Для этого нам осталось проверить замкнутость <tex>F_1</tex>:

Пусть <tex>z_n+t_{n}y \to u = z + ty</tex>, хотим убедиться в том, что <tex>u \in F_1</tex>.

Если <tex> |t_{n}| \le const </tex>, то выберем <tex>t_{n_k}</tex>, стремящееся к какому-то <tex>t</tex>. Из <tex>z_n+t_{n}y \to u, t_{n_k}y \to ty </tex> получаем <tex> z_n \to z \in \operatorname{Cl}(R(A))</tex>.

Если допустить, что <tex>t_{n_k} \to \infty</tex>:

<tex>z_{n_k}+t_{n_k}y \to u</tex>. <tex>z_{n_k}/t_{n_k} + y \to 0 \implies z_{n_k}/t_{n_k} \to -y \implies -y \in \operatorname{Cl}(R(A)) \implies y \in \operatorname{Cl}(R(A))</tex> {{---}} противоречие.

Таким образом, <tex>\operatorname{Cl}(F_1) = F_1</tex>.

Построим на <tex>F_1</tex> фунционал <tex>\varphi_0 : \varphi_0(z+ty) = t </tex>, <tex> \varphi_0(z) = 0</tex>. Он, очевидно, непрерывен, а по теореме Хана-Банаха с сохранением непрерывности его можно продолжить на <tex>F: \widetilde{\varphi_0} \in F^*</tex>, причем так, что <tex>\widetilde{\varphi_0}\mid _{F_1} = \varphi_0</tex>.

Рассмотрим значение <tex>\widetilde{\varphi_0}(y)</tex>:

* С одной стороны, <tex>\widetilde{\varphi_0}(y) = \varphi_0(y) = \varphi_0(0 + 1 y) = 1</tex>
* С другой стороны, <tex>y \in (\operatorname{Ker}A^*)^\perp</tex>, а значит, на любом функционале из ядра <tex>A^*</tex>, в том числе, и на <tex>\widetilde{\varphi_0}</tex>, должно выполняться <tex>\widetilde{\varphi_0}(y) = 0</tex>

Получили противоречие, следовательно, <tex> y \in \operatorname{Cl}(R(A))</tex>.
}}

=== Теорема 2 ===

{{Теорема
|statement= <tex> A \in \mathcal{L}(E,F),~R(A) = \operatorname{Cl} R(A) \implies R(A^*) = (\operatorname{Ker}A )^\perp </tex>.
|proof =
1) <tex>f \in R(A^*) \implies f = \varphi A , \varphi \in F^*</tex>.

Рассмотрим <tex> x \in (\operatorname{Ker}A). </tex>
<tex>f(x) = \varphi(Ax) = \varphi(0) = 0 \implies R(A^*) \subset (\operatorname{Ker}A )^\perp</tex>.

2) Докажем теперь обратное включение:

<tex>(\operatorname{Ker}A )^\perp</tex> — набор таких <tex>f</tex>, что если <tex>Ax=0</tex>, то <tex>f(x)=0</tex>.

Надо показать, что <tex>f \in R(A^*)</tex>, т.е. проверить, что <tex>f = A^* \varphi = \varphi A</tex>.

Если найдем <tex>\varphi</tex>, заданный на <tex>R(A)</tex>, то сможем продолжить его на все <tex>F</tex> по теореме Хана-Банаха.

Рассмотрим произвольное <tex>y \in R(A)</tex>, пусть <tex>y = Ax</tex> и <tex>y = Ax'</tex>.

Тогда <tex>A(x - x') = 0</tex>, то есть <tex>x - x' \in \operatorname{Ker} A</tex>, <tex>f(x - x') = 0</tex>, и <tex>f(x) = f(x')</tex>, то есть, значение функционала не зависит от того, какой конкретно <tex>x</tex> (при <tex>Ax = y</tex>) был выбран.

Тогда можно взять <tex>\varphi(y) = f(x)</tex>, где <tex>y = Ax</tex> — линейный функционал, <tex>f = \varphi A</tex>. Осталось проверить ограниченность <tex>\varphi</tex> на <tex>R(A)</tex>.

Рассмотрим <tex>E/_{\operatorname{Ker} A}</tex>, <tex>\widetilde{A} : E/_{\operatorname{Ker} A} \to F</tex>, <tex>\widetilde{A}([x]) = Ax</tex>.

<tex>\widetilde{A} : E/_{\operatorname{Ker} A} \to R(A)</tex> — биекция, <tex>R(A)</tex> — замкнуто, <tex>F</tex> — банахово, поэтому <tex>R(A)</tex> — также банахово как подпространство в <tex>F</tex>. Введем норму для <tex>[x] \in E/_{\operatorname{Ker} A}</tex> как <tex>\|[x]\| = \inf\limits_{x\in [x]} \|x\|</tex>.

Покажем, что <tex>\widetilde{A}</tex> — ограничен: <tex>\|\widetilde{A}\| = \sup\limits_{\|[x]\| = 1} \|\widetilde{A}[x]\|</tex>. Теперь перейдем от классов эквивалентности к их представителям. Так как <tex>\|[x]\| = \inf\limits_{x \in [x]} \|x\| = 1</tex>, найдется <tex>x \in [x]</tex>, такой, что <tex>\|x\| \le 2</tex> (по определению инфимума), возьмем его в качестве представителя (мы можем это сделать, так как значение <tex>Ax</tex> одно и тоже для любого <tex>x\in[x]</tex>). Тогда: <tex>\|\widetilde{A}\| = \sup\limits_{\|[x]\| = 1} \|\widetilde{A}[x]\| \le \sup\limits_{\|x\| \le 2} \|Ax\| \le \sup\limits_{\|y\| \le 1} \|A(2 y)\| \le 2 \sup\limits_{\|y\| \le 1} \|Ay\| = 2 \|A\|</tex>, так как <tex>\|A\|</tex> был ограничен, <tex>\widetilde{A}</tex> тоже окажется ограниченным.

Тогда по [[Теорема Банаха об обратном операторе#Теорема Банаха о гомеоморфизме|теореме Банаха об гомеоморфизме]] существует линейный ограниченный оператор <tex>\widetilde{A}^{-1}</tex>, <tex>\| \widetilde{A}^{-1}(y) \| \le m \|y\| < 2m \|y\|</tex>. Замечание: строгое неравенство нам нужно для того, чтобы обеспечить существование такого <tex> x' \in A^{-1}(y) </tex>, что <tex> \| x' \| < 2m\| y \| </tex>.

<tex>\widetilde{A}^{-1}(y) = \{ x: y = Ax \}</tex>

<tex>\|\widetilde{A}^{-1}(y)\| = \inf\limits_{x\in \widetilde{A}^{-1}(y)} \|x\| < 2m \|y\| </tex>, следовательно, существует <tex> x' = A^{-1}y, \|x'\| < 2m\|y\|</tex>.

<tex> \|\varphi(y)\| = \|f(x')\| \le \|f\|\|x'\| < (2m\|f\|)\|y\| </tex>, то есть, получили ограниченность <tex> \varphi </tex>, теорема доказана.
}}

Эти две теоремы являются наиболее общей формой записи условий разрешимости операторных уравнений.

Смысл: рассмотрим уравнение <tex>Ax = y</tex>, где <tex>y</tex> — дано. Для того, чтобы понять, разрешимо ли уравнение, нужно проверить, что <tex>y \in R(A)</tex>. В общем случае, не существует способа это сделать, но можно ограничиться проверкой <tex>R(A) = \operatorname{Cl} R(A)</tex>, и тогда <tex>R(A) = (\operatorname{Ker}A^*)^\bot</tex>, сопряженный оператор можно построить, ядро поддается конструктивному описанию: <tex>y \in R(A) \iff y \perp \operatorname{Ker} A^*</tex>.

Например, <tex>A: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n</tex>, <tex>A^* = A^\top : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m</tex>. <tex>R(A) = \operatorname{Cl} R(A)</tex>, <tex>Ax = y</tex>, <tex>y</tex> — дано. Надо смотреть <tex>y \perp \operatorname{Ker} A^*</tex>, то есть <tex>A^\top y = 0</tex>.

В следующих параграфах мы введем класс бесконечномерных операторов, для которых <tex>R(A)</tex> — замкнуто, в частности, в этот класс входят интегральные операторы.

[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]

Спектр линейного оператора

2013-06-14T11:51:29Z

Rybak:

{{В разработке}}
В пределах этого параграфа подразумевается, что оператор <tex>A</tex> {{---}} линейный, ограниченный.

{{Определение
|definition=
Рассмотрим некоторое <tex>\lambda \in \mathbb C</tex>. Если для него существует и непрерывен оператор <tex>R_\lambda(A) = R_\lambda = (A - \lambda I)^{-1}</tex> (<tex>I</tex> {{---}} единичный оператор), то он называется '''резольвентой'''. Множество <tex>\lambda</tex>, для которых существует <tex>R_\lambda</tex>, обозначается <tex>\rho(A)</tex>, и называется '''резольвентным множеством''', дополнение к нему обозначается <tex>\sigma(A)</tex> и называется '''спектром''' оператора <tex>A</tex>.
}}

{{Теорема
|about=о резольвентном множестве
|statement=
<tex>\rho(A)</tex> {{---}} открытое множество в <tex>\mathbb C</tex>;
|proof=
Пусть <tex>\lambda_0 \in \rho(A)</tex>, тогда существует <tex>R_{\lambda_0}</tex>.

<tex>A - \lambda I = (A - \lambda_0 I) - (\lambda - \lambda_0) I = (A - \lambda_0 I) - (\lambda - \lambda_0) (A - \lambda_0 I) R_{\lambda_0} = (A - \lambda_0 I) (I - (\lambda - \lambda_0) R_{\lambda_0})</tex>

Если <tex>|\lambda - \lambda_0| \|R_{\lambda_0}\| < 1</tex>, то <tex>(I - (\lambda - \lambda_0) R_{\lambda_0})</tex> непрерывно обратим по теореме Банаха.

Тогда и оператор <tex>A - \lambda I</tex> тоже непрерывно обратим, так как <tex> (A - \lambda I)^{-1} = ((A - \lambda_0 I) (I - (\lambda - \lambda_0) R_{\lambda_0}))^{-1} = (I - (\lambda - \lambda_0) R_{\lambda_0})^{-1} (A - \lambda_0 I)^{-1} </tex>, и тогда он непрерывен как компзиция непрерывных.

Нужное нам условие выполняется, если <tex>|\lambda - \lambda_0| < \frac1{\|R_{\lambda_0}\|}</tex>, таким образом, любая точка <tex>\lambda_0</tex> множества <tex>\rho(A)</tex> входит в него вместе с некоторой окрестностью.
}}

{{Утверждение
|about=вхождение спектра в круг радиуса <nowiki>||А||</nowiki>
|statement=
<tex>\{ |\lambda| > \|A\|\} \subset \rho(A)</tex>
|proof=
<tex>A - \lambda I = -\lambda(I - \frac1\lambda A)</tex>

Если <tex>|\lambda| > \|A\|</tex>, то <tex>\frac1{|\lambda|} \|A\| < 1</tex>, <tex>(I - \frac1\lambda A)</tex> непрерывно обратим, и <tex>A</tex> имеет резольвенту. Отсюда мгновенно получаем требуемое.
}}

{{Определение
|definition=
<tex>r_\sigma(A) = \inf\limits_{n \in \mathbb N} \sqrt[n]{\|A^n\|}</tex> {{---}} спектральный радиус оператора.
}}

Так как <tex>\|A^n\| \le \|A\|^n</tex>, то <tex>r_\sigma(A) \le \|A\|</tex>.

{{Утверждение
|statement=
<tex>r_\sigma(A) = \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{\|A^n\|}</tex>
|proof=
Обозначим для краткости <tex>r_\sigma(A)</tex> за <tex>r</tex>.

По определению нижней грани, <tex>\forall \varepsilon > 0 \exists n_0: r \le \|A^{n_0}\|^{\frac{1}{n_0}} < r + \varepsilon</tex>.

Любое <tex> n > n_0</tex> представим как <tex>n = p_n n_0 + q_n</tex>, где <tex>q_n = 0, 1, \ldots, n_0 - 1</tex>.

Таким образом, <tex>\|A^n\| = \|A^{p_n n_0 + q_n}\| \le \|A^{p_n n_0}\| \|A^{q_n} \|\le \|A^{n_0}\|^{p_n} \|A\|^{q_n}</tex>

Значит, <tex>{\|A^n\|}^{\frac{1}{n}} \le {\|A^{n_0}\|}^{\frac{p_n}{n}} {\|A\|}^{\frac{q_n}{n}}</tex>.

Рассмотрим <tex>{\|A^{n_0}\|}^{\frac{p_n}{n}} = {\|A^{n_0}\|}^{\frac{p_n}{p_n n_0 + q_n}} \le {\|A^{n_0}\|}^{\frac{p_n}{p_n n_0}} = \|A^{n_0}\|^{\frac{1}{n_0}} < r+ \varepsilon</tex>.

Теперь рассмотрим <tex>\frac{q_n}{n} \le \frac{n_0 - 1}{n} \xrightarrow[n \to \infty]{} 0</tex>, значит, <tex>\|A\|^{\frac{q_n}{n}} \to 1</tex>, то есть, <tex>\forall \varepsilon > 0 \exists n \forall n' > n: \|A\|^{\frac{q_{n'}}{n'}} \le 1 + \varepsilon</tex>.

Тогда, с одной стороны, по определению <tex>r</tex> как инфимума, для всех <tex>n</tex>: <tex>r \le \|A^n\|^{\frac{1}{n}}</tex>, но с другой, по только что показанному, для произвольного <tex>\varepsilon</tex>, начиная с какого-то <tex>n</tex> можно сказать, что <tex>\|A^n\|^{\frac{1}{n}} \le (r + \varepsilon) (1 + \varepsilon)</tex>. Тогда из этого получаем, что <tex>\|A^n\|^{\frac{1}{n}} \to r</tex>, что и требовалось доказать.
}}

{{Утверждение
|statement=
<tex>\sigma(A) \subset \{\lambda \mid |\lambda| \le r_\sigma(A)\}</tex>
|proof=
<tex> A - \lambda I = - \lambda (I - \frac{1}{\lambda} A)</tex>, найдем, при каких <tex>\lambda</tex> у <tex>I - \frac{1}{\lambda} A</tex> есть обратимый.

Если сходится <tex>\sum\limits_{n=0}^{\infty} (\frac{1}{\lambda} A)^n</tex>, то он и будет совпадать с <tex>(I - \frac{1}{\lambda} A)^{-1}</tex> (показывали это в [[Теорема_Банаха_об_обратном_операторе | теореме Банаха для I - C]])

Так как пространство банахово, операторный ряд сходится если сходится соответствующий рад из норм: <tex>\|\sum\limits_{n=0}^{\infty} (\frac1\lambda A)^n \| \le \sum\limits_{n=0}^{\infty} |\frac1\lambda|^n \|A^n\|</tex>, по радикальному признаку Коши, последний ряд сходится, если <tex>\sqrt[n]{|\frac1\lambda|^n \|A^n\|} = |\frac1\lambda| \sqrt[n]{\|A^n\|} \to |\frac1\lambda| r_\sigma < 1</tex>.

Таким образом, при <tex>r_\sigma < |\lambda|</tex>, обратный оператор к <tex>I - \frac{1}{\lambda}A</tex> существует, то есть <tex>\lambda \in \rho(A)</tex>. Значит, спектр полностью содержится во множестве, в котором <tex>r_\sigma \ge |\lambda|</tex>.
}}

{{Утверждение
|about=аналитичность резольвенты в резольвентном множестве
|statement=<tex>R_\lambda</tex> как функция из комплексного числа в ограниченный оператор, аналитична в <tex>\rho(A)</tex> и в бесконечно удаленной точке комплексной плоскости.
|proof=

пусть <tex> \lambda_0 \in \rho(A)</tex>:

<tex>A - \lambda I = (A - \lambda_0 I) - (\lambda - \lambda_0)I = (A - \lambda_0 I) - (\lambda - \lambda_0)(A - \lambda_0 I)R_{\lambda_0}</tex><tex> = (A - \lambda_0 I)(I - (\lambda - \lambda_0)R_{\lambda_0})</tex> — если взять достаточно малое <tex>\lambda - \lambda_0</tex>, можно так обратить.

<tex>(I - (\lambda - \lambda_0)R_{\lambda_0}) ^ {-1} = \sum\limits_{n=0}^{\infty} R_{\lambda_0}^n (\lambda - \lambda_0)^n</tex> {{---}} сходится при <tex>|\lambda - \lambda_0| \approx 0</tex>.

<tex>(A - \lambda I) ^ {-1} = R_{\lambda_0} \sum\limits_{n=0}^{\infty} R_{\lambda_0}^n (\lambda - \lambda_0)^n = \sum\limits_{n=0}^{\infty} R_{\lambda_0}^{n+1} (\lambda - \lambda_0)^n</tex>, следовательно, <tex>(A - \lambda I)^{-1}</tex> аналитична.

Также, так как <tex>A - \lambda I = -\lambda (I - \frac1\lambda A)</tex>, то при <tex>|\lambda| \approx \infty</tex>, <tex>R_\lambda = -\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{A^n}{\lambda^{n-1}}</tex>, и <tex>R_\lambda</tex> аналитична при <tex>\lambda = \infty</tex>.
}}

{{Теорема
|about=непустота спектра ограниченного оператора
|statement=
<tex>\|A\| < +\infty \implies \sigma(A) \ne \emptyset</tex>
|proof=
Если <tex>L(X)</tex> (пространство линейных ограниченных операторов <tex>A: X \to X</tex>) банахово, то в нем можно рассматривать операторно степенные ряды <tex>\sum\limits_{n=0}^{\infty} A_n\lambda^n</tex>, их свойства копируют свойства обычных степенных рядов. Воспользуемся аналитичностью резольвенты: если <tex>\sigma(A) = \emptyset</tex>, то <tex> \rho(A) = \mathbb{C}</tex>, то есть в пределах любого круга и в бесконечно удаленой точке резольвента ограничена, тогда по [http://en.wikipedia.org/wiki/Liouville%27s_theorem_(complex_analysis) теореме Лиувилля] (если на всей комплексной плоскости функция <tex>f(z)</tex> равномерно ограничена, она тождественно равна постоянной) ({{TODO|t=требуется ограниченность всех точек в совокупности, непонятно почему это выполняется. Еще она формулируется для фунции в C, а не в операторы, что меня смущает. Вот [http://www.mathforum.ru/forum/read/1/572/ тут], возможно, есть объяснение}}), <tex>R_\lambda</tex> — константная функция, но тогда бы все <tex>A - \lambda I</tex> были бы одинаковы, чего, очевидно, быть не может, то есть получили противоречие и спектр непуст.
}}

[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]

Теорема Банаха об обратном операторе

2013-06-14T11:51:04Z

Rybak:

{{В разработке}}
__TOC__

{{Определение
|definition=
Оператор <tex> A : X \to Y </tex> называется '''непрерывно обратимым''', если существует <tex> A^{-1} : Y \to X </tex> и <tex> \| A^{-1} \| < \infty </tex>, причем <tex>A^{-1}</tex> должен быть определен на всем <tex>Y</tex>.
}}

{{Теорема
|author=Банах
|about=о непрерывной обратимости I-C
|statement=
Пусть <tex> X </tex> {{---}} B-пространство, оператор <tex> C : X \to X, C \in {L}(X) </tex> и <tex> \| C \| < 1 </tex>.
Тогда оператор <tex> I - C </tex>, где <tex> I </tex> {{---}} тождественный оператор, непрерывно обратим.
|proof=
<tex> {L}(X) </tex> {{---}} B-пространство.

Рассмотрим следующие суммы: <tex> S_n = \sum\limits_{k=0}^n C^k </tex>.

<tex> (I - C)S_n = \sum\limits_{k=0}^n (C^k - C^{k + 1}) = I - C^{n + 1} </tex>.

<tex> \sum\limits_{k=0}^{\infty} C^k </tex> — ряд в B-пространстве <tex> {L}(X) </tex> сходится, если сходится ряд из соответствующих норм. Покажем это: пусть есть операторный ряд <tex>\sum\limits_{i=1}^\infty A_i</tex>. Рассмотрим последовательность частичных сумм <tex>S_n = \sum\limits_{i=1}^n A_i</tex>, она будет сходиться если сходится в себе (по Банаховости пространства). Тогда <tex>S_n - S_m = \sum\limits_{i=m}^{n} A_i</tex>, а <tex>\|S_n - S_m\| = \| \sum\limits_{i=m}^n A_i \| \le \sum\limits_{i=m}^n \|A_i\|</tex> (так как для конечного числа членов норма суммы меньше суммы норм), но так как последовательность норм сходится, она также сходится в себе и <tex>\sum\limits_{i=m}^n \|A_i\| \xrightarrow[n, m \to \infty]{} 0</tex>, то есть частичные суммы сходятся в себе, а, значит, и сходятся.

Из того, что <tex> \| C^k \| \le \| C \|^k </tex>, получаем <tex> \left\| \sum\limits_{k=0}^{\infty} C^k \right\| \le
\sum\limits_{k=0}^{\infty} \| C \|^k = \frac 1{1 - \| C \|} < \infty </tex>.

Так как <tex> \| C \| < 1 </tex>, то существует такой <tex> S \in {L}(X) </tex>, что <tex> S = \sum\limits_{k=0}^{\infty} C^k </tex>.

<tex> S_n \xrightarrow[n \to \infty]{} S </tex>. Поскольку <tex> \| C \| < 1 </tex>, то <tex> \| C^k \| \to 0 </tex>, а значит, и <tex> C^k \to \mathbb{O} </tex>.

<tex> (I - C)S_n = I - C^{n + 1} </tex>. Устремляя <tex> n </tex> к бесконечности, получаем <tex> (I - C)S = I </tex>, а значит <tex> S = \sum\limits_{k=0}^{\infty} C^k = (I - C)^{-1} </tex> — ограниченный оператор.

}}

Трактовка этой теоремы: <tex> Ix = x </tex>, <tex> I </tex> {{---}} непрерывно обратимый оператор. При каких условиях на оператор <tex> C </tex> оператор <tex> I - C </tex> сохраняет ннепрерывную обратимость? Из теоремы выше известен ответ на этот вопрос: когда <tex> \| C \| < 1 </tex>, то есть "при малых возмущениях <tex> I </tex> сохраняется его непрерывная обратимость".

'''Далее считаем, что пространства <tex>X</tex> и <tex>Y</tex> {{---}} всегда банаховы.'''

{{Определение
|definition=
Рассмотрим уравнение <tex> Ax = y </tex> при заданном <tex> y </tex>. Если для такого уравнения можно написать <tex> \| x \| \le \alpha \| y \| </tex>, где <tex> \alpha </tex> {{---}} константа, то говорят, что это уравнение '''допускает априорную оценку решений'''.
}}

<tex> R(A) = \{ Ax \mid x \in X \} </tex> {{---}} область значений оператора <tex> A </tex>, является линейным множеством, но может быть незамкнутым. Однако, верно следующее:

{{Утверждение
|statement=
Если <tex> A </tex> непрерывен, и уравнение <tex> Ax = y </tex> допускает априорную оценку решений, то <tex> R(A) = \mathrm{Cl} R(A) </tex>.
|proof=
Возьмем сходящуюся последовательсть <tex> y_n \in R(A), y_n \to y </tex>. Нужно проверить, правда ли <tex> y \in R(A) </tex>, или, что то же самое, что уравнение <tex> Ax = y </tex> имеет решение для такого <tex> y </tex>.

<tex> y_n \to y \implies \| y_n - y_m \| \to 0 </tex>. Можно выбрать такую подпоследовательность <tex> y_n </tex>, что для этой подпоследовательности после перенумерации будет выполняться <tex> \| y_n - y_{n+1} \| < \frac 1{2^n} </tex>.

По линейности <tex> R(A) </tex>: <tex> y_{n+1} - y_n \in R(A) </tex> и для любого <tex> n </tex> существует <tex> x_n: A x_n = y_{n+1} - y_n </tex>.

Поскольку уравнение <tex> Ax = y </tex> допускает априорную оценку решений, имеем <tex> \| x_n \| \le \alpha \| y_{n+1} - y_n \| </tex>.

Рассмотрим следующий ряд: <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} x_n </tex>. Сумма ряда из норм: <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} \| x_n \| \le \alpha \sum\limits_{n=1}^{\infty} \| y_{n+1} - y_n \| \le \alpha \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac 1{2^n} = \alpha </tex>. По банаховости <tex> X </tex> получаем, что <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} x_n </tex> сходится, и <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} x_n = x </tex>.

По непрерывности <tex> A </tex> получаем, что <tex> Ax = A \sum\limits_{n=1}^{\infty} x_n = \sum\limits_{n=1}^{\infty} A x_n = \sum\limits_{n=1}^{\infty} y_{n+1} - y_n = y - y_1 </tex>.

<tex> Ax = y - y_1, y = Ax + y_1 = Ax + A x_0 = A(x + x_0) </tex>, поэтому <tex> y \in R(A) </tex>.
}}

{{Теорема
|id=
invlb
|statement=
Пусть <tex> A : X \to Y </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор, и <tex>\exists m > 0: m \| x \| \le \| Ax \| </tex>.
Тогда <tex> A </tex> непрерывно обратим на <tex>R(A)</tex>.
|proof=
Заметим, что в ядре только нулевой элемент, в противном случае: пусть <tex>x \ne 0</tex>, тогда <tex>0 < m \|x\| \le \|A x\| = 0</tex>. Из этого следует, что оператор инъективен: пусть <tex>A x_1 = y, A x_2 = y</tex>, тогда <tex>A (x_1 - x_2) = 0</tex>, что возможно только когда <tex>x_1 = x_2</tex>. Так как строим обратный оператор на <tex>R(A)</tex>, <tex>\forall y \in R(A) \exists x: A x = y</tex>, то есть оператор биективен на области значений, определим <tex>A^{-1}</tex> на всем <tex>R(A)</tex> и для любого <tex>y</tex> рассмотрим <tex>x = A^{-1} y</tex>. Тогда <tex> m \|x\| = m \|A^{-1} y \| \le \|A A^{-1} y\| \implies \|A^{-1} y\| \le \frac{1}{m} \|y\|</tex>, то есть оператор ограничен константой <tex>\frac{1}{m}</tex>.
}}

== Теорема Банаха о гомеоморфизме ==
Перед доказательством теоремы Банаха о гомеоморфизме докажем для начала вспомогательную лемму.

{{Утверждение
|statement=
Рассмотрим линейный оператор <tex> A : X \to Y </tex>. Обозначим <tex> X_n = \{ x \in X: \| Ax \| \le n \| x \| \} </tex>.
Тогда хотя бы одно <tex> X_n </tex> ''всюду плотно в <tex> X </tex>''.
|proof=
Очевидно, что <tex> X = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} X_n </tex>, <tex> X </tex> {{---}} B-пространство (а значит, и полное метрическое), значит, по [[Метрические пространства#thbaire|теореме Бэра о категориях]], <tex> X </tex> {{---}} 2 категории, то есть какое-то множество <tex>X_{n_0}</tex> не является ''[[Метрические пространства#defdense|нигде не плотным]]''.

Вспомним определение нигде не плотности: <tex>A</tex> нигде не плотно, если <tex>\forall V \exists U \subset V: A \cap U = \emptyset</tex>. Раз <tex>X_{n_0}</tex> '''не''' является нигде не плотным, то <tex>\exists V \forall U \subset V: X_{n_0} \cap U \ne \emptyset</tex>, то есть <tex>X_{n_0}</tex> всюду плотно в каком-то открытом шаре. Теперь возьмем замкнутый шар <tex>\overline V_r(a)</tex>, лежащий в этом открытом шаре, причем такой, что <tex>a \in X_{n_0}</tex>.

Заметим, что множество <tex>X_{n_0}</tex> также всюду плотно в кольце <tex>R = \{z \mid \frac r2 \le \| z - a \| \le r \}</tex>. Сдвинем и множество <tex>X_{n_0}</tex>, и кольцо на <tex>a</tex>, то есть центр кольца окажется в точке <tex>0</tex>. Сдвинутое <tex>X_{n_0}</tex> будет также всюду плотно в сдвинутом кольце. Теперь покажем, что найдется такое множество <tex>X_m</tex>, что пересечение сдвинутого <tex>R</tex> и сдвинутого <tex>X_{n_0}</tex> лежит в <tex>X_m</tex>, то есть <tex>X_m</tex> будет всюду плотно в сдвинутом кольце.

Рассмотрим кольцо: <tex> \{z \mid \frac r2 \le \| z - a \| \le r \} </tex>. Обозначим <tex> y = z - a </tex>, тогда кольцо имеет следующий вид: <tex> \{\frac r2 \le \| y \| \le r \} </tex> {{---}} кольцо с центром в <tex> 0 </tex>.

Будем рассматривать <tex> z \in X_{n_0} \cap \{\frac r2 \le \| z - a \| \le r \}, y = z - a</tex>. Проверим, что <tex>y</tex> войдет в какое-нибудь <tex>X_m</tex>:

<tex> \| Ay \| = \frac {\| A(z - a) \|}{\| y \|} \| y \| \le \frac 2r (\| Az \| + \| Aa \|) \| y \| </tex>, так как <tex> \| y \| \ge \frac r2 </tex>.

Поскольку <tex> z \in X_{n_0} </tex>, то <tex> \| Az \| \le n_0 \| z \| </tex>.
<tex> \| z \| \le \| a \| + \| z - a \| \le r + \| a \| </tex>, так как <tex> z </tex> принадлежит кольцу.

Подставляем и продолжаем неравенство выше: <tex> \| Ay \| \le \frac2r (n_0 (r + \| a \|) + \| Aa \|) \| y \| </tex>.

Обозначим <tex> m = \lceil (n_0 (r + \| a \|) + \| Aa \|) \rceil </tex> (это выражение не зависит от <tex> y </tex>), получаем, что <tex> \| Ay \| \le m \| y \| \implies y \in X_m </tex>.

Итак, получили, что <tex> X_m </tex> всюду плотно в кольце с центром в <tex> 0 </tex>. Возьмем теперь любой <tex> x \in X </tex>, его можно представить как <tex> x = tz, z \in \{\frac r2 \le \| z \| \le r \} </tex>.

По всюду плотности в кольце, найдется последовательность <tex>y_p</tex> в <tex>X_m \cap \{\frac r2 \le \| z \| \le r \}</tex> такая, что <tex>y_p \to z </tex>. Но <tex> ty_p \to tz = x </tex>.
<tex> \| A(ty_p) \| \le m \| t y_p \| \implies ty_p \in X_m </tex>.

Взяв любую точку из <tex> X </tex>, мы можем приблизить ее элементами <tex> t y_p \in X_m </tex>, а значит, <tex>\mathrm{Cl} \ X_m = X </tex>, то есть <tex>X_m</tex> всюду плотно в <tex> X </tex>.
}}

На основе доказанной леммы можем доказать теорему:

{{Теорема
|id=banachhom
|about=Банаха, о гомеоморфизме
|statement=
Пусть <tex> A : X \to Y </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор, причем осуществляющий биекцию, тогда <tex> A^{-1} </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор.
|proof=

Если <tex> A </tex> {{---}} биекция, то <tex> A^{-1} </tex> существует. Осталось показать, что он будет ограничен.

Представим <tex>Y</tex> как <tex>\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} Y_n</tex>, <tex> Y_n = \{ y \in Y \mid \| A^{-1}(y) \| \le n \| y \| \}</tex> (заметим, что для леммы не требуется ограниченность оператора).

По только что доказанной лемме, существет такое число <tex> n_0 </tex>, что <tex>\mathrm{Cl} Y_{n_0} = Y </tex>, обозначим этот <tex>Y_{n_0}</tex> как <tex>Y^*</tex>.

Рассмотрим произвольный <tex> y \in Y </tex>. Покажем, что существует такое разложение <tex> y = \sum\limits_{n=1}^{\infty} y_n </tex>, что <tex> y_n \in Y^*, \| y_n \| \le \frac 3{2^n} \| y \| </tex>.

По всюду плотности, для любого <tex> \varepsilon </tex> можно подобрать <tex> y_1 \in Y^* : \| y - y_1 \| < \varepsilon \| y \| </tex>.
Дальше можно подобрать <tex> y_2 \in Y^* : \| (y - y_1) - y_2 \| < \frac {\varepsilon}2 \| y \| </tex>, и так далее, получаем, что <tex> \| y - \sum\limits_{k = 1}^n y_k \| < \frac {\varepsilon}{2^{n-1}} \| y \| </tex>.

Проверим, что для всех <tex>y_n</tex> их норма удовлетворяет условию разложения: <tex> \| y_n \| \le \| \sum\limits_{k = 1}^n y_k - y + y - \sum\limits_{k = 1}^{n-1} y_k \|</tex><tex> \le \| y - \sum\limits_{k = 1}^n y_k \| + \| y - \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} y_k \| \le \frac {\varepsilon}{2^{n-1}} \| y \| + \frac {\varepsilon}{2^{n-2}} \| y \| = \frac {3\varepsilon}{2^{n-2}} \| y \| </tex>

В качестве <tex> \varepsilon </tex> выберем <tex> \frac 14 </tex>, и получим необходимое разложение <tex> y </tex>.

Итак, теперь <tex> y = \sum\limits_1^{\infty} y_n, y_n \in Y^*, \| y_n \| \le \frac 3{2^n} \| y \| </tex>.

Обозначим <tex> x_n = A^{-1}y_n </tex>. Рассмотрим ряд из <tex> x_n </tex>: <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} x_n </tex>, проверим сходимость ряда из норм: <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} \| x_n \| < \infty </tex>.

Вспомним, что <tex> y_n \in Y^* = Y_{n_0} </tex>.

<tex> \| x_n \| = \| A^{-1} y_n \| \le n_0 \| y_n \| \le n_0 \frac 3{2^n} \| y \| </tex>: ряд из <tex> \| x_n \| </tex> мажорируется убывающей геометрической прогрессией, а значит, сходится. Получили, что существует <tex> x = \sum\limits_{n=1}^{\infty} x_n </tex>.

Используем непрерывность <tex> A </tex>: <tex> Ax = \sum\limits_{n=1}^{\infty} Ax_n = \sum\limits_{n=1}^{\infty} y_n = y </tex>, получили, что <tex> Ax = y, A^{-1}y = x </tex>.

Рассмотрим норму <tex> A^{-1}y </tex>: <tex> \| A^{-1} y \| = \| x \| = \| \sum\limits_{n=1}^{\infty} x_n \| \le \sum\limits_{n=1}^{\infty} 3n_0 \| y \| \frac 1{2^n} = 3n_0 \| y \| </tex>.

Поскольку <tex> y </tex> выбирался произвольный, получаем, что <tex> A^{-1} </tex> ограничен.

}}

== Теорема о замкнутом графике ==

{{Определение
|definition=
'''Графиком''' линейного оператора <tex> A: X \to Y </tex> называется множество <tex> G(A) = \{ (x, Ax) \mid x \in X \}, G(A) \subset X \times Y </tex>.
}}

В прямых произведениях множеств сходимость {{---}} покоординатная, поэтому можно говорить о замкнутости множеств.

{{Теорема
|about=о замкнутом графике
|statement=
Линейный <tex>A : X \to Y </tex> ограничен <tex> \iff </tex> <tex> G(A) </tex> {{---}} замкнут.
|proof=
Докажем в прямую сторону: пусть есть последовательность пар <tex> (x_n, y_n) \to (x, y) </tex>. Принадлежит ли <tex> (x, y)\, G(A) </tex> ?

<tex> y_n = Ax_n, x_n \to x \implies Ax_n \to Ax, y_n \to y \implies Ax=y </tex> (по единственности предела).
Так как <tex> Ax = y </tex>, то <tex> (x, Ax) = (x, y) \in G(A) </tex>.

Обратное следствие интереснее.

Пусть <tex> G(A) = \{ (x, Ax) \mid x \in X \} </tex> замкнут.

Можно показать, что <tex> X \times Y </tex> банахово с нормой <tex> \| (x, y) \| = \| x \| + \| y \| </tex>:
* То, что <tex>\| (x, y) \| = \|x\| + \|y\|</tex> — норма, показывается очевидно
* Покажем, что если <tex>(x_n, y_n)</tex> сходится в себе, то она сходится к элементу <tex>X \times Y</tex>. Рассмотрим последовательность <tex>\|(x_n, y_n) - (x_m, y_m) \| \xrightarrow[n, m \to \infty]{} 0</tex>, значит, <tex>\|(x_n - x_n, y_m - y_m)\| = \|x_n - x_m\| + \|y_n - y_m\| \to 0</tex>, то есть <tex>x_n</tex> и <tex>y_n</tex> сходятся в себе, а значит, по полноте пространств <tex>X</tex> и <tex>Y</tex>, существует <tex>x \in X = \lim x_n, y \in Y = \lim y_n</tex>. Значит, <tex>(x, y) \in X \times Y</tex>. Далее очевидно показывая, что <tex>\|(x_n, y_n) - (x, y)\| \xrightarrow[n \to \infty]{} 0</tex>, покажем, что <tex>x, y</tex> и есть нужный предел.

Рассмотрим следующий оператор: <tex> T : G(A) \to X, T(x, Ax) = x </tex>.
<tex> T </tex> биективно отображает <tex> G(A) </tex> в <tex> X </tex>.

<tex> \|\| T(x, Ax) \| = \| x \| \le \| (x, Ax) \| \implies T </tex> ограничен.

По теореме Банаха о гомеоморфизме, так как <tex> T </tex> ограничен и биективен, то существует <tex> T^{-1} </tex>, который также ограничен. Рассмотрим его.

<tex> T^{-1}(x) = (x, Ax), \| T^{-1}(x) \| = \| x \| + \| Ax \| \le M \| x \| </tex> (по ограниченности). Получаем, что <tex> \| Ax \| \le (M - 1) \| x \| </tex>, откуда <tex> A </tex> ограничен.

}}

== Теорема об открытом отображении ==

{{Определение
|definition=
<tex> F : X \to Y </tex> {{---}} произвольное отображение. Если для любого открытого <tex> G \subset X </tex> <tex> F(G) </tex> открыто в <tex> Y </tex>, то <tex> F </tex> называют '''открытым отображением'''.
}}

{{Теорема
|about=об открытом отображении
|statement=
Пусть <tex> A : X \to Y </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор. Тогда <tex> A </tex> {{---}} открытое отображение.
|proof=
<tex> Z = \mathrm{Ker} A </tex> {{---}} линейное подпространство в <tex> X </tex>.

Рассмотрим <tex> X/_Z </tex> {{---}} фактор-подпространство. <tex> i : X \to X/_Z, i(x) = [x]</tex>, где <tex> [x] </tex> {{---}} класс смежности <tex> x </tex>, <tex>i</tex> называется '''каноническим вложением''' <tex>X</tex> в фактор-пространство. Оператор <tex> i </tex> {{---}} линейный и ограниченный, переводит открытое множество в <tex> X </tex> в открытое множество в <tex> X/_Z </tex> {{TODO|t=почему это он так делает?}}, то есть открытый.

* <tex>i(x + y) = [x + y] = [x] + [y] = i(x) + i(y)</tex> - по свойствам фактор-множества
* <tex>i(\alpha x) = [\alpha x] = \alpha [x] = \alpha i </tex> - по свойствам фактор-множства показали линейность.
* <tex>\|i\| = \sup \limits_{\|x\| = 1} \|ix\| = \sup \limits_{\|x\| = 1} \|[x]\| = \sup \limits_{\|x\| = 1} \inf \limits_{z \in Z} \| x- z \|_{X}</tex><tex> \le \sup \limits_{\|x\| = 1} \inf \limits_{z \in Z} (\| x \|_{X} + \| z \|_{X}) \le 1 + \inf \limits_{z \in Z} \| z \|_{X} = 1 < + \infty </tex> - показали ограниченность

Введем норму как <tex>\|[x]\|_{X /_Z} = \inf\limits_{z \in Z} \| x - z \|_X</tex> (заметим, что ее значение не зависит от того, какой <tex>x \in [x]</tex> выбрать. Покажем, что это действительно норма:

* положительная определенность очевидна, покажем равенство нулю только в нулевом классе эквивалентности: пусть <tex>x \ne 0, \|[x]\| = 0, x \notin [0]</tex>, тогда <tex>f(x)\ne 0</tex> и по определению инфимума, существует последовательность <tex>z_n \in Z: \|z_n - x\| \to 0</tex>, но тогда <tex>x</tex> — предел последовательности <tex>z_n</tex> и по замкнутости ядра также лежит в ядре, получили противоречие.
* вторая аксиома очевидна
* третья аксиома: <tex>\|[x] + [y]\| = \inf\limits_{z \in Z} \|x + y - z\|_X = \inf\limits_{z \in Z} \|x - \frac{z}{2} + y - \frac{z}{2}\| \le \inf\limits_{z \in Z}\|x - \frac{z}{2}\| + \inf\limits_{z \in Z} \|y - \frac{z}{2}\|</tex>. Заметим что так как <tex>Z</tex> — линейное подпространство, <tex>\frac{z}{2}</tex> пробегает те же элементы, что и <tex>z</tex>, то есть <tex>\inf\limits_{z \in Z}\|x - \frac{z}{2}\| + \inf\limits_{z \in Z} \|y - \frac{z}{2}\| = \inf\limits_{z \in Z}\|x - z\| + \inf\limits_{z \in Z} \|y - z\| = \|[x]\| + \|[y]\|</tex>.

Рассмотрим <tex> U_A : X/_Z \to Y</tex>{{---}} оператор, ассоциированный с <tex> A </tex>. То, что <tex>U_A([x]) = y</tex>, означает, что для некоторого <tex>x \in [x], k \in \mathrm{Ker} A: A(x + k) = y</tex>, заметим, что при этом <tex> A = U_A \cdot i </tex>. Покажем ограниченность <tex>U_A</tex>: <tex>\|U_A\| = \sup\limits_{\|[x]\| = 1} \|U_a([x])\| = \sup\limits_{\|[x]\| = 1} \|A (x \in [x])\|</tex>. Покажем, что если <tex>\|[x]\| = 1</tex>, то <tex>\exists x \in [x]: \|x\| \le 1</tex>, а, значит, <tex>\|A x\| \le \|A\|</tex>. {{TODO|t=неясно, как показать}} Таким образом, получим <tex>\|x\| \le \|[x]\| = 1</tex>, и получили ограниченность.

Покажем, что <tex>U_A</tex> разные классы переводит в разные точки <tex> Y </tex>, так как факторизация происходит по ядру <tex>A</tex>: пусть <tex>U_A([x]_1) = y</tex> и <tex>U_A([x]_2) = y</tex>, это значит, что <tex>A(x_1 + k_1) = y, A(x_2 + k_2) = y \implies A(x_1 + k_1) - A(x_2 + k_2) = 0</tex>, по линейности <tex>A(x_1 - x_2) + A(k_1 - k_2) = 0 \implies A(x_1 - x_2) = 0</tex>, так как <tex>k_1 - k_2</tex> в ядре. Но тогда получили, что <tex>x_1 - x_2</tex> также в ядре, то есть <tex>x_1</tex> отличается от <tex>x_2</tex> на элемент ядра, и находятся в одном классе эквивалентности, получили противоречие.

Таким образом, оператор <tex> U_A : X/_Z \to R(A)</tex> биективен, следовательно, <tex>U_A^{-1} </tex> {{---}} непрерывен (по теореме Банаха), , так как <tex>U_A</tex> тоже непрерывен, то прообразы (по оператору <tex>U_A</tex>) всех открытых в <tex>Y</tex> открыты в <tex>X</tex>, а прообразы (по оператору <tex>U_A^{-1}</tex> всех открытых в <tex>X</tex> открыты в <tex>Y</tex>. Значит <tex> U_A </tex> переводит открытые множества в открытые и является открытым отображением. Так как <tex>i</tex> открытое и суперпозиция открытых отображение открыта, <tex> A </tex> тоже открыт.

}}

== Ссылки ==
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Open_mapping_theorem_(functional_analysis) Open mapping theorem]

[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]

Теорема Банаха-Штейнгауза

2013-06-14T11:50:33Z

Rybak:

{{В разработке}}

Будем рассматривать последовательность линейных ограниченных операторов <tex>A_n: X \to Y</tex>.
{{Определение
|definition=
Последовательность <tex>A_n</tex> '''поточечно ограничена''', если <tex>\forall x \in X \sup\limits_{n \in \mathbb N} \|A_n x\| < +\infty</tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Последовательность <tex>A_n</tex> '''равномерно ограничена''', если <tex>\sup\limits_{n \in \mathbb N} \|A_n\| < +\infty</tex>.
}}

{{Теорема
|author=
Банах, Штейнгауз
|about=
принцип равномерной ограниченности
|statement=
Пусть <tex>X</tex> {{---}} банахово, <tex>A_n \in L(X, Y)</tex>, <tex>A_n</tex> поточечно ограничена. Тогда <tex>A_n</tex> равномерно ограничена.
|proof=
Сначала покажем, что существует замкнутый шар <tex>\overline V(a, r)</tex>, в котором <tex>\sup\limits_{n} \sup\limits_{x \in \overline V}\|A_n x\| < +\infty</tex>. Покажем от противного, пусть такого шара нет, возьмем тогда произвольный замкнутый шар <tex>\overline V</tex>, в нем <tex>\sup\limits_{n} \sup\limits_{x \in \overline V}\|A_n x\| = +\infty</tex>.

Тогда в силу неограниченности найдется <tex> n_1 </tex> и <tex> x_1 \in \overline V: \|A_{n_1} x_1\| > 1</tex>; <tex>A_{n_1}</tex> непрерывен, значит, можно взять <tex>V_r(x_1) = \overline {V_1} \subset \overline V</tex>, где <tex>r(V_1) \le \frac {r(\overline V)}{2}</tex>.

Опять в силу неограниченности найдется <tex>n_2 > n_1 </tex> и <tex> x_2 \in V_1(x_1): \|A_{n_2} x_2\| > 2</tex>; <tex>A_{n_2}</tex> непрерывен, берем <tex>V_r(x_2) = \overline {V_2} \subset \overline {V_1}</tex>, где <tex>r(V_2) \le \frac {r(\overline V_1)}{2}</tex>.

Продолжая таким образом, выстраиваем последовательность вложенных шаров <tex>\overline V_{n_m}: \overline V_{n_{m+1}} \subset \overline V_{n_m}, r_{n_m} \to 0, \forall x \in \overline V_{n_m}: \|A_{n_m} x \| > m</tex>.

Так как <tex>X</tex> - банахово, то существует <tex>c \in \bigcap\limits_{m=1}^{\infty} \overline V_{n_m}</tex>, <tex>\sup\limits_{m} \|A_{n_m}(c)\| < +\infty</tex>.

Но <tex>\forall m: \|A_{n_m}(c)\| > m</tex>, то есть, <tex>\sup\limits_{m} \|A_{n_m}(c)\| = +\infty</tex>. Получили противоречие, значит, такой шар <tex>\overline V(a, r)</tex> найдется, пусть на нем <tex>\sup\limits_{n} \sup\limits_{x \in \overline V}\|A_n x\| = M</tex>. Заметим, любому <tex>x \in \overline V(0, 1)</tex> в соответствие можно поставить <tex>x' \in \overline V(a, r)</tex> как <tex>x' = r x + a</tex>, тогда <tex>\| A_n x \| = {\|A_n x' - A_n a\| \over r} \le {M + \|A_n a\| \over r}</tex>. По поточечной ограниченности операторов, <tex>\exists M_1: \|A_n a\| \le M_1</tex>, таким образом, <tex>\|A_n x\| \le {M + M_1 \over r}</tex>, то есть ограничена константой, не зависящей от <tex>n</tex> и <tex>x</tex>.
}}

== Ссылки ==
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_boundedness_principle Uniform boundness principle]

[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]

Линейные ограниченные операторы

2013-06-14T11:50:20Z

Rybak:

{{В разработке}}

Будем рассматривать пару пространств <tex>X, Y</tex> и оператор <tex>A: X \to Y</tex>.

{{Определение
|definition=
Оператор <tex>A</tex> называется '''линейным''', если <tex>A(\alpha x_1 + \beta x_2) = \alpha A(x_1) + \beta A(x_2)</tex>.
}}

{{Определение
|definition=
'''Нормой''' оператора <tex>A</tex> называется <tex>\|A\| = \sup\limits_{\|x\| \le 1} \| Ax \|</tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Оператор <tex>A</tex> '''ограничен''', если <tex>\|A\| \le \infty</tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Оператор <tex>A</tex> '''непрерывен''' в точке <tex>x_0</tex>, если <tex>\lim\limits_{x \to x_0} Ax = Ax_0</tex>.
}}

Так же, как и в случае с линейным функционалом, можно показать, что ограниченность линейного оператора равносильна его непрерывности (копипаста из 2 семестра)
{{Теорема
|statement=
Линейный оператор непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен.
|proof=
# <tex>\mathcal{A}</tex> {{---}} ограничен, значит, <tex> \left \| \mathcal{A}(x) \right \| \le m \left \| x \right \|, m \ge 0</tex>
#: <tex>\left \| \mathcal{A} \left( \Delta x \right) \right \| \le m \left \| \Delta x \right \| </tex>
#: <tex> \mathcal{A} \left( \Delta x \right) \xrightarrow [\Delta x \to 0]{} 0 </tex>.
#: А непрерывен в 0, следовательно, непрерывен и на X.
# Пусть <tex>\mathcal{A}</tex> {{---}} непрерывен на X, в частности, в <tex>0</tex>, тогда:
#: Подставляем в определение <tex>\varepsilon = 1: ~ \exists \delta > 0: \forall z: \left \| z \right \| \le \delta \to ~ \left \| \mathcal{A}(z) \right \| \le \varepsilon = 1</tex>
#* Для <tex>x = 0</tex> условие ограничения будет соблюдено при любом <tex>m</tex>.
#* Для <tex>x \ne 0</tex> рассмотрим <tex>z = \frac{\delta}{2} \frac {x}{\left \| x \right \|}.\quad</tex>        <tex> \left \| z \right \| = \frac{\delta}{2} < \delta \to \left \| \mathcal{A}(z) \right \| \le 1 </tex>
#*: Но <tex>\mathcal{A} \left ( z \right ) = \frac {\delta}{2 \left \| x \right \|} \mathcal{A}(x) </tex>. Значит, <tex> \| \mathcal{A}(z) \| = \frac {\delta}{2 \| x \|} \| \mathcal{A}(x) \| \le 1</tex>, таким образом, <tex> \| \mathcal{A}(x) \| \le \frac2{\delta} \| x \|</tex>
#: Выберем <tex> m = \frac2{\delta} </tex>, и получим, что оператор ограничен.
}}

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>Y</tex> - линейное пространство, <tex>Cl Y = X</tex>, <tex>A: Y \to Z</tex> - линейный ограниченный оператор, <tex>Z</tex> {{---}} банахово.
Тогда <tex>\exists ! B: X \to Z</tex>:
# <tex>B|_Y = A</tex>
# <tex>\|B\| = \|A\|</tex>
|proof=
Так как <tex>Cl Y = X</tex>, то для любого <tex>x</tex> из <tex>X</tex> можно подобрать последовательность <tex>y_n \in Y: y_n \to x</tex>.

<tex>z_n = Ay_n \in Z</tex>, <tex>\|z_n - z_m\| = \|A(y_n - y_m)\| \le \|A\|\|y_n - y_m\| \xrightarrow[n,m\to \infty]{} 0</tex>.

<tex>\{ z_n \}</tex> сходится в себе, следовательно, в силу банаховости <tex>Z</tex>, <tex>\{ z_n \}</tex> сходится, <tex>\exists z = \lim\limits_{n \to \infty} z_n</tex>

<tex>z \underset{def}{=} Bx = \lim\limits_{y_n \to x} Ay_n</tex>

Оператор <tex>B</tex> линеен по арифметике предела. Проверим однозначность определения:

Пусть <tex>y_n' \to x</tex>, тогда <tex>\|Ay_n' - Ay\| \le \|A\|\|y_n - y_n'\| \to 0</tex>, то есть, <tex>\lim Ay_n' = \lim Ay_n</tex>, и оператор определен корректно.

"Ясно, что норма оператора сохраняется, здесь все тривиально"{{TODO|t=написать о тривиальном. Наверняка также как в [[Линейные функционалы#densefunextension]], но лучше бы все равно написать, а то мало ли}}
}}

Обычно пространство линейных ограниченных операторов из <tex>X</tex> в <tex>Y</tex> обозначают как <tex>L(X, Y)</tex>.
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>Y</tex> {{---}} банахово, тогда <tex>L(X, Y)</tex> тоже банахово.
|proof=
Рассмотрим сходящуюся в себе последовательность операторов <tex>A_n</tex> в <tex>L(X, Y)</tex>.

Для произвольного <tex>x \in X</tex> рассмотрим <tex>\{A_n x\}</tex>:

<tex>\|A_nx -A_mx\| = \|(A_n - A_m)x\| \le \|A_n - A_m\| \|x\| \to 0</tex>

Так как <tex>\{A_nx\}</tex> сходится в себе, то существует <tex>y = \lim\limits_{n \to \infty} A_n x, y \underset{def}{=} Ax</tex>.

Проверим, что <tex>A</tex> {{---}} линейный ограниченный оператор, <tex>A = \lim\limits_{n \to \infty} A_n</tex>. Рассмотрим <tex>\|x\| \le 1</tex>.

Так как <tex>\{A_n\}</tex> сходится в себе, то <tex>\forall \varepsilon \exists N: \forall n, m \ge N: \| A_n - A_m \| < \varepsilon</tex>.

По определению <tex>A</tex>, <tex>\forall x \forall \varepsilon \exists N_1(x): \forall n \ge N_1: \| A_n x - A x \| < \varepsilon</tex>.

Значит, для любого <tex>x</tex> можно выбрать <tex>n_1(x) \ge N, N_1(x)</tex>, такое, что <tex>\forall m \ge N: \|Ax - A_m x\| \le \|Ax - A_{n_1} x\| + \|(A_{n_1} - A_m) x\| \le 2 \varepsilon</tex>.

Таким образом, <tex>\|A - A_m\| = \sup\limits_{\|x\| \le 1} \|Ax - A_m x\| \le 2 \varepsilon \to 0</tex>.
}}

Примеры:
* <tex>A: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m</tex> — очевидно, линеен, а ограничен, так как в качестве константы, его ограничивающей можно взять сумму модулей элементов матрицы оператора.
* <tex>X = C[0, 1]</tex>, <tex>K</tex> - непрерывная на <tex>[0, 1] \times [0, 1]</tex> функция, <tex>x \in X</tex>. <tex>A(x, t) = \int\limits_0^1 K(t, s) x(s) ds</tex> {{---}} интегральный оператор Фредгольма. Очевидно, он линеен, а так как <tex>|K(t, S)| \le M</tex>, то <tex>|A(x, t)| \le M \|x\|</tex>, то ограничен.

Сама по себе задача вычисления <tex>\|A\|</tex> может быть нетривиальной даже в конечномерном случае.

== Ссылки ==
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Bounded_operator Bounded operator]

[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]

Теорема Хана-Банаха

2013-06-14T11:49:38Z

Rybak:

{{В разработке}}

Линейный функциональный анализ базируется на трех китах(теоремах):

# теорема Хана-Банаха о продолжении линейного функционала;
# теорема Банаха об обратном операторе;
# теорема Штейнгауза о равномерной ограниченности.

Ранее мы установили, что если на линейном всюду плотном множестве определен линейный функционал, то можно продолжить его на все множество. В теореме Хана-Банаха мы отбросим условие всюду плотности.

{{Определение
|definition=
Пусть <tex>X</tex> — линейное пространство. Функционал <tex>f: X \to \mathbb R</tex> подчинен полунорме <tex>p</tex> на <tex>X</tex>, если <tex>\forall y \in Y |f(y)| \le p(y)</tex>
}}

{{Теорема
|author=
Хан, Банах
|statement=
Пусть <tex>X</tex> — линейное пространство, <tex>p</tex> — полунорма на нем, <tex>Y</tex> — линейное подмножество <tex>X</tex>, <tex>f: Y \to \mathbb R</tex> удовлетворяет условию подчиненности <tex>p</tex>.
Тогда существует линейный функционал <tex>g: X \to \mathbb R</tex> такой, что:
# <tex>g|_Y = f</tex>
# <tex>x \in X \to |g(x)| \le p(x)</tex>
}}

{{Теорема
|id=
hbnorm
|author=
Хан, Банах
|about=
случай нормированных пространств
|statement=
Пусть <tex>X</tex> — линейное нормированное пространство, <tex>Y</tex> — подпространство <tex>X</tex>, <tex>f: Y \to \mathbb R</tex> — линейный ограниченный функционал.
Тогда существует линейный ограниченный функционал <tex>g: X \to \mathbb R</tex> такой, что <tex>g|_Y = f</tex>, <tex>\|g\| = \|f\|</tex>.
|proof=
Доказательство есть в Люстренике, Соболеве, глава про линейные функционалы, раздел про теорему Хана-Банаха в ЛНП. В такой формулировке не нужна сепарабельность, в том числе и в следствиях.
}}

Мы не будем доказывать теорему в таком виде, вместо этого докажем ее частный случай:

{{Теорема
|about=
о продолжении функционала
|author=
Хан, Банах
|statement=
Пусть <tex>X</tex> — [[Метрические_пространства#defdense|сепарабельное]] нормированное пространство, <tex>Y</tex> — линейное подмножество <tex>X</tex>, <tex>f: Y \to \mathbb R</tex> — линейный ограниченный функционал.
Тогда существует линейный ограниченный функционал <tex>g: X \to \mathbb R</tex> такой, что <tex>g|_Y = f</tex>, <tex>\|g\| = \|f\|</tex>.
|proof=
Доказательство разбиваем на две части.

'''1'''

Рассмотрим <tex>z \notin Y</tex>, <tex>L = \{ y + tz, t \in \mathbb R, y \in Y\}</tex>
<tex>L</tex> {{---}} линейное подпространство <tex>X</tex>, <tex>Y \subset L</tex>.

Продолжим <tex>f</tex> с сохранением нормы на <tex>L</tex>. Пусть <tex>g</tex> — искомый линейный функционал.

<tex>g(y + tz) = g(y) + tg(z) = f(y) + tg(z)</tex>

Идея: мы рассматриваем множество <tex>Y</tex> и пополняем его до линейной оболочки <tex>L = \mathcal{L}(Y,z)</tex>. По линейности, для того, чтобы можно было считать <tex>f</tex> на <tex>L</tex>, нужно доопределить его всего в одной точке. Например, в <tex>z</tex>: <tex>g(z)=-c</tex>.

Пусть <tex>g(z) = -c</tex>, подберем <tex>c</tex> так, чтобы нормы <tex>f</tex> и <tex>g</tex> совпадали. В силу ограниченности <tex>f</tex>, <tex>|f(y)| \le \|f\|\|y\|</tex>, мы хотим найти такое <tex>c</tex>, чтобы выполнялось <tex>|g(y+tz)| \le p(y+tz)</tex>, где <tex>p(x) = \|f\|\|x\|, x \in X</tex>. Заметим, что <tex>p</tex> является полунормой.

Добьемся того, чтобы <tex>|g(y+tz)| \le p(y+tz)</tex>, из этого будет следовать, что <tex>\|g\| = \|f\|</tex>, так как при продолжении функционала его норма уменьшиться не может.

<tex>|f(y) - tc| \le p(y+tz)</tex> распишем модуль:

<tex>f(y) - p(y+tz) \le tc \le f(y) + p(y+tz)</tex> поделим на <tex>t</tex>

<tex>f(\frac{y}{t}) - p(\frac{y}{t} + z) \le c \le f(\frac{y}{t}) + p(\frac{y}{t} + z)</tex>

Пусть <tex>A = \sup\limits_{y \in Y}(f(\frac y t) - p(\frac y t + z)), B = \inf\limits_{y \in Y}(f(\frac y t) + p(\frac y t + z))</tex>.

Проверим, что <tex>A \le B</tex>.

Для этого достаточно, чтобы выполнялось <tex>\forall y_1, y_2 \in Y: f(y_1) - p(y_1 + z) \le f(y_2) + p(y_2 + z)</tex>:

<tex>f(y_1 - y_2) \le p(y_1+z) + p(y_2+z)</tex> - верно, так как:

<tex>f(y_1 - y_2) \le p(y_1 - y_2) = p((y_1+z) - (y_2+z)) \le p(y_1+z) + p(y_2+z)</tex>.

Значит, можно взять любое <tex>c</tex> из отрезка <tex>[A; B]</tex>, а значение <tex>g</tex> на <tex>z \notin Y</tex> позволяет доопределить значение функционала на всем <tex>L</tex> по линейности.

'''2'''

Так как мы рассматриваем сепарабельное НП, то существует последовательность <tex>e_1, e_2 \dots e_n \dots</tex>, замыкание линейной оболочки которой совпадает со всем пространством <tex>X</tex>.

Пользуясь пунктом 1, мы можем выстроить последовательность линейных подпространств в <tex>X</tex>, <tex>L(e_1) \subset L(e_1, e_2) \subset \ldots \subset L(e_1, \ldots, e_n) \subset \ldots</tex>

Тогда <tex>L(e_1, \ldots, e_n, \ldots) = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} L(e_1, e_2, \ldots e_n)</tex>, и <tex> Cl L(e_1, e_2 \ldots e_n \dots) = X</tex>, требуемый функционал можно продолжить по непрерывности.
}}

{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex>X</tex> — нормированное пространство. Тогда <tex>\forall x \in X \exists f: X \to R:\ f(x) = \|x\|, \|f\| = 1</tex>.
|proof=
<tex>Y = \{tx, t \in \mathbb R\}</tex> — линейное подмножество в <tex>X</tex>.

<tex>f(tx) = t \|x\|</tex> - линейный функционал в <tex>Y</tex>. Очевидно, <tex>f</tex> удовлетворяет необходимым условиям.

Пользуясь только что доказанной теоремой, продолжаем <tex>f</tex> на все <tex>X</tex>.
}}

{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex>X</tex> - нормированное пространство, <tex>e_1, e_2, \ldots, e_n</tex> {{---}} линейно независимый набор в <tex>X</tex>.
Тогда в <tex>X</tex> существует биортогональная система функционалов <tex>f_1, f_2, \ldots f_n, f_i(e_j) = \delta_{ij}</tex>
|proof=
Пусть <tex>Y = L(e_1, e_2, \ldots, e_n)</tex>, возьмем <tex>f_j(e_i) = \delta_{ij}</tex>.

Тогда для <tex>y = \sum\limits_{k=1}^{n} \alpha_k e_k \in Y</tex>, <tex>f_j(y) = \sum\limits_{k=1}^{n} \alpha_k f_j(e_k)</tex>.

Ясно, что все <tex>f_j</tex> - ограниченные линейные функционалы на <tex>Y</tex>, удовлетворяющие нашим условиям. Теперь просто продолжаем каждый из них на все <tex>X</tex> по теореме Хана-Банаха.
}}

[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]

Функциональный анализ 3 курс

2013-06-13T04:30:18Z

Rybak: /* Глава II Элементы линейного функционального анализа */ номера вопросов

==Конспекты лекций Н. Ю. Додонова==

=== Глава I Функциональные пространства ===
# [[Метрические пространства]] Вопросы 1, 2, 3, 4, 5
# [[Нормированные пространства (3 курс) | Нормированные пространства ]] Вопросы 6, 7, 8
# [[Гильбертовы пространства]] Вопросы 9, 11, 12, 13, 14, 15
# [[Счетно-нормированные пространства]] Вопросы 17, 18
# [[Топологические векторные пространства]] Вопросы 19, 20, 21

=== Глава II Элементы линейного функционального анализа ===
# [[Линейные функционалы]] Вопросы 22, 23, 24, 25, 28
# [[Теорема Хана-Банаха]] Вопросы 26, 27
# [[Линейные ограниченные операторы]] Вопросы 29, 30, 31,
# [[Теорема Банаха-Штейнгауза]] Вопросы 32
# [[Теорема Банаха об обратном операторе]] Вопросы 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39,
# [[Спектр линейного оператора]] Вопросы 40, 41, 42, 43
# [[Сопряженный оператор]] Вопросы 1, 2, 3, 4
# [[Компактный оператор]] Вопросы 5, 6
# [[Базис Шаудера]] Вопросы 7, 8
# [[Альтернатива Фредгольма — Шаудера]] Вопросы с 9-го
# [[Теория Гильберта-Шмидта]] Вопросы с 15-го
# [[О нелинейных операторных уравнениях]] Вопросы с 23-го

=== Экзамен ===
* [[Вопросы к экзамену по функциональному анализу за 5 семестр]]
* [[Теоретический минимум по функциональному анализу за 5 семестр]]
* [[Вопросы к экзамену по функциональному анализу за 6 семестр]]
* [[Теоретический минимум по функциональному анализу за 6 семестр]]
* [[Вопросы к консультации по функциональному анализу за 6 семестр]]

Также может пригодиться:

* [[L_2-теория_рядов_Фурье]]
* [[Наилучшее_приближение_в_линейных_нормированных_пространствах]]
* [[Пространство_L_p(E)]]

Краткие формулировки от предыдущих курсов: [[Функциональный анализ]]

Используем категорию <nowiki>[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]</nowiki>

[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]

Теория Гильберта-Шмидта

2013-06-12T23:40:05Z

Rybak: заголовок

{{В разработке}}

[[Альтернатива Фредгольма — Шаудера|<<]][[О нелинейных операторных уравнениях|>>]]
__TOC__

В этом параграфе будем иметь дело с Гильбертовым пространством <tex>\mathcal{H}</tex>, но над полем <tex>\mathbb{C}</tex>.

# (над <tex>\mathbb{R}</tex>): <tex>\langle x, y \rangle = \langle y, x \rangle</tex>
# (над <tex>\mathbb{C}</tex>): <tex>\langle x, y \rangle = \overline{\langle y, x \rangle}</tex>

В конечномерном пространстве <tex>\mathbb{R}^n = \{\langle x_1, x_2, \ldots, x_n \rangle\} </tex> (<tex>x_i \in \mathbb{R}</tex>) скалярное произведение двух векторов определялось как <tex>\langle \bar{x}, \bar{y} \rangle = \sum\limits_{k=1}^n x_n y_n</tex>.

В <tex>\mathbb{C}^n = \{\langle z_1, z_2, \ldots, z_n \rangle\}</tex> (<tex>z_i \in \mathbb{C}</tex>) же, <tex> \langle \bar{z}, \bar{y} \rangle = \sum\limits_{k=1}^n z_i \overline{y_i}</tex>.

Комплексное сопряжение добавлено для того, чтобы выполнялась первая аксиома скалярного произведения: <tex>\langle x, x \rangle \ge 0</tex>:
<tex>\langle \overline{z}, \overline{z} \rangle = \sum\limits_{k=1}^n z_k \overline{z_k} = \sum\limits_{k=1}^n |z_k|^2 \in \mathbb{R}, > 0</tex>.

Нас будут интересовать только линейные ограниченные операторы <tex>\mathcal{A} : \mathcal{H} \to \mathcal{H}</tex>.

{{Определение
|definition=Оператор <tex>\mathcal{A}</tex> в гильбертовом пространстве называется ''самосопряжённым'' (<tex>\mathcal{A} = \mathcal{A}^*</tex>), если <tex>\forall x, y : \langle \mathcal{A}x, y \rangle = \langle x, \mathcal{A}y \rangle</tex>.
}}

Посмотрим, что же такое ''самосопряжённость'' для конечномерного оператора в <tex>\mathbb{C}^n</tex>. В <tex>\mathbb{C}^n</tex> линейный оператор представляет из себя матрицу <tex>A = \{a_{ij}\}</tex>.

{{Утверждение
|statement=Оператор <tex>\mathcal{A} : \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^n</tex> самосопряжён <tex>\iff</tex> <tex>A = \overline{A^T}</tex>.
|proof=<tex>Az = \{a_{ij}\} \cdot \left(\begin{array}{c}z_1\\\vdots\\z_n\end{array}\right) = </tex> <tex>\left(\sum\limits_{j=1}^n a_{ij} z_j\right)_{i=1..n}</tex>.

<tex>\langle \mathcal{A}z, y \rangle = \langle Az, y\rangle = </tex> <tex>\sum\limits_{i=1}^n (Az)_i \overline{y_i} = </tex> <tex>\sum\limits_{i=1}^n\left(\sum\limits_{j=1}^n a_{ij} z_j\right)\overline{y_i} = </tex> <tex>\sum\limits_{i,j=1}^n a_{ij} z_j \overline{y_i} = </tex> <tex>\sum\limits_{j=1}^n\left(\sum\limits_{i=1}^n a_{ij}\overline{y_i}\right)z_j = </tex> <tex>\sum\limits_{j=1}^n\left(\sum\limits_{i=1}^n \overline{\overline{a_{ij}}}\cdot\overline{y_i}\right)z_j = </tex> <tex>\sum\limits_{j=1}^n z_j \overline{\left(\sum\limits_{i=1}^n\overline{a_{ij}}y_i\right)} = </tex> <tex>\langle z, By \rangle = </tex> <tex>\langle z, \overline{A^T} y \rangle</tex>
}}

<tex>\langle \mathcal{A}x, x \rangle = \langle x, \mathcal{A}x \rangle </tex>, <tex>\langle \mathcal{A}x, x \rangle = \overline{\langle x, \mathcal{A}x \rangle} \implies \langle \mathcal{A}x, x\rangle \in \mathbb{R}</tex>, так как если комплексное число совпадает со своим сопряжением, то его мнимая часть равна нулю.

Рассмотрим <tex>\lambda = \mu + i\nu \in \mathbb{C}</tex>, <tex>\lambda \mathcal{I} - \mathcal{A} = (\mu\mathcal{I} - \mathcal{A}) + i\nu\mathcal{I}</tex>.

<tex>\| (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x \|^2 = </tex> <tex>\langle (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x, (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\rangle = </tex> <tex>\langle (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x+i\nu x, (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x+i\nu x \rangle = </tex> <tex>\|(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x\|^2 + |\nu|^2\cdot\|x\|^2 + \langle(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x, i\nu x\rangle + \langle i\nu x, (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x\rangle = </tex> [<tex>\mu \in \mathbb{R}</tex>, <tex>\mathcal{A}</tex> — самосопряжённый
<tex> (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})^* = (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})</tex>] <tex> = \|(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x\|^2 + |\nu|^2\cdot\|x\|^2 + (-i\nu)\langle (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x, x\rangle + i\nu\langle x, (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x\rangle = </tex> <tex>\|(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x\|^2 + |\nu|^2\cdot\|x\|^2</tex>

Итого: <tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\|</tex>.

{{Утверждение
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex> — самосопряжённый, а <tex>\lambda \in \mathbb{C}</tex>, то <tex>\mathcal{H} = \operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) \oplus \operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})</tex>.
|proof=Доказательство разбивается на два случая: <tex>\lambda \in \mathbb{R}</tex> и <tex>\lambda \notin \mathbb{R}</tex>

* Случай 1. <tex>\lambda \in \mathbb{R}</tex>:

<tex>\lambda \in \mathbb{R} \implies (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})^* = \lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}</tex>

<tex>\operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = (\operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})^*)^\bot = \operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})^\bot</tex>

* Случай 2. <tex>\lambda \notin \mathbb{R}</tex>:

из неравенства <tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\| > 0</tex> при <tex>x \ne 0</tex> вытекает <tex>\operatorname{Ker}(\overline{\lambda}\mathcal{I}-\mathcal{A}) = \{0\}</tex>, так как для <tex>\lambda \notin \mathbb R</tex>, <tex>|\nu| \ne 0</tex>.

<tex>\operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = (\operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})^*)^\bot = \mathcal{H}</tex>.
}}

== Теоремы о спектре самосопряженного оператора ==

=== Вещественность спектра ===

{{Теорема
|statement = Если <tex>\mathcal{A}</tex> — самосопряженный, то <tex> \sigma (\mathcal{A}) \subset \mathbb{R} </tex>.
|proof = Проверим, что если <tex> \operatorname{Im} \lambda \ne 0</tex>, то <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex>.
<tex>\lambda = \mu + i\nu</tex>, <tex>\nu\ne0</tex>, <tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\| > 0</tex>

<tex>\operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = \{0\}</tex>, <tex>\operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = \mathcal{H}</tex> (всюду плотно в <tex> \mathcal H </tex>).

С другой стороны, неравенство <tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\|\ge|\nu|\cdot\|x\|</tex> даёт априорную оценку <tex>y=(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x</tex>, откуда следует, что
<tex>R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})</tex> — замкнуто.

Значит, <tex>\mathcal{H} = R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})</tex>

<tex>\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}</tex> — биективен на <tex>\mathcal{H}</tex>. <tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\|</tex> гарантирует, что обратный оператор ограничен, и, как следствие, непрерывен. Значит, <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex>

}}

=== Критерии вхождения в спектр и резольвентное множество ===

{{Теорема
|statement=Пусть <tex>\mathcal{A}</tex> — самосопряжённый оператор. Тогда
1. <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A}) \iff \exists m > 0 : \forall x \in \mathcal{H} : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge m\|x\|</tex>
2. <tex>\lambda \in \sigma(\mathcal{A}) \iff \exists x_n : \|x_n\| = 1 : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x_n\| \to 0 </tex>
|proof='''Замечание''': второе свойство означает, что спектр самосопряжённого оператора состоит из почти собственных чисел

Докажем первый пункт

<tex>\implies</tex>: <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex>, то есть резольвентный оператор определен.

<tex>\left\| \frac{1}{\lambda I - A} (\lambda I - A) x\right\| \le \left\| \frac{1}{\lambda I - A} \right\| \| (\lambda I - A) x\|</tex>

Возьмем <tex>m=\frac{1}{\left\| \frac{1}{\lambda I - A} \right\|}</tex>, тогда:

<tex>\| (\lambda I - A) x\| \ge m \left\| \frac{1}{\lambda I - A} (\lambda I - A) x\right\| \ge m \|x\|</tex>

<tex>\Longleftarrow</tex>: Существование резольвентного оператора, определенного на <tex> R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) </tex> следует из [[Теорема Банаха об обратном операторе#invlb|одной из теорем об обратных операторах]]. Покажем, что <tex> R(\lambda \mathcal{I} - \mathcal{A}) = \mathcal{H} </tex>. По одному из предыдущих утверждений, <tex>\mathcal{H} = \operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) \oplus \operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})</tex>. Поскольку <tex> \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge m\|x\| </tex>, то <tex> \operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = \{ 0 \} </tex>. Так как оператор <tex> \lambda\mathcal{I}-\mathcal{A} </tex> допускает, по условию, априорную оценку решений, то <tex> R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = \operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})</tex>, откуда следует, что резольвентный оператор непрерывен и определен на всем <tex> \mathcal{H} </tex>.

Второй пункт — просто логическое отрицание первого.
}}

Выше мы убедились, что <tex>\langle \mathcal{A}x, x \rangle \in \mathbb{R}</tex>

{{Определение
|definition=<tex>m_- = \inf\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x\rangle</tex>

<tex>m_+ = \sup\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x \rangle</tex>
}}

Очевидно, что <tex>m_- \le m_+</tex>

<tex>\forall x \in \mathcal{H} : x = \|x\| \frac{x}{\|x\|} = \|x\|z</tex>, где <tex>\|z\| = 1</tex>:
<tex>\langle \mathcal{A}x, x\rangle = \|x\|^2 \langle\mathcal{A}z, z\rangle \le m_+ \|x\|^2</tex>

Аналогично, <tex> \langle\mathcal{A}x, x\rangle \ge m_- \|x\|^2 </tex>

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>A</tex> — самосопряженный оператор. Тогда:
# <tex>\sigma(\mathcal{A}) \subset [m_-; m_+]</tex>
# <tex>m_+, m_- \in \sigma(\mathcal{A})</tex>
|proof=
'''Пункт 1.''' Докажем, что из того, что <tex>\lambda > m_+</tex> следует, что <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex>. Аналогично докажем для <tex>m_-</tex>

Нужно проверять только <tex>\lambda \in \mathbb{R}</tex>

Пусть <tex>\lambda > m_+</tex>. Проверим, что выполняется критерий вхождения в <tex>\rho(\mathcal{A})</tex> из предыдущей теоремы

<tex>(\lambda - m_+) \cdot \|x\|^2 =</tex> <tex>(\lambda - m_+) \langle x, x \rangle =</tex> <tex>\langle \lambda x, x\rangle - \langle m_+x, x\rangle \le </tex> <tex>\langle \lambda x, x \rangle - \langle \mathcal{A}x, x \rangle = </tex> <tex>\langle (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x, x\rangle \le</tex> [неравенство Шварца] <tex>\le \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \cdot \|x\|</tex>

Итого: <tex>(\lambda-m_+)\|x\| \le \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \implies \lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex>

'''Пункт 2.''' Докажем, что <tex>m_+ \in \sigma(\mathcal{A})</tex>

Проверим критерий принадлежности спектру из предыдущей теоремы.

<tex>m_+ = \sup\limits_{\|x\|=1} \langle \mathcal{A}x, x\rangle</tex>

По определению <tex>\sup</tex> подбираются <tex>x_n : \|x_n\| = 1</tex>, <tex>\langle \mathcal{A}x_n, x_n\rangle \to m_+</tex>

<tex>\langle \mathcal{A}x, x\rangle \le m_+ \cdot \langle x, x\rangle \iff \langle (m_+\mathcal{I}-\mathcal{A})x, x\rangle \ge 0</tex>

<tex>\mathcal{L} = m_+\mathcal{I} - \mathcal{A}</tex>, <tex>\mathcal{L}=\mathcal{L}^*</tex>

Далее будем использовать обозначение <tex>[x, y] = \langle \mathcal{L}x, y\rangle</tex>.

Так как <tex>\langle \mathcal{L}x, x \rangle \ge 0</tex>, мгновенно проверяем, что <tex>[\_, \_]</tex> удовлетворяет аксиомам скалярного произведения, а значит, для <tex>[\_, \_]</tex> выполняется неравенство Шварца:

<tex>|[x, y]|^2 \le [x, x] \cdot [y, y] </tex>

Надо: <tex>\mathcal{L}x_n \to 0</tex>

<tex>\langle \mathcal{L}x_n, x_n \rangle \to 0</tex>

<tex>|\langle \mathcal{L}x, y \rangle|^2 \le \langle\mathcal{L}x, x\rangle \cdot \langle \mathcal{L}y, y \rangle</tex>

Подставим <tex>x = x_n</tex>, <tex>y = \mathcal{L}x_n</tex>:

<tex>|\langle\mathcal{L}x_n, \mathcal{L}x_n\rangle|^2 \le</tex> <tex>\langle \mathcal{L}x_n, x_n\rangle \cdot \langle \mathcal{L}^2x_n, \mathcal{L}x_n\rangle </tex>

<tex>\|\mathcal{L}x_n\|^4 = |\langle\mathcal{L}x_n, \mathcal{L}x_n\rangle|^2 \le</tex> [по неравенству выше] <tex>\langle\mathcal{L}x_n, x_n\rangle \cdot \langle \mathcal{L}^2 x_n, \mathcal{L}x_n\rangle</tex>. Первый множитель стремится к нулю. Проверив ограниченность второго, убедимся, что <tex>\mathcal{L}x_n \to 0</tex>.

<tex>\langle \mathcal{L}^2 x_n, \mathcal{L}x_n \rangle \le </tex> <tex>\|\mathcal{L}^2 x_n\| \cdot \|\mathcal{L}x_n\| \le </tex> <tex>\|\mathcal{L}\|^3 \cdot \|x_n\|^2 = </tex> <tex>\|\mathcal{L}^3\| < M</tex>

}}

=== Теорема о спектральном радиусе ===

{{Утверждение
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex> — самосопряжённый оператор, то <tex>r_\sigma(\mathcal{A}) = \|\mathcal{A}\|</tex>
|proof=Ранее мы доказывали, что <tex>r_\sigma(\mathcal{A}) = \lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{\|\mathcal{A}^n\|}</tex>

Если проверить, что <tex>\|\mathcal{A}^{2^n}\| = \|\mathcal{A}\|^{2^n}</tex>, то, по предыдущему утверждению, теорема будет верна: <tex>\sqrt[2^n]{\|\mathcal{A}^{2^n}\|} = \sqrt[2^n]{\|\mathcal{A}\|^{2^n}} = \|\mathcal{A}\|</tex>

Очевидно, достаточно проверить это утверждение только для <tex>n = 1</tex>. Остальное получится автоматически.

<tex>\langle\mathcal{A}x, \mathcal{A}x \rangle = \|\mathcal{A}x\|^2</tex>

По самосопряжённости:

<tex> = \langle x, \mathcal{A}^2x \rangle \le</tex> [по неравенству Шварца] <tex>\le \|\mathcal{A}^2x\|\cdot\|x\| \le</tex> [<tex>\|x\| \le 1</tex>] <tex>\le \|\mathcal{A}^2x\| \le</tex> <tex>\|\mathcal{A}^2\| \cdot \|x\| \le </tex> <tex>\|\mathcal{A}^2\|</tex>

Итого: <tex>\|\mathcal{A}\|^2 \le \|\mathcal{A}^2\|</tex>. Осталось доказать обратное неравенство.

<tex>\|\mathcal{A}^2 x \| = </tex> <tex>\|\mathcal{A}(\mathcal{A}x)\| \le</tex> <tex>\|\mathcal{A}\| \cdot \|\mathcal{A}x\| \le</tex> <tex>\|\mathcal{A}\|^2</tex>
}}

Если <tex>\mathcal{A}</tex> — компактный, то <tex>\sigma(\mathcal{A})</tex> состоит только из счётного числа собственных чисел <tex>\lambda_i</tex>. Обозначим за <tex>M_{\lambda_i} </tex> собственные подпространства. В силу самосопряжённости, <tex>M_{\lambda_i} \perp M_{\lambda_j}</tex>.

Собственные подпространства конечномерны (<tex>\dim M_\lambda < +\infty</tex>). Можно считать, что в каждом из них определён ортонормированный базис.

== Теорема Гильберта-Шмидта ==

{{Теорема
|author=Гильберт, Шмидт
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex> — самосопряжённый компактный оператор в гильбертовом пространстве <tex>\mathcal{H}</tex>, а <tex>M_{\lambda_i}</tex> — его (оператора) собственные подпространства, то <tex>\mathcal{H} = M_{\lambda_1} \oplus M_{\lambda_2} \oplus \cdots \oplus M_{\lambda_n} \oplus \cdots </tex>
|proof=Обозначим за <tex>M = \bigoplus\limits_n M_{\lambda_n}</tex>, <tex>M^\bot</tex> — ортогональное дополнение <tex>M</tex> до <tex>\mathcal{H}</tex> (<tex>\mathcal{H} = M \oplus M^\bot</tex>).

Нужно проверить, что <tex>M^\bot = \{0\}</tex>

Элементарно проверяется, что <tex>\forall M_\lambda : \mathcal{A}(M_\lambda) \subset M_\lambda</tex>:
<tex>\forall x \in M_\lambda : \mathcal{A}x = \lambda x \in M_\lambda</tex>

Проверим, что <tex>\mathcal{A}(M^\bot) \subset M^\bot</tex>: <tex>\forall x \in M^\bot : \mathcal{A}x \perp</tex> любому <tex>M_\lambda \implies \mathcal{A}x \in M^\bot</tex>

<tex>y \in M_\lambda : \langle \mathcal{A}x, y\rangle = \langle x, \mathcal{A}y\rangle = \langle x, \lambda y \rangle = |\lambda|\langle x, y \rangle</tex>, <tex>x\in M^\bot</tex>, <tex>\langle x, y \rangle = 0</tex>

Значит, <tex>\mathcal{A}(M^\bot)\subset M^\bot</tex>

Рассмотрим <tex>\mathcal{A}_0 = \mathcal{A}|_{M^\bot}</tex>

<tex>M^\bot</tex> — гильбертово пространство, <tex>\mathcal{A}_0</tex> — самосопряжённое, <tex>r_\sigma(\mathcal{A}_0) = \|\mathcal{A}_0\|</tex>

Но все собственные числа <tex>\mathcal{A}</tex> задействованы в <tex>M_\lambda</tex> <tex>r_\sigma(\mathcal{A}_0) = 0 \implies \|\mathcal{A}_0\| = 0 \implies</tex> оператор тривиальный <tex>M^\bot = \operatorname{Ker} \mathcal{A}_0</tex>

Если бы у <tex>\mathcal{A}</tex> было нетривиальное ядро, то оно стало бы собственным подпространством, значит, было бы задействовано в <tex>\bigoplus</tex>. Значит, <tex>\operatorname{Ker} \mathcal{A}_0 = \{0\}</tex>.
}}

=== Разложение резольвенты ===

Если <tex>\mathcal{A}</tex> — самосопряжённый компактный оператор, то ОНС базис <tex>\mathcal{H}</tex> можно построить из собственных векторов <tex>\varphi_1, \ldots \varphi_n, \ldots</tex>.

Любой <tex>x \in \mathcal{H}</tex> можно разложить в ряд Фурье по свойствам гильбертова пространства. Значит,

<tex>\mathcal{A}x = \sum\limits_{n=1}^\infty \langle x, \varphi_n\rangle \mathcal{A}\varphi_n = \sum\limits_{n=1}^\infty \lambda_n \langle x, \varphi_n\rangle \varphi_n</tex>.

Получаем структуру сопряжённого компактного оператора: <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex> (<tex>\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}</tex> непрерывно обратим) <tex>\implies y = \sum\limits_{n=1}^\infty \langle y, \varphi_n\rangle \varphi_n</tex>, <tex>y = \lambda x - \mathcal{A}x</tex>

<tex>\sum\limits_{n=1}^\infty \langle y, \varphi_n\rangle \varphi_n = \sum \lambda\langle x, \varphi_n\rangle\varphi_n - \sum\lambda_n\langle x, \varphi_n\rangle\varphi_n = \sum(\lambda-\lambda_n)\langle x, \varphi_n\rangle \varphi_n</tex>.

Можно приравнять коэффициенты: <tex>\langle y, \varphi_n\rangle = (\lambda-\lambda_n)\langle x, \varphi_n\rangle</tex>.

<tex>\langle x, \varphi_n\rangle = \frac{\langle y, \varphi_n\rangle}{\lambda-\lambda_n}</tex> (в знаменателе нуля быть не может, потому что <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex>).

<tex>R_\lambda(y) = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\langle y, \varphi_n\rangle}{\lambda-\lambda_n}\varphi_n</tex>.

[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]

Альтернатива Фредгольма — Шаудера

2013-06-12T23:24:04Z

Rybak:

[[Базис Шаудера |<<]][[Теория Гильберта-Шмидта|>>]]

__TOC__

Пусть <tex>X = C[0;1]</tex>, <tex>K(u,v)</tex> непрерывна на <tex>[0;1]^2</tex>.

<tex>A(x,t)=\int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds, x(s) \in C[0;1]</tex>.

<tex>A \colon C[0;1] \to C[0;1]</tex>, <tex> A </tex> — компактный оператор.

Будем изучать так называемые интегральные уравнения Фредгольма: <tex>f(t) = x(t) + \lambda \int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds</tex> в <tex>C[0;1]</tex>.

Фредгольмом в начале XX века была разработана теория решения таких уравнений без использования методов функционального анализа. В 30-е годы XX века Шаудер обобщил ее на абстрактные компактные операторы.

Пусть <tex>X</tex> — <tex>B</tex>-пространство, <tex>A \colon X \to X</tex>, <tex> A </tex> — компактный. <tex>T = \lambda I - A</tex>

Ставим задачу: <tex>y</tex> дано, когда <tex>Tx=y</tex> разрешимо относительно <tex>x</tex>?

<tex>y = \lambda x - A x</tex> — операторные уравнения второго рода (явно выделен <tex>I</tex>). Уравнения первого рода (<tex>y=Bx</tex>) решаются гораздо сложней. Объясняется это достаточно просто: <tex>y = \lambda x - A x = \lambda (I - \frac 1 \lambda A)x</tex>. Если <tex>\frac 1 {|\lambda|} {\|A\|} < 1 </tex>, то, по теореме Банаха, <tex>I - \frac 1 \lambda A</tex> непрерывно обратим, следовательно, при достаточно больших <tex>\lambda</tex>, <tex>y=\lambda x - A x</tex> разрешимо при любой левой части, причём решения <tex>x</tex> будут непрерывно зависеть от <tex>y</tex>. Интересна ситуация при <tex>|\lambda| \leq \|A\|</tex>. В случае компактного A ответ даёт теория Шаудера.

Будем считать <tex> \lambda = 1 </tex>

{{Утверждение
|statement=
<tex>A</tex> {{---}} компактный оператор. Тогда <tex>\dim\operatorname{Ker}(I-A) < + \infty</tex>
|proof=
<tex>T = I - A</tex>

<tex>\operatorname{Ker}T = \{x|x - Ax = 0\} = \{x|x=Ax\}</tex>, таким образом, ядро <tex>T</tex> — неподвижные точки <tex>A</tex>.

Пусть <tex>\overline V</tex> — единичный шар, <tex>Y = \operatorname{Ker}T</tex> — подпространство <tex>X</tex>.

Допустим, что <tex>\dim \operatorname{Ker}T = + \infty,~\overline W = \overline V \cap Y \implies \overline W = A \overline W</tex>. Так как <tex>A</tex> — компактный, <tex>\overline W</tex> — компакт в <tex>Y</tex>, но в бесконечномерном пространстве шар (<tex>\overline W</tex> будет шаром в подпространстве <tex>Y</tex>) не может быть компактом, получаем противоречие. Значит, если <tex>A</tex> — компактный, то <tex>\dim\operatorname{Ker}(I-A) < + \infty</tex>.
}}

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>T = I - A</tex>, <tex>A</tex> компактен, тогда <tex> R(T) </tex> замкнуто.
|proof=
[[Теорема Банаха об обратном операторе|Ранее]] мы доказали, что если уравнение <tex>Tx=y, y \in R(T)</tex> допускает априорную оценку (<tex>\exists \alpha~\forall x~Tx=y, \|x\| \leq a\|y\|</tex>), то <tex>R(T)</tex> замкнуто. Нужно доказать, что у <tex>T</tex> есть априорная оценка.

Пусть <tex>y \in R(T) \implies Tx=y</tex>. Тогда <tex>\forall z \in \operatorname{Ker}T \implies T(x+z) = T(x) + T(z) = y + 0 = y</tex>. Значит, все решения уравнения <tex>Tx=y</tex> записываются в форме <tex>x=x_0+z</tex>, где <tex>x_0</tex> — одно из решений, <tex>z</tex> принадлежит <tex>\operatorname{Ker} T</tex>. Но <tex>\dim\operatorname{Ker}T < + \infty \implies \operatorname{Ker}~T = \mathcal{L} \{ e_1, \ldots e_n \} \implies x = x_0 + \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k, \alpha_k \in \mathbb{R}</tex>.

Рассмотрим функцию от <tex>n</tex> переменных <tex>f(\alpha_1,\ldots,\alpha_n) = \|x_0 + \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k\| = \|x_0 - \sum\limits_{k=1}^n (-\alpha_k) e_k\|</tex>. Эта функция — не что иное, как наилучшее приближение <tex> x_0 </tex> элементами конечномерного <tex> \operatorname{Ker} T </tex>, теорема о наилучшем приближении гарантирует нам, что существуют <tex> \alpha^*_1, \alpha^*_2, \ldots, \alpha^*_n : f (\overline {\alpha}^*) = \inf\limits_{\alpha} f(\alpha)</tex>.

<tex>y \in R(T)</tex>, среди всех решений уравнения <tex>Tx=y</tex> существует решение с минимальной нормой. Его назовём <tex>\widehat x</tex>, и далее докажем, что эти решения допускают априорную оценку через <tex>y</tex>.

Допустим, априорной оценки не существует, тогда можно построить последовательность <tex> y_n </tex> и <tex> \widehat x_n </tex> (минимальных по норме решений с правой частью <tex> x_n </tex>), таких, что <tex> \frac{\|\widehat x_n\|}{\|y_n\|} \to \infty </tex>.

В силу линейности уравнения, можно выбрать <tex> \widehat x_n </tex> с единичной нормой, тогда <tex> \|y_n\| \to 0 </tex>.

<tex> T = I - A </tex>, так как <tex> \{ \widehat x_n \} </tex> ограничено и <tex> A </tex> компактен, то из <tex> z_n = A \widehat x_n </tex> можно выделить сходящуюся подпоследовательность <tex> z_{n_{k}} \to z </tex>.

Тогда получаем <tex> y_{n_k} = \widehat x_{n_k} - z_{n_{k}}</tex>.

Но <tex> y_n \to 0 </tex>, значит, <tex> \widehat x_{n_k} - z_{n_{k}} \to 0, \widehat x_{n_k} \to z_{n_{k}}, \widehat x = z = A \widehat x </tex>.

То есть, <tex> Tz = 0, z \in \operatorname{Ker} T </tex>.

<tex> T(\widehat x_n - z) = y_n </tex>, но, так как мы выбирали минимальное по норме <tex>\widehat x_n </tex>, то <tex> \|\widehat x_n - z\| \ge \|\widehat x_n\| = 1</tex>

Получили, что <tex> 0 \ge 1 </tex> — противоречие, значит, априорная оценка существует, <tex> R(T) </tex> замкнуто, и теорема доказана.
}}

Докажем теперь два утверждения.

{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex> M_n = \operatorname{Ker} ((I - A)^n), n \in \mathbb N</tex>, <tex> A </tex> — компактный оператор.
Тогда <tex> \exists n_0: M_{n_0} = M_{n_0 + 1} </tex>.
|proof=
Идея доказательства подобных утверждений следующая: идем от противного и, пользуясь леммой Рисса, строим ограниченную последовательность точек. Применяя к ней <tex> A </tex>, получаем последовательность, из которой можно выделить сходящуюся подпоследовательность. После этого ищем противоречие с условием.

<tex> (I - A)^n = \sum\limits_{k=0}^{n} C_n^k (-1)^k A^k = I - (-\sum\limits_{k=1}^{n} C_n^k (-1)^k A^k) </tex>

Второе слагаемое является компактным оператором, обозначим его за <tex> B </tex>, <tex> (I - A)^n = I - B </tex>.

<tex> M_n = \operatorname{Ker} ((I - A)^n) </tex>, тогда <tex> \dim M_n = \dim \operatorname{Ker} (I - A)^n = \dim \operatorname{Ker} (I - B) < +\infty </tex>.

Пусть <tex> T = I - A </tex>, <tex> x \in M_n </tex> и <tex> T^n(x) = 0 </tex>, тогда <tex> T^{n+1}(x) = T(0) = 0 </tex>, то есть, <tex> M_n \subset M_{n+1} </tex>.

Допустим, что <tex> \forall n: M_n \subset M_{n+1} </tex> (строго).
<tex> M_n </tex> — подпространство <tex> X </tex>.

Применим к паре подпространств <tex> M_n, M_{n+1} </tex> лемму Рисса:

<tex> \exists x_{n+1} \in M_{n+1}: \|x_{n+1}\| = 1, \forall x \in M_n \|x_{n+1} - x\| \ge \frac12 </tex>

Таким образом выстраиваем последовательность <tex> x_1, x_2, \ldots, x_n, \ldots, \|x_n\| = 1 </tex>.

<tex> y_n = Ax_n </tex>, из <tex> y_n </tex> можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

<tex> y_{n+p} - y_n = Ax_{n+p} - Ax_{n} = x_{n+p} - (x_{n+p} - Ax_{n+p} + Ax_n) </tex>.

Обозначим сумму в скобках за <tex> z </tex>.

Заметим, что <tex> z = T(x_{n+p}) + Ax_n </tex>.

<tex> T^{n+p-1}(z) = T^{n+p}(x_{n+p}) + T^{n+p-1}(Ax_n) </tex>.

Здесь первое слагаемое равно нулю по определению последовательности <tex> x_n </tex>. Второе же, так как операторы <tex> T^{n+p-1} </tex> и <tex> A </tex> коммутируют, равно <tex> A(T^{n+p-1}(x_n)) = A(0) = 0 </tex>, и <tex> z \in \operatorname{Ker}(T^{n+p-1}) </tex>.

Но раз <tex> z \in M_{n+p-1} </tex>, то <tex> \|x_{n+p} - z\| \ge \frac12 </tex>, и <tex> \|y_{n+p} - y_{n}\| \ge \frac12 </tex>, чего не может быть, поскольку в этом случае мы не сможем выделить из <tex> y_n </tex> сходящуюся подпоследовательность. Поэтому наше предположение неверно, теорема доказана.

}}

{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex> A </tex> — компактный оператор на банаховом <tex> X </tex>, <tex> T = I - A </tex>.
Тогда <tex> R(T) = X \iff \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>.
|proof=
<tex> \implies </tex>:

Пусть существует <tex> x_1 \ne 0, x_1 \in \operatorname{Ker} T = N_1 </tex>.

Так как <tex> R(T) = X </tex>, то у уравнения <tex> Tx = x_1 </tex> существует решение, обозначим его <tex> x_2 </tex>.

<tex> T(Tx_2) = T(x_1) = 0 </tex>, то есть, <tex> x_2 \in \operatorname{Ker} T^2 = N_2 </tex>.

Заметим, что <tex> x_2 \notin N_1 </tex>, в противном случае <tex> x_1 = Tx_2 = 0 </tex>, что противоречит нашему предположению.

Значит, <tex> N_1 \subset N_2 </tex> (строго). Действуя аналогично, берем <tex> x_3 </tex> решение уравнения — <tex> Tx = x_2 </tex>, <tex> x_3 \notin N_2, x_3 \in N_3 </tex>.

Получаем бесконечную цепочку строго вложенных множеств <tex> N_k </tex>, существование которой противоречит предыдущему утверждению, значит, <tex> \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>.

<tex> \Longleftarrow </tex>:

Пусть <tex> \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>.

<tex> R(T) </tex> — замкнутое множество, <tex> T^* = I - A^* </tex>, <tex> R(T^*) = (\operatorname{Ker} T)^{\perp} = (\{0\})^{\perp} = X^* </tex>.

Тогда, применив первый пункт к <tex>T^*</tex>, получим <tex> \operatorname{Ker} T^* = {0} </tex>, и <tex> R(T) = (\operatorname{Ker} T^*)^{\perp} = X </tex>.
}}

== Альтернатива Фредгольма-Шаудера ==

{{Теорема
|about=
альтернатива Фредгольма-Шаудера
|statement=
Пусть <tex>A:X \to X</tex> — компактный оператор и <tex>T = A - \lambda I</tex>. Тогда возможно только две ситуации:
# <tex>\operatorname{Ker} T = \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо для любого <tex>y</tex>
# <tex>\operatorname{Ker} T \ne \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо только для тех <tex>y</tex>, которые принадлежат <tex>(\operatorname{Ker} T^*)^\perp</tex>
|proof=
# <tex> \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>, то есть <tex> R(T) = X </tex>, значит, он осуществляет биекцию, и так как ограничен, по [[Теорема Банаха об обратном операторе#banachhom|теореме Банаха о гомеоморфизме]], непрерывно обратим, тогда <tex> y = Tx </tex> действительно разрешимо для всех <tex> y </tex>
# <tex> \operatorname{Ker} T \ne \{0\} </tex>, по первой теореме этого параграфа, <tex> R(T) = \operatorname{Cl} R(T) </tex>. По [[Сопряженный оператор#Теоремы о множестве значений оператора|общим теоремам о сопряженном операторе]], <tex> \operatorname{Cl} R(T) = (\operatorname{Ker} T^*)^\perp </tex>. Рассмотрим <tex> y = Tx </tex>, очевидно, оно разрешимо, когда <tex> y \in R(T) </tex>, то есть, <tex> y \in (\operatorname{Ker} T^*)^\perp </tex>.
}}

== Теорема о счетности спектра компактного оператора ==
Рассмотрим <tex>A - \lambda I</tex>.

# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) \ne \{0\}</tex>, тогда оператор необратим, и <tex>\lambda</tex> — собственное число, то есть <tex>\lambda \in \sigma(A)</tex>.
# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) = \{0\}</tex>, тогда по альтернативе, оператор непрерывно обратим, то есть <tex>\lambda \in \rho(A)</tex>.

Таким образом, спектр состоит из собственных чисел, и, возможно, нуля. Теперь изучим мощность спектра:

{{Теорема
|statement=
Спектр компактного оператора не более чем счётен и его предельной точкой может быть только 0.
|proof=
Так как спектр линейного ограниченного оператора [[Спектр линейного оператора|входит в круг радиуса <tex>\|A\|</tex>]], получаем <tex>|\lambda| \in [0, \|A\|]</tex>.

Рассмотрим <tex>\alpha > 0</tex>, проверим, что на отрезке <tex>[\alpha,\|A\|]</tex> — конечное число точек спектра. Предположим обратное, тогда выделим подпоследовательность <tex>\lambda_1 \dots \lambda_n \dots</tex> различных собственных значений (каждое из них больше <tex>\alpha</tex>). Пусть им соответствуют собственные векторы <tex>x_1 \dots x_n \dots</tex>.

Покажем, что при любом <tex>n</tex>, собственные векторы <tex>x_1 \dots x_n</tex> — линейно независимы, и что линейные оболочки <tex>L_n = \mathcal{L}(x_1 \dots x_n)</tex> и <tex>L_{n+1} = \mathcal{L}(x_1 \dots x_{n+1})</tex> строго вложены друг в друга. Доказательство по индукции: для <tex>n=1</tex> — тривиально. Пусть <tex>x_1 \dots x_n</tex> — ЛНЗ, покажем, что <tex>x_1 \dots x_{n+1}</tex> — тоже ЛНЗ. Покажем от противного: пусть <tex>x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i x_i</tex>. Подействуем на обе части оператором <tex>A</tex>: <tex>Ax_{n+1} = \lambda_{n + 1} x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i A x_i = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i \lambda_i x_i</tex>. Разделив обе части на <tex>\lambda_{n + 1}</tex> (он ненулевой), получим другое разложение <tex>x_{n+1}</tex> по векторам <tex>x_1 \dots x_n</tex>: <tex>x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \frac{\alpha_i \lambda_i}{\lambda_{n + 1}} x_i</tex>. Но так как разложение по линейно независимой системе должно быть единственно, то получаем, что <tex>\frac{\alpha_i \lambda_i}{\lambda_{n + 1}} = \alpha_i</tex>, здесь либо <tex>\alpha_i</tex> нулевое, либо <tex>\frac{\lambda_i}{\lambda_{n+1}} = 1</tex>. Так как собственный вектор <tex>x_{n+1}</tex> ненулевой, найдется такое <tex>q</tex>, что <tex>\alpha_q \ne 0</tex>, и тогда <tex>\frac{\lambda_q}{\lambda_{n+1}} = 1</tex>, то есть получили два одинаковых собственных значения, противоречие, а значит, <tex>x_1 \dots x_{n+1}</tex> — ЛНЗ и включение <tex>L_n \subset L_{n+1}</tex> — строгое.

Применим к цепи подпространств [[Гильбертовы пространства|лемму Рисса о почти перпендикуляре]]: <tex>\exists y_{n+1} \in L_{n+1},\|y_{n+1}\| = 1: \forall y_n \in L_n: \|y_{n+1} - y_n\| \ge \frac12</tex>. Проделав такое для каждого <tex>L_n</tex>, получим последовательность <tex>y_n</tex>, заметим, что она ограничена 1.

Определим <tex>z_n = A y_n</tex>. В силу компактности <tex>A</tex> из <tex>\{z_n\}</tex> можно выбрать сходящуюся последовательность точек. Проверим, что это сделать нельзя, противоречие будет связано с допущением о том, что на <tex>[\alpha,\|A\|]</tex> бесконечное количество точек.

Составим разность <tex>z_{n+p}-z_n = A y_{n+p} - A y_n = \lambda_{n+p} y_{n+p} - (\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n)</tex>. Проверим, что то, что находится в скобке, принадлежит <tex>L_{n+p-1}</tex>.

<tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n \in L_{n+p-1}</tex>. <tex>L_{n+p-1} = \mathcal{L} \{x_1,\ldots,x_{n+p-1}\}</tex>. <tex>y_{n+p} \in L_{n+p}</tex>, <tex>y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k x_k + \alpha_{n+p} x_{n+p}</tex>. Подействуем A: <tex>A y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k A x_k + \alpha_{n+p} A x_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k \lambda_k x_k + \alpha_{n+p} \lambda_{n+p} x_{n+p} </tex>. Разность <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \beta_k x_k \in L_{n+p-1}</tex>. <tex>y_n = \sum\limits_{k=1}^n \gamma_k x_k, A y_n = \sum\limits_{k=1}^n \gamma_k \lambda_k x_k \in L_{n+p-1}</tex> и, следовательно, <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n</tex> принадлежит <tex>L_{n+p-1}</tex>.

То что было в скобке обозначим за <tex>t</tex>.
Тогда <tex>z_{n+p}-z_n = A y_{n+p} - A y_n = \lambda_{n+p} y_{n+p} - t =\lambda_{n+p}(y_{n+p} - \frac{t}{\lambda_{n+p}})</tex>
Получаем: <tex>\|z_{n+p} - z_n\| = |\lambda_{n+p}| \|y_{n+p} - \frac{t}{\lambda_{n+p}}\|</tex>, где первый множитель не меньше <tex>\alpha</tex>, а второй — <tex>\frac 1 2</tex> (по построению <tex>y_n</tex>) , в итоге <tex>\|z_{n+p} - z_n\| \geq \frac{\alpha}{2}</tex> и, значит, из <tex>\{z_n\}</tex> не выделить сходящейся подпоследовательности. Получили противоречие, а значит, на каждом отрезке <tex>[\alpha, \|A\|]</tex> действительно конечное число собственных чисел, и спектр счетен.

Осталось проверить, что только <tex>0</tex> может быть предельной точкой. Пусть это не так, и какое-то <tex>\lambda \ne 0</tex> — предельная точка, это означает, что для любого <tex>\forall \varepsilon: 0 < \varepsilon < \frac{\lambda}{2}</tex>, во множестве <tex>[\lambda - \varepsilon, \lambda) \cup (\lambda, \lambda + \varepsilon]</tex> содержится собственное число, то есть в отрезке <tex>[\frac{\lambda}{2}, \|A\|]</tex> содержится счетно-бесконечное число точек спектра, чего быть не может, как мы уже показали выше.
}}

[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]

Базис Шаудера

2013-06-12T23:23:55Z

Rybak:

[[Компактный оператор |<<]][[Альтернатива Фредгольма — Шаудера|>>]]

Выясним структуру компактного оператора в специальном случае — когда <tex>X</tex> имеет базис Шаудера.

{{Определение
|definition=
Базисом Шаудера в банаховом пространстве <tex>X</tex> называется множество его элементов <tex>e_1, e_2 \dots e_n \dots</tex> такое, что у любого <tex>x</tex> в <tex>X</tex> существует единственное разложение <tex>x = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \alpha_i e_i</tex>.
}}

Примеры:
* ортонормированный базис в Гильбертовом пространстве — базис Шаудера
* в <tex>L_p(E)</tex> и <tex>C[a, b]</tex> тоже есть базис Шаудера
* но не у всех банаховых пространств он есть

Пусть в <tex>X</tex> есть базис Шаудера, тогда между <tex>x = \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_k e_k</tex> и <tex>(\alpha_1 \dots \alpha_n \dots)</tex> — бесконечными последовательностями есть биекция. Определим <tex>F = \{(\alpha_1 \dots \alpha_n\dots) \mid \exists x \in X: \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_n e_n \to x \}</tex> — это линейное пространство.

Так как ряд сходится, <tex>F</tex> можно превратить в [[Нормированные пространства|НП]], определив норму как <tex>\| \alpha \| = \sup\limits_n \left\| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i\right\|</tex>.

{{Утверждение
|statement=
Пространство <tex> F </tex> относительно этой нормы — банахово.
|proof=
{{TODO|t=Далее приведено доказательство полноты, но нужно также доказать, что <tex>F</tex> — линейное пространство, и что заданная норма удовлетворяет аксиомам, что оставляется читателю в качестве упражнения}}

Пусть дана последовательность <tex>y_k \in F</tex> (за <tex>y_k^i</tex> обозначаем <tex>i</tex>-ый элемент <tex>k</tex>-ой последовательности),
которая сходится в себе, то есть
<tex>\| y_m - y_k \| = \sup\limits_n \left\| \sum\limits_{i = 1}^n (y_m^i - y_k^i) e_i \right \| < \varepsilon</tex> при <tex>m, k \ge N(\varepsilon)</tex>

Рассмотрим последовательность <tex>y_k^i</tex> при фиксированном <tex>i</tex>, докажем, что эта последовательность сходится:
<tex>| y_m^n - y_k^n | \| e_n \| = \| (y_m^n - y_k^n) e_n \| = \left \| \sum\limits_{i = 1}^n (y_m^i - y_k^i) e_i - \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} (y_m^i - y_k^i) e_i \right \| \le</tex>
<tex>\left \| \sum\limits_{i = 1}^n (y_m^i - y_k^i) e_i \right \| + \left \| \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} (y_m^i - y_k^i) e_i \right \| \le
2 \sup\limits_n \left \| \sum\limits_{i = 1}^n (y_m^i - y_k^i) e_i \right \| < 2 \varepsilon</tex> при <tex>m, k > N(\varepsilon)</tex>

Рассмотренная последовательность сходится в себе, следовательно, сходится. Пусть эта последовательность сходится к <tex>z^n</tex>, докажем, что <tex>z</tex> является пределом последовательности <tex>y_i</tex>. Для начала нужно доказать, что <tex>z \in F</tex>, то есть, что <tex>\sup\limits_n \left \| \sum\limits_{i = 1}^n z^i e_i \right \| < +\infty</tex>.

В неравенстве <tex>\left \| \sum\limits_{i = 1}^n (y_m^i - y_k^i) e_i \right \| < \varepsilon</tex> можно перейти к пределу <tex>k \to \infty</tex>, получая <tex>\left \| \sum\limits_{i = 1}^n (y_m^i - z^i) e_i \right \| \le \varepsilon</tex>. Далее, рассмотрим следующую сумму: <tex>\left \| \sum\limits_{i = n}^{n + p} z^i e_i \right \|</tex>. Используя равенство <tex>z^i e_i = (z^i - y_m^i) e_i + y_m^i e_i</tex>, получаем следующее неравенство:

<tex>\left \| \sum\limits_{i = n}^{n + p} z^i e_i \right \| \le \left \| \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} (z^i - y_m^i) e_i \right \| + \left \| \sum\limits_{i = 1}^{n + p} (z^i - y_m^i) e_i \right \| + \left \| \sum\limits_{i = n}^{n + p} y_m^i e_i \right \|</tex> <tex>\le \left \| \sum\limits_{i = n}^{n + p} y_m^i e_i \right \| + 2\varepsilon</tex>

Пусть дано произвольное <tex>\delta</tex>, выберем <tex>\varepsilon < \delta/4</tex> и <tex>N(\varepsilon)</tex>, такое, что при <tex>m > N</tex> выполняется неравенство, полученное выше. Зафиксируем такое конкретное <tex>m > N</tex>, и выберем <tex>n_0</tex> при котором для любого <tex>n \ge n_0</tex>, <tex>p > 0</tex> выполняется <tex>\left \| \sum\limits_{i = n}^{n + p} y_m^i e_i \right \| < \delta/2</tex>, что возможно в силу сходимости ряда <tex>\left \| \sum y_m^i e_i \right \|</tex>.

Итого, для произвольного <tex>\delta</tex> мы получили такое <tex>n_0(\delta)</tex>, что при <tex>n \ge n_0</tex>, <tex>p > 0</tex> выполняется <tex>\left \| \sum\limits_{i = n}^{n + p} z^i e_i \right \| < \delta</tex>, следовательно, ряд <tex>\left \| \sum z^i e_i \right \|</tex> сходится и <tex>z \in F</tex>.

Полученное ранее неравенство <tex>\left \| \sum\limits_{i = 1}^n (y_m^i - z^i) e_i \right \| \le \varepsilon</tex> верно для любого <tex>n</tex> и при <tex>m \ge m_0(\varepsilon)</tex>, то верно и неравенство <tex>\sup\limits_n \left \| \sum\limits_{i = 1}^n (y_m^i - z^i) e_i \right \| = \| y_m - z \| \le \varepsilon</tex>, то есть, <tex>z</tex> является пределом последовательности <tex>y_k</tex>.
}}

Определим биективный линейный оператор <tex>T: F \to X</tex> как <tex>T \alpha = \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_n e_n</tex>.

Покажем, что он ограничен: <tex>\|T\alpha\| = \|x\| = \left\| \sum\limits_{n = 1}^\infty \alpha_n e_n \right\| \le \sup\limits_n \left\| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i \right\| = \| \alpha \|</tex>, то есть <tex>\| T\alpha \| \le \| \alpha \| \implies \|T\| \le 1</tex>.

Так как <tex>F</tex> и <tex>X</tex> — банаховы, по [[Теорема Банаха об обратном операторе|теореме Банаха об обратном операторе]], обратный оператор также ограничен: <tex>\|T^{-1}\| \le C</tex>, то есть, <tex>\|\alpha\| \le C \|x\|</tex>.

{{Теорема
|about=
почти конечномерность компактного оператора
|statement=
Если <tex>X</tex> — банахово пространство с базисом Шаудера, <tex>A:X \to X</tex> — компактный, то для всех <tex>\varepsilon > 0</tex> существует разложение оператора <tex>A</tex> в сумму двух компактных операторов: <tex>A = A_1 + A_2</tex> такое, что:

# <tex>\operatorname{dim}(R(A_1)) < +\infty</tex>
# <tex>\|A_2\| < \varepsilon</tex>
|proof=
В полученном выше соотношении <tex>\|\alpha\| \le C \|x\|</tex>, раскроем нормы: <tex>\sup\limits_n\left\| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i \right\| \le C \left\| \sum\limits_{i=1}^\infty \alpha_i e_i \right\|</tex>, а значит, <tex> \forall n: \left\|\sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i \right\| \le C \left\| \sum\limits_{i=1}^\infty \alpha_i e_i \right\|</tex>

Для каждого <tex>n</tex>, определим на элементах <tex>X</tex> два оператора: <tex>S_n(x) = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i</tex> и <tex>R_n(x) = \sum\limits_{i=n+1}^\infty \alpha_i e_i</tex>.

По выше полученным неравенствам, <tex>\|S_n(x)\| \le C \|x\|</tex>, то есть нормы всех <tex>S_n</tex> ограничены числом <tex>C</tex>.

Запишем оператор <tex>I</tex> как <tex>S_n + R_n</tex>, тогда <tex>R_n = I - S_n</tex>, <tex>\|R_n\| \le \| I\| + \|S_n\| \le 1 + C</tex>.

Это значит, что нормы всех остаточных операторов <tex> R_n </tex> ограничены числом <tex>1 + C</tex>.

Пусть <tex>A : X \to X</tex> — компактный.

<tex>A = IA = S_n A + R_n A = A_1 + A_2</tex>.

<tex>R(A_1) \subset \mathcal L(e_1, \ldots, e_n)</tex>, то есть, для всех <tex>n</tex>, <tex>A_1</tex> — конечномерный оператор.

Докажем теперь вторую часть теоремы: покажем, что для всех <tex>\varepsilon > 0</tex> найдется <tex>n_0</tex> такое, что <tex>\|R_{n_0} A \| < \varepsilon</tex>.

Рассмотрим <tex>\overline V</tex> — единичный шар в <tex>X</tex>, <tex>M = A(\overline V)</tex> — относительно компактно, следовательно, для любого <tex>\varepsilon > 0</tex> есть конечная <tex>\varepsilon</tex>-сеть <tex>z_1, \ldots, z_p</tex>.

<tex>\forall y \in M \exists z_j:\ \|y - z_j\| < \varepsilon</tex>

<tex>\|R_n y\| = \|R_n y - R_n z_j + R_n z_j\| \le \|R_n\| \|y - z_j\| + \|R_n z_j\| \le (1 + C) \varepsilon + \|R_n z_j\|</tex>

<tex> \forall j = 1\ldots p, R_n z_j \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 </tex>, поэтому <tex> \exists N_j: \forall n > N_j : \|R_n z_j\| < \varepsilon </tex>.

Возьмем <tex> N = \max\limits_{j = 1\ldots p} N_j </tex>, тогда <tex> \forall n > N\ \forall j = 1\ldots p:\ \|R_n z_j \| < \varepsilon </tex>.

Значит, <tex>\|R_n y \| \le (2 + C) \varepsilon</tex>.

<tex>R_n(Ax) \stackrel{n \to \infty}{\rightrightarrows} 0</tex> на <tex> \overline V </tex>, так как <tex>R_n(y) \stackrel{n \to \infty}{\rightrightarrows} 0</tex> на <tex>M</tex> (из ограниченности <tex>\implies</tex> непрерывности <tex>R_n</tex> и <tex>\|R_n z_j \| < \varepsilon </tex>).

Получили <tex>\forall \varepsilon > 0 \exists n_0: \|R_{n_0} (Ax)\| < \varepsilon\ \forall x \in \overline{V}</tex>, то есть, <tex>\|R_{n_0}A\| < \varepsilon</tex>.

В итоге, примем <tex>A_1 = S_{n_0}A</tex>, <tex>A_2 = R_{n_0}A</tex>. <tex>A_1</tex> и <tex>A_2</tex> компактны как композиция компактного и огранниченного оператора.
}}

[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]

Теория Гильберта-Шмидта

2013-06-12T11:34:30Z

Rybak:

{{В разработке}}

__TOC__

В этом параграфе будем иметь дело с Гильбертовым пространством <tex>\mathcal{H}</tex>, но над полем <tex>\mathbb{C}</tex>.

# (над <tex>\mathbb{R}</tex>): <tex>\langle x, y \rangle = \langle y, x \rangle</tex>
# (над <tex>\mathbb{C}</tex>): <tex>\langle x, y \rangle = \overline{\langle y, x \rangle}</tex>

В конечномерном пространстве <tex>\mathbb{R}^n = \{\langle x_1, x_2, \ldots, x_n \rangle\} </tex> (<tex>x_i \in \mathbb{R}</tex>) скалярное произведение двух векторов определялось как <tex>\langle \bar{x}, \bar{y} \rangle = \sum\limits_{k=1}^n x_n y_n</tex>.

В <tex>\mathbb{C}^n = \{\langle z_1, z_2, \ldots, z_n \rangle\}</tex> (<tex>z_i \in \mathbb{C}</tex>) же, <tex> \langle \bar{z}, \bar{y} \rangle = \sum\limits_{k=1}^n z_i \overline{y_i}</tex>.

Комплексное сопряжение добавлено для того, чтобы выполнялась первая аксиома скалярного произведения: <tex>\langle x, x \rangle \ge 0</tex>:
<tex>\langle \overline{z}, \overline{z} \rangle = \sum\limits_{k=1}^n z_k \overline{z_k} = \sum\limits_{k=1}^n |z_k|^2 \in \mathbb{R}, > 0</tex>.

Нас будут интересовать только линейные ограниченные операторы <tex>\mathcal{A} : \mathcal{H} \to \mathcal{H}</tex>.

{{Определение
|definition=Оператор <tex>\mathcal{A}</tex> в гильбертовом пространстве называется ''самосопряжённым'' (<tex>\mathcal{A} = \mathcal{A}^*</tex>), если <tex>\forall x, y : \langle \mathcal{A}x, y \rangle = \langle x, \mathcal{A}y \rangle</tex>.
}}

Посмотрим, что же такое ''самосопряжённость'' для конечномерного оператора в <tex>\mathbb{C}^n</tex>. В <tex>\mathbb{C}^n</tex> линейный оператор представляет из себя матрицу <tex>A = \{a_{ij}\}</tex>.

{{Утверждение
|statement=Оператор <tex>\mathcal{A} : \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^n</tex> самосопряжён <tex>\iff</tex> <tex>A = \overline{A^T}</tex>.
|proof=<tex>Az = \{a_{ij}\} \cdot \left(\begin{array}{c}z_1\\\vdots\\z_n\end{array}\right) = </tex> <tex>\left(\sum\limits_{j=1}^n a_{ij} z_j\right)_{i=1..n}</tex>.

<tex>\langle \mathcal{A}z, y \rangle = \langle Az, y\rangle = </tex> <tex>\sum\limits_{i=1}^n (Az)_i \overline{y_i} = </tex> <tex>\sum\limits_{i=1}^n\left(\sum\limits_{j=1}^n a_{ij} z_j\right)\overline{y_i} = </tex> <tex>\sum\limits_{i,j=1}^n a_{ij} z_j \overline{y_i} = </tex> <tex>\sum\limits_{j=1}^n\left(\sum\limits_{i=1}^n a_{ij}\overline{y_i}\right)z_j = </tex> <tex>\sum\limits_{j=1}^n\left(\sum\limits_{i=1}^n \overline{\overline{a_{ij}}}\cdot\overline{y_i}\right)z_j = </tex> <tex>\sum\limits_{j=1}^n z_j \overline{\left(\sum\limits_{i=1}^n\overline{a_{ij}}y_i\right)} = </tex> <tex>\langle z, By \rangle = </tex> <tex>\langle z, \overline{A^T} y \rangle</tex>
}}

<tex>\langle \mathcal{A}x, x \rangle = \langle x, \mathcal{A}x \rangle </tex>, <tex>\langle \mathcal{A}x, x \rangle = \overline{\langle x, \mathcal{A}x \rangle} \implies \langle \mathcal{A}x, x\rangle \in \mathbb{R}</tex>, так как если комплексное число совпадает со своим сопряжением, то его мнимая часть равна нулю.

Рассмотрим <tex>\lambda = \mu + i\nu \in \mathbb{C}</tex>, <tex>\lambda \mathcal{I} - \mathcal{A} = (\mu\mathcal{I} - \mathcal{A}) + i\nu\mathcal{I}</tex>.

<tex>\| (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x \|^2 = </tex> <tex>\langle (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x, (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\rangle = </tex> <tex>\langle (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x+i\nu x, (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x+i\nu x \rangle = </tex> <tex>\|(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x\|^2 + |\nu|^2\cdot\|x\|^2 + \langle(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x, i\nu x\rangle + \langle i\nu x, (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x\rangle = </tex> [<tex>\mu \in \mathbb{R}</tex>, <tex>\mathcal{A}</tex> — самосопряжённый
<tex> (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})^* = (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})</tex>] <tex> = \|(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x\|^2 + |\nu|^2\cdot\|x\|^2 + (-i\nu)\langle (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x, x\rangle + i\nu\langle x, (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x\rangle = </tex> <tex>\|(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x\|^2 + |\nu|^2\cdot\|x\|^2</tex>

Итого: <tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\|</tex>.

{{Утверждение
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex> — самосопряжённый, а <tex>\lambda \in \mathbb{C}</tex>, то <tex>\mathcal{H} = \operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) \oplus \operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})</tex>.
|proof=Доказательство разбивается на два случая: <tex>\lambda \in \mathbb{R}</tex> и <tex>\lambda \notin \mathbb{R}</tex>

* Случай 1. <tex>\lambda \in \mathbb{R}</tex>:

<tex>\lambda \in \mathbb{R} \implies (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})^* = \lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}</tex>

<tex>\operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = (\operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})^*)^\bot = \operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})^\bot</tex>

* Случай 2. <tex>\lambda \notin \mathbb{R}</tex>:

из неравенства <tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\| > 0</tex> при <tex>x \ne 0</tex> вытекает <tex>\operatorname{Ker}(\overline{\lambda}\mathcal{I}-\mathcal{A}) = \{0\}</tex>, так как для <tex>\lambda \notin \mathbb R</tex>, <tex>|\nu| \ne 0</tex>.

<tex>\operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = (\operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})^*)^\bot = \mathcal{H}</tex>.
}}

== Теоремы о спектре самосопряженного оператора ==

=== Вещественность спектра ===

{{Теорема
|statement = Если <tex>\mathcal{A}</tex> — самосопряженный, то <tex> \sigma (\mathcal{A}) \subset \mathbb{R} </tex>.
|proof = Проверим, что если <tex> \operatorname{Im} \lambda \ne 0</tex>, то <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex>.
<tex>\lambda = \mu + i\nu</tex>, <tex>\nu\ne0</tex>, <tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\| > 0</tex>

<tex>\operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = \{0\}</tex>, <tex>\operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = \mathcal{H}</tex> (всюду плотно в <tex> \mathcal H </tex>).

С другой стороны, неравенство <tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\|\ge|\nu|\cdot\|x\|</tex> даёт априорную оценку <tex>y=(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x</tex>, откуда следует, что
<tex>R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})</tex> — замкнуто.

Значит, <tex>\mathcal{H} = R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})</tex>

<tex>\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}</tex> — биективен на <tex>\mathcal{H}</tex>. <tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\|</tex> гарантирует, что обратный оператор ограничен, и, как следствие, непрерывен. Значит, <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex>

}}

=== Критерии вхождения в спектр и резольвентное множество ===

{{Теорема
|statement=Пусть <tex>\mathcal{A}</tex> — самосопряжённый оператор. Тогда
1. <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A}) \iff \exists m > 0 : \forall x \in \mathcal{H} : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge m\|x\|</tex>
2. <tex>\lambda \in \sigma(\mathcal{A}) \iff \exists x_n : \|x_n\| = 1 : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x_n\| \to 0 </tex>
|proof='''Замечание''': второе свойство означает, что спектр самосопряжённого оператора состоит из почти собственных чисел

Докажем первый пункт

<tex>\implies</tex>: <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex>, то есть резольвентный оператор определен.

<tex>\left\| \frac{1}{\lambda I - A} (\lambda I - A) x\right\| \le \left\| \frac{1}{\lambda I - A} \right\| \| (\lambda I - A) x\|</tex>

Возьмем <tex>m=\frac{1}{\left\| \frac{1}{\lambda I - A} \right\|}</tex>, тогда:

<tex>\| (\lambda I - A) x\| \ge m \left\| \frac{1}{\lambda I - A} (\lambda I - A) x\right\| \ge m \|x\|</tex>

<tex>\Longleftarrow</tex>: Существование резольвентного оператора, определенного на <tex> R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) </tex> следует из [[Теорема Банаха об обратном операторе#invlb|одной из теорем об обратных операторах]]. Покажем, что <tex> R(\lambda \mathcal{I} - \mathcal{A}) = \mathcal{H} </tex>. По одному из предыдущих утверждений, <tex>\mathcal{H} = \operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) \oplus \operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})</tex>. Поскольку <tex> \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge m\|x\| </tex>, то <tex> \operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = \{ 0 \} </tex>. Так как оператор <tex> \lambda\mathcal{I}-\mathcal{A} </tex> допускает, по условию, априорную оценку решений, то <tex> R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = \operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})</tex>, откуда следует, что резольвентный оператор непрерывен и определен на всем <tex> \mathcal{H} </tex>.

Второй пункт — просто логическое отрицание первого.
}}

Выше мы убедились, что <tex>\langle \mathcal{A}x, x \rangle \in \mathbb{R}</tex>

{{Определение
|definition=<tex>m_- = \inf\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x\rangle</tex>

<tex>m_+ = \sup\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x \rangle</tex>
}}

Очевидно, что <tex>m_- \le m_+</tex>

<tex>\forall x \in \mathcal{H} : x = \|x\| \frac{x}{\|x\|} = \|x\|z</tex>, где <tex>\|z\| = 1</tex>:
<tex>\langle \mathcal{A}x, x\rangle = \|x\|^2 \langle\mathcal{A}z, z\rangle \le m_+ \|x\|^2</tex>

Аналогично, <tex> \langle\mathcal{A}x, x\rangle \ge m_- \|x\|^2 </tex>

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>A</tex> — самосопряженный оператор. Тогда:
# <tex>\sigma(\mathcal{A}) \subset [m_-; m_+]</tex>
# <tex>m_+, m_- \in \sigma(\mathcal{A})</tex>
|proof=
'''Пункт 1.''' Докажем, что из того, что <tex>\lambda > m_+</tex> следует, что <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex>. Аналогично докажем для <tex>m_-</tex>

Нужно проверять только <tex>\lambda \in \mathbb{R}</tex>

Пусть <tex>\lambda > m_+</tex>. Проверим, что выполняется критерий вхождения в <tex>\rho(\mathcal{A})</tex> из предыдущей теоремы

<tex>(\lambda - m_+) \cdot \|x\|^2 =</tex> <tex>(\lambda - m_+) \langle x, x \rangle =</tex> <tex>\langle \lambda x, x\rangle - \langle m_+x, x\rangle \le </tex> <tex>\langle \lambda x, x \rangle - \langle \mathcal{A}x, x \rangle = </tex> <tex>\langle (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x, x\rangle \le</tex> [неравенство Шварца] <tex>\le \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \cdot \|x\|</tex>

Итого: <tex>(\lambda-m_+)\|x\| \le \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \implies \lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex>

'''Пункт 2.''' Докажем, что <tex>m_+ \in \sigma(\mathcal{A})</tex>

Проверим критерий принадлежности спектру из предыдущей теоремы.

<tex>m_+ = \sup\limits_{\|x\|=1} \langle \mathcal{A}x, x\rangle</tex>

По определению <tex>\sup</tex> подбираются <tex>x_n : \|x_n\| = 1</tex>, <tex>\langle \mathcal{A}x_n, x_n\rangle \to m_+</tex>

<tex>\langle \mathcal{A}x, x\rangle \le m_+ \cdot \langle x, x\rangle \iff \langle (m_+\mathcal{I}-\mathcal{A})x, x\rangle \ge 0</tex>

<tex>\mathcal{L} = m_+\mathcal{I} - \mathcal{A}</tex>, <tex>\mathcal{L}=\mathcal{L}^*</tex>

Далее будем использовать обозначение <tex>[x, y] = \langle \mathcal{L}x, y\rangle</tex>.

Так как <tex>\langle \mathcal{L}x, x \rangle \ge 0</tex>, мгновенно проверяем, что <tex>[\_, \_]</tex> удовлетворяет аксиомам скалярного произведения, а значит, для <tex>[\_, \_]</tex> выполняется неравенство Шварца:

<tex>|[x, y]|^2 \le [x, x] \cdot [y, y] </tex>

Надо: <tex>\mathcal{L}x_n \to 0</tex>

<tex>\langle \mathcal{L}x_n, x_n \rangle \to 0</tex>

<tex>|\langle \mathcal{L}x, y \rangle|^2 \le \langle\mathcal{L}x, x\rangle \cdot \langle \mathcal{L}y, y \rangle</tex>

Подставим <tex>x = x_n</tex>, <tex>y = \mathcal{L}x_n</tex>:

<tex>|\langle\mathcal{L}x_n, \mathcal{L}x_n\rangle|^2 \le</tex> <tex>\langle \mathcal{L}x_n, x_n\rangle \cdot \langle \mathcal{L}^2x_n, \mathcal{L}x_n\rangle </tex>

<tex>\|\mathcal{L}x_n\|^4 = |\langle\mathcal{L}x_n, \mathcal{L}x_n\rangle|^2 \le</tex> [по неравенству выше] <tex>\langle\mathcal{L}x_n, x_n\rangle \cdot \langle \mathcal{L}^2 x_n, \mathcal{L}x_n\rangle</tex>. Первый множитель стремится к нулю. Проверив ограниченность второго, убедимся, что <tex>\mathcal{L}x_n \to 0</tex>.

<tex>\langle \mathcal{L}^2 x_n, \mathcal{L}x_n \rangle \le </tex> <tex>\|\mathcal{L}^2 x_n\| \cdot \|\mathcal{L}x_n\| \le </tex> <tex>\|\mathcal{L}\|^3 \cdot \|x_n\|^2 = </tex> <tex>\|\mathcal{L}^3\| < M</tex>

}}

=== Теорема о спектральном радиусе ===

{{Утверждение
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex> — самосопряжённый оператор, то <tex>r_\sigma(\mathcal{A}) = \|\mathcal{A}\|</tex>
|proof=Ранее мы доказывали, что <tex>r_\sigma(\mathcal{A}) = \lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{\|\mathcal{A}^n\|}</tex>

Если проверить, что <tex>\|\mathcal{A}^{2^n}\| = \|\mathcal{A}\|^{2^n}</tex>, то, по предыдущему утверждению, теорема будет верна: <tex>\sqrt[2^n]{\|\mathcal{A}^{2^n}\|} = \sqrt[2^n]{\|\mathcal{A}\|^{2^n}} = \|\mathcal{A}\|</tex>

Очевидно, достаточно проверить это утверждение только для <tex>n = 1</tex>. Остальное получится автоматически.

<tex>\langle\mathcal{A}x, \mathcal{A}x \rangle = \|\mathcal{A}x\|^2</tex>

По самосопряжённости:

<tex> = \langle x, \mathcal{A}^2x \rangle \le</tex> [по неравенству Шварца] <tex>\le \|\mathcal{A}^2x\|\cdot\|x\| \le</tex> [<tex>\|x\| \le 1</tex>] <tex>\le \|\mathcal{A}^2x\| \le</tex> <tex>\|\mathcal{A}^2\| \cdot \|x\| \le </tex> <tex>\|\mathcal{A}^2\|</tex>

Итого: <tex>\|\mathcal{A}\|^2 \le \|\mathcal{A}^2\|</tex>. Осталось доказать обратное неравенство.

<tex>\|\mathcal{A}^2 x \| = </tex> <tex>\|\mathcal{A}(\mathcal{A}x)\| \le</tex> <tex>\|\mathcal{A}\| \cdot \|\mathcal{A}x\| \le</tex> <tex>\|\mathcal{A}\|^2</tex>
}}

Если <tex>\mathcal{A}</tex> — компактный, то <tex>\sigma(\mathcal{A})</tex> состоит только из счётного числа собственных чисел <tex>\lambda_i</tex>. Обозначим за <tex>M_{\lambda_i} </tex> собственные подпространства. В силу самосопряжённости, <tex>M_{\lambda_i} \perp M_{\lambda_j}</tex>.

Собственные подпространства конечномерны (<tex>\dim M_\lambda < +\infty</tex>). Можно считать, что в каждом из них определён ортонормированный базис.

== Теорема Гильберта-Шмидта ==

{{Теорема
|author=Гильберт, Шмидт
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex> — самосопряжённый компактный оператор в гильбертовом пространстве <tex>\mathcal{H}</tex>, а <tex>M_{\lambda_i}</tex> — его (оператора) собственные подпространства, то <tex>\mathcal{H} = M_{\lambda_1} \oplus M_{\lambda_2} \oplus \cdots \oplus M_{\lambda_n} \oplus \cdots </tex>
|proof=Обозначим за <tex>M = \bigoplus\limits_n M_{\lambda_n}</tex>, <tex>M^\bot</tex> — ортогональное дополнение <tex>M</tex> до <tex>\mathcal{H}</tex> (<tex>\mathcal{H} = M \oplus M^\bot</tex>).

Нужно проверить, что <tex>M^\bot = \{0\}</tex>

Элементарно проверяется, что <tex>\forall M_\lambda : \mathcal{A}(M_\lambda) \subset M_\lambda</tex>:
<tex>\forall x \in M_\lambda : \mathcal{A}x = \lambda x \in M_\lambda</tex>

Проверим, что <tex>\mathcal{A}(M^\bot) \subset M^\bot</tex>: <tex>\forall x \in M^\bot : \mathcal{A}x \perp</tex> любому <tex>M_\lambda \implies \mathcal{A}x \in M^\bot</tex>

<tex>y \in M_\lambda : \langle \mathcal{A}x, y\rangle = \langle x, \mathcal{A}y\rangle = \langle x, \lambda y \rangle = |\lambda|\langle x, y \rangle</tex>, <tex>x\in M^\bot</tex>, <tex>\langle x, y \rangle = 0</tex>

Значит, <tex>\mathcal{A}(M^\bot)\subset M^\bot</tex>

Рассмотрим <tex>\mathcal{A}_0 = \mathcal{A}|_{M^\bot}</tex>

<tex>M^\bot</tex> — гильбертово пространство, <tex>\mathcal{A}_0</tex> — самосопряжённое, <tex>r_\sigma(\mathcal{A}_0) = \|\mathcal{A}_0\|</tex>

Но все собственные числа <tex>\mathcal{A}</tex> задействованы в <tex>M_\lambda</tex> <tex>r_\sigma(\mathcal{A}_0) = 0 \implies \|\mathcal{A}_0\| = 0 \implies</tex> оператор тривиальный <tex>M^\bot = \operatorname{Ker} \mathcal{A}_0</tex>

Если бы у <tex>\mathcal{A}</tex> было нетривиальное ядро, то оно стало бы собственным подпространством, значит, было бы задействовано в <tex>\bigoplus</tex>. Значит, <tex>\operatorname{Ker} \mathcal{A}_0 = \{0\}</tex>.
}}

Если <tex>\mathcal{A}</tex> — самосопряжённый компактный оператор, то ОНС базис <tex>\mathcal{H}</tex> можно построить из собственных векторов <tex>\varphi_1, \ldots \varphi_n, \ldots</tex>.

Любой <tex>x \in \mathcal{H}</tex> можно разложить в ряд Фурье по свойствам гильбертова пространства. Значит,

<tex>\mathcal{A}x = \sum\limits_{n=1}^\infty \langle x, \varphi_n\rangle \mathcal{A}\varphi_n = \sum\limits_{n=1}^\infty \lambda_n \langle x, \varphi_n\rangle \varphi_n</tex>.

Получаем структуру сопряжённого компактного оператора: <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex> (<tex>\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}</tex> непрерывно обратим) <tex>\implies y = \sum\limits_{n=1}^\infty \langle y, \varphi_n\rangle \varphi_n</tex>, <tex>y = \lambda x - \mathcal{A}x</tex>

<tex>\sum\limits_{n=1}^\infty \langle y, \varphi_n\rangle \varphi_n = \sum \lambda\langle x, \varphi_n\rangle\varphi_n - \sum\lambda_n\langle x, \varphi_n\rangle\varphi_n = \sum(\lambda-\lambda_n)\langle x, \varphi_n\rangle \varphi_n</tex>.

Можно приравнять коэффициенты: <tex>\langle y, \varphi_n\rangle = (\lambda-\lambda_n)\langle x, \varphi_n\rangle</tex>.

<tex>\langle x, \varphi_n\rangle = \frac{\langle y, \varphi_n\rangle}{\lambda-\lambda_n}</tex> (в знаменателе нуля быть не может, потому что <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex>).

<tex>R_\lambda(y) = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\langle y, \varphi_n\rangle}{\lambda-\lambda_n}\varphi_n</tex>.

[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]

Обсуждение:Базис Шаудера

2013-06-12T09:40:40Z

Rybak: Новая страница: «* Что-то не так с индексами <tex>y_k^i</tex> в доказательстве полноты. --~~~~»

* Что-то не так с индексами <tex>y_k^i</tex> в доказательстве полноты. --[[Участник:Rybak|Андрей Рыбак]] 13:40, 12 июня 2013 (GST)

Базис Шаудера

2013-06-12T09:37:51Z

Rybak: ссылка НП

Выясним структуру компактного оператора в специальном случае — когда <tex>X</tex> имеет базис Шаудера.

{{Определение
|definition=
Базисом Шаудера в банаховом пространстве <tex>X</tex> называется множество его элементов <tex>e_1, e_2 \dots e_n \dots</tex> такое, что у любого <tex>x</tex> в <tex>X</tex> существует единственное разложение <tex>x = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \alpha_i e_i</tex>.
}}

Примеры:
* ортонормированный базис в Гильбертовом пространстве — базис Шаудера
* в <tex>L_p(E)</tex> и <tex>C[a, b]</tex> тоже есть базис Шаудера
* но не у всех банаховых пространств он есть

Пусть в <tex>X</tex> есть базис Шаудера, тогда между <tex>x = \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_k e_k</tex> и <tex>(\alpha_1 \dots \alpha_n \dots)</tex> — бесконечными последовательностями есть биекция. Определим <tex>F = \{(\alpha_1 \dots \alpha_n\dots) \mid \exists x \in X: \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_n e_n \to x \}</tex> — это линейное пространство.

Так как ряд сходится, <tex>F</tex> можно превратить в [[Нормированные пространства|НП]], определив норму как <tex>\| \alpha \| = \sup\limits_n \left\| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i\right\|</tex>.

{{Утверждение
|statement=
Пространство <tex> F </tex> относительно этой нормы — банахово.
|proof=
{{TODO|t=Далее приведено доказательство полноты, но нужно также доказать, что <tex>F</tex> — линейное пространство, и что заданная норма удовлетворяет аксиомам, что оставляется читателю в качестве упражнения}}

Пусть дана последовательность <tex>y_k \in F</tex> (за <tex>y_k^i</tex> обозначаем <tex>i</tex>-ый элемент <tex>k</tex>-ой последовательности),
которая сходится в себе, то есть
<tex>\| y_m - y_k \| = \sup\limits_n \left\| \sum\limits_{i = 1}^n (y_m^i - y_k^i) e_i \right \| < \varepsilon</tex> при <tex>m, k \ge N(\varepsilon)</tex>

Рассмотрим последовательность <tex>y_k^i</tex> при фиксированном <tex>i</tex>, докажем, что эта последовательность сходится:
<tex>| y_m^n - y_k^n | \| e_n \| = \| (y_m^n - y_k^n) e_n \| = \left \| \sum\limits_{i = 1}^n (y_m^i - y_k^i) e_i - \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} (y_m^i - y_k^i) e_i \right \| \le</tex>
<tex>\left \| \sum\limits_{i = 1}^n (y_m^i - y_k^i) e_i \right \| + \left \| \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} (y_m^i - y_k^i) e_i \right \| \le
2 \sup\limits_n \left \| \sum\limits_{i = 1}^n (y_m^i - y_k^i) e_i \right \| < 2 \varepsilon</tex> при <tex>m, k > N(\varepsilon)</tex>

Рассмотренная последовательность сходится в себе, следовательно, сходится. Пусть эта последовательность сходится к <tex>z^n</tex>, докажем, что <tex>z</tex> является пределом последовательности <tex>y_i</tex>. Для начала нужно доказать, что <tex>z \in F</tex>, то есть, что <tex>\sup\limits_n \left \| \sum\limits_{i = 1}^n z^i e_i \right \| < +\infty</tex>.

В неравенстве <tex>\left \| \sum\limits_{i = 1}^n (y_m^i - y_k^i) e_i \right \| < \varepsilon</tex> можно перейти к пределу <tex>k \rightarrow \infty</tex>, получая <tex>\left \| \sum\limits_{i = 1}^n (y_m^i - z^i) e_i \right \| \le \varepsilon</tex>. Далее, рассмотрим следующую сумму: <tex>\left \| \sum\limits_{i = n}^{n + p} z^i e_i \right \|</tex>. Используя равенство <tex>z^i e_i = (z^i - y_m^i) e_i + y_m^i e_i</tex>, получаем следующее неравенство:

<tex>\left \| \sum\limits_{i = n}^{n + p} z^i e_i \right \| \le \left \| \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} (z^i - y_m^i) e_i \right \| + \left \| \sum\limits_{i = 1}^{n + p} (z^i - y_m^i) e_i \right \| + \left \| \sum\limits_{i = n}^{n + p} y_m^i e_i \right \|</tex> <tex>\le \left \| \sum\limits_{i = n}^{n + p} y_m^i e_i \right \| + 2\varepsilon</tex>

Пусть дано произвольное <tex>\delta</tex>, выберем <tex>\varepsilon < \delta/4</tex> и <tex>N(\varepsilon)</tex>, такое, что при <tex>m > N</tex> выполняется неравенство, полученное выше. Зафиксируем такое конкретное <tex>m > N</tex>, и выберем <tex>n_0</tex> при котором для любого <tex>n \ge n_0</tex>, <tex>p > 0</tex> выполняется <tex>\left \| \sum\limits_{i = n}^{n + p} y_m^i e_i \right \| < \delta/2</tex>, что возможно в силу сходимости ряда <tex>\left \| \sum y_m^i e_i \right \|</tex>.

Итого, для произвольного <tex>\delta</tex> мы получили такое <tex>n_0(\delta)</tex>, что при <tex>n \ge n_0</tex>, <tex>p > 0</tex> выполняется <tex>\left \| \sum\limits_{i = n}^{n + p} z^i e_i \right \| < \delta</tex>, следовательно, ряд <tex>\left \| \sum z^i e_i \right \|</tex> сходится и <tex>z \in F</tex>.

Полученное ранее неравенство <tex>\left \| \sum\limits_{i = 1}^n (y_m^i - z^i) e_i \right \| \le \varepsilon</tex> верно для любого <tex>n</tex> и при <tex>m \ge m_0(\varepsilon)</tex>, то верно и неравенство <tex>\sup\limits_n \left \| \sum\limits_{i = 1}^n (y_m^i - z^i) e_i \right \| = \| y_m - z \| \le \varepsilon</tex>, то есть, <tex>z</tex> является пределом последовательности <tex>y_k</tex>.
}}

Определим биективный линейный оператор <tex>T: F \to X</tex> как <tex>T \alpha = \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_n e_n</tex>.

Покажем, что он ограничен: <tex>\|T\alpha\| = \|x\| = \left\| \sum\limits_{n = 1}^\infty \alpha_n e_n \right\| \le \sup\limits_n \left\| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i \right\| = \| \alpha \|</tex>, то есть <tex>\| T\alpha \| \le \| \alpha \| \implies \|T\| \le 1</tex>.

Так как <tex>F</tex> и <tex>X</tex> — банаховы, по [[Теорема Банаха об обратном операторе|теореме Банаха об обратном операторе]], обратный оператор также ограничен: <tex>\|T^{-1}\| \le C</tex>, то есть, <tex>\|\alpha\| \le C \|x\|</tex>.

{{Теорема
|about=
почти конечномерность компактного оператора
|statement=
Если <tex>X</tex> — банахово пространство с базисом Шаудера, <tex>A:X \to X</tex> — компактный, то для всех <tex>\varepsilon > 0</tex> существует разложение оператора <tex>A</tex> в сумму двух компактных операторов: <tex>A = A_1 + A_2</tex> такое, что:

# <tex>\operatorname{dim}(R(A_1)) < +\infty</tex>
# <tex>\|A_2\| < \varepsilon</tex>
|proof=
В полученном выше соотношении <tex>\|\alpha\| \le C \|x\|</tex>, раскроем нормы: <tex>\sup\limits_n\left\| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i \right\| \le C \left\| \sum\limits_{i=1}^\infty \alpha_i e_i \right\|</tex>, а значит, <tex> \forall n: \left\|\sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i \right\| \le C \left\| \sum\limits_{i=1}^\infty \alpha_i e_i \right\|</tex>

Для каждого <tex>n</tex>, определим на элементах <tex>X</tex> два оператора: <tex>S_n(x) = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i</tex> и <tex>R_n(x) = \sum\limits_{i=n+1}^\infty \alpha_i e_i</tex>.

По выше полученным неравенствам, <tex>\|S_n(x)\| \le C \|x\|</tex>, то есть нормы всех <tex>S_n</tex> ограничены числом <tex>C</tex>.

Запишем оператор <tex>I</tex> как <tex>S_n + R_n</tex>, тогда <tex>R_n = I - S_n</tex>, <tex>\|R_n\| \le \| I\| + \|S_n\| \le 1 + C</tex>.

Это значит, что нормы всех остаточных операторов <tex> R_n </tex> ограничены числом <tex>1 + C</tex>.

Пусть <tex>A : X \to X</tex> — компактный.

<tex>A = IA = S_n A + R_n A = A_1 + A_2</tex>.

<tex>R(A_1) \subset \mathcal L(e_1, \ldots, e_n)</tex>, то есть, для всех <tex>n</tex>, <tex>A_1</tex> — конечномерный оператор.

Докажем теперь вторую часть теоремы: покажем, что для всех <tex>\varepsilon > 0</tex> найдется <tex>n_0</tex> такое, что <tex>\|R_{n_0} A \| < \varepsilon</tex>.

Рассмотрим <tex>\overline V</tex> — единичный шар в <tex>X</tex>, <tex>M = A(\overline V)</tex> — относительно компактно, следовательно, для любого <tex>\varepsilon > 0</tex> есть конечная <tex>\varepsilon</tex>-сеть <tex>z_1, \ldots, z_p</tex>.

<tex>\forall y \in M \exists z_j:\ \|y - z_j\| < \varepsilon</tex>

<tex>\|R_n y\| = \|R_n y - R_n z_j + R_n z_j\| \le \|R_n\| \|y - z_j\| + \|R_n z_j\| \le (1 + C) \varepsilon + \|R_n z_j\|</tex>

<tex> \forall j = 1\ldots p, R_n z_j \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 </tex>, поэтому <tex> \exists N_j: \forall n > N_j : \|R_n z_j\| < \varepsilon </tex>.

Возьмем <tex> N = \max\limits_{j = 1\ldots p} N_j </tex>, тогда <tex> \forall n > N\ \forall j = 1\ldots p:\ \|R_n z_j \| < \varepsilon </tex>.

Значит, <tex>\|R_n y \| \le (2 + C) \varepsilon</tex>.

<tex>R_n(Ax) \stackrel{n \to \infty}{\rightrightarrows} 0</tex> на <tex> \overline V </tex>, так как <tex>R_n(y) \stackrel{n \to \infty}{\rightrightarrows} 0</tex> на <tex>M</tex> (из ограниченности <tex>\Rightarrow</tex> непрерывности <tex>R_n</tex> и <tex>\|R_n z_j \| < \varepsilon </tex>).

Получили <tex>\forall \varepsilon > 0 \exists n_0: \|R_{n_0} (Ax)\| < \varepsilon\ \forall x \in \overline{V}</tex>, то есть, <tex>\|R_{n_0}A\| < \varepsilon</tex>.

В итоге, примем <tex>A_1 = S_{n_0}A</tex>, <tex>A_2 = R_{n_0}A</tex>. <tex>A_1</tex> и <tex>A_2</tex> компактны как композиция компактного и огранниченного оператора.
}}

[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]

Теоретический минимум по функциональному анализу за 6 семестр

2013-06-12T09:35:36Z

Rybak:

== 1 A* и его ограниченность ==
Пусть оператор <tex> A </tex> действует из <tex> E </tex> в <tex> F </tex>, и функционал <tex> \varphi </tex> принадлежит <tex> F^* </tex>.

Рассмотрим <tex> f(x) = \varphi (Ax), | f(x) | \le \| \varphi \| \| A \| \| x \| </tex>.

Получили новый функционал <tex> f </tex>, принадлежащий <tex> E^* </tex>. <tex> \varphi \mapsto \varphi A </tex>.

<tex> \varphi A = A^* (\varphi), A^* : F^* \to E^* </tex>. <tex> A^* </tex> {{---}} '''сопряженный оператор''' к <tex> A </tex>.

{{Теорема
|statement=
Если <tex> A </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор, то <tex> \| A^* \| = \| A \| </tex>.
}}

== 2 Ортогональные дополнения <tex> E </tex> и <tex> E^* </tex> ==
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> E </tex> {{---}} НП, <tex> S \subset E^* </tex>.

<tex> S^{\bot} = \{ x \in E \mid \forall f \in S: f(x) = 0 \} </tex> {{---}} '''ортогональное дополнение''' <tex> S </tex>.

Аналогично, если <tex> T \subset E </tex>, то <tex> T^{\bot} = \{ f \in E^* \mid \forall x \in T: f(x) = 0 \} </tex>.
}}

{{Утверждение
|statement= <tex> \{ 0 \} = (E^*)^{\bot}, \{ \mathbf{0} \} = E^{\bot} </tex>.
}}

== 3 Ортогональное дополнение R(A) ==
{{Теорема
|statement= <tex> A \in \mathcal{L}(E,F) \implies \operatorname{Cl} R(A) = (\operatorname{Ker} A^*)^\perp </tex>.
}}

== 4 Ортогональное дополнение R(A*) ==
{{Теорема
|statement= <tex> A \in \mathcal{L}(E,F),~R(A) = \operatorname{Cl} R(A) \implies R(A^*) = (\operatorname{Ker}A )^\perp </tex>.
}}

== 5 Арифметика компактных операторов ==
{{Определение
|definition=
Множество называется '''относительно компактным (предкомпактным)''', если его замыкание компактно
}}
{{Определение
|definition=
Линейный ограниченный оператор <tex> A : X \to Y </tex> называется '''компактным''', если <tex> A </tex> переводит любое ограниченное подмножество <tex> X </tex> в относительно компактное множество из <tex> Y </tex>.
}}
{{Утверждение
|statement =
<tex> A \in \mathcal{L} (X,Y), ~ B \in \mathcal{L} (Y,Z) </tex>, <tex> C = B \cdot A </tex> (произведение, суперпозиция). Тогда:

# Если <tex> B </tex> — ограниченный, <tex> A </tex> — компактный, то <tex> C </tex> — компактный.
# Если <tex> B </tex> — компактный, <tex> A </tex> — ограниченный, то <tex> C </tex> — компактный.
}}

== 6 О компактности A*, сепарабельность R(A) ==

{{Утверждение
|statement =
Пусть <tex> A </tex> — компактный, тогда <tex> R(A) </tex> — сепарабельно (то есть, в <tex> R(A) </tex> существует счетное всюду плотное подмножество).
}}

{{Утверждение
|statement =
<tex>A</tex> — компактен <tex>\implies</tex> <tex>A^*</tex> — компактен
}}

== 7 Базис Шаудера, лемма о координатном пространстве ==
{{Определение
|definition=
Базисом Шаудера в банаховом пространстве <tex>X</tex> называется множество его элементов <tex>e_1, e_2 \dots e_n \dots</tex> такое, что у любого <tex>x</tex> в <tex>X</tex> существует единственное разложение <tex>x = \sum\limits_{i = 1}^{\infty} \alpha_i e_i</tex>.
}}

Определим <tex>F = \{(\alpha_1 \dots \alpha_n\dots) \mid \exists x \in X: \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_n e_n \to x \}</tex> — это линейное пространство.

Так как ряд сходится, <tex>F</tex> можно превратить в НП, определив норму как <tex>\| \alpha \| = \sup\limits_n \left\| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i\right\|</tex>.

{{Утверждение
|statement=
Пространство <tex> F </tex> относительно этой нормы — банахово.
}}

== 8 Почти конечномерность компактного оператора ==
{{Теорема
|about=
почти конечномерность компактного оператора
|statement=
Если <tex>X</tex> — банахово пространство с базисом Шаудера, <tex>A:X \to X</tex> — компактный, то для всех <tex>\varepsilon > 0</tex> существует разложение оператора <tex>A</tex> в сумму двух компактных операторов: <tex>A = A_1 + A_2</tex> такое, что:

# <tex>\operatorname{dim}(R(A_1)) < +\infty</tex>
# <tex>\|A_2\| < \varepsilon</tex>
}}

== 9 Размерность Ker(I-A) компактного A ==
{{Утверждение
|statement=
<tex>A</tex> {{---}} компактный оператор. Тогда <tex>\dim\operatorname{Ker}(I-A) < + \infty</tex>
}}

== 10 Замкнутость R(I-A) компактного A ==
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>T = I - A</tex>, <tex>A</tex> компактен, тогда <tex> R(T) </tex> замкнуто.
}}

== 11 Лемма о Ker(I-A)^n компактного A ==
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex> M_n = \operatorname{Ker} ((I - A)^n), n \in \mathbb N</tex>, <tex> A </tex> — компактный оператор.
Тогда <tex> \exists n_0: M_{n_0} = M_{n_0 + 1} </tex>.
}}

== 12 Условие справедливости равенства R(I-A)=E ==
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex> A </tex> — компактный оператор на банаховом <tex> X </tex>, <tex> T = I - A </tex>.
Тогда <tex> R(T) = X \iff \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>.
}}

== 13 Альтернатива Фредгольма-Шаудера ==
{{Теорема
|about=
альтернатива Фредгольма-Шаудера
|statement=
Пусть <tex>A:X \to X</tex> — компактный оператор и <tex>T = A - \lambda I</tex>. Тогда возможно только две ситуации:
# <tex>\operatorname{Ker} T = \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо для любого <tex>y</tex>
# <tex>\operatorname{Ker} T \ne \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо только для тех <tex>y</tex>, которые принадлежат <tex>(\operatorname{Ker} T^*)^\perp</tex>
}}

== 14 Спектр компактного оператора ==
Рассмотрим <tex>A - \lambda I</tex>.

# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) \ne \{0\}</tex>, тогда оператор необратим, и <tex>\lambda</tex> — собственное число, то есть <tex>\lambda \in \sigma(A)</tex>.
# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) = \{0\}</tex>, тогда по альтернативе, оператор непрерывно обратим, то есть <tex>\lambda \in \rho(A)</tex>.

Таким образом, спектр состоит из собственных чисел, и, возможно, нуля. Теперь изучим мощность спектра:

{{Теорема
|statement=
Спектр компактного оператора не более чем счётен и его предельной точкой может быть только 0.
}}

== 15 Определение самосопряженного оператора, неравенство для (a+ib)(I-A) ==
{{Определение
|definition=Оператор <tex>\mathcal{A}</tex> называется ''самосопряжённым'' (<tex>\mathcal{A} = \mathcal{A}^*</tex>), если <tex>\forall x, y : \langle \mathcal{A}x, y \rangle = \langle x, \mathcal{A}y \rangle</tex>
}}
<tex>\lambda \in \mathbb{C}</tex>, <tex>\lambda \mathcal{I} - \mathcal{A} = (\mu\mathcal{I} - \mathcal{A}) + i\nu\mathcal{I}</tex>

<tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\|</tex>

== 16 Вещественность спектра ограниченного самосопряженного оператора ==
{{Утверждение
|statement=Собственные числа самосопряжённого оператора вещественны
}}

== 17 Критерий включения в резольвентное множество ограниченного самосопряженного оператора ==
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор. Тогда
<tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A}) \iff \exists m > 0 : \forall x \in \mathcal{H} : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge m\|x\|</tex>
}}

== 18 Критерий включения в спектр ограниченного самосопряженного оператора ==
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор. Тогда
<tex>\lambda \in \sigma(\mathcal{A}) \iff \exists x_n : \|x_n\| = 1 : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x_n\| \to 0 </tex>
}}

== 19 Локализация спектра с.с. оператора посредством чисел m- и m+ ==
{{Определение
|definition=<tex>m_- = \inf\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x\rangle, m_+ = \sup\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x \rangle</tex>
}}
{{Теорема
|statement=1. <tex>\sigma(\mathcal{A}) \subset [m_-; m_+]</tex>

2. <tex>m_+, m_- \in \sigma(\mathcal{A})</tex>
}}

== 20 Спектральный радиус ограниченного самосопряженного оператора и его норма ==
{{Утверждение
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор, то <tex>r_\sigma(\mathcal{A}) = \|\mathcal{A}\|</tex>
}}

== 21 Теорема Гильберта-Шмидта ==
{{Теорема
|author=Гильберт, Шмидт
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве <tex>\mathcal{H}</tex>, а <tex>M_{\lambda_i}</tex>{{---}} его (оператора) собственные подпространства, то <tex>\mathcal{H} = M_{\lambda_1} \oplus M_{\lambda_2} \oplus \cdots \oplus M_{\lambda_n} \oplus \cdots </tex>
}}

== 22 Разложение резольвенты компактного самосопряженного оператора. ==
<tex>R_\lambda(y) = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\langle y, \varphi_n\rangle}{\lambda-\lambda_n}\varphi_n</tex>

== 23 Локальная сходимость метода простой итерации ==
{{Теорема
|about=Локальная теорема о простой итерации
|statement=
Пусть известно, что существует <tex> \overline{x}: \mathcal{T}(\overline{x}) = \overline{x} </tex> и <tex> \| \mathcal{T}(\overline{x})' \| \le q < 1 </tex>.

Тогда существует такой шар <tex> V_{\delta} (\overline x) </tex>, что если <tex> x_0 \in V_{\delta} (\overline x) </tex>, то:
* Метод простых итераций корректно определен: <tex> \mathcal{T}x_n \in V_{\delta} (\overline x), n \ge 0</tex>.
* <tex> x_n \to \overline x </tex>
}}

== 24 Локальная сходимость метода Ньютона для операторных уравнений ==
<tex> \mathcal{F}(x) = x - \Gamma(x) \mathcal{T} (x)</tex>
{{Утверждение
|statement=<tex> \mathcal{F}'(\overline x) = 0 </tex>
}}

== 25 Проекторы Шаудера ==
<tex> \forall \varepsilon > 0 \exists y_1 \in M, \hdots, y_p \in M </tex> {{---}} конечная <tex> \varepsilon </tex>-сеть.

Построим следующую функцию: <tex> \forall j = 1, \hdots, p, \forall y \in M: </tex>

<tex> \mu_j(y) = \begin{cases}
0 & \mbox{if } \| y - y_j \| \ge \varepsilon \\
\varepsilon - \| y - y_j \| & \mbox{if } \| y - y_j \| < \varepsilon \end{cases}
</tex>

<tex> S(y) = \sum\limits_{j=1}^p \mu_j(y) </tex>
{{Определение
|definition=

<tex dpi = 140> P_\varepsilon (y) = \sum\limits_{j=1}^p \frac {\mu_j(y)} {S(y)} y_j </tex> {{---}} ''проектор Шаудера''.

}}

== 26 Теорема Шаудера о неподвижной точке ==
{{Теорема
|author=Шаудер
|about=о неподвижной точке
|statement=
Пусть <tex> M </tex> {{---}} ограниченное замкнутое выпуклое подмножество B-пространства <tex> X </tex> и <tex> \mathcal{T} </tex> вполне непрерывно отображает <tex> M </tex> в себя.

Тогда <tex> \exists x^* \in M : x^* = Tx^* </tex>.
}}

[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]

Теоретический минимум по функциональному анализу за 6 семестр

2013-06-12T09:34:48Z

Rybak: /* 6 О компактности A*, сепарабельность R(A) */

== 1 A* и его ограниченность ==
Пусть оператор <tex> A </tex> действует из <tex> E </tex> в <tex> F </tex>, и функционал <tex> \varphi </tex> принадлежит <tex> F^* </tex>.

Рассмотрим <tex> f(x) = \varphi (Ax), | f(x) | \le \| \varphi \| \| A \| \| x \| </tex>.

Получили новый функционал <tex> f </tex>, принадлежащий <tex> E^* </tex>. <tex> \varphi \mapsto \varphi A </tex>.

<tex> \varphi A = A^* (\varphi), A^* : F^* \to E^* </tex>. <tex> A^* </tex> {{---}} '''сопряженный оператор''' к <tex> A </tex>.

{{Теорема
|statement=
Если <tex> A </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор, то <tex> \| A^* \| = \| A \| </tex>.
}}

== 2 Ортогональные дополнения <tex> E </tex> и <tex> E^* </tex> ==
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> E </tex> {{---}} НП, <tex> S \subset E^* </tex>.

<tex> S^{\bot} = \{ x \in E \mid \forall f \in S: f(x) = 0 \} </tex> {{---}} '''ортогональное дополнение''' <tex> S </tex>.

Аналогично, если <tex> T \subset E </tex>, то <tex> T^{\bot} = \{ f \in E^* \mid \forall x \in T: f(x) = 0 \} </tex>.
}}

{{Утверждение
|statement= <tex> \{ 0 \} = (E^*)^{\bot}, \{ \mathbf{0} \} = E^{\bot} </tex>.
}}

== 3 Ортогональное дополнение R(A) ==
{{Теорема
|statement= <tex> A \in \mathcal{L}(E,F) \implies \operatorname{Cl} R(A) = (\operatorname{Ker} A^*)^\perp </tex>.
}}

== 4 Ортогональное дополнение R(A*) ==
{{Теорема
|statement= <tex> A \in \mathcal{L}(E,F),~R(A) = \operatorname{Cl} R(A) \implies R(A^*) = (\operatorname{Ker}A )^\perp </tex>.
}}

== 5 Арифметика компактных операторов ==
{{Определение
|definition=
Множество называется '''относительно компактным (предкомпактным)''', если его замыкание компактно
}}
{{Определение
|definition=
Линейный ограниченный оператор <tex> A : X \to Y </tex> называется '''компактным''', если <tex> A </tex> переводит любое ограниченное подмножество <tex> X </tex> в относительно компактное множество из <tex> Y </tex>.
}}
{{Утверждение
|statement =
<tex> A \in \mathcal{L} (X,Y), ~ B \in \mathcal{L} (Y,Z) </tex>, <tex> C = B \cdot A </tex> (произведение, суперпозиция). Тогда:

# Если <tex> B </tex> — ограниченный, <tex> A </tex> — компактный, то <tex> C </tex> — компактный.
# Если <tex> B </tex> — компактный, <tex> A </tex> — ограниченный, то <tex> C </tex> — компактный.
}}

== 6 О компактности A*, сепарабельность R(A) ==

{{Утверждение
|statement =
Пусть <tex> A </tex> — компактный, тогда <tex> R(A) </tex> — сепарабельно (то есть, в <tex> R(A) </tex> существует счетное всюду плотное подмножество).
}}

{{Утверждение
|statement =
<tex>A</tex> — компактен <tex>\implies</tex> <tex>A^*</tex> — компактен
}}

== 7 Базис Шаудера, лемма о координатном пространстве ==
{{Определение
|definition=
Базисом Шаудера в банаховом пространстве <tex>X</tex> называется множество его элементов <tex>e_1, e_2 \dots e_n \dots</tex> такое, что у любого <tex>x</tex> в <tex>X</tex> существует единственное разложение <tex>x = \sum\limits_{i = 1}^{\infty} \alpha_i e_i</tex>.
}}

Определим <tex>F = \{(\alpha_1 \dots \alpha_n\dots) \mid \exists x \in X: \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_n e_n \to x \}</tex> — это линейное пространство.

Так как ряд сходится, <tex>F</tex> можно превратить в НП, определив норму как <tex>\| \alpha \| = \sup\limits_n \left\| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i\right\|</tex>.

{{Утверждение
|statement=
Пространство <tex> F </tex> относительно этой нормы — банахово.
}}

== 8 Почти конечномерность компактного оператора ==
{{Теорема
|about=
почти конечномерность компактного оператора
|statement=
Если <tex>X</tex> — банахово пространство с базисом Шаудера, <tex>A:X \to X</tex> — компактный, то для всех <tex>\varepsilon > 0</tex> существует разложение оператора <tex>A</tex> в сумму двух компактных операторов: <tex>A = A_1 + A_2</tex> такое, что:

# <tex>\operatorname{dim}(R(A_1)) < +\infty</tex>
# <tex>\|A_2\| < \varepsilon</tex>
}}

== 9 Размерность Ker(I-A) компактного A ==
{{Утверждение
|statement=
<tex>A</tex> {{---}} компактный оператор. Тогда <tex>\dim\operatorname{Ker}(I-A) < + \infty</tex>
}}

== 10 Замкнутость R(I-A) компактного A ==
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>T = I - A</tex>, <tex>A</tex> компактен, тогда <tex> R(T) </tex> замкнуто.
}}

== 11 Лемма о Ker(I-A)^n компактного A ==
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex> M_n = \operatorname{Ker} ((I - A)^n), n \in \mathbb N</tex>, <tex> A </tex> — компактный оператор.
Тогда <tex> \exists n_0: M_{n_0} = M_{n_0 + 1} </tex>.
}}

== 12 Условие справедливости равенства R(I-A)=E ==
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex> A </tex> — компактный оператор на банаховом <tex> X </tex>, <tex> T = I - A </tex>.
Тогда <tex> R(T) = X \Leftrightarrow \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>.
}}

== 13 Альтернатива Фредгольма-Шаудера ==
{{Теорема
|about=
альтернатива Фредгольма-Шаудера
|statement=
Пусть <tex>A:X \to X</tex> — компактный оператор и <tex>T = A - \lambda I</tex>. Тогда возможно только две ситуации:
# <tex>\operatorname{Ker} T = \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо для любого <tex>y</tex>
# <tex>\operatorname{Ker} T \ne \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо только для тех <tex>y</tex>, которые принадлежат <tex>(\operatorname{Ker} T^*)^\perp</tex>
}}

== 14 Спектр компактного оператора ==
Рассмотрим <tex>A - \lambda I</tex>.

# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) \ne \{0\}</tex>, тогда оператор необратим, и <tex>\lambda</tex> — собственное число, то есть <tex>\lambda \in \sigma(A)</tex>.
# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) = \{0\}</tex>, тогда по альтернативе, оператор непрерывно обратим, то есть <tex>\lambda \in \rho(A)</tex>.

Таким образом, спектр состоит из собственных чисел, и, возможно, нуля. Теперь изучим мощность спектра:

{{Теорема
|statement=
Спектр компактного оператора не более чем счётен и его предельной точкой может быть только 0.
}}

== 15 Определение самосопряженного оператора, неравенство для (a+ib)(I-A) ==
{{Определение
|definition=Оператор <tex>\mathcal{A}</tex> называется ''самосопряжённым'' (<tex>\mathcal{A} = \mathcal{A}^*</tex>), если <tex>\forall x, y : \langle \mathcal{A}x, y \rangle = \langle x, \mathcal{A}y \rangle</tex>
}}
<tex>\lambda \in \mathbb{C}</tex>, <tex>\lambda \mathcal{I} - \mathcal{A} = (\mu\mathcal{I} - \mathcal{A}) + i\nu\mathcal{I}</tex>

<tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\|</tex>

== 16 Вещественность спектра ограниченного самосопряженного оператора ==
{{Утверждение
|statement=Собственные числа самосопряжённого оператора вещественны
}}

== 17 Критерий включения в резольвентное множество ограниченного самосопряженного оператора ==
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор. Тогда
<tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A}) \iff \exists m > 0 : \forall x \in \mathcal{H} : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge m\|x\|</tex>
}}

== 18 Критерий включения в спектр ограниченного самосопряженного оператора ==
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор. Тогда
<tex>\lambda \in \sigma(\mathcal{A}) \iff \exists x_n : \|x_n\| = 1 : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x_n\| \to 0 </tex>
}}

== 19 Локализация спектра с.с. оператора посредством чисел m- и m+ ==
{{Определение
|definition=<tex>m_- = \inf\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x\rangle, m_+ = \sup\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x \rangle</tex>
}}
{{Теорема
|statement=1. <tex>\sigma(\mathcal{A}) \subset [m_-; m_+]</tex>

2. <tex>m_+, m_- \in \sigma(\mathcal{A})</tex>
}}

== 20 Спектральный радиус ограниченного самосопряженного оператора и его норма ==
{{Утверждение
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор, то <tex>r_\sigma(\mathcal{A}) = \|\mathcal{A}\|</tex>
}}

== 21 Теорема Гильберта-Шмидта ==
{{Теорема
|author=Гильберт, Шмидт
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве <tex>\mathcal{H}</tex>, а <tex>M_{\lambda_i}</tex>{{---}} его (оператора) собственные подпространства, то <tex>\mathcal{H} = M_{\lambda_1} \oplus M_{\lambda_2} \oplus \cdots \oplus M_{\lambda_n} \oplus \cdots </tex>
}}

== 22 Разложение резольвенты компактного самосопряженного оператора. ==
<tex>R_\lambda(y) = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\langle y, \varphi_n\rangle}{\lambda-\lambda_n}\varphi_n</tex>

== 23 Локальная сходимость метода простой итерации ==
{{Теорема
|about=Локальная теорема о простой итерации
|statement=
Пусть известно, что существует <tex> \overline{x}: \mathcal{T}(\overline{x}) = \overline{x} </tex> и <tex> \| \mathcal{T}(\overline{x})' \| \le q < 1 </tex>.

Тогда существует такой шар <tex> V_{\delta} (\overline x) </tex>, что если <tex> x_0 \in V_{\delta} (\overline x) </tex>, то:
* Метод простых итераций корректно определен: <tex> \mathcal{T}x_n \in V_{\delta} (\overline x), n \ge 0</tex>.
* <tex> x_n \to \overline x </tex>
}}

== 24 Локальная сходимость метода Ньютона для операторных уравнений ==
<tex> \mathcal{F}(x) = x - \Gamma(x) \mathcal{T} (x)</tex>
{{Утверждение
|statement=<tex> \mathcal{F}'(\overline x) = 0 </tex>
}}

== 25 Проекторы Шаудера ==
<tex> \forall \varepsilon > 0 \exists y_1 \in M, \hdots, y_p \in M </tex> {{---}} конечная <tex> \varepsilon </tex>-сеть.

Построим следующую функцию: <tex> \forall j = 1, \hdots, p, \forall y \in M: </tex>

<tex> \mu_j(y) = \begin{cases}
0 & \mbox{if } \| y - y_j \| \ge \varepsilon \\
\varepsilon - \| y - y_j \| & \mbox{if } \| y - y_j \| < \varepsilon \end{cases}
</tex>

<tex> S(y) = \sum\limits_{j=1}^p \mu_j(y) </tex>
{{Определение
|definition=

<tex dpi = 140> P_\varepsilon (y) = \sum\limits_{j=1}^p \frac {\mu_j(y)} {S(y)} y_j </tex> {{---}} ''проектор Шаудера''.

}}

== 26 Теорема Шаудера о неподвижной точке ==
{{Теорема
|author=Шаудер
|about=о неподвижной точке
|statement=
Пусть <tex> M </tex> {{---}} ограниченное замкнутое выпуклое подмножество B-пространства <tex> X </tex> и <tex> \mathcal{T} </tex> вполне непрерывно отображает <tex> M </tex> в себя.

Тогда <tex> \exists x^* \in M : x^* = Tx^* </tex>.
}}

[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]

Теоретический минимум по функциональному анализу за 6 семестр

2013-06-12T09:34:33Z

Rybak: /* 6 О компактности A^* , сепарабельность R(A) */

== 1 A* и его ограниченность ==
Пусть оператор <tex> A </tex> действует из <tex> E </tex> в <tex> F </tex>, и функционал <tex> \varphi </tex> принадлежит <tex> F^* </tex>.

Рассмотрим <tex> f(x) = \varphi (Ax), | f(x) | \le \| \varphi \| \| A \| \| x \| </tex>.

Получили новый функционал <tex> f </tex>, принадлежащий <tex> E^* </tex>. <tex> \varphi \mapsto \varphi A </tex>.

<tex> \varphi A = A^* (\varphi), A^* : F^* \to E^* </tex>. <tex> A^* </tex> {{---}} '''сопряженный оператор''' к <tex> A </tex>.

{{Теорема
|statement=
Если <tex> A </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор, то <tex> \| A^* \| = \| A \| </tex>.
}}

== 2 Ортогональные дополнения <tex> E </tex> и <tex> E^* </tex> ==
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> E </tex> {{---}} НП, <tex> S \subset E^* </tex>.

<tex> S^{\bot} = \{ x \in E \mid \forall f \in S: f(x) = 0 \} </tex> {{---}} '''ортогональное дополнение''' <tex> S </tex>.

Аналогично, если <tex> T \subset E </tex>, то <tex> T^{\bot} = \{ f \in E^* \mid \forall x \in T: f(x) = 0 \} </tex>.
}}

{{Утверждение
|statement= <tex> \{ 0 \} = (E^*)^{\bot}, \{ \mathbf{0} \} = E^{\bot} </tex>.
}}

== 3 Ортогональное дополнение R(A) ==
{{Теорема
|statement= <tex> A \in \mathcal{L}(E,F) \implies \operatorname{Cl} R(A) = (\operatorname{Ker} A^*)^\perp </tex>.
}}

== 4 Ортогональное дополнение R(A*) ==
{{Теорема
|statement= <tex> A \in \mathcal{L}(E,F),~R(A) = \operatorname{Cl} R(A) \implies R(A^*) = (\operatorname{Ker}A )^\perp </tex>.
}}

== 5 Арифметика компактных операторов ==
{{Определение
|definition=
Множество называется '''относительно компактным (предкомпактным)''', если его замыкание компактно
}}
{{Определение
|definition=
Линейный ограниченный оператор <tex> A : X \to Y </tex> называется '''компактным''', если <tex> A </tex> переводит любое ограниченное подмножество <tex> X </tex> в относительно компактное множество из <tex> Y </tex>.
}}
{{Утверждение
|statement =
<tex> A \in \mathcal{L} (X,Y), ~ B \in \mathcal{L} (Y,Z) </tex>, <tex> C = B \cdot A </tex> (произведение, суперпозиция). Тогда:

# Если <tex> B </tex> — ограниченный, <tex> A </tex> — компактный, то <tex> C </tex> — компактный.
# Если <tex> B </tex> — компактный, <tex> A </tex> — ограниченный, то <tex> C </tex> — компактный.
}}

== 6 О компактности A*, сепарабельность R(A) ==

{{Утверждение
|statement =
Пусть <tex> A </tex> — компактный, тогда <tex> R(A) </tex> — сепарабельно (то есть, в <tex> R(A) </tex> существует счетное всюду плотное подмножество).
}}

{{Утверждение
|statement =
<tex>A</tex> — компактен <tex>\Rightarrow</tex> <tex>A^*</tex> — компактен
}}

== 7 Базис Шаудера, лемма о координатном пространстве ==
{{Определение
|definition=
Базисом Шаудера в банаховом пространстве <tex>X</tex> называется множество его элементов <tex>e_1, e_2 \dots e_n \dots</tex> такое, что у любого <tex>x</tex> в <tex>X</tex> существует единственное разложение <tex>x = \sum\limits_{i = 1}^{\infty} \alpha_i e_i</tex>.
}}

Определим <tex>F = \{(\alpha_1 \dots \alpha_n\dots) \mid \exists x \in X: \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_n e_n \to x \}</tex> — это линейное пространство.

Так как ряд сходится, <tex>F</tex> можно превратить в НП, определив норму как <tex>\| \alpha \| = \sup\limits_n \left\| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i\right\|</tex>.

{{Утверждение
|statement=
Пространство <tex> F </tex> относительно этой нормы — банахово.
}}

== 8 Почти конечномерность компактного оператора ==
{{Теорема
|about=
почти конечномерность компактного оператора
|statement=
Если <tex>X</tex> — банахово пространство с базисом Шаудера, <tex>A:X \to X</tex> — компактный, то для всех <tex>\varepsilon > 0</tex> существует разложение оператора <tex>A</tex> в сумму двух компактных операторов: <tex>A = A_1 + A_2</tex> такое, что:

# <tex>\operatorname{dim}(R(A_1)) < +\infty</tex>
# <tex>\|A_2\| < \varepsilon</tex>
}}

== 9 Размерность Ker(I-A) компактного A ==
{{Утверждение
|statement=
<tex>A</tex> {{---}} компактный оператор. Тогда <tex>\dim\operatorname{Ker}(I-A) < + \infty</tex>
}}

== 10 Замкнутость R(I-A) компактного A ==
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>T = I - A</tex>, <tex>A</tex> компактен, тогда <tex> R(T) </tex> замкнуто.
}}

== 11 Лемма о Ker(I-A)^n компактного A ==
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex> M_n = \operatorname{Ker} ((I - A)^n), n \in \mathbb N</tex>, <tex> A </tex> — компактный оператор.
Тогда <tex> \exists n_0: M_{n_0} = M_{n_0 + 1} </tex>.
}}

== 12 Условие справедливости равенства R(I-A)=E ==
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex> A </tex> — компактный оператор на банаховом <tex> X </tex>, <tex> T = I - A </tex>.
Тогда <tex> R(T) = X \Leftrightarrow \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>.
}}

== 13 Альтернатива Фредгольма-Шаудера ==
{{Теорема
|about=
альтернатива Фредгольма-Шаудера
|statement=
Пусть <tex>A:X \to X</tex> — компактный оператор и <tex>T = A - \lambda I</tex>. Тогда возможно только две ситуации:
# <tex>\operatorname{Ker} T = \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо для любого <tex>y</tex>
# <tex>\operatorname{Ker} T \ne \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо только для тех <tex>y</tex>, которые принадлежат <tex>(\operatorname{Ker} T^*)^\perp</tex>
}}

== 14 Спектр компактного оператора ==
Рассмотрим <tex>A - \lambda I</tex>.

# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) \ne \{0\}</tex>, тогда оператор необратим, и <tex>\lambda</tex> — собственное число, то есть <tex>\lambda \in \sigma(A)</tex>.
# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) = \{0\}</tex>, тогда по альтернативе, оператор непрерывно обратим, то есть <tex>\lambda \in \rho(A)</tex>.

Таким образом, спектр состоит из собственных чисел, и, возможно, нуля. Теперь изучим мощность спектра:

{{Теорема
|statement=
Спектр компактного оператора не более чем счётен и его предельной точкой может быть только 0.
}}

== 15 Определение самосопряженного оператора, неравенство для (a+ib)(I-A) ==
{{Определение
|definition=Оператор <tex>\mathcal{A}</tex> называется ''самосопряжённым'' (<tex>\mathcal{A} = \mathcal{A}^*</tex>), если <tex>\forall x, y : \langle \mathcal{A}x, y \rangle = \langle x, \mathcal{A}y \rangle</tex>
}}
<tex>\lambda \in \mathbb{C}</tex>, <tex>\lambda \mathcal{I} - \mathcal{A} = (\mu\mathcal{I} - \mathcal{A}) + i\nu\mathcal{I}</tex>

<tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\|</tex>

== 16 Вещественность спектра ограниченного самосопряженного оператора ==
{{Утверждение
|statement=Собственные числа самосопряжённого оператора вещественны
}}

== 17 Критерий включения в резольвентное множество ограниченного самосопряженного оператора ==
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор. Тогда
<tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A}) \iff \exists m > 0 : \forall x \in \mathcal{H} : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge m\|x\|</tex>
}}

== 18 Критерий включения в спектр ограниченного самосопряженного оператора ==
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор. Тогда
<tex>\lambda \in \sigma(\mathcal{A}) \iff \exists x_n : \|x_n\| = 1 : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x_n\| \to 0 </tex>
}}

== 19 Локализация спектра с.с. оператора посредством чисел m- и m+ ==
{{Определение
|definition=<tex>m_- = \inf\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x\rangle, m_+ = \sup\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x \rangle</tex>
}}
{{Теорема
|statement=1. <tex>\sigma(\mathcal{A}) \subset [m_-; m_+]</tex>

2. <tex>m_+, m_- \in \sigma(\mathcal{A})</tex>
}}

== 20 Спектральный радиус ограниченного самосопряженного оператора и его норма ==
{{Утверждение
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор, то <tex>r_\sigma(\mathcal{A}) = \|\mathcal{A}\|</tex>
}}

== 21 Теорема Гильберта-Шмидта ==
{{Теорема
|author=Гильберт, Шмидт
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве <tex>\mathcal{H}</tex>, а <tex>M_{\lambda_i}</tex>{{---}} его (оператора) собственные подпространства, то <tex>\mathcal{H} = M_{\lambda_1} \oplus M_{\lambda_2} \oplus \cdots \oplus M_{\lambda_n} \oplus \cdots </tex>
}}

== 22 Разложение резольвенты компактного самосопряженного оператора. ==
<tex>R_\lambda(y) = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\langle y, \varphi_n\rangle}{\lambda-\lambda_n}\varphi_n</tex>

== 23 Локальная сходимость метода простой итерации ==
{{Теорема
|about=Локальная теорема о простой итерации
|statement=
Пусть известно, что существует <tex> \overline{x}: \mathcal{T}(\overline{x}) = \overline{x} </tex> и <tex> \| \mathcal{T}(\overline{x})' \| \le q < 1 </tex>.

Тогда существует такой шар <tex> V_{\delta} (\overline x) </tex>, что если <tex> x_0 \in V_{\delta} (\overline x) </tex>, то:
* Метод простых итераций корректно определен: <tex> \mathcal{T}x_n \in V_{\delta} (\overline x), n \ge 0</tex>.
* <tex> x_n \to \overline x </tex>
}}

== 24 Локальная сходимость метода Ньютона для операторных уравнений ==
<tex> \mathcal{F}(x) = x - \Gamma(x) \mathcal{T} (x)</tex>
{{Утверждение
|statement=<tex> \mathcal{F}'(\overline x) = 0 </tex>
}}

== 25 Проекторы Шаудера ==
<tex> \forall \varepsilon > 0 \exists y_1 \in M, \hdots, y_p \in M </tex> {{---}} конечная <tex> \varepsilon </tex>-сеть.

Построим следующую функцию: <tex> \forall j = 1, \hdots, p, \forall y \in M: </tex>

<tex> \mu_j(y) = \begin{cases}
0 & \mbox{if } \| y - y_j \| \ge \varepsilon \\
\varepsilon - \| y - y_j \| & \mbox{if } \| y - y_j \| < \varepsilon \end{cases}
</tex>

<tex> S(y) = \sum\limits_{j=1}^p \mu_j(y) </tex>
{{Определение
|definition=

<tex dpi = 140> P_\varepsilon (y) = \sum\limits_{j=1}^p \frac {\mu_j(y)} {S(y)} y_j </tex> {{---}} ''проектор Шаудера''.

}}

== 26 Теорема Шаудера о неподвижной точке ==
{{Теорема
|author=Шаудер
|about=о неподвижной точке
|statement=
Пусть <tex> M </tex> {{---}} ограниченное замкнутое выпуклое подмножество B-пространства <tex> X </tex> и <tex> \mathcal{T} </tex> вполне непрерывно отображает <tex> M </tex> в себя.

Тогда <tex> \exists x^* \in M : x^* = Tx^* </tex>.
}}

[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]

Теоретический минимум по функциональному анализу за 6 семестр

2013-06-12T09:33:37Z

Rybak: /* 4 Ортогональное дополнение R(A^*) */

== 1 A* и его ограниченность ==
Пусть оператор <tex> A </tex> действует из <tex> E </tex> в <tex> F </tex>, и функционал <tex> \varphi </tex> принадлежит <tex> F^* </tex>.

Рассмотрим <tex> f(x) = \varphi (Ax), | f(x) | \le \| \varphi \| \| A \| \| x \| </tex>.

Получили новый функционал <tex> f </tex>, принадлежащий <tex> E^* </tex>. <tex> \varphi \mapsto \varphi A </tex>.

<tex> \varphi A = A^* (\varphi), A^* : F^* \to E^* </tex>. <tex> A^* </tex> {{---}} '''сопряженный оператор''' к <tex> A </tex>.

{{Теорема
|statement=
Если <tex> A </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор, то <tex> \| A^* \| = \| A \| </tex>.
}}

== 2 Ортогональные дополнения <tex> E </tex> и <tex> E^* </tex> ==
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> E </tex> {{---}} НП, <tex> S \subset E^* </tex>.

<tex> S^{\bot} = \{ x \in E \mid \forall f \in S: f(x) = 0 \} </tex> {{---}} '''ортогональное дополнение''' <tex> S </tex>.

Аналогично, если <tex> T \subset E </tex>, то <tex> T^{\bot} = \{ f \in E^* \mid \forall x \in T: f(x) = 0 \} </tex>.
}}

{{Утверждение
|statement= <tex> \{ 0 \} = (E^*)^{\bot}, \{ \mathbf{0} \} = E^{\bot} </tex>.
}}

== 3 Ортогональное дополнение R(A) ==
{{Теорема
|statement= <tex> A \in \mathcal{L}(E,F) \implies \operatorname{Cl} R(A) = (\operatorname{Ker} A^*)^\perp </tex>.
}}

== 4 Ортогональное дополнение R(A*) ==
{{Теорема
|statement= <tex> A \in \mathcal{L}(E,F),~R(A) = \operatorname{Cl} R(A) \implies R(A^*) = (\operatorname{Ker}A )^\perp </tex>.
}}

== 5 Арифметика компактных операторов ==
{{Определение
|definition=
Множество называется '''относительно компактным (предкомпактным)''', если его замыкание компактно
}}
{{Определение
|definition=
Линейный ограниченный оператор <tex> A : X \to Y </tex> называется '''компактным''', если <tex> A </tex> переводит любое ограниченное подмножество <tex> X </tex> в относительно компактное множество из <tex> Y </tex>.
}}
{{Утверждение
|statement =
<tex> A \in \mathcal{L} (X,Y), ~ B \in \mathcal{L} (Y,Z) </tex>, <tex> C = B \cdot A </tex> (произведение, суперпозиция). Тогда:

# Если <tex> B </tex> — ограниченный, <tex> A </tex> — компактный, то <tex> C </tex> — компактный.
# Если <tex> B </tex> — компактный, <tex> A </tex> — ограниченный, то <tex> C </tex> — компактный.
}}

== 6 О компактности <tex> A^* </tex>, сепарабельность <tex> R(A) </tex> ==

{{Утверждение
|statement =
Пусть <tex> A </tex> — компактный, тогда <tex> R(A) </tex> — сепарабельно (то есть, в <tex> R(A) </tex> существует счетное всюду плотное подмножество).
}}

{{Утверждение
|statement =
<tex>A</tex> - компактен <tex>\Rightarrow</tex> <tex>A^*</tex> - компактен
}}

== 7 Базис Шаудера, лемма о координатном пространстве ==
{{Определение
|definition=
Базисом Шаудера в банаховом пространстве <tex>X</tex> называется множество его элементов <tex>e_1, e_2 \dots e_n \dots</tex> такое, что у любого <tex>x</tex> в <tex>X</tex> существует единственное разложение <tex>x = \sum\limits_{i = 1}^{\infty} \alpha_i e_i</tex>.
}}

Определим <tex>F = \{(\alpha_1 \dots \alpha_n\dots) \mid \exists x \in X: \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_n e_n \to x \}</tex> — это линейное пространство.

Так как ряд сходится, <tex>F</tex> можно превратить в НП, определив норму как <tex>\| \alpha \| = \sup\limits_n \left\| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i\right\|</tex>.

{{Утверждение
|statement=
Пространство <tex> F </tex> относительно этой нормы — банахово.
}}

== 8 Почти конечномерность компактного оператора ==
{{Теорема
|about=
почти конечномерность компактного оператора
|statement=
Если <tex>X</tex> — банахово пространство с базисом Шаудера, <tex>A:X \to X</tex> — компактный, то для всех <tex>\varepsilon > 0</tex> существует разложение оператора <tex>A</tex> в сумму двух компактных операторов: <tex>A = A_1 + A_2</tex> такое, что:

# <tex>\operatorname{dim}(R(A_1)) < +\infty</tex>
# <tex>\|A_2\| < \varepsilon</tex>
}}

== 9 Размерность Ker(I-A) компактного A ==
{{Утверждение
|statement=
<tex>A</tex> {{---}} компактный оператор. Тогда <tex>\dim\operatorname{Ker}(I-A) < + \infty</tex>
}}

== 10 Замкнутость R(I-A) компактного A ==
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>T = I - A</tex>, <tex>A</tex> компактен, тогда <tex> R(T) </tex> замкнуто.
}}

== 11 Лемма о Ker(I-A)^n компактного A ==
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex> M_n = \operatorname{Ker} ((I - A)^n), n \in \mathbb N</tex>, <tex> A </tex> — компактный оператор.
Тогда <tex> \exists n_0: M_{n_0} = M_{n_0 + 1} </tex>.
}}

== 12 Условие справедливости равенства R(I-A)=E ==
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex> A </tex> — компактный оператор на банаховом <tex> X </tex>, <tex> T = I - A </tex>.
Тогда <tex> R(T) = X \Leftrightarrow \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>.
}}

== 13 Альтернатива Фредгольма-Шаудера ==
{{Теорема
|about=
альтернатива Фредгольма-Шаудера
|statement=
Пусть <tex>A:X \to X</tex> — компактный оператор и <tex>T = A - \lambda I</tex>. Тогда возможно только две ситуации:
# <tex>\operatorname{Ker} T = \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо для любого <tex>y</tex>
# <tex>\operatorname{Ker} T \ne \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо только для тех <tex>y</tex>, которые принадлежат <tex>(\operatorname{Ker} T^*)^\perp</tex>
}}

== 14 Спектр компактного оператора ==
Рассмотрим <tex>A - \lambda I</tex>.

# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) \ne \{0\}</tex>, тогда оператор необратим, и <tex>\lambda</tex> — собственное число, то есть <tex>\lambda \in \sigma(A)</tex>.
# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) = \{0\}</tex>, тогда по альтернативе, оператор непрерывно обратим, то есть <tex>\lambda \in \rho(A)</tex>.

Таким образом, спектр состоит из собственных чисел, и, возможно, нуля. Теперь изучим мощность спектра:

{{Теорема
|statement=
Спектр компактного оператора не более чем счётен и его предельной точкой может быть только 0.
}}

== 15 Определение самосопряженного оператора, неравенство для (a+ib)(I-A) ==
{{Определение
|definition=Оператор <tex>\mathcal{A}</tex> называется ''самосопряжённым'' (<tex>\mathcal{A} = \mathcal{A}^*</tex>), если <tex>\forall x, y : \langle \mathcal{A}x, y \rangle = \langle x, \mathcal{A}y \rangle</tex>
}}
<tex>\lambda \in \mathbb{C}</tex>, <tex>\lambda \mathcal{I} - \mathcal{A} = (\mu\mathcal{I} - \mathcal{A}) + i\nu\mathcal{I}</tex>

<tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\|</tex>

== 16 Вещественность спектра ограниченного самосопряженного оператора ==
{{Утверждение
|statement=Собственные числа самосопряжённого оператора вещественны
}}

== 17 Критерий включения в резольвентное множество ограниченного самосопряженного оператора ==
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор. Тогда
<tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A}) \iff \exists m > 0 : \forall x \in \mathcal{H} : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge m\|x\|</tex>
}}

== 18 Критерий включения в спектр ограниченного самосопряженного оператора ==
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор. Тогда
<tex>\lambda \in \sigma(\mathcal{A}) \iff \exists x_n : \|x_n\| = 1 : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x_n\| \to 0 </tex>
}}

== 19 Локализация спектра с.с. оператора посредством чисел m- и m+ ==
{{Определение
|definition=<tex>m_- = \inf\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x\rangle, m_+ = \sup\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x \rangle</tex>
}}
{{Теорема
|statement=1. <tex>\sigma(\mathcal{A}) \subset [m_-; m_+]</tex>

2. <tex>m_+, m_- \in \sigma(\mathcal{A})</tex>
}}

== 20 Спектральный радиус ограниченного самосопряженного оператора и его норма ==
{{Утверждение
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор, то <tex>r_\sigma(\mathcal{A}) = \|\mathcal{A}\|</tex>
}}

== 21 Теорема Гильберта-Шмидта ==
{{Теорема
|author=Гильберт, Шмидт
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве <tex>\mathcal{H}</tex>, а <tex>M_{\lambda_i}</tex>{{---}} его (оператора) собственные подпространства, то <tex>\mathcal{H} = M_{\lambda_1} \oplus M_{\lambda_2} \oplus \cdots \oplus M_{\lambda_n} \oplus \cdots </tex>
}}

== 22 Разложение резольвенты компактного самосопряженного оператора. ==
<tex>R_\lambda(y) = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\langle y, \varphi_n\rangle}{\lambda-\lambda_n}\varphi_n</tex>

== 23 Локальная сходимость метода простой итерации ==
{{Теорема
|about=Локальная теорема о простой итерации
|statement=
Пусть известно, что существует <tex> \overline{x}: \mathcal{T}(\overline{x}) = \overline{x} </tex> и <tex> \| \mathcal{T}(\overline{x})' \| \le q < 1 </tex>.

Тогда существует такой шар <tex> V_{\delta} (\overline x) </tex>, что если <tex> x_0 \in V_{\delta} (\overline x) </tex>, то:
* Метод простых итераций корректно определен: <tex> \mathcal{T}x_n \in V_{\delta} (\overline x), n \ge 0</tex>.
* <tex> x_n \to \overline x </tex>
}}

== 24 Локальная сходимость метода Ньютона для операторных уравнений ==
<tex> \mathcal{F}(x) = x - \Gamma(x) \mathcal{T} (x)</tex>
{{Утверждение
|statement=<tex> \mathcal{F}'(\overline x) = 0 </tex>
}}

== 25 Проекторы Шаудера ==
<tex> \forall \varepsilon > 0 \exists y_1 \in M, \hdots, y_p \in M </tex> {{---}} конечная <tex> \varepsilon </tex>-сеть.

Построим следующую функцию: <tex> \forall j = 1, \hdots, p, \forall y \in M: </tex>

<tex> \mu_j(y) = \begin{cases}
0 & \mbox{if } \| y - y_j \| \ge \varepsilon \\
\varepsilon - \| y - y_j \| & \mbox{if } \| y - y_j \| < \varepsilon \end{cases}
</tex>

<tex> S(y) = \sum\limits_{j=1}^p \mu_j(y) </tex>
{{Определение
|definition=

<tex dpi = 140> P_\varepsilon (y) = \sum\limits_{j=1}^p \frac {\mu_j(y)} {S(y)} y_j </tex> {{---}} ''проектор Шаудера''.

}}

== 26 Теорема Шаудера о неподвижной точке ==
{{Теорема
|author=Шаудер
|about=о неподвижной точке
|statement=
Пусть <tex> M </tex> {{---}} ограниченное замкнутое выпуклое подмножество B-пространства <tex> X </tex> и <tex> \mathcal{T} </tex> вполне непрерывно отображает <tex> M </tex> в себя.

Тогда <tex> \exists x^* \in M : x^* = Tx^* </tex>.
}}

[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]

Теоретический минимум по функциональному анализу за 6 семестр

2013-06-12T09:32:04Z

Rybak:

== 1 A* и его ограниченность ==
Пусть оператор <tex> A </tex> действует из <tex> E </tex> в <tex> F </tex>, и функционал <tex> \varphi </tex> принадлежит <tex> F^* </tex>.

Рассмотрим <tex> f(x) = \varphi (Ax), | f(x) | \le \| \varphi \| \| A \| \| x \| </tex>.

Получили новый функционал <tex> f </tex>, принадлежащий <tex> E^* </tex>. <tex> \varphi \mapsto \varphi A </tex>.

<tex> \varphi A = A^* (\varphi), A^* : F^* \to E^* </tex>. <tex> A^* </tex> {{---}} '''сопряженный оператор''' к <tex> A </tex>.

{{Теорема
|statement=
Если <tex> A </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор, то <tex> \| A^* \| = \| A \| </tex>.
}}

== 2 Ортогональные дополнения <tex> E </tex> и <tex> E^* </tex> ==
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> E </tex> {{---}} НП, <tex> S \subset E^* </tex>.

<tex> S^{\bot} = \{ x \in E \mid \forall f \in S: f(x) = 0 \} </tex> {{---}} '''ортогональное дополнение''' <tex> S </tex>.

Аналогично, если <tex> T \subset E </tex>, то <tex> T^{\bot} = \{ f \in E^* \mid \forall x \in T: f(x) = 0 \} </tex>.
}}

{{Утверждение
|statement= <tex> \{ 0 \} = (E^*)^{\bot}, \{ \mathbf{0} \} = E^{\bot} </tex>.
}}

== 3 Ортогональное дополнение R(A) ==
{{Теорема
|statement= <tex> A \in \mathcal{L}(E,F) \implies \operatorname{Cl} R(A) = (\operatorname{Ker} A^*)^\perp </tex>.
}}

== 4 Ортогональное дополнение <tex> R(A^*) </tex> ==
{{Теорема
|statement= <tex> A \in \mathcal{L}(E,F),~R(A) = \operatorname{Cl} R(A) \implies R(A^*) = (\operatorname{Ker}A )^\perp </tex>.
}}

== 5 Арифметика компактных операторов ==
{{Определение
|definition=
Множество называется '''относительно компактным (предкомпактным)''', если его замыкание компактно
}}
{{Определение
|definition=
Линейный ограниченный оператор <tex> A : X \to Y </tex> называется '''компактным''', если <tex> A </tex> переводит любое ограниченное подмножество <tex> X </tex> в относительно компактное множество из <tex> Y </tex>.
}}
{{Утверждение
|statement =
<tex> A \in \mathcal{L} (X,Y), ~ B \in \mathcal{L} (Y,Z) </tex>, <tex> C = B \cdot A </tex> (произведение, суперпозиция). Тогда:

# Если <tex> B </tex> — ограниченный, <tex> A </tex> — компактный, то <tex> C </tex> — компактный.
# Если <tex> B </tex> — компактный, <tex> A </tex> — ограниченный, то <tex> C </tex> — компактный.
}}

== 6 О компактности <tex> A^* </tex>, сепарабельность <tex> R(A) </tex> ==

{{Утверждение
|statement =
Пусть <tex> A </tex> — компактный, тогда <tex> R(A) </tex> — сепарабельно (то есть, в <tex> R(A) </tex> существует счетное всюду плотное подмножество).
}}

{{Утверждение
|statement =
<tex>A</tex> - компактен <tex>\Rightarrow</tex> <tex>A^*</tex> - компактен
}}

== 7 Базис Шаудера, лемма о координатном пространстве ==
{{Определение
|definition=
Базисом Шаудера в банаховом пространстве <tex>X</tex> называется множество его элементов <tex>e_1, e_2 \dots e_n \dots</tex> такое, что у любого <tex>x</tex> в <tex>X</tex> существует единственное разложение <tex>x = \sum\limits_{i = 1}^{\infty} \alpha_i e_i</tex>.
}}

Определим <tex>F = \{(\alpha_1 \dots \alpha_n\dots) \mid \exists x \in X: \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_n e_n \to x \}</tex> — это линейное пространство.

Так как ряд сходится, <tex>F</tex> можно превратить в НП, определив норму как <tex>\| \alpha \| = \sup\limits_n \left\| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i\right\|</tex>.

{{Утверждение
|statement=
Пространство <tex> F </tex> относительно этой нормы — банахово.
}}

== 8 Почти конечномерность компактного оператора ==
{{Теорема
|about=
почти конечномерность компактного оператора
|statement=
Если <tex>X</tex> — банахово пространство с базисом Шаудера, <tex>A:X \to X</tex> — компактный, то для всех <tex>\varepsilon > 0</tex> существует разложение оператора <tex>A</tex> в сумму двух компактных операторов: <tex>A = A_1 + A_2</tex> такое, что:

# <tex>\operatorname{dim}(R(A_1)) < +\infty</tex>
# <tex>\|A_2\| < \varepsilon</tex>
}}

== 9 Размерность Ker(I-A) компактного A ==
{{Утверждение
|statement=
<tex>A</tex> {{---}} компактный оператор. Тогда <tex>\dim\operatorname{Ker}(I-A) < + \infty</tex>
}}

== 10 Замкнутость R(I-A) компактного A ==
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>T = I - A</tex>, <tex>A</tex> компактен, тогда <tex> R(T) </tex> замкнуто.
}}

== 11 Лемма о Ker(I-A)^n компактного A ==
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex> M_n = \operatorname{Ker} ((I - A)^n), n \in \mathbb N</tex>, <tex> A </tex> — компактный оператор.
Тогда <tex> \exists n_0: M_{n_0} = M_{n_0 + 1} </tex>.
}}

== 12 Условие справедливости равенства R(I-A)=E ==
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex> A </tex> — компактный оператор на банаховом <tex> X </tex>, <tex> T = I - A </tex>.
Тогда <tex> R(T) = X \Leftrightarrow \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>.
}}

== 13 Альтернатива Фредгольма-Шаудера ==
{{Теорема
|about=
альтернатива Фредгольма-Шаудера
|statement=
Пусть <tex>A:X \to X</tex> — компактный оператор и <tex>T = A - \lambda I</tex>. Тогда возможно только две ситуации:
# <tex>\operatorname{Ker} T = \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо для любого <tex>y</tex>
# <tex>\operatorname{Ker} T \ne \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо только для тех <tex>y</tex>, которые принадлежат <tex>(\operatorname{Ker} T^*)^\perp</tex>
}}

== 14 Спектр компактного оператора ==
Рассмотрим <tex>A - \lambda I</tex>.

# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) \ne \{0\}</tex>, тогда оператор необратим, и <tex>\lambda</tex> — собственное число, то есть <tex>\lambda \in \sigma(A)</tex>.
# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) = \{0\}</tex>, тогда по альтернативе, оператор непрерывно обратим, то есть <tex>\lambda \in \rho(A)</tex>.

Таким образом, спектр состоит из собственных чисел, и, возможно, нуля. Теперь изучим мощность спектра:

{{Теорема
|statement=
Спектр компактного оператора не более чем счётен и его предельной точкой может быть только 0.
}}

== 15 Определение самосопряженного оператора, неравенство для (a+ib)(I-A) ==
{{Определение
|definition=Оператор <tex>\mathcal{A}</tex> называется ''самосопряжённым'' (<tex>\mathcal{A} = \mathcal{A}^*</tex>), если <tex>\forall x, y : \langle \mathcal{A}x, y \rangle = \langle x, \mathcal{A}y \rangle</tex>
}}
<tex>\lambda \in \mathbb{C}</tex>, <tex>\lambda \mathcal{I} - \mathcal{A} = (\mu\mathcal{I} - \mathcal{A}) + i\nu\mathcal{I}</tex>

<tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\|</tex>

== 16 Вещественность спектра ограниченного самосопряженного оператора ==
{{Утверждение
|statement=Собственные числа самосопряжённого оператора вещественны
}}

== 17 Критерий включения в резольвентное множество ограниченного самосопряженного оператора ==
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор. Тогда
<tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A}) \iff \exists m > 0 : \forall x \in \mathcal{H} : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge m\|x\|</tex>
}}

== 18 Критерий включения в спектр ограниченного самосопряженного оператора ==
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор. Тогда
<tex>\lambda \in \sigma(\mathcal{A}) \iff \exists x_n : \|x_n\| = 1 : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x_n\| \to 0 </tex>
}}

== 19 Локализация спектра с.с. оператора посредством чисел m- и m+ ==
{{Определение
|definition=<tex>m_- = \inf\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x\rangle, m_+ = \sup\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x \rangle</tex>
}}
{{Теорема
|statement=1. <tex>\sigma(\mathcal{A}) \subset [m_-; m_+]</tex>

2. <tex>m_+, m_- \in \sigma(\mathcal{A})</tex>
}}

== 20 Спектральный радиус ограниченного самосопряженного оператора и его норма ==
{{Утверждение
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор, то <tex>r_\sigma(\mathcal{A}) = \|\mathcal{A}\|</tex>
}}

== 21 Теорема Гильберта-Шмидта ==
{{Теорема
|author=Гильберт, Шмидт
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве <tex>\mathcal{H}</tex>, а <tex>M_{\lambda_i}</tex>{{---}} его (оператора) собственные подпространства, то <tex>\mathcal{H} = M_{\lambda_1} \oplus M_{\lambda_2} \oplus \cdots \oplus M_{\lambda_n} \oplus \cdots </tex>
}}

== 22 Разложение резольвенты компактного самосопряженного оператора. ==
<tex>R_\lambda(y) = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\langle y, \varphi_n\rangle}{\lambda-\lambda_n}\varphi_n</tex>

== 23 Локальная сходимость метода простой итерации ==
{{Теорема
|about=Локальная теорема о простой итерации
|statement=
Пусть известно, что существует <tex> \overline{x}: \mathcal{T}(\overline{x}) = \overline{x} </tex> и <tex> \| \mathcal{T}(\overline{x})' \| \le q < 1 </tex>.

Тогда существует такой шар <tex> V_{\delta} (\overline x) </tex>, что если <tex> x_0 \in V_{\delta} (\overline x) </tex>, то:
* Метод простых итераций корректно определен: <tex> \mathcal{T}x_n \in V_{\delta} (\overline x), n \ge 0</tex>.
* <tex> x_n \to \overline x </tex>
}}

== 24 Локальная сходимость метода Ньютона для операторных уравнений ==
<tex> \mathcal{F}(x) = x - \Gamma(x) \mathcal{T} (x)</tex>
{{Утверждение
|statement=<tex> \mathcal{F}'(\overline x) = 0 </tex>
}}

== 25 Проекторы Шаудера ==
<tex> \forall \varepsilon > 0 \exists y_1 \in M, \hdots, y_p \in M </tex> {{---}} конечная <tex> \varepsilon </tex>-сеть.

Построим следующую функцию: <tex> \forall j = 1, \hdots, p, \forall y \in M: </tex>

<tex> \mu_j(y) = \begin{cases}
0 & \mbox{if } \| y - y_j \| \ge \varepsilon \\
\varepsilon - \| y - y_j \| & \mbox{if } \| y - y_j \| < \varepsilon \end{cases}
</tex>

<tex> S(y) = \sum\limits_{j=1}^p \mu_j(y) </tex>
{{Определение
|definition=

<tex dpi = 140> P_\varepsilon (y) = \sum\limits_{j=1}^p \frac {\mu_j(y)} {S(y)} y_j </tex> {{---}} ''проектор Шаудера''.

}}

== 26 Теорема Шаудера о неподвижной точке ==
{{Теорема
|author=Шаудер
|about=о неподвижной точке
|statement=
Пусть <tex> M </tex> {{---}} ограниченное замкнутое выпуклое подмножество B-пространства <tex> X </tex> и <tex> \mathcal{T} </tex> вполне непрерывно отображает <tex> M </tex> в себя.

Тогда <tex> \exists x^* \in M : x^* = Tx^* </tex>.
}}

[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]

Сопряжённый оператор

2013-06-12T09:27:09Z

Rybak: /* Теорема 1 */

{{В разработке}}

Все рассматриваемые далее пространства считаем Банаховыми.

{{Определение
|definition=
<tex> E^* </tex> {{---}} множество линейных непрерывных функционалов над <tex> E </tex>, его называют пространством, сопряженным к <tex> E </tex>. 
Аналогично, <tex> E^{**} </tex> {{---}} пространство, сопряженное к <tex> E^* </tex>.
}}

== Естественное вложение ==
{{Утверждение
|statement=
Между <tex> E </tex> и <tex> E^{**} </tex> существует так называемый '''естественный изоморфизм''', сохраняющий норму точки.
|proof=
Введем <tex> F_x </tex> следующим образом: <tex>\forall x \in E : F_x (f) = f(x), f \in E^{*} </tex>.

<tex> F_x : E^{*} \to \mathbb{R} </tex> — функционал, заданный на <tex>E^{*}</tex>, то есть <tex> F_x \in E^{**} </tex>.

Тогда само <tex> F </tex> отображает <tex> E </tex> в <tex> E^{**} </tex>.

<tex> F </tex> линейно: <tex> F_{\alpha x_1 + \beta x_2} = \alpha F_{x_1} + \beta F_{x_2} </tex>.

<tex> | F_x(f) | = |f(x)| \le \| f \| \| x \| </tex>, откуда <tex> \| F_x \| \le \| x \| </tex>.

С другой стороны, по следствию из теоремы Хана-Банаха, для любого <tex> x_0 \in E </tex> существует <tex> f_0 \in E^* </tex>, такое, что выполняются два условия:
# <tex> f_0(x_0) = \| x_0 \| </tex>
# <tex> \| f_0 \| = 1 </tex>.

<tex> | F_{x_0} (f_0) | = f_0 (x_0) = \| x_0 \|, \| f_0 \| = 1 </tex>, потому получаем, что <tex> \| F_{x_0} \| \ge \| x_0 \| \implies \| F_{x_0} \| = \| x_0 \| </tex>.

Значит, получившееся преобразование <tex> x \mapsto F_x </tex> — изометрия, <tex> \| x \| = \| F_x \| </tex>, получили '''естественное вложение''' <tex> E </tex> в <tex> E^{**} </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
<tex> E </tex> называется '''рефлексивным''', если <tex> E </tex> будет совпадать с <tex> E^{**} </tex> при таком отображении.
}}

Например, гильбертово пространство <tex> H </tex> рефлексивно (следует из теоремы Рисса об общем виде линейного функционала).

<tex> C[0, 1] </tex> не является рефлексивным.

== Сопряженный оператор ==

Пусть оператор <tex> A </tex> действует из <tex> E </tex> в <tex> F </tex>, и функционал <tex> \varphi </tex> принадлежит <tex> F^* </tex>.

Рассмотрим <tex> f(x) = \varphi (Ax), | f(x) | \le \| \varphi \| \| A \| \| x \| </tex>.

Получили новый функционал <tex> f </tex>, принадлежащий <tex> E^* </tex>. <tex> \varphi \mapsto \varphi A </tex>.

<tex> \varphi A = A^* (\varphi), A^* : F^* \to E^* </tex>. <tex> A^* </tex> {{---}} '''сопряженный оператор''' к <tex> A </tex>.

{{Теорема
|statement=
Если <tex> A </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор, то <tex> \| A^* \| = \| A \| </tex>.
|proof=
Возьмем <tex> x \in E, \varphi \in F^* </tex>.

<tex> | A^* (\varphi, x) | = | \varphi (Ax) | \le \| A \| \| \varphi \| \| x \| </tex>.

Получили, что <tex> \| A^* (\varphi) \| \le \| A \| \| \varphi \| </tex>, откуда <tex> \| A^* \| \le \| A \| </tex>.

Для доказательства в обратную сторону используем [[Теорема Хана-Банаха#hbnorm|следствие из теоремы Хана-Банаха]]:

По определению нормы оператора: <tex> \forall \varepsilon > 0 \, \exists x: \| x \| = 1 \implies \| A \| - \varepsilon < \| Ax \| </tex>.

<tex> Ax \in F </tex>, по следствию из теоремы Хана-Банаха подберем <tex> \varphi_0 \in F^*, \| \varphi_0 \| = 1: \varphi_0 (Ax) = \| Ax \| </tex>.

<tex> | A^*(\varphi_0, x) | = | \varphi_0(Ax) | = \| Ax \| > \| A \| - \varepsilon </tex>.

<tex> | A^*(\varphi_0, x) | \le \| A^*(\varphi_0) \| \| x \| = \| A^*(\varphi_0) \| \le \| A^* \| \| \varphi_0 \| = \| A^* \| </tex>.

Соединяя эти два неравенства, получаем, что <tex> \forall \varepsilon > 0: \| A^* \| > \| A \| - \varepsilon </tex>.

Устремляя <tex> \varepsilon </tex> к нулю, получаем, что <tex> \| A^* \| \ge \| A \| </tex>, и, окончательно, <tex> \| A^* \| = \| A \| </tex>.

}}

== Примеры сопряженных операторов ==

Возьмем любое гильбертово пространство <tex> H </tex>, <tex> A : H \to H </tex>.

<tex> \forall \varphi \in H^* </tex> по теореме Рисса об общем виде линейного функционала в <tex> H </tex> существует единственный
<tex> z : \varphi (y) = \langle y, z \rangle, \| \varphi \| = \| z \| </tex>.

Поскольку <tex> x \mapsto \varphi (Ax) </tex> также является линейным функционалом <tex> H \to H </tex>, то <tex> \varphi (Ax) = \langle Ax, z \rangle = \langle x, y \rangle </tex>, где <tex> y </tex> не зависит от <tex> x </tex>.

Имеем отображение <tex> z \mapsto y </tex>, тогда <tex> y = A^*(z) </tex>, и окончательно:

<tex> \langle Ax, z \rangle = \langle x, A^*z \rangle </tex>.

В гильбертовом пространстве <tex> H </tex> сопряженный оператор {{---}} тот оператор, который позволяет писать равенство выше.

{{Определение
|definition=
Оператор <tex> A </tex> в гильбертовом пространстве называется '''самосопряженным''', если <tex> A = A^* </tex>
}}

В случае <tex> \mathbb{R}^n </tex> (частный случай <tex> H </tex>) оператор <tex> A : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n </tex> представляет собой матрицу размером <tex> n \times n </tex>. Сопряженный к <tex> A </tex> оператор получается транспонированием соответствующей матрицы: <tex> A^* = A^T </tex>. Для симметричной матрицы <tex> A </tex> получается <tex> A^* = A^T = A </tex>, то есть, если <tex> A </tex> {{---}} симметричная матрица, то <tex> A </tex> {{---}} самосопряженный оператор.

Рассмотрим теперь пространство <tex> E = L_p [0, 1] </tex>.

Пусть <tex> K(u, v) : [0, 1] \times [0, 1] \to \mathbb{R} </tex> {{---}} непрерывная функция на <tex> [0, 1] \times [0, 1] </tex>, <tex> x \in E </tex>.

'''Интегральный оператор''' <tex> A </tex>, действующий из <tex> L_p [0, 1] </tex> в <tex> L_p [0, 1] </tex> определяется так: <tex> A(x, s) = (Ax)(s) = \int\limits_0^1 K(s, t) x(t) dt </tex>. <tex> Ax \in E </tex>.

Построим сопряженный оператор:

По теореме об общем виде линейного функционала в <tex> L_p </tex>,

<tex> \forall \varphi \in E^*, x \in E: \varphi(x) = \int\limits_0^1 y(t) x(t) dt, y \in L_q </tex>, где <tex> \frac 1p + \frac 1q = 1 </tex> (<tex> p </tex> и <tex> q </tex> называются '''сопряженными показателями''').

<tex> L_p^* = L_q </tex>.

<tex> A^*(\varphi, x) = \varphi (Ax) = \int\limits_0^1 y(s) (Ax)(s) ds = \int\limits_0^1 y(s) (\int\limits_0^1 K(s, t) x(t) dt) ds = </tex> (по теореме Фубини поменяем порядок интегрирования) <tex> = \int\limits_0^1 ( \int\limits_0^1 K(s, t) y(s) ds) x(t) dt </tex>

Получили, что <tex> A^*(\varphi, x) = \int\limits_0^1 ( \int\limits_0^1 K(s, t) y(s) ds) x(t) dt </tex>. Обозначим <tex> z(t) = \int\limits_0^1 K(s, t) y(s) ds </tex>, тогда <tex> A^* (\varphi) \equiv z </tex>, аналогично <tex> \varphi \equiv y </tex>.

<tex> A^* </tex> {{---}} интегральный оператор из <tex> L_q </tex>, имеющий ядро <tex> K^*(s, t) = K(t, s) </tex>. В частности, если ядро симметрично (<tex> K(s, t) = K(t, s) </tex>) и <tex> p = q = 2 </tex>, то <tex> A = A^* </tex>.

== Ортогональное дополнение ==

Важное значение имеет ортогональное дополнение (в любом нормированном пространстве):

{{Определение
|definition=
Пусть <tex> E </tex> {{---}} НП, <tex> S \subset E^* </tex>.

<tex> S^{\bot} = \{ x \in E \mid \forall f \in S: f(x) = 0 \} </tex> {{---}} '''ортогональное дополнение''' <tex> S </tex>.

Аналогично, если <tex> T \subset E </tex>, то <tex> T^{\bot} = \{ f \in E^* \mid \forall x \in T: f(x) = 0 \} </tex>.
}}

{{Утверждение
|statement= <tex> \{ 0 \} = (E^*)^{\bot}, \{ \mathbf{0} \} = E^{\bot} </tex>.
|proof=

Оба включения <tex> \subset </tex> очевидны по определению. В обратную сторону:

# Пусть <tex> x \in (E^*)^{\bot} </tex>, тогда <tex> \forall f \in E^*: f(x) = 0 </tex>. Предположим, что <tex> x \neq 0 </tex>, тогда по [[Теорема Хана-Банаха|следствию из теоремы Хана-Банаха]], для такого <tex>x</tex>, найдется функционал <tex>f: f(x) = \| x \| \neq 0 </tex>, получили противоречие, что <tex> x \in (E^*)^{\bot} </tex>.
# Пусть <tex> f \in E^\bot </tex>, тогда <tex> \forall x \in E: f(x) = 0</tex>. Тогда <tex>f</tex> — нулевой функционал по определению.
}}

== Теоремы о множестве значений оператора ==
=== Теорема 1 ===

{{Теорема
|statement= <tex> A \in \mathcal{L}(E,F) \implies \operatorname{Cl} R(A) = (\operatorname{Ker} A^*)^\perp </tex>.
|proof =
<tex>\subset</tex>:

<tex>\forall \varphi \in \operatorname{Ker}A^*</tex>, <tex>A^* \varphi = \mathbf{0}</tex>.

Пусть <tex>y \in R(A) </tex>, тогда <tex> y = Ax </tex>.

<tex> \varphi (y) = \varphi(A x) = A^*(\varphi, x) = 0 </tex>, следовательно, <tex> R(A)\subset(\operatorname{Ker}A^*)^\perp</tex>.

Теперь, пусть <tex>y \in \operatorname{Cl} R(A)</tex>, тогда <tex> y = \lim y_n, y_n \in R(A)</tex>.

<tex>\varphi(y_n) = 0, \varphi(y_n) \xrightarrow[]{n \to \infty} \varphi(y) \implies \varphi(y) = 0</tex>, и <tex>\operatorname{Cl}(R(A)) \subset (\operatorname{Ker}(A^*))^\perp</tex>

<tex>\supset</tex>:

Надо показать, что <tex>y \in (\operatorname{Ker}A^*)^\perp \implies y \in \operatorname{Cl} R(A)</tex>. Пусть это не так: <tex> y \notin \operatorname{Cl} R(A)</tex>.

Рассмотрим <tex> F_1 = \left\{ z + ty \mid z \in \operatorname{Cl}(R(A)), y \notin \operatorname{Cl}(R(A)), t \in \mathbb{R} \right\} </tex>. <tex>F_1</tex> {{---}} линейное множество в силу линейности <tex>\operatorname{Cl}(R(A))</tex>.

Покажем, что <tex>F_1</tex> -- подпространство <tex>F</tex>. Для этого нам осталось проверить замкнутость <tex>F_1</tex>:

Пусть <tex>z_n+t_{n}y \to u = z + ty</tex>, хотим убедиться в том, что <tex>u \in F_1</tex>.

Если <tex> |t_{n}| \le const </tex>, то выберем <tex>t_{n_k}</tex>, стремящееся к какому-то <tex>t</tex>. Из <tex>z_n+t_{n}y \to u, t_{n_k}y \to ty </tex> получаем <tex> z_n \to z \in \operatorname{Cl}(R(A))</tex>.

Если допустить, что <tex>t_{n_k} \to \infty</tex>:

<tex>z_{n_k}+t_{n_k}y \to u</tex>. <tex>z_{n_k}/t_{n_k} + y \to 0 \implies z_{n_k}/t_{n_k} \to -y \implies -y \in \operatorname{Cl}(R(A)) \implies y \in \operatorname{Cl}(R(A))</tex> {{---}} противоречие.

Таким образом, <tex>\operatorname{Cl}(F_1) = F_1</tex>.

Построим на <tex>F_1</tex> фунционал <tex>\varphi_0 : \varphi_0(z+ty) = t </tex>, <tex> \varphi_0(z) = 0</tex>. Он, очевидно, непрерывен, а по теореме Хана-Банаха с сохранением непрерывности его можно продолжить на <tex>F: \widetilde{\varphi_0} \in F^*</tex>, причем так, что <tex>\widetilde{\varphi_0}\mid _{F_1} = \varphi_0</tex>.

Рассмотрим значение <tex>\widetilde{\varphi_0}(y)</tex>:

* С одной стороны, <tex>\widetilde{\varphi_0}(y) = \varphi_0(y) = \varphi(0 + 1 y) = 1</tex>
* С другой стороны, <tex>y \in (\operatorname{Ker}A^*)^\perp</tex>, а значит, на любом функционале из ядра <tex>A^*</tex>, в том числе, и на <tex>\widetilde{\varphi_0}</tex>, должно выполняться <tex>\widetilde{\varphi_0}(y) = 0</tex>

Получили противоречие, следовательно, <tex> y \in \operatorname{Cl}(R(A))</tex>.
}}

=== Теорема 2 ===

{{Теорема
|statement= <tex> A \in \mathcal{L}(E,F),~R(A) = \operatorname{Cl} R(A) \implies R(A^*) = (\operatorname{Ker}A )^\perp </tex>.
|proof =
1) <tex>f \in R(A^*) \implies f = \varphi A , \varphi \in F^*</tex>.

Рассмотрим <tex> x \in (\operatorname{Ker}A). </tex>
<tex>f(x) = \varphi(Ax) = \varphi(0) = 0 \implies R(A^*) \subset (\operatorname{Ker}A )^\perp</tex>.

2) Докажем теперь обратное включение:

<tex>(\operatorname{Ker}A )^\perp</tex> — набор таких <tex>f</tex>, что если <tex>Ax=0</tex>, то <tex>f(x)=0</tex>.

Надо показать, что <tex>f \in R(A^*)</tex>, т.е. проверить, что <tex>f = A^* \varphi = \varphi A</tex>.

Если найдем <tex>\varphi</tex>, заданный на <tex>R(A)</tex>, то сможем продолжить его на все <tex>F</tex> по теореме Хана-Банаха.

Рассмотрим произвольное <tex>y \in R(A)</tex>, пусть <tex>y = Ax</tex> и <tex>y = Ax'</tex>.

Тогда <tex>A(x - x') = 0</tex>, то есть <tex>x - x' \in \operatorname{Ker} A</tex>, <tex>f(x - x') = 0</tex>, и <tex>f(x) = f(x')</tex>, то есть, значение функционала не зависит от того, какой конкретно <tex>x</tex> (при <tex>Ax = y</tex>) был выбран.

Тогда можно взять <tex>\varphi(y) = f(x)</tex>, где <tex>y = Ax</tex> — линейный функционал, <tex>f = \varphi A</tex>. Осталось проверить ограниченность <tex>\varphi</tex> на <tex>R(A)</tex>.

Рассмотрим <tex>E/_{\operatorname{Ker} A}</tex>, <tex>\widetilde{A} : E/_{\operatorname{Ker} A} \to F</tex>, <tex>\widetilde{A}([x]) = Ax</tex>.

<tex>\widetilde{A} : E/_{\operatorname{Ker} A} \to R(A)</tex> — биекция, <tex>R(A)</tex> — замкнуто, <tex>F</tex> — банахово, поэтому <tex>R(A)</tex> — также банахово как подпространство в <tex>F</tex>. Введем норму для <tex>[x] \in E/_{\operatorname{Ker} A}</tex> как <tex>\|[x]\| = \inf\limits_{x\in [x]} \|x\|</tex>.

Покажем, что <tex>\widetilde{A}</tex> — ограничен: <tex>\|\widetilde{A}\| = \sup\limits_{\|[x]\| = 1} \|\widetilde{A}[x]\|</tex>. Теперь перейдем от классов эквивалентности к их представителям. Так как <tex>\|[x]\| = \inf\limits_{x \in [x]} \|x\| = 1</tex>, найдется <tex>x \in [x]</tex>, такой, что <tex>\|x\| \le 2</tex> (по определению инфимума), возьмем его в качестве представителя (мы можем это сделать, так как значение <tex>Ax</tex> одно и тоже для любого <tex>x\in[x]</tex>). Тогда: <tex>\|\widetilde{A}\| = \sup\limits_{\|[x]\| = 1} \|\widetilde{A}[x]\| \le \sup\limits_{\|x\| \le 2} \|Ax\| \le \sup\limits_{\|y\| \le 1} \|A(2 y)\| \le 2 \sup\limits_{\|y\| \le 1} \|Ay\| = 2 \|A\|</tex>, так как <tex>\|A\|</tex> был ограничен, <tex>\widetilde{A}</tex> тоже окажется ограниченным.

Тогда по [[Теорема Банаха об обратном операторе#Теорема Банаха о гомеоморфизме|теореме Банаха об гомеоморфизме]] существует линейный ограниченный оператор <tex>\widetilde{A}^{-1}</tex>, <tex>\| \widetilde{A}^{-1} \| \le m \|y\| < 2m \|y\|</tex>. Замечание: строгое неравенство нам нужно для того, чтобы обеспечить существование такого <tex> x' \in A^{-1}(y) </tex>, что <tex> \| x' \| < 2m\| y \| </tex>.

<tex>\widetilde{A}^{-1}(y) = \{ x: y = Ax \}</tex>

<tex>\|\widetilde{A}^{-1}(y)\| = \inf\limits_{x\in \widetilde{A}^{-1}(y)} \|x\| < 2m \|y\| </tex>, следовательно, существует <tex> x' = A^{-1}y, \|x'\| < 2m\|y\|</tex>.

<tex> \|\varphi(y)\| = \|f(x')\| \le \|f\|\|x'\| < (2m\|f\|)\|y\| </tex>, то есть, получили ограниченность <tex> \varphi </tex>, теорема доказана.
}}

Эти две теоремы являются наиболее общей формой записи условий разрешимости операторных уравнений.

Смысл: рассмотрим уравнение <tex>Ax = y</tex>, где <tex>y</tex> — дано. Для того, чтобы понять, разрешимо ли уравнение, нужно проверить, что <tex>y \in R(A)</tex>. В общем случае, не существует способа это сделать, но можно ограничиться проверкой <tex>R(A) = \operatorname{Cl} R(A)</tex>, и тогда <tex>R(A) = (\operatorname{Ker}A^*)^\bot</tex>, сопряженный оператор можно построить, ядро поддается конструктивному описанию: <tex>y \in R(A) \iff y \perp \operatorname{Ker} A^*</tex>.

Например, <tex>A: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n</tex>, <tex>A^* = A^\top : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m</tex>. <tex>R(A) = \operatorname{Cl} R(A)</tex>, <tex>Ax = y</tex>, <tex>y</tex> — дано. Надо смотреть <tex>y \perp \operatorname{Ker} A^*</tex>, то есть <tex>A^\top y = 0</tex>.

В следующих параграфах мы введем класс бесконечномерных операторов, для которых <tex>R(A)</tex> — замкнуто, в частности, в этот класс входят интегральные операторы.

[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]

Сопряжённый оператор

2013-06-12T09:22:53Z

Rybak: /* Теорема 1 */

{{В разработке}}

Все рассматриваемые далее пространства считаем Банаховыми.

{{Определение
|definition=
<tex> E^* </tex> {{---}} множество линейных непрерывных функционалов над <tex> E </tex>, его называют пространством, сопряженным к <tex> E </tex>. 
Аналогично, <tex> E^{**} </tex> {{---}} пространство, сопряженное к <tex> E^* </tex>.
}}

== Естественное вложение ==
{{Утверждение
|statement=
Между <tex> E </tex> и <tex> E^{**} </tex> существует так называемый '''естественный изоморфизм''', сохраняющий норму точки.
|proof=
Введем <tex> F_x </tex> следующим образом: <tex>\forall x \in E : F_x (f) = f(x), f \in E^{*} </tex>.

<tex> F_x : E^{*} \to \mathbb{R} </tex> — функционал, заданный на <tex>E^{*}</tex>, то есть <tex> F_x \in E^{**} </tex>.

Тогда само <tex> F </tex> отображает <tex> E </tex> в <tex> E^{**} </tex>.

<tex> F </tex> линейно: <tex> F_{\alpha x_1 + \beta x_2} = \alpha F_{x_1} + \beta F_{x_2} </tex>.

<tex> | F_x(f) | = |f(x)| \le \| f \| \| x \| </tex>, откуда <tex> \| F_x \| \le \| x \| </tex>.

С другой стороны, по следствию из теоремы Хана-Банаха, для любого <tex> x_0 \in E </tex> существует <tex> f_0 \in E^* </tex>, такое, что выполняются два условия:
# <tex> f_0(x_0) = \| x_0 \| </tex>
# <tex> \| f_0 \| = 1 </tex>.

<tex> | F_{x_0} (f_0) | = f_0 (x_0) = \| x_0 \|, \| f_0 \| = 1 </tex>, потому получаем, что <tex> \| F_{x_0} \| \ge \| x_0 \| \implies \| F_{x_0} \| = \| x_0 \| </tex>.

Значит, получившееся преобразование <tex> x \mapsto F_x </tex> — изометрия, <tex> \| x \| = \| F_x \| </tex>, получили '''естественное вложение''' <tex> E </tex> в <tex> E^{**} </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
<tex> E </tex> называется '''рефлексивным''', если <tex> E </tex> будет совпадать с <tex> E^{**} </tex> при таком отображении.
}}

Например, гильбертово пространство <tex> H </tex> рефлексивно (следует из теоремы Рисса об общем виде линейного функционала).

<tex> C[0, 1] </tex> не является рефлексивным.

== Сопряженный оператор ==

Пусть оператор <tex> A </tex> действует из <tex> E </tex> в <tex> F </tex>, и функционал <tex> \varphi </tex> принадлежит <tex> F^* </tex>.

Рассмотрим <tex> f(x) = \varphi (Ax), | f(x) | \le \| \varphi \| \| A \| \| x \| </tex>.

Получили новый функционал <tex> f </tex>, принадлежащий <tex> E^* </tex>. <tex> \varphi \mapsto \varphi A </tex>.

<tex> \varphi A = A^* (\varphi), A^* : F^* \to E^* </tex>. <tex> A^* </tex> {{---}} '''сопряженный оператор''' к <tex> A </tex>.

{{Теорема
|statement=
Если <tex> A </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор, то <tex> \| A^* \| = \| A \| </tex>.
|proof=
Возьмем <tex> x \in E, \varphi \in F^* </tex>.

<tex> | A^* (\varphi, x) | = | \varphi (Ax) | \le \| A \| \| \varphi \| \| x \| </tex>.

Получили, что <tex> \| A^* (\varphi) \| \le \| A \| \| \varphi \| </tex>, откуда <tex> \| A^* \| \le \| A \| </tex>.

Для доказательства в обратную сторону используем [[Теорема Хана-Банаха#hbnorm|следствие из теоремы Хана-Банаха]]:

По определению нормы оператора: <tex> \forall \varepsilon > 0 \, \exists x: \| x \| = 1 \implies \| A \| - \varepsilon < \| Ax \| </tex>.

<tex> Ax \in F </tex>, по следствию из теоремы Хана-Банаха подберем <tex> \varphi_0 \in F^*, \| \varphi_0 \| = 1: \varphi_0 (Ax) = \| Ax \| </tex>.

<tex> | A^*(\varphi_0, x) | = | \varphi_0(Ax) | = \| Ax \| > \| A \| - \varepsilon </tex>.

<tex> | A^*(\varphi_0, x) | \le \| A^*(\varphi_0) \| \| x \| = \| A^*(\varphi_0) \| \le \| A^* \| \| \varphi_0 \| = \| A^* \| </tex>.

Соединяя эти два неравенства, получаем, что <tex> \forall \varepsilon > 0: \| A^* \| > \| A \| - \varepsilon </tex>.

Устремляя <tex> \varepsilon </tex> к нулю, получаем, что <tex> \| A^* \| \ge \| A \| </tex>, и, окончательно, <tex> \| A^* \| = \| A \| </tex>.

}}

== Примеры сопряженных операторов ==

Возьмем любое гильбертово пространство <tex> H </tex>, <tex> A : H \to H </tex>.

<tex> \forall \varphi \in H^* </tex> по теореме Рисса об общем виде линейного функционала в <tex> H </tex> существует единственный
<tex> z : \varphi (y) = \langle y, z \rangle, \| \varphi \| = \| z \| </tex>.

Поскольку <tex> x \mapsto \varphi (Ax) </tex> также является линейным функционалом <tex> H \to H </tex>, то <tex> \varphi (Ax) = \langle Ax, z \rangle = \langle x, y \rangle </tex>, где <tex> y </tex> не зависит от <tex> x </tex>.

Имеем отображение <tex> z \mapsto y </tex>, тогда <tex> y = A^*(z) </tex>, и окончательно:

<tex> \langle Ax, z \rangle = \langle x, A^*z \rangle </tex>.

В гильбертовом пространстве <tex> H </tex> сопряженный оператор {{---}} тот оператор, который позволяет писать равенство выше.

{{Определение
|definition=
Оператор <tex> A </tex> в гильбертовом пространстве называется '''самосопряженным''', если <tex> A = A^* </tex>
}}

В случае <tex> \mathbb{R}^n </tex> (частный случай <tex> H </tex>) оператор <tex> A : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n </tex> представляет собой матрицу размером <tex> n \times n </tex>. Сопряженный к <tex> A </tex> оператор получается транспонированием соответствующей матрицы: <tex> A^* = A^T </tex>. Для симметричной матрицы <tex> A </tex> получается <tex> A^* = A^T = A </tex>, то есть, если <tex> A </tex> {{---}} симметричная матрица, то <tex> A </tex> {{---}} самосопряженный оператор.

Рассмотрим теперь пространство <tex> E = L_p [0, 1] </tex>.

Пусть <tex> K(u, v) : [0, 1] \times [0, 1] \to \mathbb{R} </tex> {{---}} непрерывная функция на <tex> [0, 1] \times [0, 1] </tex>, <tex> x \in E </tex>.

'''Интегральный оператор''' <tex> A </tex>, действующий из <tex> L_p [0, 1] </tex> в <tex> L_p [0, 1] </tex> определяется так: <tex> A(x, s) = (Ax)(s) = \int\limits_0^1 K(s, t) x(t) dt </tex>. <tex> Ax \in E </tex>.

Построим сопряженный оператор:

По теореме об общем виде линейного функционала в <tex> L_p </tex>,

<tex> \forall \varphi \in E^*, x \in E: \varphi(x) = \int\limits_0^1 y(t) x(t) dt, y \in L_q </tex>, где <tex> \frac 1p + \frac 1q = 1 </tex> (<tex> p </tex> и <tex> q </tex> называются '''сопряженными показателями''').

<tex> L_p^* = L_q </tex>.

<tex> A^*(\varphi, x) = \varphi (Ax) = \int\limits_0^1 y(s) (Ax)(s) ds = \int\limits_0^1 y(s) (\int\limits_0^1 K(s, t) x(t) dt) ds = </tex> (по теореме Фубини поменяем порядок интегрирования) <tex> = \int\limits_0^1 ( \int\limits_0^1 K(s, t) y(s) ds) x(t) dt </tex>

Получили, что <tex> A^*(\varphi, x) = \int\limits_0^1 ( \int\limits_0^1 K(s, t) y(s) ds) x(t) dt </tex>. Обозначим <tex> z(t) = \int\limits_0^1 K(s, t) y(s) ds </tex>, тогда <tex> A^* (\varphi) \equiv z </tex>, аналогично <tex> \varphi \equiv y </tex>.

<tex> A^* </tex> {{---}} интегральный оператор из <tex> L_q </tex>, имеющий ядро <tex> K^*(s, t) = K(t, s) </tex>. В частности, если ядро симметрично (<tex> K(s, t) = K(t, s) </tex>) и <tex> p = q = 2 </tex>, то <tex> A = A^* </tex>.

== Ортогональное дополнение ==

Важное значение имеет ортогональное дополнение (в любом нормированном пространстве):

{{Определение
|definition=
Пусть <tex> E </tex> {{---}} НП, <tex> S \subset E^* </tex>.

<tex> S^{\bot} = \{ x \in E \mid \forall f \in S: f(x) = 0 \} </tex> {{---}} '''ортогональное дополнение''' <tex> S </tex>.

Аналогично, если <tex> T \subset E </tex>, то <tex> T^{\bot} = \{ f \in E^* \mid \forall x \in T: f(x) = 0 \} </tex>.
}}

{{Утверждение
|statement= <tex> \{ 0 \} = (E^*)^{\bot}, \{ \mathbf{0} \} = E^{\bot} </tex>.
|proof=

Оба включения <tex> \subset </tex> очевидны по определению. В обратную сторону:

# Пусть <tex> x \in (E^*)^{\bot} </tex>, тогда <tex> \forall f \in E^*: f(x) = 0 </tex>. Предположим, что <tex> x \neq 0 </tex>, тогда по [[Теорема Хана-Банаха|следствию из теоремы Хана-Банаха]], для такого <tex>x</tex>, найдется функционал <tex>f: f(x) = \| x \| \neq 0 </tex>, получили противоречие, что <tex> x \in (E^*)^{\bot} </tex>.
# Пусть <tex> f \in E^\bot </tex>, тогда <tex> \forall x \in E: f(x) = 0</tex>. Тогда <tex>f</tex> — нулевой функционал по определению.
}}

== Теоремы о множестве значений оператора ==
=== Теорема 1 ===

{{Теорема
|statement= <tex> A \in \mathcal{L}(E,F) \implies \operatorname{Cl} R(A) = (\operatorname{Ker} A^*)^\perp </tex>.
|proof =
<tex>\subset</tex>:

<tex>\forall \varphi \in \operatorname{Ker}A^*</tex>, <tex>A^* \varphi = \mathbf{0}</tex>.

Пусть <tex>y \in R(A) </tex>, тогда <tex> y = Ax </tex>.

<tex> \varphi (y) = \varphi(A x) = A^*(\varphi, x) = 0 </tex>, следовательно, <tex> R(A)\subset(\operatorname{Ker}A^*)^\perp</tex>.

Теперь, пусть <tex>y \in \operatorname{Cl} R(A)</tex>, тогда <tex> y = \lim y_n, y_n \in R(A)</tex>.

<tex>\varphi(y_n) = 0, \varphi(y_n) \xrightarrow[]{n \to \infty} \varphi(y) \implies \varphi(y) = 0</tex>, и <tex>\operatorname{Cl}(R(A)) \subset (\operatorname{Ker}(A^*))^\perp</tex>

<tex>\supset</tex>:

Надо показать, что <tex>y \in (\operatorname{Ker}A^*)^\perp \implies y \in \operatorname{Cl} R(A)</tex>. Пусть это не так: <tex> y \notin \operatorname{Cl} R(A)</tex>.

Рассмотрим <tex> F_1 = \{ z + ty \mid z \in \operatorname{Cl}(R(A)), t \in \mathbb{R} \} </tex>. <tex>F_1</tex> {{---}} линейное множество в силу линейности <tex>\operatorname{Cl}(R(A))</tex>.

Покажем, что <tex>F_1</tex> -- подпространство <tex>F</tex>. Для этого нам осталось проверить замкнутость <tex>F_1</tex>:

Пусть <tex>z_n+t_{n}y \to u = z + ty</tex>, хотим убедиться в том, что <tex>u \in F_1</tex>.

Если <tex> |t_{n}| \le const </tex>, то выберем <tex>t_{n_k}</tex>, стремящееся к какому-то <tex>t</tex>. Из <tex>z_n+t_{n}y \to u, t_{n_k}y \to ty </tex> получаем <tex> z_n \to z \in \operatorname{Cl}(R(A))</tex>.

Если допустить, что <tex>t_{n_k} \to \infty</tex>:

<tex>z_{n_k}+t_{n_k}y \to u</tex>. <tex>z_{n_k}/t_{n_k} + y \to 0 \implies z_{n_k}/t_{n_k} \to -y \implies -y \in \operatorname{Cl}(R(A)) \implies y \in \operatorname{Cl}(R(A))</tex> {{---}} противоречие.

Таким образом, <tex>\operatorname{Cl}(F_1) = F_1</tex>.

Построим на <tex>F_1</tex> фунционал <tex>\varphi_0 : \varphi_0(z+ty) = t </tex>, <tex> \varphi_0(z) = 0</tex>. Он, очевидно, непрерывен, а по теореме Хана-Банаха с сохранением непрерывности его можно продолжить на <tex>F: \widetilde{\varphi_0} \in F^*</tex>, причем так, что <tex>\widetilde{\varphi_0}\mid _{F_1} = \varphi_0</tex>.

Рассмотрим значение <tex>\widetilde{\varphi_0}(y)</tex>:

* С одной стороны, <tex>\widetilde{\varphi_0}(y) = \varphi_0(y) = \varphi(0 + 1 y) = 1</tex>
* С другой стороны, <tex>y \in (\operatorname{Ker}A^*)^\perp</tex>, а значит, на любом функционале из ядра <tex>A^*</tex>, в том числе, и на <tex>\widetilde{\varphi_0}</tex>, должно выполняться <tex>\widetilde{\varphi_0}(y) = 0</tex>

Получили противоречие, следовательно, <tex> y \in \operatorname{Cl}(R(A))</tex>.
}}

=== Теорема 2 ===

{{Теорема
|statement= <tex> A \in \mathcal{L}(E,F),~R(A) = \operatorname{Cl} R(A) \implies R(A^*) = (\operatorname{Ker}A )^\perp </tex>.
|proof =
1) <tex>f \in R(A^*) \implies f = \varphi A , \varphi \in F^*</tex>.

Рассмотрим <tex> x \in (\operatorname{Ker}A). </tex>
<tex>f(x) = \varphi(Ax) = \varphi(0) = 0 \implies R(A^*) \subset (\operatorname{Ker}A )^\perp</tex>.

2) Докажем теперь обратное включение:

<tex>(\operatorname{Ker}A )^\perp</tex> — набор таких <tex>f</tex>, что если <tex>Ax=0</tex>, то <tex>f(x)=0</tex>.

Надо показать, что <tex>f \in R(A^*)</tex>, т.е. проверить, что <tex>f = A^* \varphi = \varphi A</tex>.

Если найдем <tex>\varphi</tex>, заданный на <tex>R(A)</tex>, то сможем продолжить его на все <tex>F</tex> по теореме Хана-Банаха.

Рассмотрим произвольное <tex>y \in R(A)</tex>, пусть <tex>y = Ax</tex> и <tex>y = Ax'</tex>.

Тогда <tex>A(x - x') = 0</tex>, то есть <tex>x - x' \in \operatorname{Ker} A</tex>, <tex>f(x - x') = 0</tex>, и <tex>f(x) = f(x')</tex>, то есть, значение функционала не зависит от того, какой конкретно <tex>x</tex> (при <tex>Ax = y</tex>) был выбран.

Тогда можно взять <tex>\varphi(y) = f(x)</tex>, где <tex>y = Ax</tex> — линейный функционал, <tex>f = \varphi A</tex>. Осталось проверить ограниченность <tex>\varphi</tex> на <tex>R(A)</tex>.

Рассмотрим <tex>E/_{\operatorname{Ker} A}</tex>, <tex>\widetilde{A} : E/_{\operatorname{Ker} A} \to F</tex>, <tex>\widetilde{A}([x]) = Ax</tex>.

<tex>\widetilde{A} : E/_{\operatorname{Ker} A} \to R(A)</tex> — биекция, <tex>R(A)</tex> — замкнуто, <tex>F</tex> — банахово, поэтому <tex>R(A)</tex> — также банахово как подпространство в <tex>F</tex>. Введем норму для <tex>[x] \in E/_{\operatorname{Ker} A}</tex> как <tex>\|[x]\| = \inf\limits_{x\in [x]} \|x\|</tex>.

Покажем, что <tex>\widetilde{A}</tex> — ограничен: <tex>\|\widetilde{A}\| = \sup\limits_{\|[x]\| = 1} \|\widetilde{A}[x]\|</tex>. Теперь перейдем от классов эквивалентности к их представителям. Так как <tex>\|[x]\| = \inf\limits_{x \in [x]} \|x\| = 1</tex>, найдется <tex>x \in [x]</tex>, такой, что <tex>\|x\| \le 2</tex> (по определению инфимума), возьмем его в качестве представителя (мы можем это сделать, так как значение <tex>Ax</tex> одно и тоже для любого <tex>x\in[x]</tex>). Тогда: <tex>\|\widetilde{A}\| = \sup\limits_{\|[x]\| = 1} \|\widetilde{A}[x]\| \le \sup\limits_{\|x\| \le 2} \|Ax\| \le \sup\limits_{\|y\| \le 1} \|A(2 y)\| \le 2 \sup\limits_{\|y\| \le 1} \|Ay\| = 2 \|A\|</tex>, так как <tex>\|A\|</tex> был ограничен, <tex>\widetilde{A}</tex> тоже окажется ограниченным.

Тогда по [[Теорема Банаха об обратном операторе#Теорема Банаха о гомеоморфизме|теореме Банаха об гомеоморфизме]] существует линейный ограниченный оператор <tex>\widetilde{A}^{-1}</tex>, <tex>\| \widetilde{A}^{-1} \| \le m \|y\| < 2m \|y\|</tex>. Замечание: строгое неравенство нам нужно для того, чтобы обеспечить существование такого <tex> x' \in A^{-1}(y) </tex>, что <tex> \| x' \| < 2m\| y \| </tex>.

<tex>\widetilde{A}^{-1}(y) = \{ x: y = Ax \}</tex>

<tex>\|\widetilde{A}^{-1}(y)\| = \inf\limits_{x\in \widetilde{A}^{-1}(y)} \|x\| < 2m \|y\| </tex>, следовательно, существует <tex> x' = A^{-1}y, \|x'\| < 2m\|y\|</tex>.

<tex> \|\varphi(y)\| = \|f(x')\| \le \|f\|\|x'\| < (2m\|f\|)\|y\| </tex>, то есть, получили ограниченность <tex> \varphi </tex>, теорема доказана.
}}

Эти две теоремы являются наиболее общей формой записи условий разрешимости операторных уравнений.

Смысл: рассмотрим уравнение <tex>Ax = y</tex>, где <tex>y</tex> — дано. Для того, чтобы понять, разрешимо ли уравнение, нужно проверить, что <tex>y \in R(A)</tex>. В общем случае, не существует способа это сделать, но можно ограничиться проверкой <tex>R(A) = \operatorname{Cl} R(A)</tex>, и тогда <tex>R(A) = (\operatorname{Ker}A^*)^\bot</tex>, сопряженный оператор можно построить, ядро поддается конструктивному описанию: <tex>y \in R(A) \iff y \perp \operatorname{Ker} A^*</tex>.

Например, <tex>A: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n</tex>, <tex>A^* = A^\top : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m</tex>. <tex>R(A) = \operatorname{Cl} R(A)</tex>, <tex>Ax = y</tex>, <tex>y</tex> — дано. Надо смотреть <tex>y \perp \operatorname{Ker} A^*</tex>, то есть <tex>A^\top y = 0</tex>.

В следующих параграфах мы введем класс бесконечномерных операторов, для которых <tex>R(A)</tex> — замкнуто, в частности, в этот класс входят интегральные операторы.

[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]

Сопряжённый оператор

2013-06-12T07:35:34Z

Rybak: /* Теорема 1 */

{{В разработке}}

Все рассматриваемые далее пространства считаем Банаховыми.

{{Определение
|definition=
<tex> E^* </tex> {{---}} множество линейных непрерывных функционалов над <tex> E </tex>, его называют пространством, сопряженным к <tex> E </tex>. 
Аналогично, <tex> E^{**} </tex> {{---}} пространство, сопряженное к <tex> E^* </tex>.
}}

== Естественное вложение ==
{{Утверждение
|statement=
Между <tex> E </tex> и <tex> E^{**} </tex> существует так называемый '''естественный изоморфизм''', сохраняющий норму точки.
|proof=
Введем <tex> F_x </tex> следующим образом: <tex>\forall x \in E : F_x (f) = f(x), f \in E^{*} </tex>.

<tex> F_x : E^{*} \to \mathbb{R} </tex> — функционал, заданный на <tex>E^{*}</tex>, то есть <tex> F_x \in E^{**} </tex>.

Тогда само <tex> F </tex> отображает <tex> E </tex> в <tex> E^{**} </tex>.

<tex> F </tex> линейно: <tex> F_{\alpha x_1 + \beta x_2} = \alpha F_{x_1} + \beta F_{x_2} </tex>.

<tex> | F_x(f) | = |f(x)| \le \| f \| \| x \| </tex>, откуда <tex> \| F_x \| \le \| x \| </tex>.

С другой стороны, по следствию из теоремы Хана-Банаха, для любого <tex> x_0 \in E </tex> существует <tex> f_0 \in E^* </tex>, такое, что выполняются два условия:
# <tex> f_0(x_0) = \| x_0 \| </tex>
# <tex> \| f_0 \| = 1 </tex>.

<tex> | F_{x_0} (f_0) | = f_0 (x_0) = \| x_0 \|, \| f_0 \| = 1 </tex>, потому получаем, что <tex> \| F_{x_0} \| \ge \| x_0 \| \implies \| F_{x_0} \| = \| x_0 \| </tex>.

Значит, получившееся преобразование <tex> x \mapsto F_x </tex> — изометрия, <tex> \| x \| = \| F_x \| </tex>, получили '''естественное вложение''' <tex> E </tex> в <tex> E^{**} </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
<tex> E </tex> называется '''рефлексивным''', если <tex> E </tex> будет совпадать с <tex> E^{**} </tex> при таком отображении.
}}

Например, гильбертово пространство <tex> H </tex> рефлексивно (следует из теоремы Рисса об общем виде линейного функционала).

<tex> C[0, 1] </tex> не является рефлексивным.

== Сопряженный оператор ==

Пусть оператор <tex> A </tex> действует из <tex> E </tex> в <tex> F </tex>, и функционал <tex> \varphi </tex> принадлежит <tex> F^* </tex>.

Рассмотрим <tex> f(x) = \varphi (Ax), | f(x) | \le \| \varphi \| \| A \| \| x \| </tex>.

Получили новый функционал <tex> f </tex>, принадлежащий <tex> E^* </tex>. <tex> \varphi \mapsto \varphi A </tex>.

<tex> \varphi A = A^* (\varphi), A^* : F^* \to E^* </tex>. <tex> A^* </tex> {{---}} '''сопряженный оператор''' к <tex> A </tex>.

{{Теорема
|statement=
Если <tex> A </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор, то <tex> \| A^* \| = \| A \| </tex>.
|proof=
Возьмем <tex> x \in E, \varphi \in F^* </tex>.

<tex> | A^* (\varphi, x) | = | \varphi (Ax) | \le \| A \| \| \varphi \| \| x \| </tex>.

Получили, что <tex> \| A^* (\varphi) \| \le \| A \| \| \varphi \| </tex>, откуда <tex> \| A^* \| \le \| A \| </tex>.

Для доказательства в обратную сторону используем [[Теорема Хана-Банаха#hbnorm|следствие из теоремы Хана-Банаха]]:

По определению нормы оператора: <tex> \forall \varepsilon > 0 \, \exists x: \| x \| = 1 \implies \| A \| - \varepsilon < \| Ax \| </tex>.

<tex> Ax \in F </tex>, по следствию из теоремы Хана-Банаха подберем <tex> \varphi_0 \in F^*, \| \varphi_0 \| = 1: \varphi_0 (Ax) = \| Ax \| </tex>.

<tex> | A^*(\varphi_0, x) | = | \varphi_0(Ax) | = \| Ax \| > \| A \| - \varepsilon </tex>.

<tex> | A^*(\varphi_0, x) | \le \| A^*(\varphi_0) \| \| x \| = \| A^*(\varphi_0) \| \le \| A^* \| \| \varphi_0 \| = \| A^* \| </tex>.

Соединяя эти два неравенства, получаем, что <tex> \forall \varepsilon > 0: \| A^* \| > \| A \| - \varepsilon </tex>.

Устремляя <tex> \varepsilon </tex> к нулю, получаем, что <tex> \| A^* \| \ge \| A \| </tex>, и, окончательно, <tex> \| A^* \| = \| A \| </tex>.

}}

== Примеры сопряженных операторов ==

Возьмем любое гильбертово пространство <tex> H </tex>, <tex> A : H \to H </tex>.

<tex> \forall \varphi \in H^* </tex> по теореме Рисса об общем виде линейного функционала в <tex> H </tex> существует единственный
<tex> z : \varphi (y) = \langle y, z \rangle, \| \varphi \| = \| z \| </tex>.

Поскольку <tex> x \mapsto \varphi (Ax) </tex> также является линейным функционалом <tex> H \to H </tex>, то <tex> \varphi (Ax) = \langle Ax, z \rangle = \langle x, y \rangle </tex>, где <tex> y </tex> не зависит от <tex> x </tex>.

Имеем отображение <tex> z \mapsto y </tex>, тогда <tex> y = A^*(z) </tex>, и окончательно:

<tex> \langle Ax, z \rangle = \langle x, A^*z \rangle </tex>.

В гильбертовом пространстве <tex> H </tex> сопряженный оператор {{---}} тот оператор, который позволяет писать равенство выше.

{{Определение
|definition=
Оператор <tex> A </tex> в гильбертовом пространстве называется '''самосопряженным''', если <tex> A = A^* </tex>
}}

В случае <tex> \mathbb{R}^n </tex> (частный случай <tex> H </tex>) оператор <tex> A : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n </tex> представляет собой матрицу размером <tex> n \times n </tex>. Сопряженный к <tex> A </tex> оператор получается транспонированием соответствующей матрицы: <tex> A^* = A^T </tex>. Для симметричной матрицы <tex> A </tex> получается <tex> A^* = A^T = A </tex>, то есть, если <tex> A </tex> {{---}} симметричная матрица, то <tex> A </tex> {{---}} самосопряженный оператор.

Рассмотрим теперь пространство <tex> E = L_p [0, 1] </tex>.

Пусть <tex> K(u, v) : [0, 1] \times [0, 1] \to \mathbb{R} </tex> {{---}} непрерывная функция на <tex> [0, 1] \times [0, 1] </tex>, <tex> x \in E </tex>.

'''Интегральный оператор''' <tex> A </tex>, действующий из <tex> L_p [0, 1] </tex> в <tex> L_p [0, 1] </tex> определяется так: <tex> A(x, s) = (Ax)(s) = \int\limits_0^1 K(s, t) x(t) dt </tex>. <tex> Ax \in E </tex>.

Построим сопряженный оператор:

По теореме об общем виде линейного функционала в <tex> L_p </tex>,

<tex> \forall \varphi \in E^*, x \in E: \varphi(x) = \int\limits_0^1 y(t) x(t) dt, y \in L_q </tex>, где <tex> \frac 1p + \frac 1q = 1 </tex> (<tex> p </tex> и <tex> q </tex> называются '''сопряженными показателями''').

<tex> L_p^* = L_q </tex>.

<tex> A^*(\varphi, x) = \varphi (Ax) = \int\limits_0^1 y(s) (Ax)(s) ds = \int\limits_0^1 y(s) (\int\limits_0^1 K(s, t) x(t) dt) ds = </tex> (по теореме Фубини поменяем порядок интегрирования) <tex> = \int\limits_0^1 ( \int\limits_0^1 K(s, t) y(s) ds) x(t) dt </tex>

Получили, что <tex> A^*(\varphi, x) = \int\limits_0^1 ( \int\limits_0^1 K(s, t) y(s) ds) x(t) dt </tex>. Обозначим <tex> z(t) = \int\limits_0^1 K(s, t) y(s) ds </tex>, тогда <tex> A^* (\varphi) \equiv z </tex>, аналогично <tex> \varphi \equiv y </tex>.

<tex> A^* </tex> {{---}} интегральный оператор из <tex> L_q </tex>, имеющий ядро <tex> K^*(s, t) = K(t, s) </tex>. В частности, если ядро симметрично (<tex> K(s, t) = K(t, s) </tex>) и <tex> p = q = 2 </tex>, то <tex> A = A^* </tex>.

== Ортогональное дополнение ==

Важное значение имеет ортогональное дополнение (в любом нормированном пространстве):

{{Определение
|definition=
Пусть <tex> E </tex> {{---}} НП, <tex> S \subset E^* </tex>.

<tex> S^{\bot} = \{ x \in E \mid \forall f \in S: f(x) = 0 \} </tex> {{---}} '''ортогональное дополнение''' <tex> S </tex>.

Аналогично, если <tex> T \subset E </tex>, то <tex> T^{\bot} = \{ f \in E^* \mid \forall x \in T: f(x) = 0 \} </tex>.
}}

{{Утверждение
|statement= <tex> \{ 0 \} = (E^*)^{\bot}, \{ \mathbf{0} \} = E^{\bot} </tex>.
|proof=

Оба включения <tex> \subset </tex> очевидны по определению. В обратную сторону:

# Пусть <tex> x \in (E^*)^{\bot} </tex>, тогда <tex> \forall f \in E^*: f(x) = 0 </tex>. Предположим, что <tex> x \neq 0 </tex>, тогда по [[Теорема Хана-Банаха|следствию из теоремы Хана-Банаха]], для такого <tex>x</tex>, найдется функционал <tex>f: f(x) = \| x \| \neq 0 </tex>, получили противоречие, что <tex> x \in (E^*)^{\bot} </tex>.
# Пусть <tex> f \in E^\bot </tex>, тогда <tex> \forall x \in E: f(x) = 0</tex>. Тогда <tex>f</tex> — нулевой функционал по определению.
}}

== Теоремы о множестве значений оператора ==
=== Теорема 1 ===

{{Теорема
|statement= <tex> A \in \mathcal{L}(E,F) \implies \operatorname{Cl} R(A) = (\operatorname{Ker} A^*)^\perp </tex>.
|proof =
<tex>\subset</tex>:

<tex>\forall \varphi \in \operatorname{Ker}A^*</tex>, <tex>A^* \varphi = \mathbf{0}</tex>.

Пусть <tex>y \in R(A) </tex>, тогда <tex> y = Ax </tex>.

<tex> \varphi (y) = \varphi(A x) = A^*(\varphi, x) = 0 </tex>, следовательно, <tex> R(A)\subset(\operatorname{Ker}A^*)^\perp</tex>.

Теперь, пусть <tex>y \in \operatorname{Cl} R(A)</tex>, тогда <tex> y = \lim y_n, y_n \in R(A)</tex>.

<tex>\varphi(y_n) = 0, \varphi(y_n) \xrightarrow[]{n \to \infty} \varphi(y) \implies \varphi(y) = 0</tex>, и <tex>\operatorname{Cl}(R(A)) \subset (\operatorname{Ker}(A^*))^\perp</tex>

<tex>\supset</tex>:

Надо показать, что <tex>y \in (\operatorname{Ker}A^*)^\perp \implies y \in \operatorname{Cl} R(A)</tex>. Пусть это не так: <tex> y \notin \operatorname{Cl} R(A)</tex>.

Рассмотрим <tex> F_1 = \{ z + ty \mid z \in \operatorname{Cl}(R(A)), t \in \mathbb{R} \} </tex>. <tex>F_1</tex> {{---}} линейное множество в силу линейности <tex>\operatorname{Cl}(R(A))</tex>.

Покажем, что <tex>F_1</tex> -- подпространство <tex>F</tex>.

Проверим сначала замкнутость <tex>F_1</tex>:

Пусть <tex>z_n+t_{n}y \to u = z + ty</tex>, хотим убедиться в том, что <tex>u \in F_1</tex>.

Если <tex> |t_{n}| \le const </tex>, то выберем <tex>t_{n_k}</tex>, стремящееся к какому-то <tex>t</tex>. Из <tex>z_n+t_{n}y \to u, t_{n_k}y \to ty </tex> получаем <tex> z_n \to z \in \operatorname{Cl}(R(A))</tex>.

Если допустить, что <tex>t_{n_k} \to \infty</tex>:

<tex>z_{n_k}+t_{n_k}y \to u</tex>. <tex>z_{n_k}/t_{n_k} + y \to 0 \implies z_{n_k}/t_{n_k} \to -y \implies -y \in \operatorname{Cl}(R(A)) \implies y \in \operatorname{Cl}(R(A))</tex> {{---}} противоречие.

Таким образом, <tex>\operatorname{Cl}(F_1) = F_1</tex>.

Построим на <tex>F_1</tex> фунционал <tex>\varphi_0 : \varphi_0(z+ty) = t </tex>, <tex> \varphi_0(z) = 0</tex>. Он, очевидно, непрерывен, а по теореме Хана-Банаха с сохранением напрерывности его можно продолжить на <tex>F: \widetilde{\varphi} \in F^*</tex>, причем так, что <tex>\widetilde{\varphi}\mid _{F_1} = \varphi_0</tex>.

Рассмотрим значение <tex>\widetilde{\varphi_0}(y)</tex>:

* С одной стороны, <tex>\widetilde{\varphi_0}(y) = \varphi_0(y) = \varphi(0 + 1 y) = 1</tex>
* С другой стороны, <tex>y \in (\operatorname{Ker}A^*)^\perp</tex>, а значит, на любом функционале из ядра <tex>A^*</tex>, в том числе, и на <tex>\widetilde{\varphi_0}</tex>, должно выполняться <tex>\widetilde{\varphi_0}(y) = 0</tex>

Получили противоречие, следовательно, <tex> y \in \operatorname{Cl}(R(A))</tex>.
}}

=== Теорема 2 ===

{{Теорема
|statement= <tex> A \in \mathcal{L}(E,F),~R(A) = \operatorname{Cl} R(A) \implies R(A^*) = (\operatorname{Ker}A )^\perp </tex>.
|proof =
1) <tex>f \in R(A^*) \implies f = \varphi A , \varphi \in F^*</tex>.

Рассмотрим <tex> x \in (\operatorname{Ker}A). </tex>
<tex>f(x) = \varphi(Ax) = \varphi(0) = 0 \implies R(A^*) \subset (\operatorname{Ker}A )^\perp</tex>.

2) Докажем теперь обратное включение:

<tex>(\operatorname{Ker}A )^\perp</tex> — набор таких <tex>f</tex>, что если <tex>Ax=0</tex>, то <tex>f(x)=0</tex>.

Надо показать, что <tex>f \in R(A^*)</tex>, т.е. проверить, что <tex>f = A^* \varphi = \varphi A</tex>.

Если найдем <tex>\varphi</tex>, заданный на <tex>R(A)</tex>, то сможем продолжить его на все <tex>F</tex> по теореме Хана-Банаха.

Рассмотрим произвольное <tex>y \in R(A)</tex>, пусть <tex>y = Ax</tex> и <tex>y = Ax'</tex>.

Тогда <tex>A(x - x') = 0</tex>, то есть <tex>x - x' \in \operatorname{Ker} A</tex>, <tex>f(x - x') = 0</tex>, и <tex>f(x) = f(x')</tex>, то есть, значение функционала не зависит от того, какой конкретно <tex>x</tex> (при <tex>Ax = y</tex>) был выбран.

Тогда можно взять <tex>\varphi(y) = f(x)</tex>, где <tex>y = Ax</tex> — линейный функционал, <tex>f = \varphi A</tex>. Осталось проверить ограниченность <tex>\varphi</tex> на <tex>R(A)</tex>.

Рассмотрим <tex>E/_{\operatorname{Ker} A}</tex>, <tex>\widetilde{A} : E/_{\operatorname{Ker} A} \to F</tex>, <tex>\widetilde{A}([x]) = Ax</tex>.

<tex>\widetilde{A} : E/_{\operatorname{Ker} A} \to R(A)</tex> — биекция, <tex>R(A)</tex> — замкнуто, <tex>F</tex> — банахово, поэтому <tex>R(A)</tex> — также банахово как подпространство в <tex>F</tex>. Введем норму для <tex>[x] \in E/_{\operatorname{Ker} A}</tex> как <tex>\|[x]\| = \inf\limits_{x\in [x]} \|x\|</tex>.

Покажем, что <tex>\widetilde{A}</tex> — ограничен: <tex>\|\widetilde{A}\| = \sup\limits_{\|[x]\| = 1} \|\widetilde{A}[x]\|</tex>. Теперь перейдем от классов эквивалентности к их представителям. Так как <tex>\|[x]\| = \inf\limits_{x \in [x]} \|x\| = 1</tex>, найдется <tex>x \in [x]</tex>, такой, что <tex>\|x\| \le 2</tex> (по определению инфимума), возьмем его в качестве представителя (мы можем это сделать, так как значение <tex>Ax</tex> одно и тоже для любого <tex>x\in[x]</tex>). Тогда: <tex>\|\widetilde{A}\| = \sup\limits_{\|[x]\| = 1} \|\widetilde{A}[x]\| \le \sup\limits_{\|x\| \le 2} \|Ax\| \le \sup\limits_{\|y\| \le 1} \|A(2 y)\| \le 2 \sup\limits_{\|y\| \le 1} \|Ay\| = 2 \|A\|</tex>, так как <tex>\|A\|</tex> был ограничен, <tex>\widetilde{A}</tex> тоже окажется ограниченным.

Тогда по [[Теорема Банаха об обратном операторе#Теорема Банаха о гомеоморфизме|теореме Банаха об гомеоморфизме]] существует линейный ограниченный оператор <tex>\widetilde{A}^{-1}</tex>, <tex>\| \widetilde{A}^{-1} \| \le m \|y\| < 2m \|y\|</tex>. Замечание: строгое неравенство нам нужно для того, чтобы обеспечить существование такого <tex> x' \in A^{-1}(y) </tex>, что <tex> \| x' \| < 2m\| y \| </tex>.

<tex>\widetilde{A}^{-1}(y) = \{ x: y = Ax \}</tex>

<tex>\|\widetilde{A}^{-1}(y)\| = \inf\limits_{x\in \widetilde{A}^{-1}(y)} \|x\| < 2m \|y\| </tex>, следовательно, существует <tex> x' = A^{-1}y, \|x'\| < 2m\|y\|</tex>.

<tex> \|\varphi(y)\| = \|f(x')\| \le \|f\|\|x'\| < (2m\|f\|)\|y\| </tex>, то есть, получили ограниченность <tex> \varphi </tex>, теорема доказана.
}}

Эти две теоремы являются наиболее общей формой записи условий разрешимости операторных уравнений.

Смысл: рассмотрим уравнение <tex>Ax = y</tex>, где <tex>y</tex> — дано. Для того, чтобы понять, разрешимо ли уравнение, нужно проверить, что <tex>y \in R(A)</tex>. В общем случае, не существует способа это сделать, но можно ограничиться проверкой <tex>R(A) = \operatorname{Cl} R(A)</tex>, и тогда <tex>R(A) = (\operatorname{Ker}A^*)^\bot</tex>, сопряженный оператор можно построить, ядро поддается конструктивному описанию: <tex>y \in R(A) \iff y \perp \operatorname{Ker} A^*</tex>.

Например, <tex>A: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n</tex>, <tex>A^* = A^\top : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m</tex>. <tex>R(A) = \operatorname{Cl} R(A)</tex>, <tex>Ax = y</tex>, <tex>y</tex> — дано. Надо смотреть <tex>y \perp \operatorname{Ker} A^*</tex>, то есть <tex>A^\top y = 0</tex>.

В следующих параграфах мы введем класс бесконечномерных операторов, для которых <tex>R(A)</tex> — замкнуто, в частности, в этот класс входят интегральные операторы.

[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]

Теория Гильберта-Шмидта

2013-06-12T05:49:08Z

Rybak:

{{В разработке}}

__TOC__

В этом параграфе будем иметь дело с Гильбертовым пространством <tex>\mathcal{H}</tex>, но над полем <tex>\mathbb{C}</tex>.

# (над <tex>\mathbb{R}</tex>): <tex>\langle x, y \rangle = \langle y, x \rangle</tex>
# (над <tex>\mathbb{C}</tex>): <tex>\langle x, y \rangle = \overline{\langle y, x \rangle}</tex>

В конечномерном пространстве <tex>\mathbb{R}^n = \{\langle x_1, x_2, \ldots, x_n \rangle\} </tex> (<tex>x_i \in \mathbb{R}</tex>) скалярное произведение двух векторов определялось как <tex>\langle \bar{x}, \bar{y} \rangle = \sum\limits_{k=1}^n x_n y_n</tex>.

В <tex>\mathbb{C}^n = \{\langle z_1, z_2, \ldots, z_n \rangle\}</tex> (<tex>z_i \in \mathbb{C}</tex>) же, <tex> \langle \bar{z}, \bar{y} \rangle = \sum\limits_{k=1}^n z_i \overline{y_i}</tex>.

Комплексное сопряжение добавлено для того, чтобы выполнялась первая аксиома скалярного произведения: <tex>\langle x, x \rangle \ge 0</tex>:
<tex>\langle \overline{z}, \overline{z} \rangle = \sum\limits_{k=1}^n z_k \overline{z_k} = \sum\limits_{k=1}^n |z_k|^2 \in \mathbb{R}, > 0</tex>.

Нас будут интересовать только линейные ограниченные операторы <tex>\mathcal{A} : \mathcal{H} \to \mathcal{H}</tex>.

{{Определение
|definition=Оператор <tex>\mathcal{A}</tex> в гильбертовом пространстве называется ''самосопряжённым'' (<tex>\mathcal{A} = \mathcal{A}^*</tex>), если <tex>\forall x, y : \langle \mathcal{A}x, y \rangle = \langle x, \mathcal{A}y \rangle</tex>.
}}

Посмотрим, что же такое ''самосопряжённость'' для конечномерного оператора в <tex>\mathbb{C}^n</tex>. В <tex>\mathbb{C}^n</tex> линейный оператор представляет из себя матрицу <tex>A = \{a_{ij}\}</tex>.

{{Утверждение
|statement=Оператор <tex>\mathcal{A} : \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^n</tex> самосопряжён <tex>\iff</tex> <tex>A = \overline{A^T}</tex>.
|proof=<tex>Az = \{a_{ij}\} \cdot \left(\begin{array}{c}z_1\\\vdots\\z_n\end{array}\right) = </tex> <tex>\left(\sum\limits_{j=1}^n a_{ij} z_j\right)_{i=1..n}</tex>.

<tex>\langle \mathcal{A}z, y \rangle = \langle Az, y\rangle = </tex> <tex>\sum\limits_{i=1}^n (Az)_i \overline{y_i} = </tex> <tex>\sum\limits_{i=1}^n\left(\sum\limits_{j=1}^n a_{ij} z_j\right)\overline{y_i} = </tex> <tex>\sum\limits_{i,j=1}^n a_{ij} z_j \overline{y_i} = </tex> <tex>\sum\limits_{j=1}^n\left(\sum\limits_{i=1}^n a_{ij}\overline{y_i}\right)z_j = </tex> <tex>\sum\limits_{j=1}^n\left(\sum\limits_{i=1}^n \overline{\overline{a_{ij}}}\cdot\overline{y_i}\right)z_j = </tex> <tex>\sum\limits_{j=1}^n z_j \overline{\left(\sum\limits_{i=1}^n\overline{a_{ij}}y_i\right)} = </tex> <tex>\langle z, By \rangle = </tex> <tex>\langle z, \overline{A^T} y \rangle</tex>
}}

<tex>\langle \mathcal{A}x, x \rangle = \langle x, \mathcal{A}x \rangle </tex>, <tex>\langle \mathcal{A}x, x \rangle = \overline{\langle x, \mathcal{A}x \rangle}</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\langle \mathcal{A}x, x\rangle \in \mathbb{R}</tex>, так как если комплексное число совпадает со своим сопряжением, то его мнимая часть равна нулю.

Рассмотрим <tex>\lambda = \mu + i\nu \in \mathbb{C}</tex>, <tex>\lambda \mathcal{I} - \mathcal{A} = (\mu\mathcal{I} - \mathcal{A}) + i\nu\mathcal{I}</tex>.

<tex>\| (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x \|^2 = </tex> <tex>\langle (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x, (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\rangle = </tex> <tex>\langle (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x+i\nu x, (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x+i\nu x \rangle = </tex> <tex>\|(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x\|^2 + |\nu|^2\cdot\|x\|^2 + \langle(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x, i\nu x\rangle + \langle i\nu x, (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x\rangle = </tex> [<tex>\mu \in \mathbb{R}</tex>, <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый <tex>\Rightarrow</tex> <tex>(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})^* = (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})</tex>] <tex> = \|(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A}x\|^2 + |\nu|^2\cdot\|x\|^2 + (-i\nu)\langle (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x, x\rangle + i\nu\langle x, (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x\rangle = </tex> <tex>\|(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x\|^2 + |\nu|^2\cdot\|x\|^2</tex>

Итого: <tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\|</tex>.

{{Утверждение
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}}самосопряжённый, а <tex>\lambda \in \mathbb{C}</tex>, то <tex>\mathcal{H} = \operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) \oplus \operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})</tex>.
|proof=Доказательство разбивается на два случая: <tex>\lambda \in \mathbb{R}</tex> и <tex>\lambda \notin \mathbb{R}</tex>

* Случай 1. <tex>\lambda \in \mathbb{R}</tex>:

<tex>\lambda \in \mathbb{R} \Rightarrow (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})^* = \lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}</tex>

<tex>\operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = (\operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})^*)^\bot = \operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})^\bot</tex>

* Случай 2. <tex>\lambda \notin \mathbb{R}</tex>:

из неравенства <tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\| > 0</tex> при <tex>x \ne 0</tex> вытекает <tex>\operatorname{Ker}(\overline{\lambda}\mathcal{I}-\mathcal{A}) = \{0\}</tex>, так как для <tex>\lambda \notin \mathbb R</tex>, <tex>|\nu| \ne 0</tex>.

<tex>\operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = (\operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})^*)^\bot = \mathcal{H}</tex>.
}}

== Теоремы о спектре самосопряженного оператора ==

=== Вещественность спектра ===

{{Теорема
|statement = Если <tex>\mathcal{A}</tex> {{---}} самосопряженный, то <tex> \sigma (\mathcal{A}) \subset \mathbb{R} </tex>.
|proof = Проверим, что если <tex> \operatorname{Im} \lambda \ne 0</tex>, то <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex>.
<tex>\lambda = \mu + i\nu</tex>, <tex>\nu\ne0</tex>, <tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\| > 0</tex>

<tex>\operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = \{0\}</tex>, <tex>\operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = \mathcal{H}</tex> (всюду плотно в <tex> \mathcal H </tex>).

С другой стороны, неравенство <tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\|\ge|\nu|\cdot\|x\|</tex> даёт априорную оценку <tex>y=(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x</tex>, откуда следует, что
<tex>R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})</tex> {{---}} замкнуто.

Значит, <tex>\mathcal{H} = R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})</tex>

<tex>\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}</tex>{{---}} биективен на <tex>\mathcal{H}</tex>. <tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\|</tex> гарантирует, что обратный оператор ограничен, и, как следствие, непрерывен. Значит, <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex>

}}

=== Критерии вхождения в спектр и резольвентное множество ===

{{Теорема
|statement=Пусть <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор. Тогда
1. <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A}) \iff \exists m > 0 : \forall x \in \mathcal{H} : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge m\|x\|</tex>
2. <tex>\lambda \in \sigma(\mathcal{A}) \iff \exists x_n : \|x_n\| = 1 : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x_n\| \to 0 </tex>
|proof='''Замечание''': второе свойство означает, что спектр самосопряжённого оператора состоит из почти собственных чисел

Докажем первый пункт

<tex>\Longrightarrow</tex>: <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex>, то есть резольвентный оператор определен.

<tex>\left\| \frac{1}{\lambda I - A} (\lambda I - A) x\right\| \le \left\| \frac{1}{\lambda I - A} \right\| \| (\lambda I - A) x\|</tex>

Возьмем <tex>m=\frac{1}{\left\| \frac{1}{\lambda I - A} \right\|}</tex>, тогда:

<tex>\| (\lambda I - A) x\| \ge m \left\| \frac{1}{\lambda I - A} (\lambda I - A) x\right\| \ge m \|x\|</tex>

<tex>\Longleftarrow</tex>: существование резольвентного оператора следует из [[Теорема Банаха об обратном операторе#invlb|одной из теорем об обратных операторах]]

{{TODO|t=почему-то не используется самосопряженность}}

Второй пункт — просто логическое отрицание первого. {{TODO|t=ну понятно же, мне лень писать}}
}}

Выше мы убедились, что <tex>\langle \mathcal{A}x, x \rangle \in \mathbb{R}</tex>

{{Определение
|definition=<tex>m_- = \inf\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x\rangle</tex>

<tex>m_+ = \sup\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x \rangle</tex>
}}

Очевидно, что <tex>m_- \le m_+</tex>

<tex>\forall x \in \mathcal{H} : x = \|x\| \frac{x}{\|x\|} = \|x\|z</tex>, где <tex>\|z\| = 1</tex>:
<tex>\langle \mathcal{A}x, x\rangle = \|x\|^2 \langle\mathcal{A}z, z\rangle \le m_+ \|x\|^2</tex>

Аналогично, <tex> \langle\mathcal{A}x, x\rangle \ge m_- \|x\|^2 </tex>

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>A</tex> — самосопряженный оператор. Тогда:
# <tex>\sigma(\mathcal{A}) \subset [m_-; m_+]</tex>
# <tex>m_+, m_- \in \sigma(\mathcal{A})</tex>
|proof=
'''Пункт 1.''' Докажем, что из того, что <tex>\lambda > m_+</tex> следует, что <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex>. Аналогично докажем для <tex>m_-</tex>

Нужно проверять только <tex>\lambda \in \mathbb{R}</tex>

Пусть <tex>\lambda > m_+</tex>. Проверим, что выполняется критерий вхождения в <tex>\rho(\mathcal{A})</tex> из предыдущей теоремы

<tex>(\lambda - m_+) \cdot \|x\|^2 =</tex> <tex>(\lambda - m_+) \langle x, x \rangle =</tex> <tex>\langle \lambda x, x\rangle - \langle m_+x, x\rangle \le </tex> <tex>\langle \lambda x, x \rangle - \langle \mathcal{A}x, x \rangle = </tex> <tex>\langle (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x, x\rangle \le</tex> [неравенство Шварца] <tex>\le \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \cdot \|x\|</tex>

Итого: <tex>(\lambda-m_+)\|x\| \le \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \Rightarrow \lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex>

'''Пункт 2.''' Докажем, что <tex>m_+ \in \sigma(\mathcal{A})</tex>

Проверим критерий принадлежности спектру из предыдущей теоремы.

<tex>m_+ = \sup\limits_{\|x\|=1} \langle \mathcal{A}x, x\rangle</tex>

По определению <tex>\sup</tex> подбираются <tex>x_n : \|x_n\| = 1</tex>, <tex>\langle \mathcal{A}x_n, x_n\rangle \to m_+</tex>

<tex>\langle \mathcal{A}x, x\rangle \le m_+ \cdot \langle x, x\rangle \iff \langle (m_+\mathcal{I}-\mathcal{A})x, x\rangle \ge 0</tex>

<tex>\mathcal{L} = m_+\mathcal{I} - \mathcal{A}</tex>, <tex>\mathcal{L}=\mathcal{L}^*</tex>

Далее будем использовать обозначение <tex>[x, y] = \langle \mathcal{L}x, y\rangle</tex>.

Так как <tex>\langle \mathcal{L}x, x \rangle \ge 0</tex>, мгновенно проверяем, что <tex>[\_, \_]</tex> удовлетворяет аксиомам скалярного произведения, а значит, для <tex>[\_, \_]</tex> выполняется неравенство Шварца:

<tex>|[x, y]|^2 \le [x, x] \cdot [y, y] </tex>

Надо: <tex>\mathcal{L}x_n \to 0</tex>

<tex>\langle \mathcal{L}x_n, x_n \rangle \to 0</tex>

<tex>|\langle \mathcal{L}x, y \rangle|^2 \le \langle\mathcal{L}x, x\rangle \cdot \langle \mathcal{L}y, y \rangle</tex>

Подставим <tex>x = x_n</tex>, <tex>y = \mathcal{L}x_n</tex>:

<tex>|\langle\mathcal{L}x_n, \mathcal{L}x_n\rangle|^2 \le</tex> <tex>\langle \mathcal{L}x_n, x_n\rangle \cdot \langle \mathcal{L}^2x_n, \mathcal{L}x_n\rangle </tex>

<tex>|\langle \mathcal{L}x_n, \mathcal{L}x_n\rangle|^2 = \|\mathcal{L}x_n\|^4</tex>, <tex>\langle \mathcal{L}x_n, x_n\rangle \to 0</tex>, <tex>\langle\mathcal{L}^2x_n, \mathcal{L}x_n\rangle \le \|\mathcal{L}^2x_n\|\cdot\|\mathcal{L}x_n\| \le \|\mathcal{L}\|^3 \cdot \|x_n\|^2[=1] = \|\mathcal{L}\|^3 \le M</tex>

}}

=== Теорема о спектральном радиусе ===

{{Утверждение
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор, то <tex>r_\sigma(\mathcal{A}) = \|\mathcal{A}\|</tex>
|proof=Ранее мы доказывали, что <tex>r_\sigma(\mathcal{A}) = \lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{\|\mathcal{A}^n\|}</tex>

Если проверить, что <tex>\|\mathcal{A}^{2^n}\| = \|\mathcal{A}\|^{2^n}</tex>, то, по предыдущему утверждению, теорема будет верна: <tex>\sqrt[2^n]{\|\mathcal{A}^{2^n}\|} = \sqrt[2^n]{\|\mathcal{A}\|^{2^n}} = \|\mathcal{A}\|</tex>

Очевидно, достаточно проверить это утверждение только для <tex>n = 1</tex>. Остальное получится автоматически.

<tex>\langle\mathcal{A}x, \mathcal{A}x \rangle = \|\mathcal{A}x\|^2</tex>

По самосопряжённости:

<tex> = \langle x, \mathcal{A}^2x \rangle \le</tex> [по неравенству Шварца] <tex>\le \|\mathcal{A}^2x\|\cdot\|x\| \le</tex> [<tex>\|x\| \le 1</tex>] <tex>\le \|\mathcal{A}^2x\| \le</tex> <tex>\|\mathcal{A}^2\| \cdot \|x\| \le </tex> <tex>\|\mathcal{A}^2\|</tex>

Итого: <tex>\|\mathcal{A}\|^2 \le \|\mathcal{A}^2\|</tex>. Осталось доказать обратное неравенство.

<tex>\|\mathcal{A}^2 x \| = </tex> <tex>\|\mathcal{A}(\mathcal{A}x)\| \le</tex> <tex>\|\mathcal{A}\| \cdot \|\mathcal{A}x\| \le</tex> <tex>\|\mathcal{A}\|^2</tex>
}}

Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} компактный, то <tex>\sigma(\mathcal{A})</tex> состоит только из счётного числа собственных чисел <tex>\lambda_i</tex>. Обозначим за <tex>M_{\lambda_i} </tex> собственные подпространства. В силу самосопряжённости, <tex>M_{\lambda_i} \perp M_{\lambda_j}</tex>.

Собственные подпространства конечномерны (<tex>\dim M_\lambda < +\infty</tex>). Можно считать, что в каждом из них определён ортонормированный базис.

== Теорема Гильберта-Шмидта ==

{{Теорема
|author=Гильберт, Шмидт
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый компактный оператор в гильбертовом пространстве <tex>\mathcal{H}</tex>, а <tex>M_{\lambda_i}</tex>{{---}} его (оператора) собственные подпространства, то <tex>\mathcal{H} = M_{\lambda_1} \oplus M_{\lambda_2} \oplus \cdots \oplus M_{\lambda_n} \oplus \cdots </tex>
|proof=Обозначим за <tex>M = \bigoplus\limits_n M_{\lambda_n}</tex>, <tex>M^\bot</tex>{{---}} ортогональное дополнение <tex>M</tex> до <tex>\mathcal{H}</tex> (<tex>\mathcal{H} = M \oplus M^\bot</tex>).

Нужно проверить, что <tex>M^\bot = \{0\}</tex>

Элементарно проверяется, что <tex>\forall M_\lambda : \mathcal{A}(M_\lambda) \subset M_\lambda</tex>:
<tex>\forall x \in M_\lambda : \mathcal{A}x = \lambda x \in M_\lambda</tex>

Проверим, что <tex>\mathcal{A}(M^\bot) \subset M^\bot</tex>: <tex>\forall x \in M^\bot : \mathcal{A}x \perp</tex> любому <tex>M_\lambda</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\mathcal{A}x \in M^\bot</tex>

<tex>y \in M_\lambda : \langle \mathcal{A}x, y\rangle = \langle x, \mathcal{A}y\rangle = \langle x, \lambda y \rangle = |\lambda|\langle x, y \rangle</tex>, <tex>x\in M^\bot</tex>, <tex>\langle x, y \rangle = 0</tex>

Значит, <tex>\mathcal{A}(M^\bot)\subset M^\bot</tex>

Рассмотрим <tex>\mathcal{A}_0 = \mathcal{A}|_{M^\bot}</tex>

<tex>M^\bot</tex> {{---}} гильбертово пространство, <tex>\mathcal{A}_0</tex> {{---}} самосопряжённое, <tex>r_\sigma(\mathcal{A}_0) = \|\mathcal{A}_0\|</tex>

Но все собственные числа <tex>\mathcal{A}</tex> задействованы в <tex>M_\lambda</tex> <tex>r_\sigma(\mathcal{A}_0) = 0</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\|\mathcal{A}_0\| = 0</tex> <tex>\Rightarrow</tex> оператор тривиальный <tex>M^\bot = \operatorname{Ker} \mathcal{A}_0</tex>

Если бы у <tex>\mathcal{A}</tex> было нетривиальное ядро, то оно стало бы собственным подпространством, значит, было бы задействовано в <tex>\bigoplus</tex>. Значит, <tex>\operatorname{Ker} \mathcal{A}_0 = \{0\}</tex>.
}}

Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый компактный оператор, то ОНС базис <tex>\mathcal{H}</tex> можно построить из собственных векторов <tex>\varphi_1, \ldots \varphi_n, \ldots</tex>.

Любой <tex>x \in \mathcal{H}</tex> можно разложить в ряд Фурье по свойствам гильбертова пространства. Значит,

<tex>\mathcal{A}x = \sum\limits_{n=1}^\infty \langle x, \varphi_n\rangle \mathcal{A}\varphi_n = \sum\limits_{n=1}^\infty \lambda_n \langle x, \varphi_n\rangle \varphi_n</tex>.

Получаем структуру сопряжённого компактного оператора: <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex> (<tex>\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}</tex> непрерывно обратим) <tex>\Rightarrow</tex> <tex>y = \sum\limits_{n=1}^\infty \langle y, \varphi_n\rangle \varphi_n</tex>, <tex>y = \lambda x - \mathcal{A}x</tex>

<tex>\sum\limits_{n=1}^\infty \langle y, \varphi_n\rangle \varphi_n = \sum \lambda\langle x, \varphi_n\rangle\varphi_n - \sum\lambda_n\langle x, \varphi_n\rangle\varphi_n = \sum(\lambda-\lambda_n)\langle x, \varphi_n\rangle \varphi_n</tex>.

Можно приравнять коэффициенты: <tex>\langle y, \varphi_n\rangle = (\lambda-\lambda_n)\langle x, \varphi_n\rangle</tex>.

<tex>\langle x, \varphi_n\rangle = \frac{\langle y, \varphi_n\rangle}{\lambda-\lambda_n}</tex> (в знаменателе нуля быть не может, потому что <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex>).

<tex>R_\lambda(y) = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\langle y, \varphi_n\rangle}{\lambda-\lambda_n}\varphi_n</tex>.

[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]

Сопряжённый оператор

2013-06-11T19:54:20Z

Rybak: /* Сопряженный оператор */

{{В разработке}}

Все рассматриваемые далее пространства считаем Банаховыми.

{{Определение
|definition=
<tex> E^* </tex> {{---}} множество линейных непрерывных функционалов над <tex> E </tex>, его называют пространством, сопряженным к <tex> E </tex>. 
Аналогично, <tex> E^{**} </tex> {{---}} пространство, сопряженное к <tex> E^* </tex>.
}}

== Естественное вложение ==
{{Утверждение
|statement=
Между <tex> E </tex> и <tex> E^{**} </tex> существует так называемый '''естественный изоморфизм''', сохраняющий норму точки.
|proof=
Введем <tex> F_x </tex> следующим образом: <tex>\forall x \in E : F_x (f) = f(x), f \in E^{*} </tex>.

<tex> F_x : E^{*} \to \mathbb{R} </tex> — функционал, заданный на <tex>E^{*}</tex>, то есть <tex> F_x \in E^{**} </tex>.

Тогда само <tex> F </tex> отображает <tex> E </tex> в <tex> E^{**} </tex>.

<tex> F </tex> линейно: <tex> F_{\alpha x_1 + \beta x_2} = \alpha F_{x_1} + \beta F_{x_2} </tex>.

<tex> | F_x(f) | = |f(x)| \le \| f \| \| x \| </tex>, откуда <tex> \| F_x \| \le \| x \| </tex>.

С другой стороны, по следствию из теоремы Хана-Банаха, для любого <tex> x_0 \in E </tex> существует <tex> f_0 \in E^* </tex>, такое, что выполняются два условия:
# <tex> f_0(x_0) = \| x_0 \| </tex>
# <tex> \| f_0 \| = 1 </tex>.

<tex> | F_{x_0} (f_0) | = f_0 (x_0) = \| x_0 \|, \| f_0 \| = 1 </tex>, потому получаем, что <tex> \| F_{x_0} \| \ge \| x_0 \| \implies \| F_{x_0} \| = \| x_0 \| </tex>.

Значит, получившееся преобразование <tex> x \mapsto F_x </tex> — изометрия, <tex> \| x \| = \| F_x \| </tex>, получили '''естественное вложение''' <tex> E </tex> в <tex> E^{**} </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
<tex> E </tex> называется '''рефлексивным''', если <tex> E </tex> будет совпадать с <tex> E^{**} </tex> при таком отображении.
}}

Например, гильбертово пространство <tex> H </tex> рефлексивно (следует из теоремы Рисса об общем виде линейного функционала).

<tex> C[0, 1] </tex> не является рефлексивным.

== Сопряженный оператор ==

Пусть оператор <tex> A </tex> действует из <tex> E </tex> в <tex> F </tex>, и функционал <tex> \varphi </tex> принадлежит <tex> F^* </tex>.

Рассмотрим <tex> f(x) = \varphi (Ax), | f(x) | \le \| \varphi \| \| A \| \| x \| </tex>.

Получили новый функционал <tex> f </tex>, принадлежащий <tex> E^* </tex>. <tex> \varphi \mapsto \varphi A </tex>.

<tex> \varphi A = A^* (\varphi), A^* : F^* \to E^* </tex>. <tex> A^* </tex> {{---}} '''сопряженный оператор''' к <tex> A </tex>.

{{Теорема
|statement=
Если <tex> A </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор, то <tex> \| A^* \| = \| A \| </tex>.
|proof=
Возьмем <tex> x \in E, \varphi \in F^* </tex>.

<tex> | A^* (\varphi, x) | = | \varphi (Ax) | \le \| A \| \| \varphi \| \| x \| </tex>.

Получили, что <tex> \| A^* (\varphi) \| \le \| A \| \| \varphi \| </tex>, откуда <tex> \| A^* \| \le \| A \| </tex>.

Для доказательства в обратную сторону используем [[Теорема Хана-Банаха#hbnorm|следствие из теоремы Хана-Банаха]]:

По определению нормы оператора: <tex> \forall \varepsilon > 0 \, \exists x: \| x \| = 1 \implies \| A \| - \varepsilon < \| Ax \| </tex>.

<tex> Ax \in F </tex>, по следствию из теоремы Хана-Банаха подберем <tex> \varphi_0 \in F^*, \| \varphi_0 \| = 1: \varphi_0 (Ax) = \| Ax \| </tex>.

<tex> | A^*(\varphi_0, x) | = | \varphi_0(Ax) | = \| Ax \| > \| A \| - \varepsilon </tex>.

<tex> | A^*(\varphi_0, x) | \le \| A^*(\varphi_0) \| \| x \| = \| A^*(\varphi_0) \| \le \| A^* \| \| \varphi_0 \| = \| A^* \| </tex>.

Соединяя эти два неравенства, получаем, что <tex> \forall \varepsilon > 0: \| A^* \| > \| A \| - \varepsilon </tex>.

Устремляя <tex> \varepsilon </tex> к нулю, получаем, что <tex> \| A^* \| \ge \| A \| </tex>, и, окончательно, <tex> \| A^* \| = \| A \| </tex>.

}}

== Примеры сопряженных операторов ==

Возьмем любое гильбертово пространство <tex> H </tex>, <tex> A : H \to H </tex>.

<tex> \forall \varphi \in H^* </tex> по теореме Рисса об общем виде линейного функционала в <tex> H </tex> существует единственный
<tex> z : \varphi (y) = \langle y, z \rangle, \| \varphi \| = \| z \| </tex>.

Поскольку <tex> x \mapsto \varphi (Ax) </tex> также является линейным функционалом <tex> H \to H </tex>, то <tex> \varphi (Ax) = \langle Ax, z \rangle = \langle x, y \rangle </tex>, где <tex> y </tex> не зависит от <tex> x </tex>.

Имеем отображение <tex> z \mapsto y </tex>, тогда <tex> y = A^*(z) </tex>, и окончательно:

<tex> \langle Ax, z \rangle = \langle x, A^*z \rangle </tex>.

В гильбертовом пространстве <tex> H </tex> сопряженный оператор {{---}} тот оператор, который позволяет писать равенство выше.

{{Определение
|definition=
Оператор <tex> A </tex> в гильбертовом пространстве называется '''самосопряженным''', если <tex> A = A^* </tex>
}}

В случае <tex> \mathbb{R}^n </tex> (частный случай <tex> H </tex>) оператор <tex> A : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n </tex> представляет собой матрицу размером <tex> n \times n </tex>. Сопряженный к <tex> A </tex> оператор получается транспонированием соответствующей матрицы: <tex> A^* = A^T </tex>. Для симметричной матрицы <tex> A </tex> получается <tex> A^* = A^T = A </tex>, то есть, если <tex> A </tex> {{---}} симметричная матрица, то <tex> A </tex> {{---}} самосопряженный оператор.

Рассмотрим теперь пространство <tex> E = L_p [0, 1] </tex>.

Пусть <tex> K(u, v) : [0, 1] \times [0, 1] \to \mathbb{R} </tex> {{---}} непрерывная функция на <tex> [0, 1] \times [0, 1] </tex>, <tex> x \in E </tex>.

'''Интегральный оператор''' <tex> A </tex>, действующий из <tex> L_p [0, 1] </tex> в <tex> L_p [0, 1] </tex> определяется так: <tex> A(x, s) = (Ax)(s) = \int\limits_0^1 K(s, t) x(t) dt </tex>. <tex> Ax \in E </tex>.

Построим сопряженный оператор:

По теореме об общем виде линейного функционала в <tex> L_p </tex>,

<tex> \forall \varphi \in E^*, x \in E: \varphi(x) = \int\limits_0^1 y(t) x(t) dt, y \in L_q </tex>, где <tex> \frac 1p + \frac 1q = 1 </tex> (<tex> p </tex> и <tex> q </tex> называются '''сопряженными показателями''').

<tex> L_p^* = L_q </tex>.

<tex> A^*(\varphi, x) = \varphi (Ax) = \int\limits_0^1 y(s) (Ax)(s) ds = \int\limits_0^1 y(s) (\int\limits_0^1 K(s, t) x(t) dt) ds = </tex> (по теореме Фубини поменяем порядок интегрирования) <tex> = \int\limits_0^1 ( \int\limits_0^1 K(s, t) y(s) ds) x(t) dt </tex>

Получили, что <tex> A^*(\varphi, x) = \int\limits_0^1 ( \int\limits_0^1 K(s, t) y(s) ds) x(t) dt </tex>. Обозначим <tex> z(t) = \int\limits_0^1 K(s, t) y(s) ds </tex>, тогда <tex> A^* (\varphi) \equiv z </tex>, аналогично <tex> \varphi \equiv y </tex>.

<tex> A^* </tex> {{---}} интегральный оператор из <tex> L_q </tex>, имеющий ядро <tex> K^*(s, t) = K(t, s) </tex>. В частности, если ядро симметрично (<tex> K(s, t) = K(t, s) </tex>) и <tex> p = q = 2 </tex>, то <tex> A = A^* </tex>.

== Ортогональное дополнение ==

Важное значение имеет ортогональное дополнение (в любом нормированном пространстве):

{{Определение
|definition=
Пусть <tex> E </tex> {{---}} НП, <tex> S \subset E^* </tex>.

<tex> S^{\bot} = \{ x \in E \mid \forall f \in S: f(x) = 0 \} </tex> {{---}} '''ортогональное дополнение''' <tex> S </tex>.

Аналогично, если <tex> T \subset E </tex>, то <tex> T^{\bot} = \{ f \in E^* \mid \forall x \in T: f(x) = 0 \} </tex>.
}}

{{Утверждение
|statement= <tex> \{ 0 \} = (E^*)^{\bot}, \{ \mathbf{0} \} = E^{\bot} </tex>.
|proof=

Оба включения <tex> \subset </tex> очевидны по определению. В обратную сторону:

# Пусть <tex> x \in (E^*)^{\bot} </tex>, тогда <tex> \forall f \in E^*: f(x) = 0 </tex>. Предположим, что <tex> x \neq 0 </tex>, тогда по [[Теорема Хана-Банаха|следствию из теоремы Хана-Банаха]], для такого <tex>x</tex>, найдется функционал <tex>f: f(x) = \| x \| \neq 0 </tex>, получили противоречие, что <tex> x \in (E^*)^{\bot} </tex>.
# Пусть <tex> f \in E^\bot </tex>, тогда <tex> \forall x \in E: f(x) = 0</tex>. Тогда <tex>f</tex> — нулевой функционал по определению.
}}

== Теоремы о множестве значений оператора ==
=== Теорема 1 ===

{{Теорема
|statement= <tex> A \in \mathcal{L}(E,F) \implies \operatorname{Cl} R(A) = (\operatorname{Ker} A^*)^\perp </tex>.
|proof =
<tex>\Longrightarrow</tex>:

<tex>\forall \varphi \in \operatorname{Ker}A^*</tex>, <tex>A^* \varphi = \mathbf{0}</tex>.

Пусть <tex>y \in R(A) </tex>, тогда <tex> y = Ax </tex>.

<tex> \varphi (y) = \varphi(A x) = A^*(\varphi, x) = 0 </tex>, следовательно, <tex> R(A)\subset(\operatorname{Ker}A^*)^\perp</tex>.

Теперь, пусть <tex>y \in \operatorname{Cl} R(A)</tex>, тогда <tex> y = \lim y_n, y_n \in R(A)</tex>.

<tex>\varphi(y_n) = 0, \varphi(y_n) \xrightarrow[]{n \to \infty} \varphi(y) \implies \varphi(y) = 0</tex>, и <tex>\operatorname{Cl}(R(A)) \subset (\operatorname{Ker}(A^*))^\perp</tex>

<tex>\Longleftarrow</tex>:

Надо показать, что <tex>y \in (\operatorname{Ker}A^*)^\perp \implies y \in \operatorname{Cl} R(A)</tex>. Пусть это не так: <tex> y \notin \operatorname{Cl} R(A)</tex>.

Рассмотрим <tex> F_1 = \{ z + ty \mid z \in \operatorname{Cl}(R(A)), t \in \mathbb{R} \} </tex>. <tex>F_1</tex> {{---}} линейное множество в силу линейности <tex>\operatorname{Cl}(R(A))</tex>.

Покажем, что <tex>F_1</tex> -- подпространство <tex>F</tex>.

Проверим сначала замкнутость <tex>F_1</tex>:

Пусть <tex>z_n+t_{n}y \to u = z + ty</tex>, хотим убедиться в том, что <tex>u \in F_1</tex>.

Если <tex> |t_{n}| \le const </tex>, то выберем <tex>t_{n_k}</tex>, стремящееся к какому-то <tex>t</tex>. Из <tex>z_n+t_{n}y \to u, t_{n_k}y \to ty </tex> получаем <tex> z_n \to z \in \operatorname{Cl}(R(A))</tex>.

Если допустить, что <tex>t_{n_k} \to \infty</tex>:

<tex>z_{n_k}+t_{n_k}y \to u</tex>. <tex>z_{n_k}/t_{n_k} + y \to 0 \implies z_{n_k}/t_{n_k} \to -y \implies -y \in \operatorname{Cl}(R(A)) \implies y \in \operatorname{Cl}(R(A))</tex> {{---}} противоречие.

Таким образом, <tex>\operatorname{Cl}(F_1) = F_1</tex>.

Построим на <tex>F_1</tex> фунционал <tex>\varphi_0 : \varphi_0(z+ty) = t </tex>, <tex> \varphi_0(z) = 0</tex>. Он, очевидно, непрерывен, а по теореме Хана-Банаха с сохранением напрерывности его можно продолжить на <tex>F: \widetilde{\varphi} \in F^*</tex>, причем так, что <tex>\widetilde{\varphi}\mid _{F_1} = \varphi_0</tex>.

Рассмотрим значение <tex>\widetilde{\varphi_0}(y)</tex>:

* С одной стороны, <tex>\widetilde{\varphi_0}(y) = \varphi_0(y) = \varphi(0 + 1 y) = 1</tex>
* С другой стороны, <tex>y \in (\operatorname{Ker}A^*)^\perp</tex>, а значит, на любом функционале из ядра <tex>A^*</tex>, в том числе, и на <tex>\widetilde{\varphi_0}</tex>, должно выполняться <tex>\widetilde{\varphi_0}(y) = 0</tex>

Получили противоречие, следовательно, <tex> y \in \operatorname{Cl}(R(A))</tex>.
}}

=== Теорема 2 ===

{{Теорема
|statement= <tex> A \in \mathcal{L}(E,F),~R(A) = \operatorname{Cl} R(A) \implies R(A^*) = (\operatorname{Ker}A )^\perp </tex>.
|proof =
1) <tex>f \in R(A^*) \implies f = \varphi A , \varphi \in F^*</tex>.

Рассмотрим <tex> x \in (\operatorname{Ker}A). </tex>
<tex>f(x) = \varphi(Ax) = \varphi(0) = 0 \implies R(A^*) \subset (\operatorname{Ker}A )^\perp</tex>.

2) Докажем теперь обратное включение:

<tex>(\operatorname{Ker}A )^\perp</tex> — набор таких <tex>f</tex>, что если <tex>Ax=0</tex>, то <tex>f(x)=0</tex>.

Надо показать, что <tex>f \in R(A^*)</tex>, т.е. проверить, что <tex>f = A^* \varphi = \varphi A</tex>.

Если найдем <tex>\varphi</tex>, заданный на <tex>R(A)</tex>, то сможем продолжить его на все <tex>F</tex> по теореме Хана-Банаха.

Рассмотрим произвольное <tex>y \in R(A)</tex>, пусть <tex>y = Ax</tex> и <tex>y = Ax'</tex>.

Тогда <tex>A(x - x') = 0</tex>, то есть <tex>x - x' \in \operatorname{Ker} A</tex>, <tex>f(x - x') = 0</tex>, и <tex>f(x) = f(x')</tex>, то есть, значение функционала не зависит от того, какой конкретно <tex>x</tex> (при <tex>Ax = y</tex>) был выбран.

Тогда можно взять <tex>\varphi(y) = f(x)</tex>, где <tex>y = Ax</tex> — линейный функционал, <tex>f = \varphi A</tex>. Осталось проверить ограниченность <tex>\varphi</tex> на <tex>R(A)</tex>.

Рассмотрим <tex>E/_{\operatorname{Ker} A}</tex>, <tex>\widetilde{A} : E/_{\operatorname{Ker} A} \to F</tex>, <tex>\widetilde{A}([x]) = Ax</tex>.

<tex>\widetilde{A} : E/_{\operatorname{Ker} A} \to R(A)</tex> — биекция, <tex>R(A)</tex> — замкнуто, <tex>F</tex> — банахово, поэтому <tex>R(A)</tex> — также банахово как подпространство в <tex>F</tex>. Введем норму для <tex>[x] \in E/_{\operatorname{Ker} A}</tex> как <tex>\|[x]\| = \inf\limits_{x\in [x]} \|x\|</tex>.

Покажем, что <tex>\widetilde{A}</tex> — ограничен: <tex>\|\widetilde{A}\| = \sup\limits_{\|[x]\| = 1} \|\widetilde{A}[x]\|</tex>. Теперь перейдем от классов эквивалентности к их представителям. Так как <tex>\|[x]\| = \inf\limits_{x \in [x]} \|x\| = 1</tex>, найдется <tex>x \in [x]</tex>, такой, что <tex>\|x\| \le 2</tex> (по определению инфимума), возьмем его в качестве представителя (мы можем это сделать, так как значение <tex>Ax</tex> одно и тоже для любого <tex>x\in[x]</tex>). Тогда: <tex>\|\widetilde{A}\| = \sup\limits_{\|[x]\| = 1} \|\widetilde{A}[x]\| \le \sup\limits_{\|x\| \le 2} \|Ax\| \le \sup\limits_{\|y\| \le 1} \|A(2 y)\| \le 2 \sup\limits_{\|y\| \le 1} \|Ay\| = 2 \|A\|</tex>, так как <tex>\|A\|</tex> был ограничен, <tex>\widetilde{A}</tex> тоже окажется ограниченным.

Тогда по [[Теорема Банаха об обратном операторе#Теорема Банаха о гомеоморфизме|теореме Банаха об гомеоморфизме]] существует линейный ограниченный оператор <tex>\widetilde{A}^{-1}</tex>, <tex>\| \widetilde{A}^{-1} \| \le m \|y\| < 2m \|y\|</tex>. Замечание: строгое неравенство нам нужно для того, чтобы обеспечить существование такого <tex> x' \in A^{-1}(y) </tex>, что <tex> \| x' \| < 2m\| y \| </tex>.

<tex>\widetilde{A}^{-1}(y) = \{ x: y = Ax \}</tex>

<tex>\|\widetilde{A}^{-1}(y)\| = \inf\limits_{x\in \widetilde{A}^{-1}(y)} \|x\| < 2m \|y\| </tex>, следовательно, существует <tex> x' = A^{-1}y, \|x'\| < 2m\|y\|</tex>.

<tex> \|\varphi(y)\| = \|f(x')\| \le \|f\|\|x'\| < (2m\|f\|)\|y\| </tex>, то есть, получили ограниченность <tex> \varphi </tex>, теорема доказана.
}}

Эти две теоремы являются наиболее общей формой записи условий разрешимости операторных уравнений.

Смысл: рассмотрим уравнение <tex>Ax = y</tex>, где <tex>y</tex> — дано. Для того, чтобы понять, разрешимо ли уравнение, нужно проверить, что <tex>y \in R(A)</tex>. В общем случае, не существует способа это сделать, но можно ограничиться проверкой <tex>R(A) = \operatorname{Cl} R(A)</tex>, и тогда <tex>R(A) = (\operatorname{Ker}A^*)^\bot</tex>, сопряженный оператор можно построить, ядро поддается конструктивному описанию: <tex>y \in R(A) \iff y \perp \operatorname{Ker} A^*</tex>.

Например, <tex>A: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n</tex>, <tex>A^* = A^\top : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m</tex>. <tex>R(A) = \operatorname{Cl} R(A)</tex>, <tex>Ax = y</tex>, <tex>y</tex> — дано. Надо смотреть <tex>y \perp \operatorname{Ker} A^*</tex>, то есть <tex>A^\top y = 0</tex>.

В следующих параграфах мы введем класс бесконечномерных операторов, для которых <tex>R(A)</tex> — замкнуто, в частности, в этот класс входят интегральные операторы.

[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]

Альтернатива Фредгольма — Шаудера

2013-06-11T12:31:20Z

Rybak:

__TOC__

Пусть <tex>X = C[0;1]</tex>, <tex>K(u,v)</tex> непрерывна на <tex>[0;1]^2</tex>.

<tex>A(x,t)=\int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds, x(s) \in C[0;1]</tex>.

<tex>A \colon [0;1] \to [0;1]</tex>, <tex> A </tex> — компактный оператор.

Будем изучать так называемые интегральные уравнения Фредгольма: <tex>f(t) = x(t) + \lambda \int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds</tex> в <tex>C[0;1]</tex>.

Фредгольмом в начале XX века была разработана теория решения таких уравнений без использования методов функционального анализа. В 30-е годы XX века Шаудер обобщил ее на абстрактные компактные операторы.

Пусть <tex>X</tex> — <tex>B</tex>-пространство, <tex>A \colon X \to X</tex>, A — компактный. <tex>T = \lambda I - A</tex>

Ставим задачу: <tex>y</tex> дано, когда <tex>Tx=y</tex> разрешимо относительно <tex>x</tex>?

<tex>y = \lambda x - A x</tex> — операторные уравнения второго рода (явно выделен <tex>I</tex>). Уравнения первого рода (<tex>y=Bx</tex>) решаются гораздо сложней. Объясняется это достаточно просто: <tex>y = \lambda x - A x = \lambda (x - \frac 1 \lambda A)x</tex>. Если <tex>\frac 1 {|\lambda|} {\|A\|} < 1 </tex>, то, по теореме Банаха, <tex>I - \frac 1 \lambda A</tex> непрерывно обратим, следовательно, при достаточно больших <tex>\lambda</tex>, <tex>y=\lambda x - A x</tex> разрешимо при любой левой части, причём решения <tex>x</tex> будут непрерывно зависеть от <tex>y</tex>. Интересна ситуация при <tex>|\lambda| \leq \|A\|</tex>. В случае компактного A ответ даёт теория Шаудера.

Будем считать <tex> \lambda = 1 </tex>

{{Утверждение
|statement=
<tex>A</tex> {{---}} компактный оператор. Тогда <tex>\dim\operatorname{Ker}(I-A) < + \infty</tex>
|proof=
<tex>T = I - A</tex>

<tex>\operatorname{Ker}T = \{x|x - Ax = 0\} = \{x|x=Ax\}</tex>, таким образом, ядро <tex>T</tex> — неподвижные точки <tex>A</tex>.

Пусть <tex>\overline V</tex> — единичный шар, <tex>Y = \operatorname{Ker}T</tex> — подпространство <tex>X</tex>.

Допустим, что <tex>\dim \operatorname{Ker}T = + \infty,~\overline W = \overline V \cap Y \Rightarrow \overline W = A \overline W</tex>. Так как <tex>A</tex> — компактный, <tex>\overline W</tex> — компакт в <tex>Y</tex>, но в бесконечномерном пространстве шар (<tex>\overline W</tex> будет шаром в подпространстве <tex>Y</tex>) не может быть компактом, получаем противоречие. Значит, если <tex>A</tex> — компактный, то <tex>\dim\operatorname{Ker}(I-A) < + \infty</tex>.
}}

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>T = I - A</tex>, <tex>A</tex> компактен, тогда <tex> R(T) </tex> замкнуто.
|proof=
[[Теорема Банаха об обратном операторе|Ранее]] мы доказали, что если уравнение <tex>Tx=y, y \in R(T)</tex> допускает априорную оценку (<tex>\exists \alpha~\forall x~Tx=y, \|x\| \leq a\|y\|</tex>), то <tex>R(T)</tex> замкнуто. Нужно доказать, что у <tex>T</tex> есть априорная оценка.

Пусть <tex>y \in R(T) \Rightarrow Tx=y</tex>. Тогда <tex>\forall z \in \operatorname{Ker}T \Rightarrow T(x+z) = T(x) + T(z) = y + 0 = y</tex>. Значит, все решения уравнения <tex>Tx=y</tex> записываются в форме <tex>x=x_0+z</tex>, где <tex>x_0</tex> — одно из решений, <tex>z</tex> принадлежит <tex>\operatorname{Ker} T</tex>. Но <tex>\dim\operatorname{Ker}T < + \infty \Rightarrow \operatorname{Ker}~T = \mathcal{L} \{ e_1, \ldots e_n \} \Rightarrow x = x_0 + \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k, \alpha_k \in \mathbb{R}</tex>.

Рассмотрим функцию от <tex>n</tex> переменных <tex>f(\alpha_1,\ldots,\alpha_n) = \|x_0 + \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k\| = \|x_0 - \sum\limits_{k=1}^n (-\alpha_k) e_k\|</tex>. Эта функция — не что иное, как наилучшее приближение <tex> x_0 </tex> элементами конечномерного <tex> \operatorname{Ker} T </tex>, теорема о наилучшем приближении гарантирует нам, что существуют <tex> \alpha^*_1, \alpha^*_2, \ldots, \alpha^*_n : f (\overline {\alpha}^*) = \inf\limits_{\alpha} f(\alpha)</tex>.

<tex>y \in R(T)</tex>, среди всех решений уравнения <tex>Tx=y</tex> существует решение с минимальной нормой. Его назовём <tex>\widehat x</tex>, и далее докажем, что эти решения допускают априорную оценку через <tex>y</tex>.

Допустим, априорной оценки не существует, тогда можно построить последовательность <tex> y_n </tex> и <tex> \widehat x_n </tex> (минимальных по норме решений с правой частью <tex> x_n </tex>), таких, что <tex> \frac{\|\widehat x_n\|}{\|y_n\|} \to \infty </tex>.

В силу линейности уравнения, можно выбрать <tex> \widehat x_n </tex> с единичной нормой, тогда <tex> \|y_n\| \to 0 </tex>.

<tex> T = I - A </tex>, так как <tex> \{ \widehat x_n \} </tex> ограничено и <tex> A </tex> компактен, то из <tex> z_n = A \widehat x_n </tex> можно выделить сходящуюся подпоследовательность <tex> z_{n_{k}} \to z </tex>.

Тогда получаем <tex> y_{n_k} = \widehat x_{n_k} - z_{n_{k}}</tex>.

Но <tex> y_n \to 0 </tex>, значит, <tex> \widehat x_{n_k} - z_{n_{k}} \to 0, \widehat x_{n_k} \to z_{n_{k}}, \widehat x = z = A \widehat x </tex>.

То есть, <tex> Tz = 0, z \in \operatorname{Ker} T </tex>.

<tex> T(\widehat x_n - z) = y_n </tex>, но, так как мы выбирали минимальное по норме <tex>\widehat x_n </tex>, то <tex> \|\widehat x_n - z\| \ge \|\widehat x_n\| = 1</tex>

Получили, что <tex> 0 \ge 1 </tex> — противоречие, значит, априорная оценка существует, <tex> R(T) </tex> замкнуто, и теорема доказана.
}}

Докажем теперь два утверждения.

{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex> M_n = \operatorname{Ker} ((I - A)^n), n \in \mathbb N</tex>, <tex> A </tex> — компактный оператор.
Тогда <tex> \exists n_0: M_{n_0} = M_{n_0 + 1} </tex>.
|proof=
Идея доказательства подобных утверждений следующая: идем от противного и, пользуясь леммой Рисса, строим ограниченную последовательность точек. Применяя к ней <tex> A </tex>, получаем последовательность, из которой можно выделить сходящуюся подпоследовательность. После этого ищем противоречие с условием.

<tex> (I - A)^n = \sum\limits_{k=0}^{n} C_n^k (-1)^k A^k = I - (-\sum\limits_{k=1}^{n} C_n^k (-1)^k A^k) </tex>

Второе слагаемое является компактным оператором, обозначим его за <tex> B </tex>, <tex> (I - A)^n = I - B </tex>.

<tex> M_n = \operatorname{Ker} ((I - A)^n) </tex>, тогда <tex> \dim M_n = \dim \operatorname{Ker} (I - A)^n = \dim \operatorname{Ker} (I - B) < +\infty </tex>.

Пусть <tex> T = I - A </tex>, <tex> x \in M_n </tex> и <tex> T^n(x) = 0 </tex>, тогда <tex> T^{n+1}(x) = T(0) = 0 </tex>, то есть, <tex> M_n \subset M_{n+1} </tex>.

Допустим, что <tex> \forall n: M_n \subset M_{n+1} </tex> (строго).
<tex> M_n </tex> — подпространство <tex> X </tex>.

Применим к паре подпространств <tex> M_n, M_{n+1} </tex> лемму Рисса:

<tex> \exists x_{n+1} \in M_{n+1}: \|x_{n+1}\| = 1, \forall x \in M_n \|x_{n+1} - x\| \ge \frac12 </tex>

Таким образом выстраиваем последовательность <tex> x_1, x_2, \ldots, x_n, \ldots, \|x_n\| = 1 </tex>.

<tex> y_n = Ax_n </tex>, из <tex> y_n </tex> можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

<tex> y_{n+p} - y_n = Ax_{n+p} - Ax_{n} = x_{n+p} - (x_{n+p} - Ax_{n+p} + Ax_n) </tex>.

Обозначим сумму в скобках за <tex> z </tex>.

Заметим, что <tex> z = T(x_{n+p}) + Ax_n </tex>.

<tex> T^{m+p-1}(z) = T^{m+p}(x_{m+p}) + T^{m+p-1}(Ax_n) </tex>.

Здесь первое слагаемое равно нулю по определению последовательности <tex> x_n </tex>. Второе же, так как операторы <tex> T^{m+p-1} </tex> и <tex> A </tex> коммутируют, равно <tex> A(T^{m+p-1}(x_n)) = A(0) = 0 </tex>, и <tex> z \in \operatorname{Ker}(T^{m+p-1}) </tex>.

Но раз <tex> z \in M_{n+p-1} </tex>, то <tex> \|x_{n+p} - z\| \ge \frac12 </tex>, и <tex> \|y_{n+p} - y_{n}\| \ge \frac12 </tex>, чего не может быть, поскольку в этом случае мы не сможем выделить из <tex> y_n </tex> сходящуюся подпоследовательность. Поэтому наше предположение неверно, теорема доказана.

}}

{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex> A </tex> — компактный оператор на банаховом <tex> X </tex>, <tex> T = I - A </tex>.
Тогда <tex> R(T) = X \Leftrightarrow \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>.
|proof=
<tex> \Longrightarrow </tex>:

Пусть существует <tex> x_1 \ne 0, x_1 \in \operatorname{Ker} T = N_1 </tex>.

Так как <tex> R(T) = X </tex>, то у уравнения <tex> Tx = x_1 </tex> существует решение, обозначим его <tex> x_2 </tex>.

<tex> T(Tx_2) = T(x_1) = 0 </tex>, то есть, <tex> x_2 \in \operatorname{Ker} T^2 = N_2 </tex>.

Заметим, что <tex> x_2 \notin N_1 </tex>, в противном случае <tex> x_1 = Tx_2 = 0 </tex>, что противоречит нашему предположению.

Значит, <tex> N_1 \subset N_2 </tex> (строго). Действуя аналогично, берем <tex> x_3 </tex> решение уравнения — <tex> Tx = x_2 </tex>, <tex> x_3 \notin N_2, x_3 \in N_3 </tex>.

Получаем бесконечную цепочку строго вложенных множеств <tex> N_k </tex>, существование которой противоречит предыдущему утверждению, значит, <tex> \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>.

<tex> \Longleftarrow </tex>:

Пусть <tex> \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>.

<tex> R(T) </tex> — замкнутое множество, <tex> T^* = I - A^* </tex>, <tex> R(T^*) = (\operatorname{Ker} T)^{\perp} = (\{0\})^{\perp} = X^* </tex>.

Тогда <tex> \operatorname{Ker} T^* = {0} </tex>, и <tex> R(T) = (\operatorname{Ker} T^*)^{\perp} = X </tex>.
}}

== Альтернатива Фредгольма-Шаудера ==

{{Теорема
|about=
альтернатива Фредгольма-Шаудера
|statement=
Пусть <tex>A:X \to X</tex> — компактный оператор и <tex>T = A - \lambda I</tex>. Тогда возможно только две ситуации:
# <tex>\operatorname{Ker} T = \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо для любого <tex>y</tex>
# <tex>\operatorname{Ker} T \ne \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо только для тех <tex>y</tex>, которые принадлежат <tex>(\operatorname{Ker} T^*)^\perp</tex>
|proof=
# <tex> \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>, то есть <tex> R(T) = X </tex>, тогда <tex> y = Tx </tex> действительно разрешимо для всех <tex> y </tex>
# <tex> \operatorname{Ker} T \ne \{0\} </tex>, по первой теореме этого параграфа, <tex> R(T) = \operatorname{Cl} R(T) </tex>. По [[Сопряженный оператор#Теоремы о множестве значений оператора|общим теоремам о сопряженном операторе]], <tex> \operatorname{Cl} R(T) = (\operatorname{Ker} T^*)^\perp </tex>. Рассмотрим <tex> y = Tx </tex>, очевидно, оно разрешимо, когда <tex> y \in R(T) </tex>, то есть, <tex> y \in (\operatorname{Ker} T^*)^\perp </tex>.
}}

== Теорема о счетности спектра компактного оператора ==
Рассмотрим <tex>A - \lambda I</tex>.

# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) \ne \{0\}</tex>, тогда оператор необратим, и <tex>\lambda</tex> — собственное число, то есть <tex>\lambda \in \sigma(A)</tex>.
# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) = \{0\}</tex>, тогда по альтернативе, оператор непрерывно обратим, то есть <tex>\lambda \in \rho(A)</tex>.

Таким образом, спектр состоит из собственных чисел, и, возможно, нуля. Теперь изучим мощность спектра:

{{Теорема
|statement=
Спектр компактного оператора не более чем счётен и его предельной точкой может быть только 0.
|proof=
Так как спектр линейного ограниченного оператора [[Спектр линейного оператора|входит в круг радиуса <tex>\|A\|</tex>]], получаем <tex>|\lambda| \in [0, \|A\|]</tex>.

Рассмотрим <tex>\alpha > 0</tex>, проверим, что на отрезке <tex>[\alpha,\|A\|]</tex> — конечное число точек спектра. Предположим обратное, тогда выделим подпоследовательность <tex>\lambda_1 \dots \lambda_n \dots</tex> различных собственных значений (каждое из них больше <tex>\alpha</tex>). Пусть им соответствуют собственные векторы <tex>x_1 \dots x_n \dots</tex>.

Покажем, что при любом <tex>n</tex>, собственные векторы <tex>x_1 \dots x_n</tex> — линейно независимы, и что линейные оболочки <tex>L_n = \mathcal{L}(x_1 \dots x_n)</tex> и <tex>L_{n+1} = \mathcal{L}(x_1 \dots x_{n+1})</tex> строго вложены друг в друга. Доказательство по индукции: для <tex>n=1</tex> — тривиально. Пусть <tex>x_1 \dots x_n</tex> — ЛНЗ, покажем, что <tex>x_1 \dots x_{n+1}</tex> — тоже ЛНЗ. Покажем от противного: пусть <tex>x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i x_i</tex>. Подействуем на обе части оператором <tex>A</tex>: <tex>Ax_{n+1} = \lambda_{n + 1} x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i A x_i = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i \lambda_i x_i</tex>. Разделив обе части на <tex>\lambda_{n + 1}</tex> (он ненулевой), получим другое разложение <tex>x_{n+1}</tex> по векторам <tex>x_1 \dots x_n</tex>: <tex>x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \frac{\alpha_i \lambda_i}{\lambda_{n + 1}} x_i</tex>. Но так как разложение по линейно независимой системе должно быть единственно, то получаем, что <tex>\frac{\alpha_i \lambda_i}{\lambda_{n + 1}} = \alpha_i</tex>, здесь либо <tex>\alpha_i</tex> нулевое, либо <tex>\frac{\lambda_i}{\lambda_{n+1}} = 1</tex>. Так как собственный вектор <tex>x_{n+1}</tex> ненулевой, найдется такое <tex>q</tex>, что <tex>\alpha_q \ne 0</tex>, и тогда <tex>\frac{\lambda_q}{\lambda_{n+1}} = 1</tex>, то есть получили два одинаковых собственных значения, противоречие, а значит, <tex>x_1 \dots x_{n+1}</tex> — ЛНЗ и включение <tex>L_n \subset L_{n+1}</tex> — строгое.

Применим к цепи подпространств [[Гильбертовы пространства|лемму Рисса о почти перпендикуляре]]: <tex>\exists y_{n+1} \in L_{n+1},\|y_{n+1}\| = 1: \forall y_n \in L_n: \|y_{n+1} - y_n\| \ge \frac12</tex>. Проделав такое для каждого <tex>L_n</tex>, получим последовательность <tex>y_n</tex>, заметим, что она ограничена 1.

Определим <tex>z_n = A y_n</tex>. В силу компактности <tex>A</tex> из <tex>\{z_n\}</tex> можно выбрать сходящуюся последовательность точек. Проверим, что это сделать нельзя, противоречие будет связано с допущением о том, что на <tex>[\alpha,\|A\|]</tex> бесконечное количество точек.

Составим разность <tex>z_{n+p}-z_n = A y_{n+p} - A y_n = \lambda_{n+p} y_{n+p} - (\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n)</tex>. Проверим, что то, что находится в скобке, принадлежит <tex>L_{n+p-1}</tex>.

<tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n \in L_{n+p-1}</tex>. <tex>L_{n+p-1} = \mathcal{L} \{x_1,\ldots,x_{n+p-1}\}</tex>. <tex>y_{n+p} \in L_{n+p}</tex>, <tex>y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k x_k + \alpha_{n+p} x_{n+p}</tex>. Подействуем A: <tex>A y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k A x_k + \alpha_{n+p} A x_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k \lambda_k x_k + \alpha_{n+p} \lambda_{n+p} x_{n+p} </tex>. Разность <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \beta_k x_k \in L_{n+p-1}</tex>. <tex>y_n = \sum\limits_{k=1}^n \gamma_k x_k, A y_n = \sum\limits_{k=1}^n \gamma_k \lambda_k x_k \in L_{n+p-1}</tex> и, следовательно, <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n</tex> принадлежит <tex>L_{n+p-1}</tex>.

Таким образом, <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - \lambda_{n+p} z = \lambda_{n+p} (y_{n+p} - z)</tex>. Получаем: <tex>\|z_{n+p} - z_n\| = |\lambda_{n+p}| \|y_{n+p} - z\|</tex>, где первый множитель не меньше <tex>\alpha</tex>, а второй — <tex>\frac 1 2</tex> (по построению <tex>y_n</tex>) , в итоге <tex>\|z_{n+p} - z_n\| \geq \frac{\alpha}{2}</tex> и, значит, из <tex>\{z_n\}</tex> не выделить сходящейся подпоследовательности. Получили противоречие, а значит, на каждом отрезке <tex>[\alpha, \|A\|]</tex> действительно конечное число собственных чисел, и спектр счетен.

Осталось проверить, что только <tex>0</tex> может быть предельной точкой. Пусть это не так, и какое-то <tex>\lambda \ne 0</tex> — предельная точка, это означает, что для любого <tex>\forall \varepsilon: 0 < \varepsilon < \frac{\lambda}{2}</tex>, во множестве <tex>[\lambda - \varepsilon, \lambda) \cup (\lambda, \lambda + \varepsilon]</tex> содержится собственное число, то есть в отрезке <tex>[\frac{\lambda}{2}, \|A\|]</tex> содержится счетно-бесконечное число точек спектра, чего быть не может, как мы уже показали выше.
}}

[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]

Альтернатива Фредгольма — Шаудера

2013-06-11T12:29:07Z

Rybak: X

__TOC__

Пусть <tex>X = C[0;1]</tex>, <tex>K(u,v)</tex> непрерывна на <tex>[0;1]^2</tex>.

<tex>A(x,t)=\int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds, x(s) \in C[0;1]</tex>.

<tex>A \colon [0;1] \to [0;1]</tex>, <tex> A </tex> — компактный оператор.

Будем изучать так называемые интегральные уравнения Фредгольма: <tex>f(t) = x(t) + \lambda \int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds</tex> в <tex>C[0;1]</tex>.

Фредгольмом в начале XX века была разработана теория решения таких уравнений без использования методов функционального анализа. В 30-е годы XX века Шаудер обобщил ее на абстрактные компактные операторы.

Пусть <tex>X</tex> — <tex>B</tex>-пространство, <tex>A \colon X \to X</tex>, A — компактный. <tex>T = \lambda I - A</tex>

Ставим задачу: <tex>y</tex> дано, когда <tex>Tx=y</tex> разрешимо относительно <tex>x</tex>?

<tex>y = \lambda x - A x</tex> — операторные уравнения второго рода (явно выделен <tex>I</tex>). Уравнения первого рода (<tex>y=Bx</tex>) решаются гораздо сложней. Объясняется это достаточно просто: <tex>y = \lambda x - A x = \lambda (x - \frac 1 \lambda A)x</tex>. Если <tex>\frac 1 {|\lambda|} {\|A\|} < 1 </tex>, то, по теореме Банаха, <tex>I - \frac 1 \lambda A</tex> непрерывно обратим, следовательно, при достаточно больших <tex>\lambda</tex>, <tex>y=\lambda x - A x</tex> разрешимо при любой левой части, причём решения <tex>x</tex> будут непрерывно зависеть от <tex>y</tex>. Интересна ситуация при <tex>|\lambda| < \|A\|</tex>. В случае компактного A ответ даёт теория Шаудера.

{{Утверждение
|statement=
<tex>A</tex> {{---}} компактный оператор. Тогда <tex>\dim\operatorname{Ker}(I-A) < + \infty</tex>
|proof=
<tex>T = I - A</tex>

<tex>\operatorname{Ker}T = \{x|x - Ax = 0\} = \{x|x=Ax\}</tex>, таким образом, ядро <tex>T</tex> — неподвижные точки <tex>A</tex>.

Пусть <tex>\overline V</tex> — единичный шар, <tex>Y = \operatorname{Ker}T</tex> — подпространство <tex>X</tex>.

Допустим, что <tex>\dim \operatorname{Ker}T = + \infty,~\overline W = \overline V \cap Y \Rightarrow \overline W = A \overline W</tex>. Так как <tex>A</tex> — компактный, <tex>\overline W</tex> — компакт в <tex>Y</tex>, но в бесконечномерном пространстве шар (<tex>\overline W</tex> будет шаром в подпространстве <tex>Y</tex>) не может быть компактом, получаем противоречие. Значит, если <tex>A</tex> — компактный, то <tex>\dim\operatorname{Ker}(I-A) < + \infty</tex>.
}}
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>T = I - A</tex>, <tex>A</tex> компактен, тогда <tex> R(T) </tex> замкнуто.
|proof=
[[Теорема Банаха об обратном операторе|Ранее]] мы доказали, что если уравнение <tex>Tx=y, y \in R(T)</tex> допускает априорную оценку (<tex>\exists \alpha~\forall x~Tx=y, \|x\| \leq a\|y\|</tex>), то <tex>R(T)</tex> замкнуто. Нужно доказать, что у <tex>T</tex> есть априорная оценка.

Пусть <tex>y \in R(T) \Rightarrow Tx=y</tex>. Тогда <tex>\forall z \in \operatorname{Ker}T \Rightarrow T(x+z) = T(x) + T(z) = y + 0 = y</tex>. Значит, все решения уравнения <tex>Tx=y</tex> записываются в форме <tex>x=x_0+z</tex>, где <tex>x_0</tex> — одно из решений, <tex>z</tex> принадлежит <tex>\operatorname{Ker} T</tex>. Но <tex>\dim\operatorname{Ker}T < + \infty \Rightarrow \operatorname{Ker}~T = \mathcal{L} \{ e_1, \ldots e_n \} \Rightarrow x = x_0 + \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k, \alpha_k \in \mathbb{R}</tex>.

Рассмотрим функцию от <tex>n</tex> переменных <tex>f(\alpha_1,\ldots,\alpha_n) = \|x_0 + \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k\| = \|x_0 - \sum\limits_{k=1}^n (-\alpha_k) e_k\|</tex>. Эта функция — не что иное, как наилучшее приближение <tex> x_0 </tex> элементами конечномерного <tex> \operatorname{Ker} T </tex>, теорема о наилучшем приближении гарантирует нам, что существуют <tex> \alpha^*_1, \alpha^*_2, \ldots, \alpha^*_n : f (\overline {\alpha}^*) = \inf\limits_{\alpha} f(\alpha)</tex>.

<tex>y \in R(T)</tex>, среди всех решений уравнения <tex>Tx=y</tex> существует решение с минимальной нормой. Его назовём <tex>\widehat x</tex>, и далее докажем, что эти решения допускают априорную оценку через <tex>y</tex>.

Допустим, априорной оценки не существует, тогда можно построить последовательность <tex> y_n </tex> и <tex> \widehat x_n </tex> (минимальных по норме решений с правой частью <tex> x_n </tex>), таких, что <tex> \frac{\|\widehat x_n\|}{\|y_n\|} \to \infty </tex>.

В силу линейности уравнения, можно выбрать <tex> \widehat x_n </tex> с единичной нормой, тогда <tex> \|y_n\| \to 0 </tex>.

<tex> T = I - A </tex>, так как <tex> \{ \widehat x_n \} </tex> ограничено и <tex> A </tex> компактен, то из <tex> z_n = A \widehat x_n </tex> можно выделить сходящуюся подпоследовательность <tex> z_{n_{k}} \to z </tex>.

Тогда получаем <tex> y_{n_k} = \widehat x_{n_k} - z_{n_{k}}</tex>.

Но <tex> y_n \to 0 </tex>, значит, <tex> \widehat x_{n_k} - z_{n_{k}} \to 0, \widehat x_{n_k} \to z_{n_{k}}, \widehat x = z = A \widehat x </tex>.

То есть, <tex> Tz = 0, z \in \operatorname{Ker} T </tex>.

<tex> T(\widehat x_n - z) = y_n </tex>, но, так как мы выбирали минимальное по норме <tex>\widehat x_n </tex>, то <tex> \|\widehat x_n - z\| \ge \|\widehat x_n\| = 1</tex>

Получили, что <tex> 0 \ge 1 </tex> — противоречие, значит, априорная оценка существует, <tex> R(T) </tex> замкнуто, и теорема доказана.
}}

Докажем теперь два утверждения.

{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex> M_n = \operatorname{Ker} ((I - A)^n), n \in \mathbb N</tex>, <tex> A </tex> — компактный оператор.
Тогда <tex> \exists n_0: M_{n_0} = M_{n_0 + 1} </tex>.
|proof=
Идея доказательства подобных утверждений следующая: идем от противного и, пользуясь леммой Рисса, строим ограниченную последовательность точек. Применяя к ней <tex> A </tex>, получаем последовательность, из которой можно выделить сходящуюся подпоследовательность. После этого ищем противоречие с условием.

<tex> (I - A)^n = \sum\limits_{k=0}^{n} C_n^k (-1)^k A^k = I - (-\sum\limits_{k=1}^{n} C_n^k (-1)^k A^k) </tex>

Второе слагаемое является компактным оператором, обозначим его за <tex> B </tex>, <tex> (I - A)^n = I - B </tex>.

<tex> M_n = \operatorname{Ker} ((I - A)^n) </tex>, тогда <tex> \dim M_n = \dim \operatorname{Ker} (I - A)^n = \dim \operatorname{Ker} (I - B) < +\infty </tex>.

Пусть <tex> T = I - A </tex>, <tex> x \in M_n </tex> и <tex> T^n(x) = 0 </tex>, тогда <tex> T^{n+1}(x) = T(0) = 0 </tex>, то есть, <tex> M_n \subset M_{n+1} </tex>.

Допустим, что <tex> \forall n: M_n \subset M_{n+1} </tex> (строго).
<tex> M_n </tex> — подпространство <tex> X </tex>.

Применим к паре подпространств <tex> M_n, M_{n+1} </tex> лемму Рисса:

<tex> \exists x_{n+1} \in M_{n+1}: \|x_{n+1}\| = 1, \forall x \in M_n \|x_{n+1} - x\| \ge \frac12 </tex>

Таким образом выстраиваем последовательность <tex> x_1, x_2, \ldots, x_n, \ldots, \|x_n\| = 1 </tex>.

<tex> y_n = Ax_n </tex>, из <tex> y_n </tex> можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

<tex> y_{n+p} - y_n = Ax_{n+p} - Ax_{n} = x_{n+p} - (x_{n+p} - Ax_{n+p} + Ax_n) </tex>.

Обозначим сумму в скобках за <tex> z </tex>.

Заметим, что <tex> z = T(x_{n+p}) + Ax_n </tex>.

<tex> T^{m+p-1}(z) = T^{m+p}(x_{m+p}) + T^{m+p-1}(Ax_n) </tex>.

Здесь первое слагаемое равно нулю по определению последовательности <tex> x_n </tex>. Второе же, так как операторы <tex> T^{m+p-1} </tex> и <tex> A </tex> коммутируют, равно <tex> A(T^{m+p-1}(x_n)) = A(0) = 0 </tex>, и <tex> z \in \operatorname{Ker}(T^{m+p-1}) </tex>.

Но раз <tex> z \in M_{n+p-1} </tex>, то <tex> \|x_{n+p} - z\| \ge \frac12 </tex>, и <tex> \|y_{n+p} - y_{n}\| \ge \frac12 </tex>, чего не может быть, поскольку в этом случае мы не сможем выделить из <tex> y_n </tex> сходящуюся подпоследовательность. Поэтому наше предположение неверно, теорема доказана.

}}

{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex> A </tex> — компактный оператор на банаховом <tex> X </tex>, <tex> T = I - A </tex>.
Тогда <tex> R(T) = X \Leftrightarrow \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>.
|proof=
<tex> \Longrightarrow </tex>:

Пусть существует <tex> x_1 \ne 0, x_1 \in \operatorname{Ker} T = N_1 </tex>.

Так как <tex> R(T) = X </tex>, то у уравнения <tex> Tx = x_1 </tex> существует решение, обозначим его <tex> x_2 </tex>.

<tex> T(Tx_2) = T(x_1) = 0 </tex>, то есть, <tex> x_2 \in \operatorname{Ker} T^2 = N_2 </tex>.

Заметим, что <tex> x_2 \notin N_1 </tex>, в противном случае <tex> x_1 = Tx_2 = 0 </tex>, что противоречит нашему предположению.

Значит, <tex> N_1 \subset N_2 </tex> (строго). Действуя аналогично, берем <tex> x_3 </tex> решение уравнения — <tex> Tx = x_2 </tex>, <tex> x_3 \notin N_2, x_3 \in N_3 </tex>.

Получаем бесконечную цепочку строго вложенных множеств <tex> N_k </tex>, существование которой противоречит предыдущему утверждению, значит, <tex> \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>.

<tex> \Longleftarrow </tex>:

Пусть <tex> \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>.

<tex> R(T) </tex> — замкнутое множество, <tex> T^* = I - A^* </tex>, <tex> R(T^*) = (\operatorname{Ker} T)^{\perp} = (\{0\})^{\perp} = X^* </tex>.

Тогда <tex> \operatorname{Ker} T^* = {0} </tex>, и <tex> R(T) = (\operatorname{Ker} T^*)^{\perp} = X </tex>.
}}

== Альтернатива Фредгольма-Шаудера ==

{{Теорема
|about=
альтернатива Фредгольма-Шаудера
|statement=
Пусть <tex>A:X \to X</tex> — компактный оператор и <tex>T = A - \lambda I</tex>. Тогда возможно только две ситуации:
# <tex>\operatorname{Ker} T = \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо для любого <tex>y</tex>
# <tex>\operatorname{Ker} T \ne \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо только для тех <tex>y</tex>, которые принадлежат <tex>(\operatorname{Ker} T^*)^\perp</tex>
|proof=
# <tex> \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>, то есть <tex> R(T) = X </tex>, тогда <tex> y = Tx </tex> действительно разрешимо для всех <tex> y </tex>
# <tex> \operatorname{Ker} T \ne \{0\} </tex>, по первой теореме этого параграфа, <tex> R(T) = \operatorname{Cl} R(T) </tex>. По [[Сопряженный оператор#Теоремы о множестве значений оператора|общим теоремам о сопряженном операторе]], <tex> \operatorname{Cl} R(T) = (\operatorname{Ker} T^*)^\perp </tex>. Рассмотрим <tex> y = Tx </tex>, очевидно, оно разрешимо, когда <tex> y \in R(T) </tex>, то есть, <tex> y \in (\operatorname{Ker} T^*)^\perp </tex>.
}}

== Теорема о счетности спектра компактного оператора ==
Рассмотрим <tex>A - \lambda I</tex>.

# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) \ne \{0\}</tex>, тогда оператор необратим, и <tex>\lambda</tex> — собственное число, то есть <tex>\lambda \in \sigma(A)</tex>.
# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) = \{0\}</tex>, тогда по альтернативе, оператор непрерывно обратим, то есть <tex>\lambda \in \rho(A)</tex>.

Таким образом, спектр состоит из собственных чисел, и, возможно, нуля. Теперь изучим мощность спектра:

{{Теорема
|statement=
Спектр компактного оператора не более чем счётен и его предельной точкой может быть только 0.
|proof=
Так как спектр линейного ограниченного оператора [[Спектр линейного оператора|входит в круг радиуса <tex>\|A\|</tex>]], получаем <tex>|\lambda| \in [0, \|A\|]</tex>.

Рассмотрим <tex>\alpha > 0</tex>, проверим, что на отрезке <tex>[\alpha,\|A\|]</tex> — конечное число точек спектра. Предположим обратное, тогда выделим подпоследовательность <tex>\lambda_1 \dots \lambda_n \dots</tex> различных собственных значений (каждое из них больше <tex>\alpha</tex>). Пусть им соответствуют собственные векторы <tex>x_1 \dots x_n \dots</tex>.

Покажем, что при любом <tex>n</tex>, собственные векторы <tex>x_1 \dots x_n</tex> — линейно независимы, и что линейные оболочки <tex>L_n = \mathcal{L}(x_1 \dots x_n)</tex> и <tex>L_{n+1} = \mathcal{L}(x_1 \dots x_{n+1})</tex> строго вложены друг в друга. Доказательство по индукции: для <tex>n=1</tex> — тривиально. Пусть <tex>x_1 \dots x_n</tex> — ЛНЗ, покажем, что <tex>x_1 \dots x_{n+1}</tex> — тоже ЛНЗ. Покажем от противного: пусть <tex>x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i x_i</tex>. Подействуем на обе части оператором <tex>A</tex>: <tex>Ax_{n+1} = \lambda_{n + 1} x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i A x_i = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i \lambda_i x_i</tex>. Разделив обе части на <tex>\lambda_{n + 1}</tex> (он ненулевой), получим другое разложение <tex>x_{n+1}</tex> по векторам <tex>x_1 \dots x_n</tex>: <tex>x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \frac{\alpha_i \lambda_i}{\lambda_{n + 1}} x_i</tex>. Но так как разложение по линейно независимой системе должно быть единственно, то получаем, что <tex>\frac{\alpha_i \lambda_i}{\lambda_{n + 1}} = \alpha_i</tex>, здесь либо <tex>\alpha_i</tex> нулевое, либо <tex>\frac{\lambda_i}{\lambda_{n+1}} = 1</tex>. Так как собственный вектор <tex>x_{n+1}</tex> ненулевой, найдется такое <tex>q</tex>, что <tex>\alpha_q \ne 0</tex>, и тогда <tex>\frac{\lambda_q}{\lambda_{n+1}} = 1</tex>, то есть получили два одинаковых собственных значения, противоречие, а значит, <tex>x_1 \dots x_{n+1}</tex> — ЛНЗ и включение <tex>L_n \subset L_{n+1}</tex> — строгое.

Применим к цепи подпространств [[Гильбертовы пространства|лемму Рисса о почти перпендикуляре]]: <tex>\exists y_{n+1} \in L_{n+1},\|y_{n+1}\| = 1: \forall y_n \in L_n: \|y_{n+1} - y_n\| \ge \frac12</tex>. Проделав такое для каждого <tex>L_n</tex>, получим последовательность <tex>y_n</tex>, заметим, что она ограничена 1.

Определим <tex>z_n = A y_n</tex>. В силу компактности <tex>A</tex> из <tex>\{z_n\}</tex> можно выбрать сходящуюся последовательность точек. Проверим, что это сделать нельзя, противоречие будет связано с допущением о том, что на <tex>[\alpha,\|A\|]</tex> бесконечное количество точек.

Составим разность <tex>z_{n+p}-z_n = A y_{n+p} - A y_n = \lambda_{n+p} y_{n+p} - (\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n)</tex>. Проверим, что то, что находится в скобке, принадлежит <tex>L_{n+p-1}</tex>.

<tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n \in L_{n+p-1}</tex>. <tex>L_{n+p-1} = \mathcal{L} \{x_1,\ldots,x_{n+p-1}\}</tex>. <tex>y_{n+p} \in L_{n+p}</tex>, <tex>y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k x_k + \alpha_{n+p} x_{n+p}</tex>. Подействуем A: <tex>A y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k A x_k + \alpha_{n+p} A x_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k \lambda_k x_k + \alpha_{n+p} \lambda_{n+p} x_{n+p} </tex>. Разность <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \beta_k x_k \in L_{n+p-1}</tex>. <tex>y_n = \sum\limits_{k=1}^n \gamma_k x_k, A y_n = \sum\limits_{k=1}^n \gamma_k \lambda_k x_k \in L_{n+p-1}</tex> и, следовательно, <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n</tex> принадлежит <tex>L_{n+p-1}</tex>.

Таким образом, <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - \lambda_{n+p} z = \lambda_{n+p} (y_{n+p} - z)</tex>. Получаем: <tex>\|z_{n+p} - z_n\| = |\lambda_{n+p}| \|y_{n+p} - z\|</tex>, где первый множитель не меньше <tex>\alpha</tex>, а второй — <tex>\frac 1 2</tex> (по построению <tex>y_n</tex>) , в итоге <tex>\|z_{n+p} - z_n\| \geq \frac{\alpha}{2}</tex> и, значит, из <tex>\{z_n\}</tex> не выделить сходящейся подпоследовательности. Получили противоречие, а значит, на каждом отрезке <tex>[\alpha, \|A\|]</tex> действительно конечное число собственных чисел, и спектр счетен.

Осталось проверить, что только <tex>0</tex> может быть предельной точкой. Пусть это не так, и какое-то <tex>\lambda \ne 0</tex> — предельная точка, это означает, что для любого <tex>\forall \varepsilon: 0 < \varepsilon < \frac{\lambda}{2}</tex>, во множестве <tex>[\lambda - \varepsilon, \lambda) \cup (\lambda, \lambda + \varepsilon]</tex> содержится собственное число, то есть в отрезке <tex>[\frac{\lambda}{2}, \|A\|]</tex> содержится счетно-бесконечное число точек спектра, чего быть не может, как мы уже показали выше.
}}

[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]

О нелинейных операторных уравнениях

2013-06-11T12:18:03Z

Rybak: /* Метод Ньютона-Канторовича */ плюс надо

{{В разработке}}

Ранее мы рассматривали уравнения вида <tex> y = \lambda x - \mathcal{A} x </tex>, где <tex> y </tex> дано, так называемое "линейное уравнение 2 рода". Для ответа на вопрос "имеет ли решение это уравнение?" надо изучать <tex> \sigma(\mathcal{A}) </tex>.

Сложнее, когда задано уравнение вида <tex>\mathcal{T}(x) = 0</tex> или <tex>\mathcal{T}(x) = x</tex>, где <tex> T: X \xrightarrow[nonlinear]{} X </tex> {{---}} произвольный оператор из <tex> X </tex> в <tex> X </tex>.

В этом параграфе мы покажем 3 способа решения таких уравнений.

== Простые итерации ==

Решаем уравнение <tex> x = \mathcal{T}(x) </tex>. Составляем последовательность <tex> x_{n+1} = \mathcal{T}(x_n) </tex> и изучаем сходимость последовательности <tex> \{ x_n \} \xrightarrow[]{?} x^* </tex>.

Если <tex> \mathcal{T} </tex> {{---}} непрерывный оператор, то <tex> x_{n+1} \to \mathcal{T} x^*, \mathcal{T} x_n \to \mathcal{T} x^* </tex> и, по единственности предела, получаем <tex> x^* = \mathcal{T} x^* </tex>.

Во втором семестре у нас было определение [[Дифференцируемые_отображения_в_нормированных_пространствах|производной Фреше]]: <tex> \mathcal{T}(x+\Delta x) -\mathcal{T}(x) = \mathcal{T}'(x) \cdot \Delta x + o(\Delta x)</tex>. <tex> \mathcal{T}' </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор.

<tex> \frac { \| o(\Delta x) \|} { \| \Delta x \| } \to 0 </tex>

{{Теорема
|about=Локальная теорема о простой итерации
|statement=
Пусть известно, что существует <tex> \overline{x}: \mathcal{T}(\overline{x}) = \overline{x} </tex> и <tex> \| \mathcal{T}(\overline{x})' \| \le q < 1 </tex>.

Тогда существует такой шар <tex> V_{\delta} (\overline x) </tex>, что если <tex> x_0 \in V_{\delta} (\overline x) </tex>, то:
* Метод простых итераций корректно определен: <tex> \mathcal{T}x_n \in V_{\delta} (\overline x), n \ge 0</tex>.
* <tex> x_n \to \overline x </tex>

|proof=

Положим <tex> \varepsilon = \frac {1-q}2 </tex>.

В силу определения производной Фреше существует <tex> \delta > 0: \| \Delta x \| < \delta \implies \| \mathcal{T} (\overline x + \Delta x) - \mathcal{T}(\overline x) - \mathcal{T}'(\overline x) \cdot \Delta x \| < \varepsilon \| \Delta x \| </tex>.

Убедимся в том, что такая <tex> \delta </tex> подходит в качестве радуса шара из условия теоремы:

Предположим, что <tex> x_n \in V_\delta (\overline x) </tex>.

<tex> \| x_{n+1} - \overline x \| = \| \mathcal{T}x_n - \mathcal{T} \overline x\| \le </tex>

<tex> \le \| \mathcal{T} x_n - \mathcal{T} \overline x - \mathcal{T}' (\overline x) (x_n - \overline x) \| + \| \mathcal{T}'(\overline x) (x_n - \overline x)\| </tex>.

Рассмотрим первое слагаемое: <tex> x_n \in V_\delta (\overline x) \implies \| x_n - \overline x \| < \delta </tex>, а значит, <tex> \| \mathcal{T} x_n - \mathcal{T} \overline x - \mathcal{T}' (\overline x) (x_n - \overline x) \| < \varepsilon \| x_n - \overline x \| </tex>.

Второе слагаемое: <tex> \| \mathcal{T}'(\overline x) (x_n - \overline x)\| \le \| \mathcal{T}'(\overline x) \| \| x_n - \overline x \| \le q \| x_n - \overline x \| </tex>

Складывая полученное: <tex> \varepsilon \| x_n - \overline x \| + q \| x_n - \overline x \| = (\frac {1-q}2 + q) \le \frac {1+q}2 \delta < \delta </tex>.

Окончательно мы получили, что <tex> x_n \in V_\delta (\overline x) \implies x_{n+1} \in V_\delta (\overline x) </tex>, то есть метод простых итераций определен корректно. Попутно мы также установили, что <tex> \| x_{n+1} - \overline x \| \le \frac {1+q}2 \| x_n - \overline x \| \le \hdots \le (\frac {1+q}2)^{n+1} \| x_0 - \overline x \| \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 </tex>, то есть <tex> x_n \to \overline x </tex>.

}}

== Метод Ньютона-Канторовича ==

Ньютоном был предложен классический способ решения уравнений (метод касательных). До Ньютона использовали метод половинного деления. В двадцатом веке Канторович перенес соответствующие методы на операторные уравнения вида <tex> \mathcal{T} x = 0, \mathcal{T} </tex> {{---}} непрерывный оператор из <tex> X </tex> в <tex> X </tex>, <tex>X</tex>{{---}} нормированное пространство.

Предположим, что <tex> \mathcal{T} (\overline x) = 0 </tex>. Получим схему метода Ньютона-Канторовича.

<tex> x_0 </tex> {{---}} начальное приближение.

<tex> \mathcal{T} (\overline x) = \mathcal{T}(x_0) + \mathcal{T}'(x_0) \cdot (\overline x - x_0) + \hdots </tex>. Обрежем последнюю часть: <tex> 0 = \mathcal{T}(x_0) + \mathcal{T}'(x_0) \cdot (x_0 - \overline x) </tex>.

Обозначим <tex> \Gamma(x_0) = (\mathcal{T}'(x_0))^{-1} </tex>.

<tex> -\mathcal{T}(x_0) = \mathcal{T}'(x_0) \cdot (\overline x - x_0) </tex>

Домножим равенство с обеих сторон на <tex> \Gamma(x_0) </tex>:

<tex> -\Gamma(x_0) \mathcal{T}(x_0) = \Gamma(x_0) \mathcal{T}'(x_0) \cdot (\overline x - x_0) = \overline x - x_0 </tex>.

<tex> \overline x = x_0 - \Gamma(x_0) \mathcal{T}(x_0) </tex>.

Теперь положим <tex> x_{n+1} = x_n - \Gamma(x_n) \mathcal{T} (x_n) </tex> и получим итерацию метода Ньютона-Канторовича для функции

<tex> \mathcal{F}(x) = x - \Gamma(x) \mathcal{T} (x)</tex>

<tex> x_{n+1} = \mathcal{F}(x_n) </tex>

Покажем, что <tex> \mathcal{F}'(\overline x) = 0 </tex>, то есть <tex> q = 0 </tex> из условия локальной теоремы о простой итерации.

{{Утверждение
|statement=<tex> \mathcal{F}'(\overline x) = 0 </tex>
|proof=

<tex> \| \mathcal{F} (\overline x + \Delta x) - \mathcal{F} (\overline x) \| </tex>

<tex>= \| \overline x + \Delta x - \Gamma(\overline x + \Delta x) \mathcal{T} (\overline x + \Delta x) - \overline x + \Gamma(\overline x) \mathcal{T} (\overline x) \| </tex>

<tex>= \| \Delta x - \Gamma(\overline x + \Delta x) \mathcal{T} (\overline x + \Delta x) \|</tex>

Запишем <tex> 0 = \mathcal{T}(\overline x) </tex> через значение <tex> \mathcal{T}' (\overline x + \Delta x) </tex>:

<tex> 0 = \mathcal{T}(\overline x) </tex>

<tex> = \mathcal{T}(\overline x + \Delta x) + \mathcal{T}'(\overline x + \Delta x) \cdot (\overline x - (\overline x + \Delta x)) + o(\overline x - (\overline x + \Delta x)) </tex>

<tex>= \mathcal{T}(\overline x + \Delta x) - \mathcal{T}'(\overline x + \Delta x) \cdot \Delta x + o(\Delta x) </tex>, откуда <tex> \mathcal{T}(\overline x + \Delta x) = \mathcal{T}'(\overline x + \Delta x) \cdot \Delta x + o(\Delta x) </tex>.

Подставим это равенство в выражение выше: <tex> \| \Delta x - \Gamma(\overline x + \Delta x) \mathcal{T} (\overline x + \Delta x) \| </tex>

<tex> =
\| \Delta x - \Gamma(\overline x + \Delta x) \mathcal{T}' (\overline x + \Delta x) \cdot \Delta x + \Gamma(\overline x + \Delta x) \cdot o(\Delta x) \| </tex>

<tex> = \| \Delta x - \Delta x + \Gamma(\overline x + \Delta x)) \cdot o(\Delta x) </tex>.

Итого: <tex> \| \mathcal{F}(\overline x + \Delta x) - \mathcal{F}(\overline x) \| \le \| \Gamma(\overline x + \Delta x) \| \| o(\Delta x) \| </tex>, откуда <tex> \mathcal{F}(\overline x + \Delta x) - \mathcal{F}(\overline x) = o(\Delta x) \implies \mathcal{F}'(\overline x) = 0 </tex>

}}

== Теорема Шаудера ==

Рассмотрим другую идею решения <tex> \mathcal{T} x = x </tex>. Оно основывается на том факте, что если функция <tex> f </tex> отображает отрезок <tex> [a, b] </tex> в себя, то существует такая точка <tex> c \in [a, b] : c = f(c) </tex>.

Обобщение этого факта для <tex> \mathbb{R}^n </tex> называется теоремой Брауэра:

{{Теорема
|author=Брауэр
|about=о неподвижной точке
|statement=
Пусть <tex> M </tex> {{---}} ограниченное выпуклое замкнутое подмножество <tex> \mathbb{R}^n </tex>, <tex> F </tex> непрерывно отображает <tex> M </tex> в себя. Тогда <tex> \exists x^*: F(x^*) = x^* </tex>.
}}

Как перенести этот факт в бесконечномерный случай? Ответ на это дает теорема Шаудера:

{{Определение
|definition=
Пусть <tex> X </tex> {{---}} B-пространство, <tex> D \subset X </tex> {{---}} ограничено в <tex> X </tex>.
<tex> \mathcal{T} </tex> {{---}} непрерывное отображение <tex> D \mapsto X </tex>. Говорят, что <tex> \mathcal{T} </tex> ''вполне непрерывно'' на <tex> D </tex>, если <tex> \mathcal{T}(D) </tex> {{---}} относительно компактно в <tex> X </tex>.
}}

{{Теорема
|author=Шаудер
|about=о неподвижной точке
|statement=
Пусть <tex> M </tex> {{---}} ограниченное замкнутое выпуклое подмножество B-пространства <tex> X </tex> и <tex> \mathcal{T} </tex> вполне непрерывно отображает <tex> M </tex> в себя.

Тогда <tex> \exists x^* \in M : x^* = Tx^* </tex>.
}}

Замечание: теорему Брауэра нельзя будет назвать частным случаем теоремы Шаудера, так как при доказательстве теоремы Шаудера мы сошлемся на теорему Брауэера. У теоремы Шаудера также очень частое практическое применение.

=== Вспомогательные факты ===

{{Утверждение
|about=Факт Первый
|statement=
Рассмотрим <tex> \mathcal{T}_n </tex> {{---}} последовательность вполне непрерывных операторов на <tex> D </tex>, <tex> \mathcal{T}_n \rightrightarrows \mathcal{T} </tex> (<tex> \forall \varepsilon > 0 \, \exists N: \forall n > N, \forall x \in D : \| \mathcal{T}_n(x) - \mathcal{T}(x) \| < \varepsilon</tex>).

Тогда <tex> \mathcal{T} </tex> вполне непрерывен на <tex> D </tex>.

|proof=

<tex> \forall \varepsilon > 0 </tex> по равномерной сходимости, <tex> \exists n_0: \| \mathcal{T}(x) - \mathcal{T}_{n_0}(x) \| < \varepsilon \, \forall x \in D </tex>.

По предположению, <tex> \mathcal{T}_{n_0} </tex> {{---}} вполне непрерывный: существует конечная <tex> \varepsilon </tex>-сеть <tex> y_1, \hdots, y_p </tex> для <tex> \mathcal{T}_{n_0}(D) </tex>.

<tex> \forall y \in \mathcal{T}(D), y = \mathcal{T}x </tex>. Рассмотрим <tex> \mathcal{T}_{n_0}(x) \in \mathcal{T}_{n_0}(D) </tex> и подберем такое <tex> y_j </tex>, что <tex> \| y_j - \mathcal{T}_{n_0}x \| < \varepsilon </tex>.

<tex> \| y - y_j \| = \| \mathcal{T}x - y_j \| \le \| \mathcal{T}x - \mathcal{T}_{n_0}x \| + \| \mathcal{T}_{n_0}x - y_j \| </tex>. Первое слагаемое <tex> \le \varepsilon </tex> по выбору <tex> n_0 </tex> и равномерной сходимости. Второе слагаемое <tex> \le \varepsilon </tex> по выбору <tex> y_j </tex> из <tex> \varepsilon </tex>-сети.

Окончательно, <tex> \exists y_1, \hdots, y_p : \forall y \in \mathcal{T}(D) \exists y_j: \| y - y_j \| < 2 \varepsilon </tex>. Значит, мы получили <tex> 2\varepsilon </tex>-сеть для <tex> \mathcal{T}(D) </tex>.

}}

{{Утверждение
|about=Факт Второй
|statement=

Рассмотрим <tex> \mathcal{T}_n </tex> {{---}} последовательность вполне непрерывных операторов на <tex> D </tex>, <tex> \mathcal{T}_n \rightrightarrows \mathcal{T} </tex>.

Тогда множество <tex> \mathcal{T}_1(D) \cup \mathcal{T}_2(D) \cup \hdots \cup \mathcal{T}_n(D) \cup \hdots \cup \mathcal{T}(D) </tex> относительно компактно.

|proof=

По равномерной сходимости, <tex> \forall \varepsilon > 0 \, \exists n_0: \forall n > n_0 \forall x \in D: \| \mathcal{T}(x) - \mathcal{T}_n(x) \| < \varepsilon </tex>.

Рассмотрим множество <tex> \mathcal{T}_1(D) \cup \mathcal{T}_2(D) \cup \hdots \cup \mathcal{T}_{n_0}(D) </tex>. Оно относительно компактно как конечное объединение относительно компактных множеств.

<tex> \forall \varepsilon > 0 </tex> рассмотрим <tex> \varepsilon </tex>-сеть для этого множества: <tex> y_1, \hdots, y_p </tex>.

Рассмотрим <tex> \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} \mathcal{T}_n(D) \cup \mathcal{T}(D) </tex>. Проверим, что <tex> y_1, \hdots, y_p </tex> {{---}} <tex> k \varepsilon </tex>-сеть для этого множества, где число <tex> k </tex> определим позже.

Возьмем произвольный <tex> y \in \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} \mathcal{T}_n(D) \cup \mathcal{T}(D) </tex>.

Рассмотрим, в какое из множеств попадает выбранный нами <tex> y </tex>. Пусть, для начала, <tex> y \in \mathcal{T}_n(D) </tex>.

Если <tex> n \le n_0 </tex>, то <tex> \exists y_j : \| y - y_j \| < \varepsilon </tex>.

Пусть <tex> n > n_0, y \in \mathcal{T}_n(D) \implies y = \mathcal{T}_n x</tex>.

<tex> \| y - y_j \| </tex>

<tex> = \| \mathcal{T}_n x - y_j \| </tex>

<tex> \le \| \mathcal{T}_n x - \mathcal{T} x \| + \| \mathcal{T} x - y_j \| </tex>

<tex> \le \| \mathcal{T}_n x - \mathcal{T} x \| + \| \mathcal{T} x - \mathcal{T}_{n_0} x \| + \| \mathcal{T}_{n_0} x - y_j \| </tex>.

Первые два слагаемых <tex> \le \varepsilon </tex> по равномерной сходимости, третье <tex> \le \varepsilon </tex> по выбору <tex> \varepsilon </tex>-сети для <tex> n_0 </tex>.

Аналогичную оценку получаем, если <tex> y \in \mathcal{T}(D) </tex>.

В итоге, получили, что <tex> y_1, \hdots, y_p </tex> {{---}} <tex> 3\varepsilon </tex>-сеть для <tex> \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} \mathcal{T}_n(D) \cup \mathcal{T}(D) </tex>.

}}

=== Проекторы Шаудера ===

Основная идея данного доказательства {{---}} построение проекторов Шаудера.

<tex> \mathcal{T} </tex> {{---}} вполне непрерывен на ограниченном <tex> D </tex>, <tex> M = \mathcal{T}(D) </tex> {{---}} относительно компактно.

<tex> \forall \varepsilon > 0 \exists y_1 \in M, \hdots, y_p \in M </tex> {{---}} конечная <tex> \varepsilon </tex>-сеть.

Построим следующую функцию: <tex> \forall j = 1, \hdots, p, \forall y \in M: </tex>

<tex> \mu_j(y) = \begin{cases}
0 & \mbox{if } \| y - y_j \| \ge \varepsilon \\
\varepsilon - \| y - y_j \| & \mbox{if } \| y - y_j \| < \varepsilon \end{cases}
</tex>

Легко проверить, что для любого <tex> j </tex> функция <tex> \mu_j </tex> непрерывна на <tex> M </tex>. {{TODO|t=Легко? Так давайте сделаем это.}}

Поскольку <tex> \{ y_j \} </tex> {{---}} <tex> \varepsilon </tex>-сеть, то <tex> \forall y </tex> все <tex> \mu_j(y) </tex> не могут быть равны нулю одновременно.

Обозначим <tex> S(y) = \sum\limits_{j=1}^p \mu_j(y) </tex>. По предыдущему утверждению, <tex> \forall y: S(y) > 0 </tex>

{{Определение
|definition=

<tex dpi = 140> P_\varepsilon (y) = \sum\limits_{j=1}^p \frac {\mu_j(y)} {S(y)} y_j </tex> {{---}} ''проектор Шаудера''.

}}

Коэффициенты <tex> \frac {\mu_j(y)} {S(y)} </tex> обозначим за <tex> \alpha_j(y) </tex>. Из определения следует, что <tex> \sum\limits_{j=1}^p \alpha_j(y) = 1 </tex>, то есть, <tex> P_\varepsilon(y) </tex> есть выпуклая комбинация точек <tex> \varepsilon </tex> сети для любого <tex> y </tex>.

<tex> P_\varepsilon(M) \subset \mathcal{L}(y_1, \hdots, y_p) </tex>

Если <tex> M = \mathcal{T}(D) </tex> {{---}} выпуклое множество, то <tex> P_\varepsilon(y) \in M </tex>, как выпуклая комбинация точек <tex> y_1, \hdots, y_p </tex>.

Рассмотрим <tex> \| P_\varepsilon (\mathcal{T} x) - \mathcal{T} x \| = \| \sum\limits_{j=1}^p \alpha_j y_j - \sum\limits_{j=1}^p \alpha_j y \| = \| \sum\limits_{j=1}^p \alpha_j (y_j - y) \| </tex>.

Если <tex> \| y_j - y \| > \varepsilon </tex>, то <tex> \alpha_j(y) = 0 </tex>, поэтому, продолжая цепочку неравенств, <tex> \| \sum\limits_{j=1}^p \alpha_j (y_j - y) \| \le \varepsilon \sum\limits_{j=1}^p \alpha_j \le \varepsilon </tex>.

Получили, что <tex> P_\varepsilon \mathcal{T} \rightrightarrows \mathcal{T} </tex>, когда <tex> \varepsilon \to 0 </tex>.

Каждый из операторов <tex> P_\varepsilon \mathcal{T} </tex> конечномерен: <tex> \mathop{dim} R(P_\varepsilon \mathcal{T}) < +\infty </tex>.

По неравенству, полученному чуть выше, также имеем <tex> \| P_\varepsilon (\mathcal{T} x) - \mathcal{T} x \| \le \varepsilon \, \forall x \in D </tex>.

В итоге мы имеем следующую теорему:

{{Теорема
|statement=
Проекторы Шаудера оператора <tex> \mathcal{T} </tex> равномерно сходятся к <tex> \mathcal{T} </tex>: <tex> P_\varepsilon \mathcal{T} \rightrightarrows \mathcal{T} </tex>, то есть любой вполне непрерывный оператор является равномерным пределом последовательности конечномерных операторов.
}}

Соединяя с теоремой Брауэра, получим:

<tex> M </tex> {{---}} выпуклое ограниченное множество, оператор <tex> \mathcal{T} : M \to M </tex> является вполне ограниченным.

Определим последовательность <tex> \mathcal{T}_n = P_{\frac 1n} \mathcal{T} </tex>. <tex> \mathcal{T}_n : M_n \to M_n </tex>, где <tex> M_n </tex> {{---}} конечномерное пространство.

Применяя теорему Брауэра, получаем, что <tex> \forall n: \exists x_n \in M_n: x_n = \mathcal{T}_n x_n = x_n </tex>.

Учитывая, что <tex> M_1 \cup M_2 \cup \hdots </tex> относительно компактно, из <tex> \{ x_n \} </tex> можно выделить сходящуюся подпоследовательность: <tex> \exists x_{n_k} \to x^* \in M </tex>.

<tex> \| x^* - \mathcal{T}x^* \| = \| \lim(x_{n_k} - \mathcal{T} x_{n_k}) \| </tex>.

По выбору <tex> x_{n_k} </tex>: <tex> x_{n_k} = \mathcal{T}_{n_k} x_{n_k} </tex>.

По равномерной сходимости <tex> \mathcal{T}_n \rightrightarrows \mathcal{T} </tex>: <tex> \| \mathcal{T}_{n_k} x_{n_k} - \mathcal{T} x_{n_k} \| \le \varepsilon </tex>, начиная с <tex> k_0 </tex> для всех <tex> x \in M </tex>.

Откуда, окончательно, получаем, что искомый предел равен <tex> 0 </tex>, и <tex> \| x^* - \mathcal{T} x^* \| = 0 </tex>, и <tex> x^* = \mathcal{T} x^* </tex>. Теорема Шаудера доказана.

That's all folks!
{{TODO|t=сделать картиночку, как в Looney Tunes в конце серии, только с Додоновым вместо Porky Pig}}

[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]

Компактный оператор

2013-06-10T20:50:37Z

Rybak:

Напоминание: все рассматриваемые пространства считаем Банаховыми.
{{Определение
|definition=
Множество называется '''относительно компактным''', если его замыкание компактно
}}
{{Определение
|definition=
Линейный ограниченный оператор <tex> A : X \to Y </tex> называется '''компактным''', если <tex> A </tex> переводит любое ограниченное подмножество <tex> X </tex> в относительно компактное множество из <tex> Y </tex>.
}}

Из определения ясно, что мы получаем усиление ограниченности, так как любое относительно компактное множество — ограничено.

=== Пример ===

Рассмотрим пространство <tex> C[0,1] </tex>.
Пусть <tex> K(t, s) </tex> — непрерывно на <tex> [0,1]\times[0,1] </tex> и ограничено: <tex> | K(t,s) | \leq M </tex>.

Введем оператор <tex>A: C[0,1] \to C[0,1]</tex> как <tex> A(x,t) = \int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds </tex>, где <tex> x(s) \in C[0,1] </tex>.

Зададим норму <tex> \| x \| = \max\limits_{s \in [0,1]} | x(s) | \implies |x(s)| \leq \| x \| </tex>.

{{Утверждение
|statement=
Оператор <tex> A(x,t) = \int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds </tex> — компактный.
|proof=
<tex> | A(x,t) | \leq M \cdot \| x \| </tex>

<tex> \| A x \| \leq M \cdot \| x \| </tex>

Проверим, что реализуются условия теоремы Арцела-Асколи {{TODO|t=которой у нас не было}} о предкомпактности множества в <tex> C[a, b] </tex>:

<tex> T \subset C[0,1] </tex> — относительно компактное <tex>\iff</tex>
# <tex>\exists M\ \forall x \in T : \|x\| \leq M </tex>
# <tex> \forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0 : | t'' - t' | < \delta \implies \forall x \in T : | x(t') - x(t'') | < \varepsilon </tex> — '''равностепенная непрерывность'''.

Рассмотрим <tex>V = \{ x \mid \|x\| \le 1\}</tex> и <tex>A(V)</tex>.

<tex>\|K(u, z)\| \le M, \|A(x)\| \le M\|x\|, x \in V, \|x\| \le 1 </tex>

<tex>\|Ax\| \le M</tex>

<tex>|A(x, t'') - A(x, t')| = |\int\limits_0^1 (K(t'', s) - K(t', s)) x(s) ds|</tex>

<tex>K(u, z)</tex> непрерывна на компакте <tex>[0, 1] \times [0, 1]</tex>, следовательно, равномерно непрерывна на нем.

Отсюда, <tex>\forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0: |t'' - t'| < \delta \implies |K(t'', s) - K(t', s)| < \varepsilon \forall s \in [0, 1]</tex>.

Таким образом, <tex>|A(x, t'') - A(x, t')| \le \varepsilon |x(s)| ds \le \varepsilon \|x\| < \varepsilon</tex>, получили равностепенную непрерывность <tex>A</tex>.
}}

== Критерий проверки компактности ==

Замечание: в бесконечномерном пространстве шар не будет компактом (следствие из теоремы Рисса о почти перпендикуляре), следовательно, <tex>\mathcal{I}x = x</tex> — не компактен.

Для определения компактности используется [[Теорема Хаусдорфа об ε-сетях|критерий Хаусдорфа]]: множество компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и вполне ограниченно, то есть у него существует конечная <tex>\varepsilon</tex>-сеть.

== Произведение компактных операторов ==
{{Утверждение
|statement =
<tex> A \in \mathcal{L} (X,Y), ~ B \in \mathcal{L} (Y,Z) </tex>, <tex> C = B \cdot A </tex> (произведение, суперпозиция). Тогда:

# Если <tex> B </tex> — ограниченный, <tex> A </tex> — компактный, то <tex> C </tex> — компактный.
# Если <tex> B </tex> — компактный, <tex> A </tex> — ограниченный, то <tex> C </tex> — компактный.
|proof = <wikitex>Докажем первый случай, второй доказывается аналогично.

Рассмотрим единичный шар $V = \{ x \mid \|x\| \le 1\}$. Проверим, что $C(V)$ — относительно компактное в $Z$, то есть надо проверить, что оно вполне ограниченно.

$A$ — компактен, то есть $W = A(V)$ относительно компактно в $Y$, поэтому $\forall \varepsilon > 0 \exists y_1 \dots y_p \forall y \in W \exists j: \| y - y_j\| \le \varepsilon$.

Обозначим $z_j = B(y_j) \in Z$. Рассмотрим произвольное $z \in C(V)$: $z = By, y = Ax, x \in V$.

$\|z - z_j\| = \|B(y - y_j)\| \le \|B\|\|y - y_j\| \le \varepsilon \|B\|$. $B$ — ограничен, таким образом, множество $\{B(y_j)\}$ будет являться $\|B\|\varepsilon$-сетью для $C(V)$, то есть $C$ будет относительно компактен.
</wikitex>
}}

{{Утверждение
|about=следствие
|statement=
Если <tex> B </tex> — компактный оператор, то он (в бесконечномерном случае) не может быть непрерывно обратимым.
|proof=
От противного: пусть <tex> \exists B^{-1} \implies I = B \cdot B^{-1} </tex> — компактный по доказанному утверждению, что невозможно в бесконечномерном случае.
}}

{{Утверждение
|statement =
Пусть <tex> A </tex> — компактный, тогда <tex> R(A) </tex> — сепарабельно (то есть, в <tex> R(A) </tex> существует счетное всюду плотное подмножество).
|proof =
<tex> X = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} V_n, \quad V_n = \{ x \mid \| x \| < n \} </tex> — счетное объединение шаров.

<tex> R(A) = A (X) = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} A(V_n) </tex>

<tex> A(V_n) </tex> — относительно компактно.

Используя [[Теорема Хаусдорфа об ε-сетях|теорему Хаусдорфа]], можно показать, что любое относительно компактное множество сепарабельно: объединение <tex>\varepsilon</tex>-сетей при <tex>\varepsilon = \frac1n</tex> для <tex>n</tex> от <tex>1</tex> до <tex>\infty</tex> счетно и оно будет всюду плотным в этом множестве.

Счетное объединение сепарабельных множеств — сепарабельно, значит <tex> R(A) </tex> — сепарабельно.
}}

[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]

Вопросы к консультации по функциональному анализу за 6 семестр

2013-06-10T20:39:14Z

Rybak:

* [[Сопряженный оператор#Примеры сопряженных операторов|теорема об общем виде сопряженного оператора в <tex>L_p</tex>]] --[[Участник:Dgerasimov|Дмитрий Герасимов]] 02:38, 10 июня 2013 (GST)

* [[Компактный оператор|теорема Арцела-Асколи]] (впрочем, это используется только в одном примере, но мало ли) --[[Участник:Dgerasimov|Дмитрий Герасимов]] 02:38, 10 июня 2013 (GST)

* зачем нужна замкнутость линейного подмножества, на котором определен функционал, чтобы его продолжить в теоремах 1, 2 [[Сопряженный оператор|тут]] --[[Участник:Dgerasimov|Дмитрий Герасимов]] 21:45, 10 июня 2013 (GST)
: <tex>\widetilde{A} : E/_{\operatorname{Ker} A} \to R(A)</tex> — биекция, <tex>R(A)</tex> — замкнуто, <tex>F</tex> — банахово, поэтому <tex>R(A)</tex> — также банахово как подпространство в <tex>F</tex>. Введем норму для <tex>[x] \in E/_{\operatorname{Ker} A}</tex> как <tex>\|[x]\| = \inf\limits_{x\in [x]} \|x\|</tex>. — вот здесь мы используем замкнутость <tex> R(A) </tex> во второй теореме, если что. Для первой теоремы вопрос остается открытым (но там и в условии не требуется замкнутость <tex> R(A) </tex>). --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 22:59, 10 июня 2013 (GST)

* Не совсем понятно о чем идет речь в билетах об ортогональных дополнениях <tex>R(A)</tex> и <tex>R(A^*)</tex>. По хронологии изложения это видимо вышеупомянутые теоремы 1 и 2 из статьи [[Сопряженный оператор]], но они как-то не очень соответствуют названиям билетов --[[Участник:Vasin|Андрей Васин]]
** Видимо, имеются в виду соответствующие ядра (Ker) --[[Участник:Rybak|Андрей Рыбак]] 23:32, 10 июня 2013 (GST)

* Что такое "лемма о координатном пространстве" ? --[[Участник:Rybak|Андрей Рыбак]] 23:32, 10 июня 2013 (GST)
** Возможно, то, что <tex>F = \left \{ (\alpha_1 ... \alpha_n ... ) \mid \sum\limits_{k=1}^{\infty} \alpha_k e_k \in X \right \} </tex> с нормой <tex> \| \alpha \| = \sup\limits_{n\in\mathbb{N}} \| \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k </tex> будет B-пространством.

Вопросы к консультации по функциональному анализу за 6 семестр

2013-06-10T20:37:57Z

Rybak:

* [[Сопряженный оператор#Примеры сопряженных операторов|теорема об общем виде сопряженного оператора в <tex>L_p</tex>]] --[[Участник:Dgerasimov|Дмитрий Герасимов]] 02:38, 10 июня 2013 (GST)

* [[Компактный оператор|теорема Арцела-Асколи]] (впрочем, это используется только в одном примере, но мало ли) --[[Участник:Dgerasimov|Дмитрий Герасимов]] 02:38, 10 июня 2013 (GST)

* зачем нужна замкнутость линейного подмножества, на котором определен функционал, чтобы его продолжить в теоремах 1, 2 [[Сопряженный оператор|тут]] --[[Участник:Dgerasimov|Дмитрий Герасимов]] 21:45, 10 июня 2013 (GST)
: <tex>\widetilde{A} : E/_{\operatorname{Ker} A} \to R(A)</tex> — биекция, <tex>R(A)</tex> — замкнуто, <tex>F</tex> — банахово, поэтому <tex>R(A)</tex> — также банахово как подпространство в <tex>F</tex>. Введем норму для <tex>[x] \in E/_{\operatorname{Ker} A}</tex> как <tex>\|[x]\| = \inf\limits_{x\in [x]} \|x\|</tex>. — вот здесь мы используем замкнутость <tex> R(A) </tex> во второй теореме, если что. Для первой теоремы вопрос остается открытым (но там и в условии не требуется замкнутость <tex> R(A) </tex>). --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 22:59, 10 июня 2013 (GST)

* Не совсем понятно о чем идет речь в билетах об ортогональных дополнениях <tex>R(A)</tex> и <tex>R(A^*)</tex>. По хронологии изложения это видимо вышеупомянутые теоремы 1 и 2 из статьи [[Сопряженный оператор]], но они как-то не очень соответствуют названиям билетов --[[Участник:Vasin|Андрей Васин]]
** Видимо, имеются в виду соответствующие ядра (Ker) --[[Участник:Rybak|Андрей Рыбак]] 23:32, 10 июня 2013 (GST)

* Что такое "лемма о координатном пространстве" ? --[[Участник:Rybak|Андрей Рыбак]] 23:32, 10 июня 2013 (GST)
** Возможно, то, что <tex>F = \left{(\alpha_1 ... \alpha_n ... ) \mid \sum\limits_{k=1}^{\infty} \alpha_k e_k \in X \right}</tex> с нормой <tex> \| \alpha \| = \sup\limits_{n\in\mathbb{N}} \| \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k </tex> будет B-пространством.

Вопросы к консультации по функциональному анализу за 6 семестр

2013-06-10T19:32:59Z

Rybak:

Обсуждение:Компактный оператор

2013-06-10T17:19:58Z

Rybak: Мейнстер и Герасимов говорят да

== Компактный vs вполне непрерывный ==
Я правильно понимаю, что линейный вполне непрерывный оператор = компактный? --[[Участник:Dgerasimov|Дмитрий Герасимов]] 16:07, 9 июня 2013 (GST)
: Что такое "вполне ограниченный оператор"? В Википедии компактный оператор называется также вполне непрерывным ([http://ru.wikipedia.org/wiki/Компактный_оператор]) --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 17:08, 9 июня 2013 (GST)
:: ой, это я хотел "вполне непрерывный" написать, да. В википедии да, а в конспекте дается определение компактного, а в последней лекции — определение вполне непрерывного --[[Участник:Dgerasimov|Дмитрий Герасимов]] 17:28, 9 июня 2013 (GST)

Верно ли, что любое относительно компактное множество замкнуто? (для компакта это вроде как так)

В теореме про суперпозицию функций есть непонятный момент: <tex>W = A(V)</tex> - относительно компактно, т.к. А - компактный. Почему у W существует конечная <tex>\varepsilon</tex> - сеть?

В обратную сторону пока тоже не совсем понятно, как доказывать

И почему единичный оператор компактен в конечномерном случае?
если подействовать им на мн-во рациональных чисел, получится оно же. Но как бы не является компактом(и , наверное, относительно компактным, хз что такое замыкание <tex>\mathbb R</tex>)

== Онтосительная компактность => Сепарабельность ==

* "Используя теорему Хаусдорфа ..." — там <tex>\varepsilon = \frac1n </tex> что ли? --[[Участник:Rybak|Андрей Рыбак]] 21:15, 10 июня 2013 (GST)
** исправил --[[Участник:Rybak|Андрей Рыбак]] 21:19, 10 июня 2013 (GST)

Компактный оператор

2013-06-10T17:18:47Z

Rybak: /* Произведение компактных операторов */ \epsilon = ?

Напоминание: все рассматриваемые пространства считаем Банаховыми.
{{Определение
|definition=
Множество называется '''относительно компактным (предкомпактным)''', если его замыкание компактно
}}
{{Определение
|definition=
Линейный ограниченный оператор <tex> A : X \to Y </tex> называется '''компактным''', если <tex> A </tex> переводит любое ограниченное подмножество <tex> X </tex> в относительно компактное множество из <tex> Y </tex>.
}}

Из определения ясно, что мы получаем усиление ограниченности, так как любое относительно компактное множество — ограничено.

=== Пример ===

Рассмотрим пространство <tex> C[0,1] </tex>.
Пусть <tex> K(t, s) </tex> — непрерывно на <tex> [0,1]\times[0,1] </tex> и ограничено: <tex> | K(t,s) | \leq M </tex>.

Введем оператор <tex>A: C[0,1] \to C[0,1]</tex> как <tex> A(x,t) = \int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds </tex>, где <tex> x(s) \in C[0,1] </tex>.

Зададим норму <tex> \| x \| = \max\limits_{s \in [0,1]} | x(s) | \implies |x(s)| \leq \| x \| </tex>.

{{Утверждение
|statement=
Оператор <tex> A(x,t) = \int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds </tex> — компактный.
|proof=
<tex> | A(x,t) | \leq M \cdot \| x \| </tex>

<tex> \| A x \| \leq M \cdot \| x \| </tex>

Проверим, что реализуются условия теоремы Арцела-Асколи {{TODO|t=которой у нас не было}} о предкомпактности множества в <tex> C[a, b] </tex>:

<tex> T \subset C[0,1] </tex> — относительно компактное <tex>\iff</tex>
# <tex>\exists M\ \forall x \in T : \|x\| \leq M </tex>
# <tex> \forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0 : | t'' - t' | < \delta \implies \forall x \in T : | x(t') - x(t'') | < \varepsilon </tex> — '''равностепенная непрерывность'''.

Рассмотрим <tex>V = \{ x \mid \|x\| \le 1\}</tex> и <tex>A(V)</tex>.

<tex>\|K(u, z)\| \le M, \|A(x)\| \le M\|x\|, x \in V, \|x\| \le 1 </tex>

<tex>\|Ax\| \le M</tex>

<tex>|A(x, t'') - A(x, t')| = |\int\limits_0^1 (K(t'', s) - K(t', s)) x(s) ds|</tex>

<tex>K(u, z)</tex> непрерывна на компакте <tex>[0, 1] \times [0, 1]</tex>, следовательно, равномерно непрерывна на нем.

Отсюда, <tex>\forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0: |t'' - t'| < \delta \implies |K(t'', s) - K(t', s)| < \varepsilon \forall s \in [0, 1]</tex>.

Таким образом, <tex>|A(x, t'') - A(x, t')| \le \varepsilon |x(s)| ds \le \varepsilon \|x\| < \varepsilon</tex>, получили равностепенную непрерывность <tex>A</tex>.
}}

== Критерий проверки компактности ==

Замечание: в бесконечномерном пространстве шар не будет компактом (следствие из теоремы Рисса о почти перпендикуляре), следовательно, <tex>\mathcal{I}x = x</tex> — не компактен.

Для определения компактности используется [[Теорема Хаусдорфа об ε-сетях|критерий Хаусдорфа]]: множество компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и вполне ограниченно, то есть у него существует конечная <tex>\varepsilon</tex>-сеть.

== Произведение компактных операторов ==
{{Утверждение
|statement =
<tex> A \in \mathcal{L} (X,Y), ~ B \in \mathcal{L} (Y,Z) </tex>, <tex> C = B \cdot A </tex> (произведение, суперпозиция). Тогда:

# Если <tex> B </tex> — ограниченный, <tex> A </tex> — компактный, то <tex> C </tex> — компактный.
# Если <tex> B </tex> — компактный, <tex> A </tex> — ограниченный, то <tex> C </tex> — компактный.
|proof = <wikitex>Докажем первый случай, второй доказывается аналогично.

Рассмотрим единичный шар $V = \{ x \mid \|x\| \le 1\}$. Проверим, что $C(V)$ — относительно компактное в $Z$, то есть надо проверить, что оно вполне ограниченно.

$A$ — компактен, то есть $W = A(V)$ относительно компактно в $Y$, поэтому $\forall \varepsilon > 0 \exists y_1 \dots y_p \forall y \in W \exists j: \| y - y_j\| \le \varepsilon$.

Обозначим $z_j = B(y_j) \in Z$. Рассмотрим произвольное $z \in C(V)$: $z = By, y = Ax, x \in V$.

$\|z - z_j\| = \|B(y - y_j)\| \le \|B\|\|y - y_j\| \le \varepsilon \|B\|$. $B$ — ограничен, таким образом, множество $\{B(y_j)\}$ будет являться $\|B\|\varepsilon$-сетью для $C(V)$, то есть $C$ будет относительно компактен.
</wikitex>
}}

{{Утверждение
|about=следствие
|statement=
Если <tex> B </tex> — компактный оператор, то он (в бесконечномерном случае) не может быть непрерывно обратимым.
|proof=
От противного: пусть <tex> \exists B^{-1} \implies I = B \cdot B^{-1} </tex> — компактный по доказанному утверждению, что невозможно в бесконечномерном случае.
}}

{{Утверждение
|statement =
Пусть <tex> A </tex> — компактный, тогда <tex> R(A) </tex> — сепарабельно (то есть, в <tex> R(A) </tex> существует счетное всюду плотное подмножество).
|proof =
<tex> X = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} V_n, \quad V_n = \{ x \mid \| x \| < n \} </tex> — счетное объединение шаров.

<tex> R(A) = A (X) = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} A(V_n) </tex>

<tex> A(V_n) </tex> — относительно компактно.

Используя [[Теорема Хаусдорфа об ε-сетях|теорему Хаусдорфа]], можно показать, что любое относительно компактное множество сепарабельно: объединение <tex>\varepsilon</tex>-сетей при <tex>\varepsilon = \frac1n</tex> для <tex>n</tex> от <tex>1</tex> до <tex>\infty</tex> счетно и оно будет всюду плотным в этом множестве.

Счетное объединение сепарабельных множеств — сепарабельно, значит <tex> R(A) </tex> — сепарабельно.
}}

[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]

Обсуждение:Компактный оператор

2013-06-10T17:15:18Z

Rybak: /* Онтосительная компактность => Сепарабельность */ Новая тема

Сопряжённый оператор

2013-06-07T17:34:21Z

Rybak: /* Теоремы о множестве значений оператора */ параметров — чукча писатель

Сопряжённый оператор

2013-06-07T17:32:19Z

Rybak: /* Теоремы о множестве значений оператора */

Сопряжённый оператор

2013-06-07T17:31:19Z

Rybak: /* Теоремы о множестве значений оператора */

Сопряжённый оператор

2013-06-07T16:34:16Z

Rybak: /* Естественное вложение */

Компактный оператор

2013-04-19T19:15:10Z

Rybak: /* Произведение компактных операторов */

{{Определение
|definition=
Линейный ограниченный оператор <tex> A : X \to Y </tex> называется '''компактным''',
если <tex> A </tex> переводит любое ограниченное множество из <tex> X </tex>
в относительно компактное множество из <tex> Y </tex>.
}}

{{TODO|t = определение относительно компактного множества}}

Из определения ясно, что мы получаем усиление ограниченности, так как любое относительно компактное множество — ограничено.

=== Пример ===

Рассмотрим пространство <tex> C[0,1] </tex>.
Пусть <tex> K(u, v) </tex> — непрерывно на <tex> [0,1]\times[0,1] </tex> и ограничено: <tex> | K(t,s) | \leq M </tex>.

<tex> A(x,t) = \int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds </tex>, где <tex> x(s) \in C[0,1] </tex>.

<tex> A(x,t) \in C[0,1] </tex>. Зададим норму <tex> \| x \| = \max\limits_{s \in [0,1]} | x(s) | \implies |x(s)| \leq \| x \| </tex>

<tex> | A(x,t) | \leq M \cdot \| x \| </tex>

<tex> \| A(x,t) \| \leq M \cdot \| x \| </tex>

== Критерий проверки компактности ==

== Произведение компактных операторов ==

{{TODO | t = к чему относиться следующий абзац??? }}

<tex> T \subset C[0,1] </tex> — относительно компактное <tex>\iff</tex>
# <tex> \forall x \in T : \|x\| \leq M </tex>
# <tex> \forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0 : | t'' - t' | < \delta \implies \forall x \in T : | x(t') - x(t'') | < \varepsilon </tex> — '''равностепенная непрерывность'''.

{{Утверждение
|statement =

<tex> A \in \mathcal{L} (X,Y), ~ B \in \mathcal{L} (Y,Z) </tex>

<tex> C = B \cdot A </tex> (произведение, суперпозиция).

# Если <tex> B </tex> — ограниченный, <tex> A </tex> — компактный, то <tex> C </tex> — компактный.
# Если <tex> B </tex> — компактный, <tex> A </tex> — ограниченный, то <tex> C </tex> — компактный.

|proof =
{{TODO | t = доказательство }}}}

=== Следствие ===

Если <tex> B </tex> — компактный оператор, то он не может быть непрерывно обратимым.

От противного: пусть <tex> \exists B^{-1} \implies I = B \cdot B^{-1} </tex> — компактный по доказанному утверждению,
что невозможно в бесконечномерном случае.

{{Утверждение
|statement =
<tex> A </tex> — компактный <tex> \implies R(A) </tex> — сепарабельно, то есть в <tex> R(A) </tex> существует всюду плотное подмножество.
|proof =
<tex> X = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} V_n, \quad V_n = { x \mid \| x \| — счетное объединение шаров.

<tex> R(A) = A (X) = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} A(V_n) </tex>

<tex> A(V_n) </tex> — относительно компактно.
По теореме Хаусдорфа {{TODO | t = добавить ссылку на теорему Хаусдорфа}} любое относительно компактное множество сепарабельно.
Счетное объединение сепарабельных множеств — сепарабельно, значит <tex> R(A) </tex> — сепарабельно.
}}

Компактный оператор

2013-04-19T19:02:04Z

Rybak:

Компактный оператор

2013-04-19T18:45:28Z

Rybak: ... пример

{{Определение
|definition=
Линейный ограниченный оператор <tex> A : X \to Y </tex> называется ''компактным'',
если <tex> A </tex> переводит любое ограниченное множество из <tex> X </tex>
в относительно компактное множество из <tex> Y </tex>.
}}

{{TODO|t = определение относительно компактного множества}}

Из определения ясно, что мы получаем усиление ограниченности, так как любое относительно компактное множество — ограничено.

=== Пример ===

Рассмотрим пространство <tex> C[0,1] </tex>.
Пусть <tex> K(u, v) </tex> — непрерывно на <tex> [0,1]\times[0,1] </tex> и ограничено: <tex> | K(t,s) | \leq M </tex>.

<tex> A(x,t) = \int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds </tex>, где <tex> x(s) \in C[0,1] </tex>.

<tex> A(x,t) \in C[0,1] </tex>. Зададим норму <tex> \| x \| = \max\limits_{s \in [0,1]} | x(s) | \implies |x(s)| \leq \| x \| </tex>

<tex> | A(x,t) | \leq M \cdot \| x \| </tex>

<tex> \| A(x,t) \| \leq M \cdot \| x \| </tex>